UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA

CURSO DE NIVELACIÓN SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

UNIDAD DE ANÁLISIS: MATEMÁTICAS

“PROYECTO DE AULA”

Tema:

“Aplicaciones de la vida cotidiana de relaciones y funciones reales”

DOCENTE: Ing. Luis López

INTEGRANTES: PARALELO: “K “

Alex Amaguaña

Ronaldo Freire

Mónica Landa

Fernanda Quilapanta

Cristina Silva

ABRIL - AGOSTO 2015

AMBATO – ECUADOR

1

ÍNDICE

1

.TEMA....................................................................................................................................1

2. JUSTIFICACIÓN..........................................................................................................3

3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.........................................................................4

4. OBJETIVOS..................................................................................................................4

4.1 OBJETIVO GENERAL.........................................................................................4

4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS...............................................................................4

5 DESARROLLO.............................................................................................................5

RELACIONES....................................................................................................................5

FUNCIONES.......................................................................................................................8

FUNCIÓN LINEAL............................................................................................................9

FUNCIÓN CUADRÁTICA..............................................................................................11

FUNCION LOGARITMICA............................................................................................18

FUNCIÓN EXPONENCIAL............................................................................................22

FUNCIÒN RAÍZ CUADRADA.......................................................................................26

6 CONCLUSIONES.......................................................................................................30

BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................30

2

2. JUSTIFICACIÓN

Muchas veces el ser humano hace uso de las funciones aun cuando ni se da cuenta,

las funciones y relaciones permite valorar la correspondencia que existe entre los

elementos, su campo es muy amplio y variado están relacionadas con: finanzas,

economía, geología, astronomía, ingeniería, medicina, química y física y cualquier

otra área que haya que relacionar variables.

En el diario vivir las funciones son utilizadas para la resolución de problemas el

ejemplo más claro se da cuando vamos al mercado o a cualquier centro comercial,

siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios,

con el costo en dólares para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al

plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como

el precio y la cantidad de producto como "y".

El estudio de las relaciones es de trascendental importancia en matemáticas pues

resultan ser una de las ideas más útiles para modelar e interpretar el mundo real. Por

ejemplo, el movimiento de un cuerpo en el espacio en relación al tiempo, la estatura

promedio de un niño de 0 a 6 años y su edad, la masa corporal de una persona y su

índice de grasa, número de minutos que habla por teléfono y costo de la llamada.

Razón por la cual se realiza el presente proyecto que detalla las aplicaciones en la

vida cotidiana de las funciones y relaciones.

. 

3

3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

¿Cómo aplicar las funciones y relaciones reales, en la vida diaria?

4. OBJETIVOS

4.1 OBJETIVO GENERAL

Analizar las diferentes aplicaciones de funciones y relaciones para la resolución de

problemas cotidianos del ser humano.

4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Aplicar los conocimientos adquiridos en el curso de nivelación en la

asignatura de matemáticas.

2. Identificar los métodos de resolución de problemas en los que se relacione

variables.

3. Explicar de manera detallada los pasos a seguir para la resolución de

problemas relacionados al tema propuesto.

4. Detallar de manera explícita los diferentes tipos de funciones aplicadas en el

presente proyecto

4

5 DESARROLLO

RELACIONESDefinición.- Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación

matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del

primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla

de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez,

relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.

En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que

el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido.

Representación gráfica de las relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas

sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Si  A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y  R la relación definida por la regla      

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar  R.

 

Solución

Los pares ordenados que pertenecen  a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:

                                        R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

5

Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

Tipos de relaciones

Relación unitaria.-En matemáticas, una relación unaria R, en un conjunto A, es

el subconjunto de los elementos x de A que cumplen una determinada condición que

define R:

Relación binaria.-Es una relación matemática   definida entre los elementos de

dos conjuntos   y  . Una relación   de   en   se puede representar mediante pares

ordenados   para los cuales se cumple una propiedad  , de forma

que  , y se anota:

Relación Ternaria.-En matemáticas, una relación ternaria R es el conjunto de

ternas,   que cumplen una determinada condición que define R

Ejemplo 1.

