02 Generación de Números Aleatorios y Prubas de Aleatoriedad

Simulación de Sistemas – Semestre 2008 -1

Simulación de Sistemas

Generación de Números y Variables AleatoriasTomado de Ing. Eduardo Carbajal L.

Agenda

Generación de números y variables aleatorias 1. Generación de Números Aleatorios2. Pruebas de aleatoriedad. 3. Variables aleatorias discretas: Bernoulli, Binomial, Poisson.4. Variables aleatorias continuos: Exponencial, Triangular,

Normal, Chi Cuadrado, Weibull.5. Pruebas de bondad de ajuste: Kolmogorov - Smirnov y Chi

cuadrado (2)

Lecturas: Ross, Cap. 3, 4 y 5Banks, Cap. 8 y 9Law, Cap. 6

Son la herramienta para generar eventos de tipo probabilístico, se emplean en modelos que tienen variables estocásticas. En estos modelos emplearemos números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, a los cuales identificaremos como Ri.

Generación de Números Aleatorios

Números Aleatorios

EjemploSi se quiere simular un sistema de colas es necesario generar el tiempo entre llegadas de los clientes y el tiempo de servicio. Dichas variables se obtiene a partir de distribuciones de probabilidad específica, que para generar/simular un nuevo valor de la variable emplean números aleatorios en su forma mas simple como input.

tiempo entre llegadas tiempo de servicio

Exponencial con media 2 minutos Normal con media de 3 minutos y desviación estándar de 0.8 minutos

R1 =

0.42R2 =

0.25

Expo(2) Norm(3,0.8)

V2 =

2.46

V1 =

0.78

El tiempo entre llegada es 0.78, es decir el siguiente cliente llegará dentro de 0.78 minutos

El tiempo de servicio es 2.46, es decir el cliente terminará de ser atendido dentro de 2.46 minutos

cola

servidor¿Cuándo llega el próximo cliente?

¿Cuándo tiempo durará el servicio?

1. Tienen una distribución uniforme con parámetros a= 0 y b =1.


Características de los Números Aleatorios

12

)()(

2)(

,1

)(

2abxVAR

baxE

bxaab

xf

Función de densidad:

media:

Distribución Uniforme

varianza:

2. Estadísticamente independientes

3. Su periodo o ciclo de vida debe ser largo

Entonces como Ri es uniformemente distribuido entre 0 y 1:

media : varianza :

(0 + 1) / 2 = 1/2

= 1/12(1 - 0 ) ² / 12

R1, R2, R3, …………., RiSecuencia de números aleatoriosPeriodo o ciclo de vida

R1, R2, R3, …………., Rn = R1

n : Periodo o ciclo de vida, que equivale al número de veces antes que el primer aleatorio de la secuencia se repita

4. Deben ser generados a través de un método rápido


Características de los Números Aleatorios

5. Deben ser generados a través de un método que no requiera mucho uso de memoria ni almacenamiento.

Para cumplir con estas características el esquema de generación debería producir una secuencia de números entre uno y cero que simule o imite las propiedades ideales de la distribución uniforme y la independencia tan cerca como sea posible.


Errores posibles en la generación de los Números Aleatorios

Los números generados no están uniformemente distribuidos.

Los números generados son discretos en lugar de continuos.

La media de los números generados es muy alta o baja.

La varianza de los números generados es muy alta o baja.

Los números generados exhiben variación cíclica (auto correlación entre los números, números sucesivos mucho más altos o bajos que el adyacente, varios números sobre la media seguidos de otros bajo la media).

Provisión Externa


Formas de Generación

CaracterísticasEs un método de generación rápido.

Es posible determinar una secuencia de números generada anteriormente.

Depende de una fuente externa que contengan miles de números

Produce números pseudo aleatorios

Se emplean medios externos para obtener números aleatorios

Generación Física



CaracterísticasEs un método de generación lento. Imposible reproducir una secuencia de números generada

anteriormente.Podrían producir números realmente aleatorios

Se generan números aleatorios empleando algún instrumento físico

Generación Matemática



Se emplean algoritmos matemáticos para crear relaciones de recurrencia en la secuencia de números generados

CaracterísticasEs un método de generación rápido.

Es posible determinar una secuencia de números generada anteriormente.

