Proyecto RLC - Sistema Lineal

5/10/2018 Proyecto RLC - Sistema Lineal - slidepdf.com

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Proyecto:

Circuitos RLC como sistemas

lineales independientes del

tiempo.

Objetivos:

En esta practica nos proponemos implementar un circuito RLC suprime banda, que elimine dos frecuencias

en particular, y modelarlo como un sistema lineal.

Nahuel Barrios, Joaquín Chadicov, Carlos Vega.



I

V R

Fundamento teórico:

Componentes de un circuito RLC:

Condensador:

Un condensador está constituido por dos conductores en situación de influencia total (esto es, que todas

las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra), generalmente en forma de tablas, esferaso laminas, que son capaces de almacenar cargas iguales y opuestas (±Q).

Los condensadores son dispositivos que almacenan energía eléctrica.

El valor de la capacidad de un condensador se define como:

V

QC (1)

Donde Q es el módulo de la carga eléctrica almacenada en uno de los conductores y ∆V es la diferencia de

potencial entre los conductores. Si bien la definición anterior depende de la carga y el voltaje, la capacidad deun capacitor depende exclusivamente de su geometría.

Resistencia:

El resistor o la resistencia eléctrica de un elemento es la dificultad que presenta el mismo para la

circulación de corriente a través de él. La resistencia puede ser definida como:

(2)

Siendo ∆V la diferencia de potencial entre los extremos del elemento e I la intensidad de corriente que

atraviesa dicho elemento. La resistencia R depende, de las dimensiones del elemento de circuito y de laresistividad del mismo (la cual, a su vez, depende de la temperatura).

Bobina o inductor:

Para poder definir adecuadamente este elemento se comenzará realizando una breve introducción a la

inducción electromagnética.

Tras un gran número de experimentos realizados durante el siglo XIX, pudo relacionarse la fem inducida

con la variación de flujo magnético que atraviesa el circuito, independientemente de la forma en que lo hiciera

(Ley de Faraday):

dt

d

(3)

Donde representa la fem inducida y el flujo magnético.



El flujo magnético está relacionado con el campo magnético que atraviesa una superficie dada a partir de la

ecuación:

s

dan B ..

Así, el flujo magnético depende del campo magnético y de la geometría.

Si se considera un circuito aislado, el flujo magnético creado por la propia corriente que circula por él

depende de la forma geométrica del mismo, y según la ley de Biot-Savart es linealmente dependiente de la

intensidad de corriente que atraviesa el circuito. Si el flujo magnético depende sólo de la intensidad de

corriente, se define la autoniductancia como:

dI

d L

(4)

Combinando las ecuaciones 3 y 4 se obtiene una expresión para la fem inducida:

dt dI L (5)

Concepto de impedancia:

La impedancia es una magnitud que establece la relación (cociente) entre la tensión y la intensidad de

corriente. Tiene especial importancia si la corriente varía en el tiempo, en cuyo caso, ésta, la tensión y la propia

impedancia se describen con números complejos. Su módulo establece la relación entre los valores máximos o

los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La parte real de la impedancia es la resistencia y su parte

imaginaria es la reactancia.

Supongamos que tenemos una fuente de de corriente alterna que varia sinusoidalmente;

Entonces,

Teniendo esto en cuenta definimos,

(6)

(7)

El voltaje y la intensidad en el capacitor van a estar dadas por relaciones análogas a las Ecuaciones 6 y 7.

Considerando esto y que la carga se puede escribir como la integral de la intensidad en el tiempo tenemos:

j

t I dt t I t q

)(~

.)(~

)(~ (8)

Por otro lado, el voltaje en el capacitor cumple en analogía con la Ecuación 1:

C t qt V c / )(~)(~

(9)

http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Reactancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Reactancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia



Sustituyendo la Ecuación 8 en la Ecuación 9 se llega a que:

jC

t I t V c

..

)(~

)(~

(10)

De aquí se puede definir a la impedancia asociada al capacitor como:

(11)

En los inductores se puede proceder de la misma manera si se tiene en cuenta que el voltaje en la

inductancia es en analogía con la Ecuación 4:

dt

t I d Lt V L

L

)(~

)(~

(12)

De esto último obtenemos que:

)(~...)(

~t I j Lt V L L

(13)

De aquí se obtiene que la impedancia asociada a los inductores sea:

j L Z L .. (14)

El concepto de impedancia generaliza la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna,

ayudando a simplificar los cálculos en circuitos. Este hecho hace que las impedancias en series o en paralelo se

puedan analizar como se hace con las resistencias en estas condiciones. Por lo tanto es posible encontrar una

impedancia equivalente que nos simplifique el circuito. El uso de las impedancias para trabajar con circuitos es

una forma alternativa a las leyes de kirchoff, aunque estas se manifiestan de forma implícita cuando se trabaja

con las impedancias y viceversa.

