Embed Size (px)
Citation preview
Rationella punkter på algebraiska kurvor
Robert Nilsson, NA3a
20 maj 2014
GymnasiearbeteGymnasieskolan Spyken
Handledare: Roger Bengtsson
Abstract
The aim of this text is to investigate di�erent methods of �nding ra-
tional points on algebraic curves, that is curves de�ned by polynomial
equations involving two variables. The focus lies mainly on the study
of quadratic and cubic curves but a section will also discuss a more
general curve namely the Fermat Curve xn + yn = 1. The study will
mainly deal with rational parametrizations of curves and how from the
equations of the curves parametrize them. However, in section four a
special case will be accounted for where we instead de�ne a curve ge-
ometrically and from this �nd the parametrization. The text will also
discuss when and why certain curves can and can not be parametrized.
Sammanfattning
Syftet med denna text är att undersöka olika metoder för att �nna ra-
tionella punkter på algebraiska kurvor, det vill säga kurvor de�nierade
av polynomekvationer i två variabler. Störst fokus kommer att ligga
vid undersökning av kvadratiska och kubiska kurvor men ett avsnitt
kommer även behandla en mer generell kurva nämligen Fermatkurvan
xn+ yn = 1. Undersökningen kommer främst att handla om rationella
parametriseringar av kurvor och hur man utifrån kurvornas ekvationer
parametriserar dem. I avsnitt fyra kommer emellertid ett särskilt fall
redogöras för där vi istället de�nierar en kurva geometriskt och utifrån
detta �nner parametriseringen. Texten kommer även att redogöra för
när och varför det går respektive inte går att parametrisera kurvor.
Innehåll
1 Introduktion 1
2 Teori 2
2.1 De�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Skärningspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Singularitet och partiella derivator . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Kurvor av grad två 5
3.1 Enhetscirkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Andra kurvor av grad två . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Kurvor av grad tre 10
4.1 Singulära kurvor av grad tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.1 Cissoiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Icke-singulära kurvor av grad tre . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Kurvan xn + yn = 1 17
1 Introduktion
Studiet av rationella punkter på algebraiska kurvor utgör en gren av talteorinsom behandlar lösningar till polynomekvationer i antingen heltal eller ratio-nella tal. Sådana ekvationer är ofta benämnda Diofantiska ekvationer efterden grekiske matematikern Diofantos. Det kanske mest kända problemet sombehandlar diofantiska ekvationer är Fermats stora sats som säger att det inte�nns några positiva heltalslösningar till ekvationen
Xn + Y n = Zn
för n ≥ 3. Satsen formulerades i mitten av 1600-talet men bevisades förstöver 350 år senare (1995). Problemet att hitta heltalslösningar till ekvationenkan översättas till att hitta rationella lösningar till
xn + yn = 1
då ekvationen kan skrivas om till(X
Z
)n
+
(Y
Z
)n
= 1
Ekvationen xn + yn = 1 är ett av många exempel på en algebraisk kurva dådess lösningar ger upphov till en kurva i xy-planet (kurvan har blivit kändsom Fermatkurvan). Kan vi �nna rationella punkter på denna kurva kan vialltså �nna heltalslösningar till Fermats ekvation. I avsnitt 3.1 kommer viatt visa hur detta går till för fallet n = 2 då ekvationen har oändligt mångaheltalslösningar. Vi kommer även i avsnitt 5 återkomma till ekvationen ochmer allmänt visa att kurvan inte är rationell det vill säga inte har någonrationell parametrisering för n ≥ 3.
Denna text grundar sig i ett förslag på specialarbete i matematik hämtatfrån Institut Mittag-Le�er (http://www.mittag-le�er.se/?q=specialarbeten).Förslaget är konstruerat av Björn Gustafsson, KTH, och har titeln Något om
algebraiska kurvor. Texten följer emellertid inte förslaget alltigenom då dettatar upp en mer allmän syn på algebraiska kurvor, utan fokuserar främst påteorin kring rationella punkter på kurvor.
