Recenzenti Za izdava~a - uciteljicabojana.weebly.comuciteljicabojana.weebly.com/uploads/4/1/2/1/41216623/matematika-3_d... · Recenzenti prof. dr Milan Taskovi}, Matemati~ki fakultet

�

�

Recenzentiprof. dr Milan Taskovi}, Matemati~ki fakultet u Beogradumr Sini{a Je{i}, asistent Elektrotehni~kog fakulteta u BeograduQiqana Novkovi}, nastavnik razredne nastave u O[ ,,Drinka Pavlovi}ß u Beogradu

Za izdava~aMiodrag Dragani}

Glavni urednikNikola Strajni}

Urednik izdawaRadivoj Nikolajevi}

Ministar prosvete i sporta Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog uybenika u tre}em razredu osnovne {kole re{ewem broj 6-00-00237/2005-06 od 15. 5. 2005. godine

ISBN 86-441-0625-2

�

Marko M. Igwatovi}

MATEMATIKAza tre}i razred osnovne {kole

• DRAGANI] •Beograd, �007.

�

�. Prirodni brojevi do � 000 ............................................................................... 6 1. Brojevi prve stotine ..................................................................................... 6 2. îtawe i pisawe stotina prve hiqade ...................................................... 7 3. Upore|ivawe stotina do 1 000 .................................................................... 9 4. îtawe i pisawe brojeva do 1 000 ............................................................ 11 5. Pisawe trocifrenog broja u obliku zbira vi{estrukih

stotina, desetica i jedinica, a · 100 + b · 10 + c...................................... 17. 6. Upore|ivawe brojeva prve hiqade ........................................................... 18 7. Rimske cifre. Pisawe brojeva do 20 ....................................................... 20 8. Rimske cifre. Pisawe brojeva do 1 000 .................................................. 22

�. Merewe duìne ................................................................................................ �� 1. Metar, decimetar i centimetar ................................................................ 24 2. Merewe duìne – milimetar i kilometar .............................................. 26

�. Sabirawe i oduzimawe brojeva do � 000 .................................................... �8 1. Sabirawe i oduzimawe desetica. Sabirawe i oduzimawe stotina ..... 28 2. Sabirawe dvocifrenih brojeva ................................................................ 31 3. Zamena mesta i zdruìvawe sabiraka ..................................................... 32 4. Sabirawe trocifrenog i jednocifrenog broja ....................................... 34 5. Oduzimawe jednocifrenog broja od trocifrenog ................................... 36 6. Sabirawe trocifrenog i dvocifrenog broja .......................................... 38 7. Oduzimawe dvocifrenog broja od trocifrenog ...................................... 40 8. Sabirawe trocifrenih brojeva ................................................................ 42 9. Oduzimawe trocifrenih brojeva .............................................................. 45 10. Zavisnost zbira od sabiraka. Stalnost zbira ........................................ 48 11. Zavisnost razlike od umawenika i umawioca. Stalnost razlike ....... 51 12. Zadaci sa dve i tri operacije. Sabirawe i oduzimawe ......................... 53 13. Sabirawa i oduzimawa. Jednakost ........................................................... 55 14. Jedna~ina. Izra~unavawe nepoznatog sabirka ....................................... 57 15. Jedna~ine. Izra~unavawe nepoznatog umawenika ili umawioca ......... 58 16. Nejedna~ina .................................................................................................. 60

�. Ta~ka, prava i ravan ........................................................................................ 6� 1. Ta~ka i prava. Poluprava i du` ................................................................ 62 2. Ravan ............................................................................................................. 65 3. Ravan, prava i ta~ka ................................................................................... 66 4. Prav ugao. Crtawe pravog ugla .................................................................. 68 5. Normalne prave ........................................................................................... 70 6. Paralelne prave ......................................................................................... 72

5. Krug i kru`nica ............................................................................................... 7� 1. Krug ................................................................................................................ 74 2. Crtawe kru`nice i kruga ........................................................................... 75 3. Upore|ivawe duì ...................................................................................... 77 4. Grafi~ko nadovezivawe duì ................................................................... 79

6. Merewe ............................................................................................................... 80 1. Merewe mase ................................................................................................ 80 2. Merewe zapremine te~nosti ...................................................................... 82 3. Merewe vremena .......................................................................................... 84

Sadràj

5

7. Mnoèwe i deqewe ......................................................................................... 88 1. Mnoèwe i deqewe .................................................................................... 88 2. Mnoèwe brojem 10 i brojem 100 ............................................................... 90 3. Deqewe brojem 10 i brojem 100 ................................................................. 92 4. Zamena mesta ~inilaca. Zdruìvawe ~inilaca ..................................... 94 5. Mnoèwe i deqewe zbira ......................................................................... 96 6. Mnoèwe vi{estruke desetice jednocifrenim brojem ......................... 98 7. Mnoèwe dvocifrenog broja jednocifrenim .......................................... 99 8. Deqewe dvocifrenog broja jednocifrenim .......................................... 101 9. Mnoèwe trocifrenog broja jednocifrenim ........................................ 104 10. Deqewe stotina i vi{estrukih desetica

jednocifrenim brojem .............................................................................. 106 11. Deqewe trocifrenog broja jednocifrenim .......................................... 108 12. Zavisnost proizvoda od ~inilaca. Stalnost proizvoda ..................... 111 13. Veza mnoèwa i deqewa. Jednakost ...................................................... 113 14. Jedna~ina. Izra~unavawe nepoznatog ~inioca ..................................... 115 15. Jedna~ine. Izra~unavawe nepoznatog deqenika ili delioca ........... 116

8. Ugao ................................................................................................................... ��8 1. Ugao. Uo~avawe, crtawe i obeleàvawe uglova ................................... 118 2. Vrste uglova ............................................................................................... 120

9. Pravougaonik i kvadrat ............................................................................... �� 1. Uo~avawe pravougaonika i kvadrata ...................................................... 123 2. Pravougaonik i kvadrat – uglovi i stranice ......................................... 124 3. Crtawe pravougaonika i kvadrata na kvadratnoj mreì ..................... 126 4. Crtawe pravougaonika i kvadrata trougaonikom i lewirom .............. 128 5. Crtawe pravougaonika i kvadrata {estarom i trougaonikom ............. 130 6. Obim pravougaonika i kvadrata .............................................................. 132

�0. Matemati~ki izrazi ..................................................................................... �� 1. Izrazi. Redosled operacija. Zagrade ..................................................... 134 2. Izrazi sa dve razli~ite operacije ......................................................... 135 3. Izrazi sa tri operacije ............................................................................ 136 4. Izrazi sa promenqivom ........................................................................... 138

��. Trougao ........................................................................................................... �� 1. Trougao. Uo~avawe trougla ...................................................................... 141 2. Crtawe trougla .......................................................................................... 142 3. Obim trougla .............................................................................................. 145

��. Razlomci ........................................................................................................ ��9

1. Razlomci. 1

2

1

4

1

8, , .................................................................................... 149

2. Razlomci.

1

5

1

1 0

1

1 00

1

1 000, , , ........................................................................................ 152

3. Razlomci.

1

3

1

6

1

9

1

7, , , ............................................................................... 154

6

1Na slici je kvadrat podeqen na kvadrati}e.

1) Koliko kvadrati}a ima u svakom redu?

2) Koliko ima redova kvadrati}a?

3) Koliko ima ukupno kvadrati}a?

4) U svaki kvadrati} upi{i po jedan broj niza brojeva prve stotine.

5) 100 jedinica = desetica = stotina.

Popuni tabelu.

Prethodnik 42 61 69

Broj 37 31 90

Sledbenik 42 58 100

Napi{i:

1) sve parne brojeve ~etvrte desetice ;

2) najve}i neparan broj osme desetice ;

3) najmawi paran broj devete desetice .

Zapi{i brojeve koji nedostaju u nizu:

1) 35, 40, 45, , 85;

2) 47, 50, 53, , 98;

3) 75, 70, 65, , 20;

4) 10, 20, 30, , 100.

1

1

Prirodni brojevi do �000

BROJEVI PRVE STOTINE

1.

2.

3.

4.

7

Svaki od slede}ih kvadrata sadrì 100 kvadrati}a.

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 100

100 100 100 100

100 100 100

100 100

100, ~itamo: jedna stotina ili sto

2 · 100 = 200 (2 S ili 20 D)dve stotine ili dvesta

3 · 100 = 300 (3 S ili 30 D)tri stotine ili trista

4 · 100 = 400 (4 S ili 40 D)~etiri stotine ili ~etiristo

5 · 100 = 500 (5 S ili 50 D)pet stotina ili petsto

6 · 100 = 600 (6 S ili 60 D){est stotina ili {eststo

7 · 100 = 700 (7 S ili 70 D)sedam stotina ili sedamsto

8 · 100 = 800osam stotinaili osamsto

9 · 100 = 900, devet stotina ili devetsto

10 · 100 = 1 000, (10 S, 100 D ili 1 X) deset stotina ili hiqada

2 ÎTAWE I PISAWE STOTINA PRVE HIQADE

8

1Pro~itaj broj i zapi{i ga re~ima:

400 700

900 1 000

300 800

500 600

Napi{i ciframa broj:

trista sto petsto

osamsto hiqadu ~etristo

sedamsto dvesta {eststo

Zapi{i stotine koje nedostaju u nizu:

100

900

500

800

800

500

400

1) , , 300 , , , 600 , , , ,

2) , 400, , , 700 , , ,

3) , 900 , , , , , 400, , , .

Broj izrazi deseticama i stotinama:

300 = 30 D = 3 S 500 = 900 =

700 = 400 = 800 =

100 = 1 000 = 600 =

1.

2.

3.

4.

9

3 UPORE\IVAWE STOTINA DO 1 000

Uporedi brojeve, u kvadrati} izme|u dva broja upi{i znak < , > ili = tako da napisani odnos (jednakost, nejednakost) bude ta~an:

1) 5 6, 7 3, 48 26;

2) 7 D 5 D, 6 D 58, 75 8 D.

100 100

Broj 500 ima 5 stotina, a 400 ima 4 stotine, pa je

5 S > 4 S, 50 D > 40 D, 500 > 400.

Brojevi vi{estrukih stotina prve hiqade prikazani su na brojevnoj pravoj.

1000 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000

1) Od brojeva 500 i 600, koji je levo, a koji desno?

Uporedi ih.

2) Koji je broj stotina prethodnik, a koja stotina sledbenik broja 300?

, 300,

1.

2.

3.

�0

1U kvadrati} izme|u dva broja upi{i jedan od znakova, > , < ili = tako da napisani odnos brojeva (jednakost, nejednakost) bude ta~an.

1) 500 300, 400 700, 900 600, 700 200;

2) 800 8 S, 50 D 600, 7 S 60 D, 9 S 40 D.

Popuni tabelu.

500 700

300 200

1000 800

Stotina prethodnik

Broj

Stotina sledbenik

Prema prikazu na brojevnoj pravoj uporedi (i zapi{i) strelicom pove-zane brojeve.

100

0 300500

600 700 800900

1 000 400200

1) 200 < 600; 2) ;

3) ; 4) .

Odnos brojeva prikaì na brojevnoj pravoj:

1) 200 < 800; 2) 600 > 300;3) 700 > 300; 4) 400 < 1 000.

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000

4.

5.

6.

7.

0

��

4 ÎTAWE I PISAWE BROJEVA DO 1 000

Kvadrati}em smo prikazali jedinicu.

Deset jedinica =

Pravougaonikom (trakom) prikazali smo deseticu.

Deset desetica =

Kvadratom smo prikazali stotinu.

Deset stotina =

Brojevi su prikazani kvadratima (stotine), pravougaonicima (desetice) i kvadrati}ima (jedinice).

90 + 9 = 99, ~itamo:

100 + 1 = 101, ~itamo: sto jedan;

1.

2.

��

1100 + 10 = 110, ~itamo: sto de-set

100 + 12 = 112, ~itamo: sto dvanaest

100 + 90 = 190, ~itamo: sto de-vedeset

100 + 99 = 199, ~itamo: sto de-vedeset devet

1) Napi{i ciframa sve brojeve od sto ~etrdeset osam do sto pedeset pet.

200 + 1 = 201, ~itamo:

200 + 12 = 212, ~itamo:

200 + 90 = 290, ~itamo:

200 + 99 = 299, ~itamo:

2) Napi{i ciframa sve brojeve od dve stotine trideset sedam do dve stotine pedeset tri.

��

3) Napi{i ciframa sve brojeve od trista osamdeset {est do trista de-vedeset ~etiri.

4) Napi{i ciframa sve brojeve od tri stotine devedeset osam do ~etiri stotine pet.

500 + 10 = 510, ~itamo:

500 + 12 = 512, ~itamo:

500 + 90 = 590, ~itamo: pet stotina devedeset

500 + 99 = 599, ~itamo:

5) Napi{i ciframa sve brojeve od pet stotina pedeset pet do pet sto-tina {ezdeset dva.

��

1600 + 1 = 601, ~itamo:

6) Napi{i ciframa sve brojeve od {est stotina tri do {est stotina devet.

600 + 40 = 640, ~itamo:

600 + 42 = 642, ~itamo:

7) Napi{i ciframa sve brojeve od {est stotina trideset {est do {est stotina ~etrdeset ~etiri.

8) Napi{i ciframa sve brojeve od sedamsto trideset {est do sedamsto ~etrdeset ~etiri.

800 + 60 = , ~itamo:

�5

800 + = , ~itamo:

9) Napi{i ciframa sve brojeve od osam stotina devedeset ~etiri do devet stotina tri.

10) Napi{i ciframa sve brojeve od devetsto osamdeset osam do hiqadu.

Brojeve i wihove dekadne jedinice moèmo pisati u tabelama.

Hiqade Stotine Desetice Jedinice

X S D J

4 7 8

1 0 0 0

8 6 3

7 4 5

Broj

Brojeve zapisane u tabeli zapi{i ciframa i re~ima:

1)

2)

3)

4)

Ako ozna~ava stotine, desetice, jedinice, napi{i ciframa broj prikazan grafi~ki (slikama):

1)

3.

4.

�6

12)

3)

4)

Napi{i brojeve:

1) od 196 do 208

2) od 300 do 312

3) od 892 do 903

Popuni tabelu.

Prethodnik 204 339 598 700

Broj 183 211 300 450

Sledbenik 291 470 601 856

Napi{i ciframa broj:

1) trista sedamdeset dva 2) ~etiristo dvadeset devet

3) pet stotina devet 4) sedamsto tri

5) dvesta devet 6) osam stotina sedam

1) Brojevi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zapisuju se pomo}u jedne cifre i zato se nazivaju jednocifreni brojevi.

2) Pomo}u koliko cifara se zapisuju i kako se nazivaju brojevi od 10 do 99?

5.

6.

7.

8.

�7

3) Brojevi od 100 do 999 zapisuju se pomo}u tri cifre i nazivaju se tro-cifreni brojevi.

4) Da li je 1 000 trocifreni broj?

Ciframa 3, 7 i 8 zapi{i sve trocifrene brojeve. Svaku cifru moè{ koristiti jedanput ili vi{e puta.

5 PISAWE TROCIFRENOG BROJA U OBLIKU ZBIRA VI[ESTRUKIH STOTINA, DESETICA I JEDINICA, a · 100 + b · 10 + c

Svaki dvocifreni broj moè se zapisati kao zbir desetica i jedi-nica, na primer,

48 = 4 D + 8 J = 4 · 10 + 8 = 4 desetice + 8 jedinica

Kao zbir desetica i jedinica napi{i dvocifreni broj:

1) 27 =

2) 65 =

3) 76 =

4) 83 =

1.

9.

Svaki trocifreni broj moè se zapisati kao zbir vi{estrukih sto-tina, desetica i jedinica, na primer,

548 = 5 S + 4 D + 8 J = 5 · 100 + 4 · 10 + 8 = 5 stotina + 4 desetice + 8 jedinica

Kao zbir vi{estrukih stotina, desetica i jedinica napi{i trocifreni broj:

1) 246 =

2) 725 =

3) 640 =

4) 803 =

5) 900 =

2.

�8

13.

6 UPORE\IVAWE BROJEVA PRVE HIQADE

Napi{i najmawi i najve}i broj:

1) tre}e desetice 2) {este desetice

3) desete desetice 4) prve desetice

Napi{i najmawi i najve}i broj:

1) tre}e stotine 2) {este stotine

3) desete stotine 4) prve stotine

1.

2.

Izra~unaj zbir:

1) 2 · 100 + 7 · 10 + 4 =

2) 6 · 100 + 2 · 10 + 6 =

3) 8 · 100 + 7 · 10 + 6 =

4) 5 · 100 + 5 · 10 =

5) 6 · 100 + 6 =

6) 7 · 100 + 1 =

Koriste}i prikaz nekih brojeva na brojevnoj pravoj, napi{i sve bro-jeve:

350 400

500

650

1) trideset pete desetice

2) {ezdeset osme desetice

3.

�9

Napi{i najmawi paran i najve}i neparan broj:

5) pete stotine 2) tre}e stotine

3) sedme stotine 4) desete stotine

Uporedi trocifrene brojeve sa nejednakim brojem stotina i napi{i ta~nu nejednakost, koristi znak < ili > :

1) 286 i 534, 286 534 2) 623 i 423,

3) 788 i 913, 4) 804 i 678,

Dopuni re~enicu: – Od dva trocifrena broja sa nejednakim brojem sto-

tina ve}i je onaj

Uporedi trocifrene brojeve sa jednakim brojem stotina i napi{i ta~nu nejednakost, koristi znak < ili > :

1) 286 i 234, 286 234 2) 623 i 648,

3) 413 i 488, 4) 804 i 878,

Dopuni re~enicu: – Od dva trocifrena broja sa jednakim brojem sto-

tina ve}i je onaj

Uporedi trocifrene brojeve sa jednakim brojem stotina i jednakim bro-jem desetica i napi{i ta~nu nejednakost, koristi znak < ili > :

1) 286 i 284, 286 284 2) 236 i 234,

3) 623 i 626, 4) 604 i 602,

Dopuni re~enicu: – Od dva trocifrena broja sa jednakim brojem stoti-

na i jednakim brojem desetica mawi je onaj

Trocifrene brojeve 438, 276, 511, 839, 512, 860, 437, 672, 270 i 947 pore|aj po veli~ini:

1) po~ev od najmaweg

2) po~ev od najve}eg

4.

5.

6.

7.

8.

�0

17 RIMSKE CIFRE. PISAWE BROJEVA DO 20

I = 1 XI = 10 + 1 =

II = 1 + 1 = 2 XII = 10 + =

III = 2 + 1 = XIII = 10 + =

IV = 5 – 1 = 4 XIV = 10 + =

V = 5 XV = 10 + =

VI = 5 + 1 = 6 XVI = 10 + =

VII = 5 + 2 = XVII = 10 + =

VIII = 5 + 3 = XVIII= 10 + =

IX = 10 – 1 = 9 XIX= 10 + =

X = 10 XX= 10 + 10 =

Rimske cifre I i X mogu se upotrebiti jedanput, dva puta ili tri puta i dodavati (dopisivati zdesna) cifri ve}e vrednosti, ali se mogu oduzi-mati samo jedanput (dopisivati sleva) od cifre ve}e vrednosti. Cifra V moè se upotrebiti samo jedanput (ne moè se ponavqati) i moè se samo dodavati zdesna cifri ve}e vrednosti.

U prazna poqa tablice upi{i brojeve koji nedostaju.

R XX XIII VII X

A 14 5 12 8

R XVI XVIII VI XV IX

A 4 19 11

Za zapisivawe brojeva koriste se i rimske cifre. Neki rimske cifre oblikovane su prema prstima na ruci.

I = 1 V = 5 X = 10

Rimski broj se pi{e po principu dodavawa – dopisivawa broja zdesna i oduzimawa – dopisivawa broja sleva.

1.

��

Rimskim ciframa zapi{i sve parne brojeve prve desetice.

Rimskim ciframa zapi{i sve neparne brojeve druge desetice.

