Quanten-Chim ara Zust ande in Spin-Systemen · Numerische Ergebnisse Quanten-Spin-System Quanten-Chim ara Zust ande in Spin-Systemen Artur Bakaev, Simon Becker, Andrea Heilrath TU

Numerische Ergebnisse Quanten-Spin-System

Quanten-Chimara Zustande in Spin-Systemen

Artur Bakaev, Simon Becker, Andrea Heilrath

TU Berlin

Projekt im Rahmen der Vorlesung Quantenmechanik II

10.02.2015

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Uberblick

1 Numerische Ergebnisse

2 Quanten-Spin-SystemVerschrankungQuanten-Chimara ZustandeQuantenunordnung und Quantenchaos

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Einfuhrung - Netzwerk gekoppelter Oszillatoren

Ein Chimara Zustand bezeichnet ein Netzwerk gekoppelterOszillatoren, welches Bereiche synchroner und asynchronerDynamik zeigt.

Van der Pol Modell beschreibt Netzwerk gekoppelterOszillatoren durch die nichtlineare DGL

x + ω20x− ε(1−x2)x = 0. (1)

x(t) als komplexe Amplitude x(t) = α(t)e iω0t kann mit ω0

rotierendem Inertialsystem genahert werden

α = (ε

2)(1−|α|2)α. (2)

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Numerisches Modell eines Quanten-Oszillators

α = ε(1−κ|α|2)α (3)

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Gekoppelte Oszillatoren - zeitliche Entwicklung

αn = f (αn)− iσ

2P

n+P

∑j=n−p

αj , (4)

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Gekoppelte Oszillatoren - mittlere Winkelgeschwindigkeit


2P

n+P

∑j=n−P

αj ,

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Kopplung mit exponentiellem Kern - zeitliche Entwicklung


C

n+P

∑j=n−P

e−|n−j |αj , (5)

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Anwendungen

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Verschrankung

Verschrankung

Hilbertraum H = C2⊗C2 und

|ψ〉=1√2

(|0〉⊗ |0〉+ |1〉⊗ |1〉) . (6)

Der reduzierte Zustand lautet

ρ1 =1

2

1

∑k=0

Id⊗〈k|(|0,0〉+ |1,1〉〈0,0|+ 〈1,1|) Id⊗|k〉 (7)

=1

2(|0〉〈0|+ |1〉〈1|) . (8)

Es gilt tr(ρ21 ) = 1

4 + 14 = 1

2 < 1, d.h. der Zustand ist verschrankt.

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Verschrankung

Blochkugel

Jeder Spinzustand schreibt sichals

|ψ〉= α|0〉+ β |1〉 (9)

fur geeignete α,β ∈ C, die|α|2 + |β |2 = 1 erfullen.Nun transformiert man zuα = cos

(θ

2

)und β = e iφ sin

(θ

2

).

φ = 0 ist die Einschrankung aufdie x ,z Ebene.

¿¿

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Quanten-Chimara Zustande


Die klassische Kuramoto Gleichung lautet

θ′i (t) = ω− ν

2M

j+M

∑j=i−M

sin(θi (t)−θj(t) + α). (10)

Ansatz fur quantenmechanisches Modell: N Spin 12 Teilchen mit

Operatoren( Konvention σ+ := σx + iσy )

Ii =hωi

2Id⊗....⊗σz ,i ⊗ ... Id+

hν

2Msin(α) Id⊗...⊗ Id (11)

+hν

2Mcos(α)

i+M

∑j=i−M,j 6=i

(σ+i ⊗σzj −σzi ⊗σ+j) (12)

+hν

2Msin(α)

i+M

∑j=i−M,j 6=i

(σ+i ⊗σ+j + σzi ⊗σzj) . (13)

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Nochmals die klassische Kuramoto Gleichung

θ′i (t) = ω− ν

2M

j+M

∑j=i−M

sin(θi (t)−θj(t) + α). (14)

