UNIVERSIDAD AUTNOMA DE YUCATNFACULTAD DE MATEMTICAS

NOMBRE: ROEMER ROSADO SOSA

MATERIA: REGRESION LINEAL Y SERIES DE TIEMPO PROYECTO # 2 MTODOS DE SUAVIZAMIENTO PARA SERIES DE TIEMPO

MAESTRA: ROCIO ACOSTA PECH

FECHA DE ENTREGA:1|Pgina

24/ NOVIEMBRE/ 2011

NDICE.OBJETIVO. INTRODUCCIN PROMEDIO MVIL SIMPLE... 3

3

7

PROMEDIO MVIL CENTRADO PROMEDIO MVIL PONDERADO.... DOBLE PROMEDIO MVIL... MTODO EXPONENCIAL SIMPLE MTODO EXPONENCIAL DE HOLT.

11

17

20

24

28

MTODO EXPONENCIAL DE HOLT-WINTERS.

32

2|Pgina

OBJETIVO.El objetivo del presente trabajo es presentar algunos de los mtodos de suavizamiento para las series de tiempo, as como especificar en qu condiciones puede emplearse cada uno de estos mtodos y ejemplificarlos.

INTRODUCCINUna serie de tiempo, es una secuencia de datos, observaciones o valores medidos en determinados momentos del tiempo, ordenados cronolgicamente y, normalmente, espaciados entre s de manera uniforme. El anlisis de series de tiempo comprende mtodos que ayudan a interpretar este tipo de datos, extrayendo informacin representativa, tanto referente a los orgenes o relaciones subyacentes como a la posibilidad de extrapolar y predecir su comportamiento futuro. La tendencia representa el comportamiento predominante de la serie de tiempo. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un extenso perodo de tiempo. Refleja el crecimiento o declinacin de larga duracin en las series de tiempo.

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La variacin estacional representa un movimiento peridico de la serie de tiempo. La duracin del perodo puede ser un ao, un trimestre, un mes, un da, etc. Se suele hacer una distincin entre cclicas y estacionales. Estas ltimas ocurren con perodos identificables, como la estacionalidad del empleo, o de venta de ciertos productos, cuyo perodo es un ao. El trmino de variacin cclica se suele referir a ciclos grandes, cuyo perodo no es atribuible a alguna causa. Por ejemplo, fenmenos climticos, que tienen ciclos que duran varios aos.

Es importante mencionar que estas dos condiciones no son necesariamente aisladas, es decir, las tendencias y estacionalidades pueden darse

simultneamente como se puede observar en la siguiente grfica.

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Una forma de visualizar la tendencia, es mediante un suavizamiento de la serie. La idea central es definir a partir de la serie observada una nueva serie que filtra o suaviza los efectos ajenos a la tendencia (estacionalidad, efectos aleatorios), de manera que podamos visualizar la tendencia.

Las tcnicas de suavizamiento proporcionan un medio para eliminar o al menos reducir las fluctuaciones voltiles a corto plazo en una serie de tiempo. Esto puede ser til debido a que con frecuencia es ms fcil discernir tendencias y patrones crticos y adems analizar en forma visual una serie suavizada.

Los mtodos de suavizamiento que se tratarn en este trabajo son: Promedios mviles.5|Pgina

Este mtodo de suavizamiento, es uno de los ms usados para describir la tendencia. Consiste en fijar un nmero k, y calcular los promedios de todos los grupos de k trminos consecutivos de la serie. Suavizacin exponencial. El suavizamiento exponencial emplea un promedio ponderado de la serie de tiempo pasada como pronstico; es un caso especial del mtodo de promedios mviles ponderados en el cual slo se selecciona un peso o factor de ponderacin: el de la observacin ms reciente. Los dos mtodos anteriores tienen sus respectivas subdivisiones, las cuales son el objetivo principal de este trabajo: 1) Promedios Mviles. Promedio Mvil Simple. Promedio Mvil Centrado. Promedio Mvil Ponderado. Doble Promedio Mvil.

