1

PROYEKSI BIDANG

Disusun Oleh :

NAMA : 1. Trisia Miranty

2. Ogi Meita Utami

NIM :1. 06122502003

2. 06122502001

Prodi : Pendidikan Matematika

Dosen Pengasuh : 1. Dr. Yusuf Hartono, M.Sc

2. Dr. Nila Kesumawati, M.Si

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2O12 - 2013

2

PROYEKSI BIDANG

A. PENDAHULUAN

Pada bab sebelumnya telah dijelaskan mengenai geometri proyeksi.

Makalah ini akan membahas tentang geometri proyeksi yang hanya menggunakan

sifat garis lurus saja.

Kita akan memulai proyeksi ini pada bagian 5.3 bab prespektif dengan 3

aksioma untuk pesawat proyeksi, yaitu :

1. Setiap dua “titik” berada dalam satu “garis” khusus.

2. Setiap dua “garis” memiliki “titik” khusus.

3. Ada empat “titik”, tidak ada tiga diantaranya yang segaris

Namun, aksioma – aksioma itu dipenuhi oleh banyak struktur, beberapa di

antaranya tidak memiliki sistem koordinat yang sesuai. Untuk membangun

koordinat, kita memerlukan setidaknya satu aksioma tambahan, tetapi untuk lebih

mudah kita mengambil dua: Pappus dan Desargues yang telah dibuktikan dengan

bantuan koordinat pada Bab 4.

Di sini kita lanjutkan dalam arah yang berlawanan untuk Bab 4: Ambil

Pappus dan Desargues sebagai aksioma, dan gunakan mereka untuk menentukan

koordinat. Titik koordinat adalah titik pada garis proyeksi, dan kita tambahkan

dan kalikan mereka dengan bentuk seperti di Bab 1. Tetapi sebaliknya

menggunakan garis sejajar, kita sebut garis "sejajar" jika mereka bertemu pada

garis "horizon" atau "garis tak terhingga”.

Masalah utama adalah untuk membuktikan bahwa penjumlahan dan operasi

perkalian memenuhi aksioma lapangan. Ini adalah di mana teorema Pappus dan

Desargues sangat penting. Pappus diperlukan untuk membuktikan Hukum

komutatif perkalian, ab = ba, sedangkan Desargues diperlukan untuk

membuktikan hukum asosiatif, a (bc) = (ab) c.

3

6.1 Penjelasan Sekilas Tentang Pappus dan Desargues

Teorema dari Pappus dan Desargues mengatakan bahwa jika dua garis

tertentu bertemu di satu titik, maka begitu pula pasangan yang ketiga. Dan karena

horizon tidak berbeda dari garis lain, menurut teorema ini tiga pasang

garis memiliki perpotongan pada garis yang sama.

Dalam pengaturan proyeksi ini, teorema Pappus mengambil bentuk seperti

pada Gambar 6.1. Enam titik puncak dari segi enam (hexagon) ditunjukkan

sebagai titik, dan sisi yang berlawanan ditunjukkan sebagai sepasang garis hitam,

sepasang garis abu-abu, dan sepasang garis titik-titik. Garis yang masing-masing

tiga pasang bertemu diberi label L, dan kita sebut garis L sebagai horisontal (tapi

ini sama sekali tidak diperlukan).

Proyeksi teorema pappus. Enam titik, terletak berurutan pada dua garis lurus,

membentuk segi enam yang tiga pasang sisi yang berlawanan bertemu pada satu

garis.

Pernyataan ini pada teorema Pappus disebut proyeksi karena hanya

melibatkan konsep titik, garis, dan pertemuan keduanya. Pertemuan antara objek

geometris disebut insidensi, dan, untuk Alasan ini, teorema Pappus juga disebut

teorema insidensi. Tiga aksioma proyeksi bidang, diberikan dalam Bagian 5.3,

adalah contoh paling sederhana teorema insidensi.