Izra~unaj i rezultat zapi{i rimskim ciframa:

1) VIII+IV= IX+VI= XII+VII=

2) XIII–VI= XIV–V= XVI–IX=

3) II · VII = VI · III = IV · V =

4) XVIII : II = XV :III= XVI :IV=

Rimskim ciframa zapi{i brojeve koji nedostaju u nizu:

1) II,IV, , ,X, , , , ,XX

2) I,IV, ,X, , ,XIX

3) III,VII, , ,XIX

Imenu meseca pridruì wegov redni broj.

Januar.Avgust .

Novembar .Jul .

Februar .Decembar .

Septembar .Mart .

April .Oktobar .

Maj . Jun .

. I

. II

. III

. IV

. V

. VI

.VII

.VIII

. IX

. X

. XI

. XII

2.

3.

4.

5.

6.

��

18 RIMSKE CIFRE. PISAWE BROJEVA DO 1 000

Pored cifara I, V, X, koriste se kao cifre i neka slova latinice

L = 50, C = 100, D = 500, M = 1 000

Cifre, I, X, C, M su osnovne cifre i mogu se ponavqati (pisati jedna pored druge) najvi{e tri puta.

I = 1, II = 1 + 1 = 2, III = 2 + 1 = 3X = 10, XX = 10 + 10 = 20, XXX = 20 + 10 = 30

C = 100, CC = 100 + 100 = 200, CCC = 200 + 100 = 300M = 1 000, MM = 1 000 + 1000 = 2 000, MMM = 2 000 + 1 000 = 3 000

Cifre, I, X, C ispred cifara ve}ih vrednosti mogu se pisati samo jedanput.

IV = 5 – 1 = 4, IX = 10 – 1 = 9XL = 50 – 10 = 40, XC = 100 – 10 = 90

CD = 500 – 100 = 400, CM = 1 000 – 100 = 900

Cifre V, L, D su pomo}ne i ne mogu se ponavqati.

Desetice prve stotine zapisane rimskim ciframa su:

X = 10 LX = 50 + = 60

XX = 20 LXX = + 20 = 70

XXX = 30 LXXX = 50 + = 80

XL = 50 – = 40 XC = 100 – 10 =

L = 50 C = 100

Rimskim ciframa zapi{i desetice druge stotine.

CX = 100 + 10 = 110

1.

��

Stotine prve hiqade zapisane rimskim ciframa su:

C = 100 DC = 500 + = 600

CC = 200 DCC = + 200 = 700

CCC = 300 DCCC= 500 + = 800

CD = 500 – = 400 CM = 1 000 – 100 = D = 500 M = 1 000

Rimskim ciframa zapi{i:1) desetice ~etvrte stotine;

CCCX = 300 + 10 = 310

2) desetice osme stotine;

DCCX = 700 + 10 = 710

3) desetice desete stotine;

CMX = 900 + 10 = 910

Rimski ciframa zapi{i slede}e brojeve: 46, 147, 248, 349, 450, 567, 678, 789, 890, 938.

2.

3.

4.

��

1Merewe duìne

METAR, DECIMETAR I CENTIMETAR

Za merewe duìne predmeta i rastojawa me|u wima koristimo metar i jedinice mawe od metra. METAR JE OSNOVNA JEDINICA MERE ZA

[email protected] metar, kra}e pi{emo 1 m

merni broj jedinica mere

Na slici su prikazani razli~iti modeli metra, {to zavisi od namene.

Na slici:– metarski {tap obeleì brojem 1,– stolarski metar brojem 2,– kroja~ki metar brojem 3– pantqiku brojem 4.

Mawe jedinice mera od metra su:

decimetar, 1 dm1 m = 10 dm,

centimetar, 1 cm1 dm = 10 cm1 m = 10 dm = 100 cm.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 dm 1 cm

2

�5

Koliko je izmereno rastojawe izme|u dva stabla u dvori{tu?

Meru duìne (rastojawa) zapisali smo brojem i oznakom jedinice mere, 25 m. Broj jedinica mere, ovde 25, nazivamo MERNI BROJ.

Ako meru duìne izrazimo pomo}u vi{e razli~itih jedinica, onda takav broj nazivamo VI[EIMENI BROJ.

Vi{eimeni broj se moè izraziti najmawom jedinicom mere koju smo koristili.

2 m 7 dm 5 cm = 200 cm + cm + cm = cm

Mere izrazi centimetrima:

1 m 5 dm 8 cm =

7 m 2 dm =

6 m 3 cm =

Koliko metara, decimetara i centimetara ima u meri:

536 cm = m dm cm

748 cm =

620 cm =

305 cm =

1.

2.

3.

�6

Da bi merewe malih duìna bilo ta~nije, uvedena je mawa jedinica mere od centimetra – MILIMETAR, 1 mm.

JEDAN CENTIMETAR IMA DESET MILIMETARA

1 cm = 10 mm

1 cm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 dm

10 mm

1cm=10mm 1dm=10cm=100mm 1m=10dm=100cm=1000mm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Duìna kvadra je 63 mm. Izmeri visinu kvadra.

Izmeri duìnu, {irinu i debqinu uybenika matematike.

Duìna [irina Debqina

Ve}e duìne, na primer, udaqenost izme|u pojedinih mesta, mere se kilometrom.

JEDAN KILOMETAR IMA HIQADU METARA1 km = 1 000 m

2 MEREWE DU@INE - MILIMETAR I KILOMETAR

1.

2.

2

�7

Du` od 1 cm na slici predstavqa 1 km u prirodi. Izmeri rastojawe u kilometrima izme|u mesta A, B i C.

Mere izrazi milimetrima:

1dm5cm4mm= .

5dm8cm= .

7dm6mm= .

Koliko decimetara, centimetara i milimetara ima u meri:

374mm= dm cm mm

648mm= .

830mm= .

702mm= .

3.

A B

CAB= km

AC= km

BC= km

4.

5.

Pored puta postavqaju se kameni stubi}i na kojima je ozna~ena kilo-metraà, udaqenost od polaznog mesta puta. Na stubi}e bez broja upi{i potreban broj.

�8

Sabirawe i oduzimawe brojeva do �000

1 SABIRAWE I ODUZIMAWE DESETICA. SABIRAWE I ODUZIMAWE STOTINA

Izra~unaj:

50 + 40 = 50 – 40 = 50 + 30 = 50 – 20 =

70 + 10 = 70 – 60 = 70 + 30 = 70 – 40 =

80 + 10 = 80 – 50 = 80 + 20 = 80 – 60 =

Saberi:

8 + 7 = 8 D + 7 D = 80 + 70 =

+

80 + 70 = (80 + 20) + = + =

80

+

70

20 50

Ra~unaj sa zapisivawem postupka sabirawa:

60 + 50 = (60 + 40) + = + =

90 + 40 = ( + ) + = + =

30 + 90 =

70 + 50 =

Izra~unaj zbir:

40 + 80 = 50 + 90 = 80 + 60 = 60 + 70 =

1.

2.

3.

4.

3

�9

1Izra~unaj:

14 – 9 = 14 D – 9 D = 140 – 90 =

140 – 90 = (140 – 40) – = – =

– 90

– 40 –50

Ra~unaj sa zapisivawem postupka oduzimawa:

110 – 40 = (110 – 10) – = – = ;

150 – 70 = ( – ) – = – = ;

180 – 90 = ;

120 – 60 = .

Oduzmi:

130 – 70 = , 160 – 90 = ,

150 – 20 = , 120 – 50 = .

Izra~unaj razliku:

140 – (60 + 40) = , (140 – 60) + 40 = ,

(150 – 80) – 20 = , 150 – (80 – 20) = .

Napi{i najmawu deseticu prve stotine i najmawu deseticu druge sto-tine, a zatim izra~unaj wihov:

1) zbir ,

2) razliku .

5.

6.

7.

8.

9.

�0

Na slici smo prikazali tri stotine, 300, dve stotine, 200 i pet stoti-na, 500.

Na osnovu prikaza moèmo zapisati jednakosti:3 S + 2 S = 5 S, 2 S + 3 S = 5 S, 5 S – 2 S = 3 S, 5 S – 3 S = 2 S,300 + 200 = 500, 200 + 300 = 500, 500 – 200 = 300, 500 – 300 = 200.

Na osnovu prikaza na slici (~etiri stotine, tri stotine, sedam stoti-na) zapi{i ~etiri jednakosti.

Izra~unaj zbir:

600 + 200 = , 700 + 300 = , 500 + 400 = ,

200 + 700 = , 800 + 100 = , 300 + 500 = .

Izra~unaj razliku:

700 – 200 = , 800 – 300 = , 500 – 400 = ,

1000 – 600 = , 900 – 700 = , 600 – 600 = .

Milan je kupio kwigu ~ija je cena 200 dinara. Prodavcu je dao nov~anicu od 500 dinara. Koliko dinara prodavac treba da vrati Milanu?

10.

11.

12.

13.

14.

3

��

Izra~unaj:

47 + 20 = , 24 + 50 = , 30 + 64 = , 40 + 32 = ,

23 + 54 = , 28 + 56 = , 47 + 53 = , 67 + 16 = .

Izra~una}emo 84 + 60 = .

+

84 + 60 = (80 + 60) + 4 = + = .

Ra~unaj sa zapisivawem postupka sabirawa:

76 + 50 = (70 + 50) + = + = ;

90 + 47 = ( + ) + 7 = + = ;

68 + 80 = ;

70 + 65 = .

Izra~unaj:

68 + 70 = , 80 + 57 = , 95 + 40 = , 72 + 50 = .

Izra~una}emo 84 + 69 =

+

+

84 + 69 = (84 + 60) + 9 = + = .

Prvom sabirku dodamo desetice drugog sabirka, pa wihovom zbiru do-damo jedinice drugog sabirka.

Postupak sabirawa moèmo kra}e zapisivati, ovako (podvla~ewem):

84 + 69 = 144 + 9 = .

2 SABIRAWE DVOCIFRENIH BROJEVA

1.

2.

3.

4.

��

Izra~unaj sa zapisivawem postupka sabirawa:

67 + 78 = (67 + 70) + = + = ,

75 + 96 = ( + ) + 6 = + = ,

86 + 56 = + = ,

94 + 69 = + = .

3 ZAMENA MESTA I ZDRU@IVAWE SABIRAKA

Proveri ta~nost jednakosti:

26 + 48 = 48 + 26 96 + 35 = 35 + 96

= ; = ; 77 + 54 = 54 + 77 83 + 72 = 72 + 83

= ; = .

U ~emu se razlikuje zbir na levoj strani od zbira na desnoj strani jednakosti?

Izme|u Acine i Mirine ku}e nalazi se kru{ka. Rastojawe kru{ke od Acine ku}e je a, a od Mirine b.

MAa b

K

Aca je i{ao da obi|e Miru i vratio se ku}i. Aca je pre{ao put:

u odlasku a + b, u povratku b + a, isto rastojawe izme|u ku}a, pa je

a + b = b + a.

ZAMENOM MESTA SABIRAKA VREDNOST ZBIRA SE NE MEWA.

Upi{i sabirak koji nedostaje da jednakost bude ta~na:

34 + = 80 + 34; 45 + 50 = + 45; + 65 = 65 + 70.

1.

2.

3.

3

��

Re{i jedna~inu:

x+38=38+70 40+y=75+40 56+60=a+56

x= ; y= ; a= .

Zbir tri sabirka 48 + 50 + 36 izra~unaj na dva na~ina:

– prvo, 48 + 50 + 36 = (48 + 50) + = + = ,tj. zbiru prva dva sabirka dodali smo tre}i sabirak;

– drugo, 48 + 50 + 36 = 48 + (50 + ) = + = ,

tj. .

Izme|u Mikine i Anine ku}e nalaze se kru{ka i jabuka. Rastojawe kru{ke od Mikine ku}e je a, rastojawe jabuke od kru{ke je b, a rastojawe jabuke od Anine ku}e je c.

AMa b

Kc

J

Mika i Kaja krenu kod Ane. Mika stane da nabere jabuke, a Kaja da na-bere kru{ke. Put do Anine ku}e oni su ra~unali ovako:

Mika: prvi deo puta a + b, drugi deo puta c, svega (a + b) + c;Kaja: prvi deo puta a, drugi deo puta b + c, svega a + (b + c), pa je

(a + b) + c = a + (b + c).

ZDRU@IVAWE SABIRKA. – Zbir tri sabirka se ne mewa ako dva sabirka zdruìmo (saberemo), pa wihovom zbiru dodamo tre}i sabi-rak.

Proveri ta~nost jednakosti, izra~unaj vrednost leve i desne strane jednakosti: 48 + (73 + 56) = (48 + 73) + 56, (57 + 68) + 54 = 57 + (68 + 54),

= , = ,

= , = ,

= , = .

4.

5.

6.

7.

��

4 SABIRAWE TROCIFRENOG I JEDNOCIFRENOG BROJA

Izra~unaj zbir:

5 + 2 = , 45 + 2 = , 645 + 2 = ,

0 + 4 = , 70 + 4 = , 370 + 4 = ,

7 + 3 = , 27 + 3 = , 427 + 3 = ,

507 + 3 = , 208 + 2 = , 806 + 4 = .

Ra~unaj sa zapisivawem postupka usmenog sabirawa:

8 + 7 = (8 + 2) + = + = ,

48 + 7 = (48 + 2) + = + = ,

348 + 7 = (348 + 2) + = + = .

+

,

259 + 4 = (259 + ) + = + = ,

276 + 7 = ( + ) + = + = ,

734 + 8 = .

Saberi usmeno i zapi{i zbir:

138 + 5 = , 469 + 6 = , 703 + 8 = ,

274 + 7 = , 368 + 4 = , 625 + 7 = .

Izra~unaj zbir:

696 + 4 = 600 + (96 + 4) = + = ,

298 + 2 = + ( + ) = + = ,

395 + 5 = , 794 + 6 = , 493 + 7 = , 591 + 9 = .

1.

2.

3.

4.

3

�5

Izra~unaj zbir:257 8 795 9+ 6 + 534 + 6 + 893

376 + 5 = , 7 + 697 = .

Zapi{i sabirak koji nedostaje da jednakost bude ta~na:

496 + = 500, + 792 = 800, + 7 = 600.

Najve}em neparnom broju pete stotine dodaj najve}i jednocifreni broj.

5.

6.

7.

Pri pismenom sabirawu sabirke moèmo potpisivati jedan ispod drugog ili ih pisati u nizu, jedan u produètku drugog.

S D J

4 7 3

+ 5

4 6 8

4 7 3

– prvo, 8 i 5 je 13; 3 je-dinice zapisujemo, a de-seticu dodajemo deseti-cama;

– drugo, 1 i 6 je 7 desetica;– tre}e, i 4 stotine;

468 + 5 = 7 3

468+ 5 473

kra}e,

S D J

6 0 5

+ 8

5 9 7

6 0 5

– prvo, 7 i 8 je 15; 5 jedinica zapisujemo, a deseticu dodajemo deseticama;

– drugo, 1 i 9 je 10 desetica; 0 desetica zapisujemo, a stotinu dodajemo stotina-ma;

– tre}e, 1 i 5 je 6 stotina.

597 + 8 = 0 5

597+ 8 605

�6

5 ODUZIMAWE JEDNOCIFRENOG BROJA OD TROCIFRENOG

Izra~unaj razliku

6 – 2 = , 26 – 2 = , 526 – 2 = ,

4 – 4 = , 54 – 4 = , 354 – 4 = ,

10 – 6 = , 50 – 6 = , 350 – 6 = ,

508 – 5 = , 409 – 7 = , 607 – 4 = .

Ra~unaj sa zapisivawem postupka usmenog oduzimawa:

15 – 6 = (15 – 5) – = – = ,

45 – 8 = ( – ) – = – = ,

345 – 8 = (345 – ) – = – = .

, ,

261 – 4 = (261 – 1) – = – = ,

635 – 7 = ( – ) – = – = ,

746 – 9 = .

Oduzmi usmeno i zapi{i rezultat – razliku:

142 – 5 = , 382 – 3 = , 474 – 7 = ,

523 – 4 = , 736 – 8 = , 853 – 6 = .

Izra~unaj razliku:

500 – 4 = 400 + (100 – 4) = + = ,

800 – 6 = + ( – ) = + = ,

403 – 5 = (403 – 3) – – = – = ,

802 – 8 = .

1.

3.

4.

2.

3

�7

Pri pismenom oduzimawu umawenik i umawilac moèmo pisati jedan ispod drugog ili ih pisati u nizu, jedan u produètku drugog.

374– 6368

S

. 4

3 7 4

– 6

3 6 8

D J – prvo, 6 od 4 ne moè, 1 de-seticu „usitnimo” u jedi-nice; 6 od 14 je 8;

– drugo, 6 desetica;– tre}e, i 3 stotine;

374 – 6 = 6 8

kra}e,

4

–

5

. 3

0 3

7

9 6

S D J – prvo, 7 od 3 ne moè, 1 sto-tinu „usitnimo” u 10 dese-tica i 1 deseticu „usitni-mo” u jedinice; 7 od 13 je 6;

– drugo, 9 desetica; – tre}e, i 4 stotine.

503 – 7 = 9 6

503– 7496

Izra~unaj razliku:

354 632 715 806– 6 – 5 – 7 – 9

524 – 8 = 412 – 4 = .

Zapi{i umawenik ili umawilac koji nedostaje da jednakost bude ta~na:

100 – = 97, 400 – = 392, – 6 = 494.

Od najmaweg parnog broja ~etvrte stotine oduzmi najve}i jednocifreni broj.

7.

5.

6.

�8

6 SABIRAWE TROCIFRENOG I DVOCIFRENOG BROJA

Izra~unaj:

40 + 30 = , 140 + 30 = , 540 + 30 = ,

60 + 40 = , 260 + 40 = , 760 + 40 = .

Ra~unaj usmeno i zapisuj postupak sabirawa:

58 + 6 = (58 + 6) + = + = ,

580 + 60 = (580 + 20) + = + = .

,

+

583 + 60 = (583 + 20) + = + = .

286 + 40 = (286 + 20) + = + = ,

675 + 50 = (675 + ) + = + = ,

837 + 90 = .

Saberi usmeno i zapi{i rezultat – zbir:

395 + 40 = , 567 + 50 = , 898 + 20 = ,

452 + 70 = , 836 + 90 = , 245 + 80 = .

Zapi{i sabirak koji nedostaje da jednakost bude ta~na:

366 + = 406, + 30 = 328, + 60 = 549.

1.

2.

3.

4.

3

�9

Izra~una}emo zbir 475 + 68:

,

+

475 + 68 = (475 + 60) + 8 = 535 + 8 = 543.

Prvom sabirku dodamo desetice drugog sabirka, pa wihovom zbiru doda-mo jedinice drugog sabirka.Postupak sabirawa moèmo kra}e zapisivati podvla~ewem sabiraka:

475 + 68 = 535 + 8 = 543.


356 + 75 = (356 + 70) + = + = ,

354 + 89 = ( + ) + = + = ,

487 + 56 = + = ,

845 + 97 = + = .

Saberi usmeno i zapi{i zbir:

248 + 45 = , 563 + 70 = , 806 + 47 = ,

657 + 97 = , 408 + 65 = , 390 + 84 = .

5.

6.

– prvo, 8 i 6 je 14; 4 jedinice zapisujemo, a deseticu dodajemo deseticama;

– drugo, 1 i 3 je 4 i 4 je 8 desetica;

– tre}e, i 5 stotina;

538 + 46 = 8 4

538+ 46

584

S D J

5 8 4

+ 4 6

5 3 8

5 8 4

Pri pismenom sabirawu najpre sabiramo jedinice:

kra}e,

�0

Izra~unaj zbir: 467 584 745 394 + 78 + 69 + 88 + 67

648 + 96 = 287 + 76 =

S D J

7 4 3

+ 6 8

6 7 5

7 4 3

675+ 68

743

– prvo, 5 i 8 je 13; 3 jedinice zapisujemo, a deseticu do-dajemo deseticama;

– drugo, 1 i 7 je 8 i 6 je 14 desetica; 4 desetice za-pisujemo, a stotinu dodaje-mo stotinama;

– tre}e, 1 i 6 je 7 stotina.

