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7/25/2019 puente narrow
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MAESTRIA EN INGENIERIAESTRUCTURALMODULO 1: MATEMATICA APLICADA
PROYECTO FINAL
Estudio del colapso del puete Taco!a Na""o#s
GRUPO $
No!%"es:
Pa%lo Ro!ao &ald'
Die(o )ui"o(a Mo"eo
I*a A!pue"o
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Coc+a%a!%a , -oli*ia
Escuela Militar de Ingeniera
Unidad de Postgrado Cochabamba
Programa de Maestra en Ingeniera Estructural
Mdulo 1: Matemtica Aplicada
P"o.ecto Fial
G"upo $
Estudio del colapso del puete Taco!a Na""o#s
m x' '+F(x )=g (t)
m x' '+kx=sin(4 t) /Ecuaci0 1
x' '+
k
mx=
sin(4 t)m
Solucin a la ecuacin homognea
m2+
k
mm=0
m=k
mi
xc=c1cos (k
mt)+c2sin(
k
mt)
Solucin particular
xp=A sin(4 t)
xp' '=16Asin (4 t)
!eempla"ando en Ecuacin 1
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m16Asin (4 t)+kA sin (4 t)=sin(4 t)
A= 1
k16m
x=c1cos(kmt)+c2 sin(km t)+ 1k16m sin (4 t) /Ecuaci0 2
Iciso 1Condiciones de borde
x (0)=c1cos(kmt)+c2 sin(kmt)+ 1k16msin ( 4 t)=0
c1=0
x (0)'=c2kmcos(kmt)+ 4k16mcos (4 t)=
x (0)'=c2km+ 4k16 m=
c2=( 4k16m )mk #Ecuacin $%
c2=(k16 m4k16m )mk
x=( k16 m4k16m )mk sin (kmt)+ 1k16msin(4 t) #Ecuacin &%! 131 132 &( sin#&t%
4/5 '46/5
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x=c1cos (2t)+c
2sin (2 t)+
1
12sin (4 t) #En traccin%
x=c1cos (t)+c
2sin (t)+ 1
15
sin (4 t) #En compresin%
(bser)aciones:
1* Si se anali"a en coordenadas locales de un ciclo determinado+ estas
ecuaciones se pueden e,presar -a sea con c1 o c. igual a cero* /ado
0ue el periodo #Constante 0ue multiplica a t en la uncin sinusoidal%+
del termino de la carga es un multiplico de . - el periodo de los otros
trminos* Siempre es posible actori"ar una uncin sinusoidal de la
e,presin+ - por lo tanto+ sal)o combinaciones particulares de las
constantes cada ciclo es de periodo constante*.* El periodo de la cur)a a traccin es de 2.
$* El periodo de la cur)a a compresin es de &* El periodo de un ciclo completo de traccin - compresin ser de:
$2.3* 4os periodos de ambas cur)as son independientes de alpha #primera
deri)ada en el inicio del ciclo o cuando la deormacin es '% si el
sistema no se )a reduciendo* #Caso especial en 0ue el otro trmino de
la actori"acin mencionada se hace cero en su inter)alo%*5* En la ecuacin $ el )alor de c. nos indica la deormacin m,ima 0ue
puede tener el ciclo+ se puede asumir 0ue
k acota
apro,imadamente el ciclo #ignorando el )alor pe0ue6o del otro
trmino%*7* El signo de alpha determina por0ue cur)a empie"a la gr8ca+ si es
positi)o comien"a en traccin si en negati)o a compresin*
'*' pi '*. pi '*& pi '*5 pi '*9 pi 1*' pi 1*. pi 1*& pi
:1.
:1'
:9
:5
:&
:.
'
.
&
5
G"78ca N9 1 De;o"!aci0 co alp+a < 15 e u ciclo 5 = t = $>2
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'*' pi '*. pi '*& pi '*5 pi '*9 pi 1*' pi 1*. pi 1*& pi
'*3
'*&
'*$
'*.
'*1
'
'*1
'*.
'*$
G"78ca N9 2 De;o"!aci0 co alp+a < 5 e u ciclo 5 = t = $>2
'*1 pi '*1 pi '*$ pi '*3 pi '*7 pi '*; pi 1*1 pi 1*$ pi 1*3 pi
1.
