S.BENSAADARESISTANCE DESMATERIAUXYAB1,B2XFxAXhC1,C2L/2 LFyhB2B1 C1C2FxFxBZB(2/4)=D(2/4)A(3/4)=E(3/4)C(1/4)ZYX2SOMMAIRE2. MOMENTS QUADRATIQUES473. ELEMENTS VECTORIELS514. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES..615. E L A S T I C I T E.766. HYPOTHESES EN RDM..1027. TRACTION 1198. COMPRESSION1259. CISAILLEMENT.12910. TORSION ..13511.FLEXION14012. TORSEUR DE COHESION..15113. POUTRES RECTANGULAIRES AUX ELS.. 16714. CONTRAINTES PLANES..17915. DEFORMEE18916.FLAMBAGE....19617.SYSTEMES HYPERSTATIQUES...20218.Ressorts Hlicodaux fil rond..20919.DEFORMATION PLANE...21620. ESSAIS MECANIQUE..23721.TP ELEMENTS FINIS FLEXION......................2573PREFACELa gense dune innovation technologique est constitue par lensemble des faitsscientifiques et techniquesquiontconcourusaformation. Laconnaissanceapprofondiedecette phase pralable, difficile observer quand elle est en cours, mais pourrait se reconstituer, posteriori, est essentielle pour tenter de prvoir et de diriger le flux des changementstechniques tout le long des diffrentes tapes des dveloppements scientifiquesCet ouvrage traite les fondements de la rsistance des matriaux. Il expose profondment les notionsde tenseurs, une partie trs utile pour les calculs en rsistance des matriaux. Les lments vectorielsainsi quela modlisation des actions mcaniquessont introduite aussi dans cet ouvrage.Les parties essentielles tels que la traction, compression, torsion, flexion sont tudies en dtail et vueleur importance technique, une partie sur les diffrents essais mcaniques a t introduite. La dernirepartie a t consacre l'tude de la modlisation et du logiciel utilis en RDM.Ltudiant aura simprgner de lensemble des questions exposes dans ce contexte.Cependant, travers cet ouvrage, j'ai essay de porter toute lattention et le soin voulus, du pointde vue pdagogique et didactique, afin de vous exposer, de manire utile, les bases fondamentales dela RDM au service des tudiants de troisime annehydraulique.Cet ouvrage na pas dautre but que daider ltudiant dans sa comprhension de lenseignement de laRsistance des Matriaux. Il doit permettre de mieux cerner les champs dinvestigation de cette science.4BUT DE LA RESISTANCE DES MATERIAUXLa rsistance des matriaux est l'tude de la rsistance et de la dformation des solides (arbres detransmission, btiments, fuses, . .) dans le but de dterminer ou de vrifier leurs dimensions afinqu'ils supportent les charges dans des conditions de scurit satisfaisantes et au meilleur cot(optimisation des formes, des dimensions, des matriaux. . .)ACTIONS DONNEES NECESSAIRESDterminer les dimensions fonctionnelles de la pice Les Actions McaniquesLa nature du matriauChoisir le matriau constituant la pice Les Actions McaniquesLes dimensions de la piceLe type de vrificationVrifier la rsistance la "casse" de la pice :Dpassement de la limite la rsistance lastique Re ou larupture Rr du matriauLes Actions McaniquesLes dimensions de la piceLa nature du matriauVrifier la rsistance la "dformation" de la pice :Dpassement de la valeur maximale impose par leC.D.C.F. pour les diffrentes dformations de la piceLes Actions McaniquesLes dimensions de la piceLa nature du matriauLe C.D.C.F.Vrifier la rsistance la "fatigue" de la pice :Rupture aprs un certain nombre de cycles de dformationimpose par le C.D.C.F.Les Actions McaniquesLes dimensions de la piceLa nature du matriauVrifier la rsistance au "fluage" de la pice :Dformation continue de la pice, dans le temps, sousl'action d'actions mcaniques constantes qui amne larupture de la piceLes Actions McaniquesLes dimensions de la piceLa nature du matriauLe C.D.C.F.Optimiser le cot de la pice par changement des formes,des dimensions, des matriaux, ...Les Actions McaniquesLes dimensions de la piceLa nature du matriauLe C.D.C.F.51. Notions de sollicitationsLes sollicitations couramment rencontres :Traction / Compression FlexionTorsion CisaillementSOLLICITATIONS SIMPLES ET COMPOSEES :Sollicitations simples : Torseur de cohsion comprenant une seule sollicitation.Sollicitations composes : Torseur de cohsion comprenant plusieurs sollicitations simples (Traction +flexion par exemple).Tableau regroupant les sollicitations simples les plus courantesSollicitationsEffortnormalEfforttranchantMomentdetorsionMomentdeflexionTraction/compression N T =0 Mt =0 Mf =0Cisaillement (1) N =0 T Mt =0 Mf =0Torsion N =0 T MtMf =0Flexion pure (2) N T =0 Mt=0 Mf(1) Suivant l'orientation des sollicitations, l'effort Ty ou Tz peut tre nul.(2) Suivant l'orientation des sollicitations, le moment Mfy ou Mfz peut tre nul.62. MOMENTS QUADRATIQUES2.1. MOMENT QUADRATIQUE D'UNE SURFACE PLANE PARRAPPORT A UN AXE DESON PLANDfinitionSoit (S) une surface plane et un repre orthonorm (O,x y , ) de son planfigure.1Le moment quadratique lmentaire de AS par rapport (O,x) not AIOX est dfini par :AIOX = y2.ASet pour l'ensemble de la surface (S) :IOX =( ) Sy2.ASFigure.1Remarques :. L'unit de moment quadratique est le mm4 (ou le m4). Un moment quadratique est toujours positif.. Les moments quadratiques des surfaces "simples" sont donns la fin du cours.O(S)AS Myyx72.2 MOMENTQUADRATIQUED'UNESURFACEPLANEPARRAPPORTAUNAXEPERPENDICULAIRE A SON PLAN . MOMENT QUADRATIQUE POLAIREDfinitionSoit (S) unesurfaceplaneet unrepreorthonorm(O,x y z , , ) tel queleplan(O,x y , ) soitconfondu avec le plande (S) figure.2Le moment quadratique polaire lmentaire de AS par rapport (O,z) perpendiculaire en O auplan de la figure et not AIO est dfini par :AIO = 2.ASet pour l'ensemble de la surface (S) :IO =( ) S2.ASFigure.2Proprit :Considrons le moment quadratique polaire IOde la surface (S) par rapport (O,z)perpendiculaire en O son plan figure.3Notons : IO =( ) S2.ASSoient x et y les coordonnes du point M. On a :2 = x2 + y2On a donc : IO =( ) S2.AS =( ) Sx2.AS +( ) Sy2.ASSoit : IO = IOx + IOyO(S)AS Myxz8Figure.32.3. MOMENTS QUADRATIQUES A CONNAITRE (O est en G)bhGxyaaGxyGxydGydDxI GX I GY I G I O =bh123hb123bh122( b+ h)2a124a124a64d644t d644t d324td)644t(D4- d)644 t(D4- d)324t(D4-Figure.4Soit une poutre subissant un moment de torsion Mt = 5000 N.mOn considrera trois gomtries de section possibles, mais ayant la mme aire.O(S)AS Myxzyx9Section circulaire3240DIt=Section rectangulaire) (2 2012h bbhI + =Section en TI0 = 2033333 mm4TRAVAIL DEMANDEPour chaque type de section :- Calculer le moment quadratique I0 sil nest pas donn,Section circulaire Section rectangulaire Section en TI0 = 2033333 mm4- Calculer la valeur de cette contrainte tangentielle en fonction de .Section circulaire Section rectangulaire Section en T-Calculer la contrainte maximale et indiquer austylorouge, le oles lieuxde cettecontrainteSection circulaire Section rectangulaire Section en T103. ELEMENTS VECTORIELSEn mcanique, les lments vectoriels sont utiliss pour reprsenter :- les actions mcaniques les actions1 / 0, A A les moments1 / 0 1 / 0), ( ,B BM A M M - les vitesses1 / 0,V V - les acclrations1 / 0,Aa a 3.1. VECTEURS1) Vecteur li - bipoint :On appelle bipoint AB ou (A, B) l'ensemble ordonn des deux points A et B pris dans cet ordre.On appelle norme du bipoint AB, la valeur absolue qui dfinit la longueur du segment [AB] ; onnote ||AB|| ou ABLe bipoint AB peut tre dfini gomtriquement par:- Son origine : A;- Son support: la droite xx;- Son sens de A vers B;- Sa norme ||AB||.Il existe un seul reprsentant unique2) Vecteur glissantOnappellevecteur1 / 0Ala classe dquivalence desbipointsquipollentsdontle bipoint1 / 0Aestunreprsentant. Fig.4Le vecteur1 / 0Apeut tre dfini gomtriquement par:- Son origine : A- Son support : la droite xx;- Son sens de A vers x- Sa norme (intensit) ||1 / 0A|| ou1 / 0AUnit : le Newton (N) Figure.511Il existe une infinit de vecteurs sur xx3) Vecteur libreIl existe une infinit de vecteurs sur xx4) Vecteur libreOn appelle vecteur libre le vecteur dfini comme suit :- Son support- Son sens- Sa normeIl existe une infinit de vecteurs libres5) Expression graphique dun vecteur : on reprsentera un bipoint6) Notion de base orthonormeUne base orthonorme est constitue de trois vecteurs ayant la mme origine, perpendiculairesentre eux et de norme (longueur) unitaire x y z = = =1Rappel : la norme dun vecteur est sa longueur.u=xyzR111Notation de la base :u x y z121212= + +|\

|.| xy z, ,Reprsentation7) Repre orthonormUn repre est constitu :- dune base- dun point donn, origine du repre.Notation : R Ox y z, , ,|\

|.|On trace les deux premiers vecteursxy , qui forme le plan (xy , ). On trace le 3mevecteurszperpendiculairement au plan (xy , ) et dont le sens est dtermin par la rgle :- des trois doigts- du tire-bouchon127) Expression analytique dun vecteur : figure.6Lescomposantesdunvecteur Vsont desgrandeursmathmatiquesrellescorrespondant aunormesdesvecteurscomposantes( z V y V x V , , )prcdesdusignedonnparlorientationdesaxes du repre.- composante dans le mme sens que laxe du repre = signe +- composante dans le sens oppos de laxe du repre = signe -Figure.6VzVyVxVVx : composante de Vsur laxe xVy : composante de Vsur laxe yVz : composante de Vsur laxe zk Vz j Vy i Vx V . . . + + =k Vz j Vy i Vx V . . . + + =Vx : composante de Vsur laxe xVy : composante de Vsur laxe yVz : composante de Vsur laxe zVzVyVxV13 i j k , , sont les vecteurs unitaires du repre orthonorm ) , , ( z y x 8) Calcul des composantes dun vecteur figure.7- par projection sur les axesx V= projection de Vsur laxe xy V= projection de Vsur laxe yo cos . V Vx =o sin . V Vy =Figure.7- coordonnes des points extrmesSoient lescoordonnesdespointssuivants :AAAZYXA etBBBZYXBcorrespondantrespectivementlorigineetlextrmitdu vecteur Vdans le repre ) , , , ( z y x O :9) Norme dun vecteurLa norme dunvecteurestsa valeur mathmatique danssonrepre. Elle est note ||V|| ouV telle que :PourVzVyVxVInterprtation graphique :La norme dun vecteur sera dfinie grce la longueur du vecteur et lchelle des forcesA BA BA BZ ZY YX XV0sin .cos .ooVVV Vz Vy Vx V + + =1410) Oprations figure.8Addition gomtrique de veFigure.8Addition analytique de vecteurs figure.9Soient 2 vecteurs Aet Bdfinis dans ) , , ( z y x :AzAyAxABzByBxBLe vecteur Creprsente la somme :C B A = + etse dfinitcomme suit : Figure.9F F F = +2 1Figure.915CzCyCxCavecBz Az CzBy Ay CyBx Ax Cx+ =+ =+ =La somme analytique de vecteurs se rsume la somme des composantes.La soustraction se rsume une addition en appliquant lamthode :Figure.10Proprits laddition est commutativeLaddition peut tre ralise partir dun paralllogramme (rgle du paralllogramme)- laddition est associativF F F F F = + = +1 2 2 1F F F F F = + = ) (2 1 2 13 2 1 3 2 1 3 2 1 F F F ) F F ( F F ) F F ( + + = + + = + +16- lment neutrevecteur nul :0:F F = + 0Multiplication par un scalaireSoient Vet 9 e . . Vest un vecteur Wtel que :- Wa la mme direction que V- si 0 > , W le mme sens que V, contrairement si est ngatif- norme : V W . =11) Notion de rsultanteOnappellersultantedunsystme dactionsnF F F ,...., ,2 1, levecteur Fdfinit parlarelation :12) Produit scalaireSoit le vecteur U reprsent parle bipoint (OA) et le vecteur Vreprsent par le bipoint (OB)dans ) , , ( z y x Figure.11Soit B limage de B parprojection orthogonalesurlaxeanF F F F + + + = ....2 1Figure.1117Soit A limage de A parprojection orthogonalesurlaxebLe produit scalaire V U. est le rel OAx ' OBLe produit scalaire U V. est le rel ' OAxOBProprits :) . ( ). . (. . ) .