2) Suavizamiento Exponencial. Suavizamiento Exponencial Simple. Suavizamiento Exponencial (Mtodo de Holt) Suavizamiento Exponencial (Mtodo de Holt-Winters)

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PROMEDIO MVIL SIMPLE.Esta tcnica se utiliza cuando se quiere dar ms importancia a conjuntos de datos ms recientes para obtener el pronstico. El pronstico se obtiene al calcular la media aritmtica del conjunto de datos ms recientes seleccionado. Cada vez que se tiene una nueva observacin se agrega esta al conjunto de datos, y se elimina de ste la observacin o dato ms antiguo. El nmero de datos ms recientes a considerar en el conjunto de observaciones del cual se calcula la media aritmtica es una decisin del analista que realiza el pronstico; la sensibilidad a los cambios en el comportamiento de la serie se reduce al utilizar un nmero mayor de observaciones en el conjunto de datos. Este modelo no maneja muy bien los datos con estacionalidad o con tendencia pero s lo hace mejor que la tcnica del promedio simple. El promedio mvil simple se establece mediante la siguiente ecuacin:

El valor pronosticado para el siguiente perodo es igual al promedio mvil:

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Por lo que el promedio mvil para el segundo perodo estara dado por la frmula:

En donde:

Es importante notar que en este mtodo se pierden las primeras n -1 observaciones de la serie de tiempo. EJEMPLO 1. Los siguientes datos muestran las ventas en dlares de shampoo de los ltimos treinta y seis meses.

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

VENTAS 266 145.9 183.1 119.3 180.3 168.5 231.8 224.5 192.8 122.9 336.5 185.9

MES 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

VENTAS 194.3 149.5 210.1 273.3 191.4 287 226 303.6 289.9 421.6 264.5 342.3

MES 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

VENTAS 339.7 440.4 315.9 439.3 401.3 437.4 575.5 407.6 682 475.3 581.3 646.9

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Mostrar como quedara la grfica del suavizamiento de la serie por el mtodo de Promedios Mviles Simples.

S e tiene800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

que el grfico de la

serie de tiempo anterio r es:

Ahora, mediante el mtodo de Promedios Mviles Simples, la grfica de la serie de tiempo y su respectivo suavizamiento quedara:

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800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 Series1 Series2

Los puntos de la grfica de suavizamiento fueron calculados de la siguiente manera.

Y as sucesivamente, los resultados de todos los clculos se presentan a continuacin en la siguiente tabla:

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PROMEDIO MOVIL VENTAS SIMPLE 266 145.9 183.1 119.3 180.3 178.92 168.5 159.42 231.8 176.6 224.5 184.88 192.8 199.58 122.9 188.1

MES 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

PROMEDIO MOVIL VENTAS SIMPLE 194.3 206.48 149.5 197.82 210.1 215.26 273.3 202.62 191.4 203.72 287 222.26 226 237.56 303.6 256.26 289.9 259.58 421.6 305.62

MES 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

PROMEDIO MOVIL VENTAS SIMPLE 339.7 331.6 440.4 361.7 315.9 340.56 439.3 375.52 401.3 387.32 437.4 406.86 575.5 433.88 407.6 452.22 682 500.76 475.3 515.56 10 | P g i n a

11 12

336.5 185.9

221.7 212.52

23 24

264.5 342.3

301.12 324.38

35 36

581.3 646.9

544.34 558.62

PROMEDIO MOVIL CENTRADO.La principal diferencia entre el promedio mvil simple y el centrado es la seleccin de las observaciones a usar. Como se vio en el tema anterior, se tiene que el promedio mvil simple usa el valor observado del tiempo que se quiere analizar ms las observaciones anteriores, mientras que el promedio mvil centrado, como su nombre lo indica, centra el promedio del tiempo que se quiere analizar usando tanto como observaciones anteriores como posteriores. Por ejemplo en el caso de un promedio mvil de cinco perodos por este mtodo, se calcula el promedio basndose en la observacin del periodo a analizar, dos observaciones previas y dos observaciones posteriores. Los pasos a seguir para obtener los promedios mviles centrados son:11 | P g i n a

Primero, definir un perodo para el promedio denotado por L. La decisin del perodo para los estudios ser realizada por el investigador dependiendo a su propsito especfico. El mtodo especfico para calcular el promedio mvil centrado depende del perodo para el periodo L elegido, ya sea par o impar. Si L es impar, entonces el promedio mvil es calculado de la siguiente manera:

Donde las

son las observaciones que se tienen de la serie de tiempo, y

es el punto medio del rango de L datos observados. Es importante notar que hay (L-1)/2 observaciones que se pierden tanto al principio como al final de la serie. Sin embargo, en los datos de series de tiempo, el promedio mvil centrado es ms comnmente asociado a un nmero par de observaciones, por lo que si L es par, el promedio mvil centrado es calculado en dos pasos, primero es necesario calcular dos promedios mviles que liguen al periodo de tiempo que se quiere analizar:

( )

( )

( )

Para posteriormente sacar el promedio simple de los dos valores anteriores.

