MAINSKI FAKULTET UNIVERZITET U NIU

KATEDRA ZA PROIZVODNO MAINSTVO

Predmet:

MODELIRANJE I OPTIMIZACIJA PROIZVODNIH PROCESA

Predmetni nastavnik:

Dr Trajanovi Miroslav, vanr.prof.

MODELIRANJE ZA ANALIZU METODOM KONANIH ELEMENATA

Ni, 2001.

SADRAJ

1.UVOD .....................................................................................................5

2. OSNOVE METODE KONANIH ELEMENATA..............................7 2.1. Osnovni pojmovi.................................................................................................... 7 2.2.Osnove mehanike kontinuuma................................................................................ 7 2.3. Specijalni sluajevi 3D naponsko-deformacionog stanja .................................... 24 2.4. Deformacioni rad (energija deformacije)............................................................. 27 2.5. Matrina formulacija osnovnih jednaina linearne statike analize ................... 30

3. STRUKTURNA ANALIZA ................................................................33 3.1. Definicija strukturne analize ................................................................................ 33 3.2. Tipovi strukturne analize ..................................................................................... 33 3.3. Statika analiza ................................................................................................... 33 3.4. Dinamika analiza................................................................................................ 34 3.5. Termika analiza.................................................................................................. 35 3.6. Nelinarna analiza ................................................................................................. 36

4. TIPOVI KONANIH ELEMENATA.................................................37 4.1.Osnovni pojmovi................................................................................................... 37 4.2. Linijski konani elementi..................................................................................... 37 4.3. Ravanski konani elementi ................................................................................. 38 4.4. Prostorni konani elementi .................................................................................. 39 4.5. Interpolacione funkcije ........................................................................................ 41 4.6. Izoparametarski elementi ..................................................................................... 41

5. SAGLEDAVANJE PROBLEMA MODELIRANJA ZA ANALIZU METODOM KONANIH ELEMENATAError! Bookmark not de

5.1. Uvod..................................................................... Error! Bookmark not defined. 5.2. Proces analize struktura metodom konanih elemenataError! Bookmark not defined. 5.3. Osnove SADT tehnike za analizu aktivnosti ....... Error! Bookmark not defined. 5.4. Analiza aktivnosti pri statikoj analizi struktura na bazi geometrijskog modela......................................................................... Error! Bookmark not defined. 5.5. Detaljna analiza aktivnosti procesa pripreme podatakaError! Bookmark not defined. 5.6. Greke pri analizi struktura metodom konanih elemenataError! Bookmark not defined.

6. PRIMERI..............................................Error! Bookmark not defined. 6.1. Uvod..................................................................... Error! Bookmark not defined. 6.2. Analiza napona i deformacija konzole................. Error! Bookmark not defined. 6.3. Primeri idealizacije .............................................. Error! Bookmark not defined.

7. ZAKLJUAK ......................................Error! Bookmark not defined.

8. LITERATURA.....................................Error! Bookmark not defined.

1.UVOD

Metod konanih elemenata je, kao najrazvijeniji i skoro potpuno taan,najee primenjivan postupak za analizu struktura u mainstvu. Upotreba ovog metoda omoguava gotovo taan proraun svih bitnih veliina za funkcionalnost odreene mainske strukture. Teoretske osnove metoda konanih elemenata su postavljene pedestih godina, ali u praktinu primenu ulazi sa intenzivnijom primenom raunara. Nastao je iz potrebe za izraunavanjem napona i deformacija, a sa razvojem samog metoda poveavao se i broj veliina koje se mogu izraunati u okviru statike, dinamike, termike, elektro-magnetne analize...

to se tie opravdanosti upotrebe MKE, ako se poe od injenice da je kod struktura sloenih oblika skoro nemogue na klasian nain izraunati eljene veliine ili ih je nemogue izraunati sa zadovoljavajuom tanou, opravdanost upotrebe MKE se ne dovodi u pitanje.

S obzirom na to da se metodom konanih elemenata dobijaju gotovo tane vrednosti veliina u strukturi, korist je viestruka. To se pre svega odnosi na pouzdanost sistema, ali i na smanjivanje dimenzija delova u sistemu to direktno uzrokuje smanjenje potrebnog prostora za ugradnju, manji utroak materijala, skraenje vremena ispitivanja prototipa, manju cenu kotanja po jedinici proizvoda.

Iz nophodnosti upotrebe raunara za analizu MKE je proistekao veliki broj programskih paketa za ovu namenu od kojih mnogi zadovoljavaju skoro sve potrebe u odreenoj oblasti analize dok e neku specifine uslove zadovoljiti bar neki od njih.Bez obzira na njihov kvalitet mora se imati u vidu da je neophodno teoretski dobro poznavati sam MKE kao i oblast iz koje se analiza radi.

Za reavanje svih primera koriena je demo verzija programskog paketa ANSYS (Test Drive 5.4.)

2. OSNOVE METODE KONANIH ELEMENATA

2.1. OSNOVNI POJMOVI

Metod konanih elemenata (MKE) spada u metode diskretne analize. Zasniva se na fizikoj diskretizaciji posmatranog domena. Posmatrani kontinuum sa beskonanim brojem stepeni slobode se aproksimira diskretnim modelom meusobno povezanih konanih elemenata sa konanim brojem stepeni slobode. Sutina aproksimacije kontinuma po MKE se sastoji u sledeem:

Posmatrani domen kontinuuma se deli na poddomene konanih dimenzija koji se nazivaju konanim elementima i zajedno ine mreu konanih elemenata

Konani elementi su meusobno povezani u konanom broju taaka koje se nalaze na konturi elemenata i nazivaju se vorovi

Stanje promenljive polja u svakom konanom elementu se opisuje pomou interpolacionih funkcija (ili funkcija oblika)

Interpolacione funkcije su unapred zadate funkcije za jedan tip KE i predstavljaju vezu izmeu vrednosti promenljive polja u bilo kojoj taki KE i vrednosti promenljive polja u vorovima

Da bi se razumele osnovne postavke analize MKE, nije potrebno detaljno poznavati razliite discipline teorijske i primenjene mehanike, ali je neophodno razumeti neke osnovne pojmove mehanike neprekidnih sredina. To su pre svega pojmovi napona i deformacije, kao i odnosi izmeu ovih veliina, koji se nazivaju konstitutivnim relacijama. Ovde su oni opisani u najkraim crtama, dok se detalji mogu nai u literaturi.

2.2.OSNOVE MEHANIKE KONTINUUMA

Mehanika kontinuuma ili mehanika neprekidnih sredina je deo mehanike koji se bavi izuavanjem optih problema kretanja i ravnotee neprekidnih sredina (kontinuuma).

Neprekidna sredina (kontinuum) je skup kontinualno rasporeenih materijalnih taaka kojima se predstavlja neko deformabilno telo (solid). Deformabilna tela mogu biti vrsta, tena i gasovita. Kontinuum je, u stvari, idealizacija koja je rezultat makroskopskog posmatranja molekularne strukture materije. Deformabilno telo se na ovaj nain deli na niz kontinualno poreanih delia koji su dovoljno mali u odnosu na

dimenzije tela, a dovoljno veliki u odnosu na mikroveliine, tj molekule i meumolekularne prostore, tako da se mogu smatrati homogenim. Materijalna taka kontinuuma predstavlja beskonano mali deo neprekidno rasporeene materije iji je poloaj poloaj odreen geometrijskom takom prostora. Pomeranje deformabilnog tela moe se, prema tome, posmatrati kao pomeranje skupa materijalnih taaka. Za opisivanje kretanja kontinuuma se, kao referenca, koriste razliite vrste koordinatnih sistema.

2.2.1. NAPON

Napon (eng. stress) predstavlja osnovni koncept mehanike kontinuuma i mera je unutranjeg dejstva izmeu materijalnih taaka kontinuuma. Kada na vrsto (deformabilno) telo ne deluju spoljanje sile, ono se smatra nedeformisanim, to znai da su kohezione sile izmeu delia kontinuuma u ravnotei. Kae se da se telo tada nalazi u nenapregnutom stanju. Pod dejstvom spoljanjih sila telo se deformie sve dok se ne uspostavi ravnotea izmeu unutranjih i spoljanjih sila. Stanje unutranjih sila, posle poetka dejstva spoljanjih sila, opisuje se naponskim poljem. Sledi definicija napona za vrsto (deformabilno) telo.

PS

V

n

Ft(n)

Fn

Fi

F1

S

F2B

a)

t(n) n

nn

b) Sl. 2.2.

