Sveucilicte J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Zoran Vajagic

Rad s matematicki nadarenim ucenicima u osnovnim skolama

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Zoran Vajagic

Rad s matematici nadarenim ucenicima u osnovnim skolama

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

Uvod 2

1 Darovitost i inteligencija 3

2 Pogresna shvacanja nadarenih ucenika 6

3 Identifikacija nadarenih ucenika 7

3.1 Liste za provjeru i skale procjene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Liste za provjeru po predmetima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Mjerne ljestvice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Testiranje 11

5 Udio darovitih ucenika 14

6 Matematicka darovitost 15

6.1 Po cemu se ucenik nadaren za matematiku razlikuje od svojih vrsnjaka . . . 16

6.2 Napredovanje darovite djece unutar skolskog sustava . . . . . . . . . . . . . 16

6.3 Odgovornost skole i nastavnika u razvoju darovitih ucenika . . . . . . . . . 19

7 Metode rjesavanja problemskih zadataka 21

7.1 Metoda uzastopnih priblizavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2 Metoda uocavanja pravilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.3 Metoda rjesavanja problemskih zadataka ispisivanjem sustavnih listi . . . . 27

7.4 Metoda inverzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Zakljucak 31

Sazetak 32

Summary 32

Literatura 33

Zivotopis 34

1

Uvod

U protekla dva desetljeca, svrha i znacaj poducavanja darovitih ucenika podvrgnute su

utjecaju brojnih promjena. Prema novijim teorijama, vrsta inteligencije je odlucujuci kri-

terij prema kojem se pojedini ucenik prepoznaje i odreduje kao darovit. Skolstvo nastoji

podici standarde i ocekivanja postavljena ucenicima, stoga su promjene u obrazovanju

imale bitan utjecaj na predmetno podrucje. Brojne optuzbe za elitizam i diskriminaciju

zahtijevaju od strucnjaka da opravdaju svoje ideje i programe, no istovremeno poticu

skolstvo da preispita svoje metode prepoznavanja nadarenosti kod ucenika, pri tome otva-

rajuci priliku za siri krug ucenika. Medutim, ovdje se nametnulo vazno pitanje - je li

pojam nadarenosti doista znacajan u obrazovnom sustavu utemeljenom na jednakosti i

izvrsnosti svih ucenika.

Trazeci odgovor na ovo, kljucno je krenuti od pretpostavke da su svi ucenici jednako vazni

i zasluzuju isti odnos, bez obzira na cinjenicu da pojedini uce brze od ostalih i sposobni

su preuzeti zahtjevnije zadatke. Prema tome, poznavanje razlika medu njima znaci samo

prihvacanje cinjenice kako se ucenici medusobno razlikuju. Stoga se u poducavanju iz-

jednacuje ucinak ponavljanja sadrzaja koji su nadareni ucenici vec potpuno savladali s

losim ucinkom napredovanja na zahtjevniju razinu, prije nego sto su svi savladali osnove

pojedinog podrucja.

Nazalost, mnoge tradicionalne metode poducavanja onemogucuju odgovarajuci pristup

ovim razlicitostima kod ucenika. Naime, svi ucitelji, ucenici i roditelji svode poducavanje

na to da ucitelji predstavljaju pojedinu temu odnosno lekciju ucenicima, koji potom isto-

vremeno rjesavaju svima jednako postavljeni zadatak.

No, mnogi prosvjetni radnici ne smatraju ovo odgovarajucom metodom poducavanja, pri

cemu se povecanjem raznolikosti unutar pojedine skupine ucenika, predmetna metoda po-

kazuje manje ucinkovitom. Stoga, svaki ucitelj u svome radu mora primjenjivati strategije

razlicitog pristupanja ucenicima, kako bi prepoznao jedinstvene potrebe u ucenju kod sva-

kog od njih pojedinacno.

Okolnost da se ucenici razlikuju moze biti nepogodna, no neizbjezna. Prilagodba

razlicitostima je nuzna cijena produktivosti, visokih standarda i jednakog stava prema svim

ucenicima.

2

U proslosti se pojam nadarenosti vezao iskljucivo uz visok kvocijent inteligencije. Polazilo

se od pretpostavke kako se nadareni ucenici radaju sa visokim stupnjem inteligencije te se

mogu prepoznati po visokim ocjenama i zavrsnim rezultatima na ispitima, a sposobni su

istaknuti se u svim podrucjima, kako u obrazovanju, tako i u zivotu uopce.

Iako se ove tradicionalne predodzbe mijenjaju, one su jos uvijek prisutne. Medutim, pos-

tojeci pojam nadarenosti mijenja se razvojem znanosti o spoznaji, razvojnoj psihologiji

te novim znanjima o nacinu na koji mozak uci. Postalo je jasno da ne postoji zatvoren

krug obiljezja po kojima se nadareni mogu prepoznati te da postoji vise razlicitih oblika

nadarenosti.

Nismo svi jednaki, nemamo svi jednake umove, obrazovanje najucinkovitije djeluje kada

se ove razlike uzmu u obzir, a ne kada se poricu i ignoriraju.

3

1 Darovitost i inteligencija

Brojni programi i strategije poducavanja polaze od tradicionalnog poimanja inteligen-

cije, koje je utjecalo i na nacin shvacanja obrazovanja uopce. Sukladno tradicionalnom

shvacanju, inteligencija je odlucujuce obiljezje koje utjece na sposobnosti pojedinca u svim

podrucjima. Takoder, predstavljeno je kao nasljedno svojstvo koje se ne mijenja kroz vri-

jeme. U izucavanju inteligencije Robert Sternberg i Howard Gardener najutjecajniji su i

najvise citirani teoreticari. Sternberg je razvio teoriju prema kojoj inteligencija ima tri

dimenzije.

Prva se odnosi na mentalne mehanizme koji procesuiraju informacije, druga na savla-

davanje novih zadataka ili situacija te sposobnost da se postupak zakljucivanja uporabi

automatski, dok se treca dimenzija odnosi na sposobnost prilagodavanja, odabiranja i obli-

kovanja okoline.

Teorija visestruke inteligencije Howarda Gardnera mnogo je rasirenija medu nastavnicima.

Vjerojatno zbog cinjenice kako odrazava ono sto je uciteljima o ucenicima od ranije poz-

nato, a to je da postoji vise razlicitih oblika da ucenika bude ”bistar”. Gardner je svoju

teoriju razvio kombiniranjem rezultata razlicitih istrazivanja koja se bave sastavnim dije-

lovima inteligencije.

Tako je do sada prepoznao sedam razlicitih oblika inteligencije:

• Verbalno - lingvisticka

(Ocituje se kod onih koji znaju pricati price pune detalja ili o vlastitim iskustvima

precizno izvjestavaju.)

• Matematicko - logicka

(Sposobnost kojima se u tradicionalnim skolama najvise bave, cini temelj velike

vecine standardiziranih mjerenja inteligencije.)

• Glazbeno - ritmicka

(Dijete koje posjeduje ovu inteligenciju samo sebi pjeva dok prica pricu, ima spo-

sobnost da u svom okruzenju cuje razlicite zvukove te u glazbi dobro razlikuje visine

tonova.)

• Tjelesno - kinesteticka

(Dijete s ovom izrazenom sposobnosti pokazuje iznimne sportske sposobnosti u igrama

ili na igralistu.)

4

• Vizualno - socijalna

(Djeca lakocom slazu dijelove slike i dobro im ide oblikovanje predmeta.)

• Intrapersonalna

(Djeca koja dobro razumiju vlastitu sposobnost i raspon emocija, znaju biti jednos-

trano usmjereni na njima zadanu temu.)

