Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike

Mateja Javorić

Razvoj nastave aritmetike kroz povijest

Diplomski rad

Osijek, 2015.

Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike

Mateja Javorić

Razvoj nastave aritmetike kroz povijest

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matić

Osijek, 2015.

SadržajUvod 4

1 Nastava aritmetike 5

2 Korijeni iz srednjeg vijeka 62.1 Teorijska rasprava i praksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Podrijetlo škole računanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Libri d’abbaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Rani novi vijek 113.1 Prvi tiskani udžbenici iz aritmetike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Stevinov pojam broja i decimalni razlomci . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Reformni pokreti i udžbenici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Metode učenja i poučavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 18. stoljeće 174.1 Odgoj i obrazovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Pojam broja i didaktički problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Pravilo trojno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 19. stoljeće 235.1 Njemačka i Pestalozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Francuska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Engleska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Danska, Island i Estonija u sjevernoj Europi . . . . . . . . . . . . . . 275.5 Sjedinjene Američke Države . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.6 Racionalna aritmetika i pojam broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 20. stoljeće 316.1 Razdoblje do 50-ih godina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 CIEAEM i moderna matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3 Nova matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4 Seminar u Royaumontu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.5 Nordijska suradnja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.6 Protureakcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7 Aktivnosti u svijetu 39

Zaključak 41

Literatura 42

Sažetak 43

Summary 44

Životopis 45

4

UvodOvaj rad sadrži povijest nastave aritmetike u razdoblju od skoro 7 stoljeća, od-

nosno od 13. stoljeća pa do kraja 20. stoljeća. Talijanska škola računanja, scuoled’abbaco, početak je razvoja nastave aritmetike dok kraj svjetskog pokreta, često na-zivanog „Nova matematika” označava kraj povijesnog razvoja nastave aritmetike. Uradu će se pratiti povijest nastave aritmetike kroz izvore kao što su udžbenici iz arit-metike, znanstveni radovi i neka osobna iskustva učenja aritmetike, imajući na umuda se matematika iz prošlosti ne smatra samo prethodnicom današnje matematike,već i sastavnim dijelom vlastite suvremene kulture. Povijest nastave aritmetike ćeuglavnom biti ograničena na zapadne zemlje, Europu i Sjevernu Ameriku, sa sviješćuda se europska aritmetika u cijelosti temelji na kineskom, indijskom i arapskom na-sljeđu. Zbog svoje raznolikosti, samo će opće činjenice iz razvoja povijesti u drugimzemljama biti spomenute.

5

1 Nastava aritmetikeOd nastanka pisma su pisani različiti oblici udžbenika. Stoljećima kasnije ti-

skanje je uvelike olakšalo distribuciju u obliku knjiga. Pisano je i tiskano mnogoudžbenika iz aritmetike, dok su izvori o osobnom iskustvu poučavanja aritmetikebili rijetki. Do 19. stoljeća bilo je svega nekoliko organiziranih škola. Izvorno, školesu se osnivale za educiranje određenih zanimanja. Katedrale i samostanske školeKatoličke Crkve bile su dužne svećenicima osigurati aritmetičko poznavanje kalen-dara. Naučnici u obrtu kao što su zidari, trgovci i zajmodavci učili su primijenjenumatematiku. U školama za poučavanje trgovaca potreba za aritmetikom javila sezbog novčanih transakcija i pretvorbe novčanih i mjernih jedinica.

Udžbenici iz aritmetike su se rano počeli pisati prema određenom uzorku. No,kako bi razvili prirodnu znatiželju i predstavili matematiku u tom kontekstu, piscisu imali slobodu u pedagoškom poretku materijala. Prvi tiskani udžbenici nisubili pisani za korištenje u institucionaliziranim školama gdje su učenici radili premaispitivanim kvalifikacijama. Tekstovi u udžbenicima iz aritmetike su se razlikovaliod današnjih školskih tekstova. To obično nisu bile vježbe; gradivo obično nijebilo podijeljeno po „lekcijama” te se pretpostavljalo da učitelj nije prisutan. To sepostupno promijenilo kada su škole postale više rasprostranjene.

Udžbenici su imali ulogu unutar cijelog sustava, a ne samo za pojedince ili odre-đene pojedince u učionicama. U nekim okolnostima, u udžbenicima su se mogli us-postaviti novi sadržaji ili pedagoške norme. Normalno, bili su propisani nastavnimplanom i programom u suvremenom školskom sustavu. Međutim, u novim udžbeni-cima se dodavala pedagogija koja je bila propisana nastavnim planom i programomili je pomagala definirati novi nastavni plan i program.

6

2 Korijeni iz srednjeg vijeka

2.1 Teorijska rasprava i praksa

Literatura iz aritmetike se u kasnom srednjem vijeku i ranom novom vijekumogla podijeliti na praksu i na teorijsku raspravu. Teorijska rasprava je općenitobila pisana na latinskom jeziku i odrazila se na prvim klasičnim grčkim matematič-kim problemima. Teorijska rasprava se postupno razvila u naprednu matematiku.Teorijski radovi, koji su pružali temelj školskom matematičkom promišljanju, bilisu pisani po uzoru na Boethiusove spise, čiji se rad temeljio na prijevodima neo-pitagorejskog matematičara Nikomaha, iz Gerase i Euklida. Od njih je preuzetavišegodišnja misao, koja se pojavljuje u literaturi do kasnog 19. stoljeća, prema ko-joj jedinka nije broj, već podrijetlo broja. Spis Dixit Algorizmi islamskog učenjakaal-Khwarizmija govori „. . . to je rečeno u drugoj knjizi iz aritmetike, a to je da jejedinka podrijetlo svih brojeva i da ne pripada brojevima”, i vjerojatno se pozivaloili na 7. knjigu Euklidovih Elemenata ili na Nikomahovu knjigu Aritmetika. Boethi-usova aritmetika je bila primarni izvor aritmetičkog poučavanja u latinskim školamai fakultetima, barem do kraja 12. stoljeća.

Iz potomaka prijevoda al-Khwarizmijevih spisa razvili su se algoritmi. Algori-tam čija se problemska situacija bavila poslovima iz područja ekonomije i trgovinetakođer se nazivao i praksa. Trgovačka aritmetika nije bila posvećena filozofskimspekulacijama o prirodi broja kao što je to često bila teorijska rasprava; umjestotoga, postojali su matematički priručnici koji su bili lako upotrebljivi, i najčešćepisani nestandardnim jezikom, narječjem.

2.2 Podrijetlo škole računanja

Profesionalne mogućnosti u Europi su se u kasnom srednjem vijeku proširile izpoljoprivrednih i pastoralnih težnji na sudjelovanje u aktivnostima proizvodnje itrgovine. Taj razvoj je nastao s početkom renesanse u gradovima sjevera Italije:Firenci, Veneciji, Milanu i Bologni.

Firentinske industrije u to vrijeme bile su industrija vunenih tkanina i bankar-stvo. Nedugo prije sredine 14. stoljeća Firenca je s oko 90 000 stanovnika postalametropola i na taj način bila jedan od najvećih gradova u Europi. U 14. stoljećuse u Firenci, rastućem trgovačkom centru zapadne Europe, pojavila scuole d’abbaco,škola računanja, koja je pružala obuku tehnike računanja koja je bila potrebna u

7

trgovini.Široko poznavanje arapskog brojevnog sustava, koji je prvo bio primijećen među

talijanskim trgovcima u 13. stoljeću, nesumnjivo je bio rezultat bliskih odnosa sarapskim svijetom i s novim zahtjevima koje je stvorila njihova složenija poslovnaorganizacija. Novi brojevni sustav su dugi niz godina uzimali s rezervom. 1299. go-dine korporacija mjenjača novaca zabranila je njegovu upotrebu u Firenci, tako dasu ga trgovci počeli samo djelomično koristiti. Čak je i 1494. godine u gradu Fran-kfurtu na Majni u Njemačkoj bilo zabranjeno korištenje indijskih brojki u knjigamaiz aritmetike. Ploče abakusa stoljećima su korštene za pisanje algoritama.

Studenti ili studentice koji su željeli naučiti trgovačku aritmetiku nisu išli na fa-kultet gdje se aritmetika podučavala pod utjecajem skolastike, već su tražili nekogas kim bi učili primijenjenu aritmetiku, trgovački račun. U Italiji su ljude koji supodučavali trgovački račun nazivali maestri d’abbaco, a u Njemačkoj Rechenmeis-ter. Mnogi od njih su privatno podučavali studente ili su formirali grupne učioniceza podučavanje što je omogućilo uspon škola računanja, čiji je broj u trgovačkimgradovima i duž trgovačkih putova u Europi ubrzano rastao.

U početku su se, 1265. godine, vjerojatno privatno u Bologni podučavali ljudiza rad na abakusu. U sljedeća 4 stoljeća se moglo naći mnogo poznavatelja rada naabakusu u gradovima od Umbrije i Toskane na jugu pa do Genove, Lombardije iVenecije na sjeveru. U izvorima s kraja 13. stoljeća se navodi kako su ti ljudi plaćaniuglavnom u manjim gradskim općinama. Venecija i Firenca nisu imale potrebe zajavnim poduzećem. Firentinske škole su se vrlo brzo počele smatrati najboljimai mnogi su Firentinci odlazili podučavati u druga mjesta. 1343. godine je bilo 6škola koje su podučavale rad na abakusu, a prosječno su 3 ili 4 takve škole u Firencineprekidno radile od najranijih desetljeća 14. stoljeća pa do 16. stoljeća, a vjerojatnoi duže. 1613. godine samo je u Nurembergu u Njemačkoj bilo 48 takvih institucija.

Dobna granica za kretanje u škole za podučavanje rada na abakusu je bila 10−11godina, a podučavanje je trajalo oko 2 godine. Učenici su prvo učili pisati brojeveu arapskom brojevnom sustavu, zatim tablicu množenja te njihovu primjenu. Učilisu kako računati s razlomcima i rješavati osnovne matematičke probleme. Nekidijelovi podučavanja bili su posvećeni razumijevanju složenog firentinskog monetar-nog sustava. Školski dan je bio rutinski, predavanja, vježbe i recitacija. Gotovosu svi obrazovani muškarci renesanse znanje stekli u ovakvim školama. Škole zapodučavanje rada na abakusu bile su sastavni dio obrazovnog sustava zajedno s ra-nijim školama čitanja i pisanja, višim školama latinske gramatike i sa sveučilišnim

8

obrazovanjem.

Slika 1: Abakus

2.3 Libri d’abbaco

Otkad postoje knjige libri d’abbaco, za pretpostaviti je bilo da je u njima biloopisano kako se služiti abakusom, tj. da u tim knjigama piše kako izvršavati os-novne operacije brojanja i računanja pomoću abakusa. Međutim, u stvarnosti nijebilo nikakve veze između talijanskih knjiga libri d’abbaco i abakusa za računanje,osim etimološke. Knjige libri d’abbaco su isključivo sadržavale metode poučavanjai razumijevanja hindu-arapskog brojevnog sustava i ni u jednom trenutku se nijespominjalo ništa o računanju pomoću abakusa.

Neovisno o abakusu kao spravi koja se uvelike koristila za izračune, riječ abakusse u smislu računanja najvjerojatnije prvi put pojavila u djelu Leonarda iz Pise Liberabbaci 1202. godine. Leonardo iz Pise (1170./1180.−1240./1250.) je bio sin trgovca izPise koji je bio službenik u arapskoj luci Bugia u Sjevernoj Africi, gdje je Leonardoodrastao. Leonardo, danas poznat kao Fibonacci, je učio od arapskih učitelja inaširoko je putovao po arapskim zemljama gdje je učio o arapskim poslovnim imatematičkim sistemima. Njegova knjiga, masivna zbirka matematičkih postupakakoja se bazirala na arapskom sistemu, bila je pisana na latinskom jeziku, ali su se prikraju 13. stoljeća počele pojavljivati različite skraćene verzije, bazirane na njegovojknjizi, koje su bile pisane na talijanskom jeziku. U knjizi je prikazana praktičnavažnost novog brojevnog sustava i metoda računanja pomoću njega. Sadržavala je

9

praktične teme kao što su izračun profita, pretvorba valuta i mjernih jedinica te jebila dopunjena novom temom, algebarskim tekstovima kao što su bili neki složenijiproblemi.