Neka na telo B deluju spoljanje sile F1,... Fn (Sl. 2.2a). Na element materijala povrine S, u okolini geometrijske take P, okolni materijal deluje posredstvom povrinskih sila. Ovaj element se smatra vrlo malim u odnosu na dimenzije tela, ali velikim u odnosu na mikroduine: dimenzije kristala, zrna metala i sl. Srednji napon tsr(n), na povrini S ija sa normalom n, iznosi:

( )nsrFS

= t (2.1) gde je F ukupna povrinska sila koja deluje na povrinu S, dok je napon u taki P na povrini ija je normala n:

( )0

limnS

F dFS dS

= =t (2.2)

Vektor napona t moe se razloiti na normalnu i tangencijalnu komponentu, ( )n n i n (Sl. 2.2.b),

( )n nt n = + (2.3) Kako se kroz taku P moe postaviti bezbroj povrina, naponsko stanje u njoj (tj. stanje povrinskih sila) odreeno je sa beskonano mnogo vektora t . Zbog toga se uvodi neki koordinatni sistem, a naponi se definiu za koordinatne ravni. Ako se usvoji Dekartov koordinatni sistem, naponsko stanje opisuje se tenzorom napona, koji obuhvata devet vrednosti (tri normalna i est tangencionalnih napona), tj. devet funkcija koordinata take materijala (Sl. 2.). Tenzor se moe jednostavnim reima opisati kao vektor vezan za taku, jer se od vektora razlikuje po tome to mu se vrednost, pravac i smer menjaju od take do take.

( )n

Tenzorska veliina je takav skup funkcija prostornih koordinata (komponenti tenzora) koje se pri transformaciji koordinata menjaju po odgovarajuim, po obliku uvek istim, relacijama.

Sl. 2.3: Napon u taki definisan upotrebom Dekartovog koordinatnog sistema

U Dekartovom koordinatnom sistemu, tenzor napona ima oblik:

x xy xz

yx y yz

zx zy z

= N (2.4)

Pri oznaavanju tangencijalnih napona, prvo slovo u indeksu oznaava pravac normale na ravan u kojoj lei vektor smiueg napona, a drugo pravac samog vektora. Npr. xy je tangenicjalni napon u ravni sa normalom x, u pravcu y.

Na osnovu Koijeve formule, koja opisuje ravnoteu povrinskih i zapreminskih sila koje deluju na elementarni tetraedar, dokazuje se da se napon na bilo kojoj ravni moe izraziti pomou komponenti tenzora napona. Na osnovu Navijer-ovih jednaina ravnotee za element oblika paralelopipeda sledi pravilo o konjugovanosti smiuih napona:

ij ji = (2.5) te sledi da je tenzor napona simetrian. Elementi tenzora napona esto se zapisuju u obliku vektora:

{ }

x

y

Tzx y z xy yz xz

xy

yz

xz

= =

(2.6)

Dakle, napon na nekoj ravni u posmatranoj taki deformabilnog tela zavisi od naponskog stanja u toj taki, definisanog komponentama tenzora napona ij, i pravca normale na ravan. Moe se dokazati da postoji takav pravac n, ili vie pravaca, za koje je smiui napon jednak nuli. Ti pravci se nazivaju glavni pravci naprezanja, dok se normalni naponi za takve ravni nazivaju glavni normalni naponi i oznaavaju se sa 1, 2 i 3 (1 > 2 > 3). Matrica tenzora napona za koordinatni sistem ije se ose poklapaju sa glavnim pravcima naprezanja, ima oblik:

1

2

3

=

N (2.7)

Komponente tenzora napona, u optem sluaju, zavise od izbora koordinatnog sistema. Stoga je veoma vano nai pokazatelj naponskog stanja koji je nezavistan od izbora koordinatnog sistema. Jedan od takvih pokazatelja su i naponske invarijante, skalarne veliine koje, izraene preko glavnih napona imaju vrednosti:

(1 1 2 3

2 1 2 2 3 1

3 1 2 3

III

)3

= + += + +=

(2.8)

Slika o naponskom stanju u materijalu, pri analizi rezultata dobijenih MKE, najbre se stie bilo pregledom polja glavnih napona, bilo polja ekvivalentnih napona po Von Mises-u, o emu e biti rei u narednim poglavljima. Treba napomenuti i postojanje ravni za koje su vrednosti smiuih napona ekstremne. U ovom sluaju, ekstremne vrednosti smiuih napona ne iskljuuju postojanje normalnih napona u istim ravnima.

Sa stanovita primene, posebno teorije plastinosti, od znaaja je razlaganje tenzora napona na sferni i devijatorski deo:

(2.9) )( )(S T D+=Sferni deo tenzora napona ima oblik

( )p

pp

= _S (2.10)

gde je p hidrostatiki pritisak (ili srednji napon m): ( ) ( )1 2 31 13 3x y z 113p I = + + = + + = (2.11)

Naponsko stanje opisano samo sfernim delom tenzora napona, egzistira u taki u kojoj deluje hidrostatiki pritisak. Devijatorski deo tenzora napona ima oblik:

1

( )2

3

x xy xz

yx y yz

zx zy z

p pp p

p p

= = _D (2.12)

U teoriji plastinosti pretpostavlja se da sferni deo tenzora napona utie na promenu zapremine, a devijatorski na promenu oblika.

2.2.2. DEFORMACIJA

Deformacija (eng. strain) je veliina koja predstavlja meru deformisanosti materijala. Ovde se razmatra tenzor male (infinitezimalne) deformacije koji je najjednostavniji za definisanje, a osnova je za linearnu teoriju konanih elemenata. Velike deformacije koriste se pri izuavanju problema gde se materijal znaajno deformie, kao to su obrada plastinim deformisanjem ili deformisanje elastomera. Sledi definicija komponenti tenzora malih deformacija. Elastino telo se pod uticajem sila kree i deformie, te menja svoj poloaj, oblik i zapreminu. Za bilo koju neprekidnu sredinu, posmatra se taka A unutar delia kontinuuma B, u kojoj se eli da definie veliina koja se naziva mala deformacija. Po svojoj prirodi, razlikuju se dve vrste deformacija: normalna (linijska deformacija, dilatacija) i smiua (ugaona, klizanje).

BA

ds

d(ds)

y

z

x

a)

x

y

dy

y

x dx

A B

CD

u

v A`

B`

C`D`

H

v dyy

v dxx

u dyy

B``

D``

u dxx

b) Sl. 2.4: Definicija deformacije

Normalna deformacija u nekom pravcu je, po definiciji, jednaka odnosu prirataja duine pravog linijskog segmenta d(ds) i njegove poetne duine ds (Sl. 2.4a). Ako je, pre deformacije, linijski segment bio u pravcu x, onda je njegova linijska deformacija jednaka:

( )x d dxdx = (2.13) Skup svih normalnih deformacija u nekoj taki daje sliku o skaliranju tela po razliitim pravcima, tj. izduenju i skraenju linijskih segmenata u posmatranoj taki. Smiua deformacija (eng. shearing strain) je, po definiciji, promena ugla izmeu dva poetno upravna linijska elementa. Smiua deformacija koja odgovara osama x i y definie se kao:

2xy = (2.14)

gde je ugao izmeu linijskih segmenata AB i AD koji su se pre deformacije poklapali sa osama x i y (Sl.2.2b). Za ostale bilo koji par meusobno upravnih pravaca, smiua deformacija se definie na analogan nain. Skup svih smiuih deformacija u nekoj taki daje sliku o iskrivljenju, tj. promeni oblika. Skup normalnih i smiuih deformacija, moe se u Dekartovom koordinatnom sistemu definisati preko polja pomeranja. Pomeranja u Dekartovom koordinatnom sistemu, u pravcu osa x,y,z bie oznaena sa u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z). Take A i B nalaze se na malom rastojanju, te se pomeranje take B moe izraziti preko pomeranja take A, razvojem u red izraza za pomeranje i zadravanjem linearnih lanova. Tj., za male deformacije duina vektora AB malo se razlikuje od duine njegove projekcije na osu x, vektora AB. Stoga je izraz za pomeranje take B:

, B Buu u dx v v dxvx x

= + = + (2.15)

pa je duina linijskog segmenta AB posle deformacije

( ) ( ) ( ) 2 22 2 u vA B A B B B dx dx dxx x = + = + + (2.16) Normalna deformacija je na osnovu definicije jednaka relativnoj promeni duine

linijskog segmenta:

xA B AB A B dx

dxAB = = (2.17)

odakle je: (1 )xA B dx = + (2.18) Izjednaavanjem A B dobijenim iz izraza (2.16.) i (2.18.) dobija se:

