Razonamiento Lógico - · PDF fileRazonamiento Lógico GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. LA RECTA PRACTICA a ) (01. Un segmento tiene una longitud de 29 unidades,

Razonamiento Lógico

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.

LA RECTA PRACTICA

01. Un segmento tiene una longitud de 29 unidades, si el

origen de este segmento es A(-8, 10) y la abscisa del extremo del mismo es 12, calcular la ordenada.

a) 9 b) -9 c) 11 d) -11 e) 12

02. la ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto

B(5, -2) es 412 . hallar la abscisa del punto.

a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1

03. hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -1); (0, 3); (3, 4); (4, -1)

a) 36.8 b) 42.3 c)20.26 d) 51.6 e) 63.5

04. Si P (a, a + 1) es un punto que equidista de A(2, 1) B(6, 5). Hallar el valor de: “a”

a) -3 b) -4 c) -2 d) -5 e) -6

05. Determinar las coordenadas del punto que equidista de los puntos A(1, 7), B(8, 6), C(-7, -1)

a) (4, 3) b) (-2, 1) c) (-2, 3) d) (4, -2) e) (1, 2)

06. El segmento limitado por los puntos A(1, -3) y B(4, 3) ha sido dividido en tres partes iguales, determinar las coordenadas de los puntos de división. a) (2, -1) y (3, -2) b) (3, 1) y (3, 2) c) (2, -1) y (3, 1) d) (3, 2) y (3, 1) e) (4, 2) y (-1, 3)

07. Hallar las coordenadas del punto P que está a 3/5 partes de la distancia de A(7, 4) a B(-3, 2). Si M es el punto medio de AB. Calcular d(P, M).

a) 26 b)

5

26 c) 5

d)

2

55 e) 33

08. Los extremos de una varilla homogénea son A(3, 5) y B(-1, 1). Determinar las coordenadas de su centro de gravedad. a) (1, -2) b) (1, 2) c) (-2, 1) d) (-2, 2) e) (3, 5)

09. El centro de gravedad de una varilla una variable homogénea está situada en el punto M(1, 4) uno de sus extremos en el punto P(-2, 2). Determinar las coordenadas del otro extremo Q de la varilla. a) (1, 8) b) (2, 7) c) (4, 5) d) (4, 6) e) (2, 6)

10. Sabiendo que las coordenadas de dos vértices de un triángulo son: A(-4, 8), B(3, -8) y que el centro de gravedad es G(2, 6). Hallar las coordenadas del tercer vértice.

a) (7, 16) b) (4, 16) c) (7, 5)

d) (8, 16) e) (7, 8)

11. Hallar las coordenadas de un punto equidistante de los vértices del triángulo ABC, donde A(2, -1), B(3, 6) y C(-5, 0).

a ) (-1, 2) b) (-1, 3) c) (-2, 5) d) (3, 2) e) (-1, 1)

12. En un triángulo rectángulo ABC, A(-8,2) B(4, 6) y C es el vértice del ángulo recto. Determinar las coordenadas de C sabiendo que está en el eje y.

13. Determinar la naturaleza del cuadrilátero ABCD, siendo A(-2, 6), B(0,2), C(4, 0) y D(2, 4). Hallar su área.

a) 24 b) 12 c) 48 d) 36 e) 6

14. El baricentro del triángulo ABC es el punto G(3, 3). Determinar los vértices del triángulo sabiendo que los puntos medios de dos de sus lados son los puntos P(-3, 4) y Q(7, 3). Dar como respuesta la suma de sus abscisas. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

15. Un triángulo tiene por vértices A(2, 3), B(4, 1) y C(0, 1). Por el punto Q(12/5, -1/5) que pertenece al lado BC se traza una paralela a AB que corta al lado AC en el punto M. Hallar las coordenadas de M.

a)

3

11,

3

6 b) (6, 2) c) (6, 11)

d)

2

3,2 e)

5

11,

5

6

16. Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divida

el segmento determinado por que )1,2(P1

)4,3(P2 en la relación r = -8/3.

a) (6, -8) b) (4, -6) c) (6, -6) d) (6, -7) e) (7, -7)

17. El extremo de un diámetro de una circunferencia de

centro )1,4(P1 es )6,2(P2 . Hallar las

coordenadas P(x, y) del otro extremo.

a) (-10, -6) b) (-10, -4) c) (-10, -8) d) (-9, -4) e) (-8, -4)

18. Hallar dos puntos )y,x(P 111 y )y,x(P 222

que dividan al segmento que une A(3, -1) con B(9, 7) en tres partes iguales.

a) (2, -1) y (8, 6) b) (3, 6) y (7, 13/3) c) (5/3, 5) y (6, 13) d) (-1, 2) y (3, 5) e) (5, 5/3) y (7, 13/3)

19. Hallar las coordenadas del extremo C(x, y) del segmento que une este punto con A(2, -2) sabiendo que el punto B(-4, 1) está situado a una distancia de A igual a las tres quintas partes de la longitud total del segmento.

a) (-7, 5) b) (-6, 4) c) (-7, -5) d) (-8, 3) e) (-6, 4)

20. Sabiendo que el ángulo formado por las rectas 1L

y 2L es de 45°, y que la pendiente 1m de 1L es

2/3, hallar la pendiente 2m de 2L

a)3 b)4 c)5 d)6 e)1/3

21. punto P de máxima ordenada.