675 + 68 = 4 3

7 ODUZIMAWE DVOCIFRENOG BROJA OD TROCIFRENOG

Izra~unaj:

70 – 40 = 170 – 40 = 470 – 40 =

100 – 70 = 300 – 70 = 500 – 70 =

Izra~unaj:

32 – 7 = (32 – 2) – = – =

320 – 70 = (320 – 20) – = – =

, ,

325 – 70 = (325 – 20) – = – =

1.

2.

3

��

Ra~unaj usmeno i zapisuj postupak oduzimawa:

236 – 40 = (236 – 30) – = – = ,

543 – 80 = (543 – ) – = – = ,

854 – 90 = .


352 – 60 = , 627 – 50 = , 416 – 20 = ,

654 – 70 = , 805 – 10 = , 923 – 90 = .

Zapi{i umawenik ili umawilac koji nedostaje da jednakost bude ta~na:

263 – = 203, – 50 = 674, – 80 = 825.

,,

435 – 57 = (435 – 50) – 7 = 385 – 7 = 378.

Od umawenika oduzmemo, najpre, desetice umawioca, a zatim jedinice.Postupak oduzimawa moèmo kra}e zapisivati podvla~ewem umawe-nika i desetica umawioca:

435 – 57 = 385 – 7 = 378.

Ra~unaj usmeno i zapi{i postupak oduzimawa:

224 – 68 = (224 – 60) – = – = ,

542 – 75 = ( – ) – = – = ,

735 – 87 = – = ,

613 – 46 = – = .


243 – 56 = , 328 – 65 = , 541 – 73 = ,

635 – 69 = , 715 – 48 = , 911 – 86 = .

3.

4.

5.

6.

��

– prvo, 7 od 3 ne moè, 1 de-seticu „usitnimo” u je-dinice; 7 od 13 je 6;

– drugo, 6 od 1 ne moè, 1 stotinu „usitnimo” u 10 desetica; 6 od 11 je 5;

– tre}e, i 3 stotine.

523 – 67 = 5 6

423– 67

356

Pri pismenom oduzimawu najpre oduzimamo jedinice:

S D J

3 5 6

– 6 7

4 2 3

3

Izra~unaj razliku: 734 342 625 417 – 57 – 74 – 89 – 38

936 – 79 = , 563 – 87 = .

7.

8 SABIRAWE TROCIFRENIH BROJEVA

Izra~unaj:

300 + 200 = , 350 + 200 = , 357 + 200 = ,

460 + 300 = , 460 + 500 = , 462 + 500 = ,

247 + 600 = , 586 + 300 = , 135 + 800 = .

Izra~unaj:

87 + 50 = (87 + 20) + = + = ,

387 + 50 = (387 + 20) + = + = .

1.

2.

3

. .

– prvo, 6 od 4 ne moè, 1 deseticu „usitnimo” u je-dinice; 6 od 14 je 8;

– drugo, 3 od 7 je 4 dese-tice;

– tre}e, i 5 stotina;

584 – 36 = 4 8

584– 36

548

S D J

5 4 8

– 3 6

5 8 4

4.

kra}e,

��

,

+

387 + 250 = (387 + 200) + 50 = 587 + 50 = 637

Ra~unaj usmeno i zapi{i postupak sabirawa:

356 + 170 = (356 + 100) + = + = ,

534 = 280 = (534 + ) + = + = ,

645 + 160 = .

Saberi usmeno i zapi{i rezultat – zbir:

436 + 270 = , 574 + 380 = , 376 + 430 = ,

758 + 180 = , 467 + 260 = , 275 + 590 = .

Izra~unaj:

387 + 6 = (387 + 3) + = + =

387 + 56 = (387 + 50) + = + =

,

+

387 + 256 = (387 + 200) + 56 = (587 + 50) + 6 = 637 + 6 = 643.

Prvom sabirku, najpre, dodamo stotine drugog sabirka, pa wihovom zbi-ru dodamo desetice drugog sabirka i, najzad, dodamo jedinice drugog sabirka.Postupak sabirawa moèmo kra}e zapisivati podvla~ewem sabiraka:

387 +256 = 587 + 56 = 637 + 6 = 643.


468 +275 = (468 + 200) + = ( + ) + 5

= + = ,

3.

4.

5.

��

549 + 386 = ( + ) + = ( + ) +

= + = ,

756 + 167 = ,

684 + 239 = + = + 9 = ,

373 + 458 = .

Pri pismenom sabirawu najpre sabiramo jedinice, zatim desetice, pa stotine

S D J

8 6 4

+3 2 6

5 3 8

8 6 4

– prvo, 8 i 6 je 14; 4 je-dinice zapisujemo, a de-seticu dodajemo deseti-cama;

– drugo, 1 i 3 je 4 i 2 je 6 desetica;

– tre}e, 5 i 3 je 8 stotina;

538 + 326 = 6 4

538+ 326

864

kra}e,

S D J

6 4 3

+2 6 8

3 7 5

6 4 3

– prvo, 5 i 8 je 13; 3 jedinice zapisujemo, a deseticu do-dajemo deseticama;

– drugo, 1 i 7 je 8 i 6 je 14 dese-tica; 4 desetice zapisujemo, a stotinu dodajemo stotinama;

– tre}e, 1 i 3 je 4 i 2 je 6 stoti-na.

375 + 268 = 4 3

375+ 268

644

Izra~unaj zbir: 346 573 468 247 + 587 + 258 + 359 + 636

765 + 546 = , 517 + 398 = .

Sli~no izra~unavamo zbir vi{e sabiraka:– najpre saberemo jedinice, zatim desetice, pa stotine.

246 475 87 134 154 67 + 392 + 238

6.

7.

3

�5

Izra~unaj:

500 – 300 = , 540 – 300 = , 546 – 300 = ,

620 – 400 = , 620 – 200 = , 625 – 200 = ,

834 – 500 = , 768 – 700 = , 942 – 600 = .

Izra~unaj:

134 – 60 = (134 – 30) – = – = ,

534 – 60 = .

, ,

534 – 260 = (534 – 200) – 60 = 334 – 60 = .

Od umawenika, najpre, oduzmemo stotine umawioca, zatim desetice. Postupak oduzimawa moèmo kra}e zapisivati podvla~ewem umawe-nika i stotina umawioca:

534 –260 = 334 – 60 = .


325 – 170 = (325 – 100) – = – = ,

637 – 460 = ( – ) – = – = ,

716 – 340 = ,

847 – 650 = – = ,

932 – 560 = .

9 ODUZIMAWE TROCIFRENIH BROJEVA

1.

2.

3.

�6

Izra~unaj:

535 – 7 = (535 – 5) – = – = ,

535 – 57 = (534 – 50) – = – = ,

, ,

,

535 – 357 = (535 – 300) – 57 = (235 – 50) – 7 = 185 – 7 = 178.

Od umawenika, najpre, oduzmemo stotine umawioca, zatim desetice, pa jedinice.Postupak sabirawa moèmo kra}e zapisivati podvla~ewem umawenika i stotina umawioca:

535 – 357 = 235 – 57 = 185 – 7 = .


437 – 285 = (437 – 200) – = ( – ) – =

= – = ,

724 – 458 = ( – ) – = ( – ) – =

= – = ,

614 – 169 =

,

952 – 684 = – = – 4 = ,

845 – 376 = .


487 – 154 = , 536 – 243 = , 792 – 348 = ,

674 – 380 = , 925 – 458 = , 843 – 176 = .

4.

5.

3

�7

6.

Pri pismenom oduzimawu najpre oduzimamo jedinice, zatim desetice...

kra}e,

735 – 412 = 2 3

735– 412

323

S D J

3 2 3

–4 1 2

7 3 5


– drugo, 1 od 2 je 1;– tre}e, 4 od 7 je 3.

735 – 418 = 1 7

735– 418

317

S D J

3 1 7

–4 1 8

7 3 5

5.


– drugo, 7 od 2 ne moè, 1 stotinu „usitnimo” u 10 desetica; 7 od 12 je 5;

– tre}e, 4 od 6 je 2.

735 – 458 = 5 7

735– 478

257

S D J

2 5 7

–4 7 8

7 3 5

2 5. .

Izra~unaj razliku:

525 743 854 432 – 276 – 586 – 487 – 165

637 – 359 = , 916 – 638 = .

�8

10 ZAVISNOST ZBIRA OD SABIRAKA. STALNOST ZBIRA

3Izra~unaj zbir 457 + 286 = .Ako jedan sabirak pove}amo za 114, kako }e se promeniti zbir? Izra~unaj i zapi{i re~ima:

457 + (286 + 114) =

– = .

Ako jedan sabirak pove}amo za , onda se

.

Ako jedan sabirak smawimo za 257, kako }e se promeniti zbir? Izra~unaj i zapi{i re~ima:

(457 – 257) + 286 = ,

– = .

Ako jedan sabirak smawimo za , onda se

.

Dat je zbir dva broja a i b,

a + b.

Ako jedan od sabiraka pove}amo za n

a + (b + n) = (a + b) + n,

onda se i zbir a + b pove}a za n.

Ako jedan od sabiraka umawimo za n

a + (b – n) = (a + b) – n,

onda se i zbir a + b smawi za n. To se moè i grafi~ki prikazati trakama.

nb

b – naa

(a + b) – n

1.

2.

�9

Najpre izra~unaj zbir 463 + 237 = ,

a zatim, na podesniji na~in, izra~unaj vrednost izraza:

463 + (237 + 85) = ( + ) + 85 = + = ,

(463 + 157) + 237 = ( + ) + = + = .

Ako je a + b = 465 izra~unaj vrednost izraza:

(a + 136) + b = (a + ) + = ,

a + (b + 427) = ( + ) + = ,

(a – 265) + b = ( + ) – = ,

a + (b – 160) = .

1) Kako }e se promeniti zbir, ako prvi sabirak pove}amo za 136?

2) Kako }e se promeniti zbir, ako drugi sabirak pove}amo za 427?

3) Kako }e se promeniti zbir, ako prvi sabirak smawimo za 265?

4) Kako }e se promeniti zbir, ako drugi sabirak smawimo za 160?

[ta }e biti sa zbirom dva broja, a + b, i kako }e se zbir mewati, ako jedan sabirak pove}amo za neki broj n, a drugi sabirak smawimo za isti broj n?

(a + n) + (b – n) = a + (b – n) + n

(a + n) + (b – n) = a + (b – n) + n , zbir se najpre pove}ao za n;

(a + n) + (b – n) = a + b + (n – n), a zatim se smawio za n;

(a + n) + (b – n) = a + b + 0 , zna~i, ostao je isti, nije se promenio;

(a + n) + (b – n) = a + b.

Ako jedan sabirak pove}amo za neki broj, a drugi sabirak smawimo za isti broj, onda se zbir ne}e promeniti.

3.

4.

50

Stalnost zbira moèmo prikazati grafi~ki, trakama.

ba

n ba – n

a – n b + n

Zbir se nije promenio.

Ako je a + b = 738 izra~unaj vrednost izraza:

(a + 17 ) + (b – 17) =

(a – 236) + (b + 236) =

Stalnost zbira moèmo koristiti kao olak{icu prilikom sabirawa.

297 + 328 = (297 + 3) + (328 – 3) = + = ;

prvom sabirku smo dodali 3 kao dopunu do 300 (vi{estruke stotine)

i .

Izra~unaj zbir na prikazani na~in (sa olak{icom):

458 + 275 = ( – ) + ( + 25) = + = ,

576 + 387 = ( – ) + ( + ) = ,

576 + 387 = ( + ) + ( – ) = .

Brat i sestra ukupno imaju 600 dinara u{te|evine. Koliko }e imati:

1) ako brat dobije jo{ 183 dinara, a sestra jo{ 217 dinara;

2) ako brat potro{i 225 dinara, a sestra potro{i 175 dinara;

3) ako brat potro{i 168 dinara, a sestra dobije 168 dinara?

prvi sabirak smawen za n

drugi sabirak pove}an za n

3

5.

6.

7.

5�

11 ZAVISNOST RAZLIKE OD UMAWENIKA I UMAWIOCA. STALNOST RAZLIKE

Ako je a – b = 437 izra~unaj vrednost izraza:1) Ako umawenik pove}amo za 100, kako }e se promeniti razlika?

Izra~unaj i zapi{i re~ima.

(a + 100) – b =

– 437 =

Ako umawenik pove}amo za , onda se .

2) Ako umawenik smawimo za 100, kako }e se promeniti razlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima.

(a – 100) – b =

437 – =

Ako umawenik smawimo za , onda se .

3) Ako umawilac pove}amo za 150, kako }e se promeniti razlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima.

a – (b + 150) =

437 – =

Ako umawilac pove}amo za , onda se .4) Ako umawilac smawimo za 150, kako }e se promeniti razlika? Izra~unaj

i zapi{i re~ima.

a – (b – 150) =

– 437 =

Ako umawilac smawimo za , onda se .

5) Ako umawenik i umawilac pove}amo za 200, kako }e se promeniti ra-zlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima.

(a + 200) – (b + 200) = (a – b) + 200 – 200 = (a – b) + =

.

6) Ako umawenik i umawilac smawimo za 200, kako }e se promeniti ra-zlika? Izra~unaj i zapi{i re~ima.

(a – 200) – (b – 200) = (a – b) + 200 – 200 = (a – b) + =

.

5�

Ako umawenik i umawilac pove}amo (ili smawimo) za 200, razlika 437 ostaje ista, ne}e se promeniti, {to se moè i grafi~ki prikazati trakama.

a

ba – b

n a +

b +a – b n

na – n

na – b b – n

Ako umawenik i umawilac pove}amo (ili smawimo) za neki broj (bilo koji broj), razlika se ne}e promeniti.

Ako je 623 – 376 = (izra~unaj razliku), pokaì da je:

(623 + 178) – (376 + 178) = = 247

(623 – 245) – (376 – 245) = = 247

Stalnost razlike moèmo koristiti kao olak{icu prilikom oduzimawa.

724 – 496 = (724 + ) – (496 + 4) = – = ;

umawiocu smo dodali 4, kao dopunu do vi{estruke stotine i

;

618 – 375 = (617 + ) – (375 + 25) =

umaweniku i umawiocu smo dodali .

Izra~unaj razliku na prikazani na~in (sa olak{icom):

734 – 293 = ( + ) – ( + ) = ,

542 – 185 = ,

825 – 368 = .

2.

3.

3

5�

12 ZADACI SA DVE I TRI OPERACIJE. SABIRAWE I ODUZIMAWE

Ako imamo tri sabirka, s obzirom na to da se udruìvawem sabiraka zbir ne}e promeniti, moèmo pisati

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

Izra~unaj i uporedi rezultate:

(346 + 178) + 295 = + =

346 + (178 + 295) = + = Sli~no radimo i kada imamo vi{e od tri sabirka.

Budu}i da u izrazima sa vi{e oduzimawa ~lanove izraza ne moèmo udruìvati, jer

(a – b) – c ≠ a – (b – c),

to u izrazu a – b – c moramo zagradama nazna~iti koje je oduzimawe prvo, a koje drugo, tj. moramo pisati

(a – b) – c ili a – (b – c).


(732 – 245) – 187 = – =

732 – (245 – 187) = – = Ako koristimo nau~eno o zavisnosti razlike od umawenika i umawioca, onda za prvi izraz moèmo re}i:

– ako umawenik smawimo za 245, onda se i razlika smawi za 245, tj.

(732 – 245) – 187 = (732 – 178) – 245 = – = ;

a za drugi izraz:– ako se umawilac smawi za 187, onda se razlika pove}a za 187, tj.

732 – (245 – 187) = (732 – 245) + 187 = – = ;

Ako u izrazu imamo sabirawe i oduzimawe, pa je po redosledu zapi-sivawa prvo sabirawe, onda zagrade ne moramo pisati, jer

a + b – c = a + (b – c) = (a + b) – c;

ako jedan sabirak smawimo za neki broj c, onda se i zbir smawi za isti broj c.

1.

2.

3.

5�


(284 + 546) – 387 = – = ,

284 + (546 – 387) = + = .Ali, ako je po redosledu zapisivawa prvo oduzimawe, pa sabirawe, onda zagrade moramo pisati, jer

(a – b) + c ≠ a – (b + c).


(832 – 347) + 259 = + = ,

832 – (347 + 259) = – = .

Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost:1) od razlike brojeva 724 i 356 oduzmi 178;

2) od 724 oduzmi razliku brojeva 356 i 178.

Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost:1) razlici brojeva 624 i 338 dodaj razliku brojeva 452 i 267;

2) od razlike brojeva 943 i 176 oduzmi zbir brojeva 264 i 358;

3) od zbira brojeva 436 i 385 oduzmi zbir brojeva 256 i 378.

Jedan odred gorana zasadio je 354 sadnice, drugi 96 sadnica mawe, a tre}i odred je zasadio 257 sadnica. Napi{i izraz. Koliko je ukupno sadnica zasa|eno?

Brat je imao 450 dinara i potro{io je 286 dinara. Sestra je imala 520 dinara i potro{ila je 275 dinara. Napi{i izraz i izra~unaj koliko im je ukupno ostalo novca.

4.

5.

6.

7.

3

55

13 SABIRAWA I ODUZIMAWA. JEDNAKOST

Na slici su prikazane kuglice crvene, plave i ùte boje.

Zbir broja plavih i broja ùtih kuglica jednak je broju crvenih kuglica, tj.

8 + 7 = 15 ili 7 + 8 = 15.

Crvenih je vi{e od plavih za onoliko koliki je broj ùtih kuglica, tj.

15 – 8 = 7,

a vi{e od ùtih koliki je broj plavih kuglica, tj.

15 – 7 = 8.

Pomo}u brojeva 7, 8 i 15 i znaka + ili – napisali smo ~etiri ta~ne jed-nakosti:

8 + 7 = 15, 7 + 8 = 15, 15 – 8 = 7, 15 – 7 = 8.

Pomo}u brojeva 18, 25 i 43 i znaka + ili – napi{i ~etiri ta~ne jedna-kosti:

, , , .

Data su dva broja 57 i 84, odredi tre}i broj (dva broja) pomo}u kojih moè{ napisati ~etiri, odnosno, osam ta~nih jednakosti:

57 + 84 = , , 84 – 57 = , ,

, , , .

U prvom zadatku razmatrali smo odre|eni broj kuglica. Broj kuglica moè biti proizvoqan, a, b, c, ali povezan ta~nom jednako{}u a = b + c.

a

b c

1.

2.

3.

56

Moèmo napisati slede}e jednakosti:b + c = a 1. sabirak (b) + 2. sabirak (c) = zbir (a)

a – b = c umawenik (a) – umawilac (b) = razlika (c)

a – c = b Umawenik (a) – umawilac (c) = razlika (b)

Napisane jednakosti nam pokazuju vezu izme|u sabirawa i oduzimawa.

1) Veza prve i druge jednakosti, b + c = a i a – b = c daje:

ako je b + c = a, onda je a – b = c;

veza prva i tre}a jednakosti, b + c = a i a – c = b daje:

ako je b + c = a, onda je a – c = b.

Ako od zbira oduzmemo jedan sabirak, onda dobijemo drugi.

Upi{i broj koji nedostaje i proveri ta~nost jednakosti:

Ako je 246 + 378 = , onda je 624 – 246 = ,

onda je 624 – 378 = .

2) Veza druge i prve jednakosti, a – b = c i c + b = a daje:

Ako je a – b = c, onda je c + b = a

Ako saberemo razliku i umawilac, dobijemo umawenik.


Ako je 654 – 250 = , onda je 404 + 250 = .

Ako je 723 – 456 = , onda je 456 + 267 = .

3) Veza druge i tre}e jednakosti, a – b = c i a – c = b daje:

ako je a – b = c, onda je a – c = b.

Ako od umawenika oduzmemo razliku, dobijemo umawilac.


Ako je 574 – 234 = , onda je 574 – 340 = ,

Ako je 628 – 356 = , onda je 628 – 272 = .