2 222 2x x

u u vx x x

+ = + + (2.19) Zanemarivanjem kvadratnih lanova, koji su veoma male veliine, dobija se izraz za komponentnu normalnu deformaciju u x pravcu:

xux

= (2.20) Analogno se dobijaju i izrazi za normalne deformacije y i z. Izrazi za komponentne smiue deformacije, takoe se dobijaju na osnovu pretpostavke o malim deformacijama. Tako, npr. iz uslova da su uglovi BAB i DAD (Sl. 2.2.) iz jednaine (2.14) sledi:

xyvB A B D A D ux y

= + = + (2.21) Analogno se dobija za smiue deformacije yz i zx. Smiue deformacije ij se nazivaju i ininjerske smiue defomacije, dok se esto, radi izbegavanja pojave brojanih koeficijenata u izrazima za odnos napona i deformacija,

koriste i tzv. tenzorske smiue deformacije oblika 12ij ij

= , tj:

1 1, , 2 2xy xy xz xz yz yz

12

= = = (2.22) Moe se dokazati da se komponentne deformacije transformiu kao tenzorske veliine sa promenom koordinatnog sistema. Zbog toga se moe definisati tenzor male deformacije kao:

x xy xz

yx y yz

zx yx z

= E (2.23)

tj.

+ + =

E

1 12 2

12

simetri~no

u v u u

+

wx x y z x

v wy y

wz

vz

(2.24)

U ininjerskoj praksi najee se smatra da su deformacije male ako ne prelaze 0.2%. Bitno je da ininjeri razumeju fiziko znaenje pojma deformacije, koja je, to e biti prikazano, u direktnoj vezi sa naponima. Takoe treba imati na umu da definicija male deformacije podrazumeva da je polje pomeranja kontinualno. Elementi tenzora deformacije esto se zapisuju u obliku vektora:

{ }

x

y

Tzx y z xy yz xz

xy

yz

xz

= =

(2.25)

Za oznaavanje komponentnih napona i deformacija esto se koriste i oznake iz sledee tabele (2.1).

Naponi Deformacije Tenzorska notacija Saeta notacija Tenzorska notacija Saeta notacija

11 1 11 1 22 2 22 1 33 3 33 3

23=23 4 23=223 4 31=31 5 31=231 5 12=12 6 12=212 6

Tabela 2.1: Oznake koje se koriste za komponentne napone i deformacije, gde su

ose nekog koordinatnog sistema oznaene brojevima 1,2,3

2.2.3. VEZA IZMEU NAPONA I DEFORMACIJA (KONSTITUTIVNE RELACIJE ELASTINOSTI I TERMOELASTINOSTI)

U prethodnim poglavljima definisani su pojmovi napona, kao mere nivoa unutranjih sila u materijalu i deformacije, kao mere stepena deformisanosti materijala.

Izmeu napona i deformacija postoje veze, ija priroda predstavlja osnovnu osobinu nekog materijala. Ove veze, koji se nazivaju i konstitutivne relacije, osnova su za odreivanje naponsko-deformacionog stanja u vrstom telu koje se deformie. U optem sluaju, konstitutivne relacije mogu da budu veoma sloene, izrazito nelinearne, funkcije vremena ili zavisne od istorije deformisanja materijala. Ovde e biti opisane samo najprostije, linearne konstitutivne relacije, koje vae za sluaj malih deformacija tipinih ininjerskih materijala, kao to je npr. elik. Ako se ne uzima u obzir uticaj temperature, one imaju opti oblik:

{ } [ ]{ }K = (2.26) gde je:

{ } Tx y z xy yz xz = - vektor napona { } Tx y z xy yz xz = - vektor deformacija [ ]K - matrica elastinosti ili matrica krutosti materijala

2.2.4. GENERALISANI HUKOV ZAKON ZA IZOTROPNE MATERIJALE

Najednostavnije, linearne konstitutivne relacije (2.26) vae za homogen, izotropan materijal. Izotropan materijal odlikuje se istim karakteristikama u svim pravcima, dok je homogen onaj materijal koji poseduje iste karakteristike u svim takama.

ll0

l

F

a)

E

1

b)

l

FlF AE

l=

c)

Sl. 2.5: Hukov zakon

U sluaju jednoosnog naponakog stanja, koje nastaje pri aksijalnom zatezanju elastinog tapa (Sl. 2.5.), relacije (2.26.) se svode na

= E (2.27)

gde je E - Jangov modul elastinosti, - normalni napon u pravcu ose istezanja, a normalna deformacija u pravcu ose(Sl. 2.5.b). Jednaina (2.27) predstavlja dobro poznati Hukov zakon, koji je engleski fiziar Robert Huk (Robert Hooke) postavio jo 1678., mislei da on vai za sve postojee materijale. Hukov zakon moe se napisati i u obliku:

= lF AEl

(2.28)

pri emu se dobija relacija izmeu sile istezanja i apsolutnog izduenja, dok je A popreni presek tapa (Sl. 2.5c) Pretpostavka je da su deformacije male, te se promena veliine poprenog preseka moe zanemariti.

Hukov zakon moe se proiriti na troosno stanje deformacije, pri emu se dobija tzv generalisani Hukov zakon.

y

l0 l

y

z

x

a)

xy

y

z

x

xyxy

b)

xy

xy

G

1

c)

Sl. 2.6.: Istezanje i smicanje Ako se posmatra istezanje tapa (Sl. 2.6 a) veza izmeu normalnog napona i deformacije moe se, prema Hukovom zakonu, napisati kao

=y E y (2.29) Eksperimentalno je dokazano da izduenje u pravcu ose tapa, izaziva kontrakciju tapa, tj. smanjenje dimenzija u bonim pravcima (Sl. 2.6 a). Deformacija u bonom pravcu, vezana je za deformaciju u normalnom pravcu relacijama

= = = x z y E y (2.30) gde je tzv. Poasonov (Poisson) koeficijent. Poasonov koeficijent je osobina

materijala, koja se odreuje eksperimentalno i ija je vrednost za metale oko 0.3, a za gumu i druge priblino nestiljive materijale bliska 0.5. Za izotropne materijale, 0.5 je gornja granica vrednosti Poasonovog koeficijenta. Moe se zakljuiti da normalni napon u nekom pravcu zavisi od normalnih napona u sva tri pravca, pa se posle zuperpozicije moe napisati:

( ) = +y y yE E z (2.31) Iste relacije vae i za deformacije x i z. Ako je, pak materijal izloen prostom smicanju (Sl. 2.6. b), vai relacija:

= 1xy xyG (2.32) gde je G - modul smicanja, koji je takoe karakteristika materijala. Iste relacije vae za ostale smiue deformacije, yz i xz. Prethodne relacije, napisane u matrinom obliku, izgledaju:

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

xz xz

E E E

E E E

E E E

G

G

G

=

(2.33)

tj.

1{ } [ ] { }K = (2.34) gde je [ ] - matrica fleksibilnosti. Ova matrica je u sluaju izotropnih materijala simetrina, pri emu normalni naponi zavise samo od triju normalnih napona, a smiui naponi od po jedne odgovarajue smiue deformacije. Osim toga, moe se pokazati da za izotropne materijale postoji i veza izmeu modula E i G:

1K

( )= +2 1EG (2.35)

to znai da matrica fleksibilnosti izotroponog materijala sadri samo dve nezavisne komponente. U praksi je ee potrebno izraziti napone u zavisnosti od deformacija

{ } [ ]{ }K = (2.36) pri emu matrica krutosti (elastinosti) [ ili konstitutivna matrica ima oblik: ]K

[ ]( )

( )( )

1 0 01 1

1 0 01 1

1 0 0 01 1(1 )

1 20 0 0 0 0(1 )(1 2 )2 1

1 20 0 0 0 02 1

1 20 0 0 0 02 1

E

0

0

= +

K (2.37)

Generalisani Hukov zakon predstavlja fundamentalnu relaciju u teoriji elastinosti, pri emu se matrica krutosti za specijalne sluajeve (ravno stanje napona, greda, ljuska i sl.) svodi na jednostavnije oblike. Potpuna definicija konstitutivnih relacija koje se koriste u linearnoj analizi MKE, bie data sa uzimanjem u obzir anizotropne elastinosti i termoelastinosti.