Boken Rational Points on Elliptic Curves [1] skriven av Joseph H. Silver-man och John Tate utgör arbetets främsta källa då större delen av arbetet- teorin, avsnitt 3 och större delen av avsnitt 4 - är hämtat därifrån. Inspi-ration till avsnitt 4.1.1 är hämtat från en �lmad föreläsning av Norman J.Wildberger, docent vid UNSW (University of New South Wales).
1
2 Teori
2.1 De�nition
En algebraisk kurva de�nieras som den mängd punkter som uppfyller enekvation f(x, y) = 0. Alla par av tal x och y som är lösningar till ekvationenkommer alltså utgöra en kurva i planet. Funktionen f är dock inte tillåtenatt se ut hur som helst utan måste utgöras av ett polynom i två variabler(x och y) med reella koe�cienter. I denna text kommer vi dock fokusera påkurvor med rationella koe�cienter. Ett polynom innebär alltså i detta fallen ändlig summa termer på formen axiyj där exponenterna i och j utgörsav heltal större än eller lika med noll. Att funktionen består av två variablerinnebär att kurvan är plan dvs. rör sig i två dimensioner (i planet).
När man talar om en kurvas grad är det den högsta summan i + j förvarje term som anger gradtalet. Exempelvis har kurvan x2y2 + 3x + y3 = 0därför gradtalet 4.
Ett sätt att beskriva algebraiska kurvor är genom så kallade parametrise-ringar vilka används för att generera lösningar till kurvans ekvation. Ofta ärdet svårt att utifrån kurvans algebraiska representation komma fram till dessutseende och geometriska egenskaper. Vi är vana att algebraiskt beskrivakurvor som y = f(x) dvs. den ena variabeln som en funktion av den andra.Lösningar (punkter) kan därför bli mycket svåra att hitta då variablerna iekvationen istället är blandade som i exemplet ovan.
En parametrisering utgörs av uttryck för x och y i en ny variabel (parame-ter). Genom att låta parametern variera kan alltså lösningar till ekvationendvs. punkter på kurvan genereras. Med en rationell parametrisering kan vienligt denna princip hitta alla rationella punkter på en given algebraisk kur-va.
2.2 Skärningspunkter
För två algebraiska kurvor gäller det att antalet skärningspunkter mellan demär lika med produkten av kurvornas gradtal. Detta formulerades i en sats avden franske matematikern Étienne Bézout och är känt som Bézouts sats. Harvi exempelvis en kurva av grad m och en kurva av grad n kommer de skäravarandra mn gånger. Detta kräver förstås att man tillåter särskilda synsättpå kurvor och deras egenskaper och gäller inte vid de vanligtvis rådande om-ständigheterna. Kurvorna y = x2 och y = −1 har t.ex. inga skärningspunkter
2
i det planet vi är vana att studera. För att satsen ska gälla måste vi därförförst och främst använda oss av det projektiva planet vilket har punkter ioändligheten, så kallade oändlighetspunkter. Vi måste även tillåta komplexaskärningspunkter. Slutligen måste vi räkna med skärningspunkters multipli-citeter, vilket t.ex. innebär att en tangent till en kurva skär den tangeradepunkten mer än en gång.
2.3 Singularitet och partiella derivator
När man undersöker kurvor av grad högre än två är det särskilt intressantatt studera kurvor med så kallade singulära punkter. Dessa är punkter därkurvan skär sig själv eller mer allmänt punkter genom vilka kurvan löpermer än en gång. Som exempel kan de två kurvorna y3 = x2− y2 (�g. 1) samt(x2 + y2)2 = x2− y2 (�g. 2) nämnas vilka båda tydligt har en singulär punkti origo.
Figur 1 Figur 2
Singulära punkter har egenskapen att de partiella derivatorna i punktenförsvinner. Partiella derivator är derivator av funktioner i �er än en variabelmed avseende på endast en av dem. De andra variablerna betraktas såledessom konstanter vid deriveringen.
Den partiella derivatan av en kurva f(x, y) = 0 med avseende på x re-spektive y skrivs
∂f
∂xrespektive
∂f
∂y
En partiell derivata kan alltså beräknas för varje variabel i ekvationen.