12 | P g i n a

El nmero de observaciones que se pierden cuando L es par es L/2. EJEMPLO 2. Los siguientes datos muestran las producciones de pozos petroleros en Texas de los ltimos 24 meses considerando un perodo L de 5 meses y de 4 meses.

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

POZOS PETROLEROS 1338.8 1274.2 1212.8 1146.1 1019 935.8 880.7 851.3 800.3 775.6 804.1 843.7

MES 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

POZOS PETROLEROS 850.6 779.4 732.6 746.2 753.5 749.7 736.9 772.8 852.1 851.3 840.3 841.4

Realiza el suavizamiento de la serie anterior mediante el mtodo de Promedios Mviles Centrados. Primero, se presentar una grfica de la serie de tiempo anterior, para posteriormente realizar su suavizamiento.

13 | P g i n a

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324 Series1

Ahora se proceder a calcular los promedios mviles centrados de todos los periodos considerando el perodo L de cinco meses. Es necesario recordar que este mtodo pierde (L-1)/2 = 2 observaciones tanto al principio como al final, por lo que el primer promedio mvil centrado que se calcular ser para el perodo tres:

Y as sucesivamente, los resultados de todos los clculos se presentan a continuacin en la siguiente tabla:

MES 1 2

POZOS PETROLEROS 1338.8 1274.2

PROMEDIO MOVIL CENTRADO

MES 13 14

POZOS PETROLEROS 850.6 779.4

PROMEDIO MOVIL CENTRADO 802.08 790.5 14 | P g i n a

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1212.8 1146.1 1019 935.8 880.7 851.3 800.3 775.6 804.1 843.7

1198.18 1117.58 1038.88 966.58 897.42 848.74 822.4 815 814.86 810.68

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

732.6 746.2 753.5 749.7 736.9 772.8 852.1 851.3 840.3 841.4

772.46 752.28 743.78 751.82 773 792.56 810.68 831.58

Por lo que

la grfica de la serie de tiempo ya suavizada mediante el

mtodo de promedios mviles centrados con para un perodo para el promedio L=5 quedara de la siguiente forma:

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

POZOS PETROLEROS PROMEDIO MOVIL CENTRADO

Ahora se proceder a calcular los promedios mviles centrados de todos los periodos considerando el perodo L de cuatro meses. Es necesario recordar que este

mtodo pierde (L/2) = 2 observaciones tanto al principio como al final, por lo que el primer promedio mvil centrado que se calcular ser para el perodo tres:

15 | P g i n a

Y as sucesivamente, los resultados de todos los clculos se presentan a continuacin en la siguiente tabla:PROMEDIO MVIL CENTRADO PARCIAL 1242.975 1163.025 1078.425 995.4 921.7 867.025 826.975 807.825 805.925 818.5 819.45 PROMEDIO MVIL CENTRADO POZOS TOTAL MES PETROLEROS 13 850.6 14 779.4 1203 15 732.6 1120.725 16 746.2 1036.9125 17 753.5 958.55 18 749.7 894.3625 19 736.9 847 20 772.8 817.4 21 852.1 806.875 22 851.3 812.2125 23 840.3 818.975 24 841.4 PROMEDIO MVIL CENTRADO PARCIAL 801.575 777.2 752.925 745.5 746.575 753.225 777.875 803.275 829.125 846.275 PROMEDIO MVIL CENTRADO TOTAL 810.5125 789.3875 765.0625 749.2125 746.0375 749.9 765.55 790.575 816.2 837.7

POZOS MES PETROLEROS 1 1338.8 2 1274.2 3 1212.8 4 1146.1 5 1019 6 935.8 7 880.7 8 851.3 9 800.3 10 775.6 11 804.1 12 843.7