1'9
5
&
.
'
.
&
5
G"78ca N9 $ De;o"!aci0 co alp+a < ,15 e u ciclo 5 = t = $>2
' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''
'
.
&
5
9
1'
1.
G"78ca N9 ? De;o"!aci0 co alp+a < 1 e u ciclo 5 = t = 155
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' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''
'
.
&
5
9
1'
1.
G"78ca N9 @ De;o"!aci0 co alp+a < ,1 e u ciclo 5 = t = 155
' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''
'
.
&
5
9
1'
1.
G"78ca N9 De;o"!aci0 co alp+a < 155 e u ciclo 5 = t = 155
4as gr8cas entre el periodo ' < 1'' #de )arios ciclos% ueron construidas
despus del anlisis hecho en los incisos . - $*
Coclusioes
1* Cada ciclo el )alor de alpha )a incrementando en )alor #ma-or si es
positi)o menor si es negati)o%* #/emostrado en inciso .%*.* Alpha #la primera deri)ada del despla"amiento en el tiempo%+ es la
)elocidad de deormacin del cable*$* A ma-or )elocidad ma-or la deormacin m,ima en el ciclo* En
proporcin lineal*&* En el puente esto implica 0ue el cable ira deormndose cada )e"
ms hasta superar los lmites de resistencia= el puente alla*
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E)aluando en ,>#'%
x'=2(2 + 16 )13
x'= SI cumple condicin de borde .
x(
2)=
1
6sin () [3+1cos ()]
x(
2)=
1
6sin () [3+1cos ()]
x( 2)=0
x '(
2)=2(2 + 16 )cos ()13 cos (2)
x'
(2)=2(2 + 16 )13
x '(
2)=(+
2
3)
'* pi '*1 pi '*. pi '*$ pi '*& pi '*3 pi '*5 pi
'*'3
'*1'
'*13
'*.'
'*.3
G"78ca N9 B: p"i!e" t"a!o co alp+a < 5 e ite"*alo 5 = t = pi>2
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'* pi '*1 pi '*. pi '*$ pi '*& pi '*3 pi '*5 pi
1*''
.*''
$*''
&*''
3*''
5*''
G"78ca N9 : p"i!e" t"a!o co alp+a < 15 e ite"*alo 5 = t = pi>2
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Iciso $!ango a compresin #?1%
x=c1cos(
km
t)+c2 sin(km
t)+ 1
k16msin (4 t)
x=c1cos ( t)+c
2sin ( t) 1
15sin (4 t)
x'=c
1sin ( t)+c
2cos ( t) 4
15cos (4 t)
Condiciones de borde
x( 2)=c
2=0
x '(
2)=c
1
4
15=(+
2
3)
c1=+
2
5
4uego
x=(+ 25 )cos (t) 115 sin (4 t)
sin (4 t)=2sin (2 t) cos (2 t)=4sin ( t) cos ( t) cos (2 t) #identidad trigonomtrica%
x=(+ 2
5 )cos (t) 4
15sin ( t)cos ( t) cos (2 t)
x=cos (t) [(+ 25 ) 415 sin ( t) cos (2 t)]
x'=(+ 25 )sin (t) 415 cos (4 t)
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x(32)
=0
x '
(3
2
)
=
(+
2
5
)
4
15
x '( 32)
=+ 2
15
'*' pi '*. pi '*& pi '*5 pi '*9 pi 1*' pi 1*. pi 1*& pi
'*3
'*&
'*$
'*.
'*1
'
'*1
'*.
'*$
G"78ca N9 : p"i!e" t"a!o co alp+a < 5 e ite"*alo 5 = t = $>2 pi
'*' pi '*. pi '*& pi '*5 pi '*9 pi 1*' pi 1*. pi 1*& pi
:1.
:1'
:9
:5
:&
:.
'
.