4

Proyeksi Teorema Desargues merupakan salah satu teorema insidensi yang

lainnya. Itu menyangkut pasangan sisi yang bersesesuaian dari dua segitiga, yang

ditunjukkan dalam warna abu-abu pada Gambar 6.2. Segitiga yang dilihat dalam

sudut pandang dari titik P, yang berarti bahwa setiap pasangan titik yang sesuai

terletak pada garis melalui P. Tiga pasang sisi yang sesuai yang ditunjukkan

sebagai hitam, abu - abu, dan pasangan bertitik, dan masing - masing bertemu

pada garis L.

Proyeksi teorema Desargues. Jika dua segitiga dilihat dari satu titik, maka

pasangan sisi yang bersesuaian bertemu pada satu garis

Sebuah kasus khusus yang penting dari teorema Desargues yaitu memiliki

pusat proyeksi P pada garis L dimana sisi-sisi yang bersesuaian bertemu. Kasus

Ini disebut teorema Desargues kecil, dan itu adalah ditunjukkan pada Gambar 6.3.

Teorema Desargues Kecil. Jika dua segitiga dilihat dari sudut pandang titik P,

dan jika dua pasang sisi yang bersesuaian bertemu pada garis L melalui P, maka

pasangan sisi ketiga yang bersesuaian juga bertemu pada L.

Karena Proyeksi Pappus dan teorema Desargues hanya melibatkan konsep

insidensi, salah satu bukti dari mereka yang hanya melibatkan tiga aksioma

pesawat proyeksi dijelaskan dalam Bagian 5.3. Sayangnya, hal ini tidak mungkin,

5

karena ada contoh pesawat poyeksi yang tidak memenuhi teorema Pappus dan

Desargues. Apa yang dapat kita lakukan, bagaimanapun, menggunakan teorema

Pappus dan Desargues sebagai aksioma baru. Dengan tiga aksioma asli proyeksi

bidang, ada dua aksioma baru berlaku untuk proyeksi bidang yang lebih luas yang

disebut pesawat Pappian.

Pesawat Pappian termasuk RP2 dan banyak jenis lainnya, tetapi tidak

semua. Mereka berubah menjadi bidang dengan koordinat memenuhi hukum yang

sama pada aljabar sebagai bilangan real- aksioma lapangan. Tujuan dari bab ini

adalah untuk menunjukkan bagaimana koordinat muncul ketika teorema Pappus

dan Desargues digunakan, dan mengapa mereka memenuhi aksioma lapangan.

Dengan demikian, kita akan melihat bahwa geometri proyeksi lebih sederhana

daripada aljabar dalam arti tertentu, karena kita hanya menggunakan lima aksioma

geometri untuk memperoleh sembilan aksioma lapangan.

6.2 Coincidences

Jika dua titik A, B terletak pada satu garis, dan secara kebetulan titik C juga

terletak pada garis yang sama melalui titi A, B. Pertemuan yang secara kebetulan

inilah yang disebut “coincidences”. Dalam geometri proyeksi : Coincidences = 2

insidensi yang secara bersama-sama – dalam kasus ini insidensi A dan B dengan

sebuah garis, insidensi C dengan garis yang sama.

6

Teorema dari Pappus dan Desargues menyatakan bahwa beberapa kebetulan

terjadi. Pada kenyataannya, jenis coincidence ini hanya menjelaskan, di mana dua

titik terletak pada satu garis dan titik yang ketiga terletak pada garis yang sama.

Perspektif gambar lantai keramik juga melibatkan coincidence tertentu.

6.3 Variasi pada Teorema Desargues

Pada Bagian 6.1, kita menyatakan Teorema Desargues dalam bentuk: Jika

dua segitiga dilihat dari satu titik, kemudian ketiga pasang sisi yang bersesuaian

bertemu pada satu garis.

Kebalikan Teorema Desargues. Jika sisi yang bersesuaian dari dua segitiga

bertemu pada garis, maka dua segitiga itu adalah perspektif dari satu titik.