3

57

Dati su brojevi 276, 458 i 734. U svaku ku}icu upi{i jedan od datih bro-jeva, tako da jednakost bude ta~na:

= 458 + , = 276 + ,

= – 276, = – 458.

4.

Ako je u jednakosti b + c = a jedan od sabiraka nepoznat, obeleì}emo ga slovom x. Tada imamo jedna~ine:

x + c = a ili b + x = a.

Kako izra~unavamo nepoznati sabirak? Zapi{i re~ima.

Izra~unaj nepoznati sabirak:x + 270 = 586, 387 + x = 607, x + 485 = 732.

x = – x = x =

x = x = x =

Vrednost nepoznatog sabirka naziva se RE[EWE JEDNAÎNE.Za prvu jedna~inu je x = 316, pa je broj 316 re{ewe te jedna~ine.

Koji broj treba dodati:1) broju 417, pa da se dobije 657; 2) broju 376, pa da se dobije 924?

Na stadionu su dve grupe navija~a. Plavi imaju 486 navija~a, a broj crvenih navija~a je x (nismo mogli da ih prebrojimo ta~no). Blagajna je ukupno prodala 833 ulaznice. Koliko gledalaca navija za crvene? Napi{i jedna~inu i re{i je.

Ivana je kupila dve kwige. Cena jedne kwige je 275 dinara, a druge x dinara. Za obe kwige je dala 532 dinara. Napi{i jedna~inu i re{i je.

14 JEDNAÎNA. IZRAÛNAVAWE NEPOZNATOG SABIRKA

1.

2.

3.

4.

58

Ako je u jednakosti a – b = c nepoznat umawenik ili umawilac obeleì}emo ga slovom x. Tada imamo jedna~ine:

x – b = c ili a – x = c.

Kako izra~unavamo nepoznati umawenik? Zapi{i re~ima.

Kako izra~unavamo nepoznati umawilac? Zapi{i re~ima.

Izra~unaj nepoznati umawenik:x – 280 = 317, x – 156 = 204, x – 385 = 267.

x = + x = x =

x = x = x =

Re{ewe prve jedna~ine je , druge , tre}e .

Od kog broja treba oduzeti:1) 417, da bi se dobilo 250; 2) 376, da bi se dobilo 458?

Izra~unaj nepoznati umawilac:657 – x = 317, 563 – x = 156, 724 – x = 385.

x = – x = x =

x = x = x =

Re{ewe prve jedna~ine je , druge , tre}e .

Koji broj treba oduzeti od:1) 856, da bi se dobilo 252; 2) 636, da bi se dobilo 249?

15 JEDNAÎNE. IZRAÛNAVAWE NEPOZNATOG UMAWENIKA ILI UMAWIOCA

1.

2.

3.

4.

3

59

Dati su brojevi 236, 587 i nepoznati broj x. Od datih brojeva sastavi jedna~inu i re{i je: 1) ako je x umawenik; 2) ako je x umawilac.

Broj x kaè:– Ako me smawi{ za 258 dobi}e{ 474.Broj y mu odgovori:– A ako bi mene pove}ali za 397, izjedna~io bih se s tobom.Napi{i jedna~ine i izra~unaj brojeve x i y.

U vozu je bilo 425 putnika. Na jednoj stanici iz voza je iza{la jedna grupa od x putnika, tako da je u vozu ostalo 186 putnika. Koliko je put-nika iza{lo iz voza? Napi{i jedna~inu i re{i je.

Kada je platio ra~un za struju 458 dinara, Milanu je ostalo 376 dinara. Koliko je dinara imao Milan? Napi{i jedna~inu i re{i je.

Duìna ulice je 635 m. Jedan deo su betonirali i ostalo je 355 m ne-betoniranog dela ulice. Koliko je betonirano? Napi{i jedna~inu i re-{i je.

Duìne dva puta razlikuju se za 254 m. Duìna jednog puta je 720 m. Ko-lika je duìna drugog puta? Napi{i jedna~inu i re{i je (dve jedna~ine).

5.

6.

7.

8.

9.

10.

60

Napisali smo nekoliko nejednakosti. Pro~itaj i re~ima zapi{i nejed-nakost i pored svake ta~ne nejednakosti napi{i slovo T (ta~no), a pored svake neta~ne nejednakosti slova NT (neta~no).

0 < 5 , ,

1 < 5 , ,

2 < 5 , ,

3 < 5 , ,

4 < 5 , ,

5 < 5 , ,

6 < 5 , ,

7 < 5 , ,

Brojevi koje smo upore|ivali sa brojem 5 su razli~iti brojevi (mewali su se) pa ih moèmo zameniti slovom (promenqivom), na primer, x i umesto osam nejednakosti zapisati samo jednu nejednakost sa nepoznatom x.

x < 5

Nejednakost sa nepoznatom naziva se nejedna~ina.

Da li je nejednakost sa promenqivom ta~na ili ne, zavisi od vrednosti promenqive. Zato je potrebno da nejedna~inu re{imo, da odredimo skup re{ewa, skup vrednosti promenqive za koje je nejedna~ina ta~na nejed-nakost.Za navedenu nejedna~inu

x < 5

skup re{ewa ~ine svi brojevi mawi od 5, tj.

{0, 1, 2, 3, 4}.

Zna~i, vrednost nepoznate moè biti neki od ~lanova skupa re{ewa, {to zapisujemo

x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.

Skup re{ewa nejedna~ine moèmo prikazati i na brojevnoj pravi.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

16 NEJEDNAÎNA

3

6�

Re{i nejedna~inu x < 15. Napi{i skup re{ewa, vrednosti promenqive za koje je nejedna~ina ta~na nejednakost.

{ , , , , 14}, x ∈ { .Prikaì skup re{ewa na brojevnoj pravoj.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Moèmo imati i ovakvu nejedna~inu:3 < x < 12, ~itamo: x je ve}e od 3 i mawe od 12, ili x je izme|u 3 i 12.Re{ewe je svaki broj ve}i od 3 i mawi od 12. Zapi{i sve ~lanove skupa re{ewa.

{ , , , , , }, x ∈ { }Skup re{ewa na brojevnoj pravoj je na slici.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 12 13 14

Re{i nejedna~inu x < 9. Napi{i skup re{ewa i prikaì ga na brojevnoj pravoj.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Re{i nejedna~inu 7 < x < 14. Napi{i skup re{ewa i prikaì ga na bro-jevnoj pravoj.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Ana ima samo nov~anice od 100 dinara, vi{e od 3 nov~anice, a mawe od 6 nov~anica. Koliko novca ima Ana? Napi{i nejedna~inu, odredi skup re{ewa i prikaì ga na brojevnoj pravoj.

0 100 200 300 400 500 600 700 800

1.

2.

3.

4.

5.

62

4Svaku od nacrtanih ta~aka obeleì jednim slovom – A, B, C, D ili E.

. .. ..

Koje su linije nacrtane na slici i ozna~ene brojevima? Imenuj nacrtane linije.

1)

2)

3)

4)

5)

12 3

45

Na slici je prava a. Nacrtaj i obeleì ta~ke A, B i C, ako ta~ka A pri-pada pravoj a, ta~ke B i C su sa razli~itih strana prave a.

a

Na slici su ta~ke M i A i prave koje se seku u ta~ki M.

1Ta~ka, prava i ravan

Ta^Ka I prava. poluprava I du@

1.

2.

3.

4.

M

· A

1) Koliko je pravih nacrtano? obeleì ih malim slovima lati-nice.

2) da li se mogu nacrtati jo{ neke pra-ve koje se seku u ta~ki M? Koliko?

3) Koliko je pravih kojima pripada i

ta~ka M i ta~ka A?

dvE raZlIÎTE Ta^KE odrE\uJu JEdNu pravu.

pravu odre|enu ta~kama M i A ozna~avamo MA i ~itamo: prava MA.

63

Koje su prave prikazane na slici? Zapi{i.

· E

adB .

A .

Nacrtaj i zapi{i sve prave odre|ene ta~kama A, B, C, D.

A ..

· B

. CD

Ta~ka A deli pravu a na dva dela. Svaki od tih delova naziva se polu-prava.

Aaa1 a2

Nacrtane poluprave obeleàvamo Aa1, Aa2. Ta~ka A je wihov po~etak.

poluprava JE prava lINIJa oGraNIÊNa Sa JEdNE STraNE.

poluprave Aa1 i Aa2 moèmo nacrtati odvojene.

a1 A

A a2

Nacrtaj poluprave Oa, Ob, Oc, Od, Oe sa zajedni~kim po~etkom O.

Koliko je polupravih odre|eno ta~kama A, B, C, D na pravoj a?

Zapi{i te poluprave. Ba

a1 a2

A C D

5.

6.

7.

8.

64

Ta~ke A i B spoj jednom krivom i jednom pravom linijom.

. .A B

Kako se naziva prava linija od A do B?

du@ JE dEo pravE lINIJE oGraNIÊN Sa oBE STraNEdu` obeleàvamo AB, oznakama wenih krajwih ta~aka, ~itamo:

du` A, B.

Ta~kama C i D na slici su odre|ene:

C Dc

prava CD, i du` CD.

Koliko je pravih, a koliko duì prikazano na slici? Zapi{i ih.

A

B

C

Koliko je polupravih, a koliko duì odre|eno ta~kama A, B, C, D i E prave p? Zapi{i ih.

pA B C D E

1) poluprave

2) duì

9.

10.

1) duì

2) prave

4

65

2 ravaN

Kakve krovove imaju hale beogradskog sajma?

Kakva je povr{ daske stola?

Zamisli da se povr{ stola pove}ava, postaje sve ve}a i ve}a.

Zamisli da povr{ kruga ili kvadrata postaje sve ve}a i ve}a, postaje neograni~eno velika.

1.

2.

3.

Koja su tela prikazana na slici? Zapi{i ispod slike.

66

3 ravaN, prava I Ta^Ka

Nacrtaj pravu a i ta~ku A koja pripada pravoj a i ta~ku B koja ne pripada pravoj a.

Nacrtane prave a i b su u ravni strane kwige.

Imaju li prave a i b zajedni~ku ta~ku?

obeleì je slovom P.Za dve prave koje imaju samo jednu zajedni~ku ta~ku kaèmo da se seku.

a

b

Na slici su prave a i b i ta~ke A, B, C.

presek pravih a i b je ta~ka

pravoj a pripadaju ta~ke

pravoj b pripadaju ta~ke

Ta~ka A pripada pravoj

Ta~ka B pripada pravoj

A

BC

a

b

1.

2.

3.

Neograni~ena ravna povr{ naziva se ravan. ravan zami{qamo kao neograni~enu ravnu povr{.

Na kojim predmetima u u~ionici ima ravnih povr{i? pokaì ih i zapi{i.

4.

4

67

da li se seku:

1) prava p i du` CD? 2) prava a i du` GH? Nacrtaj i obeleì presek.

C

D p

a G

H

da li se seku:

1) poluprava Aa i du` CE? 2) poluprava Bb i du` DF? Nacrtaj i obeleì presek.

D

Fb

B

C

EaA

Na slici su dve prave a i b. Na-crtaj pravu p koja se~e prave a i b, svaku u posebnoj ta~ki. obe-leì preseke pravih a, b i p.

Na slici su prave a, b, c. obeleì wihove preseke

7. 8.

a

b c

a

ba

b c

a

b

5.

6.

Na slici su tri ta~ke A, B i P. Nacrtaj prave AP i BP .

da li se prave AP i BP seku?

Koja je ta~ka wihov presek?

A·

B·

P·

4.

68

4 prav uGao. CrTaWE pravoG uGla

Na slici su neki pravougaonici i kvadrati. u svaki pravougaonik upi{i slovo P, a u kvadrat slovo K.

Stranice OA i OB pravougaonika AOBC produìli smo, nacrtali smo poluprave Oa i Ob, a stranice BC i CA obrisali.

C

O B

A

b

a

O B

A

b

a

dobili smo figuru koju nazivamo prav uGao.

prav ugao na slici je obeleèn AOB ili aOb.

poluprave Oa i Ob su kraci ugla, a zajedni~ki po~etak krakova, ta~ka O naziva se teme ugla.

1.

Na slici su prava a i ta~ke A i B. Nacrtaj pravu AB . Koja je ta~ka presek

pravih a i AB ?

a

·A

·B

9.

4

69

2.

prav ugao moèmo crtati na kvadratnoj mreì ili pomo}u pravouglog trougaonika.

O a

b

Cc

d

B b

c

Nacrtaj prav ugao ~iji je jedan krak prikazana poluprava:

O · a

A ·

a T ·

t

Nacrtaj prave uglove (dva ugla) ~iji jedan krak pripada pravoj p, a drugi krak prolazi kroz ta~ku A, odnosno B.

p

A .

. B

3.

4.

Nazna~i prave uglove koje vidi{ na slici ormara i trougaonika.

70

Za dve prave koje se seku pod pravim uglom kaèmo da su normalne prave, {to zapisujemo:

a ⊥ b, ~itamo: prava a je normalna sa pravom b.

Normalnost nacrtanih pravih proveri trougaonikom i zapi{i pomo}u znaka ⊥ .

p a b

c

a ⊥ , ⊥ , .

Na slici je pet pravih. Koje su od nacrtanih pravih normalne prave? Zapi{i.

A B

CD

Na slici zgrade prona|i normalne prave i nazna~i ih olovkom u boji.

1.

2.

5 NorMalNE pravE

Na slici je prav ugao sa temenom O.

O a

b

O a

b

ako krake pravog ugla produìmo na suprotnu stranu, dobi}emo prave a i b, koje se seku u ta~ki O pod pravim uglom.

AD ⊥ , ⊥ , .

3.

4

71

Nacrtaj pravu n normalnu na pravu p u ta~ki P.

. p

P

Kroz ta~ku A nacrtaj pravu a normalnu na pravu m.

m . A

Kroz ta~ke A, B, C nacrtaj prave a, b, c normalne na pravu p.

p ··

A

. B C

. A a

. A a

A. a

b

A. ab

4.

5.

6.

No rmalne prave crtamo pomo}u lewira i trougaonika ovako:

1) Nacrtamo pravu a i na woj obeleìmo

ta~ku A.

2) uz pravu a postavimo najkra}u stranicu

trougaonika.

3) uz najduù stranicu trougaonika posta-

vimo lewir.

4) pomeramo trougaonik du` lewira, dok

wegova stranica, koja je normalna na

pravu a, ne pro|e kroz ta~ku A.

5) Kroz ta~ku A nacrtamo pravu b.

72

1.

2.

Koje su od nacrtanih pravih paralelne prave? Zapi{i ispod slike.

ab

c e

fg

mn

p q

Na slici zgrade prona|i paralelne prave i nazna~i ih olovkom u boji.obeleì ih i zapi{i.

6 paralElNE pravE

Na slici su prave a, b, d. Koje se od nacrtanih pravih seku?

a

b

d

obeleì ta~ke preseka.

da li se prave a i b seku?

proveri wihovo rastojawe na razli~itim mestima.

Za dve prave iste ravni koje se ne seku kaèmo da su paralElNE pravE. paralelnost pravih a i b zapisujemo

a || b, ~itamo: prave a i b su paralelne.

4

73

paralelne prave crtamo po-mo}u lewira i trougaonika ovako:

1) uz pravu a postavimo najduù stranicu trougaonika.

2) uz jednu od kra}ih stranica trougaonika postavimo le-wir.

3) pomeramo trougaonik du` lewira do èqenog mesta.

4) pored najduè stranice trougaonika crtamo pravu b.

3.

4.

Na slici je prava a i ta~ke B i C koje ne pripadaju pravoj a. Nacrtaj prave b i c paralelne sa a, tako da ta~ka B pripada pravoj b, a ta~ka C pri-pada pravoj c.

a

.

·

B

C

Nacrtaj prave c i d, koje se seku u ta~ki C, tako da je c || a, d || b.

.a

b

C

Nacrtaj prave c i d, koje se seku u ta~ki C, tako da je c ⊥ a, d || b.

.a

b

C

a

b

a

a

b

5.

74

1Krug i kru`nica

KruG

5Koji su predmeti prikazani na slici? Napi{i wihov naziv ispod slike.

da li vaqak ima neku ravnu povr{? Koliko?

Kako se naziva ravna povr{ vaqka? Zapi{i.

Na slici su prikazani neki krugovi. Nacrtaj i ti nekoliko krugova razli~ite veli~ine. Koristi metalni novac kao model.

Na slici su neki predmeti. Koji? da li na wima ima krugova? Nazna~i ih olovkom u boji.

1.

2.

75

2 CrTaWE Kru@NICE I KruGa

Za crtawe kru`ne linije, kra}e kaèmo kru`nice, moèmo kao mo- dele koristiti predmete, ~ija je neka strana krug, oko kojih olovkom crtamo kru`nu liniju.

O · polupre~nik

k. O

Kru`nu liniju najlak{e crtamo {estarom. [estar je dvokraka sprava, ~iji se jedan krak zavr{ava iglom ({iqkom), a drugi nekom pisaqkom.Na slici je prikazan {estar i na~in crtawa kru`ne linije.

Kru`nu liniju {estarom crtamo ovako:

– u ravni crteà ozna~imo jednu ta~ku, naj~e{}e O, koju nazivamo centar kru`ne linije,

– otvorimo {estar (razmaknemo krake), tako da od vrha igle do vrha pisaqke bude odre|ena duìna duì,

– zabodemo iglu {estara u ozna~eni centar, ta~ku O,

– oko ta~ke O okre}emo {estar, vrh pisaqke ostavqa trag, kru`nu liniju.

Kru`nu liniju kra}e nazivamo kru`nica. Na osnovu crtawa moè se re}i {ta je kru`nica.

Kru`nica je skup ta~aka u ravni, ~ije su sve ta~ke jednako udaqene od jedne ta~ke iste ravni. Tu ta~ku nazivamo centar kru`nice. Kru`nicu, naj~e{}e, ozna~avamo k .

Istovremeno sa kru`nicom, nacrtali smo i krug.

Krug je deo ravni odre|en kru`nicom, zajedno sa tom kru`nicom.

ozna~avamo ga, naj~e{}e velikim slovom K.

76

Na slici su prikazani krug i kru`nica.

Ta~ka O je centar kru`nice (i kruga)

k je kru`nica

K je krug

du` OA je polupre~nik (radijus) r

du` BC je pre~nik

O .

k

K

A

B

C

r

pre~nik je du` odre|ena dvema ta~kama kru`nice i kojoj pripada centar te kru`nice.

Nacrtaj kru`nicu k ~iji je centar ta~ka O, a ta~ka M pripada kru`nici.

O .. M

Nacrtaj kru`nicu k, ~iji je centar ta~ka O (obeleì je u ravni crteà), a polupre~nik r = 2 cm.

Nacrtaj kru`nice k1 i k2 ~iji su centri ta~ke A i B, a zajedni~ki polupre~nik du` AB.

A . . B

2.

3.

4.

51.

77

date su tri ta~ke A, B, C u ravni crteà. Tim ta~kama odre|ene su tri duì. Nactaj kru`nice ~iji su centri date ta~ke, a polupre~nici date duì ({est kru`nica, jer je svaka ta~ka zajedni~ki centar za dve kru`nice).

A . . B

. C

5.

3 uporE\IvaWE du@I

Na slici su tri duì AB, CD i EF.

A B C D E F

Nacrtane duì uporedi procenom „od oka”, svake dve, a zatim ih zapi{i po veli~ini. Koristi znake < , = , > .

AB < , < , < ;

> , > , >

< < ; > >

1.

Ta~nost re{ewa moèmo proveriti merewem. lewirom sa skalom (mi-limetarskim podeqcima) izmerimo duìnu svake duì.

A B C D E F

0 1 2 3 4 9 5 6 7 8 10

Izmerili smo da je duìna duì AB 45 mm, {to zapisujemo

AB= 45 mm, ~itamo: duìna duì AB je 45 mm.

Izmeri duìnu duì CD i EF i zapi{i.

Sada moèmo pisati:

CD < AB < EF, jer je CD<AB<EF

78

duì moèmo meriti i pomo}u {estara. u otvor {estara „uzmemo” jednu du`, pa rastojawe vrha igle do vrha pisaqke upore|ujemo sa drugim du-ìma.