2.2.5. GENERALISANI HUKOV ZAKON ZA ANIZOTROPNE MATERIJALE

Anizotropni materijali su oni materijali koji imaju razliite karakteristike u razliitim pravcima. Najee se u praksi javlja specijalan sluaj materijala koji ima tri meusobno normalne ravni simetrije osobina. Takav materijal naziva se ortotropnim, a ovakvo ponaanje tipino pokazuju kompozitni materijali.

Za anizotropan materijal, najoptiji oblik generalisanog Hukovog zakon ima oblik:

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

x x

y y

z

xy xy

yz yz

xz xz

C C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C C

z

=

(2.38)

Koeficijenti Cij nazivaju se koeficijentima elastinosti. Oni su karakteristike materijala, dimenzija istih kao i naponi. Posledica anizotropije je zavisnost svake od komponenti tenzora napona od svih 6 komponenti tenzora deformacije. U najoptijem sluaju, matrica krutosti anizotropnog tela ima 36 razliitih koeficijenata. Za homogen materijal pokazuje se da vai Cij=Cji,te se broj nezavisnih koeficijenata smanjuje na 21,tj. matrica krutosti je simetrina (2.39.).

(2.39)

=

x 11 12 13 14 15 16

y 22 23 24 25 26 y

z 33 34 35 36 z

xy 44 45 46 xy

yz 55 56 yz

xz 66 xz

C C C C C CC C C C C

C C C CC C C

simet. C CC

x

z

Ako postoje dve ravni simetrije osobina materijala, onda postoji simetrija i u odnosu na treu ravan, koja je normalna na prethodne dve. Ovakav materijal naziva se ortotropni materijal. Generalisani hukov zakon za ortotropni materijal, u pravcu osa koje nastaju u presecima triju ravni, ima oblik:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

44

55

66

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

x x

y y

z

xy xy

yz yz

xz xz

C C CC C CC C C

CC

C

=

(2.40)

U ovom sluaju, broj nezavisnih koeficijenata u matrici krutosti smanjuje se na 9. Ralanjivanjem prethodne matrine jednaine, dobija se:

= + +11 12 13x x yC C C z = + +21 22 23y x yC C C z = + +31 32 33z x yC C C z odakle sledi da normalni naponi ne zavise od smiuih deformacija, i

= 44xz xyC = 55yz yzC = 66xz xzC odakle sledi da smiui naponi zavise samo od odgovarajuih smiuih deformacija.

U sluaju izotropnog materijala, usled postojanja beskonanog broja ravni simetrije osobina materijala, broj nezavisnih koeficijenata matrice krutosti smanjuje se na 2. Ve iz ove konstatacije je oigledno da je za opisivanje mehanikog ponaanja

ortotropnih materijala potrebno mnogo vie podataka, a samim tim i mnogo vie eksperimentalnog i analitikog rada. Sa stanovita rada u ininjerskoj praksi, koeficijenti matrice krutosti nisu naroito intuitivni, te se ee koriste tzv. tehnike konstante , a to su ranije pomenuti modul elastinosti E, Poasonov koeficijent i modul klizanja G. Definisanje tehnikih konstanti ortotropnog materijala jednostavnije je na matrici fleksibilnosti K-1

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

yx zx

x y z

zyxz

x y zx x

yzy yxz

z zx y z

xy xy

yz yzxyxz xz

yz

xz

E E E

E E E

E E E

G

G

G

=

(2.41)

gde su: Ei - Jangov modul elastinosti u pravcu i. ij - Poasonov koeficijent za deformaciju normalnu na pravac istezanja j, ako se istezanje

vri samo u pravcu i. Vae relacije (da bi matrica elastinosti bila pozitivno definitna i simetrina):

=ij ji

i jE E

ime se broj nezavisnih Poasonovih koeficijenata redukuje sa 6 na 3. Gij - modul klizanja za ravan ij. Na ovaj nain, postoji 9 nezavisnih tehnikih konstanti koje definiu ponaanje ortotropnog materijala, ije je znaenje mnogo jasnije od znaenja koeficijenata Cij. Vrednosti Poasonovih koeficijenata u sluaju ortropnog materijala, mogu da budu i vee od 0.5. Izrazi koji daju zavisnost koeficijenata matrice krutosti od tehnikih konstanti, mnogo su sloeniji nego to je to sluaj kada se koristi matrica fleksibilnosti. Upotreba raunara ovu sloenost ini irelevantnom.

2.2.6. GENERALISANI HUKOV ZAKON UZ UZIMANJE U OBZIR TERMOELASTINOSTI

Zanemarivanje temperaturnih efekata moe da dovede do velikih greaka, ak i do potpuno pogrenih rezultata analize naponsko deformacionog stanja. Zato se najee uzimaju u obzir dva efekta uticaja temperature na materijal:

1. promena elastinih konstanti sa promenom temerature 2. pojava termikih deformacija

Tehnike (materijalne) konstante u optem sluaju zavise od temperature T (Sl. 2.7 a), to moe da se napie kao:

( )

( )E E T

T == (2.42)

gde su relacije (2.42.) poznate funkcije. Prethodne jednaine vae za stacionarno stanje, kada se temperaturno polje ne menja u vremenu. U optem sluaju, temperaturno polje je nestacionarno, te se moe pisati

( )

( )t t

t t

E E T

T == (2.43)

gde su relacije (2.43.) poznate funkcije za poznatu temperaturu u trenutku t, gde prefiks t oznaava da se radi o vrednostima neke veliine u trenutku t. Poznato je da se u vrstim telima, usled promene temperature javljaju deformacije, koje zatim uzrokuju i pojavu napona. U izotrponom materijalu, za sluaj stacionarnog stanja, termike deformacije javljaju se prema sledeoj relaciji:

th ref T T (2.44)

gde je koeficijent termike dilatacije ili koeficijent linearnog irenja materijala, a Tref referentna temperatura, za koju se predpostavlja da su termike deformacije jednake nuli. U optem sluaju i koeficijent zavisi od temperature. Primeuje se da temperaturno polje utie samo na normalne komponente termikih deformacija. Takoe se uvodi pretpostavka da je temperaturno polje, tj. raspored temperature, nezavisno od deformisanja materijala.

TE

0E

tT

0E

a) el

Ei

1

T3T2

T1

b)

Sl. 2.7: a) Zavisnost tehnikih konstanti od temperature, b)temperaturne deformacije uestvuju u ukupnoj deformaciji

Ukupna deformacija u materijalnoj taki u sluaju izotropnog elastinog materijala dobija se superpozicijom termikih i elastinih deformacija u materijalu:

el th (2.45)

odakle sledi

elth (2.46)

Stoga, relacije napon-elastine deformacije nisu jednake na razliitim temperaturama (Sl. 2.7 b).

Stoga su konstitutivne relacije za izotropan elastian materijal koje uzimaju u obzir termike deformacije (odbijene ubacivanjem izraza (2.2) u izraze (2.45) i (2.46)):

1{ } [ ] { } { }thK = + (2.47) ( ){ } [ ] { } { }thK = (2.48) Iz (2.47) moe se, primera radi, izvui jednaina za normalnu deformaciju u pravcu y:

( ) = + +y y yT E E z (2.49) ili za smiuu deformaciju u ravni xy:

= 1xy xyG (2.50) Iz relacije (2.50.) jasna je malopreanja konstatacija da smiui naponi u elasinom telu ne zavise od promene temperature. Ako se postavke termoelastinosti kombinuju sa konstitutivnim relacijama za ortotropni materijal, dobija se:

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 10 0 0 0 000

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

yx zx

x y z

zyxz

x y zx xxyzxzy yy

z zz x y zxy xy

yz yzxy

xz xz

yz

xz

E E E

E E E

E E ET

G

G

G

= +

(2.51)

ili sistem jednaina:

z

zxz

y

yxy

x

xxx EEE

T +=

z

zyz

y

y

y

xxyyy EEE

T+=

z

z

z

yyz

z

xxzzz EEE

T += (2.52)

xy

xyxy G

=

yz

yzyz G

=

xz

xzxz G

=

Vrednosti napona se mogu, pak, izraunati kao:

( ) ( )

++

=

z

yyzxzxy

xxx

z

y2yz

xx E

Eh

ETEE

1h

E

( ) ( )( Th

ET zzxyyzxzxyy ++ ) (2.53) gde je:

2 2 21 ( ) ( ) ( ) 2yx xxy yz xz xy yz xzy z z

E xz

E E EhE E E

= E

Na slian nain odreuje se y i z. Tangencijalni naponi se odreuju prema izrazima

xyxyxy G =

yzyzyz G = (2.54)

xzxzxz G = Ukoliko moduli klizanja nisu posebno zadati izraunavaju se prema izrazima:

xxyyx

yxxy E2EE

EEG ++=

xyyz GG = (2.55)

xyxz GG = Za ortotropne materijale moraju se nai tane karakteristike modula smicanja.