A = (1, 3)

B = (7, 11)

P

x

y

0

a) (3, 6) b) (4, 11) c) (4, 12) d) (3, 12) e) (5, 13)

22. Calcular las coordenadas de Q, Si: AQ + QB es mínimo.

x

y

0 Q

B = (11, 2)

A = (1, 8)

a) (8, 2) b) (8, 0) c) (9, 0) d) (11, 0) e) (7, 2)

23. Del gráfico. Calcular “n”.

A = (n - 5, 6)

C = (7, n + 10)

B = (4, n + 5)

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

24. La recta 1L pasa por los puntos A = (10, 9) y B = (2,

3), la recta 2L pasa por los puntos A = (10, 9) y C

= (3, -15). Hallar la pendiente de la recta bisectriz del

ángulo agudo que forman 1L y 2L .

a) 5/3 b) 13/9 c) 3/5 d) 9/13 e) 3/4




LA CIRCUNFERENCIA Definición Se llama circunferencia al conjunto de puntos de plano que se encuentra a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro) de ese plano.

r

P(x; y)

h

k

0X

Y

C(h; k)

Si P(x; y) es un punto genérico de una circunferencia de

centro C(h; k) y radio rCP , entonces por la

definición de circunferencia se tiene:

22rCPrCP

Es decir:

222 )()( rkyhx

PRACTICA 1. La ecuación de la circunferencia que pasa por los

puntos A(1; 2), B(4; 6) y cuyo centro está sobre el eje X, es:

a) 0142

yx62

x12

b) 056x22

y122

x6

c) 02

yx22

x36

d) 0384x5642

y362

x36

e) 0420x5642

y122

x36

2. La ecuación de la circunferencia que pasa por los

puntos (2; 3) y (4; 1) y que tiene su centro en la recta 3x – 4y = 0 es:

a) 42

)3y(2

)4x(

b) 42

)3y(2

)4x(

c) 04x42

y2

x

d) 42

)3y(2

)4x(

e) 12

y2

)4x(

3. En la figura mostrada. Hallar área de la región

sombreada.

x2 + y2 = 25

y = x + 1

X

Y

a) 2

3

36

265 b)

3

2

72

265

c) 2

3

72

265

d) 2

3

72

265 e)

2

3

72

265

4. La distancia mínima del punto (3; 9), a la

circunferencia:

0313y30x262

y2

x es:

a) 17 b) 595 c) 26

d) 9 e) 667

5. Halla la medida del ángulo agudo formado por la recta

3x – y – 1 = 0 y la circunferencia

01x42

y2

x

a) 45° b) 60° c) 30 d) 75° e) 15° 6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los

puntos A = (3; 2) y B = (7; 8), sabiendo que la recta x – y = 5 pasa por el centro de la circunferencia.

a) 252

)3y(2

)8x(

b) 262

)3y(2

)8x(

c) 252

)8y(2

)3x(

d) 262

)8y(2

)3x(

e) 262

)3y(2

)8x(

7. Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica a la

circunferencia 02y10x62

y2

x ;

cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia.

a) 42

y2

x b) 92

)5y(2

)3x(

c) 92

)5y(2

)3x(

d) 42

)5y(2

)3x(

e) 42

)5y(2

)3x(

8. 8. En la ecuación de la recta tangente a la

circunferencia:

023y2x22

y2

x .

En el punto P = (2; 5). a) 3x – 4y = 26 b) 4x – 3y = 26 c) 3x + 4y = 26 d) 4x + 3y = 26 e) 6x + 2y = 13 9. Los puntos extremos de una cuerda de una

circunferencia son: A = (2; 7) y B = (4; 1). La ecuación de esta circunferencia que tiene su centro en el eje Y es:

a) 011y62

y2

x

b) 029y62

y2

x

c) 029y62

y2

x

d) 011y62

y2

x

e) 011y62

y2

x

10. Sean las circunferencias:

016y8x122

y2

x:1C y 2C ; cuyo

centro es (7; 7). La ecuación de la recta que pasa por el punto (0; 13) y es perpendicular a la recta que une los centros de estas circunferencias es: a) x + 3y – 39 = 0 b) x – 3y +39 = 0 c) x – 3y – 39 = 0 d) 3x – y + 13 = 0 e) 3x + y – 13 = 0 11. Los extremos de un diámetro de una circunferencia C

son los puntos A = (-3; -4) y B = (5; 8). La ecuación de C es:

a) 047y4x22

y2

x

b) 047y2x42

y2

x

c) 047y4x22

y2

x

d) 047y4x22

y2

x

e) 057y4x22

y2

x

12. La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el

punto C = (-2; 3) y que es tangente a la recta 2x – y – 2 = 0, es:

a) 016y30x202

y52

x5

b) 013y6x42

y2

x

c) 016y30x202

y52

x5

d) 016y6x42

y2

x

e) 016y30x202

y52

x5

13. La ecuación 0177y64x82

y162

x16

representa: a) Un conjunto vacío b) Un punto c) Una circunferencia de centro (-1/4, 2)

d) Una circunferencia de radio 7

e) Una circunferencia de centro (1/4, -2) y radio 7 14. La recta L: x + y + 1 = 0 intersecta a la circunferencia

52

y2

x:C en los puntos A y B. Hallar el

punto medio de AB

a) (0; 1) b) (-3/2; -3/2) c)

d) (-1/2; -1/2) e) (-1, 9) 15. La recta y = x + 3 es tangente a la circunferencia

82

y2

)1x( en el punto (a; b). Entonces a

+ b es: a)1 b) 0 c) -1 d) 3 e) -3 16. Las circunferencias:

12

)1y(2

)1x(:1C y

12

)1y(2

)1x(:2C . Son:

a) Secantes b) Coincidentes c) Tangentes interiores d) Tangentes exteriores e) No se intersectan

)1;5(


17. Una circunferencia pasa por los puntos A = (2; 4), B = (4; 2) y C = (1; 3). Esta encierra un área de:

a) 5 b) 2/10 c) 2

d) 2,5 e) 10 18. Una circunferencia encierra un círculo de área

2u5,4 y tiene su diámetro sobre la recta y = x. Si

el punto A de la circunferencia, más cercano al origen

dista de el 2 unidades. El centro de la

circunferencia es: a) (3/2; 3/2) b) (3/2; 5/2)

c) (3; 3) d) )22;22(

e) (5/2; 5/2) 19. Halla la ecuación de la tangente a la circunferencia.

