QUESTAO Arco Na Circunferencia

8/16/2019 QUESTAO Arco Na Circunferencia

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Interbits – SuperPro ® Web

1. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes,estudioso grego que viveu, aproimadamente, entre 2!" a#$# e 1%" a#$# &abendo que em 'ssu, idade *oa*i+ada no su* do Egito, ao meio dia do so*stíio de vero, um basto vertia*no apresentava sombra, Eratóstenes deidiu investigar o que oorreria, nas mesmasondi-es, em '*eandria, idade no norte do Egito# . estudioso observou que, em '*eandria,

ao meio dia do so*stíio de vero, um basto vertia* apresentava sombra e determinou o/ngu*o θ entre as dire-es do basto e de inidnia dos raios de so*# . va*or do raio da Terra,

obtido a partir de θ e da dist/nia entre '*eandria e 'ssu oi de, aproimadamente, !"00 m#

. ms em que oram rea*i+adas as observa-es e o va*or aproimado de θ so

(ote e adote4 dist/nia estimada por Eratóstenes entre 'ssu e '*eandria %00 m5≈ 3#π = )a) 6un7o5 !8#b) de+embro5 !8#) 6un7o5 238#d) de+embro5 238#e) 6un7o5 0,38#

2. (Unesp 201") ' igura representa duas raias de uma pista de at*etismo p*ana# F9bio (F) e

'ndré (') vo apostar uma orrida nessa pista, ada um orrendo em uma das raias# F9bio

*argar9 : dist/nia F; da *in7a de partida para que seu perurso tota*, de F até a 7egada em

$


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&abendo que '; 10 m,= ;$ %A m,= E= 30 m,= E=< 3B m= e !2 ,α = ° a*u*e oomprimento da pista de ' até =< e, em seguida, a*u*e a dist/nia F;# 'dote nos 9*u*os

inais 3#π =

3. (Enem ??C 201") o 6ogo mostrado na igura, uma bo*in7a des*oa>se somente de duas

ormas4 ao *ongo de *in7as retas ou por aros de irunernias entradas no ponto . e raiosvariando de 1 a A# =urante o 6ogo, a bo*in7a que estiver no ponto ? dever9 rea*i+ar a seguinte

sequnia de movimentos4 2 unidades no mesmo sentido uti*i+ado para ir do ponto . até o

ponto ' e, no sentido anti>7or9rio, um aro de irunernia u6o /ngu*o entra* é 120 #°

'pós a sequnia de movimentos desrita, a bo*in7a estar9 no pontoa) ;#

b) =#) E#d) F#e) D#

B. (Fgv 201") a igura, ';$= representa uma p*aa em orma de trapé+io isóse*es de

/ngu*o da base medindo @0 #° ' p*aa est9 iada em uma parede por '=, e ?' representauma orda pereitamente estiada, iniia*mente perpendiu*ar : parede#

esse dispositivo, o ponto ? ser9 girado em sentido 7or9rio, mantendo>se no p*ano da p*aa, e

de orma que a orda ique sempre estiada ao m9imo# . giro termina quando ? atinge ,

que é o ponto médio de $=#

as ondi-es desritas, o perurso tota* rea*i+ado por ?, em m, ser9 igua* a

a)"0

3

π

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b)B0

3

π

) 1"π

d) 10π

e) %π

". (D1 > ie 201B) $onsidere um re*ógio ana*ógio de do+e 7oras# . /ngu*o obtuso ormadoentre os ponteiros que indiam a 7ora e o minuto, quando o re*ógio mara eatamente " 7orase 20 minutos, éa) 3308#b) 3208#) 3108#d) 3008#e) 2%08#

@. (Unesp 201B) ' igura mostra um re*ógio de parede, om B0 m de di/metro eterno,marando 1 7ora e "B minutos#