U razdoblju između 12. i 15. stoljeća pojavio se veliki broj algoritama baziran naal-Khwarizmijevoj aritmetici i pisan na različitim jezicima. Talijanski libri d’abbacopisali su učitelji koji su pričali više jezika. Prosječna knjiga libri d’abbaco je sadrža-vala oko 400 individualnih problema i svi su se međusobno razlikovali. Za te knjigeje bilo karakteristično da je nakon svakog ispisanog problema odmah bilo napisanoi rješenje i detaljna razrada problema. Moderna tehnika tiskanja gdje je prikazansamo problem i na taj način ostavljena mogućnost čitatelju da dođe do rješenja ili jerješenje eventualno zapisano na kraju knjige tada nije prakticirana. Knjige su pru-žale cijeli nastavni plan i program koji se koristio u školama računanja. Sadržavalesu teme s idućeg popisa:

1. Početni materijal− Računanje − opis 10 hindu-arapskih brojeva i objašnjenje načela mjesta vrijed-nosti− 4 aritmetičke operacije − zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje − običnose primjenjivalo na cijele brojeve, razlomke, spoj količine novca, težina i mjera− Tablice − tablice množenja za brojeve i novčane jedinice, tablice kvadrata i popisnovčanih jedinica

2. Poslovni problemi− Cijene i proizvodi − pronaći dobru cijenu ili vrijednost pomoću pravila trojnog− Mjenjačnica i pretvaranje jedinica težine i mjere− Problemi koji se odnose na cjenkanje− Partnerstvo − dijeljenje profita među članovima partnerstva− Kamate i popusti − razlika između jednostavne i složene kamate− Način plaćanja − zajmovi napravljeni u razdoblju od nekoliko mjeseci ili godinas rokom otplate određenog datuma− Stapanje − srebro i zlato određene čistoće kombinirano s onim željene čistoće

3. Rekreativni problemi − uključuju algebarska pitanja, nizove i redove

10

4. Geometrijski problemi− Uvod − definicije geometrijskih objekata i likova− Geometrijski problemi − bave se mjerenjima apstraktnih geometrijskih likova− Problemi s mjerenjem − bave se mjerenjem stvarnih objekata prema geometrij-skim principima

5. Metodološki odlomak− Pravilo trojno − ”zlatno pravilo” ili pravilo proporcija− Pravilo lažnog ili jednostavnog položaja− Pravilo dvostrukog lažnog položaja− Algebra − jednadžbe i rješenja

6. Razni materijal− Teorija brojeva − klasična Boethiusova aritmetika− Tarife − informacije o trgovanju u mnogim europskim gradovima− Astronomija i astrologija− Kalendari − tablice i grafikoni za pronalaženje prvog dana u mjesecu i crkvenihblagdana− Medicina − recepti kućnih lijekova za razne bolesti− Književnost − uključuje pjesme, romanse i kronologije

Knjige libri d’abbaco nisu bile kao školske knjige u današnje vrijeme. U tom razdob-lju, zbog velikog troška i dugotrajne proizvodnje, nije bilo za očekivati da je svakidesetogodišnjak koji je pohađao školu računanja imao vlastitu knjigu. Vjerojatnijeje bilo da su učitelji za svoje poučavanje koristili rukopise koji su zapravo bili zbirkeproblema ili priručnici.

11

3 Rani novi vijek

3.1 Prvi tiskani udžbenici iz aritmetike

Udžbenik Treviso Arithmetic nepoznatog autora, koji se pojavio u vrijeme vene-cijanske trgovine, nazvan je po mjestu nastanka, Trevisu, gradu u blizini Venecije.Treviso Arithmetic pruža uvid u promjene u matematici. Tiskana je 1478. godine ipoznata je kao najstarija tiskana knjiga iz aritmetike za široku upotrebu. TrevisoArithmetic je bila namijenjena samostalnom učenju i značajna za potrebe poslovanjai obračuna venecijanske trgovine. Knjiga je bila napisana na venecijanskom narječju,uobičajenom za 15. stoljeće, i namijenjena svima koji su htjeli naučiti računati, ane samo privilegiranima, kao što je to ranije bio slučaj. Tekstovi pisani na narječjuuklonili su monopol nad znanjem i dali veliki poticaj srednjim klasama.

Procjenjuje se da je između nastanka europskog tiska i kraja 15. stoljeća tiskano30 knjiga iz praktične aritmetike, od kojih je više od pola pisano na latinskomjeziku, 7 na talijanskom, 4 na njemačkom i jedna na francuskom jeziku. U istomrazdoblju je proizvedeno i oko 26 knjiga iz teorijske aritmetike pisane Boethiusovimstilom na latinskom jeziku. Matematika se kretala iz područja školskog nagađanjau područje prijave za proizvodnju i tržište. Knjige iz praktične aritmetike su doveledo potražnje za matematičkom literaturom. Proizvedeno je nekoliko talijanskih,primjerice, Il Libro de Abacho de Arithmetica e De Arte Mathematiche, 1484., PieroBorgi (1424.− 1484.); portugalskih, primjerice, Tradado da pratica de arismetica ,1519., Gaspar Nicolas; njemačkih i engleskih udžbenika.

Nuremberg je bio središte matematičkog obrazovanja u Njemačkoj. Dječaci izobitelji trgovaca i kvalificiranih radnika dolazili su u školu računanja u Nurembergusa saznanjem o trgovačkoj umjetnosti diljem Njemačke i preko granica. Matema-tičar Johannes Müller (1436. − 1476.) iz Königsberga, poznat po svom latinskomimenu Regiomontanus, pohađao je školu računanja u Nurembergu. Veliki brojknjiga iz aritmetike objavljen je u gradovima njemačkog govornog područja: Le-ipzigu, Frankfurtu, Beču, Erfurtu, Nurembergu, itd. Prvi njemački udžbenik izaritmetike, Rechnung in mancherley weys, objavio je Heinrich Petzensteiner 1483.godine. Autor knjige, koja se još zvala i Das Bamberger Rechenbuch, bio je UlrichWagner (?−1490.), jedan od poznatih Rechenmeistera u Nurembergu u 15. stoljeću.

Među najpoznatijim njemačkim aritmetičarima bio je Adam Ries (1492.−1559.),koji je 1522. godine bio Rechenmeister zu Erfurt. Ries, koji je kasnije živio u An-nabergu, napisao je brojne radove, a među njima i Rechenung auff der linihen und

12

federn im zal, mass und gewicht, koji je prvi put objavljen 1522. godine. Rechenungauff der linihen (prevedeno kao „računanje na pravcima”) se odnosi na računanjena abakusu, kojem je, uz četiri osnovne operacije, pripadalo i udvostručavanje iraspolavljanje. Upotreba brojača je vizualno jednostavna u slučaju zbrajanja i odu-zimanja, a puno kompliciranija kada se radi o množenju i dijeljenju. Stoga je zapisanje brojeva korišteno federn (perje), gdje su prvih devet, 1, . . . , 9, bili „bede-utlich” ili su značili nešto, dok deseti, 0, nije značio ništa. Knjiga Adama Riesaodražavala je bitku onih koji su preferirali korištenje abakusa umjesto algoritama,na kojem su se aritmetičke operacije izvodile putem pozicijskog brojevnog sustava.

Posebna pažnja posvećena je objašnjenju pozicijskog sustava i kako čitati velikebrojeve grupiranjem po tri znamenke, počevši s desna. Zatim su Ries i ostali pisciudžbenika iz aritmetike na primjerima pažljivo objasnili kako obavljati aritmetičkeoperacije. Koristili su se jednostavni trikovi s brojevima za lakše množenje „u glavi”dok se za regularno pisano množenje koristio uzorak koji se i danas prakticira. Pisanodijeljenje je bilo manje razumljivo za suvremenog čovjeka jer su se zapisivali samoostatci, a ne i međuprodukti. Ries je, osim četiriju osnovnih operacija, učio nizove,pravilo trojno, razlomke i ostale teme koje su bile vezane uz trgovinu.

Dijeljenje je učiteljima bila najteža operacija za objasniti učenicima. Poznava-nje operacije dijeljenja podrazumijevala je stručnost u ostale tri osnovne operacije.Možda najimpresivnija metoda za dijeljenje koja se koristila u 17. stoljeću nazivalase „precrtano dijeljenje”, s obzirom na nužnost križanja ili precrtavanja različitihznamenki tijekom cijelog procesa. Metoda se može pratiti sve do istočnih društava;Hindusi su je upotrijebili na svojim pješčanim tablicama. Spomenuta metoda jezapravo bila učinkovita i zahtijevala je da se manje toga zapisuje na papir za razlikuod standardne duge metode dijeljenja, što je bilo važno jer je papir još uvijek bioskupa roba.

Jednostavan primjer iz Suevusove knjige Arithmetica Historica dijeljenja broja1593 s brojem 4 kako bi se provjerilo je li 1593. godina bila prijestupna godina, ilus-trira algoritam koji je modificiran pisanjem međuprodukata ispod djelitelja, odmahispod znamenke djeljenika. Međuprodukti, kao 36, što je rezultat množenja brojeva4 i 9 (0), nisu nužno zapisani u retku. Znamenka 3 zapisana je u najnižem retku, ustupcu stotinki, a znamenka 6 u retku iznad, u stupcu desetinki. Sljedeći produkt,28 (4 puta 7), slično je napisan. Ostatci, koji su 3 u svim slučajevima, zapisani suiznad djeljenika.

13

3 3 31 5 9 3 (3 9 7

4 4 41 2 6 8

3 2

Slika 2: „Precrtano dijeljenje”

Dura cosa è la partita (dijeljenje je teška stvar), rekli su Talijani.

Udžbenici iz matematike također su bili pisani i u ostalim europskim državama.Nizozemski matematičar Gemma Frisius (1508.−1555.) je 1540. godine objavio svojuArithmetica Practicae koja se pojavila u 59 izdanja u 16. stoljeću i nekoliko stoljećakasnije. U The Grounde of Artes Velšanina Roberta Recordea (oko 1512.− 1558.),objavljenoj 1543. godine, autor je koristio Sokratovu metodu dijaloga kako bi sebavio pitanjima definiranja i razumijevanja.

Tijekom 16. i 17. stoljeća, obrazovanje se postupno oslobađalo od školskih obi-lježja. Posebno za aritmetiku, preispitivala se tvrdnja da jedinica nije broj. To je,čak do 19. stoljeća, bila ponavljajuća tema u udžbenicima iz aritmetike.

14

3.2 Stevinov pojam broja i decimalni razlomci

Simon Stevin (1548.− 1620.), koji je živio u Nizozemskoj, doprinio je značajnimpromjenama u matematičkom razmišljanju. Stvaranje zapisa za decimalne razlomkebio je njegov doprinos i snažno je zagovarao njegovu uporabu. Također je odigraoključnu ulogu u promjeni osnovnog koncepta broja i brisanju Aristotelove razlikeizmeđu broja i veličine. Ovi doprinosi navedeni su u njegovim djelima De Thiendei l’Arithmétique, objavljenima 1585. godine. Decimalni razlomci nisu korišteni uEuropi ni u kasnom srednjem vijeku ni u renesansi. Ukoliko su razlomci bili po-trebni, pisali su se kao obični razlomci ili, u mnogim trigonometrijskim radovima,kao razlomci s nazivnikom 60.