012y6x42

y2

x

en el punto A = (-5, 7) a) 3x + 4y – 13 = 0 b) 4x – 3y + 41 = 0 c) 4x + 3y – 1 = 0 d) 3x – 5y +50 = 0 e) 3x – 4y + 43 = 0 20. El punto C = (3; -1) es el centro de la circunferencia

que intersecta en la recta: 2x – 5y + 18 = 0, una cuerda cuya longitud es igual a 6. Hallar la ecuación de esta circunferencia.

a) 182

)1y(2

)3x(

b) 482

)1y(2

)3x(

c) 382

)1y(2

)3x(

d) 382

)1y(2

)3x(

e) 282

)1y(2

)3x(

21. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la ,

circunferencia:

047y2x42

y2

x en el punto (6; 5).

Determinar las coordenadas de su centro. a) (4; 2) ó (8; 8) b) (3; 2) ó (6; 7) c) (4; 2) ó (8; 6) d) (2; 4) ó (8; 8) e) (4; 2) ó(6; 8) 22. Se tiene la circunferencia:

012y6x42

y2

x , y el punto (3; 3).

Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia trazada por dicho punto.

a) x = -3 b) x = 3 c) y = 3 d) y = -3 e) x = 5 23. Hallar la ecuación de una recta tangente a la

circunferencia cuya ecuación es:

15y4x22

y2

x y pasa por el punto (1;

2). El punto de tangencia es (1; 2). a) x + 2y – 5 = 0 b) x + 5y – 2 = 0 c) 5x + 2y = 0 d) 5x + 3y – 7 = 0 e) 2x + 3y – 11 = 0

24. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro (3; 1) y tangente a la recta: x + y + 3 = 0

a) 029y4x122

y22

x2

b) 030y4x122

y22

x2

c) 031y4x122

y22

x2

d) 052y4x122

y22

x2

e) 051y4x122

y22

x2

25. de la figura. Hallar M. Si:

M = Tg + Sec

(x+1)2 + (y-7)2 = 25

Y

X

a) 0,5 b) 0,25 c) 0,75 d) 1,5 e) 3 26. Hallar la ecuación de la circunferencia,

si C(1, 1)

Y

X

C

a) 0y3x22

y2

x

b) 0y2x22

y2

x

c) 0y2x22

y2

x

d) 0y2x22

y2

x

e) N.A. 27. Hallar la ecuación de la circunferencia:

Y

X

5

a) 025y10x102

y2

x

b) 025y10x102

y2

x

c) 025y10x102

y2

x

d) 025y10x102

y2

x

e) N.A. 28. hallar “n”, de modo que el radio de la circunferencia:

0ny10x62

y2

x

sea 6 unidades a) 15 b) 12 c) 8 d) 18 e) 2 29. Hallar la circunferencia:

C

(1, 1)

(7, 9)

a) 016y10x82

y2

x

b) 025y10x82

y2

x

c) 025y10x82

y2

x

d) 025y10x82

y2

x

e) 0139y10x82

y2

x

30. Área del cuadrado ABCD = 1002

u . Hallar la

ecuación de la circunferencia.

X

Y

D

A

C

B

a) 202

y2

x

b) 302

y2

x

c) 402

y2

x

d) 502

y2

x

e) 602

y2

x




LA PARÁBOLA Definición: La parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo “F” llamado foco y de una recta fija D llamada recta directriz. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El segmento cuyos extremos son puntos de la parábola y que pasa por el foco se llama cuerda focal, si esta cuerda es perpendicular al eje de la parábola se llama lado recto.

K : parábola

V : vértice

F : foco

VF : eje de la parábola

D : directriz

PN : cuerda focal

RS : lado recto

P K | PF | = | PM |

Practica

01. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el

origen de coordenadas y su foco es (0 ; -8).

a) x2 = -25y b) x2 = -30y c) x2 = -32y

02. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (8;-3) y el foco es (-5 ; -3). a) (y - 1)2 = 52(x - 8) b) (y + 3)2 = 52(x - 8) c) (y + 3)2 = -52(x - 8)

03. Escribe la ecuación de la parábola, cuyo foco es el punto (-4;0) y su recta directriz es x = 4.

a) y2 = 4x b) y2 = -16x c) y2 = -8x

04. Halla el área formando al unir los puntos de intersección de la parábola : y2 + 4x + y - 20=0 con los ejes de coordenadas.

a) 20,5 b) 11,5 c) 22,5

05. El foco de una parábola es el punto A(4;0) y un punto sobre la parábola es el punto P(2;2); entonces la distancia del punto “P” a la recta directriz de la parábola es :

a) 2 b) 3 c) 2 2

d) 2 3 e) -2

06. El cable del puente colgante de la figura tiene la forma de una parábola; las dos torres se encuentran a una distancia de 150 metros entre sí y los puntos

de soporte del cable en las torres se hallan a 22 mts. sobre la calzada. Además el punto más bajo del cable está a 7 metros de dicha calzada. Halla sobre la calzada, la distancia de un punto de cable que se encuentra a 15 mts. de una de las torres.