2.3. SPECIJALNI SLUAJEVI 3D NAPONSKO-DEFORMACIONOG STANJA

Za potrebe analize MKE, posebno su znaajni specijalni sluajevi prostornog (3D) naponsko-deformacionog stanja, za koje se model koji se analizira moe prikazati u ravni, kao dvodimenzionalan (2D) . Analizom dvodimenzionalnog modela, pre svega se postie uteda u potrebnom vremenu rada raunara, tako to se smanjuje veliina matrice krutosti, tj. broj jednaina sistema koji treba da se rei. Ovi specijalni sluajevi su:

1. Osnosimetrino stanje deformacije 2. Ravno stanje deformacije 3. Ravano stanje napona

Osnosimetrino i ravansko deformaciono stanje uzrokuju eliminaciju matrice elastinosti (2.37.), dok ravansko naponsko stanje iziskuje modifikaciju ove matrice. Ovde e za jedan isti ravanski profil, biti definisana sva tri pomenuta stanja.

2.3.1. OSNOSIMETRINO DEFORMACIONO STANJE

Ako telo ima osu simetrije, i ako je optereenje koje na njega deluje simetrino, prostorno naponsko-deformaciono stanje svodi se na osnosimetrino (Sl. 2.8). Posledica osnosimetrinosti oblika i optereenja je jednakost napona i deformacija u svim radijalnim ravnima, te problem moe da se posmatra kao dvodimenzionalni.

x

y

z

x

y

p

p

y

xz xy

xz= yz=0xz= yz=0

Sl. 2.8: Osnosimetrino stanje deformacije Deformacija u cirkularnom pravcu z, postoji, i rauna se na osnovu izraza ( )2 2

2x x

z

x u x ux x

+ = = (2.56)

tj. kao promena duine krune materijalne linije na rastojanju x od ose simetrije, gde je ux pomeranje u radijalnom pravcu x. Postavljeni uslov simetrije povlai da su smiue deformacije van ravni xy jednaki nuli:

0xz yz = = (2.57) Svi navedeni uslovi definiu oblik matrice elastinosti za sluaj osnosimetrinog

deformacionog stanja (za izotropan materijal):

[ ]( )

1 01 1

1 0(1 ) 1

1 2(1 )(1 2 ) 0 0 02 1

0 11 1

E 1

= +

K (2.58)

U prethodnoj matrici, zamenjena su mesta treoj i etvrtoj koloni, to je uobiajeno u primeni MKE.

2.3.2. RAVNO STANJE DEFORMACIJE

Ravno stanje deformacije podrazumeva da se popreni presek tela (u ravni xy, Sl. 2.9.) ne menja po duini tela (po osi z), kao i da je optereenje konstantno po z osi. Tipian primer ovakvog stanja predstavlja rena brana ili temelj zgrade, konstantno optereen po duini. U ovom sluaju deformacije u x i y pravcu su identine , dok je deformacija u pravcu z zanemarljiva:

0z = (2.59)

xy

z

x

y

y

xz xy

x

y

xyxz= yz=0xz= yz=0

uz=0 , z=0

slika 2.9: Ravno stanje deformacije

Smiue deformacije van ravni xy takoe su jednake nuli:

0xz yz = = (2.60)

Matrica elastinosti za ravno stanje deformacije ima oblik:

[ ]( )

1 01

(1 ) 1 0(1 )(1 2 ) 1

1 20 02 1

E

= +

K (2.61)

Problem se moe posmatrati kao ravanski, jer treba izraunati vrednosti dvaju normalnih i jednog smiueg napona i deformacija u ravni xy. Po redovima i kolonama matrice elastinosti, to su naponi x, y, xy i deformacije x, y, xy. Nakon reavanja ravanskog problema, normalni napon u pravcu normalnom na ravan, z, moe se izraunati se prema izrazu:

( )z x y = + (2.62) 2.3.3. RAVNO STANJE NAPONA

Ravno stanje napona vlada u telima iji je popreni presek konstantan po debljini, a debljina mala. Tipian primer ovog stanja je tanka membrana u ravni xy optereena silama koje lee u istoj ravni. Smatra se da je normalni napon u poprenom pravcu (pravcu debljine) z jednak nuli:

0z = (2.63) Smiue deformacije i naponi van ravni xy jednaki su nuli:

00

xz yz

xz yz

= == = (2.64)

x

y

zx

y

y

xxy x

y

xy

z =xz= yz=0xz= yz=0

slika 2.10: Ravno stanje napona

Problem se svodi na dvodimenzionalni a normalna deformacija u pravcu debljine

moe se naknadno izraunati iz izraza:

( ) (1z x )y = + (2.65) Matrica elastinosti za ravno stanje napona ima oblik:

[ ] 21 0

1 01 10 0

2

E

=

K (2.66)

2.4. DEFORMACIONI RAD (ENERGIJA DEFORMACIJE)

Pri deformisanju elastinog tela usled spoljanjih sila, jedan deo rada koji te sile izvre akumulira se u materijalu, u vidu potencijalne energije deformacije. Ako se zanemare gubici usled pretvaranja u ostale vidove energije, sav uloeni rad spoljnih sila pretvara se u potencijalnu energiju elastinog tela. Ova energija je u sluaju elastinog materijala povratna, to znai da po prestanku spoljnih dejstava elastino telo moe da izvri mehaniki rad jednak skladitenoj energiji. Poto zavisi od deformacije, ta energija se naziva energija deformacije ili deformacioni rad.

U sluaju jednoosnog naponskog stanja, kakvo nastaje npr. pri aksijalnom istezanju elastinog tapa (Sl. 2.5), moe se napisati:

dW d = (2.67) gde je dW elementarni rad po jedinici zapremine a i d odgovarajui napon i

prirataj deformacije. Rad po jedinici zapremine, ili specifini deformacioni rad koji izvri napon , tada je:

0 0

W dW d

= = (2.68) pri emu se materijal deformie dok ne dostigne nivo deformacije . Specifini deformacioni rad predstavlja potencijalnu energiju po jedinici zapremine i jo se naziva gustina potencijalne energije ili elastini potencijal. Izraava se u istim jedinicama kao napon. Na grafiku -, (Sl. 2.11 b) specifini deformacioni rad predstavlja povrinu ispod krive =() .

W

WW

a) b) Sl. 2.11: Deformacioni rad (energija deformacije)

Ako je poznata zavisnost =(), W predstavlja funkciju deformacije: ( )W W = (2.69) Za linearan elastian materijal i sluaj jednoosnog istezanja iz (2.27.) i (2.28) sledi (Sl. 2.11 b):

21 12 2

W E = = (2.70) pri emu je dijagram specifinog deformacionog rada oblika trougla. Za generalni sluaj deformisanja u trodimenzionalnom prostoru, specifini deformacioni rad za izotropno elastino telo ima oblik:

( )12 x x y y z z xy xy xz xz yz yzW = + + + + + (2.71) tj. jednak je zbiru elastinih potencijala svakog napona ponaosob.

Jednaine za specifini deformacioni rad mogu se izvesti i samo u funkciji od komponentnih napona ili deformacija. Materijali za koje je matrica elastinosti pozitivno definitivna nazivaju se stabilnim materijalima, a za njih je energija deformacije pozitivna. Ako je napon pozitivna funkcija deformacija, takva da se napon moe dobiti upotrebom relacije

ijii

W = (2.72)

za dati materijal kae se da je hiperelastian (Grinov materijal). Prema postavkama teorije plastinosti, deformacioni rad tj. potencijalna energija

deformacije jednim delom se troi na promenu zapremine a drugim na promenu oblika, pa se i elastini potencijal deli na dva dela:

( ) ( )VW W W= + ob (2.73) Deo elastinog potencijala koji se utroi na promenu zapremine, za izotropni elastini materijal, ima oblik:

( ) ( )221 3 1 21 1 2 12 6 2 2VpW p I

E K E = = = = (2.74)

gde je sferni tenzor deformacije, koji analogno sa sfernim tenzorom napona, ima oblik: ( 1 1 113sr ) = = + + (2.75) dok je K modul kompresije ili modul stiljivosti (eng. bulk modulus) koji je karakteristika materijala, i daje vezu izmeu sfernog tenzora napona i promene zapremine:

( )3 1 2Vp EK = = (2.76)

gde je v zapreminska deformacija: 3v x y z sr = + + = (2.77) Deo elastinog potencijala koji se utroi na promenu oblika za izotropni elastini materijal, izgleda:

( ) ( ) ( ) (2 21 2 1 3 2 316obW E )2 + = + + (2.78)

Za priblino nestiljive nestiljive materijale, zapreminska deformacija ne postoji, v=0, pa je ukupna energija deformacije jednaka energiji promene oblika (distorzije).