Stevin je započeo svoju l’Arithmétique s dvije definicije: (i) aritmetika je znanosto broju i (ii) broj je onaj koji objašnjava količinu svih stvari; to jest, Stevin jezaključio da broj, u svakom slučaju, predstavlja količinu. Broj se više ne shvaćakao skup jedinica kao što su definirali Euklid i Nikomah te zbog toga ne možebiti temelj za razlikovanje diskretnog i kontinuiranog. Stevin je također definiraoi iracionalne brojeve, kao što je

√8, a decimalni brojevni sustav definiran u djelu

De Theinde omogućio mu je da broj√

8 prikaže proizvoljnom točnošću. Međutim,sve do 19. stoljeća djelo ugrađivanja „diskretne aritmetike” u „kontinuirane veličine”nije dovršeno. Ipak, Stevin je smatran prekretnicom matematičkog mišljenja.

3.3 Reformni pokreti i udžbenici

U 17. stoljeću dva su velika pokreta odredila obrazovnu strukturu zapadne Europedo Francuske revolucije: protestantska reforma i katolička reforma.

Protestantska reforma početkom 16. stoljeća, u skladu sa svojim općim pris-tupom, uz pretpostavku da je stanovništvo bilo pismeno, pokrenula je izdavanješkolskih propisa u narednim desetljećima za uspostavljanje gimnazija u većim gra-dovima koje bi pripremile učenike za sveučilišno obrazovanje. Suradnik MartinaLuthera (1483. − 1546.), Phillipp Melanchthon (1497. − 1560.), bio je posebno ljutna njegovanje matematičkog obrazovanja. Po njemu, znanje je prije svega postojalou svrhu moralnog i religijskog obrazovanja. Pohvalio je etičnost matematike. Među-tim, aritmetika je bila prepuštena strukovnim školama, Hochschulen. U latinskimškolama je malo prostora ostavljeno za aritmetiku u 16. stoljeću.

Melanchton je bio profesor na Sveučilištu u Wittenbergu gdje je Sigismund Su-evus (1526. − 1596.) pohađao njegova predavanja. Suevus, dobro upoznat protes-

15

tantskom reformom, napisao je Arithmetica Historica – Die Löbliche Rechenkunstna 455 stranica koja je objavljena 1593. godine. Suevus u svojoj Arithmetica His-torica nije raspravljao o konceptu broja, već o numeraciji, objašnjavajući decimalnisustav i četiri aritmetičke operacije pomoću primjera iz Biblije i povijesne literatureo antici. U pažljivo odabranim primjerima je kombinirao obrazovne ciljeve aritme-tike zajedno s njegovim etičkim ciljevima. U djelu Arithmetica Historica sadržanaje numeracija, četiri aritmetičke operacije, nizovi i pravilo trojno bez varijacija; re-zervno pravilo, dvostruko pravilo, lažno pravilo − Regula falsi − itd.; kvadratni ikubični brojevi i njihovi korijeni; i konačno, površina kruga koristeći 31

7 kao π, ane kao razlomak. U svom predgovoru, Suevus je svoju knjigu posvetio trgovačkojklasi, ali je također bila namijenjena latinskim i njemačkim školama, ali i mladimai starima u svim društvenim slojevima.

Trgovačka zajednica bila je glavna ciljna skupina i većina udžbenika tog vre-mena pisana je tako da ih oni mogu samo proučavati, bez nadzora učitelja. Dakle,naglasak je bio na lijepim metodama rješavanja, dok se naglasak na unutarnjim raz-lozima smatrao nepotrebnim i neprimjerenim. Ideologija aritmetičkog učenja pratilaje sljedeće: (a) aritmetika je također služila etičkom obrazovanju i (b) praktična arit-metika je bila od manje važnosti. Do 19. stoljeća pjesničke rime su korištene kaopotpora etičkoj ulozi u nastavi aritmetike. Literatura je bogata; u Njemačkoj je u17. stoljeću objavljeno oko 300 tekstova iz aritmetike.

Cocker’s Arithmetick Edwarda Cockera (1631.−1676.) jedan od prvih udžbenikaiz aritmetike na engleskom jeziku. Knjiga je tiskana u više od 100 izdanja u razdob-lju od 100 godina. Prvi put je objavljena 1677. ili 1678. godine, nakon Cockerovesmrti, a uredio ju je John Hawkins. John Hawkins je također posthumno objavio iCocker’s Decimal Arithmetick 1684. godine. Decimal Arithmetick i Cocker’s Arith-metick korištene su u školama u Velikoj Britaniji više od 150 godina. Iako su konceptdecimalnih razlomaka i prednosti korištenja ih u proračunima bili dobro poznati, uupotrebi je bio širok izbor različitih zapisa. Nakon izmjena različitih zapisa, De-cimal Arithmetick preporučuje zapis decimalnog zareza kojeg je uveo John Napier(1550. − 1617.). Decimal Arithmetick daje upute za izračune koji uključuju deci-malne brojeve, metode vađenja korijena i logaritme. Ima mnogo radnih primjera odkojih neki uključuju geometriju i obračun kamata. Edward Hatton sljedeći je autorčije su knjige postale raširene i prevedene na druge jezike. Neka od njegovih djelasu Tradesman’s Treasury (1695.) i An Intire System of Arithmetic (1721.).

16

3.4 Metode učenja i poučavanja

Tijekom 17. stoljeća u tijeku je bio napredak u metodama poučavanja. Odučitelja se očekivalo da ne skreću pozornost isključivo na vještinu pamćenja učenika.Nije bilo na učitelju da sam objašnjava i rješava primjere iz knjige, već su i učenicisudjelovali u objašnjavanju i rješavanju kako bi što bolje razumjeli primjere. Tablicamnoženja se nije učila napamet, već s razumijevanjem. Matematičari se nisu previšebavili regularnom aritmetikom; to je ostavljeno učiteljima u školama, tehničarima idrugim zainteresiranim strankama.

Jan Amos Comenius (1592. − 1670.) bio je češki učitelj, pedagog i pisac koji jepostao primjer obrazovnog vođe u 17. stoljeću. U djelu Didactica Magna naglasioje da se aritmetika i geometrija moraju dijelom poučavati za različite potrebe usvakodnevnom životu, a dijelom za znanstvene teme koje su budile i izoštravale um.U njegovoj schola universalis sapientiae (škola sveučilišnog znanja) matematika sepoučavala u svim razredima. Teme iz aritmetike koje su se učile su sljedeće: 1. raz-red, razumijevanje brojeva; 2. razred, zbrajanje i oduzimanje; 3. razred, množenje idijeljenje; 4. razred, proporcije i pravilo trojno; 5. razred, vrste proporcija; 6. raz-red, matematička logika; i 7. razred, sveti i mistični brojevi Biblije. U formuliranjuopće teorije obrazovanja Comenius je preteča Pestalozziju.

Slika 3: Jan Amos Comenius

U drugim europskim zemljama, mladi ljudi učili su aritmetiku i za tu ciljnuskupinu objavljivale su se knjige. Oko 1630. godine, John Wallis (1616. − 1703.),kasnije profesor geometrije na Oxfordu, nije učio aritmetiku u školi ili na Sveučilištuu Cambridgeu gdje je studirao, već ju je učio od mlađeg brata kako bi se baviotrgovinom.

17

4 18. stoljećeProsvjetiteljstvo u Francuskoj istaknulo je racionalizam kao dominantnu epis-

temologiju i unaprijedilo matematiku kao vodeću disciplinu, sposobnu promicatidruštveni i znanstveni napredak. Racionalizam je neko vrijeme bio ograničen nafrancusko prosvjetiteljstvo. U ostalim europskim državama, protestantskim i kato-ličkim, težilo se obrazovanju koje je po prvi puta nadmašilo dosad dominantan fokusna usavršavanju struke.

4.1 Odgoj i obrazovanje

Na prijelazu iz 17. stoljeća na njemačkom teritoriju su osnovane primarne iliosnovne škole. Na primjer, 1717. godine je takva inicijativa uvedena u Pruskoj. Na-mjera je bila da cjelokupno stanovništvo mora imati obavezno školovanje. Čitanje,pisanje, osnove računanja i religija trebali su biti nastavni predmeti. Međutim, po-javile su se mnoge prepreke u ostvarivanju ciljeva obaveznog školovanja za cjelovitostanovništvo te je njegova učinkovitost bila ograničena.

S vremenom se u školama s kvantitativnom mjerom uspješnosti nastojalo usre-dotočiti na poboljšanje kvalitete nastave dovođenjem boljih nastavnika, korištenjemboljih materijala i školske opreme te je bio omogućen pristup svakom djetetu, neo-visno o materijalnom stanju obitelji. Naime, sredinom 18. stoljeća su u različitimdržavama, na primjer u Austriji, osnovane tzv. normalne škole u kojima su se obu-čavali učitelji za rad u osnovnim školama.

U 18. i 19. stoljeću kada se gospodarski razvoj više nije isključivo bazirao samona poljoprivredi došlo je do ogromnog povećanja gradskog stanovništva. Osnovnevještine računanja, kao što su sposobnost reći koje je vrijeme, brojati novac i provestijednostavnu aritmetiku, postale su bitne u novom urbanom životu. U sklopu novog,javnog obrazovnog sustava matematika je postala središnji dio nastavnog plana iprograma iz ranijeg doba. U protestantskim područjima sjeverne Europe gimnazijesu isprva pružale osnove aritmetike. Stručno osposobljavanje se u nekim gradovimapretvorilo u neke vrste osnovnih škola. Oblik prosvjetiteljstva koji se pojavio uNjemačkoj tijekom 18. stoljeća naziva se filantropizam. Osporio je monopol klasičnogučenja u gimnazijama i istaknuo matematiku i znanost. Prva Realschule koja jeprovodila ovakve ciljeve osnovana je 1747. godine u Berlinu.

Francuska revolucija je 1789. godine pokrenula odlučujući korak prema ostva-rivanju obrazovanja za sve, uključujući i aritmetiku za svakoga. Jednakost svih

18

građana je postao glavni cilj građanskog društva. Ključ takvom sustavu postao jeobrazovni sustav koji je bio organiziran tako da se na temelju njega pruži jednakostsvim građanima. Osim osnovnih škola u državama su se organizirale i pokrenulei srednje škole za opće obrazovanje. Unutar tog školskog sustava, matematika jepostala glavna nastavna tema za svu djecu koja su stekla pristup tim školama. Usmislu društvene stvarnosti, jednakost je bila daleko od ostvarenja, posebice zbogsocijalnih prepreka koje su nekima onemogućavale pristup obrazovanju.

4.2 Pojam broja i didaktički problemi

Iako je Stevin transformirao koncept broja kako bi uključio jedinicu kao broj, u18. i ranom 19. stoljeću se u mnogim udžbenicima tvrdilo suprotno. Djelo Demons-trative Rechenkunst Christlieba von Clausberga (1689.−1751.), koje je bilo napisanona 1544 stranice, objavljeno je u Leipzigu u 3 izdanja, 1732., 1748. i 1762. godine.Broj je bio definiran na način koji je bio tipičan antičkom shvaćanju: „jedinka ilisama jedinica je samo najniži stupanj ili korijen brojeva; to je prihvaćena veličinaod koje se brojevi promatraju i rastu . . . ”.

Sadržaj djela Demonstrative Rechenkunst je bio tradicionalan, ali je takođersadržavao i izvanredne didaktičke primjere mentalne aritmetike. Naglašava da tra-dicionalni postupci računanja nisu matematički zakoni, već se mogu mijenjati. Naprimjer, množenje broja s jedan, deset i sto može se provesti u bilo kojem poretku.Djelo je podijeljeno u 4 odlomka, a cijeli drugi odlomak je posvećen prednostimasvake računske operacije, što autor naziva die Vorteile. Na primjer, množenje sa75 može biti jednostavnije ako se broj prvo pomnoži sa 100, a zatim se od brojaoduzme 1

4 .Množenje i dijeljenje stalnim udvostručavanjem i raspolavljanjem činilo se kao

korisna praksa u mentalnoj aritmetici. Laicima je metoda „precrtano dijeljenje” bilateška za razumjeti. U 18. stoljeću je ta metoda bila na izmaku i Clausberg je nijekoristio. On se zalagao za dijeljenje raspolavljanjem i to ponavljajućim ukoliko jebilo potrebno. Dijeljenje s 12 smatralo se puno težim od dijeljenja s brojevima 2, 2i 3. Clausbergovo djelo je bio koristan didaktički udžbenik za one koji su se baviličestim mentalim računanjem.