22 m22 m

Cable

7 m

Calzada

a) 16 m b) 15,6 m c) 16,6 m d) 14 m e) 14,6 m

07. Una parábola cuyo vértice es el origen y cuyo eje coincide con el eje “y” además pasa por el punto (2 ; 7). Halla la ecuación

a) 7x2 = 4y b) 4x2 = 7y c) 7x2 = y

08. Trazar una tangente a la parábola y2 = 12x, que sea paralela a la recta: 3x - 2y + 30 = 0. a) 3x - 2y + 4 = 0 b) 3x - 2y + 16 = 0 c) 3x - 2y - 2 = 0

09. Halla en la parábola: y2 = 4x ; el punto “M1”, más próximo a la recta : -4x + 8y - 21 = 0. Calcula la distancia del punto “M1” a esta recta.

a) 5 b)

4

5 c)

2

5

d) 2 5 e) N.A

10. Halla las coordenadas del foco de la parábola P: x2

+ y = 0

A) (0,1/2) B) (0,-1/4) C) (0,1/2) D) (0,1) E) (0,-1)

11. Halla la ecuación de la parábola cuyo foco es (1/2, 0) y de recta directriz 2x + 1 = 0

A) y2 – x = 0 B) y2 – 2x = 0 C) y2 – 4x = 0 D) x2 – 2y = 0 E) x2 – 4y = 0

12. Halla la ecuación de la parábola de vértice (-4, 0) siendo su foco (-6,0)

A) y2+8x-32=0 B) y2+8x+16=0 C) y2+8x+32=0 D) y2-4x+16=0 E) y2+4x+16=0

13. Una parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje “Y” y pasa por el punto (4,-2), halla la ecuación de la parábola.

A) x2+8y=0 B) x2-8y=0 C) x2-4y=0 D) x2+4y=0 E) x2-12y=0

14. Halla la ecuación de la parábola de vértice en el origen y su directriz es la recta x + 5 = 0.

A) y2-5x=0 B) y2-10x=0 C) y2-20x=0 D) x2-10x=0 E) x2-20y=0

15. Halla la ecuación de la parábola que tiene como foco (0, 4) y la recta directriz es y + 4 = 0

A) x2-8y=0 B) x2-4y=0 C) x2-16y=0 D) x2-y=0 E) x2-6y=0

16. Halla la ecuación de la recta directriz de la curva y2 + 8x – 4y = 28.

A) x – 6 = 0 B) x – 4 = 0 C) x – 8 = 0 D) x – 4 = 0 E) x – 7 = 0

17. Una cuerda de la parábola y2 – 4x = 0 es un segmento de la recta x –2y + 3 = 0; halla su longitud.

A) 5 B)2 5 C)3 5 D)4 5 E) 5 /5

18. Halla la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los puntos (-4, 3) y (-1, 3).

A) y2–6y+12x–10=0 B) y2–6y–12x–39=0 C) y2–2y–6x–7=0 D) y2–4y–8x–19=0 E) y2+6y+12x–39=0




SEMANA 4 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Definición: Es aquella magnitud originada por el movimiento de un rayo respecto de otro tomado como fijo.

A

A'

OA

O

OA'

: Lado inicial

: Lado final

: Ángulo trigonométrico

Sentido: Puede tomar dos sentidos:

Antihorario: genera ángulos positivos

A

A'

O

Horario: genera ángulos negativos

A

A'

O

Magnitud: Puede tomar cualquier valor positivo o negativo. Varía de

(+) a (-). 1. Del gráfico; indique lo correcto :

rad

a) -90 = b) + = 90 c) -= 90

d) (-90) = 90 e) (-90) = 180 2. De la figura mostrada, halla el valor de “b”

aproximadamente. a) 6028 b) 6534 c) 6842 d) 7013 e) 7467 3. Reduce:

ººººººº OIDEMORP

OIDEMORP gggggggg

a) 10/9 b) 9/10 c) 1/10 d) 1/9 e) Faltan datos 4. Indica la proposición falsa:

a) El ángulo trigonométrico puede ser positivo, negativo o cero.

b) 1g <> 100m c) 400g <> 360° d) 1° <> 3600” e) Un radian es un ángulo central que subtiende un

arco de longitud igual al diámetro de la circunferencia.

5. Indica la proposición verdadera: a) 3° = 3g = 3 rad. b) 1° < 1g < 1 rad c) 2 rad > 2° > 2g d) 1 rad. < 50° e) 1 rad. > 80° 6. Siendo “S” , “C” y “R” la medidas de un ángulo en los

sistemas sexagesimal, centesimal y radial. Halla un ángulo en radianes si cumple con:

C

C

SR

2001802

a) /2 b) c) 2

d) 4 e) 8

7. La suma de dos ángulo es 7/20 rad y su diferencia es 30g. Halla la mitad del menor ángulo en grados sexagesimales.

a) 12° b) 9° c) 6° d) 3° e) 15° 8. Se tiene un ángulo tal que al medirlo en grados

sexagesimales dicho número excede en 79 a 7 veces su número de radianes. Halla el ángulo en sexagesimales.

(Considere = 22/7) a) 30° b) 60° c) 90° d) 120° e) 150° 9. Si un ángulo mide “a” grados centesimales y “b” es el

número de minutos sexagesimales que tiene el mismo ángulo.

