ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE ARQUITECTURA

DEPARTAMENTO DE IDEACIÓN GRÁFICA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

RADIOLARIAS

GEOMETRÍAS Y ARQUITECTURAS

DERIVADAS

María Mallo Zurdo

Tutora: Carmen García Reig

2

INDICE

1. Objetivos y Justificación.............................................................................................3

2. Introducción y Posicionamiento Teórico...................................................................4

2.1 Referencias Geométricas.............................................................................................6

2.1.1 Sólidos Platónicos y Sólidos de Arquímedes.....................................................6

2.1.2 Icosaedro Truncado............................................................................................8

2.1.3 División del Espacio y del Plano........................................................................9

3. Radiolarias y sus investigadores...............................................................................11

3.1 Haeckel, ilustraciones radiolarias..............................................................................14

3.2 D´Arcy Thompson, análisis de las formas radiolarias...............................................22

3.3 Frei Otto, diatomeas y redes hexagonales.................................................................25

4. Geometrías relacionadas...........................................................................................27

4.1 Fuller, empaquetamientos de esferas y geodesias.....................................................28

4.1.1 C60 y otros Fullerenos......................................................................................33

4.1.2 Patente Honeycomb..........................................................................................35

4.1.3 Configuraciones esféricas.................................................................................35

4.2 Le Ricolais, estudios radiolarios y redes triaxiales....................................................36

4.3 Pérez Piñero y sus redes espaciales...........................................................................38

4.4 Proyecto Eden en Cornwall.......................................................................................40

4.5 Proyecto artístico de Sarraceno.................................................................................41

5. Modelos experimentales............................................................................................42

5.1 Modelos digitales.......................................................................................................42

5.2 Modelos físicos..........................................................................................................44

5.2.1 Modelos masivos..............................................................................................44

5.2.2 Modelos de barras.............................................................................................50

6. Conclusiones...............................................................................................................51

7. Orientación para investigaciones posteriores.........................................................53

8. Bibliografía.................................................................................................................54

3

1. OBJETIVOS Y JUSTIFICACIÓN

Este trabajo de investigación surge del potencial creativo encontrado en los dibujos de

las radiolarias de Haeckel y de un interés por la búsqueda de referentes arquitectónicos

en otras disciplinas.

Los objetivos de la investigación son:

1. Establecer relaciones entre las estructuras de los esqueletos radiolarios y otros

patrones geométricos naturales.

2. Recopilar y analizar investigaciones precedentes sobre estos microorganismos desde

un punto de vista morfológico.

3. Encontrar dentro de la disciplina arquitectónica autores en cuyos trabajos se hace

referencia implícita o explícitamente a estas estructuras naturales.

4. Analizar la problemática geométrica de la esfera como estructura reticular y facetada.

5. Experimentar a través de la realización de modelos, con los datos obtenidos en las

fases anteriores.

4

2. INTRODUCCIÓN Y POSICIONAMIENTO TEÓRICO

La Naturaleza es una fuente de inspiración y objeto de estudio frecuente entre los

arquitectos. El presente trabajo analiza las Radiolarias, microorganismos unicelulares

que viven en los océanos y que están constituidos por un esqueleto de sílice. Muestra

cómo estos organismos han sido estudiados e interpretados por biólogos, ingenieros y

arquitectos y establece relaciones entre éstas y otras estructuras naturales y artificiales,

aportando modelos físicos propios.

No es la intención de esta investigación encontrar patrones naturales y establecerlos

como modelos arquitectónicos. Sin embargo el estudio de los procesos y las formas

naturales desde la visión de un arquitecto sirve para entender otras lógicas eficientes y

desarrollar un lenguaje arquitectónico basado en referentes fuera de la disciplina. La

Arquitectura se encuentra en todas partes, no solo en los edificios construidos, las

revistas y los maestros del pasado.

En el desarrollo del conocimiento humano, aparecen multitud de agentes y disciplinas

diferentes que se entrelazan. Durante el trabajo saltamos de un ámbito a otro

estableciendo relaciones en una red de puntos sin jerarquía que tienen en común la

geometría como herramienta y lo natural como marco abstracto de referencia.

Se ha recopilado y analizado el material de una manera activa, redibujando o generando

modelos de comprobación para poder interiorizarlo y cuestionarlo. La actitud

predominante no es la de catalogar ni representar, sino la de experimentar a través de los

desarrollos existentes de una manera crítica y propositiva. En palabras de Le Ricolais:

“Sólo podemos apropiarnos y poseer enteramente lo que descubrimos por nosotros mismos. Lo

que encontramos en el camino es a menudo más fascinante que aquello por lo que nos pusimos

en marcha. Una actitud no-antropomórfica de la mente ante lo desconocido.”1

El itinerario de la investigación comenzó con los dibujos de Haeckel e inmediatamente

se establecieron relaciones con los estudios de D´Arcy Thompson, las geodesias de

Fuller, los desarrollos estructurales de Le Ricolais y Pérez Piñero, los análisis de

estructuras naturales de Otto y la geometría en general que subyace en los esqueletos

radiolarios.

Sin embargo, otros muchos temas tratados se han ido descubriendo a lo largo del

camino investigativo abriendo nuevos campos de interés. Entre ellos: la similitud

morfológica de los esqueletos radiolarios con los granos de polen; la problemática de la

agrupación de esferas como elementos generadores de los esqueletos radiolarios; la

justificación arquitectónica de lo irregular a través de lo “natural”; las geometrías de las

moléculas de los fullerenos, de agrupaciones hexagonales con pentágonos y heptágonos;

y sobre todo, el gran libro abierto que supone el estudio de las imágenes al microscopio

de estos microorganismos.

La estructura de pensamiento que se ve reflejada en la investigación se encuentra en un

equilibrio inestable entre lo abstracto y lo empírico, lo racional y lo intuitivo, lo

artificial y lo natural, dando lugar a confrontaciones dialécticas en constante evolución.

1 Robert Le Ricolais. Visiones y Paradojas, Madrid, Fundación Cultural COAM, 1997:37

5

La simetría es una cuestión presente en muchas disciplinas a parte de la arquitectónica.

Muchas composiciones musicales usan patrones de simetría, como por ejemplo las

Variaciones Goldberg de Bach, “un viaje musical por el mundo de la simetría”2. Sin

embargo, muchas veces, sólo la simetría no es capaz de emocionar:

“La simetría perfecta realizada sin intervención humana puede ser blanda y falta de tensión. Un proceso que sea demasiado obvio va muy por detrás de la capacidad del oyente para predecir sus

resultados.”3

Respecto de la arquitectura, podríamos extrapolar este mismo razonamiento. Las

arquitecturas con un nivel alto de abstracción y geometría se convierten en objetos que

se alejan del entorno y del usuario:

“Algunas personas tienen un sentido del orden, un sentido particular de que las cosas tienen que

ser simétricas, que yo no poseo. Pienso que es un pseudo orden, porque ni en la naturaleza ni en

el arte encontramos esa clase de repetición absoluta que produce sueño.”4

A pesar de estas palabras, las obras de Le Ricolais son en general simétricas y

geométricas, al igual que las de su contemporáneo Fuller. Sus trabajos están muy

relacionados con procesos y patrones naturales, como veremos más adelante, sin

embargo sus interpretaciones son radicalmente abstractas.

En el polo opuesto a esta relación entre arquitectura y naturaleza, está la corriente

reciente del bioconstructivismo que se define como una disciplina en la que se unen

biología, matemáticas e ingeniería, para dar lugar a una arquitectura que mediante la

unión de formas vivas y sintéticas crea espacios “bioartificiales”.

“El desarrollo de tecnologías digitales en los primeros 90 causo la agitación entre las practicas

arquitectónicas. Algoritmos, código y calculo paramétrico se convirtieron en una parte integral

de los métodos de diseño de los arquitectos. Las formas dejaron de ser dibujadas o representadas

para pasar a ser calculadas.”5

Esta arquitectura se basa en principios orgánicos de generación de la forma, entienden la

arquitectura como un organismo vivo, de carácter evolutivo y mutable, con posibilidad

de transformarse y adaptarse. Establecen una relación simbiótica entre la naturaleza y

los procesos digitales, dando lugar a una naturaleza calculada y maquínica.

El problema de estas construcciones digitales es que la forma se genera a través de

morfologías orgánicas usadas en términos compositivos, y se pierden conceptos

naturales tan importantes como la eficiencia, la gravedad y la economía de las formas.

Fig1. Xefirotarch6, exponente más radical de esta tendencia, con arquitecturas emocionantes y utópicas.

2 Marcus du Santoy, Simetría Un viaje por los patrones de la naturaleza, Barcelona, Acantilado,2009:340 3 Ibid:333. 4 Robert Le Ricolais. Visiones y Paradojas, Madrid, Fundación Cultural COAM, 1997:129. 5 Marie-Ange Brayer, “Después de la arquitectura: ambientes maquínicos”, Biacs, 2008. 6 www.xefirotarch.com

6

2.1 REFERENCIAS GEOMÉTRICAS

2.1.1 SÓLIDOS PLATÓNICOS Y SÓLIDOS DE ARQUÍMEDES

El primer sólido platónico del que se tiene noticia es el tetraedro y formaba parte de un

juego de dados. Estas figuras se encontraron en una excavación de la antigua ciudad de

Ur, al sur de Irak y datan del año 2500 a.C.

La segunda figura, el cubo, apareció en Roma como la forma más popular para los

dados, entorno al año 900 a.C. También en Roma, hacia el 500 a.C. encontramos un

nuevo dado con forma de dodecaedro.

Pitágoras, filósofo y matemático griego (582-507 a.C) agrupó los tres poliedros

simétricos que se conocían hasta el momento como ejemplos de una especie común: la

“esfera de 12 pentágonos”, como se llamó al dodecaedro, y que asumió el significado

espiritual de la secta pitagórica; el cubo, compuesto de seis cuadrados; y la pirámide de

cuatro caras triangulares, llamada tetraedro por los pitagóricos ya que tetra significa

“cuatro” en griego.

No se puede atribuir a Pitágoras el descubrimiento de ningún sólido nuevo. Los

miembros de la secta juraban mantener en secreto sus ideas del mundo matemático, lo

cual explica por qué se tardó otro siglo en descubrir otras dos figuras simétricas.

Platón, filósofo griego (428-347 a.C.), recuperó el estudio de las figuras pitagóricas. Ya

su maestro Sócrates había detectado el abandono del estudio de estas geometrías sólidas

y en el año 387 a.C. Platón crea en Atenas la Academia. En ella Teeteto, amigo de

Platón, estudió cómo para construir una figura tridimensional con las máximas

simetrías, los polígonos bidimensionales tendrían que ser simétricos, y todas las caras

del sólido debían tener la misma forma. Estas caras planas, también tendrían que

encontrarse unas con otras siempre con la misma configuración.

Con este criterio, Teeteto descubrió otra figura en la que cada vértice es el encuentro de

cuatro triángulos equiláteros; el octaedro. Y siguiendo con este sistema encontró que se

podría construir otro poliedro en el que siempre se encuentran cinco triángulos en cada

vértice. Los antiguos griegos llamaron a esta figura icosaedro, que significa “20 caras”.

Teeteto demostró que nunca se podría encontrar una sexta manera de colocar juntas

caras regulares para construir un nuevo tipo de poliedro regular convexo.

La primera descripción reconocida de estas cinco figuras es la que hizo Platón en su

texto Timeo, sobre el mito de la creación. Para Platón, el tetraedro, la más puntiaguda y

simple de las cinco, representaba el fuego; el icosaedro, la más redonda y lisa de todas,

representaba el agua; el octaedro, como una forma intermedia entre las dos anteriores,

representaba el aire; el cubo, una de las más estables, representaba la tierra; y por

último, la esfera de 12 pentágonos, que Platón rebautizó como dodecaedro (12 en griego

es dodeca), representaba el universo7.

Fig. 2. Los 5 sólidos platónicos. 1 2 3 4 5

1.Tetraedro: 4 caras (triángulos equiláteros), 6 aristas y 4 vértices. Conjugado de sí mismo. 2.Cubo: 6 caras (cuadrados), 12 aristas y 8 vértices. Conjugado del octaedro.

3.Octaedro: 8 caras (triángulos equiláteros), 12 aristas y 6 vértices. Conjugado del cubo. 4.Dodecaedro: 12 caras (pentagonos regulares), 30 aristas y 20 vértices. Conjugado del icosaedro. 5.Icosaedro: 20 caras (triángulos equiláteros), 30 aristas y 12 vértices. Conjugado del dodecaedro.

7 Para más información sobre la historia de los sólidos platónicos ver: Marcus du Santoy, Simetría Un

viaje por los patrones de la naturaleza, Barcelona, Acantilado, 2009: 67-88

7

Los sólidos de Arquímedes fueron descubiertos por Arquímedes de Siracusa (287-212

a.C) matemático, físico, ingeniero, inventor y astrónomo griego. Estos sólidos son un

grupo de poliedros convexos de caras formadas por polígonos regulares de dos o más

tipos, tienen vértices uniformes y la mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos

platónicos. Arquímedes describió ampliamente estos 13 sólidos en trabajos que fueron

desapareciendo hasta que se redescubrieron en el Renacimiento.

Fig. 3. Sólidos arquimedianos o semirregulares analizados según número y forma de las caras.

8

1.Tetraedro truncado: 8 caras

(4 triángulos y 4 hexágonos). 2.Cuboctaedro: 14 c (8 triáng y 6 cuadrados). 3.Cubo truncado: 14 c (8 triáng y 6 octógonos).

4.Octaedro truncado: 14 c (6 cuadr y 8 hexág). 5.Rombicuboctaedro: 26 c (8 triáng y 18 cuadr). 6.Cuboctaedro truncado: 26 c

(12 cuadr, 8 hexág y 6 octóg). 7.Cubo romo: 38 c (32 triáng y 6 cuadr). 8.Icosidodecaedro: 32 c

(20 triáng y 12 pentágonos). 9.Dodecaedro truncado: 32 c (20 triáng y 12 decágonos).

