Razred 8 - Petica+ II Svezak

SysPrint

SysPrint

Mate

mati

ka 8

petic

a+

2. s

veza

k

drugi svezak

Udžbenik i zbirka zadataka iz matematike za 8. razred

D. Glasnović Gracin • Z. Ćurković • L. Kralj • S. Banić • M. Stepić

D. Glasnović Gracin, L. Kralj, Z. Ćurković, M. Stepić, S. Banić

Petica+ 8udžbenik i zbirka zadataka za 8. razred osnovne škole

DRUGI SVEZAK

1. izdanje

Zagreb, 2010.

Autorice: Dubravka Glasnović Gracin, Lidija Kralj, Zlata Ćurković, Minja Stepić, Sonja Banić

Urednik: Vinkoslav Galešev

Recenzija: Ines Kniewald, Maja Ljubičić

Lektura: Jasmina Han

Ilustracija naslovnice: Ivan Marušić

Ostale ilustracije: Ivan Marušić, Antonija Jelić, Helena Povijač

Priprema za tisak: Ivana Biluš, Robert Braun, Antonija Jelić, Josip Marić, Tomislav Stanojević

Tisak: Gradska tiskara Osijek

Za nakladnika: Robert Šipek

Nakladnik: SysPrint d.o.o.

XIV. trokut 8a, p.p. 84, 10020 Zagreb, Hrvatska

tel: (01) 655 8740, fax: (01) 655 8741

e-mail: [email protected], web: www.sysprint.hr/udzbenici

© SysPrint d.o.o, Zagreb, 2010.

Nijedan dio ove knjige ili CD-a ne smije se umnožavati, fotokopirati niti na bilo koji način

reproducirati bez nakladnikova pismenog dopuštenja

4. Preslikavanja ravnine ......................................................................................... 64.0. Uvod ..............................................................................................64.1. Osna simetrija ...............................................................................84.2. Centralna simetrija ......................................................................204.3. Rotacija ......................................................................................324.4. Vektori ........................................................................................414.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora ...................................................494.6. Translacija ..................................................................................624.7. Ponavljanje ..................................................................................71

5. Pravci i ravnine u prostoru ............................................................................765.1. Točke, pravci i ravnine u prostoru ...............................................775.2. Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru ...............................845.3. Međusobni položaj pravaca i ravnine u prostoru ..........................875.4. Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru ................................935.5. Okomitost pravca i ravnine. Okomitost dviju ravnina ...................975.6. Ortogonalna projekcija točaka na ravninu ..................................1015.7. Udaljenost točke od ravnine ......................................................1075.8. Ponavljanje ................................................................................113

6. Geometrijska tijela ......................................................................................... 1166.1. Vrste geometrijskih tijela ...........................................................1186.2. Osnovno o prizmama ................................................................1216.3. Kvadar .......................................................................................1266.4. Kocka ........................................................................................1326.5. Trostrana prizma .......................................................................1396.6. Ostale prizme ............................................................................1426.7. Obujam kvadra ..........................................................................1476.8. Obujam prizme ..........................................................................1536.9. Osnovno o piramidama ..............................................................1606.10. Četverostrana piramida ...........................................................1656.11. Trostrana piramida ..................................................................1756.12. Šesterostrana piramida ............................................................1826.13. Valjak ......................................................................................1876.14. Stožac .....................................................................................1936.15. Kugla .......................................................................................2006.16. Ponavljanje ..............................................................................205

7. Završno ponavljanje ..................................................................................... 208

Primjerak inicijalnog testa u 1. razredu srednje škole .......................227Rješenja nekih zadataka ...................................................................228Kazalo ..............................................................................................244

Sadržaj

Upoznajte likove s kojima ćete se družiti kroz gradivo udžbenika Petica!

Luka je odličan učenik. Iako se kod njega nikad ne zna hoće li imati 4 ili 5, matematika mu je jedan od najdražih predmeta. Kada mu nešto nije jasno, ne

srami se pitati učiteljicu da mu pojasni gradivo.

Matija voli playstation i svoj skateboard mnogo više od matematike. No, pravi je

stručnjak za računala svih vrsta, pa tako i za džepna. Otkad

je učiteljica dozvolila njihovo korištenje, pomaže cijelom

razredu u svladavanju gradiva.

Maja ima sve petice i najbolja je učenica u razredu. Voli

matematiku i redovito piše zadaće. Često se prepire s Lukom

i Matijom oko točnih rješenja zadataka. Naravno, smatra da je

baš ona uvijek u pravu!

Učiteljica na zanimljiv način približava učenicima i najteže gradivo iz matematike. Uvijek je tu ako treba nešto dodatno

objasniti i strpljivo odgovara na njihova brojna pitanja.

Beni je Lukin pas. Voli dobro jelo, voli spavati, ali voli i

prisluškivati kada Luka kod kuće priča o školi. Beni naročito voli matematiku i voli na šaljiv način komentirati matematičke

probleme.

Luka Matija MajaUèitelj ica

Beni

Dragi čitatelji,

pred vama je drugi svezak udžbenika sa zbirkom zadataka iz matematike za 8. razred osnovne škole, koji je u potpunosti usklađen sa stručnim i metodičkim zahtjevima Hrvatskog nacionalnog obrazovnog standarda (HNOS). Uz objedinjeni udžbenik sa zbirkom zadataka i rješenjima, u udžbenički komplet ubraja se još i CD za učenike koji će vam približiti gradivo matematike i učiniti ga zanimljivim, pa i zabavnim.

U prvom svesku učili ste o kvadriranju brojeva, korjenovanju te Pitagorinom poučku i njogovoj primjeni u geometriji.

U ovom drugom svesku gradivo započinjemo sa geometrijskim dijelom gdje ćete se upoznati s geometrijom ravnine i prostora: uče se preslikavanja u ravnini te skupovi točaka u prostoru (prvo točke i pravci, a zatim i tijela). Na kraju udžbenika nalazi se izbor formula i zadataka iz cjelokupnog gradiva matematike osnovne škole. Zadacima na kraju prilažemo i ogledni primjerak inicijalnog testa u prvom razredu srednje škole.

Svaki naslov u udžbeniku započinje problemom koji će vas kroz zanimljiv zadatak iz života uvesti u novo gradivo. Zatim slijede riješeni primjeri, putem kojih ćete stjecati nova znanja iz matematike. Znanje ćete utvrditi pomoću raznovrsnih zadataka koji se nalaze iza primjera. Zadaci su složeni po težini od lakših prema težima. Ako neku vrstu zadataka poželite još više uvježbati, na CD-u ćete naći dodatne i dopunske zadatke te druge obrazovne materijale i igre vezane uz matematiku.

Kroz gradivo matematike voditi će vas simpatični likovi: Luka, Maja, Matija, učiteljica, Beni i ostali, koji će se, baš kao i vi, uhvatiti u koštac s gradivom matematike. Svojim razgovorima i savjetima olakšat će vam svladavanje početnih teškoća.

Kako bi vaš uspjeh iz matematike bio još bolji, na kraju svake nastavne teme nalaze se pitanja za ponavljanje i uvježbavanje gradiva. U udžbeniku su posebno označeni dijelovi gradiva koji nisu dio obaveznog programa, ali su namijenjeni učenicima koji žele znati više. Osim toga, i drugi dijelovi građe istaknuti su posebnim okvirima. U tablici su dani njihovi opisi i značenja:

Puno uspjeha u radu žele vam autorice udžbenika!

Oblik Značenje

Zadatak 4. Lakši zadatak (redni broj zadatka obojan svijetlo-plavom bojom)

Zadatak 5.Složeniji zadatak i zadaci za nadarene (redni broj zadatka obojan narančastom bojom)

Važan dio gradiva kojeg treba dobro naučiti

Dio teksta za lakše praćenje i pamćenje gradiva

Formula

Gradivo za radoznalce

Ako se u nekom zadatku traži crtanje ili upisivanje rješenja u udžbenik, riješite zadatak u svojoj bilježnici. Udžbenik trebaju koristiti i generacije iza vas.

6

4. Presl ikavanja ravnine

Važni pojmovi

preslikavanje ravnine

osna simetrija ili zrcaljenje

os simetrije

osnosimetrični likovi

centralna simetrija i centralnosimetrični likovi

rotacija

središte rotacije i kut rotacije

vektor

jednaki vektori

translacija

4. UvodPriroda pruža mnogobrojne primjere simetrije, rotacije, translacije.

Funkcije ili preslikavanja

Već smo se susreli s pojmom funkcije ili preslikavanja. U sedmom razredu bile

su to funkcije proporcionalnosti, funkcije obrnute proporcionalnosti i linearna

funkcija. U osmom razredu upoznali smo funkciju kvadriranja i funkciju

korjenovanja.

A što j e to preslikavanj e

ravn ine?

To j e postupak u koj em j ednoj toèk i ravn ine

pr idružuj emo drugu toèku. Na pr imj er, toèk i A pr idružuj em

toèku A1.

T r o k u t

7

P r e s l i k a v a n j a r a v n i n e

1. Nacrtaj dužinu AB i konstruiraj simetralu te

dužine. Objasni postupak!

2. Koja svojstva ima simetrala dužine?

3. Nacrtaj neki kut ABC i konstruiraj simetralu

tog kuta. Objasni postupak!

4. Konstruiraj kut od

a) 60°; b) 30°; c) 90°; d) 45°.

Objasni postupak!

5. Pročitaj naglas:

AB CD≅ jer je AB CD= .

Kratki zadaci za ponavljanje:

Svim ovim funkcijama zajedničko je to što brojevima pridružujemo brojeve

prema utvrđenim pravilima koja su bila zadana formulom.

Funkcije u geometriji ne preslikavaju brojeve, već točke.

Sjetimo se osne simetrije koju smo učili u petom razredu.

Tu smo točkama ravnine pridruživali točke ravnine (iste

te ravnine) prema određenom pravilu.

Geometrijske likove možemo premjestiti (“prekopirati”) u

ravnini. Da bi pritom likovi zadržali svoju veličinu (primjerice

dužina zadržala svoju duljinu) valja slijediti precizne

odredbe, tj. pravila.

Naredbe koje koristimo u računalnim programima za crtanje

(na primjer Paint ili Draw) djeluju po strogim pravilima,

poput pravih strojeva, i prenose likove na neko drugo

mjesto u ravnini crtnje, okreću ih za neki kut, zrcale lik u

odnosu na neki pravac itd. Osim toga, te naredbe možemo

koristiti za popločavanje neke površine.

U ovom poglavlju ćeš, primjerice, naučiti:

kako nacrtati osnosimetričan lik;

kako nacrtati centralnosimetričan lik;

kako rotacijom zakrenuti lik oko neke točke za

zadani kut;

koje dužine su usmjerene dužine;

kako nacrtati ornament poput ovoga:

D

C

D1

C1

p

x –2 –1 0 1 2 3 4

f(x) = 2x – 1 –5 –3 –1 1 3 5 7

x –2 –1 0 1 2 3 6

f(x) = x2 4 1 0 1 4 9 36

Linearna funkcija Kvadratna funkcija

8

4 . 1 . O s n a s i m e t r i j a

4.1. Osna simetrijaSavršenstvo ili simetrija

Pogledaj obje slike i usporedi ih. Po čemu se razlikuju? Jednu od njih nazivamo

simetrična, a drugu asimetrična slika. Koja je koja?

Primjer 1: Osna simetrija i točka

Presavijmo list papira i zamislimo da je crta

pregiba os simetrije. Flomasterom obojimo

jednu točku i prije nego se osuši boja

preklopimo papir. Dobit ćemo sliku obojane

točke s druge strane papira u odnosu na os

simetrije.

Spojimo li obojanu točku

s njenom slikom dobit

ćemo dužinu kojoj je os

simetrije simetrala.

Istaknimo u ravnini točku

A i pravac p. Zamislimo

da je p crta pregiba

papira, a točka A se

nalazi s jedne strane papira. Gdje će se nalaziti

osnosimetrična slika točke A?

Rješenje:Treba pronaći točku A1 takvu da je pravac p

simetrala dužine AA1 .

Nacrtajmo okomicu o iz točke A na pravac p.

Sjecište pravaca p i o nazovimo S. Znamo da

simetrala prolazi polovištem zadane dužine, a u

našem slučaju točka S će biti polovište. To znači

da na pravcu o treba naći točku A1 koja će biti

udaljena od S jednako kao što je A udaljena od

S, tj. AS A S= 1 . U šestar uzmemo duljinu AS

i nanesemo je iz točke S na pravac o s druge

strane. Tako ćemo dobiti točku A1 takvu da je

AS A S= 1 .

Da bismo dobili ove likove sa slike služimo se simetrijom u odnosu

na odabrane pravce.

U uvodnom zadatku za donju sliku kažemo da je dobivena osnom

simetrijom ili zrcaljenjem u odnosu na pravac koji prolazi

uspravno sredinom lica. Taj pravac zove se os simetrije.

Još u petom razredu naučili smo prepoznati osnosimetrične likove,

konstruirati osnosimetrične točke, dužine, trokute. U ovoj temi

naučit ćemo da je osna simetrija preslikavanje ravnine.

9


Primijenimo sada osnu simetriju na skupove

točaka u ravnini.

Neka je zadan pravac p u ravnini.

Preslikavanje koje točki A pridružuje točku

A1 na gore opisani način nazivamo osnom

simetrijom s obzirom na pravac p.

Pravac p se pritom naziva os simetrije ili

os zrcaljenja.

Kažemo da su točke A i A1

osnosimetrične s obzirom na pravac p.

osna simetrija ili zrcaljenje

osnosimetrična slika ili zrcalna slika

Primjer 2: Osna simetrija i dužinaNacrtaj dužinu CD i pravac p kao na slici.

Što ćeš dobiti ako svaku točku dužine CD

preslikaš osnom simetrijom s obzirom na

pravac p?

Rješenje:Znamo da točaka na dužini ima beskonačno

mnogo pa je jasno da nećemo moći sve njih

preslikati. Uzmimo npr. 10 točaka s dužine CD , povucimo okomicu na pravac p iz svake

od njih i nađimo njihove osnosimetrične

točke postupkom iz

prethodnog primjera.

Primjećujemo da smo

preslikavanjem opet

dobili dužinu.

Kako bismo nacrtali

osnosimetričnu

sliku neke dužine u

najmanje koraka?

Dovoljno je naći

osnosimetrične slike

krajnjih točaka

dužine i spojiti ih.

A

p

A

p

S

o

A

p

S

o

A1

C

D

p

D

C

D1

C1

p

10

4 . 1 . O s n a s i m e t r i j a

Primjer 4: Osna simetrija i trokutNacrtaj trokut i pravac p koji ga ne siječe. Svaku

točku trokuta preslikaj osnom simetrijom

obzirom na pravac p.

Rješenje:Nacrtajmo trokut i pravac p izvan njega:

U prošlom primjeru smo pokazali da je za

dužine potrebno preslikati samo krajnje točke.

Stoga ćemo trokutu osnom simetrijom preslikati

samo njegove vrhove A, B i C.

Kažemo da je dužina C D1 1 osnosimetrična slika dužine CD s obzirom

na pravac p.

Mjerenjem se možemo uvjeriti da dužina C D1 1 jednake je duljine kao

dužina CD .

Imaju li dužina i njena osnosimetrična slika uvijek jednake duljine?

Pogledajmo ovaj primjer.

Primjer 3. Duljine osnosimetričnih dužinaNeka je dužina A B1 1 osnosimetrična slika

dužine AB s obzirom na pravac p. Dokažimo

da je AB A B= 1 1 .

Rješenje:Iz točaka B i B1 povucimo okomice na AA1 .

Dobili smo pravokutnik BNN B1 1 . Kako je pravac

p simetrala stranice NN1 tog pravokutnika,

zaključujemo da je

NS SN= 1 . Osim toga

AS SA= 1 jer su točke A i A1 osnosimetrične

točke. Stoga je i

AN N A= 1 1 .

Sada uočimo da su pravokutni trokuti

∆ ∆ANB A N B i 1 1 1 međusobno sukladni po poučku

o sukladnosti trokuta stranica - kut - stranica:

AN N A= 1 1 , � �N N= = °1 90 i BN B N= 1 1 . Sto-

ga su i treće stranice tih trokuta međusobno

jednakih duljina, tj. AB A B= 1 1 .

AB A B= 1 1

Osnom simetrijom dužina se preslikava u

njoj sukladnu dužinu.

D D1

C C1

p

A

N

S

Bp

B1

A1

N1

C

B

p

A

C

A

B

p

C1

B1

A1

11


Dobivene točke određuju trokut ∆A1B1C1

koji je osnosimetrična slika trokuta ∆ABC s

pravcem p kao osi simetrije. Kada bismo trokut

∆A1B1C1 izrezali škarama i prislonili na trokut ∆ABC u odgovarajućem položaju, oni bi se

potpuno poklapali. Razlog tome smo vidjeli u

prethodnom primjeru gdje smo dokazali da su

osnosimetrične dužine jednakih duljina, pa su

trokuti ∆ABC i ∆A1B1C1 sukladni prema poučku o

sukladnosti trokuta stranica - stranica - stranica.

Na isti način možemo osnu simetriju

primijeniti na ostale skupove točaka u ravnini.

Osnom simetrijom trokut se preslikava u

njemu sukladan trokut.

Primjer 5. Osna simetrija i pravac

Zadani su pravci p i a tako da je:

a) a siječe p;

b) a p

c) a p⊥

Pravcu a konstruiraj osnosimetričnu sliku s


Rješenje:

Znamo da je svaki pravac određen dvjema

različitim točkama. Stoga, na pravcu a

odaberemo po volji dvije točke, primjerice

A i B, pa im odredimo osnosimetrične slike s

obzirom na os simetrije p. Točke A’ i B’ (koje

su osnosimetrične slike točaka A i B) određuju

pravac a’ koji je osnosimetrična slika pravca a s


U zadatku a) i c) jedna od odabranih točaka je

točka B koja se nalazi na osi simetrije, pa će se

na istom mjestu nalaziti i točka B1.

U zadatku b) primijetimo ako je pravac a

usporedan s osi simetrije, tada je i njegova

osnosimetrčna slika usporedna s osi simetrije.

U zadatku c) primijetimo ako je pravac a okomit

na os simetrije onda se on preslikava u samog

sebe.

p

a

A

A1

B=B1

p

a A B

A1 B1

b)

a)

c)

p

a

A1

B=B1

A

12

1. Nacrtaj pravac a i točku B koja mu ne pripada.

Nacrtaj točku B’ koja je osnosimetrična slika

točke B obzirom na pravac a.

2. Nacrtaj trokut ∆ABC i pravac p koji ga ne siječe.

Nacrtaj trokut ∆A1B1C1 koji je osnosimetrična

slika trokuta ∆ABC obzirom na pravac p.

3. Nacrtaj ∆ABC i pravac p koji ga siječe. Nacrtaj

trokut ∆A1B1C1 koji je osnosimetrična slika

trokuta ∆ABC obzirom na pravac p.

4. Nacrtaj ∆ABC i pravac p koji je okomit na jednu

stranicu trokuta. Nacrtaj trokut ∆A1B1C1 koji je

osnosimetrična slika trokuta ∆ABC obzirom na

pravac p.

Primjer 6: Osna simetrija i pravokutnikNacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama duljine

5 cm i 3 cm. Zatim nađi njegov osnosimetričan

pravokutnik ako je zadan položaj kao na slici.

Prvo skiciraj rješenje, pa ga onda nacrtaj.

Rješenje: Kao i kod trokuta u prethodnom primjeru,

nađimo osnosimetrične točke vrhova A, B, C i D

s obzirom na pravac p.

U zadatku a) točka B se nalazi na osi simetrije,

pa će se na istom mjestu nalaziti i točka B1.

U zadatku b) neki vrhovi se nalaze s jedne, a

neki s druge strane osi. Evo rješenja.

Primjer 7. Osna simetrija i kružnicaKonstruiraj kružnicu k S,3 cm( ) i odredi njenu

osnosimetričnu sliku s obzirom na pravac p.

Rješenje:Tražimo li sliku kružnice k pri osnoj simetriji s

obzirom na pravac p, dovoljno je naći sliku S1

središta S dane kružnice. Zatim oko točke S1

opišemo kružnicu jednakog polumjera.

D

C

A

B

p

a) b)

D

C

A

B

pD

C

A

B

D1

C1

B1

A1

pa) b)

D

C

A

D1

C1

A1p

p

S

kp

S

k

r

rk1

S1

A1

A

Z a d a c i

4 . 1 . O s n a s i m e t r i j a

13


5. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj gdje će se

nalaziti osnosimetrična slika točke S obzirom

na pravac.

6. Nacrtaj pravac p i točku A koja mu ne pripada.

Nacrtaj točku A1 koja je osnosimetrična s

točkom A s obzirom na pravac p.

7. Precrtaj u bilježnicu pa pogledaj dužine na slici.

Skiciraj, a zatim i nacrtaj njihove osnosimetrične

dužine s obzirom na zadane pravce.

8. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj osnosimetrične

slike ovih dužina s obzirom na zadani pravac.

9. Nacrtaj pravac p i dužinu AB duljine:

a) 4 cm; b) 5 cm; c) 6 cm; d) 24 mm.

Svakoj od ovih dužina nađi osnosimetričnu sliku

s obzirom na p. Kolika je duljina slike?

10. Nacrtaj dužinu AB i nađi joj osnosimetričnu

dužinu s obzirom na pravac p:

a) ako pravac i dužina AB nemaju zajedničkih

točaka;

b) ako se pravac i dužina AB sijeku u točki S;

c) ako se pravac i dužina AB sijeku u točki A.

11. Nacrtaj pravac a i dužinu CD koja nema

zajedničkih točaka s pravcem. Nacrtaj dužinu

C D1 1 koja je osnosimetrična slika dužine CD

obzirom na pravac a.

12. Nacrtaj pravac p i dužinu EF tako da se točka

E nalazi na pravcu. Nacrtaj dužinu ' 'E F koja

je osnosimetrična slika dužine EF obzirom na

pravac p. Gdje se nalazi osnosimetrična slika

točke E?

a) b)

d)

c)

S

S S

SS

e)

a) b)

d)

c)

e)

A

B

jkD

CE

F

p

G H

m

K

Lo

a) b)

d)

c)

e)

14

4 . 1 . O s n a s i m e t r i j a

13. Skiciraj pa nacrtaj osnosimetričnu sliku trokuta

∆ABC s obzirom na pravac.


∆ABC s obzirom na pravac:


∆ABC s obzirom na pravac:

16. Nacrtaj trokut ∆ABC. Nacrtaj osnosimetričnu

sliku trokuta ∆ABC s obzirom na pravac p:

a) koji ne siječe trokut;

b) koji prolazi jednim vrhom trokuta;

c) koji prolazi stranicom BC ;

d) koji siječe trokut.

17. Nacrtaj jednakostraničan trokut ∆DEF sa

stranicom duljine 5 cm i pravac p koji prolazi

polovištem stranice ED i vrhom F trokuta. Nađi

njegov osnosimetričan trokut s obzirom na

pravac p.

p

s

rS T

U

C

V B

M

NO

b)a)

c)

b)

a)

c)

s

C

V B

p

NO

M

A

R

Pq

p

q

s

C

V B

O

M

N

P

R

Ab)

a)

c)

15


18. Nacrtaj paralelogram sa stranicama duljine

4 cm i 2 cm. Nađi njegov osnosimetričan

paralelogram s obzirom na pravac p:

a) koji nema zajedničkih točaka s

paralelogramom;

b) koji siječe paralelogram;

c) koji prolazi jednom dijagonalom

paralelograma;

d) koji prolazi jednom stranicom paralelograma.

19. Nacrtaj kvadrat ABCD sa stranicom duljine

3 cm. Nađi njegov osnosimetričan kvadrat s

obzirom na pravac p koji:

a) ne siječe kvadrat;

b) siječe kvadrat;

c) prolazi stranicom BC ;

d) prolazi jednom dijagonalom kvadrata.

20. Nacrtaj romb ABCD sa stranicom duljine 5 cm.

Nađi njegov osnosimetričan romb s obzirom na

pravac p:

a) koji nema zajedničkih točaka s rombom;

b) koji siječe romb;

c) koji prolazi dijagonalom BD romba;

e) koji prolazi vrhom B romba.

21. Nacrtaj pravce a i p koji se sijeku pod kutom

α = °60 . Nacrtaj osnosimetrčan pravac pravcu

a s obzirom na pravac p.

22. Nacrtaj dva usporedna pravca i odredi

osnosimetričnu sliku jednog pravca s obzirom

na drugi pravac.

23. Nacrtaj dva okomita pravca i odredi

osnosimetričnu sliku jednog pravca s obzirom

na drugi pravac.

24. Nacrtaj dužinu AB i pravac s. Odredi

osnosimetričnu sliku dužine AB s obzirom na

pravac s. Što je pravac s dužini AB ?

25. Nacrtaj kružnicu oko središta A polumjera

3 cm. Nađi njenu osnosimetričnu kružnicu s

obzirom na pravac:

a) koji siječe kružnicu;

b) koji dodiruje kružnicu;

c) koji s kružnicom nema zajedničkih točaka.

26. Precrtaj u bilježnicu pa pronađi os simetrije:

27. Nacrtaj trokut ∆ABC i konstruiraj tom trokutu

a) opisanu kružnicu;

b) upisanu kružnicu.

28. Zadane su tri nekolinearne točke (točke koje ne

pripadaju istom pravcu) A, B i C. Odredi točku S

jednako udaljenu od točaka A, B i C .

29. Nacrtaj pravokutan trokut ∆ABC i pravac

p koji je okomit na hipotenuzu i prolazi

nasuprotnim vrhom. Nacrtaj trokut ∆A1B1C1, koji

je osnosimetrična slika trokuta ∆ABC obzirom

na pravac p. Opiši gdje je osnosimetrična

slika hipotenuze. Je li se poklopila s cijelom

originalnom hipotenuzom? Zašto?

B

A

B1

A1

A1

A1

B1

B1

B

B

A

A

CC1

C

C1

b)a)

c)

Z a d a c i

Primjer 8: Osnosimetrični likoviNacrtaj kvadrat ABCD. Nađi njegov osnosimetričan

kvadrat s obzirom na pravac na kojem leži

dijagonala AC .

Rješenje:Točke A i C leže na osi simetrije, pa će se njihove

osnosimetrične točke nalaziti na istom mjestu, tj.

A = A1, C = C1. Točka D1 past će točno u B, a točka

B1 točno u D.

Osnosimetričan lik A1B1C1D1 je kvadrat koji

se veličinom i položajem potpuno poklapa s

kvadratom ABCD. Kažemo da se kvadrat ABCD

preslikao u samog sebe.

Osnosimetričan lik je onaj lik za kojeg

postoji osna simetrija koja ga preslikava u

samoga sebe.

Primjerice, pravokutnik, kvadrat, jedna ko kra-

čan trokut, jednakostraničan trokut i krug

su osnosimetrični likovi.

Kvadrat ima 4 osi simetrije.

Pravokutnik ima dvije osi simetrije, a jedna-

kokračan trokut jednu.

Krug ima beskonačno mnogo osi simetrije,

a jednakostraničan trokut tri:

osnosimetrični

likovi

16

4 . 1 . O s n a s i m e t r i j a

30. Je li paralelogram osnosimetričan lik?

31. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj osi simetrije:

32. Pronađi barem tri države čije zastave su osnosimetrične. Je li hrvatska zastava osnosimetrična? Zašto?

CD

A B

CD

A BD1

C1B1

A1

33. Je li romb osnosimetričan lik? Ako jest, odredi mu osi simetrije.

34. Nacrtaj automobilski simbol koji je osnosimetričan.

35. Nacrtaj nekoliko osnosimetričnih likova koji imaju:

a) jednu os simetrije;

b) dvije osi simetrije;

c) četiri osi simetrije.

36. Pogledaj ovu kopču za kosu:

a) Je li ona osnosimetričan lik? Ako jest, pronađi njenu os simetrije.

b) Kreiraj svoju kopču za kosu koja je osnosimetričan lik.

37. Koji prometni znakovi su osnosimetrični? Nacrtaj neki od njih.

38. Koji od ovih likova su osnosimetrični? Na slici pronađi sve osi simetrije:

17


18

4 . 1 . O s n a s i m e t r i j a

Osna simetrija u koordinatnoj ravnini

U koordinatnoj ravnini je nacrtana točka A(2, -1). Pogledajmo na

slici gdje se nalazi njezina osnosimetrična slika s obzirom na os x.

Pogledajmo što se dogodilo s koordinatama nakon osne simetrije

obzirom na os x. Slika točke A(2, -1) je točka A’(2, 1). Prva

koordinata je ostala ista, dok je druga promijenila predznak.

Nacrtaj osnosimetričnu sliku točke A obzirom na os y i pogledaj što se dogodilo s koordinatama

nakon osne simetrije.

Z a d a c i39. Točkama odredi osnosimetrične slike s

obzirom na:

a) os apscisu;

b) os ordinatu;

c) simetralu prvog i trećeg kvadranta.

40. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s

vrhovima A(–1, –7.5), B(0, –0.2) i C(5, –2.5).

Nađi njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom

na os x. Zatim nađi njegovu osnosimetričnu

sliku s obzirom na os y.

41. U koordinatnoj ravnini nacrtaj četverokut s

vrhovima A(1, 3), B(3, 5), C(5, 3) i D(3, 1).

Kako se zove taj četverokut? Nađi njegovu

osnosimetričnu sliku s obzirom

a) na os y;

b) na os x;

c) pravac y = x.

42. Pronađi os simetrije.

43. Nacrtaj dužinu AB u koordinatnoj ravnini

kao na slici, pa odredi njenu osnosimetričnu

sliku s obzirom na pravac p. Kolika je duljina

dužine AB ?

44. Postoji li točka u koordinatnoj ravnini koja

se preslikava u samu sebe s obzirom na

zrcaljenje preko: a) osi x; b) osi y?

45. Pravac y = 2x - 1 zrcali preko pravca x = 0.

Nacrtaj i napiši jednadžbu zrcalne slike tog

pravca.

46. Pravac y = 2x - 1 zrcali preko pravca y = 0.


pravca.

A’

A

y

x2

1

0

-1

p

A

B

0

0 2

2

4

4 6

6

8

-2

00 2

2

4

4

B

A

B1

A1

19


1. Nacrtaj pravac p i dužinu AB duljine:

a) 6 cm; b) 3.8 cm.

Svakoj od ovih dužina nađi osnosimetričnu sliku

obzirom na p. Kolika je duljina slike?

2. Nacrtaj dužinu AB i nađi joj osnosimetričnu

dužinu obzirom na pravac p:

a) ako pravac i dužina AB nemaju zajedničkih

točaka;

b) ako se pravac i dužina AB sijeku u točki T;

c) ako se pravac i dužina AB sijeku u točki B.

3. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj

osnosimetričnu sliku trokuta ABC obzirom na

pravac p:

a)

b)

c)

4. Konstruiraj paralelogram sa stranicama 6 cm i

4 cm, i kutom α = °60 . Nađi njegov osnosimetričan

paralelogram obzirom na pravac p koji:

a) prolazi izvan paralelograma;

b) siječe paralelogram;

c) prolazi jednom dijagonalom paralelograma;

d) prolazi jednom stranicom paralelograma.

5. Konstruiraj kvadrat ABCD sa dijagonalom 3 2

cm. Nađi njegov osnosimetričan kvadrat obzirom

na pravac p koji:

a) ne siječe kvadrat;

b) siječe kvadrat;

c) prolazi stranicom BC ;

d) prolazi jednom dijagonalom kvadrata.

6. Konstruiraj romb ABCD sa stranicom 5 cm i

kutom α = °50 . Nacrtaj njegov osnosimetričan

romb obzirom na pravac p koji prolazi:

a) izvan romba;

b) presijeca romb;

c) stranicom BC ;

e) vrhom B.

7. Nacrtaj kružnicu k(S, 4 cm). Nađi njenu

osnosimetričnu kružnicu obzirom na pravac koji:

a) je njena sekanta;

b) je njena tangenta;

c) prolazi pokraj kružnice.

8. Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama duljina

5 cm i 4 cm pa nacrtaj njegovu osnosimetričnu

sliku obzirom na pravac p koji prolazi:

a) izvan pravokutnika, usporedno s jednom

stranicom

b) ukoso, izvan pravokutnika;

c) presijeca pravokutnik;

d) jednom dijagonalom;

e) stranicom AB ;

f) vrhom C:

g) kroz polovišta nasuprotnih stranica.

9. Konstruiraj trokut sa stranicama a = 4 cm,

b = 5 cm i c = 6.5 cm pa ga preslikaj osnom

simetrijom obzirom na pravac koji prolazi

stranicom BC.

10. Konstruiraj trokut sa stranicama a = 4 cm,

b = 5 cm i kutom γ = 50° pa ga preslikaj osnom

simetrijom obzirom na pravac koji prolazi

stranicom AC.

Vježbalica

p

C

B

A

p

CB

A

p

C

B

A

20

4 . 2 . C e n t r a l n a s i m e t r i j a

4.2. Centralna simetrijaSredište simetrije

Pogledaj ove slike i potraži njihovo središte. Kakvi su gornji, donji, lijevi i desni

dio slike. Ima li dijelova koji se preklapaju?

11. Konstruiraj trokut sa stranicom a = 5 cm i

kutovima β = 80° i γ = 50° pa ga preslikaj

osnom simetrijom obzirom na pravac koji

prolazi stranicom AB.


vrhovima ABC, te nađi koordinate vrhova njemu

osnosimetričnog trokuta s obzirom na os x:

a) A(–3, 3), B(4, 3), C(0, 5);

b) A(2, 3), B(1, 6), C(–3, 0);

c) A(–3,2 ), B(–2,–4 ), C(1,1 ).


vrhovima ABC, te nađi koordinate vrhova njemu

osnosimetričnog trokuta s obzirom na os y:

a) A(–3, 3), B(4, 3), C(0, 5);

b) A(3, 0), B(0, 3), C(–3, –1);

c) A(2, –2), B(3, 3), C(–2, 3).

14. Pravac y = –2x + 1 zrcali preko osi ordinate.


pravca.

15. Pravac y = –2x + 1 zrcali preko osi apscise.


pravca.

16. Pravac y = x + 3 zrcali preko osi ordinate.


pravca.

17. Pravac y = 3x – 2 zrcali preko osi apscise.


pravca.

Primjer 1: Centralna simetrija i točkaIstaknimo u ravnini točke A i S, te povucimo

pravac p koji prolazi tim točkama. Pronađimo

na pravcu p točku A1 takvu da je S jednako

udaljena i od A i od A1.

Rješenje:Krenimo redom, korak po korak. Nacrtajmo

sliku koja se od nas traži u prvoj rečenici

zadatka.

Sada treba na pravcu p naći točku A1 koja će biti

jednako udaljena od S kao što je A udaljena od

p

A

S

20

Uzorci za tapete

21


S, tj. AS A S= 1 . To nije teško pronaći, jasno je

da će se točka A1 nalaziti “na drugoj strani” od

točke S nego što je A. U šestar uzmemo duljinu AS i nanesemo je iz točke S na pravac p.

Tako ćemo dobiti točku A1 takvu da je AS A S= 1

.

Primijenimo sada centralnu simetriju naskupove

točaka.

A i A1 su

centralnosimetrične

točke

AS A S= 1

Neka je zadana nepomična točka S u

ravnini.

Preslikavanje koje točki A ravnine pridružuje

točku A1 te iste ravnine na opisani način

nazivamo centralnom simetrijom s obzirom

na točku S. Točka S se pritom naziva centar

ili središte simetrije.

Kažemo da su točke A i A1

centralnosimetrične s obzirom na točku S.

A1

p

A

S

Primjer 2: Centralna simetrija i dužinaNacrtaj dužinu CD i točku S koja ne pripada

dužini. Što ćeš dobiti ako svaku točku dužine

CD preslikaš centralnom simetrijom s obzirom

na točku S?

Rješenje:Nacrtajmo dužinu CD i točku S kako je zadano.

Znamo da točaka na dužini ima beskonačno

mnogo pa je jasno da nećemo moći sve njih

preslikati. Uzmimo npr. 10 točaka sa dužine CD i nađimo njihove centralnosimetrične točke.

Primjećujemo da smo preslikavanjem opet

dobili dužinu.

Ko bi gor i. . . sad j e

doli!

A tko doli . . . gor i

ustaj e!

C

S

D

D

CD1

C1

S

22


Kako bismo nacrtali centralnosimetrične sliku

neke dužine u najmanje koraka?

Dovoljno je naći centralnosimetrične slike

krajnjih točaka dužine i spojiti ih.

Kažemo da je dužina C D1 1 centralnosimetrična

dužina dužine CD s obzirom na središte S.

Imaju li dužina i njena centralnosimetrična slika

uvijek jednake duljine?

Pogledajmo trokute ∆CDS i ∆C1D1S. Njihovi

kutovi CSD C SD i 1 1 sukladni su jer su to

vršni kutovi. Osim toga njihove odgovarajuće

stranice uz te kutove jednake su duljine zbog

centralnosimetričnosti točaka C i C1, odnosno D

i D1, tj. CS C S= 1 i

DS D S= 1 .

Pa zaključujemo da su ova dva trokuta sukladna

po poučku o sukladnosti trokuta stranica - kut

- stranica. Iz sukladnosti trokuta ∆CDS i ∆C1D1S

slijedi da je CD C D= 1 1 .

Na temelju ovog svojstva, pri centralnoj simetriji

s obzirom na danu točku, slika nekog lika bit će

njemu sukladan lik.

Također, iz sukladnosti trokuta ∆CDS i ∆C1D1S

slijedi da su i svi kutovi ovih trokuta sukladni. A

to znači da je C CD CC D1 1 1≅ .

Budući su to kutovi uz presječnicu CC1 koja presijeca pravce CD i

C D1 1 zaključujemo da su ti pravci

usporedni. Ovo je još jedno važno

svojstvo centralne simetrije.

Primjer 3: Centralna simetrija i trokutNacrtaj trokut i točku S izvan njega. Svaku

točku trokuta preslikaj centralnom simetrijom s

obzirom na S.

Rješenje:Nacrtajmo trokut i točku S izvan njega.

U prošlom primjeru smo pokazali da je za dužine

potrebno preslikati sa mo krajnje točke. Stoga će-

mo trokutu centralnom si metrijom preslikati sa-

mo njegove vrhove A, B i C.

D

C

D1

C1

S

S

A

C

B

Pri centralnoj simetriji pravac se

preslikava u usporedan pravac, a dužina u

usporednu dužinu.

CD C D= 1 1

CD || C D1 1

Centralnom simetrijom dužina se

preslikava u njoj sukladnu dužinu.

D

C

D1

C1

S

Z a d a c i

23

Dobivene točke određuju trokut ∆A1B1C1 koji je

centralnosimetričan trokut trokuta ∆ABC s

točkom S kao centrom simetrije. Kada bismo

trokut ∆A1B1C1 izrezali škarama i prislonili na

trokut ∆ABC u odgovarajućem položaju, oni

bi se poklapali. Razlog tome smo vidjeli u

prethodnom primjeru gdje smo dokazali da su

centralnosimetrične dužine jednakih duljina,

pa su trokuti ∆ABC i ∆A1B1C1 sukladni prema

poučku o sukladnosti trokuta

stranica - stranica - stranica.

Na isti način možemo centralnu simetriju

primijeniti na ostale skupove točaka u ravnini.

Na primjer, zeleni likovi s početka ove teme su

centralnosimetrični žutim likovima.

1. Nacrtaj točku S i dužinu CD smještenu

sjeverno od točke. Nacrtaj dužinu C D1 1 koja je

centralnosimetrična slika dužine CD obzirom

na točku S.

2. Nacrtaj točku S i dužinu CD smještenu

zapadno od točke. Nacrtaj dužinu C D1 1 koja je

centralnosimetrična slika dužine CD obzirom

na točku S.

3. Nacrtaj dužinu AB i točku S negdje

na njoj. Nacrtaj dužinu A B' ' koja je

centralnosimetrična slika dužine AB obzirom

na točku S.

4. Nacrtaj dužinu AB i simetralom joj odredi

polovište P. Nacrtaj dužinu A B' ' koja je

centralnosimetrična slika dužine AB obzirom

na točku P. Što primjećuješ?

5. Nacrtaj dvije dužine jednakih duljina. Postoji

li centralna simetrija koja jednu preslikava u

drugu? Ako da gdje joj se nalazi središte? Ima li

takav zadatak uvijek rješenje?

6. Luka je crtao plan za raspored jednakih klupa

oko fontane. Htio je razmjestiti klupe oko

fontane tako da budu centralnosimetrične.

Pojednostavimo crtež tako da točka S označava

fontanu, a dužine klupe. Skicirajte odgovarajući

raspored za 4, 6 i 8 klupa. Gdje se nalaze rubne

točke svih dužina koje predstavljaju klupe? Ima

li zadatak više rješenja?


S

A

C

B

C1

B1

A1

Z a d a c i

24

Primjer 4: Centralna simetrija i paralelogramNacrtaj paralelogram ABCD sa stranicama

duljine 4 cm i 5 cm. Zatim nađi njegov

centralnosimetričan paralelogram ako je središte

simetrije:

a) unutar paralelograma;

b) na stranici AB paralelograma;

c) u vrhu paralelograma B.

Rješenje:a) Nacrtajmo zadani paralelogram i istaknimo

točku S unutar njega. Kao i kod trokuta u pret-

hodnom primjeru, nađimo centralnosimetrične

točke vrhova A, B, C i D s obzirom na točku S.

b) Ako se središte simetrije nalazi na stranici

paralelograma AB , onda će točke S, A, A1, B i B1

ležati na istom pravcu.

c) Ako se središte simetrije nalazi u vrhu

B paralelograma, onda će u istoj točki biti

smještene točke B, B1 i S.

7. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj

centralnosimetričnu sliku dužine CD s obzirom

na S:

8. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj

centralnosimetričnu sliku dužine AB s obzirom

na S:

D C

A BS

C1

D1

B1A1

S

D C

A

C1 D1

B1

B A1

D C

A B

S

D C

A B

C1 D1

B1 A1

B

S

(1) (2)

C C

CD D D

S SS

S

S

D

D

C

C

S

A B

S

S

A

AB

B


9. Nacrtaj dužinu duljine:

a) 4 cm; b) 5 cm; c) 6 cm; d) 24 mm.

Zatim nacrtaj točku T koja ne pripada pojedinoj

dužini i svakoj dužini nađi centralnosimetričnu

dužinu s obzirom na T. Kolika je duljina nove

dužine?

10. Nacrtaj dužinu AB i nađi joj centralnosimetričnu

dužinu s obzirom na točku S:

a) ako točka S ne pripada dužini AB ;

b) ako točka S pripada dužini AB ;

c) ako se točka S nalazi u krajnjoj točki A;

d) ako se točka S nalazi u krajnjoj točki B.

11. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj

centralnosimetričnu sliku trokuta ∆ABC s

obzirom na točku S.

12. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj



13. Nacrtaj trokut ∆ABC . Nacrtaj


obzirom na točku S koja se nalazi:

a) izvan trokuta; b) unutar trokuta;

c) na stranici BC ; d) u vrhu A trokuta;

e) u vrhu C trokuta.

14. Nacrtaj jednakokračan trokut ∆KLM s

osnovicom KL = 3 cm i kracima duljine 5

cm. Nađi njegov centralnosimetričan trokut s

obzirom na točku M.

15. Nacrtaj jednakostraničan trokut ∆DEF sa

stranicom duljine 5 cm i točku M unutar

trokuta. Nađi njegov centralnosimetričan trokut

s obzirom na točku M.

16. Nacrtaj paralelogram sa stranicama duljine

5 cm i 3 cm. Nađi njegov centralnosimetričan

paralelogram s obzirom na točku S koja se

nalazi:

a) izvan paralelograma;

b) unutar paralelograma;

c) u sjecištu dijagonala;

d) u jednom vrhu paralelograma.

17. Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama


pravokutnik s obzirom na točku S koja se

nalazi:

a) izvan pravokutnika;

b) unutar pravokutnika;


d) na stranici BC ;

e) u vrhu D.

18. Nacrtaj kvadrat ABCD sa stranicom 4 cm. Nađi

njegov centralnosimetričan kvadrat obzirom na

točku S koja se nalazi:

a) izvan kvadrata;

b) unutar kvadrata;


d) na stranici BC ;

e) u vrhu A.

25


S

S

S

BBB

AA

A

CC

C

S S SBB

B

AA

A

CC

C

S

19. Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama


pravokutnik s obzirom na točku S koja se

nalazi:

a) izvan pravokutnika;

b) unutar pravokutnika;


d) na stranici BC ;

e) u vrhu D.

20. Nacrtaj kvadrat ABCD sa stranicom 4 cm. Nađi

njegov centralnosimetričan kvadrat obzirom na


a) izvan kvadrata;

b) unutar kvadrata;


d) na stranici BC ;

e) u vrhu A.

21. Nacrtaj romb ABCD sa stranicom 5 cm. Nađi

njegov centralnosimetričan romb s obzirom na


a) izvan romba;

b) unutar romba;

c) na stranici BC ;

d) u vrhu B.

22. Nacrtaj kružnicu oko središta A polumjera

3 cm. Nađi njenu centralnosimetričnu kružnicu

s obzirom na točku S koja se nalazi:

a) unutar kružnice;

b) na kružnici;

c) u izvan kružnice.

23. Nacrtaj kružni vijenac oko središta A polumjera

2 cm i 3 cm. Nađi njegovu centralnosimetričnu

sliku s obzirom na točku S koja se nalazi:

a) na kružnom vijencu;

b) izvan kružnog vijenca.

24. Pronađi središte simetrije.

25. Zadan je trokut ∆ABC i točka A1 koja je

centralnosimetrična slika točke A. Odredi

središte simetrije S i sliku trokuta ∆ABC s

obzirom na središte S.

26


Primjer 5: Kvadrat kao centralnosimetričan likNacrtaj kvadrat i točku S koja je sjecište njegovih

dijagonala. Nađi njegov centralnosimetričan lik


Rješenje:Kako je točka S jednako udaljena od svih

vrhova kvadrata, točka A1 past će točno u C, a

točka C1 u A. Isto će se dogoditi i s preostala

dva nasuprotna vrha. Centralnosimetričan lik

A B C D1 1 1 1 je kvadrat koji se veličinom i položajem

potpuno poklapa s kvadratom ABCD. Kažemo

da se kvadrat ABCD preslikao u samog sebe.

B1

A1

B

B

G1

E1

F1E

G

F

J1K1

L1I1

I

J K

L

D1

A1

B1

C1A B

CD

S

27


Primjer 6: Centralnosimetrični likoviPronađi središte centralne simetrije tako da se

ovi likovi mogu centralnom simetrijom preslikati

u same sebe.

Rješenje:Središte centralne simetrije paralelograma, pra-

vo kutnika, romba i kvadrata je u sjecištu njihovih

dija gonala. Središte centralne simetrije kruga se

poklapa s njegovim središtem. Navedeni likovi

su centralnosimet rični likovi.

No, trokut sa slike nema centar simetrije. Koju

god točku da uzmemo, trokut se neće moći

preslikati u samoga sebe. Kažemo da trokut

nije centralnosimetričan lik.

Isto vrijedi i za svaki paralelogram.

Preslikamo li neki paralelogram centralnom

simetrijom obzirom na sjecište dijagonala,

paralelogram će se preslikati u samoga sebe.

To vidimo i na sljedećoj slici.

Centralnosimetričan lik je onaj lik za koji

postoji centralna simetrija koja ga preslikava

u samoga sebe.

Primjerice, paralelogram, pravokutnik, kvadrat,

romb i krug su centralnosimetrični likovi.

paralelogram je

centralnosimetrčan

lik

Dj eco, r ij eši te ovaj pr imj er! Tu se j asno vidi kako se

toèke preslikavaj u u paralelogramu!

Potraži ga oko “sredine” zadan ih l ikova.

Probaj sa sj ecištem

dij agonala i slièno.

Kako æuprocij en i t i gdj e

j e središte simetr ij e?

D1

A1

B1

C1A

B

CD

S

I H

GF

O

Q P

R

V

TU

SY

W X

F

I H

G Q P

O R

S

S

C

V

TU

Y

W X

S S

18. Jesu li ovi likovi centralnosimetrični? Ako jesu,

gdje im je centar simetrije?

19. Precrtaj sliku u bolježnicu. Koliko najmanje

kvadratića treba osjenčati da bi slika bila

centralnosimetrična s obzirom na središte

kvadrata?

20. Koja slova sa slike su centralnosimetrična?

21. Odredi centar simetrije?

22. Je li jednakostraničan trokut

centralnosimetričan lik? A peterokut?

23. Postoj li pravilni mnogokut s neparnim brijem

stranica a da je centralnosimetričan?

24. Je li ovaj cvijet centralnosimetričan?

28


29


Centralna simetrija u koordinatnoj ravnini

U koordinatnoj ravnini je nacrtana točka A(2, -1). Pogledajmo na slici gdje se nalazi njezina

centralnosimetrična slika s obzirom na koordinatno ishodište O.

Pogledajmo što se dogodilo s koordinatama nakon

centralne simetrije s obzirom na koordinatno ishodište

O. Slika točke A(2, -1) je točka A1(-2, 1). Obje koordinate

su promijenile predznak.

Nacrtaj osnosimetrične slike točaka B(3,2) i C(-1,-2) s

obzirom na koordinatno ishodište O i pogledaj što se

dogodilo s koordinatama nakon centralne simetrije.

Točki A(2, -1) u koordinatnoj ravnini mogli smo odrediti

centralnosimetričnu točku s obzirom na točku O na još

jedan način - jednostavno prebrojavanjem kvadratića.

Pogledaj sliku.

Pogledajmo kako smo u koordinatnoj ravnini

prebrojavanjem odredili centralnosimetričnu sliku

točke M s obzirom na točku S.

25. Točkama A B C-6, -8 , 1.5, -

52

i -2, 0.5( )

( )

odredi osnosimetrične slike s obzirom na:

a) koordinatno ishodište O;

b) točku S( , )−13 .


vrhovima A(-1, -2), B(0, 2) i C(5, -5). Nađi

njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom

na ishodište O. Zatim nađi njegovu

osnosimetričnu sliku s obzirom na točku A.

27. U koordinatnoj ravnini nacrtaj četverokut s

vrhovima A(1, 3), B(3, 5), C(5, 3) i D(3, 1).

Kako se zove taj četverokut? Nađi njegovu

osnosimetričnu sliku obzirom na koordinatno

ishodište O.

Z a d a c i

A1(-2, 1)

A(-2, -1)

-3 3-2 2-1 10

0

1

2

3

-1

-2

O

A1(-2, 1)

A(-2, -1)

-3 3-2 -1 0

0

1

2

3

-1

-2

O

21

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

M

S

M1

30


1. Nacrtaj dužinu duljine:

a) 5.5 cm; b) 7 cm; c) 4.9 cm.

Zatim nacrtaj točku T koja ne pripada pojedinoj

dužini i svakoj dužini nađi centralnosimetričnu

dužinu obzirom na T. Kolika je duljina nove

dužine?

2. Nacrtaj dužinu AB i nađi joj

centralnosimetričnu dužinu obzirom na točku S:

a) ako se točka S nalazi izvan dužine AB ;

b) ako se točka S nalazi na dužini AB ;

c) ako se točka S nalazi u krajnjoj točki A;

d) ako se točka S nalazi u krajnjoj točki B.

3. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj

centralnosimetričnu sliku trokuta ABC obzirom

na točku S:

4. Konstruiraj trokut ABC ako je a = 5 cm,

β = °45 , c = 45 mm. Nacrtaj

centralnosimetričnu sliku trokuta ABC obzirom

na točku S koja se nalazi:

a) izvan trokuta;

b) unutar trokuta;

c) na stranici BC ;

d) u vrhu A trokuta;

e) u vrhu C trokuta.

5. Konstruiraj jednakokračan trokut DEF s

osnovicom |DE| = 58 mm i kracima 4 cm. Nađi

njegov centralnosimetričan trokut obzirom na

točku F.

6. Konstruiraj paralelogram sa stranicama 63 mm

i 4 cm, i tupim kutom β = °120 . Nađi njegov

centralnosimetričan paralelogram obzirom na






a)

b)

c)

d)

Vježbalica

S

C

AB

S

C

A

B

C

AB = S

S

C

A B

31


7. Konstruiraj kvadrat ABCD sa stranicom 5

cm. Nađi njegov centralnosimetričan kvadrat

obzirom na točku S koja se nalazi:

a) izvan kvadrata;

b) unutar kvadrata;

c) na stranici AD ;

e) u vrhu B.

8. Konstruiraj romb ABCD s dijagonalama duljina


romb obzirom na točku S koja se nalazi:

a) izvan romba;

b) unutar romba;


d) u vrhu B.

9. Nacrtaj kružnicu k(S, 4 cm). Nađi njenu

centralnosimetričnu kružnicu obzirom na točku

S koja se nalazi:

a) unutar kružnice;

b) na kružnici;

c) u izvan kružnice.

10. Pronađi središte simetrije:

11. Trokutu ABC, A( –3, 2), B(–4 , –3) i C(0, –3) nađi

centralnosimetričnu sliku s obzirom na:

ishodište (0, 0); b) točku A.

12. Trokutu ABC, A( 3, 3), B( –2, 0) i C( 1, –4) nađi


ishodište (0, 0); b) točku B.

13. Trokutu ABC, A(1 , 1), B( –3, –1) i C(0 , –4) nađi


ishodište (0, 0); b) točku S( 2, 0).

b)

a)

c)

d)

C

C’

A

A’

B

B’

C

C’

A

A’

BB’

A

A’

C’

B

C

B’

C

C’

A

A’

B’B

svrdlo kormilo kotač Zemlja Sunčev sustav

32

4 . 3 . R o t a c i j a

4.3. RotacijaVrtuljak

U prethodnoj smo temi naučili preslikavati

točke ravnine centralnom simetrijom.

Provjerimo jesu li na ovoj slici točke A i A1

centralno simetrične točke s obzirom na

točku S. Lijepo vidimo da točke A, S i A1

pripadaju istom pravcu. Provjerimo još je li

duljina SA SA= 1 .

Zabodimo šestar u točku S i otvorimo ga do

točke A, pa kružimo do točke A1. Vidimo

da nacrtana polukružnica završava u točki

A1, pa zaključujemo da je

SA SA= 1 te da

su točke A i A1 centralno simetrične točke s


Što je zajedničko svim ovim slikama?

A1

S

A

A1

A

S

33


Ovo kruženje šestara možemo zamisliti kao vrtnju točke A po kružnici k S SA( , )

do novog položaja, tj. točke A1. Zato često kažemo da se točka A1 dobila vrtnjom

točke A za 180° oko točke S kao središta.

Sada ćemo pokazati da je centralna simetrija samo

poseban slučaj preslikavanja ravnine koje se zove

vrtnja ili rotacija.

Pogledajmo sliku.

Točka A vrti se po kružnici k S SA( , ) kao pri preslikavanju

centralnom simetrijom, samo što se ovog puta okrenula za

60° oko točke S. Kažemo da smo točku A’ dobili vrtnjom

ili rotacijom točke A po kružnici sa središtem u točki S i

polumjerom SA za kut A SA' = °60 . Na isti način smo mogli

umjesto kuta od 60° odabrati kut bilo koje druge veličine α .

Vidimo da je centralna simetrija rotacija ravnine oko

nepomične točke S za kut od 180°.

rotacija = okretanje, vrtnja

rotirati = vrtjeti se

Rotacija ili vrtnja oko točke S za kut α

Rotacija ili vrtnja ravnine oko nepomične točke S za kut α je preslikavanje

koje svakoj točki A ravnine pridružuje točku A’ te iste ravnine takvu da je:

A SA' = α i SA SA= ' .

Točka S zove se središte rotacije, kut α zove se kut rotacije.

S

A’

A

Pogledajmo još jednom vrtnju točke A

oko točke S.

Točka A’ se dobila vrtnjom točke A za

60° u smjeru koji je suprotan smjeru

gibanja kazaljke sata. Taj smjer se u

matematici zove pozitivan smjer.

Točka B’ se dobila vrtnjom točke A za

60° u smjeru gibanja kazaljke sata.

Taj se smjer zove negativan smjer.

S

A’

A

B’

–60°

60°

Negativan smjer

Pozitivan smjer

34

4 . 3 . R o t a c i j a

Primjer 1. Rotacija točke Nacrtaj u ravnini dvije različite točke A i S, te

odredi sliku točke A pri rotaciji oko točke S za

kut od 30° u pozitivnom smjeru.

Rješenje:Pri rotaciji točka i njena slika pripadaju istoj

kruž nici. Zato ćemo sliku točke A potražiti na

kružnici sa središtem u točki S i polumjerom

SA .

(1) Nacrtajmo točke A i S; (2) Konstruirajmo

kružnicu k S SA( , ) .

Sada treba na kružnici k naći točku A’ takvu da je

veličina kuta A SA' jednaka 30°. To nije teško

pronaći ako se sjetimo kako se konstruira kut

od 30°.

(3) Najprije konstruirajmo kut od 60° s jednim

krakom SA.

(4) Konstruirajmo simetralu kuta od 60°;

simetrala siječe kružnicu k u točki A’.

Dobili smo točku A’ takvu da je veličina kuta

A SA' jednak 30° i da je SA SA= ' .

Primjer 2. Rotacija dužineNacrtaj dužinu AB i točku S . Odredi sliku dužine

AB pri rotaciji oko točke S za kut α = °60 .

Rješenje:Znamo da dužina ima beskonačno mnogo

točaka. No, vidjet ćemo da je pri rotaciji ravnine,

isto kao kod osne i centralne simetrije, dovoljno

naći slike samo krajnjih točaka dužine.

Najprije nacrtajmo

dužinu AB i točku S.

Točke A i B spojimo

dužinama sa središtem S

rotacije.

(1) Konstruirajmo kut od 60° s jednim krakom

SA . Drugi krak kuta od 60° presijeca kružnicu

k AS S1( , ) u točki A’. (2) Ponovimo konstrukciju

kuta od 60° s jednim krakom SB. Presjek drugog

kraka ovog kuta i kružnice k BS S2( , ) je točka

B’.

S A

k

S A

(1) (2)

k

S A

k

S A

A’s

(3) (4)

A

A’

B

C’

B

C

S S

A

A’

B

C’

B

C

Rotacija točaka A, B i C oko središta S a) za kut od 45° b) za kut od -45°

A

B

S

(1) (2)

S A

A’k1

BA’k1

S

k2

B

B’

A

35

(3) Provjerimo je li dužina A B' ' slika dužine AB

. Odaberimo po volji još nekoliko točaka dužine AB pa i njih rotirajmo oko točke S za kut α = °60

.

(4) Kao što vidimo slike ovih točaka također

pripadaju dužini A B' ' . Dakle, pri rotaciji dužine

opet dobivamo dužinu. Mjerenjem se možemo

uvjeriti da dužina A B' ' jednake je duljine kao

dužina AB .

Pogledajmo još jednom dužinu AB i njenu

sliku A B' ' i dokažimo da će dužina A B' ' biti uvijek jednake duljine kao

dužine AB pri rotaciji ravnine oko

točke S za kut α .

Uočimo trokute ∆SAB i ∆SA’B ’ . Ova dva trokuta

su sukladna po poučku o sukladnosti trokuta

stranica - kut - stranica:

SA SA= ' jer su točke A i A’ točke iste kružnice;

SB SB= ' jer su točke B i B’ točke iste kružnice;

B SA BSA' ' ≅ jer veličina oba ova kuta

jednaka je α − A SB' .

Pa je zbog sukladnosti ovih trokuta AB A B= ' '

AB A B≅ ' ' Rotacijom ravnine dužina se preslikava u

dužinu koja joj je sukladna.

(3) (4)

A’k1

S

k2

B

B’

A

k1

S

k2

B

B’

A

A’

S

B

B’

A

a

a

A’

1. Nacrtaj dvije točke C i D.

a) Rotiraj točku C oko točke D za 60° u

pozitivnom smjeru.

b) Rotiraj točku C oko točke D za 60° u

negativnom smjeru.

c) Rotiraj točku C oko točke D za 50° u

negativnom smjeru.

2. Nacrtaj dvije točke S i T.

a) Rotiraj točku C oko točke D za 50° u

pozitivnom smjeru.

b) Rotiraj točku C oko točke D za 100° u

pozitivnom smjeru.

c) Rotiraj točku C oko točke D za 180° u

negativnom smjeru.

3. Nacrtaj dvije točke A i B.

a) Rotiraj točku A oko točke B za -30°.

b) Rotiraj točku B oko točke A za 90°.

c) Rotiraj točku A oko točke B za -45°.

4. Nacrtaj dvije točke B i S. Pa zatim na istoj slici

nacrtaj ova preslikavanja

a) Rotiraj točku B oko točke S za 60° u pozitivnom

smjeru. Dobivenu točku označi s B1.

b) Rotiraj točku B oko točke S za 360° u

negativnom smjeru. Dobivenu točku označi s B2.

c) Rotiraj točku B oko točke S za 120° u

pozitivnom smjeru. Dobivenu točku označi s B3.

d) Rotiraj točku B oko točke S za 240° u

negativnom smjeru. Dobivenu točku označi s B4.

Što primjećuješ? Poklapaju li se koje točke? Zašto?

Z a d a c i


36

4 . 3 . R o t a c i j a

5. Nacrtaj tri točke i označi ih s A, B i C. Odredi slike

točaka A i B pri rotaciji oko točke C za kut od 60°.

6. Nacrtaj dužinu MN i točku S.

Odredi sliku dužine MN pri rotaciji oko točke S za:

a) 30°; b) -30°; c) 60°;

d) -60°; e) 180°; f) -180°.

7. Precrtaj sliku u bilježnicu. Konstruiraj sliku dužine

AB pri rotaciji oko točke S za 90°.

Primjer 3. Rotacija trokutaNacrtaj neki trokut ∆ABC i odaberi točku S.

Konstruiraj sliku tog trokuta pri rotaciji ravnine

za kut od 90°.

Rješenje:a) Nacrtajmo trokut ∆ABC i točku S primjerice,

izvan tog trokuta.

U prošlom primjeru smo pokazali da je za dužine

potrebno preslikati samo krajnje točke. Stoga će-

mo trokutu preslikati samo njegove vrhove A, B

i C.

Slike vrhova trokuta konstruiramo na već

opisani način, vodeći računa da veličina kutova

A SA B SB C SC' , ' ' i iznosi 90°. Dobivene

točke A’, B’ i C’ određuju trokut ∆A’ B’ C’ .

b) Ako je središte rotacije jedan vrh trokuta onda

će se taj vrh preslikati sam na sebe.

Kakvi su trokuti ∆ABC i ∆A’ B’ C’ međusobno

pri rotaciji ravnine?

Budući se dužine pri rotaciji preslikavaju u njima

sukladne dužine zaključujemo da je trokut

∆A’ B’ C’ sukladan trokutu ∆ABC po poučku o

skladnosti trokuta stranica - stranica - stranica.

Na isti način možemo rotaciju ravnine primijeniti

i na sve ostale skupove točaka u ravnini i

zaključiti da se rotacijom svaki lik preslikava u

njemu sukladan lik.

Pri rotaciji ravnine središte rotacije je

jedina točka ravnine koja miruje pa je

pridružena sama sebi.

Pri rotaciji ravnine svakom trokutu se

pridružuje sukladan trokut.

AS

S

S

A

AB

BB

B

C

A

S

B

B’ C

S=A=A’

C’

B

B’A

C’

S

A’

C

Z a d a c i8. Precrtaj lik sa slike i izreži ga. Jasno je da su lik na slici i izrezani lik sukladni

likovi. Preklopi ih i iglicom im spoji jedan vrh.

Ro tiraj izrezani lik oko zajedničkog vrha za neki

kut α . Mjerenjem se uvjeri da su se svi vrhovi

zarotirali za isti kut α . Koje zaključke možeš

izvesti?

9. Nacrtaj trokut ∆RAJ i odredi sliku tog trokuta pri

rotaciji za 60° oko točke S koja je izvan trokuta.

10. Nacrtaj trokut ∆ELA i rotiraj ga oko jednog vrha

za 30°.

11. Nacrtaj četverokut SOBA i rotiraj ga oko jednog

vrha za -180°.

Primjer 4. Rotacija kvadrata oko njegovog središta

Nacrtaj kvadrat ABCD i povuci mu dijagonale.

Označimo sjecište dijagonala kvadrata sa S.

Koje točke će biti pridružene vrhovima kvadrata

pri rotaciji kvadrata oko središta S za 90°?

Rješenje:

Pogledajmo na slikama kvadrat ABCD prije

rotacije i nakon rotacije za 90° oko točke S.

Dijagonale kvadrata sijeku se pod kutom od 90°.

Stoga, pri rotaciji kvadrata oko središta S za

kut od 90° slika točke A past će točno u B, slika

točke B past će točno u C, slika točke C past će

točno u D, a slika točke D past će točno u A.

Dakle A’ = B, B’ = C, C’ = D, D’ = A.

Pri opisanoj rotaciji kažemo da se kvadrat ABCD

preslikao u samog sebe.

Primijetimo da bi se kvadrat preslikao u samog

sebe i pri rotaciji oko njegovog središta S za

180°, 270° i 360°.

S

D C

A B

S

C’=D B’=C

D’=A A’=B


37

38

4 . 3 . R o t a c i j a

12. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj sliku trokuta ∆ABC

koja se dobije rotacijom oko točke S za 60°.

13. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj sliku trokuta ∆ABC koja se dobije rotacijom oko točke S za

30°.

14. Konstruiraj trokut kojemu je zadana duljina jedne

stranice i veličina dvaju kutova uz nju:

c = 10 cm, α =120°, β = 30°. Rotiraj ovaj trokut

oko njegovog vrha C za:

a) 90°; b) -90°; c) 60°;

d) 45°; e) - 45°.

15. Konstruiraj pravokutan trokut kojemu je zadana

duljina hipotenuze i veličina jednog šiljastog

kuta: c = 7 cm, α = 45°. Konstruiraj sliku tog

trokuta pri rotaciji oko vrha C za 90°.



kuta: c = 6.5 cm, β = 60. Konstruiraj sliku tog

trokuta pri rotaciji za 120° oko točke S koja je

izvan trokuta.

17. Nacrtaj pravac AB i točku S. Vrti pravac AB oko

točke S za:

a) 90°; b) -90°; c) 30°;

d) -60°; e) 180°; f) -180°.

18. Nacrtaj pravokutnik i vrti ga oko sjecišta njegovih

dijagonala za kut od 120°.

19. Konstruiraj kružnicu k S( , . )3 5 cm i točku O

udaljenu od središta kružnice više od 3.5 cm.

Odredi sliku te kružnice pri rotaciji za –240°.

B

A

C

S B

C

S

A

SB

C

A

B

C

AS

S

B

C

A

B

C

A

S

Zavrtj elo mi se u glavi. Moram li rotirati sva tr i

vrha trokuta? Ja samo rotiram dva. Treæi lako

odredim j er su to sukladn i trokuti .

20. Za koliko se stupnjeva

zarotira Zemlja:

a) za godinu dana;

b) u jednom danu?

21. Hoće li se crveni trokut preklopiti s plavim ako

ga zarotiraš? Ako hoće, koliki je kut rotacije?

Ako neće, zašto neće?

22. U kružnicu polumjera 4 cm upiši

jednakostraničan trokut ∆ABC . Rotiraj taj

trokut oko središta S kružnice za:

a)120°; b) 240°; c) 360°.

Koje će točke pritom biti pridružene vrhovima

trokuta γ ?

23. Pogledaj sliku

Za koliko stupnjeva se zarotirao SVEN oko

slova N da bi iz položaja (1) došao u položaj

a) (2); b) (3); c) (4)?

24. Nacrtaj kvadrat pa ga zarotiraj oko njegova

središta za 270°.

25. Konstruiraj pravilni šesterokut i zarotiraj ga

oko središta S opisane mu kružnice tako da se

šesterokut poklopi sa svojom slikom. Koliko

rješenja ima ovaj zadatak?

26. Odredi središte i kut rotacije kojom se pravilan

peterokut preslikava u sama sebe.

39


Vježbalica1. Nacrtaj dužinu AB i točku S.

Odredi sliku dužine AB pri rotaciji oko točke S

za:

a) 45°; b) –50°;

c) –120°; d) 40°.

2. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku dužine

AB pri rotaciji oko točke S za –90°.

BA

S

40

4 . 3 . R o t a c i j a


AB pri rotaciji oko točke S za 60°.


AB pri rotaciji oko točke S za –45°.

5. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku trokuta ∆ABC koja se dobije rotacijom oko točke S za

70°.


–60°.


260°.


–300°.

9. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku

četverokuta koja se dobije rotacijom oko točke

S za –90°.

10. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku

četverokuta koja se dobije rotacijom oko točke

S za –90°.