6

Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares

ordenados:

                                        A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

                                        R1 =  {(2, 1), (3, 1)}

                   

                     R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

                                        R3 =  {(2, 4), (3, 5)}

Ejemplo 2.-Samuel tiene dos hijos y una hija sus nombres son: Alberto, Daniel y Rosa.

Roberto tiene dos hijos sus nombres son: Juan y Carlos. Encontrar la relación de padre a

hijo.

R : Padre−Hijo B

A

Dominio Rango

7

Samuel

Roberto

Alberto

Daniel

Rosa

Juan

Carlos

Ejemplo 3.- Establecer la relación de quien tiene más años entre hombres y mujeres. Si se

dice lo siguiente Pedro tiene 10 años, Lucas tiene 8 años y Javier tiene 6 años. Mientras que

Carmen tiene 5 años, Maribel tienes 4 años y Alexandra tiene 6 años.

R: A>B

A B

FUNCIONES

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la

primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de

un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del

radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades

separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se

desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera

magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que

depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a

una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un

segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee

un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero).

8

Pedro

Lucas

Javier

Carmen

Maribel

Alexandra

FUNCIÓN LINEAL

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de

primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea

recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = mx + b

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la

pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se

modifican entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la

línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:

f(x) = mx

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f(x) = mx + b

cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también

de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

9

Si m > 0 la función es creciente  y ángulo  que forma la recta con la parte

positiva del eje OX es  agudo .

Si m < 0 la función es decreciente  y ángulo  que forma la recta con la parte positiva del eje OX es  obtuso .

APLICACIONES

Ejemplo 1.- En el terminal terrestre de Ambato los pasajes para viajar a Guayaquil es de

8.00$ cada uno, además antes de subirse a su respectivo bus deben comprar un ticket para

la colaboración al dicho terminal y su valor es de 0.25 $

Y=8x + 0.25

Dónde: Y es el costo total a pagar.

X es el número de pasajes a comprar.

10

Intersecciones

Eje y x=0 Eje x y=0

Y=8(0)+0.25 0=8x+0.25

Y=0.25 8x=-0.25

(0;0,25) x=-0,03

(-0,03;0)

FUNCIÓN CUADRÁTICA

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función

polinómica definida por: y=ax2 + bx + c con a≠0

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría

paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando:

11

Se debe distinguir que una función cuadrática, puede ser cóncava hacia arriba o cóncava

hacia abajo, solo es necesario aplicar la siguiente regla:

Si a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo

un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba").

a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la

parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy

diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida

es una familia de funciones cúbicas.

12

Raíces

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x,

para los cuales   . Son denotadas habitualmente como:   y  ,

dependiendo del valor del discriminante Δ definido como   :

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo,  :

Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero,  :

La parábola es tangente al eje X.

La parábola no corta al eje X.

13

Raíces no son reales si el discriminante esnegativo,  .:

REPRESENTACION GRÁFICA

Intersección con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el

eje y cuando x vale cero (0):

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lo que resulta:

La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en

los términos.

Intersección con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

es decir:

Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con

el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

.

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Vértice

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si

la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función;

mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

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La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y  la ordenada

corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según  sea la

orientación

de la parábola (discriminante).

APLICACIONES

EJEMPLO1

Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación ,

donde x es la distancia recorrida (en pies) y y es la altura (también en pies). ¿Qué tan largo

es el tiro?

Solución: Intersecciones:

Eje x x=−1 ±√1.5302−0.0482

y=0 x=−1 ±1.237−0.0482

Y=-0.0241x2 +x+5.5x1= −2.237−0.0482

x2= 0.237−0.0482

∆ = b2 – 4ac

∆= 1-4(-0.0241) (5.5)

∆=1+0.5302

∆=1.5302

∆>0

16

x1=46.4 x2=−4.9

Eje y

x=0

Coordenadas del vértice:

CV =(−b2a

, 4 ac−b2

4 a )

CV =( −12(−0.0241)

, 4 (−0.0241 ) (5.5 )−12

4(−0.0241) )CV =( −1

−0.0482, 1.53020.0964 )

CV =( 10.0482

, 1.53020.0964 )

Gráfica:

17

y=5.5

CV =(20.75,15.88)

FUNCION LOGARITMICALa función inversa a la función exponencial es la logarítmica.