Por lo que

la grfica de la serie de tiempo ya suavizada mediante el

mtodo de promedios mviles centrados con para un perodo para el promedio L=4 quedara de la siguiente forma:

16 | P g i n a

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 SERIE DE TIEMPO NORMAL SERIE DE TIEMPO SUAVIZADA

PROMEDIO MVIL PONDERADO

17 | P g i n a

El mtodo de suavizamiento de Promedios Mviles Ponderados, implica la seleccin de pesos distintos para cada valor de los datos, para despus calcular el pronstico mediante un promedio ponderado. En este mtodo a la observacin ms reciente se le da la mayor ponderacin y el peso disminuye para los valores ms antiguos. En general el promedio mvil ponderado puede ser escrito de la siguiente forma:

Donde denota los pesos. El promedio mvil simple es un caso particular

de este mtodo cuando los pesos se fijan en . Unos aspectos importantes para que el Promedio Mvil Ponderado trabaje correctamente, es que el total de los pesos sume uno y que dichos pesos sean simtricos, es decir, ponderado centrado. La forma para calcular el peso se expresa de la siguiente manera: = , esto para el caso de que se utilice el promedio mvil

Donde {

EJEMPLO 3.18 | P g i n a

Considerando los datos del ejemplo1, realiza el suavizamiento de la serie de tiempo, mediante el mtodo de Promedio Mvil Ponderado. En el desarrollo del ejercicio 1 se present la grfica de la serie de tiempo de los datos proporcionados, por lo que ahora se presentarn los clculos para el suavizamiento por el mtodo de Promedio Mvil Ponderado. Para poder hallar los pesos que se considerarn para cada perodo se necesita hallar primero los valores de n=5 , donde, recordando del ejemplo 1,

Por lo tanto los pesos para cada una de las observaciones para calcular el promedio mvil ponderado quedaran:

19 | P g i n a

Por lo tanto, el promedio mvil ponderado para el perodo cinco, dado que este mtodo al igual que el promedio mvil simple tiende a perder los n-1 primeras observaciones, quedara de la siguiente manera.

Y as sucesivamente, los resultados de todos los clculos se presentan a continuacin en la siguiente tabla:

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

VENTAS 266 145.9 183.1 119.3 180.3 168.5 231.8 224.5 192.8 122.9 336.5 185.9

Promedio Mvil Ponderado

162.227287 161.934361 185.353815 204.122233 207.062203 181.838858 223.534866 218.166599

MES 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

VENTAS 194.3 149.5 210.1 273.3 191.4 287 226 303.6 289.9 421.6 264.5 342.3

Promedio Mvil Ponderado MES 214.245376 25 193.751945 26 190.984184 27 213.521122 28 214.103183 29 240.54664 30 241.512026 31 261.560738 32 275.241283 33 326.161193 34 319.367155 35 328.964679 36

VENTAS 339.7 440.4 315.9 439.3 401.3 437.4 575.5 407.6 682 475.3 581.3 646.9

Promedio Mvil Ponderado 332.255331 365.706468 358.751339 386.774533 395.866246 411.722031 468.242496 463.59146 535.271753 531.785498 550.181102 584.313391

Por lo tanto la grfica de la serie de tiempo suavizada por el mtodo de Promedios Mviles Ponderados es la siguiente:

800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

Serie de timpo normal

serie de tiempo suavizada por Promedios Mviles Ponderados

20 | P g i n a

DOBLE PROMEDIO MVIL.El mtodo consiste en calcular un conjunto de promedios mviles, para posteriormente calcular un segundo conjunto como promedio mvil del primero. Este mtodo es utilizado para realizar pronsticos de series que tienen una tendencia lineal, ya que ste mtodo maneja mejor dicha tendencia que los mtodos mencionados anteriormente, en especial que el mtodo del Promedio Mvil Simple ya que en este mtodo presenta rezago respecto de la serie original en estos casos. El primer paso para el clculo del Doble Promedio Mvil es calcular los Promedios Mviles Simples, el cual se calcula mediante la expresin:

El segundo y ltimo paso para calcular el Doble Promedio Mvil es realizar nuevamente el procedimiento del Promedio Mvil Simple, solo que ahora con los valores hallados en el paso 1, el cual queda expresado en la siguiente frmula:

La diferencia entre los dos promedios mviles se calcular mediante la siguiente expresin:

Para el clculo del pronstico para p perodos hacia el futuro mediante est mtodo se utiliza la siguiente expresin:

21 | P g i n a

En donde:

Es importante mencionar que este mtodo pierde las 2(n-1) primeras observaciones de la serie de tiempo. EJEMPLO 4 Utilizando los datos del ejemplo 1, realiza un suavizamiento de la serie de tiempo mediante el mtodo de Doble Promedio Mvil utilizando el promedio de cinco observaciones. Ya se ha presentado con anterioridad la grfica de la serie de tiempo para este ejemplo, por lo que ahora se proceder a realizar los clculos para la obtencin de los dobles promedios mviles. Debido a que el promedio mvil simple tiende a perder las primeras n-1 observaciones, el primer promedio mvil que se calcular ser el del tiempo cinco.

22 | P g i n a

El segundo paso es volver a aplicar el procedimiento de promedio mvil simple, solo que en vez de sacar el promedio de las observaciones, se calcular el promedio de los promedios mviles simples obtenidos en el paso 1, y dado que este mtodo tiende a perder las primeras 2(n-1) observaciones, el primer doble promedio mvil que se podr tener ser el del mes 9:

Y as sucesivamente, los resultados de todos los clculos se presentan a continuacin en la siguiente tabla:

MES

PROMEDIO DOBLE PROMEDIO DOBLE PROMEDIO DOBLE MOVIL PROMEDIO MOVIL PROMEDIO MOVIL PROMEDIO VENTAS SIMPLE MVIL MES VENTAS SIMPLE MVIL MES VENTAS SIMPLE MVIL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

266 145.9 183.1 119.3 180.3 168.5 231.8 224.5 192.8 122.9 336.5 185.9

178.92 159.42 176.6 184.88 199.58 188.1 221.7 212.52

179.88 181.716 194.172 201.356

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

194.3 149.5 210.1 273.3 191.4 287 226 303.6 289.9 421.6 264.5 342.3

206.48 197.82 215.26 202.62 203.72 222.26 237.56 256.26 259.58 305.62 301.12 324.38

205.676 205.324 210.756 206.94 205.18 208.336 216.284 224.484 235.876 256.256 272.028 289.392

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

339.7 440.4 315.9 439.3 401.3 437.4 575.5 407.6 682 475.3 581.3 646.9

331.6 361.7 340.56 375.52 387.32 406.86 433.88 452.22 500.76 515.56 544.34 558.62

304.46 324.884 331.872 346.752 359.34 374.392 388.828 411.16 436.208 461.856 489.352 514.3

Por lo tanto la grfica de la serie de tiempo suavizada por el mtodo de Doble Promedio Mvil quedara de la siguiente manera:

23 | P g i n a

800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 SERIE DE TIEMPO NORMAL SERIE DE TIEMPO SUAVIZADA

24 | P g i n a

SUAVIZACIN EXPONENCIAL SIMPLE.Este mtodo se suavizacin se basa en la atenuacin de los valores de la serie de tiempo, obteniendo el promedio de estos de manera exponencial, es decir, los datos se ponderan dando un mayor peso a las observaciones ms recientes y uno menor a las ms antiguas. Al peso para ponderar la observacin ms reciente se le da el valor de , la observacin inmediata anterior se pondera con un peso de (1- ), a la siguiente observacin inmediata anterior se le da un peso de ponderacin de (1- )2 y as sucesivamente, hasta completar el nmero de valores observados en la serie de tiempo a tomar en cuenta para realizar la atenuacin, es decir, para calcular el promedio ponderado. La estimacin o pronstico ser el valor obtenido del clculo promedio. El clculo de la atenuacin exponencial se puede obtener mediante la siguiente expresin:

Una expresin anloga a la anterior sera:

El valor de siempre se encuentra dentro del rango 0 1. ste mtodo, as como tambin en los dems mtodos de suavizacin exponencial, requiere de una inicializacin, es decir, se le necesita asignarle un valor a , una tcnica para estimar el valor inicial , consiste en promediar los

datos que se tiene de la serie de tiempo. Cuando existe una clara y considerable tendencia lineal en los valores observados en una serie de tiempo, los pronsticos obtenidos mediante la suavizacin exponencial simple quedan rezagados an al hacer variar el valor de , para estos casos se utilizan dos diferentes tcnicas conocidas como el mtodo de Brown y el de Holt.