Usando a aproimao 3,π = a medida, em m, do aro eterno do re*ógio determinado pe*o/ngu*o entra* agudo ormado pe*os ponteiros das 7oras e dos minutos, no 7or9rio mostrado,

va*e aproimadamentea) 22#b) 31#) 3B#d) 2%#e) 20#

!. (D1 > tmg 2013) &e o re*ógio da igura mara A 7 e 2" min, ento o /ngu*o x ormado pe*osponteiros é

a) 128 30#b) %08#) 1028 30#

d) 1208#

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A. (Ug 2013) 's idades de Doi/nia e $uritiba tm, aproimadamente, a mesma *ongitude#Doi/nia ia a uma *atitude de 1@8B0


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11. (Ueg 2012) $onsiderando 1I omo a dist/nia média entre dois meridianos, e que na *in7ado equador orresponde a uma dist/nia média de 111,322 m, e tomando>se esses va*oresomo reernia, pode>se inerir que o omprimento do íru*o da Terra, na *in7a do equador, éde, aproimadamente,a) "2#03" mb) BA#02A m

) BB#1%" md) B0#0!@ m

12. (Udes 2012) . re*ógio Tower Clock , *oa*i+ado em Condres, Hng*aterra, é muito on7eidope*a sua preiso e taman7o# . /ngu*o interno ormado entre os ponteiros das 7oras e dosminutos deste re*ógio, despre+ando suas *arguras, :s 1" 7oras e 20 minutos é4

a)12

π

b)3@

π

)@

π

d)1A

π

e)%

π

13. (Ueg 200A) =uas importantes idades esto *oa*i+adas sobre a *in7a do Equador4 uma é a

apita* do 'map9 e a outra é a apita* do Equador, ambas na 'méria do &u*# &uas *ongitudes

so, respetivamente, !A8 .este e "28 .este# $onsiderando que a Terra é uma esera de raio

@B00 m, qua* é a dist/nia entre essas duas idadesJ

1B. (Usar 200@) ' sequnia de iguras mostra um Knio giro do ponto ', marado em uma

roda iru*ar, quando e*a ro*a, no p*ano, sobre a rampa ormada pe*os segmentos LM e M?

'*ém do que indiam as iguras, sabe>se que o raio da roda mede 3 m, e que e*a gira sobre a

rampa sem des*i+ar em a*so# &endo assim, o omprimento LM N M? da rampa, em m, é igua*

a

a) "O N 2 3 #

b) BO N 3 " #

) @O N 3 #

d) !O > 3 #

e) AO > 3 " #

1". (?usp 200@) ' regio denominada 'ma+Gnia Cega*, om " mi*7-es de m2, obre

?9gina " de 1@


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@0P da 9rea do território naiona*, abrangendo 'ma+onas, 're, 'map9, oeste do aran7o,

ato Drosso, LondGnia, ?ar9, Loraima e Toantins# (Figura 1)# essa regio est9 a F*oresta

'ma+Gnia que 69 79 a*gum tempo vem sendo devastada# &e por um *ado no se tem evitado a

progressiva diminuio da *oresta, por outro, pe*o menos, nuna oi possíve* medir a

devastao om tanta preiso, devido :s imagens aptadas por saté*ites#

?arte do monitoramento da devastao é eita por meio dos dados enviados pe*os

saté*ites Candsat e $;EL&>2 ao H?E (Hnstituto aiona* de ?esquisas Espaiais) onde osientistas produ+em bo*etins di9rios, identiiando os *oais e as araterístias dos

desmatamentos mais reentes# Esses saté*ites giram ao redor da Terra em uma órbita

pratiamente po*ar e iru*ar (Figura 2), de maneira que a ombinao sinroni+ada entre as

ve*oidades do saté*ite e da rotao da Terra torna possíve* QmapearQ todo o p*aneta após erto

nKmero de dias#

=ependendo do saté*ite, a aia de território que e*e onsegue observar pode ser mais

*arga ou mais estreita (Figura 3)# . saté*ite Candsat QvarreQ todo o p*aneta a ada 1@ dias,

omp*etando uma vo*ta em torno da Terra em aproimadamente 100 minutos# . $;EL&>2, que

também tem período de revo*uo de 100 minutos, observa uma aia mais *arga que a

observada pe*o Candsat e onsegue QvarrerQ todo o p*aneta em apenas " dias# (Fonte4