10.Icosaedro truncado: 32 c (20 hexág y 12 pentág). 11.Rombicosidodecaedro menor: 62 c (20 triáng, 30 cuadr y 12 pentág).

12. Rombicosidodecaedro mayor: 62c (30cuadr, 20hexág y 12decág). 13.Dodecaedro romo: 90 c (80 triáng y 12 pentág).

Hemos escogido esta representación de Critchlow porque establece un análisis

interesante de estos sólidos semirregulares. Los clasifica en dos familias, la icosaédrica

y la octaédrica ya que estos poliedros se forman truncando sucesivas veces los vértices

del icosaedro y del octaedro. En la imagen se representan las facetas resultantes del

proceso, en tres casos se duplican caras y en otros tres se incorporan caras adicionales

(facetas en gris claro).

Fig. 4. Sólidos truncados repetidamente.

9

En 1619 Johannes Kepler, demostró que existían más figuras que cumplían con la

definición de los sólidos regulares, aunque fueran cóncavos en vez de convexos como

los Sólidos Platónicos. Estas poliedros están formados por caras poligonales regulares

que se encuentran sólo parcialmente en la superficie del sólido. Se conocen con el

nombre de Sólidos de Kepler-Poinsot y son cuatro: pequeño dodecaedro estrellado

(descubierto por P, Uccello en el s.XV), gran dodecaedro estrellado (descubierto por W.

Jammitzer en el s.XVI), gran icosaedro y gran dodecaedro (descubiertos por L. Poinsot

en 1809). No vamos a profundizar más en estas figuras porque se alejan de nuestro

ámbito de estudio.

8 Keith Critchlow, Order in space, a design source book, Londres, Thames and Hudson, 1969. 9 Antonio Sicre Rambla, http://www.terra.es/personal5/922212902/home.htm

1

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8

2.1.2 ICOSAEDRO TRUNCADO

El icosaedro truncado tiene una forma prácticamente esférica generada por la presencia

de 12 pentágonos y 20 hexágonos. Se construye a partir del icosaedro, truncando sus

vértices a un tercio de cada arista, y tiene sus mismas simetrías.

Esta figura es idéntica la molécula de carbono C60 (ver C60 y otros fullerenos), y está

muy relacionada con las estructuras naturales de los esqueletos radiolarios, como

veremos más adelante. También ha servido como patrón de las pelotas de fútbol entre

1970-2002, por tener una gran esfericidad y una distribución de costuras homogénea.

Este sólido semirregular fue descubierto por Arquímedes, como ya hemos visto, y el

dibujo más antiguo que se conoce de él es de Piero della Fancesca (1420-1492).

Su sucesor Luca Pacioli (1445-1517), pintor y matemático italiano, contribuyó al

conocimiento de los poliedros con su obra De Divina Proportione, donde establece

relaciones entre las figuras geométricas y el Número de Oro.

Fig. 5. Demostración de la relación del Número de Oro con el icosaedro truncado, suponiendo el lado igual a 1.

10

Pacioli fabricó diversos poliedros con modelos huecos en madera,

que Leonardo da Vinci (1452-1519) utilizó para hacer las

ilustraciones del manuscrito.

Fig. 6. Ucoedrom abscisus vacuus (icosaedro truncado), Leonardo da Vinci

11.

Hemos podido consultar una edición traducida de 1959, en la que encontramos dibujos

de Leonardo sobre diferentes poliedros semirregulares que ya hemos estudiado.

Fig. 7. Dibujos de

Leonardo da Vinci.12

1. Códice Atlántico, folio

272 verso, b. 2. Octoedron abscisus

vacuus (octaedro truncado o poliedro de Kelvin).

1 2

10 Carlos Calvimontes, “Geometría de los exapenta según el número de oro, de la armonía de la naturaleza

a la armonía de la arquitectura”, http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/exapentas.htm 11 Luca Pacioli, De Divina Proportione, 1509 (tr. española de Ricardo Resta, La Divina Proporción,

Buenos Aires, Losada, 1959, 1ª ed 1946). 12 Ibid.

9

2.1.3 DIVISIÓN DEL ESPACIO Y DEL PLANO

Matemáticamente está demostrado que existe un número finito de posibilidades de

dividir el espacio y el plano. En palabras del matemático Marcus du Santoy:

“En una pared bidimensional son posibles 17 grupos diferentes de simetrías y ninguno más. (…) si se pasa de dos a tres dimensiones, entonces hay 230 modos de llenar el espacio con ladrillos

en vez de azulejos, donde los ladrillos forman unidades tridimensionales que se van

repitiendo.”13. (Sautoy, 2009:321)

Entre estas posibilidades, nosotros vamos a mostrar sólo las más regulares y cercanas a

nuestro ámbito de trabajo. Comenzamos con división del plano:

Fig. 8. Equiparticiones regulares y semirregulares del plano. Gheorghiu y N. Dragomir.

14

Existen tres equiparticiones del plano formadas

por polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado y hexágono regular), 8 equiparticiones semirregulares del plano y muchas más

particiones “demi-regulares”.

Fig. 9. En la naturaleza podemos ver la equipartición

de hexágonos en los panales de abeja.

Fig. 10. Derivación de la familia 3 de Gheorghiu y Dragomir, realizado por la autora según modelo de Le Ricolais. Subdividiendo los triángulos y cuadrados iniciales obtenemos una retícula de octógonos, hexágonos y pentágonos

irregulares.

Recientemente se está dando gran importancia a la geometría de Voronoi, fenómeno

organizativo relacionado con la ocupación mínima del espacio. Este sistema crea

teselaciones irregulares que se encuentran también espontáneamente en la naturaleza y

tiene aplicaciones en varias disciplinas como la biología, la antropología, la informática,

el marketing y el desarrollo de estructuras cristalinas.

Fig. 11. Geometría de Voronoi15

. Teselación a partir de un conjunto de puntos uniendo las bisectrices entre dos puntos en un ángulo

perpendicular a la línea que los conecta.

13 Marcus du Santoy, Simetría un viaje por los patrones de la naturaleza, Barcelona, Acantilado,

2009:321 14 A. Gheorghiu y N. Dragomir, Geometria poliedrelor si a retelelor forme si structuri constructive vol1,

Bucares, Editura Tehnica, 1978. 15 Natures, architecture boogacine, Verb, Barcelona, Actar, 2006:8

10

Respecto a las tres dimensiones, existen numerosos poliedros que macizan el espacio y

muchos más que lo compactan en combinaciones binarias o ternarias.

De los poliedros regulares y semirregulares sólo el cubo (sólido platónico) y el octaedro

truncado (sólido de Arquímedes) rellenan el espacio por sí solos.

Este último, el octaedro truncado, fue utilizado por Lord

Kelvin en 1887, para responder a la pregunta de cómo

particionar el espacio en celdas de igual volumen con el área

más pequeña de contacto entre ellas (la espuma de jabón más

eficaz) y desde entonces se conoce con el nombre de poliedro

de Kelvin.

Fig. 12. Agrupación de poliedros de Kelvin.

Esta figura se obtiene truncando los vértices del cubo o del octaedro, como ya hemos

visto, pero también de otra manera un tanto singular: Fig. 13. Poliedro de Kelvin obtenido a partir de cubos seccionados, “como es lógico, si cubos unidos llenan el espacio, trozos de cubos unidos, también lo

harán”. 16

Se unen los puntos medios de seis aristas definiendo un hexágono regular que corta el cubo en dos mitades iguales. Uniendo ocho de estos medios cubos se

obtiene el poliedro.

La conjetura de que este poliedro era la figura más eficaz que resolvía el Problema de

Kelvin duró más de 100 años, hasta que fue descubierta la estructura de Weire-Phelan

en 1993 con un área de superficie 0.3% menor que la de la estructura de Kelvin .

Esta geometría está compuesta por 2 células diferentes, un poliedro irregular con caras

hexagonales y pentagonales (tetrakaidecaedro) y el otro también irregular con sólo caras

pentagonales (dodecaedro).

El núcleo básico está compuesto por 8 de estos poliedros (2 dodecaedros y 6

tetrakaidecaedros), de tal manera que dos dodecaedros nunca se tocan, siempre están

rodeados de tetrakaidecaedros. Esta agrupación puede repetirse indefinidamente.

Fig. 14. Vistas de los dos poliedros de la estructura de Weire-Phelan con el desarrollo de las caras y la agrupación básica de 8 unidades.

Esta estructura se encuentra en la naturaleza en estructuras cristalinas (clatrato), en

hidratos de gas formados por metano, propano y dióxido de carbono y en algunos

silicios y germanios alcalinos.

También la encontramos aplicada en la arquitectura, como veremos más adelante.

16 Antonio Sicre Rambla, http://www.terra.es/personal5/922212902/home.htm

11

3. RADIOLARIAS Y SUS INVESTIGADORES

Las radiolarias son microorganismos unicelulares que integran el plancton marino y

presentan una estructura esquelética casi siempre de origen silíceo en su protoplasma

(sustancia contenida dentro de la membrana celular). Su nombre viene dado por la

presencia de extensiones radiales o espículas en la mayoría de sus especies.

“Sus esqueletos, una vez que el organismo ha muerto, se depositan en el fondo de los océanos, y

pasan a integrar el denominado fango de los radiolarios. Este proceso que viene repitiéndose

desde el Precámbrico, hace aproximadamente 700 millones de años, ha ido conformando una

tierra fósil que en algunos casos se ha integrado incluso en la formación de rocas

sedimentarias.”17

Lo más interesante de estos microorganismos es que entre las miles de especies que se

conocen existe una gran variedad y complejidad morfológica, guiada a la vez por una

regularidad geométrica.

A continuación se muestran una selección de microfotografías cedidas por la tutora,

agrupadas según criterios no biológicos, sino de composición geométrica y patrones

formales. La primera clasificación es en cuanto a su apariencia esférica, siendo las de

tipo esferoidal las que vamos a estudiar y analizar durante todo el trabajo posterior.

1.Radiolarias no esféricas:

Fig. 15. Muestra de la gran variedad formal dentro de los esqueletos radiolarios.

Fig. 16. Espículas dominantes que polarizan el esqueleto y generan tejidos ramificados. Algunos con configuración tetraédrica, formando ángulos de 120º. Las estructuras ramificadas recuerdan a los estudios de Frei Otto sobre el tema.

Fig. 17. Casquetes cónicos que crecen por anillos sucesivos cada vez más grandes, interrumpidos por otros de huecos

menores que aportan rigidez al sistema. Recuerdan a los tejidos de ganchillo.

17 Joaquín Araujo, “Fantasías geométricas”, Arquitectura Animal, El reto de la vida, Enciclopedia Salvat

del comportamiento animal, Barcelona, Salvat, 1987: 20

12

2.Radiolarias esferoidales:

Fig. 18. Superficie continua con huecos sin estructura geométrica aparente. Se observa gran heterogeneidad en el tamaño de los huecos, como si se tratara de una superficie espumosa solidificada. Las espículas tampoco muestran

orden, parecen “blandas”, maleables, como si se movieran con la marea. La imagen de detalle recuerda a otros organismos marinos, los corales.

Fig. 19. Estructura esquelética geométrica compuesta por conjuntos hexagonales. En la primera imagen se observa claramente la estructura hexagonal formada por anillos superpuestos, en la segunda, también de composición

hexagonal, el material avanza hacia dentro formando huecos circulares. Las espículas se generan por “estiramiento” de la geometría, constituyendo “pilares “ de sección variable. La imagen central muestra el casquete seccionado constituido por nervios iguales a los perfiles arquitectónicos IPE, en la parte interior se observa perfectamente la

configuración hexagonal de los nervios. Es una sección eficaz y optimizada. En la siguiente imagen la gran homogeneidad de la estructura se ve interrumpida por “costuras” lineales, quizá esto sea debido a que en la configuración hexagonal no hay incluido ninguna faceta pentagonal que permita el cierre de la esfera, como veremos

más adelante.

Fig. 20. Superposición de escalas. La primera imagen muestra un esqueleto interior geométrico, similar al analizado arriba, que se conecta con espículas a otro casquete exterior más delgado y de huecos heterogéneos. En la segunda

imagen se superponen tejidos de diferentes densidades con apariencia de líquenes y en la tercera y la quinta observamos material depositado en los intersticios del esqueleto. En la cuarta imagen aparece un esqueleto un tanto desordenado al que se superpone otro de configuración lineal y mucho más densa.

Fig. 21. Gradiente de porosidad. Observamos en las imágenes la variedad de las configuraciones, primero encontramos una superficie perforada por huecos, estos huecos van aumentando de tamaño en las siguientes imágenes, hasta entenderse como vacíos generados por la geometría irregular del esqueleto. Otro aspecto que llama

la atención es que en la primera imagen de detalle, los huecos están distribuidos en una configuración ortogonal y no hexagonal, que es lo habitual. La última imagen también es peculiar, el esqueleto tiene unos nervios principales que conectan las espículas y se rellenan con otros nervios secundarios con configuraciones rectangulares y triangulares

bastante extrañas.

13

Fig. 22.Casquetes esféricos concéntricos. En esta increíble configuración aparece un casquete interior unido por espículas a otro exterior. Los casquetes tienen la misma variedad morfológica que hemos visto antes y las espículas a veces conectan simplemente los casquetes y otras se prolongan en el exterior radialmente. Llama la atención

especialmente la penúltima imagen, con 6 espículas dispuestas en configuración cúbica y de gran entidad.

Este recorrido por los esqueletos radiolarios vistos al microscopio nos abre un campo de

estudio enorme en el que profundizaremos en trabajos posteriores.

Existen en el reino vegetal otras estructuras geométricas similares a las radiolarias, los

granos de polen. Algunos de ellos son esferas casi perfectas con celdillas dispuestas en

distribución hexagonal y pentagonal.

Fig. 23. Microfotografías de granos de polen, cedidas por la tutora.

14

3.1 HAECKEL, ILUSTRACIONES RADIOLARIAS

Haeckel, ilustrador, biólogo y zoólogo alemán (1834-1919), estudió el orden y la

evolución de las estructuras de los seres vivos. Su principio teórico más importante era

que la naturaleza es capaz de variar sus modelos a pesar de encontrarse sujeta a la ley.