Produce números pseudo aleatorios

Revisaremos algunos a continuación

Método del Medio Cuadrado (Mid Square Method)


Formas de Generación > Generación Matemática

En general entonces:Se eleva al cuadrado el número Xi-1 y se extraen los k dígitos medios para conformar Xi. Se obtiene el Ri dividiendo Xi entre 10 elevado a la k.

1. Escoger un número inicial (Xo) o semilla con k dígitos.

2. Se eleva al cuadrado dicho número y se obtiene uno (Xo²) que como máximo tendrá 2k dígitos. Si el número no llega a 2k dígitos colocarle ceros a la izquierda

3. Los k dígitos medios de Xo² corresponden a X1 y se emplean para definir el primer número aleatorio. Como el aleatorio por definición debe ser menor que 1, R1 es entonces X1, que tiene k dígitos, dividido entre 10 elevado a la k




Ejemplo:

63750 X

4064062520 X

0368.036036841 221

2

RX

X

Semilla

Paso 1:

Tiene 4 dígitos. Por tanto k = 4

Paso 2:

6406.025640640 120

1

RX

X

Tiene 8 dígitos. Por tanto cumple la condición de tener 2k dígitos, no es necesario agregar ceros a la izquierda

Paso 3:

Repitiendo nuevamente los pasos se generarían los siguientes números pseudo aleatorios




Características

Posiblemente el método mas antiguo, propuesto por John von Newmann.

Método con pobres propiedades estadísticas. La “semilla” debe ser escogida cuidadosamente. Problema: Si en algún momento se obtiene un

número de “k” dígitos, los cuales generan al ser elevados al cuadrado, un número donde los “k” dígitos medios son cero, la secuencia de números se degenera.

Método del Medio Producto (Mid Product Method)



En general entonces:Se multiplican los números Xi-1 y Xi; y se extraen los k dígitos medios para formar Xi+1. Se obtiene el Ri dividiendo Xi entre 10 elevado a la k.

1. Escoger dos números iniciales (X'o y Xo) con k dígitos.2. Se multiplican dichos números y se extraen los k dígitos medios

de la multiplicación. Los cuales forman el número X1. Si el número no llega a 2k dígitos colocarle ceros a la izquierda

3. Como el aleatorio por definición debe ser menor que 1, R1 es entonces X1, que tiene k dígitos, dividido entre 10 elevado a la k Para generar el siguiente aleatorio se repite el algoritmo multiplicando esta vez Xo por X1




Ejemplo:

63750 XSemilla

Paso 1:

Tienen 4 dígitos. Por tanto k = 4

Paso 2: Tiene 8 dígitos. Por tanto cumple la

condición de tener 2k dígitos, no es necesario agregar ceros a la izquierda

Paso 3:


3721'0 X

8395.073839526 210

2

RX

XX

757213231

0'0

XXX

Semillaadiciona

l

7213.075721323 10'0

1

RX

XX




Características

Bastante similar al método del Medio Cuadrado Método con pobres propiedades estadísticas. La “semilla” debe ser escogida cuidadosamente. Problema: Si en algún momento se obtiene un


Técnica de multiplicación por una Constante (Constant Multiplier Method)



En general entonces:Se multiplica cada número Xi por la constante C y se extraen los k dígitos medios para formar Xi+1

1. Escoger dos números iniciales: una semilla Xo con k dígito y una constante C.

2. Se multiplican dichos números y se extraen los k dígitos medios de la multiplicación. Los cuales forman el número X1. Si el número no llega a 2k dígitos colocarle ceros a la izquierda

3. Como el aleatorio por definición debe ser menor que 1, R1 es entonces X1, que tiene k dígitos, dividido entre 10 elevado a la k Para generar el siguiente aleatorio se repite el algoritmo multiplicando esta vez X1 por C



Ejemplo:

63750 XSemilla

Paso 1:

La semilla tiene 4 dígitos. Por tanto k = 4

Paso 2: Tiene 8 dígitos. Por tanto cumple la

condición de tener 2k dígitos, no es necesario agregar ceros a la izquierda

Paso 3:


Constante


3721C

8395.073839526 21

2

RX

CX

7213.075721323 10

1

RX

CX

757213231

0

XCX



Características

Bastante similar al método del Medio Cuadrado Método con pobres propiedades estadísticas. La “semilla” debe ser escogida cuidadosamente. Problema: Si en algún momento se obtiene un



Generador Congruencial Lineal(Lineal Congruential Generator)



OBSERVACIÓN:mod es la función residuo, es decir Zi+1 es el residuo que se obtiene al dividir (aZi+c) entre m

