-
MAINSKI FAKULTET SARAJEVO NUMERIKE METODE U ININJERSTVU Datum:
10.04.2012.god
Prvi semestralni ispit (zadaci) - rjeenja
Zadatak 1 Objekat koji pada vertikalno kroz zrak izloen je
viskoznom otporu zraka i utjecaju gravitacije. Ako je objekat mase
m, baen s visine 0, funkcija promjene visine () data je
izrazom:
() = 0
+22
1
gdje je = 10 /2 gravitaciono ubrzanje, = 1,5 / koeficijent
otpora zraka, te = 0,5 i 0 = 90 . Koristei metodu regula falsi
izraunati vrijeme potrebno da objekat padne na zemlju, ali tako da
je zadovoljen uslov < 1% , ako se zna da je < 50 .
Rjeenje
Nakon sreivanja i uvrtavanja poznatih vrijednosti problem se
svodi na rjeavanje funkcije:
() = 90 103 +
109
(1 3) = 0
Uzimajui u obzir uslov u postavci zadatka je < 50 i injenicu
da je > 0 , uzimam te vrijednosti za granice intervala,
dakle:
= 0
= 50
Ipak, provjerimo da li ima nula na uzetom intervalu:
() = (0) = 90
() = (2) = 75,555
Vidi se da je () () < 0 i sad smo sigurni da se nula nalazi u
posmatranom intervalu, pa moemo krenuti sa iterativnim
postupkom.
=
() () () = 50
50 075,555 90
75,555 = 27,1812
() = (27,1812) = 0,507
Provjerimo sad na kojem podintervalu je ostala nula funkcije
() () > 0
() () < 0
Na osnovu nejednakosti se zakljuuje da je nula funkcije ostala
izmeu i b, pa sljedei interval na kojem se trai nula ide od 27,1812
do 50.
-
=
() () () = 50
50 27,181275,555 0,507
75,555 = 27,333
Sad provjeravamo da li je zadovoljen uslov tj. da li je <
0,1%:
= +1
+1 100 =
27,333 27,181227,333 100 = 0,55% < 1%
Traena tanost je zadovoljena tj. 0,55% < 1%, pa se moe
konstatovati da je traena nula funkcija u = 27,333 .
-
Zadatak 2 Dati sistem jednaina rijeiti koristei Gauss-Seidelovu
metodu:
1 + 2 + 103 = 12 1 102 + 3 = 8 101 + 2 23 = 9
Uraditi neophodne izmjene kako bi postupka rjeavanja
konvengirao. Kao poetnu aproksimaciju korisiti: 1
(0) = 2(0) = 3
(0) = 0
Iterativni postupak zaustaviti kada bude zadovoljeno () 0,1.
Rjeenje S obzirom da nije ispunjen uslov konvergentnosti, tj.
dati sistem napisan u ovom obliku nije dijagonalno dominantan,
neophodno je izvriti promjenu redoslijeda jednaina, kako bi imali
konvergenciju. To se, u ovom sluaju, ostvaruje zamjenom prve i tree
jednaine, pa dobivamo:
101 + 2 23 = 9 1 102 + 3 = 8 1 + 2 + 103 = 12
Sad se mogu formirati formule z izraunavanje aproksimacija po
Gauss-Seidelovom metodu.
1 =1
10(9 2 + 23)
2 =1
10(8 + 1 + 3)
3 =1
10(12 1 2)
Iste formule sa brojaima iteracija (-broja iteracija).
1(+1) =
110
9 2() + 23
()
2(+1) =
110
8 + 1(+1) + 3
()
3(+1) =
110
12 1(+1) 2
(+1) Poetne aproksimacija je: 1
(0) = 2(0) = 3
(0) = 0, pa emo za ove vrijednosti provjeriti tanost:
1 (0) = 101(0) + 2
(0) 23(0) 9 = 9
2 (0) = 1(0) 102
(0) + 3(0) + 8 = 8
3 (0) = 1(0) + 2
(0) + 103(0) 12 = 12
Vidimo da nije zadovoljena traena tanost () 0,1 pa radimo prvu
iteraciju.