Siguiendo el mismo principio Goethe, poeta y científico alemán, afirmaba que “aunque

la regla sea fija y eterna, es, al mismo tiempo, una regla viva; (...) los seres pueden

transformarse hasta lo informe, no por obra de la regla, ciertamente, pero sí dentro de

ella”18

.

Hoy en día se mantiene esta corriente de pensamiento, según el físico español Jorge

Wagensberg, las formas evolucionan hacia estados de complejidad creciente porque la

naturaleza huye del equilibrio al que le somete la ley y el azar interviene para producir

las fluctuaciones necesarias para el cambio.19

Haeckel comienza su camino investigativo con el estudio de las radiolarias,

consiguiendo en 1862 el grado de doctor con su obra Die Radiolarien, guiada por su

tutor Johannes Müller. Descubrió en ellas complejos patrones de simetría similares a los

cristales y estableció una clasificación de formas orgánicas según un orden creciente de

complejidad, lo que llamó estereometría orgánica.

Unos años más tarde, en 1866, publica General

Morphology of Organisms, donde desarrolla un

árbol genealógico que compila organismos

unicelulares, plantas y animales, incluyendo al

ser humano. Haeckel aseguraba que todas las

especies representan diferentes estados del

proceso de desarrollo en un abanico que unifica

la genealogía de los organismos vivos.

Para Haeckel el objetivo de la morfología es el

de encontrar una explicación causal para todas

las estructuras que son “verdaderas” en todos

los grados de la naturaleza, y que corresponden

tanto al mundo inorgánico como al orgánico.

Fig. 24. Formas poligonales y homopolares básicas. Plate II en Haeckel, Generelle Morphologie der Organismen, vol. 1, 1866

20.

En la lámina se presentan estos estudios geométricos a través del análisis de una radiolaria.

Durante los años 1873-76, viajó a bordo del Challenger recopilando muestras de

radiolarias que describió en su Report of the Scientific Results of the Voyage of H.M.S.

Challenger (Londres, 1887). Haeckel estimó que existían 4.314 especies incluidas en

739 géneros por todo el mundo sin limitaciones evidentes de un hábitat geográfico

determinado. Y afirmó que éstas familias habían permanecido constantes desde el

periodo Cámbrico.

18 Johann Wolfgang von Goethe. Teoría de la naturaleza. Tecnos, 1997. Nota 67, pág. 137 19 Jorge Wagensberg. Ideas sobre la complejidad del mundo. Tusquets, 1985, y La rebelión de las formas.

Tusquets, 2004 20 Dentro del articulo de Olaf Breidbach en Haeckel, Art Form in Nature, Munich, Prestel, 1998.

15

En 1904 publica su libro Kunstformen der Natur (Art Forms in Nature), en el que hace

un recorrido por diferentes formas de la naturaleza, interpretándolas geométricamente, y

evidenciando sus simetrías, los patrones que hay detrás de su formación aparentemente

aleatoria.

Fig. 25. Ilustraciones de Haeckel dentro de Arts Forms in Nature.

21

1.Tafel 2. En el centro vemos una radiolaria muy similar a la microfotografía de la fig19.

2.Tafel 61. La figura central muestra una estructura espacial que más tarde analizó Le Ricolais.

3.Tafel 91. Radiolarias esféricas con espículas radiales. 1 2 3

Hemos podido consultar los cuatro tomos originales de sus estudios sobre radiolarias, en

la hemeroteca del museo de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Minas:

1 2 3 4 Fig. 26.

1. Signatura: 563.1 HAE V.1 MUSEO. Haeckel, Die Radiolarien (Rhizopoda Radiaria), Berlín, Druck und Verlag von Georg Reimer, 1862.

2. Signatura: 563.1 HAE ATLAS MUSEO. Haeckel, Die Radiolarien (Rhizopoda Radiaria) Atlas, Berlín, Druck und Verlag von Georg Reimer,1862.

3. Signatura: 563.1 HAE V.2 MUSEO. Haeckel, Radiolarien (Allgemeinen Naturgeschichte), Berlín, Verlag von Georg Reimer, 1887.

4. Signatura: 563.1 HAE V.3-4 MUSEO. Haeckel, Die Acantharien (Actipyleen Radiolarien), Berlín, Verlag von Georg Reimer, 1888.

Los dos primeros tomos pertenecen a su tesis doctoral mencionada anteriormente. El

primero consta de 572 páginas escritas y el segundo es el atlas donde aparecen 35

grabados originales en blanco y negro con sus páginas gofradas.

Observamos que las ilustraciones están hechas a base de líneas y puntos, consiguiendo

con estos últimos las escalas de grises al variar su densidad.

Los dos últimos tomos recopilan los estudios posteriores a su viaje a bordo del

Challenger. El tercero consta de 248 páginas escritas y 64 litografías (la mayoría en

blanco y negro); y el cuarto contiene dos estudios diferenciados, el primero de 31

páginas escritas y 92 litografías y el segundo de también 31 páginas escritas y 30

litografías (blanco y negro y color).

Esto hace un total de 141 ilustraciones, que no hemos podido analizar exhaustivamente,

pero de las cuales hemos extraído algunos de los dibujos que representan radiolarias

esféricas con distintos grados de geometrización. (Fotografiados con cámara digital por

la autora).

21 Ernst Haeckel. Art Forms in Nature, Munich, Prestel, 1998.

16

Comenzamos con el Atlas de 1862:

Fig. 27. Redes de hexágonos que forman la superficie esférica. Esto es matemáticamente imposible, como veremos

más adelante, siempre tiene que aparecer alguna faceta cuadrada, pentagonal o heptagonal para encerrar el espacio. En los dibujos posteriores a su viaje en el Challenger, Haeckel ya se percata de esta cuestión y no vuelve a dibujar este tipo de composición imposible.

Fig. 28. En esta recopilación encontramos un gran abanico de configuraciones de los esqueletos radiolarios. Como en las muestras al microscopio recogidas anteriormente, podemos observar distintos grados de porosidad y regularidad en

la superficie. Algunas se entienden como esqueletos y otras como superficies continuas perforadas.

A partir del segundo volumen, todas las ilustraciones corresponden a sus estudios de las

muestras recogidas en el viaje “H.M.S. Challenger”. Dentro de la publicación de 1887,

aparece un mapa con el recorrido del viaje.

Fig. 29. Mapa del viaje H.M.S Challerger. En el se

localizan las zonas donde la expedición Challerger (azul) y otras expediciones (naranja), encontraron radiolarias.

17

De este segundo volumen de 1887 hemos hecho la siguiente selección:

Fig. 30. Diferentes configuraciones de casquetes. En las dos primeras imágenes vemos un segundo cascarón exterior mucho más denso que aparece conectado con espículas finas, similares a los vistos en las imágenes microscópicas. En la tercera, los nervios se extienden formando paredes poligonales hacia el exterior, las cuales, a su vez, también

están perforadas. Si contamos el número de celdas que rodean a una, podemos ver que aparecen facetas pentagonales y heptagonales en la composición. En la cuarta imagen los huecos son circulares y los nervios principales se ven marcados por un estrechamiento de la pared e hileras de pequeñas espículas. Este estrechamiento

se observa también en las siguientes imágenes, el esqueleto deja el vacío de las vesículas esféricas que se alojaban cuando el organismo estaba vivo. En la ultima imagen, abajo, se produce otra vez una extrusión simple.

Fig. 31. Detalles y secciones de las cáscaras. En las primeras imágenes vemos celdas aisladas en configuración hexagonal con

espículas diminutas, largas y afiladas o en forma de paredes estiradas. En las secciones podemos ver las celdas esféricas, cónicas,

extruidas o afiladas que ya hemos comentado.

Fig. 32. En esta serie vemos diferentes configuraciones de casquetes concéntricos, en algunos el casquete interno es

mucho más grueso que el exterior y en otros es al contrario. También hay gran variedad de tamaños y formas en las espículas conectoras. La imagen de la derecha es la más homogénea, con tres cascarones se sección mínima y espículas también muy finas.

Fig. 33. Microfotografías de esqueletos radiolarios concéntricos. Se observa gran fidelidad entre los dibujos y la realidad.

22

22 Joaquín Araujo, “Fantasías geométricas”, Arquitectura Animal, El reto de la vida, Enciclopedia Salvat

del comportamiento animal, Barcelona, Salvat, 1987: 13,21

18

En el tercer volumen, que data del año 1888, se observa una mayor geometría en los

dibujos. El tomo describe dos especies por separado, la primera es la Alcantharia:

Fig. 34. Análisis de las facetas. Los dos primeros dibujos muestran poliedros compuestos de pentágonos y hexágonos irregulares que no responden a ningún sólido platónico. En la proyección del poliedro sobre el esqueleto radiolario se

observa perfectamente que hay varios pentágonos adyacentes. Esta configuración es muy extraña e inestable, como veremos más adelante en el análisis de estructuras moleculares.

Fig. 35. Cascarón radiolario con una configuración extraña. Los huecos se hacen mayores al entrar en contacto con las espículas formando una especie de roseta de configuración ortogonal. Cuatro grandes lóbulos se disponen en los ejes

cartesianos y otros cuatro menores completan el cuadrado. Entre estas agrupaciones se disponen desordenadamente el resto de celdas que completan la esfera. La primera y la cuarta imagen responden a esta configuración estricta mientras que en las dos centrales se observa una geometría más blanda.

Las láminas de la segunda especie, la Phaeodaria, son las más conocidas, publicadas y

analizadas por otros autores. En la página siguiente mostramos cuatro de estas láminas

completas, donde se hace referencia a estructuras trianguladas espaciales y a sólidos

platónicos. No hemos incluido la lámina 11, donde aparece el famoso dibujo que analiza

D´arcy Thompson, junto con otro de Carnoy, porque lo veremos más adelante (pág. 24).

En esta misma lámina también aparece un dibujo con un esqueleto triangulado que

encontramos junto con los estudios estructurales de Le Ricolais.

Hemos realizado esta mínima selección de entre todas las ilustraciones, con intención de

no excedernos en una invasión descontrolada de dibujos, pero hay gran número de ellos

que nos hemos dejado por el camino y que sin duda se podrían analizar. Lo

impresionante para los que hemos tenido la oportunidad de ver todo el conjunto, es la

minuciosidad del trabajo de Haeckel, dibujaba y dibujaba esqueletos una y otra vez con

mínimas variaciones. Quería controlar las más de 4.000 especies que por entonces se

conocían y no desesperó en el empeño.

19

Fig. 36. Láminas 8, 9, 10 y 17. La primera y la tercera lámina muestran esqueletos triangulados espaciales formando estructuras piramidales que acaban en espículas. Estas ilustraciones fueron estudiadas por Le Ricolais. En la segunda

lámina encontramos un esqueleto esférico triangulado con agrupaciones hexagonales y pentagonales de gran parecido con las geodesias de Fuller, sin embargo aquí los pentágonos no siguen la configuración icosaédrica de las geodesias. La última lámina, reproducida en muchas otras publicaciones, muestra esqueletos con configuraciones de tres de los

cinco sólidos platónicos, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro.

20

También hemos tenido acceso a una copia digital con reproducciones a color del Atlas

Die Radiolarien de 1962 dentro del libro: Arts Forms from de Ocean, Munich, Prestel

Verlag, 2005. Se muestran a continuación las miniaturas de todas las láminas:

Fig. 37. Miniatura de todas las láminas de la tesis de Haeckel, muestra la gran variedad formal de las radiolarias

estudiadas. Nosotros sólo hemos analizado las de configuración esférica.

21

Durante este barrido por los dibujos de Haeckel hemos podido comprobar el gran

abanico de formas de estos microorganismos y el interés del autor por entenderlos y

describirlos.

Cien años más tarde, en 1968, Ritterbush23

sugirió que Haeckel había alterado sus

dibujos de las radiolarias para evidenciar el carácter geométrico de los organismos. Con

la evidencia de microscopios más potentes, “descubrieron que las radiolarias eran

irregulares”.

Pero, por lo que nosotros hemos podido comprobar, Haeckel ya dibujó radiolarias

irregulares, es más, la mayoría de sus dibujos muestran estructuras irregulares.

Fig. 38.

Ejemplo de comparación de entre un dibujo de Haeckel y una radiolaria. Se observa la descripción fiel de las irregularidades de los huecos y las espículas.

1.Radiolaria al microscopio. 2.Haeckel, 1862. Taf XXXIV

1 2

Encontramos dos razones posibles que explican esta opinión. La primera es que las

ilustraciones de Haeckel publicadas reiteradamente en artículos y libros, son

precisamente las más geométricas. Y la segunda es que esta nota fue encontrada dentro

del artículo de Detlef Mertins sobre Bioconstructivismo24

, a su vez dentro del libro de

NOX25

. Entonces se produce una argumentación un tanto simplista; como la naturaleza

es irregular, justifico las irregularidades formales de mis proyectos y digo que están

basados en ella.

De hecho, en el mismo artículo, se cita a Spuybroek (director de NOX), según este

autor, las radiolarias nunca son esferas, aunque tienden a las formas esféricas. Entiende

las radiolarias no como una forma homogénea, ni como emblemas de un orden

universal, sino como un material tecnológico que produce superficies tectónicas

híbridas. Con lo que él llama “radiolarian technology” (tecnología de las radiolarias), las

superficies pueden ser moduladas para asumir diferentes tamaños y formas, dentro del

ámbito de la arquitectura.

En el artículo Mertins dice que Spuybroek utiliza como Otto, un repertorio de modelos

materiales analógicos, sin embargo, en todo el libro, no hemos encontrado ningún

modelo experimental que permita la extracción de “formas eficaces” arquitectónicas.

Específicamente, en el proyecto del Banco Central Europeo, coloca imágenes de

radiolarias al microscopio y a continuación un sin fin de modelos digitales, llenos de

hexágonos y de formas montañosas.