Slavni švicarski matematičar Leonhard Euler (1707. − 1783.) napisao je udžbe-nik iz aritmetike, Einleitung zur Rechenkunst zum Gebrauch des Gymnasii bey derKayserlichen Academie der Wissenschafften in St. Petersburg/Introduction to the

19

Art of Reckoning, for use in the Gymnasium of the Imperial Academy of Sciencesin St. Petersburg, objavljen 1738. godine. U toj je knjizi Euler koristio mnogeSuevusove povijesne probleme, ali je izbjegavao koncept broja. U utjecajnoj knjiziVollständige Einleitung zur Algebra, objavljenoj 1770. godine u Njemačkoj i preve-denoj na mnoge druge jezike, a među njima i na engleski, Euler je broj definirao nasljedeći način:

Što god je sposobno povećati se ili smanjiti, naziva se veličina ili količina . . . mjeromili jedinicom smatramo onu veličinu koju možemo usporediti s nekom veličinom istevrste . . . broj nije ništa drugo nego veličina koja je proporcionalna drugoj veličini zakoju se pretpostavlja da je jedinica. Iz toga proizlazi da se svaka veličina može izrazitibrojevima.

Euler je tako uveo definiciju broja koja je uključivala i jedinku i iracionalnebrojeve. Nije bilo teško nositi se samo s jedinkom i konceptom broja, već i s nulom. Usvom udžbeniku iz algebre Euler je nulu uveo kao ništa i negativne brojeve kao neštošto je manje od ništa. Ilustrirao je na primjerima nužnost da umnožak pozitivnog inegativnog broja mora biti negativan dok umnožak dva negativna broja mora bitipozitivan.

Slika 4: Leonhard Euler

Eulerov suvremenik, njemački profesor A. G. Kästner (1719. − 1800.), u svomdjelu od velikog značaja Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie, ebenen und sp-härischen Trigonometrie und Perspectiv, objavljenom 1758. godine, napisao je slje-deće:

20

Ovaj termin ‘manje od ništa’ pretpostavlja . . . značenje riječi ništa na određeni načinuzima u obzir ‘nešto’ (nihilum relativum) i ono što se opaža iz ničega, smatra se daje bez odnosa (nihilum absolutum) . . . postaje pogrešno ukoliko netko pojam ‘manjeod ništa’ ne gleda u tom smislu . . . i, u stvari, matematički stručnjaci su bili zavedenipogrešnim predodžbama o negativnim količinama . . .

Ovaj se citat odnosi na razlikovanje između filozofskog/metafizičkog ništa i ma-tematičke relativne nule, koju je d’Alembert odbacio, ali su je Nijemci propagirali.Termin „manje od ništa” bio je nužan pri uvođenju negativnih brojeva koji su u 18.stoljeću postali dio aritmetike. Djela islandskog autora udžbenika iz aritmetike, kojije proučavao Kästnerov rad, ali je živio u osami većinu 19. stoljeća, odražavala supoteškoće. Sumnjao je u izraz „manje od ništa” koji se vezao uz pojam negativnihbrojeva, no kada se upoznao s dijeljenjem njegov izraz „0 mora biti manje od nega-tivnih brojeva” je postao kontradiktoran. Njegov problem odnosio se s jedne stranena raskorak unutar skupa brojeva . . .−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3, . . . , a s druge stranena to da kada dođe do dijeljenja s nulom, ona ne predstavlja količinu. Njegov jezaključak bio da 0 laže „o unutarnjoj granici količine” dok je ∞ „vanjska granicakoličine”. Ova dilema je prvi put riješena krajem 19. stoljeća kada su se u djelimaGottloba Fregea (1846.−1925.) i Giuseppea Peanoa (1858.−1932.) pojavili prirodnibrojevi.

Decimalni razlomci nisu se pojavili niti u jednom od Eulerovih osnovnih udžbe-nika, ni u udžbeniku Rechenkunst ni u utjecajnom Einleitung zur Algebra. Međutim,decimalni razlomci su se razmatrali u djelu Cocker’s Decimal Arithmetick, objavlje-nom 1684. godine. Postoji dokaz da je krajem 18. stoljeća godinama na Sveučilištu uKopenhagenu profesor imenom Geuss novake poučavao decimalnim razlomcima. Odtamo, decimalni razlomci su se pojavili u udžbeniku iz aritmetike i algebre koji se ko-ristio 1785. godine u islandskim latinskim školama. Udžbenik je napisao Stefánsson,prvak prosvjetiteljstva na Islandu.

4.3 Pravilo trojno

Pravilo trojno, Regula Trium, je jednostavna proporcija koja uključuje tri poz-nate veličine iz kojih je potrebno pronaći četvrtu. Danas se takav problem smatratrivijalnim, no prije, kada su se problemi retorički predstavljali, njihovo rješavanjeje bilo jako otežano. Pravilo trojno se kao matematička tehnika pojavila među pro-blemima na Rhindovom papirusu (oko 1650. godine prije nove ere) i u kineskommatematičkom klasiku Jiuzh ang Suànshù, The Nine Chapters (oko 1. stoljeća nove

21

ere).Pravilo se obično predstavljalo bez matematičkog obrazloženja. Teoretski, više

je značila brzina i točnost dobivenog rezultata nego njegovo opravdanje pa je pro-ceduru samo trebalo zapamtiti i koristiti. Autori trgovačkih udžbenika iz aritmetikeposvetili su se uspostavljanju načina na koji treba postaviti i riješiti proporciju.

U standardnim udžbenicima kroz 19. stoljeće označena su 3 termina. Pravilotrojno u knjizi Cocker’s Arithmetick objašnjeno je na sljedeći način:

Promatrajući 3 dana broja, od dva broja koja su iste vrste, jedan mora biti prvi, ajedan treći, a onaj broj koji je iste vrste kao broj koji se traži mora biti drugi u pravilutrojnom; i da bi znali koji od tih brojeva treba biti prvi, a koji treći, treba znati sljedeće,a to je da jedan od ta dva broja uvijek na sebe pričvršćuje zahtjev i taj se broj nalazina trećem mjestu.U udžbenicima 18. i 19. stoljeća pravilo trojno je bilo puno bolje organizirano.

Tri poznata uvjeta su se, na primjer, označavala kao prednji uvjet, srednji uvjet istražnji uvjet, a procedura se izvodila na sljedeći način:

(i) Napisati tri uvjeta vodoravno, s vertikalnim crtama između njih.

(ii) Prednji i stražnji uvjet mora biti iste vrste.

(iii) Stražnji uvjet mora sadržavati pitanje.

(iv) Pomnoži srednji uvjet sa stražnjim uvjetom te ga zatim podijeli s prednjimuvjetom kako bi se dobio 4. uvjet.

(v) Prednji i stražnji uvjet može biti pomnožen ili podijeljen istim brojem; istovrijedi i za prednji i srednji uvijet.

Primjer 4.3.1 Pravilo trojnoZa 2 e dobijemo 15.12 kn. Koliko ćemo kuna dobiti za 150 e?

Rješenje 4.3.1U 1. koraku zapišemo uvjete vodoravno, odvojene vertikalnim crtama između njih.Prednji i stražnji uvjet su valute u eurima, dok je srednji uvjet valuta u kunama.

2 e | 15.12 kn | Koliko je 150 e kuna?

U 4. koraku prvo pomnožimo 15.12 sa 150, a zatim umnožak podijelimo s 2.

22

15.12 · 150 = 2 268,2 268÷ 2 = 1 134.

Odgovor: Za 150 e dobijemo 1 134 kn.

U različitim udžbenicima pravila su bila različito interpretirana. Na primjer,pravilo (v) je pronađeno u Briemovoj knjizi, ali u Clausbergovoj knjizi DemonstrativeRechenkunst i Stefánssonovoj knjizi nije pronađeno.

Naravno, točan redoslijed uvjeta je bio presudan. Glavni rizik je bio koji zadatakpovezati s kojim pravilom. Za trgovinu su tipični zadaci bili pretvorba različitihvaluta i proporcionalno izračunavanje između količine i cijena i obratno. Drugi tippravila trojnog je obrnuto pravilo, Regula inversum, koje se koristilo za količinurada, odredbe, itd. Lako je moglo doći do zabune između pravila trojnog i obrnutogpravila. Još jedan od rizika je bio da se pravilo može primijeniti na neproporcionalneveličine.

U nekim udžbenicima u 19. stoljeću, na primjer na Islandu, bi prva dva uvjetačinila uvjetnu rečenicu, a učenici bi trebali odlučiti ide li trojno pravilo ili obrnutopravilo. Zatim bi slijedila upitna rečenica s trećim uvjetom. Hatami je napisaoopširan pregled različitih tipova rješavanja problema koji uključuju pravilo trojno.

Pravilo trojno se također nazivalo i Regula Aurum, zlatno pravilo, zbog svojenadmoći, baš kao što je i zlato superiorno u odnosu na druge metale; neki su pravilotrojno nazivali i Regula Philosophorum & Mercatorum, pravilo filozofa i trgovaca.Ti pojmovi održavaju njegov visoki ugled. Pravilo trojno je dobro preživjelo u 19.stoljeću, ali je 60-ih godina 20. stoljeća u školskim matematičkim reformama gotovoiskorijenjeno. Ciljna skupina se s trgovaca, poljoprivrednika, njihovih službenika iklijenata prebacila na školsku mladež koja se pripremala za zadatke u životu kojisu se bitno razlikovali od zadataka mladih iz ranijeg doba koji su bili lišeni škola zaširu javnost.

23

5 19. stoljeće

U SAD-u se „pokret zajedničke škole” odnosi na uspostavu državne osnovneškole u prvoj polovici 19. stoljeća. Pojam zajedničke značilo je da su te državepodupirale osnovne škole za „edukaciju djece svih ljudi”. Ipak, mnoga djeca, posebiceporobljeni Afroamerikanci, nisu pohađala školu. U zajedničkim školama se nastojalarazvijati sposobnost pisanja i računanja koja je bila potrebna u svakodnevnom životui radu. Čitanje, pisanje, pravopis, aritmetika, povijest i zemljopis bili su sadržani unastavnom planu i programu. Škole su smatrane kao obrazovno djelovanje kako bise imigrantska djeca izjednačila i amerikanizirala.

Pokret zajedničke škole u SAD-u odvijao se usporedo nekim trendovima u za-padnoj Europi u prvoj polovici 19. stoljeća. 30-ih godina tog stoljeća je britanskiparlament počeo davati stipendije obrazovnom društvu za osnovno školovanje. UFrancuskoj je tijekom režima Luja Filipa I. osnovan primarni školski sustav podvodstvom ministra Guizota (1787. − 1874.). Ovi su trendovi u Europi i Americinaznačivali da je vlada počela preuzimati odgovornost za pružanje osnovnog obra-zovanja. Za razliku od Francuske, koja je kreirala visoko centralizirani obrazovnisustav, u SAD-u su javne škole bile decentralizirane. Svaka država je samostalnodonosila odluke vezane uz obrazovanje.

Osnovne škole u Njemačkoj bile su uspostavljene već u 18. stoljeću, a u narednomperiodu nastavnici su raspravljali o didaktičkim pitanjima. Početkom 19. stoljeća sunjemački nastavnici, nasljednici Comeniusa, poput Johanna Pestalozzija, predlagalida se metode poučavanja baziraju na konkretnom iskustvu. Napredak u provedbiobrazovanja za svakoga, uključujući i aritmetiku za svakoga te širenje utjecaja tihučitelja služit će kao primjer u srednjoj Europi (Njemačka, Francuska, Engleska),sjevernoj Europi (Danska, Island, Estonija) i u Sjevernoj Americi.