Untuk menyimpulkan hasil dari teorema Desargues, segitiga ABC dan

A’B’C’ adalah dua segitiga yang bersesuaian bertemu pada garis L. Misalkan P

perpotongan dari AA’ dan BB’, jadi kita ingin membuktikan bahwa P terletak

pada CC’. Misalkan PC bertemu pada garis B’C’ di C’’ (Gambar 6.12

menunjukkan C’’, hipotetis, tidak merata ke C’).

Kemudian segitiga ABC dan A’ B’ C’’ dalam perspektif dari P dan oleh

karena itu, dengan teorema Desargues, sisi yang bersesuaian bertemu tepat pada

satu garis. Kita sudah tahu bahwa AB bertemu A’B’ pada L, dan BC yang

7

bertemu B’C’ pada L. Oleh karena itu, AC bertemu A’C’’ pada L, tentu di titik Q

di mana AC bertemu L. Hal berikut bahwa QA’ melalui C’’. Tapi kita juga tahu

bahwa QA’ bertemu B’C’ di C’. Oleh karena itu, C’’ = C’.

Dengan demikian, C’ memang pada PC line, sehingga ABC dan A’B’C’

berada dalam perspektif dari P, seperti yang diperlukan. Akibat kedua dari

teorema Desargues disebut dengan teorema scissors.

Teorema Scissors : Jika ABCD dan A’B’C’D’ adalah bersisi empat dengan

puncak secara berurutan pada dua garis. Dan jika AB sejajar dengan A’B’, BC

dengan B’C’ dan AD dengan A’D’, maka begitu juga dengan CD yang sejajar

dengan C’D’

Untuk membuktikan teorema ini, misalkan E adalah perpotongan AD dan

BC dan E’ perpotongan dari A’D’ dan B’C’, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 6.13. kemudian segitiga ABE dan A’B’E’ memiliki sisi yang sejajar

bersesuaian. Oleh karena itu, mereka berada dalam perspektif dari perpotongan P

pada AA’ dan BB’ dengan kebalikan teorema desargues.

Tapi kemudian segitiga CDE dan C’D’E’ juga dalam perspektif dari P.

Karena sisi mereka CE dan C’E’, DE dan D’E’, Diasumsikan sejajar, maka dari

Teorema Desargues bahwa CD dan C’D’ juga sejajar.

Teorema Scissors hanya membuktikan bahwa jika garis hitam, abu-abu, dan

garis putus-putus pada Gambar 6.13 adalah sejajar, maka begitu pula garis putus-

putus.

8

Kami telah memperpanjang garis hitam dan putus-putus sampai mereka

bertemu dan membentuk segitiga yang bersesuaian dengan garis hitam, abu-abu

dan garis putus-putus yang sejajar.

Keterangan. Dalam prakteknya, teorema scissors sering digunakan dalam

berbagai cara. Kami memiliki sepasang gunting ABCD dan gambar lain

D’A’B’C’F’ Dengan pasang paralel hitam, abu-abu, putus-putus, dan garis putus-

putus seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.15. Kami ingin membuktikan

bahwa D’= F’ (sehingga ujung abu-abu dan putus-putus garis bertepatan, dan

angka kedua juga sepasang gunting).

Kebetulan ini terjadi karena garis C’D’ sejajar dengan CD oleh

teorema scissors, sehingga C’D’ adalah baris yang sama sebagai C’F’, dan

karenanya D’= F’.

9

6.4 Proyektif Aritmatika

Jika kita memilih dua garis dalam proyeksi bidang sebagai sumbu x dan y,

kita dapat menambah dan memperbanyak setiap titik pada sumbu x oleh

konstruksi tertentu. Itu konstruksi menyerupai konstruksi geometri Euclidean,

tetapi mereka menggunakan jangka saja, sehingga mereka masuk akal dalam

geometri proyeksi. Untuk menjaga mereka sederhana, kita menggunakan garis

yang kita sebut "sejajar," tapi ini hanya berarti pertemuan garis pada "garis di tak

terhingga". Kesulitan sebenarnya adalah bahwa a + b, misalnya, berbeda dengan

b + a, sehingga merupakan "coincidence" jika a + b = b + a. Sama halnya,

"coincidence" jika ab = ba, atau jika ada aturan aljabar lain yang berlaku.