A B C D E F

Koje su duì jednake duì AB, a koje su mawe ili ve}e od duì AB? duì uporedi {estarom i zapi{i.

A B

C

D E

F

G

H

K

L

AB = ;

AB < ;

AB > .

data je du` AB. Nacrtaj du` MN jednaku sa duì AB, MN = AB.

A B

M

N

m

Najpre, nacrtamo polupravu Mm, a zatim, {estarom duìnu duì AB pre-nesemo na polupravu Mm, pa je

MN = AB

Nacrtaj du` AB= 48 mm, a zatim duì jednake duìne EF= GH=AB.

2.

3.

4.

5

79

4 GraFI^Ko NadovEZIvaWE du@I

Nacrtaj dve jednake duì, na primer, AB = CD. Koristi {estar i preno{ewe duì.

A B c

date su dve duì, na primer AB i EF. duì AB i EF nadoveì jednu na drugu.

A B

E

F

Najpre nacrtamo jednu polupravu, na primer Aa, pa na wu prenesemo jed-nu, a u produètku drugu du`.

A B = E F a

Kraj prve i po~etak druge duì se poklapaju, tj. poklapaju se ta~ke B i E.du` AF dobijena je grafi~kim nadovezivawem duì AB i EF.Kaè se i: grafi~ki smo sabrali dve duì, tj.

AB + EF = AF.

Sli~no se grafi~ki nadovezuju (sabiraju) tri i vi{e duì. Grafi~ki nadoveì (saberi) tri date duì AB, CD, EF. Najpre prenesi du` CD.

C c

A BC

D E

F

1.

80

Masu tela (predmeta) odre|ujemo merewem na terazijama (vagi) upore|uju}i je sa masom koju smo uzeli za jedinicu mere.

u navedenim primerima masu kutije i lopte merili smo upore|uju}i je sa masom {qiva. prema poloàju na terazijama moèmo re}i: – Masa kutije jednaka je masi dve {qive. – Masa lopte ve}a je od mase dve {qive.

Kako je masa {qive (ili nekog drugog predmeta) nepouzdana jedinica mere, qudi su se dogovorili da za jedinicu uzmu masu koju su nazvali kilogram.

Jedinica za merewe mase je KIloGraM.1 kilogram, kra}e zapisujemo 1 kg.

predmeti vaqkastog oblika, izra|eni od metala mase od 1 kg, 2 kg i dr. nazivaju se tegovi.

Kolika je masa tela izmerena na terazijama?

2 kg 1kg

Za merewe predmeta malih masa koristi se jedinica GraM.

1 gram, kra}e zapisujemo 1 g1 kg = 1 000 g

Za merewe predmeta velikih masa koristi se jedinica ToNa.

1 tona, kra}e zapisujemo 1 t1 t = 1 000 kg

1 MErEWE MaSE

Merewe6

81

[ta zna~i nazna~ena nosivost kamiona na slici?

Izra~unaj:

1) 5 kg + 3 kg = 25 kg + 75 kg = 236 kg + 187 kg =

2) 12 t – 5 t = 87 t + 58 t = 850 t – 264 t =

Izra~unaj:

1) 1 kg – 500 g = 1 kg – 850 g = 1 kg – 325 g =

2) 1 t – 200 kg = 1 t – 750 kg = 1 t – 465 kg =

upi{i ~lan koji nedostaje da jednakost bude ta~na:

1) 800 g + = 1 kg + 450 g = 1 kg

1 kg – = 400 g 1 kg – = 750 g

2) 650 kg + = 1 t + 225 kg = 1 t

1 t – = 300 kg 1 t – = 575 kg

Jedan yak cementa ima masu 50 kg.

1) Koliku masu imaju 2 yaka cementa?

2) Koliko yakova cementa ima u 1 t ?

Jedna tona {e}era, upakovana u yakove po 50 kg, raspodeqena je na 10 jednakih delova i {e}er je dostavqen prodavnicama.

1) Koliko kilograma {e}era je dobila svaka prodavnica?

2) Koliko je yakova {e}era dobila svaka prodavnica?

1.

2.

3.

4.

5.

82

od 1 t cementa 250 kg upotrebqeno je za stubove, a 575 kg za betonirawe staze. Koliko je cementa ostalo?

2 MErEWE ZaprEMINE TE^NoSTI

Zapreminu te~nosti u nekom sudu merimo mawim sudom koji smo uzeli za jedinicu mere.

Na primer, zapreminu te~nosti u loncu moèmo izmeriti zapreminom ~a{e. ali, kako ~a{a ima razli~itih veli~ina, to mera, na primer, za-premina te~nosti je 3 ~a{e, ne bi nam ni{ta odre|eno kazala kolika je to zapremina te~nosti.

Qudi su se dogovorili da za jedinicu zapremine te~nosti uzmu je-dinicu koja je nazvana litar.

JEdaN lITar, kra}e 1 l

Zapremina te~nosti od 1 l je te~nost koja ispuni kocku ~ije su ivice 1 dm.

1 dm1 dm

1 dm 1 l

6

83

Jedinice za merewe te~nosti mawe od litra su:

decilitar, 1 dl – deseti deo litracentilitar, 1 cl – stoti deo litramililitar, 1 ml – hiqaditi deo litra

Zna~i,

1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml 1 cl = 10 ml

Jedinica za merewe zapremine te~nosti ve}e od jednog litra je hek-tolitar.

JEdaN HEKTolITar, 1 hl = 100 l

Izrazi u litrima:

50 dl = 80 dl = 120 dl =

55 dl = l 5 dl 72 dl = 275 dl =

Izrazi u mililitrima:

2 dl 3 cl 7 ml = 5 dl 3 cl =

5 dl 8 ml = 7 dl 4 cl 5 ml =

1.

2.

84

Izrazi u hektolitrima i litrima:

150 l = 420 l =

750 l = 384 l =

uporedi mere zapremine te~nosti, u svaki kvadrati} upi{i jedan od znakova: <, = ili > .

4 l 35 dl 80 dl 8 l 45 cl 5 dl

7 cl 85 ml 20 l 200 dl 2 hl 185 l

u jednoj boci ima 2 l 7 dl mleka a u drugoj 1 l 5 dl. Koliko ima ukupno mleka? Treba sabrati vi{eimene brojeve:

2 l 7 dl + 1 l 5 dl = l dl = l dl 2 l 7 dl + 1 l 5 dl

u svaku kesu pakovano je po pola litra mleka. Koliko mleka ima:

1) u 50 kesa;

2) u 25 kesa?

3.

4.

5.

6.

3 MErEWE vrEMENa

Neke jedinice mera za vreme su ti poznate, na primer, dan.

Mawe jedinice mera za vreme su:

JEdaN âS, 1 hJEdaN MINuT, 1 min

Jedan dan (dan i no}) ima 24 ~asa, a jedan ~as ima 60 minuta.

1 dan = 24 h 1 h = 60 min

6

85

Kako se naziva sprava kojom merimo vreme u toku dana?

odredi vreme koje pokazuju ~asovnici:1) do podne;

12 123

456

1110

9

87

12 123

456

1110

9

87

12 123

456

1110

9

87

12 123

456

1110

9

87

12 123

456

1110

9

87

12 123

456

1110

9

87

12 123

456

1110

9

87

12 123

456

1110

9

87

Koliko minuta traje jedan {kolski ~as?

Koliko ~asova ima:

1) jedna ~etvrtina dana;

2) jedna polovina dana?

ve}e jedinice mera za vreme su sedmica (nedeqa), mesec i godina.

1.

2.

3.

2) po podne;

86

Godina je vreme za koje se Zemqa jedanput okrene oko Sunca. Godina ima 12 meseci.

Sunce

Imenuj mesece u godini i za svaki zapi{i koliko ima dana.

III , dan VII , dana

V , dan I , dana

IX , dan XI , dana

Kako se naziva godina u kojoj februar ima:

1) 28 dana;

2) 29 dana?

3) Koja je godina po redosledu prestupna? 4) dve hiqade ~etvrta godina bila je prestupna. Koje su dve slede}e

godine prestupne?

Koliko dana ima godina prosta, a koliko prestupna? 1) Zapi{i broj dana po mesecima i saberi;

2) Koliko meseci ima po 30 dana, a koliko po 31 dan?

Koliko dana imaju dve godine:1) ako su obe proste;

2) ako je jedna prestupna?

4.

5.

6.

7.

6

87

Jovan je ro|en 15. aprila, a Mira 11. oktobra iste godine. Ko je stariji i za koliko dana?

u toku smene u~enici su imali 5 ~asova, jedan odmor od 5 minuta, dva odmora po 10 minuta i jedan odmor od pola ~asa. Nastava je po~ela u 8 h. u koliko ~asova je zavr{en peti ~as?

ve}a jedinica mere za vreme od godine je vek.

JEdaN vEK = 100 godina

Koliko godina ima:

2 veka = godina 7 vekova = godina

raseqavawe Slovena iz stare postojbine trajalo je od IV do VII veka. od koje do koje godine je trajalo naseqavawe Ju`nih Slovena u krajeve u kojima ìvimo?

Koliko vekova i godina ima u:

750 god. = god. 358 god. = god.

8.

9.

10.

11.

12.

88

1Mnoèwe i deqewe

MNo@EWE I dEQEWE

Znamo, da zbir jednakih sabiraka kra}e zapisujemo kao proizvod.

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 6 · 8 = 10 + 10 + 10 + 10 = 4 · =

100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 7 · 100 =

proizvod 6 · 8 = 48

1. ~inilac 2. ~inilac proizvod

Izra~unaj:

3 · 8 = 7 · 6 = 4 · 9 =

5 · 7 = 8 · 9 = 9 · 7 =

Izra~unaj proizvod ako su ~inioci: 9 i 6; 4 i 12; 14 i 7.

ako je 6 · 8 = 48, onda je 48 : 6 = 8 i 48 : 8 = 6.

48 : 6 = 8

deqenik delilac koli~nik

koli~nik

1.

2.

7

89

6 · 8 = 48

48 : 6 = 8 48 : 8 = 6

Izra~unaj :

48 : 8 = 42 : 6 = 63 : 9 =

28 : 4 = 40 : 5 = 49 : 7 =

Izra~unaj koli~nik ako je:

1) deqenik 64, delilac 8,

2) deqenik 72, delilac 6,

Izra~unaj vrednost izraza:

1) (2 + 5) · 6 = · = ;

(9 – 4) · 8 = · = .

2) (22 – 7) · 7 = ;

(17 + 8) · 4 = .


1) (22 + 5) : 3 = : = ;

(76 – 4) : 9 = · = .

2) (24 + 25) : 7 = ;

(105 – 9) : 4 = .


1) (28 : 4) · 6 = · = ;

(36 : 9) · 8 = · = .

2) (18 · 5) : 10 = ;

(12 · 3) : 9 = .

3.

4.

5.

6.

7.

90

Za koliko se pove}a proizvod 6 · 7, ako:1) ako prvi ~inilac pove}amo za 2;

2) ako drugi ~inilac pove}amo za 2?

8.

2 MNo@EWE BroJEM 10 I BroJEM 100

Izra~unaj:

10 · 2 = 5 · 10 = 10 · 3 =

6 · 10 = 10 · 8 = 7 · 10 =

10 · 9 = 4 · 10 = 10 · 10 =

Sli~no mnoìmo i dvocifrene brojeve sa 10.

46 · 10 = 46 · 1 d = 46 d = 460

75 · 10 = 75 · 1 d = 75 d = 750, itd.

Broj mnoìmo sa 10 tako {to mu sa desne strane dopi{emo nulu.

Izra~unaj proizvod:

17 · 10 = 42 · 10 = 76 · 10 =

34 · 10 = 80 · 10 = 58 · 10 =

proizvod jednocifrenog broja i 100 je, na primer:

7 · 100 = 7 · 1 S = 7 S = 700 10 · 100 = 10 · 1 S = 10 S = 200 2 · 100 = 2 · 1 S = 2 S = 200 5 · 100 = 5 · 1 S = 5 S = 500

Broj mnoìmo sa 100 tako {to mu sa desne strane dopi{emo dve nule.

1.

2.

7

91

3.

4.

Izra~unaj proizvod:

3 ·100 = 5 · 100 = 9 · 100 =

4 · 100 = 6 · 100 = 8 · 100 =

popuni tabelu.

10

· 83 65 12 47 39 25 70 51 94 86

u svakoj kutuji je po 10 konzervi. Koliko je konzervi:

1) u 18 kutija; 2) u 45 kutija?


1) (58 + 34) · 10 = · = ;

(35 – 17) · 10 = · = .

2) (46 + 25) · 10 = ;

(83 – 58) · 10 = .


1) (6 · 7) · 10 = · = ;

(3 · 9) · 10 = · = .

2) (6 · 8) · 10 = ;

(6 · 5) · 10 = .


1) (9 – 4) · 100 = · = ;

(359 – 352) · 100 = · = .

2) (6 + 3) · 100 = ;

(83 – 76) · 100 = .

5.

6.

7.

8.

92

9.

10.


1) (2 · 3) · 100 = · = ;

(4 · 2) · 100 = · = .

2) (3 · 3) · 100 = ;

(2 · 5) · 100 = .

u svakom kavezu je po 100 pili}a. Koliko je pili}a:

1) u 5 kaveza; 2) u 7 kaveza?

3 dEQEWE BroJEM 10 I BroJEM 100

Izra~unaj:

20 : 10 = 40 : 10 = 30 : 10 =

50 : 10 = 80 : 10 = 60 : 10 =

90 : 10 = 70 : 10 = 100 : 10 =

Sli~no delimo i trocifrene brojeve sa 10.

46 · 10 = 460, onda je 460 : 10 = 46. 75 · 10 = 750, onda je 750 : 10 = 75, itd.

Broj koji se zavr{ava nulom delimo sa 10 tako {to mu sa desne strane obri{emo nulu.

Izra~unaj koli~nik:

570 : 10 = 460 : 10 = 620 : 10 =

940 : 10 = 780 : 10 = 1 000 : 10 =

Koli~nik vi{estruke stotine i 100 je, na primer:

400 : 100 = 4, jer je 100 · 4 = 400700 : 100 = 7, jer je 100 · 7 = 700, itd.

1.

2.

7

93

Broj koji se zavr{ava sa dve nule delimo sa 100 tako {to mu sa desne strane obri{emo dve nule.

Izra~unaj koli~nik:

300 : 100 = 600 : 100 = 800 : 100 =

500 : 100 = 900 : 100 = 1 000 : 100 =

popuni tabelu.

10

: 280 750 120 430 390 840 570 910 690 700

Koliko sedi{ta ima svaki od 10 jednakih autobusa, ako su svi zajedno prevezli:

1) 480 u~enika; 2) 550 u~enika?


1) (158 + 32) : 10 = : = ;

(357 – 17) : 10 = : = .

2) (465 + 125) : 10 = ;

(832 – 502) : 10 = .

3) (397 + 103) : 100 = ;

(856 – 356) : 100 = : = .


1) (68 · 10) : 10 = ;

(100 · 5) : 10 = .

2) (3 · 300) : 100 = ;

(400 · 2) : 100 = : = .

3.

4.

5.

6.

7.

94

8.

9.

u svakom kavezu je po 100 pili}a. u koliko kaveza se moè smestiti:

1) 500 pili}a; 2) 700 pili}a?

Na svakih 100 m dalekovoda duìne 1 km postavqen je po jedan stub. Izme|u svaka dva stuba zasa|eno je po 10 vo}aka.

1) Koliko je postavqeno stubova?

2) Koliko je zasa|eno vo}aka?

4 ZaMENa MESTa ÎNIlaCa. Zdru@IvaWE ÎNIlaCa

Za mnoèwe do 100, zamenu mesta ~inilaca upoznali smo u drugom razre-du. Na primer, ako imamo ètone raspore|ene u 4 reda po 5 ètona, kao na slici,

4 · 5, tj. 4 reda po 5 ètona

5 · 4, tj. 5 kolona po 4 ètona

u oba slu~aja razmatrali smo isti skup, pa je 4 • 5 = 5 • 4.Sli~no bi bilo ako bi po a ètona rasporedili u b redova, odnosno, po b ètona u a kolona.

b · a, tj. b redova po a ètona

a · b, tj. a kolona po b ètona

···

· · ·1 2 3 a

· · ·2

· · · b

7

95

u oba slu~aja razmatrali smo isti skup, pa je a • b = b • a.

ako ~inioci uzajamno zamene svoja mesta proizvod se ne}e promeniti.

upi{i ~inilac koji nedostaje da jednakost bude ta~na:

8 · 6 = 6 · 4 · 7 = · 4 5 · = 9 · 5

· 7 = 7 · 9 3 · x = · 3 a · x = x ·

odredi vrednost promenqive ako je:

1) 3 · b = 4 · 3 2) a · 7 = 7 · 5

b = a =

Za mnoèwe do 100, zdruìvawe ~inilaca upoznali smo u drugom raz-redu. Na primer, ako imamo kockice raspore|ene u 4 reda po 5 kockica, kao na slici.

4

5

4

5

3

Kockice su raspore|ene u 3 sloja po 4 · 5 kockica, tj.

(4 · 5) · 3 kockica

5

3

4

5

3

Kockice su raspore|ene u 4 bloka po 5 · 3 kockica, tj.

4 · (5 · 3) kockica

u oba slu~aja razmatrali smo isti skup kockica, pa je

(4 · 5) · 3 = 4 · (5 · 3).

1.

2.

96

înioci mogu biti bilo koja tri broja, pa svojstvo proizvoda koje nazi-vamo Zdru@IvaWE ÎNIlaCa zapisujemo

(a · b) · c = a · (b · c)

vrednost proizvoda se ne mewa ako ~inioce zdruìmo.

Izra~unaj proizvod:

1) 2 · 3 · 4 =(2 · 3) · 4 = · =

2 · (3 · 4) = · =

2) 7 · 2 · 4 =(7 · 2) · 4 = · =

7 · (2 · 4) = · =

3) 5 · 3 · 4 =(5 · 3) · 4 = · =

5 · (3 · 4) = · =

3.

5 MNo@EWE I dEQEWE ZBIra

Mnoèwe zbira, za primer do 100, upoznali smo u drugom razredu. Na primer, mnoèwe zbira (5 + 3) • 4 moèmo prikazati grafi~ki kao na slici.

+

+

+

+

(5 + 3) · 4, tj. 4 reda po 5 + 3 ètona

5 · 4 + 3 · 4

tj. 5 kolone po 4 ètona i 3 kolone po 4 ètona.u oba slu~aja razmatrali smo isti skup ètona, pa je

(5 + 3) · 4 = 5 · 4 + 3 · 4.

7

97

Sabirci i ~inilac mogu biti bilo koja tri broja, pa svojstvo koje na-zivamo MNo@EWE ZBIra zapisujemo

(a + b) · c = a · c + b · c.

Zbir mnoìmo brojem tako {to pomnoìmo svaki sabirak tim brojem, pa dobijene proizvode saberemo.

upi{i broj koji nedostaje da jednakost bude ta~na:

1) (3 + 8) · 4 = 3 · 4 + 8 · (7 + 2) · 5 = · 5 + 7 · 5

2) (12 + ) · 10 = 12 · 10 + 7 · 10 (a + ) · 7 = a · 7 + x · 7

Izra~unaj:

17 · 5 = (10 + 7) · 5 = 10 · 5 + 7 · 5 = + =

18 · 8 = (10 + 8) · 8 = · 8 + · = + =

16 · 9 = (10 + 6) · 9 =

120 · 3 = (100 + 20) · 3 = 100 · 3 + · = + =

20 · 45 = (10 + 10) · 45 = · + · =

deqewe zbira, za primer do 100, upoznali smo u drugom razredu. Na primer, mnoèwe zbira (20 + 12) : 4 moèmo prikazati grafi~ki kao na slici.

+20 12

20 + 12

20 : 4 12 : 4 +

(20 + 12) : 4

u oba slu~aja smo razmatrali ~etvrtinu istog skupa pa je

(20 + 12) : 4 = 20 : 4 + 12 + 4.