RRR#inpe#br)

=ados4

$onstante da gravitao universa*4 D S @,0 10 >11 (H#)

assa da Terra4 (T) S @,0 102B g

Laio da Terra4 L(T) S @200 m S @,2 10 @ m

?eríodo de rotao da Terra em torno de seu eio4 T S 2B 7

S 3

a) 'penas 2"P da superíie terrestre esto aima do níve* dos oeanos# $om base nisso,

a*u*e a re*ao porentua* entre a 9rea da 'ma+Gnia Cega* e a 9rea da superíie terrestre

que no est9 oberta pe*a 9gua dos oeanos#

b) $onsidere duas vo*tas onseutivas do saté*ite $;EL&>2 em torno da Terra# a primeira

vo*ta, ao ru+ar a *in7a do Equador, otograa um ponto '# a vo*ta seguinte, ao ru+ar

novamente a *in7a do Equador, otograa um ponto ; (Figura B)# $a*u*e, em m, o

omprimento do aro ';#

) =esen7e em esa*a o gr9io da ve*oidade V de um saté*ite em uno do raio L de sua

órbita ao redor da Terra, assina*ando no gr9io4

> um ponto qua*quer (L1, V1)#

> trs outros pontos de absissas, 1L

B, BL1 e 1@L1#

1@. (Ue* 200@) .s primeiros re*ógios baseavam>se no aparente movimento do &o* na abóboda

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e*este e no des*oamento da sombra pro6etada sobre a superíie de um orpo i*uminado pe*o

astro# $onsidere que4 a Terra é eséria e seu período de rotao é de 2B 7oras no sentido

oeste>*este5 o tempo gasto a ada 1" 8 de rotao é de 1 7ora5 o tri/ngu*o ;rasí*iaW$entro da

TerraWCu+aa (X/mbia) orma, em seu vértie entra*, um /ngu*o de !"8#

' 7ora marada em Cu+aa, num re*ógio so*ar, quando o so* est9 a pino em ;rasí*ia é4

a) " 7oras#b) % 7oras#) 12 7oras#d) 1! 7oras#e) 21 7oras#

1!. (Fgv 200") a igura esto representados dois quadrados de *ado d e dois setores

iru*ares de %08 e raio d4

&abendo que os pontos ', E e $ esto a*in7ados, a soma dos omprimentos do segmento $F

e do aro de irunernia '=, em uno de d, é igua* a

a)Y2( 3 ) Z

@

π +

d

b)(3 )

@

π+

d

)YB( 3 ) Z

12

π +

d

d)(12 )

2B

π+

d

e)Y2( 3 ) Z

12

π +

d

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1A. (Usar 200") Uma pi++a iru*ar ser9 atiada, a partir do seu entro, em setores iru*ares#

&e o aro de ada setor medir 0,A radiano, obtém>se um nKmero m9imo de atias idntias,

sobrando, no ina*, uma atia menor, que é indiada na igura por atia N1#

$onsiderando S 3,1B, o aro da atia N1, em radiano, é

a) 0,!B#

b) 0,!2#) 0,@A#d) 0,"@#e) 0,3B#

1%. (Ug 200") =ese6a>se marar nas tra6etorias iru*ares onentrias, representadas na

igura a seguir, os pontos ' e ;, de modo que dois móveis partindo, respetivamente, dos

pontos ' e ;, no sentido 7or9rio, mantendo>se na mesma tra6etória, perorram dist/nias iguais

até a *in7a de origem#

$onsiderando que o ponto ' dever9 ser marado sobre a *in7a de origem a A m do entro e o

ponto ; a 10 m do entro, o va*or do /ngu*o 9, em graus, ser9 igua* a

a) 30b) 3@) B"d) @0e) !2

20. (?uamp 200") 'o desrever o tipo de sa*to de uma ginasta, um entendido a e*e reeriu4