• Interpersonalna

(Djeca s ovom inteligencijom drugi dozivljavaju kao vode. Osjetljiva su na osjecaje

drugih, to su djeca koja se brinu za druge.).

Skole se uglavnom baziraju na logicko – matematickoj i verbalno – lingvistickoj inteligen-

ciji, a isti oblici mjere se tradicionalnim IQ testovima te standardiziranim ispitima znanja.

Medutim, ovo se pocelo mijenjati kada su mnogi ucitelji pokazali zanimanje za Gardnerovu

teoriju i pokusali svojim poducavanjem obuhvatiti svih osam oblika inteligencije. David

Perkins je obuhvatio sve teorije o inteligenciji i grupirao ih u tri skupine. Neutralna inte-

ligencija potjece iz bioloskog sustava i odredena je prema prirodnoj ucinkovitosti – prema

mentalnom procesu.

Ovo je najtradicionalniji pogled na inteligenciju. Iskustvena inteligencija obuhvaca poz-

navanje obrazaca ponasanja i situacija. Prema tome, inteligencija je pitanje iskustva

razmisljanja u tocno odredenom kontekstu. Reflektivna ili misaona inteligencija temelji se

na sposobnosti smisljanja strategija – poznavanju nacina na koji treba razmisljati, nacina

kako promatrati razmisljanje drugog i nacina na koji ustrajati u tome. Perkins smatra

kako sve tri dimenzije utjecu na inteligentno ponasanje. Joseph S. Renzulli, je razvio po-

jam nadarenosti utemeljen na tri ”prstena”, koji se sastoji od iznadprosjecne sposobnosti,

kreativnosti i predanosti zadatku odnosno motivaciji. Iako ce pojedini ucenici iskazati

ovakve obrasce ponasanja stalno i kroz sva podrucja, drugi ce ih pokazati samo u po-

jedinim aktivnostima i podrucjima interesa. Renzulli istice da je najdjelotvorniji nacin

poducavanja iznadprosjecnih ucenika taj da nastavnik odabere sadrzaj i nacin poduke u

skladu s ucenikovim potrebama.

Kako je koncept inteligencije postajao sve vise nejasan, tako se koncept darovitosti sve

vise razvijao. Ako inteligencija nije jednoznacno odredena sposobnost, ne moze biti ni

jedinstvene definicije darovitosti. Skole se moraju vise usredotociti na identificiranje spo-

sobnosti i podrucja u kojima je ucenik jak, radije nego da svim ucenicima pridijeli isti nivo

sposobnosti.

5

Uvazeno misljene u svijetu o darovitosti i talentu:

Daroviti su oni ucenici koji pokazuju potencijal za izuzetnu uspjesnost u mnogim razlicitim

podrucjima djelovanja.

Talentirani su oni ucenici koji pokazuju potencijal za izuzetnu uspjesnost u jednom po-

drucju djelovanja.

Navedimo sada podjelu sposobnosti darovitih ucenika slijedeci ovih sedam pravila, koja

nam mogu biti od velike koristi pri prepoznavanju i uocavanju darovitosti:

• Lakoca formulacije problema

• Hitrost uma

• Prilagodljivost u rukovanju podacima

• Sposobnost organizacije podataka

• Originalnost u interpretaciji

• Sposobnost prenosenja ideja

• Sposobnost poopcavanja.

6

2 Pogresna shvacanja nadarenih ucenika

Postoji mnogo pogresnih predodzbi o darovitim ucenicima koje u konacnici njihova sredina

moze sprijeciti. Navesti cemo neke od najcescih zabluda i pogresnih misljenja koje okolina

ima prema nadarenim ucenicima:

1. Daroviti ucenici su pametni i mogu se brinuti sami za sebe

Kada ucenici ne dobiju naobrazbu primjernu njihovim potrebama oni gube motiva-

ciju, a ponekad i sam interes za ucenje i skolu. Istrazivanja pokazuju da se njihov

interes za napretkom nece odrzati niti razvijati do kraja ukoliko nisu u potpunosti

motivirani.

2. Daroviti su ucenici uspjesni u svim predmetima

Iako postoje ucenici koji briljiraju u svim podrucjima, velika vecina njih pokazuje

darovitost za samo jedno od njih. Daroviti ucenici mogu imati poteckoca s ucenjem

pojedinih predmeta dok ostale predmete polazu s lakocom.

3. Nadareni su ucenici jedna homogena skupina

Kao i sve druge skupine, nadareni ucenici imaju razlicite interese, podrucja u kojima

odskacu od drugih, razlicite sposobnosti i temperament. Ne postoje tocno definirane

karakteristike nadarenog ucenika niti se svi ucenici trebaju tretirati na isti nacin.

4. Svi su ucenici talentirani u nekom podrucju

Ovo je nesto pozeljno i istina je da sva djeca mogu uciti i da ona imaju podrucja u

kojima odskacu. Medutim, cinjenica je da pojedinci uce brze od ostalih i sposobni

su nauciti vise. Nadarenim je ucenicima potreban drugaciji sadrzaj gradiva i poduka

nego ostaloj djeci da bi se zadovoljile njihove potrebe.

7

3 Identifikacija nadarenih ucenika

Za identifikaciju talentiranih ili darovitih ucenika koriste se mnogi izvori informacija koje

se mogu svrstati u tri kategorije – primjena mjernih skala i lista za provjeru, primjena

razlicitih vrsta standardiziranih testova i naravno nastavnikova procjena. Roditelji imaju

jako veliku ulogu u identifikaciji darovitih ucenika i zato je bitna suradnja s njima.

3.1 Liste za provjeru i skale procjene

Procjenjuje se da se 90% mozdanih stanica razvija do djetetove pete godine, sto nam go-

vori da su roditelji najvazniji djetetovi ucitelji. Oni bitno utjecu na razvoj djeteta, stoga

je vazno da skole dobiju informaciju o njima kada djeca krenu u skolu te im osiguraju

primjeren program. Rad skole temelji se na vrednovanju i prosirenju iskustva djece kada

dodu u skolu. Ta iskustva nisu ista kod sve djece nego jednoznacno istaknuta kod svakog

pojedinacno i zato s njima treba postupati na primjeren nacin. Odgajatelji promatrajuci

i biljezeci djetetov razvoj u emocionalnom, intelektualnom, tjelesnom, moralnom i kre-

ativnom smislu pokusavaju za svako dijete pronaci odgovarajuce aktivnosti, iskustva i

interakciju. Zato je vazno da roditelji, popunjavanjem raznih listi, pridonesu otkrivanju

djetetovog potencijala.

Rani znakovi darovitosti obuhvacaju:

• Jezicnu vrsnost, uporabu fraza i cijelih recenica u vrlo ranoj dobi

• Velik broj rijeci u ranoj dobi, pravilno upotrijebljenih

• Rani razvoj citanja

• Sposobnost dulje koncentracije nego kod ostale djece

• Zanimanje za knjige, rjecnike, enciklopedije i atlase

• Velika radoznalost i smisao za zabavu i humor.

Radi subjektivnosti uobicajene procjene darovitosti, mnogi zagovaraju uporabu kontrolnih

listi. One mogu pomoci da roditelje i nastavnike upozori na eventualne propuste koje

su napravili u otkrivanju djetetove darovitosti. Takoder, mogu utjecati na strategije te

pokrenuti dijalog s djecom i roditeljima. Pogledajmo primjer dvaju listi za skole u Velikoj

Britaniji, jedna se odnosi na pitanja za roditelje i nastavnike darovite i talentirane male

djece dok je druga opcenita lista za provjeru obiljezja i ponasanja.

8

LISTA ZA PROVJERU MALE DJECE

Je li vase dijete rano naucilo govoriti i hodati?