Tambahan

Untuk membangun jumlah yang a + b di titik a dan b pada sumbu x, kita

mengambil setiap garis L sejajar dengan sumbu x dan membuat garis yang

ditunjukkan dalam Gambar 6.17:

1. Sebuah garis dari a ke titik di mana L bertemu dengan sumbu y.

2. Sebuah garis dari b sejajar dengan sumbu y.

3. Sebuah sejajar dengan garis pertama melalui perpotongan garis kedua

dan L.

Kita membutuhkan garis L untuk membuat a + b, tapi kita mendapatkan titik

a + b yang sama dari garis L’ yang lainnya sejajar dengan sumbu x.

10

Bagian hitam dari segitiga sejajar dengan konstruksi, seperti adalah bagian

abu-abu, salah satunya berakhir pada titik a + b dibuat dari L. Kemudian

berdasarkan teorema Desargues kecil garis putus-putus juga sejajar, dan salah

satunya berakhir pada titik a + b dibangun dari L’. Oleh karena itu, titik yang

sama a + b dibangun dari kedua L dan L’

Perkalian

Untuk membangun ab hasil dari dua titik a dan b pada sumbu x-, pertama-

tama kita harus memilih sebuah titik ≠ O pada sumbu x menjadi 1. Kami juga

memilih titik ≠ O menjadi 1 pada sumbu y. Titik ab dibuat dengan menggambar

garis hitam dan abu-abu dari 1 dan a pada sumbu x, ke 1 pada sumbu y, dan

kemudian menggambar sejajar seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.19.

Gambar ini adalah Versi proyeksi "perkalian dengan sebuah" dilakukan dalam

Bagian 1.4.

11

Memilih 1 pada sumbu x-berarti memilih satuan panjang pada sumbu x

tersebut, sehingga posisi ab pasti tergantung padanya. Sebagai contoh, ab = b jika

a = 1, tetapi ab ≠ b jika a ≠ 1. Namun, posisi ab tidak tergantung pada pilihan 1

pada sumbu y, sebagai teorema gunting menunjukkan (Gambar 6.20).

Pertukaran sumbu

Setelah kita memilih titik 1 pada kedua sumbu x dan y, adalah wajar untuk

setiap titik pada sumbu x sesuai dengan titik pada sumbu y diperoleh dengan

menggambar garis a sejajar melalui ke garis melalui titik-titik

1 pada kedua sumbu (Gambar 6.21).

Hal ini juga biasa untuk menentukan jumlah dan hasil pada sumbu y oleh

konstruksi seperti pada sumbu x. Tapi kemudian muncul pertanyaan: Apakah

jumlah dan hasil sumbu y bersesuaian dengan jumlah dan hasil sumbu x?

Untuk menunjukkan jumlah yang bersesuaian, kita perlu membangun

sebuah a + b pada sumbu x tersebut, dan kemudian tunjukkan bahwa titik a + b

bersesuaian pada sumbu y adalah penjumlahan sumbu y pada sumbu y a dan b.

Gambar 6.22 menunjukkan bagaimana konstruksi ini dilakukan.

12

6.5 The Field Axioms

Dalam menghitung dengan bilangan, dan khususnya dalam menghitung

dengan simbol ("Aljabar"), kita asumsikan beberapa hal: terdapat bilangan 0 dan

1, setiap bilangan a memiliki invers penjumlahan -a, setiap a ≠ 0 memiliki

kebalikan (reciprocal) di a-1

, dan di situlah aksioma lapangan berlaku. Ini telah

diperkenalkan dalam pembahasan ruang vektor dalam Bagian 4.8

Umumnya kita menggunakan aturan ini secara tidak langsung. Mereka

begitu sering digunakan, dan mereka seyogyanya bilangan asli, yang tidak kita

perhatikan. Tetapi untuk proyeksi penjumlahan dan hasil titik, mereka tidak benar

secara jelas (nyata). Hal ini bahkan tidak menerangkan bahwa a + b = b + a,

karena gambar a + b berbeda dengan gambar b + a. Ini adalah coincidence yang

sebenarnya bahwa a + b = b + a dalam geometri projeksi, hasil dari geometris

coincidence yang merupaka jenis yang dibahas dalam Bagian 6.2.