QEra omo se seus dedos dos pés desrevessem no espao um aro de irunernia de 12B

m de omprimento#Q $onsiderando que ada perna dessa ginasta, 6untamente om seu pé

estiado, este6am em *in7a reta e pera+em @0 m, o osseno do /ngu*o de abertura de suas

pernas era

(Use4 S 3,1)

a) >1d) >1W2e) 1W2

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Gabarito:

Resposta da questão 1: Y'Z

[Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Geora!ia"

.s raios so*ares que atingem a Terra so para*e*os# ?ortanto4

3@0 %00!,2

2 3 !"00θ

° ×= = °

× ×

' idade de '*eandria situa>se no 7emisério norte, território do Egito, onde o so*stíio devero aontee no dia 21 de 6un7o, quando o &o* disp-e sua radiao na perpendiu*ar : *in7ado Trópio de $/ner#

[Resposta sob o ponto de vista da disciplina de #ate$%tica"

$onsidere a igura#

$omo os raios so*ares so para*e*os, segue que µ '.; = θ e, portanto,

» ';

.'

%00

!"00

0,12rad

0,12 1A0!,2 #

3

θ =

=

=× °

≅ = °

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'*ém disso, omo 'ssu e '*eandria esto situadas no 7emisério norte, e o so*stíio de verooorre no ms de 6un7o nesse 7emisério, segue que as observa-es oram rea*i+adas em 6un7o#

Resposta da questão &:

&e ';$= e '


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*bserva+ão: =i+emos que um /ngu*o α é obtuso se %0 1A0 #α° < < °

Resposta da questão ,: Y;Z

$ada minuto do re*ógio orresponde a @o, portanto, @0 @ @@ #α = ° + ° = °

?artindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se des*oa @0min, o ponteiro das 7orasse des*oa 308, temos4

@0min 30

"Bmin

°

β

Cogo, 2! ,β = ° portanto o aro pedido mede @@8 N 2!8 S %38#

$a*u*ando, em entímetros, o omprimento do aro de %38, temos4

%3 2 2031m (onsiderando, 3)

3@0

ππ

° × ×= =

°

Resposta da questão -: Y$Z

. des*oamento do ponteiro das 7oras, em 2" minutos, é igua* a2"

12 30


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3@0 [[[[[[[ B0000m

A,!" [[[[[[

°°

Leso*vendo a proporo, temos4 %!2,2m#=

Resposta da questão /: Y'Z

. aro perorrido pe*o automóve* orresponde a um /ngu*o entra* u6a medida é

21 20< 1 20< 20 rad1A0

rad#%

π° − ° = ° ×

°π

=

?ortanto, sabendo que o raio da Terra mede @#!30 m, vem

= @!30m#%π= ×

Resposta da questão 10: Y$Z

&e6a @ 7oras e minutos a 7ora marada no re*ógio#

. /ngu*o ,α perorrido pe*o ponteiro das 7oras em30

""@

α° −= + minutos, é ta* que

30""

30@2 ""2 @

13 3@0

3@0#

13

αα

α α

α

α

° −+ ° −

= ⇔ = +⇔ = °

°⇔ =

?ortanto,

3@0 2

2 13

!20

13

" "" #13

α = ⇔ = ×

⇔ =

⇔ =

Resposta da questão 11: Y=Z

?9gina 13 de 1@


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2

1 [[[[[[111,32m

3@0 [[[[

B00!@m

°°

≅

Resposta da questão 1&: YEZ

$onsidere a igura#

' ada " minutos orresponde um /ngu*o de3@0

30 #12

°= ° Cogo, 30 ,θ α+ = ° sendo α o

resu*tado pedido#

?or outro *ado, omo o /ngu*o θ orresponde ao des*oamento do ponteiro das 7oras, em 20 minutos, segue que

20min 3010 #

@0minθ

× °= = °

=esse modo,

10 30 20 rad#%

πα α° + = ° ⇔ = ° =

Resposta da questão 1':