11. Konstruiraj jednakokračan trapez ABCD kome

su osnovice duge 8 cm i 5 cm, a krak 4 cm i

rotiraj ga oko jednog vrha za 30°.


duljina hipotenuze c = 68 mm i katete a = 4 cm.

(Prisjeti se Talesovog poučka).Konstruiraj sliku

tog trokuta pri rotaciji oko središta opisane mu

kružnice za –50°.

B

S

D

B

C

A

B

DC

S = A

S = C

BA

S

B

C

A

S

B

C

A

S B

C

A

S = A

S

B

A

41


41

Kuda ide koja lopta

Koja lopta će pasti u rupu?

Uvodni primjer s biljarom nas podsjeća na neke

osnove ove igre, iza kojih stoje matematika i

fizika.

Želimo li udariti loptu u biljaru, važno je jesmo

li udarili jako ili slabo. Kažemo, važna je jačina

udarca ili sile. Zatim, važno je u kojem smjeru

ćemo uputiti loptu. Kažemo da je važan i smjer.

Tako dolazimo do dvije važne fizikalne veličine:

jačine (veličine) udarca i smjera gibanja.

4.4. Vektori



kuta: c = 7 cm, β = 30°. Konstruiraj sliku tog

trokuta pri rotaciji za –120° oko točke S koja je

izvan opisane kružnice tom trokutu.

14. Nacrtaj pravac AB i točku S. Vrti pravac AB oko

točke S za:

a) 70°; b) –80°; c) 60°;

d) –75°; e) 20°.

15. Konstruiraj kvadrat s dijagonalom duljine 5 cm

i vrti ga oko sjecišta njegovih dijagonala za kut

od 90°.

16. Konstruiraj kružnicu ( ,5 cm)k S i točku O

udaljenu od središta kružnice 3.5 cm. Odredi

sliku te kružnice pri rotaciji za 200°.

17. Konstruiraj kružnicu ( ,3 cm)k S i točku O

udaljenu od središta kružnice 5.5 cm. Odredi

sliku te kružnice pri rotaciji za –60°.

18. Konstruiraj pravilni šesterokut stranice a = 5 cm

i rotiraj ga oko središnjeg kuta za 45°.

19. Konstruiraj pravilni peterokut koji je upisan

u kružnicu polumjera 6 cm i rotiraj ga oko

središnjeg kuta za –60°.

20. Konstruiraj pravilni peterokut koji je upisan

u kružnicu polumjera 5 cm i rotiraj ga oko

središnjeg kuta za 120°.

42

4 . 4 . V e k t o r i

U fizici smo učili da su neke fizikalne

veličine vektori i da ih grafički prikazujemo

usmjerenom dužinom jer im pored mjernih

brojeva pridružujemo i smjer.

Podsjetimo se:

Vidimo da vektor u fizici nalikuje dužini. Postoji

li razlika između vektora i dužine?

Razmotrimo ovaj problem.

Na pravcu p istaknute su točke A i B.

Dio tog pravca je dužina s krajnjim točkama

A i B.

Hoćemo li ovu dužinu označiti s AB ili s BA ,

sasvim je svejedno jer to je jedna te ista dužina.

No, postoje situacije kada je važno točno znati ko-

ja je od njezinih krajnjih točaka početna, a ko ja

završna. Pokazat ćemo to u sljedećem primjeru.

Primjer 1. Gdje se spustio zrakoplovKrajnje točke dužine AB određuju položaj

Zagreba i Zadra na geografskoj karti. Ako je

zrakoplov preletio udaljenost između ovih

gradova, hoće li se on spustiti u Zagreb ili Zadar?

Rješenje:Hoće li se zrakoplov spustiti u Zagreb ili Zadar

ovisi o tome koja mu je od krajnjih točaka A i

B bila početna, a koja završna točka leta. U

ovom primjeru dužinu AB moramo promatrati

kao usmjerenu dužinu i to istaknuti njezinom

oznakom.

Oznakom AB� ��

ističemo da je točka A početna,

a B završna točka. Zrakoplov će se spustiti u

Zadar.

p

A

Bhvatište vektora

pravacveličina vektora

vektorske veličine su:

pomak s

brzina v

ubrzanje a

sila F

A

B

43


Oznakom BA� ��

ističemo da je točka B početna,

a A završna točka. Zrakoplov će se spustiti u

Zagreb.

Važno

Usmjerena dužina ili vektor

Usmjerena dužina ili vektor je dužina za koju je istaknuto koja je od

njezinih krajnjih točka početna, a koja završna točka.

Primjer 2. Početna i završna točka vektora - oznaka vektoraNapiši sve vektore koje vidiš na slici.

Rješenje:Pri navođenju i pisanju oznake vektora strogo

moramo voditi računa koja mu je početna, a

koja završna točka. Na slici su redom vektori:

AB DC FE GH RP� ��

, , , i .

Pazi, vrh strelice je uvijek u završnoj

točki.

Na latinskom j eziku r ij eè vector i

znaèi vozaè, onaj koj i nosi, koj i prenosi . .

A

B

A

B

E

F

DC

H

G

R

P

1. Na pravcu p istakni dužinu KL i usmjeri je

tako da joj K bude početna, a L završna

točka. Napiši oznaku za dobiveni vektor.

2. Na pravcu a istakni dužinu AB i usmjeri je

tako da joj B bude početna, a A završna

točka. Napiši oznaku za dobiveni vektor.

3. Nacrtaj pet proizvoljnih vektora i označi ih ML DC AB PG RQ� ��

, , , i .

4. Nacrtaj dužinu AB i na njoj dvije točke C i

D. Napiši sve dužine koje su određene tim

točkama i sve vektore koji su određeni tim

točkama. Čega ima više?

Z a d a c i

5. Što je duljina vektora?

6. a) Izmjeri i zapiši duljinu svakog vektora na

slici;

b) pročitaj sa slike vektore koji imaju

duljinu 4 cm;

c) pročitaj sa slike vektore koji nemaju

duljinu 4 cm.

7. Nacrtaj trokut ∆ABC . Napiši sve vektore

kojima su početna i završna točka vrhovi

tog trokuta.

a) Koliko se vektora dobilo?

b) Izmjeri duljine tih vektora.

c) Po čemu se razlikuju tvoji vektori?

Primjer 3. Duljina vektoraa) Napiši sve vektore kojima su početna i završna

točka vrhovi raznostraničnog trokuta ∆ABC ?

b) Kolika je duljina tih vektora? Što misliš, imaju li

neki od tih vektora međusobno jednake duljine?

Rješenje:a) Vrhovi trokuta određuju šest vektora:

•vrhovi A i B su krajnje točke vektora AB BA� ��

i ;

•vrhovi A i C su krajnje točke vektora AC CA� ��

i ;

•vrhovi B i C su krajnje točke vektora BC CB� ��

i .

b) Znamo da udaljenost krajnjih točaka

dužine nazivamo duljinom te dužine.

Jednako tako, udaljenost početne i

završne točke usmjerene dužine

nazivamo duljinom te usmjerene

dužine. Stoga:

• duljina vektora AB BA� ��

i jest duljina dužine

AB , tj. AB ;

• duljina vektora AC CA� ��

i jest duljina AC ;

• duljina vektora BC CB� ��

i jest duljina BC .

Vidimo da međusobno jednaku duljinu imaju

vek tori AB BA� ��

i , vektori AC CA� ��

i i vektori

BC CB� ��

i .

Mjerenjem duljina stranica trokuta možemo

točno utvrditi duljine ovih vektora.

44

4 . 4 . V e k t o r i

duljina

vektora

Q

PA B

L

K

H

G

E

F

Z a d a c i

Konaèno nešto što

mogu izmj er i ti ravnalom!B

A

C

45


Primjer 4: Duljina vektora i fizikalne veličineKoliki je iznos brzine v, pomaka s, sile F i

ubrzanja a sa slike?

Rješenje:Iznos vektorske fizikalne veličine s naznačenom

mjernom jedinicom predočavamo duljinom

vektora. Pri tome se rabi unaprijed zadano

mjerilo. Primjerice, možemo uzeti da duljina

od 1 cm prikazuje pomak točke ili nekog tijela

za 1 km. Ili, duljina od 7 mm recimo, prikazuje

veličinu sile od 10 njutna.

U našem primjeru brzina v = ⋅ =6 5 30

ms

ms

;

pomak s = ⋅ =4 1 4 km km ;

sila F = ⋅ =6 10 60 N N i ubrzanje

a = ⋅ =5 2 10 m

s

m

s2 2 .

Čemu služi kompas?

</FOTO>

Primjer 5. Smjer i orijentacija vektoraU kojem su međusobnom položaju pravci

kojima pripadaju vektori sa slike?

Rješenje:Vektori AB

� �� i CD� ��

pripadaju istom pravcu, tj.

pravcu a, a vektor EF� ��

pripada

pravcu e koji je usporedan s

pravcem a.

Stoga, za vektore AB� ��

, CD� ��

i EF� ��

kažemo da su

istog smjera.

vektori istog

smjera

Za vektore koji leže na usporednim

pravcima (ili na istom pravcu) kažemo da

imaju jednak smjer.

Usporedni pravci

Za dva pravca u ravnini kažemo da su

usporedna ako:

- ili nemaju niti jednu zajedničku točku

- ili imaju sve zajedničke točke, tj. ako se

podudaraju.

a

e

B A C D

E F

a B A C D

e E F

p

q

a = b

Orijentacija u prostoru

Z a d a c i

Vektori istog smjera mogu imati

strelice usmjerene na istu stranu ili

na različite strane.

Pogledajmo vektore CD� ��

i EF� ��

sa

slike. To su dva vektora istog smjera i strelice

obaju vektora usmjerene su na istu stranu.

Za takva dva vektora kažemo da su jednakih

orijentacija.

Pogledajmo vektor AB� ��

na slici. Strelica mu je

usmjerena na suprotnu stranu u odnosu na

strelice vektora CD� ��

i EF� ��

. Za vektor AB� ��

kažemo

da je suprotne orijentacije u odnosu na vektore

CD� ��

i EF� ��

.

orijentacija

vektora

Samo vektorima istog smjera možemo

određivati orijentaciju.

46

4 . 4 . V e k t o r i

8. Za koje vektore kažemo da su istog smjera?

9. Pogledaj vektore na slici.

a) Jesu li vektori AS� ��

i DS� ��

istog smjera?

b) Jesu li vektori AD� ��

i BC� ��

istog smjera?

c) Jesu li vektori AB� ��

i BC� ��

istog smjera?

d) jesu li vektori AB� ��

i CD� ��

istog smjera?

10.

a) Kakvog smjera moraju biti vektori da bi uopće

mogli govoriti o njihovoj orijentaciji?

b) Kakva orijentacija može biti?

11. Svi vektori sa slike su istog smjera jer pripadaju

usporednim pravcima. Napiši koji od ovih vektori

su jednakih orijentacija.

12. Nacrtaj neki paralelogram ABCD i napiši sve

vektore kojima su početna i završna točka vrhovi

tog paralelograma.

a) Napiši sve vektore koji su istog smjera kao

vektor AB� ��

;

b) Napiši sve vektore koji imaju jednaku

orijentaciju kao vektor AB� ��

;

c) Napiši sve vektore koji su istog smjera kao

vektor AD� ��

;

d) Napiši sve vektore koji imaju jednaku

orijentaciju kao vektor AD� ��

.

13. Na slici je paralelogram ABCD i polovišta njegovih

stranica E, F, G i H.

Napiši sve vektore određene točkama A, B, C, D,

E, F, G i H koji su istog smjera kao vektor

a) AB� ��

; b) BC� ��

; c) EF� ��

; d) EH� ��

.

14. Nacrtaj paralelogram ABCD i polovišta E, F, G i H

njegovih stranica. Napiši sve vektore određene

točkama A, B, C, D, E, F, G i H koji su jednake

orijentacije kao vektor:

a) AB� ��

; b) BC� ��

; c) AC� ��

; d) CB� ��

;

e) EF� ��

; g) EH� ��

.

D

BA

S

C

D

A

B

E

F

C

G

H

R

P

A E B

F

CGD

H

15. Nacrtaj paralelogram ABCD i njegove dijagonale.

Sjecište dijagonala označi sa S. Napiši sve vektore

određene točkama A, B, C, D i S koji su jednakih

orijentacija kao vektor

a) AB� ��

; b) CD� ��

; c) AS� ��

; d) SB� ��

; e) CS� ��

; g) SD� ��

.

16. Na slici je prikazana ruža vje-

tro va. Početak vektora poka-

zuje ime vjetra koji ima na-

značeno usmjerenje. Napiši

parove vjetrova suprotnih

orijentacija.

47


Primjer 6. Jednaki vektoriNa slici je paralelogram ABCD.

a) Što je isto vektorima AD BC� ��

i ?

b) Što je isto vektorima AB CD� ��

i ? Što im je

različito?

Rješenje:a) Budući se radi o paralelogramu vektori

AD BC� ��

i imaju jednaku duljinu i istog su smjera.

Osim toga vidimo da su im strelice usmjerene na

istu stranu, pa zaključujemo da su ovi vektori i

jednakih orijentacija. Za takve vektore kažemo

da su jednaki vektori i pišemo AD BC� ��

= .

b) Također, vektori AB CD� ��

i imaju jednaku du

ljinu i istog su smjera, ali strelice ovih vektora

usmjerene su na različite strane, pa zaključujemo

da su ovi vektori suprotnih orijentacija.

Za takve vektore kažemo da

su suprotni vektori i pišemo: AB CD� ��

= −

Krajnje točke svake dužine određuju dva

suprotna vektora. Primjerice, krajnje točke

dužine CD određuju vektore CD� ��

i DC� ��

. Ovi

vektori su istog smjera, jednake duljine, ali

suprotne orijentacije. Dakle, vektori CD� ��

i DC� ��

su suprotni vektori i pišemo DC CD� ��

= − .

VažnoJednaki vektori

Za dva vektora kažemo da su jednaka ako

imaju jednaku duljinu, smjer i orijentaciju.

suprotni vektori

. . . Suprotan broj broj u 3,

p išemo - 3.

Suprotan vektor vektoru CD

� ��,

p išemo −CD� ��

Pa to j e vektor DC� ��

!

Uèil i smoda se umj esto

“suprotan” može pisati znak “- “.

Tako j e! Vektor DC

� ��

j e vektor – CD� ��

A B

D C

CD

DC = -CD

Z a d a c i

48

4 . 4 . V e k t o r i

17. Kada su dva vektora jednaka?

18. Što suprotni vektori imaju isto, a što različito?

19. Koji su vektori sa slike međusobno jednaki? Ima li

među njima suprotnih vektora?

20. Nacrtaj kvadrat ABCD. U vrhovima kvadrata

nacrtaj strelice tako da dobiješ sljedeće parove

jednakih vektora: AB DC AD BC� ��

= = i .

21. Nacrtaj neku dužinu AB . Koji su vektori određeni

krajnjim točkama dužine AB . Kakvi su ti vektori

međusobno? Zapiši to!

22. Dopuni ove jednakosti:

a) AE� ��

= - …… ; b) − =EF� ��

…….;

c) FG� ��

= - ……; d) − =CF� ��

……

23. Na slici je pravilni šesterokut ABCDEF.

a) Jesu li vektori AF� ��

i CD� ��

jednaki? Zašto?

b) Jesu li vektori AB� ��

i DE� ��

jednaki? Zašto?

c) Dopuni jednakosti AB� ��

= − …….

d) Jesu li vektori BC� ��

i EF� ��

jednaki? Zašto?

e) Dopuni jednakosti BC� ��

= − ……..

24. Na slici se nalazi pravokutnik ABCD.

Jesu li vektori:

AS BS AB DA� ��

i SC i SD i DC i C, , , BB� ��

jednaki?

25. Na slici je pravokutnik ABCD. Točke E, F, G i H su

polovišta stranica pravokutnika.

Napiši sve vektore kojima su krajnje točke vrhovi

pravokutnika ili polovišta njegovih stranica, a koji

su jednaki vektorima:

a) AE� ��

; b) EF� ��

; c) FG� ��

; d) CF� ��

.

26. Nacrtaj paralelogram ABCD.

a) Napiši sve vektore kojima su početna i završna

točka vrhovi tog paralelograma.

b) Koji su od tih vektora međusobno jednaki, a

koji suprotni?

27. Na slici je paralelogram ABCD i njegove

dijagonale.

a) Napiši sve vektore kojima je jedna od krajnjih

točaka vrh paralelograma, a druga sjecište

njegovih dijagonala.

b) Ima li među tim vektorima jednakih? Ako ima

- napiši ih.

D

A

B

E

F

C

G

H

R

P

D

A B

E

F C

D C

BA

S

BA E

H F

CD G

D C

BA

S

49


4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektoraBeni padobranac

Beni uči vještinu skakanja s padobranom.

Primjer 1. Crtanje jednakih vektora i suprotnih vektoraZadan je vektor AB

� �� i jedna, bilo koja točka T.

a) Nacrtaj vektor TT '� ��

koji je jednak vektoru AB� ��

;

b) Nacrtaj vektor TT ''� ��

koji je suprotan

vek to ru AB� ��

.

Rješenje:a) Na slici je zadani vektor AB

� �� i neka točka T u

ravnini. Trebamo nacrtati vektor TT '� ��

tako da

bude jednak vektoru AB� ��

.

Gdje će Beni sletjeti?

U prethodnoj temi smo na-

učili razlikovati dužinu i ve-

ktor, označavati vektore,

određivati njihovu duljinu,

prepoznati vektore istog

smje ra i zaključiti jesu li

takvi vektori jednakih ili su-

protnih orijentacija. Ta ko-

đer, naučili smo koja svoj-

stva moraju imati vektori

da bi oni bili jednaki. U

ovom poglavlju naučit ćemo

zbrajati i oduzimati vektore,

a za to nam je vrlo važno

znati crtati međusobno jed-

nake vektore.

1. Točkom T nacrtamo pravac t usporedan s

pravcem AB.

sl. 1.

2. U šestar uzmemo duljinu vektora AB� ��

. Iz

točke T nacrtamo kružni luk tako da presiječe

pravac t i to s one strane ravnine prema kojoj je

usmjeren vektor AB� ��

.

3. Sjecište kružnog luka i pravca t je završna

točka vektora TT '� ��

.

sl.3

Vektor TT '� ��

= AB� ��

jer ima jednaku duljinu,

isti smjer i jednaku orijentaciju kao zadani

vektor AB� ��

.

Koliko jednakih vektora možemo nacrtati u istoj

ravnini? Pri crtanju vektora jednakog vektoru

AB� ��

sasvim proizvoljno smo odabrali početnu

točku T. Dakle, mogli smo je odabrati bilo gdje

u ravnini. Stoga, možemo nacrtati beskonačno

puno vektora jednakih zadanom vektoru AB� ��

.

b) Sada želimo nacrtati vektor TT ''� ��

koji je

suprotan vektoru AB� ��

. Budući su suprotni

vektori također jednake duljine i istog smjera,

postupamo isto kao pri crtanju jednakih vektora.

Međutim, kako suprotni vektori imaju suprotnu

orijentaciju, pravac t presiječemo s druge

strane ravnine, tako da vektori budu suprotno

orijentirani.

Vektor TT ''� ��

ima jednaku duljinu i isti smjer

kao zadani vektor AB� ��

, ali suprotnu orijentaciju,

pa vrijedi TT AB'� ��

= − . Točka T je proizvoljno

odabrana, pa smo mogli bilo gdje u ravnini

nacrtati vektor suprotan zadanom vektoru AB� ��

.

50

4 . 5 . Z b r a j a n j e i o d u z i m a n j e v e k t o r a

sl.2

A

B

T

t

B

A

T

T’

T

A

B

t

A

B

T’

T

t

T’

T

A

B

t

Z a d a c i

51


1. Nacrtaj neki svoj vektor AB� ��

i točku koja ne

pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj vektor

jednak vektoru AB� ��

.

2. Nacrtaj nekoliko jednakih vektora koji pripadaju

istom pravcu.

3. Nacrtaj neki svoj vektor MN� ��

i točku koja ne

pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj vektor

suprotan vektoru MN� ��

.

4. Nacrtaj nekoliko suprotnih vektora koji pripadaju

istom pravcu.

5. Nacrtaj vektore MN MQ� ��

i tako da ne pripadaju

istom pravcu. Pogledaj sliku.

Nacrtajte vektor kojemu je N početna točka

i koji je jednak vektoru MQ� ��

. Zatim nacrtajte

vektor kojemu je Q početna točka i koji je

jednak vektoru MN� ��

. Neka vektori imaju duljinu

naznačenu na slici, a kut QMN odaberi po volji.

a) Kako se zove četverokut kojeg ste dobili?

b) Vektorima MN� ��

i MQ� ��

promijeni duljine. Hoćeš

li ponovno dobiti istu vrstu četverokuta?

c) Što možeš zaključiti?

6. Zadan je neki vektor AB� ��

duljine 3 cm. Odaberi

proizvoljno tri točke C, D i E . Nacrtaj tri vektora

jednaka vektoru AB� ��

tako da svakom od njih

početna točka bude jedna od ove tri točke.

Primjer 2. Zbrajanje vektora po pravilu trokuta Nacrtaj dva proizvoljna vektora MN PQ

� �� i , te

neku točku T.

a) Nacrtaj vektor jednak vektoru MN� ��

. Neka mu

T bude početna točka, a završnu označi s T ’.

b) Nacrtaj vektor jednak vektoru PQ� ��

. Neka mu T ’

bude početna točka (to je završna točka vektora TT '� ��

), a završnu označi s T”.

Rješenje:Nacrtajmo vektore MN PQ

� �� , i točku T.

Postupak crtanja jednakih vektora nećemo

više opisivati jer smo ga naučili u prethodnom

primjeru.

zbrajanje

vektora

NM

Q

3 cm

5 cm

C

A

B

D

E

M

N

P Q

T

52


a) Najprije nacrtamo vektor TT '� ��

jednak vektoru

MN� ��

s početkom u točki T ;

sl a.

b) Zatim nacrtamo vektor T T' ''� ��

jednak vektoru

PQ� ��

s početkom u točki T ’.

sl. b

Zamislimo da je točka T ” nastala pomicanjem

točke T u ravnini i to, prvo duž vektora TT '� ��

, a

nakon toga još duž vektora T T' ''� ��

. Ako točku

T ” promatramo na taj način onda smo točku T ”

mogli dobiti izravnim pomicanjem točke T duž

vektora TT ''� ��

. Pogledajte sliku.

Sada ponovno pogledajmo vektore TT '� ��

i T T' ''� ��

. Primijetimo da je završna točka prvog jednaka

početnoj točki drugog vektora. Za vektore s

ovim svojstvom kažemo da su nadovezani

vektori. Vektor TT ''� ��

kojemu je početna točka

početak vektora TT '� ��

, a završna točka završetak

vektora T T' ''� ��

zove se zbroj vektora TT '� ��

i T T' ''� ��

i pišemo TT T T TT' ' '' ''� ��

+ = . Vektor TT ''� ��

jeste zbroj vektora MN PQ� ��

i jer je TT MN T T PQ' ' ''� ��

= = i , pa možemo pisati MN PQ TT� ��

+ = '' .

Način zbrajanja pomoću nadovezanih

vektora zove se pravilo trokuta.

molim?

Ja sam nauèio zbraj ati po pravilu trokuta! I znam

što j e bolj e.

Hoæu izravn i let Spli t - Zagreb! A ne: Spli t - Dubrovn ik, pa

Dubrovn ik - Zagreb!

M

N

P Q

T

T’

M

N

P Q

T

T’ T’’

M

N

P Q

T

T’ T’’

AAB B

BC

AC

CACBCAB + =

Z a d a c i7. Precrtaj u bilježnicu pa na svakoj slici odredi

vektor koji je zbroj istaknutih vektora.

8. Precrtaj u bilježnicu pa na svakom crtežu odredi

vektor AB BC� ��

+ .

9. Vektor MN� ��

ima duljinu 3 cm, a duljina vektora PQ� ��

dva puta je veća. Nacrtaj ove vektore tako

da nemaju isti smjer, a zatim odredi vektor MN� ��

+ PQ� ��

.

10. Na slici su prikazane tri sile. Jedna od njih je

rezultanta drugih dviju sila. Koja?

11. Nacrtaj paralelogram ABCD i njegove

dijagonale. Označi sjecište dijagonala sa S.

Koristeći sliku napiši zbrojeve ovih vektora:

a) + =

AS SB b) + =

AD DC

c) + =

BS SD d) + =

BD DC

12. Pogledaj sliku pravilnog šesterokuta i napiši

zbrojeve ovih vektora:

a) + =

AS SC b) + =

AD DC

c) + =

AS BC d) + =

AF SD

e) + =

ES FA f) + =

SF SD

13. Na karti su prikazani letovi

koji povezuju Pariz, Dover i

London. Ispiši sve zbrojeve

vektora koje vidiš na toj slici.

Umjesto imena gradova stavi

točke L, D i P.

53


A

B C

D

F

E

J

K

N

OM

G

H I

L

a) b) c)

d) e)

a) b)

c) d)

A

B C

A

B

C

A B

C AB

C

D

D

a) b)

c) d) e)

A B

C

F1

F2

F3

F1

F2F3

F1

F2

F3

F1

F2F3

F1

F2

F3

E

B

D

H

G

I

J

K LJ L

K

D

S

A B

E

F C

54

Primjer 3. Zbrajanje vektora po pravilu paralelogramaNa tijelo djeluju sile F1

�� i F2

� �� kao što je

prikazano na slici. Grafički prikaži rezultantnu

silu.

Rješenje:Nacrtamo vektor F2 '

� �� jednak vektoru sile F2

� ��

tako da mu je početna točka u završetku

vektora sile

1F .

Prema pravilu trokuta vektor F��

= F1��

+ F2 '� ��

.

Kako je F2 '� ��

= F2

� �� onda je F

�� rezultantna sila.

14. Precrtaj u bilježnicu pa grafički prikaži

rezultantnu silu.15. Sila F1

�� = 3 N, a sila F2

� �� = 5 N. Grafički odredi

rezultantnu silu ako pravci tih sila zatvaraju kut

od:

a) 120°; b) 30°; c) 90°; d) 0°.

Prije toga odaberi mjerilo, na primjer duljini

vektora od 1 cm neka odgovara iznos sile

od 1 N.

16. Na osnovu rezultata iz prethodnog zadatka

za zbroj sila F1��

i F2

� �� zaključi ovisi li taj zbroj

o kutu pod kojim djeluju te sile. Ako ovisi,

odgovori kako ovisi?


Vektori s istom početnom točkom

U prethodnom zadatku vektori F1��

i F2

� �� imaju

istu početnu točku. Nacrtali smo vektor F2 '� ��

jednak vektoru F2

� �� tako da počinje u završetku

vektora F1��

. Na taj način smo dobili dva

nadovezana vektora i prema pravilu trokuta

zbroj vektora F1��

i F2

� �� je vektor F

��. No, uočimo

da se slika iz prethodnog zadatka može lako

nadopuniti do paralelograma.

Samo povučemo dužinu usporednu s F1��

iz

završne točke vektora F2

� ��. Zato ovakav

način zbrajanja

vektora zovemo

zbrajanje po pravilu

paralelograma.

F1 F’2

LF

F2

K

F1

F2 F1

F2

F1

F2

F1

F2

M

T

A1

W

a) b)

c) d)

K

F1

F2

F’2

1.

K

F1

F2

2. F1 F’2

F2

KL

F

55


Primjer 4. Zbrajanje vektora istog smjeraZbrojimo dva vektori istog smjera i

a) jednakih orijentacija;

b) suprotnih orijentacija.

Rješenje:a) Neka su zadani vektori MN AB

� �� i istog smjera

i jednakih orijentacija.

Nacrtajmo vektor BC� ��


s

početkom u točki B.

Vektori AB� ��

i BC� ��

su nadovezani vektori, pa

prema pravilu trokuta njihov zbroj je vektor AC� ��

.

Primijetimo da vektori AB� ��

, BC� ��

i AC� ��

pripadaju

istom pravcu i da je vektor AC� ��

zbroj vektora

MN AB� ��

i jer je BC MN� ��

= .

b) Neka su zadani vektori MN AB� ��

i istog smjera

i suprotnih orijentacija.

Nacrtajmo vektor BC� ��


s

početkom u točki B.


i BC� ��

su nadovezani vektori, pa prema

pravilu trokuta njihov zbroj je vektor AC� ��

.

Primijetimo da vektori AB� ��

, BC� ��

i AC� ��

pripadaju

istom pravcu i da je vektor AC� ��

zbroj vektora

MN AB� ��

i jer je BC MN� ��

= .

Što bi bio zbroj vektora MN AB� ��

i da je vektor

MN AB� ��

= ?

Primjer 5. Nul-vektorNa pravcu p istakni jednu točku, primjerice

A. Napiši vektor kojemu je točka A početna i

završna točka.

Rješenje:Kako je A i početna i završna točka onda je to

vektor AA� ��

.

Vektor kojemu se početna i završna točka

poklapaju nazivamo nulvektor i označavamo

ga s 0��

. U našem primjeru vektor AA� ��

= 0��

.

Kolika je duljina nul-vektora?

Znamo da je duljina vektora udaljenost njegove

početne i završne točke. Jasno da je duljina

nul-vektora jednaka 0.

M

N

A

B

M

N

A

B

C

M

N

A

B

C

AB+BC=AC

M

N

A

B

M

N

A

B

C

M

N

AB+BC=AC

A

B

C

Z a d a c i

Primjer 6. Zbroj suprotnih vektoraNacrtaj dva suprotna vektora i odredi njihov

zbroj.

Rješenje:Vektori AB BA

� �� i suprotni su vektori.

Zbrajamo li dva suprotna vektora, nakon

nadovezivanja, završna točka drugog vektora

podudarit će se s početnom točkom prvog

vektora. Dakle, vektor koji je zbroj suprotnih

vektora imat će početak i kraj u istoj točki.

Sjetimo se čestog primjera iz fizike: na neko

tijelo djeluju dvije sile jednake po iznosu i istog

smjera, ali suprotnih orijentacija.

Rezultanta tih sila jednaka je nuli.

AB BA AA� ��

+ = = 0

Zbroj dva suprotna vektora jednak je nul

vektoru.

56


17. Luka vuče konopac na jednu stranu silom od

250, a Matija na drugu stranu silom od

a) 200 N; b) 250 N.

Izračunaj napamet rezultantnu silu i prikaži

je grafički. Uzmi da duljini vektora od 10 cm

odgovara iznos sile od 200 N.

18. Nacrtaj paralelogram i sjecište S njegovih

dijagonala. Odredi sljedeće vektore:

a) AS SC� ��

+ ; b) AS SB� ��

+ ; c) SA SC� ��

+ ;

d) SB BD� ��

+ ; e) SB BC��

+ ; f) AD DB� ��

+ .

19. Izračunaj:

a) AC CA� ��

+ ; b) MN NM� ��

+ ;

c) PQ QP� ��

+ ; d) KL LK� ��

+ .

20. Nacrtaj nekoliko parova suprotnih vektora na

način prikazan na slici.

oduzimanje

vektora

U šestom razredu smo naučili da svako oduzimanje brojeva možemo prikazati

kao zbrajanje sa suprotnim brojem. Podsjetimo se.3 – 2 = 3 + (–2) = ?

34

54

34

54

− = + −

= ?

7.3 – 6.5 = 7.3 + (–6.5) = ?

Kod oduzimanja vektora razmišljamo na sličan način. Pogledajmo sljedeći primjer.

A

A

B

A

B

B1

F2 F1

200 N 200 N

57


Primjer 7. Oduzimanje vektoraZadanim vektorima AB

� �� i BC� ��

odredi:

a) njihov zbroj AB BC� ��

+ ;

b) njihovu razliku AB BC� ��

− .

a) Neka su zadani vektori AB� ��

i BC� ��

kao na slici.


i BC� ��

su nadovezani vektori. Njihov

zbroj, prema pravilu trokuta, je vektor AC� ��

.

b) A sada pogledajmo kako ćemo od vektora AB� ��

oduzeti vektor BC� ��

. U završnoj točki vektora AB� ��

nadovežemo vektor koji je suprotan vektoru BC� ��

kao na slici. To je vektor BC1

� �� , naime BC BC1

� �� = − .

Na slici vidimo da je AB BC AC� ��

+ =1 1 . Ako

umjesto BC1

� �� zapišemo −BC

� ��, dobijemo da je

AB BC AC� ��

+ − =( ) 1 ili, kraće AB BC AC� ��

− = 1

Oduzeti od vektora AB� ��

vektor BC� ��

znači

isto što i vektoru AB� ��

dodati vektor suprotan

vektoru BC� ��

, tj. AB BC AB BC� ��

− = + −( ) .

Primjer 8. Razlika vektora

Nacrtaj dva proizvoljna vektora MN PQ� ��

i i odredi

razliku MN PQ� ��

− .

Rješenje:Nacrtajmo vektore MN PQ

� �� , i neku (bilo koju)

točku T;

a) Iz točke T nacrtajmo vektor TT '� ��

jednak

vektoru MN� ��

;

sl a.

b) Zatim iz točke T’ nacrtamo vektor T T' ''� ��

koji

je suprotan vektor vektoru PQ� ��

, tj.

T T' ''� ��

= - PQ� ��

.

sl. b

Prema pravilu trokuta TT T T TT' ' '' ''� ��

+ = . Vektor

TT ''� ��

je razlika vektora MN PQ� ��

i jer je

TT MN T T PQ' ' ''� ��

= = − i , pa možemo pisati

MN PQ TT� ��

− = '' .

AB+BC

A

C

B A B

C

MT

N

P Q

BA

C

C1

BA

C

C1

AB-BC

MT

N

P Q

T’

MT

N

P Q

T’T’’

Z a d a c i

58


21. Precrtaj u bilježnicu pa na svakom crtežu odredi

vektor AB BC� ��

− .

22. Precrtaj u bilježnicu pa odredi naznačene razlike

vektora na slici.

23. Nacrtaj bilo koja dva vektora AB CD� ��

i i nacrtaj

vektor AB CD� ��

− .

24. Nacrtaj bilo koja dva vektore MN KL� ��

i i nacrtaj

a) vektor MN KL� ��

− ;

b) vektor KL MN� ��

− .

25. Skiciraj trokut ∆ABC i odredi koji je vektor

razlika vektora

a) BC AC� ��

− ;

b) CA BA� ��

− ;

c) AB CB� ��

− ?

26. Konstruiraj jednakostraničan trokut kojem je

stranica dugačka 3 cm. Simetralama dužina

odredi polovište svake stranice.

Odredi razlike vektora:

a) AT BT� ��

− ; b) AE BE� ��

− ;

c) BD CD� ��

− ; d) CF AF� ��

− ;

e) BT CT� ��

− ; f) CT AT� ��

− .

a) b)

A

B C

A

B

C

a) AB-BCA

B Cb) LJ - JK

J

LK

MN-OMc)

N

M

O

d)HI - IG

G

H

I

c) d)

A B

C AB

C

D

D

A

F

TED

B C

59

P r e s l i k a v a n j a r a v n i n eP r e s l i k a v a n j a r a v n i n e

1. Na pravcu p istakni dužinu AB i usmjeri je tako

da joj B bude početna, a A završna točka. Napiši

oznaku za dobiveni vektor.

2. Na pravcu a istakni dužinu LM i usmjeri je tako

da joj L bude početna, a M završna točka. Napiši

oznaku za dobiveni vektor.

3. Nacrtaj četverokut ABCD. Napiši sve vektore

kojima su početna i završna točka vrhovi tog

četverokuta. Izmjeri duljine tih vektora.

4. Nacrtaj peterokut ABCDE. Napiši sve vektore

kojima su početna i završna točka vrhovi tog

peterokuta. Izmjeri duljine tih vektora.

5. Nacrtaj neki paralelogram ABCD i napiši sve

vektore kojima su početna i završna točka

vrhovi tog paralelograma.

a) Napiši sve vektore koji su istog smjera kao

vektor

BA ;

b) Napiši sve vektore koji imaju jednaku

orijentaciju kao vektor

DA ;

c) Napiši sve vektore koji su istog smjera kao

vektor

BC ;

d) Napiši sve vektore koji imaju jednaku

orijentaciju kao vektor

CD .

6. Nacrtaj paralelogram ABCD i polovišta E, F, G i

H njegovih stranica

Napiši sve vektore određene točkama A, B, C, D,

E, F, G i H koji su istog smjera kao vektor

a)

AD ;

b)

CD ;

c)

FG ;

d)

HE .

7. Nacrtaj paralelogram ABCD i polovišta E, F,

G i H njegovih stranica. Napiši sve vektore

određene točkama A, B, C, D, E, F, G i H koji su

jednake orijentacije kao vektor

a)

CD ; b)

AB ; c)

CA ;

d)

EH ; e)

HG ; f)

CG .

8. Nacrtaj paralelogram ABCD i njegove

dijagonale. Sjecište dijagonala označi sa S.

Napiši sve vektore određene točkama A, B, C, D

i S koji su istog smjera kao vektor

a)

BC ; b)

DA ; c)

CS ;

d)

AS ; e)

BS ; f)

BD .

9. Nacrtaj pravilni šesterokut ABCDEF i njegove

dulje dijagonale. Sjecište dijagonala označi

sa S. Napiši sve vektore određene vrhovima

šesterokuta i točkom S koji su jednakih

orijentacija kao vektor

a)

BC ; b)

DA ; c)

CS ;

d)

AS ; e)

BS ; f)

SE .




šesterokuta i točkom S koji su istog smjera kao

vektor

a)

FE ; b)

FC ; c)

DE ;

d)

AS ; e) FS

; f)

ES .

11. Napiši sve vektore kojima su krajnje točke

vrhovi pravokutnika ABCD ili polovišta njegovih

stranica E, F, G, H, a koji su jednaki vektorima:

a)

FE ; b)

AH ;

c)

DG ; d)

GD

Vježbalica

60





šesterokuta i točkom S koji su jednaki kao

vektor

a)

BC ; b)

DA ; c)

CS ;

d)

AS ; e)

BS ; f)

SE .

13. Nacrtaj pravilni šesterokut ABCDEF.

a) Napiši sve vektore kojima su početna i

završna točka vrhovi tog šesterokuta i leže na

stranicama tog šesterokuta.

b) Koji su od tih vektora međusobno jednaki, a

koji suprotni?

14. Nacrtaj neki svoj vektor

CD i točku K koja

ne pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj

vektor jednak vektoru

CD .


MN i točku P koja


vektor suprotan vektoru

MN s početkom u

točki P.


AB i točku S koja ne

pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj

vektor jednak vektoru

AB s početkom u

točki S.


CD i točku E koja


vektor suprotan vektoru

CD s početkom u

točki E.

18. Precrtaj vektore u bilježnicu i odredi:

a) njihov zbroj;

b) njihovu razliku:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

61


61

19. Nacrtaj bilo koja dva vektore

i AN EF i nacrtaj

a) vektor +AN EF

;

b) vektor −

EF AN .


i MG RL i nacrtaj

a) vektor MG RL−

;

b) vektor +

RL MG .


i AB CD i nacrtaj

a) vektor +

CD AB ;

b) vektor −

AB CD .


i DS GH i nacrtaj

a) vektor DS GH−

;

b) vektor +

GH DS .

23. Nacrtaj dva vektora

a i

b koji nisu istog smjera

i odredi:

a) +

a b ; b) −

a b ; c) −

b a .


a i

b koji jesu istog smjera

i odredi:

a) +

a b ; b) −

a b ; c) −

b a .


a i

b koji su iste

orijentacije i odredi:

a) +

a b ; b) −

a b ; c) −

b a .

26. Vektor

MN ima duljinu 2 cm, a duljina vektora

PQ dva puta je veća. Nacrtaj ove vektore tako

da nemaju isti smjer, a zatim odredi vektor

MN

+

PQ .

27. Vektor

MN ima duljinu 1.5 cm, a duljina

vektora

PQ tri puta je veća. Nacrtaj ove

vektore tako da imaju isti smjer, a zatim odredi

vektor

MN +

PQ .

28. Vektor


vektora

PQ za dva cm je veća. Nacrtaj ove

vektore tako da nemaju isti smjer, a zatim

odredi vektor

MN +

PQ .

29. Vektor


vektora

PQ dva puta je manja. Nacrtaj ove

vektore tako da nemaju isti smjer, a zatim

odredi vektor

MN +

PQ .

30. Vektor


vektora

PQ tri puta je manja. Nacrtaj ove

vektore tako da imaju isti smjer, a zatim odredi

vektor

MN +

PQ .

31. Nacrtaj pravokutnik ABCD sjecište S njegovih

dijagonala. Odredi sljedeće vektore:

a) +

AB BC ; b) +

AS DS ; c) −

SA CD ;

d) +

SB AD ; e) −

DC CB ; f) −

BC BD .

32. Konstruiraj jednakostraničan trokut ABC kojem

je stranica dugačka 4 cm. Simetralama dužina

odredi polovište svake stranice D, E, F. Sa T

označi težište trokuta.

Odredi vektore:

a) +

AT TD ; b) −

AF BF ;

c) +

BD DC ; d) −

CF AF .

33. Nacrtaj pravilni šesterokut ABCDEF. Sjecište

dijagonala označi sa S. Odredi sljedeće vektore:

a) +

FS SD ; b) −

AF SF ;

c) +

BC SE ; d) −

CF DS ;

e) +

AF SC ; f) −

ES AF ;

g) BC BS+

; h) −

CF BA ;

i) +

AB AS ; j) −

SC ES ;

k) +

BS CD ; l) −

CS AF ;

m) +

BS ED ; n) −

ES SA .

62

4 . 6 . T r a n s l a c i j a

Primjer 1. Translacija točaka Istaknimo u istoj ravnini još jednu točku, primjerice točku T, pa iz točke T nacrtajmo vektor koji je

jednak vektoru AB� ��

. Jednake vektore znamo crtati, pogledajte ove tri sličice.

Dobili smo vektor TT '� ��

= AB� ��

. Točke A i T su napravile isti pomak duž

usporednih pravaca p i t. Zato i kažemo da smo točku T usporedno

pomaknuli ili translatirali za vektor AB� ��

i dobili točku T’. Primijetimo

da je vektorom AB� ��

određeno točno kamo i koliko daleko će se točka T

pomaknuti u ravnini. Za točku T’ kažemo da je slika točke T pri translaciji

za vektor AB� ��

.

Translacija za vektor AB� ��

Translacija ili usporedni pomak za vektor AB� ��

je preslikavanje koje svakoj

točki T ravnine pridružuje točku T’ te iste ravnine, takvu da je TT '� ��

= AB� ��

.

A

Bp

T

T’

t

A

Bp

T

t

A

Bp

T

T’

t(1) (2) (3)

jednaki vektori:

• pripadaju usporednim

pravcima (istog su

smjera)

• jednakih su orijentacija

4.6. Translacija Premjesti ribicu

Maja želi istu ovakvu ribicu preslikati na drugo mjesto na papiru.

Slika ribice iz uvodnog zadatka lako se dobije ako otkrijete u kojem

smjeru i koliko daleko ju je Maja pomaknula. U ovoj temi ćemo upravo

naučiti takvo preslikavanje točaka ravnine koje se zove usporedni

pomak ili translacija. Već možemo naslutiti da postoji veza između

ovog preslikavanja točaka ravnine i vektora.

Pogledajmo vektor AB� ��

koji pripada pravcu

p. Za točku B možemo reći da je nastala

pomicanjem točke A duž pravca p.

translacija = prijenos, usporedni pomak

translatirati = prenijeti, premjestiti

A

B

pDovrši preslikavanje

63


Primjer 2. Translacija dužineNacrtaj neku dužinu EF i neki vektor MN

� ��.

Odredi sliku dužine EF pri translaciji za vektor MN� ��

.

Rješenje:Znamo da dužina ima beskonačno mnogo

točaka. Vidjet ćemo da je dovoljno naći slike

krajnjih točaka dužine.

(1) Iz krajnjih točaka dužine nacrtamo vektore

jednake vektoru MN� ��

. Krajnje točke se

preslikavaju u točke E’ i F’.

(2) Nacrtamo dužinu E F' ' .

(3) Ako odaberemo po volji još nekoliko točaka

dužine EF i translatiramo ih za vektor MN� ��

njihove slike pripadat će dužini E F' ' . Pa mo-

žemo zaključiti da je dužina E F' ' slika dužine

EF , tj. da pri translaciji dužine opet nastaje

dužina.

Primijetimo da je pri translaciji dužine EF nastao

paralelogram EE’F’F, pa su dužine EF i E F' '

sukladne i usporedne.

Ovo je vrlo važno

svojstvo translacije.

Translacijom ravnine za zadani vektor

dužina se preslikava opet u dužinu koja joj

je sukladna, a uz to i usporedna.

EF E F= ' ' i EF E F' '

Primjer 3. Translacija pravcaNacrtaj neki pravac a i neki vektor PQ

� ��. Odredi

sliku pravca a pri translaciji za zadani vektor.

Rješenje:Znamo da je svaki pravac određen dvjema

različitim točkama. Stoga, na pravcu a

odaberemo po volji dvije točke, primjerice A i B,

pa ih translatiramo za vektor PQ� ��

.

(1)

(2)

M

N

M

N

E F

E’ F’

E F

E’ F’

(3)

M

N

E F

E’ F’

P

Q(1)

aA B

P

Q

aA B

A’ B’

(2)

(3)

P

Q

aA B

A’ B’a’

Z a d a c i

Translacijom ravnine za zadani vektor pravac se preslikava u pravac koji mu je usporedan.

64

4 . 6 . T r a n s l a c i j a

1. Nacrtaj nekoliko točaka i neki vektor MN� ��

. Odredi

slike tih točaka pri translaciji ravnine za vektor

MN� ��

.

2. Nacrtaj dužinu AB duljine 4 cm i neki vektor

MN� ��

. Odredi sliku A B' ' dužine AB pri translaciji

za vektor MN� ��

.

a) Provjeri mjerenjem je li A B AB' ' = = 4 cm;

b) Odredi sliku P’ polovišta P dužine translacijom


. Provjeri je li P’ polovište dužine

A B' ' .

3. Nacrtaj pravac a i neki vektor MN� ��

. Odredi sliku

p’ pravca p pri translaciji ravnine za vektor MN� ��

.

4. Nacrtaj pravac p i istakni na njemu tri točke A, B

i C. Odredi sliku točke B pri translaciji za vektor

AC� ��

.

5. Nacrtaj vektor AB� ��

i točke D, E i F. Translatiraj te

točke za zadani vektor.


u smjeru jug-sjever, duljine 3

cm i točke K, L i M. Translatiraj te točke za zadani

vektor.


u smjeru istok-zapad, duljine

26 mm i točke P, R i S. Translatiraj te točke za

zadani vektor.

Primjer 4. Translacija trokutaKako bismo translatirali neki trokut za zadani

vektor?

Rješenje:Nacrtajmo trokut ∆ABC i neki vektor MN

� ��. Dovoljno

je vrhove trokuta translatirati za zadani vektor.

Naime, translacijom za vektor MN� ��

točkama A,

B i C pridružene su redom točke A’, B’ i C’ koje

određuju trokut ∆A’ B’ C’ .

Kako je AB A B BC B C AC A C= = =' ' , ' ' ' ' i ,

trokut ∆ ≅ ∆ABC A B C' ' ' po poučku o sukladnosti

trokuta stranica-stranica-stranica.

Pri translaciji ravnine svakom trokutu se

pridružuje sukladan trokut.

Točkama A’ i B’ (koje su slike točaka A i B)

nacrtamo pravac a’. Kažemo da translacija za

vektor PQ� ��

pravcu a pridružuje pravac a’. Pravac

a’ je slika pravca a.

Kao što vidimo točke A, B, A’ i B’

vrhovi su paralelograma ABB A' ' , pa

zaključujemo da su pravac a i njegova

slika a’ međusobno usporedni pravci.

a a'

M N

A

B

C

B’

A’

C’

Z a d a c i

65


Primjer 5. Translacija kružniceTranslatiraj kružnicu k S( , )2 cm za vektor MN

� ��.

Rješenje:Dovoljno je translatirati središte S kružnice.

Točka S’ je slika središta S.

Nakon toga konstruiramo kružnicu k S'( ', )2 c m .

8. Nacrtaj dva pravca koja se sijeku u točki S i točku

A koja ne pripada nijednom od ta dva pravca.

Odredi slike tih pravaca translacijom za vektor

SA� ��

.

9. Nacrtaj tri koncentrične kružnice i neki vektor

AB� ��

. Odredi slike tih kružnica pri translaciji za

vektor AB� ��

.

10. Konstruiraj kvadrat duljine stranice 3.5 cm.

Translatiraj taj kvadrat za vektor AS� ��

. Točka S je

središte kvadrata.

11. Translatiraj dužinu, trokut i kružnicu sa ove slike


.

12. Konstruiraj trokut ∆ABC kojemu je zadana

duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz

nju: a = 3 cm, β = 45°, γ = 60°. Odredi sliku

trokuta ∆ABC pri translaciji za vektor AC� ��

.

13. Konstruiraj jednakostraničan trokut duljine

stranice 3 cm, te središte S trokutu opisane

kružnice. Odredi sliku tog trokuta pri translaciji

za vektor AS� ��

.

14. Konstruiraj jednakokračan trokut kojemu je

zadana duljina osnovice a = 6.5 cm i kuta

nasuprot njoj α = 120°, te istakni točku D van tog

trokuta. Odredi sliku tog trokuta pri translaciji za

vektor:

a) AD� ��

; b) DC� ��

; c) BD� ��

.


duljina hipotenuze i jednog šiljastog kuta:

c = 6.5 cm, β = 60°. Odredi sliku tog trokuta pri

translaciji za vektor AB� ��

.

M

N

S

S’

M

N

S

S’

M

N S

A

B

C


u smjeru zapad-istok,

duljine 16 mm i dvije spojene dužine MN� ��

i NR .

Translatiraj te dužine za zadani vektor. Promotri

nacrtane dužine. Što primjećuješ?

17. Nacrtaj neki vektor AB� ��

i dvije usporedne dužine

MN i NR , jednakih duljina. Translatiraj te dužine

za zadani vektor. Promotri nacrtane dužine. Što

primjećuješ?

18. Nacrtaj neki vektor AB� ��

i dvije dužine MN� ��

i TR koje se sijeku. Translatiraj te dužine za

zadani vektor. Promotri nacrtane dužine. Što

primjećuješ?

19. Nacrtaj dva pravca koji se sijeku i vektor MN� ��

izvan njih. Translatiraj oba pravca za taj vektor.

Pogledaj dobivene pravce. Sijeku li se njihove

slike?

20. Nacrtaj dva usporedna pravca i vektor MN� ��

izvan njih. Translatiraj oba pravca za taj

vektor. Pogledaj dobivene pravce. U kakvom su

međusobnom položaju? U kakvom su položaju

prema početnim pravcima?

21. Konstruiraj jednakokračan trokut DABC kojemu

je osnovica duljine 5 cm, a kraci duljine 4 cm.

Translatiraj ga za vektor BC� ��

.

22. Nacrtaj sličan lik u bilježnicu pa preslikaj ovaj crtež

tako da ga translatiraš za vektor NO� ��

.

23. Nacrtaj sličan lik u bilježnicu pa translatiraj kuću za

vektor AB� ��

.

24. Nacrtaj neki osmerokut (kao na slici) u bilježnicu

pa ga translatiraj za vektor A8A

3

25. Nacrtaj ovakav trapez i točku D’ u bilježnicu. Odredi

vektor translacije i dovrši preslikavanje trapeza.

26. Nacrtaj dvije sukladne kružnice. Odredi vektor

translacije pri kojoj je jedna kružnica slika druge

kružnice.

27. Precrtaj ovu sliku u bilježnicu. Četverokut A’B’C’D’

je slika četverokuta ABCD pri translaciji ravnine


. No, izbrisao se i vektor translacije

i još neki vrhovi četverokuta i njegove slike. Otkrij

vektor translacije i vrhove koji nedostaju.

66

4 . 6 . T r a n s l a c i j a

A1A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

D

D’

C

A B

C

B

D’

A’

C’

67


Translacija točaka u koordinatnoj ravnini

U koordinatnoj ravnini su nacrtani vrhovi A(2, 4), B(6, 3) i C(5,6) trokuta. Pogledajmo na slici

gdje se nalaze njihove slike nakon translacije za vektor OE� ��

.

Početna točka vektora OE� ��

je u koordinatnom ishodištu, a završna ima koordinate (4,-4). Slika

točke A(2,4) je točka A’(6,0). Vidimo da se prva koordinata povećala za 4, a druga za -4. Na isti

način su se promijenile koordinate točaka B i C.

28. Nacrtaj u koordinatnoj ravnini točke A(2, 3),

B(-5, 5), C(1, -1) i D(-2, 4). Translatiraj zadane

točke za vektor OC� ��

. Točka O je ishodište.

Očitaj i zapiši koordinate translatiranih točaka.

29. Nacrtaj u koordinatnoj ravnini točke V(-6, 1),

L(5, -2), A(-4, -4), T(-3, 3), K(0, -2),

I(2, 3) i C(-1, 4). Translatiraj zadane točke

za vektor OL� ��

. Očitaj i zapiši koordinate

translatiranih točaka.

30. Vrhovi trokuta imaju koordinate: A(5,-1), B(2,-

4) i C(6,-4). Odredi sliku ovog trokuta pri

translaciji za vektor kojemu je početna točka

koordinatno ishodište, a završna točka L(-2,3).

Izračunaj površinu i opseg trokuta ∆ABC prije

translacije i nakon translacije. Što zaključuješ?

31. Točka A’ je slika točke A pri translaciji. Izračunaj

duljinu vektora translacije.

32. Konstruiraj pravilan šesterokut ABCDEF sa

stranicom duljine 33 mm. Označi njegovo

središte sa S, najprije ga translatiraj za vektor

AB pa zatim za vektor

BC . Jesi li zadatak

mogao jednostavnije riješiti? Objasni kako?

33. Konstruiraj pravilan šesterokut ABCDEF sa

stranicom duljine 33 mm. Označi njegovo

središte sa S pa ga translatiraj za vektor

AS .

Z a d a c i :

B (6, 2)

(2, 4) A

C (5, 6)

C’ (9, 2)

B’ (10, -2)

A’(9, 2)

E (4, -4)

O

6

4

2

00

-2

-2

-4

42 6 8 10

4

2

0

0-2 42 6

A’

A

68

4 . 6 . T r a n s l a c i j a

Primjer 6. Kompozicija preslikavanjaOdredi sliku trokuta ∆ABC pri rotaciji oko točke

S za 120°, a zatim njegovu sliku translatiraj za

vektor DE� ��

.

Rješenje:Nacrtajmo neki ∆ABC , točku S, kut α = °120 i

vektor DE� ��

.

Rotacijom oko točke S za zadani kut α trokut

∆ABC se preslikava u ∆A’ B’ C’ .

Iza toga se trokut ∆A’ B’ C’ translacijom za

vektor DE� ��

preslikava u trokut ∆A’’ B’’ C’’ .

Trokutu ∆ABC pridružili smo trokut ∆A’’ B’’ C’’

uzastopnom primjenom dvaju preslikavanja.

U našem primjeru najprije rotacije, pa

translacije. Umjesto rotacije i translacije mogli

smo primijeniti bilo koje drugo geometrijsko

preslikavanje. Preslikavanje koje je sačinjeno od

dva povezana preslikavanja zove se kompozicija

preslikavanja.

Kada bismo trokut ∆ABC izrezali škarama i

prislonili na trokut ∆A’’ B’’ C’’ u odgovarajućem

položaju, oni bi se poklapali. To smo mogli i

očekivati budući znamo da se rotacijom dužina

preslikava u njoj sukladnu dužinu. Isto tako

translacijom se dužina preslikava u njoj sukladnu

dužinu. Dakle AB A B A B A B≅ ≅' ' ' ' '' '' i pa

zaklju čujemo AB A B≅ '' '' .

Zaključujemo da se kompozicijom rotacije i

translacije dužina preslikava u njoj sukladnu dužinu.

Do istog zaključka bi došli da smo primijenili bilo

koja dva preslikavanja koja smo

učili u ovom poglavlju: osnu

simetriju, centralnu simetriju,

rotaciju i translaciju jer ova

preslikavanja imaju svojstvo da

dužinu preslikavaju u sukladnu

dužinu.

Uzastopna primjena dvaju (ili više)

preslikavanja zove se kompozicija

preslikavanja.

simetrija i

rotacija

A

D

B

C

S

E

A

D

B

C

S

Ea

B’

C’

A’

A

D

B

C

S

a

B’C’

A’

E

B’’

C’’

A’’

Z a d a c i

69


34. Nacrtaj dužinu AB pa odredi njenu sliku nakon

uzastopnog preslikavanja najprije rotacijom oko

točke A za kut - 60°, a onda rotacijom oko točke

B’ za kut 60°.

35. Zadan je trokut ∆CDE, pravac p, točka S i kut

od α = °60 . Precrtaj ovaj crtež u bilježnicu i

odredi sliku trokuta ∆CDE nakon uzastopnog

preslikavanja najprije osnom simetrijom s

obzirom na pravac p, a onda rotacijom oko točke

S za ku t α = °60 .

36. Konstruiraj jednakostraničan trokut DABC sa

stranicama duljine 4 cm. Translatiraj ga za vektor

AC .

37. Nacrtaj dužinu AB i dvije točke C i D koje ne

pripadaju toj dužini. Odredi sliku dužine AB

nakon uzastopnog izvođenja centralnih simetrija

s obzirom na točku C, pa točku D.

38. Nacrtaj kvadrat ABCD. Izvedi kompoziciju

preslikavanja kvadrata tako da najprije izvedeš

rotaciju oko vrha A za kut 60°, pa osnu simetriju

s obzirom na pravac kojem pripada njegova

stranica AB .

39. Što ćeš dobiti ako jednakostraničan trokut šest

puta uzastopno rotiraš oko vrha A za kut od 60°?

40. Ako prvo translatiramo trokut ABC za vektor

DG� ��

, a zatim njegovu sliku rotiramo za 120° oko

neke točke S, hoće li se takav trokut poklapati s

trokutom A’’B’’C’’?

41. Konstruiraj pravokutan trokut DABC kojemu su

katete duljina 3 cm i 4cm. Translatiraj ga za

vektor AB .

C

S

D

p

E

1. Nacrtaj dužinu AB duljine 5 cm i neki vektor

AC . Odredi sliku ' 'A B dužine AB pri

translaciji za vektor

AC .

2. Nacrtaj pravac a i neki vektor

AB tako da je

∈A a . Odredi sliku a’ pravca a pri translaciji

ravnine za vektor

AB .

3. Nacrtaj pravac a i neki vektor

AB tako da ∉A a . Odredi sliku a’ pravca a pri translaciji

ravnine za vektor

AB .

4. Nacrtaj dva pravca koja se sijeku u S i točku

A koja ne pripada nijednom od ta dva pravca.

Odredi slike tih pravaca translacijom za vektor

AS .

Vježbalica

70

4 . 6 . T r a n s l a c i j a

5. Nacrtaj dvije koncentrične kružnice 1( ,3 )k S cm

i 2( ,5 )k S cm i neki vektor

AB . Odredi slike tih

kružnica pri translaciji za vektor

AB .

6. Konstruiraj kvadrat ABCD duljine stranice 4 cm.

Translatiraj taj kvadrat za vektor

BS . Točka S

je središte kvadrata.

7. Precrtaj slike u bilježnicu i odredi translacije

trokuta za zadani vektor:

8. Konstruiraj trokut ∆ABC kojemu je zadana

duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz

nju: a = 4.5 cm, β = 60°, γ = 75°. Odredi sliku

trokuta ∆ABC pri translacija za vektor

AC .

9. Konstruiraj jednakostraničan trokut duljine

stranice 44 mm, te središte S trokutu opisane

kružnice. Odredi sliku tog trokuta pri translaciji

za vektor

BS .

10. Konstruiraj jednakokračan trokut kojemu je

zadana duljina osnovice a = 5.4 cm i kuta

nasuprot njoj α = 70°, te istakni jednu točku D

izvan tog trokuta. Odredi sliku tog trokuta pri


DA .


duljina hipotenuze i jednog šiljastog kuta:

c = 7 cm, β = 30°. Odredi sliku tog trokuta pri


AC .

12. Nacrtaj u koordinatnoj ravnini točke A(–2, 3),

B(3, 5), C(0, –1) i D(–1, 4). Translatiraj zadane

točke za vektor

OC . Točka O je ishodište.

Očitaj i zapiši koordinate translatiranih točaka.

13. Nacrtaj u koordinatnoj ravnini točke A(3, –1),

B(–5, 1), C(4, –4), D(0, 3), E(–2, 2),

F(2, –3) i G(–1, 4). Translatiraj zadane točke

za vektor

OA . Očitaj i zapiši koordinate

translatiranih točaka.

14. Vrhovi trokuta imaju koordinate: A(–5,1),

B(–2,–4) i C(6,–4). Odredi sliku ovog trokuta pri

translaciji za vektor kojemu je početna točka

koordinatno ishodište, a završna točka L(2,3).

15. Nacrtaj dužinu AB pa odredi njenu sliku nakon

uzastopnog preslikavanja najprije rotacijom

oko točke A za kut – 60°, a onda centralnom

simetrijom oko točke B’.

16. Nacrtaj trokut ∆ABC i točku S izvan njega

pa odredi njegovu sliku nakon uzastopnog

preslikavanja najprije centralnom simetrijom

oko točke A, a onda osnom simetrijom s

obzirom na pravac SB’ .

a)

b)

c)

F

H

G

GH

F

G

H

F


4.7. Ponavljanje

Pitanja za ponavljanje:1. Nabroji preslikavanja ravnine koja smo učili

u ovom poglavlju.

2. Koja zajednička svojstva imaju sva ta

preslikavanja?

3. Navedi neke primjere osnosimetričnog

preslikavanja u prirodi.

4. Navedi neke primjere centralnosimetričnog

preslikavanja u prirodi?

5. Je li paralelogram osnosimetričan lik? A je li

centralnosimetričan lik?

6. Prepiši u bilježnicu pa dovrši rečenicu:

Centralna simetrija je rotacija ravnine oko

___________ za kut α = _____?

7. Kojim rotacijama se kvadrat preslikava na

sebe samoga?

8. Opiši rotacije kojima se jednakostraničan

trokut preslikava na sebe samoga?

9. Što je vektor i kako ga prikazujemo?

10. Za koje vektore kažemo da su istog smjera?

11. Kada kažemo da su vektori jednake

orijentacije? A suprotne orijentacije?

12. Kada su dva vektora jednaka? A kad su

suprotna?

13. Kako drugačije zovemo translaciju ravnine

i zašto?

14. Za koji vektor translacija ravnine preslikava

lik na sebe samoga?



preslikavanja najprije rotacijom oko točke B

za kut 30°, a onda centralnom simetrijom oko

točke A’, zatim translacijom za vektor

''C S .

18. Nacrtaj trokut ∆ABC i točku O izvan njega


preslikavanja najprije translacijom za vektor

OA , zatim rotacijom oko točke A’ za kut – 60°,

a onda centralnom simetrijom oko točke B’’ .



preslikavanja najprije translacijom za

AS ,

zatim osnom simetrijom s obzirom na A’B’, te

rotacijom oko točke B’’ za –90°.



preslikavanja najprije osnom simetrijom s

obzirom na AS, zatim osnom simetrijom s

obzirom na A’B’, te centralnom simetrijom oko

točke B’’ .

71

Zadaci za ponavljanje:1. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj osnosimetrične

slike ovih dužina.

2. Precrtaj u bilježnicu pa dopuni tako da likovi

budu osnosimetrični:

3. Precrtaj u bilježnicu pa oboji ovaj prozor tako da

dobiješ osnosimetričan lik.

4. U koordinatnom sustavu nacrtaj četverokut A(1,

3), B( -2, -2), C( -4, 0) i D( 3, -3). Nacrtaj njegovu

centralno simetričnu sliku obzirom na ishodište.

Odredi koordinate vrhova novog četverokuta.

5. Pročitaj:

Zapiši svoje ime i prezime te datum rođenja na

ovaj način.

6. Koja slova abecede su osnosimetrična?

7. Koje brojke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 su

osnosimetrične?

8. Precrtaj slike u bilježnicu. Koliko najmanje

kvadratića treba obojiti tako da kvadrat bude

osnosimetričan?

9. Konstruiraj trokut DABC kojemu su zadane

duljine stranica i kut: a = 5 cm, c = 4 cm, β = 45°.

Preslikaj ga osnom simetrijom obzirom na pravac

BC.

10. Nacrtaj jednakokračan trokut kojemu je osnovica

a = 5 cm a kutovi na njoj β= 50°. Na osnovici mu

označi točku M. Rotiraj trokut oko točke M za kut

-75°.

72

4 . 7 . P o n a v l j a n j e

11. Precrtaj slike u bilježnicu. Skiciraj pa nacrtaj

osnosimetričnu sliku trokuta ∆ABC s obzirom

na pravac:

12. Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama 5 cm i

2 cm. Nađi njegov osnosimetričan pravokutnik s

obzirom na pravac p:

a) koji prolazi stranicom AB ;

b) koji prolazi jednom dijagonalom

pravokutnika;

c) koji ne siječe pravokutnik.

13. Nacrtaj kružni vijenac oko središta A polumjera

2 cm i 3 cm. Nađi njegovu osnosimetričnu sliku

s obzirom na pravac p:

a) koji siječe kružni vijenac;

b) koji ne siječe kružni vijenac.

14. Koji od ovih likova su osnosimetrični?

15. Konstruiraj trokut kojemu je zadana duljina

jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju:

c = 10 cm, α =60°, β = 30°. Odredi ovom trokutu

centralnosimetričan trokut s obzirom na:

a) vrh A;

b) središte trokutu opisane kružnice;

c) središte trokutu upisane kružnice.

16. Svi trokuti na slici su preslikani istom

centralnom simetrijom. Odredi središte

simetrije.

17. Nacrtaj romb sa stranicama duljine 3 cm. Nađi

njegov centralnosimetričan romb s obzirom na






18. Nacrtaj dužinu AB i točku S. Vrti dužinu AB

oko točke S za:

a) 60°; b) -60°; c) 30°;

d) -30°; e) 90; f) -90°.

73


ON

M

p

A

R

P

g

U

S T

r

U

ST r

c) d)

a) b)

A

B

C

A’

B’

C’

D E

F

D’E’

F’

H

I

G

H’

I’

G’

74

4 . 7 . P o n a v l j a n j e

19. Na slici je pravokutnik ABCD.

Napiši sve parove međusobno jednakih vektora.

20. Nacrtaj paralelogram ABCD i polovišta E, F, G i H

njegovih stranica. Napiši sve vektore određene

točkama A, B, C, D, E, F, G i H koji su jednaki

kao vektor:

a) BA� ��

; b) BC� ��

; c) CA� ��

; d) CB� ��

; e) FE� ��

.

21. Na svakoj slici odredi vektor koji je zbroj

istaknutih vektora.

22. Sila F1 = 6 N, a sila F2 = 4 N. Grafički odredi

rezultantnu silu ako pravci tih sila zatvaraju kut

od:

a) 0°; b) 30°; c) 60°; d) 90°.

Prije toga odaberi mjerilo, na primjer, duljini

vektora od 1 cm neka odgovara iznos

sile od 1 N.

23. Precrtaj sliku u bilježnicu. Odredi vektor

translacije i dovrši preslikavanje.

24. Konstruiraj jednakokračan trokut kojemu

je zadana duljina osnovice a = 5 cm i kuta

nasuprot njoj α = 30°, te istakni točku D

van tog trokuta. Odredi sliku tog trokuta pri

translaciji za vektor:

a) AD� ��

; b) DC� ��

; c) BD� ��

.

25. Konstruiraj neki romb ABCD sa stranicama

duljine 35 mm. Preslikaj ga centralnom

simetrijom obzirom na vrh C.

1. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj osno-simetričnu

sliku dužine AB s obzirom na zadani pravac p.

P r i m j e r a k o g l e d n o g t e s t a :

A

CD

B

S

F

E

D K L

J

N

O

M

H

G

I

a) b)

d)c)

A

BD

C

B’

A

BA

p p

B

a) b)

2. Nacrtaj jednakokračan trokut ∆MPQ s osnovicom MP = 3 cm i kracima 5 cm. Nađi njegov

osnosimetričan trokut s obzirom na pravac koji

prolazi točkama M i Q.

3. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj simetralu kuta

α .

4. Točka C1 je osnosimetrična slika vrha C pri osnoj

simetriji trapeza ABCD s obzirom na pravac p.

Konstrukcijom odredi os simetrije p i preostale

vrhove trapeza A B C D1 1 1 1 .

5. Nacrtaj neku dužinu AB i točku S koja ne

pripada pravcu AB. Konstruiraj dužinu CD koja

je centralnosimetrična slika dužine AB s obzirom

na točku S. Kakav je lik četverokut ABCD?