Es una función de la forma: Y=log a X , siendo a>0 y a≠1.

Si damos valores positivos arbitrarios a X, obtendremos los valores de Y, que determinan las coordenadas de los puntos que pertenecen a la función.

Los logaritmos varían muy lentamente, lo que les hace ser una escala numérica adecuada para medir fenómenos naturales que implican números muy grandes, tales como la intensidad del sonido, la de los movimientos sísmicos, la datación de restos arqueológicos, etc.

Características de la curva:

1. La función se halla definida solo par valores de x>0.2. Para x>1 resulta valores de y>0, o sea positivos.3. Para x<1 resulta valores de y<0.

Características de la función:

1. El domino dela función es (0, ∞).2. El rango de la función es (-∞, ∞).3. La función logarítmica tiene un punto característico que es el (1,0).4. La gráfica de la función logarítmica es simétrica.5. En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que lo ga1 = 0, en cualquier

base.6. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).7. SI 0<a<1 , la función f(x)=log a Xes estrictamente decreciente y su grafica es del

tipo:

18

8. Si a>1, la función f(x)=log a X es estrictamente creciente y su grafica es del tipo:

APLICACIONESESCALA DE RICHTER

La escala sismológica de Richter, también conocida como escala de magnitud local, es una escala de magnitud arbitraria que asigna un número para cuantificar el efecto de un terremoto, denominada así en honor del sismólogo estadounidense Charles Richter (1900–1985).

M= log A + 3log (8∆t)-2.92

Dónde:

A = amplitud de las ondas en milímetros, tomado directamente en el sismograma.

∆t = tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P al de las ondas S.

M= magnitud arbitraria pero constante a terremotos que lideran la misma cantidad de energía.

Ejemplo

19

1. Supongamos que un sismo dura 30 s entonces la función se reduce a M=log(A) +4.22. Calcular la amplitud del sismo si su magnitud fue de 6.2 en la escala de Richter.

M= log A + 3log (8∆t)-2.92 Log A = 6.2 - 4.22

M= log A + 3log (8*30)-2.92 Log A = 1.98

M= log A + 4.22 Log A = 1.98 log 10

Log A = log 101.98

A = 101.98

A = 95.49 mm

Tabulación

FUNCION VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número representa su distancia al cero. La función valor absoluto es la que asigna a cada número esa distancia.

Teniendo en cuenta que el valor absoluto de un número es el mismo número si éste es positivo y su opuesto si es negativo, la ecuación de esta función es:

Características de la función:1. El dominio de la función son todos los reales.2. El rango de la función va desde (0, ∞).

20

X(A) Y(M)1 4.222 4.523 4.694 4.825 4.916 4.997 5.06

3. La imagen de una función valor absoluto es I I es positiva y para representarla hay que descomponerla. Escribimos delante de la función un signo positivo y uno negativo, obtenemos

una función definida a trozos. La función cambia en aquellos valores donde se anula la x de la función valor

absoluto. Para poner las zonas de cada una tenemos en cuenta que la función siempre es

positiva. Damos valores a cada uno de los trozos para representarla.

4. La función valor absoluto de una función de primer grado es continua, decreciente en el primer tramo y creciente en el segundo.

Características:

Las partes de la curva que se encuentran a la derecha del eje decir, para x≥0 permanecen inalterables, mientras que, para x<0 se traslada al lado contrario en forma simétrica con relación al eje vertical.

5. La función valor absoluto de una función de segundo grado es la de una función cuadrática.

Características:

Las partes de la curva donde y≥0 permanecen inalterables, pero las partes de la gráfica donde y<0 se invierte simétricamente con respecto al eje x.

Se descompone en tres tramos, los límites de los intervalos que marcan dichos tramos son los puntos de corte de la función cuadrática en el eje de las abscisas.

21

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo y a ≠ 1 y el exponente la variable x. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

PROPIEDADES

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Dominio:  .

Recorrido:  .

Es continua.

Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva  a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a > 1.

Decreciente si a < 1.

Las curvas y = ax e y = (1/a)x  son simétricas respecto del eje OY.