Dalam bab ini, kami tunjukkan bagaimana hanya dua coincidence - dari

teorema Pappus dan Desargues - mewakili ke sembilan aksioma lapangan.

Faktanya, diketahui bahwa Pappus saja sudah cukup, karena itu menjelaskan juga

13

Desargues. Kita tidak membuktikan fakta ini di sini, sebagian karena sulit, dan

sebagian lagi karena Teorema Desargues sendiri penting : teorema Desargues

menjelaskan semua aksioma lapangan, kecuali ab = ba. Maka, teorema dari

Pappus dan Desargues memiliki konten aljabar yang dapat diukur secara akurat

dengan aksioma lapangan yang mereka jelaskan. Pappus menjelaskan ke

sembilan, dan Desargues hanya delapan - semua kecuali ab = ba.

Pembuktian Hukum Komutatif

Kita mulai dengan dalil ab = ba, yang merupakan akibat paling penting dari

teorema Pappus. Gambar 6.24 menunjukkan bahwa gambar ba dari a dan b,

terletak di ujung kedua garis putus-putus. Hal ini berbeda dengan bentuk ab, dan

Gambar 6,25 menunjukkan gambar dari keduanya, ab dan ba pada diagram yang

sama.

Kemudian ab = ba karena ujung garis abu-abu dan putus-putus di tempat

yang sama, oleh teorema Pappus. Konfigurasi Pappus pada Gambar 6,25 terdiri

dari semua garis kecuali garis yang menghubungkan 1 pada sumbu x ke 1 pada

sumbu y.

Ada bukti yang sama bahwa a + b = b + a. Ingat, dari Bagian

6.4, bahwa a + b adalah hasil dari penambahan segmen Oa pada b. Maka, b + a

14

adalah hasil dari penambahan Ob pada a, yang berbeda dari gambar a + b. Lihat

kedua gambar bersama-sama (Gambar 6.26), kita melihat bahwa garis abu-abu

mengarah ke a + b dan garis putus-putus mengarah ke b + a. Namun, kedua ujung

garis pada titik yang sama, berkat teorema Pappus.

6.6 Hukum Assosiatif

Pertama, kita melihat hukum asosiatif pada penjumlahan a + (b + c) = (a +

b) + c. Gambar 6.27 menunjukkan gambar pada a + (b + c). Kita harus

menggambar b + c dari b dan c lebih dahulu, dan kemudian tambahkan a seperti

yang dilakukan pada Gambar 6.17. Selanjutnya kita harus menggambar (a + b) +

c, yang berarti menggambar a + b lebih dahulu, dan kemudian menambahkannya

ke c seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.28.

15

Gambar 6.29 menunjukkan kedua gambar 6.27 dan 6,28 pada diagram yang

sama. Di sini kita perlu Desargues atau, lebih tepatnya, teorema scissors.

Satu yang dapat dengan jelas melihat dua bagian teorema scissors, masing-

masing terdiri dari garis putus-putus, garis titik-titik, garis hitam, dan garis abu-

abu. Dalam teorema scissors benar bahwa garis abu-abu berakhir pada a + (b + c)

dan garis titik putus-putus pada (a + b) + c. Tapi ujung-ujung garis bertepatan,

dengan teorema gunting (scissors). Oleh karena itu a + (b + c) = (a + b) + c.

Karena teorema scissors dalam pembuktian ini berada antara garis sejajar,

kita hanya perlu teorema scissors kecil (dan karenanya hanya teorema Desargues

kecil, dengan keterangan di latihan sebelumnya).

16

Selanjutnya kita mempertimbangkan hukum asosiatif operasi perkalian, a

(bc) = (ab) c. Diagram (Gambar 6.30) adalah sama, kecuali bahwa teorema

scissors terletak antara garis (tidak sejajar) nonparallel (x - dan y-sumbu), jadi

sekarang kita sangat memerlukan Teorema Desargues.