En un modelo digital no hay gravedad, ni se

consiguen controlar las deformaciones de una

superficie construida con hexágonos. El

ordenador deforma, sin tener en cuenta una

eficiencia de la forma, cosa que la naturaleza

jamás haría. Este, por tanto, es el primer

ejemplo que traemos de interpretación errónea

de las radiolarias en arquitectura. Fig. 39. Banco Central Europeo. Nox, 2003.

23 Phillip Ritterbush. The Art of Organic Forms. Washington, Smithsonian Institution Press, 1968. 24 Detlef Mertins. “Bioconstuctivisms”. University of Pennsylvania, 2004. 25 Lars Spuybroek. NOX. London, Thames & Hudson, 2004.

22

3.2 D´ARCY THOMPSON, ANÁLISIS DE LAS FORMAS RADIOLARIAS

D´arcy Thompson (1860-1948) fue un biólogo naturalista y matemático escocés.

Su obra principal, On Growth and Form, se considera de gran importancia, en palabras

de Medawar26

“incomparablemente, la mejor obra de literatura en todos los anales de la

ciencia escrita en lengua inglesa”. En ella se analizan los procesos biológicos desde un

punto de vista matemático y físico.

En 1917 publicó la primera edición que constaba de 793 páginas, y en 1942 publicó la

segunda de 1.116 páginas, completando las ideas básicas de la primera con numerosos

ejemplos.

Años más tarde, en 1961, se elaboró una versión reducida a cargo del editor John Tyler

Bonner, en la que se suprimen párrafos que quedaron anticuados e incluso capítulos

enteros. Entre ellos se eliminó un capítulo corto “Una nota parentética sobre geodesia”,

donde realiza incursiones en la geometría y en el hecho de que muchos organismos

pueden describirse como geodésicos. Pero en realidad trata sobre “geodesia lineal”, en

espirales y hélices, y las compara con tallos naturales, alejándose así del punto de vista

que nos interesa; geodesias esféricas.

La edición que nosotros hemos manejado es la de 1961 traducida al español, Sobre el

Crecimiento y la Forma27

. En ella encontramos el capítulo V, “Espículas y Esqueletos

Espiculares”, donde se tratan en profundidad los esqueletos radiolarios y su formación.

Según Thompson, la herencia genética no es suficiente para explicar la forma de los

organismos, y señala la importancia fundamental de las fuerzas físicas.

Los esqueletos de organismos como las radiolarias, están formados por la deposición de

material inorgánico (sales de calcio o sílice) en cuerpos vivos (alrededor de las células,

y en los intersticios de éstas). Por tanto, Thompson explica la forma de estas estructuras

por un lado, en función de las formas adoptadas por las células, tejidos u órganos del

organismo vivo; y por otro lado, dependiendo de la naturaleza química, y las fuerzas

moleculares.

Fig. 40. Microfotografías de secciones transversales de tallos

28.

En estas imágenes podemos ver cómo los empaquetamientos celulares, definidos por las

paredes celulares, configuran un tejido muy similar al que observamos anteriormente en

los esqueletos radiolarios.

26 Ensayo de P.B. Medawar dentro de D´Arcy Wentworth Thompson, Oxford University Press, 1958. 27 D´Arcy Thompson, Sobre el crecimiento y la forma, Madrid, Blume Ediciones, 1980. 28 Vvaa, Enciclopedia Visual de los Seres Vivos I, Barcelona, El País, 1994.

23

Estas configuraciones no regulares, son objeto de estudio desde siempre. El hombre

intenta atrapar los secretos de la naturaleza para poder reproducirlos de manera

artificial.

Sin embargo, según Pasteur (1860), en la asimetría molecular de los cuerpos naturales y

en su simetría cuando se producen artificialmente reside una de las más profundas

diferencias entre los fenómenos vitales y los no vitales. Y casi cuarenta años más tarde,

Japp29

apunta refiriéndose a los organismos vivos que “sólo la asimetría puede generar

asimetría”.

Actualmente, en arquitectura, gracias al desarrollo de software informáticos, se está

consiguiendo reproducir asimetrías que no son controladas por la mente humana. A

continuación mostramos dos ejemplos de arquitecturas con geometrías complejas,

basadas en interpretaciones de fenómenos naturales:

1. El Centro Nacional de Natación en Beijing, o “Watercube”, construido entre 2003-07,

tiene estructura metálica cubierta con paneles de EFTE. La estructura fue desarrollada

por PTW en colaboración con ARUP y se deriva de un agregado de burbujas.

Fig. 41. Proceso de diseño del Watercube.

1.Agrupación de burbujas. 2.Geometría Weire-Phelan. 3.Misma geometría dividida.

4.Edificio en construcción.

1 3 4

Se empleó la geometría de Weire-Phelan, respuesta matemática a fenómenos naturales

de las burbujas de jabón. Esta geometría, estudiada con anterioridad (pág. 10), está

compuesta por dos tipos de poliedros facetados que se repiten. En este proyecto, la

geometría se corta obteniéndose un patrón irregular con 4.000 células (7 tipos en la

cubierta y 16 en los muros), 12.000 nodos (4 tipos diferentes) y 24.000 elementos (10

grosores y 3 longitudes diferentes).30

2. El proyecto “Grotto” de Aranda/Lasch, forma parte del concurso anual “the Young

Architects Program” del 2005, organizado por el PS1, en Nueva York.

La geometría de esta gruta, se enmarca dentro del discurso de los autores llamado

“Tooling”, que consiste en siete técnicas algorítmicas transformadas en lógicas de

construcción.

Fig. 42. Proyecto Grotto. Maquetas de concurso. Cada roca está definida por un punto central, y la bisectriz entre

dos puntos define la cara del poliedro. Todas las rocas comparten una cara.

1 2

La solución utiliza una combinación de algoritmos basados en la geometría de Voronoi,

que transfiere la modularidad de una técnica de teselación de Danzer (desarrollada por

Arup AGU) a un conjunto final de cuatro tipos de rocas. 31

29 F.R. Japp, “Stereochemistry and Vitalism”, Bristol, 1898: 813. 30 Para más información: Natures, architecture boogacine, Verb, Barcelona, Actar, 2006: 66-87. 31 Para más información: Natures, architecture boogacine, Verb, Barcelona, Actar, 2006: 8-19.

2

24

Volviendo a Thompson y a las radiolarias:

“En su forma típica, el cuerpo de un radiolario consiste en una masa esférica de protoplasma,

alrededor de la cual, y separado de ella por una especie de <cápsula> porosa, se extiende un

protoplasma espumoso con multitud de alvéolos o vacuolas, lleno de un fluido que no se

distingue mucho del agua del mar. Según sus condiciones de tensión superficial, estas vacuolas

pueden aparecer más o menos aisladas y esféricas, o reunirse en una <espuma> de células

poliédricas; y en este último caso, que es el más corriente, las células tienden a ser del mismo

tamaño, y la masa poligonal resultante tiene una bella regularidad. (...)

En otras palabras, una gran parte del cuerpo radiolario (...), se compone de una masa de vesículas que forman una especie de espuma rígida.” 32

Esta masa de vesículas forma un empaquetamiento apretado, y siguen las reglas de las

superficie mínima: las paredes de separación se encuentran en ángulos iguales, de tres

en tres en cada arista, y las aristas se encuentran de cuatro en cuatro en cada esquina.

Esta configuración tiende a formar una malla regular de hexágonos, sin embargo

“ningún sistema de hexágonos es capaz de encerrar espacio: esto es matemáticamente

imposible en todas las circunstancias, sean los hexágonos iguales o desiguales, regulares

o irregulares”. Demostrado matemáticamente por Euler, es cierto que predominan los

hexágonos, pero tienen que aparecer facetas pentagonales y heptagonales para poder

cerrar la superficie.

facetas pentagonales facetas heptagonales

facetas octogonales

Fig. 43.

33

“Reticulum plasmatique” según Carnoy34

y Aulonia hexagona, Haeckel.

Se han marcado en colores las facetas no hexagonales que hemos podido distinguir en el dibujo tras una larga observación. Puede ser

que haya más.

Analizando estos dos dibujos, nos damos cuenta de que en Carnoy no se cumple

siempre la regla de la superficie mínima, y nos encontramos con cuatro celdas que

confluyen en un mismo punto, en vez de tres, que es lo habitual (ver círculos verdes en

imagen). Tampoco hay aparentemente ninguna ley que justifique la disposición de

pentágonos, ni su relación entre ellos y con las otras facetas no hexagonales. Se

producen aglomeraciones por grupos, cada uno de ellos diferente al anterior.

En el dibujo de Haeckel, por el contrario, las facetas siempre se relacionan de tres en

tres, haciendo más fácil la contabilización de caras de una celda. También observamos

que siempre que aparece un pentágono tiene asociado un heptágono, formando grupos

independientes. Esta configuración recuerda a las encontradas en algunos fullerenos

gigantes, que veremos más adelante.

Thompson continua haciendo un análisis pormenorizado de las diferentes

configuraciones de esqueletos radiolarios, pero hemos optado por no incluirlas en este

trabajo por su elevado nivel de detalle. Sin embargo algunas de ellas las ponemos en

práctica en los modelos experimentales.

32 D´Arcy Thompson, Sobre el crecimiento y la forma, Madrid, Blume Ediciones, 1980: 150. 33 Ibid: 151. 34 Carnoy, Biologie Cellulaire, p. 244, fig. 108.

25

3.3 FREI OTTO, DIATOMEAS Y REDES HEXAGONALES

Frei Otto, arquitecto, profesor y teórico alemán, nace en Siegmar, Sajonia, en 1925.

En 1957 funda en Berlín el Centro para el Desarrollo de las Construcciones Ligeras

(Entwicklungsstätte für den Leichtbau), por su propia iniciativa y sin ayudas de ningún

tipo.

En 1964 organiza, dentro de la facultad de Arquitectura de la Escuela Técnica Superior

de Stuttgart, el Instituto de Investigación de Estructuras Laminares Ligeras, IL (Institut

für leichte Bauingenieurwessen) que dirige hasta 1995.

Otto conoce en 1961 al biólogo y antropólogo berlinés Johann-Gerhard Helmcke, que le

introduce en la investigación de los organismos microscópicos. En las cáscaras de las

diatomeas y los esqueletos de las radiolarias, reconocen los principios de las

construcciones ligeras naturales y el significado de los procesos de autoformación en el

desarrollo de las formas.

Juntos crean un grupo de investigación de Biología y Naturaleza para estudiar estas

construcciones biomórficas y su colaboración continua hasta la muerte de Helmcke en

1993.

En 1990 Frei Otto publica una monografía sobre las radiolarias35

que incluye dos

artículos de Helmcke y de K. Bach. Por el momento no hemos podido tener acceso al

texto, pero será parte fundamental en un estudio posterior y más profundo.

A continuación mostramos brevemente sus estudios sobre las diatomeas, algas

unicelulares microscópicas, que poseen una cubierta de protección de sílice (dióxido

silicio amorfo) y se originaron durante el periodo Jurásico. La diferencia entre las

radiolarias y las diatomeas es que el esqueleto radiolario es un endoesqueleto, mientras

que la cáscara de las diatomeas es un exoesqueleto. En palabras de Otto:

“La superficie de la cáscara de las diatomeas puede ser plana o tener otras formas, como

cilíndricas, cupulares o alabeadas. En ellas se puede detectar varios principios estructurales.

Existen cáscaras de gran transparencia que presentan muy pocos orificios, mientras que también

existen otras con mayor número de orificios que se asemejan a estructuras de barras y

finalmente algunas presentan unos elementos tan delgados acompañados de superficies rígidas

de mínimo espesor que se asemejan a mallas espaciales. (...) En muchas especies se presenta una estructura de celdas hexagonales.”36

Fig. 44. Diatomeas al microscopio.

Al igual que apuntaba Thompson respecto de las radiolarias, Helmcke descubre que la

formación de la cáscara de las diatomeas requiere la presencia de vesículas que sirven

de marcadores de posición.

35 IL 33, Radiolaria, shells in nature and techniques II, University of Stuttgart, 1990. 36 Frei Otto: Estructuras, Estudios y trabajos sobre la construcción ligera, Barcelona, Gustavo Gili,

1973: 114.

26

Además del estudio de diatomeas y radiolarias, Otto analizó un gran numero de

estructuras naturales, como las pompas de jabón, las ramificaciones vegetales, la

composición de los huesos etc. Todas estos estudios siempre fueron acompañados de

experimentos físicos y de interpretaciones arquitectónicas que casi nunca construyó.

Para Otto lo importante era la investigación, “A mi me basta con saber que una cosa se

puede hacer; hacerla pueden ya otros.”

De sus obras construidas, la gran mayoría son estructuras traccionadas que están

formadas por dos familias de cables en disposición ortogonal. Sin embargo encontramos

un ejemplo de un modelo experimental y una cúpula para el complejo gubernamental

Kocommas, en Riyadh, Arabia Saudí, que nunca se llegó a construir, en los que utiliza

una malla traccionada de hexágonos:

facetas cuadrangulares facetas pentagonales

facetas heptagonales

Fig. 45.

37

Modelos suspendidos de mallas

hexagonales. La segunda imagen se refiere a la cúpula Kocommas.

Se han marcado en colores las facetas no hexagonales.

Respecto de este tipo de modelos hexagonales colgados realizados con cadenas, Otto

señala que la malla no sólo permite simular superficies de doble curvatura, sino que

también hace visible la distribución de los esfuerzos internos. Si el ángulo entre tres

cadenas forma 120º, las fuerzas se distribuyen de manera equitativa. También señala la

dificultad de realizar este tipo de modelos, debido a que, como ya hemos visto, es

necesario que aparezcan pentágonos para crear la curvatura, y los modelos han de ser

modificados hasta encontrar el diseño deseado de la superficie.

Podemos observar cómo la primera imagen ofrece una distribución mucho más

armoniosa de las facetas, los ángulos entre aristas se aproximan bastante a los 120º, y

aparecen pentágonos y heptágonos colocados ordenadamente.

