2015-10-26

1

Estymacja:

• Punktowa (ocena, błędy szacunku)

• Przedziałowa (przedział ufności)

IV. Estymacja parametrów

Załóżmy, że rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej jest opisany dystrybuantą F(x;α), gdzie α jest nieznanym parametrem tego rozkładu; jego wartość będzie szacowana na podstawie n elementowej próby

Estymatorem A(n) parametru α rozkładu zmiennej losowej X jest statystyka , której rozkład zależy od tego parametru.

Oceną a(n) parametru α jest wartość liczbowa ,

jaką przyjmuje estymator A(n) dla konkretnej realizacji próby

.

1

)x,...,x,x(aa n21)n(

)X,...X,X( n21

)X,...,X,X(aA n21)n(

)x,...,x,x( n21

2015-10-26

2

Estymator jest zgodny, jeśli jest stochastycznie zbieżny

do szacowanego parametru; tzn. spełnia warunek

Estymator jest nieobciążony, jeśli jego wartość oczekiwana jest równa szacowanemu parametrowi , tzn. E(A(n)) = α

Estymator jest najefektywniejszy w danej klasie estymatorów, jeśli ma najmniejszą wariancję spośród estymatorów danej klasy.

1)|A(|Plim )n(n0

Różnica A(n)-α jest zmienną losową zwaną błędem szacunku parametru α, jego miarą jest

Jeśli estymator A(n) jest nieobciążony, to błąd szacunku jest wariancją tego estymatora;

wtedy odchylenie standardowe: D(A(n))

zwane jest średnim (standardowym) błędem szacunku parametru α,

a względnym średnim błędem szacunku jest:

2

)n( )A(E

)A(D )n(

2015-10-26

3

Estymacja przedziałowa

DEF: Niech cecha X ma w populacji rozkład z nieznanym parametrem Q. Załóżmy, że na podstawie próby losowej pochodzącej z tej populacji wyznaczono funkcje:

i takie, że:

1. dla każdego zachodzi oraz

2. dla z góry ustalonego prawdopodobieństwa 1 - mamy

Losowy przedział nazywa się przedziałem ufności parametru Q, a ustalone z góry prawdopodobieństwo, z jakim ten przedział pokrywa nieznaną wartość parametru Q,(1 - )

- współczynnikiem (poziomem) ufności.

)X,...,X,X(T n21 )X,...,X,X(T n21

TT )x,...,x,x( n21

1)),...,,(),...,,(( 2121 nn XXXTQXXXTP

)T;T(

Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej ze znanym odchyleniem standardowym

Niech cecha X ma w populacji rozkład ; m – nieznane, - znane. Niech (1 - ) – współczynnik ufności, 0 < < 1

- próba losowa.

Estymatorem parametru m uzyskanym MNW jest średnia arytmetyczna , która ma rozkład

Standaryzując zmienną otrzymuje się zmienną o rozkładzie N(0,1).

),m(N

)X,...,X,X( n21

n

1i

iXn

1X )

n,m(N

X

nmX

U

2015-10-26

4

Niech będzie taką wartością, że

Po podstawieniu za U mamy

Stąd

Na postawie definicji losowy przedział

jest przedziałem ufności dla średniej m, przy współczynniku ufności 1 - .

u

1)uUu(P

1)un

mXu(P

1)n

uXmn

uX(P

)n

uX ; n

uX(

Dysponując konkretną próbą , otrzyma się konkretny przedział liczbowy:

Uwaga: Przedział ufności określony powyższym wzorem ma stałą długość równą , a losowe są tylko jego granice.

)x,...,x,x( n21

)n

ux ; n

ux(

2n

u

Maksymalny błąd szacunku jest równy połowie długości przedziału ufności: (im mniejszy błąd szacunku (węższy przedział), tym większa dokładność oszacowania)

nud x

2015-10-26

5

Przykład 14.