(. .2 1 2 1V U b V U bV U V U V V UU V V U=+ = +=Consquence :Si u=90, alorscos90=0doncleproduit scalairededeuxvecteursest nul si cesdeuxvecteurs sont perpendiculaires.Expression analytique du produit scalaireUzUyUxUVzVyVxV UzVz UyVy UxVx V U + + = .Remarque : Le produit scalaire de 2 vecteurs est un nombre re13) Produit vectorielLe produit vectoriel du vecteurU par le vecteurV , que lon noteraU .V , est le vecteurWdont un reprsentant dorigine A est tel que : fig.12- son support est perpendiculaire au plan( , , ) A UV - son sens est tel que( , , ) UVWsoit direct- sa norme a pour valeur :U V V U V U . cos . . . = = uLe produit scalaire du vecteur Apar levecteur Bnot B A . est gal au produitdes modules (normes) des deuxvecteurs multipli par le cosinus delangle uentre leurs directionsrespectives.18||W || = || U || . || V || . | sin( , ) UV |Proprits : nullit : si undes vecteurs nullit : si undes vecteurs =0ousi les vecteurs sontcolinaires antisymtrie :U.V= - ( V.U )Expression analytiqueDans une base orthonorm directe ( , , ) x yz , on donne :V x y z1 1 1 1( , , ) etV x y z2 2 2 2( , , ) .Le produit vectoriel V V1 2. sexprime parfigure.1314) Notion de torseurOnappelle torseur lensemble dfini dans un repre orthonorm : dun vecteur notRappel rsultante du torseur{ } T dun champs vectoriel notM et vrifiant la condition : R AB M MB A. + =AM est appel le moment du torseur{ } T au point ARetAM sont les lments de rduction du torseur{ } T au point A V V y z z y x z x x z y xy y x z1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2. = + + ( ) ( ) ( )Figure1319{ }) , , ( z y xAAAAAAAN ZM YL XR AB MRT )`=)`. ===z Z y Y x X R . . . + + = :Z Y X , , sont les composantes deR dans ) , , ( z y xz N y M x L M A A A A . . . + + = :A A A N M L , , sont les composantes de A M dans ) , , ( z y x au point AR est appel rsultante du torseurA M est appel le moment au point A du torseur15) Changement de centre de rduction du torseurSoit { })`=AAAMRT , les lments de rduction en A du torseur , les lments de rduction en B dumme torseur sexprime par : { })`=BBBMRT tel que :{ }) , , ( ) , , ( z y xBBBBABBBz y xAAAAAAAN ZM YL XR BA MRMRN ZM YL XMRT)`=)`. +=)`=)`=)`=Cas particuliersTorseur nul : { } { } 000=)`===AAAMRTGlisseur : { })`==0AAAMRT =)`. + = R BA MRBB0R BA M M A B . + =20Untorseur glisseur est untorseur dont linvariant scalaireest nul : 0 . = B M R donclarsultante estau momentTorseur couple : { })`==AAAMRT0= {} BM MRTB ABB)`===015) Opration sur les torseursOn ne peut procder des oprations sur les torseurs que sils sont dfinis au mme pointSomme de torseurs{ })`=i MRiTiAAavec i = 1 n {} { })`=== ====niA AniAnii M MRi RTi T111exemple :{} { }) , , (2 1 2 12 1 2 12 1 2 12 2 12 12 12 122112 1)z y xA AA AA AAB AAA AAAAAAA AN N Z ZM M Y YL L X XR AB M MR RM MR RMRMRT T)`+ ++ ++ +=)`. + ++=)`++=)`+)`= +4. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES4.1. Dfinition d'une action mcaniqueD'une faon gnrale, on appelle action mcanique toute cause physique susceptible : de maintenir un corps au repos, de crer, de maintenir ou de modifier un mouvement, de dformer un corps.4.2. Classification des actions mcaniquesLes actions mcaniques sont classes en deux familles:- Les actions mcaniques distance (champ de pesanteur, champ magntique)- Les actions mcaniques de contact (dans les liaisons mcaniques)Unensembledecorpstant dfini (isolement), ondistinguelesactionsmcaniquesextrieuresdesactions mcaniques intrieures cet ensemble. Figure.1421Soient trois solides S1, S2 et S3.Soit E l'ensemble constitu par les corps S1et S2:E={ S1, S2}.Le bilan des actions mcaniques extrieures qui agissent surlensemble E stablit ainsi:- Poids de lensemble E (Action Mcanique distance :Poids de S1 et S2).- Actions mcaniques de contact exerces par S3surlensemble E aux points A, C et D (ActionsMcaniques de contact).(S1)(S2)ABCD(S3)Figure.144.3. Force, Moment et Couple4.3.1 Notion de force figure.15Onappelleforce, l'actionmcanique(attractionourpulsion)qui s'exercemutuellement entredeuxsolides. Ces deux solides ne sont pas obligatoirement en contact.Une force sapplique en un point. Laction mcanique exerce par une force sur une pice dpend de : lintensit de la force, la direction de la force, du sens de la force.Lentit mathmatique Vecteur est,lui,aussicaractris par sa Norme, sa Direction et son Sens.Une force sera donc modlise par un vecteur,associ un Point dapplicationFigure.15S1S2F( S 1 S2)P o i n td app li ca ti on PP22Unit : Une force sexprime en NewtonNotation : F(S1S2)Ordre de grandeur : Une personne de masse 70 Kg a un poids denviron 700 N, soit, 70 daN.4.3.2 Notion de moment4.3.2.1 Moment dune force par rapport un point figure.16Considrons un utilisateur qui souhaite, laidedune cl, fixer la jante dun vhiculeautomobile.Il positionne sa main au point A.Puis il commence par exercer une force F1intgralement porte par x. Malgr sa bonnevolont, il narrive pas obtenir le serrage de lavis.Il dcide, alors, dincliner lgrement son actionmcaniquepourobtenirlaforce F2porteparx et z . Le serrage semble samorcer.Finalement il exerce une forceF3intgralementporte par z. Sonactionmcanique sembletreefficacePour retirer sacl, il exerceraune force F4intgralement porte par yFigure.16OAF1F2F3xyzF4Lexempleprcdent montrequeleseffetsphysiquesduneA.M. dpendent delapositiondupointdapplication et de lorientation dans lespace (direction et sens) de la forceFassocie cette A.M.Nous sommes donc conduits introduire la notion de moment de la forceFpar rapport un pointpour caractriser compltement lA.M. Figure.1723On appelle moment par rapport au point A de laforce Fapplique au point M, le vecteur dorigineA dfini par la relation :MA(F) = AM .FUnit : Newton mtre (N.m)Figure.17Oxyz(A)AMd_MA(F)F(//A)Ce vecteur moment MA(F)sera reprsent par une double flche. Il possde les caractristiquessuivantes :- Une origine : Le point A- Une direction : perpendiculaire au plan form par les vecteurs AMet F.- Un sens : Le tridre(AM, F, MA(F)) est direct.- Une norme : MA(F)=AM. F .sin(AM, F)Exercice1Considrons la forceF13122applique au point A305et la la forceF2073applique au point B267.Les forces sont exprimes en Newtons et les longueurs en millimtres.Calculez, par la mthode de votre choix, les moments par rapport au point O, origine du repre, deces deux forces.Exercice 2Une balanoire 3 est articule en O (liaison pivot) sur un socle fixe 0. P1 et P2reprsentent les poidsrespectifs des deux enfants 1 et 2, appliqus respectivement en H1 et H2.On souhaite calculer les moments par rapport au point O deP1 et deP2pour, ensuite, les comparer.Quelle est la mthode de calcul de moments que vous prconisez? Justifiez votre rponse.Dterminez littralement, les moments par rapport au point O des poidsP1 et P2 .Dterminez numriquement, les moments en O des poidsP1 et deP2 . Vous prendrezP1 = 29 daN, P2 = 32 daN, a = 2 met b = 1,8 m.Comparez ces deux moments et concluez. Figure.1824O123b aH1P1P20Figure.18Exercice 3Une balance romaine figure.19 se compose dun balancier 2 articul en O sur le crochet de fixation 1, etdune masse dquilibrage 3 dont la position est rglable sur le balancier. La charge peser 4 estaccroche en B. La pese est effectue en dplaant la masse dquilibrage 3.En supposant que leMO(P)+ MO(Pme ) = 0, exprimez la relation dquilibrage entre P et les autresparamtres du problme.Dterminez, numriquement, le poids P mesur. Pour ce faire, vous prendrezPme = 5 daN,a = 700 mm et b = 100 mm. Dduisez-en la masse M de la charge accroche.BOP1Pme2 3a bAFigure.1925Exercice 4figure.20La forceFapplique en A, modlise laction mcanique exerce par lutilisateur sur la clef.Dterminez, littralement, par un calcul vectoriel , le moment M B(F) .Dterminez, littralement, le moment M B(F) en utilisant la formule du bras de levier.Dterminez, numriquement, le moment M B(F) . Pour ce faire, vous prendrez: F=150 N,a=125, b=14 et o = 30.oaABFFigure.20Exercice 5figure.21Nous souhaitons amorcer ltude de lquilibredu portique reprsent ci-contre.Dterminez, littralement, le moment M A(P).Dterminez, littralement, le moment M B(P).Dterminez, littralement, le moment MC (P) .Dterminez, littralement, le moment MO(P).OAPxyzOA= d.xOC= h.zAB= L.yAG= L2 .yP= P.zBCG210Figure.21264.3.2.2 Application aux problmes PlansLorsque nous tudions un problme plan, les vecteurs moments sont ncessairement portspar laxe perpendiculaire au plan dtude. Nous introduisons donc la notion de momentdune force par rapport un axe : MOz(F). Il est judicieux dutiliser la relation dite du Brasde Levier . En effet, moyennant lutilisation dun peu de trigonomtrie, il est ais dedterminer la longueur d. figure.22MBz(F) = +d. FLa longueur d sera affecte dun signe plus (+) si la force tend faire tourner le systme dans lesens positif, du signe moins () dans le cas contraire. Cest donc une grandeur algbrique.4.3.2.3 Relation fondamentale entre les momentsSoit une forceFapplique au point M, et deux points quelconques A et B.Par dfinition, MA(F) = AM .Fet MB(F) = BM .FDaprs le relation de Chasles BM = BA+ AMDoMB(F) = (BA+ AM) .FSoit MB(F) = BA.F + AM .FFinalement MB(F) = MA(F) + BA.FCette relation est fondamentaleOxyzBMdMB z(F )oFigure.22274.3.3 Notion de CoupleNotre oprateur souhaite desserrer lavis bloque installe sur la jante.Aprs avoir utilis le premier modlede cl sans grande russite, il prfreutiliser un modle de type croix . Ilpose ses mains en A et en B et exercedeux forcesFA etFBtelles que :FA = FB = F = F.zUn rapide calcul lui donne lesmoments par rapport au point O deces deux forces: figure.23MO(FA) = F.L2 .y et MO(FB) = F.L2 .yLe bilan des A.M. exerces parlutilisateur sur la croix est compos :OOAFA = FxyzFB = FL2L2 dune rsultante des forces : FU = FA + FB = F.z F.z = 0 dun moment rsultant par rapport au point O : MO(FU) = MO(FA)+ MO(FB) = F.L.yLa rsultante de ces deux forces est nulle. Par contre, ces mmes deux forces gnrent unmoment que lon appellera : un Couple.4 .4.Torseur associ une action mcanique4.4.1 DfinitionsUneA.M. est compltement dfinielorsquenousconnaissonslesdeuxvecteurs Fet MA(F). Nousallons donc regrouper ces deux vecteurs dans une entit mathmatique appele Torseur.Le toseur associ laction mcanique exerce en A, par un solide 2 sur un solide 1 sera not :figure.2428t(21){ }=AR(21)MA(2 1) ` ) =AX21L21Y21M21Z21N21 ` ) (x, y, z)Remarques :Le point A est un point quelconque.R(21)et MA(2 1) sont appels lments de rduction au point A du torseur t(21){ }.4.4.2 Torseurs particuliers4.4.2.1 Torseur glisseurOn appelle torseur glisseur au point A, touttorseur associ une action mcanique dont lemoment rsultant est nul en ce point.t(21){ }=AR(21) = 0MA(2 1) = 0 ` ) 4.4.2.2 Torseur coupleOn appelle torseur couple, tout torseurassoci une action mcanique dont larsultante est nulle.t(21){ }=AR(21) = 0MA(2 1) = 0 ` ) Les lments de rduction duntorseur couple sont les mmes en toutpoint.4.4.3 Oprations entre torseurs4.4.3.1 Changement de centre de rductionSoit : t(21){ }=AR(21)MA(2 1) ` ) Ecriture au point B : t(21){ }=BR(21)MB(2 1) = MA (2 1) + BA.R(21) ` ) Centre de rductionComposantes de laComposantes du momentRsultant en ABase de projectiondes vecteursFigure.24294.4.3.2 Somme de