La cuestión más interesante es la de descubrir cómo afecta la colocación de facetas

distintas a las hexagonales en la curvatura de la superficie. Si nos fijamos

detenidamente, descubrimos que en la altura correspondiente a la disposición de los

heptágonos, aparece una ligera contracurva. Esto es emocionante a la par que

inquietante, porque sabemos que el pentágono produce una curvatura positiva en la

superficie, y como hemos visto anteriormente, muchas veces aparecen pentágonos y

heptágonos adyacentes en la distribución de este tipo de mallas, lo cual entra en una

contradicción interesante que habrá que investigar más en profundidad.

En la segunda imagen, los hexágonos tienen sus ángulos muy deformados, y no hay

ningún pentágono, sólo aparecen cuadrados en una posición cercana a la base. Esto

implica que los esfuerzos no están equitativamente distribuidos, y que, como ya hemos

visto, para encerrar una superficie compuesta de hexágonos tienen que aparecer

pentágonos.

37 Frei Otto Complete Works, Berlin, Birkhäuser, 2005: 25,102.

27

4. GEOMETRÍAS RELACIONADAS

La primera cúpula reticular, de 1923, se construyó en Jena, la misma ciudad donde

cincuenta años antes Haeckel había publicado su monografía sobre las radiolarias. En

palabras de Jose Mª Churtichaga:

“Las láminas de Haeckel pudieron mostrar el camino a los ingenieros que buscaban una

superficie sobre la que proyectar la esfera celeste. Construyendo un gigantesco radiolario de

acero, donde posan suspendidos sus constructores, inauguraron el fértil camino de las cúpulas

reticulares.”38

Fig. 46. Domo en construcción y terminado. Dyckerhoff and Widmann y Zeiss Optical.

Este proyecto para el observatorio astronómico Zeiss, fue diseñado por el ingeniero

alemán Walther Bauersfeld, y construido por la firma Dyckerhoff and Widmann.

Bauersfeld estuvo trabajando en este proyecto desde 1912, por lo que tardó 11 años en

crear este domo basado en un icosaedro, de 16 metros de diámetro y con un total de

3.480 lados, que se ubicó en el techo de un edificio de compañía Zeiss.

La espectacular estructura, finalmente queda oculta al proyectarse hormigón en su cara

exterior y panelarse con un despiece radial.

Durante este capítulo vamos a enfrentarnos al problema de la división de la esfera, que

ha supuesto un gran reto no sólo en el ámbito de la arquitectura sino también en otras

disciplinas como la estereoquímica o el arte.

Los grandes investigadores de estructuras reticulares nos enseñan que la división de la

esfera en meridianos y paralelos no es la más eficaz, ya que las piezas quedan muy

desiguales y la malla no distribuye uniformemente los esfuerzos.

Por esta razón vamos a dejar a un lado las retículas ortogonales, que también se alejan

de las estructuras naturales estudiadas, y vamos a centrarnos en geometrías compuestas

fundamentalmente por hexágonos, con pentágonos y triángulos asociados.

38 Jose Mª Churtichaga, “La estructura Veloz”, dentro de: Miguel Seguí, Candela. Pérez Piñero, Madrid,

Rueda, Ministerio de Vivienda, 2004: 154.

28

4.1 FULLER, EMPAQUETAMIENTOS DE ESFERAS Y GEODESIAS

Richard Buckminster Fuller (1895-1983), diseñador, ingeniero e inventor

estadounidense autodidacta, dedicó su vida a intentar mejorar la condición humana,

siendo su objetivo principal el de conseguir que todas las personas del mundo tuvieran

una vivienda digna. Nunca consiguió estos retos, pero sus estudios geométricos y sus

cúpulas geodésicas tienen gran importancia en la arquitectura y también sirvieron de

guía en la geometría molecular.

Fue un empresario, un capitalista y un hombre de acción, a la vez que un teórico que

intentaba llegar al origen y la síntesis de la geometría.

En 1944, comienza sus

investigaciones geométricas

redescubriendo el cuboctaedro o

Dymaxion.

Este poliedro constituye la

disposición mínima de vectores,

sus lados son todos de longitud

igual entre sí y a la distancia que

hay desde el centro a cada uno de

los vértices. La forma geométrica

tiene 14 facetas, 12 vértices y 16

aristas (8 triángulos equiláteros y 6

cuadrados).

Fig. 47. Geometría energética y sinergética, Fuller39

.

Esta figura se genera de tres formas diferentes; partiendo del cubo, del octaedro o a

partir de la agrupación de esferas.

1 2 3 4 5

Fig. 48. Modelos en Rhinoceros.

1. Cubo truncado por los vértices hasta el punto medio de cada arista. 2. Octaedro obtenido al unir los puntos medios de las aristas de un tetraedro, dymaxion como resultado de la misma operación. En palabras de Fuller, “el tetraedro tiene de centro de octaedro, el octaedro tiene centro dymaxion”.

3. Comprobación de la equidistancia, partiendo de un cubo de lado 1, se obtiene el dymaxion, cuyas aristas y vectores del centro a los vértices son todos iguales y de valor 0,35. 4. Doce esferas, en cada vértice del dymaxion, rodeando a una central. 5. Dymaxion de doble dimensión con una segunda capa de 42 esferas.

Tras realizar el modelo digital de agrupación de esferas, construido añadiendo esferas a

los vértices y puntos medios de las aristas del cuboctaedro, nos disponemos ha realizar

un modelo físico.

39 R.Buckminster Fuller, México, Editorial Hermes, 1966.

29

Fig. 49. Agrupaciones de esferas, Fig. 50. Modelos realizados con esferas de plástico según los de Fuller Fuller

40. sobre las agrupaciones apretadas de esferas.

El modelo parte de una agrupación plana en la que 6 esferas rodean a una central,

posteriormente se colocan 3 esferas sobre esta agrupación, y otras 3 bajo ella,

obteniéndose el dymaxion de primer orden. Sin embargo, para la segunda capa, no es

posible ir añadiendo esferas una a una, debido a la inestabilidad del sistema, y hay que

preparar las caras triangulares o cuadradas por separado y añadirlas después.

Se observa que a medida que se aumentan las capas del sistema, más patente es su

geometría poliédrica, y se evidencia sobre todo en las caras cuadradas la distribución

ortogonal y no apretada de las esferas.

Es por todos sabido, que en una cara plana, una agrupación ordenada de esferas nunca

tendrá una disposición en ejes ortogonales, sino en ángulos de 60º, componiendo la

agrupación hexagonal inicial (ver configuraciones esféricas, pág. 35).

El resultado de esto es que aparece una distribución no homogénea de los huecos, en las

caras triangulares son pequeños y triangulares, mientras que en las caras cuadradas son

mucho más grandes y de forma también cuadrada.

En la naturaleza no encontramos esferas perfectas, pero sí agrupaciones apretadas que

tienden a producir distribuciones hexagonales y que soportan deformaciones continuas a

lo largo del crecimiento.

Fig. 51. Desarrollo del fruto de la zarzamora

41.

Fuller dijo en repetidas ocasiones “I,m not trying to imitate Nature. I´m trying to find

the principles she is using” (Yo no trato de imitar la Naturaleza. Trato de encontrar los

principios que ella usa).

En este caso, sus principios geométricos han prevalecido sobre los principios naturales.

40 Ibid 41 Vvaa, Enciclopedia Visual de los Seres Vivos I, Barcelona, El País, 1994.

30

Siguiendo con la relación entre Fuller y la naturaleza, en su conferencia sobre

Iniciativas del Diseño Mundial42

afirmó que: “I did not copy nature´s structural

patterns” (yo no copié los patrones estructurales naturales). En ella argumentaba que

aunque los dibujos de las radiolarias habían estado allí desde hacía 100 años, él no tuvo

la oportunidad de verlos hasta después de haber producido sus estructuras geodésicas

mediante una secuencia de desarrollo matemático. Continuaba diciendo que lo

interesante es que estos esqueletos radiolarios confirman la relación entre sus

descubrimientos matemáticos y las estructuras naturales, y acaba con la afirmación de

que la reaparición de investigaciones sobre estas estructuras en varios niveles científicos

es “pura coincidencia”.

Hemos encontrado otra referencia de Fuller a las radiolarias:

“Las estructuras subdivisibles del animal microscópico llamado radiolaria se han desarrollado

con las mismas leyes matemáticas y estructurales que gobiernan en los diseños-humanos

geodésicos y en otros diseños-no-humanos de estructuras esferoidales naturales”. 43 (Traducción

de la autora).

No sabemos si Fuller tampoco conocía la primera cúpula geodésica de 1923, y también

es una “coincidencia” que en los años 40 empezara sus estudios sobre este tipo de

estructuras desde cero. Lo que es seguro es que no inventó la cúpula geodésica, como se

le ha atribuido en muchas ocasiones.

Fuller comienza sus estudios geodésicos partiendo del tetraedro como sistema

estructural básico.

Teniendo en cuenta la tendencia automática de la energía reticular a

triangularse, supuso que la red estructural de energía más económica

sería la derivada de la fusión del tetraedro y la esfera. La esfera

encierra la mayor cantidad de espacio con la menor superficie posible

y es más fuerte contra las presiones internas; el tetraedro encierra el

menor espacio con la mayor superficie y es más fuerte contra las

presiones externas.

Fig. 52. Modelos en Rhinoceros. Tetraedro proyectado a la esfera en perspectiva y aislado en planta.

Como síntesis entre estas dos figuras, Fuller propone el icosaedro, un tetraedro

multifase, cuyos vértices se hayan situados en su totalidad en la superficie de la esfera.

Proyectando esta forma en la esfera y subdividiendo sistemáticamente sus caras,

llegaremos a la retícula de tres direcciones de la estructura geodésica.

Fig. 53. Desarrollo geométrico de la geodesia.

44

1. Icosaedro, frecuencia 1.

2. Icosaedro proyectado a la esfera, frecuencia 2. 3. Retícula geodésica, frecuencias 1, 2, 3, 4 y 5. 1 2 3

Con este sistema de proyección del icosaedro a la esfera, Fuller desarrolló todas sus

cúpulas, manteniendo constante el número de pentágonos (los vértices del icosaedro) y

variando el número de triángulos según la frecuencia de división de las caras.

42 “Word Design Initiative” (Conferencia, Mejico, 1963) en Your Private sky, R.Buckminster Fuller: 442. 43 Fuller, “Conceptuality of Fundamental Structures” en Mertins,“Bioconstuctivisms”,Pennsylvania,2004. 44 R.Buckminster Fuller, México, Editorial Hermes, 1966.

31

Entre 1947 y 1950 Fuller realiza prototipos de cúpulas geodésicas con alumnos en

diferentes seminarios universitarios, y en 1952 se construye la primera esfera geodésica

completa en la Universidad de Cornell, un planetario llamado Geoscope.

1 2 3 4 Fig. 54. Prototipos realizados por Fuller con estudiantes

45.

1.Construcción de cúpula geodésica con las bandas metálicas de las persianas venecianas. Workshop en el Black Mountain College, verano de 1948. 2.Primera cúpula con un sistema envolvente, 1949. 3.Cúpula Collar con piel exterior plástica, Black Mountain College, 1949.

4.Planetario Geoscope, esfera geodésica en la Universidad de Cornell, 1952.

En 1953 se construyó la primera realización industrial a gran escala, para cubrir el

Edificio Rotonda de la Compañía Ford. Y a partir de entonces se realizaron proyectos

de cúpulas geodésicas para el Cuerpo de Infantería de la Marina de los Estados Unidos y

muchas otras empresas privadas.

La mayoría de estas cúpulas, como hemos dicho, están compuestas por triángulos que

pertenecen a las caras del icosaedro proyectado a la esfera. Sin embargo, hemos

encontrado la cúpula Monohex de 1965, compuesta por una estructura rígida de

hexágonos y pentágonos que corresponde con la geometría del icosaedro truncado,

balón de fútbol o molécula de carbono C60.

Fig. 55. Cúpula Monohex. Dibujos de estudio, prototipo construido y dibujos de la patente46

.

45 Imágenes 1, 3 y 4 sacadas del libro Your Private sky, R.Buckminster Fuller, Zurich, Lärs Müller, 1999.

Imagen 2 sacada del libro The Artifacts of R.Buckminster Fuller, vol 4, Nueva York, Garland, 1984.

32

En 1967 Fuller construye su obra maestra, la enorme cúpula de 76,2 metros de diámetro

para el pabellón de Estados Unidos en la Exposición de Montreal. Compuesta por tres

cuartos de esfera, está construida con dos redes superpuestas, la exterior formada por

unidades triangulares y la interior por unidades hexagonales y pentagonales.

Fig. 56. Cúpula para la exposición de Montreal, 196747

. Se han marcado los pentágonos en rojo y blanco. Desarrollo de un segmento de la cúpula con ángulos y frecuencia de modulaciones, las flechas indican la posición del

ecuador. Vista en planta de la malla triangular.

Los vértices de la malla interior se conectan con barras diagonalmente a la malla

exterior, lo que produce un esqueleto espacial triangulado que nos recuerda a las

ilustraciones de Haeckel de las radiolarias.

1 2

Fig. 57. 1.Phaeodarien, Haeckel, 1888. 2.Modelo en 3dstudio de la malla espacial de Fuller en versión plana.

Después de que sus cúpulas geodésicas se hicieran famosas, muchos científicos

encontraron estructuras similares en microorganismos.

Como el biólogo Klug, que en 1959

entró en contacto con Fuller al descubrir

que las geometrías del virus de la polio

tenían también una base icosaédrica.

Fig. 58. Imágenes del virus CVB3 y del virus de la polio al microscopio y en modelos digitalizados, donde se observa la estructura icosaédrica de las moléculas.

46 The Artifacts of R.Buckminster Fuller, vol 4, Nueva York, Garland, 1984: 72-75. 47 Your Private sky, R.Buckminster Fuller, Zurich, Lärs Müller, 1999: 423, 426.

33

4.1.1 C60 Y OTROS FULLERENOS

En 1985, H.Kroto, R.Curl y R.Smalley descubrieron el C60 y otros fullerenos,

recibiendo el Premio Nobel de Química en 1996.

Hasta entonces sólo se conocían el

grafito y el diamante como formas

alotrópicas del carbono.