Waga jabłek przeznaczonych na export ma rozkład

normalny z odchyleniem standardowym

równym 30 g.

Zbadano 50 jabłek otrzymując średnią wagę

równą 250 g.

Wyznacz długość przedziału ufności pokrywającego

nieznaną średnią oraz

dokładność oszacowania,

przy współczynniku ufności 1 – α = 0,95.

Wyznacz przedział ufności.

Przykład 14 - rozwiązanie

N(m, 30)

(m – nieznane, - znane)

= 30 g - odchylenie standardowe w populacji

n = 50 - liczebność próby

= 250 g – średnia wyliczona z próby

1 – α = 0,95 – poziom ufności (czyli = 0,05)

X

)50

30502 ;

50

30250( uu

0,9752

α1 025,01u

Przedział ufności:

Długość przedziału ufności: 50

302 u

u odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla

: ?975,0 u

2015-10-26

6

Przykład 14 - rozwiązanie

u0,975= 1,96

Przykład 14 - rozwiązanie

Długość przedziału ufności:

50

302 u

Błąd szacunku:

63,1624,492,3 50

3096,12

31,824,496,150

3096,1

nud x

)31,8502 ; 31,8250(

Przedział ufności:

95,0)31,852 m 69,241( P

2015-10-26

7

Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej

z nieznanym odchyleniem standardowym

Niech cecha X ma w populacji rozkład ; m – nieznane, - nieznane. Niech (1 - ) – współczynnik ufności, 0 < < 1

- próba losowa.

Estymatorem parametru m uzyskanym MNW jest średnia arytmetyczna . Nie można wyznaczyć rozkładu tego estymatora, gdyż nie jest znana wartość parametru .

Wiadomo jednak, że statystyka

ma rozkład t-Studenta z n-1 stopniami swobody, niezależny od . (S – odchylenie standardowe z próby)

),m(N

)X,...,X,X( n21

n

1i

iXn

1X

1nS

mXt

Niech będzie taką wartością, że

Po podstawieniu za t mamy

Stąd

Na postawie definicji losowy przedział

jest przedziałem ufności dla średniej m, przy współczynniku ufności 1 - .

1n,t

1)tUt(P 1n,1n,

1)t1nS

mXt(P 1n,1n,

1)1n

StXm

1n

StX(P 1n,1n,

)1n

StX ;

1n

StX( 1n,1n,

2015-10-26

8

Dysponując konkretną próbą , otrzyma się konkretny przedział liczbowy

Uwaga: Przedział ufności określony powyższym wzorem ma nie tylko losowe granice, ale także losową długość równą (bo S – zmienna losowa).

)x,...,x,x( n21

)1n

Stx ;

1n

Stx( 1n,1n,

1n

St2 1n,

Maksymalny błąd szacunku jest równy połowie długości przedziału ufności:

11,

n

Std nx

Przy tej samej liczebności próby przedział ufności dla średniej m jest na ogół dłuższy, gdy nie jest znane w porównaniu do przypadku, gdy znamy (rozkład t-Studenta ma większe rozproszenie niż rozkład normalny).

Ponieważ rozkład t-Studenta dąży do N(0,1), gdy liczba stopni swobody , to w praktyce przy dużych próbach (n > 120; lub mniej rygorystycznie n > 30) wartość zastępuje się wartością .

1n,t

u

2015-10-26

9

Przykład 15.

Wiadomo, że czas potrzebny na rozwiązanie zadania

ma rozkład N(m, σ).

Chcąc ustalić średni czas potrzebny na rozwiązanie

zadania przeprowadzono eksperyment, polegający

na losowym wybraniu grupy studentów, którym

zmierzono czas rozwiązywania zadania.

Okazało się, że w badanej 10 osobowej grupie średni

czas wyniósł 50 minut, a odchylenie standardowe

15 minut.

Ile wynosi średni czas rozwiązania zadania przy

współczynniku ufności 1 – α = 0,97?