Cini li vam se vase dijete neuobicajeno pazljivo i moze se koncentrirati?

Je li vase dijete motoricki napredno te je li dobro u fizickim aktivnostima?

Pokazuje li vase dijete znatizelju za svijet te voli li istrazivati i otkrivati

njegovo znacenje?

Zanima li vase dijete zasto, gdje i kako?

Ima li vase dijete bogat rjecnik?

Pokazuje li vase dijete posebne sposobnosti u podrucjima kao sto su

rjesavanje problema, slikanje, glazba ili matematika?

Tablica 1: Pitanja za roditelje i nastavnike darovite i talentirane djece

Djetetovo ime: Spol: Dob: Datum rodenja:

Obiljezje Jako lose Slabo Prosjecno Dobro Izuzetno

Uporaba jezika X

Sposobnost zakljucivanja X

Brzina misljenja X

Mastovitost X

Pamcenje X

Zamjecivanje X

Koncentracija X

Opseg citanja X

Davanje ideja X

Rutinski rad X

Indirektna pitanja X

Rjesavanje problema X

Tablica 2: Opcenita lista za provjeru obiljezja i ponasanja

Treba napomenuti da niti jedno od obiljezja navedenih u listi ne treba uzimati kao dokaz

velike sposobnosti ali mogu sluziti kao upozorenje za ucitelje i roditelje da preispita razlog

njihova postojanja. Sto je veci broj navedenih oblika ponasanja – veca je i vjerojatnost za

otkrivanjem talenta.

9

3.2 Liste za provjeru po predmetima

Vecina listi za provjeru bazira se na inteligenciji i kreativnosti ali se njihova valjanost

rijetko provjeravala u razredu. One cesto potvrduju procjenu nastavnika stoga najvjero-

jatnije nece poluciti rezultate radi kojih su nastale. U sljedecem cemo prikazu prikazati

kontrolne liste za provjeru po predmetima. Jedna od njih je i lista za provjeru mate-

matickih sposobnosti koju su nastavnici uocili u ponacanju darovitih ucenika.

LISTA ZA PROVJERU MATEMATICKIH SPOSOBNOSTI

Upornost u trazenju najboljeg i najjednostavnijeg rjesenja problema?

Djeca koja imaju dara za matematiku ne umaraju se lako kada su zaokupljena rjesavanjem nekog zadatka.

Stalno sama sebi zadaju probleme tijekom nastave i kod kuce? Primjerice: ’Koliko sekundi

traje ljudski zivot?’ ili ’Koliko brzo ide avion?’ ili ’Koliku povrsinu mozete vidjeti s vrha tornja?’

Matematicki darovita djeca odvagat ce dokaze i biti spremna promijeniti glediste u skladu s dokazima.

Opcenito se zanima za brojeve (npr. Brojevi automobila imaju posebne oznake, 219 je djeljiv s tri, itd.)

Cesto je u stanju pronaci precicu do rjesenja problema jer zeli izbjeci standardne metode?

LISTE ZA PROVJERU SPOSOBNOSTI ZA PRIRODOSLOVLJE

Misli li dijete brzo i tocno?

Pokazuje li znatizelju, ima li sirok raspon interesa, zapaza li dobro?

Pokazuje li dijete kreativnost ili originalnost u bilo kojem obliku rjesavanja problema?

Bavi li se necim sto ga zanima, uz malo ili bez usmjeravanja, daleko vise od onog sto se obicno trazi?

Zna li prenijeti svoje zamisli?

LISTE ZA PROVJERU KREATIVNOG RADA

Je li dijete osobito vjesto u uporabi pisanog jezika opcenito?

Pokazuje li dijete zanimanje za jezik i knjizevnost te za poigravanje i eksperimentiranje s rimom,

metaforama, pricama i dijalozima?

Pokazuje li dijete iskreno odusevljenje za pisanje prica, pjesama ili dramskih dijaloga?

Tablica 3: Identifikacija matematickih, prirodoznanstvenih i kreativnih sposobnosti

U skolama ima puno bistre djece, ali ne i onih koji imaju dara za ucenje. Sljedeci prikaz ce

nam pomoci razlikovati te dvije kategorije te pomoci da bolje razumijemo darovitu djecu.

Dok ce bistra djeca cesto ugadati nastavnicima te ih je lakse poducavati, darovita znaju

u tom segmentu biti izuzetno teska jer se ne uklapaju u norme.

10

Bistro dijete Darovito dijete

Zainteresirano je. Izrazito je znatizeljno.

Ima dobre ideje. Ima neobicne ideje.

Uziva u skoli. Uziva u ucenju.

Poslusno izvrsava zadatke. Vrlo je kriticno.

Lako uci. Unaprijed sve zna.

Voli izlaganje u dijelovima. Voli kompleksnost u izlaganju.

Voli drustvo vrsnjak. Drazi su mu odrasli ili stariji ucenici.

Upija informacije. Manipulira informacijama.

Tablica 4: Neke osobine bistre i darovite djece

3.3 Mjerne ljestvice

Mjerne ljestvice su pouzdanije od subjektivnih opcenitih kontrolnih listi za provjeru te

sadrze podskale kao sto su kreativnost, vodstvo, karakteristike motiviranosti i ucenja koje

mogu biti karakteristicne za darovitu djecu. Poznatu mjernu ljestvicu su sastavili Renzulli

i Harmann, ova mjerna ljestvica obuhvaca 35 pitanja, a namijenjen je nastavnicima koji

ju mogu primijeniti bez dodatne izobrazbe. Napravljen je pregled literature po osobinama

darovite i talentirane djece, od nastavnika se trazi da ucenika ocjene za svako od pitanja

sluzeci se tim smjernicama i nacinom bodovanja.

Navedimo samo neke primjer iz Renzullijeve mjerne ljestvice za obiljezja kreativnosti i

ucenja.

OBILJEZJE KREATIVNOSTI

1. Ima mnogo ideja ili rjesenja za probleme i pitanja, cesto nudi neobicna rjesenja,

jedinstvene i pametne odgovore.

2. Nije zakocen u izrazavanju misljenja, izlaze se velikim rizicima, avanturist.

3. Osjetljiv je na ljepotu, poklanja paznju estetskim obiljezjima stvari

OBILJEZJE UCENJA

1. Raspolaze velikim brojem informacija o razlicitim temama.

2. Brzo usvaja i prisjeca se cinjenicnih podataka

3. Dobro zapaza i budno prati, ima neuobicajen razvijen rjecnik kojim se smisleno sluzi.

Tablica 5: Primjeri iz Renzullijeve mjerne skale

11

4 Testiranje

Talentiranu i darovitu djecu cesto identificiramo primjenom standardnih testova. Njima

mjerimo znanje, umijece i sposobnost darovitih pojedinaca. Danas se u svijetu koriste

rezultati testova grupne inteligencije i postignuca, a njima se moze tocno identificirati oko

96% darovitih ucenika. Da li nas to iznenaduje?

Ne iznenaduje, jer se koriste pojedinacni testovi inteligencije gdje pojedinac treba postici

iznadprosjecan uspjeh, koji se obicno ne temelji na rijecima. Potrebno je ocjenjivanje

sirokog spektra kako bi se izmjerila uspjesnost, potencijal i napredak. Nastavnici u nefor-

malnom ocjenjivanju ucenika koriste svoju strucnost i instinkte ali i formalna ocjena ce

poluciti rezultate jer ce nastavnika nagnati da potvrdi njegove prve dojmove ili ga potak-

nuti da ih promjeni na nove i objektivnije. Ti testovi mogu biti uzeti kao dokaz ucenikove

velike sposobnosti.

