l. Un compás para comProba¡ la semejanza

Vamos a construir un compás con dos tiras de plástico o cartulina dura

de24 cmde largo I 1,5 cm de ancho. Divide cada una de ellas en24 pattes

de 1 cm, haz agujeros y numéralos como indica la figura.

Une ahora las dos tiras por el agujero 20 de cada una, con un tornillito

con tuerca o una chincheta de encuadernar y ya denes hecho el compás.

a) Considera el compás como si fueran dos triángulos.

aaaoooaaoaatoal0 i.l 12 13 14 15 16 17 18 l9 20 21 22 23

taaoaaaa23456789

otaaaoaoaaoalaloao6 7 B 9 1011 121314151617 181920212223

t::i*niliiijriür:rr,,i f): f¡Erh, q'Ué ;hgüjéfU, hay que colocar el tornillo , paitr qU,U ,Xa:"prOporción,i1

entre los lados de los dos triángulos formados (es deci¡ la razón de propor-

cionalidad) ,., 1 ¡Y para que sea 1?

2' I ¡

2. Pentágonos semejantes

Los dos penrágonos de Ia figura son semejanres: uno se obtiene del otropor ampliación o reducción.

a) Comprueba, con el transportador de ángulos, que

t [:i::'"' correspondientes en ambas figuras son

Thmbién se puede comprobar si los ángulos son igua-les utilizando el compás que has consrruido antes:abre el compás hasta que se ajuste a un vértice de laprimera figura, lleva esa aberrura al vértice correspon-diente de la segunda figura y comprueba si se ajustatambién; si es así, los ángulos son iguales . Haz lo.. -mismo con los demás ángulos.

_5

vamos a ver ahora, con ayuda del cornpás, si los lados de los pentágonosson proporcionales.

b) Debes colocar el tornillo o la chinchera en el agujeroadecuado, de tal forma que, abriendo el compás, su aberturam^yor coincida con un iado de la figura mayor ¡ sin variar elángulo del compás, su abertura menor coincida con el ladocorrespondiente de la figura menor.

¿Cuál es la proporción enrre los lados de los dos triángu-los que forman el compás? ¿Y entre los lados de los dos pen-tágonos?

c) Sin cambiar el tornillo del agujero, pero variando el ángulo del com-pás, comprueba si se puede hacer lo mismo con los demás lados de las figu-ras. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad enrre las longitudes de los lados delos dos pentágonos?

43

- ¿Cuál es la razón de semejanza de los pentágonos?

d) intenta consrruir con el compás un penrágono semejante ar pentágo-1no mayot que renga con él razón de semejanza i , y otra con razón de se-2

mejanza L Piensa primero dónde tienes que poner el tornillo en cada caso.

l. Las medidas de la pantalla

No todas las pantallas de televisióntienen las mismas medidas, unas son másgrandes que otras, pero, ¿se ve en ellas laimagen de la misma forma? ¿Son rectán-gulos semejanres rodas las pantallas detelevisión?

l. Figuras semejantes

TEMA 6:

SEMEIANZAS

La construcción de modelos de barcos y de aviones es uno afición que liene ntuchahistoria y que encontramos por todos los lugares del mundo. Así, en los museos de nave-gación y de técnico, en colecciones particulares y en casqs dedicsd(ts al modelismo se pue-rlen enconlror todo tipo de reproducciones de naves famosas como las cqrabelas de Colón,de aviones similares al <<Eolo»> que fue el primero en e-fectuar un vuelo a motor (1890),o del avión <<Concorde>> que tiene una velocidqd superior al sonido.

Todos estos modelos que reproducen en tqmaño reducido unos construcciones gran-des, tienen exqcta.flente lo misma forma que los outénticos. En geometría decimos quetlos.figuros que tienen la misma folma son semejantes.

* Observa los dibujos siguientes: ¿Qué puedes decir deltamaño y de la forma de cada grupo de dibujos? *

Decimos que las figuras que tienen la misma forma son figur¿qsemejantes; en geomc"tría también se e¡lcuentran.