'proimadamente 2#%02,!@ m (supondo π S 3,1B)#

Resposta da questão 1(: Y'Z

Resposta da questão 1): a) 1) ' 9rea da superíie terrestre, em m2, é

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BO L2 S B # 3 # (@200)2 S B@12A # 10B

2) ' 9rea da superíie terrestre que est9 aima dos níveis oe/nios, em m2, é

2"P # B@12A # 10B S 11"32 # 10B

3) ' re*ao porentua* entre a 9rea da 'ma+Gnia Cega* e a 9rea da superíie terrestre queno est9 oberta pe*a 9gua dos oeanos é

( )( )

@ 2

B 2

" # 10 m

11"32#10 \S

"00

11"32 ]

] 0,0B33 S B,33P

b) o interva*o de tempo

^t S 100min S 100 # @0s S @,0 # 103s, um ponto na *in7a do equador na superíie terrestre

perorre uma dist/nia ^s dada por4

^s S V ^t S _ L ^t

^s S2

T

π # L # ^t

^s S

( )B@

A,@#10

# @,2 # 10@ # @,0 # 103 (m)

^s ] 2@ # 10" m

^s ] 2,@ # 103 m

) F(p) S F(grav)

m2

VL

S D2

EmL

÷

.bs4 em que4 m S massa do saté*ite e S massa da Terra#

V2 S D

L

÷

V S

DL

÷

Resposta da questão 1,: Y=Z

Resposta da questão 1-: Y'Z

Resposta da questão 1: Y$Z

Resposta da questão 1/: YEZ

Resposta da questão &0: Y=Z

?9gina 1" de 1@


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Resu$o das questes selecionadas nesta atividade

2ata de elabora+ão: 2BW03W201@ :s 0A43A3o$e do arquivo: aro na irunerenia

4eenda:MW?rova S nKmero da questo na provaMW=; S nKmero da questo no bano de dados do &uper?ro`

56prova 5627 Grau62i!. #at8ria 9onte ipo

1#############122012#####édia#############Deograia#######FuvestW2013#########################K*tip*a eso*7a

2#############13@0A2#####;aia#############atem9tia####UnespW201"##########################'na*ítia 3#############1"B@2"#####;aia#############atem9tia####Enem ??CW201"###################K*tip*a eso*7a

B#############13!23A#####édia#############atem9tia####FgvW201"##############################K*tip*a eso*7a

"#############131!0B#####;aia#############atem9tia####D1 > ieW201B#######################K*tip*a eso*7a

@#############132"@3#####E*evada#########atem9tia####UnespW201B##########################K*tip*a eso*7a

!#############123@!2#####;aia#############atem9tia####D1 > tmgW2013###################K*tip*a eso*7a

A#############12"32A#####édia#############atem9tia####UgW2013###############################K*tip*a eso*7a %#############121AA!#####;aia#############atem9tia####Ue*W2013###############################K*tip*a eso*7a

10###########12@1B"#####édia#############atem9tia####FgvW2013##############################K*tip*a eso*7a

11####### ####10%%11######édia#############atem9tia### #UegW2012##############################K*tip*a eso*7a

12###########11B@0"######;aia#############atem9tia####UdesW2012##########################K*tip*a eso*7a

13###########A3BB!### ## ##o deinida# #atem9tia### #UegW200A##############################'na*ítia

1B###########A100"### ## ##o deinida# #atem9tia### #UsarW200@##########################K*tip*a eso*7a

1"###########@3B3%### ## ##o deinida# #atem9tia### #?uspW200@##########################'na*ítia

1@###########@B!%3### ## ##o deinida# #atem9tia### #Ue*W200@###############################K*tip*a eso*7a

1!###########"A%"3### ## ##o deinida# #atem9tia### #FgvW200"##############################K*tip*a eso*7a

1A###########"%01"### ## ##o deinida# #atem9tia### #UsarW200"##########################K*tip*a eso*7a

1%###########"!11B########o deinida# #atem9tia### #UgW200"###############################K*tip*a eso*7a

20###########"AA@%### ## ##o deinida# #atem9tia### #?uampW200"#####################K*tip*a eso*7a

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