Pocevsi od procjene male djece pa sve do drzavne mature, ispita na fakultetu, ocjene su

jedno od glavnih mjerila znanja, no vecina njih je uskladena s nastavnim strategijama.

Velika vecina nastavnika smatra da bi testovi na drzavnoj razini, poput drzavne mature,

trebali reci sto je potrebno znati o ucenicima te da ostali testovi nisu potrebni. Zabluda

je da su takvi testovi standardizirani testovi koji se temelje na normama, oni su zapravo

testovi koji se temelje na kriterijima.

Ne dvojimo da oni donose korisne podatke o djetetu ali ne mogu pokazati koliko su poje-

dinci uspjesni u odnosu na stvarnu razinu za njihovu dob. Da bi se prepoznali talenti koje

djeca imaju, potrebno je prosiriti nacin ocjenjivanja. Samo testovi temeljeni na normama

mogu pokazati objektivne rezultate, u kombinaciji sa standardiziranim testovima moze se

vidjeti koliko je pojedini ucenik uspjesan obzirom na svoje vrsnjake. Testovi temeljeni na

normama i oni temeljeni na kriterijima u kombinaciji s drzavnim testovima pokazuju kom-

ponentu dodatne vrijednosti cime ce rezultat testa imati vise smisla. Jedan od problema

koji se javlja u obrazovanju je taj da roditelji jako malo ocekuju od svoje djece. Stoga pri

izradi i standardizaciji testova vazno je postici da se djeca osjecaju dovoljno motivirano

da daju sve od sebe. Od mnostva testova tesko je odabrati najbolji, mi cemo pokazati

neke sto je objavio britanski nakladnik NFER – Nelson.

12

NAZIV VRSTA RASPON DOBI

Test kognitivnih sposobnosti CAT Verbalno, neverbalno i kognitivno zakljucivanje 8 - 15

Serija testova AH Neverbalne, verbalne, numericke 5 - odrasla dob

Serija testova za primanje u Verbalni i neverbalno zakljucivanje, 11+

poseban program NFER - Nelson matematika

Banka pitanja NFER - Nelson Verbalno i neverbalno zakljucivanje, 11+

engleski i matematika

Test temeljnih vjestina Richmond Rjecnik, jezik, vjestine ucenja, 8 - 14

matematika

Serija testova verbalnog zakljucivanja Verbalno zakljucivanje 8 - 13

NFER -Nelson

Tablica 6: Testovi primjereni za identifikaciju sposobne djece

Testovi temeljeni na kriterijima otkriti ce nam sto pojedini ucenik zna i moze uciniti,

dok testovi temeljeni na normama otkrivaju ucenikovu uspjecnost u usporedbi s njegovim

vrsnjacima. Da bi djetetu mogli osigurati odgovarajucu poduku potreban je velik broj

najrazlicitijih informacija o toj djeci. Glavni kriterij odredivanja darovitosti u vecini ze-

malja je koeficijent inteligencije.

Za donji prag se uzima koeficijent inteligencije koji je barem dvije standardne devijacije

iznad prosjecnog sto bi znacilo da su pojedinci imali bolji rezultat od 98% populacije. Stan-

dardna devijacija kod vecine testova je 15, sto znaci da bi dijete moralo imati kvocijent

inteligencije 130 ili visi. Osim visokog IQ, povezuje se jos nekoliko drugih intelektualnih

karakteristika kod darovitih i talentiranih ucenika, kao sto su sposobnosti preispitivanja i

rjecavanja problema te rani jezicni razvoj.

Kod darovitih i talentiranih ucenika prvo se identificira akademska sposobnost jer to je

ono sto ucitelj brzo uoci. Medutim, postoje mnoge druge karakteristike koje isticu kako

ucenik pristupa zadatku, njegove vjestine ucenja i primjena stecenog znanja – darovitost

se iskazuje djelima.

Za osobu mozemo reci da ima dara ako je darovita ili talentirana i tom se sposobnoscu

sluzi radi sebe ali isto tako i za dobrobit drustva. Svoju bi darovitost, mozda, prvo trebao

dokazati da ga se moze nazvati darovitom osobom. Ne moze se tvrditi da je netko darovit

13

samo zato sto posjeduje neki dar, taj dar treba i dokazati na nacin da se osoba sluzi tim

darom.

Identifikacija bi se trebala smatrati dijelom kvalitetnog poucavanja, to treba biti stalni

proces u kojemu se predvidaju daljnja iskustva ucenja. Identifikacija je evaluacijski proces

koji se odvija u razredu, a ne niz testova.

14

5 Udio darovitih ucenika

Osvrnimo se malo na udio darovitih ucenika u populaciji, mozemo reci da je 68% sta-

novnistva prosjecnih sposobnosti, polovica tog broja nesto ispod prosjeka, a polovica

iznad. Mi cemo se usredotociti na onaj dio koji se nalazi u desnom dijelu krivulje tj.

stanovnistvom iznadprosjecne sposobnosti.

Udio populacije koja se nalazi u intervalu od [0,σ] je 34%, sto bi u normalnom sustavu

ocjenjivanja znacilo da tu pripadali ucenici sa dobrim i vrlo dobrim znanjem.

Za dio populacije koja lezi u intervalu [σ,2σ] kazemo da su talentirani, udio takvih u po-

pulaciji je 13.5% sto bi u normalnom sustavu ocjenjivanja znacilo da u tu skupini upadaju

ucenici s odlicnim znanjem.

Dolazimo na udio populacije od 2.2% koja obuhvaca interval od [2σ,3σ], ovdje vec govo-

rimo o darovitosti. Pogledajmo primjer od 45000 ucenika jedne generacije gdje ih u ovu

skupinu ulazi oko njih 1000. Nisu svi nadareni za matematiku, ima i onih koji su nadareni

u vise podrucja.

Interval koji ide od [3σ,4σ] obuhvaca ukupno 0.13% ukupne populacije sto znaci da taj

kriterij zadovoljava u prosjeku 65 osoba. Ovdje govorimo o istaknutoj darovitosti.

Slijedeci interval ce nas najvise zaintrigirati ide od (4σ, ∞) i obuhvaca ukupno 0.0032%

osoba. Moglo bi se ocekivati da su to samo dvije osobe u uzorku jedne generacije.

Ako nas masta odvede malo dalje i razmislimo kako bi to izgledalo u svijetu, mozemo

ocekivati da bi se u ovome intervalu naslo preko 3000 pojedinaca koji ce, u svojim po-

drucjima, predstavljati nesumljivo intelektualnu elitu covjecanstva.

15

6 Matematicka darovitost

Dobre ocjene, visok kvocijent inteligencije i postignuca na testovima zasigurno su neki od

pokazatelja da ucenika mozemo smatrati nadarenim.

No, postoji puno drugih nacina osim testova i ocjena na kojima ucenik moze pokazati svoju

darovitost. Kada se skola bazira samo na tradicionalnim testovima otkrivanja darovitosti

dolazi do toga da ce mnogi od potencijalno darovitih ucenika biti zanemareni kao i njihovo

znanje. Kada sve zbrojimo dolazimo do zakljucka da postoji mnogo potencijalno darovitih

ucenika koji se ne svrstavaju u grupu darovitih ali im je potreban veci stupanj paznje i

rada.

Kako prepoznati ucenika nadarenog za matematiku:

• Neuobicajeno zanimanje za brojeve i matematicki sadrzaj

• Sposobnost razumijevanja i brza primjena novih ideja

• Sposobnost uocavanja obrazaca i apstraktnog razmisljanja

• Primjena nestandardnih postupaka u rjesavanju zadataka

• Sposobnost prenosenja matematickih postupaka u neuobicajene situacije

• Koristenje analitickih, deduktivnih i induktivnih metoda

• Ustrajnost u rjesavanju teskih i slozenih problema.