deux torseursSoient : t(21){ }=AR(21)MA(2 1) ` ) t(31){ }=AR(31)MA(3 1) ` ) alors : t(21){ }+t(31){ }=AR(21)+R(31)MA(2 1) + MA (3 1) ` ) Pourpouvoir additionner des torseurs, ils doivent tous treexprims au mme centre de rduction. Il sera parfois ncessairede raliser, au pralable, un changement de centre rduction.Les vecteurs doivent tre exprims dans la mme base.Les units doivent tre compatibles entre elles.4.5. Actions mcaniques particulires4.5.1 Action mcanique de PesanteurLaction mcanique de Pesanteur exerce par notre plante Terre sur un solide S de masse m, est uneaction mcanique distance car elle ne rsulte pas dune liaison mcanique entre la Terre et S. figure.25en un point quelconque A :t(TS) ` ) =AR(T S) = pii=1n= PMA(T S) = (AMii=1n. pi) ` ) au centre de gravit G du solide S :t(T S) ` ) =GR(T S) = P = m.gMG(T S) = 0 ` ) Figure.254.5.2 Action mcanique due la pression dun fluide sur une surface planeLes actions mcaniques de contact dun fluide sur une surface plane (S) se modlisent par un torseurglisseur au centre A de la surface (S) tel que : figure.26G(S)Pi PiPi PiAVerticaleascendante30nfluide (S)Apression p=CteR(fS)t( f s){ }AR(fS) = p.S.nMA(f S) = 0 ` ) avec :- p : pression exerce par le fluide, sur lasurface(S). Lefluideest suppospressionconstante,- S : aire de (S) ;- n : normale la paroi oriente vers le fluideFigure.26Units lgale Autres units : Units historiques:p en Pa p en MPa p en barsS en m2S en mm2S en cm2R(fS) en N R(fS) en N R(fS) en daN 0,1 MPa = 105Pa = 1 bar4.6 Torseur des actions mcaniques transmissibles par une liaison parfaiteUne liaison mcanique entre deux pices dite parfaite est caractrise par :-Des volumes gomtriquement parfaits et indformables,-Des ajustements sans jeu,-Des contacts sans frottement.Ce modle est certes, trs thorique, mais bien pratique pour raliser nos calculs de mcanique.4.6.1 MthodeUneForce F, intgralement portepar x, nepourratretransmiseparuneliaison, quesi cettedernire dispose dun obstacle (de la matire en contact) dans cette mme directionx, interdisant latranslation dune pice par rapport lautre. Un Moment MA, intgralement port par y, ne pourra tre transmis par une liaison, que si celle-cidispose dun obstacle dans cette mme directiony, interdisant la rotation dune pice par rapport lautre.314.6.2 Application: La liaison pivotTorseur des actionsmcaniquestransmissibles par L01(x, y, z)t(01){ }AX01L01Y01M01Z010 ` ) 4.7. Cas des problmesadmettant un Plan de SymtrieDans certains cas, ltude du mcanisme dans lespace peut tre dlicate et longue. On recherche alorsune possibilit de rduire ltude un problme plan, sous certaines hypothses.4.7.1 Hypothses La surface de contact possde une gomtrie qui prsente une symtrie par rapport un plan . Ildevra en tre de mme pour les actions mcaniques extrieures. Nous choisissons alors un repre local dont les axes sont confondus avec les axes duplan de symtrie.Figure.28xyzA10L01 : Liaison pivot parfaite daxe, z)MobilitsTr000Rot00RzFigure.27(P) plan de symtrie(P)AxyzA2HSurface de contactentre (S1) et (S2)f1zf1yf1xA1f2zf2yf2xA1 et A2 (points de contact) etefforts transmissibles, symtriquespar rapport au plan (P)324.7.2 SimplificationLorsque les hypothses prcdentes sont runies, lcriture du torseur daction mcanique transmissiblepar la liaison se simplifie. Il subsiste : Les composantes de la rsultante contenues dans le plan de symtrie, La composante du moment porte par laxe perpendiculaire au plan de symtrie .Dans notre exemple, le plan de symtrie est ) , , ( y x A .Allure gnrale (3D) : Simplification : Allure simplifie (2D) :(x, y, z)t(21){ }AX21L21Y21M21Z21N21 ` ) (x, y, z)t(21){ }AX21L21Y21M21Z21N21 ` ) (x, y, z)t(21){ }AX210Y2100 N21 ` ) (6 inconnues) (3 inconnues)Torseur des actions mcaniques transmissibles par une liaison parfaiteDsignationde la liaisonSchmatisationspatialeMobilitsTorseurdactionmcaniquetransmissibleTorseur dactionmcaniqueSimplifiSchmatisationplanePivotdaxe (A, x)Tr000RotRx00AX120Y12M12Z12N12 ` ) Symtrie parrapport (A, y, z)A0 0Y120Z120 ` ) 12yzGlissiredaxe (A, x)TrTx00Rot000A0 L12Y12M12Z12N12 ` ) Symtrie parrapport (A, x, z)A0 00 M12Z120 ` ) xz1233Pivot glissantdaxe (A, x)TrTx00RotRx00A0 0Y12M12Z12N12 ` ) Symtrie parrapport (A, y, z)A0 0Y120Z120 ` ) 12yzAppui plande normale(A, x)Tr0TyTzRotRx00AX1200 M120 N12 ` ) Symtrie parrapport (A, x, y)AX1200 00 N12 ` ) 12yxRotulede centre ATr000RotRxRyRzAX120Y120Z120 ` ) Symtrie parrapport (A, x, y)AX120Y1200 0 ` ) 21yxLinaireannulairedaxe (A, x)TrTx00RotRxRyRzA0 0Y120Z120 ` ) Symtrie parrapport (A, x, z)A0 00 0Z120 ` ) xz21Linairerectilignede normale(A, x)Tr0TyTzRotRxRy0AX1200 00 N12 ` ) Symtrie parrapport (A, x, z) zx2134et de contact(A, y)AX1200 00 0 ` ) NB : Le torseur des actions mcaniques transmissibles par une liaison glissire hlicodale nest pasmodlisable aussi simplement.Dans le chapitre suivant, nous mettrons en place un Principe que nous utiliserons pour dterminer (entreautres) les inconnues de liaisons5. E L A S T I C I T E5.1. La dformation plastiqueL'tude des proprits mcaniques des mtaux et en particulier leurs proprits plastiques a un intrtpratiqueconsidrable. Unegrandepartiedelarechercheenmtallurgiepourbut lamiseaupointd'alliagesrsistancemcaniqueet tonalitdeplusenplusleve. L'effort detractionvitesseconstanted'allongement permet l'tudedtailledespropritsmcaniquesdebase, maiscettetudepeut tre complte par des observations micrographiques, qui peuvent mettre en vidence les modes dedformation plastique, l'tape de perfection de la structure cristallise (prsence de dfauts cristallises).Dans ce contexte, la thorie des dislocations joue un rle important, car elle nous permet de prvoirquelquesdonnesessentiellesdeladformationplastique. Considronsunmonocristal soumisuneffort de traction (fig.29). Diverses familles de plans de glissements sont possibles pour les dislocations,les plans (111) par exemple dans la structure CFC.Lorsquelachargedetractionestassezleve, onauraunecontraintedecisaillementmaximum, quiprovoquera le dplacement et le multiplicationdes dislocations, cequi conduit auglissement desdiverses tranches parallles du cristal les unes par rapport aux autres (fig.30).35Figure.2936Figure.30 Lignes de glissement dans l'aluminiummicrographie optique (150).5.2 Aspects micrographiques de la dformation plastique5.2.1 GlissementLa dformation plastique s'effectue essentiellement par glissement suivant le schma de la figure 1et plus rarement (basse temprature, forte vitesse) par maclage.5.2.1.1 lignes de glissementLobservation au microscope optique montre d'une manire gnrale des faisceaux de lignesparallles sur la surface, dont le nombre croit avec la dformation plastique. Ces lignes sont en fait desmarches dues au processus de glissement des dislocations. La figure 2 montre l'aspect de ces lignes surunmonocristal d'aluminiuminitialement poli lectrolytiquement, puis dformde5%. Connaissantl'orientation du cristal, le systme de glissement peut tre dtermin. Cependant, l'observation37micrographique normale est parfois trompeuse, et des"bandes" de glissement assez larges, tudies aumicroscope lectronique grce la technique des rpliques, apparaissent formes de petits segments delignesdeglissementfinesetdroites(fig.31). Ladistanceentrelignesdeglissementestdel'ordrede0.01 1 m et la valeur du glissement (hauteur de la marche): 10 1000 A. Dans les mtaux CC, (le fer(Xenparticulier), leslignesdeglissementnesont gnralementpasrectilignes, ellessont sinueuses(sauf bassetemprature). Eneffet, lefer n'apas unsystmedeglissement simple, et, pour unedirectiondeglissement, plusieursplansdeglissementsontactifsquiappartiennenttousunemmezone . Ce phnomne peut s'interprter en termes de glissement dvi fig.32.Figures 31 et 32 Lignes et bandes de glissementLa composante vis de la dislocation pouvant changer de plan de glissement, quand il en existe plusieurspour une mme direction de glissement b'. Le glissement peut tre observ galement dans la masse dumtal, enattaquant unesectionpolieparunractifmettant envidencelespointsd'mergencesdesdislocations, les figures d'attaque sont aligns suivant l'intersection du plan de glissement avec la surfaceobserve. La topographie des rayons X se prte bien l'observation des dbuts du glissement dans uncristal de haute perfection.385.3. PolycristauxLes courbes ont gnralement un aspect simple et comprennent un domaine linaire o ladformation est lastique, un domaine plastique d'allure parabolique, suivi ventuellement d'unedcroissance de la charge (striction).Lescourbes se terminent au point correspondant la rupture del'prouvette.Les diverses caractristiques mcaniques partir de la courbe de traction sont donnes ci dessous5.3.1. Proprits lastiquesLorsqu'onexerceunecontrainte(force)suruncristal, celui-cisedforme. Silecristalreprendsaforme initiale lorsque la contrainte est relche, la dformation est dite lastique (absence dedformation permanente ou plastique). Dans le domaine lastique la dformation est proportionnelle lacontrainte, c'est la loi de Hooke (fig.33)Figure.33 courbe effort allongementLacourbereleveaucoursdel'essai detractionest connuesouslenomdediagrammed'essai detraction.- la partie OBcorrespond une dformationlastique, les allongements sont proportionnels auxcharges.- Le point B correspond la fin de l'lasticit ou Pe est la charge de limite lastique.- La partie BC correspond aux dformations permanentes (plastiques), les allongements croissent trsvite avec la charge.39- Le point R correspond au moment de l'apparition de la rupture avec PR charge de la rupture.En gnral la contrainte normale est dtermine par: = F/ S0 (N / mm2)F: la charge instantaneS0 : section initiale de l'prouvette.L'allongement s'crit alors:= l / lo= l- lo / llo = longueur initialel = longueur aprs allongement.Tang = E. = E.E : module d'lasticit. : Allongement e x.100%Le : contrainte limit d'lasticit.Lescontraintesinfrieures e produisentpratiquementque desdformationslastiques.La limitelastique 0.2correspond la contrainte provoquantune dformationlastique etdurantla quelle onpeut observer une chute de la charge lors de l'essai. Il existe la limite lastique suprieure et infrieure.Pour les matriaux sans variation de limite lastique, on dtermine la limite lastique quivalente 0.2, ilest frquent que la limite lastique est choisie comme une caractristique de la rsistance. La contrainte laquelle est effectue la rupture s'appelle rsistance la rupture r, donc: r =Fmax /Ao (N/mm2)Danscecaslaruptures'effectuedanslapartieascendantedudiagramme, danslecasolaruptures'effectue dans la partie ascendante du diagramme ou:r =Fr /Ao (N/mm2)Dans le cas des mtaux plastiques, une fois les contraintes atteignent la valeur de rupture, la dformationse concentre en un secteur dtermin de l'prouvette o apparat un rtrcissement de la section appeleStriction (fig. 34).Figure.3440La charge diminue brusquement et en certain moment l'prouvette se rompt la valeur rLa striction = So-S / So x 100%Les diagrammes contraintes- allongements diffrent d'un mtal un autre (fig.35).Fig.35Modules d'lasticit E (n/mm2)Diamant : 120.104Wolfram : 35.104Acier : 20.104FGL : 5.104Porcelaine : 55.103Alliage Al :70.103Caoutchouc : > ELe module d'lasticit longitudinal correspond en pratique la pente de la partie linaire