Calcula:

a

abP

4

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 10. ¿Cuál es el valor de un ángulo de 72° en un nuevo

Sistema Promedio (P) en el que el ángulo de una vuelta tiene 50 grados P.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10 11. Halla la medida, en radianes del mayor ángulo de un

cuadrilátero sabiendo que tales medidas están en progresión geométrica y que el ángulo mayor vale ocho veces el menor.

a) 13/15 b) 14/15 c) 23/15

d) 14/15 e) 16/15 12. Si se cumple que:

'30

6020

20

183 'PP g

m

g

Entonces el valor de “P”, es:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 13. La medida de un ángulo α está dado por S°C’ y la de

un ángulo θ está dado por SgCm. Si la diferencia del numero de minutos centesimales θ y el numero de minutos sexagesimales α es 360.

Calcula (α+ θ) en el sistema sexagesimal. Nota: S y C son los números convencionales.

a) 17° 21’24’’ b) 17° 24’11’’ c) 17° 24’21’’ d) 18° 11’24’’ e) 17° 24’11’’ 14. Se crean dos nuevos sistemas de medición angular “A”

y “V” de tal manera que 117° equivalen a 169° grados A, 85g equivalen a 136 grados V. Un alumno al dibujar 208 grados V se equivocó y dibujó 208 grados A. Halla el error en radianes.

a) /20 rad b) 3/20 rad c) /5 rad

d) /4 rad e) 3/10 rad 15. Si por dictar 95° se dicta 95g ; se desea conocer el error

en porcentaje respecto a la verdadera magnitud.

a) 5% b) 8% c) 10% d) 12% e) 15%

16. Un ángulo mide en grados sexagesimales: aa1 ,

pero en grados centesimales mide: 01b ¿A qué es

igual (b/a)? a) 2/3 b) 3/2 c) 2 d) 1/2 e) 5/2 17. El equivalente de 1 radián en el sistema sexagesimal

es : a) 56°17´40” b) 57°17´44” c) 57°16´40” d) 56°17´44” e) 1° 18. Si un ángulo mide a´ y también am ; calcular “a/b”. a) 0,17 b) 0,27 c) 0,54 d) 0,72 e) 0,67 19. Si un ángulo mide a´ y bS ; calcular “a/b”. a) 0,54 b) 0,054 c) 0,0054 d) 0,27 e) 0,0027 20. Se crea un nuevo sistema de medición angular “P” tal

que 7 de sus unidades equivalen a 12°. Señale el equivalente 21 unidades de “P” en grados centesimales.

a) 20g b) 30g c) 40g d) 50g e) 60g

21. En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden

(8n)g y (7n+2)° . Señale la medida radial del ángulo desigual.

a) rad3

b) rad4

c) rad

5

d) rad6

e) rad9

22. Señale la medida radial de un ángulo si se sabe que el

producto de los números que representa su medida en los sistemas centesimal y sexagesimal, es a la diferencia de los mismos como 10 veces el cuadrado

de su # de radianes es a . a) 90 rad b) 180 rad c) 300 rad d) 360 rad e) 18 rad 23. Indique la medida radial de un ángulo; si la suma de

sus números de grados sexagesimales y centesimales es igual a :

gg BA

radBradA

A

radA

bm b’


a) rad b) 1 rad c) 380

rad

d)

380 rad e) N.a.



LONGITUD DE ARCO – AREAS - APLICACIONES

PRACTICA BLOQUE I 1. Calcula el radio de un sector circular de longitud de

arco 770 m; sabiendo que el número de grados sexagesimales del ángulo central es numéricamente

igual al radio. ( = 22/7) a) 225m b) 210m c) 120m d) 110m e) 28m 2. Calcula el radio de un sector circular de longitud de

arco 44m; que subtiende un ángulo central de 90°.

a) 22m b) 44m c) 66m d) 55m e) N.A. 3. El ángulo central de un sector circular es igual a 25° y

se desea disminuirlo en 9°, ¿Cuánto hay que aumentar al radio inicial que mide 20m, para que su área no varíe?

a) 3m b) 5m c) 7m d) 9m e) N.A. 4. El tramo de una carretera está formado por dos arcos

de circunferencia, el primero tiene un radio de 18 km y un ángulo central de 40°, el segundo tiene un radio de 36 km y un ángulo central de 50°. Calcula la longitud

total de este tramo. Dato: Reemplazar = 22/7. a) 12 km b) 14 km c) 33 km d) 22 km e) 44 km 5. Si la longitud del arco de un sector circular es 20 m y

la del radio es 8m. Calcula el área de dicho sector circular.

a) 40 m2 b) 50 m2 c) 80 m2

d) 60 m2 e) 160 m2

6. La relación de los radios de la ruedas de una bicicleta es de 2 a 3, cuando la rueda mayor haya girado 16 rad.

¿Qué habrá girado la rueda menor? a) 17 rad b) 19 rad c)21 rad d) 23 rad e) 24 rad

7. ¿Cuántas vueltas dará una rueda al recorrer una

distancia rectilínea de 40 m; si su radio mide 2 m. a) 2 b) 8 c) 10 d) 20 e) 16 8. Un punto de rueda de cierta bicicleta está en contacto

con el piso horizontal. Al avanzar la bicicleta 80 m dicho punto toca el piso otras 20 veces. Calcula el radio

de la rueda ( = 22/7) a) 5/13 m b) 2/15 m c) 3/14 m d) 7/11 m e) 8/11 m 9. Los radios de las ruedas de una bicicleta son : 30 cm

y 40 cm, esta bicicleta se encuentra sobre una pista rectilínea, calcular el número de vueltas que da la rueda mayor, si la menor dio 8 vueltas al recorrer la bicicleta un cierto espacio.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 32/3 e) 5 10. Las longitudes de los radios de las ruedas de una

bicicleta están en la relación de 2 a 7, en un cierto recorrido la rueda mayor dio 100 vueltas menos que la menor. Halla la suma de los ángulos barridos por las ruedas.

a) 360 b) 180 c) 720

d) 90 e) 100 BLOQUE II 11. Señale la medida del ángulo girado por “B” luego que

“A” gire 90°.