Garis abu-abu berakhir pada a (bc) dan garis titik putus-putus berakhir pada

(ab) c. Tapi ujung-ujung garis bertepatan, dengan teorema scissors, sehingga a

(bc) = (ab) c.

6.7 Hukum Distributif

Untuk membuktikan hukum distributif a (b + c) = ab + ac, kita mengambil

keuntungan dari kemampuan untuk melakukan penjumlahan dan perkalian pada

kedua sumbu. Kita membuat b + c dari b dan c pada sumbu x, dan kemudian

memetakan b, c, dan b + c ke ab, ac, dan a (b + c) pada sumbu y melalui garis

sejajar ke garis dari 1 pada sumbu x ke a pada sumbu y. Kemudian kita

menggunakan penambahan pada sumbu y untuk membuat ab + ac di sana, dan

akhirnya, gunakan teorema Pappus untuk menunjukkan bahwa ab + ac dan a (b

+ c) adalah titik yang sama.

17

Ini sama dengan membangun ab dari a dan b pada sumbu y, karena garis

dari b ke b sejajar dengan garis dari 1 ke 1, seperti yang dipersyaratkan oleh

definisi operasi perkalian.

Selanjutnya kita tambahkan b dan c pada sumbu x, menggunakan pilihan

khusus garis L : yang sejajar melalui ab pada sumbu y. Kita juga menghubungkan

b, c, dan b + c, yang berturut-turut, ke ab, ac, dan (b + c) pada sumbu y oleh garis

yang sejajar, yang ditunjukkan putus-putus pada Gambar 6.32. Garis melalui c

yang membangun b + c, yaitu M sejajar dengan sumbu y, yang pada gilirannya

digunakan untuk menambah ab dan ac pada sumbu y.

Gambar ini memiliki struktur yang sama seperti Gambar 6.22 ; hanya saja

label telah berubah. Sekarang garis putus-putus yang berakhir pada a (b + c), dan

garis titik-titik berakhir pada ab + ac. Tapi sekali lagi, titik akhir bertepatan

dengan teorema Pappus, dan begitu a (b + c) = ab + ac.

18

Diskusi

Ide pengembangan projective geometri tanpa menggunakan angka berasal

dari matematikawan Jerman Christian von Staudt di 1847. Sebangsanya Hermann

Wi ener dan David Hilbert mengambil ide lebih lanjut pada tahun 1890, dan

mencapai titik tinggi dengan penerbitan buku Hilbert, Grundlagen der Geometrie

(Yayasan geometri), pada tahun 1899. Itu Hilbert yang pertama kali didirikan

korelasi yang jelas antara struktur geometris dan aljabar:

Pappus dengan perkalian komutatif

Desargues dengan perkalian asosiatif

Korelasi ini penting karena beberapa sistem aljabar yang penting memenuhi

semua aksioma lapangan kecuali perkalian komutatif. Contoh paling terkenal

adalah quaternions, yang telah dikenal sejak tahun 1843, namun, untuk beberapa

alasan, Hilbert tidak menyebutkan itu. Untuk membangun sebuah pesawat non-

Pappian, ia menciptakan ar ather sistem koordinat noncommutative buatan.

Hal ini mungkin sebuah kecelakaan sejarah yang beruntung Hilbert

menemukan peran teorema Desargues sama sekali. Dia dipaksa untuk

menggunakannya karena, pada tahun 1899, itu masih belum diketahui bahwa

Pappus menyiratkan Desargues. Implikasi ini pertama kali dibuktikan oleh

Gerhard Hessenberg pada tahun 1904. Bahkan kemudian bukti sudah rusak, dan

kesalahan tidak dikoreksi sampai bertahun-tahun kemudian.