Przykład 15 - rozwiązanie

N(m, )

(m – nieznane, - znane)

S = 15 min - odchylenie standardowe w próbie

n = 10 - liczebność próby (mała próba)

= 50 min – średnia wyliczona z próby

1 – α = 0,97 – poziom ufności (czyli = 0,03)

X

)110

1550 ;

110

1550( 1,1,

nn tt

Przedział ufności:

Z tablic rozkładu Studenta:

9;03,01, tt n

2015-10-26

10

Przykład 15 - rozwiązanie

Tablice rozkładu t-Studenta:

2,57t t 0,03;91nα,

Przykład 15 - rozwiązanie

)110

1557,250 ;

110

1557,250(

Przedział ufności:

)85,1250 ; 85,1250(

)85,62 ; 15,37(

97,0)85,62 m 15,37( P

2015-10-26

11

Przedział ufności dla średniej m w populacji o nieznanym rozkładzie

Niech (duża) próba losowa pochodzi z populacji o dowolnym rozkładzie z nieznaną wartością oczekiwaną m i ze znanym odchyleniem standardowym .

Średnia arytmetyczna , wyznaczana z próby

pochodzącej z populacji o dowolnym rozkładzie, ma

graniczny rozkład ,

a statystyka - rozkład N(0,1).

)X,...,X,X( n21

n

1i

iXn

1X

),(n

mN

nmX

U

Wtedy

Stąd

Uwaga: W tym przypadku przedział ma charakter przybliżony i należy wyznaczać go na podstawie dużej próby (n > 120 lub n > 30).

gdy odchylenie standardowe nie jest znane, a dysponujemy dużą próbą można przyjąć, że , gdzie S – odchylenie standardowe z próby. Wtedy przedział ufności dla m wyznacza się ze wzoru

1)un

mXu(P

1)n

uXmn

uX(P

S

1)n

SuXm

n

SuX(P

2015-10-26

12

Duża próba (n>30) Mała próba (n<30)

ZNANE odchylenie standardowe populacji ()

NIE ZNANE odchylenie standardowe populacji ()

)1

; 1

( 1,1,

n

Stx

n

Stx nn

)n

σux ;

n

σux( αα

) ; (n

Sux

n

Sux

S

Wybór przedziału

Przykład 16.

W centrali telefonicznej przeprowadzono 17 obserwacji długości losowo wybranych

rozmów w ciągu jednego dnia i otrzymano (w min.): = 5,48, S = 1,2; na tej podstawie –

przy założeniu, że długości rozmów telefonicznych mają rozkład normalny –

wyznacz 95%-ową realizację przedziału ufności dla wartości przeciętnej długości rozmowy

telefonicznej przeprowadzonej za pośrednictwem tej centrali w danym dniu.

X

2015-10-26

13

Przykład 16 - rozwiązanie

n = 17 – mała próba = 5,48, S = 1,2, 1 – α = 0,95 ( nie znane)

X

95011

11 ,)n

Stxm

n

StxP( α,nα,n

12,216;05,0 t

950117

2,112,248,5

117

2,112,248,5 ,)m P(

95012,684,4 ,)m P(

)(m 12,6;84,4

Przykład 17.

W centrali telefonicznej przeprowadzono 121 obserwacje długości losowo wybranych

rozmów w ciągu jednego dnia i otrzymano (w min.): = 5,48, S = 1,2; na tej podstawie –

przy założeniu, że długości rozmów telefonicznych mają rozkład normalny –

wyznacz 95%-ową realizację przedziału ufności dla wartości przeciętnej długości rozmowy

telefonicznej przeprowadzonej za pośrednictwem tej centrali w danym dniu.