6. Nacrtaj dužinu AB i rotiraj je oko točke

B za 60°.

7. Nacrtaj jednakostraničan trokut ∆ABC i rotiraj

ga oko jednog vrha za −60° . Promatraj dobivenu

sliku ∆ABC i dovrši rečenice:

a) Slika vrha A pri ovoj rotaciji je vrh ____.

b) Slika vrha B pri ovoj rotaciji je vrh ____.

c) Slika vrha C pri ovoj rotaciji je vrh ____.

8. Na slici je pravilni šesterokut ABCDEF.

a) Koji od istaknutih vektora su jednaki?

b) Koji od istaknutih vektora su suprotni?

9. Zadani su sile F1��

i F2

� ��. Grafički odredi rezultantnu

silu.

10. Konstruiraj kružnicu k S( ,2 cm) .

a) Odaberi na kružnici točku A i konstruiraj

kružnicu k’ koja je slika kružnice k pri translaciji

za vektor SA� ��

.

b) Točke u kojima se sijeku ove dvije kružnice

označi s B i C. Kolika je duljina dužine BC ?

c) Konstruiraj vektor AB BC� ��

+ i odredi njegovu

duljinu.

d) Konstruiraj vektor AB BC� ��

− i odredi njegovu

duljinu?

75


a

A B

D C

C1

E

F

A

C

B

D

F1

F2

AB

76

5. Pravci i ravnine u prostoruGeometrija ravnine opisuje veze između skupova točaka u ravnini: točaka,

pravaca, polupravaca, dužina, krivulja, geometrijskih likova i poluravnina. S

njom smo se bavili u proteklih 7 godina školovanja. No, postoje i skupovi točaka

koji ne leže u ravnini, primjerice, kocka, kugla, valjak itd. To su skupovi točaka

u prostoru.

Geometrija prostora opisuje veze između skupova točaka u prostoru. Pritom se

najčešće određuju odnosi okomitosti, usporednosti, ima li zajedničkih točaka i

slično.

Okomitost pravaca i ravnina važna nam je u svakodnevnom životu. Primjerice,

pri građevinskim radovima koristi se visak za određivanje okomice na ravninu

tla, a za određivanje vodoravnog položaja libela.


Kako odrediti ravninu ako su joj zadane neke točke

Kako odrediti (na modelu kvadra) pripada li neka točka nekoj ravnini

U kakvim međusobnim položajima mogu biti pravci i ravnine u prostoru

Kako prepoznati pravac koji je okomit na ravninu

Kako prepoznati dvije ravnine koje su međusobno okomite

Što je ortogonalna projekcija

Kako odrediti ortogonalnu projekciju točke i dužine na neku ravninu

Kako odrediti udaljenost točke od ravnine.

Važni pojmovi

točka

pravac

ravnina

prostor

međusobni odnosi pravaca i ravnina

probodište

mimosmjerni pravci

presječnica

okomitost pravca i ravnine

okomitost dviju ravnina

ortogonalna projekcija točke i dužine na ravninu

udaljenost točke od ravnine

Mislim da ti ravn ine n isu

okomite.

T r o k u tP r a v c i i r a v n i n e u p r o s t o r u

77

5.1. Točke, pravci i ravnine u prostoru

Izlazimo iz ravnine

Koji od ovih skupova točaka su dio ravnine, a koji nisu?

1. Nacrtaj točku A i pravac b. Gdje sve se može

nalaziti točka A u odnosu na pravac b?

2. Nacrtaj dva usporedna pravca a i b.

3. Nacrtaj paralelogram sa stranicama 4 cm i

2 cm i kutom od 45° između njih.

4. Kako glasi Pitagorin poučak i za koje

geometrijske likove se može upotrijebiti?

5. Koliko zajedničkih točaka imaju pravci koji

se sijeku?

Kratki zadaci za ponavljanje:

A

DE

H G

C

B

F

J

I

K

L

E

D

F

e

d

f

B

C

G

A

b

A

D

E

H G

C

B

F

78

5 . 1 . T o č k e , p r a v c i i r a v n i n e u p r o s t o r u

Za računanje i mjerenje raznih geometrijskih objekata trebaju nam veličine poput

duljine, širine, visine, dubine itd. Te veličine nazivamo dimenzijama.

Zamislimo li savršenu točku, primijetit ćemo da ona niti ima duljinu niti visinu

itd. Zato kažemo da točka nema dimenzija.

No, dužina ima svoju duljinu. Kažemo da ona ima jednu dimenziju. Pojam duljine

možemo proširiti i na pravac jer se on širi „po duljini“. Općenito, kažemo da

pravac ima jednu dimenziju, tj. da je jednodimenzionalan. I krivulje su

jednodimenzionalni skupovi točaka.

Prisjetimo se pravokutnika, on ima svoju duljinu i visinu, pa kažemo da pra

vokutnik ima dvije dimezije. Pojam dviju dimenzija

možemo proširiti i na ravninu. Općenito kažemo da

ravnina ima dvije dimezije, tj. da je dvodimenzional

na. Primijetimo da u ravnini nailazimo na dvodi men

zionalne skupove točaka (poluravnine, pravokutnike,

trokute i ostale geometrijske likove), na jedno di

menzionalne skupove točaka (dužine, pravce, po

lupravce, krivulje) i na točke kao objekte koji nemaju

dimenziju.

Svijet koji nas okružuje je trodimenzionalan ima

duljinu, visinu i širinu (ili dubinu). U matematici taj

skup točaka nazivamo prostor ili trodimenzionalni

prostor. U njemu „žive“ skupovi točaka poput kocke,

kvadra, kugle, valjka, stošca, piramide itd. Te

skupove točaka nazivamo geometrijskim tijelima.

U prostoru nailazimo i na ravnine, kao i na sve

dvodimenzionalne i jednodimenzionalne skupove točaka. U našem 3D svijetu

ima i stvari koje nisu trodimenzionalne, primjerice ilustracije u knjizi su

dvodimenzionalne.

Prisjetimo se kako označavamo skupove točaka u ravnini i prostoru:

točke A, B, C,...

dužine AB ED, ,...

pravci i polupravci a, b, c, p, q, AB, GH,...

geometrijski likovi trokut ∆ABC , četverokut EFGH,...

Ravnine ćemo označavati malim grčkim slovima: p, a, b, ... ili nekim točkama koje ju određuju, primjerice

ravnina ABC.

Točke, pravce i ravnine u prostoru promatrat ćemo

na modelu kvadra ABCDEFGH. Upoznajmo osnovne

elemente kvadra.

Kvadar ima:

8 vrhova točke: A, B, C, D, E, F, G, H;

kvadar

A

D

E

H G

C

B

F

brid

strana

prostornadijagonala plošna

dijagonala

vrh

Trodimenzionalan Ben i nosi

dvodimenzionalnog Ben ij a. . .


79

12 bridova dužine: AB, AD, AE, BC, BF, CD, CG, DH, EF, FG, GH, HE;

6 strana pravokutnici: ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE i DCGH.

Svaka strana kvadra ima dvije dijagonale. Te dijagonale se nazivaju plošne

dijagonale kvadra. Kvadar ima i četiri prostorne dijagonale. To su dužine koje

spajaju one vrhove kvadra koji ne leže na istoj strani kvadra.

Prisjetimo se, što znači da dvije točke određuju pravac? To znači da se kroz dvije

zadane točke može provući samo jedan pravac. Isto pravilo vrijedi bez obzira

promatramo li pravac u ravnini ili u prostoru.

pravac

Primjer 1. Točke određuju ravninu

Na modelu kvadra promotrimo ravninu koja

sadrži točke A, B, C i D. To je na slici dio ravnine

koji sadrži “donju” plohu kvadra. Naravno,

ravnina je beskonačna, no mi crtamo samo njen

dio, te je najčešće prikazujemo paralelogramom

ili pravokutnikom.

VažnoKroz svake dvije točke prostora prolazi

točno jedan pravac.

kolinearne i

nekolinearne

točke

Točke koje leže na istom pravcu zovu se kolinearne točke.

Točke koje ne leže na istom pravcu, tj. koje nisu kolinearne, nazivaju se

nekolinearne točke.

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

kolinearne točke nekolinearne točke

80


Ponekad, pojednostavljujući, ravninu

prikazujemo samo bojanjem njenog

dijela unutar modela kvadra.

Kao što je pravac određen dvjema točkama,

tako je ravnina određena trima nekolinearnima

točkama. Dakle, ravninu koja sadrži vrhove

A, B, i, D možemo označiti s tri nekolinearne

točke. Ta ravnina može se označiti kao ravnina

ABC, ravnina BCD, ravnina ACD, ravnina ABD.

Pri označavanju ravnina na modelu kvadra

najjednostavnije je najprije pronaći četvrtu

točku kako bismo je lakše nacrtali.

Ravnina ABC

Ravnina ADH

Ravnina BEF

Ravnina CBF

Ravnina FGD

ravnina

VažnoSvake tri točke prostora koje ne pripadaju

jednom pravcu, tj. nisu kolinearne,

određuju točno jednu ravninu.

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F


81

1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji ravnine:

a) EFG;

b) BCF;

c) ADE.

2. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, oboji, pa imenuj

točkama, ravninu koja sadrži:

a) “gornju” stranu kvadra;

b) “lijevu” stranu kvadra;

c) “desnu” stranu kvadra;

d) “prednju” stranu kvadra;

e) “stražnju” stranu kvadra.

3. Napiši koji vrhovi kvadra pripadaju nacrtanoj

ravnini:

a)

b)

c)

d)

e)

4. Koliko kocaka ima na svakoj slici:

Z a d a c i

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

a) b)

Primjer 2. Pravci određuju ravninuPogledajmo na modelu kvadra ravninu ACE.

Ravnini ACE pripadaju pravci AC, CG, EG, AE,

AG i CE. Koliko bismo najmanje pravaca trebali

zadati da njima bude zadana samo ravnina ACE?

82


5. Koji još vrh kvadra ABCDEFGH pripada ravnini:

a) ABC;

b) FGH;

c) DCB;

d) DCH;

e) ACG;

f) FHD.

6. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i odgovori na

pitanja:

a) Pripada li ravnini CGH točka: A; B; D; E;

b) Pripada li ravnini BCD točka: A; B; G; E;

c) Pripada li ravnini BDF točka: A; B; D; E.

7. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i napiši vrhove

kvadra koji ne leže u ravnini:

a) ABC;

b) FGH;

c) DCB;

d) DCH;

e) ACG;

f) FHD.

VažnoPravac koji prolazi kroz dvije različite točke

neke ravnine leži u toj ravnini, tj. pripada joj.

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

HG

C

B

F

d)c)

e) f)


Rješenje:Ravninu možemo zadati s dva pravca koji su ili

usporedni ili se sijeku.

Dakle, ravnina ACE određena je primjerice,

pravcima AC i EG ili pravcima AG i EG.

Osim s dva pravca ravninu možemo zadati i s

jednim pravcem i jednom točkom koja mu ne

pripada.

Ravninu često označavamo malim grčkim

slovima, npr. p, b, a itd.

83

Ravnina je određena s:

tri nekolinearne točke

dva različita pravca (koji su ili

usporedni ili se sijeku)

pravcem i točkom koja mu ne pripada.

8. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa oboji ravninu

određenu pravcima:

a) AB i BC;

b) BC i FG;

c) AG i AC;

d) AE i DH.

9. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa nabroji sve ravnine

određene vrhovima kvadra koje sadrže točku:

a) A;

b) C;

c) E.


određene vrhovima kvadra koje sadrže pravac:

a) AB;

b) CG;

c) EC.

11. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i nabroji bridove

kvadra koji leže u ravnini:

a) ABC;

b) FGH;

c) DCB;

d) DCH;

e) ACG;

f) FHD.

12. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i nabroji pravce

određene vrhovima kvadra koji leže u ravnini:

a) ABC;

b) FGH;

c) DCB;

d) DCH;

e) ACG;

f) FHD.

Z a d a c i

84

5 . 2 . M e đ u s o b n i p o l o ž a j d v a j u p r a v a c a u p r o s t o r u

Pravci u ravnini

Pogledaj pravce na slikama i opiši njihove položaje.

Koliko zajedničkih točaka mogu imati dva pravca u ravnini?

Promotrimo li pravce u prostoru, uočit ćemo slične položaje kao i u ravnini.

Primjer 1. Pravci se sijekuPogledajmo na modelu kvadra dva pravca koji

se sijeku.

Postoji li ravnina koja sadrži oba pravca?

Rješenje:Ta dva pravca nalaze se u istoj ravnini,

ravnini BCG. Pravci a i b imaju jednu

zajedničku točku sjecište S.

Odaberemo li u prostoru bilo koja dva pravca

koji se sijeku, uvijek ćemo moći odrediti njihovu

zajedničku ravninu. To je ravnina određena

sjecištem tih pravaca kao i po jednom točkom

sa svakog od njih.

pravci se

sijeku

a b

�

a

b

�

A

D

E

H G

C

B

F

S

a

b

A

D

E

H G

C

B

F

S

a

b

Dva pravca koji se sijeku pripadaju jednoj

ravnini. Pravci koji se sijeku imaju jednu

zajedničku točku.

5.2. Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru


85

Primjer 2. Usporedni pravciPogledajmo na modelu kvadra dva usporedna

pravca.

Postoji li ravnina koja sadrži oba pravca?

Rješenje:

Ta dva pravaca nalaze se u istoj ravnini, ravnini

FGH.

usporedni

pravci

Dva usporedna pravca pripadaju jednoj

ravnini. Usporedni pravci nemaju

zajedničkih točaka.

A

D

E

H G

C

B

F

a

b

A

D

E

H G

C

B

F

a

b

Primjer 3. Mimosmjerni pravciPogledajmo na modelu kvadra ova dva pravca.

Koliko zajedničkih točaka imaju ta dva pravca?

Nalaze li se oni u istoj ravnini?

Rješenje:Ta dva pravca nemaju zajedničkih točaka, ali

nisu ni usporedni. Ne postoji ravnina u kojoj se

nalaze oba pravca.

Takve pravce nazivamo mimo smjerni pravci ili

mimoilazni pravci.

Evo još nekoliko primjera

mimosmjernih pravaca na

modelu kvadra.

VažnoMeđusobni položaj dvaju različitih pravaca u

prostoru:

1. Pravci se sijeku, imaju jednu zajedničku točku;

2. Pravci su usporedni, nemaju zajedničkih

točaka;

3. Pravci su mimosmjerni, nemaju zajedničkih

točaka.

A

D

E

HG

C

B

F

a

b

A

D

E

HG

C

B

F

a

b

A

D

E

HG

C

B

F

a

b

A

D

E

HG

C

B

F

ab

mimosmjerni

pravci

Međusobno usporedne ceste ispod mimoilaznog nadvožnjaka

86

5 . 2 . M e đ u s o b n i p o l o ž a j d v a j u p r a v a c a u p r o s t o r u

1. Napiši u kakvom položaju se nalaze zadani

pravci.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Z a d a c i

A

D

E

HG

C

B

F

b

a

A

D

E

HG

C

B

Fa

b

A

D

E

HG

C

B

Fa

b

A

D

E

HG

C

B

F

a b

A

D

E

HG

C

B

F

a b

A

D

E

HG

C

B

F

ab


2. Skiciraj pogled odozgo na ove grupe kocaka.

a)

b)

c)

d)

3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i nacrtaj jedan par

pravaca koji:

a) su usporedni;

b) su mimosmjerni;

c) se sijeku.

4. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem

položaju se nalaze zadani pravci:

a) AB i BC; b) BC i EA;

c) BC i FG; d) AG i AC;

e) CD i FH; f) AE i DH.

5. Na modelu kvadra ABCDEFGH uoči nekoliko

parova usporednih pravaca. Napiši koji su to

pravci te koju ravninu određuju.


parova pravaca koji se sijeku. Napiši koji su to



parova mimosmjenih pravaca. Napiši koji su to

pravci.

87

5.3. Međusobni položaj pravaca i ravnine u prostoru

Papir i olovka

Uzmi jedan list papira i olovku. Položi list papira na klupu a olovku drži iznad

njega. U kakvom su položaju papir i olovka.

Probodi olovkom papir - u kakvom položaju mogu biti papir i olovka?

88

5 . 3 . M e đ u s o b n i p o l o ž a j p r a v a c a i r a v n i n e u p r o s t o r u

Primjer 1. Pravac leži u ravniniPogledajmo na modelu kvadra pravac BG i rav

ninu BCG. Koliko zajedničkih točaka imaju?

Rješenje:Pravac i ravnina imaju beskonačno

mnogo zajedničkih točaka jer je

svaka točka koja pripada pravcu

ujedno pripada i ravnini. Kažemo

da pravac BG pripada ravnini BCG ili da pravac

BG leži u ravnini BCG.

pravac leži

u ravnini

Ako dvije točke pravca pripadaju ravnini

onda i cijeli pravac pripada toj ravnini, tj.

pravac leži u ravnini.

Primjer 2. Pravac probada ravninuPogledajmo na modelu kvadra pravac EF i

rav ninu BCG. Koliko zajedničkih točaka imaju?

Rješenje:Pravac EF i ravnina BCG imaju jed nu zajedničku

točku točku F. Kažemo da pravac EF probada

ravninu BCG. Točku u kojoj pra vac probada

ravninu nazivamo probodište.

Ako pravac i ravnina imaju samo jednu

zajedničku točku onda pravac probada

ravninu.

Točku u kojoj pravac probada ravninu

nazivamo probodište.

pravac

probada

ravninu

probodište

A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

H G

C

B

Fa

A

D

E

H G

C

B

Fa


89

Primjer 3. Pravac usporedan s ravninomPogledajmo na modelu kvadra pravac AE i

rav ninu FGH. Koliko zajedničkih točaka imaju?

Rješenje:Pravac AE i ravnina FGH

nemaju niti jednu zajedničku

točku. Kažemo da pravac AE i

ravnina FGH usporedni.

Primijeti da pravci usporedni s jednom ravninom

ne moraju biti međusobno usporedni.

A

D

E

H G

C

B

F

a

pravac

usporedan s

ravninom

A

D

E

H G

C

B

F

a

b

c

Pravac i ravnina su usporedni ako nemaju


VažnoMeđusobni položaj pravca i ravnine u

prostoru:

1. pravac leži u ravnini, imaju beskonačno

mnogo zajedničkih točaka;

2. pravac probada ravninu, imaju jednu

zajedničku točku;

3. pravac i ravnina su usporedni, nemaju


90


1. Napiši u kakvom položaju se nalaze zadani pravac

i ravnina

2. Skiciraj pogled sprijeda na ove grupe kocaka (na

slikama je to kao da gledamo dijelom slijeva,

zbog trodimenzionalnog prikaza).

Z a d a c i

A

D

E

H G

C

B

F

aa)

A

D

E

H G

C

B

F

a

b)

A

D

E

H G

C

B

F

a

c)

A

D

E

H G

C

B

F

ad)

A

D

E

H G

C

B

F

ae)

A

D

E

HG

C

B

F

af)

c) d)

a) b)

P r a v c i i r a v n i n e u p r o s t o r u

3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i nacrtaj po jedan

pravac i jednu ravninu koji:

a) su usporedni;

b) se sijeku;

c) pravac leži u ravnini.

4. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i oboji plavom bojom

pravce koji sadrže bridove kvadra i probadaju

ravninu:

a) ABC;

b) FGH;

c) DCB;

d) DCH;

e) ACG;

f) FHD.

5. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i oboji crvenom

bojom pravce koji sadrže bridove kvadra i

pripadaju ravnini:

a) BCD;

b) EFG;

c) ABD;

d) DCH;

e) ABF;

f) FHD.

6. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i oboji zelenom

bojom pravce koji su usporedni s ravninom:

a) ACD; b) ADC;

c) EFG; d) DBF;

e) ABF; f) FHB.

7. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni ravnine koje

nemaju zajedničkih točaka s pravcem:

a) AB; b) BC;

c) CD; d) FG;

e) AG; f) AC;

g) AE; h) DH.


položaju se nalaze zadani pravci i ravnine:

a) AB i ABC;

b) BC i DEA;

c) BC i GHD;

d) AG i ABC;

e) CD i EFH;

f) AE i ADH.


parova pravca i ravnine koji su usporedni. Napiši

te parove.


parova pravca i ravnine koji se sijeku. Napiši te

parove.


parova pravca i ravnine koji kojih pravac

probada ravninu. Napiši te parove.

12. Nabroji sve ravnine određene vrhovima kvadra

koje pravac EF probada.

13. Nabroji sve ravnine određene vrhovima kvadra

koje sadrže pravac EH.

14. Nabroji sve ravnine određene vrhovima kvadra s

kojima je pravac FG usporedan.

15. Nabroji sve pravce određene vrhovima kvadra

koji probadaju ravninu AFG.

16. Nabroji sve pravce određene vrhovima kvadra

koji probadaju ravninu AFG.

17. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa na njemu

istakni pravac AE. Zatim istakni jedan njemu

mimosmjeran pravac te ravninu u kojoj se taj

pravac nalazi. U kakvom su položaju ta ravnina i

početni pravac AE? Objasni. Ima li zadatak samo

jedno rješenje? Zašto?

18. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa na njemu istakni

pravac BH. Zatim istakni jedan pravac koji se

s njim siječe te ravninu u kojoj se taj pravac

nalazi. U kakvom su položaju ta ravnina i

početni pravac BH? Objasni. Ima li zadatak samo

jedno rješenje? Zašto?

91

e) f)

92


Promotri slike tijela te pripadnih pogleda s nekoliko strana, a zatim skiciraj poglede sprijeda, straga, zdesna,

slijeva i odozgo za ostale zadane objekte.

Vježbalica

1.

4.

7.

2.

5.

8.

3.

6.

9.

odozgo slijeva zdesna

straga sprijeda odozgo

slijeva

zdesna

straga

sprijeda


93

5.4. Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru

Pod i strop

Pogledaj pod i strop učionice ili tvoje sobe.

U kakvom se položaju nalaze ravnine poda i stropa?

U kakvom se položaju nalaze ravnine poda i zida učionice ili sobe?

Primjer 1. Ravnine se sijekuPogledajmo na slici

ravnine ADH i ABD. U

kakvom se položaju

nalaze te dvije ravnine?

Što im je zajedničko?

Rješenje:

Te dvije ravnine se sijeku. Pravac

AD leži u obje ravnine, on je njihov

zajednički pravac. Kažemo ravnine

ADH i ABD sijeku se u pravcu AD.

Taj pravac zove se presječnica.

Evo još nekih primjera ravnina koje se sijeku i

njihovih presječnica.

ravnine se

sijeku

presječnica

A

D

E

HG

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

H G

C

B

Fa

94

5 . 4 . M e đ u s o b n i p o l o ž a j d v i j u r a v n i n a u p r o s t o r u

1. Napiši u kakvom su položaju zadane ravnine.

a)

b)

c)

d)

Z a d a c i

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

Primjer 2. Usporedne ravninePogledajmo na slici

ravnine ADH i BCG. U

kakvom se položaju

nalaze te dvije

ravnine?

Rješenje:Ravnine ADH i BCG su usporedne,

nemaju zajedničkih točaka.usporedne

ravnine

VažnoMeđusobni položaj dviju različitih ravnina

u prostoru:

1. ravnine se sijeku, imaju zajednički

jedan pravac, presječnicu;

2. ravnine su usporedne, nemaju

zajedničkih točaka.A

D

E

HG

C

B

F

95


2. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH i nađi tražene

ravnine:

a) usporedne s ABC;

b) sijeku se s BCF;

c) usporedne s ADH;

d) sijeku se s FGD.

3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i zadane ravnine.

Napiši u kakvom položaju su te ravnine.

a) ABC i FGH;

b) FGH i BCF;

c) DCB i ADH;

d) DCH i DCF;

e) ACG i DBF;

f) FHD i ABF;

g) FGH i BDF;

h) ADH i BCG.

4. Napiši parove usporednih ravnina koje su

određene stranama kvadra ABCDEFGH.

5. Imamo dvije usporedne ravnine. U jednoj

odaberemo neki pravac a, a u drugoj neki

pravac b. Jesu li pravci a i b usporedni?

6. Dva pravca u jednoj ravnini usporedna su s

dvama pravcima u drugoj ravnini. Jesu li te dvije

ravnine usporedne?

7. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH i nabroji

sve pravce određene bridovima kvadra, koji su

usporedni s ravninom:

a) BCG;

b) ACG;

c) DCG.

8. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH i nabroji

sve pravce određene bridovima kvadra, koji

probadaju ravninu:

a) ABC;

b) ACG;

c) BCG.

9. Koje dijagonale kvadra ABCDEFGH nisu

usporedne s ravninom:

a) ABC; b) ACG; c) BCG.

10. 10. Pravac a probada ravninu a. Može li ravnini

a pripadati koji pravac usporedan s a? Nacrtaj

skicu.

1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji ravnine

a) DBF; b) BCH; c) ABG.

2. Koji još vrh kvadra ABCDEFGH pripada ravnini:

a) ACG; b) HFD;

c) EGA; d) HFB;

e) EFD; f) BCF.

3. Skiciraj kvadar ABCDEFGH i odgovori na pitanja:

a) Pripadaju li ravnini AHE točke: A; B; D; E;

b) Pripadaju li ravnini BCD točke: C; F; A; G;

c) Pripadaju li ravnini ABG točke: A; B; D; E.

4. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve vrhove

kvadra koji ne leže u ravnini:

a) ABF;

b) AEC;

c) ABH;

d) EHA;

e) GHC;

f) EBF.

5. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa oboji ravninu

određenu pravcima:

a) DF i BH; b) CG i FC;

c) EG i EH; d) GC i EC.



a) B; b) D; c) G.

Vježbalica

96

5 . 4 . M e đ u s o b n i p o l o ž a j d v i j u r a v n i n a u p r o s t o r u



a) AD; b) AG; c) EH.

8. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve bridove

kvadra koji leže u ravnini:

a) ABD; b) EFB; c) DCF;

d) EFH; e) ACE; f) BFD.

9. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši pravce

određene vrhovima kvadra koji leže u ravnini:

a) ADC; b) ADE; c) ADF;

d) FCB; e) DFH; f) EHF.

10. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve pravce

koji:

a) su usporedni s pravcem DC;

b) su mimosmjerni s pravcem DF;

c) sijeku pravac EF .


koji:

a) su usporedni s pravcem FG;

b) su mimosmjerni s pravcem AD;

c) sijeku pravac DE .


koji:

a) su usporedni s pravcem EG;

b) su mimosmjerni s pravcem FG;

c) sijeku pravac AB .


koji:

a) su usporedni s pravcem DG;

b) su mimosmjerni s pravcem AC;

c) sijeku pravac EC .



a) EF i BC; b) AB i EA; c) BC i EH;

d) HF i AC; e) AD i FH; f) DF i DH.



a) AB i DC; b) BC i EG; c) EF i FG;

d) AG i DC; e) CD i ED; f) AE i DA.



a) ED i EF; b) EH i FC;

c) DA i AB; d) EG i HF;

e) EH i FB; f) AC i FG.


koji sadrže bridove kvadra i probadaju ravninu:

a) DCB; b) FCB; c) HFG;

d) EFB; e) DCG; f) DFH.


koji sadrže bridove kvadra i pripadaju ravnini:

a) ABD; b) DFG; c) EFD;

d) AFD; e) AEB; f) FCD.


koji su usporedni s ravninom:

a) FCB; b) DFH; c) EFD;

d) DCE; e) AHG; f) AGC.

20. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i ispiši sve ravnine

koje nemaju zajedničkih točaka s pravcem:

a) AE; b) EF; c) GF; d) DG;

e) HD; f) GC; g) HC; h) FD.


položaju se nalaze zadani pravci i ravnine:

a) BC i ABC; b) EF i DEA;

c) FC i GHD; d) AG i AEC;

e) HG i EFH; f) AE i ADH.

22. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve ravnine

koje su:

a) usporedne s FCB;

b) sijeku se s EFG;

c) usporedne s EAB;

d) sijeku se s EDH.

23. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH. Napiši u kakvom

položaju su ravnine:

a) FCG i FGH; b) FCG i EFG;

c) DBF i EDH; d) DFB i HEF;

e) BFG i ECA; f) DBF i GFC;

g) HGF i FBC; h) EFB i HDC.

97


97

5.5. Okomitost pravca i ravnine. Okomitost dviju ravnina

Zidovi

Pogledaj slike i uoči na njima ravnine određene zidovima, stropovima, tlom i sl.

Kakve međusobne položaje tih ravnina vidiš na slikama?

U kakvom se položaju nalaze zidovi zgrade u odnosu na ravninu tla?

Pri promatranju pravaca u ravnini isticali smo jedan poseban položaj pravaca koji

se sijeku okomite pravce. Zanima nas kako možemo odrediti je li neki pravac

okomit na ravninu.

Primjer zidova koji nisu okomiti na ravnini tla. Primjer okomitih zidova na ravnini tla.

24. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH. i nabroji sve pravce

određene bridovima kvadra, koji su usporedni s

ravninom:

a) ADB; b) DFH; c) EAC.

25. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH. i nabroji sve pravce

određene bridovima kvadra, koji probadaju

ravninu:

a) DFB; b) GBA; c) FCD.

26. Koje dijagonale kvadra ABCDEFGH.nisu

usporedne s ravninom:

a) AFE; b) EDH; c) ADC.

27. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH :

a) napiši sve pravce usporedne s EH koji

pripadaju ravnini ABD;

b) napiši sve pravce koji leže u ravnini EFC a

mimosmjerni su s CD.

28. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH :

a) napiši sve pravce usporedne s EB koji

pripadaju ravnini DCG;

b) napiši sve pravce koji leže u ravnini EFH a

mimosmjerni su s AC.

98

5 . 5 . O k o m i t o s t p r a v c a i r a v n i n e . O k o m i t o s t d v i j u r a v n i n a

Primjer 1. Pravac okomit na ravninuPogledamo na modelu kvadra ABCDEFGH pravac

određen točkama BF i ravninu ABC. U kojem

položaju se nalaze? Nacrtaj još nekoliko pravaca

koji pripadaju ravnini ABC i s pravcem BF imaju

zajedničku točku. Kakav je odnos između tih

pravaca i pravca BF?

Rješenje:Pravac BF probada ravninu ABC, probodište je

točka B.

Nacrtamo na slici pravce određenje vrhovima

kvadra, koji se nalaze u ravnini ABC i imaju

zajedničku točku s pravcem BF. To su pravci

AB, DB i CB.

Odmah uočavamo da su pravci AB i BF okomiti

jer su na stranicama pravokutnika ABFE koje su

okomite. Također su okomiti i pravci DB i BF i

pravci CB i BF.

BF AB

BF DB

BF CB

⊥⊥⊥

Dakle, pravac BF okomit je na sve pravce koje

smo nacrtali. Zapravo pravac BF je okomit na

bilo koji pravac koji odaberemo u ravnini ABC,

a koji prolazi točkom B. Kažemo

da je pravac BF okomit na svaki

pravac ravnine ABC koji prolazi

probodištem.

Za takav pravac kažemo da je okomit na ravninu

i nazivamo ga okomica. Gledajući model

uočavamo da je pravac BF okomit na ravninu

ABC.

pravac okomit

na ravninu

VažnoPravac je okomit na ravninu ako je

probada i ako je okomit na svaki pravac te

ravnine koji prolazi probodištem.

A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

H G

C

B

F

ac

b

d

A

B

H

G

F

D

C

a

c

E


99

1. Nabroji pravce određene bridovima kvadra

ABCDEFGH koji su okomiti na ravninu:

a) ABC;

b) FGH;

c) BCG;

d) ADH;

e) ABF;

f) DCG.

2. Precrtaj u bilježnicu pa spoji parove ravnina i

pripadnih okomica:

EFG HEDHE DHABF AB

3. Napiši ravnine kojim je zadani pravac okomica:

a) AD; b) BF;

c) FE; d) GH.

4. Promotri ravnine određene dijagonalama kvadra.

Napiši pravce koji su okomiti na zadane ravnine:

a) ACG; b) ABG; c) AFG.

5. Koliko je dovoljno naći pravaca iz zadane ravnine

a okomitih na zadani pravac a, kako bismo

zaključili da je pravac a okomit na ravninu a?

Z a d a c i

Primjer 2. Okomite ravnineUoči na modelu kvadra ABCDEFGH ravnine ABC

i ADH. U kakvom se položaju nalaze?

Nacrtaj na slici i pravac HD. U kakvom je po

ložaju taj pravac prema ravnini ADH, a u kakvom

prema ravnini ABC?

Nacrtaj na slici i pravac DC. U kakvom je po

ložaju taj pravac prema ravnini ADH, a u kakvom

prema ravnini ABC?

Rješenje:Ravnine ABC i ADH se sijeku. Njihova presječnica

je pravac AD.

Pravac HD leži u ravnini ADH, a okomit je na

ravninu ABC.A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

H G

C

B

F

a

b

100

5 . 5 . O k o m i t o s t p r a v c a i r a v n i n e . O k o m i t o s t d v i j u r a v n i n a

Pravac CD leži u ravnini ABC, a okomit je na

ravninu ADH.

Dakle, u svakoj od ravnina mogli smo pronaći

pravac koji je okomit na drugu ravninu, zato

kažemo da su ravnine ABC i ADH okomite.

Promatramo li taj kvadar kao model neke zgrade

lako ćemo uočiti da ravnina ADH predstavlja

ravninu zida koji je okomit na ravninu tla,

ravninu ABC.

VažnoDvije ravnine su okomite ako u jednoj

ravnini postoji pravac koji je okomit na

drugu ravninu.

6. Nabroji ravnine određene bridovima kvadra

ABCDEFGH koje su okomite na ravninu:

a) ABC;

b) FGH;

c) BCG;

d) ADH;

e) ABF;

f) DCG.

7. Precrtaj u bilježnicu i spoji parove okomitih ravnina

EFG HEFDHE DHEABF ABC

8. Napiši tri para okomitih ravnina koje si uočio na

modelu kvadra ABCDEFGH.

9. Koje ravnine određene dijagonalama kvadra su

međusobno okomite?

10. Pogledaj drvenu terasu na slici i uoči ravnine

i pravce određene stropom, podom, bočnim i

gornjim gredama te klupama. Objasni odnose

između uočenih ravnina i pravaca i razmisli zašto

su dijelovi terase baš tako postavljeni.

11. Ravnine a i b su usporedne, a ravnina g okomita

na ravninu a. U kakvom su međusobnom

položaju ravnine b i g? Nacrtaj skicu.

Z a d a c i

A

D

E

H G

C

B

F

a

c

Oèito su ove ravn ine

okomite.

j el ovo vodovodna cij ev il i znak za pravi

kut?


101

12. U kojem su položaju ravnine okomite na isti

pravac?

13. Pravci a i b su okomiti na ravninu a. Nalaze li se

pravci a i b u istoj ravnini? Nacrtaj skicu.

14. a) Promatramo li u ravnini dužinu AB , gdje se

nalaze sve točke koje su jednako udaljene od

točke A i od točke B?

b) Promatramo li u prostoru dužinu AB , gdje

se nalaze sve točke koje su jednako udaljene od

točke A i od točke B?

5.6. Ortogonalna projekcija točaka na ravninu

Kamenčić

Ispuštaj kamenčić iz ruke i prati gdje pada na pod. Možeš li predvidjeti gdje će

pasti?

Projekcija filma je prikazivanje (preslikavanje) filma na površini platna. Pro

jek cija točke, dužine, geometrijskog lika, geometrijskog tijela i sl. je njihovo

pre sli kavanje na neku ravninu. Postoje razne vrste projekcija, primjerice,

kosa, uspo redna, centralna, itd; no mi ćemo se upoznati samo s ortogonalnom

pro jekcijom.

Riječ ortogonalan potječe od grčkih riječi orthos prav i gonia kut;

orthogonis pravokutan. Dakle, umjesto ortogonalna projekcija mogli bismo

reći i pravokutna projekcija.

Biti ortogonalan znači biti okomit. U našim matematičkim školskim terminima

se, međutim, ustalilo koristiti riječ “okomito” za pravce, ravnine, krakove i ostale

skupove točaka, dok se riječ “ortogonalno” koristi za ortogonalnu projekciju.

Primjer 1. Ortogonalna projekcija točkePogledajmo na modelu kvadra ABCDEFGH

ravninu ABC i točku F. Koja točka bi bila

ortogonalna projekcija točke F na ravninu ABC?

A

D

E

H G

C

B

F

102

5 . 6 . O r t o g o n a l n a p r o j e k c i j a t o č a k a n a r a v n i n u

Rješenje:Da bismo odredili ortogonalnu projekciju točke

F na ravninu ABC najprije nacrtajmo okomicu iz

točke F na zadanu ravninu. Probodište okomice

kroz točku F i ravnine ABC je ortogonalna

projekcija točke F na ravninu ABC. Na kvadru

je to točka B.

Dakle, ortogonalna projekcija točke F na ravninu

ABC je točka B.

ortogonalna

projekcija

točke

VažnoOrtogonalna projekcija točke na ravninu

je probodište okomice kroz tu točku na

zadanu ravninu.

Ortogonalna projekcija točke je uvijek

točka.

Ako točka leži u ravnini, onda je ona sama

sebi ortogonalna projekcija.

1. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi ortogonalne

projekcije zadanih točaka na zadane ravnine:

a) točke A na ravninu EFG;

b) točke H na ravninu ABC;

c) točke E na ravninu BCG;

d) točke C na ravninu ADH;

e) točke B na ravninu DCG.

2. Odredi ortogonalne projekcije točke H na ravnine:

a) ABC;

b) EFG;

c) BCG:

d) ADH;

e) ABF;

f) DCG.

3. Odredi ortogonalne projekcije točke C na ravnine:

a) ABC;

b) EFG;

c) BCG:

d) ADH;

e) ABF;

f) DCG.

4. Odredi ortogonalnu projekciju sjecišta dijagonala

pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH na

ravnine:

a) EFG;

b) BCG;

c) DCG.


pravokutnika BCFG na kvadru ABCDEFGH na

ravnine:

a) ADH;

b) BCG;

c) DCG.

6. Odredi ortogonalne projekcije sjecišta prostornih

dijagonala kvadra ABCDEFGH na sve strane

kvadra.

Z a d a c i

A

D

E

H G

C

B

F

a


103

Primjer 2. Ortogonalna projekcija dužine - dužinaOdredi ortogonalnu projekciju dužine AH na

ravninu BCG.

Rješenje:

Da bismo odredili ortogonalnu projekciju dužine

najprije ćemo odrediti ortogonalne projekcije

njenih krajnjih točaka.

Ortogonalna projekcija točke A na ravninu BCG

je točka B. Ortogonalna projekcija točke H na

ravninu BCG je točka G.

Ortogonalna projekcija dužine AH na ravninu

BCG je dužina BG .

Dužina je skup točaka. Njezina

ortogonalna projekcija na danu ravninu je

skup ortogonalnih projekcija svih njezinih

točaka na tu ravninu.

ortogonalna

projekcija

dužine

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

104


Primjer 3. Ortogonalna projekcija dužine - točkaOdredi ortogonalnu projekciju dužine AB na

ravninu BCG.

Rješenje:Dužina AB je okomita na ravninu BCG , a točka

B pripada toj ravnini.

Ortogonalna projekcija točke A na ravninu BCG

je točka B. Ortogonalna projekcija točke B na

ravninu BCG je točka B.

Ortogonalna projekcija dužine AB na ravninu

BCG je točka B.

Evo još nekih primjera dužina i njenih

ortogonalnih projekcija (plavo zadana dužina,

crveno ortogonalna projekcija).

VažnoOrtogonalna projekcija dužine koja nije

okomita na ravninu projekcije je dužina.

Ortogonalna projekcija dužine koja je

okomita na ravninu projekcije je točka.

Ako dužina leži u ravnini, onda je ona

sama sebi ortogonalna projekcija.

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F


105


projekcije zadanih dužina na zadane ravnine:

a) AB na ravninu EFG;

b) EG na ravninu ABC;

c) DC na ravninu BCG;

d) HE na ravninu ADH;

e) AG na ravninu DCG.

8. Odredi ortogonalne projekcije dužine FG na

ravnine:

a) ABC; b) EFG; c) BCG:

d) ADH; e) ABF; f) DCG.

9. Odredi ortogonalne projekcije dužine AH na

ravnine:

a) ABC; b) EFG; c) BCG:

d) ADH; e) ABF; f) DCG.

10. Odredi ortogonalne projekcije dijagonale AC


ravnine:

a) EFG; b) BCG; c) DCG.

11. Odredi ortogonalne projekcije prostorne

dijagonale AG kvadra ABCDEFGH na sve strane

kvadra.

12. Napiši neke dužine čija ortogonalna projekcija

na ravninu BCG je

a) dužina BC ;

b) dužina BG ;

c) točka C.

13. Promotri primjere dužina i njihovih ortogonalnih

projekcija. Što možeš reći o njihovim duljinama?

Može li duljina ortogonalne projekcije neke

dužine biti veća od duljine originalne dužine?

Navedi primjere koji ilustriraju tvoj zaključak.

14. Zadane su dimenzije kvadra: AB = 3 cm,

AD = 3 cm i AE = 4 cm.

a) Odredi duljinu plošne dijagonale AF ;

b) Koja dužina je ortogonalna projekcija

dijagonale AF na ravninu ABC?

c) Odredi duljinu ortogonalne projekcije dužine

AF na ravninu ABC.

15. Znamo da je duljina plošne dijagonale BG

kvadra ABCDEFGH dugačka 10 cm, a brid

BF = 8 cm. Odredi ortogonalnu projekciju

dužine BG na ravninu EFG i izračunaj joj duljinu.

Z a d a c i

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

Ako je dužina usporedna s ravninom projekcije tada je duljina njene ortogonalne

projekcije jednaka duljini zadane dužine. Ako nije, onda je duljina ortogonalne

projekcije dužine manja od duljine zadane dužine.

106


VježbalicaNa slici je dan plan objekta izgrađenog od sukladnih

kocaka, broj označava koliko se kocaka u visinu nalazi

na p ojedinom mjestu. Nacrtajte trodimenzionalni

prikaz tog objekta te poglede na njega s raznih

strana. (Za jednostavnije crtanje objekta napravite si

trokutastu mrežu kao u primjeru.)

1.

Rješenje:

POG

LED SLIJEV

A

POG

LED Z

DESN

A

1

23

1

2

2

POGLED SPRIJEDA

POGLED STRAGA

SPRIJEDA STRAGA

SLIJEVA ZDESNA

POG

LED SLIJEV

A

POG

LED Z

DESN

A

21

1

1

1

POGLED SPRIJEDA

POGLED STRAGA2.

POG

LED SLIJEV

A

POG

LED Z

DESN

A

1

22

1

3

POGLED SPRIJEDA

POGLED STRAGA5.

POG

LED SLIJEV

A

POG

LED Z

DESN

A

1

22

11

POGLED SPRIJEDA

POGLED STRAGA3.

POG

LED SLIJEV

A

1

2

1

3

POGLED SPRIJEDA

POGLED STRAGA

2

1

POG

LED Z

DESN

A

4

6.

POG

LED SLIJEV

A

POG

LED Z

DESN

A

21

1

1

2

3

POGLED SPRIJEDA

POGLED STRAGA4.

POG

LED SLIJEV

A

1

24

1

1

POGLED SPRIJEDA

POGLED STRAGA

2

2

POG

LED Z

DESN

A

1

7.

T r o k u t

107


5.7. Udaljenost točke od ravnineLukina zgrada

Luka stoji u svojoj sobi, na četvrtom katu zgrade. Ako znamo da je svaki kat

zgrade visok 250 cm i da je Luka visok 156 cm, kolika je, približno, udaljenost

kape na vrhu Lukine glave od ravnine tla na kojem je zgrada?

Pretpostavljamo da zgrada ima klasičan oblik uspravnog kvadra.

Nacrtaj skicu i označi crtu po kojoj bismo mjerili tu udaljenost.

Primjer 1. Udaljenost točkeKolika je udaljenost točke F od ravnine ABC

kvadra ABCDEFGH, ako su poznate dimenzije

kvadra: AB = 3 cm, AD = 2 cm i AE = 4 cm.

Koji vrhovi kvadra su jednako udaljeni od

ravnine ABC kao i točka F?

Rješenje:Obzirom da je ortogonalna projekcija točke

F na ravninu ABC točka B, udaljenost točke F

od ravnine ABC jednaka je duljini dužine BF .

Prema duljinama bridova kvadra ta duljina je 4

cm.

Vrhovi E, G i H jednako su udaljeni od ravnine

ABC kao i točka F. Zapravo svaka točka ravnine

EFG je od ravnine ABC udaljena točno 4 cm jer

se radi o točkama u usporednim ravninama.

VažnoUdaljenost točke od ravnine je udaljenost

te točke od njezine ortogonalne projekcije

na tu ravninu.

Ako točka leži u ravnini njezina udaljenost

od ravnine je nula.

udaljenost

točke od

ravnine

1. Odredi udaljenost točaka od ravnina ako su

dimenzije kvadra:

AB = 3 cm, AD = 2 cm i AE = 4 cm.

a) točke A od ravninu EFG;

b) točke H od ravninu ABC;

c) točke E od ravninu BCG;

d) točke C od ravninu ADH;

e) točke B od ravninu DCG.

2. Odredi udaljenost točke H od ravnina ako su

dimenzije kvadra:

AB = 4 cm, AD = 2.5 cm i AE = 5 cm.

a) ABC; b) EFG; c) BCG; d) ADH; e) ABF; f) DCG.

3. Odredi udaljenost sjecišta dijagonala

pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH od

ravnina. Dimenzije kvadra su:

AB = 6 cm, AD = 5 cm i AE = 15 cm.

a) EFG;

b) BCG;

c) DCG.

4. Odredi udaljenost sjecišta prostornih dijagonala

kvadra ABCDEFGH od svih strana kvadra.

Dimenzije kvadra su:

AB = 4 cm, AD = 1 cm i AE = 6 cm.

Z a d a c i

A

D

E

H G

C

B

F

a

107

108

5 . 7 . U d a l j e n o s t t o č k e o d r a v n i n e

Primjer 2. Točke s različitih strana ravninePromotrimo neku ravninu i točke E i F koje se

nalaze s različitih strana te ravnine. Dakle, dužina

EF probada tu ravninu. Odredi ortogonalnu

projekciju te dužine na zadanu ravninu.

Rješenje:Crtamo okomice iz zadanih točaka i određujemo

gdje probadaju ravninu.

Dužina AC koja spaja probodišta A i C je

ortogonalna projekcija dužine EF .

Zamislimo li da se zadana ravnina nalazi u

ravnini naših očiju tada je ne bismo vidjeli

kao plohu nego kao pravac. Prethodni primjer

pojednostavljeno možemo prikazati i ovako.

Takav način crtanja olakšava nam određivanje

pojedinih duljina. Primjerice, duljine

ortogonalne projekcije neke dužine.

E

F

E

F

A

C

E

F

A

C

E

F

A Cα

Primjer 3. Točke s iste strane ravninePromotrimo neku ravninu i točke E i F koje

se nalaze s iste strane te ravnine, pritom je

svejedno nalaze li se točke s “donje” ili “gornje”

strane ravnine. Dakle, dužina EF ne probada

tu ravninu. Odredi ortogonalnu projekciju te

dužine na zadanu ravninu.

Rješenje:

E

A Cα

F

E

F

α

108


109

Primjer 4. Duljina dužineTočka A udaljena je od ravnine 4 cm, a točka B 2

cm. Duljina dužine AB je 8 cm. Odredi duljinu

dužine A B' ' koja je ortogonalna projekcija

zadane dužine, ako su točke A i B:

a) s različitih strana ravnine;

b) s iste strane ravnine.

Rješenje:a) Najprije nacrtajmo skicu:

Primijetimo da skicu možemo nadopuniti da

bismo dobili pravokutan trokut ∆ABC .

U tom pravokutnom trokutu poznata nam je

duljina hipotenuze AB = 8 cm i jedne katete

AC = AA BB' '+ =6 cm. Duljina dužine A B' '

jednaka je duljini dužine BC , tj. katete trokuta

∆ABC . Korištenjem Pitagorinog poučka

jednostavno izračunamo traženu duljinu

dužine.

A B BC' ' .= = − = = ≈8 6 28 2 7 5 292 2 cm .

b) Najprije nacrtajmo skicu:

Primijetimo da skicu možemo nadopuniti da

bismo dobili pravokutan trokut ∆ABC .

U tom pravokutnom trokutu poznata nam je

duljina hipotenuze AB = 8 cm i jedne katete

AC = AA BB' '− = 2 cm. Duljina dužine A B' '

jednaka je duljini dužine BC , tj. katete trokuta ∆ABC . Korištenjem Pitagorinog poučka

jednostavno izračunamo traženu duljinu

dužine.

A B BC' ' .= = − = = ≈8 2 60 2 15 7 752 2 cm .

A

B

B′ A′�

2 cm

8 cm

4 cm

A

B

B′ A′�

2 cm

8 cm

4 cm

C

A

B

B′ A′�

2 cm

8 cm

4 cm

A

B

B′ A′�

2 cm

8 cm

4 cmC2 cm

5. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka B 1






6. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka

B 5 cm. Duljina dužine AB je 10 cm. Odredi

duljinu dužine A B' ' koja je ortogonalna

projekcija zadane dužine, ako su točke A i B:



Z a d a c i

110


7. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka B 1












9. Točka A udaljena je od ravnine 2 cm, a točka B

4 cm. Odredi duljinu dužine AB ako je duljina

njene ortogonalne projekcije 8 cm, ako su točke

A i B:



10. Točka A udaljena je odravnine 2 cm, a točka B


njene ortogonalne projekcije 3 cm , ako su

točke A i B:



11. Dužini AB jedna rubna točka pripada ravnini.

Duljina dužine AB je 12 cm i nagnuta je

prema ravnini pod kutom od 60°. Odredi duljinu

ortogonalne projekcije te dužine.

12. Dužina duljine 5 cm nagnuta je prema ravnini

pod kutom od 30°. Odredi duljinu njene

ortogonalne projekcije.

13. Dužina duljine a nagnuta je prema ravnini pod

kutom od 45°. Odredi duljinu njene ortogonalne

projekcije.

1. Nabroji pravce određene vrhovima kvadra

ABCDEFGH koji su okomiti na ravninu:

a) ADC; b) DCG; c) EFG;

d) AHD; e) AHE; f) FGD.

2. Napiši ravnine određene vrhovima kvadra

ABCDEFGH kvadra ABCDEFGH kojim je zadani

pravac okomica:

a) EF; b) DC; c) EH; d) GC.

3. Napiši pravce određene vrhovima kvadra

ABCDEFGH koji su okomiti na zadane ravnine:

a) ACD; b) EFH; c) FCG.

4. Nabroji ravnine određene vrhovima kvadra


a) ABD; b) FDB; c) BCF;

d) AHD; e) AFE; f) DGC.



a) točke E na ravninu EFG;

b) točke F na ravninu ADH;

c) točke C na ravninu FGH;

d) točke D na ravninu FCG;

e) točke E na ravninu ADH.



a) točke G na ravninu FEG;

b) točke C na ravninu FGH;

c) točke D na ravninu FBA;

d) točke D na ravninu BFH;

e) točke E na ravninu ABF.

Vježbalica

T r o k u tT r o k u t

111



projekcije zadanih točaka na zadane ravnine

a) točke C na ravninu EGC;

b) točke D na ravninu ABF;

c) točke A na ravninu FGH;

d) točke B na ravninu GFC;

e) točke G na ravninu AHD.



ravnine:

a) HGC; b) FCB; c) ABC.


pravokutnika BCFG na kvadru ABCDEFGH na

ravnine:

a) EFG; b) ABF; c) ADH.



a) AD na ravninu EFG;

b) EA na ravninu ABC;

c) FG na ravninu DCG;

d) EF na ravninu ADH;

e) AG na ravninu ADH.



a) AE na ravninu BCG;

b) ED na ravninu ACD;

c) HF na ravninu DFH;

d) EA na ravninu AEF;

e) AH na ravninu ABC.

12. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi

ortogonalne projekcije zadanih dužina na

zadane ravnine:

a) AG na ravninu EFG;

b) HB na ravninu ABC;

c) FD na ravninu FCG;

d) EG na ravninu ADE;

e) AC na ravninu ADH

13. Odredi ortogonalne projekcije dijagonale ACpravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH na

ravnine:

a) EHD; b) BFH; c) DCG.

14. Zadane su dimenzije kvadra: AB = 5 cm,

AD = 8 cm i AE = 12 cm.

a) Odredi duljinu plošne dijagonale AF ;

b) Koja dužina je ortogonalna projekcija

dijagonale AF na ravninu ABC?

c) Odredi duljinu ortogonalne projekcije dužine

AF na ravninu ABC.

15. Znamo da je duljina plošne dijagonale BG

kvadra ABCDEFGH dugačka 25 cm, a brid BF

= 24 cm. Odredi ortogonalnu projekciju dužine

BG na ravninu EFG i izračunaj joj duljinu.

16. Znamo da je duljina plošne dijagonale ED

kvadra ABCDEFGH dugačka 17 cm, a brid AD

= 15 cm. Odredi ortogonalnu projekciju dužine

ED na ravninu EFG i izračunaj joj duljinu.

17. Znamo da je duljina plošne dijagonale FC

kvadra ABCDEFGH dugačka 29 cm, a brid

AD = 21 cm. Odredi ortogonalnu projekciju

dužine FC na ravninu ABC i izračunaj joj

duljinu.


dimenzije kvadra: AB = 28 cm, AD = 45 cm i

AE = 60 cm

a) točke B od ravninu EFG;

b) točke H od ravninu EFG;

c) točke E od ravninu ABF;

d) točke F od ravninu ADH;




AE = 42 cm.

a) točke A od ravninu ECG;

b) točke C od ravninu AEG;

c) točke G od ravninu ABF;

d) točke H od ravninu ADE;


20. Odredi udaljenost sjecišta dijagonala

pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH od

ravnine ADH. Dimenzije kvadra su: AB = 3 cm,

AD = 4 cm i AE = 5 cm.

112


21. Odredi udaljenost sjecišta prostornih dijagonala

kvadra ABCDEFGH od svih strana kvadra.

Dimenzije kvadra su: AB = 8 cm, AD = 15 cm

i AE = 20 cm.















njene ortogonalne projekcije 35 cm, ako su

točke A i B:





njene ortogonalne projekcije 40 cm, ako su

točke A i B:



26. Dužini AB jedna rubna točka pripada ravnini.

Duljina dužine AB je 15 cm i nagnuta je prema

ravnini pod kutom od 60°. Odredi duljinu

ortogonalne projekcije te dužine.

27. Dužina duljine 8 cm nagnuta je prema ravnini

pod kutom od 30°. Odredi duljinu njene

ortogonalne projekcije.

28. Dužina duljine 10 nagnuta je prema ravnini pod

kutom od 45°. Odredi duljinu njene ortogonalne

projekcije.

29. Duljine bridova kvadra su AB = 8 cm, AD = 15 cm,

AE = 10 cm.

a) Izračunaj duljinu ortogonalne projekcije BC

na ravninu BGH;

b) Izračunaj duljinu ortogonalne projekcije AH

na ravninu ADC;

c) Izračunaj duljinu ortogonalne projekcije EF

na ravninu BCG;

d) Izračunaj udaljenost točke B od ravnine CDG;

e) Izračunaj udaljenost točke D od ravnine GEH.

30. Izračunaj duljinu ortogonalne projekcije

dužine MN duljine 61 cm koja siječe ravninu

projiciranja ako je točka M udaljena od ravnine

20 cm, a točka N 40 cm.

31. Dužina RS duljine 29 cm ne siječe ravninu

projiciranja. Točka R udaljena je od nje 15 cm,

a točka S 8 cm. Odredi duljinu ortogonalne

projekcije te dužine.

32. Izračunaj duljinu dužine AB koja ne siječe

ravninu projiciranja, ako je duljina njene

ortogonalne projekcije 21 dm. Točka A udaljena

je od ravnine 8 dm, a točka B 28 dm.

33. Izračunaj duljinu dužine koja siječe ravninu

projiciranja ako je duljina njene ortogonalne

projekcije 24 cm.Točka A udaljena je od ravnine

8 cm, a točka B 4 cm.

34. Duljina dužine MN je 18 cm i točka N leži

u ravnini projiciranja. Izračunaj duljinu

ortogonalne projekcije te dužine ako ona s

ravninom R zatvara kut :

a) 60°; b) 30°; c) 45°.

T r o k u t

113


113

5.8. Ponavljanje

1. Koliko najmanje točaka određuje jednu

ravninu?

2. Čime sve možemo zadati jednu ravninu?

3. Koliko najmanje zajedničkih točaka moraju

imati pravac i ravnina da bi znali da pravac

leži u ravnini?

4. Skiciraj i opiši sve međusobne položaje

dvaju pravaca u ravnini.


dvaju pravaca u prostoru.


pravaca i ravnine u prostoru.


dviju ravnina u prostoru.

8. Objasni kada je neki pravac okomit na

ravninu.

9. Objasni kada su dvije ravnine međusobno

okomite.

10. Što je ortogonalna projekcija točke na

ravninu?

11. Što je ortogonalna projekcija dužine na

ravninu?

Pitanja za ponavljanje:

1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji ravnine

a) BCD; b) BCG; c) DCG.

2. Napiši vrhove kvadra koji pripadaju nacrtanim

ravninama. Napiši sve pravce određene tim

vrhovima koji leže u nacrtanim ravninama.

a)

b)

Z a d a c i z a p o n a v l j a n j e :

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

114

5 . 8 . P o n a v l j a n j e

3. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i odgovori na pitanja:

a) Pripada li ravnini ABF točka: A; B; D; E;

b) Pripada li ravnini EFG točka: A; B; G; E;

c) Pripada li ravnini ADH točka: A; B; D; E.

4. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i napiši vrhove kvadra

koji ne leže u ravnini:

a) BCG; b) DCG; c) EFG.



a) B; b) D; c) F.



a) BC; b) AC; c) BH.

7. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i nacrtaj jedan par

pravaca koji:

a) su usporedni; b) su mimosmjerni; c) se sijeku.



a) AD i BC; b) BC i EH; c) EF i FG;

d) AG i BH; e) CD i AB; f) EH i BG.


parova pravaca koji se sijeku. Napiši koji su to


10. Napiši po tri pravca koji

a) probadaju nacrtanu ravninu;

b) su usporedni za nacrtanom ravninom;

c) leže u nacrtanoj ravnini;

d) su okomiti na nacrtanu ravninu.

11. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni bojom dva

pravca koji probadaju ravninu:

a) BCD; b) BCG; c) EFG.

12. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni bojom dva

pravce koji pripadaju ravnini:

a) DCH; b) ABC; c) FHB.

13. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni bojom pravce

koji su usporedni s ravninom:

a) FGH; b) ADH; c) DCG.

14. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH i napiši

tražene ravnine:

a) usporedne s BCG; b) sijeku se s ABC;

c) usporedne s CGH; d) sijeku se s ABG.

e) okomite na ADH; f) okomite na EFG,

15. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i zadane ravnine.

Napiši u kakvom položaju su te ravnine.

a) ABC i ACG; b) FGH i BCF;

c) ABF i ADH; d) DCH i DCF;

e) FGH i DBF; f) FHD i DCB;

16. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH. i nabroji

sve pravce određene vrhovima kvadra, koji

probadaju ravninu:

a) EFG; b) BDH; c) ADH.

17. Napiši ravnine određene vrhovima kvadra koje su:

a) usporedne sa zadanom;

b) okomite na zadanu ravninu.

18. Napiši pravce određene vrhovima kvadra koji su:

a) usporedni sa zadanom;

b) okomiti na zadanu ravninu.

19. Napiši ravnine kojima je zadani pravac okomica:

a) DC; b) BC; c) FG; d) GC.

20. Nabroji ravnine određene bridovima kvadra


a) BCG; b) BEF; c) ABC.

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

FA

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

T r o k u t

115


115

21. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi

ortogonalne projekcije zadanih točaka na

zadane ravnine:

a) točke B na ravninu EFG;

b) točke G na ravninu ABC;

c) točke H na ravninu BCG;

d) točke A na ravninu ADH;

e) točke F na ravninu DCG.

22. Odredi ortogonalne projekcije točke A na

ravnine:

a) ABC; b) EFG; c) BCG: d) ADH;

e) ABF; f) DCG.

23. Odredi ortogonalne projekcije dužine AB na

ravnine:

a) ABC; b) EFG; c) BCG: d) ADH;

e) ABF; f) DCG.

24. Odredi ortogonalne projekcije dijagonale BD


ravnine:

a) EFG; b) BCG; c) DCG.

25. Kolika je udaljenost točke G od ravnine ABC

kvadra ABCDEFGH, ako su poznate dimenzije

kvadra: AB = 4 cm, AD = 2 cm i

AE = 5 cm. Koji vrhovi kvadra su jednako

udaljeni od ravnine ABC kao i točka G?

26. Odredi udaljenost točke A od ravnina ako su


AE = 4 cm:

a) BCD; b) FGH; c) BCF: d) ADE;

e) BEF; f) HCG.









njene ortogonalne projekcije 12 cm , ako su

točke A i B:



1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji

ravninu BCG.

2. a) Nabroji vrhove kvadra koji pripadaju ravnini

ADH;

b) Nabroji vrhove kvadra koji ne pripadaju

ravnini ADH.

3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa na njemu istakni

pravac i ravninu koji su

a) usporedni; b) okomiti;

c) pravac probada ravninu.

4. Nabroji pravce određene vrhovima kvadra

ABCDEFGH, koji su:

a) okomiti; b) usporedni;

c) pridaju ravnini EFG.

5. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa na njemu istakni

dva mimosmjerna pravca.

6. Napiši po jedan par ravnina određenih vrhovima

kvadra ABCDEFGH, koje su:

a) okomite; b) usporedne; c) sijeku se.

7. Odredi ortogonalne projekcije zadanih točaka na

zadane ravnine:

a) točke C na ravninu EFG;

b) točke E na ravninu BCG.

8. Odredi ortogonalne projekcije dužine BG na

ravnine:

a) EFG; b) ADH.


2 cm. Duljina dužine AB je 13 cm. Odredi






116

6. Geometrijska tijelaVažni pojmovi:poliedriprizmepiramidekvadarkockatetraedarbaza i pobočjevaljakstožac izvodnica stošcakuglasferaoplošje obujammreža

geometrijskog tijela

U geometriji ravnine smo promatrali geometrijske likove i računali njihov opseg i

površinu. Sada promatramo odnose u geometriji prostora. Osim točaka, pravaca

i ravnina, u prostoru se nalaze i još neki skupovi točaka: geometrijska tijela. To

su, primjerice, kvadar, kocka, kugla, piramida, valjak, stožac itd.

Ova geometrijska tijela su poznata iz najstarijih civilizacija. Iz praktičnih potreba

trebalo je znati izračunati obujam pojedinog tijela, tj. izračunati koliki prostor

zauzima pojedino tijelo, ili koliko vode ili pijeska stane u njega i sl.

Obujam su znali mjeriti već stari Egipćani i Babilonci. Oni su znali točno izračunati

obujam kocke i kvadra, te približno i druga geometrijska tijela. Grci su zatim

točno izveli mnoge formule za volumene geometrijskih tijela.

kvadar

valjakpiramida

kuglastožackockakvadar

valjakpiramida

kuglastožackocka

kvadar

valjakpiramida


valjakpiramida


valjakpiramida


valjakpiramida

kuglastožackocka

kvadar kocka

stožac kugla

piramida valjak

117

G e o m e t r i j s k a t i j e l a


- Koja su to uglata, a koja obla tijela;

- Koja je razlika između prizmi i piramida;

- Kolika je duljina prostorne dijagonale kocke;

- Što je to mreža poliedra;

- Imaju li prizma i piramida jednake obujmove ako su im baze i visine sukladne;

- Što je to tetraedar;

- Što je to izvodnica stošca;

- Koja je razlika između kugle i sfere.

Kratki zadaci za ponavljanje

1. Što je opseg mnogokuta?

2. Navedi formule za opseg trokuta,

pravokutnika, paralelograma, kvadrata,

romba, trapeza i pravilnog mnogokuta.

3. Kako glasi formula za površinu trokuta?

4. Kako glasi formula za površinu jednakostra

ničnog trokuta?

5. Kako glasi Pitagorin poučak?

6. Kako glasi formula za površinu kvadrata?

Kako glasi formula za površinu

pravokutnika?

7. Kako glasi formula za površinu romba?

8. Navedi mjerne jedinice za obujam.

118

6 . 1 . V r s t e g e o m e t r i j s k i h t i j e l a

Koja je razlika?

Koja je razlika između slika u prvom i drugom retku? Znaš li kako se nazivaju

ovi skupovi točaka?

U ovom mnoštvu geometrijskih tijela ipak prepoznajemo neke sličnosti i

međusobne razlike između tijela, tako da ih možemo podijeliti u grupe. Jedna

od osnovnih podjela geometrijskih tijela je ona na uglata i obla geometrijska

tijela. Tako su uglata geometrijska tijela, primjerice: kvadar, kocka, sve prizme

i piramide. Obla geometrijska tijela su, primjerice: stožac, valjak i kugla. Svako

geometrijsko tijelo je omeđeno plohama. Ukoliko su sve plohe dijelovi ravnine

(mnogokuti), govorimo o uglatim tijelima. Ako postoji bar jedna ploha koja

omeđuje geometrijsko tijelo koja nije dio ravnine, već je “zakrivljena” u prostoru,

tijelo je oblo.

6.1. Vrste geometrijskih tijela

Primijetimo veliku razliku između crteža u prvom i drugom retku uvodnog

primjera. U prvom retku se nalaze geometrijski likovi. To su skupovi točaka u

ravnini. U drugom retku se nalaze geometrijska tijela. To su skupovi točaka

u prostoru. Kao i kod likova u ravnini, tako i u prostoru ima mnogo vrsta

geometrijskih tijela. Na slici se nalaze neka tijela koja ćemo spominjati u ovoj

cjelini. Upoznajmo se s njima.

S

S

S

S

S

S

S

S

kvadar

valjak

četverostrana piramida

kuglastožac

kocka peterostrana prizma trostrana prizma

šesterostrana prizma četverostrana prizma

kojoj je baza trapez

trostrana piramida peterostrana

piramida

šesterostrana

piramida

kvadar

valjak


kuglastožac





piramida

šesterostrana

piramida

kvadar

valjak


kuglastožac





piramida

šesterostrana

piramida

kvadar

valjak


kuglastožac





piramida

šesterostrana

piramida

119


Primjer 1. Uglata geometrijska tijelaOsnovni elementi svakog geometrijskog tijela

su vrh, brid i strana.

a) Koliko je uglatih, a koliko oblih tijela na

slici?

b) Na svakoj slici pronađi vrhove, bridove i

strane;

c) Koliko svako geometrijsko tijelo sa slike

ima vrhova, bridova, te strana?

Rješenje:a) Sva geometrijska tijela sa slike su uglata.

Uglata geometrijska tijela se nazivaju

poliedri.

b) Vrhove, bridove i strane smo već upoznali

kod kvadra. Svako uglato geometrijsko

tijelo je omeđeno mnogokutima – to su

strane tog tijela. Dužina koja je zajednička

dvjema stranama zove se brid. Točka koja

je zajednička trima ili više bridovima zove

se vrh.

c) Kvadar ima 8 vrhova, 12 bridova i 6 strana.

Četverostrana piramida ima 5 vrhova, 8

bridova i 5 strana. Peterostrana prizma ima

10 vrhova, 15 bridova i 7 strana. Kocka ima

8 vrhova, 12 bridova i 6 strana.

E D

GF

J IH

C

BAA

D

V

C

B

Ovo j edio ravne plohe.

Kažemo da j e to dio ravn ine.

Ovo j e dio zakr ivlj ene

plohe.

kome ti da j e zakr ivlj en?

6 . 1 . V r s t e g e o m e t r i j s k i h t i j e l a

Primjer 3. Obla geometrijska tijelaKoja od nacrtanih tijela su obla? Kako se zovu

obla tijela sa slike?

Rješenje:Obla geometrijska tijela su omeđena bar jednom

zakrivljenom plohom.

Primjer 2. Prizme i piramidePogledaj uglata tijela sa slika.

Prizme:

Piramide:

Što je zajedničko svim prizmama, a što svim

piramidama?

Rješenje:Sve prizme imaju svoje dvije strane koje se

nalaze u paralelnim ravninama. Te dvije strane

nazivamo dvije baze prizme. Po tome ih i

prepoznajemo:

Preostale strane prizme se nazivaju pobočke

prizme. Pobočke prizme sa slike su

pravokutnici.