de la courbeconventionnelle de traction (contrainte F/So -allongement relatif L/Lo obtenue partir d'un essai detraction uniaxial au cours duquel est enregistr le diagramme de traction classique(force F- allongement ~ l ). Cependant, il est ncessaire d'instrumenter l'essai soit avec des jauges dedformations directement colles sur la partie calibre de l'prouvette (opration dlicate sur prouvettecylindrique) soit en utilisant un extensomtre, appareil annexe de trs grande prcision (extensomtre jauges, extensomtre vise LASER). L'analyse vibratoire ou l'analyse par ondes ultrasonoresconstituent d'autres moyens trs prcis de mesurer ce module.5.5.3. La rsistance la tractionMme si cette caractristique est beaucoup moins utile pour l'ingnieur (il est rare de dimensionner la rupture statique) il n'est pas inutile de la rappeler ici.Pour les mtauxElle ne correspond pas la contrainte applique au moment de la rupture, partir de laquelle on voitapparatre localement un tranglement de la section. Au niveau de contrainte, la dformation plastique,qui jusque l tait repartie uniformment, se concentre dans cette zone d'tranglement appel zone destriction. Sur la courbe conventionnelle de traction, elle correspond la valeur maximale de la contrainteconventionnelle F / So.A l'chelle microscopique, cela correspond une stabilit plastique li un taux d'endommagement trsimportant (densitdedislocationtrsimportantesavecinformationsd'amasdedislocationspouvantconstituer des microcavits). A partir de ce niveau de contrainte, un col de striction apparat la vitessede dformation augmente. La contrainte relle (effort ramen la section rellement rsistante)augmenteconsidrablement jusqu'cequelasectionrsistantesoit insuffisante. Il y'aalorsrupturefragile.Pour les cramiquesLe comportement fragile des ces matriaux se traduit par le fait que limite d'lasticit et rsistance la traction sont identiques.Pour les polymres48Il est rare de parler de cette caractristique par les polymres. Elle correspondrait alors la contrainte rupture.5.5.4. La duretPour les mtauxLa duret caractrise la rsistance que prsente le matriau la pntration d'un indenteur sur lequelonexerceuneffort. Aucoursdel'essai deduret, l'effort appliqusurl'indenteurest suffisammentimportant pour laisser une trace la surface de l'chantillon de matriau test. Le rapport de l'effort lasurfacedel'empreintelaissepar l'indenteur dfinit cetteduret. Bienqu'priori, laduretait ladimensiond'unecontrainte, lanormespcifiedes chelles deduretcorrespondant auxdiffrentesmthodesemployes. Citonspourlesprincipales, l'essai Brinell, l'essai Vickersoul'essai Rockwell.Chaque technique prsente un domaine d'utilisation et sur le domaine commun, il y a naturellement unecertaine corrlation entre les valeurs fournies par chacune des mthodes. Il est donc important de bienspcifier l'chelle de duret utilise lorsque l'on veut comparer diffrents matriaux de ce point de vue.La trace laisse par l'indenteur aprs dcharge provient de la dformation plastique occasionne par l'tatde contrainte localcre parla charge applique surl'indenteur.Oncomprend donc que la duret soitextrmement lie:- d'une part, la limite d'lasticit du matriau: la contrainte locale doit conduire la plastification dumatriau;- d'autrepart, lacapacitd'crouissagedumatriau: plus ondformeplastiquement, plus il fautaugmenter la contrainte pour pouvoir poursuivre la dformation.Il n' y a pas de rgles simples reliant la duret et les autres caractristiques de rsistance mcanique.Cependant certaines lois empiriques ont t proposes. On peut citer celle de Tabor que relie la duret deVickers la contrainte de traction provoquant une dformation totale de 8%; Hv = 3 0,08 ou celle depropose par l'IRSID pour les matriaux faible coefficient d'crouissage reliant la duret de Brinell etla rsistance la traction: HB = 3 Rm.5.5.5. La tnacit (rsistance en rupture)La tnacit est une caractristique mcanique de rsistance qui relve de la mcanique de la rupture,c'est--dire de la mcanique des pices initialement fissures. Elle exprime la rsistance du matriau lapropagation d'une fissure. Elle est dfinie soit par le facteur d'intensit de contrainte critique Kc soit parl'nergie de rupture Gc.Le chargement d'une pice fissure induit une modification du champ de contrainte fond d'entaille(cela rappelle la notion de concentration de contrainte pour les formes discontinues des picesmcaniques). Ondfinit alors le facteur d'intensit de contrainte K. Il caractrise l'intensit de lasingularit du champ de contrainte la pointe de la fissure. Ce facteur d'intensit de contrainte dpend:49du mode de sollicitation de la fissure.mode 1: en traction-sollicitation normale au plan de a fissure (direction y).mode 2: en cisaillement plan-cisaillement suivant x.mode 2: en cisaillement antiplan-cisaillement suivant z. de la gomtrie de la fissureet de la pice.Figure.42. Conventions pour les diffrents modes de chargement d'une pice fissure.Si l'on augmente le niveau de chargement, la fissure s'agrandit jusqu' une taille critique partir delaquelle elle se propage brutalement entranant la rupture de la pice. A cette taille critique correspondune valeur du facteur d'intensit de contrainte note Kc appele de ce fait facteur d'intensit decontraintecritique. Cefacteurdpendbiensrdumodedechargementmaisgalementdumatriau.L'unit de cette caractristique est le MPa.m1/2. la rupture d'une pice fissure peut tre occasionne parune augmentation statique du chargement. Elle peut galement provenir du fait d'un chargementcyclique dont le niveau maximal n'aurait pas entran la rupture si le chargement avait t statique. Il'agit l d'un phnomne de plastification locaux.50La rupture des mtaux n'est pas un phnomne simple. Elle dpend du matriau, de la temprature, dumode de sollicitation (traction, flexion, fatigue,) et de la vitesse d'application des contraintes.5.5.6. Types de rupturesDiffrents critres sont utiliss pour diffrencier les types de rupture, ductile et fragile:Un critre macroscopique ou mcanique: prsence ou absence de dformation plastique avant la rupture;voir par exemple la figure 43 pour le cas de l'essai de traction.Un critre microscopique, fond sur l'observation du facis de rupture, et qui peut dpendre de l'chelle laquelle est observ la cassure.Figure.43 rupture ductile ( droite); et rupture fragile ( gauche)Aussi un facis microfractographique ductile peut-il se rencontrer en gnral aprs une rupture ductile,mais aussi aprs des ruptures fragiles au sens de la mcanique de la rupture (par exemple alliages CFC haute rsistance). Inversement, il est possible d'observer des clivages sur des ruptures ductiles, c'est--dire prcdes d'un allongement macroscopique apprciable.Facis fractographiqueLarupturefragilepeut correspondresoit unedcohsionintergranulaire(fragilitintergranulairefroidde certainsalliages),soit une rupture des grains suivant des plans cristallo-graphique simples:c'est le clivage, la surface de rupture prsente un aspect caractristique de petites facettes (une par grain)qui rflchissent la lumire, do le nom facis "grains" ou "cristallin".51Au contraire, une surface de rupture ductile prsente gnralement un aspect gristre et granuleux, dit "nerf", d la forte irrgularit du profil l'chelle microscopique. Sur des prouvettes de traction, onobserve la rupture en coupelle, qui se forme dans la zone de striction par dchirure interneperpendiculairement l'axe de traction et s'achve par cisaillement oblique dans les parties marginales.A temprature leve, on peut aussi observer une rupture en pointe, sans surface de rupture proprementdite, par suite de striction complte. L'examen oculaire des surfaces de rupture peut tre assez trompeur.Souvent il y a mlange de facis de rupture ductile et fragile et le microscope lectronique transmission, parlatechniquedesrpliques, et lemicroscopelectroniquebalayagepermettent unexamen srieux des cassures (microfractographie lectronique (fig.44a). c'est cet examen qui permet dedcider du caractre rellement fragile (fig.44.b) ou (fig.44.c) de la rupture, plutt que le critre de ladformation plastique pralable. La rupture fragile en ce sens peut donc se produire aprs une certainedformation plastique. Elle peut coexister dans un mme chantillon avec des zones de rupture ductile.Figure.44 a52Figure.44 bFigure.44 c5.5.7. Rupture ductile.a) Mtaux industriels.-Danslesmtauxindustrielsla surface d'une rupture seprsente,quelque soitle ct de la cassureexamin, comme une juxtaposition de "cupules" au fond desquelles on observe souvent un prcipit ouune inclusion. La rupture peut alors s'expliquer par la succession de trois stades (fig.45).53- formation de fissures l'interface des particules prsentes dans le mtal, car si celles-ci sont plus duresque la matrice, elles ne se dforment pas;- croissance partir de ces fissures de trous qui s'allongent dans le sens de la dformation;- rupture des pdoncules de mtal sparant les trous par striction complte ou par cisaillement. C'est cemcanisme quijoue dansla rupture en coupelle dont nous avons parl plus haut. En fait le facis encupules, observ par micrographie lectronique, est le facis typique de la rupture ductile.La ductilit du mtal, mesure par exemple par la striction, dpend donc de la fraction en volume desparticules. On a montr au moyen d'alliages synthtiques contenant de fines dispersions d'inclusion, quela ductilit varie peu comme l'inverse de cette fraction.Figure.45 Mcanismes de la rupture ductileb) Monocristaux.Le mcanisme prcdent n'agit gnralement pas dans les monocristaux du fait de leur puret. DanslescristauxCCouCFC,l'existence de plusieurssystmesde glissementrendpossible la striction,etl'prouvette se rompt par striction complte (rupture en pointe ou en ciseau).54Dans les monocristaux HC ceci n'est pas possible si le glissement basal est seul actif. La rupture peutse produire alors par cisaillement complet de l'chantillon suivant un plan de glissement.5.5.8. Rupture fragile par clivage.Les mtaux CC, contrairement aux CFC, sont sensibles la rupture fragile. Il doit donc s'agir d'uneproprit intrinsque de cette structure. En fait, d'une manire gnrale, les mtaux CC sont fragiles basse temprature, et il existe une zone de temprature vers 0.27TF o se fait la transition d'unmode de rupture l'autre. On la caractrise par une "temprature de transition" fonde plus ou moinsarbitrairement sur la mesure d'une proprit mcanique (allongement de rupture, striction, rsilience,etc.) ou sur le facis de la cassure. Cette proprit des mtaux CC a une importance technologiqueconsidrable, tout spcialement dans le cas des aciers ou la temprature de transition peut se situeren voisinage de l'ambiante. Elle se trouve trs sensible la composition, aux traitements thermiqueset la vitesse de sollicitation (fig.46). Le risque de rupture fragile est particulirement li latemprature. Auxdfauts et auxconcentrations locales decontrainte. Les essais classiques derupturefragilesont effectusvitessedesollicitationleveetsurdesprouvettesentaillesdemanire relever la temprature de transitionFigure.4655Dans les cristaux HC basse temprature, la rupture se produit galement par clivage. Le zinc peuttre cliv ds la temprature ambiante, plus ou moins facilement suivant son orientation, mais -195csaruptureprocdetoujourspar clivage. Leclivageseproduit suivant desplanscristallographiquessimples: (001) dans les mtaux CC, (0001) dans le zinc.Il est facile de calculer thoriquement la contrainte de traction critique aR pour produire la dcohsionsuivant le plan de clivage. En effet, la rupture fait apparatre deux surfaces libres et:6r=(YE/a)1/2O y est nergie superficielle, E le module d'Young, a le paramtre. Avec E=100 GPay=1J/m2, a=3A, on trouve ~ R~ 10GPa. Or, la contrainte normale de dcohsion par clivagedans les monocristaux est de quelques dizaines ou certaines de MPa (Fe(x -185C, aR=280MPa). Onse retrouve devant une difficult qui rappelle le problme de la limite d'lasticit thorique: un processusdepropagationdes fissures partir decertains dfauts, les microfissures prsentes initialement ouformes au cours de la dformation. C'est le problme de la rupture fragile. Au sens microscopique duterme.5.5.9.La rsistance en fatigueLa rsistance en fatigue d'un matriau traduit sa capacit subir un cycle de chargement rgulier oualatoire. Sil'onfaitsubir une pice mcanique unchargementnonconstantdansle tempsdontleniveau maximal ne dpasse pas la rsistance la traction du matriau, on peut observer la rupture de lapice au d'un nombre plus ou moins grand de cycles.Pour les mtauxCecomportement est liauxdplacementsdesdislocationsdansquelquesgrains, surtout, situsensurface de la pice car c'est en surface que l'on observe les niveaux maxima des contraintes (chargement gradient de contrainte, type flexion, et/ou zone de concentration de contrainte). Ces grains sont en faitfavorablement orients par rapport au chargement pour que l'tat de contrainte qui y rgne entrane laplastification du grain. Le chargement changeant sans cesse de direction, ces mouvements dedislocations finissent par dboucher en surface et crent des microfissurations qui finiront par coalescerpour donner naissance une macrofissure (sur plusieurs grains) qui se propagera jusqu' atteindre unetaille critique entranant la rupture brutale de la pice. Les principauxparamtres influant sur cecomportement sont la contrainte moyenne (moyenne des contraintes appliques au cours du cycle) et lacontrainte alterne (demi-amplitude du cycle de contrainte). Lorsqu'un mtal est soumis dessollicitations mcaniques qui varient avec le temps, la rupture peut se produire pour des valeurs de lacontraintemaximalebieninfrieureslarsistancelaruptureoummelalimited'lasticitdumatriau: c'est la rupture en fatigue.56Enpratiqueil s'agit desollicitationspriodiquesfrquenceleve(moteurs, vhicules) oufaibles(cellules d'avion, constructions mtalliques soumises au vent). On appelle fatigue ou endommagementpar fatigue la modification des proprits des matriaux constrictive l'application de cycles decontrainte rpts et endurance la capacit de rsistance la fatigue.5.5.10. Aspects macroscopiquesLesessaisde fatigue se traduisentparla courbe de Whler qui reprsente pour chaque valeur de lacontrainte maximale applique le nombre de cycles rupture La courbe de Whler permet de distinguertrois domaines:1.- fatigue plastique oligocycliqueSous forte contraintes suprieures la limite d'lasticit macroscopique. Le nombre de cycles ruptureNR (entre 1 et 105) est reli la dformation plastique lmentaire P accompagnant chaque cycle parla loi de coffin: N R1/2.P = cte.2.-fatigue ou endurance limitela rupture apparat aprs un nombre limit de cycles,~105 107. Le nombre de cycles rupture NRcrot lorsque l'amplitude de la contrainte priodique dcrot:N r (-D)n~ cte,D est la limite d'endurance.3.- endurance limite ou zone de scurit, sous faible contrainteLaruptureneseproduit pasavant unnombredonndecycles, 107ouplus; lesmicrofissuresnepeuventpasseformer, ouencorenepeuventpasatteindreunstadededveloppementcritique. Pourcertainsmtauxcommel'aluminiumlepassageentrelesdomainesdefatigueet descuritest trsprogressif, parfoisil n'apparatpasdelimited'enduranceasymptotique. Pourlesaciersferritiques, lacourbe prsente un coude accentu qui permet la dtermination d'une limite d'endurance.LescourbesdeWohlersont enoutresensibleslavaleurdelacontraintemoyenneapplique, lafrquence et la nature de la sollicitation, l'tat de surface, au milieu ambiant (dure de vie beaucoupplus leve sous vide qu' l'air) et la temprature.575.5.11.DuredevieetvolutionstructuraleAucoursdeladuredevied'uneprouvetteonpeutdistinguer plusieurs stades:1/ l'accommodationaucoursduquel lamicrostructurevolue; 2/ l'endommagement quirecouvredesstades d'amorage, puis depropagationdefissures; 3/ larupturefinale.L'importancedeces diversprocessusdpendvidemmentduniveaude contrainte oude dformationimpose.C'estainsique lenombre de cycles passs au stade d'amorage est d'autant plus grand, que le nombre de cycles ruptureest lui-mme plus grand.a) accommodation.Ce stade correspond au petit nombre de cycles. Il revt une importance particulire, et se prte bien l'tude, dans les cas de la fatigue plastique ou oligocyclique: il correspond la partie la plus gauche dela courbe de Wblher.En fatigue plastique, le matriau est soumis une dformation plastique alterne rpte; onobservedes cycles d'hystrsis successifs cr, c, aucours desquels lacontraintevolue(accommodation) avant de stabiliser au bout de quelques milliers de cycles: on atteint un tat de rgimeolescyclessesuperposent. Pour chaquevaleur deladformationc, oumieuxdeladformationplastique sP, on obtient une contrainte de rgime ou de saturation aS. Le lien des points aS, sP dfinitune courbe de durcissementparcrouissage cyclique. Dans les polycristauxelle peut tre reprsentepar une loi parabolique, comme la courbe de "durcissement monotone" (obtenue en traction simple). Parrapport cettedernire, onobservesuivant lesmatriaux, undurcissement ouunadoucissement.Dans las monocristaux, lacourbed'crouissagecycliqueprsenteunpalier partir d'unecertainedformation seuil: au dessous de celle-ci les dislocations rarrangent en cheveaux ou veines. Au dbutdupalierapparaissentdesbandesde dformationlocalises, parallles au lan de glissement, appeles"bandes persistantes" o la dformation est trs leve (10-5 10), alors qu'elle est cent fois plus faibledans le reste du mtal (fig.47). Si l'on accrot la dformation impose, les bandes persistantes occupentprogressivement toute l'prouvette.p58Figure.47. Bandes de glissement persistantes dans un monocristal de cuivre soumis une dformationplastique oligocyclique gale 1.5.10-3. Enhaut, relief superficiel observpar microscopielectronique balayage. En bas, micrographie lectronique en transmission : M matrice crouie,P.S.Bbandedeglissement persistante(leplandeglissement est perpendiculaireauplandelemicrographie). D'aprs H.Mughrabi (Max Planck Institut).Ces bandes prsentent une microstructure en canaux allongs dans le plan de glissement, spars pardes murs dedislocations, visibles par latranchesur lamicrographiedelafigure34. Les bandespersistantessont trsvisiblesdanslesmtauxCFC, oellessont favorisesparunefortevaleurdel'nergie de dfaut d'empilement (facilit du glissement dvi). Elles sont plus diffuses dans les alliagesCC. Dans les alliages, le cisaillement des prcipits par les dislocations favorise la formation des bandespersistantes. Dans les polycristaux, la fatigue oligocyclique produit une microstructure encellules(diamtre ~ze m), aux parois d'autant plus fines que la dformation est plus leve, et d'autant mieuxdfinies que l'nergie de dfaut d'empilement est plus forte.59b) Amorage et propagation des fissuresLa figue 48 montre des courbes de propagation d'une fissure pour diverses valeurs de la contrainteet fait apparatrelalimited'endurance a1tellequelafissurenesepropagepas. Lesobservationsmacroscopiques et microscopiques permettent de distinguer 3 stades (diagramme de Forsyth.fig.48).Figure.48Longueurld'une fissure de fatigue enfonctiondunombre de cycles N pourdiverses valeurs de la contrainte maximale.Amorage:Une dformation plastique localise est ncessaire pour amorcer une microfissure. Elle se produit endes points ou existe une concentration de contrainte, par suite des irrgularits de surface, des inclusions,des jonctions de plusieurs joints de grains. Cet effet peut tre exalt ensurface par des facteursmacroscopiques tels que les rayures, les entailles, les filets, les raccordements sans cong. Localementon se trouve en prsence de fatigue plastique. Pour comprendre le mcanisme d'amorage, on s'adressedonc aux examens de matriaux de monoou polycristallins, dforms en sollicitation oligocyclique. Leva et vient des dislocations dans les bandes persistantes produit des dfauts ponctuels, do unaccroissementdevolumeetparfoislaformationdepores, etdesirrgularitsdesurface,sousformed'extrusionset d'intrusions. Lesintrusionsservent d'amorcerdemicrofissuresquisedveloppentpardcohsionencisaillement. Touslesfacteursmtallurgiquesquifavorisentdesbandesdeglissementlocalisesrduisentladuredustaded'amorage. Lesmicrofissurespeuventainsitreamorcesauxinclusions et aux jonctions de plusieurs joints de grains.60Stade I de la propagationLes microfissures formes par les divers mcanismes voqus au paragraphe prcdent, progressenten restant dans le plan de glissement initial o elles sont apparues, et en s'tendant au plus dans quelquesgrains vitesse lente (quelques Apar cycle). La dformationentte de fissure, et la vitesse depropagation, dpendent troitement de l'aptitude au glissement dvi (formation de cellules ou structuresplanaires). Dans les matriaux techniques le stade I peut ne pas apparatre, car la prsence d'entailles,d'inclusions qui se fissurentconduit tout de suite au stade IIStade II de propagationLa fissure progresse dans le plan o la contrainte normale est maximale, donc suivant une sectiondroite pour une sollicitation uniaxiale. La fissure est transcristalline et conserve une direction gnraleavec des ramifications et des changements de directions locaux. La dformation accompagnant chaquecycle se localise l'extrmit de la fissure, par suite de concentration de contrainte. La fissure progresse travers une zone dforme qui la prcde et qui possde une structure double: une zone centrale quisubit uncrouissagecyclique, unezonepriphrique(jusqu'- 1mm) danslaquelleladformation,monotoneet faible, seproduit l'ouverturedelafissure. Lamicroscopielectroniqueaconfirml'existence de cette double zone plastifie.Figure.49 Schma de Forsyth. Propagation d'une fissure de fatigue dansune prouvette polycristalline. Le stade d'amorage n'est pas montr.61Le mcanisme de progressionestschmatis sur la figure 50. L'extrmit de la fissure s'ouvre durantl'augmentation de la charge, et se referme partiellement par dformation plastique durant la dcharge. Ceprocessusdonnesouvent lieuunfacisstridelacassure, observableenmicroscopielectronique(fig.123) chaque strie correspondant un cycle. Le milieu ambiant joue un rle important (notammentpar oxydation des surfaces faiblement ouvertes: absence de stries sous vide).Figure.50.Propagation d'une fissure de fatigue (a) au cours des cycles schmatiss en (b).Lamcaniquedelaruptures'appliquecestade: ellepermet deprvoir lerayondelazoneplastifie cyclique rc et de la vitesse de fissuration:Figure.51 rupture par fatigue d'un arbre d'acier (04cm). La fissure a t amorce ensurface, ( la partie droite de la photographie).62OAKest