7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

1/21

ct 11 : Reconocimiento Unidad 3

NTRODUCCION A LA UNIDAD: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

En este tema se trata nicamente de efectuar un breve repaso de las series de potencias. Se expondrn los conceptos y propiedades, sin realizar las demostraciones.

Se suponen conocidas las series numricas y tambin los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias.

una serie es la suma de los trminos de una sucesin. Se representa una serie con trminos an como donde N esel ndice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los nmerosnaturales, es decir, .

Las series convergen o divergen . En clculo, una serie diverge si no existe o si tiende a

infinito; converge si para algn .

Algunos tipos de series Una geomtrica es una serie en la cual cada trmino se obtiene multiplicando el anterior por una constante.

Ejemplo (con constante 2):

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

2/21

En general, para las series geomtricas

slo si | z | < 1. La armnica es la serie

La serie armnica es divergente. Una alternada (O Serie telescpica ) es una serie donde los trminos alternan el signo. Ejemplo:

Sumas conocidas

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

3/21

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un nmero real o si diverge ( u oscilante). Para esto existendistintos criterios que, aplicados a la serie en cuestin, mostrarn de que tipo es (convergente o divergente).

Condicin del resto

Si una serie es convergente, entonces .

El recproco no es cierto. El contra recproco es:

Si entonces es divergente.

Esta afirmacin es muy til, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el lmite es distinto de cero.

Demostracin:

Por Hiptesis:

S k = a 1 + a 2 + ... + a k

para todo s ? ?

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

4/21

Sabemos que S k ? 1 = a 1 + a 2 + ... + a k ? 1 y que para todo s ? ?

Por lo tanto teniendo en cuenta que S k ? S k ? 1 = a k entonces

Queda demostrada la proposicin.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente

Sea una serie , tal que a k > 0 ( serie de trminos positivos).

Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

si l < 1, la serie converge. si l > 1, entonces la serie diverge.

si l = 1, no es posible decir nada sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

5/21

Criterio de Cauchy (raz ensima)

Sea una serie , tal que a k > 0 (serie de trminos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

l < 1, la serie es convergente. l > 1 entonces la serie es divergente.

l =1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparacin, para ver si podemos llegar a alguna conclusin.

Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raz nos permitan determinar laconvergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie , tal que a k > 0 (serie de trminos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

6/21

Por tanto, si l > 1, entonces la serie es convergente y si l < 1, la serie es divergente

Tened cuidado aqu, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raz.Criterio de la integral de Cauchy

Si f ( x) es una funcin positiva y montona creciente definida en el intervalo [1, ?) tal que f (n) = a n para todo n,

entonces converge si y slo si es finita.

Criterio de Leibniz

Una serie de la forma (con ) se llama alternada . Tal serie converge si se cumplen las siguientescondiciones:

a) para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:

Si esto se cumple la serie es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

7/21

Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Serie geomtrica

Dada la serie puede afirmarse que:

Si |r|=1 la Serie Diverge

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra sere tal que se conozca su condicin, tal como la divergencia parala sere geometrica. Entonces:

Criterio de comparacin directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si

Si converge converge

Si diverge diverge

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

8/21

Criterio de comparacin por paso al lmite del cociente

Entonces:

Si l = 0 y converge converge

Si y diverge diverge

En otro caso, ambas series comparten la misma condicin (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

Tipos de convergencia

Convergencia absoluta

Una serie alternada a n converge absolutamente si

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.

Las series se utilizan en el anlisis complejo y el anlisis funcional, donde es relevante si una serie converge. Aquifaltan otras.

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

9/21

No olvides revisar el modulo para profundizar en la temtica.Continuar

La serie armnica es:

Decreciente

Convergente

Creciente

Divergente

Su respuesta :

Divergente

Correcto.!Felicitaciones!

na serie alternada a n converge absolutamente si

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

10/21

A. Es una serie convergente.

B. Es una serie divergente.

C. Es una Serie hipergeomtrica

D. Es una serie infinita

A

B

D

C

Su respuesta :

A

CORRECTO

Una serie es

A. Una suma de los trminos de una progresin

B. Una suma de los trminos de una sucesin

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

11/21

C. Un grupo de terminos de una progresin

D. Un grupo de terminos de una sucesin

C

B

D

A

Su respuesta :

B

CORRECTO

lasificar una serie es determinar

A. si converge a un nmero real o imaginario

B. si diverge a un nmero real o imaginario

C. si converge a un nmero real o si diverge

D. si es diferenciable o integrable

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

12/21

B

A

C

D

C

CORRECTO

ONTENIDOS DE LA UNIDAD: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

CONTENIDO: ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

UNIDAD 3 - ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALESGENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES.SERIES DE POTENCIASFUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS

En matemticas, una serie es la suma de los trminos de una sucesin. Se representa una serie con trminos an comodonde N es el ndice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos losnmeros naturales.

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

13/21

Las series convergen o divergen. En clculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito.