Usporedimo li piramide s prizmama, primje–

ćujemo da piramide imaju samo jednu bazu, a

umjesto druge baze imaju točku koja se naziva

vrh piramide. Pobočke piramide su trokuti.

pobočke

baze

pobočke

baza

vrh

štozac kugla valjak

Z a d a c i

120

1. Koja geometrijska tijela prepoznaješ na slici:

a)

f)e)d)

c)b)a)

f)e)d)

c)b)

a)

f)e)d)

c)b)a)

f)e)d)

c)b)a)

f)e)d)

c)b)

121

2. Na slici su prikazana neka geometrijska tijela.

a) Prepoznaj sva tijela sa slike;

b) Koliko vrhova ima svako tijelo?

c) Koliko bridova ima svako tijelo?

d) Koliko strana ima svako tijelo?

e) Koji geometrijski likovi predstavljaju strane?

3. Koja geometrijska tijela prepoznaješ na slici:

4. Navedi nekoliko primjera gdje u svakodnevnom

životu susrećeš:

a) trostranu prizmu;

b) četverostranu piramidu; c) valjak;

d) kvadar; e) kuglu; f) kocku; g) stožac?

5. Od kojih tijela se sastoje ova složena tijela na

slici:

6. Koje tvrdnje su točne?

a) Prizma je oblo geometrijsko tijelo;

b) Piramida je uglato geometrijsko tijelo;

c) Prizma je uglato geometrijsko tijelo;

d) Kugla je oblo geometrijsko tijelo;

e) Valjak je oblo geometrijsko tijelo.

Prepoznaj prizme!

Na slici se nalaze uglata geometrijska tijela. Kako ćeš među njima prepoznati prizme?

U prethodnom poglavlju smo naučili da prizma spada u uglata

geometrijska tijela, tj. u poliedre. Među stranama svake prizme

primjećujemo njene dvije strane koje se nalaze u paralelnim

ravninama.

Te dvije strane nazivamo bazama prizme. Baze prizme

su razni mnogokuti, uvijek se radi o dva sukladna

mnogokuta. Preostale strane prizme se nazivaju

pobočke prizme. Sve pobočke prizme čine pobočje.

6.2. Osnovno o prizmama

A

D

E

H G

C

B

F

pobočke

prizme

dvije baze

ili osnovke


6 . 2 . O s n o v n o o p r i z m a m a

Bridovi koji pripadaju bazama nazivaju se osnovni bridovi, jer se baza još naziva

i osnovka. Preostali bridovi se nazivaju bočni bridovi, jer su zajednički dvjema

pobočkama.

U svakodnevici na svakom koraku susrećemo prizme. U sljedećim primjerima

ćemo pokazati neke vrste prizmi, te njihova osnovna svojstva.

osnovni brid

bočni brid

Primjer 1. Vrste prizmiPogledaj ove prizme. Po čemu se one

razlikuju?

Rješenje:Svaka prizma na zadanoj slici ima različitu

bazu. Tako je na prvoj slici baza peterokut.

Zato se ta prizma naziva peterostrana prizma.

Na drugoj slici je baza trokut, pa se takva

prizma naziva trostrana prizma. Na trećoj slici

je baza osmerokut, pa se takva prizma naziva

osmerostrana prizma.

122

Z a d a c i1. Kako se nazivaju prizme na slici? 2. Kako se nazivaju prizme na slici?

3. Kako se naziva prizma ako joj je baza:

a) deseterokut; b) osamnaesterokut;

c) trideseterokut; d) stoterokut?

4. Skiciraj ove prizme pa im oboji baze crveno, a

pobočje plavo:

a) trostrana; b) četverostrana;

c) peterostrana; d) šesterostrana

a)

c)

b)

a) b) c)

e)d)

a) b) c)

e)d)

a) b) c)

e)d)

a) b) c)

e)d)

123


Primjer 2. Uspravna i kosa prizmaPogledaj ove prizme. Po čemu se one razlikuju?

Rješenje:

Obje prizme su peterostrane, no one ipak nisu

jednake. Na lijevoj slici se nalazi uspravna prizma.

Kod uspravne prizme ortogonalna projekcija gornje

baze na ravninu donje baze se potpuno podudara

s donjom bazom. Sve pobočke uspravne

prizme su uvijek pravokutnici.

Na desnoj slici se nalazi kosa prizma.

Njene pobočke su paralelogrami. No,

prizme koje ćemo mi proučavati biti će samo

uspravne prizme.

uspravna i

kosa prizma

pravilna

prizma

Primjer 3. Pravilna prizmaPogledaj ove prizme. Po čemu se one razlikuju

u svakom zadatku?

Rješenje:a) Primijetimo da su na slici pod a) obje prizme

četverostrane i uspravne. No, ipak ih još po

nečemu razlikujemo. Osnovni bridovi prve

prizme su svi jednakih duljina.

Baza je dakle kvadrat, tj.

pravilni četverokut. Zato takvu

prizmu nazivamo pravilna

četverostrana prizma.

b) Baza druge prizme ima sve stranice

jednakih duljina. To je pravilni trokut, tj.

jednakostranični trokut. Zato takvu prizmu

nazivamo pravilna trostrana prizma.

Pravilna prizma je uspravna prizma kojoj je

baza pravilan mnogokut.

a)

d

b)

bd

d

d

b

a

c

aa

a

ef d

d d

d

d

aa

a

m mm

m mm

124

6 . 2 . O s n o v n o o p r i z m a m a

Z a d a c i5. Na kojoj slici se nalaze:

a) trostrane prizme;

b) četverostrane prizme;

c) peterostrane prizme;

d) šesterostrane prizme?

6. Koje prizme primjećuješ na slikama:

7. Navedi gdje sve u životu susrećemo:

a) četverostrane prizme;

b) peterostrane prizme;

c) šesterostrane prizme;

d) trostrane prizme.

8. Skiciraj pravilnu, uspravnu trostranu prizmu.

9. Skiciraj pravilnu, uspravnu četverostranu

prizmu.

10. Skiciraj pravilnu, uspravnu šesterostranu

prizmu.

11. Na kojoj slici se nalaze:

a) uglata tijela;

b) obla tijela;

c) prizme;

d) piramide;

e) trostrane prizme;

f) uspravne prizme;

g) četverostrane uspravne prizme;

h) kose prizme?

7. Koje od ovih prizmi su četverostrane:

1

54

32

6

1

7

5

8

2

6

34

9

1

75

8

2

6

3

4

910

125



a) Prepoznaj sva tijela sa slike;





f) Ispiši za svaku od nacrtanih prizmi koji likovi

su joj baze;.

g) Ispiši za svaku od nacrtanih prizmi koji likovi

su joj bočne strane (pobočke);

h) Koliko svaka prizma ima baza?

i) Koliko svaka od nacrtanih prizmi ima bočnih

strana?

j) Koliko svaka od nacrtanih prizmi ima vrhova?

k) Koliko svaka od nacrtanih prizmi ima

osnovnih bridova?

l) Koliko svaka od nacrtanih prizmi ima bočnih

bridova?

m) Koje prizme od nacrtanih su pravilne?

Vježbalica

126

6 . 3 . K v a d a r

Što im je zajedničko?

Koja geometrijska tijela prepoznaješ na slikama? Kojoj vrsti pripadaju?

Navedi još nekoliko takvih predmeta.

Mnogi predmeti oko nas imaju oblik prizme kojoj

je baza pravokutnik. Takva četverostrana prizma

se naziva kvadar.

Kao što znamo, kvadar ima 8 vrhova, 12 bridova i

6 strana. Sve strane kvadra su pravokutnici.

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik.

Osnovni i bočni bridovi kvadra mogu biti različitih duljina. Među njima se ističu

dvije vrste kvadra:

1. Kvadar kojem su svi osnovni bridovi jednakih duljina. Baza takvog kvadra je

kvadrat, a pobočke su pravokutnici. Takav kvadar se naziva kvadratna prizma

ili pravilna četverostrana prizma.

2. Kvadar koji ima sve bridove jednakih duljina. Sve strane takvog kvadra su

kvadrati. Takav kvadar se naziva kocka. Njome ćemo se detaljnije pozabaviti u

sljedećem poglavlju.

6.3. Kvadar

A

D

E

H G

C

B

F

127


Primjer 1. Crtanje kvadra u kosoj projekcijiZadan je kvadar s bridovima dugim a = 3 cm,

b = 4 cm, c = 5 cm. Nacrtaj ga!

Rješenje:Geometrijska tijela nije moguće nacrtati u

ravnini (na papiru) u zadanim dimenzijama.

Zato ćemo ih crtati u kosoj projekciji. To znači

da bridovi koji se nalaze s prednje strane

obzirom na kut gledanja, ili oni bridovi paralelni

s prednjima, kod crtanja ostaju nepromijenjenih

duljina. Ostali bridovi (koji prikazuju dimenziju

“dubine”) se crtaju skraćeni obzirom na svoju

pravu duljinu i zbog perspektive se crta ju pod

određenim ku tom. Ima

mnogo mogućnosti za

crtanje u kosoj projekciji,

ali mi ćemo odabrati da

je kut α = 45º i da je

bočni brid dvostruko

kraći od svoje stvarne

duljine (kažemo da je

prikrata 12

).

Ako kod zadanog kvadra

uzmemo da je a duljina, a c visina kvadra,

tada ćemo brid b nacrtati pod kutom od 45º u

odnosu na brid a i dvostruko skraćen.

Primjer 2. Plošna i prostorna dijagonala kvadraIzračunaj duljinu D sa slike:

Rješenje:Kut između brida c i ravnine u kojoj leži baza

kvadra je pravi kut. Stoga je i trokut istaknut na

ovoj slici pravokutni trokut.

Naučili smo da

kvadar ima dvije

vrste dijagonala:

plošne i prostorne

d i j a g o n a l e .

Traži se duljina

p r o s t o r n e

dijagonale D.

Katete ovog pra–vokutnog trokuta su visina

c i plošna dijagonala d. Duljinu d nije

teško izračunati primjenom

Pitagorinog poučka:

d2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

d = 5 cm.

Sada izračunajmo duljinu pro–

storne dijagonale D, također

primjenom Pitagorinog poučka:

D2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169

D = 13 cm.

Tražena prostorna dijagonala D

kvadra je duga 13 cm.

Prostorna dijagonala kvadra

Zadan je kvadar s

bridovima a, b i c.

Tada je duljina njegove

prostorne dijagonale

D jednaka: D2 = d2 + c2

No, kako je d2 = a2 + b2,

tada je D2 = a2 + b2 + c2.

Dakle, duljina prostorne dijagonale kvadra s

bridovima a, b i c je D = a b c2 2 2+ + .

Iz ove formule slijedi da kvadar ima sve četiri

prostorne dijagonale jednakih duljina.

45°a

c

b

a = 3 cm

c = 12 cm

b = 4 cm

D

a

c

b

D

da = 3 cm

b = 4 cmd

cD

d

a

c

b

D

d

6 . 3 . K v a d a r

Z a d a c i1. Zadan je kvadar s bridovima dugim

a = 3 cm, b = 4 cm, c = 3.5 cm.

a) Nacrtaj taj kvadar u kosoj projekciji;

b) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale tog

kvadra.

2. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kvadra

ako su zadane duljine njegovih bridova:

a) 6 cm, 8 cm, 10 cm;

b) 2.5 mm, 3.3 mm, 7 mm;

c) 0.25 cm, 6 cm, 6 cm;

d) 2 2 dm, 2 dm, 3 2 dm.



a) 30 cm, 4 dm, 12 dm;

b) 32 mm, 4.5 cm, 50 mm;

c) 0.25 m, 6 dm, 45 cm; d) 1.5 m, 82 cm, 6 dm.

4. Može li kišobran duljine 70 cm stati u kofer dug

55 cm, širok 40 cm i visok 15 cm? Objasni svoj

odgovor.

5. Može li čačkalica duljine 7.3 cm stati u kutijicu

s dimenzijama 4.2 cm, 5 cm, 3.5 cm?

6. Može li štap duljine 4 m stati u sobu s

dimenzijama 2.5 m x 3 m x 3 m?

7. Izračunaj duljinu brida kvadra kojem su zadane

prostorna dijagonala i duljine drugih dvaju

bridova:

a) D = 6.5 dm, b = 1.5 dm, c = 2 dm;

b) D = 7 cm, a = 3 cm, c = 2 cm;

c) D = 11.3 mm, a = 4 mm, b = 4.1 mm;

d) D = 6 2 dm, b = 2 dm, c = 2 2 dm.

8. Zadan je kvadar s bridovima dugim 5 cm,

5 cm i 8 cm. Kako se naziva ta vrsta kvadra?

Nacrtaj sliku i računanjem se uvjeri da sve četiri

prostorne dijagonale imaju jednake duljine.

9. Nacrtaj kvadar sa bridovima dugim 4 cm,

2.5 cm i 6.3 cm. Izračunaj duljine svih plošnih i

prostornih dijagonala ovog kvadra.

10. Plošne dijagonale kvadra su duge 10 cm, 12 cm

i 14 cm. Kolika je duljina prostorne dijagonale

kvadra?

11. Plošne dijagonale kvadra su duge 2 dm,

2 3 dm i 11 dm. Kolika je duljina prostorne

dijagonale kvadra?

Primjer 3. Mreža kvadraPogledaj ove pravokutnike. Koji od ovih likova

presavijanjem po istaknutim dužinama može

formirati kvadar?

Rješenje:Ovakav oblik prikazivanja geometrijskih tijela

pomoću likova u ravnini koji presavijanjem u

prostoru mogu formirati geometrijsko tijelo

naziva se mreža. Presavijanjem kvadar mogu

formirati likovi sa slika a) i c). Dakle, mreže

kvadra se nalaze na slikama a) i c).

Mreža kvadra

Mreža kvadra se može nacrtati na više načina.

Evo nekoliko primjera:

a) b)

c)

128


Primjer 4. Oplošje kvadraZadan je kvadar s bridovima 2.5 cm, 5 cm i

4.2 cm. Želimo nacrtati njegovu mrežu i iz nje

složiti kvadar. Koliko će nam točno papira za to

trebati?

Rješenje:Znamo da su sve strane kvadra pravokutnici.

Stoga je potrebno izračunati površinu koliko je

papira potrebno za izradu svih pravokutnika.

Površina baze je 2.5 • 5 = 12.5 cm2. Površina

prednje strane je 2.5 • 4.2 = 10.5 cm2. Površina

bočne strane je 5 • 4.2 = 21 cm2.

Primijetimo da su nasuprotne strane kvadra

sukladni pravokutnici. Dakle, u kvadru imamo

dvije sukladne baze, zatim sukladnu prednju i

stražnju stranu i dvije sukladne bočne strane.

Stoga je ukupna površina papira potrebnog za

izradu mreže ovog kvadra jednaka:

O = 2 • 12.5 + 2 • 10.5 + 2 • 21 =

25 + 21 + 42 = 88 cm2.

Ukupnu površinu smo označili slo-

vom O jer ona označava oplošje

kvadra. Oplošje kvadra je zbroj

površina svih strana kvadra.

Oplošje kvadra

Oplošje kvadra je zbroj površina svih strana

tog kvadra. Dodajmo tome da su kod kvadra

sve strane pravokutnici. Kako svaka strana

kvadra ima svoju paralelnu stranu koja joj je

sukladna, oplošje kvadra s bridovima duljine

a, b i c možemo računati po formuli

O = 2ab + 2bc + 2ca ili O=2(ab+bc+ca).

oplošje

kvadra

Z a d a c i12. Izračunaj oplošje kvadra s bridovima duljine:

a) 3 cm, 2 cm, 5 cm; b) 1 cm, 2.5 cm, 3 cm;

c) 4 cm, 23 mm, 0.35 dm;

d) 3 2 cm, 2 cm, 2 cm.

13. izračunaj oplošje kvadra s bridovima duljine:

a) 30 cm, 4 dm, 12 dm;

b) 32 mm, 4.5 cm, 50 mm;

c) 0.25 m, 6 dm, 45 cm; d) 1.5 m, 82 cm, 6 dm.

14. Izračunaj duljinu brida kvadra ako su poznati

oplošje O i duljine ostalih dvaju bridova a i b:

a) O = 62 cm2, a = 2 cm, b = 5 cm;

b) O = 45 cm2, a = 4 cm, b = 3 cm;

c) O = 54 cm2, a = 1 cm, b = 10 cm;

d) O = 14 cm2, a = 2 2 cm, b = 2 cm.

15. Koliko će papira trebati za omotavanje poklon-

kutije oblika kvadra koja ima dimenzije:

a) 6 dm x 3 dm x 4 dm;

b) 2.5 cm x 5 cm x 3.2 cm;

c) 2 dm x 30 cm x 0.02 m;

d) 3 dm x 3 2 dm x 1 dm.

16. Kolika je prostorna dijagonala kvadra ako je

njegovo oplošje 148 cm2, a bridovi baze dugi

4 cm i 5 cm?

17. Od papira napravi mrežu kvadara s

dimenzijama:

a) a = 4 cm, b = 2.5 cm, c = 6 cm;

b) a = 2 cm, b = 3.5 cm, c = 7 cm.

Izračunaj za koji kvadar ćemo potrošiti više

papira.

18. Može li limar od pravokutnog komada lima

dimenzija 1 m x 1.5 m načiniti sa svih strana

zatvorenu cijev pravokutnog presjeka s

dimenzijama 4 cm x 1.5 cm x 15 m?

19. Limaru treba cijev duga 135 cm. Cijev treba

biti u presjeku pravokutnik širine 6 cm i visine

4 cm. Može li limar od pravokutnog komada

lima dimenzija 45 cm x 60 cm načiniti tu cijev

kao na slici?

129

6 . 3 . K v a d a r

130

Primjer 5. Kvadratna prizmaBaza kvadra je kvadrat sa stranicom duljine

4.5 cm. Koliki su oplošje i duljina prostorne

dijagonale tog kvadra ako je njegova visina

6 cm?

Rješenje:Budući da je baza ovog

kvadra kvadrat, radi se

o kvadratnoj prizmi, tj.

pravilnoj četverostranoj

prizmi.

Oplošje je zbroj površina svih strana kvadra.

Stoga, da bismo izračunali oplošje zadanog

kvadra, primijetimo da su mu baze kvadrati

sa stranicom 4.5 cm. Pobočke su mu četiri

sukladna pravokutnika sa stranicama 4.5 cm i

6 cm. Oplošje zadane kvadratne prizme je

O = 2 • 4.52 + 4 • 4.5 • 6 = 40.5 + 108 =

148.5 cm2.

Prostorna dijagonala zadane kvadratne prizme

je

D = 4 5 4 5 6 8 752 2 2. . .+ + ≈ cm.

a

b

b

a

a

a

Z a d a c i20. Duljine bridova baze kvadra su 14 cm i 15 cm,

a njegova prostorna dijagonala je duga 22 cm.

Koliko je oplošje tog kvadra?

21. Baza kvadra je kvadrat sa stranicom duljine

4.5 cm. Koliki su oplošje i duljina prostorne

dijagonale tog kvadra ako je njegova visina

8 cm?

22. Izračunaj oplošje i duljinu prostorne dijagonale

pravilne četverostrane prizme kojoj su osnovni

bridovi dugi 6 cm, a visina je 10 cm.


pravilne četverostrane prizme kojoj je:

a) osnovni brid dug 8.2 cm,a bočni brid 1.2 dm;

b) osnovni brid dug 12 dm a bočni brid 75 cm.

24. Izračunaj duljinu bočnog brida kvadratne

prizme ako su poznati oplošje O i duljina

osnovnog brida a:

a) O = 40 mm2, a = 1 mm;

b) O = 34 mm2, a = 2 mm;

c) O = 450 cm2, a = 5 cm;

d) O = 100.25 m2, a = 3.45 m.

25. Neboder visine 50 m ima kvadratno prizemlje

površine 225 m2. Neboder je ostakljen sa svih

bočnih strana. Kolika je staklena površina tog

nebodera? Ako je stakleni dio izrađen od ploča

dimenzija 1.5 m x 2 m koliko je ploča utrošeno

na to ostakljivanje? Perači prozora mogu oprati

približno 7 m2 za sat vremena. Koliko vremena

im je potrebno da operu staklene površine tog

nebodera?

Aha! Znaèi, geometr ijsk im

l ikovima smo mj er il i opseg, a t ij elima mj er imo oplošj e!

Samo pazi , opseg j e

zbroj dulj ina, a oplošj e j e zbroj površina!


Primjer 6. Poprečni presjek kvadraDrveni kvadar je prepiljen po dijagonalama

svojih baza kao na slici.

Kolika je površina poprečnog presjeka?

Rješenje:Poprečni presjek ili dijagonalni presjek

je na slici prikazan tamnijom bojom. To je

pravokutnik s jednom stranicom duljine

c = 4 cm, a druga stranica mu je dijagonala

baze d. Izračunajmo njenu duljinu.

d2 = 72 + 62 = 49 + 36 = 85

d = 85 9 22≈ . cm.

Poprečni presjek je pravokutnik sa stranicama

duljine c i d. Njegova površina je P = c • d.

Izračunajmo je.

P = c • d = 4 • 85 ≈4 • 9.22 = 36.88 cm2.

d

4

76

46

4

6d

26. Kolika je površina poprečnog presjeka sa slike:



29. Kvadar ima dimenzije 5 cm, 6 cm i 9 cm. Kolike

su površine svih njegovih poprečnih presjeka?

Nacrtaj skice.

30. Površina poprečnog presjeka po dijagonali baze

kvadratne prizme je 30 2cm2. Kolika je njena

visina ako su bridovi baze dugi 2 cm?

31. Površina poprečnog presjeka po dijagonali baze

kvadra je 60 cm2.

a) Kolika je njena visina ako su bridovi baze

dugi 3 i 4 cm?

b) Izračunaj oplošje tog kvadra.

32. Poprečni presjek kvadra je kvadrat površine

25 cm2. Duljine stranica kvadra izražene u

centimetrima su prirodni brojevi. Izračunaj

oplošje tog kvadra.

33. Poprečni presjek kvadratne prizme je kvadrat

površine 18 cm2.

a) Izračunaj oplošje tog kvadra;


kvadra.

2

4

6

33

8

23

5

34

8

42

5

a) b) 1

3

5

Z a d a c i

131

a)

a)

b)

b)

132

6 . 4 . K o c k a

Tri kvadra

Navedi razlike između ova tri kvadra:

Spomenuli smo već kocku kao vrstu kvadra. Kocka je kvadar koji ima sve bridove

jednakih duljina. Sve strane kocke su kvadrati.

6.4. Kocka

Primjer 1. Crtanje kocke u kosoj projekcijiNacrtaj kocku s bridom duljine 32 mm.

Rješenje:Odabrat ćemo da je kut između prednjeg i

bočnog brida α = 45º kao na slici i da je bočni

brid koji prikazuje “dubinu” dvostruko kraći od

svoje stvarne duljine (prikrata je 12

).

a

aa

c

aaa

c

b

a

aa

45°

aa

a

Kocka je kvadar koji ima sve bridove jednakih duljina.


Primjer 2. Plošna i prostorna dijagonala kockeMožemo li u kutijicu oblika kocke staviti štapić

duljine 6.5 cm (bez lomljenja ili savijanja)?

Duljina unutrašnjeg brida kutijice je 4 cm.

Rješenje:Prostorna dijagonala kocke predstavlja najveću

udaljenost između dvaju vrhova kocke. To je

ujedno i najveća moguća duljina štapića koji

bi uspio stati u kutijicu. Izračunajmo duljinu

prostorne dijagonale kocke.

D2 = 42 + 42 + 42 = 3 • 16 = 48

D = 48 ≈ 6.93 cm.

Duljina prostorne dijagonale kocke je približno

6.93 cm. Svi štapići manji od te duljine stanu

u kutijicu. Kako je zadani štapić dug 6.5 cm,

zaključujemo da će on stati u kutijicu.

Prostorna dijagonala kocke

Zadana je kocka s bridom a.

Sve njene strane su kvadrati. Tada je duljina svake plošne dijagonale d jednaka dijagonali

kvadrata: d = a 2 .

Računamo duljinu prostorne dijagonale D .

D2 = a2 + a2 + a2 = 3a2.

Izraz D = 3 2a djelomično korjenujemo i dobivamo

D = a 3 . To je formula za računanje prostorne dijagonale kocke.

d d

aD

133

Primjer 3. Mreža kockeNacrtaj mrežu kocke s bridom duljine 3 cm.

Rješenje:Primijetimo da su sve strane kocke kvadrati.

To znači da treba nacrtati kvadrat sa stranicom

3 cm koji će biti baza kocke. Zatim nad svakom

njegovom stranicom nacrtamo kvadrate koji

će predstavljati pobočke kocke. Na kraju nad

jednom od pobočaka nacrtamo još jedan

kvadrat koji će biti gornja baza.

134

Z a d a c i1. Zadana je kocka s bridom a = 4 cm.

a) Nacrtaj tu kocku u kosoj projekciji;

b) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale te

kocke.

2. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kocke

ako je zadana duljina njenog brida:

a) 5 cm; b) 4.5 mm; c) 1.37 cm; d) 2 2 dm.

3. Može li kišobran duljine 80 cm stati u škrinju

oblika kocke s unutrašnjim bridom dugim

42 cm? Objasni svoj odgovor.

4. Može li čačkalica duljine 6.7 cm stati u kutijicu obli-

ka kocke s unutrašnjim bridom duljine 39 mm?

5. Može li štap duljine 3.5 dm stati u kutiju oblika

kocke kojoj je plošna dijagonala duga 2 2 dm?

6. Izračunaj duljinu brida kocke kojoj je zadana

prostorna dijagonala:

a) D = 2 3dm; b) D = 3dm; c) D = 3 mm;

d) D = 7 dm.

7. Kolika je duljina brida kocke ako je duljina

njene prostorne dijagonale 3 2 m?

8. Nacrtaj kocku sa bridom dugim 5.5 cm.

Izračunaj duljine svih plošnih i prostornih

dijagonala ove kocke.

9. Plošna dijagonala kocke je duga 6 2 cm.

Kolika je duljina prostorne dijagonale te kocke?

10. Plošna dijagonala kocke je duga 6 dm. Kolika

je duljina prostorne dijagonale te kocke?

11. Pri izgradnji zgrade ostavljena je kockasta rupa

između dva kata, predviđena za pomičnu traku.

Ta pomična traka treba ići najkraćim putem,

dijagonalno od poda donjeg kata do poda

gornjeg kata. Rupa je oblika kocke sa stranicom

4 m. Kolika je približna duljina pomiče trake?

12. Luka je za domaću zadaću dobio zadatak

izraditi žičani model kocke sa stranicom 20

cm. Na modelu treba istaknuti i jednu plošnu

te jednu prostornu dijagonalu. Koliko je Luki

potrebno žice za izradu tog modela?

13. Izračunaj duljinu stranice i prostorne dijagonale

kocke kojoj je plošna dijagonala:

a) 5 2 cm; b) 7 2 ; c) 12 dm;

d) 40 m; e) 15 cm.

Primjer 4. Oplošje kockeKoliko je oplošje kocke iz primjera 3?

Rješenje:Kocka iz primjera 3 ima brid duljine 3 cm.

Oplošje kocke je ukupna površina svih njenih

strana. No, sve strane kocke su kvadrati, i ima ih

šest. Kako je formula za površinu

kvadrata a2, onda je površina

šest kvadrata jednaka 6a2. To je

formula za oplošje kocke.

Oplošje kocke

O = 6a2 Oplošje kocke je zbroj svih površina strana kocke.

oplošje

kocke

a

aa

134

6 . 4 . K o c k a

135


14. Nacrtaj mrežu kockice za čovječe ne ljuti se.

Pazi na raspored točkica!

15. Izračunaj oplošje tijela sastavljenih od kockica

stranice 1 dm. Pripazi, plohe koje su unutar

tijela ne računaju se u oplošje!

16. Izračunaj oplošje kocke s bridom duljine

a) 4 cm; b) 1.4 cm;

c) 7.33 dm; d) 3 2 cm.

17. Izračunaj duljinu brida kocke ako je poznato

njeno oplošje O

a) O = 108 cm2; b) O = 54 mm2;

c) O = 29.04 mm2; d) O = 6 mm2.

18. Koliko će papira trebati za omotavanje poklon-

kutije oblika kocke s bridom:

a) 6 cm; b) 22.5 cm;

c) 0.06 m; d) 3 dm.

19. Kolika je prostorna dijagonala kocke ako je

njeno oplošje 216 cm2?

20. Od papira napravi mrežu kocke s dimenzijama:

a) a = 5 cm;

b) a = 3.9 cm.

Izračunaj koliko ćemo papira potrošiti za

pojedinu kocku. Hoće li biti dosta jedan papir

formata A4?

21. Može li limar od pravokutnog komada lima

dimenzija 1 m x 1.5 m načiniti limenu kocku s

bridom 45 cm?

22. Maja želi omotati poklon oblika kocke. Ona

nažalost ima samo jedan list ukrasnog papira i

nije sigurna hoće li joj to biti dovoljno. Ukrasni

papir je pravokutnog oblika sa stranicama

35 cm i 50 cm.

a) Može li Maja njime omotati poklon brida

19 cm?

b) Koliki najviše treba biti brid kocke kako bi

Maja mogla omotati poklon?

23. Duljine bridova kocke su 5 3 cm. Koliko je

oplošje te kocke?

a)

i)

c)

e)

g)

b)

j)

d)

h)

f) to tijelo s lijeve

strane izgleda ovako:

6 . 4 . K o c k a

136

Primjer 5. Poprečni presjek kockeKolika je površina poprečnog presjeka kocke:

a) S bridom duljine 5 cm;

b) S bridom duljine a?

Rješenje:

a) Primijetimo da poprečni presjek kocke

ima oblik pravokutnika kome je jedna strana

duga 5 cm, a druga je dijagonala kvadrata.

Ta dijagonala je duga 5 2 cm. Izračunajmo

površinu tog pravokutnika:

P = a • b = 5 • 5 2 = 10 2 ≈14.14 cm2.

b) Rekli smo da je poprečni presjek kocke

pravokutnik. Jedna njegova strana je duga

a, dok je druga duga a 2 . Stoga je površina

poprečnog presjeka kocke brida a jednaka

P = a • a 2 = a2 2 .

Z a d a c i

24. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s

bridom 3.7 cm?


bridom 9 6 mm?


plošnom dijagonalom 5 2 dm?


plošnom dijagonalom 10 cm?

28. Površina poprečnog presjeka kocke je

25 2 cm2. Kolika je duljina brida kocke?


36 2 cm2.

a) Kolika duljina brida te kocke?

b) Izračunaj oplošje te kocke.


18 2 cm2.



31. Površina poprečnog presjeka kocke je 11 cm2.



33. Kvadar je sastavljen od dvije kocke postavljene

jedna na drugu. Stranica kocke je 6 cm.

a) Izračunaj površinu poprečnog presjeka

jedne kocke te površinu poprečnog presjeka

cijelog kvadra po dijagonali baze. Je li površina

poprečnog presjeka tog kvadra dvostruko veća

od poprečnog presjeka kocke?

b) Izračunaj površinu pobočja kocke i kvadra i

usporedi ih. Je li površina pobočja tog kvadra

dvostruko veće od površine pobočja kocke?

Zašto?

c) Izračunaj oplošje kocke i kvadra i usporedi

ih. Je li oplošje tog kvadra dvostruko veće od

oplošja kocke? Zašto?

a

d

137




a) 12 cm, 16 cm, 20 cm;

b) 3.6 cm, 4.8 cm, 6 cm;

c) 2 3 dm, 3 dm,3 3 dm.

2. Može li kišobran duljine 63 cm stati u kofer dug

50 cm, širok 35 cm i visok 18 cm? Objasni svoj

odgovor.

3. Izračunaj duljinu brida kvadra kojem su zadane

prostorna dijagonala i duljine drugih dvaju

bridova:

a) D = 13 dm, b = 3 dm, c = 4 dm;

b) D = 35 dm, a = 15 dm, c = 10 dm;

c) D = 8.75 mm, a = 3.75 mm, b = 2.5 mm;

d) D = 7 2 dm, b = 3 2 dm, c = 2 2 dm.

4. Skiciraj kvadar sa bridovima dugim 2.4 cm,

3.2 cm i 4 cm. Izračunaj duljine svih plošnih i

prostornih dijagonala ovog kvadra.

5. Plošne dijagonale kvadra su duge 2 cm, 2.4 cm

i 2.8 cm. Kolika je duljina prostorne dijagonale

kvadra?

6. Izračunaj oplošje kvadra s bridovima duljine:

a) 4 cm, 3 cm, 6 cm;

b) 8 cm, 3.6 cm, 7 cm;

c) 5 cm, 44 mm, 0.56 dm;

d) 8 2 cm, 2 cm, 3 2 cm.

7. Izračunaj duljinu brida kvadra ako su poznati

oplošje O i duljine ostalih dvaju bridova a i b:

a) O = 126 cm2, a = 3 cm, b = 6 cm;

b) O = 65.02 cm2, a = 4.3 cm, b = 3.2 cm;

c) O = 92 cm2, a = 5 2 cm, b = 3 2 cm.

8. Kolika je prostorna dijagonala kvadra ako je

njegovo oplošje 88 cm2, a bridovi baze dugi 4

cm i 6 cm?

9. Duljine bridova baze kvadra su 1.2 dm i 8 cm,

a njegova prostorna dijagonala je duga 2.8 dm.

Koliko je oplošje tog kvadra?

Vježbalica

32. Ovo su sve mreže kocke! Nacrtajte ih, izrežite i

presavijte u kocku!

138

6 . 4 . K o c k a

10. Baza kvadra je kvadrat sa stranicom duljine

8 cm. Koliki su oplošje i duljina prostorne

dijagonale tog kvadra ako je njegova visina 4

cm?


pravilne četverostrane prizme kojoj su osnovni

bridovi dugi 3 cm, a visina je 6 cm.

12. Izračunaj duljinu osnovnog brida kvadratne


bočnog brida b:

O = 680 mm2, b = 12 mm;



osnovnog brida a:

a) O = 192 cm2, a = 6 cm;

b) O = 10170 mm2, a = 45 mm;

c) O = 42 m2, a = 3 m.

14. Kvadar ima dimenzije 5 cm, 12 cm i 35 cm.

Kolike su površine svih njegovih poprečnih

presjeka? Nacrtaj skice.

15. Površina poprečnog presjeka po dijagonalama

baze kvadratne prizme je 20 2 cm2. Kolika je

njena visina ako su bridovi baze dugi 4 cm?


baze kvadra je 200 cm2.

a) Kolika je njena visina ako su bridovi baze

dugi 7 i 24 cm?

b) Izračunaj oplošje tog kvadra.

17. Poprečni presjek koji prolazi dijagonalom baze i

bočnim bridom kvadra je kvadrat površine

169 cm2. Duljina jedne stranice baze kvadra je

5 cm. Izračunaj oplošje tog kvadra.

18. Poprečni presjek kvadratne prizme je kvadrat

površine 50 cm2.

a) Izračunaj oplošje tog kvadra;


kvadra.

19. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kocke

ako je zadana duljina njenog brida:

a) 8 cm; b) 4 3 mm; c) 3 2 dm.

20. Duljine bridova kocke su 27 cm. Koliko je

oplošje te kocke?

21. Može li kišobran duljine 70 cm stati u škrinju

oblika kocke s unutrašnjim bridom dugim 40

cm? Objasni svoj odgovor.

22. Izračunaj duljinu brida kocke kojoj je zadana

prostorna dijagonala:

a) D = 9 3 dm;

b) D = 6 dm;

c) D = 9 cm;

d) D = 243 dm.

23. Kolika je duljina brida kocke ako je duljina njene

prostorne dijagonale 3 15 m?

24. Plošna dijagonala kocke je duga 2 8 cm.


25. Plošna dijagonala kocke je duga 32 dm.


26. Izračunaj oplošje kocke s bridom duljine:

a) 7 cm; b) 2.3 cm;

c) 72 dm; d) 3 7 cm.

27. Izračunaj duljinu brida kocke ako je poznato

njeno oplošje O:

a) O = 150 mm2; b) O = 30 mm2;

c) O = 8.64 mm2; d) O = 90 mm2.


bridom 9 cm?


bridom 12 cm?


plošnom dijagonalom 8 2 dm?


plošnom dijagonalom 12 cm?


144 2 cm2. Koliki je brid baze?


81 2 cm2.




12 2 cm2.




3 128 mm2.



139


Zamisli...

Zamisli kvadar. Zatim zamisli dijagonalu njegove baze. Zatim zamisli da kvadar

podijelimo po toj dijagonali poprečnim presjekom na dva dijela. Koja geometrijska

tijela dobivamo?

Prizma kojoj je baza trokut naziva se trostrana prizma.

Uspravna trostrana prizma je prizma omeđena dvama sukladnim

trokutima kao bazama i pobočjem koje se sastoji od tri pravokutnika.

Trostranu prizmu susrećemo na mnogim mjestima svakodnevnog života. Ona

u prostoru ne mora uvijek biti stajati na svojoj bazi, ali ćemo je svejedno lako

prepoznati. Evo nekoliko primjera:

6.5. Trostrana prizma

trostrana

prizma

140

6 . 5 . T r o s t r a n a p i r a m i d a

Primjer 1. Pravilna trostrana prizmaa) Što je pravilna trostrana prizma?

b) Nacrtaj je u kosoj projekciji.

Rješenje:a) Pravilna trostrana prizma je uspravna

prizma kojoj je baza jednakostranični trokut.

b) Nacrtajmo je u kosoj projekciji tako da

nacrtamo jednakostranični trokut te istaknemo

jednu njegovu visinu v. Iz nožišta M visine

konstruiramo kut od 45º.

Na nacrtanom kraku kuta

prona đemo točku C takvu da je

MC =v2

. Zatim iz svakog vrha

A, B, C povučemo visinu prizme

okomitu na prednji brid AB .

Z a d a c i1. Odgovori:

a) Što su baze trostrane prizme?

b) Što su pobočke uspravne trostrane prizme?

c) Što su baze pravilne trostrane prizme?

2. Navedi nekoliko primjera gdje sve susrećemo:

a) trostranu prizmu;

b) pravilnu trostranu prizmu.

3. Što misliš, kakva je to jednakobridna trostrana

pravilna prizma? Nacrtaj jednu takvi prizmu.

pravilna

trostrana

prizma

Primjer 2. Mreža trostrane prizmeNacrtaj mrežu jedne:

a) pravilne trostrane prizme; b) trostrane prizme

kojoj je baza jednakokračan trokut; c) trostrane

prizme kojoj je baza raznostraničan trokut.

Rješenje:Uspravna trostrana prizma je omeđena s dva

trokuta i tri pravokutnika. Mjere bridova učenik

može sam zadati. Evo primjera traženih mreža:

A

K

B A

K

BM A

K

BM45°

A

K

BM45°

C

A B

C

A B

C

D E

F

A B

C

D E

F

a

a

a

a

v

b

b

b

b

v

a

bb

cc

v

a

a) b)

c)

a

a

a

a

v

b

b

b

b

v

a

bb

cc

v

a

a) b)

c)


141

Primjer 3. Oplošje trostrane prizmeIzračunaj oplošje pravilne trostrane prizme s

osnovnim bridom duljine 4 cm i visinom 7 cm.

Rješenje:Oplošje prizme je zbroj površina svih njezinih

strana. Svaka prizma je omeđena s dvije svoje

baze i pobočkama. Sve pobočke zajedno čine

pobočje prizme.

Kako su baze sukladni mnogokuti, oplošje bilo

koje prizme možemo računati po formuli

O = 2B + P, pri čemu je B površina baze, a P

površina pobočja.

Po toj formuli ćemo izračunati i oplošje zadane

pravilne trostrane prizme.

O = 2B + P

Baza zadane prizme je jednakokračan trokut,

jer je zadana pravilna trostrana prizma.

Izračunajmo površinu baze.

B = a2 23

44 3

416 3

44 3= = = cm2.

Pobočje pravilne trostrane prizme se sastoji

od tri sukladna pravokutnika kojima je jedna

stranica jednaka osnovnom bridu, a druga

bočnom bridu.

P = 3 • a • v = 3 • 4 • 7 = 84 cm2.

O = 2B + P = 2 • 4 3 + 84 = 8 3 + 84 cm2.

Oplošje tražene prizme iznosi 8 3 + 84 cm2.

Njegova približna vrijednost na dvije decimale

iznosi

O ≈ 8 • 1.73 + 84 = 97.84 cm2.

Oplošje prizme

Oplošje prizme je zbroj površina svih strana te prizme. Kako se svaka

prizma sastoji od dvije sukladne baze i pobočja, oplošje prizme možemo

računati po formuli O = 2B + P, pri čemu je B površina baze, a P zbroj

površina svih pobočaka prizme.

Z a d a c i4. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme s


5. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme s

osnovnim bridom duljine 0.4 cm i visinom

3.1 cm.

6. Izračunaj oplošje pravilne jednakobridne

trostrane prizme s bridom duljine 4 3 cm.

7. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza

jednakokračan trokut s osnovicom 10 cm i

krakom 15 cm. Visina prizme je 6 cm.


pravokutan trokut s katetama dugim 3 cm i

4 cm, te kojoj je visina duga 6 cm.


pravokutan trokut s katetama dugim 12 cm i

5 cm, te kojoj je visina duga 1 dm.

10. Osnovni brid pravilne trostrane prizme je dug

2.5 cm. Površina jedne pobočke je 8 cm2.

a) Kolika je visina prizme?

b) Koliko je oplošje te prizme?

a

a

a

a

v

142

11. Baza trostrane prizme je pravokutan trokut s ka-

tetama dugim 7 cm i 1 cm. Površina naj veće

pobočke je 4 cm2. Koliko je oplošje te prizme?

12. Baza trostrane prizme je pravokutan trokut s

hipotenuzom 10 cm i jednom katetom za 2 cm

kraćom od hipotenuze. Najveća od pobočaka

prizme je kvadrat. Izračunaj oplošje ove prizme.

13. Baza trostrane prizme je jednakokračan trokut

s kracima dugim 5 cm i osnovicom 8 cm. Dvije

strane ove prizme su kvadrati. Izračunaj oplošje

ove prizme.

14. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi

12 3 dm2, a duljina osnovnog brida je 2 dm.

Kolika je visina prizme?


16 3 cm2, a duljina osnovnog brida je 2 3 cm.

Kolika je visina prizme?


56 3mm2, a površina baze je 16 3 mm.

Kolike su duljine bridova prizme?


72 3dm2, a površina pobočja je 8 3 dm.


Usporedimo prizme

Pogledaj prizme na slici. Kako se zovu te prizme?

Na svakoj sljedećoj slici broj osnovnih bridova prizme se povećava. Kojem će

geometrijskom tijelu sve više nalikovati prizme što je veći broj osnovnih bridova?

U prethodnim poglavljima smo detaljno upoznali uspravnu trostranu i četve ro stra nu

prizmu (kvadar). Sada ćemo na isti način promatrati svojstva, mreže i oplošje i

nekih drugih prizmi. Neke od njih susrećemo u uvodnom zadatku. Primjećujemo

da što je broj osnovnih bridova veći, to će prizma sve više podsjećati na valjak.

Oplošje prizme

Oplošje prizme je zbroj površina svih strana te prizme.

Kako se svaka prizma sastoji od dvije sukladne baze i

pobočja, oplošje prizme možemo računati po formuli

O = 2B + P, pri čemu je B površina baze, a P zbroj

površina svih pobočaka prizme.

6.6. Ostale prizme

pobočke

baze

6 . 6 . O s t a l e p r i z m e


143

Primjer 1. Ostale četverostrane prizmeIzračunaj oplošje te nacrtaj i izreži mrežu ovih

prizmi:

Rješenje:Zadane prizme su uspravne četverostrane, ali

nisu kvadri, jer im baza nije pravokutnik. Kvadar

smo obradili u jedinici 6.3.

a) Baza ove prizme je paralelogram. Oplošje je

zbroj površina svih strana prizme. Izračunajmo

površinu baze.

B = a • va = 25.2 • 7.8 = 196.56.

Sada izračunajmo površinu pobočja

zadane prizme. Pobočje se sastoji od četiri

pravokutnika, koji su u parovima sukladni jer

baza ima nasuprotne stranice sukladne.

P = 16.9 • 25.2 • 2 + 16.9 • 12.3 • 2 = 1267.5

Primijetimo da smo pri računanju mogli izlučiti

zajedničke faktore.

Sada izračunajmo oplošje zadane prizme.

O = 2B + P = 2 • 196.56 + 1267.5 = 1660.62.

b) Baza ove prizme je jednakokračni trapez. Za

izračunavanje površine baze nedostaje duljina

dulje osnovice trapeza. Izračunat ćemo je

koristeći Pitagorin poučak.

x = 11 7 10 0 072 2. .− ≈

Stoga je duljina dulje osnovice trapeza

a = 2 • x + 7.8 ≈ 19.9.

B = a c v+( ) ⋅

2=138.5.

Izračunajmo površinu pobočja ove prizme.

Pobočje se sastoji od četiri pravokutnika kojima

je svima jedna stranica duga 30.3.

P = 30.3 • (7.8 + 11.7 + 19.9 + 11.7) = 1548.3.

Sada izračunajmo oplošje zadane prizme.

O = 2B + P = 2 • 138.5 + 1548.3 = 1825.3.

25.2

7.812.3

16.9

10

7.8

11.7

30.3

11.7

a)

b)

10

7.8

11.7 11.7

x x

Z a d a c i1. Kako glasi formula za:

a) površinu trapeza;

b) površinu romba;

c) površinu paralelograma;

d) oplošje bilo koje prizme?

2. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza

paralelogram sa stranicom a i b i visinom h

na stranicu a. Visina prizme označena je s v.

Zadane vrijednosti su:

a) a = 13.3 cm, b = 5 cm,h = 4 cm, v = 4.3 cm;

b) a = 3 2 cm, b = 2 cm, h = 1 cm, v = 2 cm;

c) a = 10 cm, b = 1.3 dm, h = 12 cm, v = 2 dm.

3. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza romb sa

stranicom a i visinom h na stranicu a. Visina

prizme označena je s v. Zadane vrijednosti su:

a) a = 6 cm, h = 2 cm, v = 9 cm;

b) a = 3.5 cm, h = 3.5 cm, v = 3.5 cm;

c) a = 20 cm, h = 1.5 dm, v = 0.3 m.

4. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza romb s

dijagonalama e i f. Visina prizme označena je s

v. Zadane vrijednosti su:

a) e = 12 cm, f = 16 cm, v = 1 cm;

b) e = 6.4 cm, f = 6.5 cm, v = 6.3 cm.

144

6 . 6 . O s t a l e p r i z m e


jednakokračni trapez s osnovicama a i c te

visinom baze h. Visina prizme označena je s v.


a) a = 6 cm, c = 2 cm, h = 3 cm, v = 5 cm;

b) a = 25 cm, c = 13 cm, h = 5 cm, v = 6.4 cm.

6. Nacrtaj mrežu četverostrane prizme kojoj

je baza trapez s osnovicama 3 cm i 5 cm te

krakom od 4 cm. Izračunaj oplošje te prizme

ako joj je visina duga 10 cm.

7. Treba zamotati poklon oblika prizme čija baza

je romb. Visina prizme iznosi 10 cm, a površine

njenih dijagonalnih presjeka su 60 cm2 i

25 cm2. Koliko papira treba da bi se omotala

ova prizma?

8. Od papira treba napraviti kutiju oblika prizme

čija baza je romb. Visina kutije treba biti 12 cm,

a duljine prostornih dijagonala 13 cm i

6 14 cm. Je li komad tvrdog papira

pravokutnog oblika dimenzija 10 cm x 7 cm

dovoljan za izradu takve kutije?

Primjer 2. Šesterostrana prizmaZadana je pravilna šesterostrana prizma s


a) Nacrtaj mrežu te prizme;

b) Izračunaj oplošje zadane prizme.

Rješenje:a) Pravilna šesterostrana prizma je uspravna

pri zma kojoj je baza pravi lan

šesterokut.

Njega možemo razdijeliti na

šest jednakostraničnih trokuta,

svaki sa stranicom duljine

osnovnog brida a = 3 cm.

Mrežu crtamo tako da nakon

što konstruiramo bazu, nad

jednom stranicom baze nacrtamo pravokutnik

visine v prizme. Zatim konstruiramo i ostale

pravokutnike te dodamo drugu bazu prizme kao

na gornjoj slici.

b) Baza prizme je pravilni šesterokut kojeg smo

razdijelili na šest jednakostraničnih trokuta

duljine stranice a = 3 cm. Stoga je

B = 63

413 5 3

2⋅ =a

. cm2.

Pobočje se sastoji od šest sukladnih pravokutnika

sa stranicama a i v.

P = 6av = 90 cm2.

Izračunajmo oplošje zadane prizme:

O = 2B + P = 2 • 13 5 3. + 90 = 27 3 + 90 cm2.

a

aa

a

aa

Z a d a c i9. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane prizme

kojoj je osnovni brid dug 4 cm, a bočni 6 cm.

10. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane prizme

kojoj je osnovni brid dug 11.76 cm, a bočni

45.01 cm.

11. Gradonačelnik želi izgraditi muzički paviljon u

obliku pravilne šesterostrane prizme. Promjer

paviljona treba biti 10 m, a njegova visina 4

m. Pod treba prekriti drvenim parketom, a sve

bočne strane staklom. Koliko parketa, a koliko

stakla je potrebno za taj paviljon?


šesterostrane prizme s bridom dugim:

a) 15 mm; b) 3.07 cm; c) 4 7 ; d) a.

13. Oplošje pravilne šesterostrane prizme iznosi

155 3 m2, a površina pobočja je za 45 3 m2

manja od oplošja. Izračunaj duljine svih bridova

ove prizme.

145


Vježbalica1. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme

s osnovnim bridom duljine 4 cm i visinom

5 cm.

2. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme

s osnovnim bridom duljine 18 cm i

visinom 7 cm.

3. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme

s osnovnim bridom duljine 75 cm i

visinom 8 cm.


trostrane prizme s bridom duljine 2 cm.





7. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je

baza jednakokračan trokut s osnovicom 16

cm i krakom 17 cm. Visina prizme je 6 cm.



cm i krakom 41 cm. Visina prizme je 7 cm.



mm i krakom 85 mm. Visina prizme je 6 cm.


baza pravokutan trokut s katetama dugim

5 cm i 12 cm, te kojoj je visina duga 4 cm.



12 cm i 35 cm, te kojoj je visina duga 14 cm.



2.8 cm i 4.5 cm, te kojoj je visina duga 4 cm.

13. Osnovni brid pravilne trostrane prizme je

dug 3 cm. Površina jedne pobočke je 15 cm2.

a) Koliko je oplošje te prizme?

b) Kolika je visina prizme?


dug 8 cm. Površina jedne pobočke je

8 3 cm2.




dug 6 cm. Površina jedne pobočke je

12 3 cm2.



16. Baza trostrane prizme je pravokutan trokut

s katetama dugim 11 cm i 6 dm. Površina

najveće pobočke je 427 cm2. Koliko je

oplošje te prizme?


s katetama dugim 2.5 cm i 6 cm. Površina


oplošje te prizme?


s katetama dugim 22 cm i 12 dm. Površina


oplošje te prizme?

19. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi 85 3

2 dm2, a duljina osnovnog brida je 5

dm. Kolika je visina prizme?


36 +9 3 cm2, a duljina osnovnog brida je

3 2 cm. Kolika je visina prizme?

146

6 . 6 . O s t a l e p r i z m e


308 3 cm2, a duljina osnovnog brida je 14

cm. Kolika je visina prizme?


54 3 mm2, a površina baze je 9 3 mm.



145 32

dm2, a površina pobočja je 60 3 dm.



108 3 dm2, a površina pobočja je 90 3 dm. Kolike su duljine bridova prizme?


romb sa stranicom a i visinom h na

stranicu a. Visina prizme označena je s v.


a) a = 8 cm, h = 5 cm, v = 7 cm;

b) a = 2.7 cm, h = 3.4 cm, v = 5.6 cm.


romb sa stranicom a i visinom h na

stranicu a. Visina prizme označena je s v.


a) a = 8.6 cm, h = 5.2 cm, v = 7.1 cm;

b) a = 10 cm, h = 15 cm, v = 13 cm.


romb s dijagonalama e i f. Visina prizme

označena je s v. Zadane vrijednosti su:

a) e = 14 cm, f = 48 cm, v = 11 cm;

b) e = 10 cm, f = 24 cm, v = 6 cm.


romb s dijagonalama e i f. Visina prizme

označena je s v. Zadane vrijednosti su:

a) e = 0.6 m, f = 0.8 m, v = 11 dm;

b) e = 2.4 dm, f = 1 dm, v = 62 cm.



visinom baze h. Visina prizme označena je

s v. Zadane vrijednosti su:

a) a = 12 cm, c = 4 cm, h = 4 3 cm,

v = 5 cm;

b) a = 51 cm, c = 33 cm, h = 40 cm, v = 45 cm.



visinom baze h. Visina prizme označena je

s v. Zadane vrijednosti su:

a) a = 8 cm, c = 4 cm, h = 2 3 cm,

v = 6 cm;

b) a = 28 cm, c = 10 cm, h = 40cm,

v = 50cm.

31. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane

prizme kojoj je osnovni brid dug 6 cm, a

bočni 6 3 cm.



bočni 5 cm.



bočni 6 cm.


šesterostrane prizme s bridom dugim:

a) 2 3 cm;

b) 10 cm;

c) 675 mm.

35. Oplošje pravilne šesterostrane prizme

iznosi 1728 3 m2, a površina pobočja

je za 972 3 manja od oplošja. Izračunaj

duljine svih bridova ove prizme.

36. Oplošje pravilne šesterostrane prizme

iznosi 192 3 m2, a površina pobočja je za

96 3 manja od oplošja. Izračunaj duljine

svih bridova ove prizme.

147


Mjerne jedinice za obujam su mm3 (kubični milimetar),

cm3 (kubični centimetar), dm3 (kubični decimetar), m3 (kubični metar) itd.

Osnovna mjerna jedinica za obujam je kubični metar (m3),

a sve ostale jedinice obujma su izvedene iz nje.

1 mm3 predstavlja obujam kocke s bridom 1 mm

1 cm3 predstavlja obujam kocke s bridom 1 cm

1 dm3 predstavlja obujam kocke s bridom 1 dm

1 m3 predstavlja obujam kocke s bridom 1 m

itd.

mjerne

jedinice za

obujam

Nacrtane su kutije načinjene od kartona.

Što misliš:

a) Za izradu koje od ovih kutija je potrošeno najviše, a za koju najmanje kartona?

b) U koju od ovih kutija stane najviše, a u koju najmanje pijeska?

Želimo li saznati koliko kartona treba za izradu neke kutije, tada tražimo njeno

oplošje. Želimo li saznati koliko pijeska stane u neku kutiju, zanima nas obujam

ili volumen te kutije. Oplošje i obujam su dvije važne veličine koje se pridružuju

geometrijskim tijelima. Obujam označavamo slovom V jer je to početno slovo

riječi volumen. Obujam nekog tijela se u gradivu osnovne škole već spominjao

u 4. razredu iz matematike, kao i u 7. razredu iz fizike. Sada ćemo detaljno

proučiti obujam prizmi, a kasnije i još nekih geometrijskih tijela.

Obujam se može opisati kao količina prostora kojeg zauzima

neko geometrijsko tijelo. Opišimo kako se računa obujam na

modelu kvadra.

Želimo izračunati obujam kvadra sa slike, tj. koliko vode, pijeska i sl. stane

u ovaj kvadar s bridovima a, b i c. Da bismo to odredili, kao i kod svakog

mjerenja, trebamo uvesti mjernu jedinicu za obujam.

6.7. Obujam kvadra

obujam

ili volumen

Mlijeko

a

c

b

6 . 7 . O b u j a m k v a d r a

Primjer 1. Mjerne jedinice za obujama) Zadana je kocka obujma 1 m3. Koliko kockica

obujma 1 dm3 stane u nju?

b) Zadana je kocka obujma 3 dm3. Koliko

kockica obujma 1 mm3 stane u nju?;

c) Zadana je kocka obujma 0.0045 m3. Koliko

kockica obujma 1 cm3 stane u nju?

d) Zadana je kocka obujma 3.28 cm3. Izrazi

njen obujam u dm3.

Rješenje:a) U jednom metru ima 10 dm. Bazu

kocke obujma 1 m3 možemo prekriti s

10 • 10 = 100 kockica od 1 dm3. Takvih slojeva

će biti također 10 dok ne popunimo cijelu kocku

do vrha.

Dakle, u kocku obujma 1 m3 stane 10 • 10 • 10

= 1000 kockica obujma 1 dm3. Kažemo da je 1

m3 = 1000 dm3. Na isti način se dobije da je

1 dm3 = 1000 cm3 te da je 1 cm3 = 1000 mm3.

Iz ovih jednakosti izvodimo i ostale veze između

mjernih jedinica za obujam:

Pretvaranje većih mjernih jedinica

obujma u manje:

1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 =

1 000 000 000 mm3

1 dm3 = 1000 cm3 = 1 000 000 mm3

1 cm3 = 1000 mm3

Litra je također dopuštena mjerna jedinica

za obujam, ona je jednaka kubičnom

decimetru (1 l = 1 dm3).

b) Kako u jednom kubičnom decimetru ima

1 000 000 mm3, tada je 3 dm3 = 3 000 000 mm3.

c) U jednom kubičnom metru ima

1 000 000 kockica od 1 cm3, tj. 1 m3 =

1 000 000 cm3. Stoga ćemo odgovor zadatka

dobiti množenjem 0.0045 s 1 000 000.

0.0045 m3 = 0.0045 • 1 000 000 = 4500 cm3.

d) U jednom kubičnom decimetru ima 1 000

kockica od 1 cm3, tj. 1 dm3 = 1 000 cm3.

Obratno, 1 cm3 = 1

1000 dm3 = 0.001 dm3. Stoga

ćemo odgovor zadatka dobiti dijeljenjem 3.28

s 1000.

3.28 cm3 = 3.28 : 1 000 = 0.00328 dm3.10 redaka

10 stupaca

10 slojeva

Pretvaranje manjih mjernih jedinica obujma u veće:

1 mm3 = 0.001 cm3 = 0.000001 dm3 = 0.000000001 m3

1 cm3 = 0.001 dm3 = 0.000001 m3

1 dm3 = 0.001 m3

Mjerne jedinice izvedene iz litre:

1l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml

1 dl = 0.1 l dl – decilitar

cl – centilitar ml – mililitar

1. Pretvori u dm3:

a) 2 m3; b) 6 m3; c) 3.5 m3;

d) 0.25 m3; e) 0.005 m3.

2. Pretvori u dm3:

a) 3000 cm3; b) 10600 cm3;

c) 5 000 000 mm3; d) 0.25 m3; e) 67 dm3.

Z a d a c i

148

149

Primjer 2. Obujam kvadraZadan je šuplji limeni kvadar s bridovima dugim

a = 4 cm, b = 3 cm i c = 5 cm. Koliko pijeska

stane u taj kvadar?

Rješenje:Budući da su duljine svih bridova izražene u

centimetrima kao prirodni brojevi, za mjernu

jedinicu uzet ćemo cm3. Ta mjerna jedinica

(1 cm3) predstavlja obujam kocke s bridom

duljine 1 cm.

Stoga bazu, koja je pravokutnik sa stranicama

4 cm i 3 cm, prekrivaju kocke kao na gornjoj

slici. Tih kocaka od 1 cm3 ima 12, jer je

4 • 3 = 12. Pitamo se koliko će takvih slojeva

od po 12 kocaka trebati naslagati kako bismo

ispunili čitav kvadar do vrha. Trebat će 5 takvih

slojeva, jer je visina kvadra 5 cm.

Obujam ovog kvadra, tj. broj kockica od 1 cm3

koje stanu u njega je 4 • 3 • 5 = 60 cm3.

Pokušamo li na isti način izračunati obujam bilo

kojeg kvadra, postupak će biti isti. Zaključit

ćemo da se obujam kvadra s bridovima a, b i

c računa tako da pomnožimo sve tri

dimenzije:

V = a • b • c.obujam

kvadra

Obujam kvadra s bridovima duljina a, b i c:

V = a • b • c.

a

c

b

3. Pretvori u cm3:

a) 0.5 m3; b) 12 dm3; c) 800 mm3;

d) 0.025 dm3; e) 0.0001 m3.

4. Pretvori u m3:

a) 0.6 dm3; b) 23000 cm3;

c) 85 dm3; d) 0.25 dm3; e) 60000 mm3.

5. Pretvori u mm3:

a) 4 cm3; b) 0.456 cm3;

c) 0.0035 dm3;

d) 11 m3; e) 0.000000008 m3.

6. Pretvori u litre:

a) 4.23 dl3; b) 14.004 cm3;

c) 3.5 dl3; d) 0.0009 m3;

e) 23000000 ml3.

7. Pretvori u zadanu mjernu jedinicu:

a) 45 cm3 = ____________ mm3;

b) 12 l = ____________ cm3;

c) 0.0063 m3 = ____________ l;

d) 123 mm3 = ____________ cm3;

e) 0.00045 dm3 = ____________ l.


a) 0.12 m3 = ____________ dm3;

b) 0.8 l = ____________ dl;

c) 30.06 mm3 = ____________ cm3;

d) 89 562 cm3 = ____________ m3;

e) 0.000009723 m3 = ____________ mm3.


a) 0.56 m2 = ____________ dm2;

b) 0.092 l = ____________ cm3;

c) 133.05 mm = ____________ cm;

d) 45 000 cm3 = ____________ dm3;

e) 0.023 cl = ____________ l.


a) 0.0009 m3 = ____________ cm3;

b) 7 dl = ____________ l;

c) 16 ar = ____________ ha;

d) 7.4 dl3 = ____________ ml3;

e) 100.03 ml = ____________ l.


150

Z a d a c i11. Koliki je obujam kvadra kojem su duljine

bridova:

a) 4 cm, 7 cm, 9 cm; b) 2.8 cm, 1.3 cm, 5 cm;

c) 0.05 cm, 9 mm, 0.3 mm;

d) 11 m, 23.09 dm, 133 cm;

e) 5 mm, 3 5 mm, 0.11 cm.

12. Duljina dvaju bridova kvadra su 6 cm i 8 cm, a

prostorna dijagonala je duga 23 cm. Koliki su

oplošje i obujam tog kvadra?

13. Koliko vode (izraženo u decilitrima) stane u

stakleni kvadar kojem su duljine bridova:

a) 1 cm, 5 cm, 10 cm; b) 4.2 cm, 0.3 cm, 11 cm;

c) 0.25 cm, 9.5 mm, 0.32 mm;

d) 4 dm, 3.4 dm, 40 cm;

e) 6 mm, 3 2 mm, 2 3 mm.

14. Obujam kvadra iznosi 450 cm3, a dva njegova

brida su duga 9 cm i 5 cm. Kolika je duljina

trećeg brida kvadra?


brida su duga 0.5 cm i 5 cm. Kolika je duljina


16. Obujam kvadra je 144 cm2, a dva brida tog

kvadra su 6 cm2 i 12 cm2.

a) Kolika je duljina prostorne dijagonale tog

kvadra?

b) Koliko je oplošje tog kvadra?

17. Obujam kvadra iznosi 600 cm3, a njegova baza

je kvadrat sa stranicom duljine 1 dm. Kolika je

visina kvadra?

18. Obujam kvadra iznosi 255.4 cm3, a dva njegova

brida su duga 9.3 cm i 5.5 cm. Koliko je oplošje

kvadra?

19. Koliko kartona treba za izradu kutije oblika

kvadra s bridovima duljine 5 cm, 4 cm i 6 cm?

Koliko pijeska stane u tu kutiju?

20. Baze kvadra međusobno su udaljene 7 dm.

Dimenzije svake baze su 5 cm x 5.5 cm. Koliki

su oplošje i obujam tog kvadra?

21. Površine triju strana kvadra su 10 dm2, 15 dm2,

6 dm2. Koliki su oplošje, obujam i prostorna

dijagonala tog kvadra?

22. Duljine bridova kvadra koji izlaze iz istog vrha

se odnose u omjeru 2 : 3 : 5. Koliki je obujam

kvadra ako mu je oplošje 400 cm2?

23. Bazen oblika kvadra je dug 40 m, širok 30 m i

dubok 3 m. Koliko je vode u bazenu ako je voda

napunjena tako da je njena razina 20 cm ispod

gornjeg ruba bazena? Rezultat izrazi u m3 i u

litrama.

24. Akvarij oblika kvadra je dug 65 cm, širok 32 cm

i visok 20 cm. Akvarij je tako napunjen vodom

da je gornja razina vode 6 cm ispod gornjeg

brida akvarija.

a) Koliko je vode u akvariju?

b) Koliko se vode još može napuniti u akvarij?

Primjer 3. Obujam kockeIzračunaj obujam kocke brida 3.6 dm.

Rješenje:Kako je kocka vrsta kvadra koji ima sve bridove

jednake duljine, zaključujemo da se obujam

kocke brida a računa po istoj

formuli:

V = a • a • a, što se kraće

zapisuje kao V = a3. Stoga je obujam zadane

kocke V = 3.63 = 46.656 dm3.

Obujam kocke s bridom a:

V = a3.

obujam

kocke

a

aa

6 . 7 . O b u j a m k v a d r a


151

Primjer 4. Obujam kvadratne prizmeKoliko vode stane u staklenu posudu oblika

kvadratne prizme s osnovnim bridom 2.4 cm

i visinom 0.033 m? Svoj rezultat iskaži u

decilitrima.

Rješenje:Kvadratna prizma je kvadar kojem je baza

kvadrat. Nnjen obujam računamo po formuli

V = a • b • c, pri čemu je a = 2.4 cm,

b = 2.4 cm, c = 0.033 m = 3.3 cm. Traženi

obujam je V = 2.4 • 2.4 • 3.3 = 19.008 cm3 =

0.019008 l ≈ 0.2 dl.

a

a

v

Z a d a c i

25. Koliki je obujam kocke s bridom duljine:

a) 1 cm; b) 5.5 cm; c) 0.65 dm;

d) 7 cm; e) 4 3 m.

26. Brid kocke dug je 5 cm. Koliko puta se poveća

obujam kocke ako se duljina brida uveća 3

puta?

27. U posudi se nalazi 5 l vode. Može li se sva ta

voda usuti u šuplju kocku s bridom: a) 1.5 dm;

b) 2 dm; c) 16 cm; d) 1.75 dm; e) 17.2 cm.

28. Koliki je obujam kocke ako je površina jedne

njene strane:

a) 4 cm2; b) 0.25 m2; c) 1.44 cm2; d) 5 mm2;

e) 18.23 cm2.

29. Koliki je obujam kocke ako je duljina njene

plošne dijagonale:

a) 4 2 cm; b) 5 2 m; c) 5.6 6 cm;

d) 5 mm; e) 4.09 cm.

30. Kocka i kvadar imaju jednak obujam. Koliko je

oplošje kocke ako su duljine bridova kvadra

2 cm, 3 cm i 6 cm?

31. Plošna dijagonala baze kvadratne prizme je

2 2 dm, a visina prizme je 6 dm. Koliki su

oplošje i obujam te prizme?


prostorne dijagonale:

a) 2 3 cm; b) 3 m; c) 5.6 6 cm;

d) 6 mm; e) 3.5 cm.

33. Oplošje kocke je 54 dm2. Koliki je njem obujam?

34. Koliko vode stane u limenu kocku za koju je

potrošeno 136 cm2 lima?

35. Maja je tri kocke od plastelina, jednu s bridom

3 cm, drugu 4 cm, a treću 5 cm spojila i od njih

napravila novu kocku. Koliki je brid novonastale

kocke?

36. Brid kocke dug je a cm. Koliko puta se poveća

obujam kocke ako se duljina brida uveća 3

puta?

37. Brid kocke dug je a cm. Koliko puta se poveća

obujam kocke ako se duljina brida uveća

n puta?

38. Izračunaj obujam kvadratne prizme osnovnog

brida a i visine v:

a) a = 2 cm, v = 5 cm;

b) a = 1.6 cm, v = 5.4 cm;

c) a = 2 3 mm, v = 6 mm.

152

6 . 7 . O b u j a m k v a d r a

39. Prostorna dijagonala kvadratne prizme je duga

38 cm, a bočni brid je dug 20 cm. Koliki je

obujam te prizme?

40. Plošna dijagonala pobočke kvadratne prizme

je 5 cm, a osnovni brid je dug 4 cm. Koliki su

oplošje i obujam te prizme


38 cm, a osnovni brid je dug 11 cm. Koliki je

obujam te prizme?

42. Oplošje kvadratne prizme osnovnog brida 4 cm

iznosi 400 dm2. Koliki prostor zauzima to tijelo?

43. Oplošje kvadratne prizme iznosi 400 dm2, a

duljina dijagonale baze je 10 2 cm. Koliki je

obujam te prizme?

44. Visina kvadratne prizme dvostruko je dulja od

osnovnog brida. Koliki je obujam te prizme ako

je njeno oplošje 90 cm2?