2.5. MATRINA FORMULACIJA OSNOVNIH JEDNAINA LINEARNE STATIKE ANALIZE

Princip virtuelnog rada: Zbir radova svih spoljanjih i svih unutranjih sila pri bilo kom virtualnom pomeranju taaka tela jednak nuli. Po princip virtualnog rada svakoj virtuelnoj (vrlo maloj) promeni unutranje deformacione energije odgovara spoljni rad izazvan dejstvom sila, ili U=V gde je: U = U1+U2 - energija deformacije V = V1+ V2+ V3- rad spoljnih sila - virtuelni operator Virtuelna deformaciona energija je:

{ } { } ( )voldUvol

T =1 gde je: vol - zapremina elementa

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }( ) ( ) = vol thTT voldDDU 1 Veza izmeu deformacije i pomeranja vorova elemenata moe se napisati u obliku: { } [ ]{ }uB= gde je: [B] - matrica deformacija-pomeranje bazirana na funkcijama oblika elemenata u - vektor pomeranja vorova elementa Zamenom se dobija:

{ } [ ] [ ][ ] ( ){ } { } [ ] [ ]{ } ( ) = vol thTTvol TT voldDBuuvoldBDBuU 1 Drugi oblik virtualne deformacione energije se javlja prilikom kretanje neke stranice konanog elementa pri emu se javlja otpor ovom kretanju distribuiran po strani

{ } { } ( )=fpov

fT

n povdwU 2 gde su: -brzina normalna na povrinu stranice { } [ ]{ }uNw nn =

napon na povrini stranice { } { }nwk= pov - povrina stranice k - krutost otpora kretanju stranice po jedinici povrine [Nn] - matrica funkcija oblika za kretanja normalna na povrinu

Uz predpostavku da je k konstantno po povrini, dobija se

{ } [ ] [ ] ( ){ }upovdNNkuUfpov

fnT

nT = 2

Prvi deo rada spoljnih sila potie od inercijalnih sila

{ } { } ( )voldvolFwV

a

vol

T= 1 w - vektor pomeranja neke take elementa Fa - vektor sila ubrzanja (D'Alambert-ove sile) Na osnovu drugog Njutnovog zakona je

{ }wtvol

Fa2

2}{=

gde je: - gustina materijala t - vreme

Pomeranje neke take elementa se moe izraziti preko pomeranja vorova kao { } [ ]{ }uNw = gde je [N] - matrica funkcija oblika elemenata.

Zamenom gornjih jednaina, dobija se:

{ } [ ] [ ] ( ) { }ut

voldNNuVvol

TT = 22

1 Drugi deo rada spoljnih sila potie od sila pritiska

{ } { } ( )ppov Tn povdPwV p= 2

gde je P - vektor pritiska (normalan na stranicu elementa)

{ } [ ] { } ( )pTpov nT povdPNuV p= 2 Trei deo spoljnog virtualnog rada potie od vornih sila

{ } { }ndeT FuV =3

gde je Fnde - vektor vornih sila koje deluju na element. Zamenom dobijenih izraza za energiju deformisanja i rad spoljnih sila dobija se { } [ ] [ ][ ] ( ){ } { } [ ] [ ]{ } ( )+ vol thTTvol TT voldDBuuvoldBDBu

{ } [ ] [ ] ( ){ }upovdNNkufpov

fnT

nT + =

{ } [ ] [ ] ( ) { } { } [ ] { } ( ) { } { }ndeTppov TnTvol TT FupovdPNuutvoldNNu p ++ 22

Gornja jednaina se moe predstaviti u matrinom obliku: [ ] [ ]( ){ } { } [ ]{ } { } { }ndepreethefee FFuMFuKK ++=+ &&

gde je: [ - matrica krutosti elementa ] [ ] [ ][ ] (= vol Te voldBDBK )

))

)

[ ] [ ] [ ] (=fpov

fnT

nf

e povdNNkK -matrica krutosti otpora kretanja elementa

[ ] [ ] [ ]{ } (= vol thTthe voldDBF -vektor termikog optereenja elementa [ ] [ ] [ ] (= vol Te voldNNM - matrica masa elementa { } { }u

tu 2

2

=&& - vektor ubrzanja

{ } [ ] { } ( pTpov npre povdPNF p= ) - vektor pritiska na element

3. STRUKTURNA ANALIZA

3.1. DEFINICIJA STRUKTURNE ANALIZE

Strukturna analiza je verovatno najea oblast primene metoda konanih elemenata. Termin strukturna ukljuuje sve mehanike strukture u mainstvu i graevini. Kao primer se mogu navesti: trup broda, telo aviona, kuite maine alatke, ali i pojedinani standardni delovi poput vratila, klipova, raznih delova maina i alata.

3.2. TIPOVI STRUKTURNE ANALIZE

Strukturna analiza se moe podeliti na: Statika analiza Koristi se za izraunavaje pomeranja, napona i drugih

veliina koje su posledica statikih optereenja. Ukljuuje i linearnu i nelinarnu analizu. Nelinearnosti podrazumevaju plastinost, velika pomeranja, velike deformacije, hiperelastinost, kontak povrina, puzanje materijala.

Dinamika analiza Korisiti se za reavanje problema sa optereenjima promenljivim u vremenu.

U daljem tekstu e detaljnije biti opisane statika i dinamika analiza.

3.3. STATIKA ANALIZA

Statikom analizom se izraunavaju efekti statikog optereenja strukture, dok se uticaji inercije i priguenja ne uzimaju u razmatranje. Statika analiza, naravno, moze da ukljui inercijalne sile nepromenjive u vremenu (gravitacija ili konstantna ugaona brzina na primer) i optereenja promenljiva u vremenu koja se mogu aproksimirati statikim optereenjem ( kao npr. vetar ili seizmiki potresi koji se redovno primenjuju u mnogim statikim proraunima u graevini).

Statika analiza se koristi za izraunavaje pomeranja, napona, deformacija koje su posledica statikih optereenja.

U statikoj analizi se definiu: Granini uslovi Slue za ograniavanje translacije i rotacije odreenih

delova strukture u zavisnosti od konstrukcije. Javljaju se i kao uticaji zanemarenih delova strukture kod simetrinog optereenja simetrinih delova. Ogranienje nekog od stepena slobode moe biti u nekom intervalu ili apsolutno (u osloncima na primer).

o Ogranienja jednog ili vie stepeni slobode

o Predvidjena (obavezna) pomeranja odreenih delova strukture koja su razliita od nule

o Temperatura U statikoj analizi, efekti primene temperature kao optereenja strukture daju za posledicu termiku ekspanziju ili kontrakciju, to omoguava izraunavanje napona i deformacija.

Optereenja

o Sile - Predstavljaju koncentrisana optereenja obino primenjena na spoljanost modela.

o Pritisak Povrinska optereenja, takoe obino primenjena na spoljanost modela.

o Nepromenljive inercijalne sile Utiu na celu strukturu i ne menjaju se u vremenu ili se mogu aproksimirati konstantnim silama. Kao primer se moe navesti sila gravitacije.

o Bubrenje - Poveavanje zapremine materijala koje se najee javlja kao posledica bombardovanja neutronima.

Statika analiza je najee primenjivan i oblik strukturne analize, a moe se rei i da skoro svi programski paketi ispunjavaju sve zahteve analize, tako da je za statiku analizu mnogo bitnije pravilno definisanje problema, poznavanje metoda konanih elemenata i programskog paketa koji se koristi nego mogunosti tog programskog paketa koji e verovatno ispuniti sve zahteve analitiara.

3.4. DINAMIKA ANALIZA

Dinamika analiza se primenjuje u situacijama kada se trai dinamiko ponaanje strukture pod uticajem bilo kog optereenja promenljivog u vremenu, odnosno kada se ne moe zanemariti uticaj inercijalnih sila. Moe se koristiti za odreivanje sopstv frekvencija i oblika oscilacija i vremenski zavisnih pomeranja, deformacija, napona i sila u strukturi.