Emplea la fórmula recursiva siguiente:

1,.......,2,1,0,mod)(1

mimcaZZ ii

Donde:

m = módulo, a = multiplicador, c = incremento, Z0 = semilla

No son aleatorios, es una serie Son racionales

Estos cuatro parámetros deben ser enteros no negativos y además:

m > 0, m > a, m > c, m > Z0Para obtener los aleatorios Ri se divide Zi entre m



Características

Es el generador más utilizado. Produce una secuencia periódica o cíclica de

números aleatorios. Se deben generar secuencias de período completo. Se deben de escoger las constantes a, c y m,

de modo que generen secuencias de período completo.




Ejemplo 1: módulo = m = 8multiplicador = a = 5incremento = c = 7semilla = Zo = 4

Parámetros: Generamos entonces aleatorios empleando el GCL:


Generador CL: Zi+1 = (5 Zi + 7 ) mod 8

n (5 Zi + 7 ) Zi+1 = (5 Zi + 7 ) mod 8

Ri

1 5*4+7 = 27 27 mod 8 = 3 3/8= 0.375

2

3

4

5

6

5*3+7 = 22 22 mod 8 = 6 6/8= 0.750

5*6+7 = 37 37 mod 8 = 5 5/8= 0.675

5*5+7 = 32 32 mod 8 = 0 0/8= 0

5*0+7 = 7 7 mod 8 = 7 7/8= 0.875

5*7+7 = 42 42 mod 8 = 2 2/8= 0.250

7 5*2+7 = 17 17 mod 8 = 1 1/8= 0.125

8 5*1+7 = 12 12 mod 8 = 4 4/8= 0.500

9 5*4+7 = 27 27 mod 8 = 3 3/8= 0.375

Este GCL permite generar 8 números aleatorios antes de repetir el primero. Su periodo es 8 y es igual al módulo m = 8, se le llama generador de periodo completo



Ejemplo 2: módulo = m = 10multiplicador = a = 7incremento = c = 7semilla = Zo = 7

Parámetros:

Generamos entonces aleatorios empleando el GCL:


Generador CL: Zi+1 = (7 Zi + 7 ) mod 10

n (5 Zi + 7 ) Zi+1 = (5 Zi + 7 ) mod 8

Ri

1 7*7+7 = 56 56 mod 10 = 6 6/10= 0.60

2

3

4

5

7*6+7 = 49 49 mod 10 = 9 9/10= 0.90

7*9+7 = 70 70 mod 10 = 0 0/10= 0

7*0+7 = 7 7 mod 10 = 7 7/10= 0.70

7*7+7 = 56 56 mod 10 = 6 6/10= 0.60

Este GCL permite generar 4 números aleatorios antes de repetir el primero. Su periodo es 4 y es DIFERENTE al módulo m = 10, por tanto no es de periodo completo



Teorema de Hull y Dobell para GCL que asegure el mayor periodo:


El único entero positivo que divide exactamente m y c es 1 (primos relativos).

Si q es un número primo (divisible sólo entre si mismo y 1) que divide m, entonces q debe dividir a -1.

Si 4 divide a m, entonces 4 divide a – 1.

En resumen que buscamos: Periodo largo, buenas propiedades estadísticas, eficiencia computacional y de almacenaje y reproductibilidad.



OBSERVACIÓN:El Generador Congruencial Multiplicativo es en realidad un caso específico del Generador Congruencial Lineal cuando el incremento ( c ) es igual a cero. Podemos observar que en el caso de los generadores congruenciales multiplicativos no es posible aplicar el Teorema de Hull y Dubell

Emplea la fórmula recursiva siguiente:

1,.......,2,1,0,mod)(1

mimaZZ ii

Donde:

m = módulo, a = multiplicador, Z0 = semilla

Estos cuatro parámetros deben ser enteros no negativos y además:

m > 0, m > a, m > Z0

Para obtener los aleatorios Ri se divide Zi entre m

Generador Congruencial Multiplicativo ( Multiplicative Congruential Generator)



Teoremas para Determinación de parámetros de un GC

Sea: x i+1 = (a x i + c ) mod 2 n

Teorema: Generador con módulo igual a una potencia de 2

Por ejemplo:

n = 8 m = 2n = 28 = 256

c impar c = 7

= P

k = 2 a = 1+4k = 1 + 4(2) = 9

Zi+1 = (9 Zi + 7 ) mod 256

Un generador donde c > 0, n > 1, si c es impar y el factor a es de la forma a = 4k+1 , entonces es de período máximo igual P = 2n