&
5
G"78ca N9 15: p"i!e" t"a!o co alp+a < 15 e ite"*alo 5 = t = $>2
pi
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'*' pi .*' pi &*' pi 5*' pi 9*' pi 1'*' pi 1.*' pi
1*3
1
'*3
'
'*3
1
G"78ca N9 11: De;o"!aci0 co alp+a < 5 e ite"*alo 5 = t = 12 pi
/SOLUCION DE LA EDO
O%se"*acioes1* Cada ciclo el )alor de alpha #giro inicial% incrementa en .213 respecto
al ciclo anterior*
i=i1+ 2
15
.* @acia el in8nito el )alor de alpha inicial no es rele)ante -a 0ue el girotiende al in8nito*
$* En ciclo de traccin la deormacin est acotada por:
2+ 1
15n+c (pequea)
/onde n es ciclo*&* En ciclo de compresin la deormacin est acotada por:
+6+n15
+c(pequea)
/onde n es ciclo3* Cuando t se encuentra en los lmites entre ciclos+ la deormacin es
nula+ sin embargo el giro #la primera deri)ada% incrementa cada ciclo
en un )alor constante+ lo 0ue hace 0ue la deormacin m,ima en el
ciclo sea cada )e" ma-or*
t=3
2n
/onde n es el ciclo #desde ' al in8nito%5* @acia el in8nito la deormacin tambin tiende al in8nito+ lo 0ue
e,plicara el colapso del puente*
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Iciso ?
A31
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c2=2
1
10
x=
(
2
110
)sin (2 t) 1
12sin ( 4 t)
Periodo #de8nido por sin#.t%% es igual a 2.
x'( 32 )=2(2 110 )cos (2 t) 412 cos (4 t)= 215
Si alpha uera negati)o+ 1er tramo sera a compresin*
x=c1cos (2t)+c
2sin (2 t) 1
12sin (4 t)
x (0 )=c1=0
x'(0 )=2c
2cos (2 t) 4
12cos (4 t)=
c2=
2+ 16
x=(2 + 16 )sin (2 t) 112 sin (4 t)
Periodo #de8nido por sin#.t%% es igual a /2
x'( /2 )=2
(
2
+1
6
)cos (2 t) 4
12
cos (4 t)=2
3
.do tramo a traccin*
x=c1cos (t)+c
2sin (t) 1
15sin (4 t)
x ( /2 )=c2=0
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x'( /2 )=c
1sin ( t)
4
15cos (4 t)=
2
3
c1=+
2
5
x=(+ 25 )cos (t) 115 sin (4 t)
Periodo #de8nido por cos#t%% es igual a
x'(3/2 )=(+ 25 )sin ( t) 415 cos (4 t)=+ 215
Como alpha inicial es igual a 1= - el )alor de la )elocidad )a decreciendo
ciclo a ciclo+ analicemos el 9)o ciclo #cuando alpha pasa a ser negati)o%*
= 1
15
[ x=( 13 )sin ( t) 115 sin (4 t) 0
x=(215)
sin (2 t)1
12 sin (4 t) 3
2
Bra8cando entre ' - $/2
' '*. '*& '*5 '*9 1 1*. 1*& 1*5
'*$
'*.
'*1
'
'*1
'*.
'*$
'*&
'*3
G"78ca N9 12 Octa*o Ciclo
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otamos 0ue e,iste otro punto en 0ue la gr8ca cru"a el eDe t+ en el tramo a
compresin* Igualamos , a cero para encontrar el )alor*
x=(215)sin (2t) 212 sin (2 t) cos (2 t)=0
t=acos(
1215
)
2=1.249 #uera del rango%
t2=t+=4.39063843=1.397583
tC . absolutas=73
2+4.39063843=37.37736129
Comprobamos
x (t2 )=(215)sin (2 t2) 112 sin (4 t2 )=0.08+0.08=0
4uego el cambio de ecuacin sucede en la posicin de t.- no en $2. -:
x'(t2 )=
415
cos (2 t2 )1
3sin (4 t2 )=
8
15
Ciclo ;+ 1'+ 11+ 1. se comporta normalmente hasta 0ue ,F' - ,>F'+
Ciclo 1$:
[ x=( 4
15 )sin ( t) 115 sin (4 t) 0x=(110)sin (2 t) 112 sin (4 t) 32
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' '*3 1 1*3 . .*3 $ $*3 & &*3 3
'*.