* Observa la forma de las siguientes circunferencias,¿puedes decir que son figuras semejantes? *

* Observa'ahora los siguientes cuadrados.que lienen la misma forma, cs derirsemejantes? *

zqo

te encontrarás con que las figuras que tienen el mismo nombrepor ejemplo los siguientes rectángulos:

Tlcm

¿Te pareceque son

* Observa los siguie¡¡tesmejantes. Calcula la razónestar seguro. *

triángulos e indica si son se-entre la altura y la base para

¡

seanAtención! no siempresemejantes. Observa

1'5cf n

* ¿Crees que los dos rectángulos del apartado a) tie-nen la misma forrna? ¿y Ios de b)? Calcula la razón entrela anchura y la altura en el caso a). ¿Qué conclusión pue-des sacar? Hazlo mismo en el caso b). *

* Observa los siguientes rectángulos:

4'5cm 3cm

5cm

Calcula la r,arón entre Ia altura y la anchura en cadaruno de ellos y comprueba si son iguales- *

Hemos visto, por lo tanto, una manera de saber si dos rectángulou o dos triángulosrectángulos son semejantes, pero a veces no es tan fácil. Estudiare§los atgunas pr<lpiccia-cles que nos permitan reconocer siempre las figuras sernejantes.

2. Escalas

La construcción de figuras semejantes es un problenra que surge siernpre que sc quic-ren dibujar terrenos o plantas de edificios que no se puede dibu-iar con sur tamaño ¡l¿rtur¿rlsobre el papel. Los mapas y los planos no son más que liguras semelantes a la proyc'cciirndel terreno o del piso sobre un plarro horizontal; es corno si se tornara una fotogral'í¿r clcsdcun avión. Levantar r-rn plano es construir una f igura semcjante cün una clc{erminacl¡r cscr¡lu.

* Si un mapa tiene ulra escala

¿a qué distancia cle lamapa? *

:l: l0(X)000.

realidacl corrcsponde I cm rlcrl ,.

I

r 000 000

7Cm

.5cm

7'5cm

'kl:

En el siguiente plano de un piso dibujado a escala

100, calcula las dimensiones reales.

Dimensiones sobre el Plano Dimensiones reales

Sala de estar

Dormitorio I

'i St un mapa hecho a escala I : 2 000 000a) ¿Cuántos cm del mapa separan dos puntos que en

realidad distan 12 km?b) ¿y dos puntos que distan 100 km? *

* Dos mapas están hechos con escalas I : 500 000 yI : 700 0@, ¿cuál es el más detallado? *

* Si se ha intentado dibujar el plano de una habitaeiónen un folio y resulta que no cabe, ¿la nueva escala se ha

de tomar más grande o más Pequeña? *

* Dibujá el plano de tu habitación en una hoja de tulibreta. Di Ia escala que has utilizado. *

También podemos aplicar las escalas a las figuras geométricas. Por ejemplo, si tcne-mos un cuadrado de 2 cm de lado, lo pt.rdemos dibujar más pequeño a escala I : 2 o rnásgrandeaescala2: L

2cmnll

* Di cuál es el lado del cuadrado A dibujado a escalaI :2. Lo mismo para el cuadrado B dibujado a escala2: l. *

* Indica ahora cuál será el lado de un cuadrado C di-bujado a escala 3 : 1. ¿Y el de un cuadrado D dibujadoa escala 3 : 2? Dibuja los cuadrados C y D. *

2cm \ escala

\ 2,1

escala ¡1.2 /

IB

t'l'iih;

Hay diversas técnicas para ampliar y reducir figuras. La más sencilla consiste en utili-zar cuadrículas: se dibuja una cuadrícula sobre el dibujo que se quiere ampliar o reducir

v una sesunda cuadrícula a la escala deseada. Cuadro por cuadro se va trasladando el di-

üujo a lá nueva cuadrícula y se obtiene la figura semejante en la escala que se quería.