Sabirci i delilac mogu biti bilo koja tri broja, pod uslovom da je svaki sabirak deqiv datim deliocem, pa svojstvo koje nazivamo dEQEWE ZBIra zapisujemo

(a + b) : c = a : c + b : c

Zbir delimo brojem tako {to podelimo svaki sabirak tim brojem, pa dobijene koli~nike saberemo.

4.

5.

98

upi{i broj koji nedostaje da jednakost bude ta~na:

1) (45 +20) : 5 = 45 : 4 + 20 : , (40 + 56) : 8 = : 8 + 56 : 8

2) (120 + ) : 10 = 120 : 10 + 70 : 10, (a + ) : 7 = a : 7 + x : 7.

Izra~unaj:

170 : 5 = (100 + 70) : 5 =100 : 5 + 70 : 5 = + =

128 : 8 = (80 + 48) : 8 = : 8 + : = + =

135 : 9 = (90 + 45) : 9 =

108 : 6 = (60 + 48) : 6 = : + : = + =

168 : 7 = (70 + 70 + 28) : 7 =

6.

7.

vi{estruku deseticu napi{i kao proizvod broja 10 i jednocifrenog broja:

60 = 10 · 6, 30 = · 10, 50 = · ,

40 = , 80 = , 20 = ,

70 = , 90 = , 60 = .

vi{estruku deseticu najpre napi{emo kao proizvod jednocifrenog broja i 10.

4 · 60 = 4 · (6 · 10), udruìmo prvi i drugi ~inilac4 · 60 = (4 · 6) · 10 = 24 · 10 = 240.

Zna~i, jednocifrenim brojem pomnoìli smo cifru desetica, pa tom proizvodu dopisali zdesna jednu nulu.

Izra~unaj proizvod sa zapisivawem postupka ra~unawa:

7 · 80 = · ( · ) = ( · ) · = · =

3 · 30 =

6 MNo@EWE vI[ESTruKE dESETICE JEdNoCIFrENIM BroJEM

1.

2.

7

99

postupak mnoèwa moèmo kra}e zapisivati podvla~ewem jednoci-frenog ~inioca i desetica dvocifrenog broja.

7 • 50 = 350 ra~unamo: – prvo, 7 • 5 = 35 – drugo, dopisujem nulu zdesna.

Izra~unaj skra}enim zapisivawem:

9 · 20 = 5 · 70 =

8 · 40 = 7 · 90 =

3.

7 MNo@EWE dvoCIFrENoG BroJa JEdNoCIFrENIM

Svaki dvocifreni broj moè se zapisati kao zbir vi{estrukih deseti-ca i jedinica, na primer:

63 = 60 + 3 = 6 · 10 + 3.

dvocifreni broj zapi{i kao zbir vi{estrukih desetica i jedinica:

75 = 56 =

48 = 98 =

7 · 48 = 7 · (40 + 8) = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 =

proizvod jednocifrenog i dvocifrenog broja izra~unavamo tako {to dvocifreni broj najpre napi{emo kao zbir vi{estrukih desetica i jedinica pa taj zbir pomnoìmo jednocifrenim brojem. Najpre mnoìmo desetice.


6 · 58 = · ( + ) = · + · =

= + =

4 · 97 =

=

1.

2.

100

postupak mnoèwa moèmo kra}e zapisivati podvla~ewem.

7 · 48 = 280 + 56 =

Izra~unaj skra}enim zapisivawem:

6 · 43 = 5 · 75 =

8 · 39 = 9 · 56 =

prilikom pismenog mnoèwa najpre mnoìmo jedinice. ̂ inioce i proiz-vod moèmo pisati u tabeli, na primer:

Sd J

7 8 . 6 =

d J

4 6 8

2 8

– prvo, 6 puta 8 je 48; 8 jedinica zapisujemo, a desetice dodajemo deseticama,

– drugo, 6 puta 7 je 42 i 4 je 46.

Izra~unaj proizvod:

69 · 2 = 4 · 84 = 75 · 3 =

48 · 7 = 54 · 8 = 67 · 9 =

62 · 6 = 37 · 5 = 95 · 7 =

Izra~unaj, najpre udruì ~inioce:

68 · 2 · 3 = ( · ) · =

· ( · ) =

96 · 4 · 2 =( · ) · =

· ( · ) =

57 · 3 · 3 =( · ) · =

· ( · ) =

3.

4.

5.

7

kra}e,78 · 6 = 468

101

Svaki od 5 autobusa ima po 45 sedi{ta. Koliko najvi{e putnika mogu da prevezu ti autobusi?

Izra~unaj proizvod najve}eg dvocifrenog i najve}eg jednocifrenog broja.

Cena vo}a je 65 dinara. Koliko treba platiti 7 kg tog vo}a?

u jednom kamionu ima 6 sanduka po 84 kg, a u drugom 500 kg tereta. u kom kamionu ima vi{e robe?

Jovan je kupio 7 kg jabuka po 42 dinara, a ana 6 kg po 48 dinara. Ko je vi{e platio?

6.

7.

8.

9.

10.

8 dEQEWE dvoCIFrENoG BroJa JEdNoCIFrENIM

Za brojeve koje smo dobili mnoèwem broja 6 nekim prirodnim brojem, na primer,

1 · 6, 2 · 6, 3 · 6, 4 · 6, 5 · 6, 6 · 6, 7 · 6, 8 · 6, 9 · 6, … , a · 6,

kaèmo da su deqivi brojem 6, jer ako je

7 · 6 = 42, onda je 42 : 6 = 78 · 6 = 48, onda je 48 : 6 = 8

[ta je sa vrednostima broja x, 42 < x < 48,

x ∈ { , , , , }, upi{i ~lanove skupa, da li su i ti brojevi deqivi sa 6?Ne, jer, na primer,

45 : 6 = 7 i ostaje 3, tj. 45 = 6 · 7 + 3.

Za ovakve primere kaèmo da je to dEQEWE Sa oSTaTKoM.

102

uradi ostale primere, odredi ostatak i napi{i ta~nu jednakost:

43 : 6 = , tj. 43 = ;

44 : 6 = , tj. 44 = ;

46 : 6 = , tj. 46 = ;

47 : 6 = , tj. 47 = .ako je delilac 6, onda je ostatak mawi od 6, tj. ostatak }e uvek biti mawi od delioca.

podeli, odredi ostatak i napi{i ta~nu jednakost ~emu je jednak deqenik:

53 : 8 = , tj. 53 = ;

35 : 4 = , tj. 35 = ;

58 : 7 = , tj. 58 = .

ako treba da podelimo dvocifreni broj jednocifrenim, na primer,

75 : 5

deqenik, najpre rastavimo na dva sabirka od kojih je prvi vi{estruka desetica deqiva sa 5:

75 : 5 = (50 + 25) : 5 = 50 : 5 + 25 : 5 = 10 + 5 = 15.

po{to je i drugi sabirak, 25 deqiv sa 5, to je i 75 deqiv sa 5, tj. ostatak je 0.

podeli:

72 : 6 = (60 + 12) : 6 =

84 : 3 = (60 + 24) : 3 =

91 : 7 =

96 : 8 =

92 : 4 =

pri pismenom deqewu deqenik, delilac i koli~nik moèmo pisati u tabele, na primer,

: 4 =

d J

2 3

.

d J

1

– 8

9 2

1 2

– 1 2

0

.

1.

7

.

103

ovo je primer deqewa bez ostatka, tj. 92 je deqiv sa 4.

Izra~unaj koli~nik:

58 : 2 = 76 : 4 = 75 : 3 =

84 : 7 = 95 : 5 = 87 : 3 =

84 : 6 = 85 : 5 = 96 : 4 =

Izra~unaj:

96 : (4 : 2) = 96 : 2 = , (96 : 6) : 2 = : 2 =

84 : (6 : 2) = : 3 = (84 : 6) : 2 =

81 : (9 : 3) = (81 : 9) : 3 =

devedeset pet jabuka treba zapakovati u 5 kesa sa jednakim brojem jabuka. Koliko je jabuka u svakoj kesi?

92 : 4 = 23 – 8 12 – 12 0

5.

4.

3.

kra}e,– prvo, 9 podeqeno sa 4 (ili 4 u 9) je 2; zapisujemo 2 u koli~niku;

– drugo, 2 puta 4 je 8; oduzimamo 8 od 9, ostaje 1;– tre}e, dopisujemo cifru 2; 4 u 12 je 3, zapisujemo

cifru 3 u koli~niku;– ~etvrto, 3 puta 4 je 12; oduzimamo 12 od 12, osta-

je 0.

104

Izra~unaj koli~nik najve}eg dvocifrenog i najve}eg jednocifrenog broja.

Za 7 olovaka pla}eno je 98 dinara. Kolika je cena olovke?

Cena kwige je 84 dinara, a gumice 6 dinara. Koliko puta je kwiga skupqa od gumice?

aca je kupio 3 sveske za 75 dinara i 4 sveske za 92 dinara. Koja vrsta svezaka (prva ili druga) ima ve}u cenu i za koliko?

6.

7.

8.

9.

9 MNo@EWE TroCIFrENoG BroJa JEdNoCIFrENIM

Svaki trocifreni broj moè se zapisati kao zbir vi{estrukih sto-tina, desetica i jedinica, na primer,

485 = 400 + 80 + 5

Trocifreni broj napi{i kao zbir vi{estrukih stotina, desetica i jedi-nica:

358 = 527 =

164 = 496 =

proizvod jednocifrenog i trocifrenog broja izra~unavamo tako {to trocifreni broj najpre napi{emo kao zbir vi{estrukih stotina, de-setica i jedinica, pa zatim mnoìmo svaki sabirak, na primer:

3 · 274 = 3 · (200 + 70 + 4) = 3 · + 3 · + 3 · =

= 600 + 210 + 12 = .

Najpre pomnoìmo stotine, zatim desetice, pa jedinice.

1.

7

105


1) 3 · 265 = 3 · ( + + ) =

= · + · + · =

= + + =

2) 4 · 186 =

=

=

postupak moèmo kra}e zapisivati podvla~ewem (prvo mnoìmo sto-tine).

5 · 187 = 500 + 400 + 35 =

Izra~unaj proizvod skra}enim zapisivawem postupka ra~unawa:

5 · 175 = + + =

8 · 123 =

prilikom pismenog mnoèwa najpre mnoìmo jedinice. ̂ inioce i proiz-vod moèmo pisati u tablici, na primer:

S d J

9 5 2

8 2 2

S d J

2 3 8 . 4 =

kra}e,

238 · 4 = 952– prvo, 4 puta 8 je 32; 2 jedinice zapisujemo, a 3 de-setice dodajemo deseticama,

– drugo, 4 puta 3 je 12 i 3 je 15 desetica; 5 desetica zapisujemo, a 1 stotinu dodajemo stotinama,

– tre}e, 4 puta 2 je 8 i 1 je 9 stotina.

Izra~unaj proizvod:

297 · 3 = 167 · 5 =

158 · 6 = 165 · 4 =

119 + 8 = 276 · 3 =

2.

3.

4.

106

Izra~unaj, najpre udruì ~inioce:

154 · 2 · 3 =( · ) · =

· ( · ) =

117 · 4 · 2 =( · ) · =

· ( · ) =

Kompozicija voza sastoji se od lokomotive i 7 vagona. Svaki vagon ima 136 sedi{ta. Sva su sedi{ta zauzeta. Koliko je putnika u tom vozu?

Jovana je kupila 5 svezaka po 128 dinara i 8 svezaka po 36 dinara. Koliko je platila sveske?

5.

6.

7.

10 dEQEWE SToTINa I vI[ESTruKIH dESETICaJEdNoCIFrENIM BroJEM

Izra~una}emo:200 : 2 = 2 S : 2 = 1 S = 100Izra~unaj:

400 : 2 = 600 : 2 =

800 : 2 = 1 000 : 2 =

Tako|e, znamo iz drugog razreda da je 100 : 2 = 50.

Kako izra~unati koli~nik, na primer, 500 : 2?deqenik, najpre rastavimo na dva sabirka, podesna za deqewe sa 2.

500 : 2 = (400 + 100) : 2 = 400 : 2 + 100 : 2 = + = Izra~unaj:

300 : 2 = (200 + 100) : 2 =

700 : 2 =

900 : 2 =

1.

2.

7

107

Samo vi{estruke stotine 300, 600 i 900 su deqive sa 3. Izra~unaj:

300 : 3 = 600 : 3 = 900 : 3 =

Znamo da je 100 : 4 = 25. Izra~unaj:

200 : 4 = 300 : 4 =


500 : 4 = (400 + 100) : 4 = 400 : 4 + 100 : 4 = + = Izra~unaj:

600 : 4 = (400 + 200) : 4 =

700 : 4 =

900 : 4 =

1 000 : 4 = (800 + 200) : 4 =

Znamo da je 100 : 5 = 20. Izra~unaj:

200 : 5 = 300 : 5 = 400 : 5 =

700 : 5 = (500 + 200) : 5 =

ako je deqenik vi{estruka desetica bi}e:120 : 4 = 12 d : 4 = 3 d = 30Izra~unaj:

210 : 7 = 320 : 8 =

450 : 9 = 420 : 6 =

240 : 3 = 350 : 5 =


760 : 4 = (400 + 360) : 4 = 400 : 4 + 360 : 4 = + =

Izra~unaj:

750 : 5 = (500 + 250) : 5 =

840 : 3 = (600 + 240) : 3 =

3.

4.

5.

6.

7.

8.

108

910 : 7 = (700 + 210) : 7 =

840 : 6 = (600 + 240) : 6 =

960 : 8 = (800 + 160) : 8 =

roba mase od 720 kg zapakovana je u 6 jednakih kontejnera (sanduka). Koliko je robe u svakom kontejneru?

duìna dalekovoda je 720 m. dalekovod ima sedam stubova postavqenih na jednakom rastojawu izme|u svaka dva uzastopna stuba. Koliko je rastojawe dva uzastopna stuba? pazi, stub je i na po~etku i na kraju dalekovoda.

daska duìne 480 cm, pomo}u tri reza testerom, podeqena je na jednake delove. Kolika je duìna svakog dela?

9.

10.

11.

11 dEQEWE TroCIFrENoG BroJa JEdNoCIFrENIM

ako treba da podelimo trocifreni broj jednocifrenim, na primer,

675 : 5,

deqenik, najpre rastavimo na sabirke, podesne za usmeno deqewe sa 5.

675 : 5 = (500 + 150 + 25) : 5 = 500 : 5 + 150 : 5 + 25 : 5 = = 100 + 30 + 5 = 135

Izra~unaj koli~nik:

746 : 6 = (600 + 120 + 24) : 6 =

537 : 3 = (300 + 210 + ) : 3 =

1.

7

109

868 : 7 = (700 + + 28) : 7 =

992 : 8 = ( + + 32) : 8 =

756 : 4 =

pri pismenom deqewu deqenik, delilac i koli~nik moèmo pisati u tablice, na primer:

: 4 =

S d J

0

2 7

– 4

6 7 2

– 2 4

3 2

– 3 2

S d J

1 6 8

.

.

.

1) 672 : 4 = 168 – 4 27 – 24 32 – 32 0

kra}e,– prvo, 6 podeqeno sa 4 (ili 4 u 6) je 1; zapisujemo 1 u koli~niku;

– drugo, 1 puta 4 je 4; oduzimamo 4 od 6, ostaje 2; – tre}e, dopisujemo cifru desetica 7; 4 u 27 je 6,

zapisujemo cifru 6 u koli~niku;– ~etvrto, 6 puta 4 je 24; oduzimamo 24 od 27, os-

taje 3;– peto, dopisujemo cifru jedinice 2; 4 u 32 je 8,

zapisujemo cifru 8 u koli~niku;– {esto, 8 puta 4 je 32, oduzimamo 32 od 32,

ostaje 0.

2) 576 : 6 = 96 3) 728 : 5 = 145 i ostaje 3 – 54 – 5 36 22 – 36 – 20 0 28 – 25 3

primer 3) je deqewe sa ostatkom, zna~i, 728 = 5 · 145 + 3.

110

Izra~unaj koli~nik:

738 : 2 = 936 : 4 = 537 : 3 =

875 : 7 = 688 : 8 = 936 : 9 =

828 : 6 = 785 : 5 = 537 : 4 =

Izra~unaj:

936 : (4 : 2) = (936 : 4) : 2 =

(912 : 6) : 2 = 912 : (6 : 2) =

999 : (9 : 3) = (999 : 9) : 3 =

Svakog dana kow pojede 8 kg sena. Za koliko dana }e kow pojesti 760 kg?

Za jednu sedmicu kuhiwa je potro{ila 756 kg povr}a. Svakog dana tro{ena je jednaka koli~ina povr}a. Koliko je povr}a tro{eno dnevno?

u fabrici je u toku 6 radnih dana proizvedeno ukupno 834 para obu}e. Koliko pari obu}e proizvodi fabrika dnevno?

2.

3.

4.

5.

6.

7

111

12 ZavISNoST proIZvoda od ÎNIlaCa. STalNoST proIZvoda

Izra~unaj proizvod:

72 · 3 = .

ako jedan ~inilac pove}amo 2 puta, da li se i proizvod pove}a 2 puta? Izra~unaj i uporedi:

72 · (3 · 2) = ,

(72 · 3) · 2 = .

Jednakost navedenih izraza imamo na osnovu svojstva udruìvawa ~ini-laca,

72 · (3 · 2) = (72 ·3) · 2.

ako se jedan ~inilac pove}a 2, 3, … puta, onda se i proizvod pove}a isto toliko puta.

Izra~unaj proizvod 48 · 6 = . ako jedan ~inilac smawimo 2 puta, da li se i proizvod smawi 2 puta? Izra~unaj i uporedi:

(48 : 2) · 6 = , (48 · 6) : 2 = ,

48 · (6 : 2) = , (48 · 6) : 2 = .

ako se jedan ~inilac smawi 2, 3, … puta, onda se i proizvod smawi isto toliko puta.

popuni tablice.

72 · 3

144 · 3

· 2 · 2

48 · 6

16 · 6

: 3 : 3

1.

112

[ta }e biti sa proizvodom, na primer, 8 · 6 ako jedan ~inilac pove}amo 2, 3, … puta, a drugi smawimo isto toliko puta?

(8 : 2) · (6 · 2) = 4 · 12 = 4 · 2 · 6 = 8 · 6

ako jedan ~inilac pove}amo dva puta, a drugi smawimo dva puta, proiz-vod se ne}e promeniti.

popuni tabele.

__ · __

72 · 8

: 4 · 4

__ · __

9 · 36

· 3: 3

Moèmo i ovako razmi{qati:

– ako jedan ~inilac pove}amo 3 puta, proizvod }e se pove}ati 3 puta, a ako drugi ~inilac, istovremeno, smawimo 3 puta, proizvod }e se smawi-ti 3 puta.

(a · 3) · (b : 3) = (a · b) · 3 : 3 = (a · b) · 1 = a · b

ako jedan ~inilac pomnoìmo nekim brojem, a drugi podelimo istim brojem, onda se proizvod ne}e promeniti.

Izra~unaj proizvod 48 · 8 = , a zatim izra~unaj vrednost izraza:

(48 · 2) · (8 : 2) =

(48 · 4) · (8 : 4) =

(48 · 8) · (8 : 8) =

2.

3.

7

113

Na slici su prikazani ètoni (kruì}i) u 6 redova po 7 kruì}a ili u 7 kolona po 6 kruì}a.

6 · 7 = 42

7 · 6 = 42

42 : 6 = 7

42 : 7 = 6

ukupan broj kruì}a ra~unamo: 6 redova po 7 kruì}a ili 7 kolona po 6 kruì}a, tj.

6 · 7 = 42 ili 7 · 6 = 42.

Broj kruì}a u jednom redu je ukupan broj podeqen sa brojem redova, tj.

42 : 6 = 7,

a broj kruì}a u jednoj koloni je ukupan broj podeqen brojem kolona, tj.