Pored osnovnih parametara koji su neophodni za statiku analizu nekog sistema, u dinamici konstrukcija vreme se pojavljuje kao dodatni paramter, koji znatno komplikuje analizu. Kako je broj zadataka iz podruja analize dinamikih sistema za koje se moe nai analitiko reenje veoma mali, numerike metode, a samim tim i metod konanih elemenata u ovoj oblasti imaju poseban znaaj. Osnova MKE u dinamikoj analizi lei u reavanju sistema jednaina kretanja za svaki element. Na osnovu jednaina kretanja za 1 konani element formiraju se jednaine kretanja za sistem konanih elemenata:

.. .+ + =M q Dq Kq Q gde su M, D i K matrica masa, matrica priguenja i matrica krutosti sistema, a Q

vektor generalisanih sila u vorovima konanih elemenata. Za dobijanje odziva strukture na neki od oblika optereenja zavisnog od vremena

po odreenom zakonu, taj zakon uslovljava nain reavanja problema. Zavisnost optereenja od vremena se mora svrstati u jednu od sledeih kategorija:

Harmonijski promenljivo - Tipino optereenje u mnogim sistemima. Ciklino je promenljivo u vremenu.

Udarno optereenje U ovom sluaju se izoluje odreeni period koji je bitan za analizu, a kao primer se mogu uzeti udarci ekia. Bez obzira na trajanje perioda priguenja, on se gotovo uvek moze zanemariti.

Sluajno promenljivo sa periodinim ponavljanjem Periodino sluajno optereenje koje se koje se ponavlja po odredjenom zakonu. Za primer se mogu uzeti sile rezanja pri struganju.

Stohastiko Sluajno optereenje, tipian primer je zemljotres. Obino je potrebno utvrditi napone i pomeranja usled pikova sile.

Ima mnogo razliitih metoda za izraunavanje dinamikog odziva strukture, a

svaki od njih je uglavnom podoban za samo jednu vrstu optereenja. Analitiar mora da zna koje su prednosti i mane svakog od dostupnih u okviru programa koji koristi. Za razliku od statike, za dinamiku analizu veliki uticaj na tok analize i tanost rezultata imaju mogunosti dostupnog programskog paketa. Ako poznaje vie programskih paketa onda ima i mogunost izbora podobnijeg programa za reavanje datog problema.

3.5. TERMIKA ANALIZA

Termikom analizom se izraunavaju raspodela temperature i drugih termikih velilina u sistemu ili delu sistema. Od interesa su obino:

Polje temperature Proseni toplotni gubici ili uteda Toplotni gradijent Toplotni fluks

Termika analiza ima vanu ulogu u konstruisanju mnogih sistema u mainstvu, ukljuujui i motore sa unutranjim sagorevanjem, turbine, izmenjivae toplote, cevovode i elektronske komponente. U mnogim sluajevima se termika analiza kombinuje sa analizom napona da bi se izraunali naponi koji se posledica ekspanzije ili kontrakcije elemenata usled promene temperature.

U analizi metodom konanih elemenata u obzir se uzimaju tri osnovna oblika prenosa toplote: kondukcija, konvekcija i radijacija, ali se u odreenim programskim paketima mogu koristiti i drugi uticaji . ANSYS omoguava uticaj promene agregatnog stanja (topljenje ili smrzavanje) i unutranje generisanje toplote.

I u termikoj analizi, slino strukturnoj, mogu se razmatrati dva stanja sistema: Stacionarno Granini uslovi se ne menjaju u vremenu ili se promena,

ako postoji, moe zanemariti. Kao ulazne veliine se koriste konvekcija, radijacija, toplotni fluks, granine temperature...

Nestacionarno - Promene termikih veliina se moraju uzeti u obzir. Analizi ovog stanja sistema obino prethodi analiza stacionarnog stanja da bi se odredili poetni uslovi analize. Najee se trai polje temperature sa promenljivim ulaznim temperaturama.

Termika analiza je obino nelinearna zato to termike karakteristike materijala uglavnom zavise od temperature, ali se u praksi to obino zanemaruje.

to se ANSYS-a tie, tamo se ovi problemi razmatraju odvojeno ali dozvoljeno je i kombinovanje termike analize sa drugim tipovima, na primer sa strukturnom ili elektro-magnetnom.

3.6. NELINARNA ANALIZA

Vei deo realnih problema je nelinearan. Ova nelinearnost nastaje kao posledica nelinearnih karakteristika:

geometrije graninih uslova materijala

Zbog navedenih karakteristika, nelinearne su tri osnovne grupe jednainakoje su osnova za matematiku formulaciju fizikih problema:

veze izmeu deformacija i pomeranja, uslovi ravnotee i veze izmeu napona i deformacija.

Prve dve grupe opisuju geometrijske nelinearnosti, a trea probleme materijalne odnosno fizike nelinearnosti. Kako ove jednaine obino nemaju reenja u zatvorenom obliku, trae se reenja nekom od numerikih metoda. Metod konanih elemenata se u novije vreme u ovu svrhu primenjuje sa naroitim uspehom. Na poetku komercijalne upotrebe MKE, sedamdestih godina nelinearne analize inile su verovatno manje od 1% ukupnog broja analiza, ranih osamdesetih njihovo uee raste na 5 do 10%, dok je danas verovatno ine veinu analiza koje se ralizuju u praksi.Razloge treba traiti u postojanju veoma intenzivnom razvoju hardvera i velikom broju programskih paketa za analizu MKE koji ispunjavaju zahteve nelinearne analize.

4. TIPOVI KONANIH ELEMENATA

4.1.OSNOVNI POJMOVI

Izbor tipa konanog elementa je jedan od najvanijih koraka u primeni metoda konanih elemenata. Pravilan izbor je veoma vaan za dobijanje tanih rezultata. Osnovne osobine konanih elemenata su:

oblik broj i vrsta vorova broj i vrsta stepeni slobode u pojedinim vorovima i vrsta interpolacionih funkcija.

Bez bilo kog od ovih parametara, konani element nije potpuno definisan. S obzirom na njihov oblik, elementi mogu biti sa pravolinijskim i sa krivolinijskim konturama. Bitna je podela na:

linijske ravanske i prostorne

konane elemente. Uslovno se moe navesti i takasti element koji je predstavljen samo jednim vorom i on predstavlja teku taku i ima masu kao jedinu karakteristiku. U daljem tekstu e dataljnije biti objanjeni linijski, ravanski i prostorni konani elementi.

4.2. LINIJSKI KONANI ELEMENTI

Linijski konani element je deo prave ili krive linije. Kod ovog tipa elementa jedina dimanzija koja se razmatra je duina. Primeri su:

tapovi SPARS grede BEAMS

Slika 4.1. BEAM3 Na slici je prikazan osnovni BEAM3 element iz ANSYS-a koji moze da bude repezentativan model za prikaz linijskog elemenata. BEAM3 je element sa dva vora i ima tri stepena slobode u svakom voru: translacije u x i y-pravcu i rotaciju oko z ose.Slika prikazuje geometriju, vorove i koordinatni sistem za dati element. Element je definisan vorovima(po 1 na svakom kraju), povrinom poprenog preseka, momentom inercije poprenog preseka, visinom i karakteristikama materijala.

Kao optereenje se mogu primeniti sile, pritisak i temperatura. to se izlaza tie, kod BEAM3 elementa je mogue izraunati napone, deformacije i pomeranja. Kao specijalni uslovi se mogu primenjivati samo ovravanje i velike deformacije.

Postoji vie vie vrsta BEAM elemenata koji se mogu koristiti u svim tipovima analize kod kojih se moe primeniti vie tipova optereenja i kod kojih se kao izlaz moe dobiti vie traenih veliina.

4.3. RAVANSKI KONANI ELEMENTI

Koriste se za analizu problema koji se mogu posmatrati kao dvodimenzionalni

(ravno stanje deformacije i napona, osnosimetrino stanje deformacije). Najee su etvorougaonog ili trougaonog oblika (Sl.4.2.)

Sl. 4.2. Ravanski (2D) elementi

Pravougaoni element sa pravim konturama je najjednostavniji za primenu, ali nije

pogodan za aproksimaciju oblasti koje su ograniene krivolinijskim konturama. Trougaoni elementi sa pravim konturama su pogodniji za taj sluaj.

Posebni dvodimenzionalni elementi, kojima se modelira radijalni presek osnosimetrinog tela koje je izloeno osnosimetrinom deformacionom stanju su u stvari trodimenzionalni, ali se mogu ali se definiu u ravni su osnosimetrini (axisymmetric) elementi. Primenjuju se kod problema koji poseduju osnu simetriju u geometriji i spoljanjim uticajima.