* ¿Con qué escala se ha efectuado el dibujo pe-queño? *

* Construye una cuadrícula con los cuadritos de tu li-breta y dibuja el mapa de los paises Catalanes. ¿Cuál es

la escala de tu reducción? *

4. Polígonos semejantes. Razón dG semejanz? r- ¡-------------- , r

* Observa los siguientes cuadriláteros: tien€ñ Ia mis-ma lorma, o sea que son semejantes.

UMVEBSIDAD DE EL SALVADOR

a) Mide los ángulos de las dos figuras con 'n trans-portador y escribe las igualdades de ánguios que ohengas.

b) Calcula las razones de loslados correspordientes:AB/A'R' BC/B'C' CD/C'D' DA,4}'A'.¿Que relación hay entre los lados de las dos figuras? *

Cuando los lados correspondientes de las dos figurasque decimos que soh proporcionales.

cumplen esta relación recuerda

* Repite lo mismo con los siguicntes triángulossemejantes:

a) Mide los ángulos y escribe las igua[da&s queobtengas

b) Comprueba Ia medida de los ladosy calculalas ra-zones: AB,/A'B' BC,/B'C' CA/C'A". *

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\ r\¡r-3cm

Como has podido adivinar por estos dos ejercicios, dos figuras semejantes tienen pro-piedades importantes:

Los ángulos correspondientes son iguales (Á:Á'; B:E'; e :e',...)

- Los lados correspondientes son proporcionales AB - BC : CDA'B' 'B'C' C'D'

La razón de proporcionalidad se llama razén de semejanza de las dos figuras. Así en

el primer ejercicio, larazónde semejanza del cuadriláteroQ al cuadrilátero Q'es 2 (los

lados de Q son el doble quelos lados de Q').En el segundo ejercicio larazón de semejanza

del triángulo T al triángulo T' es 7/3 (los lados de T son un tercio de los lados de T').

¡Atención! La razón también se puede expresar a la inversa: la razón de semejanza<iel cuadrilátero Q' al cuadrilátero Q es l/2, mientras que la razón de semejanza del trián-gulo T' al triángulo T es 3.

Como ya habrás intuido la escala de un plano o de un mapa es la razón de semejanzadel dibujo respecto a la realidad.

Ahora si sabes que dos figuras son semejantes y conoces la razón de semejanza y loslados de una de ellas, puedes calcular los lados de la otra-

* Sabiendo que la razón de semejanza del trapecio Trespecto al trapecio T' es 5/4, calcula las dimensiones deT' ,*

5. Rectángulos semejantes

* Dibuja los rectángulos de dimensiones:R: 2 cm de altura y 3 cm de anchuraR': 5 cm de altura y 7,5 cm de anchura¿Te parece que son semejantes?Recuerda que en el apartado I de este tema vimos que

dos rectángulos eran semejantes si tenían la misma ra-zón altura/anchura.

Averigua si son semejantes los rectángulos R y R'. *

, "Parasaber si dos rectángulos son semejantes también lopodemos hacer gráf icament§,Observa las figuras:

coA

Los dos rectángulos no son semejantes:OB y OB no coinciden

Los dos rectángulos son semejantes: lasdiagonales coinciden

Los dos ratángulos no son semejantes:las diagonales no coinciden

Si recortamos los rectángulos también podemos intentar hacerlos coincidir como indi-ca la fotografía:

I

Los dos rectángulos son semejantes:

* Aplica "rto,

*étodos a tus rectángulos R y R'. *

* Averigua gráficarnente si los dos rectángulos de di-mensiones 3x5 cm y 7x ll cm son semejantes. *

* Queremos enmarcar un cuadro de dimensiones45 x 60 cm con un marco de 2,5 cm de ancho. Indica silos contornos exterior (ABCD) e interior (A'B'C'D') sonsemejantes. *

é. Triángulos semejantes

Hemos visto que dos fi-euras son semejantes si tienen los ángulos correspondientes igualesy los lados correspondientes proporcionales. En el caso de los triángulos hay suficienteuon una de estas condiciones para afirmar que dos triángulos son semejantes. Así pode-ntos dccir:

Oriferio l: Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, son semcjantes.(lriterio 2: Si dos triángulos tienen los tres lados correspondientes proporcionales, son

rc trtc.i:r rr t es.