42 : 7 = 6,

pomo}u brojeva 6, 7 i 42 i znaka · ili : napisali smo ~etiri ta~ne jednakosti:6 · 7 = 42, 7 · 6 = 42, 42 : 6 = 7, 42 : 7 = 6.

data su dva broja – 8 i 4, odredi tre}i broj (dva cifre) pomo}u kojih moè{ napisati ~etiri, odnosno osam ta~nih jednakosti:

u prvom zadatku razmatrali smo odre|eni broj ̀ etona. Broj ̀ etona moè biti proizvoqan, a, b, c, ali povezan ta~nom jednako{}u a = b · c.

13 vEZa MNo@EWa I dEQEWa. JEdNaKoST

1.

2.

3.

114

Moèmo napisati slede}e jednakosti:b · c = a 1. ~inilac (b) · 2. ~inilac (c) = proizvod (a)

a : b = c deqenik (a) : delilac (b) = koli~nik (c)

a : c = b deqenik (a) : delilac (c) = koli~nik (b)

Napisane jednakosti nam pokazuju vezu izme|u mnoèwa i deqewa.

1) veza prve i druge jednakosti, b · c = a i a : b = c daje:

ako je b · c = a, onda je a : b = c;

veza prve i tre}e jednakosti, b · c = a i a : c = b, daje:

ako je b · c = a, onda je a : c = b.

ako proizvod podelimo jednim ~iniocem, onda dobijemo drugi.

upi{i brojeve koji nedostaju i proveri ta~nost jednakosti:

ako je 9 · 7 = , onda je 63 : 9 = ,

63 : 7 = .

2) veza druge i prve jednakosti, a : b = c i b · c = a, daje

ako je a : b = c, onda je b · c = a.

ako pomnoìmo koli~nik i delilac, dobijemo deqenik.

upi{i broj koji nedostaje i proveri ta~nost jednakosti;

ako je 623 : 7 = , onda je 89 · 7 = ,

ako je 822 : 6 = , onda je 137 · 6 = .

3) veza druge i tre}e jednakosti, a : b = c i a : c = b, daje:

ako je a : b = c, onda je a : c = b.

ako deqenik podelimo koli~nikom, dobijemo delilac.

upi{i broj koji nedostaje i proveri ta~nost jednakosti:

ako je 80 : 8 = , onda je 80 : 10 = .

ako je 70 : 7 = , onda je 70 : 10 = .

dati su brojevi 8, 9 i 72. u svaku ku}icu upi{i jedan od datih brojeva, tako da jednakost bude ta~na:

= 8 · = 9 ·

= : 9 = 72 : 8

4.

7

115

ako je u jednakosti b · c = a jedan od ~inilaca nepoznat, obeleìmo ga slovom x, tada imamo jedna~ine:

x · c = b ili b · x = a.

Kako izra~unavamo nepoznati ~inilac? Zapi{i re~ima.

Izra~unaj nepoznati ~inilac:6 · x = 882 x · 7 = 868 8 · x = 776

x = : x = x =

x = x = x =

vrednost nepoznatog ~inioca naziva se rE[EWE JEdNaÎNE.Za prvu jedna~inu je x = 147, pa je broj 147 re{ewe te jedna~ine.

Kojim brojem treba pomnoìti:1) broj 6, pa da se dobije 372; 2) broj 7, pa da se dobije 595?

Jedan ~inilac je 8, drugi ~inilac je nepoznati broj x, a proizvod 752. Koliki je drugi ~inilac? Napi{i jedna~inu i re{i je.

u vo}waku je 9 redova, a u svakom redu po x stabala. ako broj redova pomnoìmo brojem stabala u jednom redu, dobi}emo ukupan broj stabala u vo}waku, 423. odredi nepoznati broj x.

14 JEdNaÎNa. IZraûNavaWE NEpoZNaToG ÎNIoCa

1.

2.

3.

4.

116

15 JEdNaÎNE. IZraûNavaWE NEpoZNaToG dEQENIKa IlI dElIoCa

ako je u jednakosti a : b = c deqenik ili delilac nepoznat obeleì}emo ga slovom x, tada imamo jedna~ine:

x : b = c ili a : x = c.

Kako izra~unavamo nepoznati deqenik? Zapi{i re~ima.

Kako izra~unavamo nepoznati delilac? Zapi{i re~ima.

Izra~unaj nepoznati deqenik:x : 3 = 242 x : 6 = 137 x : 7 = 124

x = ·

re{ewe prve jedna~ine je , druge , tre}e .

Koji broj treba podeliti:1) brojem 4, da bi se dobilo 518; 2) brojem 8, da bi se dobilo 116?

Izra~unaj nepoznati delilac:625 : x = 5 994 : x = 7 963 : x = 9

x = ·

re{ewe prve jedna~ine je , druge , tre}e .

Kojim brojem treba podeliti:1) 692, pa da se dobije 4; 2) 828, pa da se dobije 6?

1.

2.

3.

4.

7

117

dati su brojevi 252 i 3, i nepoznati broj x. od datih brojeva sastavi jedna~inu i re{i je:1) ako je x deqenik; 2) ako je x delilac.

Broj x kaè:– ako me smawi{ 3 puta, dobi}e{ 291.Broj y mu odgovori:– da bih se ja tada izjedna~io s tobom potrebno je da me pove}a{ 3 puta.Napi{i jedna~ine i izra~unaj nepoznate brojeve x i y.

proizvod brojeva 9 i x jednak je proizvodu brojeva 111 i 6. Izra~unaj nepoznati ~inilac.

Koli~nik brojeva 740 i x jednak je proizvodu brojeva 148 i 5. Izra~unaj nepoznati delilac.

u svakoj od 3 korpe ima jednak broj jabuka. u 3 korpe ima 86 jabuka vi{e nego u jednoj korpi. Koliko je jabuka u svakoj korpi? posluì se slikom. Nacrtaj korpe.

prazan kamion krenuo je u {umu po drva. u odlasku se kretao brzinom od 60 km na ~as i stigao zo 4 ~asa. u povratku, natovaren, kretao se sporije i vratio se za 5 ~asova. Kojom se brzinom kretao u povratku?

5.

6.

7.

8.

9.

10.

118

1Ugao

uGao. uoâvaWE, CrTaWE I oBElE@avaWE uGlova

upoznali smo prav ugao. Na slici je prikazan jedan prav ugao.

Zapi{i:

Kako je obeleèno teme ugla?

Kako su obeleèni kraci ugla? ugao }emo obeleàvati aOb.

Nacrtaj prave uglove xOy, cCd, eEf, ~iji je jedan krak nacrtan na slici.

O

x

C

d E

e

dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom mogu obrazovati razli~ite uglove i u razli~itom poloàju.

deo ravni odre|en polupravama Oa i Ob naziva se ugao.

O a

b

unutra{wa oblast

poluprave Oa i Ob nazivamo kracima ugla.

Kraci ugla dele ravan na dve oblasti. oblast izme|u krakova naziva se unutra{wa oblast.ugao obeleàvamo znakom za ugao i slovima kojima su obeleèni kraci i teme ili samo teme ugla. ugao na slici obeleì}emo

aOb ili bOa ili O

O a

b

1.

2.

8

119

Nacrtaj i obeleì ugao ~iji je jedan krak dat na slici, a drugi krak prolazi kroz nazna~enu ta~ku.

...

.

.

.

uo~i neke uglove na slici zgrade. uo~ene uglove obeleì.

prona|i {est uglova i zapi{i ih kako su obeleèni na slici.

, ,

, ,

O a

b

cd

3.

4.

5.

120

2 vrSTE uGlova

Na slici je raskrsnica. linije ivi~waka i linije na kolovozu odre|uju neke uglove. Neki uglovi su pravi uglovi, a neki nisu.olovkom jedne boje ozna~i prave uglove, a drugom bojom uglove koji nisu pravi.

Nacrta}emo uglove sa slike koji nisu pravi i obeleìti ih.

O x

y

Aa

b

ako preko nacrtanog ugla postavimo prav ugao tako da im se poklope temena i po jedan krak kaèmo da smo uglove uporedili.

ugao xOy je mawi od pravog ugla, aAb je ve}i od pravog ugla.

ugao mawi od pravog ugla naziva se o[Tar uGao.ugao ve}i od pravog ugla naziva se Tup uGao.

Ispod slike napi{i ime svakog nacrtanog ugla.

O A B C

1.

8

121

Koliko o{trih uglova je prikazano na slici? Zapi{i ih.

O a

b

c

Koliko pravih uglova je prikazano na slici? Zapi{i ih.

A a

b

c

razvrstaj i zapi{i koji su uglovi prikazani na slici.

O a

b

c

d

o{tri

pravi

Tupi

razvrstaj i zapi{i koji su uglovi prikazani na slici ({est uglova).

O a

b

cd

o{tri

pravi

Tupi

3.

4.

5.

2.

122

Na slici, svaki o{tar ugao ozna~i brojem 1, prav ugao brojem 2, a tup ugao brojem 3.

Nacraj i obeleì ta~ke A i B, koje su u oblasti o{trog ugla O i ta~ku C koja nije u oblasti tog ugla.

O

6.

7.

8

123

Na slici su neke figure. u svaki pravougaonik upi{i slovo p, a u kvadrat slovo K.

Na slici kvadrate oboji crveno, a pravougaonike plavo.

Na slici kvadrate oboji jednom, a pravougaonike drugom bojom.

1Pravougaonik i kvadrat

uoâvaWE pravouGaoNIKa I KvadraTa

1.

2.

3.

9

124

Na slici je jedan pravougaonik.

A B

CD

a

a

bb

Kakvi su uglovi pravougaonika?

otuda ime pravougaonik.Koliko uglova ima pravougaonik?

Figura (slika) koja ima ~etiri ugla naziva se ~etvorougao.

pravouGaoNIK JE ÊTvorouGao ÎJI Su SvI uGlovI pravI.

Temena pravougaonika su istovremeno i temena wegovih uglova. obeleàvamo ih, naj~e{}e, velikim slovima latinice.

pravougaonik na slici obeleèn je ABCD, a wegovi uglovi A, B, C, D su pravi uglovi.

duì AB, BC, CD, DA su stranice pravougaonika. Stranice (duì) obeleàvamo i malim slovim latinice.

Stranice koje imaju jednu zajedni~ku ta~ku nazivaju se susedne stranice, na primer,

AB i AD su susedne stranice.

Navedi ostale parove susednih stranica pravougaonika.

i , i , i Kakve su po duìni susedne stranice pravougaonika? uporedi ih. Zapi{i.

Naspramne stranice su AB i CD. one su po duìni jednake. proveri, uporedi ih. Koji je drugi par naspramnih stranica?

2 pravouGaoNIK I KvadraT – uGlovI I STraNICE

9

125

prona|i na slici tri pravougaonika. Zapi{i te pravougaonike i wihove naspramne stranice.

A B C

DEF

pravougaonik , naspramne stranice su i , i .



Koja dva pravougaonika na slici nemaju zajedni~ku oblast?

ako su sve stranice pravougaonika jednake, onda se taj pravougaonik naziva kvadrat.

Zna~i,

AB = BC = CD = DA = a

A B

CD

a

a

a

a

KvadraT JE ÊTvorouGao ÎJI Su SvI uGlovI pravI, a SvE STraNICE JEdNaKE.

prona|i na slici tri kvadrata. Zapi{i te kvadrate i wihove stra-nice.

AB C

D

EFG

H K

1.

Kvadrat , stranice su .



Koja dva kvadrata na slici nemaju zajedni~ku oblast?

2.

126

Nacrtaj ~etvrtu stranicu pravougaonika i kvadrata i obeleì nacrtane ~etvorouglove.

3.

Na kvadratnoj mreì nacrtani su pravougaonik i kvadrat.

K

L

M

N

A B

CD

PO

RS

E F

GH

Izmeri duìne stranica kvadrata i pravougaonika i iskaì ih u mm.

pravougaonik , AB = CE = mm, AD = BC = mm.

pravougaonik , .

Kvadrat , .

Kvadrat , .

Na kvadratnoj mreì nacrtaj 3 pravougaonika. obeleì ih.

. M

K

L

E

H .

FA B

C

3 CrTaWE pravouGaoNIKa I KvadraTa Na KvadraTNoJ MrE@I

1.

9

127

Na kvadratnoj mreì nacrtaj kvadrat i obeleì ga, ako je data wegova stranica. pazi. Moè{ nacrtati dva kvadrata, sa jedne ili sa druge strane date stranice.

K

L

E F

A

B

Na kvadratnoj mreì nacrtaj pravougaonik (tri slike) i obeleì ga, ako su data wegova tri temena, tri ta~ke na mreì.

·

·

·

.

·

·. .

.

Na kvadratnoj mreì nacrtaj kvadrat i obeleì ga, ako su data wegova dva temena, dve ta~ke na mreì. pazi. pomo}u dva data temena moè{ nacrtati dva kvadrata.

·

·

.

.

2.

3.

4.

128

Najpre, pomo}u trougaonika nacrtamo prav ugao. To ve} zna{.

A a

b

B

D

Na kracima pravog ugla ozna~imo duìnu stranica pravougaonika, AB = a, AD = b. Zatim, nacrtamo prav ugao B i odmerimo duìnu stranice BC = b. I na kraju, nacrtamo stranicu CD.

A a

b

B

D

b b

A a

b

B

D C

Nacrtaj pravougaonik ABCD, za koji je nacrtan jedan ugao i nazna~ene duìne stranica.

C

A a

b

B

A

a

b

CD

Nacrtaj pravougaonik ABCD ~ije su stranice AB= 4 cm, BC= 25 mm.

4 CrTaWE pravouGaoNIKa I KvadraTa TrouGaoNIKoM I lEWIroM

1.

2.

9

129

Kvadrat crtamo sli~no kao pravougaonik, samo vodimo ra~una da su sve stranice kvadrata jednake.

Nacrtaj kvadrat ABCD, za koji je nacrtan jedan ugao i nazna~ena duìna stranice. Zapi{i kako si crtao.

A a B

aD

A a B

Nacrtaj kvadrat ~ija je stranica:

1) a = 4 cm; 2) a = 35 mm.

3.

4.

130

Najpre, pomo}u trougaonika nacrtamo prav ugao. To ve} zna{.

A a

b

B

D

Na kracima pravog ugla ozna~imo duìnu stranica pravougaonika, AB = a, AD = b. Zatim, stranicu AD {estarom prenesemo u poloàj stranice BC, a stranicu AB u poloàj stranice DC.

A a

b

B

D

A a

b

B

D C

I na kraju, nacrtamo stranice BC i CD.

A a

b

B

D C

Nacrtaj pravougaonik ~ije su stranice:1) a = 5 cm, b = 3 cm; 2) a = 6 cm, b = 35 mm.

5 CrTaWE pravouGaoNIKa I KvadraTa [ESTaroM ITrouGaoNIKoM

1.

9

131

Kvadrat crtamo kao pravougaonik, samo vodimo ra~una da su sve stranice kvadrata jednake.

Nacrtaj kvadrat ABCD, za koji je nacrtan jedan ugao i nazna~ena duìna stranice. Zapi{i kako si crtao. Najpre smo stranicu AB preneli u poloàj stranice AD.

Nacrtaj kvadrat ~ija je stranica:1) a = 6 cm; 2) a = 45 mm.

Nacrtaj pravougaonik ABCD ~ije je jedno teme ta~ka D, a temena A i B pripadaju pravoj p.

D .

B.

p

2.

3.

4.

A a B

132

Na slici je proizvoqan pravougaonik, ~ije su stranice AB = a, AD = b.

A B

C D

a

b

ako se olovka kre}e po stranicama pravougaonika od temena A preko temena B , C i D do temena A, opisa}e zatvorenu izlomqenu liniju koju nazivamo obim pravougaonika.

A B C D A1 a b a b p

ako se stranice pravougaonika nadovezivawem prenesu na pravu p, dobija se du` koja je jednaka zbiru stranica pravougaonika, obimu pravougaonika:

AA1 = a + b + a + b.

ako obim pravougaonika ozna~imo slovom O, onda je

O = a + b + a + b ili O = 2 · a + 2 · b.

Izmeri stranice nacrtanog pravougaonika u milimetrima i izra~unaj obim pravougaonika.

a = mm, O =

b = mm,

.

6 oBIM pravouGaoNIKa I KvadraTa

9

133

Izra~unaj obim pravougaonika ~ije su stranice:1) a = 13 cm, b = 8 cm; 2) a = 27 mm, b = 38 mm.

Stranice kvadrata ABCD nadovezivawem prenesi na polupravu Ap.

A B

C D

a

A p

Izmeri stranicu nacrtanog kvadrata (u milimetrima) i izra~unaj obim kvadrata.

a = mm, O =

.

Izra~unaj obim kvadrata ~ija je stranica:1) a = 7 cm; 2) a = 28 mm.

obim kvadrata je 26 cm. Izra~unaj stranicu (u milimetrima) i nacrtaj taj kvadrat.

Stranice pravougaonika su a = 8 cm, b = 5 cm.1) Stranica kvadrata jednaka je ve}oj stranici pravugaonika. Za ko-

liko je obim kvadrata ve}i od obima pravougaonika?

2) Stranica kvadrata jednaka je mawoj stranici pravougaonika. Za ko-liko je obim kvadrata mawi od obima pravougaonika?

obim kvadrata jednak je zbiru wegovih stranica.

O = a + a + a + a ili O = 4 · a

1.

2.

3.

4.

5.

6.

134

Kada zapi{emo brojeve i slova, povezane znacima operacija + , – , · , : , kaèmo da smo zapisali matemati~ki izraz ili kra}e, izraz. Izraz je na primer:

– obim pravougaonika, 2 · a + 2 · b,– obim kvadrata, 4 · a,– koli~nik brojeva, 145 : 5 i dr.

Za izraze sa jednom operacijom kaèmo da su to jednostavni izrazi, a za one sa vi{e operacija, da su to sloèni izrazi.

Izra~unaj i uporedi vrednosti izraza:

(138 + 257) + 364 =

138 + (257 + 364) =

138 + 257 + 364 =


(863 – 376) – 138 =

863 – (376 – 138) =


(138 · 4) · 2 =

138 · (4 · 2) =

138 · 4 · 2 =


(944 : 8) : 2 =

944 : (8 : 2) =

1Matemati~ki izrazi

IZraZI. rEdoSlEd opEraCIJa. ZaGradE

1.

2.

3.

4.

10

135

Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost:

1) od razlike brojeva 743 i 367 oduzmi 184;

2) od 743 oduzmi razliku brojeva 367 i 184;

3) koli~nik brojeva 936 i 6 podeli brojem 2;

4) 936 podeli koli~nikom brojeva 6 i 2.

5.

2 IZraZI Sa dvE raZlIÎTE opEraCIJE

Izrazi sa sabirawem i mnoèwem ili sa oduzimawem i mnoèwem. – ako u izrazu bez zagrada imamo sabirawe i mnoèwe ili oduzimawe i mnoèwe, onda uvek prvo radimo mnoèwe. ali, ukoliko treba prvo obaviti sabirawe ili oduzimawe, onda se to nazna~i zagradama.

1) Broju 158 dodaj proizvod brojeva 26 i 4. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost. ovaj izraz moèmo pisati bez zagrada.

158 + (26 · 4) = 158 + 26 · 4 =

2) Zbir brojeva 158 i 26 pomnoì brojem 4. ovaj izraz moramo pisati sa zagradama, jer je prvo sabirawe pa mnoèwe.

(158 + 26) · 4 =

3) od 158 oduzmi proizvod brojeva 26 i 4.

4) razliku brojeva 158 i 26 pomnoì brojem 4.

Izrazi sa sabirawem i deqewem ili oduzimawem i deqewem. – Isto postupamo kao u izrazima sa sabirawem i mnoèwem ili oduzimawem i mnoèwem. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.Broju 732 dodaj koli~nik brojeva 174 i 6.

732 + (174 : 6) = 732 + 174 : 6

1.

2.

136

1) Zbir brojeva 732 i 174 podeli brojem 6.

2) od 732 oduzmi koli~nik brojeva 174 i 6.