Circuito suprime banda:

El filtro suprime banda a diferencia del circuito pasa banda tiene como objetivo suprimir o rechazar

frecuencias que por diferentes causas pueden afectar negativamente o no ser de interés para el dispositivo al

cual esta adherido dicho circuito.

Para implementar un filtro suprime banda se puede construir el siguiente circuito:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Ohm






Este circuito así montado funcione como filtro suprime banda se deduce a partir de los siguiente.

Consideremos el circuito de la figura 1.Dado que tenemos una inductancia en paralelo con un capacitor y

una resistencia conectada en serie con estos, la impedancia equivalente es:

R Z Z

Z Z Z

Lc

Lceequivalent (15)

Sustituyendo aquí los resultados de las ecuaciones 11 y 14 obtenemos:

(16)

Podemos escribir ahora la intensidad en el circuito en función del voltaje de la fuente y la impedanciaequivalente:

eequivalent Z

t V t I

)(~

)(~

(17)

Pero nuestro interés apunta al voltaje en la resistencia, ya que este es también el voltaje de salida del

suprime banda. Usando la ecuación 17 en vez de la intensidad podemos escribir dicho voltaje como:

(18)

Si consideramos que00

~V V (real) y tomamos los módulos en la igualdad anterior obtenemos:

(19)

Es de esperar que VR tenga un mínimo relativo como se indica en la figura 2 y no un máximo relativo, dado que

pretendemos suprimir un rango de frecuencias. Para concluir que esto así ocurre tengamos en cuenta la impedancia

equivalente ya que cuando su modulo tiene un mínimo, entonces |VR | tiene un máximo o de modo contrario cuando

éste tiene un máximo |VR | se hace mínimo.

Figura 1: La figura esquematiza el circuito

para el filtro suprime banda. El voltaje de

salida es el voltaje en la resistencia.



Si ahora tenemos en cuenta los siguientes limites:

0

0 .0

V R Z

V Lim

eequivalent

(20)

0

0 . V R

Z

V Lim

eequivalent

(21)

0.1

0 R Z

V Lim

LC

eequivalent

(22)

Las ecuaciones 21 y 22 se ven reflejadas en la Figura 2.

La Ecuación 22 indica que si ω→1/(LC)½

el voltaje |VR | se hace cero. Esto implica que para esa frecuencia se tenga

un mínimo, debido a que |VR| no puede tomar valores más chicos que cero.

Por lo tanto este circuito corresponde a un circuito suprime banda, en donde la frecuencia de anti resonancia es:

C L.

10 (23)

El comportamiento del voltaje en función de la frecuencia para el modelo planteado se visualiza en la

siguiente figura:

Factor de calidad:

El factor de calidad en los filtros es una forma de medir cuan grande es el ancho de banda en proporción a la

frecuencia de resonancia o anti resonancia .La forma en que se define es la siguiente:

12

0Q (24)

Donde ω1 y ω2 son las frecuencias a las cuales el voltaje en la resistencia toma el valor V0/21/2

, como se muestra en el

gráfico de la Figura 2.

Figura 2: Esta figura representa la grafica del

voltaje de salida del filtro suprime banda, en

función de la frecuencia angular. En donde ω0 es

la frecuencia de anti resonancia, en la cual el

voltaje de salida tiene su mínimo. ω1 y ω2 son las

frecuencias que delimitan el ancho de banda,

siendo el ancho de banda igual a ω2 - ω1.Y son

aquellas frecuencias para las cuales el valor del

voltaje en la salida es V0/2½.



Sistemas lineales invariantes en el tiempo:

Entenderemos como sistema un conjunto de partes interactuando.

A su vez, los clasificaremos según necesiten una entrada o no para funcionar. Los primeros se denominarán

sistemas no autónomos, mientras los segundos autónomos.

Analicemos un sistema con una entrada y una salida, como se muestra en la figura 3:

Figura 3: Esquema de un sistema con una entrada y una salida

En un sistema no autónomo la entrada es un parámetro independiente, mientras que la salida depende de

la entrada.