5.1 Njemačka i Pestalozzi

Johann Heinrich Pestalozzi (1746.− 1827.) bio je švicarski pedagog koji je utje-cao na obrazovne teorije u Europi i u SAD-u. Priča Emile filozofa Rousseaua(1712. − 1788.) je utjecala na njega kao mladića. U svojoj ranijoj dobi napisaoje knjige o idejama društva, političke filozofije i obrazovanja. Imao je više od 50godina kada je počeo voditi škole za siromašne u kojima je razvio svoju pedagoškumetodu obrazovanja djece. Kako bi ostvario svoje ciljeve morao je premještati svojinstitut s jednog mjesta na drugo. Spisi i izvješća o njegovom radu na institut su

24

privukli veliki broj posjetitelja koji su nadaleko predstavili Pestalozzijevu metodu.Posjetitelji su dolazili, na primjer, iz Bremena i Pruske. Vlada u Danskoj je bilaprva koja je službeno slala studente na Pestalozzijev institut kako bi se obučavali zaučitelje. Naposljetku je Pestalozzi uspostavio svoj institut u Yverdonu u Švicarskoju razdoblju od 1804. do 1825. godine.

Slika 5: Johann Heinrich Pestalozzi

Matematika je u Yverdonu bila od posebne važnosti. U poučavanju brojeva, Pes-talozzi je pokušavao pronaći načine kako bi pomogao djeci da razumiju pojam broja,a ne samo da razviju brzinu i točnost u rješavanju primjera. Djeca su samostalno,kroz aktivnosti bazirane na osjetilima, pronalazila matematička pravila. Ohrabrivalisu ih da rade u grupama i pomažu jedni drugima. Pestalozzijevi obrazovni ciljevitemeljili su se na idejama o osjetilima, promatranju, opažanju i intuiciji, odnosnorazvoju mentalnih sposobnosti. Učenici su, uz navođenje, sami otkrivali što trebanaučiti. Učilo ih se da koriste svoje oči, ruke i pamet. Vježbe iz aritmetike su napočetku bile povezane s uvjetima u okolini i objektima kao što su grašak ili šljunak,ili što god im je bilo pri ruci. Princip je bio koristiti ih kao jedinice, za početak kaonešto čvrsto, a kasnije i kao oznaku na papiru.

Brojanje stvarnih objekata, grupiranje, zbrajanje i oduzimanje bila je nužnaaktivnost kod ranijeg rada s brojevima kako bi učenici lakše shvatili pojam brojai kako ih ne bi zbunjivalo pisanje simbola. Učenici bi tako, neovisno o percepciji irazlozima, stekli intuitivno znanje o svojstvima i odnosima brojeva.

Kako bi olakšao dijeljenje, množenje i razumijevanje razlomaka, Pestalozzi jesmislio tablicu jedinica, pri čemu je jedinicu predstavljao kvadrat, lik kojeg je bilolako vizualno dijeliti. Kroz aktivnosti dijeljenja kvadrata učenici su dobili osjećaj oodnosima različitih razlomaka i tada su mogli razumjeti pravo značenje simboličkogprikaza. Pestalozzi je rekao: „Da moj život ima smisla govori činjenica da sam

25

uzdignuo kvadrat kao temelj intuitivnog razmišljanja, Anschauung, što ljudi nikadnisu napravili.”

Pestalozzi nije učio matematiku, ali su njegove ideje proizvele teoriju u mate-matičkom obrazovanju koju su drugi učitelji prenosili dalje. Nastavu matematikeu Yverdonu držao je Joseph Schmidt, Pestalozzijev učenik, koji je bio matematičkigenijalac. Pestalozzijevi protivnici nisu se slagali s njegovim metodama, no njegovisljedbenici, istaknuti nastavnici, slijedili su njegove ideje. Svaki je pisac napisaovlastitu verziju pedagoških teorija koje su se nastavile razvijati među učiteljima ti-jekom 19. stoljeća i nakon. Među autorima koji su nastavili razvijati Pestalozzijevuteoriju bili su Ernst Tillich (1780. − 1867.) u djelu Allgemeines Lehrbuch der Arit-hmetik oder Anleitung zur Rechenkunst für Jedermann, objavljenom 1806. godine, iJoseph Schmidt koji je 1810. godine objavio Die Elemente der Zahl als Fundamentder Algebra nach Pestalozzis Grundsätzen.

Tillich je proširujući okvire Pestalozzijeve intuitivne nastave, Anschauungslehre,usavršio pedagoški i teorijski nivo i prilagodio ih već postojećem matematičkom obra-zovanju. Tillich nije bio jedini koji je poboljšavao Pestalozzijev sustav. Schmidt jetakođer radio ista poboljšanja, samo ih je drukčije zvao. Tillichovo i Schmidtovo po-boljšanje Pestalozzijeve metode i njihovi doprinosi doprinijeli su bolje organiziranimosnovnim školama od 1820. godine pa nadalje. Wilhelm von Türk (1774.− 1846.) uPostdamu i Adolph Diesterweg (1790.−1866.) u Bonnu i Berlinu su razvili specifičnuvrstu Pestalozzijevog računanja. U njihovim verzijama škola računanja su se nakonenergičnog uvoda u Pestalozzijevu mentalnu aritmetiku vratile knjige za računanje,Rechenbücher.

Poslije 1800. godine je računanje, kao umjetnost manipuliranja šiframa na odre-đeni način, kako se učilo u starim knjigama za računanje, Rechenbücher, bio sinonimza pretvaranje učenika u beživotne strojeve za računanje. Pestalozzijeve i Tillichoveapstrakcije pretvorile su „računanje” u „aritmetiku”, apstraktniju stvar, korisnudisciplinu za opće obrazovanje. Tillich je poistovjećivao računanje s načinom raz-mišljanja i u udžbenicima poslije 1820. godine je glavni cilj aritmetike također biloučenje kako razmišljati. Uloga takve aritmetike bila je priprema za svakodnevniživot.

Iako su pedagoške reforme oko 1800. bile bazirane na intuiciji i razumijevanju,vanjski čimbenici koji su trebali zamijeniti strojno učenje i učenje napamet, kaošto su društveni zahtjevi za računanje u školama i problem masovnog obrazovanja,odredili su oblik i sadržaj obrazovnih metoda. Pestalozzi je bio prvi učitelj koji je

26

razvio metodu prikladnu za masovno obrazovanje. Kao posljedica toga, mentalnaaritmetika zamijenila je „strojnu” aritmetiku, odnosno pisanje šifri. Također, pravilotrojno i razlomci su bili preformulirani tako da su za te probleme postojale metoderješavanja u kojima se koristila jedinična mjera.

5.2 Francuska

Vladina podrška obrazovanju i poučavanju učitelja bio je važan socijalni i poli-tički uspjeh tijekom Francuske revolucije 1789. godine. Bitni planovi su bili pred-loženi za vrijeme nemira koji su uslijedili. Condorcet (1743. − 1794.) je, nakonrevolucije, odigrao presudnu ulogu u mijenjanju obrazovne strukture.

U vrijeme Napoleona obrazovanje nije bilo prioritet, već je crkva imala kontrolunad obrazovanjem kao što je to bilo karakteristično prije revolucije. Za vrijemeJulske revolucije 1883. godine je zakon Guizota bio usmjeren na nastavni plan iprogram i obaveze lokalnih dužnosnika u osnovnoj školi. Primarni tijek poučavanjau javnim osnovnim školama uključivao je moralnu i vjersku obuku, čitanje, pisanjei aritmetiku. Od svake zajednice se zahtijevalo da podrži javnu osnovnu školu zadječake. Svaki odsjek je mogao uspostaviti i voditi vlastitu osnovnu školu. Guizot jeposebno bio zainteresiran za škole koje su poučavale nastavnike za rad u osnovnimškolama. Njihov nastavni plan i program je sadržavao iste teme kao i nastavni plani program za osnovnu školu. Djevojčice se nisu mogle javno obrazovati u osnovnimškolama, već im je Crkva na neko vrijeme omogućila da se obrazuju.

5.3 Engleska

Tijekom 19. stoljeća je u Engleskoj matematika bila nebitan predmet u srednjojškoli. Od 1830. godine pa nadalje došlo je do porasta osnovnih škola zbog vladinefinancijske potpore. Parlament je 1870. godine donio zakon o osnovnom obrazova-nju, prema kojem je uvedeno obavezno osnovno obrazovanje za svu djecu u VelikojBritaniji. Nastavni plan i program za osnovne škole sadržavao je čitanje, pisanje iaritmetiku.

Zajedno s javnim školama procvjetale su i privatne škole, a ponekad i obiteljskapoduzeća. Jacqueline Stedall je propovijedao učenje u školi pod nazivom Greenrowakademija, osnovanoj 1780. godine. Spisi iz 1809. godine pokazuju da su učenicibili u starosti između 10 godina i 23 godine, ali ih je većina imala oko 14 ili 15 go-dina. U nastavnom planu i programu su matematički predmeti bili naglašeni. Nije

27

postojao samo nastavni plan i program škole, već su i kopirane knjige učenika bileočuvane. Učenici su pažljivo pisali kopirane primjere standardnih problema i na tajsu način radili privatnu kolekciju radnih primjera. Mnogi primjeri su preuzeti iznajpopularnijih knjiga tog vremena, a većina iz knjige The Tutor’s Assistant Fran-cisa Walkingamea (1723. − 1783.), objavljene 1751. godine. Ti primjeri su pružaliuvid u učeničke zadatke. Pravilo trojno se učilo napamet; nije se očekivalo da ćeengleski školarac 19. stoljeća početi raditi na svoju inicijativu. 1832. godine su odre-đeni učenici morali naučiti pravilo trojno, obrnuto pravilo trojno i dvostruko pravilotrojno. Uz ovo, učili su još o kamatama, podjeli troškova i profita, razlomcima, de-cimalnim razlomcima, aritmetici, geometrijskim nizovima i permutacijama. Većinaprimjera preuzeta je od Walkingamea. Dva udžbenika iz aritmetike, koje su učenicikoristili, zajedno su sadržavala skoro 900 stranica. Djevojke i žene su najčešće bilepodučavane kod kuće, a podučavali su ih očevi, muževi ili braća. Njihovi udžbe-nici su također sadržavali Walkingameove primjere koji su uključivali pravilo trojno,razlomke, novčane i mjerne jedinice te neke složenije zadatke. Matematičko obrazo-vanje za djevojke imalo je jak naglasak na praksu, a prema modernim standardima,tempo je ponekad bio ponavljajući i spor.

5.4 Danska, Island i Estonija u sjevernoj Europi

U Danskoj je podučavanje aritmetike započelo pravilnikom iz 1739. godine kojimse približno desetina ukupnog stanovništva krenula obučavati. 1814. godine izdanje pravilnik za osnovnu školu, prema kojem je aritmetika postala obavezan predmetza svu djecu. Broj lekcija po tjednu nije bio definiran. Nastava iz aritmetike setemeljila na Pestalozzijevoj teoriji stvarnog mišljenja.

Island, pokrajina Danske do 20. stoljeća, je 1880. godine izdao zakon o obrazova-nju prema kojem su se djeca obučavala kod kuće pod nadzorom roditelja. Prema tomzakonu, morali su naučiti četiri osnovne operacije s cijelim brojevima i decimalnimrazlomcima. Prve dvije manje javne srednje škole osnovane su u ranim 80-im godi-nama 19. stoljeća. Decimalni razlomci su se mogli shvatiti i kao decimalne novčanejedinice. Sredinom 19. stoljeća udžbenici su se objavljivali na pojedinom narječju, asadržavali su tradicionalne teme vezane uz cijele brojeve i decimalne razlomke, pos-totke i pravilo trojno. Postojali su i brojni primjeri o opreznoj raspodjeli prihodai imovine. Udžbenici su prvenstveno bili usmjereni samoučenju mladih, budućihpoljoprivrednika i obrtnika koji nisu imali slobodan pristup papiru; naglasak je bio

28

usmjeren na pamćenje. U predgovoru knjige Arithmetic, koja je bila namijenjenamladima i koristila se u predstojećim školama, autor je napisao sljedeće:

. . . za poglavlje o algebri, jednadžbama i logaritamskim zadacima sam, međutim, očeki-vao da će ljudi imati nekakvo iskustvo; u tom sam poglavlju, kao i drugdje, s razlogomizbjegavao pisati pravila; kada sam napravio iznimke na nekoliko mjesta, razlog je moglabiti vježba ili je bilo toliko očito da se to pravilo moglo iskoristiti za bolje pamćenje.Nekoliko studenata koji su pohađali latinsku školu proučavali su danske udžbe-

nike. lawyer Ari Arnalds (1872.− 1957.) je u svojim memoarima opisao potragu zaobrazovanjem u islandskim ruralnim društvima krajem 19. stoljeća. Njegovi rodite-lji, poljoprivrednik i babica, mogli su si priuštiti samo jednog privatnog učitelja, kojije diplomirao u latinskoj školi, i to tijekom jedne zime, za njihovih devetero djece.U slobodno vrijeme, kada nisu pomagali u obradi zemlje, djeca su vježbala čitanje ipisanje. Recitirali su stihove u vrijeme pletenja zimi i čuvanja ovaca ljeti. Arnaldsje samostalno prošao Briemovu knjigu Arithmetic.