* Di si los siguientes triángulos son semejantes; dibúr-jalos y comprueba que tienen los ángulos iguales:

Triángulo T: AB:6 CM, BC:9 cm, CD:7,5 cm

Triángulo T': A'B': l0 cm, B'C': l5 cm,C'D':12,5 cm *

* De los siguientes triángulos conocemos los ángulosindicados; ¿Puedes afirmar que son semejantcs?

C

* 'Ieniendo ehtuenta que la suma de Ios ángulos de to_dos los triángulos es igual a lg0o, enuncia de nuevo elcriterio I de la semejanza de triángulos, ** ¿Cómo son todos los triángulos equiláteros? Razo-na tu respuesta. *

.* Di si los siguientes triángulos rectángulos son seme_jantes y justifica tu respuesta:

* Vuelve a enunciar el criterio I para los triángulosrectángulos *

La idea de triángulos rectángulos semejantes ya fue ernpleada por el griego Tales (sigl,VI a'C.) para medir'alturas de edificios, utilizando prl"rJ-iáilndo sus scmbras. I,lstcprocedimiento seguramente lo aprendieron de los egipcior v.riá Úurado e¡ la idea J" l¡,i.todos los rayos de sol son paralelos y por lo tanto ro.áan ¿og"lor lÁrules con la horizontal.

\\

E@E

sombra del edificio sombra del palo

* a) Entre los tríángulos ABC y A'B'C', ¿qué ángulos

son iguales y cómo 1o sabes?

b) Escribe la proporción entre los lados de los dos

triángulos.c) Si el palo mide 40 cm y su sombra 25 cm, y si la

sombra del edificio mide 5,2 m, calcula la altura AC del

edificio. *

* Puedes utilizar este método para calcular la altura de

tu escuela. *

7. Razén de semejanza en los triángulos

-

- Razén de las alturas de dos triángulos semejantes

* Los dos triángulos d§ la figur¡ son semejantes, ya que

tienen Ios ánguloi Á : A' y B : B'. Queremos encontrarcuál es la razón de las alturas h : h'. Calcula la razón de

semejanza de tstos clos triángulos' Ahora compara los

dos tiiángulos ACH y A'C'H'. Ya púedes calcular la ra-zónh:h'. *

A

En general, cuando la razón de semejanza entre dos triángulos es un número r: n/n'

B

razón de dos lados correspondientes, la razón de las¡alturás es la misma:

h/h':n/n':r* Calcula la base de un triángulo de altura 6 cm seme-jante a un triángulo de base 12 cm y altura 8 cm. *

- Razón de los perímetros y de las áreas de dos triángulos semejantesEn la figura siguiente tenéis 5 triángulos equiláteros y, por lo tanto semejantes (recuer.

da que tienen los tres ángulos iguales a 60o). Todos están dibujados sobre una pauta dctriángulos equiláteros de lado I cm. Por lo tanto podremos calcular fácilmente sus perl.metros y cuántas veces cada triángulo contiene el triángulo unitario A, de lado l.

AA A

B

* Para cada par de triángulós:indicados en el cuadro,calcula larazónde semejanza,larazón de los perímetrosy la razón de las áreas. El par C-B quiere decir que tienesque calcular larazón del triángulo C respecto al triángu-lo B.

Compara las razones de los perímetros y las razonesde las áreas con las razones de semejanza. *

En el último ejercicio has podido comprobar que la razón de los perímetros de dostrlángulos semejantes es igual ala razón de semejanza y que la razón de las áreas es igual¡ iu cuadrado. Por lo tanto si P y P' son ios perímetros de dos triángulos y S y S' son

sus áreas podemos escribir:

=f2

si r es la razón de semejanza del triángulo T respecto al triángulo T'.