3) razliku brojeva 732 i 174 podeli brojem 6.

vo}ar je nabrao 470 kg jabuka. piqaru je prodao 155 kg, a ostalo zapako-vao u 7 jednakih sanduka. Koliko je jabuka u svakom sanduku? Napi{i izraz i izra~unaj.

3.

3 IZraZI Sa TrI opEraCIJE

ako je izraz bez zagrada, najpre radimo mnoèwe ili deqewe, a zatim sabirawe i oduzimawe. druga~iji redosled operacija mora biti nazna~en zagradama.

Izra~unaj vrednost izraza i uporedi ih:

1) 96 · 4 + 6 : 3 =

2) (96 · 4 + 6) : 3 =

3) 96 · (4 + 6 : 2) =

4) 96 · (4 + 6) : 2 =

u svakom izrazu isti su brojevi i operacije, a vrednosti izraza su razli~ite. objasni.

Izra~unaj vrednosti izraza i uporedi ih:

1) 552 : 8 – 6 · 3 =

2) (552 : 8 – 6) · 3 =

3) (552 : (8 – 6)) · 3 =

4) 552 : ((8 – 6) · 3) =

1.

2.

10

137


1) 116 · 3 + 6 : 3 = Isti izraz napi{i sa zagradama da redosled operacija bude:2) prvo + , zatim · , i najzad : ,

116 · 3 + 6 : 3 = 3) · , + , : ,

116 · 3 + 6 : 3 =

4) : , + , · ,

116 · 3 + 6 : 2 =

Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost:

1) proizvodu brojeva 126 i 4 dodaj koli~nik brojeva 276 i 6;

· + : =

2) zbir proizvoda brojeva 126 i 4 i broja 276 podeli brojem 6;

( · + ) : =

3) broj 4 pomnoì zbirom broja 126 i koli~nika brojeva 276 i 6.

· ( + : ) =

Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost:1) od proizvoda brojeva oduzmi koli~nik brojeva;

2) koli~niku brojeva dodaj proizvod brojeva.

aca je kupio tri kwige po 184 dinara i pet svezaka po 65 dinara. Koliko je ukupno platio? Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

duìna staze je 1 km. prva dva dana betonirano je po 248 m. preostali deo, tri jednake deonice betonirane su toku naredna tri dana. Koliko je metara staze betonirano svakog od ta tri dana? Napi{i izraz i re{i ga.

3.

4.

5.

6.

7.

138

10Cena {e}era je 55 dinara kilogram, uqa 74 dinara litar. Koliko }e{ platiti 5 kg {e}era i 6 litara uqa?

Gorani su zasadili 504 sadnice bora, hrasta i bagrema. Na svake dve sadnice bora dolaze tri sadnice hrasta i 4 sadnice bagrema. Koliko je zasa|eno sadnica bora, koliko hrasta, a koliko bagrema?

Formiraj snopi}e sadnica: 2 sadnice bora, 3 hrasta i 4 bagrema. Koliko je takvih snopi}a bilo?

Jovanka je i{la u bioskop i pozori{te i za ulaznice potro{ila 1 000 dinara. êtiri puta je i{la u bioskop, gde je cena ulaznice 85 dinara i tri puta u pozori{te. Kolika je cena ulaznice za pozori{te?

8.

9.

10.

ako treba da izra~unamo, na primer zbir broja 254 i broja sedamnaeste desetice, onda }e brojevna vrednost toga zbira zavisiti od vrednosti drugog sabirka, ozna~imo ga n. Zbir tada moèmo zapisati

254 + n, gde je 160 < n < 171, ili n ∈ (161, 162, 163, , 170}.

vrednost sabirka n je promenqiva, pa je izraz

254 + n jedan primer izraza sa promenqivom.

Za n = 161 vrednost zbira bi}e (promenqivu n zamenimo wenom vredno{}u),

254 + 161 = .

Za ostale vrednosti promenqive n, vrednost zbira moèmo prikazati tabelom. popuni tabelu.

n

254 + n

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170

4 IZraZI Sa proMENQIvoM

139

Izra~unaj vrednost proizvoda 93 · x, ako x jednocifreni broj prve desetice, tj. 0 < x < 10, ili x ∈ {1, 2, 3, … , 9}. popuni tablicu.

x

93 • x

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Za promenqive x i y napi{i wihov:

zbir razliku

proizvod koli~nik

ako je x = 96, y = 6 izra~unaj brojevne vrednosti napisanih izraza sa promenqivim.

Izra~unaj vrednost izraza (promenqive u izrazu zameni wihovim vrednostima):1) (x + y) · x, ako je x = 6, y = 217;

( + 217) · = 2) 207 : (a – b), ako je a = 15, b = 9;

3) (a + b) · (a – b), ako je a = 261, b = 253.

ocu je x godina. Sin je 25 godina mla|i od oca. Koliko je godina sinu? Napi{i izraz (razliku) sa promenqivom x.

ako je otac u ~etvrtoj dekadi ìvota (dekada 10 godina), 30 < x < 41, koliko je godina sinu? popuni tablicu.

x 31

3.

4.

2.

1.

140

10Izra~unaj obim pravougaonika ~ije su stranice a = 178 mm, b = 96 mm.

put se sastoji od tri deonice duìne a, b i c.1) Kolika je ukupna duìna puta? Napi{i izraz sa promenqivima.

2) Za koliko su prve dve deonice duè od tre}e?

ako je a = 275 m, b = 328 m, c = 485 m izra~unaj brojevne vrednosti napisanih izraza sa promenqivima.

u vo}waku ima {qiva, kru{aka i jabuka. [qiva ima a stabala, kru{aka dva puta vi{e, a jabuka tri puta vi{e od {qiva. Koliko stabala ima u vo}waku? Napi{i izraz sa promenqivima.

5.

6.

7.

141

posmatrajmo krov ku}e na slici. Svaka strana krova ima oblik tro-ugla.

oboji trouglove na slici.

Zatvorena izlomqena linija koja se sastoji od tri duì (trougaona linija) i sve ta~ke unutra{we oblasti ~ine trougao.

A B

C

Trougao ima tri ugla A, B, C, pa otuda ime trougao.Temena uglova su i temena trougla, pa trougao obeleàvamo

∆ ABC , ~itamo: trougao A, B, C.

duì AB, BC, CA su stranice trougla.Svaki trougao ima tri stranice i tri ugla.

1Trougao

TrouGao. uoâvaWE TrouGla

11

142

111. obeleì trouglove na slici i zapi{i kako si ih obeleìo.

∆

Kakvi su uglovi nacrtanih trouglova?uglovi:

– prvog trougla su

– drugog trougla su

– tre}eg trougla su

Nacrtaj trougao:1) ~ija su temena ta~ke A, B, C; 2) ~ija je jedna stranica du` AB i ta~ka C tre}e teme.

A

B

. C

A ·· B

. C

2.

2 CrTaWE TrouGla

Nacrta}emo trougao ~ije su stranice date duìne AB= 6 cm, BC= 5 cm, AC= 4 cm.

Najpre, nacrtamo duì datih duìna. Zatim, du` AB {estarom prenesemo na polupravu Aa.

A B

A B6 cm

B C5 cm

A C 4 cm

143

Iz ta~ke B kao centra, {estarom opi{emo deo kru`nice polupre~nika r = BC, a iz centra A deo kru`nice polupre~nik r = AC.

A B

· C

Nacrtani delovi kru`nica seku se u ta~ki C koja je tre}e teme trougla. Nastavi da crta{.

Nacrtaj trougao ~ije su stranice jednake datim duìma a, b, c.

a

b

c

B p

Na polupravu Bp prenesi stranicu BC = a, a zatim opi{i potrebne de-love kru`nica.

Nacrtaj trougao ~ija je jedna stranica jednaka duì a, a druge dve duì b.

pa

b A

bb

B C

a

Na polupravu Bp nanesemo stranicu BC. Iz ta~aka B i C kao centara, opi{emo delove kru`nica polupre~nika b. Nacrtani delovi kru`nica seku se u ta~ki A, a to je tre}e teme trougla.

1.

2.

144

11Nacrtaj trougao ~ije su sve stranice jednake duì a.

A B

Ca

a a

a

Istim otvorom {estara, polupre~nika a prenesemo stranicu AB i opi-{emo delove kru`nica. presek delova kru`nica je ta~ka C, i ona pred-stavqa tre}e teme trougla ~ije su sve stranice jednake.

Nacrtaj trougao ~ije su stranice duìne 5 cm, 6 cm, 7 cm.

Nacrtaj trougao ~ije jedna stranica duìne 7 cm, druge dve duìne 5 cm.

3.

4.

5.

145

Nacrtaj trougao ~ije su stranice jednake, AB=BC=AC= 6 cm.6.

Na slici je prikazan trougao ABC ~ije su stranice AB = c, BC = a, AC = b.

A B

C

ab

c

ako se olovka kre}e po stranicama trougla od temena A preko temena B i C do temena A, opisa}e zatvorenu izlomqenu liniju koju nazivamo obim trougla.

A B C

a

b

c

A1 p

ako se stranice trougla nadovezivawem prenesu na pravu p, dobije se du` jednaka zbiru stranica trougla, obimu trougla

AA1 = a + b + c.

ako obim trougla ozna~imo slovom o, onda je

O = a + b + c.

3 oBIM TrouGla

146

Izmeri stranice nacrtanog trougla i izra~unaj obim.

a = mm O =

b = mm

c = mm

dve stranice trougla ABC su jednake. Na pravoj p odredi du` AA1 jednaku obimu trougla.

O = a + 2 · b

A

B Ca

bb

p

Izmeri stranice nacrtanog trougla (u milimetrima) i izra~unaj obim trougla.

a = mm O =

b = mm

Sve stranice trougla ABC su jednake. Na pravoj p odredi du` AA1 jednaku obimu trougla.

O = a + a + a ili O = 3 · a

p

A B

C

a

a a

Izmeri stranicu nacrtanog trougla (u milimetrima) i izra~unaj obim trougla.

a = mm O =

1.

2.

11

147

Izra~unaj obim trougla ~ije su stranice:1) a = 48 mm, b = 6 cm, c = 72 mm;

2) a = 55 mm, druge dve stranice jednake b = 75 mm;

3) jednake a = 65 mm.

Stranice trougla su jednake, wegov obim je 216 mm. Nacrtaj taj tro-ugao.

dve stranice trougla su jednake, b = 5 cm, a obim trougla je 16 cm. Nacrtaj taj trougao.

3.

4.

5.

148

11obim trougla je 21 cm, a wegove dve stranice su a = 7 cm, b = 8 cm. Nacrtaj taj trougao.

dve stranice trougla ABC su jednake, AB = AC = 5 cm, a tre}a stranica BC pripada pravoj p. Nacrtaj taj trougao, koristi {estar. Izmeri tre}u stranicu (u milimetrima) i izra~unaj obim tog trougla.

. A p

obim trougla je 18 cm, a merni brojevi wegovih stranica su tri uzastopna broja. Nacrtaj taj trougao.

deda je postavio Milanu zadatak:– posadili smo dve kru{ke (vidi sliku). Gde da postavimo tre}u, pa da

rastojawe izme|u svake dve sadnice bude jednako?Grafi~ki odredi mesto. postoje dva re{ewa (dva mesta).

6.

7.

8.

149

1Razlomci

raZloMCI. 1

2

1

4

1

8, ,

Na slici su jedna du`, krug i kvadrat.

A BC

Kako smo dobili polovinu duì, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.

uop{te, polovinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na dva jednaka dela (deqewem sa 2). Jednu polovinu zapisujemo

1

2 ~itamo: jedna polovina

Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na dva jednaka dela, a broj iznad crte da imamo jedan takav deo.o~igledno je da je

1

2

1

2

2

21+ = = ,

tj. jedno celo ima dve polovine.

Izra~unaj:

1

2 od 56 je 56 : 2 =

A B C

Kako smo dobili ~etvrtinu duì, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.

uop{te, ~etvrtinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na ~etiri jednaka dela (deqewem sa 4). Jednu ~etvrtinu zapisujemo

12

150

1

4 ~itamo: jedna ~etvrtina.

Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na ~etiri jednaka dela, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo.o~igledno je, da je

1

4

1

4

1

4

1

4

4

41+ + + = = ,

tj. jedno celo ima ~etiri ~etvrtine.êtvrtinu moèmo dobiti i ako polovinu podelimo na dva jednaka dela. Zna~i,

1

2

1

2

1

4od =

Izra~unaj:

1

4 od 56 = 56 : 4 =

A B

C

Kako smo dobili osminu duì, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.

uop{te, osminu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na osam jednakih delova (deqewem sa 8). Jednu osminu zapisujemo

1

8 ~itamo: jedna osmina.

Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na osam jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo.o~igledno je da je

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

8

81+ + + + + + + = = ,

tj. jedno celo ima osam osmina.

2.

12

151

osminu moèmo dobiti i ako ~etvrtinu podelimo na dva jednaka dela ili polovinu na ~etiri jednaka dela. Zna~i,

1

2

1

4

1

8od ili od

14

12

18

= = .

Izra~unaj:

56

1

2 od 56

1

4 od 56

1

8 od 56

21

41

81

1

uporedi razlomke, izme|u svaka dva razlomka upi{i jedan od znakova < , = , < .

1

8

1

4

1

2

2

4

Izra~unaj:1

2 m = mm,

1

4 m = mm,

1

8 m = mm

1

8 km = m,

1

2 km = m,

1

4 km = m

1

4 t = kg,

1

8 t = kg,

1

2 t = kg

u jednoj {koli ima 760 u~enika. od tog broja

1

8 ima odli~an uspeh,

1

4

vrlo dobar uspeh,

1

8 dobar uspeh. ostali imaju dovoqan uspeh. Izra~unaj

koliko u~enika ima:

3.

4.

5.

6.

152

odli~an uspeh

vrlo dobar uspeh

dobar uspeh

dovoqan uspeh

Na slici je jedna du`, krug i kvadrat.

A B

C

Kako smo dobili petinu duì, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.

uop{te, petinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na pet jednakih delova (deqewem sa 5). Jednu petinu zapisujemo

1

5 ~itamo: jedna petina.

Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na pet jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo.o~igledno je da je

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

5

51+ + + + = = ,

tj. da jedno celo ima pet petina.

2 raZloMCI. 1

5

1

1 0

1

1 00

1

1 000, , ,

12

153

Izra~unaj:

1

5 od 90 = 90 : 5 =

A BC

Kako smo dobili desetinu duì, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.

uop{te, desetinu (deseti deo) jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na deset jednakih delova (deqewem sa 10). Jednu desetinu zapisujemo

1

1 0 ~itamo: jedna desetina.

Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na deset jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo.o~igledno je da je

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1 0

1 01+ + + + + + + + + = = ,

tj. da jedno celo ima deset desetina. desetinu (deseti deo) moèmo dobiti i ako petinu podelimo na dva jednaka dela ili polovinu na pet jednakih delova. Zna~i,

1

2

1

5

1

1 0

1

5

1

2

1

1 0od ili od = = .

Izra~unaj:1

1 0 od 90 = 90 : 10 =

2.

154

3 raZloMCI. 1

3

1

6

1

9

1

7, , ,

Na slici su du`, krug i kvadrat.

A B

C

Kako smo dobili tre}inu duì, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.

uop{te, tre}inu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na tri jednaka dela (deqewem sa 3). Jednu tre}inu zapisujemo

1

3, ~itamo: jedna tre}ina.

Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na tri jednaka dela, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo.o~igledno je da je

1

3

1

3

1

3

3

31+ + = = ,

tj. da jedno celo ima tri tre}ine.

Izra~unaj:1

3 od 108 = 108 : 3 =

A B

C

Kako smo dobili {estinu duì, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.

1.

12

155

uop{te, {estinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na {est jednakih delova (deqewem sa 6). Jednu {estinu zapisujemo

1

6, ~itamo: jedna {estina.

Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na {est jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo.o~igledno je da je

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

6

61+ + + + + = = ,

tj. da jedno celo ima {est {estina.[estinu moèmo dobiti i ako tre}inu podelimo na dva jednaka dela, ili polovinu na tri jednaka dela. Zna~i,

1

2

1

3

1

6

1

3

1

2

1

6od ili od = = .

Izra~unaj:1

6 od 108 = 108 : 6 =

A BC

Kako smo dobili devetinu duì, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.

uop{te, devetinu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na devet jednakih delova (deqewem sa 9). Jednu devetinu zapisujemo

1

9, ~itamo: jedna devetina.

Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na devet jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo.

2.

156

12

3.

o~igledno je da je

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

9

91+ + + + + + + + = = ,

tj. da jedno celo ima devet devetina.devetinu moèmo dobiti i ako tre}inu podelimo na tri jednaka dela. Zna~i,

1

3

1

3

1

9od = .

Izra~unaj:1

9 od 108 = 108 : 9 =

A BC

Kako smo dobili sedminu duì, kruga ili kvadrata? Zapi{i re~ima.

uop{te, sedminu jednog celog, nekog skupa (mno{tva) dobijemo deqewem na sedam jednakih delova (deqewem sa 7). Jednu sedminu zapisujemo

1

7, ~itamo: jedna sedmina.

Broj ispod crte kazuje nam da smo celo podelili na sedam jednakih delova, a broj iznad crte, da imamo jedan takav deo.o~igledno je da je

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

7

71+ + + + + + = = ,

tj. da jedno celo ima sedam sedmina.

Brojevi

12

13

14

15

16

17

18

19

110

, , , , , , , , ,...

nazivaju se razlomci.

157

Broj ispod crte kazuje na koliko je delova podeqeno jedno celo (skup) i naziva se IMENIlaC, a broj iznad crte koliko takvih delova ima i naziva se BroJIlaC.

Izra~unaj:1

7 od 105 = 105 : 7 =

uporedi razlomke, izme|u svaka dva razlomka upi{i jedan od znakova < , = , > .

1

3

1

6

1

7

1

9

Maja je u{tedela 756 dinara. Za

1

6 u{te|evine kupila je kwigu, a za

1

7 u{te|evine bioskopsku ulaznicu. Kolika je cena kwige, a kolika ulaznice?

[ta je ve}e –

1

9 od 315 ili

1

6 od 348?

Milan je 1

3 svoje u{te|evine dao za kwigu ~ija je cena 215 dinara. Kolika

je bila Milanova u{te|evina?

4.

5.

6.

7.

8.

158

anina ku}a je od {kole udaqena 896 m. ana je pre{la 1

7 rastojawa. Koliko

je tada ana bila udaqena od {kole?

otac i sin su nabrali 174 jabuke. Sin je poneo

1

6 jabuka, a otac sve ostalo.

Koliko je jabuka poneo otac?

10.

129.

159

160

Marko M. Igwatovi}MATEMATIKAza tre}i razred osnovne {kole

Izdava~Izdava~ka ku}a ,,dragani}ßdr Ivana ribara 81–83, 11070 Beograd

Ilustracijealeksandra Mani}

Kompjuterska pripremapp ,,SPIRITßGradski park 2

KoriceGorica Ze~evi}

Lektura i korekturaSowa [o}

[tampaIntergraf, Beograd

Plasman kwige:Adresa: dr Ivana ribara, 11070 Novi BeogradTelefoni: 318-0213, 318-0265 faks: 3180-266

Kwiàre „dragani}ß: 21000 Novi Sad, Fru{kogorska 4, tel. 021/458-74526300 vr{ac, Svetosavska 11, tel. 013/833-365

26000 pan~evo, vojvode putnika 6, tel. 013/333-15411300 Smederevo, Kraqa petra I 12, tel. 026/612-497http//www.draganic.co.yu e-mail: [email protected]

CIP - Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

37.016:51(075.2)

IGWaTovI], Marko M. Matematika : za tre}i razred osnovne[kole / Marko M. Igwatovi}. - Beograd :dragani}, 2005 (Beograd : Intergraf). -158 str. : ilustr. ; 28 cm

Tira` 5.000.

ISBN 86-441-0625-2

COBISS.SR-ID 124835084

Documents

Recenzenti Za izdava~a - uciteljicabojana.weebly.comuciteljicabojana.weebly.com/uploads/4/1/2/1/41216623/matematika-3_d... · Recenzenti prof. dr Milan Taskovi}, Matemati~ki fakultet