3
Låt oss säga att vi har kurvan
x3 + 2xy − xy2 = 0
och söker de partiella derivatorna. Deriverar vi med avseende på x betraktasalltså y som konstant och deriverar vi med avseende på y betraktas x somkonstant. Därefter gäller traditionella deriveringsregler vilket ger
∂f
∂x= 3x2 + 2y − y2
∂f
∂y= 2x− 2xy
Som nämnts är de partiella derivatorna lika med noll i en singulär punkt.Har vi en kurva f(x, y) = 0 och vill hitta en singulär punkt behöver vi alltsålösa ekvationssytemet
∂f
∂x= 0
∂f
∂y= 0
f(x, y) = 0
vilket, om singulära punkter �nns, kommer ge ett antal lösningar (x, y) detvill säga koordinaterna för de singulära punkterna.
4
3 Kurvor av grad två
3.1 Enhetscirkeln
Den kanske mest fundamentala och välkända algebraiska kurvan av andragraden är enhetscirkeln. Cirkeln beskrivs av ekvationen
x2 + y2 = 1
vilket innebär att alla par av tal (x, y) som uppfyller denna ekvation kommerbe�nna sig på cirkeln.
Enhetscirkeln har som en konsekvens av sitt utseende en reell parametri-sering
x = cos θ , y = sin θ
För vilket reellt tal θ vi än väljer får vi alltså med parametriseringen ut enreell punkt på enhetscirkeln, dvs. en punkt där både x- samt y-koordinatenutgörs av reella tal. Med andra ord innebär detta att varje punkt (x, y) påenhetscirkeln har koordinaterna (cos θ, sin θ) där θ utgörs av ett godtyckligtreellt tal.
Cirkeln har dock även rationella punkter vilka med denna parametriseringär svåra att generera. Väljer vi exempelvis ett rationellt tal som θ betyderdet inte nödvändigtvis att en rationell koordinat genereras. För att �nnade rationella koordinaterna krävs istället en rationell parametrisering dvs.en parametrisering där funktionerna som genererar x- samt y-värdena ärrationella. En rationell funktion de�nieras som en kvot av två polynom medrationella koe�cienter. Vi söker alltså två funktioner r(t) samt s(t) sådanaatt
r(t)2 + s(t)2 = 1
där r(t) respektive s(t) båda utgörs av kvoter mellan två polynom.För att �nna dessa funktioner tänker vi oss en rät linje som löper genom
punkten (−1, 0).
5
Figur 3
Detta innebär att linjen får ekvationen
y = t(x+ 1)
eftersom den har ett nollställe för x = −1. Denna linje har, vilket tydligtframgår av �gur 3, egenskapen att den skär cirkeln i ytterligare en punkt Putöver skärningspunkten (−1, 0). Har vi en rationell skärningspunkt kan visäkerställa att även den andra kommer vara det. För att �nna skärningspunk-terna kommer vi få en polynomekvation av grad två. (Skärningspunkterna fårvi av att lösa ett ekvationssytem med kurvans respektive linjens ekvation).Polynomekvationen kommer vi därför kunna skriva om till
k(x− a)(x− b) = 0
där lösningarna a och b kommer utgöra x-koordinaterna för skärningspunk-terna. Om både linjens och kurvan koe�cienter är rationella kommer ävendenna ekvation utmultiplicerad få rationella koe�cienter. Om vi nu vet atten skärningspunkt dvs. en lösning a är rationell och koe�cienterna ska vararationella ser vi då att den andra lösningen b också måste vara rationell.
För varje rationellt tal t som väljs kommer alltså en ny rationell punkt Pgenereras. För att �nna koordinaterna för P , dvs. den andra skärningspunk-ten, måste alltså följande ekvationssystem lösas{
x2 + y2 = 1
y = t(x+ 1)
6
Vilket ger
x2 + t2(x+ 1)2 = 1
t2(x+ 1)2 = 1− x2
t2(x+ 1)2 = (1− x)(1 + x)
t2(x+ 1) = 1− x
(Lösningen x = −1 försvinner då faktorn (x+ 1) förkortas bort men är inteheller intressant då den motsvarar skärningspunkten (−1, 0) vilken redan ärkänd eftersom det var där l valdes att gå genom.)