lavariationdufacteurd'intensitdecontraintecorrespondant auxcontraintesappliquesmaximales et minimales, Rela limite d'lasticit, c la longueur de fissure. La loi de paris estgnralement bien suivie, partir d'un certain seuil; dans les aciers m-4.c) rupture finaleLorsque la fissure atteint une dimension telle que K=Kc.La rupture brutale de la pice intervient. Les deux parties de la cassure, correspondant au stade II et larupture brutale se distinguent bien l'il.Remarque: le diagramme classique de Wbhler peut tre complt par des courbes correspondant descontraintes seuils pour l'amorage, le stade I ou la stade II- ce qui permet de faire la jonction avec leprocessus de fatigue plastique qui se produisent en tte de fissure.5.5.12. La rsistance au fluageLe fluage est un phnomne observ lorsque l'on emploie les matriaux au dessus d'une certainetemprature. Pour les mtaux, ce phnomne est sensible partir du 1/3 de la temprature absolue defusion.Pourlespolymres,ilpeuttre observ temprature ambiante (les2/3de la temprature detransition vitreuse Tg). Il de traduit par la dformation lente et irrversible (dformation visco-plastique)dumatriaulorsquecelui-ci est soumisunecontrainte. Lafigure52ci-dessousreprsentel'alluretypique d'une courbe de fluage classique.Figure.52 courbe de fluage diffrentes contraintes pour le superalliage IN 100 1000C63Ces courbes mettent en vidence trois phases:- une phase de fluage primaire au cours de laquelle l'crouissage du matriau engendre unediminution de la vitesse de fluage initialement trs grande; cette phase est assez bien reprsenteparlaloi d'Andrade: E=At I/QI ouAet qsont desparamtresdumatriaufonctiondelatemprature;- unephasedefluagesecondairecaractrisepar unevitessedefluageconstantefonctiondelacontrainte qu'exprime la loi de Norton:E p=( / )O et N sont d'autres paramtres du matriau qui dpendent de la temprature;.- une phase de fluage tertiaire caractrise par une augmentation rgulire de la vitesse de fluage etconduisant la rupture (R) .5.5.13. Rsistance lusureEn technologie, on diffrencie entre l'usure morale et l'usure physique. On caractrise les machines,appareils, quipements, etc., comme usure morale, si elles sont poses extrieurement des ateliers defabrication, elles peuvent tre encore fonctionnelles cause- Du dveloppement technique, et par suite, elles seront remplaces.- De manque de productivit.- Par manque de maintenance techniqueL'usure physique dans le sens technique, est dfinit comme un processus caractris par une attaquemcanique, enpremirelignepar unfrottement conduisant unperteprogressivedematireensurface d'un corps solide par sparation de petites particules, donc cest un changement de forme nonvoulue de la surface. L'usure peut avoir lieu dans un mouvement relatif entre un objet et son milieugazeux liquide ou solide. Le plus souvent l'usure est accompagne par des phnomnes de corrosionocesderniers ne sont pas clairs sparer de l'usure. Mme les connaissances et rsultats obtenuspour les phnomnes d'usure n'ont pas une validit gnrale pour simplifier le danger de cephnomne.Lespertesoccasionnespar l'usuredanslindustriemondiales'lvent annuellement plusieurs millions de tonnes de mtaux. A cause de l'usure, beaucoup de machines et quipements sontremplacs, leplussouvent, avecd'normesdpenses. Parexemple, auxEtatsUnis, onestimecespertes2,3kgd'acier pour chaquetonnedemineraistraite. Il nest paspossibled'indiquer parlintermdiaire d'une certaine valeur caractristique la tenue lusure d'un mtal vis--vis desdiffrentes contraintes ou sollicitations d'usure. L'utilisation conomique d'un mtal est dfinitseulement par les diffrents essais d'usure et pour des sollicitations bien dtermines.64Une analyse du processus indique que la tenue l'usure ou le phnomne dusure sont influencspar- Les mtaux accoupls.- La rugosit des couches limites (surface, lubrification).- Le type de mouvement (glissement, roulement, coulement, chocs, etc.). - La vitessedu mouvement.- L'enlvement des particules solides.6. HYPOTHESES EN RDM6.1. Buts de la rsistance des matriauxLa rsistance des matriaux a trois objectifs principaux :+laconnaissancedescaractristiquesmcaniquesdesmatriaux. (comportementsousleffet dune action mcanique) l'tude de la rsistance des picesmcaniques.(rsistance ou rupture)+l'tude de la dformation des pices mcaniques.Ces tudes permettent de choisir le matriau et les dimensions d'une pice mcanique en fonctiondes conditions de dformation et de rsistance requises.6.2. Dfinition et hypothsesHomognitOn admet que les matriaux ont les mmes proprits mcaniques en tous points.L'isotropieOnadmetquelesmatriauxont, enunmmepoint, lesmmespropritsmcaniquesdanstouteslesdirections, L'isotropieest vrifiepourlesaciersnonfibrs(lesacierslaminsetforgs ne sont pas isotropes), Elle n'est pas vrifie pour les matriaux fibrs (bois, matriauxcomposites...) figure.53Figure.5365Contraintes (unit : MPa)Elles caractrisent les actions mcaniques de cohsion qui existent entre les grains de matire.DformationsElles rsultent et varient avec les charges appliques sur les objets, Elles sont mises en videncepar la variation des dimensions, et peuvent tre lastiques ou plastiques.ElasticitElle caractrise l'aptitude qu'a un matriau reprendre sa forme et ses dimensions initiales aprsavoir t dform. Un ressort charg normalement a un comportement lastique.PlasticitUn matriau qui ne reprend pas sa forme et ses dimensions initiales aprs avoir t dform estdit plastique. La pte modeler a un comportement plastique.PoutresEX.1. Une poutre est un solide engendr par une surface plane S (ou section droite de la poutre)dont le C.D.G. dcrit une courbe C, appele ligne moyenne.Le repre RS = ( ) z y x GS , , , est construit en prenant :L'axeXtangent en GS la courbe C, soit normal la section S,Les axesY etZ appartenant la section S.Les solides idaux sont des poutres prsentant:- des sections droites constantes ou variables lentement en dimensions et en forme- des dimensions longitudinales importantes par rapport aux dimensions transversales (L > 4 ou 5D)La poutre possde un plan de symtrie soit( ) XY , , soit( ) XZ , . Figure.54Figure.5466EX.2 : on appelle poutre (voir fig.) un solide engendr par une surface plane (S) dont le centre desurface G dcrit une courbe plane (C) appele ligne moyenne. Figure.55aLes caractristiques de la poutre sont :- ligne moyenne droite ou grand rayon de courbure.- section droite (S) constante ou variant progressivement.- grande longueur par rapport aux dimensions transversales.- existence d'un plan de symtrie.GGG(C) Ligne moyenne(S)Figure.55aEX.3Les notions abordes dans ce cours ne sont valables que pour des solides ayant une forme de poutre ;cest dire un solide pour lequel : figure.55bil existe une ligne moyenne, continue, passant par les barycentres des sections du solide ;la longueur L est au moins 4 5 fois suprieure au diamtre D ;il ny a pas de brusque variation de section (trous, paulements) ;le solide admet un seul et mme plan de symtrie pour les charges et la gomtrie.67Figure.55bExemples de poutres :Exemples de poutres ne satisfaisant pas lhypothse de symtrie :Figure.55cDAx x xGBPlandesymtriedelapoutreLSectiondroiteLignemoyenneLmd68Les actions mcaniquesLes actions mcaniques, appliques en un point, sont des vecteurs glissants. Il estimpossible de les remplacer par un systme d'actions mcaniques "vectoriellement"quivalent (mme rsultante et mme moment en un point A) car les effets physiques(sollicitations) sont diffrents.Le chargement de la poutre se fait dans le plan de symtrie de celle-ci.Le chargement se fait lentement et rgulirement. Il n'existe que deux types de chargement, soit une Action Mcanique : Localise (ou concentre) reprsente par un glisseur Rpartie reprsente par sa densit linique qL en N/m ou surfacique qs en N/m2Exemple : Rpartition uniforme de la neige sur un toit (charge surfacique) et glisseurquivalent au C.D.G. de la surface enneige (charge localise). Figure.56Figure.56Hypothses sur l'influence des dformationsDans le domaine lastique, les dformations sont trs faibles, elles ne modifient pas les actionsmcaniques calcules par la statique (hypothse des solides indformables).Hypothse de Navier-BernouilliLes sections planes et droites (normales la ligne moyenne) avant dformation, restent planes etdroites aprs dformation (normales ligne moyenne dforme). Figure.57Figure.5769Hypothse de Barr de Saint-VenantDans unesectiondroite(S) loignedelazoneoles charges sont appliques (/ >d), larpartitiondesdformationset descontraintes nedpendquedeslmentsderductiondutorseur des actions mcaniques appliques. Figure.58Figure.58Dans une section droite (S) proche de la zone o les charges sont appliques ( /< d), la rpartitiondes dformations et des contraintes dpend de la rpartition des charges appliques.SUPERPOSITION DES DEFORMATIONSLa dformation en un point M de la poutre due plusieurs A.M. est gale la somme desdformations dues chaque A.M. prises isolment.SUPERPOSITION DES CONTRAINTESLa contrainte en un point M de la poutre due plusieurs A.M. est gale la somme descontraintes dues chaque A.M. prises isolment.Dfinition des liaisons poutre/btiIl n'existe technologiquement que quatre appuis principaux :70TYPE D'APPUI RESULTANTE MOMENTUn appuis simple d'axeY ouZ Perpendiculaire X NulUn pivot d'axeY ouZ Appartenant ( ) XY , ou( ) XZ ,SurX (ou nul si problmeplan)Une rotule Appartenant ( ) XY , ou( ) XZ , NulUn encastrement Quelconque Quelconque. Les forces extrieuresPlan de symtrie : les forces extrieures seront situes dans le plan de symtrie de la poutre oualors disposes symtriquement par rapport ce plan.Typesd'actionsmcaniquesextrieures : deuxtypes d'actions mcaniques peuvents'exercer sur lapoutre (voir fig59) :- charges concentres (F1 ou moment MC )- charges rparties p sur DE. (exprimes en N/m).71F1McCABD EpFigure.59Les dformationsLes dformations tant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerant sur celle-ciseront calcules partir du principe fondamental de la statique.Les supports des forces seront eux considrs comme constants.figure.60Figure.60^ Navier & Bernoulli : Les sections planes normales aux fibres avant dformation demeurent planes etnormales aux fibres aprs dformation.O Afig.472^ Barr de St Venan : Les rsultats obtenus par la RDM ne s'appliquent valablement qu' une distancesuffisamment loigne de la rgion d'application des efforts concentrs. Figure.61Figure.61TORSEUR DES EFFORTS DE COHESIONDfinitionSoit une poutre (E) en quilibre sous l'action de n actions extrieures. On associe cette poutre un repre R (x,y,z) dont l'axe x concide avec la ligne moyenne de lapoutre. Coupons la poutre (E) par un plan (P) orthogonal sa ligne moyenne, situ l'abscisse x. On dfinit ainsi deux portions de poutre (E1) et (E2). Figure.62XYZGxE1 E2Figure.62O AA'F73(E) tant en quilibre, on peut crire : { } { } E E = 0(E1) tant en quilibre, on peut crire : { } { } { } E E E E + = 1 2 1 0(E2) tant en quilibre, on peut crire : { } { } { } E E E E + = 2 1 2 0On en dduit :{ } { } { } E E E E E E 2 1 1 2 = = { } E E 2 1 est le torseur qui traduit l'action de contact de (E2) sur (E1).Cette action est due aux efforts de cohsion qui permettent la poutre de ne pas se"disloquer" sous l'effet d'actions extrieures.La RDMvise en particulier vrifier qu'en aucun point de la poutre les efforts decohsion "transmettre" ne soient suprieurs aux capacits du matriau.On note :{ }{ } { } Cohsion E E E E = = 2 1Composantes du torseur de cohsionDans le torseur de cohsion, on peut faire apparatre la rsultante et le moment quidpendent de la position de la section (x).