Las pruebas de aleatoriedad son pruebas diseñadas para asegurar que se cumplan las propiedades de uniformidad e independencia deseadas. Algunas son:

Pruebas de Aleatoriedad

Tipos de Pruebas

Prueba de corridas o rachas (runs test):Se utiliza para determinar la presencia anormal de grupos de números ascendentes, descendentes, por encima del promedio, o por debajo del promedio.Prueba de frecuencia:Usa el método de Kolmogorov-Smirnov o el método Chi-cuadrado para comparar una distribución uniforme con la secuencia generada.

Prueba de autocorrelación:Compara la correlación existente entre los elementos de una secuencia con la correlación nula esperada.

Prueba de huecos (gap test):Cuenta los números de dígitos entre dos sucesivas repeticiones y utiliza la prueba de Kolmogorov-Smirnov para comparar esta cantidad con el valor esperado.Prueba de poker:Controla que la frecuencia de aparición de dígitos en una serie de números sea la esperada.

Existen dos:


Pruebas de corridas

Prueba de corridas ARRIBA Y ABAJOPrueba de corridas ARRIBA Y DEBAJO DE LA MEDIA

Se verifica la aleatoriedad de los números, comprobando que el número de corridas sea una variable aleatoria distribuida normalmente. Para eso se emplea una prueba de hipótesis del tipo:

Uniformidad

H0 : Ri ~ U (0,1)

H1 : Ri ≠ U (0,1)

Independencia

H0 : Ri ~ independiente

H1 : Ri ≠ independiente

Para ambas pruebas se debe especificar un nivel de significancia α (Rechazar hipótesis nula dado que es verdadera – 0.01 o 0.05)

Número de corridas


Pruebas de corridas

Corrida: sucesión de eventos similares precedidos y seguidos por un evento diferente.

Corridas:

Sello(S)

Ejemplo: Tirando una moneda - ¿Cuántos eventos hay?

Cara (C)

Si se lanza una moneda 10 veces y se obtienen los resultados siguientes:

C S S C C S S S C S

1 2 3 4 5 6

Número de corridas = 6

Definición


Pruebas de corridas Arriba y Abajo

Esta prueba comprueba si el número total de corridas en la secuencia de números aleatorios puede ser considerada como típica o no. Procedimient

o:1. Se genera una secuencia de números pseudoaleatorios.2. Si a un número le sigue otro mayor se le asigna un “+” , si

el siguiente es menor se le asigna un “-”.3. Se calcula a = número de corridas, cuya longitud está dada

por el número de signos iguales que contiene 4. Siendo N la cantidad de números en la secuencia, la media y la

varianza están dadas por:

312 N

9029162 N

6. Se calcula la longitud de corrida “a”, como la cantidad de grupos de signos asociados a la secuencia de aleatorios. Para N >30 , “a” se puede aproximar mediante una distribución normal . El estadístico de prueba será:

7. Si |Z0| > Z1-/2 entonces no existe evidencia suficiente para decir que los números son aleatorios.


Pruebas de corridas Arriba y Abajo

Procedimiento:

aZ 0

Definición


Pruebas de corridas Arriba y Debajo de la media

Esta prueba nos permite verificar que los datos sigan una distribución uniforme alrededor de la media teórica de 0.5, de forma aleatoria

Procedimiento:1. Se genera una secuencia de números pseudoaleatorios.

2. Si un número está por encima de la media se le asigna un “+” , si está por debajo se le asigna un “-”.

3. Se calcula n1 y n2, donde n1 es el número de observaciones por

encima de la media y n2 el número de observaciones por debajo de

la media4. Siendo N la cantidad de números en la secuencia, la media y la

varianza están dadas por:

)1(

)2(22

21212

N

N

Nnnnn

212

21 Nnn

6. Se calcula la longitud de corrida “b”, como la cantidad de grupos de signos asociados a la secuencia de aleatorios. Para N >30 , “b” se puede aproximar mediante una distribución normal . El estadístico de prueba será:

7. Si |Z0| > Z1-/2 entonces no existe evidencia suficiente para decir que los números son aleatorios.


Pruebas de corridas Arriba y Debajo de la media

Procedimiento:

bZ 0

Documents

02 Generación de Números Aleatorios y Prubas de Aleatoriedad