Oko 1800. godine su se u Estoniji počele organizirati škole, kao odraz prosvjeti-teljstva. Na početku 19. stoljeća obrazovanje seoske djece je bilo nerazvijeno i daljeje dominiralo kućno obrazovanje, ali se zahtijevalo da sva djeca koja nisu učila kodkuće pohađaju škole. Učenici su se poučavali dvije ili tri zime; učili su čitati, pisati,aritmetiku i zborno pjevanje. Morali su zapamtiti tablicu množenja, savršeno znatičetiri osnovne aritmetičke operacije i morali su naučiti mjere. Tijekom 60-ih godinaje bilo prihvaćeno dvogodišnje i trogodišnje opće obrazovanje. Do 1850. godine uEstoniji nije postojala literatura za nastavu dok su u drugoj polovici 19. stoljeća naestonskom jeziku izdani brojni udžbenici. Najutjecajniji udžbenik iz aritmetike u tovrijeme bio je udžbenik Mõistlik rehkendaja/A Sensible Reckoner Rudolfa Gottfri-eda Kallasa (1851. − 1913.), objavljen 1874. godine i napisan na estonskom jezikuuglavnom za učitelje osnovnih škola. Prvi dio knjige bio je posvećen problemima unastavi aritmetike i pozivao se na djela Comeniusa i Pestalozzija. U svojem je udž-beniku Kallas promijenio tradicionalno razumijevanje u nastavi aritmetike i postavioje nove standarde koji su bili aktualni u narednim godinama.

5.5 Sjedinjene Američke Države

Početkom 19. stoljeća, mnoga djeca školske dobi su rijetko pohađala školu. Onikoji su je pohađali, posebno dječaci u državama Nove Engleske, pohađali su je samou zimskim mjesecima i jedino što su iz matematike učili su bile osnove aritmetike.Udžbenici iz matematike su se u 18. stoljeću objavljivali zbog nekoliko razloga, ali

29

ne i radi učenika. Rijetko koji učenik je imao udžbenik. Učenici su u svoje bilježniceprepisivali formule i zadatke. Udžbenici su uglavnom bili namijenjeni učiteljima i zaone koji su samostalno učili. Na početku 19. stoljeća su iz aritmetike učili računati scijelim brojevima i razlomcima. Mnogi tekstovi iz aritmetike u tom vremenu pokri-vali su nešto malo o decimalnim brojevima. Ovo je možda iznenađujuće obzirom dase američka valuta oduvijek bazirala na decimalnom sustavu. Međutim, gotovo dosredine stoljeća se poslovanje u SAD-u provodilo na 3 načina: razmjenom dobara,stranim kovanicama i lokalnim valutama.

Početkom 19. stoljeća aritmetika se smatrala stručnim predmetom, vještinomkojoj je glavna primjena bila u trgovini. Prikladni učenici za takvo obrazovanje bilisu dječaci dobi od 12 do 14 godina za koje se procijenilo da su dovoljno zreli dausvoje tehnike računanja dovoljno dobro kao i zapisivanje u bilježnice. Ostale teme,uz aritmetičke operacije, bile su u skladu s onim što je Egmond propisao u abakusškolama: pravilo trojno, dionice i posredovanje, osiguranje i složene kamate.

Warren Colburn (1793. − 1833.) je 1821. godine objavio inovativni aritmetičkiudžbenik First Lessons in Arithmetic on the Plan of Pestalozzi, baziran na Pesta-lozzijevoj pedagogiji, koji je učenicima dao mogućnost da otkriju pravila iz danihprimjera. Ranije se nastava iz aritmetike bazirala na pravilima i pamćenju, premabritanskoj knjizi Cocker’s Arithmetic, objavljenoj 1677. godine, i na velikoj zbirciudžbenika koji su pokušavali pojednostaviti aritmetiku. Dvije povezane, ali razli-čite pedagoške metode ugrađene su u Colburnovu metodu. Colburn je htio da djecaprvo nauče aritmetiku napamet, bez papira i olovke, a tek onda da nauče apstraktnesimbole brojeva i osnovnih operacija. Problem je bio riješen pločama na kojima suse nalazili stvarni objekti pomoću kojih su učenici dobivali točne izračune. Drugapedagoška tehnika je uključivala induktivno zaključivanje. Radeći na posebno oda-branim primjerima učenici su otkrivali osnovna pravila aritmetike. Pravilo trojno jeu potpunosti bilo izbačeno iz Colburnovih knjiga. Colburn je htio prekinuti dječjeropsko učenje pravila i učenje napamet.

Colburnovi tekstovi su bili senzacija među učiteljima 20-ih godina. Neizbježno,njegova induktivna metoda naišla je na protivljenje. Trgovci su se žalili da su imdolazili raditi studenti koji su imali mnogo ideja o tome što brojevi predstavljaju, alinisu imali prakse. Međutim, Colburn je izgradio svoju metodu jer stare metode nisubile zadovoljavajuće. Učitelje je oduševljavala činjenica da bi učenici mogli naučitiaritmetiku prije nego što nauče čitati i pisati. U vrijeme političke revolucije i razvojakapitalizma pojam računanja je procvjetao. Sljedeća generacija učitelja se borila s

30

pronalaženjem prave kombinacije matematičkog obrazovanja. Rasprava je započelana početku 19. stoljeća i u 21. stoljeću i dalje se raspravlja o obrazovnoj teoriji ipraksi.

Iako su metode iz 18. stoljeća imale svoje pristaše i u 19. stoljeću, među učite-ljima je bio popularan induktivni i analitički pristup Rousseasua i Pestalozzija naeuropskom kontinentu i Colburna u Sjevernoj Americi te su ga naširoko koristili usvojim predavanjima. Koristeći ove metode, učitelji 19. stoljeća su promovirali onošto se krajem 20. stoljeća počelo zvati mentalna matematika, logičko zaključivanje iosjećaj za brojeve.

5.6 Racionalna aritmetika i pojam broja

U 19. stoljeću su se nastojali postaviti čvrsti temelji aritmetike. Racionalna arit-metika je u srednje škole uvedena 1867. godine u Italiji za učenike starosti 14− 15godina. Racionalna aritmetika odnosila se na dio algebre koji se uglavnom baviosvojstvima brojeva i racionalnim brojevima izvedenim iz teorema i definicija para-lelno s poučavanjem geometrije. Glavni cilj je bio pokazati da je sva matematika, ane samo geometrija, deduktivna znanost.

Gottlob Frege (1848 − 1925.) je u svojoj knjizi Die Grundlagen der Arithmetik/The Foundations of Arithmet, objavljenoj 1884. godine, napisao da su neki pisci„broj” definirali kao skup ili mnoštvo ili množinu, ali taj način definiranja nije biodobar jer takav koncept nije sadržavao 0 i 1. Cilj Talijana Giuseppea Peanoa (1858.−1932.) bio je dati čvrste temelje konceptu broja. Peano je izabrao tri temeljnapojma: nula, broj (nenegativan cijeli broj) i veza „je sljedbenik od”. Ta tri pojmazadovoljavaju sljedećih 5 aksioma:

1. Nula je broj.

2. Ako je a broj, onda je i sljedbenik broja a broj.

3. Nula nije sljedbenik broja.

4. Ako su sljedbenici dva broja jednaki, onda su i ta dva broja jednaka.

5. Ako skup S sadrži nulu i sljedbenike svakog broja skupa S, onda svaki brojpripada skupu S.

U Peanovim aksiomima dosegnuta je nova razina preciznosti, bez dvosmislenog zna-čenja i skrivenih pretpostavki.

31

6 20. stoljeće

6.1 Razdoblje do 50-ih godina

Početak 20. stoljeća, kada je osnovna škola postala standard u većini europskihdržava i Sjevernoj Americi, bio je okarakteriziran različitim mišljenjima o nastaviaritmetike. U SAD-u su na početku srednjoškolskog obrazovanja prevladavala dvarazličita načina za podučavanje matematike. S jedne strane, cilj je bio u potpunostirazviti um i sposobnost rasuđivanja. S druge strane, razlozi su bili utilitaristički iposlovno orijentirani.

I drugdje je bio takav slučaj. U nastavi aritmetike u Danskoj naglasak je biona mehaničkim vještinama i razumijevanju. To se nastavilo od 80-ih godina 19.stoljeća kada je fokus bio usmjeren na vještine, preko novih školskih zakona 1903.godine kada se fokus s vještina preusmjerio na razumijevanje, zatim sredina 20-ih godina 20. stoljeća kada se vratio pokret Povratak-na-osnove, do 1958. godinekada se zakonodavstvo škole ponovno vratilo na manje formalne obuke i učinkovitijirazvoj. Pokret Povratak-na-osnove bio je reakcija na razumijevanje koje se temeljilona učenju putem pokušaja i pogrešaka iz eksperimentalne psihologije.

Učenje putem pokušaja i pogrešaka je zauzimalo jedinstven položaj u vezi iz-među psihologa i nastavnika matematike. Odigralo je ključnu ulogu u dodavanjumatematike u kurikulum. U SAD-u, Edward L. Thorndike (1874.− 1949.) je svojupsihologiju nazvao konekcionizam. Bio je jedan od zastupnika biheviorizma, kojije dominirao u američkoj psihologiji do 1930. godine. Thorndike je rekao da se zaučenje putem pokušaja i pogrešaka ne može pretpostaviti da će se dogoditi i da jedirektna nastava obično učinkovitija i ekonomičnija.

John Dewey (1859.− 1952.), otac naprednog obrazovanja, tvrdio je da su djecaviše naučila ukoliko su učitelji poticali njihovu prirodnu radoznalost umjesto dase primjenjivala stroga disciplina i tjelesno kažnjavanje klasično za učionice u 19.stoljeću. Dewey i njegovi kolege su napredne obrazovne metode izvukli iz djelaPestalozzija. Dewey je kao sredstvo za učenje koristio razne oblike igara.

Projekt Winnetka nastao je kao rezultat rada Johna Deweya i predstavljen je1919. godine u predgrađu Chicaga. Projekt je inspirirao učitelje da u svojim učioni-cama pokušaju uvesti inovativnu pedagogiju. Projekt Winnetka je eksperimentiraou individualiziranom nestandardnom učenju kako bi učenici napredovali iako su sisami određivali brzinu učenja. U kurikulumu su bile postavljene dvije komponente:„zajedničke osnove” i „kreativne grupne aktivnosti”. Prva komponenta je bila kon-

32

centrirana na zajedničkom znanju i vještinama kao što su pravopis, čitanje, pisanjei računanje. Bitna je bila kvaliteta, a ne vrijeme. Prema tom planu dijete je moralo100% savladati materijal kako bi moglo prijeći na sljedeću razinu. U zajedničkimosnovama nijedan učenik nikada nije „pao” ili „ preskočio razred”.