25 | P g i n a

EJEMPLO 5. Considere los datos de la cantidad de empleos que siguiente tabla, considerando =0.96 genera la industria

automotriz en Estados Unidos (en decenas de miles) presentada en la

AO 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979

EMPLEO 92.04 81.44 84.71 88.61 96.92 91.12 78.75 87.82 95.39 100.88 100.09

AO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

EMPLEO 79.89 79.59 70.68 75.19 85.59 87.98 87.28 85.37 85.26 84.97 82.47

Realice el procedimiento de suavizamiento por el mtodo de Exponencial Simple. Primero se presentar la grfica de la serie de tiempo anterior:

Serie de tiempo sin suavizamiento120 100 80 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Serie de tiempo sin suavizamiento

26 | P g i n a

Ahora se proceder a realizar los clculos para el suavizamiento por el mtodo exponencial simple. Para ello primero se tendr que inicializar el mtodo, considerando a como el promedio de las observaciones que se tiene de los

empleos de la industria automotriz, entonces:

Para calcular el suavizamiento del periodo dos, se tiene:

Para calcular del tiempo tres, se tiene:

Y as sucesivamente, los resultados de todos los clculos se presentan a continuacin en la siguiente tabla:

AO 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979

EMPLEO 92.04 81.44 84.71 88.61 96.92 91.12 78.75 87.82 95.39 100.88 100.09

EXPONENCIAL SIMPLE 86.45636364 91.81665455 81.85506618 84.59580265 88.44943211 96.58117728 91.33844709 79.25353788 87.47734152 95.07349366 100.6477397

AO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

EMPLEO 79.89 79.59 70.68 75.19 85.59 87.98 87.28 85.37 85.26 84.97 82.47

EXPONENCIAL SIMPLE 100.1123096 80.69889238 79.6343557 71.03817423 75.02392697 85.16735708 87.86749428 87.30349977 85.44733999 85.2674936 84.98189974

Por lo tanto, la grfica de la serie de tiempo suavizada por el mtodo exponencial simple se presenta a continuacin:

27 | P g i n a

120 100 80 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Serie de Tiempo Suavizada por el mtodo de exponencial simple Serie de Tiempo sin suavizcacin

28 | P g i n a

SUAVIZACIN EXPONENCIAL (MTODO DE HOLT).El mtodo de suavizacin exponencial por el mtodo de Holt, es una extensin del suavizamiento exponencial simple que permite realizar predicciones para datos que presentan tendencia. La prediccin por el mtodo de Holt usa dos factores constantes de suavizamiento y cuyos valores se encuentran entre cero y uno. La prediccin por este mtodo puede ser obtenida mediante la siguiente frmula:

Donde:

El cual denota un estimado del nivel de la serie al tiempo t. Esta frmula ajusta a directamente de la pendiente del tiempo anterior , agregndole el

ltimo valor de suavizamiento a

Esto ayuda a eliminar el retraso y proporciona

un aproximado del nivel de la serie del tiempo que se est analizando.

Denota un estimado de la pendiente de la serie al tiempo t. Esta frmula, actualiza la pendiente, la cual se expresa como la diferencia de los dos ltimos valores de suavizamiento. Esto es apropiado debido a que si hay una tendencia en los datos, los nuevos valores deben ser ms altos o ms bajos que los anteriores. Sin embargo como puede haber arbitrariedad, la pendiente es modificada agregando a la tendencia el factor del perodo anterior multiplicada por La inicializacin del mtodo de suavizamiento exponencial de Holt, requiere dos valores estimados, el valor de suavizamiento , y la tendencia . Una y sumndole la estimacin de la tendencia

alternativa para obtener estos valores estimados es hacer:29 | P g i n a

,y Otra alternativa es usando la regresin por cuadrados mnimos en los algunos de los primeros valores de la serie para hallar y , sin embargo para

efectos de este trabajo, se utilizar el primer mtodo de inicializacin. EJEMPLO 6 Considere los datos de la cantidad de demanda de un producto que se comercializa en cierto supermercado de Estados Unidos de los ltimos 24 meses.PERIODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DEMANDA 143 152 161 139 137 174 142 141 162 180 164 171 PERIODO 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 DEMANDA 206 193 207 218 229 225 204 227 223 242 239 266