t2x+ t2 = 1− x(t2 + 1)x = 1− t2
x =1− t2
1 + t2
På detta vis har vi således fått ett uttryck som beskriver hur x-koordinatenför punkten P beror på den rationella parametern t. Med denna ekvationenoch linjens ekvationen kan sedan motsvarande beräknas för y-koordinaten.
x =1− t2
1 + t2
y = t(x+ 1)
y = t
(1− t2
1 + t2+ 1
)y = t
(1− t2 + 1 + t2
1 + t2
)y =
2t
1 + t2
Vilken rationell punkt, utom (-1,0), som än väljs på enhetscirkeln kommeralltså att få koordinaten (
1− t2
1 + t2,
2t
1 + t2
)7
där t representerar ett godtyckligt rationellt tal.En intressant konsekvens av denna parametrisering är att den kan an-
vändas till att generera så kallade pythagoreiska taltripplar. Dessa är grup-peringar av tre heltal vilka utgör sidorna i en rätvinklig triangel, exempelvistalen 3, 4, 5 då
32 + 42 = 52
Mer allmänt innebär det alltså att en pythagoreisk taltrippel utgörs av trepositiva heltal a, b, c sådana att
a2 + b2 = c2
(enligt Pythagoras sats).Med en enkel omskrivning av ekvationen ser vi då att problemet kan
översättas till att hitta heltalslösningar till ekvationen(ac
)2+
(b
c
)2
= 1
vilken har tydliga likheter med enhetscirkelns ekvation
x2 + y2 = 1
vilken i sin tur med den rationella parametriseringen kan skrivas om till(1− t2
1 + t2
)2
+
(2t
1 + t2
)2
= 1
Låter vi sedan det rationella talet t vara kvoten av heltalen m och n kanföljande ekvationssystem ställas upp
t =m
n(1− t2
1 + t2
)2
+
(2t
1 + t2
)2
= 1
och lösas till
(n2 −m2
n2 +m2
)2
+
(2mn
n2 +m2
)2
= 1
(n2 −m2)2 + (2mn)2 = (n2 +m2)2
8
Återgår vi sedan till ekvationen a2 + b2 = c2 och jämför med denna får vislutligen
a = n2 −m2
b = 2mn
c = n2 +m2
Vilka heltal m och n som än väljs kommer med dessa formler alltså trenya heltal a, b, c genereras vilka har egenskapen att de utgör sidorna i enrätvinklig triangel.
3.2 Andra kurvor av grad två
Metoden för att paramterisera cirkeln kan även användas till andra kurvor avgrad två. Principen bygger på att man med en känd rationell punkt på kurvanoch en rationell linje genom denna kan få ut den andra skärningspunkten.Denna skärningspunkten kommer då få koordinater utgjorda av funktionerav vår rationella parameter t. Detta innebär att alla kurvor av andra gradendär vi vet en rationell punkt kommer gå att parametriseras rationellt enligtsamma princip. Det förutsätter alltså att vi har en rationell punkt på kurvan.
Som ett andra exempel kan hyperbeln nämnas vilken har ekvationen
x2 − y2 = 1
Även denna kurva går precis som enhetscirkeln genom punkten (−1, 0). (Gårenkelt att undersöka genom att ersätta x = −1 och y = 0 i ekvationen.)Låter vi sedan även här linjen y = t(x + 1) löpa genom denna punkt så kankoordinaterna för den andra skärningspunken P erhållas ur{
x2 − y2 = 1
y = t(x+ 1)
Löses sedan detta enligt liknande modell som i fallet med enhetscirkelnfår vi slutligen parametriseringen
x =1 + t2
1− t2, y =
2t
1− t2
9
4 Kurvor av grad tre
Att parametrisera tredjegradskurvor rationellt kan bli betydligt mer kompli-cerat än andragradskurvor. Har vi en rationell punkt på en andragradskurva,låter en linje löpa genom denna så kommer alltid den andra skärningspunk-ten bli rationell. Denna egenskap utgör grunden för parametriseringar avkurvor av andra graden. Låter man däremot en linje skära en kurva av gradtre kommer detta istället generellt att ske tre gånger. Är sedan en av dessaskärningspunkter rationell som i fallet med andragradskurvor �nns det ingetsom talar för att de andra två också är det. Problemet kan dock undvikasom kurvorna är singulära det vill säga har singulära punkter.