En 1990, Krätschmer y Huffman

consiguieron producir muestras

macroscópicas de fullerenos.

Estas moléculas recibieron el nombre de

Buckminsterfullerenos o fullerenos por

la forma semejante a la cúpula geodésica

construida por Fuller para la Exposición

Universal en Montreal en 1967.

Fig. 59. Formas alotrópicas del carbono. a: diamante,

b: grafito, c: diamante hexagonal, d: fullereno C60, e: fullereno C540, f: fullereno C70, g: carbono amorfo, y h: nanotubo.

En estas moléculas, aparece un átomo de carbono en cada vértice y un enlace largo en

cada arista. El fullereno más pequeño es el C20 (dodecaedro) con 12 pentágonos y este

número de pentágonos permanece constante en la mayoría de las moléculas. Según

aumenta el número de átomos de carbono crecen las variaciones, por ejemplo hay 1812

fullerenos C60, pero sólo uno de ellos, el buckminsterfullereno, no tiene pentágonos

adyacentes (lo que provoca que la molécula no está desestabilizada) y corresponde con

la geometría del icosaedro truncado, constituido por 20 hexágonos y 12 pentágonos

regulares.

Las moléculas de fullerenos contienen desde 20 a 960 átomos de carbono y las más

estables son las que tienen 12 pentágonos no adyacentes.

Existen otro tipo de moléculas que aparecen en presencia de

defectos, las nanocebollas (Buckyonion). Estas corresponden a

estructuras concéntricas de carbono, y tienen bastante relación

con las radiolarias de cáscaras superpuestas.

Fig. 60. Molécula C840 (C60, C240 y C540 en disposición concéntrica).

El estudio de la disposición geométrica de las moléculas pertenece a la Estereoquímica,

y es importante porque determina muchas de las propiedades moleculares y

consiguientes aplicaciones biológicas y farmacológicas. Los fullerenos, presentes de

forma natural en el hollín y en algunas rocas, tienen propiedades que indican que

pueden ser usados como superconductores, catalizadores y lubricantes a altas

temperaturas. En 1993 científicos de la Universidad de California descubrieron que el

C60 puede ayudar también en el diseño de fármacos para el tratamiento del SIDA.

A continuación se muestra la distribución de pentágonos y heptágonos en las moléculas

esferoidales de los fullerenos gigantes:

34

C240 C320 C480

C510 C540 C880

C800hp C960hp C960

facetas pentagonales facetas heptagonales ejes de unión entre pentágonos y

líneas de separación entre grupos

Fig. 61. Análisis de los fullerenos gigantes encontrados en: https://www.ccs.uky.edu/~madhu/Giant_Fullerene.html

Las moléculas C240, C320, C540 y C960, tienen un contorno hexagonal que corresponde a un icosaedro en planta (ver imagen de la derecha). El número de pentágonos es constante, siempre 12, y va aumentando el

número de hexágonos conforme la molécula se va haciendo más grande. La molécula C480, podría tener también 12 pentágonos, pero su disposición no es icosaédrica.

Las moléculas C510 y C880, tienen una contorno pentagonal, que coincide con una vista del icosaedro, sin las proyecciones de los otros 5 pentágonos contrapeados.

Sin duda, las más extrañas son las C800hp y C960hp (las siglas “hp”, podrían significar “heptágono”). En ellas aparecen grupos formados por un pentágono rodeado de 5 heptágonos (ver el apartado de modelos experimentales). La separación entre los grupos no es homogénea ni sigue ninguna ley aparente.

En este tipo moléculas los hexágonos son prácticamente regulares, por lo que generan

caras de poca curvatura, casi planas. Esto explica la envolvente facetada, los hexágonos

no están proyectados a la esfera y lo que permite el cierre de la figura son los

pentágonos.

Vistas del icosaedro

35

4.1.2 PATENTE HONEYCOM

En 1998, Alan Neil Dietchfield patentó una nueva manera de teselar la esfera con

facetas mucho más uniformes que las geodesias de Fuller. En vez de partir de un

icosaedro con triangulaciones sucesivas de las caras, como hacía Fuller, Dietchfield

parte de la geometría del icosaedro truncado, la cual ya hemos estudiado ampliamente.

La patente Honeycom consiste en proyectar el icosaedro truncado a la esfera y

subdividir sus caras en facetas hexagonales menores, como se muestra en la imagen. De

esta manera se consigue una teselación muy uniforme con sólo 4 tipos de hexágonos

irregulares.

Fig. 62. Dibujos de la patente Honeycom. Teselación de la esfera con 260 hexágonos (de 4 tipos) y 12 pentágonos

48.

4.1.3 CONFIGURACIONES ESFÉRICAS

En 1611 Johannes Kepler conjeturó que los empaquetamiento más densos de esferas

eran el cúbico centrado en caras y el hexagonal, ambos con una densidad del 74%. Esta

conjetura se considera probada en 1998, gracias a Thomas Hales. Fig. 63. 1.Empaquetamiento cúbico centrado en caras (alternancia ABCABC)

2.Empaquetamiento hexagonal (alternancia ABAB) 1 2

A continuación mostramos el trabajo de Keith Critchlow sobre las configuraciones

esféricas, que demuestran la jerarquía de los sólidos platónicos en cuanto a una

economía numérica y estructural.

Fig. 64. Evolución básica de las configuraciones esféricas

49.

1. Cuatro esferas en configuración tetraédrica, el número perfecto

para un contacto simultaneo. Tetraedro en el contorno y segunda capa de 4 esferas colocadas en los intersticios. Se observa que el tetraedro es dual de sí mismo, encontrándose en los puntos

medios de las aristas. 2. El segundo grupo más eficiente son 6 esferas en configuración octaédrica, cada esfera toca a 4. Octaedro en el contorno y 8

esferas adicionales en los intersticios. Cubo en el contorno, dual del octaedro cuyos vértices aparecen en los puntos medios de las caras del cubo.

3. Empaquetamiento más apretado de esferas alrededor de un núcleo del mismo tamaño, dymaxion o cuboctaedro. 4. Sin el núcleo, el grupo tiende a cerrarse en una configuración

icosaédrica, 12 esferas cada una tocando a 5. 5. Icosaedro con 32 esferas colocadas en cada intersticio. Dodecaedro, dual del icosaedro.

48 Alan Neil Dietchfield, “Honeycomb, spherical figure”, 1998. 49 Keith Critchlow, Order in space, a design source book, Londres, Thames and Hudson, 1969.

1

2

3 4

5

36

4.2 LE RICOLAIS, ESTUDIOS RADIOLARIOS Y REDES TRIAXIALES

Robert Le Ricolais (1894-1977), ingeniero hidráulico francés, poseía también una gran

formación humanística, sobre todo en artes plásticas y poesía.

Dedicó su vida a la investigación y a la docencia, con numerosas publicaciones sobre

estructuras experimentales.

Consideraba que las formas naturales son mecánicamente más eficaces que las

construidas por los humanos. Observando los “prodigios creados por la naturaleza”

(concha venera, radiolarios o cristales minerales), identificaba un principio mecánico y

lo relacionaba con un modelo geométrico, proponiendo configuraciones estructurales

alternativas. Según sus palabras, la forma construida “tiene que obedecer pero no imitar

a la naturaleza”.

En su artículo de 1940 sobre “Los Sistemas Reticulados” explora las formas de los

radiolarios, introduciendo conceptos de superficies mínimas, geodesia, partición

igualitaria del espacio e isotropismo. Peter Mc Cleary en “Robert Le Ricolais, la

búsqueda de la Idea Indestructible” resume:

“Le Ricolais aprecia la separación de las zonas estructurales, una membrana externa en tensión

y un núcleo comprimido compuesto por tres redes hexagonales espacialmente triangulares dirigidas en 3 direcciones y el poliedro resultante.

(…) En el interior de la forma natural del radiolario existen dos principales sistemas

estructurales: un andamiaje interno de poliedros esqueléticos (el marco triangular de Le

Ricolais) que es un sistema topológicamente cerrado y en compresión, organizado para dar

estabilidad y permanencia, y una membrana superficial externa que es un sistema

topológicamente abierto y en tensión. Ambos sistemas están separados o unidos por un estrato

epidérmico de pseudópodos radiales (o espículos) en compresión. Sus características más

ostensibles son la separación (por medio de diafragmas) de la zona de compresión y la zona de

tensión y que ambas sean estructuras óptimas para soportar sus cargas.”50

Hemos encontrado numerosas imágenes de radiolarias dibujadas por Haeckel

entremezcladas entre los dibujos y artículos de Le Ricolais. Esto muestra que para él,

estos microorganismos eran una fuente de estudio constante, un camino de ida y vuelta

entre lo natural y lo artificial.

Fig. 65. Dibujos de Haeckel encontrados en el libro Robert Le Ricolais. Visiones y Paradojas

51.

También en la entrevista realizada por Mc Cleary, Le Ricolais hace referencia a dos

láminas que Haeckel realizó durante su viaje en el Challeger alrededor del mundo, en

1873-76 (las dos imágenes de la derecha).

50 Peter Mc Cleary, “Robert Le Ricolais, la búsqueda de la Idea Indestructible”, en Robert Le Ricolais.

Visiones y Paradojas, Madrid, Fundación Cultural COAM, 1997: 23-26. 51 Robert Le Ricolais. Visiones y Paradojas, Madrid, Fundación Cultural COAM, 1997, por orden de

izquierda a derecha: 57, 62, 64, 116, 111, 24 y 25.

37

Observa, como nosotros hemos apuntado anteriormente, que las radiolarias cubren un

amplio abanico desde cáscaras con múltiples agujeros, hasta esqueletos lineales, y las

compara con las cubiertas resistentes y las estructuras trianguladas:

“Como pueden ver, en algunos radiolarios hay formas que comparten las propiedades tanto de

las cubiertas resistentes como las de las estructuras trianguladas. Están justo a medio camino:

configuraciones con múltiples huecos y una membrana perforada en tensión que trabaja junto a

un marco triangular.(...) Una especie en particular me fascinó. Es la que (...) consiste en una

esfera dentro de otra y esta a su vez dentro de otra.

(...). Estuve jugueteando con ellos durante años, contando el número de barras, de ángulos etc.

Es un placer porque se aprenden cosas. (...) Hay algo bastante trágico en el hombre; tan pronto

como pone la mano sobre algo quiere cogerlo. (...) No, no, hay que tener paciencia para comprender, una paciencia infinita.”

52

Inspirado por los esqueletos radiolarios, Le Ricolais desarrolla entre 1967-68, dos tipos

de redes triaxiales, la “red Trihex”, y la “red Starhex”.

Fig. 66. Red Trihex

53

Fig. 67. Red Starhex

54, esta geometría también es utilizada por Pérez Piñero (ver pág. 39).

Respecto a estas cúpulas, Le Ricolais apunta que para distribuir la tensión, una red

triaxial es más eficaz que una biaxial o un sistema radial, que suponen ejemplos de

“desear construir el espacio mientras nuestra mente permanece en el plano.”

Sin embargo, en nuestra opinión, estas redes tampoco tienen una concepción

volumétrica. Forman un mosaico semirregular de hexágonos y triángulos regulares en el

plano, que al proyectarse a la esfera, deforman sus ángulos.

Si es cierto que como dice, se pasó años contando el numero de barras y de ángulos de

las radiolarias dibujadas por Haeckel, descubriría que en la composición hexagonal,

aparecen facetas pentagonales e incluso heptagonales. Estas facetas aportan curvatura a

la esfera de una manera más eficaz que utilizando sólo hexágonos.

52 Entrevista editada de Le Ricolais por Peter Mc Cleary y James Bryan y Rolf Saver, editores de Via II

“estructuras: implícito y explícito”, publicación de la Graduate School of Fine Arts, University of

Pensylvania. Traducida en el libro Robert Le Ricolais. Visiones y Paradojas, Madrid, Fundación Cultural

COAM, 1997: 137-139. 53 Robert Le Ricolais. Visiones y Paradojas, Madrid, Fundación Cultural COAM, 1997. 54 Ibid.

38

4.3 PEREZ PIÑERO Y SUS REDES ESPACIALES

Emilio Pérez Piñero fue un arquitecto español (1935-1972) y profesor de estructuras de

la ETSAM. Antes de acabar la carrera ya ganó el primer premio del concurso

internacional de estudiantes de la UIA de Londres por su “Teatro transportable” en

1961. Allí conoce a Arup, Fuller y Candela, con quién comienza tiempo después una

relación profesional muy fructífera.

Se convierte en fabricante de sus artefactos de geometrías desplegables construyéndolas

con sus propias manos, como “auto-constructor” y contratista de sus propias creaciones.

Resolvía los problemas conforme se le iban planteando en el proceso de construcción.

Para él la forma y la estructura se identifican. “La retícula aparece como esqueleto de la

forma general, que se supone determinada y fijada previamente. La barra es una

condensación de masa en la línea de fuerza y los huecos son supresión de la masa

inerte”55

. Este concepto estructural nos recuerda a Le Ricolais cuando decía que “el arte

de la estructura es cómo y dónde colocar los huecos”.

Piñero concibe sus construcciones móviles como organismos vivos:

“su forma de trabajo se asemeja al cuerpo de un vertebrado. Las barras a compresión forman un

esqueleto, una auténtica columna vertebral. Las barras de rigidización actúan como el sistema

muscular que envuelve y mantiene el esqueleto. Cualquier carga exterior, al tiempo que las hace

variar ligeramente de forma adaptándose a la más conveniente posición de trabajo, origina el

que determinadas barras a tracción actúen inmediatamente. Ocurre exactamente lo que al cargar

el lomo de un gato... Es sencillamente una estructura viva.”56

Desarrolla multitud de proyectos de cúpulas macladas, de módulos planos y de directriz

esférica, la mayoría son mecanismos extensibles y transportables, formados por barras

rígidas y nudos articulados. En su última etapa, investiga sobre el cerramiento como

elemento rigidizador contenido en el propio plegado de la estructura móvil desplegable.