APLICACIONES

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de

crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a

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interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las

sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para

producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes. (Sergio Bale)

Las funciones exponenciales se usan en contextos, como crecimiento poblacional y

bacterial, decaimiento radioactivo, interés compuesto, enfriamiento de objetos y

crecimiento de fenómenos como infecciones de virus, uso de Internet y popularidad de las

modas.

Ejemplo:

1. En condiciones ideales, se sabe que cierta población de bacterias se duplica cada 3 horas.

suponga que primero hay 10 bacterias. a) ¿cuál es el tamaño de la población después de 15

horas? b) estime el tamaño de la población después de 20 horas

(x/3)F(x)= 10 * 2

Donde:

10= número de bacterias existente

X= tiempo de reproducción

3= horas de reproducción

TABULACIÓN: Dominio: R+

Rango: R+

24

x y

6 40

15 320

20

30 10240

Representación Gráfica

2. Una persona deposita 120 dólares en régimen de interés compuesto a una tasa de interés de 2 % mensual.

(x)C= 120*(1+0,02)

(x)F (x)= 1200* (1,o2)

Donde:

120= dinero depositado

1,02= fórmula del interés compuesto

x= tiempo (meses)

TABULACIÓN: Dominio: R+

Rango: R+

Representación Gráfica

25

x y

0 120

1 122,4

2 124,848

FUNCIÒN RAÍZ CUADRADALas funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma:

cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada, solo

tiene sentido para los valores de x que cumplan con la condición   , ya que en el conjunto de los números reales las raíces de índice par con radicando negativo no están definidas.

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría  de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El gráfico de la función raíz cuadrada  es:

 

26

A este gráfico le podemos aplicar traslaciones horizontales, hacia la derecha si hacemos 

 

PropiedadesAnálogamente a las funciones ya estudiadas, tenemos como propiedades generales de la

función   las siguientes:

Propiedades Interpretación

Dominio  La proyección de su gráfica cubre el semieje positivo de las x.

Imagen  La proyección de su gráfica cubre el semieje positivo de las y.

Cero  En este valor la gráfica corta al eje x.

Monotonía Creciente para A medida que aumentan los valores del

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todo su dominio. dominio,los valores de las imágenes también aumentan.

Valor mínimo: 0 Menor valor de las y.

APLICACIONES

La función raíz cuadrada se encuentra vinculada a la Teoría lineal de las olas, esta teoría indica que la raíz cuadrada del producto de la profundidad del agua por aceleración de la gravedad es la celeridad o velocidad de la onda que se acerca a la costa en aguas poco profundas.

Esta misma fórmula se utiliza para determinar la velocidad de los tsunamis y permite conocer el tiempo que demorará en azotar a una costa en particular.

El estudio de las condiciones del oleaje reviste gran importancia por su aplicación en las plataformas marinas, petroleras, los rompeolas entre otros.

Actualmente, investigadores de los equipos multidisciplinarios donde intervienen especialistas en matemáticas, continúan perfeccionando esta relación para los distintos tipos de ondas que se pueden encontrar, para lograr mayor precisión en los análisis que realizan.

Aceleración de la gravedad

En el Ecuador, la aceleración de la gravedad es de 9,7799 metros por segundo cada segundo, mientras que en los polos es superior a 9,83 metros por segundo cada segundo. El valor que suele aceptarse internacionalmente para la aceleración de la gravedad a la hora de hacer cálculos es de 9,82 metros por segundo cada segundo.

1. Determinar la celeridad de la onda que se acerca a la costa del mar Mediterráneo,

teniendo en cuenta que la profundidad es de 100metros.

Donde:

c= celeridad o velocidad de la onda

g= aceleración de la gravedad

28

h= profundidad del agua

TABULACIÓN

DOMINIO= [0, R+[

RANGO= [0, R+[

Representación Gráfica

29

X Y

100 31,30

250 49,50

300 54,22

6 CONCLUSIONES

6.1. Se pudo observar desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria.

6.2. Se concluye que las funciones y relaciones son útiles en diferentes campos de nuestra

vida.

6.3 Aplicamos todo lo aprendido para la resolución de problemas que abarca relaciones y

funciones.

6.4. Se concluye que el desarrollo de las funciones reales aplicadas a nuestro diario vivir es

muy fácil y de mucha utilidad.

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%C3%A1tica

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