{ } CohsionRxM xGG=`) ( )( )La rsultante figure.63RNTyTzRFigure.63GNTyTzR74- N : effort normal, projection de R sur la normale extrieure (x).- Ty et Tz : efforts tranchants, projections de R sur le plan de section droiteLe moment rsultantDe la mme manire, on retrouve pour les moments, 3 composantes :- MT : moment de torsion, projection du moment sur la normale extrieure.- Mfy et Mfz : moments de flexion, projection du moment sur le plan de section droite.Soit :MM tMf yMf zGRToutes ces composantes N, Ty, Tz, MT, Mfyet Mfzdpendent de la position de lasectiondroit (x). On peut donc reprsenter leurs volutions laide de diagrammes.Les sollicitationsSuivant les lments de rduction non-nuls du torseur de cohsion (N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz )on peut alors identifier le type de sollicitation que subit la poutre, savoir :Composantes SollicitationN > 0 Extension (traction)< 0 CompressionTy CisaillementTzMt TorsionMfy FlexionMfzLorsquelonauneseuledecessollicitationsonparledesollicitationsimple, sinononaunproblme de sollicitations composes.756.3.Notion des contrainte Principe de dterminationContrainte en un point M d'une section SLa contrainte caractrise les liaisons mcaniques internes au matriau (reprsentes par le torseurdecohsion { }RcohGTSsurchaquelment desurfacedSdelasectionSquelconque. Onpeutchoisir dS aussi petit que l'on veut.Unit : le N/mm2soit le MpaRappel : 1 Mpa = 106Pa = 1 N/mm = environ 10 barsDEFINITIONLa contrainteCest le rapport entre l'action mcanique F d , qui s'exerce sur l'lment de surfacedS de la section S, SUR la surface dS.z y xdSF dC z y . . . t t o + + = =tel quelles tangentie s contrainte : etnormale contrainte :z y t toStatique des solidesEfforts extrieursexercs sur la poutreEfforts intrieurs dans lapoutre : N,T,Mt,MfContraintes en tout pointo, tDformationsc, Dimensionnement despoutresCahier des charges76CONTRAINTE NORMALEConsidrons un torseur de cohsion{ }RcohGTSdont la rsultanteRn'a qu'une composanteN surX. = = = =S S SdS x dS C F d x N R . . . . o=Sds N . oSi nous supposons une rpartition constante de la contrainte osur SS dS dS NS S. . . o o o = = = SN= oCONTRAINTES TANGENTIELLESConsidrons un torseur de cohsion{ }RcohGTSdont la rsultanteRn'a qu'une composante TysurY. = = = =SzS Sz dS z dS C F d z T R . . . . t=SZ Z ds T . tSi nous supposons une rpartition constante de la contrainteyt sur SS dS dS T zSzSz z . . . t t t = = = STZZ = tde mmeSTyy = tRelations entre torseur de cohsion et contrainte( )dS T N RSz y E E . 2 1+ + = + = t t o ou( )S T N Rz y E E.2 1t t o + + = + =( )dS GM MSz y G E E . 2 / 1+ + . = t t o 77ExempleSur l'exempleprcdent endduirelacontraintetangentiellemaximaleet sapositionsur lapoutre.MPa 2 , 3863 , 19750= = =STyy t . Cette contrainte tangentielle existe sur la partie CB de la poutreNotions sur les coefficients de scuritPour quune structure (machine, vhicule) puisse supporter entoute scurit les chargesnormalement la sollicitent, il suffit quelle puisse rsister des charges plus leves. La capacit supporter ces charges constitue la rsistance de la structure. Le coefficient de scurit s estncssaire rsistancerelle rsistanceexerces chargesadmissible charges = =La scurit est obtenu si , sous charge- les dformations du matriau restent lastiques- la rupture du matriau nest pas atteinteDoncpratique rsistancelastique rsistanceRpRes = =Opratique rsistancerupture la rsistanceRpRrs = =787. TRACTION7.1. TRACTION7.1.1 DfinitionUne poutre est sollicite la traction simple lorsqu'elle est soumise deuxforces directement opposes, appliques au centre de surface des sections extrmes et quitendent l'allonger. Figure.64BBAAGRAA(S)xyzRFigure.64Les lments de rduction en G du torseur des efforts de cohsion s'expriment par :{ } CohsionNG x y z=`)00 00 0( , , ) Avec N > 0797.1.2 Essai de TractionUne prouvette en acier est sollicite l'extension par une machine d'essai, qui permetde dterminer l'allongement de l'prouvette en fonction de l'effort qui lui est appliqu.A BlA' B'l +AlF F00Figure.65On obtient alors la courbe dessai ci-dessous figure.66F(N)Al (mm)OABCDFigure.6680Analyse de la courbe obtenue^ Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' unevaleur nulle, l'prouvetteretrouvesalongueurinitiale. Danscettezone, l'allongement estproportionnel l'effort d'extension. Des essais effectus avec des prouvettes de dimensionsdiffrentes permettent de constater que pour un mme matriau, l'allongement unitaire ( Al /l0) est proportionnel l'effort unitaire (F / S0). Les sections droites et planes de l'prouvetterestent droites et planes pendant l'essai.^ Zone ABCD : c'est la zone des dformations permanentes. Si l'on rduit la valeur de F jusqu'une valeur nulle, l'prouvette ne retrouve pas sa longueur initiale.On ne s'intressera (pour linstant) qu' la zone des dformations lastiques.7.1.3 Dformations lastiquesLa proprit constate ci-dessus a permis pour diffrents matriaux d'tablir larelation :NSEll=AUnits : F en NewtonS en mm2E en MPa (N/mm2)Al et l en mm.E est une caractristique du matriau appele module d'lasticit longitudinal oumodule de Young.Matriau Fontes Aciers Cuivre Aluminium TungstneE (MPa) 60000160000 200000 120000 70000 400000Lors de cet essai, on met aussi en vidence une autre caractristique de llasticit ; ilexisteunrapport constant entrelacontractionrelativetransversale(Ad/ d) et l'allongementrelatif longitudinal (Al/l). On peut crire :81A A ddll= vUnits : v sans unito et l en mm.v est aussi une caractristique du matriau (coefficient de Poisson), il est de l'ordre de0,3 pour les mtaux.7.1.4 ContraintesSoit (E1) le tronon de la poutre (E) issu de sa coupure par un plan orthogonal sa ligne moyenne figure.67.Figure.67Le tronon (E1) est en quilibre sous l'action de F et des efforts de cohsiondans la section droite (S). Soit S l'aire de la section droite (S). On dfinit la contrainte o dans la sectiondroite (S) par la relation :o =NSavec o : contrainte normale d'extension (o > 0) en MPa.N : effort normal d'extension en Newton.82S : aire de la section droite (S) en mm2.La contrainte permet de "neutraliser" lasurface etpar consquent de comparerdes prouvettes de sections diffrentes.7.1.5. Loi de HOOKENous avons dj vu que o = NSet queFSEll=A, on peut en dduire que :o c = = EllEA.Allest l'allongement lastique unitaire suivant x, il gnralement not cUnits : o en MpaE en Mpac sans unit7.1.6. Caractristiques mcaniques d'un matriau^ Contrainte limite lastique en traction oeC'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine lastique, appele aussi limite d'lasticit Re. Pourl'acier, cette valeur est voisine de 300 MPa.^ Contrainte limite de rupture en traction or^ C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'prouvette, appele aussi nomme rsistance latraction R.Pour l'acier, cette valeur est voisine de 480 MPa.^ AllongementA%Al ll% * = 00100 avec^ l0: longueur initiale de l'prouvette^ .l : longueur de l'prouvette sa rupture.Pour l'acier, on constate des valeurs de A% voisines de 20%.Loi de Hooke831.1.7. Condition de rsistancePour des raisons de scurit, la contrainte normale o doit rester infrieure une valeur limite appelecontrainte pratique l'extension ope.On a :oopees=S est un coefficient de scurit qui varie de 1,1 10 selon les domainesd'application.La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle nedoit pas dpasser le seuil prcdent, soit :o o relle peNS= 0 vers la droite) et t en ordonne (>0 vers le bas)prendre une chelle de contrainte.b) le centre C situ la distance oo omoyenx y=+2de O.c)le point A de coordonnes (ox ; txy ).d) le cercle de centre C et de rayon AC.Recherche des contraintes dans une direction x1 incline de u figure.113Le diamtre AB sert de rfrence angulaire (u = 0).Il suffit alors de tracer langle 2u (correspondant u sur les facettes).OBCAoxoyomoyotxy-txytxyRu = 0144Les coordonnes des points sont alors : A1 (ox1 ; tx1y1 )B1 (oy1 ; -tx1y1 )Figure.113Recherche des contraintes maximales figure.114On trouve :omaxi au point Domini au point Etmaxi au point Ftmini au point GFigure.114OBCAotxyu = 0A1B12uGCAou = 0D EBF1454.Critre de limite lastiqueAfin de raliser des composants, on doit lors de la conception simposer une limite suprieure auxcontraintes sollicitants les matriaux. Si le matriau est ductile ou mallable, la rfrence sera sa limitelastique Re.Si le matriau est fragile, la rfrence sera alors sa rsistance la rupture Rr.Cependant lorsque les contraintes sont biaxiales (voir mme triaxiales) dautres critres sontncessaires. Nous allons en voir quelques uns.4.1.Critres pour matriaux ductiles ou mallables.4.1.1.Critre de Tresca ou de la contrainte de cisaillement maximale.Gnralement le mode de rupture de ce type de matriaux est le glissement engendrpar les contraintes de cisaillement. On peut crire :- si omaxi et omini sont de mme signe, alors- omax i eR s et omini eR s- si omaxi et omini sont de signes contraires, alors- o omax min i i eR sGraphiquement on peut retrouver ce critre de Tresca, savoir :figure.115Figure115omaxiomini+Re+Re -Re-ReZoneAdmissible1464.1.2.Critre de Von Mises ou de lnergie de dformation.Un matriau, lorsquil est dform par une charge extrieure, tend stocker de lnergie internedans son volume (analogie avec les ressorts).On aboutit aprs calcul la relation :o o o omax max min min i i i i eR2 2 2 + >Graphiquement on retrouve par le critre de Von Mises une zone admissibleelliptique, savoir : figure.116ReRe-Re-ReVon MisesTrescaFigure.116On peut remarquer que le critre de Tresca est plus svre que celui de Von Mises.1474.2.Critres pour matriaux fragiles.Schmatiquement, lorsquun matriau fragile est soumis un essai de traction, sa rupture se produitsoudainement sans dformation plastique pralable. Les contraintes maximales atteignent la limite larupture Rr.4.2.1.Critre de Coulomb ou de la contrainte normale maximale. Figure.117omax i rR s et omin i rR sFigure.117Graphiquement on peut retrouver ce critre de Coulomb, savoir :4.2.2.Critre de Mohr.Pour beaucoup de matriaux, les rsistances la rupture en traction Rrt et en compression Rrcdiffrent. Le critre de Mohr, bas sur des essais exprimentaux, prend en compte cettediffrence. Figure.118.omaxiomini+Rr+Rr-Rr-RrZoneAdmissible148ot-RrcRrt(A)(B)(C)Figure.118Le cercle (A) traduit une sollicitation de compression pure.Le cercle (B) traduit une sollicitation de traction pure.Le cercle (C) traduit une sollicitation de cisaillement pure.On obtient alors les limites suivantes : figure.119Figure.119omaxiomini+Rrt+Rrt -Rrc-RrcZoneAdmissible14915. DEFORMEEIlexisteunlienentrelescontraintesnormales oetlesdformationssury, cestcequenousallonstablir. Les contraintes normales suivent la loi de Hooke, savoir : figure.120yF LE IP k y LE I= = 3 33 3( )mais grce la figure, on peut crire :A B y yetA C x= ~ =tan( ) A AA on obtient donc une premire relation (1) :Figure.120o= EyxAAEnsuite, sur la figure, on peut remarquer la relation suivante :Rx x= ~AAAA s i n ( ) mais en math, on peut constater que R est le rayon de courbure, proportionnel la drive seconde, ona donc une seconde relation (2) :1' '~yx AA Enfin, on a tabli une relation (3) reliant la contrainte de flexion aux actions mcaniques exerces, savoir :yIMfzGz = oyxRyCABAAx150En combinant les 3 relations tablies prcdemment, on a :y y E yIMfzGz' ' = Si lon ne se place pas sur la fibre neutre ( y # 0 ), lquation de la dformation ( dforme) est alors :Mfz EI yGz= ''Il ne faut pas oublier quau moins Mf et y sont fonction de la position x.(IG ventuellement)Prenons pour exemple un cas simple : une poutre sur deux appuis charge en son milieu. Figure.121Figure.121- On isole la poutre, bilan des actions extrieures, P.F.S., afin de connatre les actions extrieures, icion a :yF LE IP k y LE I= = 3 33 3( )- On recherche le torseur de cohsion, savoir :- tronon BC.{ } c o hFL xFGG= `)0 02002( )LRARBA BCF151- tronon AC.{ } c o hFx FGG=`)0 02002On est bien en prsence dune sollicitation de flexion simple.- On recherche alors la dforme :- tronon BC.E I y x L xFE I y x LFxF xCE I y x LF x F xC x CGzGzGz '' = ' = + = + +