Treba obratiti pozornost na to da ucenika nadarenog za matematiku ne mozemo svrstati

u skupinu ’dobrih ucenika’. Oslanjajuci se na promatranja (kao metodu prepoznavanja

nadarenih ucenika), ono zahtjeva da ucitelji postanu svjesni svih stereotipa i pretpostavki

koje bi mogli imati u pogledu prepoznavanja nadarenih ucenika. Primjerice, nadareni

ucenici mogu imati problema s ucenjem. Pojedini ce tako ometati rad, ako su frustrirani

ili ako im postavljeni zadaci ne predstavljaju dovoljan izazov. Moguce je da postavljaju

brojna pitanja i izazivaju rasprave izvan zadane tematike. Takoder bi mogli produljiti

vrijeme potrebno za rjesavanje zadataka njihovim prosirivanjem ili dodavanjem detalja ili,

nasuprot tome, mogu zuriti u radu zbog cega ce im rezultat biti neprecizan, s nemarnim

greskama. Svim se ucenicima mora ponuditi prilika za izazov i prosireno ucenje, kad god

je to moguce.

16

6.1 Po cemu se ucenik nadaren za matematiku razlikuje od svojih vrsnjaka

Nadareni ucenici razlikuju se od ostalih u tri posebice znacajna podrucja za matematiku.

Matematicki nadareni ucenici razlikuju se od ostalih

• Brzina kojom uce

• Dubini njihovog shvacanja

• Povecanoj razini zanimanja.

U odnosu na usvajanje matematickih znanja

• Brzina moze predstavljati problem zbog prirode matematike koja se uci nadoveziva-

njem znanja na prethodno nauceno

• Dublja razina shvacanja i apstrakcije su moguci kod vecine matematickih tema, zbog

cega je postavljanje granica bitno

• Ukoliko zanimanje nije na vrijeme uoceno, talent mozda nikada nece biti razvijen.

6.2 Napredovanje darovite djece unutar skolskog sustava

Brzina kojom ce daroviti ucenik napredovati u usvajanju nastavnog gradiva je individualno

od pojedinca do pojedinca. Ne postoji pozeljna brzina napredovanja ali u literaturama

mozemo pronaci brzinu ocekivanog napretka darovitog ucenika.

Pokazimo primjerom americkog modela skolstva brzinu napretka darovitog ucenika:

Do kraja drugog razreda daroviti ucenik treba:

• Citati, pisati i razumjeti cijele brojeve i mjesne vrijednosti znamenki do jednog

milijuna

• Zbrajati, oduzimati, mnoziti i dijeliti cijele brojeve do tisucu

• Zbrajati i oduzimati razlomke jednakih nazivnika

• Rjesavati zadatke s rijecima koristeci osnovne racunske operacije scijelim brojevima

• Procijeniti i mjeriti velicine koristeci SU ustav jedinica

• Koristiti matematicki je za analizu podataka u problemu

• Identificirati i klasificirati osobitosti geometrijskih oblika,

17

Do kraja treceg razreda daroviti ucenik treba:

• Citati, pisati i razumjeti brojeve do jedne milijarde

• Zbrajati, oduzimati, mnoziti i dijeliti cijele brojeve do milijun

• Zbrajati, oduzimati i dijeliti razlomke razlicitih nazivnika

• Primijeniti vezu izmedu razlomaka i decimalnog zapisa

• Rjesavati zadatke rijecima koristeci temeljne operacije s cijelim brojevima i razlomke

• Prikupiti i analizirati podatke koristeci matematicki jezik

• Znati usporediti i analizirati geometrijska tijela

• Tumaciti dijagrame, tablice i grafove

• Primijeniti formule geometrijska likove – kvadrat, pravokutnik, trokut i krug,

Do kraja cetvrtog razreda daroviti ucenik treba:

• Vrsiti operacije s cijelim brojevima, decimalnim brojevima i razlomcima

• Zapisati, interpretirati i rjesavati rijecima zadane probleme koji ukljucuju temeljne

operacije s cijelim brojevima, razlomcima i decimalnim brojevima

• Identificirati, poredati, zaokruzivati i usporediti cijele brojeve, razlomke i decimalne

brojeve

• Prikupljati i analizirati podatke koristeci matematicki jezik za priopcavanje za-

kljucaka i opravdanje teorija

• Racunati duljinu, povrsinu i obujam uobicajenih geometrijskih oblika

• Prevoditi decimale i razlomke u postotke,

Do kraja petog razreda daroviti ucenik treba:

• Pokazati razumijevanje za cijele brojeve, razlomke, decimalne brojeve i postotke

koristeci modele, transformacije i tehnologiju

• Koristiti modele da ilustrira razumijevanje i koristenje nacina mjerenja, diskutirajuci

opravdanost tih nacina u stvarnom zivotu

18

• Koristiti konkretne metode poput crtanja grafova i koristiti algebarska svojstva u

rjesavanju jednostavnih jednadzbi i nejednadzbi

• Razvijati smisao za prostor identificirajuci, opisujuci, usporedujuci i klasificirajuci

geometrijske figure da bi se opisale veze i rijesili problemi

• Koristiti statistiku i vjerojatnost da bi se istrazile svakodnevne pojave u stvarnom

svijetu, upotrebljavajuci grafove i dijagrame da bi se utvrdila predvidanja,

Do kraja sestog razreda daroviti ucenik treba:

• Razviti razumijevanje odnosa izmedu cijelih, racionalnih i realnih brojeva, koristeci

modele i transformacije

• Koristiti i razvijati sposobnost nuznu za rjesavanje slozenijih jednadzbi i nejednakosti

• Primjenjivati algebarske koncepte u rjesavanju problema s postocima

• Razvijati prostorni smisao identificirajuci, usporedujuci i konstruirajuci geometrijske

likove koristeci formule za opisivanje veza i za rjesavanje problema

• Koristiti algebarske koncepte u analiziranju funkcijskih veza i rjecavanju razlicitih

problema realnog svijeta, ukljucujuci tablice, grafove,jednadzbe i nejednakosti

• Utvrditi vezu izmedu jednadzbi i grafa u koordinatnom sustavu

• Koristiti statistiku i vjerojatnost da bi se napravila predvidanja o svakodnevnim

pojavama, koristenjem grafova i dijagrama u odredivanja tih predvidanja

• Koristiti znanstveno racunalo u rjesavanju jednadzbi,

Do kraja sedmog razreda daroviti ucenik treba:

• Rijesiti jednadzbe i nejednadzbe koje ukljucuju zbrajanje, mnozenje i dijeljenje ko-

risteci svojstva, geometrijski prikaz, inverze, reciprocne vrijednosti, odnose, cijele

brojeve i faktorijele

• Zapisati, usporediti, rijesiti i nacrtati linearne veze, jednadzbe i nejednadzbe

• Koristiti svojstva nagiba i standardni oblik jednadzbe da bi se interpretirale veze

izmedu linearne jednadzbe i njezinog grafa

• Zapisati, usporediti, rijeziti i nacrtati graf kvadratne jednadzbe, interpretirati odnos

izmedu kvadratne jednadzbe i njezinog grafa,

19

Do kraja osmog razreda daroviti ucenik treba:

• Napisati eksplicitne formule za aritmeticki i geometrijski niz, kao i odrediti clanove

niza

• Graficki interpretirati linearne i kvadratne funkcije

• Rijesiti sustav jednadzbi razlicitim metodama poput supstitucije, grafickog rjesavanja,

metode suprotnih predznaka

• Koristiti algebarski koncept i matrice u zapisivanju transformacija

• Rjesavati algebarske probleme, ukljucujuci potencije i n-te korijene (pozitivne i ne-

gativne)

• Koristiti i razvijati vjestine nuzne za analiziranje logaritamskih funkcija

• Koristiti kvadratne veze u jednadzbama i grafickom prikazu

• Analizirati geometrijski i aritmeticki red.