Im Vergleich dazu

〈θ ,0|Ii |θ ,0〉=hωi cos(θi )

2+

hν

2M

j+M

∑j=i−M

sin(θi −θj + α), (15)

bzw.

hωi cos(θi )

2=−〈θ ,0|Ii |θ ,0〉+

hν

2M

j+M

∑j=i−M

sin(θi −θj + α). (16)

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Der Hamiltonoperator ist gegeben durch

H =N

∑i=1

Ii . (17)

Es gilt σ(H)⊂ R, aber H† 6= H.Probleme: Erhaltung des Skalarprodukts?

d

dt〈ψ,φ〉=

1

i h(〈ψ,Hφ〉−〈Hψ,φ〉)? (18)

Projektion in orthogonale Eigenzustande? H = ∑i Ei |ψi 〉〈ψi |?

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Eigenfunktionen (|ψi 〉)i von H ergeben reduzierte 1-Spin Zustande

ρni = tr{1,..,N}\{i}(|ψn〉〈ψn|). (19)

Wir betrachten nun

Besetzungswahrscheinlichkeit fur θ ∈ [0,2π] mithni = |〈θ ,0|ρn

i |θ ,0〉|.Die lineare Entropie misst Verschranktheit:

Sni = 1− tr((ρ

ni )2) (20)

Fur || id−ρni || ≤ 1 gilt

S =− tr(ρ log(ρ)) =− tr(ρ log(id−(id−ρ)))≈ tr(ρ−ρ2)(21)

= 1− tr((ρ)2). (22)

Koharenz c = |〈↑ |ρ| ↓〉| und Besetzung p = 〈↑ |ρ| ↑〉.12 / 17


Quantenunordnung und Quantenchaos

Husimi-Verteilung hni (θ )

Husimi-Verteilung hni (θ) = |〈θ ,0|ρni |θ ,0〉| als Maß der Verteilung

des i-ten Spins auf dem ”Bloch-Kreis”θ ∈ [0,π]

Husimi-Verteilung Entropie, Koharenz,Up-Population der Spins

¿¿

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Quantenunordnung

Der Entropie-Begriff bedarf einer quantenmech. Erweiterung.

Chimara Zustande klassisch: Das Nebeneinander vonKoharenz und Inkoharenz betrifft raumliche Verteilung vonOszillator-Phasen.

Chimara Zustande im Spinsystem:

Keine Oszillation (Losung Schrodingergl. stationar),keineraumliche Orientierung von Spins und Verschrankung moglich.⇒ anderes Maß zur Quantenunordnung notigDie lin. Entropie der mittleren Zustandsdichte 1− tr [〈ρ〉2].⇒ In dieser Große sind Unordnung und Verschranktheit nichtunterschieden.

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Quantenunordnung im Spinsystem

Unter Berucksichtigung der mittleren Entropie 〈Sn〉= 1N ∑Sn

i

definiert man die Quantenunordnung:

Dn := 1− tr〈ρn〉2−〈Sn〉= 1− tr(〈ρn〉2)−

(1− 1

N

N

∑i=1

tr(ρni )2

)

= tr

(1

N

N

∑i=1

(ρni )2−〈ρn〉2

)= tr

(〈(ρ

n)2〉−〈ρn〉2)

= tr(Var(ρn)).

Dies ermoglicht eine Betrachtung des”reinen Chaos“im

Quantensystem.

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Verschrankung und Unordnung im Chimara System

Gegenuberstellung desQuanten-Chimara Modells mit

regularen Modell: IsingModell von Spin-Kette mitnachst-Nachbar-Kopplung.

chaotisches Modell:Vielteilchen Spin-Kette inWechselwirkung mitturbulentem Magnetfeld.

Anders als ublich, enthalt dasChimara Modell Komponentenvon Unordnung undVerschrankung.

Unordnung in Abhangigkeit vonVerschrankung Dn (〈Sn〉)

¿¿

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The End

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