Na slici je prikazan PLANE82 element iz ANSYS-a koji moze da bude reprezentativan model za prikaz ravanskog elementa.

Ravanski element PLANE82 je izoparametarski etvorougaoni element sa 8 vorova, etiri vora na krajevima i etiri vora na sredinama stranica. Ima po dva stepena slobode u svakom voru: translaciju u x i y-pravcu. Dobro aproksimira krivolinijske granice modela. Moe da se koristi kao ravan ili kao osnosimetrian element. Ako se koristi kao osnosimetrian, za osu simetrije se uzima y-osa. Kada uslovi zahtevaju, moe doi do preklapanja dva krajnja vora, tako da element dobija trougaoni oblik. Element PLANE82 ima sledee karakteristike: plastinost, puzanje materijala, poveanje zapremine materijala (kao posledica bombardovanja neutronima), ovravanje i velike deformacije.

Sl. 4.3. PLANE82 element

Ako se pretpostavi ravno stanje napona moe se kao opcija koristiti debljina

elementa i ortotropne karakteristike materijala. Kao optereenja se mogu primeniti pritisak, sila, temperatura. Kao izlaz, u postprocesoru se moe dobiti vie veliina od kojih su najbitnije:

pomeranja, naponi, deformacije, zapremina, pozicija vorova, pritisak u vorovima, temperatura u vorovima, intenzitet napona, ekvivalentni napon, glavni naponi, glavne deformacije, povrinski naponi i deformacije, prosena temperatura povrine, intenzitet povrinskih napona, ekvivalentni povrinski napon, plastine deformacije, deformacije puzanja, ekvivalentni naponi na naponskom dijagramu, hidrostatiki pritisak...

4.4. PROSTORNI KONANI ELEMENTI

Koriste se za analizu trodimenzionalnih problema i obino su oblika tetraedra ili prizme. Kao i ravanski, mogu biti pravolinijski i krivolinijski.

Sl. 4.4.

Za aproksimaciju tela sa krivim konturama krivolinijski su pogodniji zbog lake aproksimacije konture odnosno dovoljno dobre aproksimacije sa manjim brojem krivolinijskih u odnosu na pravolinijske konane elemente.

Kao reprezentativan model prikazan je SOLID95 (Sl.4.5.) konani element iz ANSYSA. Oblika je estostrane prizme (BRICK), ali se moe svesti na tetraedar, piramidu ili etvorostranu piramidu ako se za tim ukae potreba.

SOLID95 ima 20 vorova sa po tri stepena slobode u svakom od njih: translacije u x, y i z-pravcu. Od opcija ima plastinost, puzanje materijala, ovravanje, sposobnost velikih deformacija i pomeranja. Podrava ortotropne karakteristike materijala saglasno koordinatnom sistemu samo elementa.

Sl.4.5.

Optereenja: pritisak, sile, temperatura. Izlazni podaci sadre: zapreminu, globalnu lokaciju centra elementa, pritisak u

vorovima, temerature, intenzitet napona, ekvivalentni napon, naponi , glavni naponi, elastine deformacije, glavne elastine deformacije, prosene plastine deformacije, prosene deformacije puzanja, prosene ekvivalentne plastine deformacije, proseni ekvivalentni napon sa naponkog dijagrama, hidrostatiki pritisak, povrine strana elementa, prosene temperature strana, povrinske elastine deformacije, povrinski pritisak, povrinski naponi, glavni povrinski naponi, intenzitet povrinskih napona, ekvivalentni povrinski napon.

Element ne sme biti uvijen tako da formira dve zapremine. Ovo se najee javlja kao posledica loeg numerisanja. Ivica sa koje je uklonjen srednji vor pokazuje da se pomeranja po toj ivici pre menjaju linearno nego parabolino.

4.5. INTERPOLACIONE FUNKCIJE

Funkcije pomou kojih se predstavlja polje promenljivih u elementu, nazivaju se

interpolacione funkcije, funkcije oblika ili aproksimativne funkcije. Pomou interpolacionih funkcija se uspostavlja neposredna veza izmeu vrednosti funkcije u bilo kojoj taki elementa i osnovnih nepoznatih parametara u vorovima. Vrednost funkcije u nekoj taki se interpolira izmeu njenih vrednosti u vorovima.Pomou ovih funkcija odreena je samo kvalitativno promena funkcije u elementu, to znai da je definisan samo njen oblik dok je intenzitet te promene odreen vrednostima parametara u vorovima.

Od izbora interpolacionih funkcija zavisi ispunjenje kontinuiteta izmeu pojedinih elemenata. Prema tome da li su, ili nisu, zadovoljeni uslovi kontinuiteta odnosno kompatibilnosti na granicama izmeu pojedinih elemenata, elementi mogu biti kompatibilni i nekompatibilni odnosno konformni ili nekonformni.

Postoje razliiti stepeni kontinuiteta, kontinuitet funkcije C0 kontinuitet, kontinuitet funkcije i prvih izvoda funkcije C1 kontinuitet; uopte, kontinuitet funkcije i izvoda do m-tog reda - Cm kontinuitet. U primeni MKE za razliite probleme zahteva se razliit stepen kontinuiteta. Na primer, za ravan problem teorije elastinosti dovoljan je i C0 kontinuitet, dok je za izuavanje savijanja ploe potreban C1 kontinuitet. Elementi sa viim stepenom kontinuiteta daju tanije reenja od onih sa niim, ali je njihovo definisanje znatno sloenije.

4.6. IZOPARAMETARSKI ELEMENTI

Kako je za opisivanje krive konture esto potreban veliki broj elemenata sa

ravnim stranama, u tu svrhu se uglavnom koriste krivolinijski elementi. Osnovna ideja na kojoj se zasniva uvoenje krivolinijskog elementa lei u mogunosti preslikavanja elementa koji je ogranien krivim stranama ili linijama i globalnog koordinatnog

sistemana element jednostavnog oblika, koji je ogranien ravnim stranama ili pravim linijama, u sistem prirodnih koordinata.

Izoparametarski elementi su najzastupljeniji konani elementi. To su krivolinijski elementi kod kojih se za aproksimaciju geometrije elementa usvoje isti vorovi i iste inerpolacione funkcije kao i za aproksimaciju polja osnovnih nepoznatih u sistemu. Poto se kao interpolacione funkcije najee koriste polinomi, moe se rei da se u sluaju izoparametarskih elemenata geometrija elemenata polja osnovnih nepoznatih u elementu aproksimiraju polinomima istog reda.

1.UVOD2. OSNOVE METODE KONACNIH ELEMENATA2.1. OSNOVNI POJMOVI2.2.OSNOVE MEHANIKE KONTINUUMA2.2.1. NAPON2.2.2. DEFORMACIJA2.2.3. VEZA IZMEU NAPONA I DEFORMACIJA \(KONST2.2.4. GENERALISANI HUKOV ZAKON ZA IZOTROPNE MATERIJALE2.2.5. GENERALISANI HUKOV ZAKON ZA ANIZOTROPNE MATERIJALE2.2.6. GENERALISANI HUKOV ZAKON UZ UZIMANJE U OBZIR TERMOELASTICNOSTI

2.3. SPECIJALNI SLUCAJEVI 3D NAPONSKO-DEFORMACIONOG STANJA2.3.1. OSNOSIMETRICNO DEFORMACIONO STANJE2.3.2. RAVNO STANJE DEFORMACIJE2.3.3. RAVNO STANJE NAPONA

2.4. DEFORMACIONI RAD (ENERGIJA DEFORMACIJE)2.5. MATRICNA FORMULACIJA OSNOVNIH JEDNACINA LINEARNE STATICKE ANALIZE

3. STRUKTURNA ANALIZA3.1. DEFINICIJA STRUKTURNE ANALIZE3.2. TIPOVI STRUKTURNE ANALIZE3.3. STATICKA ANALIZA3.4. DINAMICKA ANALIZA3.5. TERMICKA ANALIZA3.6. NELINARNA ANALIZA

4. TIPOVI KONACNIH ELEMENATA4.1.OSNOVNI POJMOVI4.2. LINIJSKI KONACNI ELEMENTI4.3. RAVANSKI KONACNI ELEMENTI4.4. PROSTORNI KONACNI ELEMENTI4.5. INTERPOLACIONE FUNKCIJE4.6. IZOPARAMETARSKI ELEMENTI