'*1
'
'*1
'*.
'*$
'*&
G"78ca N9 1$ T"ecea*o ciclo
Guel)e a intersectar al eDe antes de completar periodo #en tramo .%*
(110)sin (2 t) 112 sin (4 t)=0
(110) 212 cos (2t)=0
t=acos(
610
)
2=1.107148 #uera de rango%
t2=t+=4.248741
x'(t2 )=
16
75
En el ciclo 13 )uel)e a cru"ar el origen antes de cumplir periodo donde
x'(t2 )=
16
75
2
15=
2
25
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[ x=( 2
25+ 4
15 )sin (t) 115 sin (4 t) 0x=(125 110 )sin (2 t) 112 sin (4 t) 32
(875 110 )16 cos (2 t)=0
t=acos(
2125
)
2=4.425632
x'
( t)=1
5
Ciclo 15 es regular con
x'( t)=
1
5
2
15=
1
15
Condicin igual al ciclo 9+ por lo tanto se repite el rango del ciclo 915
' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''
1
'*3
'
'*3
1
1*3
G"78ca N9 1?9 Soluci0 de la EDO iciso a9 et"e ite"*alos 5 = t =
155
(bser)aciones:
1* Cuando alpha #la )elocidad inicial de un determinado ciclo% es
positi)a+ )a disminu-endo hasta un ciclo en el 0ue la gr8ca cru"a elorigen antes de completar el ciclo #ciclo ms corto%= el siguiente ciclo
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de uno de estos cortes tiene un incremento en )elocidad 0ue -a
disminu-endo hasta el siguiente ciclo corto*.* El sistema con alpha inicial F 1 #Condicin base del problema% se
estabili"a disminu-endo )elocidades - deormaciones hasta una
)ibracin estable= con nuestros )alores propuestos esta estabili"acin
sucede a tF$7*$9*$* HaDo esta hiptesis el puente no debera haber allado la )ibracin se
amortigua como muestra la gr8ca*&* Esta estabili"acin se debe a 0ue debido a la in)ersin de resistencias
#traccin% J #compresin% la )elocidad )a disminu-endo en )e" de
aumentar*
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-31
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Periodo #de8nido por t1% es igual a 0.41545
.do tramo a compresin
x=c1cos (2t)+c
2sin (2 t)
1
12sin (4 t)
Condiciones de borde
x (t1 )=0
x'( t1)=0.90907
[ cos2 t sin2 t2sin2t 2cos2 t][
c1c2]=[
0
+
1
12sin 4
t
0.90907+1
3cos4 t]
[c1c2]=0.4028450.25538
x=0.402845cos (2 t)0.25538sin (2t) 1
12sin (4 t)
Encontrando interseccin de la ecuacin #sotKare+ no se puede despeDar%
t2=2.140297463
x'( t2 )=20.402845sin (2 t)20.25538cos (2t)
1
3cos (4 t)
x
'
( t2
)=1.162088
Siguiente ciclo en traccin*
x=c1cos (8 t)+c
2sin (8 t)+
1
48sin (4 t)
[ cos 8t sin 8 t8sin 8 t 8cos8 t][c1c2]=
[
0 1
48sin 4 t
1.162088
1
12 cos 4 t
]
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t2=2.14032
[c1c2]= 0.152640.00801
x=0.15264cos (8t)0.00801sin (8 t)+ 148
sin (4 t)
t3=2.53483
x'( t3 )=1.28089
Ciclo en compresin
x=c1cos (2t)+c
2sin (2 t) 1
12sin (4 t)
[ cos2 t sin 2 t2sin2t 2cos2 t][c1c2]=[ 0+
1
12sin 4 t
1.28089+1
3cos4 t]
t3=2.53483
[c1c2]=0.737050.21685
x=0.73705cos (2t)0.21685sin (2 t)1
12sin (4 t)
t4=4.045340
x'( t3 )=1.831375
Siguiente ciclo en traccin*
x=c1cos (8 t)+c
2sin (8 t)+
1
48sin (4 t)
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[ cos 8t sin 8 t8sin8 t 8cos8 t][c1c2]=[ 0
1
48sin 4 t
1.831375 1
12cos 4 t]
t5=4.045340
[c1c2]=0.187750.14688
x=0.18775cos (8 t)+0.14688sin (8 t)+ 148
sin (4 t)
t6=4.42306
x'( t3 )=1.867479
Ciclo en compresin
x=c1cos (2t)+c
2sin (2 t) 1
12sin (4 t)
[ cos2 t sin 2 t2sin 2t 2cos2 t][c1c2]=[ 0+
1
12sin 4 t
1.867479+1
3cos4 t]
t3=4.42306
[c1
c2]=0.53793
0.68393
x=0.53793cos (2 t)+0.68393sin (2 t)1
12sin (4 t)
t4=5.90206
x'(t4 )=1.716849
Manteniendo el mismo procedimiento para ms ciclos*
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' 1 . $ & 3 5 7 9 ; 1'
1*.