45. Posuda oblika kocke ima duljinu brida 8 cm

i cijela je napunjena vodom. Iz nje svu vodu

prelijemo u posudu oblika kvadra s osnovnim

bridovima duljine 7 cm i 5 cm. Kolika će biti

visina vode u posudi?

46. Prostorna dijagonala kvadra s osnovnim

bridovima duljine 32 mm i 42 mm te obujmom

32 256 mm3 jednaka je duljini prostorne

dijagonale kocke. Izračunaj za koliko postotaka

je obujam kocke veći od obujma tog kvadra.

47. Maja u vrtu ima mali bazen, duljine 5 m, širine

3.5 m i dubine 120 cm. Obično je napunjen do

10 cm od ruba.

a) Koliko litara vode je potrebno da se napuni

bazen?

b) Ako kubni metar vode košta 11.40 kuna,

koliko treba platiti vodu za jedno punjenje

bazena?

c) Protok vode kroz cijev kojom Maja puni

bazen je 15 litara u minuti. Koliko će vremena

trebati da se bazen napuni kroz tu cijev?

48. Kvadar je sastavljen od dvije kocke postavljene

jedna na drugu. Stranica kocke je 6 cm.

Izračunaj obujam kvadra i kocke. U kakvom su

omjeru ti obujmi? Zašto?

49. Luka je u trgovini vidio dva bazena. Jedan je

oblika kocke sa stranicom 2 m, a drugi oblika

kvadra sa stranicama 1.5m, 3 m i 1.7 m. U koji

od njih stane više vode, uz pretpostavku da ih

potpuno napunimo vodom? Izrazi količinu vode

u litrama.

50. Izračunaj obujam tijela sastavljenih od kockica

stranice 5 cm. Kako ćeš najjednostavnije

izračunati taj obujam?

a)

b)

d)

e)

c)

153


Procijeni!

a) Nacrtaj mrežu pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom 3 cm i visinom

6 cm. Procijeni koliko decilitara vode stane u nju!

b) Nacrtaj mrežu pravilne šesterostrane prizme s osnovnim bridom 3 cm i

visinom 6 cm. Procijeni koliko decilitara vode stane u nju!

Obujam kvadra računamo po formuli V = a • b • c, gdje su a i b osnovni bridovi,

a c visina kvadra. Možemo reći da obujam kvadra računamo po formuli V = B •

v, gdje je B površina baze, a v visina kvadra. Razrežemo li kvadar po dijagonali

baze, dobit ćemo dvije trostrane prizme kojima je baza pravokutan trokut.

Obujam ove prizme jednak je polovici obujma kvadra, V = a b⋅2

• c. Njena baza

je pravokutan trokut s katetama a i b. Stoga formula za obujam prizme kojoj

je baza pravokutan trokut također glasi V = B • v, gdje je B baza, a v visina te

trostrane prizme.

Na slici se vidi da se svaka prizma može razrezati na manje prizme kojima je

baza pravokutan trokut. Stoga zaključujemo da je formula za računanje obujma

bilo koje prizme V = B • v. Pritom je B površina baze, a v visina te prizme.

Obujam prizme: V = B • v

6.8. Obujam prizme

obujam

prizme

a

c = v

b

Obujam prizme

Obujam bilo koje prizme

s bazom površine B i visinom v:

V = B • vB

v

6 . 8 . O b u j a m p r i z m e

Primjer 1. Obujam trostrane prizmeVisina trostrane prizme je 5 cm. Izračunaj

njezin obujam ako je:

a) njena baza pravokutan trokut s katetama

dugim 5 cm i 12 cm;

b) njena baza jednakostranični trokut sa

stranicom 0.4 m.

Rješenje:a) Obujam ćemo računati po formuli V = B • v,

gdje je B površina baze, a v visina te prizme.

Iz uvjeta zadatka zaključujemo da je v = 5 cm,

a baza je pravokutan trokut s katetama 5 cm i

12 cm.

B = a b⋅ = ⋅2

5 122

= 30 cm2.

V = B • v = 30 • 5 = 150 cm3.

b) Bazu jednakostraničnog trokuta računamo

po formuli B = a2 3

4.

B = a2 23

40 4 3

40 04 3= =.. cm2.

V = B • v = 0 04 3. • 5 = 0.2 3 cm3.

Njena približna vrijednost iznosi V ≈

0.346 cm3.

Z a d a c i1. Baza prizme je jednakostraničan trokut sa

stranicom duljine 5 cm i visinom 7 cm. Koliki je

obujam te prizme?

2. Koliki su oplošje i obujam pravilne trostrane

prizme s osnovnim bridom a i visinom v:

a) a = 2 cm, v = 19 cm; b) a = 2.5 m, v = 0.3 m;

c) a = 2 cm, v = 6 3 cm;

d) a = 2 3 cm, v = 1 cm.

3. Koliki je obujam jednakobridne trostrane

prizme s bridom duljine 6 cm?

4. Površina pobočja pravilne trostrane prizme

iznosi 156 dm2. Koliki je obujam tog tijela ako

je njegova visina 26 dm?

5. Visina trostrane prizme je 4 cm. Izračunaj

njezin obujam ako je njena baza pravokutan

trokut s katetama dugim 7 cm i 4 cm.

6. Visina trostrane prizme je 8 cm. Izračunaj

njezin obujam ako je njena baza pravokutan

trokut s katetom dugom 2.4 cm i hipotenuzom

od 2.6 cm.

7. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je baza

pravokutan jednakokračan trokut s katetom

6.2 cm. Visina prizme jednaka je duljini katete.

8. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je

baza pravokutan jednakokračan trokut s

hipotenuzom 7 2 cm. Visina prizme je duga

3 cm.


jednakokračan trokut osnovice 12 cm i kraka

9 cm. Visina prizme je 1 cm.

10. Dizajnerica je osmislila staklenu vazu oblika

dvostruke pravilne trostrane prizme, s rupom

u sredini kao na slici. Obje prizme su visine

50 cm, rub vanjske je 30 cm, a unutarnje 20.

Koliko vode stane u tu vazu, ako je napunimo

do vrha (izrazi u litrama)? Koliko je stakla

potrebno za stjenke i dno te vaze?

11. Stane li više vode u bazen oblika kvadra sa

stranicama 2 m, 3m i visinom 1.75 m ili

u bazen oblika pravilne trostrane prizme

sa stranicom baze 3 m i visinom 1.5 m?

Pretpostavljamo da su oba bazena puna do

ruba.

154

155

12. Izračunaj obujam tijela sa slike ako je

a = 16 cm, d = 24 cm, h = 20 cm.

13. Duljine osnovnih bridova trostrane prizme je

3 cm, 4 cm i 5 cm. Izračunaj obujam ove prizme

ako joj je visina 6 cm.


12 cm, 13 cm i 5 cm. Izračunaj obujam ove

prizme ako joj je oplošje 210 cm2.


jednakokračan trokut osnovice 7.3 cm i kraka

0.9 dm. Površina pobočja je 143 cm2.


iznosi 156 dm2. Koliki je obujam tog tijela ako

je njegovo oplošje 400 dm2.



prelijemo u posudu oblika pravilne trostrane

prizme s osnovnim bridovima duljine 6 cm.

Kolika će biti visina vode u posudi?

Primjer 2. Obujam šesterostrane prizme

Pogledaj sliku. Može li u zadanu pravilnu

prizmu stati litra vode?

Rješenje:

Tražimo obujam ove prizme, koristit ćemo

formulu V = B • v. Iz slike čitamo da je visina

prizme 4.2 cm. Baza prizme je pravilni šesterokut

u kojem ćemo primijetiti šest karakterističnih

trokuta koji su jednakostranični.

B = 63

46

3 34

13 5 32 2

⋅ = =a. cm2.

Izračunajmo obujam:

V = B • v = 13 5 3. • 4.2 = 56.7 3 cm3.

Obujam približno iznosi V ≈ 56.7 • 1.73 =

98.21 cm3. Pretvorimo kubične centimetre u

kubične decimetre, jer je 1 l = 1 dm3.

98.21 cm3 = 0.09821 dm3 = 0.09821 l. Obujam

ove prizme je manji od 1 l, pa zaključujemo da

u zadanu prizmu ne može stati litra vode.

a

h

d

3 cm

4.2 cm

a

aa


23. Obujam pravilne šesterostrane prizme je 10 L, a

njena visina je 2 dm.

a) Kolika je stranica baze te prizme?

b) Koliko joj je oplošje?

24. Pravilna trostrana i pravilna šesterostrana

prizma imaju jednake visine 100 cm i duljine

osnovnog brida 50 cm.

a) Izračunaj oplošje obje prizme i usporedi

njihove veličine.

b) Izračunaj obujam obje prizme i usporedi

njegove veličine. Što primjećuješ?

25. Labirint je izrađen je od dva koncentrična

šesterokutna zida, kao na slici. Stranica

najmanjeg šesterokuta je 4m, a stranica svakog

sljedećeg je za 2 m dulja. Visina svih zidova je 2

m. Izračunaj kolika količina betona je potrebna

za izgradnju to labirinta.

Primjer 3. Obujam ostalih prizmiZa svaku zlatnu polugu kao na slici utroši se

800 cm3 zlata.

a) Kolika je duljina svake zlatne poluge ako

presjek poluge ima dimenzije:

b) Kolika je masa svake poluge ako je gustoća

zlata 19.3 g/cm3?

Rješenje:

a) Zlatna poluga ima oblik četverostrane prizme

kojoj je baza jednakokračni trapez. Izračunajmo

površinu baze:

B = a ch

+ ⋅ = + ⋅2

9 52

3 = 21 cm2.

Duljina zlatne poluge predstavlja visinu te

prizme. Kako obujam računamo po formuli

V = B • v, onda je visina prizme v = V : B.

v = V : B = 800 : 21 ≈ 38.09 cm.

b) Obujam svake poluge je 800 cm3. Gus-

toća zlata je 19.3 g/cm3. To znači da sva-

kom cm3 pripada masa od 19.3 g. Stoga

obujmu od 800 cm3 pripada masa od

800 • 19.3 = 15440 g = 15.44 kg.

Z a d a c i18. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane prizme

osnovnog brida a i visine v:

a) a = 2 cm, v = 7 cm; b) a = 3 cm, v = 3.5 cm;

c) a = 3 cm, v = 2 3 cm;

d) a = 2 cm, v = 2 cm.

19. Svi bridovi uspravne šesterostrane prizme su

dugi 9 cm. Koliki su njeni oplošje i obujam?

20. Stup od gipsa ima oblik pravilnog šesterokuta.

Kolika je njegova visina ako je za njega

utrošeno 8 l mase gipsa, a duljina osnovnog

brida je 8 cm?

21. Oplošje pravilne šesterostrane prizme je

18 3 cm2, a površina pobočja iznosi

10 3 cm2. Izračunaj obujam ove prizme.

22. Posuda oblika kocke ima duljinu brida 1 dm

i cijela je napunjena vodom. Iz nje svu

vodu prelijemo u posudu oblika pravilne

šesterostrane prizme osnovnog brida duljine

0.5 dm. Kolika će biti visina vode u posudi?

a = 9 cm

c = 5 cm

h = 3 cmb b

156

6 . 8 . O b u j a m p r i z m e

157


Z a d a c i21. Visina uspravne prizme je 15 cm. Izračunaj

oplošje i obujam prizme ako je baza

jednakokračni trapez zadan crtežom:

a) b) c)

22. Za svaku zlatnu polugu kao na slici utroši se

500 cm3 zlata. Baza poluge je jednakokračni

trapez s osnovicama dugim 8 cm i 7 cm te

kracima od 7 cm.

a) Kolika je duljina svake zlatne poluge?


zlata 19.3 g/cm3?

23. Za hranjenje divljači proizvode se posebne

posude, kao na slici.

a) Koliko litara hrane pojede divljač ako je

posuda napunjena do vrha?

b) Koliko hrane se još treba napuniti kada je

posuda puna do polovice svoje visine?

24. Nasip protiv poplava uz rijeku je dug 30 km.

Ilustracija nasipa uz rijeku:

a) Koliko zemlje je bilo potrebno za izgradnju

ovog nasipa?

b) S gornje strane i na jednoj strani nasipa je

posađena trava kao na slici. Kolika je površina

zasađena travom?

25. Izračunaj obujam zadanih prizmi:

a) b) c)

26. Tvornica čokolade je poznata po svojim

neobičnim pakiranjima čokolade.

a) Izračunaj koliko cm3 čokolade se može

upakirati u ovaj omot, ako znamo da 25%

obujma ovog tijela odlazi na prazninu koja se

nalazi između čokolade i omota.

b) Koliko cm2 kartona je potrebno za pakiranje?

27. Tvornica čokolade je poznata po svojim

neobičnim pakiranjima čokolade.





b) Koliko cm2 kartona je potrebno za pakiranje?

28. Staklena vaza ima oblik kvadratne prizme

osnovnog brida 10 cm i visine 20 cm i puna je

vode. Ako vazu okrenemo za kut od 45º prema

ravnini baze oko jednog brida, koliko će se

vode izliti iz vaze?

25 cm

40 cm

60 cm

30 cm

21 m

8 m

5 m

7 m 15 m

3 cm

3 cm3 cm

15 cm

5 56

12

7.3

8.6

3.2

7.3

9

6

20

5 56

12

7.3

8.6

3.2

7.3

9

6

20

5 56

12

7.3

8.6

3.2

7.3

9

6

20

6 m

6.5 m

4 m

5 m 6 m8 m

4 m

2 m6 m

8 m

4 m

15 m

6 m

6.5 m

4 m

5 m 6 m8 m

4 m

2 m6 m

8 m

4 m

15 m

6 m

6.5 m

4 m

5 m 6 m8 m

4 m

2 m6 m

8 m

4 m

15 m

3 cm

2 cm2 cm16 cm

1 cm

158

6 . 8 . O b u j a m p r i z m e

1. Pretvori u dm3:

a) 0.005 m3; b) 0.8987 m3; c) 87.563 m3;

d) 5.4678 m3; e) 0.009 m3.

2. Pretvori u dm3:

a) 35640 cm3; b) 123.789 cm3;

c) 9 000 000 mm3; d) 0.0089 m3; e) 0.67 m3.

3. Pretvori u cm3:

a) 0.009 m3; b) 4 dm3; c) 58000 mm3;

d) 0.0897 dm3; e) 0.000001 m3.


a) 8.23 dm3; b) 14.89 cm3; c) 23.5 dm3;

d) 0.0008 m3; e) 89000000 mm3.


a) 44.3 dm3; b) 45.78 cm3; c) 45 dm3;

d) 0.000099 m3; e) 4000000 mm3.


a) 65 cm3 = ________ mm3;

b) 675 dm3= ________ cm3;

c) 0.0098 m3 = ________ l;

d) 110 mm3 = ________ cm3;

e) 0.00787 dm3 = ________ l.


a) 0.78 m3 = ________ dm3;

b) 0.9 l = ________ mm3;

c) 120.05 mm3 = ________ cm3;

d) 77 777 cm3 = ________ m3;

e) 0.0000012 mm3 = ________ m3.


a) 0.67 m2 = ________ dm2;

b) 0.023 l = ________ cm3;

c) 67.055 mm = ________ cm;

d) 456 000 cm3 = ________ dm3;

e) 0.00023 cl = ________ l.

9. Koliki je obujam kvadra kojem su duljine bridova:

a) 5 cm, 8 cm, 19 cm;

b) 3.6 cm, 3.8 cm, 3.5 cm;

c) 8 mm, 3 2 mm, 0.14 cm;

d) 2 7 cm, 3 14 cm, 5 cm.

10. Duljina dvaju bridova kvadra su 5 cm i 12 cm,

a prostorna dijagonala je duga 85 cm. Koliki su

oplošje i obujam tog kvadra?

11. Koliko vode (izraženo u decilitrima) stane u

stakleni kvadar kojem su duljine bridova:

a) 12 cm, 15 cm, 14 cm;

b) 4 cm, 3 cm, 7 cm;

c) 6 cm, 2 cm, 3 cm;

d) 4 2 dm, 3 3 dm, 40 cm.

12. Obujam kvadra iznosi 6 10 cm3, a dva njegova

brida su duga 5 cm i 8 cm. Kolika je duljina


13. Obujam kvadra iznosi 45 cm3, a dva njegova brida

su duga 2.5 cm i 6 cm. Kolika je duljina trećeg

brida kvadra?

14. Obujam kvadra je 210 cm3, a dva brida tog kvadra

su 7 cm i 5 cm.

a) Kolika je duljina prostorne dijagonale tog

kvadra?

b) Koliko je oplošje tog kvadra?

15. Obujam kvadra iznosi 245 cm3, a njegova baza

je kvadrat sa stranicom duljine 7 dm. Kolika je

visina kvadra?


brida su duga 9 cm i 5 cm. Koliko je oplošje

kvadra?










20. Koliki je obujam kocke s bridom duljine:

a) 8 cm; b) 5.8 cm; c) 0.5 dm;

d) 8 cm; e) 6 2 m.

21. Koliki je obujam kocke ako je površina jedne

njene strane:

a) 8 cm2; b) 25 m2; c) 1.96 cm2;

d) 12 mm2; e) 18 cm2.

Vježbalica

159


22. Koliki je obujam kocke ako je duljina njene plošne

dijagonale:

a) 3 2 cm; b) 6 2 m;

c) 5 6 cm; d) 22 mm; e) 4 cm.


prostorne dijagonale:

a) 8 3 cm; b) 2 3 m;

c) 6 6 cm; d) 16 mm; e) 75 cm.

24. Oplošje kocke je 384 dm2. Koliki je njen obujam?

25. Plošna dijagonala baze kvadratne prizme je

6 2 dm, a visina prizme je 5 dm. Koliki su


26. Plošna dijagonala pobočke kvadratne prizme

je 17 cm, a osnovni brid je dug 8 cm. Koliki su



2 33 cm, a osnovni brid je dug 8 cm. Koliki je

obujam te prizme?


2 22 cm, a bočni brid je dug 4 cm. Koliki je

obujam te prizme?

29. Oplošje kvadratne prizme osnovnog brida 5 cm


30. Oplošje kvadratne prizme bočnog brida 9 cm


31. Visina kvadratne prizme dvostruko je dulja od

osnovnog brida. Koliki je obujam te prizme ako je

njeno oplošje 250 cm2?

32. Baza prizme je jednakostraničan trokut sa

stranicom duljine 4 cm i visinom 9 cm. Koliki je

obujam te prizme?

33. Koliki su oplošje i obujam pravilne trostrane

prizme s osnovnim bridom a i visinom v:

a) a = 6 cm, v = 9 cm;

b) a = 3 m, v = 4 m;

c) a = 12 cm, v = 6 cm;

d) a = 2 5 cm, v = 2 cm.

34. Koliki je obujam jednakobridne trostrane prizme

s bridom duljine 6 cm?

35. Površina pobočja pravilne trostrane prizme iznosi

90 dm2. Koliki je obujam tog tijela ako je njegova

visina 6 dm?

36. Visina trostrane prizme je 24 cm. Izračunaj njezin

obujam ako je njena baza pravokutan trokut s

katetama dugim 20 cm i 21 cm.


pravokutan jednakokračan trokut s katetom

6 cm. Visina prizme jednaka je duljini katete.


pravokutan jednakokračan trokut s hipotenuzom

8 2 cm. Visina prizme je duga 8 cm.


jednakokračan trokut osnovice 18 cm i kraka 41

cm. Visina prizme je 40 cm.

40. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane prizme

osnovnog brida a i visine v:

a) a = 6 cm, v = 3 cm;

b) a = 3 2 cm, v = 3 cm;

c) a = 4 cm, v = 3 cm;

d) a = 8 cm, v = 20 cm.

41. Svi bridovi uspravne šesterostrane piramide su

dugi 4 cm. Koliki su njeni oplošje i obujam?


132 3 cm2, a površina pobočja iznosi 96 3 cm2. Izračunaj obujam ove prizme.

43. Visina uspravne prizme je 5 cm. Izračunaj oplošje

i obujam prizme ako je baza jednakokračni

trapez sa duljinama osnovica a i c, te krakom b:

a) a = 42 cm , b = 20 cm, c = 18 cm;

b) a = 16 cm, b = 8 cm, c = 4 cm.


5 cm, 12 cm i 13 cm. Izračunaj obujam ove

prizme ako joj je visina 7 cm.(Prvo provjeri je li

trokut pravokutan).


8 cm, 15 cm i 17 cm. .(Prvo provjeri je li trokut

pravokutan). Izračunaj obujam ove prizme ako joj

je oplošje 200 cm2.


jednakokračan trokut osnovice 2.4 cm i kraka

3.7 cm. Površina pobočja je 49 cm2.


iznosi 120 dm2. Koliki je obujam tog tijela ako je

njegovo oplošje +32 3 120 dm2.



prelijemo u posudu oblika pravilne trostrane

prizme s osnovnim bridovima duljine 3 cm.

Kolika će biti visina vode u posudi?

160

6 . 9 . O s n o v n o o p i r a m i d a m a

6.9. Osnovno o piramidama

Prepoznaj piramide

Na slici se nalaze razna geometrijska tijela. Kako ćeš među njima prepoznati

piramide?

Piramida je uglato geometrijsko tijelo kojem je jedna strana mnogokut, a sve

ostale strane su trokuti s jednim zajedničkim vrhom. Taj mnogokut nazivamo

bazom piramide, a trokute pobočkama piramide. Sve pobočke zajedno čine

pobočje piramide. Za razliku od prizme, piramida ima smo jednu bazu. Nasuprot

baze nalazi se vrh piramide koji je zajednički vrh svim trokutima iz pobočja.

Bridovi koji pripadaju bazama nazivaju se osnovni bridovi,

jer se baza još naziva i osnovka. Preostali bridovi se nazivaju bočni bridovi, jer

su zajednički dvjema pobočkama.

Vrh piramide označimo s V. Ortogonalnu projekciju vrha V na ravninu baze

označimo s V’. Dužinu VV ' nazivamo visina piramide.

U svakodnevici vrlo često susrećemo tijela u obliku piramide. U sljedećim

primjerima ćemo pokazati neke vrste piramida, te njihova osnovna svojstva.

baza ili

osnovka

osnovni brid

bočni brid

pobočke

piramide

vrh piramide

visina

piramide

V

V′

vpobočje

baza

vrh

bočni bridovi

osnovni bridovi

V

pobočje

baza

vrh

bočni bridovi

osnovni bridovi

V

161


Primjer 1. Vrste piramidaImenuj piramide koje vidiš na slici:

Rješenje:Kao i kod prizmi, i piramide međusobno

razlikujemo prema broju stranica baze. Tako se

piramida kojoj je baza trokut naziva trostrana

piramida. Piramida kojoj je stranica četverokut

naziva se četverostrana piramida, piramida

kojoj je baza peterokut se naziva peterostrana

piramida itd.

Trostrana piramida se nalazi na slici br. 3.

Četverostrane piramide se nalaze na slikama

broj 1, 5 i 7, peterostrana je na slici br. 4, a

šesterostrane se nalaze na slikama broj 2 i 6.

1. Kako se nazivaju piramide na slici? 2. Kako se nazivaju piramide na slici?

3. Kako se naziva piramida ako joj je baza:

a) deveterokut; b) jedanaesterokut;

c) šesterokut; d) stoterokut?

12 3

4

5

67

Z a d a c i

Primjer 2. Pravilna piramidaŠto misliš, što su pravilne piramide? Nabroji

neke od njih.

Rješenje:Pravilna piramida je piramida kojoj je baza

pravilan mnogokut i sve pobočke sukladni

jednakokračni trokuti. Takva piramida kojoj je

baza jednakostranični trokut naziva pravilna

trostrana piramida, takva piramida kojoj je

baza kvadrat se naziva pravilna četverostrana

piramida, takva piramida kojoj je baza pravilni

peterokut se naziva pravilna peterostrana

piramida itd.

Pravilna piramida je piramida

kojoj je baza pravilan mnogokut

i sve pobočke sukladni

jednakokračni trokuti.

pravilna

piramida

pravilna četverostrana

piramida

pravilna trostrana

piramida

pravilna šesterostrana

piramida

162

Primjer 3. Oplošje piramideOplošje prizme smo računali po O = 2B + P.

Hoćemo li istu formulu moći koristiti i za

računanje oplošja piramide? Objasni svoj

odgovor.

Rješenje:Prizma je omeđena svojim dvjema bazama

i pobočjem. Površinu baze smo označili

s B, a pobočja s P. Kako je oplošje zbroj

površina svih strana prizme, računamo ga po

O = 2B + P.

Međutim, piramida ima samo jednu bazu. Stoga

ćemo uz iste oznake njeno oplošje računati po

O = B + P.

Baza piramide je mnogokut, a pobočje se

sastoji od trokuta. Oplošje raznih piramida

ćemo računati u sljedećim poglavljima.

Z a d a c i4. Koje od ovih piramida su četverostrane:


a) trostrane piramide;

b) četverostrane piramide; c) peterostrane

piramide; d) šesterostrane piramide?

6. a) Postoje li dvostrane piramide?

Objasni odgovor.

b) S koliko ploha može biti omeđena piramida?

7. Navedi gdje sve u životu susrećemo piramide.


a) uglata tijela; b) obla tijela; c) prizme;

d) piramide; e) trostrane piramide; f) pravilne

četverostrane piramide?

1 2 3

4

1 2

7

6

4

3

58

1

107

2

986

54

3

Oplošje piramide

Oplošje piramide je zbroj površina svih njenih strana. Kako se svaka piramida sastoji

od baze i pobočja, oplošje prizme možemo računati po formuli

O = B + P, pri čemu je B površina baze, a P zbroj površina svih pobočaka piramide.

pobočje

baza

V


163

Z a d a c i 9. Koje piramide primjećuješ na slikama: 10. Prepiši u bilježnicu i ispuni tablicu:

Broj

vrhova

Broj

bridova

Broj

strana

Kvadar

Peterostrana prizma

Šesterostrana prizma

Trostrana piramida

Četverostrana piramida

Primjer 4. Obujam piramide

Izvedite u razredu mali eksperiment. Usporedimo

četverostranu piramidu i četverostranu prizmu

sa sukladnim bazama i jednakim visinama.

Procijeni:

a) Koje tijelo ima veći obujam, prizma ili

piramida?

b) Koliko puta ima veći obujam?

Isto procijenite i za neki drugi par prizmi i

piramida, npr. trostrane.

Rješenje:

a) Zadane su prizma i piramida sukladnih baza

i jednakih visina. Visina piramide je dužina koja

spaja vrh piramide s njegovom ortogonalnom

projekcijom na ravninu baze. Nije teško

pogoditi da zadana prizma ima veći obujam od

zadane piramide. No, pitamo se, koliko puta,

je li možda dvostruko? Tako procjenjuju mnogi

učenici. Pogledajmo b) zadatak.

b) Napunimo li piramidu vodom i potom tu

tekućinu pretočimo u prizmu primijetit ćemo

da voda nije još nije došla do polovice visine

prizme. Mnogi učenici će pretpostaviti da je

voda dosegnula trećinu visine prizme. Nakon

još točno dva takva dolijevanja iz piramide u

prizmu, prizma će se do vrha napuniti vodom.

Zaključujemo da je obujam piramide trostruko



manji od obujma prizme. Taj eksperiment

možemo ponoviti s bilo kojim drugim parom

prizme i piramide koje imaju sukladne baze

i jednake visine. Zaključit ćemo da zadana

piramida ima trostruko manji obujam od

pripadne prizme.

Vprizme = 3 • Vpiramide

Stoga je obujam piramide Vpiramide = 13

Vprizme .

Obujam prizme računamo po

Vprizme = B • v, gdje je B njihova

površina baze, a v visina. Tada

je obujam piramide

Vpiramide = 13

Vprizme = 13

B • v.

Obujam piramide

Obujam bilo koje piramide s

bazom površine B i visinom v:

V = 13 B • v.

obujam ili

volumen

piramide

Z a d a c i11. U kojim mjernim jedinicama izražavamo

oplošje?

12. Što je oplošje piramide?

13. Zašto oplošje piramide ne računamo po

O = 2B + P?

14. Opiši kako bismo izračunali oplošje piramida sa

slike:

15. Zašto obujam označavamo slovom V?

16. Objasni zašto obujam piramide računamo kao 13 B • v. Što označava B, a što v u tom izrazu?

17. Obujam četverostrane prizme je 144 cm3. Koliki

je obujam četverostrane piramide koja ima

sukladnu bazu i jednaku visinu kao i zadana

prizma?

18. U trostranu prizmu je upisana trostrana

piramida. Koliki je obujam prizme ako obujam

zadane piramide iznosi 78 cm3?

19. U šesterostranu prizmu je upisana šesterostrana


zadane piramide iznosi 14 l?

20. Izračunaj oplošje piramide kojoj su zadane

površine baze i pobočja.

a) B = 40 cm2 i P = 60 cm2;

b) B = 60 cm2 i P = 30 cm2;

c) B = 25 dm2 i P = 35 dm2;

d) B = 4 m2 i P = 6.6 m2.

21. Izračunaj obujam piramide kojoj je zadana

površina baze i visina:

a) B = 40 cm2 i v = 6 cm;

b) B = 4250 cm2 i v = 200 cm;

c) B = 4 m2 i v = 60 dm;

d) B = 12 dm2 i v = 3 cm.

v

164

165


Koje od prikazanih piramida su četverostrane:

Mnogi predmeti oko nas imaju oblik piramide kojoj je baza četverokut. One se

nazivaju četverostrane piramide.

Naročito ćemo promatrati četverostranu piramidu kojoj je baza kvadrat. To je

pravilna četverostrana piramida. Pravilna četverostrana piramida je piramida

kojoj je baza kvadrat i sve pobočke sukladni jednakokračni trokuti.

Vrh piramide označimo s V, a ortogonalnu projekciju vrha V na ravninu baze

označimo s V’. Tada je dužina VV ' visina te piramide. Točka V’ kod pravilne

četverostrane piramide pada točno u sjecište dijagonala baze.

6.10. Četverostrana piramida

pravilna

četverostrana

piramida

visina

piramide

pobočje

baza

vrh

bočni bridovi

osnovni bridovi

V

v

V

V′

166

6 . 1 0 . Č e t v e r o s t r a n a p i r a m i d a

Primjer 1. Crtanje u kosoj projekcijiZadana je pravilna četverostrana piramida s

osnovnim bridom a = 4 cm i visinom v = 5 cm.

Nacrtaj je u kosoj projekciji.

Rješenje:Opet ćemo odabrati da je kut projiciranja

α = 45º i da je prikrata 12

.

Prvo nacrtajmo bazu, koja je kvadrat. Kvadrat

sa stranicom a nacrtan u kosoj projekciji

crtamo kao paralelogram sa stranicama

a i a2

te kutem od 45°. Zatim odredimo sjecište

dijagonala nacrtanog paralelograma – to je

točka V’. Ta točka je nožište visine piramide,

tj. ortogonalna projekcija vrha piramide na

ravninu baze.

U točki V’ nacrtamo okomicu na ravninu baze, tj.

na dužinu AB . Na toj okomici izmjerimo zadanu

duljinu visine. Tako smo dobili vrh piramide

V. Spojimo vrh piramide s vrhovima baze.

Bridove koji se stvarno ne vide prikazujemo

isprekidanim dužinama.

Primjer 2. Visina piramideBaza Keopsove piramide u Egiptu je kvadrat sa

stranicom dugom 230 m. Njeni bočni bridovi

su dugi 220 m. Koliko je visoka Keopsova

piramida?

Rješenje:Istaknimo pravokutan trokut kao na slici s

katetama d2

i v. Hipotenuza tog trokuta je

bočni brid b.

Dijagonala kvadrata se računa po d = a 2

gdje je a osnovni brid piramide. Stoga je

d = a 2 = 230 2 m, pa je d2

= 115 2 m.

Tada je

v2 = b2 – d2

2

= 2202 – 115 2

2( ) =

48 400 – 26 450 = 21 950.

Visina Keopsove piramide iznosi približno

v = 21950 ≈ 148.16 m.

v

V

V′ a2

a45°

A B

v

V

V′ a2

a45°

A BV′ a

2a

45°A B

v

V

V′ a2

aA B

d2

bv

d2

b

167


Primjer 3. Visina pobočke piramideKolika je visina pobočke Keopsove piramide?

Rješenje:Visina pobočke pravilne piramide je visina

jednog od četiri sukladna jednakokračna

trokuta koji omeđuju tu piramidu i koji su njene

pobočke. Visinu pobočke obično

označavamo s h, kako bismo je

razlikovali od visine piramide

koju obično označavamo s v.

Ovaj zadatak ćemo riješiti na dva načina.

1. način:

Kako su u prethodnom primjeru zadane veličine

bridova baze i pobočaka Keopsove piramide,

najjednostavnije je na pobočki uočiti pravokutan

trokut s katetama h i a2

, te s hipotenuzom b.

Stoga zadatak riješimo koristeći Pitagorin

poučak.

h2 = b2 – a2

2

= 2202 – 1152 = 48 400 – 13 225

= 35 175

h = 35 175 ≈ 187.55 m.

Visina pobočke Keopsove piramide iznosi

187.55 m.

2. način:

No, često ćemo u zadacima imati zadane samo

duljinu visine i osnovnog brida, a tražit će se

duljina visine pobočke pravilne četverostrane

piramide. Zato rješenje pokažimo na ovom

zadatku. Treba izračunati duljinu visine po-

bočke h ako su zadani visina piramide v i

osnovni brid a.

Primjećujemo pravokutni trokut s katetama v

i a2 , te s hipotenuzom h. Izračunajmo traženu

duljinu h:

h2 = v2 + a2

2

= 21 950 + 13 225 = 35 175

h = 35 175 ≈ 187.55 m.

Naravno, rezultat je isti kao i kod računanja na

prvi način.

visina

pobočke

piramide

v

V

aA B

b

a

h

a2

bh

b

a2

v

V

aA B

b

a

h

a2

v h

a2

Pazi! Moraš razlikovati v isinu

poboÈke h . . .

i visinu piramide v!

168


Z a d a c i1. Gdje sve u svakodnevnom životu susrećemo:

a) pravilnu četverostranu piramidu;

b) četverostranu piramidu; c) piramidu?

2. Koliko četverostrana piramida ima:

a) bočnih bridova; b) osnovnih bridova;

c) vrhova; d) strana; e) dijagonala baze?

3. Kolika je duljina visine pravilne četverostrane

piramide ako je duljina njenog bočnog brida

10 cm, a dijagonala baze duga 12 cm?

4. Zadana je pravilna četverostrana piramida

s osnovnim bridom a i bočnim bridom b.

Izračunaj visinu te piramide ako je:

a) a = 5 2 cm, b = 13 cm;

b) a = 9 cm, b = 16 cm;

c) a = 7.34 cm, b = 8.6 cm;

d) a = 8 5 cm, b = 170 cm.

5. Zadana je piramida visine v kojoj je baza

kvadrat stranice a. Kolika je duljina njenog

bočnog brida ako je:

a) a = 30 2 cm, v = 40 cm;

b) a = 34 cm, v = 9 cm;

c) a = 8.13 cm, b = 5.5 cm;

d) a = 4 76 cm, v = 2 133 cm.

6. Zadana je piramida visine v i bočnog brida b

kojoj je baza kvadrat. Kolika je duljina njenog

osnovnog brida ako je:

a) b = 45 cm, v = 27 cm; b) b = 6 cm, v = 2 cm;

c) v = 6.4 cm, b = 11.05 cm;

d) b = 4 2 cm, v = 2 2 cm.

7. Izračunaj visinu i visinu pobočke jednakobridne

četverostrane piramide osnovnog brida

a = 4 cm.

8. U pravilnoj četverostranoj piramidi bočni brid

je označen s b, osnovni s a, a visina pobočke s

h. Izračunaj treću komponentu ako su zadane

dvije:

a) a = 7 cm, h = 8 cm;

b) a = 6 cm, b = 5 cm;

c) b = 18.5 dm, h = 11.2 dm.

9. Može li visina pobočke biti manja od:

a) visine piramide; b) bočnog brida;

c) brida osnovice?

10. Piramida je prepiljena po dijagonali baze

ravninom koja prolazi vrhom piramide. Tako

dobivamo je poprečni presjek piramide. Kakav

trokut dobivamo u poprečnom presjeku?


iznosi 16 2 cm, a duljina visine pobočke

13 cm. Kolika je duljina dijagonale baze?

12. U pravilnoj četverostranoj piramidi duljina

visine iznosi 25.35 dm, a duljina visine pobočke

32 dm. Kolike su duljine osnovnog brida,

bočnog brida, te dijagonale baze?

13. Zadana je pravilna četverostrana piramida

visine v = 6 dm i dijagonale baze d = 4 2 dm.

Izračunaj duljinu osnovnog brida, bočnog brida,

te duljinu visine pobočke.

14. Izračunaj duljinu osnovnog brida i visinu

pobočke jednakobridne četverostrane piramide

kojoj je visina duga 16 mm.


jednakobridne četverostrane piramide kojoj je

visina pobočke duga 4 3 cm.

16. Izvedi formule za visinu piramide, visinu

pobočke, bočni brid te dijagonalu baze

jednakobridne četverostrane piramide s

osnovnim bridom duljine a.

17. Pravilna četverostrana piramida je presječena

ravninom koja prolazi dijagonalom njene baze i

vrhom piramide. Kolika je površina tog presjeka

ako je duljina osnovnog brida 5 cm, a bočnog

7 cm.


ravninom koja prolazi dijagonalom njene

baze i vrhom piramide. Taj presjek ima oblik

jednakostraničnog trokuta. Kolika je njegova

površina ako je duljina osnovnog brida:

a) 7 cm; b) a.




jednakostraničnog trokuta i njegova površina

iznosi 6 3 dm2. Izračunaj duljinu dijagonale

baze.

169


Primjer 3. Mreža pravilne četverostrane piramideKoja od ovih slika predstavlja mrežu pravilne

četverostrane piramide?

Rješenje:Presavijanjem se u piramidu mogu formirati

slike 1, 2 i 4. Na slici 4 se doduše nalazi mreža

četverostrane piramide, ali kojoj baza nije

kvadrat, već pravokutnik.

Primjer 4. Oplošje pravilne četverostrane piramideŽelimo od papira napraviti kutijicu oblika

četverostrane piramide s dimenzijama kao na

slici.

a) Koliko papira će nam za to trebati?

b) Koliko takvih kutijica se najviše može izraditi

od komada papira formta A4?

Rješenje:a) Površinu baze označimo s B, a pobočje s P.

Tada je oplošje piramide O = B + P.

Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat

pa je njena površina:

B = a2 = 9 cm2.

Pobočje pravilne četverostrane piramide se

sastoji od četiri sukladna jednakokračna trokuta

pa je površina pobočja:

P = 4 • a h⋅2

, gdje je h visina pobočke te

piramide.

Sada izračunamo visinu pobočke iz trokuta kao

na slici:

3 cm

4 cm

b

ha2

h b

a2

1 2

3

4

1 2

3

4

1 2

3

4


20. Visina pobočke pravilne četverostrane piramide

je duga 11 cm, a osnovni brid je dug 8 cm.

Izračunaj:

a) površinu baze; b) površinu pobočja;

c) oplošje piramide.

21. Nacrtaj mrežu pravilne četverostrane piramide

osnovnog brida 6 cm i bočnog brida 5 cm.

Koliko je oplošje te piramide?

22. U pravilnoj četverostranoj piramidi osnovni

brid je označen s a, bočni brid s b, visina s v, a

visina pobočke s h. Izračunaj oplošje ako je:

a) a = 6 cm, b = 5 cm;

b) a = 4 cm, v = 11 cm;

c) b = 29.9 dm, v = 10 dm;

d) a = 2 mm, h = 1 mm;

e) b = 17 3 m, h = 5 5 m;

f) v = 20 cm, h = 18 2 cm.

23. Izračunaj oplošje jednakobridne četverostrane

piramide s bridom:

a) 6 cm; b) 0.3 cm; c) 3 3 dm; d) a.

24. Baza pravilne četverostrane piramide je

kvadrat površine 36 dm2. Sve pobočke su

jednakostranični trokuti. Koliko je oplošje te

piramide?

25. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat,

a pobočke su jednakostranični trokuti. Svaka

pobočka ima površinu 3 3 m2. Koliko je

oplošje?

26. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat

površine 100 dm2, a visina piramide je 6 dm.

Koliko je njeno oplošje?


površine 100 dm2, a visina pobočke piramide je

13 dm. Koliko je njeno oplošje?


površine 100 dm2, a bočni brid iznosi 8 dm.

Koliko je oplošje?

29. Opseg baze pravilne četverostrane piramide je

56 cm, a oplošje je 476 cm2. Kolika je visina

piramide?

30. Oktaedar je geometrijsko tijelo koje se sastoji

“spajanjem” dviju jednakobridnih četevrostranih

piramida kao na slici.

Izračunaj njegovo oplošje ako je duljina brida:

a) 5 dm; b) 9 cm; c) a.

31. Kolika je visina okatedra ako je njegovo oplošje

32 3 cm2?

h2 = b2 – a2

2

= 16 –

94

= 64 9

4554

− =

h = 554

552

= cm.

Stoga je P = 4 • a h⋅

2 = 4 •

3 554

⋅= 3 55 cm2.

Izračunajmo oplošje:

O = B + P = 9 + 3 55 cm2.

Oplošje približno iznosi

O ≈ 31.25 cm2.

b) Papir formata A4 ima dimenzije 21 cm

x 29.7 cm. Njegova površina je 21 • 29.7 =

623.7 cm2. Podijelimo li to s oplošjem, dobit

ćemo 623.7 : 31.25 = 19.96. Od komada papira

dimenzija A4 može se najviše napraviti 19

takvih piramida.

Z a d a c i

170


Primjer 5. Obujam pravilne četverostrane piramideZadana je piramida s dimenzijama kao na skici.

Koliki je njen obujam?

Rješenje:U prethodnom poglavlju smo naučili da je

obujam piramide trostruko manji od obujma

prizme s istom bazom i visinom.

Izračunajmo površinu baze zadane piramide:

B = a2 = 9.52 = 90.25 dm2.

Obujam piramide je

V = 13

B • v = 13

• 90.25 • 12.3 = 90 25 12 3

3. .⋅

=

370.03 dm3.

Obujam piramide

Obujam bilo koje piramide s

bazom površine B i visinom v:

V = 13

B • v.

Z a d a c i32. Duljina osnovnog brida pravilne četverostrane

piramide iznosi 13 cm, a visina piramide iznosi

10 cm. Koliki je obujam te piramide?

33. Izračunaj obujam pravilne četverostrane pirami-

de kojoj su zadani osnovni brid a i visina v:

a) a = 15 cm, v = 1 cm;

b) a = 12.3 cm, v = 8.8 cm;

c) a = 3mm, v = 3 mm.

34. Izračunaj duljinu osnovnog brida pravilne

četverostrane piramide ako su zadani obujam V

i njena visina v:

a) V = 30 cm3, v = 3 cm;

b) V = 100 cm3, v = 5 cm;

c) V = 450.2 cm3, v = 16.16 cm.

35. Izračunaj duljinu visine pravilne četverostrane

piramide ako su zadani obujam V i duljina

osnovnog brida a zadane piramide:

a) V = 45 cm3, a = 6 cm;

b) V = 15 cm3, a = 2.5 cm;

c) V = 700 cm3, a = 20 10 cm.

36. Pravilna četverostrana piramida ima osnovni

brid a, bočni brid b, visinu v, te visinu pobočke

h. Izračunaj njen obujam ako je zadano:

a) a = 5 cm, h = 6 cm;

b) v = 11 cm, h = 11.8 cm;

c) a = 12.2 cm, b = 11.4 cm;

d) v = 12 3 mm, b = 13 3 mm.

37. Izračunaj obujam pravilne četverostrane

piramide ako je zadano:

a) B = 100 cm2, b = 12 cm;

b) B = 144 dm2, h = 15 dm;

c) P = 400 cm2, a = 16 cm;

d) P = 24.5 dm2, h = 5 dm.

38. Dvije piramide imaju sukladne baze, ali su im

visine pobočaka različite. Koja od njih će imati

veći obujam:

a) ona koja ima veću visinu pobočke;

b) ona koja ima manju visinu pobočke;

c) to je svejedno?

39. Crkveni toranj ima oblik pravilne četverostrane

piramide s osnovnim bridom 5 m i visinom 7m.

Izračunaj kolika je površina krova tog tornja.

Kolika količina zraka stane u taj toranj?

40. Izračunaj obujam i oplošje pravilne

četverostrane piramide kojoj je:

a) a = 6 cm i h = 4 cm;

b) h = 5 5 dm i v = 11 dm;

c) a = 5.4 m i v = 7.2 m;

d) b = 10 dm i a = 12 dm.

12.3 dm

9.5 dm

171

172

Egipatske piramide

Iz ovog teksta o piramidama sastavi mate ma

tička pitanja.

Keopsova piramida je najveća od tri velike

egipatske piramide (Keopsova, Kefrenova

i Mikerinova piramida). Ona je grobnica

faraona Keopsa u Gizi, izgrađena oko 2560.

p.K. Smatra se da je oko 100 000 ljudi gradilo

Keopsovu piramidu punih 20 godina. Sastoji

se od oko 2 300 000 kamenih blokova. Svaki

je kamen težak oko 2 t i visok 2 m, a neki su

dugi i po 5 m i dopremljeni su čamcima niz

rijeku Nil. To se moglo raditi jedino u proljeće,

kada se Nil izlijevao, pa je zato trebalo 20

godina i oko 500 000 plovidaba da se donese

potrebna količina kamena. Zatim su ove

blokove uredno redali, a druga grupa ljudi ih

je izvlačila do mjesta gdje se gradila piramida.

Kada je sagrađena, piramida je bila visoka

145.75 m, ali se tokom godina smanjila za 10

m. Radi se o pravilnoj četverostranoj piramidi

s osnovnim bridom duljine 229 metara. Svaka

je stranica pažljivo orijentirana prema jednoj

od četiriju strana svijeta. Na sjevernoj je strani

ulaz. Unutrašnjost piramide čine tri prostorije

povezane mnogobrojnim hodnicima. U srcu

piramide je kraljeva odaja gdje je smješten

Keopsov sarkofag.

41. Pravilna četverostrana piramida P1 ima osnovni

brid duljine a. Njene pobočke su šiljastokutni

trokuti. Druga pravilna četverostrana piramida

P2 (s osnovnim bridom također a) ima pobočke

koji su tupokutni trokuti. Koja od tih piramida

ima veći obujam, a koja oplošje?


piramide ako je zadano oplošje i osnovni brid ili

visina pobočke:

a) O = 2000 cm2, a = 10 cm;

b) O = 730 cm2, a = 12.2 cm.

43. Izračunaj duljinu brida pravilne četverostrane

piramide izrađene od zlata. Visina piramide je

15 mm i ima masu 0.5 kg. Gustoća zlata iznosi

19.3 g/cm3.

44. Pravilna četverostrana piramida je upisana u

kocku brida 4 cm.

a) Koliki je obujam te piramide?

b) Koliki je obujam te kocke?

c) Koliko puta je obujam kocke veći od obujma

piramide?

d) Izračunaj čije oplošje je veće.

45. Arhitekt projektira staklenu šuplju piramidu

kojoj je baza pravokutnik. Izračunaj koliko

će kvadratnih metara stakla biti potrebno

za izgradnju, te s koliko kubičnih metara

zraka će biti ispunjena piramida. Stranice

pravokutnika su duge 40 m i 28 m, a visina

piramide je 20 m.

46. Sljepljivanjem baza dviju pravilnih

četverostranih piramida dobiveno je

geometrijsko tijelo slično oktaedru.

Izračunaj oplošje i obujam toga tijela ako

je osnovni brid početne piramide dug 7 cm,

a bočni 12 cm.

47. Na kocku brida 4 cm nalijepljena je

jednakobridna četverostrana piramida

brida 4 cm.

a) Izračunaj oplošje i obujam tog

složenog tijela;

b) Kolika je visina tog tijela?


173


1. Ispuni tablicu:

2. Obujam četverostrane prizme je 108 cm3. Koliki

je obujam četverostrane piramide koja ima

sukladnu bazu i jednaku visinu kao i zadana

prizma?

3. U trostranu prizmu je upisana trostrana


zadane piramide iznosi 87 cm3?

4. U šesterostranu prizmu je upisana šesterostrana


zadane piramide iznosi 21 l?

5. Zadana je pravilna četverostrana piramida s

osnovnim bridom a, bočnim bridom b i visinom

v. Izračunaj visinu te piramide ako je:

a) a = 40 2 cm, b = 41 cm;

b) a = 8 cm, b = 4 3 cm;

c) a = 5 cm, b = 5 62

cm;

d) a = 6 cm, b = 10 cm.

6. Kolika je duljina visine pravilne četverostrane

piramide ako je duljina njenog bočnog brida 61

mm, a dijagonala baze duga 120 mm?

7. Zadana je piramida visine v kojoj je baza

kvadrat stranice a. Kolika je duljina njenog

bočnog brida ako je:

a) a = 4 cm, v = 2 7 cm;

b) a = 12 2 cm, v = 5 cm;

c) a = 15 2 cm, v = 8 cm;

d) a = 6 cm, v = 10 cm.

8. Zadana je piramida visine v i bočnog brida b

kojoj je baza kvadrat. Kolika je duljina njenog

osnovnog brida ako je:

a) b = 37 cm, v = 35 cm;

b) b = 33 cm, v = 5 cm;

c) b = 53 mm, v = 45 mm;

d) b = 5 6 cm, v = 10 cm.

9. Izračunaj visinu i visinu pobočke jednakobridne

četverostrane piramide osnovnog brida a = 5

2 cm.


je označen s b, osnovni s a, a visina pobočke s

h. Izračunaj treću komponentu ako su zadane

dvije:

a) a = 42 cm, h = 20 cm;

b) a = 14 cm, b = 25 cm;

c) b = 17 dm, h = 15 dm.


iznosi 6.5 cm, a duljina visine pobočke 5.6 cm.

Kolika je duljina dijagonale baze?

12. U pravilnoj četverostranoj piramidi duljina visine

iznosi 7 cm, a duljina visine pobočke 25 cm.

Kolike su duljine osnovnog brida, bočnog brida,

te dijagonale baze?


pobočke jednakobridne četverostrane piramide

kojoj je visina duga 10 2 cm.


jednakobridne četverostrane piramide kojoj je

visina pobočke duga 6 3 cm.


ravninom koja prolazi dijagonalom njene baze i

vrhom piramide. Kolika je površina tog presjeka

ako je duljina osnovnog brida 6 cm, a bočnog

34 cm.




jednakostraničnog trokuta. Kolika je njegova

površina ako je duljina osnovnog brida 8 cm.

VježbalicaBroj

vrhovaBroj

bridovaBroj

strana

Kocka

Trostrana prizmaČetverostrana prizmaPeterostrana piramidaŠesterostrana piramida

174





jednakostraničnog trokuta i njegova površina

iznosi 36 3 dm2. Izračunaj duljinu dijagonale

baze.

18. Visina pobočke pravilne četverostrane piramide


Izračunaj:

a) površinu baze;

b) površinu pobočja;


19. U pravilnoj četverostranoj piramidi osnovni

brid je označen s a, bočni brid s b, visina s v, a

visina pobočke s h. Izračunaj oplošje ako je:

a) a = 6 cm, b = 5 cm;

b) a = 16 cm, v = 15 cm;

c) b = 29 2 dm, v = 20 2 dm;

d) a = 22 mm, h = 60 mm;

e) b = 25 m, h = 24 m;

f) v = 40 cm, h = 41 cm.

20. Izračunaj oplošje jednakobridne četverostrane

piramide s bridom:

a) 27 cm; b) 4 cm; c) 4 3 dm.

21. Baza pravilne četverostrane piramide je

kvadrat površine 64 dm2. Sve pobočke su

jednakostranični trokuti. Koliko je oplošje te

piramide?

22. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat,

a pobočke su jednakostranični trokuti. Svaka

pobočka ima površinu 16 3 m2. Koliko je

oplošje?


površine 36 dm2, a visina piramide je 4 dm.

Koliko je njeno oplošje?


površine 256 dm2, a visina pobočke piramide je

17 dm. Koliko je njeno oplošje?


površine 196 dm2, a bočni brid iznosi 25 dm.

Koliko je oplošje?

26. Opseg baze pravilne četverostrane piramide je

48 cm, a oplošje je 336 cm2. Kolika je visina

piramide?

27. Izračunaj oplošje oktaedra ako je duljina brida:

a) 2 3 dm; b) 10 cm.

28. Duljina osnovnog brida pravilne četverostrane

piramide iznosi 17 cm, a visina piramide iznosi

11 cm. Koliki je obujam te piramide?


piramide kojoj su zadani osnovni brid a i visina

v:

a) a = 15 cm, v = 2 cm;

b) a = 3 2 cm, v = 6 cm;

c) a = 2 3 mm, v = 3 mm.

30. Izračunaj duljinu osnovnog brida pravilne

četverostrane piramide ako su zadani obujam V

i njena visina v:

a) V = 32 cm3, v = 6 cm;

b) V = 180 cm3, v = 15 cm;

c) V = 36 cm3, v = 4 cm.

31. Izračunaj duljinu visine pravilne četverostrane

piramide ako su zadani obujam V i duljina

osnovnog brida a zadane piramide:

a) V = 63 cm3, a = 3 cm;

b) V = 49 cm3, a = 7 cm;

c) V = 128 cm3, a = 8 cm.

32. Pravilna četverostrana piramida ima osnovni

brid a, bočni brid b, visinu v, te visinu pobočke

h. Izračunaj njen obujam ako je zadano:

a) a = 8 cm, h = 5 cm;

b) v = 33 cm, h = 65 cm;

c) a = 12 2 cm, b = 13 cm;

d) v = 9 mm, b = 41 mm.


piramide ako je zadano:

a) B = 128 cm2, b = 17 cm;

b) B = 900 dm2, h = 18 dm;

c) P = 60 cm2, a = 6 cm;

d) P = 2320 dm2, h = 29 dm.


piramide ako je zadano oplošje i osnovni brid ili

visina pobočke:

a) O = 3168 cm2, a = 22 cm;

b) O = 1800 cm2, a = 18 cm;

c) O = 2352 cm2, h = 37 cm;

d) O = 176.4 cm2, h = 53 mm.

175


Pokušaj nacrtati mrežu:

a) pravilne trostrane piramide;

b) trostrane piramide kojoj je baza raznostranični trokut;

c) trostrane piramide kojoj je baza jednakokračni tupokutni trokut.

Piramida kojoj je baza trokut se naziva trostrana piramida. Pravilna trostrana

piramida je piramida kojoj je baza jednakostranični trokut i sve pobočke su

sukladni jednakokračni trokuti.

Baza pravilne trostrane piramide se crta u kosoj projekciji kao i baza pravilne

trostrane prizme, jer im je baza jednakostranični trokut.

Prvo nacrtamo bazu u kosoj projekciji, to je trokut nacrtan na prvoj slici. Zatim

nacrtamo dvije težišnice dobivenog trokuta. Težišnica je dužina koja spaja vrh

trokuta s polovištem nasuprotne stranice. Težišnice se sijeku u točki koju zovemo

težište, označimo je s V’. To je nožište visine piramide, tj. ortogonalna projekcija

vrha piramide na ravninu baze. U točki V’ nacrtamo okomicu na dužinu AB to

je visina piramide. Izmjerimo duljinu visine i odredimo vrh piramide V. Na kraju

spojimo vrh piramide s vrhovima baze.

6.11. Trostrana piramida

A B

C

V′A B

C

V′

V

A B

C

V′

V

176

6 . 1 1 . T r o s t r a n a p i r a m i d a

Primjer 1. Mreža pravilne trostrane piramideNa kojim slikama se nalazi mreža:

a) trostrane piramide;

b) pravilne trostrane piramide?

Rješenje:a) Mreže trostranih piramide se nalaze na

slikama br. 2, 3 i 5.

b) Mreža pravilne trostrane piramide se nalazi

na slici br. 2.

Primjer 2. Tetraedar

Koja je razlika između ovih dviju piramida?

Rješenje:

Obje piramide su pravilne jer im je baza

jednakostraničan trokut. To znamo jer su svi

bridovi baze jednakih duljina.

Na drugoj slici su i duljine bočnih bridova

jednake osnovnima. To je jednakobridna

trsotrana piramida, tj. trostrana piramida

koja ima sve bridove jednakih duljina. Takva

piramida se naziva tetraedar. To znači da su

sve strane tetraedra sukladni

jednakostranični trokuti.

Tetraedar je trostrana piramida koja ima sve

bridove jednakih duljina.

Napomenimo da tetraedar u prijevodu znači

“četiri strane”. Zato ponekad tetraedar može

označavati i bilo koju trostranu piramidu.

tetraedar

aa

a

bb

aa

aaa

12 3

4

5

12 3

4

5


Primjer 3. Oplošje pravilne trostrane piramideIzračunaj:

a) Oplošje tetraedra s bridom duljine 6 cm;

b) Oplošje pravilne trostrane piramide s osno-

vnim bridom dugim 24 cm i bočnim bridom du-

gim 13 cm.

Rješenje:a) Oplošje je zbroj površina svih strana

piramide, a sve strane tetraedra su četiri

sukladna jednakostranična trokuta.

O = 4 • a2 34

= 36 3 cm2.

b) Baza zadane prizme je jednakostranični

trokut površine

B = 24 3

4

2= 144 3 cm2.

Pobočje se sastoji od tri jednakokračna trokuta

s osnovicom 24 cm i krakom 13 cm. Površinu

jednakokračnog trokuta računamo po a h⋅2

pri

čemu je a duljina osnovice, a h visina pobočke

piramide.

h2 = b2 – a2

2

= 132 – 122 = 25

h = 5 cm.

P = 3 • a h⋅

2 = 3 •

24 52

⋅= 180 cm2.

O = B + P = 144 3 + 180 cm2.

Z a d a c i1. Izračunaj oplošje ovih pravilnih trostranih

piramida:

2. Što je tetraedar? Kako ćeš izračunati oplošje

tetraedra?

3. Izračunaj oplošje tetraedra s osnovnim bridom

dugim:

a) 1 cm; b) 0.6 dm; c) 11 cm; d) 8 3m.

4. Koliko papira ćemo potrošiti za izradu kutije

u obliku jednakobridne trostrane piramide s

bridom dugim 11.5 cm?

5. Izračunaj duljinu brida tetraedra ako mu je

zadano oplošje:

a) 12 3mm2; b) 3m2; c) 6 cm2; d) 0.34 m2.

6. Izračunaj oplošje pravilne trostrane piramide s

osnovnim bridom a i bočnim bridom b ako je:

a) a = 6 cm, b = 6.5 cm;

b) a = 6.5 cm, b = 6 cm;

c) a = 0.26 m, b = 3.01 m;

d) a = 3dm, b = 4 3 dm.

7. Baza piramide je jednakostranični trokut

stranice 6 cm, a oplošje piramide je 27 3 cm2.

Koliki je bočni brid piramide?

8. Pobočke pravilne trostrane piramide su

pravokutni trokuti. Izračunaj oplošje te

piramide ako je duljina osnovnog brida:

a) 4 cm; b) 3 2 dm; c) a.

a2

b

h

b

a) b) c)

177

178


Platonova tijela

Platonova tijela ili pravilni poliedri su poliedri čije strane su sukladni pravilni mnogokuti, a

svi kutovi među njegovim stranama su jednakih veličina. Postoji samo pet Platonovih tijela, to

su:

tetraedar:

oktaedar:

dodekaedar:

ikosaedar:

kocka:

179


Još prije starogrčkog matematičara i filozofa

Platona je bilo poznato da postoji samo pet

pravilnih poliedara. Platon je svakome od njih

pridružio po jedan element iz prirode i zato se

nazivaju Platonovim tijelima. On je tetraedru

pridružio element vatre, oktaedru element

zraka, kocki element zemlje, ikosaedru

element vode, a dodekaedar je smatrao

slikom cijelog svijeta.

Arhimedova tijela

Osim pet Platonovih tijela, postoji i 14

Arhimedovih tijela koja su omeđena pravilnim

mnogokutima koji mogu imati različit broj

stranica (dok strane su Platonovih tijela sve

sukladni mnogokuti). Arhimedova tijela se

nazivaju i polupravilni poliedri. Jedno od njih

prepoznajemo u nogometnoj lopti.

Primjer 4. Visina pravilne trostrane piramideIzračunaj visinu pravilne trostrane piramide s

osnovnim bridom duljine 6 cm i bočnim bridom

od 4 cm.

Rješenje:Neka je V’ ortogonalna projekcija vrha piramide

na ravninu baze. Tada je dužina VV ' tražena

visina piramide. Primijetimo na skici pravokutan

trokut s visinom kao jednom katetom i bočnim

bridom kao hipotenuzom.

Pitamo se kolika je duljina druge katete. Može

se pokazati da je točka V’ je težište baze.

Težišnica trokuta je dužina koja spaja njegov

vrh s polovištem nasuprotne stranice. Sve

tri težišnice se sijeku u jednoj točki – težištu

trokuta. Težište trokuta dijeli svaku težišnicu

u omjeru 2 : 1.

AV V A' : ' :1 2 1=

U jednakostraničnom trokutu težišnica se

podudara s visinom baze, pa je

AAa

13

26 3

23 3= = = cm.

v4

6

vb

V′

C

BA

A1

C1

B1

Tetraedar

=

=

=

2

3

3

63

212

O a

av

aV

180


Tu dužinu podijelimo na tri dijela, a točka

V’ ta tri dijela dijeli u omjeru 2 : 1. Tada je

AV AA' = = ⋅ =23

23

3 3 2 31 cm.

Sada primijenimo Pitagorin poučak na trokut

istaknut na slici:v2 = 42 – 2 3

2( ) = 16 – 12 = 4

v = 2 cm.

Z a d a c i9. Izračunaj visinu tetraedra kojem je brid veličine

4 cm.

10. Izračunaj visinu tetraedra kojem je brid dug:

a) 18 cm; b) 3.4 cm; c) 3dm; d) 12 3m.

11. Izračunaj duljinu bočnog brida pravilne

trostrane piramide ako njen osnovni brid a i

visina piramide v iznose:

a) a = 5 mm, v = 5 mm;

b) a = 2.4 cm, v = 7.5 cm;

c) a = 2 3 cm, v = 3 3 cm.

12. Izračunaj visinu pravilne trostrane piramide ako

je zadana visina pobočke h i duljina osnovnog

brida a:

a) a = 6 mm, h = 4 mm;

b) h = 10.5 cm, a = 16 cm;

c) a = 2 2 cm, h = 3 cm.

13. Izračunaj oplošje pravilne trostrane piramide

ako je zadana visina pobočke h i visina

piramide v:

a) v = 6 dm, h = 10 dm;

b) v = 23.5 cm, h = 70 cm;

c) v = 27 dm, h = 72 dm.

Primjer 5. Obujam pravilne trostrane piramide

Koliko decilitara vode strane u tetraedar s

bridom 3 dm?

Rješenje:

Traži se obujam tetraedra. Obujam svih

piramida računamo po V = 13

• B • v. Baza

tetraedra je jednakostraničan trokut površine

B = a2 3

49 3

4= dm2.

Sada treba pronaći visinu tetraedra. Nju

računamo postupkom prikazanim u prethodnom

primjeru.

BV BB' = = ⋅ =23

23

3 32

31 dm.

v2 = VV '2= 32 – 3

2( ) = 9 – 3 = 6

v = 6 dm.

Sada računamo obujam:

V = 13

• B • v = 13

• 9 3

4• 6 =

3 184

3 9 24

3 3 24

9 24

= ⋅ = ⋅ = dm3.

Budući da se traži obujam vode

koji stane u zadani tetraedar,

pretvorimo zadanu vrijednost u decilitre. Za to

će nam trebati približne vrijednosti obujma.

V = 9 2

4≈ 3.18 dm3 = 3.18 l = 31.8 dl.

vb

V′

BA

B1

V

v

Tetraedar

2

3

3

63

212

O a

av

aV

=

=

=

181


14. Izračunaj oplošje i obujam tetraedra kojem je

zadana stranica duljine:

a) 27 cm; b) 16 cm; c) 5.5 cm; d) a.

15. Izračunaj obujam pravilne trostrane piramide

kojoj je zadana duljina osnovnog brida a i

visina v:

a) a = 4 cm, v = 10 cm;

b) a = 15.6 cm, v = 5.9 cm;

c) a = 6 2 cm, v = 6 3 cm.



bočnog brida b:

a) a = 24 cm, b = 20 cm;

b) a = 7.2 m, b = 8.3 m;

c) a = 5 2 dm, b = 15 dm.


koja je zadana mrežom:

18. Izvedi formule za oplošje i obujam tetraedra sa

stranicom duljine a.

19. Koristeći se rješenjem zadatka 18, izračunaj

oplošje i obujam tetraedra sa slike:

20. Bočni bridovi pravilne trostrane piramide dugi

su 6 cm i s ravninom baze zatvaraju kut od

60º. Nacrtaj skicu, te izračunaj oplošje i obujam

zadane piramide.

21. Bočni bridovi pravilne trostrane piramide s

ravninom baze zatvaraju kut od 60º. Izračunaj

oplošje i obujam piramide ako je zadano:

Z a d a c i

4

4

4

6

4.5

5.4

4

4

4

6

4.5

5.4

4

4

4

6

4.5

5.4

a)

b)

c)

32.3 dm

b)

12.9 m

c)

2 3 cm

a)b)

c)

9 cm

24 m

2 3 cm

a)

182

6 . 1 2 . Š e s t e r o s t r a n a p i r a m i d a

Pogledaj piramide na slici. Kako se zovu te piramide?

Na svakoj sljedećoj slici broj osnovnih bridova piramide se povećava. Kojem

će geometrijskom tijelu sve više nalikovati piramide što je veći broj osnovnih

bridova?

Piramida kojoj je baza šesterokut se naziva šesterostrana piramida. Pravilna

šesterostrana piramida je piramida kojoj je baza pravilni šesterokut i sve

pobočke su sukladni jednakokračni trokuti. Upoznajmo pobliže kako se računaju

oplošje i obujam pravilne šesterostrane piramide. Primijetimo pravokutne trokute

na slici.

Baza pravilne šesterostrane piramide je pravilni šesterokut koji se može razdijeliti

na šest sukladnih jednakostraničnih trokuta stranice a.

6.12. Šesterostrana piramida

b v a2 2 2= + h v vva

a2 2 2 2

23

2= + = +

a

a

vb

v h

va

a

aa

V'

1 2

Mreža pravilne šesterostrane pravilne

piramide

183


Primjer 1. Crtanje pravilne šesterostrane piramide u kosoj projekcijiZadana je pravilna šesterostrana piramida s

osnovnim bridom a = 3 cm i visinom v = 5 cm.

Nacrtaj je u kosoj projekciji.

Rješenje:Opet ćemo odabrati da je kut projiciranja

α = 45º i da je prikrata 12

.

Nacrtajmo pravilan šesterokut i tri okomite

dijagonale kao na slici. Točka V’ je središte

opisane kružnice i ujedno ortogonalna

projekcija vrha piramide na ravninu baze.

U sjecištu okomica nacrtamo pravce pod kutom

od 45°. Na tim pravcima odredimo točke F’, B’,

C’ i E’ kao na slici tako da su duljine dužina

B F C E' ' ' ' i jednake polovici zadanih dužina

BF CE i . Spajanjem točaka A, B’, C’, D, E’ i F’

dobivamo pravilan šesterokut nacrtan u kosoj

projekciji.

Uklonimo suvišne crte i nastavimo crtati

piramidu tako da u točki V’ nacrtamo okomicu

na dužinu AD i odredimo visinu i vrh piramide.

V'A

F E

D

CB

V'A

F E

D

CB

45° 45°V'A

F E

D

CB

45° 45°

C'

E'F'

B'

V'A

F E

D

CB

45° 45°

C'

E'F'

B'

A D

C'

E'F'

B'

V' A D

C'

E'F'

B'

V'

V

v

Primjer 2. Oplošje pravilne šesterostrane piramideIzračunaj oplošje pravilne šesterostrane

piramide s osnovnim bridom a = 4 cm i bočnim

bridom b = 5 cm.

Rješenje:Površinu baze označimo s B, a pobočje s P. Tada

je oplošje piramide O = B + P.

Baza pravilne šesterostrane piramide je pravilni

šesterokut koji se može razdijeliti na šest

(karakterističnih) sukladnih jednakostraničnih

trokuta sa stranicom a = 4 cm. Stoga je površina

baze:

B = 63

46

4 34

24 32 2

⋅ = ⋅ =a cm2.

Pobočje pravilne šesterostrane piramide se

sastoji od šest sukladnih jednakokračnih

trokuta pa je površina pobočja:

P = 6 • a h⋅2

, gdje je h visina pobočke te

piramide.

Sada izračunamo visinu pobočke trokuta kao na

slici:

h2 = b2 – a2

2

= 25 – 4 = 21

h = 21 cm.