Un sistema lineal es un sistema no autónomo en el que la salida es una transformación lineal de la entrada,

o, lo que es lo mismo:

s(t)=T(e(t)) , donde T es un operador lineal

Para que el sistema, además, sea invariante en el tiempo debe cumplirse que T sea independiente del

tiempo, es decir:

s(t-t0)=T(e(t-t0)) (25)

De esta forma para caracterizar un sistema no autónomo lineal basta con conocer la transformación lineal

que transforma la entrada en la salida.

Principales características de los sistemas lineales invariantes en el tiempo.

Supongamos la entrada de un cierto sistema no autónomo lineal puede escribirse como:

(26)

Luego, como el sistema es lineal la salida puede formularse como:

(27)

Donde es la respuesta a la entrada . Como cada entrada es invariante en el tiempo (de modo que x

sea invariante en el tiempo) se cumple que .

Así, también debe cumplirse (ya que el sistema es invariante en el tiempo): , donde w es

la respuesta del sistema a la entrada v .

Entonces, conociendo w para v puede conocerse cualquier salida y para cualquier entrada x , o, lo que es lo

mismo, el sistema puede ser caracterizado.

SISTEMAe(t) s(t)



Producto de convolución:

La dificultad principal en la caracterización de un sistema tal cual se muestra en la propiedad anterior radica

generalmente en lo complicado de expresar una cierta entrada x en los términos manejados en la ecuación 27.

Una manera de escapar a esto es elegir una entrada particular v0 para la cual la expresión de cualquierentrada x(t) pueda obtenerse de un modo simple. Si esto fuera posible, a partir de la salida w 0 correspondiente

a v 0, podría determinarse y(t), logrando así caracterizar el sistema.

Veamos si existe algún v 0 que cumpla con las propiedades anteriores.

Consideremos un segmento de alguna función x(t) de soporte acotado y continua (por lo menos a trozos).

Puede construirse una aproximación a la función x(t) a partir de una función x ε(t) la cual puede considerarse

como una secuencia de rectángulos contiguos como se muestra en la figura 4. Los puntos medios de los

rectángulos corresponden a t=k ε con k entero. La altura de un rectángulo cuyo punto medio es kε es x(kε).

Figura 4: x(t) y su aproximación x ε(t) para

Puede notarse, observando la figura que la diferencia entre x(t) y su aproximación se hace más pequeña

cuanto más pequeño sea ε. Esto puede expresarse como:

(28)

Para obtener la respuesta del sistema y(t) a la entrada x(t), puede obtenerse primero y ε(t), la respuesta a la

entrada x ε(t), para luego llegar a:

(29)

Para continuar con el desarrollo de esta sección es necesario utilizar la función , la cual se muestra en

la figura 5. Como se muestra podría decirse que la “función consiste en un rectángulo” con su punto medio en

t=0 y un ancho de ε segundos; siendo su área igual a uno. En términos de esta función un “rectángulo” con sucentro en kε y altura x(kε) podría ser expresado como:

(30)



Al visualizar la ecuación 30 resulta evidente que su forma es exactamente igual a la de la ecuación 26

siendo cn= ; v(t)= y τk=k ε. Entonces, de acuerdo a la ecuación 27, la respuesta del sistema lineal a la

entrada x ε(t) es:

(31)

Donde hε(t) es la respuesta a un sistema lineal dado para . Haciendo , de acuerdo a la discusión

hecha anteriormente puede obtenerse y(t), así:

(32)

Donde .

La integral de la ecuación 33 es conocida como la integral de convolución o, lo que es lo mismo, como

producto de convolución:

(33)

El sistema utilizado en la práctica para suprimir dos bandas de frecuencias consiste en dos circuitos cual el

mostrado en la Figura 1 conectados en serie.

Sin embargo, se pretende que la presencia de un circuito no altere los voltajes en el otro (para poder tratar

cada uno individualmente como sistema lineal) por lo que conectar dos circuitos en serie sin más no es

suficiente. Para lograrlo es necesario un dispositivo, amplificador operacional, del que se hablará más adelante;

siendo el circuito realmente utilizado el que aparece en la figura 6.

Consideraremos dos sistemas lineales: el circuito que recibe como entrada el voltaje de la fuente y el

circuito que presenta como entrada el voltaje de la resistencia del sistema anterior.

La función de entrada al primer sistema puede verse como el voltaje de la fuente: . Aplicando

(36) puede hallarse la respuesta (el voltaje en la resistencia):

(34)

La función se denomina función de transferencia, la cual es igual a la integral que aparece

multiplicando a la función de entrada.

δε

1/ε

ε/2 -ε/2

Figura 5: Gráfico de δε(t).Puede

notarse que el área bajo la curva es uno.