Completamos este material didctico con la tercera unidad cuyo objetivo final nos dar las tcnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales lineales con coeficientes variables, utilizando para ello las series. Definimos el concepto de

punto ordinario y punto singular regular.

Realicemos un paseo en el contenido de la unidad. Analiza el siguiente link: CONTENIDO UNIDAD 3 FUNCIONESESPECIALES Y SERIES MATEMATICASUna de las principales aplicaciones de las series en el curso de ecuaciones diferenciales es:

Encontrar funciones especiales.

La resolucin de ecuaciones diferenciales.

Encontrar el primer y ltimo trmino de una sucesin.

Hallar cuando crece y cuando decrece una funcin.

Su respuesta :

La resolucin de ecuaciones diferenciales.

Correcto.!Felicitaciones!

http://campus02.unadvirtual.org/moodle/file.php/15/TERCERA_UNIDAD/Tercera_Unid.ppthttp://campus02.unadvirtual.org/moodle/file.php/15/TERCERA_UNIDAD/Tercera_Unid.ppthttp://campus02.unadvirtual.org/moodle/file.php/15/TERCERA_UNIDAD/Tercera_Unid.ppthttp://campus02.unadvirtual.org/moodle/file.php/15/TERCERA_UNIDAD/Tercera_Unid.ppt

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

14/21

abrs observado que los polinomios aproximaban ms a la funcin cuando ms trminos tengan.

Cabe entonces la siguiente pregunta: Si los polinomios contuvieran una infinidad de trminos, seran idnticos a la

funcin en todo su dominio?Dicho de otra manera, podramos representar a una funcin mediante una serie infinita de potencias de x o de (x-a) ?

A. La respuesta es afirmativa para ciertas funciones

B. La respuesta es afirmativa

C. La respuesta es negativaD. No se puede representar

A

B

C

D

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

15/21

Su respuesta :

A

CORRECTO

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

16/21

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

17/21

A

D

B

C

u respuesta :

D

CORRECT

Si { a } es una sucesin infinita, entonces a(1)+a(2)+a(3)+...+a +... se llama serieinfinita , o simplemente serie . Los nmeros a(1), a(2), a(3), ... se llaman

A. coeficientes de la serie

B. variables de la serie

C. trminos de la serie

D. soluciones de la serie

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

18/21

B

D

C

A

Su respuesta :

C

CORRECTO

PLICACIONES DE LA UNIDAD:ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

APLICACIONES ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

Muchas funciones especiales se originan como soluciones a Ecuaciones diferenciales o a integrales de funcioneselementales. Por lo tanto, las tablas de integrales por lo general incluyen una descripcin de funciones especiales, ytablas de funciones especiales mas integrales importantes; por lo menos, la representacin integral de las funcionesespeciales.

la serie de Taylor de una funcin f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto ( a-r , a+r )

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

19/21

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo ( a -r , a+r ) y la suma es igual a f ( x), entonces la funcin f ( x)se llama analtica . Para comprobar si la serie converge a f ( x), se suele utilizar una estimacin del resto del toerema detaylor. Una funcin es analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esaserie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin .

Esta representacin tiene tres ventajas importantes:

La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin.

Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de una funcin a una serie de Taylor, es la ptima aproximacin posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad En estos casosnormalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x.

La aplicacin de mayor utilidad para abarcar en el curso es la solucin de Ecuaciones diferenciales mediante series de potencias.

No olvides profundizar la temtica conla ayuda delmodulo en lnea.Para resolver esta pregunta consulta en Google o en el material entregado lo referente a aplicaciones de Bessel o consulta en wikipedia .org

( ver Electromagnetismo).

La Ecuacin de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuacin de Laplace o a la ecuacin de Helmholtz por el mtodo de separacin de variables encoordenadas cilndricas o esfricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagacin de ondas, potenciales estticosy cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetras cilndricas o esfricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadascilndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (? = n) y en problemas resueltos en coordenadas esfricas, se obtienen funciones de Bessel de orden

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

20/21

semientero (? = n + 1 / 2)

La Ecuacin de Bessel genera una aplicacin en:

Conduccin del calor en cualquier objeto

Modos de vibracin mecnica rectangular

Ondas electromagnticas en guas de onda cilindrca

Ondas electromagnticas en guas de onda plana

Ondas electromagnticas en guas de onda cilindrca

Correcto.!Felicitaciones!

Una funcin especial es una funcin matemtica particular, que por su importancia en el campo del anlisis matemtico, anlisis funcional, la fsica y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones ms o menos establecidos.

No existe una definicin general de las mismas, pero la lista de funciones matemticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales son tambin consideradas funciones especiales. De acuerdo al material didctico se puede decir:

A. Muchas funciones especiales se originan como soluciones a ecuaciones diferenciales o integrales de funciones elementales

B. Muchas funciones especiales se originan como soluciones de funciones elementales

7/30/2019 Reconocimiento Unidad 3 Ecuaciones

21/21

C. Muchas funciones especiales son soluciones elementales

D. Muchas funciones especiales se originan como soluciones derivables de funciones elementales

A

D

C

B

A

CORRECTO