4.1 Singulära kurvor av grad tre
Singulära punkter är som tidigare nämnts punkter där kurvan skär mer änen gång. Det innebär att har man en singulär punkt på en tredjegradskurvaoch drar en linje genom denna kommer linjen att skära kurvan två gånger iden singulära punkten samt ytterligare en gång någon annan stans på kur-van då antalet skärningspunkter ska vara lika med tre. Är denna singulärapunkt rationell går det att tillämpa samma metod för parametriseringar avandragradskurvor.
Vi tänker oss alltså en rät linje genom den singulära punkten Q och låterP beteckna den tredje skärningspunkten. Denna �nner vi som tidigare genomatt lösa ekvationssystemet {
f(x, y) = 0
y = kx+m
där f(x, y) = 0 är den singulära kurvans ekvation och y = kx+m är linjens.Ekvationssystemet kommer resultera i en ekvation av grad tre (då gradtaletför f är 3 och gradtalet för linjen är 1 och 3 ·1 = 3). Ekvationen kommer varaett polynom, eftersom f är det, i en variabel om vi tänker oss att vi ersättery i f med linjens ekvationen. Med alla termer på samma sida likhetstecknetoch omskriven i faktorform kommer vi då få en ekvation
k(x− p)(x− q)(x− r) = 0
där p, q och r är x-värdena för skärningspunkterna P , Q och R. Linjen skär
10
två gånger i den singulära punkten dvs. vi kan sätta r = q och få
k(x− p)(x− q)2 = 0
Polynomet utmultiplicerat ska ha endast rationella koe�cienter. Vi ser dåatt detta endast sker om p är rationell. Den tredje skärningspunkten P blirsåledes alltid rationell om vi låter en linje löpa genom en rationell singulärpunkt.
Tidigare togs kurvan y3 = x2− y2 upp som exempel på en singulär kurvadå den har en singulär punkt i origo. Detta kan vi säkerställa genom partiellderivering. Vi börjar med att skriva om ekvationen till y3 − x2 + y2 = 0. Vifår de partiella derivatorna
∂f
∂x= −2x
∂f
∂y= 3y2 + 2y
vilka ger oss ekvationssystemet−2x = 0
3y2 + 2y = 0
y3 = x2 − y2
Vi ser av den första ekvationen att x = 0. Den andra ekvationen ger oss
y(3y+2) = 0 dvs. y1 = 0 , y2 = −2
3. Ur kurvans ekvation (tredje ekvationen)
ser vi sedan tydligt att (0,−23) inte ligger på kurvan dvs. y2 kan förkastas.
Vi får därför x = 0 , y = 0 som enda lösning det vill säga en singulär punkti (0, 0).
Tänker vi oss nu en rät linje gå genom origo kommer alltså ytterligare enrationell skärningspunkt P att uppstå på kurvan.
11
Figur 4
Den räta linjen får således ekvationen y = tx. Parametriseringen fås därförsom tidigare genom att lösa {
y3 = x2 − y2
y = tx
Detta ger oss slutligen parametriseringen
x =1− t2
t3, y =
1− t2
t2
4.1.1 Cissoiden
I detta avsnitt kommer en kurva undersökas utifrån en geometrisk de�nition.Tidigare har vi utgått från kurvans algebraiska representation det vill sägakurvans ekvation. Nu kommer vi istället att utgå från kurvans utseende föratt �nna en parametrisering och sedan utifrån denna komma fram till kur-vans ekvation.
Cissoiden konstrueras enligt följande:Låt en cirkel med medelpunkt i (0, 0.5) tangera x-axeln och linjen y = 1. LåtA vara en punkt på cirkeln. Låt B vara skärningspunkten mellan y = 1 samtlinjen genom origo O och A. Låt P vara en punkt på linjen genom O och Aså att
−→AB =
−→OP .
12
Figur 5
Genom att låta A för�ytta sig på cirkeln kommer alltså nya punkter P attgenereras vars punktmängd då kommer att utgöra cissoiden.
Figur 6
För att �nna parametriseringen av kurvan låter vi punkten B ha koordi-naterna (t, 1). Låter vi P ha koordinaterna (xP , yP ) söker vi alltså uttryckför xP och yP som rationella funktioner av t.