X

2015-10-26

14

Przykład 17 - rozwiązanie

n = 121 – duża próba = 5,48, S = 1,2, 1 – α = 0,95 nie znane, ale przyjmujemy S X

950,)n

Suxm

n

SuxP( αα

96,1975,0 u

950121

2,196,148,5

121

2,196,148,5 ,)m P(

95069,527,5 ,)m P(

)(m 69,5;27,5

(tak jak w przykładzie 14)

Węższy niż w przykładzie 16!

Przykład 18.

Roczne wydatki na zakup książek przez studentów

pewnej uczelni mają rozkład normalny

o odchyleniu standardowym równym 300 zł.

Jakie jest prawdopodobieństwo,

że w wylosowanej 25-osobowej grupie studentów

średnie roczne wydatki różnić się będą od średnich

wydatków całej zbiorowości

studentów tej uczelni o więcej niż 120 zł?

2015-10-26

15

Przykład 18 - rozwiązanie

N(m, 300) n = 25 mała próba, ale znane ?120 mxP

1201201120 xmxPmxP

120120 xmzatemmx

120120 xmzatemmxlub

120x 120x

Przykład 18 - rozwiązanie

αxmxP 1120120

ααxmxP )1(11201201 - szukamy!

120n

σuα

2300

25120120

σ

nuα

2)

21(

αu

9772,02

1 α

stąd

0456,0α

2015-10-26

16

Prawdopodobieństwo,

że w wylosowanej 25-osobowej grupie

studentów średnie roczne wydatki różnić się

będą od średnich wydatków całej zbiorowości

studentów tej uczelni o więcej niż 120 zł

wynosi 0,0456.

Przykład 18 – odpowiedź:

Przedział ufności dla wariancji w populacji normalnej

Niech cecha X ma w populacji rozkład ; m, – nieznane, - próba losowa; (1 - ) – współczynnik ufności, 0 < < 1

Estymatorem parametru uzyskanym MNW jest wariancja z próby:

Statystyka ma rozkład z n-1 stopniami swobody.

Niech i będą takie, że

i

)X,...,X,X( n21

),m(N

2

2

2n

1i

i

2 )XX(n

1S

2

22 nS

2

2

1-n ;2

1

2

1-n ;2

21)(P 2

1-n ;2

1

2

2)(P 2

1-n ;2

2

2015-10-26

17

Wtedy

a po uwzględnieniu definicji i przekształceniach mamy:

1)(P 2

1-n ;2

22

1-n ;2

1

12

1-n ;2

1

22

2

1-n ;2

2 nSnSP

2

Uwaga: dla dużej próby (n > 30) rozkład można przybliżyć rozkładem normalnym:

1

21

21

n

u

S

n

u

SP

2

Badano zróżnicowanie czasu potrzebnego na wykonanie oprawy książki w zakładzie introligatorskim. Losowo wybrano 20

zamówień i otrzymano, że średnio czas potrzebny na oprawę książki wyniósł 5 godzin,

przy czterogodzinnej wariancji. Zakładamy, że rozkład czasu potrzebnego na

oprawę jest rozkładem normalnym. Jaki wynik uzyskano, jeżeli przyjęto współczynnik ufności

1 – α = 0,90?

Przykład 19.

2015-10-26

18

n = 20 – mała próba,

x = 5 godzin, S2 = 4, 1 – α = 0,90, N(m, )

Przykład 19 - rozwiązanie

9,0420420

2

19 ;2

1,01

2

2

19 ;2

1,0

P

?2

19 ;05,0 ?2

19 ;95,0

144,302

19 ;05,0

117,102

19 ;95,0

Przykład 19 - rozwiązanie

2015-10-26

19

Przykład 19 - rozwiązanie

9,0117,10

80

144,30

80 2

P

9,0907,7654,2 2 P

907,7;654,22

812,2;629,1

Wylosowano 48 ziaren pszenicy i zbadano w nich zawartość białka (w procentach). Otrzymano średnią równą 16,8[%] i

odchylenie standardowe 2,1[%]. Znaleźć 98%-ową realizację przedziału ufności dla wariancji

zawartości białka w ziarnach pszenicy całej partii.