,' rt Los lados de un triángulo miden 9,6 y 12 cm.a) ¿Cuánto miden los de un triángulo semejante si la

razón de semejanza vale 2/32b) Calcula lá razón de los perímetros.c) Dibuja los dos triángulos y traza la altura corres-

pondiente al lado más.largo. Midelas alturas y compruebaque su razón es también il3.

c) Calcula las áreas de los dos triángulos y encuentrasu razón. *

P-- S

P' S'

* Sabiendo que cada par de triángulos de Ia figurguiente son semejantes, encuentra el valor de x:

ll'4'6 1

8. Aplicaciones de las semgjanzas

Se pueden utilizar las semejanzas de triángulos en múltiples aplicaciones prácticas: pmamedir alturas, para calcular distanciai, etc. Muy a menudo se obtienen Zir*ln$dojroc-tángulos con un ángulo común como en el caso de la ñgura:

a si-

N4

* El obelis"c es un rnonumento religioso propio delEgipto faraónico y representa para unos la imagen estili-zada d.e un rayo de sol, ylara otros el dedo de Dios, lasalturas varían entre los l9 y los 37 m- En el dibujo pue-des ver cómo colocando de rnanera adecuada nuestrasombra respecto a la sombra del obelisco, podernos cal-cular su altura. Es preciso que avancemos o retroceda-mos en Ia dirección OB de la sombra del obelisco hastaque el extremo de su sombra y la nuestra coincidan (elpunto O).

Ahora podrás calcular la altura AB del obelisco. Su-pón que la observadora micle l,6O m (A'8,) y ha efec-tuado las medidas de 15 m (OA) y t m (OA') de las

. sombras. *

\

* También se pueden utilizar aparatos que permitan de-terminar triángulos rectángulos semejantes. Observa eldibujo siguiente y verás que te puedes construir uno muyfácilmente.

plomada

Calcula la altura de un árbol si has medido:OA: 3 cm, OA': 15 m, A'B' :4,3 m.Necesitas otro dato: la altura del observador es

1,7 m. *

TANTAS VECES COMO QUERAMOS

. . ulu.d. las aplicacione¡ {e la proporcionalidad geométrica es Ia ampliación y reduc-ción de figuras. Para hacerlo hay diferentes-procedimientos, algunos de los cuales ya cooo-ces (cuadrículas, escalas.' etc). Ahora trabajáremos un método-distinto, la homotecia. pa.ra hacerlo necesitarás el material siguienté:

- lápiz

- goma

- cornpás

- hoja grande

- lotogralíaSi queremos aplicar una homotebia al triángulo ABC ten€mos que empezar escogiendouncentrc (o) que puede estar situado en cualquier punto del planojd"rpr!, o p*.irlr-ñicuántas veces queremos ampliar Iá figura (en este caso lo ha.*mos con una razón ¡=ll,

Seguidamente trazaremos semirrectas que salgan de o y que pasen por Ia figura. En e¡tccaso sólo necesitaremos tres que pasen por lol vértices, pr", i,n-trlangulo siémpr. q"J;definido por tres puntos.

oX

'ogiendo el compás y haciendo centro en O tomamos las medidas Oe OB y OC y las rrans-ortamos tres veces (r:3).A partir de O obteniendo los puntos A'B'i'.

Iticnclo A'B' y C' obtenemos el triángulo homotético A'B'C' que tiene los lados tres \.e-r tnás grandes que el original ABC.

Ahora que ya sabes cómo funciona este método te sugerimos que enganches en unarJn ¡rande una fotografía que te guste y que la amplíes tan"tas ,.."r.o*o quieras, procu-ndo scr pulido y preciso en el momentó de dibújar.