Lingkaran seluruh ide rapi diikat dengan lain matematikawan Jerman, Ruth

Moufang, pada tahun 1930. Dia menemukan bahwa Teorema Desargues kecil

juga memiliki makna aljabar. Dalam sebuah pesawat proyektif memenuhi

Teorema Desargues kecil, dengan penjumlahan dan perkalian didefinisikan

sebagai dalam Bagian 6.4, seseorang dapat membuktikan semua aksioma

lapangan kecuali komutatif dan associativity. Itu bahkan dapat membuktikan

hukum asosiatif parsial disebut pembatalan atau alternativity

19

Hukum komutatif, asosiatif, dan alternatif yang indah dicontohkan oleh

operasi perkalian kemungkinan yang dapat didefinisikan "cukup" di ruang

Euclidean. ("Cukup" berarti menghormati setidaknya dimensi ruang. Untuk lebih

lanjut tentang masalah umum gagasan nomor ke dimensi n, lihat Bilangan buku

oleh D. Ebbinghaus et al..)

Perkalian komutatif adalah mungkin hanya pada R1 & R

2 , dan

menghasilkan sistem nomor R & C.

Asosiatif, namun non komutatif (noncommutative), perkalian hanya

mungkin pada R4, dan menghasilkan quaternions H.

Alternatif, namun non asosiatif, perkalian hanya mungkin pada R8, dan

menghasilkan sistem yang disebut octonions O. Octonions ditemukan

oleh seorang teman Hamilton dipanggil John Graves, pada tahun 1843,

dan mereka ditemukan secara independen oleh Cayley pada 1845.

Ruth Moufang adalah orang pertama yang menyadari pentingnya

quaternions dan octonions di projective geometri. Dia menunjukkan angka empat

pesawat proyektif, sebagai contoh alami dari pesawat non-Pappian, dan adalah

yang pertama untuk membahas pesawat octonion proyektif OP2. OP

2 adalah

contoh yang paling alami pesawat yang memenuhi Desargues sedikit tetapi tidak

Desargues.

Pada Bagian 5.4, kita membuat sketsa pembangunan RP3 ruang nyata

projective dengan cara koordinat homogen. Ide ini mudah umum untuk

mendapatkan ruang RPn n-dimentional nyata proyektif, dan satu bisa

mendapatkan mendapatkan CPn dan HP

n dengan cara yang persis sama

mengejutkan, ide tidak bekerja untuk octonions. Ruang octonion satunya proyektif

adalah octonion proyektif garis OP1 = O dan pesawat OP octonion proyektif

ditemukan oleh Moufang.

Alasan untuk tidak adanya OP3 sangat menarik dan berkaitan dengan sifat

dari teorema Desargues dalam tiga dimensi. Ingatlah bahwa Teorema Desargues

mengasumsikan sepasang segitiga dalam perspektif dan menyimpulkan bahwa

persimpangan dari sisi yang sesuai terletak pada garis. Kita tahu (karena contoh

pesawat Moulton) bahwa con-clusion tidak diikuti dengan sifat dasar kejadian

20

titik dan garis. Tetapi jika segitiga terletak pada ruang tiga dimensi, kesimpulan

berikut dengan sifat kejadian dasar titik, garis, dan pesawat.

Teorema Desargues spasial jelas dari gambar yang menekankan penempatan

segitiga dalam tiga dimensi, seperti Gambar 6.33. Pesawat yang berisi dua

segitiga bertemu di garis L, di mana pasang sisi yang sesuai tentu bertemu juga.

Argumen ini sedikit rumit jika dua segitiga terletak pada bidang yang sama.

Tapi, asalkan pesawat terletak pada ruang proyektif, dapat dilakukan (satu

menunjukkan bahwa konfigurasi planar adalah "bayangan" sebagai konfigurasi

patial).

Dengan demikian, teorema Desargues berlaku dalam setiap ruang projective

dari setidaknya tiga dimensi. Inilah sebabnya mengapa OP tidak bisa eksis. Jika

itu terjadi, teorema Desargues akan terus di dalamnya, dan kita kemudian bisa

menunjukkan bahwa O adalah asosiatif-yang bukan. Q. E. D.

DAFTAR PUSTAKA

Stillwell, Jhon. 2004. The Four Pillars of Geometri. San Fransisco: Springer