Vektorför�yttningen ger att
xP = xB − xA = t− xA
Punkten A är skärningspunkten mellan cirkeln och linjen genom origo. Linjenhar ekvationen
x = ty ⇔ y =x
tdå den går genom (0, 0) och (t, 1). Cirkeln har radien r = 0.5 och medelpunkti (0, 0.5) vilket ger den ekvationen
13
x2 + (y − 0.5)2 = 0.52
x2 + y2 − y + 0.25 = 0.25
x2 + y2 − y = 0
Koordinaten xA får vi därför genom att lösax2 + y2 − y = 0
y =x
t
x2 +x2
t2− x
t= 0
t2x2 + x2 − txt2
= 0
t2x+ x− t = 0
x(t2 + 1)− t = 0
xA =t
t2 + 1
För punktens y-värde gäller istället att y =x
tdvs.
yA =xAt
yA =1
t2 + 1
Vi kan nu beräkna xP enligtxA =t
t2 + 1xP = t− xA
xP = t− t
t2 + 1
xP =t3
t2 + 1
14
Ur �guren ser vi även att vektorför�yttningen ger att
yP = 1− yA
yP = 1− 1
t2 + 1
yP =t2
t2 + 1
Kurvan kan alltså parametriseras enligt
x =t3
t2 + 1, y =
t2
t2 + 1
För att �nna kurvans ekvation behöver vi nu bara ersätta t i någon avekvationerna ovan
y =x
t⇔ t =
x
y
y =t2
t2 + 1
y =
x2
y2
x2
y2+ 1
=
x2
y2
x2 + y2
y2
=x2
x2 + y2
yx2 + y3 = x2
Samma ekvation hade vi fått om vi istället ersatt t i uttrycket för x.
4.2 Icke-singulära kurvor av grad tre
Låt oss istället anta att vi har en rationell punkt Q på en icke-singulär kurvag(x, y) = 0 och låter som tidigare en rationell linje löpa genom denna.
15
Figur 7
Linjen kommer alltså att skära kurvan ytterligare två gånger i punkterna Poch R. Försöker vi sedan som tidigare att lösa ekvationssystemet{
g(x, y) = 0
y = kx+m
för att få ut koordinaterna för P och R kommer vi inte kunna garantera attdessa är rationella.
Ekvationssystemet kommer enligt samma resonemang som tidigare att geoss ekvationen
k(x− q)(x− p)(x− r) = 0
där q, p och r är x-värdena för skärningspunkterna. Punkten Q var rationellenligt tidigare antaganden vilket innebär att q är ett rationellt tal. Polynometutmultiplicerat ska ha endast rationella koe�cienter vilket innebär att äventalet k måste vara rationellt. Detta kan förstås ske om p och r är rationellamen förutsätter inte att de är det. Motbevis är lätta hitta. Exempelvis ärp =√2 och r = −
√2 ett sådant då det skulle ge
k(x− q)(x−√2)(x+
√2) = 0
k(x− q)(x2 − 2) = 0
det vill säga endast rationella koe�cienter trots irrationella punkter.
16
För att �nna rationella punkter på icke-singulära tredjegradskurvor be-hövs en särskild metod tillämpas. Metoden utnyttjar att om vi har två ratio-nella punkter på en tredjegradskurva så kan vi även hitta en tredje genom attdra en linje genom dessa och se var den skär kurvan. Har vi bara en rationellpunkt på kurvan kan vi dock även generellt sätt hitta en till.
Figur 8
Ritar vi tangenten till en punkt S på en kurva kommer tangenten gågenom S och S dvs. två gånger genom samma punkt. Är S rationell kommerdärför även den tredje skärningspunkten T bli rationell (se �g. 8). Har vi dåhittat en ny rationell punkt kan vi fortsätta enligt samma princip och medtangenten hitta ytterligare en ny.
