Pruebas de Aleatoriedad

7/29/2019 Pruebas de Aleatoriedad

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2.4.2 Pruebas de Varianza

2.4.3 Pruebas de Uniformidad

2.4.4 Pruebas de Independencia


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Otra propiedad que debe satisfacer el conjunto de ri, esque sus nmeros tengan una varianza de 1/12. laprueba que busca determinar lo anterior es la pruebade varianza, que establece las siguientes hiptesis:

H0: 2ri=1/12

H1: 2ri1/12


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La prueba de varianza consiste en determinar lavarianza de los n nmeros que contiene ri, mediante laecuacin siguiente:

Despus se calculan los limites de aceptacin inferior y

superior con las ecuaciones siguientes:

= ( )

2=1

1

() = /2,1

2

12( 1) () =

1/2,12

12 1


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Si el valor de V(r) se encuentra entre los lmites de

aceptacin, decimos:

No se puede rechazar que el conjunto ri tiene unavarianza de 1/12, con un nivel de aceptacin de 1-;

De lo contrario, se rechaza que el conjunto ri,tiene una varianza de 1/12.


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Ejemplo: realizar la prueba de varianza a los 40nmeros ri de la siguiente tabla. Considerando quen=40 y=5%, procedemos a calcular la varianza de losnmeros, y los lmites de aceptacin correspondientes:

0.0449 0.1733 0.5746 0.049 0.8406 0.8349 0.92 0.2564

0.6015 0.6694 0.3972 0.7025 0.1055 0.1247 0.1977 0.0125

0.63 0.2531 0.8297 0.6483 0.6972 0.9582 0.9085 0.8524

0.5514 0.0316 0.3587 0.7041 0.5915 0.2523 0.2545 0.3044

0.0207 0.1067 0.3587 0.1746 0.3362 0.1589 0.3727 0.4145


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= ( )

2=1

1 = ( .43184)240=1

40 1

= 0.087034() =/2,1

2

12( 1)

() =1/2,1

2

12 1

() =0.05/2,39

2

12(39)

() =10.05/2,39

2

1239

() = .

= .

() =.

= .


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Dado que el valor de la varianza: V(r)=0.087034 estentre los limites de aceptacin, podemos decir que nose puede rechazar que el conjunto de 40 nmeros ritiene una varianza de 1/12= 0.08333.


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El procedimiento de esta prueba consiste en determinar una secuenciade nmeros (S) que slo contiene unos y ceros, de acuerdo con unacomparacin entre ri yri-1. La secuencia de unos y ceros se construye de

esta manera: se coloca un cero si el nmero ri es menor que o igual alnmero ri anterior; en caso de ser mayor que el nmero ri anterior, sepone un uno. Posteriormente se determina el nmero de corridasobservadas, C0 (una corrida se identifica como la cantidad de unos yceros consecutivos). Luego se calcula el valor esperado, la varianza del

nmero de corridas y el estadsticoZ0, mediante las ecuaciones:

Si el estadsticoZ0 es menor que el valor crtico deZ/2, se concluye quelos nmeros del conjunto ri son independientes y se acepta H0.


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Ejemplo

Realizar la prueba de corridas arriba y abajo con un

nivel de aceptacin de 95% al siguiente conjunto denmeros ri:

Realizaremos la asignacin de unos y ceros por rengln

(o fila). Por lo tanto, la secuencia Ses:S = {1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0,

0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0}

0.34 0.83 0.96 0.47 0.79 0.99 0.37 0.72 0.06 0.18

0.67 0.62 0.05 0.49 0.59 0.42 0.05 0.02 0.74 0.67

0.46 0.22 0.99 0.78 0.39 0.18 0.75 0.73 0.79 0.290.11 0.19 0.58 0.34 0.42 0.37 0.31 0.73 0.74 0.21


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Obtenindose un valor de C0= 24, y = 5%. Acontinuacin se presentan los clculoscorrespondientes al valor esperado y a la varianza delnmero de corridas:


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Como el estadstico Z0 es menor que el valor de tablade la normal estndar para Z/2 Z5%/2 = 1.96, seacepta H0 y se concluye que los nmeros del conjuntori son independientes. Es decir, de acuerdo a esta

prueba, los nmeros son aptos para usarse ensimulacin.


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Consiste en comparar los nmeros con el propsito decorroborar la independencia entre nmerosconsecutivos. Las hiptesis bsicas son:

H: los nmeros del conjunto ri son independientes.

H1: los nmeros del conjunto ri no son independientes.


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Crear una grafica de dispersin entre los nmerosconsecutivos (ri , rr+1).

Dividir la grfica en m casillas, siendo m el valor entero

ms cercano a que permita formar de preferenciauna matriz cuadrada.

Se determina la frecuencia observada Oi,

contabilizando el numero de puntos en la casilla y sucorrespondiente frecuencia esperada Ei


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De acuerdo con Ei = (n-1)/m, donde n-1 es el numerode pares ordenados o puntos en la grfica.

Calcular el error o estadstico de prueba

Si el valor del error es menor que o igual al estadsticode tablas x,m-1, no podemos rechazar la hiptesis deindependencia entre nmeros consecutivos.


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Realizar la prueba de series a los siguientes 30 nmeros,con un nivel de confianza de 95%.

0.872 0.950 0.343 0.058 0.3840.219 0.041 0.036 0.213 0.946

0.570 0.842 0.706 0.809 0.300

0.618 0.152 0.462 0.005 0.203

0.291 0.151 0.596 0.443 0.868

0.913 0.511 0.586 0.608 0.879


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Generar la grfica de dispersin con los 29 paresordenados(x,y) = (ri , rr+1) siguientes:

(r1,r2)= 0.872 0.219

(r2,r3)= 0.219 0.570

(r3,r4)= 0.570 0.618

(r4,r5)= 0.618 0.291

(r5,r6)= 0.291 0.913

(r6,r7)= 0.913 0.95

(r28,r29)= 0.203 0.868

(r29,r30)= 0.868 0.879


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Se contabiliza el nmero de puntos en cada casilla Oi y se calcula lafrecuencia esperada Ei de acuerdo Ei = 29/9. en la ultima columna sepresenta el calculo del estadstico de prueba.


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Intervalo i Oi Ei=(n-1)/m =

29/9

1 3 3.22 0.0152 3 3.22 0.015

3 5 3.22 0.984

4 3 3.22 0.015

5 6 3.22 2.400

6 1 3.22 1.531

7 5 3.22 0.984

8 1 3.22 1.531

9 2 3.22 0.462

Total 29 29 7.937

El valor de tablas es mayor que el errortotal de 7.937, por lo cual no podemos rechazar la hiptesis deindependencia.

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