Przykład 20.

2015-10-26

20

n = 48 – duża próba

x = 16,8%, S = 2,1%, 1 - = 0,98 (czyli = 0,02)

Przykład 20 - rozwiązanie

98,0

4821

1,2

4821

1,2

uu

P

99001012

1 ,,α

uα 33,299,0 u

Przykład 20 - rozwiązanie

98,0

96

33,21

1,2

96

33,21

1,2

P

98,0755,2697,1 P

98,0591,7880,2 2 P

591,7;880,22

2015-10-26

21

Przedział ufności dla wskaźnika struktury (frakcji)

Jaki procent badanej zbiorowości generalnej posiada wyróżnioną cechę?

Tylko dla n ≥ 100

u odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla

n

n

X

n

X

un

Xp

n

n

X

n

X

un

X

11

2

1α

uα

W pewnej przychodni wśród losowo wybranych 980 ludzi poddanych prześwietleniu

stwierdzono zmiany chorobowe u 100 osób. Wyznacz 95%-ową realizację przedziału ufności dla frakcji osób chorych spośród wszystkich ludzi obsługiwanych przez tę

przychodnię.

Przykład 21.

2015-10-26

22

Przykład 21 - rozwiązanie

X = 100, n = 980, 1 - = 0,95

980

980

1001

980

100

980

100

980

980

1001

980

100

980

100

upu

0,9752

α1 025,01u 96,1975,0 u

019,0102,0019,0102,0 p

121,0083,0 p

Od 8,3% do 12,1% pacjentów tej przychodni jest chorych – z prawdopodobieństwem 0,95.

Problem minimalnej liczebności próby

Długość przedziału ufności może być miarą dokładności estymacji przedziałowej parametru α. Jakie czynniki wpływają na długość przedziału ufności i czy można otrzymać oszacowanie o pożądanej dokładności rozpatrzmy na przykładzie estymacji wartości oczekiwanej m w populacji normalnej ze znanym odchyleniem standardowym.

2015-10-26

23

-przedział ufności dla średniej

- długość przedziału ufności

Dokładność estymacji parametru m zależy od:

• przyjętego współczynnika ufności 1 - ,

• dyspersji cechy w populacji - (stała),

• liczebności próby.

)n

uX ; n

uX(

n

u2

Przedział ufności można „skrócić” poprzez przyjęcie niskiej wartości współczynnika ufności lub zwiększenie liczebności próby. Przyjęcie niskiej wartości współczynnika ufności zwiększa prawdopodobieństwo tego, że otrzymany przedział nie pokryje wartości estymowanego

parametru, zatem lepiej wpływać na dokładność szacunku poprzez ustalenie „dobrej” liczebności próby.

2015-10-26

24

Chcemy, aby maksymalny błąd szacunku (połowa długości przedziału ufności) nie przekraczał ustalonej wartości d, tzn.:

stąd

Więc minimalna liczebność próby zapewniająca, że błąd szacunku nie przekroczy d wynosi

dn

u

2

22

α

d

σun

minn

Nd

u

d

u

Nd

u

d

u

n

2

22

2

22

2

22

2

22

min

gdy 1

gdy

Przykład 22.

Ilu studentów należy wziąć do próby,

aby przy współczynniku ufności 0,90 oszacować

średni wynik ogółu studentów tej uczelni w skoku

wzwyż za pomocą przedziału ufności o rozpiętości

2 cm?

Przyjąć odchylenie standardowe równe 5 cm.

2015-10-26

25

Przykład 22 - rozwiązanie

1 - = 0,90 = 5 cm.

cm 2 2 n

u

czyli: 2d = 2, stąd: d = 1

2

22

d

σun α 95,0

1,0

21u 65,195,0 u

0625,681

565,12

22

n

6916810625,68min n

N

Należy do próby wziąć co najmniej 69 studentów.