TEMA 7:

CUERPOS DEL ESPACIO: VOLUMEN Y CAPACIDAD

Si observamos uno figura plana podemos distinguir su sonssrno, que llamamos perí-metro y su superficie que es aquella porte del planó ¿et¡m¡uas por e[ conforno. Dá unamanero similqr, al observar un cuerpo en el espacio distingaim:*s errtre su superficie, queen este csso es el contorno, es decir oquello que delimita d cuwnto, y su volimán, qrá

",el espacio que ocupa el cuerpo.Muchas veces no se habts de volumen sino de capacidaúgue es despocio que contiene

un cuerpo en su interior. Aunque la distinción entrb volutwn y rapcidad es'muy psqr.ñq, este último rérmino lo usamos para medir el volumen dekw iqrnao o de u:í;;;, ;,que^éstos a dderencia de los sótidoi, no tíenen una forma &te*wtifua sino qry oáiptinla forma del recipiente que los confiene- En este tema vetsnos qué quiere dicir meáir etvolumen de un cuerpo del espacio y qué unidades utitizanas fira ealcular voiúmenes.

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iiñoror rres veces 1r:3). A partir de 0 obteniendo los puntos A'B'C'-

TEMA 7:

CUERPOS DEL ESPACIO: YOLUMEF§ Y CAPACIDAI)

Si observornos una figura plana podemos distinguir sa €on6t rns, que llamamo¡ Perí'metro y su superficie tiué es aquelli parte del ptano delirnitade porel contorno. De una

mone* similár, ál obsbrva, ui cuerpo en el espacio dixingrirnw erEtre su superficie, que

en este caso eS el contorno, es decir aquello que delimiÍa d euerpo, y su volumen, que es

el espocio que ocupa el cuerpo.i4uchai reces io se habla de volumen sino decapacídaúquees despacio que contiene

un cuerpo en su interior. Aunque la distineión entre volun*n y xaryidad es,muy peque'ña, esté úttimo término to usimos paro rnedir el volumen de wa líquido o de un gas, yaque éstos a diferencia de los sólidos, no tíenen unoforma &terwtida sino que adoptania formo det iecipiente que los contiene- En este tema verwta.s qué quiere decir medir elvolumen de un iuerpo clel espacio y qué unidades utitizamos gwra ealcular,volúmenes.[J¡pndo A'B'y C' obtenemos el triángulo homotético A'B'C' que tiene los lados tres ve-

ces riás grandes que el original ABC.

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Cogiendo el compás y haciendo centro en O tomamos las medidas OA Og y OC y las rrans-portamos tres veces (r:3).A partir de O obteniendo los puntos A'B'C'.

Uniendo A'B'y C' obtenemos el triángulo homotético A'B'C' que tiene los lados IrL's vc-ces más grandes que el original ABC.

Ahora que ya sabes cómo funciona este método te sugerimos que enganchcs cn unahoja grande una fotografía que te guste y que la arnplíes tantas veces como quieras, procu-rando ser pulido y preciso en el momento de dibujar.

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TEMA 7:

CUERPOS DEL ESPACIO: YOLUM§N Y CAPACIDAI)

Si observarnos una figura plana podernos distinguir sw €on§rl.tnú, que llamomos pert-metro y su superficie que es aquella porte del plono delimigads por el contorno. De unamonero similar, al obseryar un cuerpo en el espacio distingrimw entrs su superficie, queen este coso es el contorno, es decir oquello que delimita d cuerpo, y su volumen, que esel espacio que ocupa el cuerpo.

Muchas veces no se hablo de volumen sino de capacídaúquees despocio que contieneun cuerpo en su interior. Aunque ls distinción entre volutwt y taryidad es muy peque-ña, este último término lo usomos para medir el volumen de wn líquido o de un gas, yoque éstos a diftrencia de los sólidos, na tienen una forma deterwtincda sino que adoptanla forma del recipiente que los contiene- En este tema yerw¡ta,s qué quíere decir medir elvolumen de un cuerpo del espacio y qué unidades utilizsñas para u[cular polúmenes.

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