6.3 Odgovornost skole i nastavnika u razvoju darovitih ucenika

Veliku ulogu u otkrivanju nadarenih ucenika ima i nastavnik. Ucenici nadareni za ma-

tematiku ne moraju biti uspjesni i u ostalim nastavnim predmetima stoga ih nije lako

prepoznati. Za nastavnika je vazno da nauci prepoznati potrebe darovitih ucenika i nji-

hove karakteristike. Takoder, nastavnici koji uspostave dobar odnos sa svojim ucenicima

sposobni su to znanje iskoristiti kao dobar vodic za daljnji rad s njima, radije nego darovite

ucenike razdvojiti prema tradicionalnim testovima.

• Uciteljima je potrebna posebna obuka i podrska u prepoznavanju matematicke na-

darenosti

• Ucitelji koji rade s darovitim ucenicima trebaju dobro poznavati matematicke sadrzaje,

no ako skola ima samo nekoliko nadarenih ucenika, a nema odgovarajuceg ucitelja,

trebao bi im se omoguciti rad s za to odgovarajucim mentorom izvan njihove maticne

skole

• Uskladeni program mora biti tako postavljen da se matematicka znanja usvojena u

jednoj skolskoj godini ne ponavljaju ili prekidaju u drugoj

20

• Skola bi trebala imati organizirani sustav podrske koji ukljucuje opskrbu odgova-

rajucim knjigama, tehnologijom i kadrom za to osposobljenih ljudi.

Kada se u redovitoj nastavi osiguraju dovoljno zahtjevna i siroka iskustva s nadarenim

ucenicima, stvara se potencijal za obogacivanje obrazovne zajednice. Naime, ostali ucenici

u tim uvjetima razvijaju povecano zanimanje i uz malu pomoc mogu svladati zahtjevnije

zadatke. Dakle, svi ucenici imaju mogucnost uciti u skladu sa svojim sposobnostima, ako

im se u poducavanju ponudi raznolikost zadataka i nastavnog materijala, te pri tome prati

ritam njihova ucenja i nadziru njihove potrebe.

21

7 Metode rjesavanja problemskih zadataka

U svakom podrucju matematike postoji niz razradenih i djelotvornih metoda rjesavanja

raznovrsnih problema. Radi se o metodama pogodnima za rad s nadarenim ucenicima,

oni su na tom stupnju vec dobrim djelom prepoznati, a navedenim ce metodama samo

produbiti njihovo razumijevanje matematike, logicko zakljucivanje i principe razmisljanja.

Uglavnom se radi o sistematizaciji postupaka rjesavanja koja im na tom stupnju nedostaje,

zadaci su razumljivi darovitim ucenicima i rjesavaju ih s velikim zanimanjem.

Navedene metode mogu posluziti i za daljnje prepoznavanje darovitosti ako ono ranije nije

uoceno te za razlucivanje boljih od onih losijih, gdje ce bolji medu njima obicno lakse

prihvatiti neku metodu i znati ju iskoristiti na primjeren nacin.

7.1 Metoda uzastopnih priblizavanja

Krenut cemo od metode rjesavanja problema primjerenih ucenicima IV. I V. razreda.

Ucenici ove dobi jos ne uce jednadzbe pa se rjesavanje nekog problema mora osmisliti

drugacije. Postoji jedna metoda rjesavanja problema primjerena ucenicima ove dobi,

koja uspjesno zamjenjuje potrebu postavljanja jednadzbi. To je metoda uzastopnih pri-

blizavanja, a poznata je i kao metoda pokusaja i pogresaka.

Metoda se sastoji u nizu pokusaja da se dode do rjesenja postavljenog problema. U sva-

kom od njih nastoji se ispraviti pogreska koja je nastala u prethodnom pokusaju. Pritom

se, opcenito, pogreska smanjuje i u svakom narednom pokusaju dolazi se sve blize i blize

trazenom rezultatu. Metoda se najcesce zorno predocuje pomocu tablice u koju se unose

pokusaji.

22

Zadatak 1.(Zupanijsko natjecanje OS, 2005. godina, 4. razred)

Od pocetka skolske godine, do danas, Zvonimir je dobio 46 ocjena. Svaka od njih je ili

petica ili cetvorka. Zbroj svih ocjena je 204. Koliko je Zvonimir dobio petica?

Rjesenje:

Napravimo tablicu u kojoj u prvom stupcu upisujemo broj petica, a u drugom upisujemo

broj cetvorki, a zbroj ta dva broja mora biti 46. U ostalim stupcima racunamo zbroj

ocjena. Pocet cemo tako da pretpostavimo da su u prvom stupcu svih 46 ocjena petice.

Zatim uzmemo da su svih 46 ocjena cetvorke. U sljedeci redak stavimo da je polovina

ocjena cetvorke, a druga petice. Nakon toga se vidi koji broj trebamo smanjivati, a koji

povecavati.

Broj petica Broj cetvorki Zbroj petica Zbroj cetvorki Ukupan zbroj ocjena

46 0 230 0 2300 46 0 184 18423 23 115 92 20722 24 110 96 20621 25 105 100 20520 26 100 104 204

Tablica 7: Broj ocjena

Zadatak 2.(Regionalno natjecanje, OS, 1997.godina, 5.razred)

125kg secera stavljeno je u 40 vrecica od kojih neke sadrze 2kg, a neke 5kg. Koliko je bilo

vrecica od 2kg, a koliko od 5kg.

Rjesenje:

U 40 vrecica koje sadrze 2kg stane

2 · 40 = 80kg

secera sto je manje od 125kg. Stoga, smanjujemo broj vrecica od 2kg. U 30 vrecica od

2kg i 10 vrecica od 5kg stane

2 · 30 + 5 · 10 = 110kg.

23

Do rjesenja dolazimo pomocu tablice:

Vrecica od 2kg Vrecica od 5kg Secer u kg

40 0 8030 10 11020 20 14022 18 13423 17 13124 16 12825 15 125

Tablica 8: Tezina secera u kilogramima

Vrecica od 2 kg je bilo 25, dok je vrecica od 5 kg bilo 15.

Zadatak 3. Na satu geometrije ucenici su od stapica jednakih duljina slagali trokuta i

kvadrate. Upotrijebili su 300 stapica i slozili 92 lika. Koliko je medu njima bilo trokuta,

a koliko kvadrata?

Rjesenje:

Najveci moguci broj trokuta je 92, a tada nema kvadrata. Najveci moguci broj kvadrata

je 92, a tada nema trokuta. To su krajnji slucajevi. U prvom od njih broj stranica je 276,

a u drugom 368. Kako je ukupan broj stranica likova u zadatku 300, ucenici su slozili

odredeni broj i trokuta i kvadrata.

Iduci korak je srednji slucaj u kojemu uzimamo da je i trokuta i kvadrata bilo po 46. U

tom slucaju ukupan broj stranica je 322. To je previse. Buduci da kvadrati vise doprinose

broju stranica, treba smanjiti broj kvadrata, a povecati broj trokuta. Sad pocinjemo

priblizavanje rjesenju povecanjem broja trokuta, recimo za po 5, tj. sa 46 na 50, 55, 60,

6, 70. Istovremeno se broj kvadrata smanjuje sa 46 na 42, 37, 32, 27, 22. Ukupan broj

stranica likova u tim slucajevima je 318, 313, 308, 303, 298.