3

(A)

2(B)

a) 75° b) 60° c) 90° d) 135° e) 180° 12. Cuando la rueda N°1 da 28 vueltas, la rueda N°3

dará? (r1 = 14; r2 = 8 ; r3 = 5 )

r1

r2

r3

a) 77,1 b) 72,4 c) 75,3 d) 75,4 e) 78,4

13. En la figura se tienen 3 ruedas en contacto tal que

532

CBA RRR , si la rueda menor gira un ángulo

de 45°. ¿Qué ángulo gira la rueda mayor?

AB C

a) 45° b) 22°30´ c) 15° d) 9° e) 18°

14. ¿Cuántas vueltas de la menor rueda?

R

2R

3R

R/2

a) 8300 b) 7200 c) 6700 d) 9400 e) N.a. 15. Si la rueda que se muestra en el gráfico se dirige hacia

la pared de tal manera que la toca, barre un ángulo de 1200°. Calcula la longitud de su radio.

18m

pared

R

a) 3m b) 10

27 m c)

27

10 m

d) 203

27 e)

203

54

16. En el gráfico mostrado se tiene un sistema de

engranajes y poleas. La polea "A" de radio "4" gira un ángulo de 30°, ¿ Qué ángulo gira el engranaje "C" ? si el radio de la polea "B" es de longitud "6"

B

C

A

a) 10° b) 20° c) 30° d) 60° e) 40°

17. Calcula el número total de vueltas que da la ruedita al

ir desde “A” hasta “C” si : AB = 13m

A

2

C

120°8 m

B

a) 1,5 b) 2 c) 3,5 d) 4 e) 4,5 18. Halla el área de un sector circular si el ángulo central

mide 25/12 rad y el radio mide 26 cm.

a) 125 b) 25,2 c) 50

d) 12,5 e) N.A. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGULO

Sen =

c

a

Hipotenusa

aOpuestoCateto

Cos =

c

b

Hipotenusa

aAdyacenteCateto

Tg =

b

a

aAdyacenteCateto

aOpuestoCateto

A

B

C

c

b

a

Cateto

opuesto al

ángulo “”

Cateto

adyacente al

ángulo “”

Hipotenusa


Ctg =

a

b

aOpuestoCateto

aAdyacenteCateto

Sec =

b

c

aAdyacenteCateto

Hipotenusa

Csc =

a

c

aOpuestoCateto

Hipotenusa



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS:

Se denomina así a las siguientes razones trigonométricas:

Seno – Cosecante Coseno – Secante Tangente – Cotangente

PROPIEDAD DE LAS RECÍPROCAS: El producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo es igual a la unidad.

Sen . Csc = 1 Csc =

Sen

1

Csc . Sec = 1 Sec =

Cos

1

Tg . Ctg = 1 Ctg =

Tg

1

NOTA:

Si:

1.

1.

1.

CtgTg

SecCos

CscSen

=

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Llamadas también Co - Razones Trigonométricas, son las siguientes:

Seno – Coseno Tangente – Cotangente Secante - Cosecante

PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES: Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo, son respectivamente iguales a las co-razones trigonométricas de su complemento.

Sen = Cos (90° - )

R.T. () = Co – R.T. (90° - ) Tg = Ctg (90° - )

Sec = Csc(90°- ) NOTA:

Si: R.T.() = Co- R.T.() + = 90°

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES:

Practica 1. Si: sec 9y = csc (78º + 18x)

tg 60x = ctg (78 – 54y) los valores de “x” e “y” son respectivamente: a) 30º y 20º b) 20º y 30º c) 20º y 30’ d) 20’ y 30º e) N.A.

2. Halla los ángulos agudos ""y"" , tales que:

90º353 ctgtg

2 = 15º

a) 11º y 10º b) 15º y 13º c) 17º y 16º d) 22,5º y 20º e) 30º y 25º 3. Hallar “x” si:

cos (3x+15º) . sec (35º - x) = 1 a) 4º b) 5º c) 6º d) 7º e) N.A. 4. A partir de las ecuaciones:

yxctgx

ytg

38

3

42

8x – 3y = 27º Halla : x + y a) 38º b) 48º c) 68º d) 72º e) 80º 5. Si se cumplen:

08cos5sen

12tgc.tg

Evaluar la sgte. expresión:

º232554 22 sentgsen

a) 1,1 b) 2,1 c) 3,1 d) 4,1 e) 5,1

6. Si: 13.2 SecSen

Halla:

30512 2 tgsenE

a) 1,5 b) 2,5 c) 4,5 d) 5,5 e) 3,5 7. Halla “x” de la sgte. igualdad: tg (senx) . ctg (cos 70º) = 1 a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º e) 25º 8. En un triángulo rectángulo se tiene que uno de sus

catetos es el doble de la diferencias entre la hipotenusa y el otro cateto. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo.

a)

4

3 b)

3

4 c)

2

1

d)

3

1 e) 3

9. Si : Sen = 0,5 . Calcula :

A = Tg2 + 2Csc + 3 Tg

a) 5 b) 16/3 c) 8 d) 19/3 e) 11 10. En un triángulo rectángulo el semiperimetro es 60

mt y la secante de uno de sus ángulos agudos es 2,6 . Hallar el valor de la mediana relativa a la hipotenusa.