-
Prva iteracija:
1(1) =
110
9 2(0) + 23
(0) =1
10(9 0 + 2 0) =
910
= 0,9
2(1) =
110
8 + 1(1) + 3
(0) =1
10(8 + 0,9 + 0) = 0,89
3(1) =
110
12 1(1) 2
(1) =1
10(12 0,9 0,89) = 1,021
Provjeravamo da li je zadovoljena traena tanost nakon prve
iteracije.
1(1) = 101(1) + 2
(1) 23(1) 9 = 1,152
2(1) = 1(1) 102
(1) + 3(1) + 8 = 1,021
3(1) = 1(1) + 2
(1) + 103(1) 12 = 0,00
Traena tanost nije zadovoljena pa se nastavlja sa iterativnim
postupkom. Ostale iteracije su prikazane u tabeli:
k ()
() () () () ()
0 0 0 0 -9 8 -12 1 0,9 0,89 1,021 -1,152 1,021 0 2 1,0152
1,00362 0,998118 0,159384 -0,02288 0 3 0,999262 0,999738 1,0001
-0,00785 0,001982 0
Iz tabele se moe vidjeti da je u treoj iteraciji zadovoljena
tanost koja se od nas trai tj. () 0,1. Ili zapisano na oigledniji
nain
1() = 0,00785 0,1
2() = 0,001982 0,1
3() = 0 0,1
I na kraju se moe konstatovati da je traeno rjeenje sistema, za
zadatu tanost, sljedee:
1 = 0,999262 2 = 0,999738 3 = 1,0001
-
Zadatak 3
Uspjeh na ispitu zavisi iskljuivo od vremena utroenog na
spremanje ispita. Jedan student je odluio da tu zakonitost opie
matematiki. Proveo je istraivanje meu kolegama koji su poloili taj
ispit i doao do sljedeih podataka:
Pripremanje ispita [sedmica] 0 2 4 Uspjeh na ispitu [bodovi] 40
40 80
Dalje je zatraio vau pomo. Rekao vam je da mu iz tog predmeta
treba najmanje ocjena 7 kako bi i dalje imao pravo na
stipendiju.
Vi ste vidjeli podatke i elite ih interpolirati kvadratnim
splajnovima. Vi ete to i uraditi, zatim ete mu skicirati grafik i
izraunali koliko vremena treba uiti da bi dobio najmanje ocjenu 7,
tj. da bi osvojio 65 bodova na ispitu.
Rjeenje:
Kvadratnim splajnom je potrebno interpolirati podatke u
tabeli
i ix ( )if x 0 0 0 1 2 40 2 4 80
Iz uslova neprekidnosti funkcije slijedi:
21 1 1 1 1 1
22 1 2 1 2 1
( )
( )
a x b x c f xa x b x c f x
+ + =
+ + =
Iz uslova da funkcija prolazi kroz prvu i zadnju taku slijedi
2
1 0 1 0 1 02
2 2 2 2 2 2
( )
( )
a x b x c f x
a x b x c f x
+ + =
+ + =
Iz uslova da funkcija bude glatka slijedi:
1 1 1 2 1 22 2a x b a x b+ = + Iz uslova da je drugi izvod u
prvoj taki jednak nuli slijedi:
12 0=a Nakon uvrtavanja vrijednosti dobiva se sistem od est
jednaina sa est: 2 1 + 1 = 40 (1) 42 + 2 2 + 2 = 40 (2) 1 = 40 (3)
162 + 4 2 + 2 = 80 (4) 1 = 42 + 2 (5) 1 = 0 (6)
-
Kada se rijei ovaj sistem dobiju se sljedee vrijednosti traenih
koeficijenata:
1 = 0, 1 = 0, 1 = 40
2 = 10, 2 = 40, 2 = 80
koje kad se supstituiraju u originalne kvadratne
funkcije(splajnove) dobije se:
1() = 40 0 2
2() = 102 40 + 80 2 4
Potrebno je sada izraunati koliko vremena treba uiti da bi dobio
najmanje ocjenu 7, tj. da bi osvojio 65 bodova na ispitu.
Ovo emo uraditi preko drugog splajna:
65 = 102 40 + 80
1,2 =b b2 4ac
2a=
40 1600 60020
= 3,58
Je jedino mogue rjeenje.
Student za ocjenu sedam mora pripremati ispit najmanje 3,58
sedmica.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
-
0; 0
2; 40
3,25; 65
4; 80
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1 2 3 4 5
Series1
Series2