Stoga je P = 6 • a h⋅

2 = 6 •

4 212

⋅= 12 21cm2.

Izračunajmo oplošje:

O = B + P = 24 3 + 12 21 cm2.

Oplošje približno iznosi O ≈ 96.56 cm2.

h

a2

b

184


Z a d a c i1. Visina pobočke pravilne šesterostrane piramide


Izračunaj:

a) površinu baze;



2. Nacrtaj mrežu pravilne šesterostrane piramide

osnovnog brida 6 cm i bočnog brida 5 cm.



piramide s visinom 12 cm i bridom:

a) 6 cm;

b) 0.3 cm;

c) 3 3 dm;

d) a.

4. U pravilnoj šesterostranoj piramidi osnovni brid

je označen s a, bočni s b, visina s v, a visina

pobočke s h. Izračunaj oplošje ako je:

a) a = 12 cm, b = 8 cm;

b) a = 6 cm, v = 3 cm;

c) b = 50 cm, v = 40 cm;

d) a = 12 dm, h = 12.2 dm;

e) b = 34.3 m, h = 30 m;

f) v = 14 cm, h = 2 dm.

5. Baza piramide je pravilni šesterokut površine

36 3 dm2, bočni bridovi su dugi 10 dm. Koliko

je oplošje te piramide?


90 3 dm2, a visina piramide je 6 cm. Koliko je

oplošje?


90 3 dm2, a visina pobočke piramide je 5 dm.

Koliko je oplošje?

8. Baza piramide je pravilni šesterokut površine 90

3 dm2, a bočni brid je 6 cm. Koliko je oplošje?

Primjer 3. Obujam šesterostrane pravilne piramideIzračunaj obujam pravilne šesterostrane

piramide iz primjera 3.

Rješenje:Obujam piramide je V =

13

B • v, gdje je B

površina baze, a v visina piramide. Površinu

baze smo izračunali u primjeru 3.

B = 24 3 cm2.

Visinu ćemo naći primjenom Pitagorinog poučka

na pravokutni trokut sa slike.

v2 = b2 – a2 = 25 – 16 = 9

v = 3 cm.

Sada izračunajmo obujam zadane piramide:

V = 13

B • v = 13

• 24 3 • 3 = 24 3 cm3.

a

vb

Z a d a c i9. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane

piramide ako su zadane duljine osnovnog brida

a i visina piramide v:

a) a = 12 dm, v = 24 dm;

b) a = 0.3 m, v = 2.1 m;

c) a = 4 2 cm, v = 2 cm.

10. Izračunaj oplošje i obujam pravilne

šesterostrane piramide ako su zadane duljine

osnovnog brida a i bočnog brida b:

a) a = 6 dm, b = 9 dm;

b) a = 2.5 m, b = 3 m;

c) a = 3 cm, b = 3 cm.

185


11. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane

piramide kojoj površina baze iznosi 12 3 cm2,

a površina pobočja 15 3 cm2.


piramide kojoj oplošje iznosi 192 3 dm2, a

površina pobočja 130 3 dm2.

13. Majini roditelji odlučili su napraviti stakleni

zimski vrt u obliku šesterostrane prizme,

s krovom u obliku šesterostrane piramide.

Izračunaj koliko je stakla potrebno za zidove i

krov tog zimskog vrta ako je osnovni brid 1.5

m, visina zidova 2 m, a visina krova 1 m? Na

svim bridovima nalazit će se metalni nosači.

Kolika je ukupna duljina tih metalnih dijelova?


šesterostrane piramide kojoj je zadano:

a) b = 24 cm i h = 16 2 cm;

b) v = 3 3 dm i h =5 3 dm;

c) a = 2 cm i b = 3 cm;

d) a = 10 m i b = 13 m;

e) b = 10 cm i v = 6 cm;

f) v = 9 dm i a = 4 dm.

15. Izračunaj obujam i oplošje pravilne

šesterostrane piramide kojoj je zadan opseg

baze.

a) o = 36 dm, v = 4 dm;

b) o = 125 mm, v = 20 mm;

c) o = 18 dm, b = 17 cm;

d) o = 70 m, v = 10 m.


šesterostrane piramide kojoj je zadana površina

baze i visina.

a) B = 6 3 dm2, v = 4 cm;

b) B = 24 3 m2, v = 5 m;

c) B = 96 3 cm2, v = 9 cm;

d) B = 150 3 mm2, v = 10 mm;

1. Izračunaj oplošje tetraedra s osnovnim bridom

dugim:

a) 4 cm; b) 4 3 cm; c) 6 m.

2. Izračunaj duljinu brida tetraedra ako mu je

zadano oplošje:

a) 64 3 mm2; b) 108 3 m2; c) 108 cm2.

3. Izračunaj oplošje pravilne trostrane piramide s

osnovnim bridom a i bočnim bridom b ako je:

a) a = 4 cm, b = 2.9 cm;

b) a = 18 cm, b = 41 cm;

c) a = 6 3 dm, b = 2 13 dm.

4. Izračunaj duljinu brida pravilne trostrane

piramide ako je zadano oplošje i duljina visine

pobočke:

a) O = 36 3 + 90 cm2, h = 5 cm;

b) O = 405 3

81 54

+ m2, h = 6 cm;

c) O = 16 3 +108 cm2, h = 9 cm.

5. Baza trostrane piramide je jednakostranični

trokut. Koliki su brid tog trokuta i oplošje

piramide ako je bočni brid piramide 61 mm, a

duljina visine pobočke te piramide iznosi 60 mm?

6. Pobočke pravilne trostrane piramide su

pravokutni trokuti. Izračunaj oplošje te

piramide ako je duljina osnovnog brida:

a) 10 cm; b) 2 2 dm.

7. Izračunaj visinu tetraedra kojem je brid dug:

a) 6 cm; b) 2 3 cm; c) 2 5 m.

Vježbalica

186


8. Izračunaj duljinu bočnog brida pravilne

trostrane piramide ako njen osnovni brid a i

visina piramide v iznose:

a) a = 9 cm, v = 6 cm;

b) a = 11 3 cm, v = 60 cm;

c) a = 3 3 cm, v = 4cm.

9. Izračunaj visinu pravilne trostrane piramide ako

je zadana visina pobočke h i duljina osnovnog

brida a:

a) a = 14 3 cm, h = 25 cm;

b) h = 5 cm, a = 8 3 cm;

c) a = 6 cm, h = 2 2 cm.

10. Izračunaj oplošje pravilne trostrane piramide

ako je zadana visina pobočke h i visina

piramide v:

a) v = 4.5 dm, h = 5.3 dm;

b) v = 15 cm, h = 17 cm;

c) v =5 2 dm, h = 13 2 dm.

11. Izračunaj oplošje i obujam tetraedra kojem je

zadana stranica duljine:

a) 9 cm; b) 18 cm; c) 5.7 cm.



visina v:

a) a = 4 cm, v = 3 cm;

b) a = 15 cm, v = 5 cm;

c) a = 3 2 cm, v = 7 3 cm.



bočnog brida b:

a) a = 12 3 cm, b = 37 cm;

b) a = 7 3 m, b = 25 m;

c) a = 2 3 dm, b = 2 2 dm.

14. Visina pobočke pravilne šesterostrane piramide


Izračunaj:

a) površinu baze;



15. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane piramide

s visinom pobočke 10 cm i osnovnim bridom:

a) 4 3 cm;

b) 12 cm;

c) 8 dm.

16. U pravilnoj šesterostranoj piramidi osnovni brid

je označen s a, bočni s b, visina s v, a visina

pobočke s h. Izračunaj oplošje ako je:

a) a = 40 cm, b = 29 cm;

b) a = 8 cm, v = 15 cm;

c) b = 43 cm, v = 4 cm;

d) a = 2 3 dm, h = 7 dm;

e) b = 2 7 m, h = 5 m;

f) v =12 dm, h = 13 dm.


1350 3 dm2, bočni bridovi su dugi 17 dm.



216 3 dm2, a visina piramide je 2 11dm.

Koliko je oplošje?


72 3 dm2, a visina pobočke piramide je 6 dm.

Koliko je oplošje?

20. Baza piramide je pravilni šesterokut površine 54

3 dm2, a bočni brid piramide je 5 dm. Koliko

je oplošje?

21. Opseg baze pravilne šesterostrane piramide je

24 m2, a njeno oplošje +48 24 3 m2. Kolika je

visina piramide?


piramide ako su zadane duljine osnovnog brida

a i visina piramide v:

a) a = 16 dm, v = 6 dm;

b) a = 0.4 m, v = 2.3 m;

c) a = 3 2 cm, v = 3 2 cm.


šesterostrane piramide ako su zadane duljine

osnovnog brida a i bočnog brida b:

a) a = 6 dm, b = 10 dm;

b) a = 2 3 m, b = 4 m;

c) a = 4 3 cm, b = 4 13 cm.


piramide kojoj površina baze iznosi 54 3 cm2,

a površina pobočja 90 3 cm2.


piramide kojoj oplošje iznosi 4.5 3 dm2, a

površina pobočja 6 3 dm2.

187


Pogledaj slike. Gdje primjećuješ valjak?

6.13. Valjak

Gdje još u svakodnevnom životu susrećeš valjak? Nabroji bar osam primjera.

Prisjetimo se prizmi: trostrane, četverostrane, peterostrane, šesterostrane

itd. Primjećujemo da što je broj osnovnih bridova veći, to će prizma sve više

podsjećati na valjak.

No, valjak nije uglato, već je oblo geometrijsko tijelo. On je omeđen dvama

sukladnim krugovima koji leže u usporednim ravninama i dijelom zakrivljene

plohe kao na slici.

Krugove nazivamo baze valjka, a zakrivljenu plohu nazivamo plašt valjka.

baze valjka

plašt valjka

bazeplašt

188

6 . 1 3 . V a l j a k

Iako valjak može biti uspravan ili kosi, promatrat ćemo samo uspravan valjak. U

uspravnom valjku dužina koja spaja središta dviju baza naziva se visina valjka.visina

valjka

Primjer 1. Crtanje valjka u kosoj projekcijiZadan je valjak s polumjerom baze r = 2 cm i

visinom v = 5 cm. Nacrtaj ga u kosoj projekciji.

Rješenje:Treba nacrtati bazu valjka u kosoj projekciji.

Opet ćemo odabrati da je prikrata 12

.

Nacrtamo krug i njegov horizontalni promjer

kao na slici.

Zatim povučemo nekoliko okomica na taj

promjer i na svakoj odredimo polovicu

udaljenosti od polumjera do kružnice. Tako

ćemo dobiti krivulju koja se zove elipsa.

Okomito na ravninu baze nacrtamo visinu - ona

povezuje središta gornje i donje baze valjka.

Zatim nacrtamo gornju bazu na isti način kao

i donju.

v - visina valjkav

V'

V

V'A B

V'A B

V'A B

V'A B

V'A B

V

v

V'A B

V

v

V'A B

V

v

189


Primjer 2. Mreža valjkaMožeš li zamisliti od kojih likova se sastoji

mreža valjka? Skiciraj je.

Rješenje:Baze valjka su dva sukladna kruga polumjera r.

Na kružnici baze valjka istaknemo jednu točku

i njome povučemo visinu valjka. Ta se dužina

naziva izvodnica valjka. Po njoj razrežemo plašt.

Razvijemo li taj plašt u ravninu, dobit ćemo

pravokutnik visine v i duljine jednake opsegu

baze (kruga). Dakle, plašt valjka se može razviti

u pravokutnik sa stranicama duljina v i 2rπ.

Primjer 3. Oplošje valjkaKoliko lima je potrebno za izradu limenke u

obliku valjka promjera baze 8 cm i visine 10 cm?

Rješenje:Da bismo izračunali potrebnu količinu lima,

trebamo izračunati oplošje zadane limenke.

Oplošje valjka je zbroj površina svih ploha što

omeđuju taj valjak.

Oplošje valjka računamo po formuli:

O = 2B + P, pri čemu je B površina baze, a P

površina plašta valjka.

Baza valjka je krug promjera 8 cm, pa je pripadni

polumjer 4 cm.

Površina baze: B = r2π = 16π cm2.

Plašt valjka razvijen u ravninu je pravokutnik

visine v = 10 cm i duljine koja je jednaka

opsegu baze 2rπ = 2 • 4 • π = 8π cm. Površinu

plašta računamo kao površinu pravokutnika.

P = v • 2rπ = 10 • 8π = 80π cm2.

Stoga je oplošje:

O = 2B + P = 2 • 16π + 80π = 32π + 80π =

112π cm2.

Za izradu limenku potrebno je 112π ≈

351.68 cm2 lima.

Oplošje valjka:

B = r2π

P = 2rπ • v

O = 2B + P

O = 2r2π + 2rπv = 2rπ (r + v)

r

2r�

v

r

2r�v

190

Primjer 4. Obujam valjkaIzračunaj obujam valjka iz prethodnog primjera.

Rješenje:Kako do valjka dolazimo povećavanjem

stranica baze pravilne prizme, primjećujemo

usku vezu između prizmi i valjka. Primjerice,

i prizme i valjak imaju dvije baze. Zbog tih

sličnosti se može pokazati da za prizmu i

valjak vrijede iste formule za oplošje i obujam.

Stoga obujam valjka računamo po formuli

V = B • v.

Površinu baze smo izračunali u prethodnom

primjeru:

B = r2π = 16π cm2.

Obujam limenke je

V = B • v = 16π • 10 = 160π cm3. To je

približno ≈ 502.4 cm3 = 0.5024 dm3 ≈ 0.5 l.

Z a d a c i1. Izračunaj oplošje valjka kojemu su zadani

polumjer baze i visina.

a) r = 5 cm, v = 6 cm;

b) r = 2 cm, v = 5 cm;

c) r = 3.8 dm, v = 4.2 dm.

2. Izračunaj potrebnu količinu (površinu) papira

za izradu ukrasne kutijice u obliku valjka visine

10 cm i promjera baze:

a) 15 cm; b) 10 cm; c) 5 cm.

Koje od tih kutijica bismo mogli napraviti iz

papira formata A4 (21 cm x 29.7 cm)?

3. Uzmi papir formata A4 (21 cm x 29.7 cm) i

savini ga u oblik valjka.

a) Koliko različitih valjaka možeš dobiti

savijanjem tog papira, tako da se rubovi papira

dodiruju, a ne preklapaju?

b) Koliki su polumjeri i površine baza tih

valjaka?

c) Kolike su površine plašteva tih valjaka?

d) Kolika su oplošja tih valjaka?

e) Što je kod tih valjaka jednako, a što različito?

4. Opseg baze valjka je 10π cm, a duljina visine

7 cm. Kolika je površina plašta i oplošje tog

valjka?

5. Površina plašta valjka je 96π cm, a duljina

visine 8 cm. Kolika je površina baze i oplošje

tog valjka?

6. Plašt valjka je kvadrat sa stranicom 10 cm.

a) Kolika je visina tog valjka?

b) Koliki je polumjer baze?

c) Koliko je njegovo oplošje?

6 . 1 3 . V a l j a k

191


Z a d a c i7. Izračunaj obujam valjka kojemu su zadani

polumjer baze i visina:

a) r = 4 cm, v = 4 cm; b) r = 2.5 dm, v = 5.2 dm;

c) r = 3.1 m, v = 1.2 m.

8. Spremnik za vodu je oblika valjka promjera

3.6 m i visine 90 cm. Koliko vode je potrebno

da se taj spremnik napuni do vrha? Koliko treba

platiti tu količinu vode ako cijena za 1m3 iznosi

12.07 kn?

9. Oglasni stup je oblika valjka. Izračunaj površinu

na koju se mogu staviti plakati ako je opseg

stupa 4 m, a visina također 4 m.

10. Koliko vode se može uliti u posudu oblika:

a) valjka promjera baze 1 dm i visine 2 dm;

b) kvadra visine 2 dm, baza kvadrat sa

stranicom 1 dm;

U koju od tih posuda stane više vode? Jesmo li

to mogli zaključiti i bez računanja? Kako?

11. Opseg baze valjka je 25.12 cm, a njegova visina

7.5 cm. Izračunaj oplošje i obujam.

12. U lonac oblika valjka promjera 30 cm stane litra

vode. Koliko je visok taj lonac?

13. Potrebno je napraviti limenu posudu (odozgo

otvorenu) oblika valjka kojemu je promjer baze

jednak visini. Koliko je materijala potrebno

za izradu takve posude i koliki će biti njen

obujam?

Visina posude treba biti:

a) 1 dm; b) 2 dm.

14. Površina baze valjka je 200.96 dm2, a njegov

obujam 1809.64 dm3. Koliko je njegovo

oplošje?

15. Za pospremanje žitarica potrebno je izgraditi

silose oblika valjka. U jedan silos treba

pospremiti 600 m3 pšenice. Kolika treba biti

visina silosa ako mu je polumjer baze:

a) 3 m; b) 4 m?

16. Izračunaj masu željezne žice promjera 2 cm i

duge 12 m. Gustoća željeza je 7.9 g/cm3.

17. Tekućinu je potrebno preliti iz posude oblika

kocke s bridom 10 cm u posudu oblika valjka.

Kolike bi trebale biti dimenzije posude u obliku

valjka da bi u nju stala ista količina tekućine?

18. Iz drvene kocke visine 15 cm izrezan je valjak

maksimalnog promjera i visine.

a) Koliki su polumjer baze i visina tog valjka?

b) Koliki je obujam kocke i obujam valjka?

c) Koliko materijala otpada pri izrezivanju?

d) Koliki je postotak otpada?

19. Iz drvenog valjka visine 15 cm i polumjera baze

4 cm izrezan je kvadar čija je baza kvadrat

maksimalnih dimenzija.

a) Kolike su dimenzije tog kvadra?

b) Koliki je obujam kvadra i obujam valjka?

c) Koliko materijala otpada pri izrezivanju?

d) Koliki je postotak otpada?

20. Valjak za asfalt širok 2.5 m u 1 km napravi

200 okretaja. Izračunaj njegov promjer.

21. Drvena građa proizvodi se u obliku kvadra

visine 4 m, s bazom u obliku kvadrata sa

stranicom 2 dm i obliku valjka s promjerom

baze 2 dm i visinom 4 m. Od te građe izrezuje

se pravilna šesterostrana prizma maksimalnih

dimenzija.

a) Kakve su dimenzije prizme ako je izrezujemo

iz kvadra, a kakve ako je izrezujemo iz valjka?

b) Ima li više otpada pri izrezivanju iz kvadra ili

iz valjka?

22. Cijev oblika valjka ima promjer 80 cm i debljinu

stjenke 10 mm. Ona je duga 4 km. Izračunaj

masu željeza (u tonama) koja je potrebna za

izradu te cijevi. Gustoća željeza je 7.9 g/cm3.

192

6 . 1 3 . V a l j a k

Primjer 5. Valjak kao rotacijsko tijelo

Pravokutnik sa stranicama dugim 2 cm i 4 cm

rotira oko stranice AD kako je prikazano na

slici.

a) Koje geometrijsko tijelo opisuje trag

pravokutnika prilikom te rotacije?

b) Koliko je oplošje tog tijela?

c) Koliki je obujam tog tijela?

Rješenje:a) Geometrijsko tijelo nastalo rotacijom

pravokutnika oko njegove stranice je uspravni

valjak. Zato kažemo da je uspravni valjak

rotacijsko tijelo.

b) Ako pravokutnik sa stranicama a i b rotira

oko svoje stranice b kao na gornjoj slici, valjak

koji nastaje tom rotacijom ima polumjer baze a

i visinu b. Stoga računamo oplošje:

O = 2B + P = 2a2π + 2aπb =

2 • 4π + 2 • 2 • 4π = 8π + 16π = 24π m2.

c) V = B • v = a2π • b = 4π • 4 = 16π m3.

Z a d a c i23. Odredi polumjer baze i visinu valjka dobivenog

rotacijom pravokutnika oko crvene osi.

24. Izračunaj oplošje i obujam valjaka iz

prethodnog zadatka.

25. Kolike su dimenzije pravokutnika čija rotacija

opisuje valjak promjera baze 16 cm i visine

6 cm?

26. Izračunaj obujam i oplošje valjka nastalog

rotacijom kvadrata sa stranicom 8 cm oko jedne

njegove stranice.

192

BA

CD

6 cm

2 cm

3 cm

1.2 cm

1.5 cm

12 cm4 cm

1 cm

a) c)b)

d)

6 cm

2 cm

3 cm

1.2 cm

1.5 cm

12 cm4 cm

1 cm

a) c)b)

d)

6 cm

2 cm

3 cm

1.2 cm

1.5 cm

12 cm4 cm

1 cm

a) c)b)

d)

6 cm

2 cm

3 cm

1.2 cm

1.5 cm

12 cm4 cm

1 cm

a) c)b)

d)

193

27. Sok se prodaje u dva pakiranja u obliku valjka.

Pakiranje A ima promjer baze 6 cm i visinu

4 cm, a pakiranje B ima promjer baze 4 cm i

visinu 6 cm.

a) U kojem pakiranju ima više soka?

b) Koje pakiranje je povoljnije ako je cijena soka

u pakiranju A 6 kn, a soka u pakiranju B 4 kn?

28. Na slikama je zadan osni presjek valjka.

Izračunaj oplošje i obujam tih valjaka.

29. Izračunaj oplošje i obujam valjka kojemu je

osni presjek kvadrat sa stranicom 15 cm.

Valjak kojemu je visina jednaka promjeru baze

nazivamo jednakostranični valjak.

30. Izračunaj oplošje i obujam valjka kojemu je osni

presjek pravokutnik površine 32 dm2. Visina

valjka je dvostruko veća od promjera njegove

baze.

31. Koliko kvadratnih centimetara lima je potrebno

za izradu konzerve promjera d i obujma V, ako

se zna da od komada lima nakon rezanja ostane

škarta 15%:

a) d = 4 cm, V = 0.5 l;

b) d = 10 cm, V = 1 l;

c) d = 15 cm, V = 1 l?

32. Papir formata A4 (21 cm x 29.7 cm) se može na

dva načina presavinuti tako da čini plašt valjka.

Izračunaj obujme oba moguća dobivena valjka.

33. U tvornici se analiziraju pakiranja različitih

oblika za 1 l soka. Uspoređuju se pakiranja

traženog obujma u obliku valjka, pravilne

četverostrane prizme i pravilne šesterostrane

prizme.

a) Ako je zadano da visina pakiranja mora

biti 20 cm, odredi kolike trebaju biti ostale

dimenzije pakiranja.

b) Kod kojeg pakiranja je potrebno potrošiti

najmanje materijala za izradu?

c) Koje pakiranje će biti najjeftinije ako je cijena

1 m2 folije 5.50 kn, a potrebno je dodati 3%

površine za spajanje?

Dva pitanja

Odgovori:

- Po čemu su slični stožac i valjak, a po čemu različiti?

6.14. Stožac

6 cm

8 cm2 cm

4 cm

a) b)


194

6 . 1 4 . S t o ž a c

- Po čemu su slični stožac i piramida, a po čemu različiti?

Prisjetit ćemo se gradiva o piramidama: trostrane, četverostrane, peterostrane,

šesterostrane itd. Primjećujemo da što je broj osnovnih bridova veći, to će

piramida sve više podsjećati na stožac.

No, stožac ipak nije uglato, već oblo geometrijsko tijelo. On je omeđen krugom

i dijelom zakrivljene plohe kao na slici.

Krug je baza stošca, a zakrivljenu plohu nazivamo plašt stošca.

Iako stožac može biti uspravan ili kosi, promatrat ćemo samo uspravan stožac.

U uspravnom stošcu dužina koja spaja vrh stošca sa središtem baze naziva se

visina stošca.

Dužinu koja spaja vrh s bilo kojom točkom na kružnici baze nazivamo izvodnica

stošca. Primijetimo pravokutni trokut određen izvodnicom, visinom i polumjerom

baze.

baza stošca

plašt stošca

visina

stošca

izvodnica

stošca

baza

plašt

vrhV

v - visina

V

V′

v

s - izvodnica

V

V′

v

195


Primjer 1. Crtanje stošca u kosoj projekcijiZadan je stožac s polumjerom baze r = 2 cm i

visinom v = 5 cm. Nacrtaj ga u kosoj projekciji.

Rješenje:Kosu projekciju baze stošca crtamo na isti način

kao i bazu valjka, jer su obje baze krugovi.

Središte baze ujedno je i ortogonalna projekcija

vrha stošca na ravninu baze. Nacrtamo visinu

iz središta kružnice, okomito na ravninu baze.

Primjer 2. Duljina izvodniceOdredi duljinu izvodnice stošca kojemu je

polumjer baze 3 cm, a visina 4 cm.

Rješenje:

Pogledajmo pravokutan trokut istaknut na slici

stošca. Katete tog pravokutnog trokuta su r

polumjer baze i v - visina stošca. Hipotenuza je

s - izvodnica. Prema Pitagorinom

poučku zaključujemo da vrijedi:

s r v2 2 2= + .

Izračunajmo traženu izvodnicu:

s r v2 2 2 2 23 4 25= + = + =s = =25 5 cm.

s r v2 2 2= +

Primjer 3. Mreža stošcaRazrežemo li stožac po jednoj izvodnici i

razmotamo u ravninu, dobit ćemo mrežu

stošca. Koji oblik ima plašt stošca?

Rješenje:Mreža stošca uvijek se sastoji baze i plašta.

Baza stošca je krug polumjera r. Plašt stošca

razvijen u ravninu je kružni isječak polumjera

s, a duljina pripadnog kružnog luka jednaka je

opsegu baze stošca: l = 2rπ.

V'A B

V'A B

V

v

s - izvodnica

r

v

Primjerice, r = 1.5 cm, s = 4.6 cm.

Primjerice, r = 1.5 cm; s = 4.6 cm

6 . 1 4 . S t o ž a c

Primjer 4. Oplošje stošcaIzračunaj oplošje stošca kojem je polumjer

baze 2 cm, a izvodnica je duga 5 cm.

Rješenje:Oplošje stošca je zbroj površina svih ploha što

omeđuju taj stožac. Tada je oplošje stošca O =

B + P, pri čemu je B površina baze, a P površina

plašta stošca.

Baza stošca je krug polumjera 2 cm pa

računamo:

B = r2π = 4π cm2.

Plašt stošca razvijen u ravninu je kružni isječak

polumjera s, a duljina pripadnog kružnog luka

jednaka je opsegu baze stošca: l = 2rπ.

Prisjetimo se, površina kružnog isječka

polumjera r i duljine kružnog luka l računa se

po Pl r= ⋅2

. U plaštu stošca polumjer je s, a

duljina kružnog luka l = 2rπ.

Dakle, površinu plašta stošca računamo po:

Pr s

r s= ⋅ =22π

π

P = rπs = 2π • 5 = 10π cm2.

Stoga je oplošje zadanog stošca

O = B + P = 4π + 10π=14π cm2.

Oplošje stošca:

B = r2π

P = rπs

O = B + P

O r r s r r s= + = +2π π π ( ) .

Z a d a c i1. Koliko šarenog papira treba za novogodišnju

kapu u obliku stošca s izvodnicom duljine

40 cm i polumjerom baze 8 cm?

2. Kolika je površina tijesta potrebnog za izradu

korneta oblika stošca s izvodnicom duljine

10 cm i polumjerom baze 3 cm?

3. Izračunaj oplošje stošca kojemu je zadana

izvodnica i polumjer baze:

a) s = 5 cm, r = 4 cm; b) s = 10 cm, r = 5 cm;

c) s = 15 cm, r = 3.5 cm;

d) s = 11.7 dm, r = 4.6 dm.

4. Izračunaj oplošje stošca kojemu je zadana

visina i polumjer baze.

a) r = 5 cm, v = 12 cm; b) r = 1.5 cm, v = 2 cm;

c) r = 40 m, v = 30 m; d) r = 7.5 cm, v = 12 cm.

5. Koliko materijala je potrebno za izradu limenog

krova oblika stošca s polumjerom baze 2.5 m i

visinom 4 m?

6. Luka želi izraditi kapu za svoju glavu, pa je

izmjerio opseg glave 45 cm. Kapa treba biti

visoka 50 cm.

a) Koliko papira mu je potrebno za takvu kapu?

b) Papiri su dostupni u standardnim

formatima A4(21x29.7 cm), A3(42x29.7 cm),

A2(59.4x42 cm). Koji format papira je dovoljno

velik za Lukinu kapu?

7. Toranj dvorca oblika valjka ima opseg 24 m.

Krov tornja ima oblik stošca visine 6.5 m. Krov

treba prekriti crjepovima. Koliko je crjepova

potrebno ako računamo da je za 1 m2 potrebno

40 crjepova? Koliko treba platiti popravak krova

ako je cijena jednog crijepa 2.5 kn, trošak

majstora je 2500 kn, a potrebo je uzeti 2%

crjepova više zbog mogućih oštećenja?

r

s

V

196


Primjer 5. Obujam stošcaIzračunaj obujam stošca iz prethodnog

primjera.

Rješenje: Kako do stošca dolazimo povećavanjem

stranica baze pravilne piramide, primjećujemo

usku vezu između piramida i stošca. Primjerice,

i piramide i stožac imaju jednu bazu. Zbog

tih sličnosti se može pokazati da za piramidu

i stožac vrijede iste formule za obujam. Stoga

obujam stošca računamo po

V B v= ⋅13

.

Zadano je: r = 2 cm, s = 5 cm.

Površinu baze smo izračunali u prethodnom

primjeru:

B = r2π = 4π cm2.

Da bismo mogli računati obujam najprije

trebamo odrediti visinu stošca.

v s r2 2 2= − = 52 – 22 = 25 – 4 = 21

v = 21 .

Obujam stošca je

V = 13

B • v = 13

• 4π 21 = 4 213

19 19 3π ≈ . cm

.

Obujam stošca:

V B v= ⋅13

V r v= 13

2π

Z a d a c i8. Izračunaj obujam stošca kojemu je zadana

visina i polumjer baze:

a) r = 5 cm, v = 12 cm; b) r = 1.5 cm, v = 2 cm;

c) r = 40 m, v = 30 dm;

d) r = 7.5 cm, v = 12 cm.

9. Izračunaj obujam stošca kojemu je zadana

izvodnica i polumjer baze:

a) s = 5 cm, r = 4 cm; b) s = 10 cm, r = 6 cm;

c) s = 15 cm, r = 3.5 cm;

d) s = 11.7 dm, r = 4.6 dm.

10. Izračunaj oplošje i obujam stošca:

a) s = 15 cm, r = 12 cm; b) s = 13 cm, r = 5 cm;

c) v = 1 dm, r = 3.5 cm;

d) v = 17 cm, s = 6 dm.

11. Količina od 600 m3 šljunka prosuta je na gomilu

koja je poprimila oblik stošca. Koliku površinu

na tlu prekriva ovaj šljunak ako joj je visina

5.2 m?

12. Pehar ima oblik stošca, visok je 2.4 dm, a u

njega stane 1.24 l tekućine. Koliki je promjer

njegovog gornjeg ruba?

13. Koliko pijeska ima na hrpi oblika stošca ako

je ta hrpa visoka 8.4 m, a na tlu prekriva krug

površine 50 m2?

14. Zadana su dva stošca: prvi s polumjerom baze

duljine a i visinom duljine b, te drugi stožac s

polumjerom baze duljine b i visinom duljine a.

Koji stožac ima veći obujam ako je a > b?

15. a) Koliko puta će se povećati obujam stošca ako

mu dvostruko povećamo visinu?

b) Koliko puta će se povećati obujam stošca ako

mu dvostruko povećamo polumjer baze?

16. Čaša za šampanjac ima oblik stošca. Kolika tre-

ba biti visina čaše (bez stalka) da bi u nju stalo

2 dl tekućine, ako je promjer gornjeg ruba:

a) 8 cm; b) 10 cm?

17. Čaša za šampanjac visoka 10 cm (bez stalka)

ima oblik stošca promjera gornjeg ruba

7.6 cm i treba je napuniti šampanjcem do

polovice svojeg obujma.

a) Do koje visine (u cm) pritom moramo

napuniti čašu?

b) Konobar toči uvijek 3 mm ispod te visine.

Koliko posto šampanjca pritom konobar

“uštedi”?

18. Kružni isječak polumjera 8 cm presavinemo

u plašt stošca. Izračunaj oplošje i obujam

tog stošca ako je središnji kut mreže plašta u

ravnini:

a) 90º; b) 120º; c) 180º; d) 270º.1 litra = 1 dm3

197

19. U tvornici analiziraju pakiranja različitih oblika

za 1 l soka. Uspoređuju pakiranja traženog

obujma u obliku stošca, pravilne četverostrane

piramide i pravilne trostrane piramide.

a) Ako je zadano da visina pakiranja mora

biti 20 cm odredi kolike trebaju biti ostale

dimenzije pakiranja.

b) Kod kojeg pakiranja je potrebno potrošiti

najmanje materijala za izradu?

c) Koje pakiranje će biti najjeftinije ako je cijena

1 m2 folije 5.50 kn, a potrebno je dodati 3%

površine za spajanje?

Primjer 6. Stožac kao rotacijsko tijeloPravokutni trokut s katetama b = 5 cm i

a = 2 cm, rotira oko svoje katete b kako je

prikazano na slici.

a) Koje geometrijsko tijelo opisuje trag

pravokutnog trokuta prilikom te rotacije?

b) Koliko je oplošje tog tijela?

c) Koliki je obujam tog tijela?

Rješenje:a) Geometrijsko tijelo nastalo rotacijom

pravokutnog trokuta oko svoje katete je

uspravni stožac. Zato kažemo da je uspravni

stožac rotacijsko tijelo.

b) Ako pravokutni trokut s katetama a i b rotira

oko svoje visine b kao na gornjoj slici, stožac

koji nastaje tom rotacijom ima polumjer baze

a i visinu b.

r = a = 2 cm, v = b = 5 cm.

Izračunajmo najprije duljinu izvodnice:

s r v

s

2 2 2 22 52 4 25 29

29 5 39

= + = + = + =

= ≈ cm cm..

Računamo površinu baze B r= =2 24π À cm .

Površina plašta: P r s= = ⋅ ⋅ =π π π2 29 2 29 2 cm .O = B + P = 4π + 2 29 cm2 ≈ 46.38 cm2.

c) V = 13

B • v = 13

• 4π • 5 = 20

3π

cm3 ≈

20.93 cm3.

Z a d a c i20. Odredi polumjer baze i visinu stošca dobivenog

rotacijom pravokutnog trokuta oko crvene osi.

21. Izračunaj oplošje i obujam stožaca iz

prethodnog zadatka.

b

a

4 cm

4 cm

4 cm

3 cm

3 cm

8 cma) b) c)

4 cm

4 cm

4 cm

3 cm

3 cm

8 cma) b) c)

198

6 . 1 4 . S t o ž a c

199


22. Odredi polumjer baze stošca kojemu je zadan

obujam i visina:

a) V = 160π cm3, v = 10 cm;

b) V = 180π dm3, v = 5 dm;

c) V = 567π m3, v = 7 m.

23. Koji stožac je viši, A ili B?

A: V = 225π cm3, r = 5 cm;

B: V = 272π cm3, r = 4 cm.

24. Odredi oplošje stošca kojemu su zadani:

a) V = 120π cm3, v = 10 cm;

b) V = 189 m3, v = 7 m;

c) V = 225π cm3, r = 5 cm;

d) V = 272π cm3, r = 4 cm.

25. Zadan je osni presjek stošca. Izračunaj oplošje i

obujam

26. Slastičarne proizvode domaće kornete u obliku

stošca, različitih dimenzija. U koji kornet stane

više sladoleda, uz pretpostavku da sladoled u

potpunosti ispunjava kornet i ne prelazi van

ruba? Poznate su visine korneta i opseg gornjeg

ruba.

Slastičarnica Čoko: v = 12 cm, o = 7 cm;

Slastičarnica Slatkić: v = 11 cm, o = 8 cm;

Slastičarnica: Kremisimo: v = 10 cm, o = 9 cm;

27. Plašt stošca razvijen u mrežu je kružni isječak

koji čini trećinu kruga polumjera 25 cm.

Izračunaj polumjer i obujam stošca.

28. Čokolada je zapakirana u dva različita

pakiranja. Izračunaj u koje pakiranje stane više

čokolade.

Dvorac: Valjak s krovom u obliku stošca: visina

valjka 8 cm, visina stošca 4 cm, polumjer baze

3 cm;

Vidikovac: Pravilna četverostrana prizma

s krovom u obliku pravilne četverostrane

piramide: visina prizme 8 cm, visina piramide

4 cm, brid baze 6 cm.

Izračunaj oplošja oba pakiranja pazeći pritom

koje plohe nestanu pri spajanju dijelova.

29. Krov tornja ima oblik stošca polumjera baze

5 m i s visinom od 7 m.

a) Izračunaj veličinu prostora potkrovlja;

b) Koliko je koštalo krovopokrivanje ako 1 m2

crijepa košta 170 eura?

30. Krov tornja ima oblik stošca s polumjerom baze

4 m i visinom 5.5 m. Krov treba prekriti limom.

a) Koliko je lima potrebno za prekrivanje

krova, računajući i to da je na ukupnu količinu

potrebno dodati 5% za spajanje dijelova?

b) Koliko treba platiti potrebnu količinu lima

ako je cijena m2 lima 60 kn i trošak majstora je

4000 kn?

31. Usporedi obujam i oplošje stošca i valjka kojima

je promjer baze 6 cm, a visina 8 cm.

32. Može li se od papira pravokutnog oblika sa

stranicama 50 cm i 60 cm izrezati kapa u obliku

stošca da bude dovoljno velika za opseg glave

35 cm i da joj visina bude 30 cm? Objasni i

skiciraj kako treba rezati. Trebaš li izračunati

još koju veličinu da bi mogao skicirati taj plašt

stošca?

33. Osni presjek stošca je jednakostraničan trokut

površine 36π dm2. Izračunaj oplošje i obujam

tog stošca.

34. Stožac je dobiven rotacijom jednakokračnog

trokuta oko njegove visine na osnovicu.

Osnovica tog trokuta je 18 dm, a njegova visina

12 dm. Koliko je oplošje i obujam tog stošca?

35. Preračunaj u zadanu mjernu jedinicu:

a) 95.7 dm = _________ cm;

b) 2 860 000 m2 = _________ km2;

c) 12 500 cm3 = __________ litara;

d) 75.6 cm = _________ mm;

e) 52 860 000 mm2 = _________ m2;

f) 7 200 cm3 = __________ litara;

g) 5200 cm3 = __________ dm3;

h) 65 m3 = = __________ dm3;

i) 5 m3 = __________ cm3;

j) 546302 cm3 = __________ m3.

12.1

62.8 19.7

14.1

5045˚

a) b)

c)

200

6 . 1 5 . K u g l a

Nabroji pet stvari koje imaju oblik kugle. Opiši ih.

6.15. Kugla

Osim piramida, prizmi, valjaka i stošca, u svakodnevnom životu susrećemo i

kuglu. Kugla pripada oblim geometrijskim tijelima, ali oplošje i obujam joj

nećemo moći izvesti na uobičajen način jer kugla nema bazu. Također, kuglu

nije moguće razviti u ravninsku mrežu.

Kugla ima svoj polumjer r i središte S koji je potpuno određuju u prostoru.

Kao što u ravnini krug ima svoju pripadnu kružnicu, tako i svaka kugla ima svoju

pripadnu sferu. Sfera je ploha koja omeđuje kuglu, ona je njen omotač.

Zadan je jednakostranični valjak (visina mu je jednaka promjeru baze) kao na

slici i u njega je upisana kugla.

Može se pokazati da je površina plašta tog valjka jednaka oplošju upisane kugle.

Pokušajte to eksperimentom pokazati u razredu rezanjem plašta valjka na manje

komadiće i lijepljenjem na površinu kugle.

Plašt jednakostraničnog valjka razvijen u ravninu je pravokutnik sa stranicama

2rπ i 2r.

Okugle = Pvaljka

Okugle = 2rπ • 2r = 4r2π

kugla

sfera

rS

2� · r

2r

r

2rr

201


Oplošje kugle:

O = 4r2π

Primjer 1. Oplošje kugleIzračunaj oplošje Zemljine kugle ako je njen

polumjer 6370 km.

Rješenje:Iako stvarno Zemlja nema oblik savršene kugle,

zbog svoje veličine i oblika ipak možemo

otprilike izračunati njene mjere pomoću formula

za kuglu. Stoga izračunajmo njeno oplošje.

O = 4r2π = 4 • 63702 • π =

162 307 600π km2 ≈ 509 645 864 km2.

Primjer 2. Obujam kugleU jednakostranični valjak koji je do vrha ispunjen

vodom uronimo kuglu kojoj je promjer jednak

promjeru baze valjka. Kada kuglu izvadimo iz

valjka koliki dio vode će nedostajati?

Rješenje:Kada u valjak napunjen vodom uronimo tu

kuglu, da bi stala u valjak, kugla će iz valjka

istisnuti onoliki obujam vode koliki je njen

obujam.

Kada kuglu izvadimo iz valjka, izmjerit ćemo da

nedostaje 23

ukupne količine vode koja je bila u

valjku. Pokus pokazuje da obujam kugle iznosi 23

obujma takvog valjka.

V V r v r r rkugle valjka= = = ⋅ =23

23

23

243

2 2 3π π π.

Obujam kugle

V r= 43

3π.

Uvjerimo se da je obujam kugle polumjera

r jednak obujmu jednakobridnog valjka

polumjera baze r iz kojeg smo izvadili upisani

stožac.

rS

2r

v=2r

2r

2r

2r

rS

2r

v=2r

23

13

2r

v=2r

23

13

6 . 1 5 . K u g l a

Primjer 3. Kugla kao rotacijsko tijeloKugla je rotacijsko tijelo kao i valjak i stožac.

Rotacijom kojeg lika nastaje kugla?

Rješenje:Kugla nastaje rotacijom kruga oko jednog nje-

govog promjera. Kuglu možemo dobiti i rota ci-

jom polukruga oko njegovog rubnog promjera.

Nacrtaj na kartonu neki krug, pa zalijepi konac

ili vunu preko njegovog promjera. Primi krajeve

konca i zavrti ih.

Z a d a c i1. Izračunaj oplošje i obujam kugle polumjera:

a) 3 cm; b) 5 cm; c) 11.2 dm; d) 5.4 m.

2. Izračunaj polumjer i obujam kugle kojoj je

oplošje:

a) 100π cm2; b) 324π cm2; c) 900π dm2;

d) 25π m2.

3. Izračunaj polumjer i oplošje kugle kojoj je

obujam:

a) 36π cm3; b) 4500π cm3; c) 288π dm3;

d) 43

π m3.

4. Koliko kreme se nalazi u Rafaelo kuglici

promjera 3 cm, ako je debljina stjenke 2 mm?

5. Metalne kuglice polumjera 1.5 cm potrebno je

pretopiti u jednu kuglu polumjera 10 cm. Koliko

kuglica je za to potrebno?

6. Mrlja od sapuna kružnog oblika promjera 1 cm

nastala je od kapljice sapunice (oblika kugle)

promjera 3 mm.

a) Izračunaj obujam i oplošje kapljice;

b) Koliko puta je površina mrlje veća od oplošja

kapljice?

7. Koliki je obujam zraka koji se nalazi u balonu

oblika kugle promjera 0.5 m?

8. Četiri metalne kuglice polumjera 2 cm

pretopljene su u jednu veću kuglu. Koliki je

polumjer nove kugle?

9. Koliko je oplošje i obujam nogometne lopte

promjera 25 cm i debljine stjenke 5 mm?

10. Koja kugla ima veću masu?

Srebrna, polumjera 1 dm (gustoća 10.5 kg/dm3)

ili platinasta polumjera 0.5 dm

(gustoća 21.5 kg/dm3)?

11. Izračunaj promjer zlatne kugle koja ima masu

50 kg. Gustoća zlata je 19.3 g/cm3.

12. Koja količina sladoleda je veća: 2 kuglice

polumjera 3 cm ili 3 kuglice polumjera 2 cm?

13. Koliki je obujam lopte za odbojku promjera

21 cm i debljine stjenke 3 mm? Kolika bi bila

masa te lopte da je ispunimo pijeskom

(gustoća 2 g/cm3)?

14. Izračunaj obujam sladoleda koji popunjava

kornet oblika stošca visine 12 cm i promjera

5 cm. Na kornetu se nalaze još dvije kuglice

sladoleda promjera 3 cm.

15. Iz drvene kocke brida 4 cm izrezana je kugla

maksimalnog promjera.

a) Izračunaj obujam kocke i obujam kugle

b) Za koliko je obujam kocke veći od obujma

kugle?

c) Izračunaj postotak otpada pri tom

izrezivanju.

16. Iz drvenog kvadra dimenzija 5 x 5 x 25 cm

izrezan je ukrasni štap sastavljen od valjka i

dvije kugle. Ukupna duljina štapa je 25 cm,

promjer kugli je 5 cm, a promjer valjka 2 cm.

a) Izračunaj obujam kvadra i obujam štapa

b) Izračunaj postotak otpada pri tom

izrezivanju.

17. Kugla oplošjem 720π cm2 će se premazati s

0.1 mm debelim premazom od zlata. Izračunaj

troškove za to, ako 1 g zlata košta 19 eura.

(gustoća zlata je 19.3 g/cm3)

S

202


203

1. Izračunaj oplošje valjka kojemu su zadani polumjer baze i visina.

a) r = 4 cm, v = 10 cm; b) r = 6 cm, v = 12 cm; c) r = 3 dm, v = 4 dm.

2. Opseg baze valjka je 16p cm, a duljina visine 6 cm. Kolika je površina plašta i oplošje tog valjka?

3. Površina plašta valjka je 70p cm, a duljina visine 7 cm. Kolika je površina baze i oplošje tog valjka?

4. Plašt valjka je kvadrat sa stranicom 8 cm. a) Kolika je visina tog valjka? b) Koliki je polumjer baze? c) Koliko je njegovo oplošje?

5. Izračunaj obujam valjka kojemu su zadani polumjer baze i visina:

a) r = 6 cm, v = 4 cm; b) r = 2 dm, v = 5 dm; c) r = 8 m, v = 10 m.

6. Opseg baze valjka je 37.68 cm, a njegova visina 7 cm. Izračunaj oplošje i obujam.

7. Površina baze valjka je 28.26 dm2, a njegov obujam 84.78 dm3. Koliko je njegovo oplošje?

8. Za pospremanje žitarica potrebno je izgraditi silose oblika valjka. U jedan silos treba pospremiti 4521.6 m3 pšenice. Kolika treba biti visina silosa ako mu je polumjer baze:

a) 12 m; b) 15 m?

9. Izračunaj masu željezne žice promjera 3 cm i duge 15 m. Gustoća željeza je 7.9 g/cm3.

10. Iz drvene kocke visine 10 cm izrezan je valjak maksimalnog promjera i visine.

a) Koliki su polumjer baze i visina tog valjka?

b) Koliki je obujam kocke i obujam valjka? c) Koliko materijala otpada pri izrezivanju? d) Koliki je postotak otpada?

11. Iz drvenog valjka visine 15 cm i polumjera baze 4 2 cm izrezana je kvadratna prizma maksimalnih dimenzija.

a) Kolike su dimenzije te prizme? b) Koliki je obujam prizme i obujam valjka? c) Koliko materijala otpada pri izrezivanju? d) Koliki je postotak otpada?

12. Izračunaj obujam i oplošje valjka nastalog rotacijom kvadrata sa stranicom 6 cm oko jedne njegove stranice

13. Izračunaj oplošje i obujam valjka dobivenog rotacijom pravokutnika oko označene osi.

a)

b)

c) d)

14. Izračunaj oplošje stošca kojemu je zadana izvodnica i polumjer baze:

a) s = 13 cm, r = 5 cm; b) s = 41 cm, r = 9 cm; c) s = 5.3 dm, r = 4.5 dm.

15. Izračunaj oplošje stošca kojemu je zadana visina i polumjer baze.

a) r = 8 cm, v = 15 cm; b) r = 20 cm, v = 21 cm; c) r = 0.12 m, v = 3.5 dm.

16. Koliko materijala je potrebno za izradu limenog krova oblika stošca s polumjerom baze 3.3 m i visinom 5.6 m?

17. Izračunaj obujam stošca kojemu je zadana visina i polumjer baze:

a) r = 2 cm, v = 2.1 cm; b) r = 7 cm, v = 24 cm; c) r = 0.28 m, v = 4.5 dm.

Vježbalica

6 cm

3 cm4 cm

5 cm14 cm

2 cm

2 cm2 cm

204

6 . 1 5 . K u g l a

18. Izračunaj obujam stošca kojemu je zadana izvodnica i polumjer baze:

a) s = 15 cm, r = 12 cm; b) s = 85 cm, r = 13 cm; c) s = 0.41 m, r = 0.9 dm.

19. Izračunaj oplošje i obujam stošca: a) s = 25 cm, r = 7 cm; b) s = 17 cm, r = 8 cm; c) v = 15 cm, r = 8 cm; d) v = 12 dm, s = 13 dm.

20. Količina od 36.9264 m3 šljunka prosuta je na gomilu koja je poprimila oblik stošca. Koliku površinu na tlu prekriva ovaj šljunak ako joj je visina 4.5 m?

21. Pehar ima oblik stošca, visok je 1.2 dm, a u njega stane 31.4 l tekućine. Koliki je promjer njegovog gornjeg ruba?

22. Kružni isječak sa polumjera 6 cm presavinemo u plašt stošca. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca ako je središnji kut mreže plašta u ravnini:

a) 90º; b) 120º; c) 180º; d) 270º.

23. Odredi polumjer baze i visinu stošca dobivenog rotacijom pravokutnog trokuta oko označene osi. Izračunaj oplošje i obujam stožaca.

a) b)

c)

24. Odredi polumjer baze stošca kojemu je zadan obujam i visina:

a) V = 135p cm3, v = 5 cm;

b) V = 643

p dm3, v = 4 dm;

c) V = 471 m3, v = 6 m.

25. Odredi oplošje stošca kojemu su zadani obujam i visina:

a) V = 48p cm3, v = 9 cm;

b) V = 128

3p m3, v = 8 m;

c) V = 226.08 cm3, r = 6 cm.

26. Zadani su osni presjeci stožaca. Izračunaj oplošje i obujam tih stožaca.

a) b)

c)

27. Izračunaj oplošje i obujam kugle polumjera:

a) 9 cm; b) 6 cm; c) 12.3 dm; d) 4.5 m.28. Izračunaj polumjer i obujam kugle kojoj je

oplošje: a) 144p cm2; b) 24p cm2; c) 314 dm2; d) 1017.36 m2.

29. Izračunaj polumjer i oplošje kugle kojoj je obujam:

a) 288p cm3; b) 2304p cm3;

c) 113.04 dm3; d) 323

p m3.

30. Iz drvene kocke brida 12 cm izrezana je kugla maksimalnog promjera.

a) Izračunaj obujam kocke i obujam kugle b) Za koliko je obujam kocke veći od

obujma kugle? c) Izračunaj postotak otpada pri tom

izrezivanju.

31. Osam metalnih kuglica polumjera 1 cm pretopljene su u jednu veću kuglu. Koliki je polumjer nove kugle?

32. Koliko kreme se nalazi u Rafaelo kuglici promjera 6.4 cm, ako je debljina stjenke 2 mm?

33. Metalne kuglice promjera 4 cm potrebno je pretopiti u jednu kuglu polumjera 6 cm. Koliko kuglica je za to potrebno?

5 cm

12 cm

15 cm

8 cm

5 cm

5 cm

14

240.9

8

45º6


1. Nabroji neka uglata geometrijska tijela.

2. Nabroji neka obla geometrijska tijela.

3. Opiši prizme i nabroji ih nekoliko.

4. Opiši piramide i nabroji ih nekoliko.

5. Nabroji nekoliko rotacijskih tijela.

6. Nabroji neka tijela kojima je baza kvadrat.

7. Nabroji neka tijela kojima je baza krug.

8. Nabroji nekoliko tijela koja imaju jednu bazu.

9. Nabroji nekoliko tijela koja imaju dvije baze.

10. Skiciraj pravilnu četverostranu piramidu, istakni

pravokutne trokute i napiši pripadne Pitagorine

poučke.

11. Skiciraj stožac, istakni pravokutan trokut i

napiši pripadni Pitagorin poučak.

12. Skiciraj pravilnu šesterostranu prizmu i objasni

kako joj izračunavamo obujam i oplošje.

13. Što je tetraedar?

6.16. Ponavljanje

Z a d a c i z a p o n a v l j a n j e :1. Koja geometrijska tijela prepoznaješ na slici: 2. Zadan je kvadar s bridovima dugim a = 3 cm,

b = 4 cm, c = 3.5 cm.

a) Nacrtaj taj kvadar u kosoj projekciji;

b) izračunaj duljine plošnih dijagonala tog

kvadra;

c) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale;

d) Izračunaj mu oplošje i obujam.


prizme ako su poznati oplošje i duljina

osnovnog brida:

a) O = 40 mm2, a = 1 mm;

b) O = 45.3 cm2, a = 20 mm;

c) O = 569 m2, a = 50 dm;

d) O = 100.25 m2, a = 345 cm.



baze kvadratne prizme je 30 2 cm2. Kolika je

njena visina ako su bridovi baze dugi 2 cm?

6. Zadana je kocka s bridom a = 3 cm.

a) Nacrtaj tu kocku u kosoj projekciji;

b) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale te

kocke;

c) Izračunaj joj oplošje i obujam.

a) c)b)

j)

g) i)h)

d) f)e)

a) c)b)

j)

g) i)h)

d) f)e)

a) c)b)

j)

g) i)h)

d) f)e)

a) c)b)

j)

g) i)h)

d) f)e)

a) c)b)

j)

g) i)h)

d) f)e)

a) c)b)

j)

g) i)h)

d) f)e)

a) c)b)

j)

g) i)h)

d) f)e)

2

4

6

2

3

5

a) b)

205


206

6 . 1 6 . P o n a v l j a n j e

7. Izračunaj duljinu brida kocke kojoj je prostorna

dijagonala D = 6 3dm.

8. Maja želi omotati poklon oblika kocke.

Ima jedan list ukrasnog papira pravokutnog

oblika sa stranicama 40 cm i 60 cm.

a) Može li Maja njime omotati poklon brida

25 cm?

b) Koliki najviše treba biti brid kocke kako bi

Maja mogla omotati poklon?


plošnom dijagonalom 3 2 cm?

10. Izračunaj oplošje i obujam pravilne trostrane

prizme s osnovnim bridom duljine 4.2 dm i

visinom 50 cm.


jednakobridne trostrane prizme s bridom

duljine 6 3 cm.

12. Izračunaj oplošje i obujam trostrane prizme

kojoj je baza jednakokračan trokut s osnovicom

8 cm i krakom 5 cm. Visina prizme je 1 dm.

13. Izračunaj oplošje i obujam trostrane prizme

kojoj je baza pravokutan trokut s katetama

dugim 6 m i 8 m, te kojoj je visina duga 7 m.

14. Izračunaj oplošje i obujam uspravne

četverostrane prizme visine 10 cm kojoj je

baza:

a) paralelogram sa stranicom a i b, te visinom h

na stranicu a: a = 13.3 cm, b = 5 cm, h = 4 cm;

b) romb s dijagonalama e i f: e = 6.4 cm,

f = 4.8 cm;

c) jednakokračni trapez s osnovicama a i c te

visinom baze h.: a = 6 cm, c = 2 cm, h = 3 cm.


šesterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug

5 dm, a visina 1.1 m.

16. Posuda oblika kocke ima duljinu brida 6 cm i

cijela je napunjena vodom. Iz nje svu vodu

prelijemo u posudu oblika kvadra s osnovnim

bridovima duljine 3 cm i 4 cm. Kolika će biti

visina vode u posudi?

17. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je

površina baze 25 dm2, opseg baze 20 dm, a

visina 15 dm.

18. Visina prizme je 15 cm. Izračunaj oplošje i

obujam prizme ako je baza zadana crtežom:

19. Za metalnu polugu utroši se 840 cm3 metala.

Baza poluge je jednakokračni trapez s

osnovicama dugim 10 cm i 4 cm te kracima od

5 cm.

a) Kolika je duljina te poluge?

b) Kolika je masa poluge ako je napravljena od

zlata (gustoća 19.3 g/cm3);

c) Kolika je masa poluge ako je napravljena od

olova (gustoća 11.3 g/cm3)?

20. Dječja igračka sastoji se od deset valjaka

koji se stavljaju jedan na drugi i tako dobiva

“stepenasti” stožac. Svi valjci imaju jednaku

visinu - 3 cm. Najgornji valjak ima promjer

2 cm, a svaki sljedeći za 2 cm veći promjer.

a) Odredi promjer svih valjaka;

b) Izračunaj obujam tijela sastavljenog od tih

deset valjaka;

c) Izračunaj obujam stošca koji ima promjer

jednak najdonjem valjku, a visinu jednaku visini

tih deset valjaka;

d) Usporedi obujmove stošca i “stepenastog”

stošca - koji obujam je veći i koliko posto?

6.5 dm 6.5 dm

5.6 dm

11.2 dm

10 cm

4 cm24 cm

5 cm

4 cm5 cm

10 cma) b) c)

4 m

6 m

2 m

6.5 dm 6.5 dm

5.6 dm

11.2 dm

10 cm

4 cm24 cm

5 cm

4 cm5 cm

10 cma) b) c)

4 m

6 m

2 m

6.5 dm 6.5 dm

5.6 dm

11.2 dm

10 cm

4 cm24 cm

5 cm

4 cm5 cm

10 cma) b) c)

4 m

6 m

2 m

207


21. Čokolada je upakirana u kutijicu oblika

šesterostrane piramide kojoj je osnovni brid

2 cm, a visina 10 cm.





b) Koliko cm2 kartona je potrebno za pakiranje,

potrebno je dodati 3% ukupne površine za

spojeve?

22. Izračunaj obujam piramide kojoj je površina

baze 45 cm2, a visina 9 cm.

23. Izračunaj oplošje piramide kojoj je površina

baze 26 dm2, a površina plašta 3100 cm2.

24. U pravilnoj četverostranoj piramidi duljina

visine iznosi 25.35 dm, a duljina visine pobočke

32 dm. Izračunaj:

a) duljinu osnovnog brida; b) duljinu bočnog

brida; c) površinu baze; d) oplošje; e) obujam.

25. Obujam pravilne četverostrane piramide je

V = 30 cm3, a visina v = 3 cm. Izračunaj:

a) površinu baze; b) duljinu osnovnog brida;

c) visinu pobočke; d) oplošje.

26. Osnovni brid pravilne trostrane piramide je

2.4 cm, a visina 7.5 cm. Izračunaj:

a) duljinu bočnog brida; b) visinu pobočke;

c) površinu baze; d) oplošje; e) obujam.


100 dm2, a visina piramide je 5 dm. Izračunaj:

a) duljinu osnovnog brida; b) visinu pobočke;

c) oplošje; d) obujam.

28. Osnovni brid pravilne šesterostrane piramide

je a = 4 cm, a bočni brid b = 9 cm. Izračunaj

oplošje i obujam te piramide.

29. Izračunaj oplošje i obujam stošca:

a) s = 5 cm, r = 4 cm; b) r = 40 m, v = 30 m;

c) s = 13 dm, v = 5 dm.

30. Izračunaj oplošje i obujam kugle polumjera

3.6 cm.

31. Koliki treba biti polumjer plutene (gustoća

0.2 kg/dm3) da bi imala istu masu kao

aluminijska kugla polumjera 0.1 dm (gustoća

21.5 kg/dm3)?

32. Osam metalnih kuglica polumjera 3.1 cm

pretopljene su u jednu veću kuglu. Koliki je

polumjer nove kugle? Koliko puta je oplošje

nove kugle veće ili manje od oplošja kuglice?

33. Izračunaj obujam i oplošje tetraedra kojemu je

osnovni brid dugačak 12 cm.


1. Napiši kako nazivamo tijela na slici:

2. Skiciraj pravilnu četverostranu piramidu kojoj

je duljina osnovnog brida 4 cm, a visina 6 cm.

Izračunaj joj obujam i oplošje.


šesterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug

4.5 dm, a visina 8.2 dm.

4. Izračunaj oplošje i obujam kvadra s bridovima

4 cm, 50 mm i 0.7 dm.

5. Skiciraj kocku kojoj je duljina osnovnog brida

3 cm. Izračunaj joj oplošje i obujam te duljinu

prostorne dijagonale.

6. Izračunaj oplošje tetraedra s duljinom brida

7 dm.

7. Izračunaj i usporedi obujam i oplošje stošca

i valjka kojima je promjer baze 6 cm, a visina

10 cm.

8. Obujam kugle je 972π. Koliko je njeno oplošje?

9. Krov crkvenog tornja ima oblik pravilne

šesterostrane piramide. Koliko lima je potrebno

za prekrivanje tog krova, ako je opseg baze

24 m, a visina piramide 8 m? Na ukupnu

površinu potrebno je dodati 5% za spajanje

dijelova. Koliko treba platiti potrebnu količinu

lima ako je cijena m2 60 kn?

AB

208

Kvadrirati neki broj znači pomnožiti ga sa

samim sobom.a2 = a · a (čitamo: „a na kvadrat’)

Kvadrat umnoška jednak je umnošku

kvadrata.

(a · b)2 = a2 · b2

Kvadrat količnika jednak je količniku

kvadrata.

(a : b)2 = a2 : b2

ab

a

b

=2 2

2

Kvadrat zbroja (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Tu formulu možemo izreći i ovako:

(prvi + drugi)2 = prvi2 + 2 · prvi · drugi + drugi2

Kvadrat razlike (a −b)2 = a2 −2ab + b2


(prvi −drugi)2 = prvi2 −2 · prvi · drugi + drugi2

Razlika kvadrata a2 −b2 = (a + b) · (a −b)


prvi2 −drugi2 = (prvi + drugi) · (prvi −drugi)

Potencija an je broj zapisan u obliku

umnoška n jednakih faktora a. Broj a se

pritom naziva baza potencije an , a n je

njezin eksponent.

a1 = a

a2 = a · aa3 = a · a · aa4 = a · a · a · a...a a a an

n

= ⋅ ⋅ ⋅... faktora� ��

Množenje potencija jednakih baza

Ako su zadane potencije am i an , gdje su m

i n prirodni brojevi, tada vrijedi:

a a a a a am n

m n

m

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+

... ... faktora faktora

ukupno

��

nn

m na

faktora� ��

= +

Dijeljenje potencija jednakih baza

Ako su zadane potencije am i an , gdje su m

i n prirodni brojevi i m > n, tada vrijedi:a a

a aa a

m n

m

n

:............

...= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

faktora

faktora

� ��

�� = −am n

7. Završno ponavljanje

an

potencija

an

eksponent

baza

T r o k u t

209

Potencija broja 10 je broj zapisan u obliku umnoška 10 10 10 10n

n

= ⋅ ⋅ ⋅... faktora

� �� .

Znanstveni oblik broja -broj zapisan u obliku a · 10n , gdje je a bilo koji broj između 1 i 10, a n

je cijeli broj.

Potencija s negativnim eksponentom aa a a

nn

− = =⋅ ⋅

1 1...

.

Isto tako je a0 = 1 za svaki broj a ≠ 0 .

Kvadratni korijen pozitivnoga broja b je

pozitivni broj a čiji je kvadrat jednak b.Zapisujemo: b i čitamo: kvadratni korijen iz b ili

drugi korijen iz b ili jednostavno korijen iz b.

Ako je b pozitivan broj, tada je b b2 =

Korijen umnoška pozitivnih brojeva jednak

je umnošku korijena tih brojeva.a b a b

korijenumnoška

a b

umnožakod a i b

⋅ = ⋅

⋅

��

Korijen količnika pozitivnih brojeva jednak

je količniku korijena tih brojeva.a b a b

korijenkoličnika

a b

količnikod a i b

: :

⋅

=��

ili

ab

a

b=

Kvadriranje izraza s korijenom1 1 12 5 2 5 2 52

1 4 5 4 5 1 4 5 20

21 4 5

2 2 2+( ) = + ⋅ ⋅ + ( ) =

= + + ⋅ = + + =

= +

Djelomično korjenovanje.a b a b a b2 ⋅ = ⋅ =

16 163 3 3 34 4⋅ = ⋅ = ⋅ =

Racionalizacija nazivnika - postupak

proširivanja razlomka (s iracionalnim

nazivnikom) do razlomka s racionalnim

nazivnikom.

a)

1

2

1

2

2

2

22

= ⋅ =

b) 1

1 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 21 2

1 21

1 2

2 2+=

+⋅ −

−= −

− ( )= −

−=

= −−

= − + .

Kvadratna jednadžba

Ako je b > 0, tada kvadratna jednadžba oblika

x b2 = ima dva rješenja, x1 = b ,

x2 = − b .

Ako je b = 0, tada kvadratna jednadžba oblika

x b2 = ima jedno rješenje, x = 0.

Ako je b < 0, tada kvadratna jednadžba oblika

x b2 = nema rješenja u skupu realnih brojeva.

Primjer:

9 1212x = / : 9

x2 1219

=

x1 =

113

, x2 = −113

.

7 . Z a v r š n o p o n a v l j a n j e

210


Pravokutnik: d2 = a2 + b2

d a b= +2 2

o a b a b

P a b

= + = +=

2 2 2( )

Kvadrat d2 = a2 + a2

d a= 2o a

P a a a

=

= =

42

Pd d d= ⋅ =

2 2

2

Trokut o a b c= + +

Pa v b v c va b c=

⋅=

⋅=

⋅2 2 2

α β γ+ + = °180

Jednakokračni trokut

b2 = a2

2

+ v2

α β+ = °2 180

Jednakostranični trokut:

a2 = v2 +

a2

2

Visina jednakostraničnoga trokuta v

a=2

3

Površina jednakostraničnoga trokuta: P

a=2 34

o a= 3

Pa va=

⋅2

o = a + 2b

a

b

d

a d

a

B

AC

ac

b

vb

a

bv

b

a

b

a2

v a

a2

v aa

a

211


Romba2 =

d12

2

+

d22

2

o a

P a ve f

=

= =

4

2⋅

Jednakokračni trapezx

a c= −2

b2 = v2 + x2

o a b b c= + + +

sa c= +

2

P s va c

v= ⋅ = + ⋅( )2

Paralelogram o a b a b

P a v b va b

= + = += =

2 2 2( )

Prizme

Oplošje O B P= +2Obujam V Bv=

Piramide

Oplošje O B P= +

Obujam V Bv=13

Kvadar

a i b - bridovi baze

d - dijagonala baze

c - visina

D - prostorna dijagonala

Površina baze B = a • b Površina pobočja P = 2ac + 2bc

Oplošje O = 2B + P = 2(ab + bc + ac)Obujam V = abc Plošne dijagonale

d a b

d a c

d b c

12 2

22 2

32 2

= +

= +

= +

Prostorna dijagonala D a b c= + +2 2 2 .

a

ad1d2

b

x

v

c

b

x

v

a

c

b

A

C

B

vb

D

a

va

βα

a

c

b

D

d

A B

C

EF

G A

D

212


Kocka a - osnovni brid

d - plošna dijagonala

D - prostorna dijagonala

Površina baze B = a2

Oplošje O = 6a2

Obujam V = a3

Plošna dijagonala d a= 2

Prostorna dijagonala D a= 3.

Pravilna četverostrana piramida

a - osnovni brid

b - bočni brid

d - dijagonala baze

v - visina piramide

h - visina pobočke

Površina baze B = a2

Površina pobočke Pa h

1 2=

⋅

Površina plašta Pa h

ah= ⋅⋅

=42

2

Oplošje O = B + P

Obujam V Bv=13

Dijagonala baze d a= 2

b vd2 2

2

2= +

h va2 2

2

2= +

b ha2 2

2

2= +

d

aD

v

V

V?

a2

aA B

C

E

h

D

a

b

d

213


Pravilna šesterostrana piramida a - osnovni bridb - bočni bridd - dijagonala bazev - visina piramideh - visina pobočke

Površina baze Ba

a= ⋅ =63

432

32

2


1 2=

⋅

Površina plašta Pa h

ah= ⋅⋅

=62

3

Oplošje O = B + P

Obujam V Bv=13

b v a2 2 2= +h v v v

aa

2 2 2 22

23= + = +

b ha2 2

2

2= +

Pravilna trostrana piramida a - osnovni brid b - bočni bridva - visina baze v - visina piramide

h - visina pobočke

Površina baze Ba

=2 34


1 2=

⋅

Površina plašta Pah

= 32

Oplošje O = B + P

Obujam V Bv=13

b v v va

a2 2

22

223

33

= +

= +

h v v va

a2 2

22

213 6

3= +

= +

b ha2 2

2

2= +

TetraedarVisina v a v a

a aa= −

= −

=2

22

223

33 3

6

Površina baze Ba

=2 34

Oplošje Oa

a= ⋅ =43

43

22

Obujam VB v a a a

=⋅

= ⋅ ⋅ =3

13

34

63 12

22 3

V

V?

v

a

va

a

h

b

A B

C

V?