Slika 6: John Dewey

Djeca su učila u neformalnim okolnostima. Napredne škole su uvrstile spontaneinterese učenika i prilagodile su nastavni plan i program interesima i potrebama sva-kog djeteta. Do 40-ih godina su napredna ideologija i retorika (ne nužno i naprednapraksa) postale uobičajene u američkim učionicama. U Hladnom ratu 50-ih godinaobrazovni napredak je doživio veliki napad. Zaostajanje u pripremanju za znans-tvene i tehnološke karijere bila je odgovornost naprednog kurikuluma, a kulminiraloje u krizi Sputnik 1957. godine.

Osnovna zadaća javnog obrazovanja u SAD-u kasnih 50-ih i 60-ih godina višenije bila osnovno obrazovanje svakog djeteta, već stvaranje tehnokratske elite kako biSAD mogao konkurirati Sovjetskom Savezu. Čvrsto razmišljanje i učenje kako se ba-viti apstrakcijama postalo je kritično za preživljavanje društva. Zalaganjem Organi-zacije za europsku ekonomsku suradnju (OEEC), kasnije Organizacije za ekonomskusuradnju i razvoj (OECD), to je postao karakterističan stav prema matematičkomobrazovanju u zapadnim zemljama u narednom periodu.

6.2 CIEAEM i moderna matematika

50-ih godina su se u mnogim zemljama pojavila pitanja o poučavanju matema-tike. Međunarodna reforma matematičkog obrazovanja imala je nekoliko korijena, iu SAD-u i u Europi. Otvorena je nova skupina s ciljem pronalaska novih pristupa

33

matematičkom obrazovanju prikladnih promijenjenom matematičkom i društvenomkontekstu. Izvanredna skupina bila je Commission Internationale pour l’Étude etl’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques (CIEAEM). Među njegovimosnivačima bili su švicarski psiholog Jean Piaget (1896.− 1980.), matematičari Ca-leb Gattegno (1911. − 1988.) iz Italije, Gustave Choquet (1915. − 2006.) i JeanDieudonné (1906.− 1992.) iz Francuske i Hans Freudenthal (1905.− 1990.) iz Nizo-zemske. Nadalje, srednjoškolski učitelji su bili Emma Castelnuovo (1913.−2014.) izItalije, Lucienne Félix (1901.− 1994.) iz Francuske i Willy Servais (1913.− 1979.) izBelgije. Glavna briga CIEAEM-a bila je rastuća pažnja prema učenicima i procesučenja.

Bourbakisti su skupina francuskih matematičara, na čelu s Dieudonnéom, koji suradili na matematičkoj enciklopediji, pri čemu su ukinute granice između različitihmatematičkih tema. Središnji koncept Bourbakista bila je „struktura”. Matematičkestrukture su se zvale Mathématique Moderne (Moderna matematika). Pri opisivanjuovih struktura, važnost leži u odnosim između elemenata, određenih aksiomima.Entuzijazam i aktivnost CIEAEM-a generirao je nova pitanja koja su imala velikiutjecaj, osobito u Europi:

− Važnost psihologije u matematičkom obrazovanju− Susretljivost pri poučavanju metodike− Ključna uloga konkretnih materijala i aktivne pedagogije− Važnost poučavanja provedenog u praksi, čak i uz prisutnost učitelja− Potreba prolaska svih razina školovanja (od osnovne škole do fakulteta)− Empirijska istraživanja− Veza između mentalnih i matematičkih struktura i moderna matematika− Pojava istraživača u matematičkom obrazovanju− Demokratizacija matematike.

Proizvedene su knjige s naglaskom na nova pitanja. U prvoj, L‘enseignementdes mathématiques, objavljenoj 1955. godine i koju su napisali Piaget, Dieudonné,Gattegno, Choquet, Beth i Lichnerowitz, svi autori su se složili o mogućnostimakoje je moderna matematika pružila u matematičkom obrazovanju. Piaget se ba-vio temeljima matematičke teorije i tražio je veze između matematičke strukture,kao što su je uveli Bourbakisti, i strukture uma. Dieudonné je tvrdio da je suštinamatematike razmišljanje o sadržaju pojma. Gattegno je eksplicitno spomenuo kon-kretne materijale kao što su Cuisinaire štapići i filmovi. Knjige predstavljaju dvijevažne inovacije koje je CIEAEM podržala: modernu matematiku i konkretne mate-

34

rijale. Dok je prva inovacija bila ograničena na razdoblje od manje od 20 godina,barem u svojim radikalnim tumačenjima, druga tema je i dalje aktualna i obuhvaćaobrazovne ideje o kojima se i dalje raspravlja.

Slika 7: Bourbakisti

Već 1960. godine je Freudenthal izrazio sumnje o Piagetovom istraživanju, naj-prije zbog toga što je Piagetova matematička pozadina bila slaba, ali ponajviše zbogtoga što se Piagetov pristup jako odrazio na predavanje u učionicama; bolje odgovaraneuobičajeni laboratorijski pristup psihologa.

6.3 Nova matematika

Radnje CIEAEM-a, koje su sadržavale važna didaktička istraživanja, odvijale suse paralelno s pokretom Nova matematika u SAD-u. Ispitivanje američkih oružanihsnaga pokazalo je da su mnogi mladi ljudi bili nesposobni za matematiku. Nada-lje, nacionalna pozornost u Drugom svjetskom ratu je bila usmjerena na rastućupotrebu za uvježbanim osobljem koji su služili tehnološkom društvu. Ove okolnostisu skrenule pozornost na školsku matematiku. Tijekom 50-ih godina pokrenuto jenekoliko važnih reformnih pokreta. U vrijeme krize Sputnik 1957. godine su gotovou potpunosti bili razvijeni reformni programi čija je svrha bila poboljšanje matema-tičkog i fizičkog obrazovanja. Edward Begle (1914. − 1978.) je na sveučilištu Yaleupravljao najopsežnijim projektom, Grupa za učenje matematike u školi (SMSG),

35

koji je kreirao i provodio nastavni plan i program za osnovne i srednje škole između1958. i 1977. godine. U početku je bio usmjeren na studente, a kasnije je prilagođensvim učenicima. Prije nego što je završio, projekt je bio preveden na 15 različitihjezika.

U rujnu 1959. godine održana je važna konferencija u Woods Holeu, Massac-husetts, gdje su se sveučilišni profesori iz matematike i prirodnih znanosti susrelis profesorima iz psihologije i pedagogije i po prvi puta raspravljali o temeljima zadaljnji razvoj reformnih projekata iz matematike i prirodnih znanosti. To je ujednoi prvi put da je reformi pokret u SAD-u došao u kontakt s europskim reformnimpokretima. Europski kontakt bio je Bärbel Inhelder (1913.− 1997.), bliski suradnikJeanu Piagetu iz Ženeve. Među matematičarima prisutni su bili Marshall Stone(1903. − 1989.), predsjednik Međunarodnog povjerenstva za poučavanje matema-tike (ICMI), i vođe najvećeg projekta, poput Beglea, te psiholog Jerome Bruner(1915.−) sa sveučilišta Harvard, koji je bio vođa konferencije. Bruner je napisaoizvješće o konferenciji, The Process of Education, gdje je predstavio njegove dobropoznate ideje o spiralnom kurikulumu i hipotezu: „Svako dijete u bilo kojoj fazi ra-zvoja može efikasno učiti sve predmete u nekom intelektualnom obliku”. AktivnostiCIEAEM-a i pokret Nova matematika u SAD-u dijelile su zajedničke korijene s Bo-urbakistima: teorija skupova, funkcije, relacije i logika bi trebali naći svoje mjestou novom kurikulumu.

Zanimljivo, u nekim reformama bili su ugrađeni elementi progresivizma. Naprimjer, Brunerov rad se temeljio na razvojnoj psihologiji Jeana Piageta i u njemusu bile ugrađene mnoge Deweyijeve ideje o iskustvenom učenju. Prema Deweyui Bruneru u procesu učenja je iskustvo bilo bitno. Brunerov psihološki pristup jeduboko povezan s Deweyijevim radom i doveo je do oživljenja njegovih ideja u drugojpolovici stoljeća.

6.4 Seminar u Royaumontu

Kako su psiholozi i pedagozi postali sve više zainteresirani za matematiku i pri-rodne znanosti, od 1959. godine reforma se proširila na novu grupu učenika i noverazrede. Stručnjaci OEEC-a su ustanovili da je reforma bila nužna u državama čla-nicama zbog nove tehnike u industrijama i kako bi ispunile zahtjeve. U studenom1959. godine u Royaumontu u Francuskoj je održan važan seminar o poučavanjumatematike pod vodstvom OEEC-a. Svaka država članica, SAD, Kanada i Jugosla-

36

vija su bile pozvane da pošalju 3 povjerenika: istaknutog matematičara, nastavnikamatematike ili osobu koja je bila zadužena za matematiku u Ministarstvu prosvjetei istaknutog nastavnika matematike iz srednje škole. Sve pozvane države sudjelovalesu na seminaru, osim Portugala, Španjolske i Islanda. Jedva primjetno, ovaj poznatisastanak u Royaumontu dogodio se gotovo u isto vrijeme kao i konferencija u WoodsHoleu.

Seminar u Royaumontu se mogao zamisliti kao početak zajedničkog reformnogpokreta za modernizaciju matematike u školama cijelog svijeta. Marshall Stone jebio predsjednik sastanka. Među njegovih 13 govornika bili su Dieudonné, Choquet,Servais i Felix iz CIEAEM-a, Begle, upravitelj SMSG projekta u SAD-u; i SvendBundgaard (1912.−1984.) iz Danske. Dieudonnéov doprinos je bio vođenje seminarapod utjecajem Bourbakista, a doprinosi Stonea i Beglea bili su povezivanje seminaras konferencijom u Woods Holeu.

U zaključku seminara rečeno je da se aritmetika, ili bolje rečeno, računanje, tra-dicionalno smatralo sredstvom potrebnim u životu i u poslovima. Dakle, većinaučenja ovog predmeta svodila se na učenje činjenica i algoritama napamet. Psi-hološke implikacije obrazovnih postupaka koji su se koristili u osnovnim školama,gdje je cilj bio razvijanje pojma i načina razmišljanja (kao i vještina), zahtijevale suodređenu promjenu u nastavi aritmetike. Učenje treba biti rezultat razumijevanjakoje proizlazi iz eksperimentiranja i otkrivanja koristeći fizičke objekte. Na ovajnačin, dijete treba dovesti do zaključka o apstraktnosti pojma obilježje skupa kojegnazivamo njegovim brojem. Za razumijevanje ove apstrakcije smatralo se potrebnimkoristiti pojmove skup, podskup, korespodencija i red. Od samog početka pojmovimoraju biti pravilno konstruirani.

Razumijevanje i upotreba decimalnog brojevnog sustava bio je sastavni dio napočetku nastave. S ovim sustavom i intuitivnim korištenjem zakona komutativnosti,asocijativnosti i distributivnosti, sve operacije na cijelim brojevima, opći razlomci idecimalni razlomci se mogu razumno koristiti.

Djecu se učilo računati s razumnom brzinom i točnošću, kao što se zahtijevalo usvakodnevnom životu odraslih. Počevši u 5. godini školovanja pa nadalje, nadarenijadjeca su počela proučavati odnose među brojevima, uključujući neparne i parnebrojeve, proste brojeve, faktorizaciju, najveći zajednički djelitelj, najmanji zajedničkivišekratnik i brojevne sustave s bazom koja nije 10. Takvo proučavanje bilo je podnadzorom učitelja koji je razumio navedene matematičke odnose. Generalizacijaaritmetičkih odnosa kroz korištenje simbola mogla je poslužiti kao neformalni uvod

37

u algebru.Bilo je i neslaganja oko pojedinih područja, kao što je uvođenje negativnih bro-

jeva kao dodatak prirodnim brojevima u ranoj dobi školovanja, uvođenje razlomakai simbola kao što su 8 + 1 i 7 + 2 kao drugo ime za broj 9, a ne kao operacije. Ta-kođer je bio dogovor da se matematika treba učiti tako da izražava strukturu kojanaglašava korištenje uobičajenih zakona i stavlja veći naglasak na ulogu brojeva 0 i1.