Sto nam kazu zadnja dva broja? Kazu nam da je trazeni broj trokuta izmedu 65 i 70.

Treba nastaviti priblizavanje rjesenju unazad i promatrati 68, 68, 67, odnosno 66 trokuta.

Odmah se vidi da sljedeca dva pokusaja vode do rjesenja.

24

Broj trokuta broj kvadrata Ukupan broj stranica

92 0 2760 92 36846 46 32250 42 31855 37 31360 32 30865 27 30370 22 29869 23 29968 24 300

Tablica 9: Broj stranica

Od 300 stapica ucenici su slozili 68 trokuta i 24 kvadrata.

Vazna komponenta metode je tablica, dok je vazna znacajka metode procjena. U svakom

pokusaju trazenja rjesenja ucenici aktivno promisljaju o granicama u kojima se rjesenje

nalazi i dolaze mu sve blize. S vremenom, ucenici stjecu iskustvo koje ce im omoguciti

bolju procjenu, smanjiti broj pokusaja i brze pronaci rjesenje.

7.2 Metoda uocavanja pravilnosti

Rjesavanje zadataka ovom metodom paznja je usmjerena na podatke koji su zadani u za-

datku i njihov medusobni odnos. Ucenici svojim Logickim zakljucivanjem i uocavanjem

dolaze do rjesenja zadatka.

Zadatak 1.(Opcinsko natjecanje OS, 2010. godine, 8.razred)

Odredi jos dva broja koji nastavljaju zapoceti niz brojeva 3, 6, 24, 192.... Postupak

obrazlozi.

Rjesenje:

Kolicnici uzastopnih clanova su 2, 4, 8. Kako je 4 : 2 = 2 i 8 : 4 = 2, onda slijedeci

kolicnik treba biti

8 · 2 = 16,

a zatim

16 · 2 = 32.

Zato u nizu slijedi broj

192 · 16 = 3072

25

odnosno

3072 · 32 = 98304

Zadatak 2. (Opcinsko natjecanje OS, 2010. godine, 5.razred)

Odredi jos dva broja koji nastavljaju zapoceti niz brojeva 2, 7, 17, 37.... Postupak obrazlozite.

Rjesenje:

Kako su razlike uzastopnih clanova

7− 2 = 5

17− 7 = 10

37− 17 = 20,

te je 10 : 5 = 2 i 20 : 10 = 2, ona sljedeca razlika treba biti

20 · 2 = 40,

a zatim

40 · 2 = 80.

Zato u nizu slijedi broj 37 + 40 = 77 odnosno 77 + 80 = 157. Dva broja koja nastavljaju

niz su 77 i 157.

Zadatak 3. Pet kvadrata nalazi se jedan u drugome tako da se vrhovi manjeg kvadrata

nalaze na polovistima stranica veceg. Koliko je puta povrsina najveceg kvadrata veca od

povrsine najmanjega?

Rjesenje:

26

P1 = 2P2 ⇒ P2 =P1

2

P3 =P2

2⇒ P3 = P1

P1

4

P4 =P3

2⇒ P4 =

P1

8

P5 =P4

2⇒ P5 =

P1

16

Stranica kvadrata P1 duljine je a, tj. njegova povrsina iznosi P1 = a2.

Iz gore zadanog racuna dobili smo da je

P5 =P1

16

Slijedi da je

P1 = 16P5

Sto znaci da je povrsina najveceg kvadrata 16x veca od povrsine najmanjeg!

27

7.3 Metoda rjesavanja problemskih zadataka ispisivanjem sustavnih listi

Ovo je metoda u kojoj ispisujemo sva moguca rjesenja i uzimamo ono rjesenje koje od-

govara uvjetu zadatka. Kod ove metode moramo paziti da nam se moguca rjesenja ne

ponavljaju, tek kada iscrpimo sve mogucnosti mozemo pristupiti konacnom rjesenju. Radi

vizualne jednostavnosti podaci se najcesce unose u tablicu.

Zadatak 1. (Zupanijsko natjecanje OS, 1998. godina, 5. razred)

Na koliko razlicitih nacina mozemo razmijeniti novcanicu od 50 kuna, koristeci se s kova-

nicama ili novcanicama od 2, 5 i 10 kuna?

Rjesenje:

Svota koju cine kovanice od 5 kn i novcanice od 10 kn sigurno je djeljiva s 5, a kako je i

50 kn djeljivo sa 5, slijedi da svota koju cine kovanice od 2 kn mora biti djeljiva sa 5, a to

je moguce samo ako je broj tih kovanica djeljiv sa 5.

Dakle, kovanica od 2 kn ima

0, 5, 10, 15, 20 ili 25.

Svota koju cine kovanice od 2 kn i novcanice od 10 kn sigurno je djeljiva s 2, a kako je i

50 kn djeljivo s 2, slijedi da svota koju cine kovanice od 5 kn mora biti djeljiva s 2, a to je

moguce samo ako je broj tih kovanica djeljiv sa 2.

Tablicom prikazimo sve mogucnosti.

Broj kovanica od 2kn Broj kovanica od 5kn Broj novcanica od 10kn Broj nacina

0 0, 2, 4, 6, 8, 10 5, 4, 3, 2, 1, 0 65 0, 2, 4, 6, 8 4, 3, 2, 1, 0 510 0, 2, 4, 6 3, 2, 1, 0 415 0, 2, 4 2, 1, 0 320 0, 2 1, 0 225 0 0 1

Tablica 10: Broj kovanica

Dakle, 50 kn mozemo razmijeniti na 21 razlizit nacin.

28

Zadatak 2. Znamenkama 1, 3, 5, 9 napisi sve troznamenkaste brojeve djeljive s 3, pri

cemu su sve znamenke razlicite.

Rjesenje:

Broj je djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3.

Stoga, vrijedi

1 + 3 + 5 = 9,

1 + 3 + 9 = 13,

1 + 5 + 9 = 15,

3 + 5 + 9 = 17.

Zato znamenke 1, 3 i 5 daju brojeve 159, 195, 519, 591, 915 i 951.

Zadatak 3. U jednoj kosarkaskoj ligi 8 je ekipa, a svaka ekipa mora odigrati pa tri

utakmice sa svakom od preostalih ekipa. Koliko ce se u toj ligi odigrati utakmica?

Rjesenje:

U prvi stupac upisujemo sve utakmice koje je ekipa A odigrala sa svojim protivnicima,

a to su AB, AC, AD, AE, AF, AG, AH. U slijedeci stupac upisujemo utakmice koje je

odigrala ekipa B, s tim da se protivnici ne smiju ponavljati, tj. ekipa B je vec igrala s

ekipom A i tu utakmicu ne upisujemo. U trecem stupcu upisujemo utakmice ekipe C

bez vec odigranih i tako do posljednje ekipe. Posljednji redak prikazuje broj odigranih

utakmica za svaki stupac.

AB BC CD DE EF FG GHAC BD CE DF EG FHAD BE CF DG EHAE BF CG DHAF BG CHAG BHAH

UKUPNO 7 6 5 4 3 2 1

Tablica 11: Broj odigranih utakmica

Ako zbrojimo broj odigranih utakmica u posljednjem retku, dobijemo da ce se u toj ligi

odigrati 28 utakmica.

29

7.4 Metoda inverzije

Jos jedna nadasve zanimljiva metoda je metoda invrezije. Ova metoda se sastoji u tome da

se rjesavajuci zadatak krene od zadnje elementa u zadatku, a operacije se izvode obrnutim

redoslijedom od onoga koji se navodi u zadatku.