1
'*9
'*5
'*&
'*.
'
'*.
'*&
G"78ca N9 1@9 Soluci0 de la EDO pa"a pe"iodo 5 = t = 15
' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''
1*.
1
'*9
'*5
'*&
'*.
'
'*.
'*&
G"78ca N9 1@9 Soluci0 de la EDO pa"a pe"iodo 5 = t = 155
(bser)aciones:
1* En la gr8ca con periodo hasta el 1'' se obser)a 0ue la deormacin
del cable )a disminu-endo hasta estabili"arse en el in8nito= el puente
no alla*
.* 4a estabili"acin se debe a la resistencia asignada al cable km esma-or en comparacin a la oscilacin de la carga #&%*
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C31
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x'( t2 )=0.61791
!epitiendo el proceso para ms ciclos*
' '*3 1 1*3 . .*3 $ $*3 & &*3 3
'*.3
'*.
'*13
'*1
'*'3
'
'*'3
'*1
'*13'*.
G"a8ca N9 19 Soluci0 de la EDO e ite"*alo 5 = t = @
' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''
'*&
'*$
'*.
'*1
'
'*1
'*.
'*$
G"a8ca N9 1B9 Soluci0 de la EDO e ite"*alo 5 = t =155
(bser)aciones
1* Al no ser los periodos de )ibracin por la resistencia del cable # km %mLltiplos de . por el periodo de la carga #&%+ o )ice)ersa* 4os ciclos
tienes rango )ariable*.* A largo pla"o el sistema se mantiene acotado+ el puente no alla*
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Iciso @Solucin general
x' '
+ x'
+F(x )=g+sen(t)
x' '+ x '+!x=g+sen (t)
Polinomio caracterstico:
m2+m+!=0
m=
24!2
m=2
4!2
2i
4!2
2+c
2e2sin
4!2
2
xc=c1 e2cos
xp=A+" sint+Ccost
xp'="costCsint
xp' '="2 sintC 2cost
A=
g
!
[ !2
! 2 ]["C]=[0]
["C]= 12 2+!22! 2+4 (!2)
si las condiciones de borde:
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[x (t0 )x '(t0 )]=[##']
[ e
$tcos
it e
$tsin
ite$t($cos itisin it) e$t($ sin iti cos it)][
c1c2]
=[#A"
sintC
cost
#'" cost+C sint]
4uego usando los )alores
?1F 17+ ?.F1$+ NF'*'1+ gF1'
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A
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31/36
-# < ? < 595? 4/51B 4H/5
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CEl estado estable de la E/( se obtiene utili"ando solo los terminos de la
solucin particular+ - es resultado es una cur)a estable+ es decir acotada por
)alores constantes:
G"78ca N9 21 Estado Esta%le de la EDO
G"78ca N9 22 T"!io t"asito"io de la EDO
1* El Ormino transitorio se obtiene utili"ando solamente la solucin
particular de la Ecuacin.* El estado estable corresponde a la solucin caracterstica de la
Ecuacin dierencial homognea*
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D
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' 3 1' 13 .' .3 $' $3 &' &3 3'
1*.
1
'*9
'*5
'*&
'*.
'
G"a8ca N9 29 Soluci0 co
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