Como la salida es el voltaje en la resistencia, de acuerdo a la ecuación 19, debe cumplirse:

Donde Ф1 es la cantidad mostrada en la ecuación 18, sustituyendo R, L y C por sus correspondientes en el primercircuito.

La entrada del segundo sistema se corresponde con la salida del primer circuito:

Como este sistema es igual en su configuración al sistema uno, su función de transferencia tiene la misma

forma:

Con lo anterior la salida del segundo sistema ha quedado completamente determinada:

(35)

Procedimiento y dispositivo experimental:

Para lograr suprimir dos frecuencias dadas con sus respectivos anchos de bandas, no es suficiente con el circuito

suprime banda indicado en el fundamento teórico. Una posible opción es conectar dos de estos circuitos suprime banda

en serie, de modo que la salida de uno sea la entrada al otro.

Para montar un circuito con estas características hay que tener en cuenta que si se conectan los circuitos en serie,

la impedancia de uno podría afectar el funcionamiento del otro y viceversa, no pudiendo obtener los efectos deseados

(se tomaron medidas en un circuito sin operacional, su gráfico se muestra en la siguiente sección).

Para solucionar este problema se conecta al circuito un amplificador operacional que funcione como un

seguidor de voltaje. Este circuito se puede observar en la siguiente figura:



Un amplificador operacional es en general un circuito integrado con dos entradas, una positiva (V+) y otra

negativa (V-), y una salida VOUT que cumple;

Donde G es la ganancia, la cual es infinita en un operacional ideal.

Como se observa en la figura, la entrada positiva del operacional percibe el mismo potencial que R1, y la

entrada negativa se cortocircuita con la salida del operacional. El resultado de esta configuración es un seguidor

de voltaje:

A continuación se adjunta un dibujo esquemático del amplificador operacional empleado.

Figura 7: Esquema del amplificador operacional empleado.

La entrada del circuito compuesto es la fuente, en este caso un generador de funciones. La salida es el

voltaje en R2, en donde se conecto un osciloscopio para visualizar el comportamiento del circuito y poder

levantar los datos a un archivo Excel, para luego ser analizados usando Matlab.

Los dispositivos aquí utilizados son los mencionados antes, salvo una fuente de corriente continua que se

utilizo para alimentar el operacional amplificador dado que este tipo (LM741) necesita ser alimentado por una

corriente continua, independiente de la corriente que se desea amplificar.

1- Offset null 1

2- Inverting input

3- Non-inverting input

4- Vcc-

5- Offset null 26- Output

7- Vcc+

8- N.C.

1

2

3

4

8

7

6

5

Figura6: La figura muestra el circuito compuesto

por los dos suprime banda.



En principio los dos circuitos se analizaran por separados para visualizar cuales son sus frecuencias de anti

resonancias y sus anchos de banda. Luego se trabajara con el circuito compuesto de la figura 3 para corroborar

que suprime las dos bandas que suprimen ambos circuitos por separado.

Análisis de Datos:

Para nuestro análisis le llamamos Circuito 1 al circuito que se conecto directamente a la fuente. Y Circuito 2 al de

la salida. Los datos de los componentes usados son: Circuito 1:

R1=(15.1±0.1)Ω;

L1=(3.35±0.01) mH;

C1=(5.0±0.1) μF.

Circuito2:

R2=(10.3±0.1)Ω;

L2=(0.39±0.01)mH;

C2=(1.0±0.1) μF.

Primeramente se procedió a verificar nuestra idea inicial acerca de la necesidad de utilizar un amplificador

operacional en el circuito para poder cumplir con los objetivos.

Como pudo constatarse que la amplitud para el voltaje de la fuente no permanecía constante para todos

los valores de frecuencia, en lugar de evaluar directamente las amplitudes para el voltaje en la resistencia

(respuesta del circuito) se trabajó con el cociente entre las amplitudes del voltaje en la resistencia y en la fuente

respectivamente (VR/V0).

Las medidas de la amplitud del voltaje en la resistencia (R2) relativo al de la fuente y las de la frecuencia

arrojaron la siguiente representación gráfica:

Gráfica 1:

Al observar los resultados es claro que el circuito sin operacional no brinda la respuesta deseada a los



efectos del objetivo del proyecto: no hay dos bandas de frecuencias claramente eliminadas.

A partir de esto la idea de esta sección consiste en verificar que ambos circuitos suprimen una banda; para

luego conectarlos como se muestra en la figura 6 donde debería observarse la supresión de dos bandas (una

correspondiente al Circuito 1 y otra al 2).