11. a) 10 b) 24 c) 13 d) 12 e) 26

12. Del gráfico mostrado, calcule cot

2

siendo OA = 12 y r = 2,5 (T: punto de tangencia)

a) 5

1 b)

5

2 c)

5

3

d) 5

4 e) 5

13. En la figura se muestra el cuadrante AOB, A es el

centro del arco

OC , halle tan . (O y O’ son

centros)

a)

13

12 b)

11

12 c)

10

12

d)

11

13 e)

12

13

14. En la figura se muestra el trapecio isósceles ABCD

donde se cumple ABBCAH3

2 . Halle:

cos + csc

a)

48

2137 b)

84

21 c)

84

737

d)

48

337 e)

84

2137

15. Sabiendo que ABCD es un cuadrado y M es punto

medio de AB.

Calcule: cot + cot a) 5

O

C B

D A T

A

O

C

B O

B C

A B

D C

M

2n n

30°

60°

n n

45°

60°

5n

4n

3n

37°

53°


b) 6

5

c) 3

d)

3

52

e) 5

16. De la figura mostrada, halle el área de la región

sombreada, si 32a cm

a) 8 cm2 b) 16 cm2 c) 10 cm2 d) 15 cm2 e) 24 cm2 17. Dado el triángulo equilátero ABC y trapecio

DEFG. Calcule x en términos de .

Si AG = GD = 5; EF = 52

a) 5 cos - 4

b) (5 3 cos - 2 5 )

c) 3 (5cos - 3 )

d) 10(cos 3 )

e) 5(cos - 1)

18. Halle EF en términos de ; si AD=4FD, AF=3CD; AB=8

a) 3 csc

b) 2,5 sen

c) 4 csc

d) 3 sen

e) 2 csc

19. En algún lugar de la tierra, un cierto día el sol aparece a las 7:30 am y oculta a las 16:30 pm. Determine a qué hora del día la sombra proyectada por una torre vertical tiene una longitud igual a la altura de la torre dirigida al oeste

a) 8:30 b) 9:00 c) 9:45 d) 10:00 e) 10:30

20. Determine el valor de: cot

a)

7

6

b)

6

7

c)

4

5

d)

7

8

e) 5

4

21. En el gráfico mostrado ABCD es un cuadrado,

calcule tan + tan . Si tan toma su máximo valor.

a) 4

3 b)

3

4 c)

3

5

d) 4

5 e)

5

4

a

A C

D E

B

G F

x

A F

D

C

B E

53º 53º

37º 45º

A

B

C

D E

F




ANGULO EN P.N Un ángulo trigonométrico está en posición normal o estándar, cuando su lado inicial pertenece al semieje positivo de abscisas y su lado final a cualquier parte del plano. Teniendo su vértice en el origen de coordenadas. Se observa que:

IIC

IIIC

IVC

Los ángulos y no pertenecen a un cuadrante.

ÁNGULOS CUADRANTES Son aquellos ángulos que ubicados en posición normal tienen su lado final sobre los semejantes coordenados. Los ángulos

cuadrantales son múltiplos de 90° o 2

rad

siendo “K” un entero (KZ) Ubicación de un ángulo positivo y negativo

PRACTICA

1. Si P(-6; -8) al lado final del ángulo “” en

posición estándar, calcula: Sec + Tg

a) 3 b) -3 c) -

3

1 d)

3

1 e) 1

2. Si el lado final del ángulo “” en posición estándar

pasa por el punto medio del segmento AB

donde A(-1; 1) y B(5; 7), calcula: Tg a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -4

3. Si: Sen = -15/17, IIIC, calcula:

M = Sec + Tg

a) -1/4 b) 1/4 c) –4 d) 4 e) 2

4. Halla: Sen - Cos

Si. Tg =

24

7; IIIC

a) 17/25 b) -25/17 c) -17/25 d) 25/17 e) 1/17

5. Calcula: A = 5 Cscx – Ctgx

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

6. De la figura halla: 5Sen + 13Cos

a) 1 b) -1 c) 7 d) -7 e) 8

7. Si Tg = 4 además: IIIC, calcula:

SenCos

a) 2/13 b) 3/13 c) 6/13 d) -6/13 e) N.A

8. Si: Sen < 0 y Tg > 0

Indica el cuadrante de

a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) F.D.

9. Indica el cuadrante de

Tg + 2Sen30° < Tg45°

Sec < 0 a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) F.D.

10. Si: IIC y IIIC, indique el signo de la siguiente expresión:

M =

Tg

Cos

Tg

CosSen

1

.

a) (+) b) (-) c) (+) ó (-) d) (+) y (-) e) No se puede afirmar

11. Si: Sen Cos < 0, encontrar el signo de:

Tg + Ctg

a) + b) - c) + - d) + ó - e) F.D.

12. Si es un ángulo positivo y menor que una vuelta del IIC, determinar el signo de:

M = Sen2

Sen

3

2 y

N = Sen2Cos2

3

a) +; + b) +; - c) -+; - d) -; + e) N.A.

13. Determina el valor de verdad.

( ) Todo ángulo del IC es positivo

( ) Si Cos = 3 - 1 IC IVC

( ) Si es negativo Sen es negativo

a) VVV b) FVF c) VFV d) VVF e) FFV

14. Reduce:

360270180.