U sažetku izvješća sa sastanka istaknute su promjene u svrhu izgradnje mate-matičkih pojmova, strukture i razumijevanja; promjene u korištenju ideja; i drukčijaorganizacija i obrada nekih grana (na temelju psihološkog znanja o mentalnom rastu)za bolje razumijevanje i kako bi pružili bolji temelj za nastavak učenja i primjenematematike.

Kao opravdanje za planirane reforme tvrdilo se da su promjene u kulturnom,industrijskom i gospodarskom standardu mnogih naroda prizvale osnovne promjeneu obrazovnom standardu. Više ljudi je trebalo bolje znanstveno poučavanje. Čak ilaici moraju razumjeti znanost; danas je znanje matematike ključno za razumijevanjeznanosti.

Svaka je država mogla raditi promjene u nastavi matematike prema vlastitimpotrebama, ali je bilo preporučeno da države međusobno surađuju što je više mo-guće. Svaka je država imala vlastiti i jedinstveni način uvođenja promjena − oduvođenja novog materijala, organizacije uzastopnog poučavanja i eksperimentiranjas mogućim nastavnim programima. Poslovni putovi su trebali omogućiti prenošenjerezultata programa i eksperimentiranja između svih država kako bi u svim državamanastava bila što bolje organizirana.

6.5 Nordijska suradnja

Nordijski sudionici u Royaumontu dogovorili su organizaciju nordijske suradnjeu reformi nastave matematike. Učitelj osnovne škole Agnete Bundgaard bio je vođaprojekta za osnovnu školu. Bundgaard i njegov suradnik su napisali niz udžbenikaza dob od 7 do 13 godina. Jens Høyrup je smatrao da je većina materijala bilaortodoksna kao prilagodba zahtjevima matematičara.

Niz sadržaja je bio vrlo teorijski. Brojevi su uvedeni kao značajke skupova.Zakoni komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti, neparni brojevi, množenjes 0, vrijednost funkcije i traženje funkcije, rimski brojevi i brojevni sustav s bazom

38

5 su se učili do kraja 3. razreda. Isto je vrijedilo i za proste brojeve, permutacijes 3 elementa i unakrsno množenje. Kako bi oduzimanje bilo lakše, predstavljenaje ideja jednostavnijeg zbrajanja: na primjer, 10 + 3 je bilo jednostavnije zbrojitinego 6 + 7. Isto je učinjeno i za množenje, u svrhu lakšeg dijeljenja. Na primjer,2 · 5 + 3 je bila zamjena za 13. U 4. razredu je uvedena notacija za teoriju skupova,uparivanje, podskupove, presjek i uniju, kao dodatak brojevnom sustavu s različitimbazama i množenju prostih brojeva. U 5. razredu je uvedeno množenje modulo 9.Decimalni razlomci su se radili prije općih razlomaka, koji su bili odgođeni za 6.razred. Oduzimanje je bilo predstavljeno kao potraga za nestalim pribrojnikom, adijeljenje kao potraga za nestalim faktorom.

Uvođenje ovog materijala smatralo se primjerom onoga što je Howson nazvao„pokušaj dodavanja pedagogije unutar propisanog centralnog kurikuluma”, koji je,barem na Islandu, dohvatio veći broj skupina djece oko 1970. godine bez obzira nareviziju nacionalnog kurikuluma 1960. godine.

6.6 Protureakcija

U ranim 70-im godinama smanjio se entuzijazam za pokret Nova matematika.S početkom 1961. godine u SAD-u je provedeno longitudinalno istraživanje na višeod 11 000 učenika u više od 1 500 škola. Istraživanje je pokazalo da su učenicikoji su učili Novu matematiku pokazali lošije vještine u računanju od onih koji susudjelovali u tradicionalnoj nastavi.

U stvarnosti, promjene su bile puno češće u sadržaju nego u pedagogiji. Reak-cija roditelja na Novu matematiku bila je slična u mnogim državama: nisu razumjelipostupke i algoritme koje su njihova djeca primjenjivala i većinu je to sve zbunjivalo.U brojnim slučajevima, stvarna provedba je izazvala razočaranje, negativne reakcije,kritike i različite promjene u uvjetima, kao što su vjerovanja u gospodarsku djelat-nost, koja su uvjetovala daljnje promjene. Ovaj je proces doveo do trajne promjenematematike u školi. Unatoč poteškoćama i razočarenju Fey je napomenuo da jebilo teško zamisliti da je mnogo prijedloga projekta Nove matematike bilo potpunostrano u većini matematičkih programa i za učitelje matematike 1960. godine.

39

7 Aktivnosti u svijetu

Ovaj prikaz povijesnog razvoja nastave aritmetike usmjeren je na razvoj u Europii Sjevernoj Americi, prateći svoje korijene s Bliskog i Dalekog istoka. Prikaz jebio usmjeren na razvoj u državama poput Italije, Njemačke i Francuske, ali i nanjegov razvoj u udaljenijim područjima, na primjer, u sjevernoj Europi. Dok jena euroazijskom kontinentu postojala veza između civilizacija, druge civilizacije, uzapadnoj hemisferi, su razvile vlastito obrazovanje iz aritmetike koje mnogo godinanije došlo do drugih civilizacija. Od oko 1400. do 1560. godine civilizacija Inka jeobitavala na području današnjeg Perua i okolnih područja. Posjedovali su brojevnisustav bilježenja podataka pomoću čvorova, koji se zvao quipus (khipu). Kao što suta i druge civilizacije vremenom bile uništene, nisu imale utjecaja na globalnu slikuu povijesnom razvoju nastave aritmetike.

Prije otvaranja prema zapadu 1867. godine, klanovi samuraja su upravljali ško-lama u feudalnom razdoblju Edo u Japanu i škole su bile rezervirane za djecu članovaodređenog klana. U razdoblju Meiji su privatne feudalne škole bile zatvorene, a otvo-rene su javne osnovne škole diljem države. U tim školama je aritmetika bila jedanod glavnih predmeta. U Kini je školski sustav bio uspostavljen do kraja 19. stoljeća.

Aritmetika se podučavala u mnogim krajevima svijeta. Kolonijalizam je duljevrijeme vladao u zemljama Latinske Amerike, Afrike i Azije. U tim zemljama suse obrazovne tradicije u trenutku prilagodbe oblikovale prema onima u inozemstvu.No, nije se uvijek uzimala u obzir pomoć stranaca. Etnomatematika je nastala u La-tinskoj Americi kao, na primjer, protuteža sljedećem: naglasila je važnost kulturnogobilježja u matematici i brzo je osvojila priznanje diljem svijeta.

Od 80-ih godina 20. stoljeća etnomatematika je postala tema rastućeg istraživač-kog interesa, posebno zato što je imala utjecaj u umjetnosti i obrtu domorodačkihskupina, što je bilo zanemareno u historiografiji. Etnomatematika je postojala usvim društvima u nekom obliku. Teme u etnomatematici su bile teme iz svakodnev-nog života: odnosile su se na hranu, prostor i vrijeme ovisno o sezonskom razdoblju−znajući gdje (prostor) i kada (vrijeme) saditi, žeti i trgovati. Primijenjena matema-tika se prakticirala na tržištu gdje je bio potreban rad s novcem, vraćanje ostataka istavljanje trgovačke robe na popust. U različitim okruženjima se i etnomatematikarazlikovala u smislu određivanja vremena, mjerenja zemljišta i udaljenosti, susta-vima oporezivanja i aritmetici u gospodarstvu. U mnogim mjestima je trgovinabila organizirana u obliku razmjene, gdje je trgovačkoj robi bila dodijeljena novčana

40

vrijednost koja se razlikovala od mjesta do mjesta.Tema koja se može pripisati etnomatematici je pretvaranje množenja u zbrajanje.

Ovakva tehnika ima nekoliko različitih verzija, a postoji još iz doba Rhindovogpapirusa, oko 1650. godine prije Krista. Tehnika se zvala egipatsko množenje, kojaje bila vrlo slična tehnici koja se zvala množenje ruskih seljaka. Primjer egipatskogmnoženja brojeva 23 · 25:

23 = 1 + 2 + 4 + 1623 · 25 = (1 + 2 + 4 + 16) · 25

= 25 + 50 + 100 + 400 = 575.

Bivše kolonijalne sile su nastavile utjecati na kulturu. Zbog toga su se mnoge dr-žave uključivale u opće međunarodne pokrete, čak i sa većim vremenskim odmakom.Iako su države bile ograničene svojim specifičnim karakteristikama, sudjelovale su urazličitim svjetskim pokretima i reformama za obnovu školskog kurikuluma, kao štoje bilo uvođenje Nove matematike.

41

ZaključakPoželjna skupina za nastavu aritmetike bili su dječaci koji su se pripremali za

određenu struku, na primjer, za trgovce. U razvijenim društvima su otvorene školeračunanja i udžbenici su postali glavno sredstvo učiteljima, dok je u ruralnim i peri-fernim društvima karakteristično bilo samoobrazovanje, a udžbenici su bili sredstvopomoću kojeg su učenici samostalno učili. Ciljevi obrazovanja iz aritmetike su osci-lirali od utilitarnih ciljeva do mentalnih vježbi i obratno. Razvijene su nove metodepoučavanja. Reforme su često imale protureakciju. Napredak je bio manji od očeki-vanog. Ipak, pisci, koji su bili sljedbenici mislilaca i učitelja, su sugerirali promjenekoje su se postupno primjenjivale u školama. Najbolji učitelj je bio onaj koji jeuspio svoj interes za predmet prenijeti na učenike i zainteresirati ih. Dobri učiteljisu rijetko bili ograničeni na samo jedan skup objekata. Oni su učinili da aritmetikapostane moderna i radili su prema najboljem kurikulumu u danom trenutku.

42

Literatura[1] Gert Schubring (auth.), Alexander Karp, Gert Schubring (eds.), Handbook on

the History of Mathematics Education, Springer, New York, 2014.

[2] Nicolas Bourbaki, Wikipedia,URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki

43

SažetakSadržaj aritmetike se postupno proširivao od talijanske škole računanja, scuole

d’abbaco, pa do reformi 60-ih godina 20. stoljeća i metode računanja su postale ugla-đenije. Brojanje, računanje i decimalni brojevni sustav su i dalje osnova aritmetikeu kurikulumu. I dalje se prakticiraju četiri aritmetičke operacije cijelih brojeva tesu se proširile i na opće razlomke. Decimalni razlomci su bili naširoko predstavljenisamo u 19. stoljeću, a u udžbenicima su se mogli vidjeti i postotci. Koncept brojaje bio sporan do kraja 19. stoljeća. Najveća promjena sadržaja dogodila se u refor-mama 60-ih godina 20. stoljeća kada su uključene statistika i vjerojatnost, teorijabrojeva te su apstrakcija i generalizacija bile uključene u kurikulumu u puno većojmjeri nego prije.

44

SummaryThe content of arithmetic has been upgrading constantly. From Italian school

of calculation, scuole d’abbaco, until the reforms in the 1960’s, the methods of cal-culation have become smoother. Counting, calculating and decimal numbers arestill basics of arithmetic in a curriculum. Four basic arithmetic operations of oddnumbers are still in practice, and they have spread to general fractions. Decimalfractions were widely introduced only in the nineteenth century, and in textbooksyou could have seen even the percentages. The concept of number was disputableuntil the end of the nineteenth century. The greatest change of substance happenedin reforms in the 1960’s, when statistics and plausibility, theories of numbers, ab-straction and generalization were included in a curriculum in a greater magnitudethan they had been before.

45

ŽivotopisRođena sam 14. kolovoza 1991. godine u Virovitici. Živim u Grubišnom Polju

gdje sam pohađala Osnovnu školu Ivana Nepomuka Jemeršića. Nakon završetkaosnovne škole 2006. godine upisala sam se u Opću gimnaziju u Grubišnom Polju.Srednju školu završila sam 2010. godine. Iste te godine upisala sam se na Preddi-plomski studij Odjela za matematiku u Osijeku, a 2012. godine sam se prebacila naSveučilišni nastavnički studij matematike i informatike.