( ) ( )( )( )22 2 22 2 2 6212 31 2OntrouvealorslesconstantesC1et C2laidedesconditionsauxlimites, savoir, enBpasdedplacement et en C une tangente horizontale (par raison de symtrie), soit :x L y xxLy x= == ' =( )( )020On obtient alors :' =' = y yF LE Sy yP F LE IF LE I103033 3( )152= =

CF LCF L121331 64 8On obtient finalement lquation de la dforme :||.|

\|+ + =48 1634 121) (3 22 3FLxFLxFLxFEIx yBC- tronon AC.E I y x xFE I y xF xCE I y xF xC x CGzGzGz '' = ' = + = + +

( )( )( )22 22 62333 4OntrouvealorslesconstantesC1et C2laidedesconditionsauxlimites, savoir, enApasdedplacement et en C une tangente horizontale (par raison de symtrie), soit :0 ) (20 ) ( 0= ' == =x yLxx y x

==480243L FCCOn obtient finalement lquation de la dforme : figure.122 et figure.123153y xEIFxFLxAC( ) = |\

|.|11 2 4 832Figure.122Figure.123Lesenveloppesmincescylindriqueset sphriques(rservoirs, corpsdevrin, etc.) soumisesunevariation de pression peuvent aussi se calculer laide des relations dextension-compression.1541. Enveloppe Mince CylindriqueAuniveaude la coupure, onretrouve la somme des efforts lmentaires dF, dus la pression.Chacun dentre eux peut se dcomposer en une composante sur x et une composante sur y.Lasymtrieparrapportxannuledeuxdeuxlescomposantessury. Onadoncauniveaudelacoupure uniquement un effort port par x. Cest bien une sollicitation de traction. Figure.124Figure.124| |L D p R p L NR p L d R p dh NdS p dF x F d NLS S S = = = = = = =+} }}} }} }}2sin cos . .cos cos2 /2 /ttoo o oo oEn traction on connat lexpression de la contrainte, sachant que la section normale est : 2.e.SOn a alors :o = =p D Le Lp De 2 2YXeodFdS1552. Enveloppe Mince SphriquePar un calcul analogue, on peut tablir que :o =p De 4remarque :gnralement, onaunepressionintrieureet unepressionextrieure, il suffit alors deprendreladiffrence des pression.16.FLAMBAGE1. Mise en vidence du phnomne (charge critique). Figure.125Prenons pour exemple le cas dune poutre droite articule ses deux extrmits A et B et sollicite encompression.Figure.125Faisons lhypothse quil existe une petite flche y de la poutre (dbut de flambage), on se retrouve ensollicitation compose (compression + flexion). On peut crire en flexion :LFFByA156( )cc c c cuucc c c cuu c c u uxx y x y x yyx y x y x yx y x y x y111 12 22222 22222 2=++ + =+ + = +

c o s ( ) s i n ( )s i n ( ) c o s ( )s i n ( ) c o s ( )mais le moment de flexion dpend de la charge F et de la flche y, savoir :M f F y x = ( )On aboutit alors lquation diffrentielle suivante :EI y x Fy xG '' + = ( ) ( ) 0Mathmatiquement on peut donc trouver des solutions de la forme :y xn xL( ) sin = |\

|.| otavec o constante (flche de la sectionmdiane)Cette existence de solution confirme notre hypothse de dpart, savoir, quil peut y avoir dformation(flambage) sous certaines charges dites critiques. Celles-ci dpendent de n et y.On obtient en remplaant :Fn E ILcG= t22 Charge critique dEulerPrenons la premire de celles-ci (n=1), trois cas sont envisager :- Frel < Fc : La poutre reste droite, elle travaille en compression. On est en quilibrestable.figure.126Figure.126157- Frel = Fc : Cest lincertitude, la poutre peut rester droite ou flamber jusqu' la valeur o. OnestEnquilibreneutre.Figure.127Figure.127- Frel > Fc : La poutre de trs grandes chances de flamber. On est en quilibreinstable.figure.128Figure.128Nous venons dtudier le cas dune poutre articule ses deux extrmits, on pourrait en faire de mmeavecdautrestypesdeliaisonauxextrmits(libre, encastrement,...) seul lalongueur prendreencompte demeure alors change.2) Contrainte critique.Nous sommes aussi en compression, on peut donc crire :otCc GFSn E IS L= = 22158On introduit alors le rayon de giration et llancement, savoir :Rayon de girationrISG=et lancement =LrotCn ErL= 2 22otCn E= 22remarque : llancement caractrise la flexibilit dune poutre et permet une comparaisonde celles-ci.3.Mthodes de calcul. (Poutres en Acier)3.1.Mthode Euler - Rankine.Cest une mthode de calcul simplifie valable si lon natteint jamais la 1rechargecritique.On dfinit les grandeurs suivantes :Fadmcharge admissibleRpcrsistance pratique en compressions coefficient de scurittceER=2lancement critique =Lrelancement (Le : longueur effective, dpend du type dextrmit)La relation de base est la suivante :22 = =sFFRRcadmepcOn travaille ensuite laide du tableau ci-dessous, suivant llancement de la poutre.159Poutres Courtes Poutres Moyennes Poutres Longues < 20 20 s s 100 > 100calcul en compression calcul de Rankine calcul dEulerF R sadm pc= FR sadmpcc=+ |\

|.| 12FR sadmpcc=|\

|.| 223.2.Mthode de Duteil.Cette mthode prend en compte les contraintes de compression dues au momentflchissant engendr par la flche f.Dterminer : Le, IG,rISG=, =LreCalculer la contrainte critique : otCn E= 22Calculer la contrainte : ( ) o o0121 3 = + C eR ,Calculer la contrainte daffaissement admissible :o o o os C eR = 0 02Vrifier alors si :ooocsFS= savec o : coefficient de scuritconstruction mcanique 2 < o s 2,5construction mtallique 1,3 < o s 1,5160Les contraintes en un point de la structure dun aronef fig.129. sont mesures exprimentalement, savoir :( )cc c c cuucc c c cuu c c u uxx y x y x yyx y x y x yx y x y x y111 12 22222 22222 2=++ + =+ + = +

c o s ( ) s i n ( )s i n ( ) c o s ( )s i n ( ) c o s ( )Figure.1291. Quelle est la valeur des contraintes dans une direction 45 ?2. Quelles sont les contraintes principales et la contrainte de cisaillement maximale ?3. Retrouver ces rsultats laide des cercles de Mohr.16117. SYSTEMES HYPERSTATIQUESOn se propose daborder diffrentes mthodes de rsolution de systmes hyperstatiques laidedexemples.Exemple n 1 figure.130Figure.130hypothse : si P = 0, le ressort nest pas charg.Si lontudieseulement lapoutre, onaunepoutreencastresoumisesonextrmituneforceF = P - k.yOn connat la dformation lextrmit dune poutre encastre, savoir :yF LE IP k y LE I= = 3 33 3( )On peut donc crire :33 = EI y P k y L ( )Ce qui nous donne la dforme y :yP LE I k L= + 333 ( )BLPAky162Exemple n 2 figure.131Figure.131hypothses : si P = 0, la barre AC nest pas sollicite. Les 2 barres sont ralisesdans lemme matriau.- tronon AB. (flexion) figure.132Figure.132BL0PAD CL1BL0FA163yF LE I= 033- tronon CD. (flexion) figure.133Figure.133' = yP F LE I( )033- tronon AC. (extension)FSEy yL= ' ( )1En combinant les trois relations, on arrive au systme :' =' = y yF LE Sy yP F LE IF LE I103033 3( )= F LE SP F LE I1 0323( ) + |\

|.| = FLSLE IP LE I1 030323 3DL0PCF164soitFP L SE I L L S= + 031 033 2 ( )Connaissant F, il est alors facile de trouver y et yExemple n 3 Figure.134Figure.134Si lon applique le P.F.S. on aboutit aux quations :P Ay ByM L A y L a PB+ + =+ =00 ( )On se retrouve avec 2 quations et 3 inconnues ( Ay, By et MB ).On dcompose la poutre en 2 sous-systmes, de la manire suivante : figure.135Figure.135BLPAyayBLPAa165La flche en A est alors :yP L a L aE IA1226= + ( ) ( )136 Figure.la flche en A est alors :yAy LE IA233= Si lon fait la superposition des deux tats prcdents, on doit aboutir une flche nulle en A car il y aun appui simple en A. On doit donc avoir : yA1=yA2Ce qui donne aprs calcul322) 2 ( ) (La L a L PAy+ =1/TroisbarresdemmesectionS, construitesdanslemmematriaudemoduledeYoung Esontsuspendues un bti suppos indformable.Hypothses :+les liaisons en A, B, Cet Osont des liaisons pivot parfaites d'axe Z.+la masse des barres est nglige.leurs longueurs respectives sont L1 ,L2 ,L3 .lesangle(AOB)et(BOC)valento.+En O, on suspend une masse de poids P. N1 , N2et N3 reprsentent les effortsnormaux dans les barres.yBLAyA166Figure.1371 ) Etudier l'quilibre de l'axe O et montrer que le systme est hyperstatique.2 ) Exprimer la relation entre les allongements des trois barres. ( Ao petit )3 ) Exprimer les efforts normaux dans les barres.4) OndonneS=100mm2, P=6000N, o=30, calculer lescontraintesd'extensiondans les trois barresPAB CO1672/ Un fil en acier de longueur L = AB et de section S est li en A et en B deux pices fixes par deuxliaisons pivot parfaites. On suspend au milieu I du fil une masse de poids Pet le fil prendlaconfiguration lastique AL'B.Figure.138Soit E, le module de Young E de l'acier constituant le fil.A BL'oFigure.138Hypothse :+les dformations sont supposes petite, on pourra crire : tano o ~sino o ~ , cosoo= 1221 ) Exprimer l'effort normal d'extension dans le fil en fonction de P et o.2 ) Exprimer l'allongement relatif du fil en fonction de o.3 ) Exprimer l'allongement relatif du fil en fonction de l'effort normal.4 ) Dans le rsultat de la question 2, on peut ngliger o2par rapport 2.Exprimer la dforme en L' en fonction de P.5 ) On donne S = 4,9 mm2, P = 200 N , L = 320 mm , E = 2.105MPa.Faire les diffrentes applications numriques16818. Ressorts Hlicodaux fil rond1) Caractristiques.Les principales caractristiques dun ressort hlicodal fil rond sont : figure.139+le diamtre denroulement moyen D+le diamtre de spire d+la hauteur utile vide H0+le nombre de spires nFigure.1392) Rigidit.Si lonseplacedanslazonedecomportement lastiqueduressort, onaproportionnalitentrelacharge axiale P et la flche f = H0-H .P k f k H H = = . . ( )0k est la raideur du ressort.DdH01693) Sollicitations.Le ressort est soumis deux actions mcaniques portes par son axe, savoir :-{ }{ }ext E PAA = 1 0 -{ }{ }ext E PAA = 2 0'' Les rsultantes sont portes par laxe y0. figure.140Figure.140Lon ralise une coupure en G du ressort, on observe sur une vue de profil (ci-contre) un changementdaxes.Par dfinition, on obtient le torseur de cohsion par la relation :{ } { } coh ext EG G= 2On a donc :{ } c o hPPAA''s i nc o s = `)oo000 0PA( E1)GB( E2)- P170Il suffit alors de faire un transport, en remarquant que GA = GB + BA , soit :{ } cohPPDPPDGG= `)sin coscos sino oo o220 0On a donc les sollicitations suivantes :- Effort normal N P = sino => COMPRESSION- Effort tranchant Ty P = coso => CISAILLEMENT- Moment de torsionMtPD= 2coso=> TORSION- Moment de flexionMfyPD=2sino=> FLEXIONFigure.141Comparaison des contraintes :Enpratiqueoest trs petit (68), par consquent sinoest prochede0. Les sollicitations decompression et de flexion sont ngligeables par rappo