1 2 3

4 5 6 7 8

Fig. 68. Proyectos de Piñero desarrollados entre los años 1961-1972:

55 Cita encontrada dentro de: Jose Mª Churtichaga, “La estructura Veloz”, dentro de: Miguel Seguí,

Candela. Pérez Piñero, Madrid, Rueda, Ministerio de Vivienda, 2004: 147. 56 Ibid:164.

39

1. “Teatro Ambulante”, estructura desplegable. Primer premio en el concurso de estudiantes del Congreso de la UIA en

Londres. 1961. 2. Pabellón transportable para la exposición conmemorativa de los XXV años de paz. Montaje en el patio de los nuevos ministerios. Estructura reticular desplegable plana con nudo de cuatro barras. 1964.

3. Cúpulas macladas para un teatro transportable destinado a los “Festivales de España”. Fueron montadas y desmontadas en numerosas ocasiones sin errores ni descuadres en su montaje. 1966. 4. Cúpula de 34m de diámetro para proyección cinematográfica por el método Cinerama en Calasparra, con piezas

hexagonales rígidas como revestimiento. 1967. 5. Desarrollo de una estructura desplegable de directriz esférica en módulos para cubrir grandes luces. 1968. 6. Proyecto para construir invernaderos en la Luna sobre los cráteres, modelo de cúpula auto-desplegable adaptada a

los vehículos lunares. Encargo de la NASA. 1969. 7. Cúpula geodésica de doble capa de base icosaédrica para el museo de Figueras, encargo de Dalí. 1970-72. 8. “Vidriera Hipercúbica” encargo de Dalí, que le da el nombre. Estructura pensada para transportar al espacio grandes

superficies de captación energética, con inclusión de las superficies de cerramiento (paneles fotovoltaicos) en la propia estructura plegada. 1972.

En 1972, se asocian Candela y Pérez Piñero para el concurso de cubrición del

Velódromo de Anoeta. Proponen la misma geometría de la red Starhex de Le Ricolais,

que vimos anteriormente, formada por tres familias de arcos que conforman retículas

triangulares y hexagonales.

Piñero ya advertía los problemas que nosotros apuntábamos sobre este tipo de redes en

una carta a Candela en 1968:

“Los planos que te envío corresponden a dos cúpulas cuya directriz es en ambas casquete

esférico... la triangulación, que se ajusta a una retícula hexagonal (sin introducir pentágonos), se

consigue con círculos máximos. Esto, unido a la gran flecha que tiene el casquete, hace que la

variación de dimensiones entre las piezas hexagonales sea notable. Para lograr que las

dimensiones de los hexágonos fuera más uniforme, habría que recurrir a disminuir la flecha o a hacer una subdivisión a base de círculos menores...”57

Como cerramiento, elemento rigidizador y entrada de luz, proponen paraboloides

hiperbólicos asociados al perímetro hexagonal.

Sin embargo nosotros rescatamos una curiosa alternativa tanteada en el proceso

proyectual, por ser más cercana a nuestra problemática. En ella se cubren los espacios

hexagonales con cúpulas esféricas menores, que realizan una función rigidizadora

similar a los Hypars.

Fig. 69. Maqueta de la estructura del concurso para el Velódromo de Anoeta y variante del cerramiento con elementos esféricos, realizada con coladores domésticos de distintos tamaños.

Lo que más nos interesa de Piñero, es su capacidad imaginativa, desde la concepción

global de la estructura hasta el detalle demuestra que una persona sola, sin muchos

medios, puede llegar muy lejos. Su carrera profesional duró 11 años, si no hubiera

muerto, ahora tendría 75 años y muchas otras estructuras que ofrecer al mundo.

57 Ibid:158

40

4.4 PROYECTO EDEN EN CORNWALL

Este jardín botánico situado en una vieja cantera a 270km de Londres, representa el

cumplimiento de la visión de Fuller de encerrar el máximo volumen con la mínima

superficie. Son los invernaderos más grandes del mundo, con más de 100 metros de luz

sin soportes interiores. El proyecto lo realizó entre 1996 y 2001 Nicholas Grimshaw &

Partners y lleva ganados 11 premios arquitectónicos.

Fig. 70. Eden Project, Cornwall, Inglaterra. Nicholas Grimshaw & Partners (www.grimshaw-architects.com).

El diseño corresponde a varias cúpulas geodésicas de frecuencia 8 macladas y adaptadas

al perímetro irregular. La estructura tridimensional de acero galvanizado está compuesta

por dos redes superpuestas de base icosaédrica. Para desarrollar la estructura y definir la

longitud y la sección de cada barra de acero a través de un modelo digital en 3D

Grimshaw se asoció con Hunt Associates Ltd y Mero Plc.

deformación de la trama inferior de hexágonos y triángulos al entrar en

contacto con el pentágono

trama hexagonal superior

triangulaciones que unen la red

superior con la inferior

trama triangular inferior

trama hexagonal inferior

Fig. 71. Detalle en planta y alzado de la red espacial. Hemos marcado con colores las distintas geometrías para un entendimiento mayor de la estructura.

La red superior corresponde a una geometría geodésica de hexágonos y pentágonos,

similar a las vistas anteriormente en otros autores (proyección del icosaedro a la esfera).

La red inferior responde a una trama de hexágonos y triángulos, la misma que hemos

analizado en Le Ricolais y Piñero, con la gran diferencia que ésta, está adaptada al

pentágono, respondiendo también a la geometría geodésica.

Fig. 72. Modelo en 3dstudio de la malla espacial en

versión plana. En la red inferior los hexágonos son menores y se

encuentran girados 60º respecto de la superior. Las barras de rigidización entre las dos redes forman una estructura espacial de tetraedros.

Este proyecto supone una buena síntesis entre abstracción y naturaleza, ofreciendo gran

organicidad y adaptación al entorno sin renunciar a una geometría eficiente.

41

4.5 PROYECTO ARTÍSTICO DE SARRACENO.

Terminamos este capítulo con la obra del artista argentino Tomás Sarraceno que se

instaló en la sala central del Palacio de Exposiciones Giardini, dentro de la Bienal de

Arte de Venecia de 2009.

La instalación está compuesta por un conjunto de redes esferoidales concéntricas

realizadas con gomas, que forman estructuras de gran parecido a los esqueletos

radiolarios, con facetas poligonales y triangulares.

Fig. 73. Imágenes de la instalación cedidas por

Diego Ceresuela.

42

5. MODELOS EXPERIMENTALES

5.1 MODELOS DIGITALES

Como primera aproximación a las geometrías radiolarias, encontramos un programa de

modelado digital que permite operar a partir de los sólidos platónicos generando

geometrías irregulares. Entre las herramientas disponibles la que más nos interesa es la

llamada “honeycomb”, algoritmo que faceta la superficie del sólido con un sistema

similar al Voronoi invertido58

, es decir, en vez de generar aristas a partir de puntos,

genera dos puntos por cada arista.

1 2

3 Fig. 74. Modelos realizados en Tod Mod, hemos marcado en colores algunas facetas.

1. Icosaedro truncado y esfera geodésica fabricados automáticamente con el programa. 2. Teselación con la herramienta Honeycom a parir de un dodecaedro. Por cada arista, el algoritmo genera dos puntos en ambas caras adyacentes, situándolos en un eje perpendicular a la arista, pero que no pasa por su punto medio. No

sabemos que criterio utiliza en esta peculiar colocación, pero provoca la extraña situación de partir de una figura regular y generar otra irregular. 3. Cuatro iteraciones de la herramienta sobre el dodecaedro. Se observa que los pentágonos se mantienen regulares

mientras que los hexágonos se distorsionan acercándose a una apariencia natural. Si comparamos el icosaedro truncado de la imagen 1 con la primera iteración, vemos claramente la diferencia. En esta última las aristas del hexágono son tres casi el doble que las otras tres.

1 2 3

Fig. 75. Aplicación del honeycomb al icosaedro truncado, observando una menor deformación de los hexágonos. 1. Molécula C840 compuesta por C60, C240 y C540 en disposición concéntrica, (ver pág. 33). 2. Superposición de tres iteraciones llevadas al programa 3dstudio con aplicación del modificador “lattice” (celosía).

3. Misma geometría con un grosor de barras mayor.

58 Para más información ver: Ergur Akleman y Vinod Srinivasan, “Honeycomb Subdivision”,

Visualization Sciences Program, Texas University.

43

Fig. 76. Primera iteración honeycomb del icosaedro truncado llevado a 3dstudio. Se aplica

el modificador “edit poly” y se manipulan las facetas introduciendo huecos y suavizando la malla, sin ningún patrón definido.

1 2

Fig. 77. Tercera iteración honeycomb del icosaedro truncado llevado a 3dstudio con modificador “edit poly”.

1. Se seleccionan todas las caras aplicando “chanfer”, se suprimen las internas y se aplica “m.smooth” a los bordes. 2. Se aplica el modificador “shell” y “lattice”, para conseguir una malla doble.

Estos modelos digitales se acercan a las geometrías

radiolarias a través de diferentes herramientas

reproduciendo algunas de las configuraciones de

cascarones estudiadas con anterioridad (ver fig. 78).

Observamos una mayor irregularidad geométrica en los

modelos digitales generada por el algoritmo de partida.

Fig. 78. Diferentes geometrías en los cascarones radiolarios.

1. Imágenes de radiolarias al microscopio. 2. Dibujos de Haeckel.

Otra vía de experimentación digital por desarrollar, es

la derivada de los estudios de Fuller sobre la proyección

del icosaedro a la esfera. Facetando las caras con

agrupaciones hexagonales obtendríamos modelos

radiolarios digitales más regulares.

1

2

44

5.2 MODELOS FISICOS

5.2.1 MODELOS MASIVOS

Hemos realizado 5 modelos físicos masivos reproduciendo el sistema de generación de

los esqueletos radiolarios. Los cascarones de estos microorganismos se generan por la

deposición de material inorgánico de origen silíceo en los intersticios de las vesículas

del protoplasma. Nosotros hemos utilizado diversos elementos como encofrados

esferoidales para aportar después el material que al endurecerse forma la cáscara. Estos

encofrados tienen que poderse extraer una vez el esqueleto ha fraguado, por esta razón

no pueden ser elementos rígidos. Los modelos son siempre semiesféricos para facilitar

la ejecución.

MODELO RADIOLARIO 1

Como primera aproximación se experimenta con 3 grupos diferentes de encofrados

neumáticos que posteriormente se pinchan y se extraen, consiguiendo configuraciones

muy interesantes en la cara interior.

Fig. 79. Tres modelos radiolarios realizados con globos de agua hinchados y escayola. Proceso: 1. Preparación de una tabla de aglomerado con cola disuelta en agua. Perforación de tres agujeros. 2. Preparación de 3 ramilletes de globos de diferentes tamaños.

3. Aplicación de la escayola hasta conseguir una capa uniforme. 4. Raspado de la escayola hasta llegar a los globos.

Fig. 80. En dos de las tres piezas fue necesario romper el núcleo

interior para extraer los globos. Uno de esos dos núcleos permaneció entero.

Fig. 81. Son más interesantes las caras interiores, donde las secciones de los nervios se estrechan y adaptan a las

curvaturas de los globos. Las caras exteriores, sin embargo, están lijadas y configuran una superficie lisa.

45

Fig. 82. Al colocar las piezas sobre un espejo, se regenera la esfera completa y si la pieza está rota, se puede ver

también el interior.

Fig. 83. Vistas de las tres agrupaciones con su imagen especular.

Este primer modelo es muy interesante porque no hay una colocación determinada por

nuestra parte de las celdas sino que la disposición de los globos es la más apretada

posible. Esta disposición no es homogénea ya que es imposible conseguir un tamaño

exactamente igual de los globos al hincharlos sin herramientas de precisión. Lejos de ser

un inconveniente, creemos que esto posibilita la generación de formas orgánicas de gran

parecido a las estructuras naturales.

El esqueleto que conserva todas las ramificaciones hasta llegar al núcleo (primera

imagen Fig. 83) recuerda a las configuraciones óseas, estudiadas también por Frei Otto

y Le Ricolais.

1

Fig. 84. 1. Estructura ósea estudiada por Le Ricolais

59.

2. Modelo en escayola de Frei Otto60

perteneciente a sus estudios sobre

huesos. 2

59 Robert Le Ricolais. Visiones y Paradojas, Madrid, Fundación Cultural COAM, 1997: 43. 60 Frei Otto, Complete Works, Berlin, Birkhäuser, 2005: 97.

46

MODELO RADIOLARIO 2

En este modelo se coloca un encofrado rígido esférico de base para generar el cascarón

exento de prolongaciones interiores. Exteriormente se añaden esferas moldeadas en

agrupación lo más apretada posible con el fin de conseguir un esqueleto con huecos

conectados en todas direcciones.

Fig. 85. Modelo radiolario realizado con plastilina y escayola. Proceso: 1. Corte de la plastilina en cubos iguales y modelado de las esferas.

2. Colocación de las esferas de plastilina sobre la mitad superior de una esfera de sales de baño plastificada, generación de una cúpula de de esferas. 3. Aplicación de la escayola hasta conseguir una capa uniforme.

4. Raspado de la escayola hasta llegar a la plastilina.

Fig. 86. Se observa que la colocación de las esferas no es uniforme y aparecen huecos mayores al avanzar en la distribución.

Fig. 87. Al no aplicar desmoldeante a la plastilina fue imposible su extracción lo

que provocó la ruptura total del modelo.

Fig. 88. Figuras calcadas de la imagen anterior. Se observa una sección variable de los nervios, huecos deformados y diferente cantidad de conexiones entre celdas.

47

MODELO RADIOLARIO 3

En este modelo se experimenta con celdas poligonales resultantes de un aplastamiento

de las esferas modeladas y con una mayor separación entre ellas para generar un

cascarón con mayor compensación entre masa y vacío. Como encofrado de base se

utiliza una semiesfera rígida.

Fig. 89. Modelo radiolario realizado con plastilina y escayola. Proceso: 1. Corte de la plastilina en cubos, modelado de las esferas y colocado en agrupación hexagonal.