V

23

va

13

va

vh

b

a

b

A1

a

a

a

a

214


Valjak

r - polumjer baze

v - visina valjka

Površina baze B r= 2π

Površina plašta P r v= 2 π

Oplošje O B P r r r r v= + = + = +2 2 2 22π π π( )

Obujam V B v r v= ⋅ = 2π

Stožac

r - polumjer baze

v - visina valjka

s - izvodnica

s v r2 2 2= +

Površina plašta P r s= π

Oplošje O B P r r s r r s= + = + = +2π π π( )

Obujam V Bv r v= =13

13

2π

Kugla

r - polumjer kugle

Oplošje O r= 4 2π

Obujam V r=43

3π

Točke koje leže na istom pravcu zovu

se kolinearne točke.

Točke koje ne leže na istom pravcu,

tj. koje nisu kolinearne, nazivaju se

nekolinearne točke.

Ravnina je određena s:

tri nekolinearne točke

dva različita pravca (koji su ili

usporedni ili se sijeku)

pravcem i točkom koja mu ne

pripada.

Ravnina ABC

V

r

s

V

v

r

r

A

D

E

H G

C

B

F

kolinearne točke nekolinearne točke

215


Međusobni položaj dvaju različitih

pravaca u prostoru:

1. Pravci se sijeku, imaju jednu

zajedničku točku;

2. Pravci su usporedni, nemaju

zajedničkih točaka;

3. Pravci su mimosmjerni, nemaju


Međusobni položaj pravca i ravnine u

prostoru:

1. pravac leži u ravnini, imaju

beskonačno mnogo zajedničkih točaka;

2. pravac probada ravninu, imaju jednu

zajedničku točku;

3. pravac i ravnina su usporedni,

nemaju zajedničkih točaka.

Međusobni položaj dviju različitih

ravnina u prostoru:

1. ravnine se sijeku, imaju jedan

zajednički pravac, presječnicu;

2. ravnine su usporedne, nemaju


Okomitost

Pravac je okomit na ravninu ako je probada i ako je okomit na svaki pravac te ravnine koji prolazi

probodištem.

Dvije su ravnine okomite ako u jednoj ravnini postoji pravac koji je okomit na drugu ravninu.

Udaljenost točke od ravnine je udaljenost te točke od njezine ortogonalne projekcije na tu

ravninu. Ako točka leži u ravnini, njezina udaljenost od ravnine je nula.

Ortogonalna projekcija

Ortogonalna projekcija točke na ravninu je probodište okomice kroz tu

točku na zadanu ravninu.

Ortogonalna projekcija točke je uvijek točka.

Ako točka leži u ravnini, onda je ona sama sebi ortogonalna projekcija.

Ortogonalna projekcija dužine koja nije okomita na ravninu projekcije je

dužina.

Ortogonalna projekcija dužine koja je okomita na ravninu projekcije je

točka.

Ako dužina leži u ravnini, onda je ona sama sebi ortogonalna projekcija.

Ako je dužina usporedna s ravninom projekcije, tada je duljina njezine

ortogonalne projekcije jednaka duljini zadane dužine. Ako nije, onda je

duljina ortogonalne projekcije dužine manja od duljine zadane dužine.

A

D

E

HG

C

B

F

a

b

A

D

E

HG

C

B

F

a

bA

D

E

H G

C

B

F

S

a

b

A

D

E

H G

C

B

Fa

A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

HG

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

H G

C

B

F

A

D

E

H G

C

B

F

a

A

D

E

H G

C

B

F

216


Vektor dužina kojoj je određeno koja je krajnja točka

početna, a koja završna.

Vektor ima duljinu, smjer i orijentaciju. Duljina vektora jednaka je duljini dužine.

Orijentaciju pokazuje strelica vektora.

Smjer je određen pravcem na kojem vektor leži.Zbrajanje vektoraPravilo trokuta

AB BD AD� ��

+ =

Pravilo paralelograma

AB AC AD� ��

+ =

Oduzeti vektor b��

od vektora a��

znači zbrojiti a��

sa suprotnim vektorom od b��

.

Preslikavanja ravnine osna simetrija, centralna simetrija, translacija i rotacija:

- čuvaju udaljenost

- preslikavaju likove u sukladne likove

- čuvaju usporednost

- čuvaju veličine kutova

Osna simetrija

zadana pravcem - osi simetrije

Centralna simetrija

zadana središtem simetrije

A

B

A

B

D

A

B

D

C

A

B

C

A′

B′

C′

A

B

C

A′

B′

C′

S


Translacija

zadana vektorom

Rotacija

zadana središtem, kutom i smjerom

rotacije

A′

B′

C′C

A

B

GF

CA

B

S

A′

B′C′

45˚

Z a d a c i

217

1. U tablici se nalaze razni racionalni brojevi. Prepiši

tablicu u bilježnicu, dodaj drugi redak tablice i

popuni ga tako da zadane brojeve kvadriraš.

x 0 −3.2−49

0.22 −160 267

12−

2. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratiće upiši

koordinate tako da točke pripadaju grafu

kvadratne funkcije f(x) = x2 . Zatim u

koordinatnom sustavu ucrtaj te točke i skiciraj

parabolu.

A 2,( ) , B −( )2, , C 0,( ) , D

14

,

, E −( )1, ,

F 1

12

,

, G −( )1 5. , .

3. Pojednostavi pa uvrsti

a = 10, b = −3, x = 2.2, y = −0.5:

a) 6a + (4b −2b); b) −4x −(5x −3x);

c) −y2 −(5 −10); d) 16x2 + (11x2 −12x2);

e) (−2a2b2 −6b2a2) −ab2.

4. Pojednostavi:

a) 5x + (2x −y); b) 5x −(2x −y);

c) (4a −2b + c) −b; d) −(2x2 −2y2) + 2x2 −y2;

e) −6ab2 −(−3a2b −ab2) + 4ab2.

5. Oslobodi se zagrada:

a) 3 · (x −6); b) −2 · (1 + y2); c) (17 −a) · a;

d) −x · (−2x −1); e) (x2y −5) · y.

6. a) 5a · (−1 + 2a + y2); b) 10a · (a −8 −2y2);

c) (−x + y2 + z2) · 3x; d) 2x · (−2x −8 −y2);

e) (−1 −2x −a2 + y2) · 6x.

7. a) ab · (a + 2ab); b) −3xz · (−1 −5y2);

c) (2x + y2 + 6z2) · (−5xa);

d)

15

32

1x y− +

· 10xyz;

e) −(6 −2x + a2 + 3y) · (−5xyb2).

8. Pomnoži pa pojednostavi:

a) (x + 3) · (x + 1); b) (−5 + a) · (a −3); c) (1 −y) · (2

−y);

d) (−x −1.5)(4 + x); e) (y +

56

>)(36 −y).

9. Pomnoži pa pojednostavi:

a) (2 + 3x) · (x + 1); b) (−y + 5) · (5y −3);

c) (1 −2y) · (1 −4y); d) (−5x −0.3)( −10 + 0.3x);

e) (−5a + 15

)(25 −35

a).

10. Pomnoži i pojednostavi:

a) x · (x+ 2) + (x −2) · (x + 2);

b) −3a(a −b) + (a −2) · (3a + 1);

c) (x −5) · (x −6) −5x · (6 −x);

d) (x −y) · (x −6) −5x · (6 −y);

e) 2ab −[b(a −1) + (b −a) · b].

11. Napamet izračunaj:

a) (2 · 4)2; b) (−4 · 3)2; c) (3 · 2)2;

d) (6 · (−2))2; e) (−5 · (−2))2.

12. Oslobodi se zagrade:

a) (3a)2; b) (9 · x)2; c) (−2b)2;

d) (bx)2; e) (−xy)2.

13. Kvadriraj:

a) 23

2x

; b)

−

16

2

x; c)

53

2xy

;

d) 47

2acb−

; e)

118

2x

aby

.

14. Zapiši u obliku kvadrata:

a) x

y

2

2 ; b) x2

4; c)

94

2x;

d) 81

16

2

2a

b; e)

144

169

2 2

2 2a b

x y.

15. Izračunaj:

a) 811

56121

2 2

: ; b)

1232

82

2

: ;

c) −

386

1219

2 2

• ; d) 413

259

2 2

: ;

e) 825

21

10

2 2

−

: .

16. Izračunaj:

a) (x + y)2; b) (a + 5)2; c) (7 + b)2;

d) (10 + x)2; e) (y + b)2.

17. Izračunaj:

a) (5 −y)2; b) (x −1)2; c) (3 −b)2;

d) (d −x)2; e) (y −12)2.

18. Izračunaj:

a) (a + 11y)2; b) (3x −1)2; c) (6 −8m)2;

d) (x + 12y)2; e) (5x −5)2; f) (3a −a)2.

19. Izračunaj:

a)a b

ab+

2

2

; b) a ba b

+−

2

; c) a

a b+

2

;

d) 22 3

2a bc

++

; e)

a bb d

−−

23 5

2

.

20. Izračunaj:

a) (34

a + b)2; b) (0.5x −3)2; c) (15

−5a)2;

d) (3.5x + 10)2; e) (712

x −6)2.

21. Izračunaj:

a) (3a + 4b)2; b) (7x −6y)2; c) (6n −3m)2;

d) (12x + 12y)2; e) (4xy −5ab)2; f) 313

2

a −

.

22. Izračunaj:

a) (23

x + 13

y)2; b) (0.5x −2y)2;

c) (49

ab −3a)2; d) (6x + 23

xy)2;

e) (3

10x −

203

y)2.

23. Izračunaj:

a) (−a + b)2; b) (−x −y)2; c) (−n + 2m)2;

d) (−2x + 10y)2; e) (−4y −5x)2.


a) a2 + 2ab + b2; b) x2 −2xy + y2;

c) b2 + 4b + 4; d) 25x2 + 30xy + 9y2;

e) 100m2 −180mn + 81n2.


a) 100 −20b + b2;

b) 925

x2 −65

xy + y2;

c) 0.01b2 + 0.04b + 0.04;

d) 0.25x2 + 0.3xy + 0.09y2;

e) 49

m2 −12mn + 81n2.

26. Pojednostavi:

a) (a + b)2 + (2a −b)2; b) (x −y)2 + (x + y)2;

c) (3a + b)2 −(a −3b)2; d) (a −5b)2 + (2a −3b)2;

e) (4x + 3y)2 −(2y −8x)2.

27. Pojednostavi:

a) (a + b)2 + a(a −b); b) (x −y)2 −2x(x + y);

c) −6(3a −4) + (2a −3)2; d) 2(a −3)2 −(4a −1)2;

e) −2(2x + 8y)2 −5(3y −3x)2.

28. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada:

a) c2 −d2; b) x2 −y2; c) m2 −n2;

d) x2 −b2; e) z2 −t2.

218


29. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada:

a) 64 −a2; b) x2 −25; c) 36 −y2;

d) x2 −1; e) 4 −b2.

30. Zapiši u obliku umnoška:

a) 16x2 −49y2; b) 25b2 −64a2;

c) 121m2 −169n2; d) x2 −9y2; e) 144c2 −d2.

31. Zapiši u obliku umnoška:

a) 0.16x2 −0.01y2; b) 425

b2 −64;

c) 1

16a2 −

164

b2; d) 2.25x2 −144169

y2;

e) 0.09y2 −9.

32. Zapiši u obliku razlike kvadrata:

a) (c + d)(c −d); b) (x + 6)(x −6);

c) (1 + y)(1 −y); d) (100 −a)(100 + a);

e) (m + 1681

)(m −1681

).

33. Pojednostavi:

a) (x + y)(x −y) + (2x −y)2;

b) (a + 2)(a −2) + (2 −7a)2;

c) (5d −c)2 −c(5 −c);

d) (a + b)2 + (a −b)2 −(a + 2b)(a −2b);

e) (2x −a)2 −(a −x)2 −(4x + 3y)(4x −3y).

34. Izračunaj:

a) 0.53; b) 2.672; c) 1.444; d) 10.53; e) 7.34.

35. Izračunaj:

a) 34

3

; b)

29

2

; c)

1687

1

; d)

49

5

; e)

711

4

.

36. Izračunaj:

a) 25 i 52; b) 62 i 26; c) 53 i 35;

d) 37 i 73; e) 310 i 103.

37. Zapiši u obliku potencije i izračunaj:

a) 3 · 3 · 3 · 3; b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2;

c) 2.8 · 2.8 · 2.8 · 2.8; d) 511

;

e) 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1.

38. Zapiši u obliku potencije:

a) 125; b) 27; c) 81; d) 625; e) 729;

f) 64; g) 1; h) 0.04; i) 2.25; j) 1

27.


a) 62 · 68; b) 105 · 105; c) 12

12

9 13

⋅

;

d) 1.336 · 1.333; e) 348 · 3426.

40. Izračunaj:

a) 53; b) 38; c) 24; d) 51; e) 62; f) 84;

g) 34; h) 93; i) 210; j) 77.


a) 1012 : 103; b) 7

7

7

3 ; c) 59 : 58;

d) 1.610 : 1.67; e) 3

103

10

56 33

⋅

.


a) a9 · a9; b) b2 : b1; c) x5 · x6;

d) y8 : y4; e) b16 : b5.

43. Izračunaj pazeći na razlike između zbrajanja i

množenja:

a) 3a · a; b) 3a2 −a2; c) 3 · 29 −29;

d) a4 + a4 + a4; e) a4 · a4 · a4.


a) (a −5)3 · (a −5)2;

b) (x + b)15 : (x + b)8;

c) (3x)7(3x)6;

d) (2y + b)11 : (2y + b)10;

e) (b −3a)9 : (b −3a)7.


a) a2(a + a2); b) 7a(a2 + 3a4 + a);

c) (5x2 −4x) · x5; d) xy2(y5 + x2);

e) xy(3x2y5 −xy3 −3).


a) 4x2 (−5x + 9x2); b) −2a(2a2 + a4 −6a);

c) (−3ax2 −4ax) · a2x5; d) 6a4y2(−7ay5 + y2);

e) 9xy(−x2y5 + xy3 −3x).

47. Zapiši u znanstvenom obliku:

a) 3675; b) 34 762 000; c) 433 876 112;

d) 11 001 552; e) 1 123 231 451 267.

48. Izračunaj:

a) 2.6 · 106 + 1.1 · 103;

b) 7.88 · 103 + 4.13 · 106;

c) 3.685 · 105 + 4.122 · 104;

d) 5.76 · 104 + 53.1256 · 108;

e) 1.11116 · 105 + 1.15678 · 103.

49. Ukupna je masa Zemlje 5.97 · 1024 kg. Masa

Sunca je 1.99 · 1030 kg, masa Jupitera je

1.89 · 1027 kg, masa Marsa je 6.4 · 1023 kg, a

masa Urana 8.72 · 1025 kg. Izračunaj:

a) Koliko je puta masa Sunca veća od mase Zemlje;

b) Koliko je puta masa Marsa manja od mase

Zemlje;

c) Za koliko je masa Jupitera veća od mase Zemlje;

d) Za koliko je masa Urana veća od mase Zemlje.

219


50. Zapiši u znanstvenom obliku:

a) 0.7774; b) 0.04000000001;

c) 0.000000000000562316;

d) 0.1000000078;

e) 0.00000562006.

51. Izračunaj:

a) 10 10

10

3 8

12⋅

; b) 10 10

10

5 3

2⋅ −

; c) 10 10 10

10

2

7⋅ ⋅

;

d) 10 10

10 10

9 3

4⋅⋅

; e 10 10 10

10 10

8 6

2 9⋅ ⋅

⋅

−

− .

52. Izračunaj:

a) 144 ; b) 169 ; c) 361;

d) 225 ; e) 121 .

52. Procijeni koliko će znamenaka imati rezultat

korjenovanja pa izračunaj:

a) 0 16. ; b) 0 0009. ; c) 4 41. ;

d) 0 0000000064. ; e) 0 000144. .

53. Izračunaj:

a) 254

; b) 1

16; c)

4981

; d) 214

; e) 179

.

54. Izračunaj:

a) 32 i −( )32

; b) −( )72

i 72;

c) 2 562. i −( )2 562

. ; d) 0 012. i −( )0 012

. .

55. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratiće upiši

koordinate tako da točke pripadaju grafu funkcije

korjenovanja f(x) = x . Zatim u koordinatnom

sustavu ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.

A 4,( ) , B 2,( ) , C 0,( ) ,

D14

,

, E 1,( ) ,

F 5,( ) , G 1 5. ,( )56. Koji je broj veći:

a) 2 ili 1.45; b) 3 ili 1.733; c) 3.14 ili π;

d) 3.9 ili 15 ; e) −3 2 ili -4.2411.

57. Izračunaj:

a) 8 50⋅ ; b) 50 32⋅ ; c) 18 200⋅ ;

d) 20 45⋅ ; e) 128 72⋅ .

58. Izračunaj:

a) 16 2 2a b ; b) 25 2x ; c) 100 2b ;

d) 144 2 2y b ; e) 36 2( )fg .

59. Pomnoži i pojednostavi:

a) 3 27 3+( ) ; b) 2 2 50+( ) ;

c) 5 125 20+( ) ; d) 10 40 10+( ) ;

e) 8 32 2+( ) .

60. Izračunaj:

a) 45 12

15

⋅; b)

50 10

20

⋅; c)

24 75

72

⋅;

d) 8 54

27

⋅; e)

72 27

6

⋅.

61. Izračunaj:

a) 3 3

16

x x⋅; b)

a a

y

⋅

36 2; c)

7 28

81

⋅ x

x;

d) 6 24

2

ax xa

b

⋅.

62. Izračunaj:

a) 3 72

ab( ) ; b) xyz 22( ) ; c) 2 6

2a( ) ;

d) 3 72

x x( ) ; e) 5 52

abc abc( ) .

63. Izračunaj:

a) 1 52

+( ) ; b) 3 22

+( ) ; c) 1 2 52

−( ) ;

d) 2 2 22

+( ) ; e) 5 2 2 52

+( ) .

64. Izračunaj i pojednostavi:

a) 3 5 2 52 2

+( ) + +( ) ;

b) 1 5 3 22 2

+( ) + −( ) ;

c) 1 2 5 2 3 22 2

+( ) − +( ) ;

d) 1 2 5 1 2 52 2

+( ) − −( ) ;

e) 4 6 2 5 5 2 2 52 2

+( ) − −( ) .

65. Pojednostavi:

a) 9 3 4 2 6 2 8 3+ −( ) + ;

b) 3 5 2 5 2 3+ −( ) + ;

c) 4 2 6 2 3 8 3 2 3− +( ) + − ;

d) 9 2 2 4 5 6 2 2+ − − −( ) ;

e) 9 9 2 2 2 25 8 16− − − − −( ) + .

66. Djelomično korjenuj:

a) 32 ; b) 8 ; c) 75 ; d) 98 ; e) 12 .

67. Djelomično korjenuj:

a) 180 ; b) 48 ; c) 125 ; d) 27 ; e) 63 .

68. Pojednostavi:

a) 3 12 11 3 27 2 44+ − − ;

b) 2 10 72 2 40 2 8+ + − ;

c) 3 16 25 27 75+ − − ;

d) 7 8 2 45 2 5 6 18+ − − ;

e) 3 8 7 9 6 12 2 24+ − − .

69. Pojednostavi:

a) 2 72 3 82 2x x x+ − ; b) a a a2 4+ − ;

c) − − −3 27 122 2 2y y y ;

d) 6 5 8 20 7 452 2 2x x x x− + + ;

e) − − +x x x40 6 10 3 82 2 .

220


70. Pojednostavi:

a) 2 1 8 3+( ) −( ) ;

b) 2 2 5 27 5−( ) −( ) ;

c) 3 2 4 27 5 2−( ) −( ) ;

d) 5 3 25 108 2 27−( ) −( ) ;

e) − −( ) −( )6 1 27 3 2 .

71. Izračunaj:

a) 1 72

+( ) ; b) 3 22

−( ) ; c) 2 5 22

+( ) ;

d) 2 3 3 22

+( ) ; e) 2 32 4 272

−( ) .

72. Racionaliziraj:

a) 1 2

5

+; b)

1 2

2

−; c)

2 3

5

+;

d) 2 7 5

3

+; e)

− +4 3 8 2

6.

73. Za koje brojeve a vrijedi jednakost:

a) a2 0 64= . ; b) a2 0 000009= . ;

c) a2 9121

= ; d) a2 3600169

= ; e) a2 22

49= .

74. Riješi jednadžbe:

a) 3 752x = ; b) 4 1002x = ; c) 9 642x = ;

d) 25 12x = ; e) 121 2892x = .

75. Izračunaj duljinu x na svakoj slici:

76. Ljestve duge 5.5 m prislonjene su uza zid.

Koliku će visinu doseći na zidu ako ih od zida

odmaknemo:

a) 1 m; b) 2.5 m; c) 0.7 m?

77. Maja živi na prvom katu zgrade, na visini 3 m

iznad tla. Ana živi na šestom katu susjedne

zgrade, na visini 19 m iznad tla. Udaljenost

njihovih stanova zračnom linijom je 50 m.

Kolika je horizontalna udaljenost njihovih

zgrada? Nacrtaj skicu.

78. Luka u geometrijskom priboru ima trokut kojem

je hipotenuza dvostruko dulja od jedne katete.

Kolika je površina toga trokuta ako je duljina

druge katete 10 cm?

79. Majina mama ispekla je biskvit za trokutiće

od lješnjaka. Kolač treba rezati u obliku

pravokutnih trokuta kojima je jedna kateta za

1 cm kraća od hipotenuze, a druga je kateta

duga 3 cm. Kolike će biti dimenzije svake kriške?

80. U pravokutnom trokutu duljina jedne katete i

hipotenuze nalaze su u omjeru 5 : 13. Opseg

toga trokuta iznosi 90 m. Izračunaj duljine svih

triju stranica i površinu zadanoga trokuta.

81. Može li se nesklopiv kišobran dug 1.24 m

spremiti na dno kovčega pravokutnog oblika

duljine 120 cm i širine 45 cm?

82. Majin otac želi vrata ormara unijeti u sobu.

Vrata sobe visoka su 205 cm i široka 90 cm, a

krilo ormara visoko je 230 cm i široko 210 cm.

Hoće li moći unijeti krilo ormara kroz vrata sobe?

83. Dijagonala ekrana televizora je 58 cm, a susjedne

stranice ekrana odnose se u omjeru 4 : 4.2.

a) Kolike su dimenzija stranica ekrana?

b) Kolika je površina ekrana?

84. Opseg kvadratne kule je 50 m. Kolika je duljina

dijagonale kvadrata u njenom tlocrtu?

85. Kolika je površina osjenčanoga

kružnog vijenca:

Duljina stranice kvadrata je: a) 3 cm;

b) a cm.

86. Dvokrake ljestve su

razmaknute kao na slici:

Kolika je visina ljestava?

87. Ploča krova planinske kućice

duga je 8.5 m, a kućica je

sprijeda široka 6 m. Koliko je visoka kućica?

a) Procijeni njezinu visinu;

b) Izračunaj njezinu visinu.

88. Zadan je jednakokračni trokut s krakom b ,

osnovicom a i visinom v. Izračunaj element koji

nedostaje:

a) b = 13 cm; a = 10 cm;

b) b = 3 3 m; a = 2 6 m;

c) b = 17 cm; v = 7 cm;

d) b = 20 cm; v = 4 cm;

e) v = 4 cm; a = 4 cm;

f) a = 2 2 cm; v = 4 cm.

3

3

b)x

5

4

xa)

25

15

c)x

26

24

d) x

2120

e)x 16

12

f)x 2 2.9

g)

x 1h)

x

1

3

3

b)x

5

4

xa)

25

15

c)x

26

24

d) x

2120

e)x 16

12

f)x 2 2.9

g)

x 1h)

x

1

3

3

b)x

5

4

xa)

25

15

c)x

26

24

d) x

2120

e)x 16

12

f)x 2 2.9

g)

x 1h)

x

1

5 m5 m

2 m

5 m5 m

2 m

221


89. Duljina visine pravokutnog jednakokračnoga

trokuta je 9 cm.

a) Kolike su duljine njegovih stranica?

b) Koliki je opseg toga trokuta?

c) Kolika je površina toga trokuta?

90. Pravilni šesterokut ima stranicu duljine 8 cm.

a) Kolika je njegova površina?

b) Koliki su polumjer i površina njemu

upisanoga kruga?

91. Izračunaj površinu jednakostraničnoga trokuta

ako je:

a) njegova stranica 2 cm;

b) njegova visina 27 dm.

92. Izračunaj duljinu stranice, visinu i opseg

jednakostraničnoga trokuta ako mu je zadana

površina:

a) 25 3 cm2; b) 2 m2.

93. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu

dijagonale duge 24 dm i 32 dm.

94. Površina romba je 216 cm2. Kolika je duljina

stranice ako je jedna dijagonala duga 18 cm?

95. Kut među stranicama romba je 60º. Kolike su

duljine dijagonala ako su stranice duge 2 dm?

96. Koliki je opseg jednakokračnoga trapeza s

osnovicama dugim 149 mm i 37 mm te visinom

90 mm? Nacrtaj skicu.

97. Površina jednakokračnoga trapeza je 64 cm2, a

osnovice su duge 20 cm i 12 cm. Koliki je opseg

toga trapeza?

98. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu

162 mm i visinu dugu 85 mm. Dijagonala

toga trapeza iznosi 157 mm. Izračunaj opseg i

površinu trapeza.


1 cm. Duljina dužine AB je 5 cm. Odredi duljinu


zadane dužine ako su točke A i B:




a) Prepoznaj sva tijela sa slike i napiši njihova

imena;





f) Koja tijela imaju dvije, koja jednu, a koja

nijednu bazu?

101. Skiciraj:

a) kocku; b) kvadar;

c) pravilnu četverostranu piramidu;

d) valjak; e) stožac.

102. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale i

duljine svih plošnih dijagonala kvadra ako su

zadane duljine njegovih bridova: 6 cm, 8 cm,

10 cm. Izračunaj oplošje i obujam toga kvadra.

103. Može li kišobran duljine 70 cm stati u kovčeg

dug 55 cm, širok 40 cm i visok 15 cm? Objasni

svoj odgovor.

104. Može li štap duljine 4 m stati u sobu dimenzija

2.5 m . 3 m . 3 m?

105. Može li štap duljine 3.5 dm stati u kutiju oblika

kocke kojoj je plošna dijagonala duga 2 2 dm?

106. Duljina osnovnog brida kocke je 5 cm.

Izračunaj duljine plošne i prostorne dijagonale.

Izračunaj oplošje i obujam te kocke.

107. Može li limar od pravokutnoga komada lima

dimenzija 1 m . 1.5 m načiniti limenu kocku s

bridom 45 cm?

108. Izračunaj oplošje i obujam pravilne trostrane

prizme s osnovnim bridom duljine 2 cm i

visinom 6 cm.

222


109. Baza trostrane prizme je jednakokračni trokut

s kracima dugim 5 cm i osnovicom 4 cm. Dvije

strane ove prizme su kvadrati. Izračunaj oplošje

i obujam ove prizme.

110. Stup od gipsa ima oblik pravilnoga

šesterokuta. Kolika je njegova visina ako je

za njega utrošeno 8 l mase gipsa, a duljina

osnovnog brida je 8 cm?


18 3 cm2, a površina pobočja iznosi

10 3 cm2. Izračunaj obujam te prizme.

112. Za svaku zlatnu polugu kao na slici utroši se

500 cm3 zlata. Baza poluge je jednakokračni

trapez s osnovicama dugim 8 cm i 7 cm te

kracima od 7 cm.

a) Kolika je duljina svake zlatne poluge?


zlata 19.3 g/cm3?

113. Tvornica čokolade poznata je po svojim

ne običnim pakovanjima

čokolade.

a) Izračunaj koliko se cm3 čokolade može

upakirati u ovaj omot ako znamo da 25%

obujma ovoga tijela odlazi na prazninu koja se


b) Koliko je cm2 kartona potrebno za pakiranje?

114. Tijelo je sastavljeno iz spojenog valjka i stošca.

Polumjer valjka iznosi 3 cm. Visine obaju tijela

su jednake i iznose 5 cm. Izračunaj volumen

toga tijela.

115. Izračunaj oplošje i obujam valjka koji nastaje

rotacijom pravokutnika sa stranicama

a= 4 cm i b= 6 cm oko:

a) kraće stranice; b) dulje stranice.

116. Izračunaj obujam i oplošje stošca koji nastaje

rotacijom pravokutnoga trokuta s katetama

a = 3 cm i b = 4 cm oko:

a) kraće katete; b) dulje katete.

117. Izračunaj obujam, oplošje i masu kugle

polumjera 1 dm napravljene od:

a) zlata (gustoća 19.3 kg/dm3)

b) kvarcnoga stakla (gustoća 2.2 kg/dm3).

118. Osnovni brid piramide ima duljinu 3 cm, a

duljina visine je 5 cm. Koliki je obujam:

a) pravilne trostrane piramide;

b) pravilne četverostrane piramide;

c) pravilne šesterostrane piramide.

119. Oplošje pravilne četverostrane piramide je

O = 96 cm2, a površina pobočja je P = 60 cm2.

Koliki je njezin obujam?

120. Krov crkvenoga tornja ima oblik pravilne

šesterostrane piramide. Osnovni brid je 3 m, a

bočni 6.8 m. Krov treba prekriti limom. Koliko

stoji utrošeni materijal ako se računa s 5%

otpada, a cijena 1 m2 lima je 500 kn?

121. Krov ima oblik stošca. Opseg baze krova

je 25.12 m, a izvodnica 6 m. Koliko lima je

potrebno za prekrivanje toga krova? Koliko stoji

utrošeni materijal ako se računa sa 7% otpada, a

cijena 1 m2 lima je 500 kn?

122. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj osnosimetričnu

sliku

123. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj centralno-

simetričnu sliku

124. Precrtaj u bilježnicu pa translatiraj nactrani lik

3 cm

2 cm2 cm16 cm

1 cm

EA

B

D

C

EA

B

D

C

S

EA

B

D

C

H

I

223


125. Precrtaj u bilježnicu pa rotiraj nacrtani lik za

60° u pozitivnom smjeru.

126. Koja od ovih slika prikazuje likove preslikane

osnom simetrijom?

127. Poredaj gradove prema izmjerenim temperatu-

rama tako da počneš od najtoplijeg grada.

Atena 14.4 °C, Berlin 6.4 °C, Moskva −20.4 °C,

Oslo −11.4 °C, Pariz −3.8 °C, Prag −5.4 °C,

Rim 16.5 °C, Beč 0 °C, Zagreb 2.5 °C,

Bern −4.6 °C, London −5.9 °C, Madrid 9.4 °C,

Kopenhagen −12.8 °C, Haag 2.6 °C,

Helsinki −17.2 °C.

128. Izračunaj:

a) −2.5 + 3.67 = b) −45.98 −23.45 =

c) −12.3 −5.99 = d) 8.79 −8.67 =

e) − −23

2 2. = f) 16

4 25+ . =

g) − −6.527

= h) 0.8 + 511

=

129. Koliko je metara

a) 125

km; b) 3 cm; c) 3

10dm; d) 234 mm?

130. Koliko je grama: a) 34

kg; b) 1325

kg?

131. Koliko je minuta: a) 12

sata; b) 16

sata?

132. Izračunaj:

a) 5

12⋅ 615

= b) 7

144221

⋅ −

=

c) − ⋅ −

1744

5534

= d) 5

1005020

⋅ −−

=

133. Odaberi jednostavniji način rješavanja:

a) − ⋅

72

103

+45

= b) 5 ⋅ −

710

910

=

c) 34

49

43

⋅ +

= d) − ⋅ −

7

1121

914

=

134. Izračunaj:

a) 13 −(−4) ⋅ 3 = b) 6 + 30 : (−6) =

c) −18 : 3 + (−28) : (−7) = d) −6 −55 : 5 + 11=

e) 5 −(−8) ⋅ (−3) =

135. Izračunaj:

a)

4 5 332

2 8 7 3 514

− − + − + ⋅ − − +

. ( ) . =

b) 3.6 −[−7.5 −(−12 −5) ⋅ (−2)] ⋅ (−2) =

c) −[−64 : (−16 + 8) −9.9] =

d) −15.45 + 4 ⋅ {1.6 −14:[16 −3 ⋅ (−9 + 12)]} =

136. Riješi jednadžbe:

a) 7y + y = 64;

b) x −6x −1 = 2x + 5x + 11;

c) 2.5y = 4y + 86.4;

d) 10 −30y −150 = −200y + 20y + 500;

e) 13

532

x + = ;

f) x x6

12

2 5 12

23

− − = − −. ;

g) 4x −114 −(6x −120) −(8x −74)=0;

h) 12(0.44 −2x) = −2.88;

i) 2 1

53 2

42 5

21

103720

x x x x+ + − = − − + − ;

j) 1023

4 6 1 6x x+

− −( ) = .

EA

B

D

C S

A

CB

D

A

CB

D

A

CB

D

224


137. Lukina baka šest je puta starija od njega. Baka

i Luka zajedno imaju 77 godina. Koliko godina

ima svaki od njih?

138. Dva para cipela stoje 680.98 kn. Jedan par

stoji 99.12 kn više nego drugi. Koliko stoji svaki

par cipela?

139. U 6.b razredu ima 28 učenika. Djevojčica ima

za 2 manje nego dječaka. Koliko je djevojčica, a

koliko dječaka u tom razredu?

140. Nacrtaj rješenja ovih sustava u koordinatnom

sustavu u ravnini, spoji ih i dobit ćeš jedan lik.

A 12

13

1x y+ = − ; x + y = –5;

B 15

2 7x y+ = ; 2x +

13 y = 11;

C 0.2x + 0.3y = –0.7; 1.3x + 2.2y = –5.3;

D x – y = 0; 12

23

56

x y− = − ;

E 3x + 2y – 4x –9 = 5 – 2y ; 5y – 4x = 23;

F y – x = 2; x + y = 14.

G 2(x –3) + y = 25; 3x –2(y + 2) = 32;

H 17

15

2x y+ = ; x – y = 2;

I x y x y+ = − −

28

23 3

; x + 2y = 5;

J 3x – 5y = 6; –2x + 3y = –5;

K x + y = –1; 12

13

1x y+ = .

141. Riješi sustave metodom po želji

a) 2x −3y = 5

4x + 5y = −1;

b) x + y = 13

2x −y = 12.5;

c) 4x −7y = 83

3x + 0.5y −2 = −y;

d) 2(3x + y) + 2 −3(x + 5y) = −9

3(x −7y) + 33 −2(5x −9y) = −8;

142. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s vrhovima

A(−3, −2), B(0, −4), C(3, 4). Kojoj vrsti pripada

taj trokut s obzirom na duljine stranica? Nađi

njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os y.

143. Najkraća udaljenost od grada A do grada B na

karti je 12 cm. Kolika je ta udaljenost u km ako

je karta izrađena u mjerilu 1 : 1 000 000?

144. Dva radnika, Damir i Josip, zajedno su radili

jedan posao. Damir je radio 12 dana, a Josip 15

dana. Zajedno su zaradili 1350 kn. Kako će ih

pravedno podijeliti?

145. Automobil za 3 sata i 15 min prijeđe

211.25 km. Koliki put prijeđe tom brzinom

za 2 sata i 45 minuta?

146. Luka je za 15.50 kn kupio 40 dag oraha.

a) Koliko oraha može kupiti za 24.80 kn?

b) Ako želi kupiti 120 dag oraha, koliko će to platiti?

147. Što je povoljnije, 5 kg jabuka za 17.50 kn ili

7 kg jabuka za 23.80 kn?

148. Sat u toku 12 sati kasni 3 min i 20 sek. Koliko

će kasniti u 9 dana?

149. 6 radnika očisti dno jezera za 30 dana. Koliko

bi radnika trebalo raditi da dno jezera bude

očišćeno za 18 dana (pretpostavimo da je

učinak svih radnika jednak)?

150. Odredi koliko je 5 % od 12346.

151. Odredi broj od kojeg 12 % iznosi 187.2.

152. Breskve stoje 86 kn. Koliko će stajati nakon

pojeftinjenja od 14 % ?

153. Jagode nakon poskupljenja stoje od 9 %

109 kn. Koliko su stajale prije?

154. U banku je uloženo 7200 kn. Uz koliku

će se kamatnu stopu za 40 mjeseci dobiti

1440 kn kamata ako se radi o jednostavnom

ukamaćivanju?

155. Koliku svotu treba vratiti klijent banke koji

želi kredit od 800 000 kn po kamatnoj stopi

4.5 % ako je vrijeme otplate kredita 250

mjeseci? Kolika je mjesečna rata toga klijenta

(jednostavni kamatni račun)?

156. Prikaži podatke o temperaturama zraka u

obliku stupčastog dijagrama.

Srednja temperatura zraka u Ogulinu(°C)I II III IV V VI

−12 −11 −9 −4 3 11

Srednja temperatura zraka u Ogulinu(°C)VII VIII IX X XI XII 21 28 28 18 1 −8

a) Izračunaj srednju temperaturu za

tu godinu.

b) U kojem je mjesecu temperatura najniža,

u kojem najviša, a u kojem najbliža

srednjoj?

c) Kolika je razlika u temperaturi između

najtoplijeg i najhladnijeg mjeseca

te godine?

225


226


157. Trokuti ∆ABC i ∆A B C' ' ' su slični. Izračunaj

nepoznate duljine stranica ako je:

a) a = 1.2 cm, b’ = 4.6 cm, c = 4.2 cm i a : a’ = 1 : 2;

b) a’ = 28 mm, b = 25 mm, c’ = 16 mm i c = 2 cm;

c) bb' = 5

3 i b’ = 2.5 cm, a = 2.4 cm, c’ = 3.5 cm.

158. Sjena bora duga je 5.1 m. U isto vrijeme sjena

štapa duga je 1.7 m. Koliko je visok bor ako je

duljina štapa 2 m?

159. 2.4 kg krušaka i 3.2 kg banana treba platiti

38.4 kn. 5.1 kg krušaka i 2.7 kg banana

treba platiti 69.3 kn. Kolika je cijena jednoga

kilograma krušaka, a kolika jednoga kilograma

banana?

160. Koliko treba uzeti 22-postotnog srebra, a

koliko 34-postotnog srebra da bi se dobilo

150 grama 30-postotnog srebra?

161. Nacrtaj grafove linearnih funkcija:

a) f(x) = 2x + 1; b) f(x) = 12

3x −162. Prepiši u bilježnicu pa ispuni tablicu:

163. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije

f x( ) = 34

1x − :

A(4, 2), B(−4, 4), C(12

, 58

), D( − 23

,−1.5).

164. Izračunaj vrijednosti linearnih funkcija, a zatim

ih prikaži grafički. Tablice prepiši u bilježnicu.

a) f(x) = 3x + 1; b) f(x) = −x −2.5;

x f(x)−3−2023

c) f x x( ) = −12

10 ;

x f(x)−10−234

14

165. Izračunaj nepoznatu duljinu dužine sa

skice (sve su mjere izražene istom mjernom

jedinicom).

a) b)

c)

166. Postoji li mnogokut koji ima 20 dijagonala?

167. Koliki je zbroj svih unutarnjih kutova u

dvadeseterokutu? Koliko dijagonala ima taj

mnogokut? Koliki mu je opseg ako je duljina

jedne stranice 7 cm?

168. Koliko vrhova, stranica i kutova ima mnogokut

kojemu je zbroj svih unutarnjih kutova 4140°?

169. Koliko vrhova ima pravilni mnogokut kojem je

veličina središnjega kuta 20°?

170. Konstruiraj pravilni osmerokut upisan u

kružnicu polumjera r = 5 cm.

171. U posudi se nalazi 10 plavih kuglica, 10

zelenih, 4 zlatne i 1 bijela. Ana i Luka igraju se

tako da naizmjence izvlače po jednu kuglicu i

vraćaju je natrag u kutiju. Promatramo koja je

kuglica izvučena u bilo kojem izvlačenju. Koliko

ima elementarnih događaja?

Odredi vjerojatnost da je izvučena:

a) plava kuglica; b) bijela kuglica;

c) zelena kuglica; d) zlatna kuglica.

172. Ana baca kockicu iz igre ”Čovječe ne ljuti se”.

a) Kolika je vjerojatnost da je pala šestica?

b) Kolika je vjerojatnost da je pao broj manji od 3?

c) Kolika je vjerojatnost da je pao broj veći od 3

ili jednak 3?

jednadžba pravca a b rast ili pad

sjecište s osi ordinata nul-točka

y = 3x + 5y = -7x −11y = −4.6x + 1.5

y x= +34

2 6.

x f(x)−10−52

1030

x

36

7

11

a)

d)c)

b)

14

21

x

6

5

x

y

2 3

4

5

20

x

2 x

36

7

11

a)

d)c)

b)

14

21

x

6

5

x

y

2 3

4

5

20

x

2

x

36

7

11

a)

d)c)

b)

14

21

x

6

5

x

y

2 3

4

5

20

x

2

227


1. Anina mama imala je na računu −230 kuna.

Podigla je na bankomatu 500 kuna, a nakon

toga joj je uplaćena plaća od 3760 kuna. Je

li sada Anina mama u plusu ili u minusu?

Kakvo je točno stanje na njezinu računu?

2. Izračunaj:

a) 12 + 3 · (−5) −(−7); b) (−12 −6) : (−5 + 8).

3. Izračunaj:

a) 43

312

+ ; b) 45

2 4: . ;

c) 232

23

67

+ ⋅ −

; d)

116

73

65

1715

+ −

: .

4. Riješi jednadžbe: a) 34

0 412

x x+ =. ;

b) 2 7 5 3 3x x x− +( ) = ⋅ −( ) .

5. Riješi sustav jednadžbi:

3 2 0

2 3

x y

y x

− − == − +

6. Matijina je baka pet puta starija od njega.

Baka i Matija zajedno imaju 72 godine.

Koliko godina ima svaki od njih?


vrhovima A(−1, 0), B(2, −2), C(5, 6). Kojoj

vrsti pripada taj trokut s obzirom na duljine

stranica? Nađi njegovu osnosimetričnu sliku

s obzirom na os y.

8. Izračunaj:

a) −( ) −

332

22

; b) 10 10 10

10 10

5 4

7 9

⋅ ⋅⋅

−

− .

9. Koliko je 3 2 12a a− + ako je a = −3?

10. Izračunaj:

a) 2 12

x −( ) ; b) 5 4 5 4x x−( ) ⋅ +( ) ;

c) 3 1 4a a−( ) ⋅ −( ) ; d) x x x2 1 1− −( ) +( ) .

11. Izračunaj:

a) 5 32( ) ; b)

15 10

6

⋅;

c) 3 4 8 9 50+ − + .

12. Katete pravokutnoga trokuta duge su 6 cm i

8 cm. Izračunaj opseg i površinu toga trokuta.

13. Skiciraj prostoručno:

a) trapez; b) tupokutan trokut;

c) kvadar; d) stožac.


četverostrane prizme s osnovnim bridom

duljine 2 cm i visinom 0.6 dm.

15. Izračunaj x sa slike:

a) b)

c)

16. Cijena cipela bila je 329 kuna. Cijena

je snižena 15%. Kolika je cijena nakon

sniženja?

17. Konstruiraj trokut ∆ABC sa stranicama

dugim 4.5 cm, 3 cm i 5 cm.

a) Konstruiraj tom trokutu opisanu

kružnicu;

b) Konstruiraj točku O u kojoj se sijeku sve

tri visine toga trokuta (ortocentar).

Primjerak inicijalnog testa u 1. razredu srednje škole

(test za 90 min. pisanja)

x

36

7

11

a)

d)c)

b)

14

21

x

6

5

x

y

2 3

4

5

20

x

2x

36

7

11

a)

d)c)

b)

14

21

x

6

5

x

y

2 3

4

5

20

x

2

x

36

7

11

a)

d)c)

b)

14

21

x

6

5

x

y

2 3

4

5

20

x

2

228

R j e š e n j a

4.0. Uvod

1.

A B

2. Simetrala dužine je pravac koji je okomit na tu dužinu i raspolavlja ju.3.

B

A

C

4. a) b)

60° 30°

c) d)

VV

4. Preslikavanja ravnine

4.1. Osna simetrija

1. a) b) c)

S

S’

S’ S

S’

S

d) e)

S = S’

S’

S

2.

S

A1

Ao p

3. a) b) c)

d) e)

4. a) b)

A A1

B B1

DD1

C

k

C1

c) e)

F F1

E E1

L

o

K

L1

K1

6. a) b)

A

pB1

A1

B

A

p

B1

A1

B

c)

Ap

B1

A1

B

7. a) b)

Mp

N1

M1

O

O1

NU1

U

T1

T

S1

S

c)

C1

V1B1

C

V B

8. a) b)

MpM1

O

O’

N

N’

R

qP

A

R’

A’

P1

c)

C1

V1

C

V Bs

9. a) b)

Mp

M1

ON

O’N’

R

qP

A

P1

R1

A1

c)

C

V Bs10. a) b)

C

BA

A1

C1

B1

C

B

A

A1

C1

B1

11.

F F1

D1E1

D E

p

12. a) b)

A

A’

B

B’

C

C’

D

D’

G H

IJ

G’

H’ I’

J’

c) d)

N

N’L

L’M

M’

K

K’

O’

O

U T

U’ T’

SS’

13. a) b)

A

p

BB1

C1

D1

A1

CD

p

A B

CD

A1

B1 C1

D1

c) d)

A B B1

C1 D1

A1

CD

Ap B

B1

C1

D1A1

CD

14. a) b)

c) d)

15. 16.

A = A1

a1

a

p60°

B

B1

a1

a

p

17.

A1A

B1

C = C1

B

19. a) b)

A1

AC

p

B

A1

A

p

B

229

R j e š e n j a

c)

A1A

p

20. Dovoljno je konstruirati simetralu dužine kojoj su krajnje točke dvije osnosimetrične točke.

A1

B1B

s

A

A1

C

C = C1

B1

Bs A

A1

C

C1

B1

Bs A

21.

B

C

OS

α βNcA

22. Točka S jednako udaljena od tri nekolinearne točke A, B i C je središte opisane kružnice trokutu ∆ABC .23. Svaki paralelogram nije osnosimetričan lik. Međutim kvadrat, pravokutnik i romb su osnosimetrični likovi. 24.

25. a) Jednu os simetrije imaju primjerice jednakokračni trokut, jednakokračni trapez, dužina, deltoid, … b) dvije osi simetrije ima primjerice pravokutnik; c) četiri osi simetrije ima kvadrat;26. Jeste:

s

27. Romb je osnosimetričan lik.

A B

CD

29.a)

2 4 6–2 00

–2

–4

–6

A

A1

B1

C1

B

C

–8

2

4

6

8

–4–6

b)

2 4 6–2 00

–2

–4

–6

A A1

B1

C1

B

C

–8

2

–4–6

30.

2 4 6 8–20

–4

–6

A A’1

B’1

C’1

A’

B’

C’

BC

–8

2

4

6

8

–4–6

31. Kvadrat.

2 6 8–2 00

–2

–4

–6

A

A’1

B’1

D’1

D’D’

C’1

A’

B’

C’

B

C2

4

6

–4–6

32.

2 4–2 0

0

–2

A

A1

B1

p

B

2

4

–4–6

33. AB AB= 1 2

2 4 6 800

–2

A

A1

B1

p

B

2

4

34. a) Postoji, to su sve točke koje se nalaze na osi x; b) postoji, to su sve točke koje se nalaze na osi y.35. y’ = –2x –1, 36. y’ = –2x +1,

1

6

0

–2

yy’

2

4

10

–2

y

y’

2

4

–4

4.2. Centralna simetrija

1.

S

D

D1

C1

C

S

D

D1

C1

C

S

D

D1 C1

C

SD

D1

C1

C

S

D

D1

C1

C2.

SB

B1

A1A

S

B

B1

A1

A

S

BB1 A1A

3. Duljine novih dužina su jednake duljinama zadanih dužina.

T

B

B1

A1AT

B

B1

A1

A

T

B

B1 A1

A

T

B

B1

A1

A

5. a) b)

S

B

C

C’

B’

A’

A SB

C

C’

B’

A’A

c) 6. a)

S

B

CC’

B’A’

A

S

B

C

C’

B’

A’

A

b) c)

S B

C

C’

B’A’

A

S B

C

C’

B’

A’

A

7. a) b)

S B

C

C’

B’

A’A

S B

C

C’

B’A’

A

230

R j e š e n j a

c)

SB

C

C’

B’A’

A

d) e)

SB

C

C’

B’ A’

AS

B

C

C’

B’

A’

A8. a) 9.

M M1

L1 K1

K L

M

E1

F

F1

D1

D E

10. a)

B’ A’

C’ D’

SD C

A B

b) c)

SD C

A B

B’ A’

C’ D’

SD = B’ C = A’

A = C’ B = D’

d)

S

D C

AB

B’A’

C’ D’

11.a) b)

S

D C

A B

B’ A’

C’ D’

S

D C

A BB’ A’

C’ D’

c) d)

S

D C

A B

B’A’

C’ D’

D = B’ C = A’

A = C’ B = D’

e)

SD

C

A B

B’ A’

C’

D’

12.a) b)

S

D C

A B

B’ A’

C’ D’

S

D C

A B

B’ A’

C’ D’

c) d)

S

D = B’ C = A’

A = C’ B = D’

S

D C

A B

B’ A’

C’ D’

e)

S

D C

A

B

B’

A’

C’ D’

13. a) b)

D C

A B

B1 A1

D1C1

S S

D C

A B

B1A1

D1C1

c) d)

B1

A1

D1C1

S

D C

AB

B1A1

D1C1

S

D C

A B

14. a) b)

AA1

S A A1S

c)

AA1

S

15. a)

A A1S

b)

A A1S

16.

A

A1

B1

B

SE1

G1

G

F1

F

E

S

I1

I J1

J

K1

KL1

LS

17. Simetralom dužine odredimo polovište dužine AA1 koji je središte S simetrije. Nakon toga odrede osnosimetrične točke točkama B i C.

A1

A

C1

C

B1

B

S

18. Svi likovi sa slike su centralnosimetrični likovi osim peterokuta.

19. Treba osjenčati najmanje 4 kvadratića.

P

R

S1 R1

P1

V1

V

S

20. Slova N i Z.

21.

SSSS

22. Jednakostraničan trokut, pravilni peterokut i ostali pravilni mnogokuti s neparnim brojem vrhova nisu centralnosimetrični likovi, dok je svaki pravilni mnogokut s parnim brojem vrhova centralnosimetričan lik s obzirom na središte opisane (i upisane) kružnice. 23. Pogledaj rješenje zadatka 22.24. Da.25. a)

4 6–2 0

0

–2

–4

–6

A

A1

B1

C1

B

CS

–8

2

4

6

8

–4–6

b)

2 4 6–2 00

–2

–4

–6

A

A1

B1

C1

B

C

S

–8

2

4

6

8

10

12

14

–4–6

26. Os simetrije je koordinatno ishodište:

2 4–2 0

0

–2

–4A

A1

B1

C1

B

C

S

2

4

–4

Os simetrije je točka A(-1,-2):

2 4–2 00

–2

–4A

A1

B1

C1

B

C

S

2

–4–6

–6

231

R j e š e n j a

27. Taj četverokut je kvadrat.

2 4 6–2 00

–2

–4

–6

A

A1

B1

D1

D

C1

B

C2

4

–4–6

S

28. a) b)

S S

c) d)

SS

29. a) Os x je centralnosimetrična u odnosu na ishodište; b) centralno je simetrična i u odnosu na točku (–1, 0); c) nije centralnosimetrična u odnosu na točku (0, 1).30. a) Os x je osnosimetrična s obzirom na os y; b) os x nije osnosimetrična s obzirom na pravac y = x.

4.3. Rotacija

1.

C = C1B

A

A’B’

2. a)

S

M’

N’M N

b)

S

M’

N’MN

c) d)

S

M’

N’

MN

S

M’

N’

M N

e)

SM’

N’

M

N

f)

S

M’

N’

M

N

3.

S

B’

B

A’

A

S

B’

B

A’

A

S

B’

B

A’

A

5. 6.

S

A’

R’

R J’

J

A

A’

A

L’

E’

E

L

7.

O = O’SS’

A

B

A’

B’

8. a) b)

SA

C

C’B

A’

B’

SA

CC’

B

A’

B’

c)

S

A

C

C’B

A’

B’

9.

S

A

C

C’B

A’

B’

10. a) b)

α βA

C = C’

B

A’

B’

α β

A

C = C’

B

A’

B’c) d)

α βA

C = C’

B

A’

B’

α βA

C = C’

B

A’

B’

e)

α βA

C = C’

BA’

B’

11.

A

C = C’

B A’

B’

13. a) b)

A

S

B

A’

B’A

S

BA’

B’

c) d)

A

S

BA’

B’

A

S

B

A’

B’ e)

A

S

B

A’B’ f) Isto kao zadatak e).

14.

A

S

B

CC’

D

D’

A’

B’

15.

S

S’

O120°

16. a) Za godinu dana Zemlja se okrene oko Sunca za 360°;

232

R j e š e n j a

b) u jednom danu Zemlja se također okrene za 360° ali oko svoje zamišljene osi (pravac koji prolazi kroz Sjeverni i Južni pol). 17. a) Hoće, oko vrha A za 75°; b) Hoće, oko vrha B za 120°;

a) b)

AB

75°120°

c) Neće jer plavi i crveni trokuti nisu sukladni; d) Hoće, oko točke S koja je sjecište simetrala dužina AA BB CC', ' ' i za kut 75°.

A

A’

SC C’

B

B’

75°

c) d)

18. a) za 90°; b) za 180°; c) za 270°; 19. Pri rotaciji jednakostraničnog trokuta oko središta opisane kružnice za a) 120°, b) 240° c) 360°

jednakostraničan trokut se poklopi sa svojom slikom.20.

B = C’A = B’

C = D’D = A’

270°

21. Pravilni šesterokut će se preslikati sam na sebe pri rotaciji oko središta opisane kružnice za kut 60°, 120°, 180°, 240°, 300° i 360°.

A1A2

A4

S

A5

A6

A3

22. Pravilni peterokut će se preslikati sam na sebe pri rotaciji oko središta opisane mu kružnice za kut 72°, 144°, 216°, 288° i 360°.

4.4 Vektori

1. KL� ��

L

K

p2. BA� ��

ABa

3.

A

BCD

Q

R

L

M

P

G

4. Udaljenost početne i završne točke.5. a) AB = 3 cm, PQ = 4 cm, LK = 5 cm

GH = 2 cm i EF = 4 cm.

b) PQ� ��

i EF� ��

; c) AB LK GH� ��

, , .6. a) Šest vektora: AB BC AC BA CB CA

� �� , , , , , ;

7. za vektore koji pripadaju istom ili

usporednim pravcima.8. a) Ne; b) da; c) ne; d) da.9. a) Istog smjera; b) Jednaka orijentacija i suprotna orijentacija.10. Međusobno jednakih orijentacija su vektor AB EF GH� ��

, i . Isto tako vektori DC� ��

i PR� ��

su jednakih orijentacija.11. AB BA BC CB CD DC AD DA AC� ��

, , , , , , , ,��

, ,CA BD DB i AB BA BC CB CD DC AD DA AC

� �� , , , , , , , ,

�� , ,CA BD DB i .

a) DC� ��

i CD� ��

; b) DC� ��

; c) ; d) BC

� ��.

12. a) BA AE EA EB BE DC CD DG GD� ��

, , , , , , , , ,, ,GC CG� ��

; b) CB BF FB FC CF AD DA AH HA

� �� , , , , , , , , ,, ,HD DH

� �� ;

c) FE HG GH� ��

, , ; d) HE GF FG� ��

, , .13. a) AE EB DC DG GC

� �� , , , , ;

b) BF FC AD AH HD� ��

, , , , ; c) nijedan; d) FB CF DA HA DH

� �� , , , , ; e) HG

� ��; g) FG

� ��.

14.a) DC� ��

; b) BA� ��

; c) SC AC� ��

i ; d) DS DB

� �� i ; e) SA CA

� �� i ; g) BS DB

� �� i .

15. Zapadnjak (pulenat) i istočnjak (levant); bura i lebić; sjevernjak (tramuntana) i pravo jugo (oštro); maestral i jugo (šiloko).16. Ako imaju jednaku duljinu, te isti smjer i jednaku orijentaciju.17. Imaju jednaku duljinu i isti smjer. Različita im je orijentacija, naime suprotne su orijentacije.18. Međusobno jednaki vektori su: AB EF GH

� �� , i .

Vektor PR� ��

suprotan je vektorima AB EF GH� ��

, i .19.

A B

CD

20. Vektori AB BA� ��

i . To su dva međusobno suprotna vektora, tj. AB BA

� �� = − .

21. a) AE� ��

= – EA� ��

; b) − =EF� ��

FE� ��

; c) FG

� �� = – GF

� ��; d) − =CF

� ��FC� ��

22. a) Jesu jer imaju jednaku duljinu, isti smjer i jednaku orijentaciju. b) Nisu jer imaju suprotnu orijentaciju. c) AB

� ��= − DE

� ��

d) Nisu jer imaju suprotnu orijentaciju. e) BC

� ��= − EF� ��

.23. Jesu.24.

A B

C

E

GD

FH

a) S vektorom AE� ��

jednaki su vektori EB DG GC� ��

, i ; b) vektoru EF

� �� jednak je vektor HG

� ��;

c) vektoru FG� ��

jednak je vektor EH� ��

; d) s vektorom CF

� �� jednaki su vektori

FB DH HA� ��

, i .25.

a) AB BA BC CB CD DC AD DA AC

� �� , , , , , , , ,

�� , ,CA BD DB i

AB BA BC CB CD DC AD DA AC� ��

, , , , , , , ,��

, ,CA BD DB i . b) Međusobno jednaki vektori su: AB DC BC AD BA CD CB DA� ��

i i i i , , ,��

. Suprotni su međusobno vektori:

AB BA AB CD DC CD DC BA� ��

i i i i , , ,��

, , , ,BC CB BC DA AD DA AD i i i i CB� ��

AB BA AB CD DC CD DC BA� ��

i i i i , , ,��

, , , ,BC CB BC DA AD DA AD i i i i CB� ��

.26. a) AS SA SC CS DS SD SB BS

� �� , , , , , , i ;

b) AS SC CS SA DS SB BS SB� ��

= = = =, , , .

AB

CD

S

4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora

1. Kao u Primjeru 1. a)2. Primjerice

A B C D E F G H

3. Kao u Primjeru 1. b)4. Primjerice:

A B

A BA B C D

5.

M N

Q

3 cm

5 cm

O

a) Paralelogram; b) Uvijek ćemo dobiti paralelogram.6.

A

B

C

F

D

G

E

H

7. a) BC� ��

; b) DF� ��

; c) LK� ��

; d) ON� ��

; e) IG��

.8. a) b)

A

B C

AB + BC

A

B

C

AB + BC

c) d)

A B

CD

AB + BC

AB

C DAB + BC

9.

3 cm

6 cmN = P Q

M10. a) F1

��; b) F2

��; c) F2

��; d) F3

��; e) F2

��.

11. a)

F1F

F2

F’2

12. a) b)

F1

FF2

F’2

F1F

F2

F’2

T

c) d)

F1

F

F2

F’2

A1

F1F

F2

F’2

W13. a) b)

F1

FF2

F’1

120°F1

F

F2

F’1

30°

BC CB DA� ��

, i

BD� ��

233

R j e š e n j a

c) d)

F1

FF2

F’1

90°F1

F

F2 F’1

14. Zbroj sila ovisi o kutu pod kojim djeluju te sile. Što je kut manji rezultantna sila je veća. Najveća je kada sile djeluju pod kutom od 0° (tj. kada su vektori sila F1 i F2 istog smjera). 15. Rezultantna sila iznosi a) 50 N; b) 0 N. Prokomentiraj oba slučaja! 16. a) AC

� ��; b) AB

� ��; c) 0��

; d) SD� ��

; e) SC� ��

; f) AB� ��

.17. a) AC CA

� �� + = 0 ; b) MN NM

� �� + = 0 ;

c) PQ QP� ��

+ = 0 ; d) KL LK� ��

+ = 0 .19. a) b)

A

BC’ C

AB – BC

A

B

C

C’AB – BC

c) d)

A B

C’

CD

AB – BC

AB

C’

C D

AB – BC

20. a) b)

A

B

C’

C

BA – AC J

K

K’

L

LJ – JK

c) d)

N

MM’

O

MN – OM I

H

G

G’

HI – IG

22. N

K

M

L a) b)

MN – KL

N’ K’

M’ = L’KL – MN

L’ = N’ K’

M’23. a) b) c)

AB – CB

AB

C

CA – BA

AB

C

BC – ACA

B

C

24. a) b) c)

AT – BT = ABA

B

TD E

F C

AE – BE = ABA

B

TD E

F C

BD – CD = BCA

B

TD E

F C

a) b) c) CF – AF = CA

A

B

TD E

F C

BT – CT = BCA

B

TD E

F C

CT – AT = CAA

B

TD E

F C

4.6. Translacija

1. Pogledaj Primjer 1.2. Pogledaj Primjer 2.3. Pogledaj Primjer 3.4. Ap

BB’

C

5. Točka S translacijom za vektor SA� ��

preslikala se u točku A.

A

p

p’

q

q’

S

6. 7. A B

S S’

A B

D C

D’ C’

A’

B’S

8.

AM

N

B

C

C’

A’B’

S

S’

9.

A

B 45° 60° C

C’

A’

B’10.

A B

C

C’

S = A’

B’

11.

A120°

B C

C’

D = A’

B’

12.

A

C C’

B = A’ B’13.

A

B

16.

A

A’ B’

B

C

C’

D

D’

17.

SS’

18.

MN

–MN

C’

A’ B’

D’

A B

CD

19.

2 4–2 00

–2

A

A’

DD’

B

B’

C

C’

2

4

6

–4

20.

2 4 6 8 1000

–2

–4

–6

A

CI

I’ (7, 1)C’ (4, 2)T’ (2, 1)

L’ (10, –4)K’ (5, –4)

A’ (1, –6)

V’ (–1, –1)

T

V

K L

O

2

4

6

–4–6

21.

2 4 6–2 00

–2

–4

–6

A

A’

N

va

v’a

N’

B

L

B’

C

C’

2

4

a BC B C a= = = =' ' ' 4 ; v va a= ='' 3

P P= =⋅

='4 3

26 jed. kv.

c AB v BNa= = + = + = ⋅ =2 29 9 2 9 3 2

b AC v CNa= = + = + =2 29 1 10

b b c c= =', ' , stoga je i o o= = + +' 4 3 2 10 .22.

2 4 6–2 00

A’

AB’

2

4

Duljina vektora translacije AA '� ��

jednaka je

AA ' = + = =3 6 45 3 52 2 .23.

A’

A’’

A

B’

B’’

B

234

R j e š e n j a

24.

E S

60°

60°C

p

D

E’

E’’

C’C’’

D’

D’’

25.

CD

A B

A’’ B’’

B’ A’26.

D C

A B

B’

C’

D’

A’60°

27.

A Jednakostranični trokut

će se preslikati na sebe samoga, sve dobivene slike čine pravilni šesterokut.

4.7. Ponavljanje


1. Osna simetrija, centralna simetrija, rotacija, translacija.2. Likovi se praslikavaju u sukladne likove.5. Paralelogram nije osnosimetričan lik, ali je centralnosimetričan.6. ... nepomične točke S za kut od 180°7. Rotacijama oko sjecišta dijagonala S kvadrata za 90°, 180°, 270° i 360°.8. Rotacijama oko središta trokutu opisane kružnice S (koja je u tom trokutu i središte upisane kružnice, težište i ortocentar) za 60°, 120°, 180°, 240°, 300° i 360°.9. Vektore prikazujemo usmjerenim dužinama, a usmjerena dužina ili vektor je dužina za koju je istaknuto koja je od njenih krajnjih točaka početna, a koja završna točka.10. Za vektore koji leže na usporednim pravcima (ili na istom pravcu) kažemo da imaju isti smjer.

Zadaci za ponavljanje:

1. D

C C’

D’L

K K’

L’

G

H

H’

G’

YW W’Y’S

T

S’

T’

PO

P’

O’

2.

3.

4. Poruka stigla.8. a) b)

M

p

M1

O1

N1

ON

R

q

P

A

P1

R1

A1

c) d)

T

r

U

T’

U’S’

S

T

U

T’U’

S’

S

9. a) b)

D C

E F

H GA B

D C

AA1

D1

B1

C1

B

c)

D C

D1 C1

A1 B1

A B

10.

A

p A’

A

p

A’

12. a)

60° 30°BB’

C

C’

A = A’

b)

60° 30°B = B’

C

S

C’

A = A’

c)

60° 30°B

C

S

C’A

B’ A’

13.

A

A’

B

B’

D

D’

E

E’

F

F’

H

H’

G

G’

I

I’

C

C’

14.a)

B’ A’

C’ D’

S

D C

A B b) c)

B’ A’

C’ D’

S

D C

A B

B’ A’

C’ D’

S

D C

A B d)

D C

A B

B’ A’

C’ D’

15. a) b) c)

A B

S

A’

B’

60°A B

SA’

B’

30°A B

S

–60°

A’

B’ d) e) f)A B

S

A’

B’

90° A B

S

A’

B’

–90°A B

S

–30°

A’

B’

16. AB DC AD BC AS SC BS SD� ��

= = = =, , , .17.

A B

C

E

GD

FH a) CD

� ��; b) AD

� ��;

c) nijedan; d) DA� ��

; e) GH

� ��.

18. a) DF� ��

; b) LK� ��

; c) ON� ��

; d) IG��

.19. a) F1F2 F’1

F

0°

b) c)

F1

FF2

F’1

30°

F1

FF2

F’1

60°

d)

F1

FF2

F’1

90°

20.

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

21. a)

B C

A

D

B’ C’

A’

75°

b) c)

B C

A

D

B’ C’

A’

75°

B C

A

DB’ C’

A’

75°

235

R j e š e n j a

Primjerak oglednog testa:

1.

a) b)

2. 3.

P’

Q Q’

PM M’

α

4.

A

S

B

C

C1

D1

A1

B1

D

5. Četverokut ABCD je paralelogram.

A B

C D

S

6.

A B = B’

A’7. a) Slika vrha A pri ovoj rotaciji je vrh C. b) Slika vrha B pri ovoj rotaciji je vrh A. c) Slika vrha C pri ovoj rotaciji je vrh B.8. a) AF CD

� �� = ; b) AB DE EF BC

� �� i i , .

9. Zadani su sile F1��

i F2

��. Grafički odredi

rezultantnu silu.

F1

F

F2F’2

10. a)

S

k S’

k’ b)

S v

C

B

A

2 cm2 cm

k S’

k’

Duljina dužine BC jednaka je polovini visine jednakostraničnog trokuta duljine stranice 2cm, tj. BC = ⋅ =2

2 3

22 3 cm.

S

C

B

A

kS’

k’

c)

AB BC AC� ��

+ = . Duljina vektora AC

� ��

je 2 cm.

d)

S

C

C’

B

Ak S’

k’

5. Pravci i ravnine u prostoru

5.0 Uvod

1. Točka može pripadati ili ne pripadati pravcu.

b

A

2. 3.

b

a

4. U svakom pravokutnom trokutu je površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka zbroju površina kvadrata nad katetama. 5. Jednu.

5.1. Točke, pravci i ravnine u prostoru

1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji ravnine a) b)

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

c)

A B

E F

H G

D C

2. a) EFGH

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

b) ADHE c) BCGF

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

d) ABFE e) DCGH

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

3. a) DCGH; b) EFGH; c) BCGF; d) BCHE; e)DBFH.4. Koji još vrh kvadra ABCDEFGH pripada ravnini: a) D; b) E; c) A; d) G; e) E; f) B.5. a) D- da; ostale - ne; b) A, B - da; ostale - ne; c) B, D - da, ostale - ne.6. a) EFGH; b) ABCD; c) EFGH; d) ABEF; e) BDHF; f) ACEG.7. a) b)

A B

E F

H G

DC

A B

E F

H G

DC

a) b)

A B

E F

H G

D C

A B

EF

H G

D C

8. a) ABC; ADE; ABF; b) ABC; DCG; BCG; c) EFG; ABE; ADE.9. a) ABC; ABF; ABG; b) BCG; DCG; ACG; c) ECA.ECB; EFC10. a) AB BC CD DA, , , ; b) EF GH FG HE, , , ; c) AB BC CD DA, , , ; d) DC CG GH HD, , , ; e) AE CG, f) DH BF, .11. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i napiši pravce određene vrhovima kvadra koji leže u ravnini: a) AB, BC, CD, DA, AC, BD; b) FG, GH, HE, EF, FH, EG; c) AB, BC, CD, DA, AC, BD; d) DC, CG, GH, HD, DG, CH; e) AC, CG, GE, EA, AG, EC; f) FH, HD, DB, BF, FD, BH.