270)².(360cos)².(

bSenabSenSena

Senbabap

a) 1 b) 4 c) 2 d) -4 e) -2

15. Si: x= Cos1° Cos2° Cos3° … Cos179° Calcula: Senx + Cosx a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

16. Calcula:

32

2

3223

CosSen

SenTgCos

a) 1 b) 2 c) –1 d) -2 e) -3

17. Calcula el valor de: Cos(Sen + Tg) – Sec(Sen

2

)

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3

18. Si y son ángulos coterminales, no cuadrantal, encontrar el signo de la expresión

SenSenCosCos

a) + ó - b) + y - c) + d) - e) F.D.

y

x x’

y’

(-2,1)

x

y

(12;-5)

(-3;-4)

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

90°

0° 180°

270°

360°




IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA Son aquellas igualdades donde intervienen razones trigonométricas de una cierta variable, las mismas que se verifican para todo valor admisible de dicha variable. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

(n z)

1. IDENTIDADES RECÍPROCAS (n z)

Senx . Cscx = 1 x R - n

Cosx . Secx = 1 x R – (2n + 1) 2

Tgx . Ctgx = 1 x R – n

2

2. IDENTIDADES POR COCIENTE

Tgx =Cosx

Senx x R – (2n + 1)

2

Ctgx = Senx

Cosx x R – n

3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS

Sen²x + Cos²x = 1 x R

1 + Tg²x = Sec²x x R –(2n + 1) 2

1 + Ctg²x = Csc²x x R – n

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DERIVADAS Ó AUXILIARES

Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen²x . Cos²x

Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen²x . Cos²x Tgx + Ctgx = Secx . Cscx Sec²x + Csc²x = Sec²x . Csc²x

(1 Senx Cosx)² = 2(1 Senx) (1 Cosx)

Cosx

Senx

Senx

Cosx

Senx

Cosx

Cosx

Senx

1

1;

1

1

Sec4 x + Tg4 x = 1 + 2 Sec2 x Tg2 x Csc4 x + Cotg4 x = 1 + 2 Csc2 x Ctg2 x RECORDAR: Verso (x) = 1 – Cos x ; (Seno verso) Cov (x) = 1 – Sen x ; (Coseno verso) Algunas sugerencias para simplificar identidades trigonométricas 1) Si con una simplificación por identidades intervienen a

tres o más razones trigonométricas entonces será conveniente la expresión en función de seno y coseno.

2) Para simplificar por identidades trigonométricas se

puede utilizar todos los criterios algebraicos (Teoría de exponentes, productos notables, otros).

3) Se utilizarán también frecuentemente artificios, tales como: sumar o restar cero; multiplicar o dividir por uno.

PRACTICA

1. Reduce:

A = xCos²1 (Cscx + Ctgx) ; (x IC)

a) 1 + Senx b) 1 + Cosx c) 1 - Senx d) 1 - Cosx e) Senx + Cosx

2. Simplifica:

A = Sen6x + Cos6x + 3Sen²xCos²x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 3/2

3. Simplifica:

K =

TgxSecxTgxSecx

11

a) 2Secx b) 2Tgx c) 2Cosx d) 2Ctgx e) 2Senx

4. Halla el equivalente de:

Senx

Cosx

1

a) Cosx

Senx

1 b)

Senx

Cosx1

c) Cosx

Senx1

d) Cosx

Senx2 e)

Senx

Cosx2

5. Halla A si la igualdad:

ASenx

Cosx

Senx

Cosx 2

11

, es una

identidad a) Senx b) Cosx c) Tgx d) Ctgx e) Secx 6. Simplifica:

(Secx + 1)(Cscx + 1)(1-Senx)(1-Cosx)

a) SenxSecx b) CosxCscx c) SenxCosx

d) SecxCscx e) TgxSenx

7. Simplifica:

A = Cscx – Ctgx + TgxSecx

1

a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Ctgx

8. Halla A en la identidad (x IC)

A = Senx

Senx

1

1 + Tgx

a) Senx b) Cosx c) Ctgx d) Secx e) Cscx

9. Simplifica:

K = SenxCosx21 - Senx

a) Senx b) Cosx c) 2Senx d) 2Cosx e) Secx

10. Simplifica: B =

1

1

CscxCtgx

CscxCtgx, x IC

a) Senx + Cosx b) Senx – Cosx c) Secx + Tgx d) Cscx + Ctgx e) Cscx – Ctgx

11. Reduciendo la expresión:

K = (SenA + CosA)² + (SenA – CosA)², se tiene:

a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12. Reduce la expresión: A =

Cosx

Senx

1 + Ctgx

a) Senx b) Cosx c) Tgx d) Secx e) Cscx

13. Simplifica: A =

SenxCscx

CosxSecx

a) Tgx b) Tg²x c) Tg³x d) Ctg²x e) CTg³x

14. Reduce la expresión:

K = Cscx(Cscx + Senx) – Ctgx(Ctgx + Tgx)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

15. Simplifica la expresión:

K =

CscxCtgxCosx

SecxTgxSenx

1

1

a) 1 b) Tgx c) Ctgx d) Secx e) Cscx 16. Simplifica la expresión:

E =

xCosxCtg

xSenxTg

²²

²²

a) Sen²x b) Cos4x c) Sen4x d) Tg6x e) Sen5x


17. Reduce la expresión:

A = Senx

Cosx

Cosx

Senx

1

1

a) 2Senx b) 2Cscx c) 2Secx d) 2Cosx e) 2Tgx

18. Reduce:

(1 + Tgx)Ctgx + (Secx – Cscx)Cosx

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 4

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Razonamiento Lógico - · PDF fileRazonamiento Lógico GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. LA RECTA PRACTICA a ) (01. Un segmento tiene una longitud de 29 unidades,