Así, se obtuvieron los siguientes gráficos:

Gráficos 2 y 3: Datos experimentales y ajustes teóricos – Circuito 1

Gráficos 4 y 5: Datos experimentales y ajustes teóricos – Circuito 2



Observando las gráficas puede decirse que ambos circuitos se comportan como un filtro suprime banda

como era de esperar. Además, desde un punto de vista cualitativo, el modelo teórico ajusta de buena forma lo

obtenido mediante la experimentación. Además, es interesante observar como las gráficas parecen cumplir los

límites que aparecen en las ecuaciones 20, 21 y 22.

A partir de las ecuaciones dadas en la fundamentación teórica (ecuaciones 23 y 24) pueden calcularse los

valores para el factor de calidad y la frecuencia de anti resonancia. Se obtuvieron los siguientes resultados:

Circuito 1:

ωteo/2π = (1230±12)Hz

ωexp/2π = 1230Hz

Factor de calidad: Q = 0.58

Circuito 2:

ωteo/2π = (8059±416)Hz



ωexp/2π = 8060Hz

Factor de calidad: Q = 0.52

Las frecuencias de anti resonancia experimentales anteriores son simplemente la frecuencia a la que se

obtuvo la menor amplitud en el voltaje de la resistencia del circuito en cuestión. Como se puede ver en los

resultados anteriores, se obtuvieron valores que no solo están dentro del margen de error del valor esperado,

sino que además son prácticamente el mismo. Es de notar que los factores de calidad son relativamente bajos

para ambos circuitos, cosa que puede afectar negativamente en el circuito compuesto (Circuito 3) si las

frecuencias no están lo suficientemente alejadas.

Una vez efectuado el análisis de los dos circuitos por separado se paso al análisis del circuito compuesto al

cual lo identificaremos como Circuito 3, para el cual se obtuvieron los siguientes gráficos:

Gráficos 6, 7 y 8: Datos experimentales y ajustes teóricos – Circuito 3



Puede visualizarse que efectivamente se obtuvo lo deseado. El Gráfico 5 muestra la supresión de dos

bandas, con sus respectivos anchos de banda y frecuencias de anti resonancia prácticamente idénticas a las

obtenidas con los circuitos 1 y 2 individualmente.

Además, al observar este gráfico es claro que la aproximación como un sistema lineal invariante en el

tiempo resulto adecuada, dada la muy buena concordancia entre los valores experimentales y teóricos.

Primer mínimo: ωexp/2π = 1225Hz

Segundo mínimo: ωexp/2π = 8040Hz

Puede verse que en ambos casos las frecuencias de anti resonancia experimental están dentro del margen

de error de las frecuencias teóricas calculadas para cada uno de los circuitos 1 y 2 por separado.

No se pudo hablar de un factor de calidad para las frecuencias de anti resonancia en este último circuito

porque la amplitud del voltaje en la segunda resistencia no alcanza el valor V0/21/2

para ninguna frecuencia

comprendida entre los mínimos. Esto se debe probablemente a que los factores de calidad de cada circuito por

separado no son lo suficientemente buenos en relación a la separación en frecuencia que hay entre los dos

mínimos.

Conclusiones:

En primer lugar, como se vio en el análisis de los datos, éstos se ajustaron muy bien a los valores esperados;

las frecuencias de anti resonancia son muy cercanas a las calculadas y las curvas que ajustan los puntos lo hacen

muy bien. Es importante el hecho de que los factores de calidad para cada circuito resultaron demasiado bajos

como para calcular un factor de calidad en el circuito combinado. Se podría decir que hay una supresión

excesiva de las amplitudes correspondientes a las frecuencias intermedias a las de anti resonancia. Mejores

factores de calidad se podrían lograr consiguiendo una mejor combinación de resistencia, inductancia,

capacitancia. En caso de no poder mejorar los factores de calidad sería conveniente encontrar una combinación



de los anteriores tres que den como resultado frecuencias de anti resonancia más alejadas entre sí.

El hecho de que el Circuito 3 se ajustara tan bien a las predicciones prueba que modelar el sistema como

lineal e independiente del tiempo resulta muy adecuado.

Por último se puede decir que si bien el amplificador operacional depende de su valor de ganancia, el cual

obviamente es finito, cumplió muy bien su roll de seguidor de voltaje, ya que de no haber sido así no se

hubieran obtenido resultados tan precisos, lo que significa que la ganancia del mismo es muy alta.

Bibliografía:

Fundamentos de la teoría electromagnética – Reitz, Milford, Christy

Lienar time-invariant systems – Martin Schetzen

Wikipedia.org

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