5.2. Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru

1. a) sijeku se b) usporedni

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

c) mimosmjerni d) usporedni f) sijeku se

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

e) mimosmjerni 2. Moguća različita rješenja3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem položaju se nalaze zadani pravci: a) sijeku se; b) mimosmjerni; c) usporedni; d) sijeku se; e) mimosmjerni; f) usporedni.4. Moguća različita rješenja 5. Moguća različita rješenja6. Moguća različita rješenja

236

R j e š e n j a

5.3. Međusobni položaj pravaca i ravnine u prostoru

1. Napiši u kakvom položaju se nalaze zadani pravac i ravnina. a) probada; b) usporedan; c) usporedan; d) probada; e) leži; f) probada.2. Moguća različita rješenja3. a) b)

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

c) d)

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

DC

e) f)

A B

E F

H G

DC

A B

E F

H G

DC

4. a) b)

A B

E F

H G

DC

A B

E F

H G

D C

c) d)

A B

E F

H G

DC

A B

E F

H G

D C

e) f)

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

5. a) b)

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

c) d)

A B

E F

H G

DC

A B

E F

H G

D C

e) f)

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

6. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni ravnine koje nemaju zajedničkih točaka s pravcem: a) DCG, EFG, EFC; b) EFG, ADH, ADG; c) EFG, ABF, ABG; d) ABC, ADH, BCH; e) nema; f) EFG; g) BCG, DBF,DCG; h) BCG, ABF, ACG.7. a) leži; b) usporedan; c) probada; d) probada; e) usporedan; f) leži.8. Moguće više rješenja9. Moguće više rješenja10. Moguće više rješenja

5.4. Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru

1. a)sijeku se; b) usporedne; c) sijeku se; d) usporedne.2. a) EFG; b) ABC, DCG, EFG, ABF; c) BCG; d) ABC, BCF, EFG, ADH, ABF, DCG.3. a) usporedne; b) sijeku se; c) sijeku se; d) sijeku se; e) sijeku se; f) sijeku se; g) sijeku se; h) usporedne.4. ABC i EFG, BCG i ADH, ABF i DCG.5. Ti pravci mogu biti usporedni ili mimosmjerni.6. Da.7. a) AD, AE, DH, EH; b) DH, BF; c) AB, BF, EF, AE.8. a) AE, FB, GC, HD; b)AB, EF, CD, GH, AD, BC, EH, FG; c) AB, DC, EF, HG.9. a) AF, AG, AH, BE, BH, BG, CE, CF, CH, DE, DF, DG, AC, BD; b) AC, AF, AH, AG, CF, CH, CE, GB, GE, GD, ED, EB; c) BG, BD, BE, BH, CF, CA, CH, CE, GE, GD, GA, FH, FA, FD.10. Ne.

5.5. Okomitost pravca i ravnine. Okomitost dviju ravnina

1. a) AE, BF, CG, DH; b) AE, BF, CG, DH; c) BA, CD, GH, FE; d) BA, CD, GH, FE; e) AD, BC, EH, FG; f) AD, BC, EH, FG.2.

EFGDHEABF

HEDHAB

3. a) ABF, DCG; b) EFG, ABC; c) ADH, BCG; d) ADH, BCG.4. Promotri ravnine određene dijagonalama kvadra. Napiši pravce koji su okomiti na zadane ravnine: a) BD, FH; b) FC, ED; c) EB, HC.5. Dva.6. Nabroji ravnine određene bridovima kvadra ABCDEFGH koje su okomite na ravninu: a) ABF, BCG, DCG, ADH; b) ABF, BCG, DCG, ADH; c) ABF, ABC, EFG, DCG; d) ABF, ABC, EFG, DCG; e) ADH, ABC, BCG, EFG; f) ADH, ABC, BCG, EFG.7. Spoji parove okomitih ravnina

EFGDHEABF

HEFDHEABC

8. Moguća različita rješenja. 9. Nema ih. 10. Moguća različita rješenja.11. Okomitom.. 12. Usporedne. 13. Da. 14. a) Na simetrali te dužine; b) U ravnini određenoj simetralom dužine i okomitom na tu dužinu.

5.6. Ortogonalna projekcija točaka na ravninu

1. a) E; b) D; c) F; d) D; e) C.2. a) D; b) H; c) G: d) H; e) E; f) H.3. a) C; b) G; c) C: d) D; e) B; f) C.4. a) sjecište dijagonala pravokutnika EFGH; b) polovište dužine BC; c) polovište dužine CD.5. a) sjecište dijagonala pravokutnika ADHE; b) ista točka; c) polovište dužine CG.6. Sjecišta dijagonala pojedinih strana kvadra.7. a) EF ; b) AC ; c) C; d) HE ; e) DG .8. a) BC ; b) FG ; c) FG : d) EH ; e) F; f) G.9. a) AD ; b) EH ; c) BG : d) AH ; e) AE ; f) DH .10. a) EG ; b) BC ; c) DC .11. Odgovarajuće dijagonale pojedinih strana kvadra.12. Moguće više rješenja.13. Duljina ortogonalne projekcije neke dužine je manja ili jednaka duljini same dužine.14. a) 5 cm; b) AB ; c) 3 cm.15. FG , FG = 6 cm

5.7. Udaljenost točke od ravnine

1. a) 4 cm; b) 4 cm; c) 3 cm; d) 3 cm; e) 2 cm.2. a) 5 cm; b) 0; c) 4 cm: d) 0; e) 2.5 cm; f) 0.3. a) 15 cm; b) 3 cm; c) 2.5 cm.4. 3 cm od ABC i EFG; 2 cm od ADH i BCG; 0.5 cm od ABF i DCG.5. a) 3 cm; b) 21 cm.6. a) 6 cm; b) 96 4 6= cm.7. a) 10 cm; b) 68 cm.8. a) 73 cm; b) 5 cm.9. 6 cm.

10. 5

23 . 11.

a a

2

2

2= .

5.8. Ponavljanje


1. 3 nekolinearne točke.2. 3 točke, dva pravca, pravac i točka koja mu ne pripada.3. 2.4. Međusobni položaj dvaju različitih pravaca u ravnini: - Pravci se sijeku. - Pravci su usporedni.5. Međusobni položaj dvaju različitih pravaca u prostoru: - Pravci se sijeku, imaju jednu zajedničku točku; - Pravci su usporedni, nemaju zajedničkih točaka; - Pravci su mimosmjerni, nemaju zajedničkih točaka.6. Međusobni položaj pravca i ravnine u prostoru: - pravac leži u ravnini, imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka; - pravac probada ravninu, imaju jednu zajedničku točku; - pravac i ravnina su usporedni, nemaju zajedničkih točaka.

237

R j e š e n j a

7. Međusobni položaj dviju različitih ravnina u prostoru: - ravnine se sijeku, imaju zajednički jedan pravac, presječnicu; - ravnine su usporedne, nemaju zajedničkih točaka.8. Pravac je okomit na ravninu ako je probada i ako je okomit na svaki pravac te ravnine koji prolazi probodištem.9. Dvije ravnine su okomite ako u jednoj ravnini postoji pravac koji je okomit na drugu ravninu.10. Ortogonalna projekcija točke na ravninu je probodište okomice kroz tu točku na zadanu ravninu.11. Ortogonalna projekcija dužine koja nije okomita na ravninu projekcije je dužina. Ortogonalna projekcija dužine koja je okomita na ravninu projekcije je točka. Ako dužina leži u ravnini, onda je ona sama sebi ortogonalna projekcija.


1. a) b)

A B

E F

H G

D C

A B

E F

H G

D C

c)

A B

E F

H G

D C

2. a) E, F, G, H, EF, FG, GH, HE, EG, HF; b) B, C, F, G, BC, CG, GF, FB, BG, CF.3. a) A, B, E - da; b) G, E - da; c) A, D, E - da.4. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i napiši vrhove kvadra koji ne leže u ravnini: a) A, D, H, E; b) A, B, E, F; c) A, B, C, D.5. a) ABC, BCG, ABF; b) DAB, DCG, HDA; c) FGH, FBC, FBA.6. a) ABC, BCG; b) ABC; c) ni jedna strana kvadra.7. Više rješenja8. a) usporedni; b) usporedni; c) sijeku se; d) sijeku se; e) usporedni; f) mimosmjerni.9. Više rješenja 10. Više rješenja 11. Više rješenja 12. Više rješenja13. a) AB, BC, CD, DA; b) BC, CG, GF, FB; c) AB, BF, FE, EA.14. a) ADH; b) ABF, BCG, CDH, ADH; c) ABF; d) sve strane kvadra; e) ABC, ABF, EFG, DCG; f) ADH, DCG, BCG, ABF.15. a) okomite; b) okomite; c) okomite; d) sijeku se; e) okomite; f) okomite.16. a) EA, HD, GC, FB; b) svi bridovi osim AE i CG; c) AB, DC, EF, HG.17. a) ADH; b) ABC, ABF, EFG, DCG.18. a) HG, GC, CD, DH; b) FG, EH, AD, BC.19. Napiši ravnine kojim je zadani pravac okomica: a) ADH, BCG; b) ABF, DCG; c) ABF, DCG; d) EFG, ABC.20. a) ABF, ABC, DCG, EFG; b) EFG, ABC, ADH, BCG; c) ABF, BCG, DCG, ADH.

21. a) F; b) C; c) G; d) A; e) G.22. a) A; b) E; c) B: d) A; e) A; f) D.23. a) AB ; b) EF ; c) B; d) A; e) AB ; f) DC .24. a) FH ; b) BC ; c) CD .25. 5 cm, točke E, F i H.26. a) 0 cm; b) 4 cm; c) 3 cm: d) 0 cm; e) 0 cm; f) 5 cm.27. a) 24; b) 624 .28. a) 15; b) 13.

Primjerak oglednog testa:

1.

A B

E F

H G

D C

2. a) A, D, H, E; b) B, C, G, F.3. Primjerice: a) b)

A B

EF

H G

D C

A B

E F

H G

D C

c)

A B

E F

H G

D C

4. a) AE, BF, CG, DH; b) AB, BC, CD, AD; c) EF, FG, GH, EH.5. Primjerice:

A B

E F

H G

D C

6. Primjerice: a) ABC i BCG; b) ADH i BCG; c) ABF i AFG.7. a) G; b) F.8. a) FG ; b) AH .9. a) 12; b) 168 .

6. Geometrijska tijela

6.0. Uvod

1. Opseg mnogokuta je zbroj duljina stranica mnogokuta.2. Trokut O = a + b + c; pravokutnik O = 2a + 2b; paralelogram O = 2a + 2b; kvadrat O = 4a; romb O = 4a; rapez O = a + b + c + d; pravilni mnogokut O = n ⋅ a.

3. Pa va=

⋅2

=⋅

=⋅b v c vb c

2 2.

4. Pa

=2 3

4.

5. c a b2 2 2= + , gdje su c duljina hipotenuze, a a i b duljine katete pravokutnog trokuta ABC.

6. Kvadrat P a= 2 , pravokutnik P a b= ⋅ .

7. Pe f

=⋅2

, gdje su e i f duljine dijagonala

romba.8. mm3, cm3, dm3, ...

6.1. Vrste geometrijskih tijela

1. a) četverostrana prizma kojoj je baza trapez; b) stožac; c) osmerostrana prizma; d) kugla; e) trostrana piramida; f) valjak. 2. a) šesterostrana prizma, šesterostrana piramida, peterostrana prizma, četverostrana piramida, kocka; b) 12, 7, 10, 5, 8; c) 18, 12, 15, 8, 12; d) 8, 7, 7, 5, 6; e) 2 šesterokuta i 6 pravokutnika, 1 šesterokut i 6 jednakokračnih trokuta, 2 peterokuta i 5 pravokutnika, 1 kvadrat i 4 jednakokračna trokuta, 6 kvadrata.3. kugla, piramida, kvadar, valjak, valjak, valjak.5. valjak i stožac, kvadar i piramida.6. a) netočno, b) točno, c) točno, d) točno, e) točno.

6.2. Osnovno o prizmama

1. a) četverostrana prizma; b) peterostrana prizma; c) šesterostrana prizma; trostrana prizma; četverostrana prizma. 2. a) osmerostrana prizma; b) deseterostrana prizma; c) šesterostrana prizma.3. a) deseterostrana prizma; b) osamnaesterostrana prizma; c) trideseterostrana prizma; d) stotreostrana prizma. 4. a) 1 i 3; b) 4; c) 5 i 6; d) 2.5. ne postoje, jer ne postoji geometrijski lik omeđen s dvije stranice. 6. 1, 3, 5, 7 i 9. 7. četverostrana prizma, trostrana prizma, deseterostrana prizma, četverostrana prizma, četverostrana prizma, peterostrana prizma, trostrana prizma. 9. a) 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9; b) 2, 5, 10; c) 1, 4, 6, 7, 8, 9; d) 3; e) 1, 8; f) 1, 6, 7, 9; g) 7, 9; h) 8.

6.3. Kvadar

1. b) D = 6,1 cm.2. a) 10 2 cm; b) 8.13 mm; c) 8.49 cm; d) 30 cm. 3. a) 13 dm; b) 7.45 cm; c) 7.91 dm; d) 18.12 dm. 4. Ne, jer je prostorna dijagonala kofera duga 69.64 cm.5. Da, jer je prostorna dijagonala kutijice 7.4 cm. 6. Da, D = 4.92 m. 7. a) 6 dm; b) 6 cm; c) 9.74 mm; d) 62 dm. 8. Kvadratna prizma ili pravilna četverostrana prizma, D = 10.68 9. plošne dijagonale: 4.72 cm, 7.46 cm, 6.78 cm, prostorna dijagonala 7.87 cm.

10. 2 55 . 11. 52

2.

12.a) 62 cm2; b) 26 cm2; c) 62.5 cm2; d) . 13. a) 192 dm2; b) 105.8 cm2 ili 10580 mm2; c) 106.5 dm2; d) 524.4 dm2.

12 16 2+

238

R j e š e n j a

14. a) 3 cm; b) 1.5 cm; c) 17

11 cm; d)

2

2 cm.

15. Trebat će papir širine najmanje 12 dm i duljine najmanje 14 dm, O = 108 dm2; b) širina najmanje 10 cm, duljina najmanje 11.4 cm, O = 73 cm2; c) širina 32 cm, duljina 100 cm, O = 1400 cm2; d) širina 6.25 dm, duljina 11.95 dm, O = 26.56 dm2.

16. 77 cm. 17. a) Za mrežu će nam trebati papir širine najmanje 11 cm i dužine najmanje 13 cm, čija je površina 143 cm2. Oplošje kvadra je 98 cm2; b) Za mrežu će nam trebati papir širine najmanje 11 cm i dužine najmanje 11 cm, čija je površina 121 cm2. Oplošje kvadra je 91 cm2; Za kvadar u zadatku a) ćemo potrošiti više papira.18. Limar za cijev treba rezati komade lima širine 11 cm (2 · 4 + 2 · 1.5). Može izrezati 9 komada dužine 1,5 m ili 13 komada dužine 1 m, a to mu nije dovoljno za 15 m cijevi. 19. Može, ako izreže tri trake lima širine 20 cm i dužine 45 cm.20. c = 63 , O = 420 + 58 63 . 21. O = 184.5 cm2, D = 10.22 cm. 22. O = 312 cm2, D = 2 43 cm. 23. a) O = 528.08 cm2, D = 16.69 cm; b) O = 648 dm2, D = 18.55 dm.

24. a) 9.5 mm; b) 15

4 mm;

c) 20 cm; d) 5.54 m. 25. a) 12 5 , b) 24 2 . 26. a) 3 29 ; b) 4 73 . 27. a) 4 29 ; b) 34 . 28. 9 61 cm, 5 117 cm, 6 106 cm. 29. 15 cm. 30. a) 12 cm; b) 192 cm2. 31. Visina kvadra je 5 cm, a duljina dijagonale baze je isto 5 cm. Znači da su stranice baze duge 3cm i 4 cm. O = 94 cm2. 32. b = 3 2 cm, a = 3 cm, a) 18(1 + 2 2 ) cm; b) cm.

6.4. Kocka

1. b) 4 3 cm. 2. a) 5 3 cm; b) 4.5 3 mm; c) 2.37 cm; d) 2 6 dm. 3. Ne, jer je prostorna dijagonala te škrinje 72.75 cm. 4. Da, jer je prostorna dijagonala kutijice 6.75 cm. 5. Ne, jer je prostorna dijagonala te kutije 2 3 ≈ 3.46 cm.

6. a) 2 dm; b) 1 dm; c) 3 mm; d) 7

33 dm.

7. 6 m. 8. Plošne dijagonale 7.78 cm, prostorne dijagonale 9.53 cm.9. 6 3 cm. 10. 3 dm.11. a) 96 cm2; b) 11.76 cm2; c) 322.37 dm2; d) 108 cm2. 12. a) 3 2 mm; b) 3 cm; c) 2.2 mm; d) 1 mm. 13. a) trebat će papir širine najmanje18 cm i duljine najmanje 24 cm. O = 216 cm2; b) širina 67.5 cm, duljina 90 cm, O = 3037.5 cm2; c) isto kao u a);

d) širina 3 3 dm, duljina 4 3 dm, O = 18 dm2.14. 6 3 cm. 15. a) širina 15 cm, duljina 20 cm, dovoljan je papir A4; b) širina 11.7 cm, duljina 15.6 cm, dovoljan je papir A4.16. Može, jer je oplošje kocke 1.215 m2, a površina lima 1.5 m2. 17. a) Ne može; b) 11.6 cm.18. 450 cm2. 19. 19.36 cm2. 20. 486 2 mm2. 21. 25 2 dm2. 22. 50 2 cm2. 23. 5 cm. 24. a) 6 cm; b) 216 cm2. 25. a) 3 2 cm; b) 108 cm2. 26. a) 2.79 cm; b) 46.67 cm2.

6.5. Trostrana prizma

1. a) trokuti; b) pravokutnici; c) jednakostranični trokuti. 3. To je prizma kod koje su duljine svih bridova jednake. Znači da je duljina brida baze jednaka duljini bočnog brida prizme. 4. 2(18 + 3 ) cm2. 5. 3.79 cm2. 6. 24( 3 + 6) cm2. 7. 10(10 2 + 24) cm2. 8. 84 cm2. 9. 360 cm2. 10. a) v = 3.2cm; b) O = 29.41 cm2. 11. v = 2 cm, O = 7 + 14 + 2 + 4 ≈ 11.8 cm2. 12. 288 cm2. 13. 114 cm2.

14. 5 3

3 dm. 15. cm.

16. a= 8mm v= mm. 17. 8 2 dm.

6.6. Ostale prizme 2. a) 167.78 cm2; b) 6 2 + 16 cm2; c) 1160 cm2. 3. a) 240 cm2; b) 73.5 cm2; c) 30 dm2. 4. a) 232 cm2; b) 156.51 cm2. 5. a) cm2; b) cm2. 6. 8( + 20) cm2. 7. O = 145 cm2, trebat će papir širine 14 cm i dužine 15 cm. 8. Ne, jer j prizma visine 12 cm.9. 48( 3 + 3) cm2. 10. 3894.52 cm2. 11. a) 675( 3 + 2) mm2; b) 105.52 cm2; c) 336( 3 + 2); d) 3a2( 3 + 2).

12. a = 15 m, v = 11 5

3 m.

6.7 Obujam kvadra

1. a) 2000 dm3; b) 6000 dm3; c) 3500 dm3; d) 250 dm3; e) 5 dm3. 2. a) 3 dm3; b) 10.6 dm3; c) 5 dm3; d) 250 dm3; e) 67 dm3. 3. a) 500000 cm3; b) 12000 c) 0.8 cm3; d) 25 cm3; e)100 cm3. 4. a) 0.0006 m3; b) 0.023 m3; c) 0.085 m3; d) 0.00025 m3; e) 0.00006 m3. 5. a) 4000 mm3; b) 456 mm3; c) 3500 mm3; d) 11000000000 mm3; e) 8 mm3. 6. a) 0.00423 l; b) 0.014004 l; c) 0.35 l; d) 0.9 l; e) 23000 l.7. a) 45000 mm3; b) 12000 cm3; c) 6.3 l; d) 0.123 cm3; e) 0.00045 l. 8. a) 120 dm3; b) 8 dl; c) 0.03006 cm3; d) 0.089562 m3; e) 9723 mm3. 9. a) 56 dm2; b) 92 cm3; c) 13.305 cm; d) 45 dm3; e) 0.00023 l. 10. a) 900 cm3; b) 0.7 l; c) 0.16 ha;

d) 7400000 ml3; e) 0.10003 l. 11. a) 252 cm3, b) 18.2 cm3; c) 1.35 mm3; d) 33780670 cm3; e) 16.5 mm3. 12. V= 48 cm3, O= 96 + 28 cm3. 13. a) 50 cm3 = 0.5 dl; b) 13.86 cm3 = 0.1386 dl; c) 0.76 mm3 = 0.0000076 dl; d) 54.5 l; e) 36 mm3 = 0.00036 dl14. 10 cm. 15. 80 cm. 16. a) 2 46 cm; b) 216 cm2. 17. 6 cm. 18. 250.1 cm2. 19. Potreban je karton širine14 cm i duljine 22 cm, O = 148 cm2, u kutiju stane 120 cm3pijeska. 20. O = 1525 cm2, V = 1925 cm3. 21. O = 62 dm2, V = 30 dm2, D = 38 dm. 22. 491.61 cm3. 23. 3360 m3 = 3360000 l. 24. a) 29.12 l; b) 12.48 l. 25. a) 1 cm3; b) 166.375 cm3; c) 0.274625 dm3; d) 343 ≈ 18.52 cm3; e) 64 27 ≈ 332.55 cm3. 26. a) ne; b) da; c) ne; d) da; e) da. 27. a) 8 cm3, b) 0.125 m3; c) 1.728 cm3; d) 125 mm3, e) 77.84 cm3. 28. a) 64 cm3; b) 125 cm3; c) 912.53 cm3;

d) 125 2

4 mm3; e) 24.19 cm3.

29. a) 8 cm3; b) 1 m3; c) 496.72 cm3; d) 24 3 mm3; e) 8.25 cm3. 30. 27 dm3. 31. 0.1079 l. 32. 6 cm. 33. 27 puta. 34. 27 puta. 35. n3 puta. 36. 36 cm2. 37. a) 20 cm3; b) 13.824 cm3; c) 72 mm3. 38. 56 dm2, 24 dm3. 39. 80 cm2, 48 cm3. 40. 4195.05 cm3. 41. 10440 cm3. 42. 39.968 dm3. 43. 500 dm3.

44. 54 cm3. 45. 14.63 cm.

46. V = 37549.32 mm3, 16.41 %. 47. a) 19250 l; b) 219.45 kn; c) 21 sat i 23 minute.

6.8. Obujam prizme

1. 175 3

4 cm3.

2. a) 19 3 cm3; b) 0.8119 m3; c) 18 cm3; d) 3 3 cm3. 3. 54 3 cm3. 4. 26 3 dm3. 5. 56 cm3. 6. 9.6 cm2. 7. O = 169.68 cm2, V = 119.164 cm3.

8. 90.4 cm2, 49 3

2 cm3.

9. 30 + 36 5 cm2, 18 5 cm3. 10. 3840 cm3. 11. 36 cm3. 12. 150 cm3. 13. O»203.05cm3, V» 169.73 cm3. 14. 377.95 dm3. 15. 8.02 cm.

16. a) 42 3 cm3; b) 189 3

4 cm3;

c) 27 cm3; d) 12 6 cm3.

17. 243( 3 + 2) cm2, 2187 3

2 cm3.

18. 48.11 cm 19. 5 6 cm3. 20. 1.54 dm. 21. a) 492 cm2, 540 cm3; b) 476.24 cm2, 601.8 cm3; c) 853.18 cm2, 1305 cm3. 22. a) 9.548 cm; b) 9650 g. 23. 58.5 l; b) 32.625 l. 24. a) 2730000 m3; b) 390000 m2.

3 5

5

33

64 10 13+433 2 12 8 61 533 17. . .+ ≈

15

429 429

63

239

R j e š e n j a

25. a) 143 m3; b) 192 m3; c) 600 m3. 26. a) 43.84 cm3; b) 142.8 cm2. 27. a) 41.57 cm3; b) 134.93 cm2. 28. 500 2 cm3 = 0.707 l.

6.9. Osnovno o piramidama

1. šesterostrana piramida, peterostrana piramida, četverostrana piramida. 2. trostrana piramida, šesterostrana piramida. 3. deveterostrana piramida, jedanaesterostrana piramida, šesterostrana piramida, stostrana piramida. 4. 2 i 3. 5. a) 1, 5,8; b) 2, 7; c) 4; d) 3, 6. 6. a) ne, jer ne postoji mnogokut sa dvije stranice; b) s bilo kojim brojem ploha većim od 3. 7. četverostrane piramide 9. a) 1, 2, 3, 4, 7, 8, 10; b) 5, 6, 9; c) 3, 4, 8; d) 1, 2, 7, 10; e) 1; f) 7. 10.

Broj vrhova

Broj bridova

Broj strana

Kvadar 8 12 6

Peterostrana prizma

10 15 7

Šesterostrana prizma

12 18 8

Trostrana piramida

4 6 4

Četverostrana piramida

5 8 5

11. m2, dm2, cm2 i mm2. 12. Oplošje piramide je zbroj površina svih njenih strana. 13. Jer piramida ima samo jednu bazu. 15. Po riječi volumen. 16. Obujam piramide je tri puta manji od obujma prizme jednake baze i visine. B je površina baze piramide, a v je visina piramide. 17. 48 cm3. 18. 234 cm3. 19. 42 l.

6.10. Četverostrana piramida

2. a) 4; b) 4; c) 5; d) 5; e) 2. 3. 8 cm. 4. a) 12 cm; b) 14.68 cm; c) 6.87 cm; d) 10 cm. 5. a) 50 cm; b) 25.67 cm; c) 7.96 cm; d) 2 285 cm. 6. a) 36 2 cm; b) a = 8 cm; c) 12.74 cm; d) 4 3 cm. 7. v = 2 2 cm, h = 2 3 cm. 8. a) 8.73 cm; b) 4 cm; c) 29.45 dm. 9. a) ne; b) ne; c) da. 10. jednakokračan 11. 14 14 cm 12. a = 39.06 dm, b = 37.49 dm, d = 55.24 dm. 13. a = 4 dm, b = 2 11 dm, h = 2 10 dm. 14. a = 16 2 mm, h = 8 6 mm. 15. a = 8 cm, v = 4 2 cm.

16. v = a2

2, h = a

3

2, b = a, d = a 2 .

17. 21.36 cm2.

18. a) 49 3

2 cm; b)

a2 3

2.

19. 2 6 dm. 20. a) 64 cm2; b) 176 cm2; c) 240 cm2.

21. 84 cm2. 22. a) 112 cm2; b) cm2, c) 3365.33 dm2; d) 2(1 + 2 ) mm2; e) 4186.20 m2; f) 2595.52 cm2. 23. a) 36(1 + 3 ) cm2; b) 0.09(1 + 3 ) cm2 ≈ 0.246 cm2; c) 27(1 + 3 ) cm2; d) a2(1 + 3 ). 24. 36(1 + 3 ) dm2. 25. 12(1 + 3 ) m2. 26. 20(5 + 61 ) dm2 ≈ 256.20 dm2. 27. 230 dm2. 28. 20(5 + 39 ) dm2 ≈ 224.90 dm2. 29. 51 cm. 30. a) 50 3 dm2; b) 162 3 cm2; c) 2a2 3 .

31. 2 2 cm. 32. 1690

3 cm3.

33. a) 75 cm3; b) 443.784 cm3; c) 3 mm3. 34. a) 30 cm; b) 60 cm; c) 9.14 cm. 35. a) 3.75 cm; b) 7.2 cm; c) 0.525 cm. 36. a) 45.45 cm3; b) 267.52 cm3; c) 369.74 cm3; d) 600 3 mm3.

37. a) 323.33 cm3; b) 144 21 dm3;

c) 128 41 cm3; d) 9.70 dm3. 38. a), jer ona koja ima veću visinu pobočke ima i veću visinu piramide, pa i veći obujam. 39. Piramida čije su pobočke šiljastokutni trokuti ima veći obujam i veće oplošje. 40. a) 1000 10 cm3; b) 1142.28 cm3. 41. a ≈ 7.2 cm, b ≈ 5.3 cm.

42. a) 64

3 cm3; b) 64 cm3;

c) 3 puta; d) veće je oplošje kocke. 43. Trebat će 2888.48 m2 stakla, a piramida će biti ispunjena s 7466.67 m3 zraka. 44. O ≈ 322 cm2, V ≈ 359.33 cm3. 45. a) O = 16(5 + 3 ) cm2, b) V = 4 + 2 cm.

V = 32(2

3+2) cm3.

6.11. Trostrana piramida

2. Tetraedar je trostrana piramida koja ima sve bridove jednakih duljina. O a= 2 3 .3. a) 3 cm2; b) 0.36 3 cm2; c) 11 3 cm2; d) 24 3 m2. 4. Trebat će nam papir širine 23 cm, a duljine 20 cm, O = 229.06 cm2. 5. a) 2 3 mm; b) 1 m; c) 1.86 cm; d) 0.443 m. 6. a) 67.48 cm2; b) 67.47 cm2; c) 1.202 m2; d) 19.16 dm2. 7. 21 cm. 8. a) 4(3 + 3 ) cm2; b)

9

2 (3 + 3 ) dm2;

c) a2

4 (3 + 3 ).

9. 4 6

3 cm.

10. a) 6 6 cm; b) 2.78 cm; c) 2 dm; d) 12 2 m.

11. a) 10 3

3 mm; b) 7.63 cm; c) 31 cm.

12. a) 13 mm; b) 9.43 cm; c) 21

3 cm.

13. a) O=432 dm2; b) O ≈ 46575.3 cm2; c) O ≈ 529.6 cm2

14. a) O = 729 3 cm2, V = 4920.75 2 cm3; b) O = 256 3 cm2, V = 1024 2 cm3; c) O = 52.39 cm2; V = 58.82 cm3;

d) O = a2 3 , V = a3 2

4.

15. a) V= cm3;V≈ 207.24 cm3;V=108 cm3.

16. a)V≈1199.04cm3;b)V≈53.75m3; c)V≈104.17 dm3

17. a) 8 23 cm3; b) cm3; c) 13.66 cm2.

18. O = a2 3 , V = .

6.12. Šesterostrana piramida

1. a) 150 3 cm3; b) 360 cm2; c) 30(5 3 +12) cm2. 2. 18(3 3 + 4) cm2. 3. a) 54( 3 + 19 ) cm2; b) 11.04 cm2; c) 269.93 dm2;

d) 3 3

23

3

4

22

2aa v

a+ + .

4. a) 18(3 3 + 55 ) cm2 ≈ 227.02 cm2; b) 54(2 + 3 ) cm2; c) 450(3 3 + 91 ) ≈ 6630.99 cm2; d) 1250.71 dm2; e) 5866.41 m2; f) 408 3 + 240 17 ≈ 1696.22 cm2. 5. 36 3 + 12 141 dm2 ≈ 204.85 dm2. 6. 18(5 3 + 3 15 ) dm2. 7. 30(3 3 + 15 ) dm2. 8. 18(5 3 + 35 ) dm2 ≈ 262.37 dm2. 9. a) 1728 3 dm3; b) 0.1636 m3; c) 16 6 cm3. 10. a) O = 54( 3 + 2 2 ) dm2, V = 54 15 dm3; b) O = 36.69 m2; V = 8.98 m3;

c) O = 9

2( 3 + 11 ) cm2, V =

9

22 cm3.

12. 367 dm3.

6.13. Valjak1. a) 110π cm2; b) 28π cm2; c) 60.8π dm2 ≈ 191.01 dm2. 2. a) potreban je papir širine 40 cm i duljine 47.2 cm, O = 824.67 cm2; b) širina 30 cm, duljina 31.42 cm, O = 471 cm2; c) širina 20 cm, duljina 15.71 cm, O = 196.35 cm2. Treću kutijicu.3. a) dva valjka; b) r = 3.34 cm, B = 35.09 cm2, r = 4.73 cm, B = 70.19 cm2; c)623.7cm2;d)O1≈693.02cm2,O2≈764.3 cm2; e) jednake su površine plašta, a površine baza i oplošja su različiti. 4. P = 70π cm2, O = 120π cm2. 5. B = 36π cm2, O = 168π cm2.

6. a) 10 cm; b) 5

π cm;

c) 50(2 + 1

π) cm2 ≈ 115.92 cm2.

7. a) 64π cm3; b) 32.5π cm3 ≈ 102.10 cm3; c) 36.23 m3. 8. 9.16 m3, 110.56 kn. 9. 16 m2. 10. a) 1.57 dm3; b) 2 dm3. 11. O = 92π cm2, V = 120π cm3. 12. 1.42 cm. 13. a) 3.925 dm2, 0.7854 dm3; b) 15.7 dm2, 6.28 dm3. 14. 854.51 dm2. 15. a) 21.22 m; b) 11.94 m. 16. 29.78 kg. 17. jedno moguće rješenje: r = 5.64 cm, v = 10 cm. 18. a) r = 7.5 cm, v = 15 cm; b) Vk = 3375 cm3, Vv = 2650.72 cm3; c) 724.28 cm3; d) 21.46%. 19. a) a = 4 2 cm, v = 15 cm; b) Vk = 480 cm3, Vv = 753.98 cm3; c) 273.98 cm3; d) 36.34%. 20. 1.59 m.

16 40 5+

2

3

40 3

3

16 2

3

a3 2

12

240

R j e š e n j a

21. a) Dimenzije prizme su jednake, a = 1 dm; b) Više otpada ima pri izrezivanju iz kvadra. 22. 784.26 t . 23. a) r = 2 cm, v = 6 cm; b) r = 4 cm, v = 1 cm; c) r = 6 cm, v = 1.5 cm; d) r = 1.2 cm; v = 3 cm. 24. a) 32π cm2, 24π cm3; b) 40π cm2, 16π cm3; c) 90π cm2, 54π cm3; d) 10.08π cm2, 4.32π cm3 25. širina 8 cm i visina 6 cm. 26. 256π cm2, 512π cm3. 27. a) U pakiranju A ima više soka; b) jednako su povoljna. 28. a) 10π cm2, 4π cm3, b) 66π cm2, 72π cm3. 29. 337.5π cm2, 843.75π cm3. 30. 40π dm2, 32π dm3. 31. a) 602.19 cm2; b) 640.64cm2, c) 713.11 cm2. 32. 2652.13 cm3, 3345 cm3. 33. a) Valjak promjera 8 cm, četverostrana prizma osnovnog brida 5 2 cm ≈ 7.07 cm, šestrostrana prizma brida baze 4.39 cm; b) za pakiranje u obliku valjka; c) folija za jedno pakiranje u obliku valjka treba dati 0.34 kn, u obliku četverostrane prizme 0.38 kn, u obliku šesterostrane prizme 0.36 kn.

6.14. Stožac

1. 320π cm2. 2. 30π cm2 . 3. a) 36π cm2; b) 75π cm2; c) 64.75π cm2; d) 235.55 dm2. 4. a) 90π cm2; b) 6π cm2; c) 3600π m2; 510.14 cm2. 5.37.05 m2. 6. a) 1136.48 cm2 ; b) samo je najveći format dovoljno velik. 7. Potrebno je 3616 crjepova. Popravak treba platiti 11725 kuna. 8. a) 100π cm3; b) 1.5π cm3; c) 1600π m3; d) 225π cm2. 9. a) 16π cm3; b) 96π cm2; c) 187.11 cm3; d) 238.38 dm2. 10. a) 324π cm2, 432π cm3; b) 90π cm2, 100π cm3; c) 154.98 cm2, 128.28 cm3; d) 212.48 dm2, 58.94 cm3. 11. 346.15 m2. 12. 1.4 dm. 13. 140 m3. 14. prvi stožac. 15. a) dva puta; b) četiri puta. 16. a) 11.9 cm; b) 7.6 cm. 17. a) do visine 7.9 cm; b) uštedi 11% šampanjca.

18. a) O ≈ 62.8 cm2, V ≈ 32.43 cm3; b) O ≈89.45 cm2, V ≈ 55.96 cm3; c) O ≈150.72 cm2, V ≈ 116.05 cm3

d) O ≈263.76 cm2, V ≈ 199.7 cm3. 19. a) Promjer baze stošca treba biti 13.8 cm, osnovni brid četverostrane piramide treba biti 12.25 cm, a osnovni brid trostrane piramide treba biti 18.6 cm. b) 608.2 cm2, 662.52 cm2, 1305.32 cm2, za pakiranje u obliku stošca treba najmanje materijala. 20. a) r = 3 cm, v = 4 cm; b) r = 8 cm, v = 3 cm; c) r = 4 cm, v = 4 cm. 21. a) O = 24π cm2, V = 12π cm3; b) O = 415.8 cm2, V = 64π cm3;

c) O = 16π(1 + 2 ) cm2, V = 64

3π cm3.

22. a) 4 3 cm; b) 6 3 cm; c) 9 3 cm. 23. Stožac B je viši. 24. a) 12π(3 + 34 ) cm2; b) 9π(9 + 130 ) m2; c) 509.6 cm2; d) 693.12 cm2. 25. a) O ≈ 6413.7 cm2, V ≈ 12486.8 cm3; b) O ≈ 740.752, V ≈ 1025.7 cm3

c) O = 625π(1 + 2 ), V = 15625

3π.

26. Najviše sladoleda stane u kornet Kremisimo.

27. r = 25

3 cm, V =1713.2 cm3.

28. U dvorac stane 263.89 cm2 čokolade, a u vidikovac 336 cm3 čokolade. Oplošje dvorca je 72 π cm2, a vidikovca 288 cm2. 29. a) Prostor potkrovlja je 183.17 m3; b) krovopokrivanje je koštalo 22959.6 eura.

6.15. Kugla

1. a) O = 36π cm2, V = 36π cm3;

b) O = 100π cm2, V = 500

3π cm3;

c) O = 1576.32 dm2, V = 5884.95 dm3; d) O = 366.43 m3, V = 659.58 m3.

2. a) r = 5 cm, V = 500

3π cm3;

b) r = 9 cm, V = 972π cm3; c) r = 15 dm, V = 4500π dm3; d) r = 2.5 m, V = 65.45 m3. 3. a) r = 3 cm, O = 36π cm2; b) r = 15 cm, O = 900π cm2; c) r = 6 dm, O = 144π dm2; d) r = 1 m, O = 4π m2. 4. U kuglici se nalazi 9.2 cm3 ili 9.2 ml kreme . 5. potrebno je 297 kuglica. 6. a) O = 9π mm2, V = 4.5 mm3; b) 2.8 puta. 7. 0.0655 m3 = 65.5 l. 8. 3.17 cm. 9. O = 1963.5 cm2, V = 7238.2 cm3 = 7.24 l. 10. Srebrna kugla ima masu 43.98 kg, a platinasta 11.26 kg. 11. 17.04 cm. 12. Više je sladoleda u dvije kuglice polumjera 3 cm. 13. 4445.17 cm3 = 4.44 l, 8890 g = 8,89 kg. 14. 106.81 cm3 ≈ 1 dl. 15. a) Vkocke = 64 cm3, Vkugle = 33.51 cm3; b) za 30.49 cm3; c) 47.64%. 16. a) Vk = 625 cm3, Vš = 178.02 cm3; b) 71.5%. 17. 8294.56 eura.

6.16 Ponavljanje


1. Prizma, piramida, kvadar, kocka.2. Valjak, stožac, kugla.3. Uspravne prizme su tijela koja imaju dvije baze, koji su sukladni mnogokuti, a plašt im se sastoji od pravokutnika, prizme mogu biti četverostrane, trostrane, peterostrane,...4. Uspravne piramide su tijela koja imaju jednu bazu, i to neki mnogokut, te vrh, a plašt im se sastoji od jednakokračnih trokuta, piramide mogu biti četverostrane, trostrane, peterostrane,...5. Stožac, kugla, valjak.6. Pravilna četverostrana piramida, kocka, kvadratna prizma.7. Valjak, stožac.

8. Piramide, stožac.9. Prizme, valjak.10.

A B

E

V

V’

h

b

v

d

aa

D Ca2

b vd2 2

2

2= +

.

h va2 2

2

2= +

.

b ha2 2

2

2= +

.

11.

V

s

r

v

s v r2 2 2= +

12. V

V’

vh

b

va

aa

O B P= +

V Bv=1

3

Ba

a= ⋅ =63

4

3

23

22

Pa h

ah= ⋅⋅

=62

3

13. Tetraedar je trostrana piramida koja ima sve bridove jednakih duljina.


1. a) četverostrana prizma; b) stožac; c) kocka; d) kugla; e) tetraedar; f) valjak; g) pravilna šesterostrana prizma; h) pravilna šesterostrana piramida; i) peterostrana prizma, j) pravilna čeverostrana piramida. 2. b) 5 cm, 4.6 cm, 5.3 cm; c) 6.1 cm; d) O = 73 cm2, V = 42 cm3. 3. a) 9.5 mm; b) 4.66 cm; c) 25.95 m; d) 5.54 m. 4. a) 12 5 ; b) 5 . 5. 15 cm. 6. b) 3 3 cm; c) 54 cm2, 27 cm3. 7. 6 dm. 8. a) ne može; b) 15 cm. 9. 9 2 cm. 10. O = 78.28 dm2, V = 38.19 dm3. 11. O = 54( 3 +6) cm2, V = 486 cm3. 12. O = 204 cm2, V = 120 cm3. 13. O = 216 m2, V = 168 m3. 14. a) O = 472.4 cm2, V = 532 cm3; b) 190.72 cm2, 153.6 cm3; c) 176.11 cm2, 120 cm3. 15. 459.90 dm2, 714.47 dm3. 16. 18 cm. 17. O = 350 dm2, V = 375 dm3. 18. a) O = 51 m2, V = 3.6 m3; b) O = 143.25 dm2, V = 73.91 dm3; c) O = 1073.14 cm2, V = 2040 cm3. 19. a) 30 cm; b) 16.212 kg; c) 9.492 kg. 20. a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 i 20 cm; b) 1155π cm3; c) 1000π cm3; d) obujam stepenastog stošca veći je 15.5%. 21. a) 26 cm3; b) 71.57 cm2 papira. 22. 135 cm3. 23. 57 dm2. 24. a) 39.06 dm; b) 37.49 dm; c) 1525.68 dm2; d) 4025.52 dm2; e) 12892 dm3. 25. a) 30 cm2; b) 30 cm; c) 4.06 cm d) 74.5 cm2.

13

241

R j e š e n j a

26. a) 7.63 cm; b) 7.53 cm; c) 2.49 cm2; d) 29.6 cm2; e) 6.225 cm3. 27. a) 6.2 dm; b) 7.34 dm; c) 236.47 dm2; d) 166.67 dm3. 28. O = 147.3 cm2; V = 112.24 cm3. 29. a) 36π cm2, 16π cm3; b) 3600π m2, 16000π m3; c) 300π dm2, 240π dm3. 30. 51.84π cm2, 62.208π cm3. 31. 0.4755 dm. 32. r = 6.2 cm; Oplošje 8 malih kuglica je dva puta već od oplošja nove kugle. 33. 144 3 cm2, 144 2 cm3.

Rješenja oglednog testa:

1. tetraedar, kocka. 2.

v

a

V = 32 cm3, O = 16(1 + 10 ) cm2

3. O = 326.622 dm2, V = 431.41 dm3. 4. O = 166 cm2, V = 140 cm3. 5. O = 54 cm2, V = 27 cm3, D = 3 3 cm. 6. 49 3 dm2. 7. Stožac: V = 30π cm3, O = 40.32π cm2, valjak: V = 90π cm3, O = 78π cm2. Obujam valjka je tri puta veći od obujma stošca, a oplošje valjka je 1,935 puta veće od oplošja stošca. 8. O = 324π. 9. Potrebno je 109.84 m2 lima, i za to treba platiti 6590.40 kuna.

7. Završno ponavljanje

1.

x 0 –3.2−4

90.22

x2 0 10.2416

810.0484

x –160 26

7

1

2−

x2 25600 88

49

1

4

2. A 2 4,( ) , B −( )2 4, , C 0 0,( ) , D1

4

1

16,

,

E −( )1 1, , F 11

22

1

4,

, G −( )1 5 2 25. , . ,

A (2, 4)B (–2, 4)

G (–1.5, 2.25)

E (–1, 1)

C (0, 0)

2

4

D ( , )14

116

F (1 , 2 )14

14

3. a) 6a + 2b = 54; b) –6x = –13.2; c) 5 – y2 = 4.75; d) 15x2 = 72.6; e) –8a2b2 –ab2 = –7290.4. a) 7x – y ; b) 3x + y; c) 4a –3b + c; d) y2; e) 3a2b – ab2.5. a) 3x – 18; b) –2 – y2; c) 17a – a2; d) 2x2 + x; e) x2y2 – 5y.6. a) –5a + 10a2 + 5ay2; b) 10a2 – 80a – 20ay2; c) –3x2 + 3xy2 + 3xz2; d) –4x2 – 16x – 2xy2; e) –6x – 12x2 – 6a2x + 6xy2;

7. a) a2b + 2a2b2; b) 3xz + 15xzy2; c) –10ax2 – 5axy2 – 30axz2; d) 2x2yz – 15xy2z + 10xyz; e) 30 b2xy – 10 b2x2y + 5a2b2xy + 15 b2xy2.8. a) x2 + 4x + 3; b) a2 – 8a + 15; c) 2 – 3y + y2;

d) –x2 – 5.5x – 6; e) 30 – 351

6y – y2.

9. a) 3x2 + 5x + 2; b) –5y2 + 28y – 15; c) 1 – 6y + 8y2; d) 3 + 49.91x – 1.5x2;

e) 3a2 – 1253

25a + 5.

10. a) 2x2 + 2x – 4; b) 3ab – 5a – 2; c) x2 + 4xy – 36x + 6y; d) 6x2 – 41x + 30; e) 2ab + b – b2.11. a) 64; b) 144; c) 36; d) 144; e) 100.12. a) 9a2; b) 81x2; c) 4b2; d) b2x2; e) x2y2.

13. a) 4

9

2x; b)

1

36 2x; c)

25

9

2

2

x

y;

d) 16

49

2 2

2

a c

b; e)

121

64

2

2 2 2

x

a b y.

14. a) x

y

2

; b) x

2

2

; c)

3

2

2x

;

d) 9

4

2a

b

; e)

12

13

2ab

xy

.

15. a) 121

49; b)

9

4096; c) 16; d)

1521

529; e) 16.

16. a) x2 + 2xy + y2; b) a2 + 10a + 25; c) 49 + 14b + b2; d) 100 + 20x + x2; e) y2 + 2by + b2.17. a) 25 – 10y + y2; b) x2 – 2x + 1; c) 9 – 6b + b2; d) d2 – 2dx + x2; e) y2 – 24y + 144.18. a) a2 + 22ay + 121y2; b) 9x2 – 6x + 1; c) 36 – 96m + 64m2; d) x2 + 24xy + 144y2; e) 25x2 – 50x + 25; f) 4a2.

19. a) a ab b

a b

2 2

2 2

2

4

+ +; b) a ab b

a ab b

2 2

2 2

2

2

+ +− +

;

c) a

a ab b

2

2 22+ +; d) ;

e) a ab b

b bd d

2 2

2 2

4 4

9 30 25

− +− +

.

20. a) 9

16

3

22 2a ab b+ + ;

b) 0.25x2 – 3x + 9;

c) 1

25 – 2a + 25a2;

d) 12.25x2 + 70x + 100;

e) 49

1447 362x x− + .

21. a) 9a2 + 24ab + 16b2; b) 49x2 –84xy + 36y2; c) 36n2 – 36mn + 9m; d) 144x2 + 288xy + 144y2; e) 16x2y2 – 40abxy + 25a2b2;

f) 9a2 – 2a + 1

9.

22. a) 4

9

4

9

1

92 2x xy y+ + ;

b) 0.25x2 – 2xy + 4y2;

c) ;

d) 36x2 + 8x2y + 4

9x2y2;

e) 9

1004

400

92 2x xy y− + .

23. a) a2 – 2ab + b2; b) x2 + 2xy + y2; c) n2 – 4mn + 4m2; d) 4x2 – 40xy + 100y2; e) 16y2 + 40xy + 25y2.24. a) (a + b)2; b) (x – y)2; c) (b + 2)2; d) (5x + 3y)2; e) (10m –9n)2.

25. a) (10 – b)2; b) 3

5

2

x y−

; c) (0.1b + 0.2)2;

d) (0.5x + 0.3y)2; e) (2

3m – 9n)2.

26. a) 5a2 – 2ab + 2b2; b) 2x2 + 2y2; c) 8a2 + 12ab – 8b2; d) 5a2 – 22ab + 34b2; e) 5y2 + 56xy – 48x2.27. a) 2a2 + ab + b2; b) y2 – 4xy – x2; c) 4a2 – 30a + 33; d) 17 – 4a – 14a2; e) –53x2 + 26xy – 173y2.28. a) (c – d)(c + d); b) (x – y)(x + y); c) (m – n)(m + n); d) (x – b)(x + b); e) (z – t)(z + t).29. a) (8 – a)( 8 + a); b) (x – 5)(x + 5); c) (6 – y)(6 + y); d) (x – 1)(x + 1); e) (2 – b)(2 + b).30. a) (4x – 7y)(4x + 7y); b) (5b – 8a)(5b + 8a); c) (11m – 13n)(11m + 13n); d) (x – 3y)(x + 3y); e) (12c – d)(12c + d).31. a) (0.4x – 0.1y)(0.4x + 0.1y);

b) (2

5b – 8) (

2

5b + 8);

c) (1

4a –

1

8b) (

1

4a +

1

8b);

d) (1.5x – 12

13y)(1.5x +

12

13y);

e) (0.3y – 3) (0.3y + 3).32. a) c2 – d2; b) x2 – 36; c) 1 – y2;

d) 10 000 – a2; e) m2 – 256

6561.

33. a) 5x2 – 4xy; b) 50a2 – 28a; c) 25d2 – 10cd – 5c + 2c2; d) a2 + 6b2; e) –13x2 – 2ax + 9y2.34. a) 0.125; b) 7.1289; c) 4.29981696;

d) 1157.625; e) 2839.8241.

35. a) 27

64; b)

4

81; c)

16

87;

d) 1024

59049; e)

2401

14641.

36. a) 32 i 25; b) 36 i 64; c) 125 i 243; d) 2187 i 343; e) 59049 i 1000.37. a) 34 = 81; b) 27 = 128; c) 2.84 = 61.4656;

d) 5

11

5

11

1

= ; e) 18 = 1.

38. a) 53; b) 33; c) 34; d) 54; e) 36; f) 26;

g) 1n; h) 0.22; i) 1.52; j) 1

3

3

.

39. a) 610; b) 1010; c) 1

2

22

; d) 1.339; e) 3434.

40. a) 125; b) 6561; c) 16; d) 5; e) 36; f) 4096; g) 81; h) 729; i) 1024; j) 823543.

41. a) 109; b) 74; c) 51; d) 1.63; e) 3

10

89

.

42. a) a18; b) b1; c) x11; d) y4; e) b11.43. a) 3a2; b) 2a2; c) 210; d) 3a4; e) a12.44. a) (a –5)5; b) (x + b)7; c) (3x)13; d) (2y + b)1; e) (b – 3a)2.45. a) a3 + a4; b) 7a3 + 21a5 + 7a2; c) 5x7 – 4x6; d) xy7 + x3y2; e) 3x3y6 – x2y4 – 3xy.46. a) –20x3 + 36x4; b) –4a3 – 2a5 + 12a2; c) –3a3x7 – 4a3x6; d) –42a5y7 + 6a4y4; e) –9x3y6 + 9x2y4 – 27x2y.47. a) 3.675 ⋅ 103; b) 3.4762 ⋅ 107; c) 4.33 876 112 ⋅ 108; d) 1.1 001 552 ⋅ 107; e) 1. 123231451267 ⋅ 1012.48. a) 2.6011 ⋅ 106; b) 4.13788 ⋅ 106; c) 4.0972 ⋅ 105; d) 5.3126176 ⋅ 109; e) 1.1227278 ⋅ 105.49. a) 3.33 ⋅ 103 puta; b) 9.328125puta; c) za 1.88403 ⋅ 1027; d) za 8.123 ⋅ 1025.50. a) 7.774 ⋅ 10–1; b) 4.000000001 ⋅ 10–2; c) 5.62316 ⋅ 10–13; d) 1.000000078 ⋅ 10–1; e) 5.62006 ⋅ 10–6.51. a) 10–1 = 0.1 ; b) 100 = 1; c) 10–3 = 0.001;

242

R j e š e n j a

d) 107 = 10 000 000; e) 1010 = 10 000 000 000.52. a) 12; b) 13; c) 19; d) 15; e) 11.

53. a) 5

2; b)

1

4; c)

7

9; d)

3

2; e)

4

3.

54. a) 3 i 3; b) 7 i 7; c) 2.56 i 2.56;d)0.01 i 0.01.55.

BG

ED

C

A

F

1

5

10

15

20

25

A 4 16,( ) , B 2 4,( ) ,

C 0 0,( ) , D1

4

1

16,

,

E 1 1,( ) , F 5 25,( ) , G 1 5 2 25. , .( )

56. a) 2 < 1.45; b) 3 < 1.733; c) 3.14 < π; d) 3.9 > 15 ; e) −3 2 < –4.2411.57. a) 20; b) 40; c) 60; d) 30; e) 96.58. a) 4ab; b) 5x; c) 10b; d) 12by; e) 6fg.59. a) 12; b) 12; c) 35; d) 30; e) 20.60. a) 6; b) 5; c) 5; d) 4; e) 18.

61. a) 3

4

x; b)

a

y6; c)

14

9; d)

12ax

b.

62. a) 63a2b2; b) 2x2y2z2; c) 24a2; d) 63x3; e) 125a3b3c3.63. a) 6 + 2 5 ; b) 5 + 2 6 ; c) 21 – 4 5 ; d) 12 + 8 2 ; e) 70 +20 10 .64. a) 15 + 2 10 + 2 15 ; b) 11 + 2 5 – 2 6 ; c) 5 + 4 5 – 8 3 ; d) 8 5 ; e) 46 + 16 30 20 10+ .65. a) 17 3 – 2 2 ; b) 3 3 5− ; c) 7 3 2 2− ; d) 17 2 4 5− ; e) 64 + 3 2 .66. a) 4 2 ; b) 2 2 ; c) 5 3 ; d) 7 2 ; e) 2 3 .67. a) 6 5 ; b) 4 3 ; c) 5 5 ; d) 3 3 ; e) 3 7 .68. a) − −3 11 3 3 ; b) 6 10 2 2+ ; c) 17 – 8 3 ; d) 4 5 4 2− ; e) 6 2 21 12 3 4 6+ − − .69. a) x 2 ; b) 2a; c) −6 3y ; d) 7x –7x 5 ; e) 24x – 8x 10 .70. a) 1 – 2 ; b) 6 6 15 3 10 2 25− − + ; c) 9 6 12 3 30 20 2− − − ; d) 0; e) 3 3 6 2− .71. a) 8+2 7 ; b) 5 – 2 6 ; c) 22 + 4 10 ; d) 30 + 12 6 ; e) 560 – 192 6 .

72. a) 10 5

5

+; b)

2 2

2

−; c)

15 10

5

+;

d) 2 21 15

3

+; e)

8 3 6 2

3

−.

73. a) a1 = 0.8, a2 = –0.8; b) a1 = 0.003, a2 = –0.003;

c) a1 = 3

11, a2 = –

3

11;

d) a1 = 60

13, a2 = –

60

13;

e) a1 = 10

7, a2 = –

10

7.

74. a) x1 = 5, x2 = –5; b) x1 = 5, x2 = –5;

c) x1 = 8

3, x2 = –

8

3; d) x1 =

1

5, x2 = –

1

5;

e) x1 = 17

11, x2 = –

17

11.

75. a) x = 3; b) x = 3 2 ; c) x = 20; d) x = 10; e) x = 29; f) x = 20; g) x = 2.1; h) x = 2 .76. a) Doseći će visinu od približno 5.4 m;

b) doseći će visinu od 2 6 ≈ 4.9 m; c) doseći će visinu od približno 5.46 m.77. x = 2 561 47 37≈ . m.

50 m16 m 19 m

3 mx

78. P = 100 3

6cm2.

79. Dimenzije kriški su 3 cm, 4 cm i 5 cm.80. Duljine stranica su 15 cm, 36 cm i 39 cm, a P = 270 cm2.81. Može, d ≈ 1.28 m.82. Moći će unijeti krilo ormara, d ≈ 2.24 m.83. a) Dimenzije stranica ekrana su 42 cm i 40 cm; b) P = 1680 cm2.

84. d = 25 2

2 ≈ 17.68 m.

85. a) P = 9

4

π cm2; P =

a2

4

π cm2.

86. v = 2 6 ≈ 4.9 m.87. b) v ≈ 7.95 m.88. a) v = 12 cm; b) v = 21 m; c) a = 8 15 cm; d) a = 4 cm; e) b = 2 5 cm; f) b = 3 2 cm.89. a) Duljine njegovih kateta su 9 2 cm, a hipotenuze 18 cm; b) O = 18 + 18 2 cm; P = 81 cm2.90. a) P = 96 3 cm2; b) r = 4 3 cm, P = 48 π cm2.91. a) P = 3 cm2; b) P = 9 3 dm2.92. a) a = 10 cm, v = 5 3 cm, O = 30 cm;

b) a = 4 6

3 m, v = 2 2 m, O = 4 6 m.

93. O = 80 dm, P = 384 dm2.94. a = 15 cm. 95. d = 2 3 dm.96. O = 398 mm. 97. O = 32 + 8 2 cm.98. O = 264 + 50 13 mm, P = 11220 mm2.

99. a) A B' ' = 3 cm; b) A B' ' = 21 cm.100. a) Pravilna 6-strana prizma, pravilna 6-strana piramida, 5-strana prizma, pravilna 4-strana piramida, kocka, valjak, kugla; b) 12, 7, 10, 5, 8, 0, 0; c) 18, 12, 15, 8, 12, 0, 0; d) 8, 7, 7, 5, 6, 3, 0; e) mnogokuti i krug; f) prizme i valjak imaju dvije baze, piramide i stožac jednu bazu, a kugla nema niti jednu.102. D = 10 2 cm, d1 = 10 cm, d2 = 2 34 cm, d3 = 2 41 cm, O = 376 cm2 , V = 480 cm3.103. Ne može, D ≈ 69.64 cm.104. Može, D ≈ 4.92 m.105. Ne može, D ≈ 3.46 dm.106. D = 5 3 cm, d = 5 2 cm, O = 150 cm2, V = 125 cm3.107. Može, P = 1.5 m2, a O = 1.215 m2.108. O = 36 + 2 3 cm2, V = 6 3 cm3.109. O = 4 21 70+ cm2, V = 10 21 cm3.110. v ≈ 48.11 cm.111. V = 5 6 cm3.112. a) Duljina poluge je približno 9.55 cm; b) masa poluge je 9650 g.113. a) Približno 41.57 cm3 čokolade; b) potrebno je približno 134.93 cm2

kartona.114. V = 60 π cm3.115. a) V = 96 π cm3, O = 80 π cm2; b) V = 144 π cm3, O = 120 π cm2.116. a) V = 12 π cm3, O = 24 π cm2 ; b) V = 16 π cm3, O = 36 π cm2 .

117. a) V = 4

3π cm3, O = 4 π cm2,

m ≈ 80.84 kg;

b) V = 4

3π cm3, O = 4 π cm2,

m ≈ 9.22 kg.

118. a) V = 15 3

4cm3; b) V = 15 cm3;

c) V = 45 3

2cm3.

119. V = 48 cm3.120. Materijala treba približno 59.67 m2, a naručiti treba 62.65 m2, što će koštati 31 325 kn.121. Potrebno je 75.36 m2 lima za prekrivanje tog krova, ali treba naručiti 80.64 m2 što će koštati 40 320 kn.122. 123.

A

B

C

E

DA’

B’C’

E’

D’

A

B

C

E

D

A’

B’

C’

E’

SD’

124.

A

B

C

E

D

A’

B’

C’

E’

D’

H

I

125.

A

B

C

E

D

A’

B’

C’

E’

S

D’

126. Druga slika prikazuje likove preslikane osnom simetrijom.127. Rim, Atena, Madrid, Berlin, Haag, Zagreb, Beč, Pariz, Bern, Prag, London, Oslo, Kopenhagen, Helsinki, Moskva.128. a) 1.17; b) –69.43; c) –18.29; d) 0.12;

e) −213

15; f) 4

5

12; g) −6

11

14; h) 1

14

55.

129. a) 1400 m;b)0.03m; c) 0.03 m;d) 0.234 m.130. a) 750 g; b) 520 g.131. a) 30 min; b) 10 min.

132. a) 1

6; b) –1; c) 5

8; d)

1

8.

133. a) –14 7

15; b) –1; c) 4

3; d) 5

6.

134. a) 25; b) 1; c) –2; d) –6; e) –19.135. a) 81.2; b) –79.4; c) 1.9; d) –17.05.136. a) y = 8; b) x = –1; c) y = –57.6;

d) y = 44

15; e) x = –10.5; f) x = 5; g) x = 8;

h) x = 0.34; i) x = –16.6; j) x = 1

3.

137. Luka ima 11, a baka 66 godina.138. Jedan par košta 290.93 kn, a drugi 390.05 kn.139. Djevojčica ima 13, a dječaka 15.

243

R j e š e n j a

140. A(4, –9), B(5, 3), C(1, –3), D( 5, 5), E(–2, 3), F(6, 8), G(14, 3), H(7, 5), I(11, –3), J(7, 3), K(8, –9).

4 6 8 10–2 0

0

–2

–4

–6

A K

B

D

E

F

G

H

J

IC

–8

2

4

6

8

141. a) (1, –1); b) (8.5, 4.5); c) (2

3, 0); d) (5, 2).

142. Trokut je jednakokračan,

–2 00

–2A A’

BB’

C’ C

2

143. 120 km.144. Damir će dobiti 600 kn, a Josip 750 kn.145. Prijeći će 178.75 km.146.a)Može kupiti 64 dag; b) platit će 46.50 kn.147. Povoljnije je kupiti 7 kg jabuka za 23.80 kn.148. Kasnit će 1 sat. 149. Treba 10 radnika.150. 617.3 151. 1560.152. Koštat će 73.96 kn.153. Koštale su 100 kn.154. Kamatna stopa je 6%.155. Treba vratiti 1 550 000 kn, a mjesečna rata je 6 200 kn.156. a) x = 5.5°C; b) najniža temperatura je u siječnju, najviša u kolovozu i rujnu, a najbliža srednjoj u svibnju; c) razlika je 40°C.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

I II III IV V VI VIIVIII IX X XI XII157. a) a’ = 2.4 cm, b = 2.3 cm, c’ = 8.4 cm; b) a = 35 mm, b’ = 20 mm; c) b = 1.5 cm, a’ = 4 cm, c = 2.1 cm.158. Bor je visok 6 m.159. 1 kg krušaka košta 12 kn, a 1 kg banana košta 3 kn.160. 22-postotnog srebra treba 50 g, a 34-postotnog treba 100 g.161. a) b)

1 5

–2

2

4

1 5

–2

2

4

162.

jednadžba pravca

a brast ili pad

y = 3x + 5 3 5 rastey = –7x –11 –7 –11 paday = –4.6x + 1.5 –4.6 1.5 pada

y x= +3

42 6.

3

42.6 raste

jednadžba pravca

sjecište s osi ordinata

nul-točka

y = 3x + 5 (0, 5) ( −5

3, 0)

y = –7x –11 (0, –11) ( −11

7 , 0)

y = –4.6x + 1.5 (0, 1.5) (15

46 , 0)

y x= +3

42 6. (0, 2.6) ( −

52

15, 0)

163. Grafu pripadaju točke A i D.164. a) f(x) = 3x + 1; b) f(x) = –x –2.5;

x f(x)

–3 –8

–2 –5

0 1

2 7

3 10

x f(x)

–10 7.5

–5 2.5

2 –4.5

10 –12.5

30 –32.5

1

5

–5

10

–10

1

5

–5

10

10

–10

–10

c) f x x( ) = −1

210 .

x f(x)

–10 –15

–2 –11

3

4– 9

5

8

1 –91

2

4 –8

1

–5

10

–10

–15

–10

165. a) x = 8; b) x = 14; c) x = 4. 166. Postoji, to je 8-kut.167. Zbroj unutarnjih kutova je 3240°, taj mnogokut ima 170 dijagonala, O = 140 cm.168. n = 25.169. n = 18.170.

r = 5 cm

45°

171. Elementarnih događaja ima 25,

a) P = 2

5; b) P =

1

25;

c) P = 2

5; d) P =

4

25.

172. a) P = 1

6; b) P =

1

3; c) P =

2

3.

Primjerak inicijalnog testa u 1. razredu srednje škole:

1. Stanje računa Anine mame je 3030 kn u plusu.2. a) 4; b) –6.

3. a) 45

6; b)

1

3; c) 1

5

7; d) 1

1

16.

4. a) x = –1.6; b) x = 1

3.

5. (1, 1).6. Matija ima 12 godina, a baka 60.7. Trokut je jednakokračan,

–2

A A’

B

C’

B’

C

2

5

4

6

8. a) 63

4; b) 1.

9. 34.10. a) 4x2 – 4x + 1; b) 25x2 – 16; c) –3a2 + 13a –4; d) 2x2 – 1.11. a) 75; b) 5; c) 3 + 7 2 .12. O = 24 cm, P = 24 cm2.13. a) b)

A B

D C

A B

C

c) d)

14. O = 24 cm2; V = 56 cm3.15. x = 4.16. Cijena cipela nakon sniženja je 279.65 kn.17.

B

C

O

S5 cm 3 cm

4.5 cmA

A, B Arhimedova tijela, 166

baza prizme , 132

C, Č centralna simetrija, 19

centralnosimetričan lik, 25

centralnosimetrične točke, 19

četverostrana piramida, 154

D, G duljina vektora, 38

geometrija prostora, 68

geometrija ravnine, 68

I, K izvodnica stošca, 180

kocka, 123

kolinearne točke, 71

kompozicija preslikavanja, 60

kosa prizma, 113

kugla, 186

kvadar, 117,1137

M, N međusobni odnosi pravaca i

ravnina, 80

mimosmjerni pravci, 78

mjerne jedinice za obujam, 137

negativan smjer rotacije, 30

nekolinearne točke, 71

nul-vektor, 49

O obla geometrijska tijela, 107

obujam kocke , 140

obujam kugle, 187

obujam kvadra, 136

obujam piramide, 154,162

obujam prizme, 142

obujam stošca, 183

obujam valjka, 176

oduzimanje vektora, 50

okomitost dviju ravnina, 89

okomitost pravca i ravnine, 87

oplošje kocke, 126

oplošje kugle, 187

oplošje kvadra, 119

oplošje piramide, 152

oplošje prizme, 130

oplošje prizme, 132

oplošje stošca, 182

oplošje valjka, 175

orijentacija vektora, 40

ortogonalna projekcija dužine na

ravninu, 93

ortogonalna projekcija točke na

ravninu, 91

os simetrije, 8, 9

osna simetrija ili zrcaljenje, 9

osnosimetrična slika, 9

osnosimetrični likovi, 16

P piramida, 148

Platonova tijela, 165

pobočke prizme, 111

pobočke prizme, 132

poliedar, 166

pozitivan smjer rotacije, 30

pravac u prostoru, 76

pravilna prizma, 113

presječnica, 85

preslikavanje ravnine, 8

probodište, 81

prostor, 70

prostorna dijagonala kocke, 124

R ravnina u prostoru, 85

rotacija, 29

rotacijsko tijelo, 177

S, Š sfera, 186

simetrija i rotacija, 60

stožac, 179

suprotni vektori, 41

šesterostrana piramida, 169

T tetraedar, 163

točka u prostoru, 71

translacija , 53

translacija vektora, 54

trodimenzionalni prostor, 70

trostrana piramida, 162

trostrana prizma, 128

U udaljenost točke od ravnine, 96

uglata geometrijska tijela, 107

usmjerena dužina (vektor), 37

usporedne ravnine, 85

usporedni pomak (translacija), 53

usporedni pravci, 77

uspravna prizma, 113

V valjak, 173

vektor, 36

vektori istog smjera, 39

visina piramide, 149

visina stošca, 180

visina valjka, 174

volumen (obujam), 136

vrste piramida, 149

Z zbrajanje vektora, 45-46

zrcalna slika, 9

K a z a l o p o j m o v a

244

Documents

Razred 8 - Petica+ II Svezak