Zadatak 1. (Opcinsko natjecanje OS, 2005. godina, 5.razred)

Ivan je zamislio jedan broj. Kada je taj broj pomnozio s 8 i tom umnosku dodao 8, dobio

je broj koji je za 11 veci od 701. Koji je broj zamislio Ivan?

Rjesenje:

Zadatak cemo krenuti rjesavati obrnutim redoslijedom, tj. unazad. Broj koji je za 11 veci

od 701 je 712. Ako njemu oduzmemo 8 dobit cemo umnozak, dakle umnozak je 794.

Kad ga podijelimo s 8, dobit cemo trazeni broj, tj.

704 : 8 = 88.

Trazeni broj je 88.

Zadatak 2. Na pitanje koliko mu je godina, jedan matematicar je odgovorio: ”Ako od

broja mojih godina oduzmes 5, dobiveni broj podijelis brojem 5 te od rezultata ponovno

oduzmes 5, dobit ces broj 5”. Koliko mu je godina.

Rjesenje:

Krecemo od zadnjeg podatka i radimo obrnute racunske operacije:

5 + 5 = 10

(jer oduzimamo 5)

10 · 5 = 50

(jer dijelimo sa 5)

50 + 5 = 55

(jer oduzimamo 5)

Provjera:

55− 5 = 50

50 : 5 = 10

30

10− 5 = 5

Matematicar ima 55 godina.

Zadatak 3. Majka je prije odlaska na posao pripremila kosaru sljiva za svoje tri kceri.

Prvo se probudila najstarija kci i misleci da je prva, pojela trecinu sljiva iz kosarice. Druga

se probudila srednja kci i, misleci da je prva, pojela trecinu sljiva iz kosarice. Zadnja se

probudila najmlada kci i, smatrajuci da se probudila prva, uzela iz kosarice trecinu sljiva.

Tada je u kosarici preostalo 8 sljiva. Koliko je sljiva majka ostavila u kosarici.

Rjesenje:

I ovaj cemo zadatak krenuti rjesavati obrnutim redoslijedom. Najmlada je kci uzela iz

kosarice trecinu sljiva i preostalo ih je jos 8. To znaci da je tih 8 sljiva jednako dvjema

trecinama sljiva koje su bile u kosarici prije nego li je sljive uzela najmlada kci. Odatle

lako izracunamo da trecina sljiva iznosi 4, tj. da je u kosarici bilo

3 · 4 = 12

sljiva prije nego je najmlada kci uzela svoj dio. Vratimo se korak u nazad. Srednja kci

pojela je trecinu sljiva iz kosarice u kojoj je nakon toga preostalo 12 sljiva. Dakle, srednja

kci je u kosarici zatekla

3 · 12

2= 18

sljiva. Na slican nacin promotrimo i dogadaj koji se dogodio prvi. Najstarija je kci pojela

trecinu sljiva iz kosarice u kojoj je potom preostalo 18 sljiva. To znaci da 18 sljiva odgovara

dvjema trecinama ukupnog broja sljiva, tj. majka je pripremila kosaricu s

3 · 18

2= 27

sljiva.

31

Zakljucak

Darovitost je, nesumljivo, vrlo neodreden pojam koji je tesko definirati s obzirom na

razlicite kategorije o kojima smo pisali u tekstu. Danas se u svakom slucaju uvida da je

darovitost potencijal za izuzetan razvoj odredenih sposobnosti kao i uspjeh koji se nalazi

pri vrhu iskazivanja talentiranosti. To nije ograniceno dobi, rasom, socio – ekonomskim

statusom ili etnickom pripadnoscu.

Nastavnikova procjena preporuca se za svaki vid kurikuluma. Zbog razlika u osobnosti

i mnogo posla u razredu nastavnik ce ipak predvidjeti ili nedovoljno cijeniti neku djecu,

pogotovo onu koja nisu jako motivirana ili djecu koja ne postizu odgovarajuci uspjeh.

Nastavnici ne prosuduju uvijek najtocnije, pa njihova opazanja treba nadopuniti drugim

izvorima podataka.

Nas je cilj, kao nastavnika, da izgradimo didakticki i administrativno fleksibilnu strukturu

u kojoj skole imaju sirok prostor za osmisljavanje programa prilagodenih potrebama te

djece.

Tada ce ucenici mozda biti sposobni ispuniti svoju ulogu u drustvu, na posten nacin

i mnogo radosti, kao neovisni, krativni i produktivni pripadnici kako bi dostigli svoje

znacajne potencijale i ostvarili svoje teznje.

32

Sazetak

Ovim radom smo pokusali poblize objasniti situaciju darovitih ucenika u nastavi mate-

matike i nastavi uopce te ukazati na neka pogresna misljenja i zablude koja nastaju i koja

su presudna u njihovom prepoznavanju, te nacine kako ta misljenja ispraviti. Baziranjem

samo na tradicionalnim testovima dolazi do zanemarivanja potencijalno darovitih ucenika

i njihova znanja.

Identifikacija darovitih ucenika je izuzetno vazna, stoga predlazemo neke nacine identifi-

kacije pomocu raznih listi i skala za provjeru. Darovitu i talentiranu djecu cesto identifi-

ciramo pomocu testova baziranih na kriterijima i normama. Veliku ulogu imaju roditelji

i nastavnici, stoga je vazno da nauce prepoznati djece.

U zadnjem dijelu se doticemo nekih metoda koje su pogodne za rad s nadarenima, te me-

tode mogu posluziti i za daljne prepoznavanje darovitosti, ako ono nije na vrijeme uoceno.

Kljucne rijeci: darovitost, nastavnik, identifikacija, ucenici

Summary

Elaborating the subject of mathematically giffted students and gifted students in general,

this treatise is intended to indicate the most common misconceptions about recognazing

giftedness and methods on how to elude them.

Traditional tests are not sufficiant and can be neglecting for potentionaly gifted students

and their capacity to learn. Identifying giftedness is extremely important, so benefitial

methods including rankings and skales are presented in this elaboration.

Gifted and talented students are often identified by using different tests based on nor-

matives and criterias, but the important role of parents and teachersis accantuated also.

The final part of this treatise introduces some methodes suitable for working with gifted

students, also effective for identifying giftedness if it was not recognized orderly.

Key words: giffted, teacher, identification, students

33

Literatura

[1] N. ELEZOVIC, Elementarna matematika 28: Matematicka natjecanja i rad s daro-

vitim ucenicima, Element, Zagreb, 2007.

[2] D. GEORGE, Obrazovanje darovitih: Kako identificirati i obrazovati darovite i ta-

lentirane ucenike, Educa, Zagreb, 2005.

[3] D. T. JOHNSON, Teaching Mathematics to Gifted Students in a Mixed-Ability Cla-

ssroom, 2000.

http://www.vtaide.com/png/ERIC/gifted-Math.htm

[4] M. PAVLEKOVIC, Matematika i nadareni ucenici, Element, Zagreb, 2009.

[5] J. STEPANEK, The inclusive classroom: Meeting the Needs of Gifted Students:

Differentiating Mathematics and Science Instruction, Mathematics and Science Edu-

cation Center, 1999.

http://www.http://educationnorthwest.org/sites/default/files/12.99.pdf

34

Zivotopis

Moje je ime Zoran Vajagic. Roden sam 02. travnja 1984. godine u Virovitici. Od

1991. do 1999. godine pohadao sam osnovnu skolu Vladimira Nazora u Virovitici. Kao

odlican ucenik, 1999. godine upisao sam srednju Tehnicku skolu u Virovitici, smjer elek-

trotehnicar. Maturirao sam 2003. godine te sam iste godine upisao Sveucilisni nastavnicki

studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku Sveucilista J.J. Strossmayera

Osijeku. Trenutno sam nezaposlen.