2. Aplastamiento de las esferas con superficie plana para obtener deformaciones. Colocación de las piezas de plastilina sobre una semiesfera de metacrilato. Aplicación de agua con jabón como desmoldeante. 3. Aplicación de la escayola hasta conseguir una capa uniforme.

4. Raspado de la escayola hasta llegar a la plastilina y extracción de ésta.

Fig. 90. Se observa que las esferas moldeadas de partida no son exactamente iguales lo cual provoca diferencia de tamaño entre los huecos. Al no incorporar ningún tipo de armado en la escayola, la pieza se rompió por la mitad, esto

permite poder visualizar el interior y el exterior a la vez. Los huecos no tienen apenas sección variable, al haber aplastado las piezas y se convierten en polígonos irregulares extruidos.

Fig. 91. Dibujos calcados de las fotografías. La colocación de las piezas de

plastilina determina la forma de los huecos y no se consigue la continuidad de las caras al pasar del plano a la semiesfera. 1. distribución de las piezas en el plano.

2. colocación de las piezas en la semiesfera.

1

2

48

MODELO RADIOLARIO 4

Para evitar la ruptura del cascarón, en este modelo se incorpora una armadura metálica

sobre el encofrado base, que condiciona la colocación posterior de las celdas

semiesféricas.

Fig. 92. Modelo radiolario realizado con plastilina, escayola y alambre de latón como armadura para evitar la ruptura posterior de la pieza. Proceso:

1. Colocación del alambre en tres direcciones, (según la red Starhex de Le Ricolais, y el Velódromo de Anoeta de Candela y Pérez Piñero) sujeto con trozos de plastilina y con grandes desviaciones. 2. Colocación de las esferas de plastilina modeladas. Aplicación de agua con jabón como desmoldeante.

3. Aplicación de la escayola hasta conseguir una capa uniforme. 4. Raspado de la escayola y extracción de la plastilina. Relleno con escayola de las cabezas de los alambres. 5. Ampliación de los huecos con cuchillo hasta donde permite la armadura.

Fig. 93. La colocación del alambre resultó difícil, no se ajustaba adecuadamente a la curvatura ni a la dirección óptima de una manera precisa. El resultado geométrico no son hexágonos y triángulos, por lo que la distribución de los huecos no responde a una red geométrica clara.

1 2.1 2.2 2.3 3

Fig. 94. Habría que construir con mayor precisión la geometría de la armadura, probando distintas disposiciones como estas utilizadas por Fuller, Le Ricolais, Piñero y Candela.

1. Concurso para la cubrición del Velódromo de Anoeta. Candela y Piñero. 2. Red Starhex y red Trihex de Le Ricolais. 3. Geometría Monohex de Fuller.

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MODELO RADIOLARIO 5

En este modelo se utilizan unos encofrados perdidos que se deshacen en contacto con el

agua caliente una vez ha endurecido el cascarón.

Fig. 95. Modelo radiolario realizado con esferas de aceite y escayola. Proceso: 1. Colocación de las esferas sobre la cúpula de metacrilato. Debido a la poca deformabilidad de las esferas, no se

adaptan a la curvatura, y se opta por hacer el experimento en plano. 2. Colocación de las esferas formando una agrupación hexagonal. Las sobrantes se colocan en línea. 3. Perímetro de plastilina a modo de encofrado y aplicación de la escayola hasta conseguir una capa uniforme.

4. Deformación de las esferas de aceite debido al calor que coge la escayola en el proceso de fraguado. Desencofrado. 5. Raspado de la escayola sobrante e inmersión en agua caliente para la disolución de las bolas de aceite.

Fig. 96. La agrupación en línea se lija consiguiendo aristas vivas y posteriormente se redondea hasta conseguir un perímetro redondeado que responde a los huecos esféricos interiores.

Fig. 97. La agrupación hexagonal se fractura linealmente dejando dos mitades separadas. Esto puede ser debido a la

debilidad de la parte central y la descompensación de masas, es decir, demasiada cantidad de escayola arriba y abajo en relación a la delgadez del esqueleto resultante entre esferas. La deformación de las esferas provoca la aparición de bolsas de escayola dentro de los huecos, pero se mantiene la

agrupación hexagonal.

50

5.2.1 MODELOS DE BARRAS

En paralelo a los modelos masivos hemos realizado modelos de barras que analizan las

configuraciones de hexágonos y pentágonos encontradas en los fullerenos.

1 2 3 Fig. 98. Modelos realizados con alambre de latón. Se construyen los polígonos por separado doblando el alambre en

segmentos iguales y soldando con estaño para cerrar la figura. Las diferentes facetas se unen entre ellas con alambre más fino de acero. 1. Un pentágono rodeado de una fila de hexágonos. Configuración del carbono C60, icosaedro truncado. Este modelo

se construye sin dificultad porque los polígonos son regulares. Aristas de 3cm. 2. Un pentágono rodeado de varias filas de hexágonos. Configuración de muchos fullerenos. Al colocar la segunda fila de hexágonos empezamos a notar la tensión entre las barras y no continuamos. Aristas 2cm.

3. Un pentágono rodeado de cinco heptágonos. Configuración del carbono C800hp y C960hp. Imposible acabar la figura por la indeformabilidad de las facetas. Arista de 2cm.

Fig. 99. Comprobación geométrica del solapamiento de los polígonos regulares. Proceso de construcción fallido de la

agrupación.

Fig. 100. Modelo de la misma agrupación de hexágonos y heptágonos realizado en tubo hueco de aluminio de 3mm de diámetro. Para conseguir la posibilidad de deformación de la facetas se diseñan nudos articulados. Se cortan

segmentos de 2,5cm, se aplastan los extremos y se perforan con aguja y martillo, biselando las esquinas con tijeras. El problema aparece cuando conectamos de tres en tres las barras con alambre de acero, al “retorcerlo” con los alicates el nudo se deforma debido a la gran ductilidad del aluminio. Como resultado el modelo adquiere un sin fin de deformaciones pero no conseguimos que se acerquen a la forma esferoidal.

Fig. 101. Modelo en cartulina donde se prueba con

pentágonos regulares y heptágonos deformables realizados con tiras del mismo material. Tampoco conseguimos buenos resultados por la debilidad de las

tiras.

Actualmente seguimos trabajando en este tipo de modelos a una escala mayor.

51

6. CONCLUSIONES

1. Hemos encontrado relaciones entre los esqueletos radiolarios y otras estructuras

naturales:

- Los granos de polen poseen una retícula exterior de configuración hexagonal, aunque

no está aislada como en el caso de los esqueletos radiolarios.

- Las moléculas de los fullerenos, formas alotrópicas del carbono, están compuestas por

redes de hexágonos y pentágonos, desde la más sencilla el C60 (geometría del icosaedro

truncado) hasta los fullerenos gigantes C240-C960 (la mayoría con configuraciones

geométricas correspondientes al icosaedro), descubriendo un caso especial de

agrupación de 6 pentágonos y 5 heptágonos.

- El virus CVB3 y el virus de la polio, poseen también configuración icosaédrica.

- Las células y tejidos celulares en general, en cuanto al empaquetamiento apretado de

las vesículas que lo forman, es una de las claves para entender la generación de los

esqueletos radiolarios, ya que estos se forman por la deposición de material inorgánico

en los intersticios de las vacuolas del protoplasma.

- Las diatomeas poseen un endoesqueleto de configuración hexagonal, pero

morfológicamente diferente del exoesqueleto radiolario.

2. Las investigaciones encontradas sobre estos microorganismos, con un carácter

morfológico son:

- Las publicaciones de 1862, 1887 y 1888 de Haeckel, donde a través de sus

ilustraciones, observamos una evolución en su entendimiento de estos esqueletos unida

a una interpretación geométrica a veces imposible.

- Las investigaciones de D´Arcy Thompson sobre los esqueletos radiolarios dentro de su

obra On Growth and Form, donde utiliza numerosos dibujos de Haeckel para analizar la

formación y la morfología de estos microorganismos.

- La monografía sobre radiolarias editada por Frei Otto dentro de las investigaciones del

Instituto de Tecnologías ligeras, donde trabajan biólogos, ingenieros y arquitectos

estudiando las lógicas eficientes de éstas y otras estructuras naturales.

3. Hemos encontrado dentro de la disciplina arquitectónica numerosos ejemplos

relacionados con los esqueletos radiolarios, los más significativos son:

- La primera cúpula geodésica, diseñada por Bauersfeld en 1923 tras 11 años de

investigación en Jena, la misma ciudad donde Haeckel publicó sus estudios sobre

radiolarias.

- Las cúpulas geodésicas de Fuller, quien afirma que descubrió los dibujos de

radiolarias de Haeckel después de haber producido sus estructuras a través de un

desarrollo matemático. Para él los esqueletos radiolarios confirman la relación entre sus

descubrimientos y las estructuras naturales. Sin embargo, nosotros hemos comprobado

que no descubrió nada, el dymaxion es en realidad el cuboctaedro, descubierto por

Arquímedes y la cúpula geodésica basada en el icosaedro proyectado a la esfera fue

construida en Jena 30 años antes de su primera producción industrial.

- Las redes triaxiales de Le Ricolais, diseñadas con mallas hexagonales y triangulares.

Aunque el autor hace referencias constantes a sus estudios sobre los esqueletos

52

radiolarios, sus diseños son en realidad de concepción plana, al no incorporar ninguna

faceta pentagonal a sus estructuras. Esto significa que no existe un entendimiento de la

lógica natural de cerramiento de la esfera, sino una abstracción geométrica pura.

- El bioconstructivismo, en concreto el estudio de arquitectura NOX, utiliza la

concepción irregular de las radiolarias para justificar su arquitectura modelada sin

ninguna lógica de eficiencia formal natural.

4. La división de la esfera en meridianos y paralelos o en configuración radial no es la

más eficaz porque las facetas quedan muy desiguales y la malla no distribuye

uniformemente los esfuerzos. Si se utiliza una malla hexagonal se puede generar una

cúpula, pero tiene el mismo problema de deformación de las facetas y tampoco se

consigue cerrar completamente la esfera. Para facetar la esfera con una retícula

hexagonal, tienen que aparecer también otras facetas pentagonales que ayudan a generar

la curvatura. En el caso de las configuraciones icosaédricas proyectadas a la esfera

aparecen 12 facetas pentagonales el los vértices de la figura, y las caras se subdividen en

una red hexagonal. Pero también se han descubierto otras asociaciones de pentágonos y

heptágonos dentro de distribuciones hexagonales que completan la esfera, estos

ejemplos se han encontrado en los dibujos de radiolarias de Haeckel, en modelos

experimentales de Frei Otto y en algunas moléculas de fullerenos gigantes. Nuestra

hipótesis es que las facetas heptagonales aportan una ligera contracurva a la malla, y al

asociarse a los pentágonos equilibran la curvatura general.

5. En los modelos experimentales realizados se han probado diferentes configuraciones

de esqueletos radiolarios y se han estudiado las agrupaciones de hexágonos, pentágonos

y heptágonos encontradas en los fullerenos.

En los modelos digitales hemos trabajado con las retículas generadas a través de un

algoritmo partiendo del icosaedro y del icosaedro truncado. En los modelos físicos

masivos se hemos investigado diferentes configuraciones depositando material rígido en

los intersticios de encofrados esféricos, imitando el proceso de generación de los

esqueletos radiolarios. En los modelos físicos de barras hemos probado diferentes

agrupaciones de pentágonos, hexágonos y heptágonos encontradas en los fullerenos, sin

llegar a obtener modelos óptimos de comprobación de curvaturas. Actualmente

seguimos analizando esta problemática con un modelo de escala mayor.

53

7. ORIENTACIÓN PARA INVESTIGACIONES POSTERIORES

En esta investigación hemos analizado los esqueletos radiolarios, estableciendo

relaciones entre éstos microorganismos y otras estructuras naturales y artificiales. El

resultado es un panorama general en el que aparecen muchas vías susceptibles de ser

estudiadas en mayor profundidad.

La intención es la de desarrollar en la tesis doctoral una visión arquitectónica propia

sobre las radiolarias. Esto no implica encontrar traslaciones directas de estas estructuras

a la arquitectura, sino experimentar en campos comunes de lógicas formales eficientes.

Para ello nos proponemos:

- Analizar y redibujar determinadas ilustraciones de Haeckel, estableciendo una

clasificación de patrones formales dentro de un gradiente de irregularidad geométrica.

- Acceder a microfotografías de radiolarias de autores como Roger Anderson y Manfred

Kage analizándolas de una manera activa y propositiva.

- Estudiar y analizar el artículo del biólogo Helmcke y del arquitecto Bach dentro de la

publicación de Frei Otto, IL33 sobre las radiolarias.

- Entrar en contacto con biólogos expertos en estos microorganismos para analizar en

profundidad los mecanismos de formación de los esqueletos.

- Ampliar el conocimiento sobre otras estructuras naturales relacionadas, como los

granos de polen y los fullerenos gigantes.

- Continuar la experimentación con modelos físicos y digitales como una herramienta

de comprobación de los análisis realizados y de generación de nuevas hipótesis de

trabajo.

- Establecer relaciones con otras instituciones en las que se realizan investigaciones con

carácter experimental como el ILEK, Instituto de Estructuras Ligeras y Diseño

Conceptual (antiguo Instituto de Estructuras Ligeras, IL, dirigido por Frei Otto) y el

MIT, Instituto Tecnológico de Massachusetts.

54

8. BIBLIOGRAFÍA

Obras de Haeckel:

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Georg Reimer, 1862.

-Haeckel, Ernst, Die Radiolarien (Rhizopoda Radiaria) Atlas, Berlín, Druck und Verlag

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-Haeckel, Ernst, Radiolarien (Allgemeinen Naturgeschichte), Berlín, Verlag von Georg

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reducida de la edición de 1492, a cargo del editor John Tyler Bonner (tr. española de

Juan Manuel Ibeas, Thompson, D´Arcy, Sobre el crecimiento y la forma, Madrid,

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Barcelona, Gustavo Gili, 1973).

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Obras sobre Le Ricolais:

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55

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