5 Kurvan xn + yn = 1
I detta avsnitt kommer vi delvis att återgå till enhetscirkelns ekvation. Dockkommer den nu att undersökas i en något mer generaliserad form nämligendär exponenterna tillåts vara alla heltal större än noll. Istället för att somenhetscirkeln skrivas x2+y2 = 1 kommer den nu att undersökas som xn+yn =1 där n betecknar heltal större än noll. Det visar sig nämligen att dennakurva inte är rationell dvs. inte har en rationell parametrisering för n ≥ 3.Enhetscirkeln och kurvan (linjen) x + y = 1 är således de enda kurvorna påformen xn + yn = 1 som går att parametrisera rationellt. Detta ska vi nubevisa.
17
Låt oss anta att kurvan xn+ yn = 1 har en rationell parametrisering dvs.att x- och y-värdena kan uttryckas med rationella funktioner dvs. kvoter avpolynom. Det skulle innebära att vi kan �nna polynom p, q och r sådana att
(p(t)
r(t)
)n
+
(q(t)
r(t)
)n
= 1
p(t)n
r(t)n+q(t)n
r(t)n= 1
Vi kan anta att p och q inte har några gemensamma faktorer då dessa i såfall hade kunnat delas bort. Derivering av båda led ger då (i fortsättningenkommer inte (t) att skrivas ut)
npn−1p′rn − nrn−1r′pn
r2n+nqn−1q′rn − nrn−1r′qn
r2n= 0
n(pn−1p′rn − rn−1r′pn + qn−1q′rn − rn−1r′qn)r2n
= 0
pn−1p′rn − rn−1r′pn + qn−1q′rn − rn−1r′qn = 0
Ur varje term kan nu rn−1 brytas ut, då rn = r · rn−1, så att
rn−1(pn−1p′r − r′pn + qn−1q′r − r′qn) = 0
pn−1p′r − r′pn = r′qn − qn−1q′r
pn−1(p′r − r′p) = qn−1(r′q − q′r)
p′r − r′pqn−1
=r′q − q′rpn−1
Låt oss nu undersöka gradtalen i det ovanstående uttrycket
p′r − r′pqn−1
18
Ekvationen (p(t)
r(t)
)n
+
(q(t)
r(t)
)n
= 1
och därmedp(t)n + q(t)n = r(t)n
medför att gradtalet för r högst kan vara lika stort som gradtalet för p ellerq. Om exempelvis p och q antas ha högsta gradtalet a kommer även r fådetta gradtal då en summa av potenser inte ändrar termernas exponenter(gradtal). Däremot kan r få gradtal mindre än a om exempelvis vänsterledetkan skrivas ut till
(ta + ...)n + (−ta + ...)n
vilket i så fall skulle ge r ett lägre gradtal (om n är udda). Vi kan därför antaatt r högst får gradtalet a, om p och q har högsta gradtal a. Antingen har poch q samma gradtal a eller så har en av dem ett lägre gradtal b. Gradtalenför polynomen kan alltså skrivas
grad(p) = a
grad(q) = b där b ≤ a
grad(r) = a
Nämnaren i utrycket, qn−1, får därför gradtalet b(n − 1) eller, om b är såstort som möjligt, a(n − 1) . Täljaren p′r − r′p får istället samma gradtalsom p′r eller r′p, beroende på vilken term som har högst. Eftersom grad(r)högst är lika stort som grad(p) dvs. a, kommer täljaren högst att få gradtaleta+ (a− 1) = 2a− 1.
Låt oss nu istället återgå till ekvationen
pn−1(p′r − r′p) = qn−1(r′q − q′r)
Inledningsvis konstaterades det att p och q inte har någon gemensam faktorvilket innebär att pn−1 och qn−1 inte heller har det. Ekvationen ger då attp′r−r′p måste innehålla faktorn qn−1 eftersom pn−1 inte gör det. Om p′r−r′pska innehålla qn−1 som faktor så måste gradtalet för p′r−r′p vara större ellerlika stort som gradtalet för qn−1. Då måste alltså 2a−1 vara större än a(n−1)enligt tidigare beräkningar. Vi ser då att detta endast uppfylls om n < 3.För n ≥ 3 har kurvan alltså ingen rationell parametrisering.
19
Referenser
[1] Joseph H. Silverman, John Tate, Rational Points on Elliptic Curves.Springer-Verlag, New York, 2nd Edition, 1992.
20