Realice el suavizamiento de la serie de tiempo anterior mediante el mtodo de exponencial de Holt, considerando =0.501 y =0.072 Primero, se presentar una grfica de la serie de tiempo de la demanda del producto, la grfica queda como sigue:

30 | P g i n a

DEMANDA300 250 200 150 100 50 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 DEMANDA

Ahora se proceder a realizar los clculos para el suavizamiento por el mtodo exponencial de Holt Antes que nada, es necesario inicializar el mtodo, por lo que los valores iniciales de y quedan como sigue:

Para hallar el suavizamiento del perodo dos se emplea la siguiente frmula:

Si quisiramos hallar el suavizamiento del perodo tres, necesitaramos los valores de y , los cuales los hallaramos de la siguiente manera:

31 | P g i n a

Por lo que el suavizamiento al perodo tres quedara:

Y as sucesivamente, los resultados de todos los clculos se presentan a continuacin en la siguiente tabla:

PERIODO DEMANDA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 143 152 161 139 137 174 142 141 162 180 164 171

Lt 143 152 161 154.469 149.650033

bt 9 9 9 7.881768 6.9673151

Ft 152 161 170 162.350768

PERIODO DEMANDA 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 206 193 207 218 229 225 204 227 223 242 239 266

Lt 196.168676

bt 6.2452871

Ft 199.350052

192.875705 6.47434616 179.698808 204.711567 6.41071463 202.413963 214.568019 6.65880767 211.122282 225.121186 6.93920159 221.226826 228.523134 6.68451927 232.060388 219.572619 5.55879682 235.207653 226.067576 5.62620039 225.131416 227.338195 5.31259848 231.693777 237.334746 5.64984307 232.650793 240.98831 5.50611098 242.984589 256.266716 6.20971623 246.494421

165.326057 7.59434211 156.617348 157.429279 6.47898148 172.920399 152.431222 5.6526347 163.908261 160.045845 5.79389782 158.083857 172.934031 6.30468664 165.839742 171.60412 5.7549956 179.238718 174.173199 5.52560957 177.359116

Por lo que la grfica de la serie de tiempo suavizada por el Mtodo de Holt quedara:300 250 200 150 100 50 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Serie de tiempo suavizada por el mtodo de Holt DEMANDA

32 | P g i n a

SUAVIZACIN EXPONENCIAL (MTODO DE HOLTWINTERS).Los diferentes tipos de mtodos de suavizamiento vistos anteriormente, pueden lidiar con casi cualquier tipo de datos mientras dichos datos sean no estacionales. Sin embargo cuando la estacionalidad existe, estos mtodos no son apropiados y se debe usar el mtodo de Holt-Winters. El mtodo de Holt fue extendido por Winters en 1960 para capturar la estacionalidad directamente. Este mtodo est basado en tres ecuaciones de suavizamiento, una para el nivel, una para la tendencia y una ms para la estacionalidad. Existen dos diferentes mtodos Holt-Winters, dependiendo la forma en que la estacionalidad es modelada, ya sea estacionalidad aditiva o multiplicativa. ESTACIONALIDAD MULTIPLICATIVA. Las ecuaciones bsicas para el mtodo multiplicativo de Holt-Winters son las siguientes:

Nivel:

Tendencia:

Estacionalidad:

Prediccin:

Donde s es la duracin de la estacionalidad (meses, trimestres, etc), representa el nivel de la serie, estacionalidad y denota la tendencia, es el componente de

es la prediccin de m perodos.

33 | P g i n a

Al igual que todos los mtodos de suavizamiento exponencial, se necesita los valores iniciales de los componentes para inicial el algoritmo. Para determinar las estimaciones iniciales de los ndices de estacionalidad, se necesita usar por lo menos una los datos de una estacin completa. Debido a esto, se inicializarn los valores del nivel y la tendencia al perodo s. En nivel se inicializar tomando el promedio de la primera estacin:

Para inicializar a la tendencia, es conveniente usar dos estaciones completas: [ ]

En donde cada uno de los trminos de la ecuacin anterior son estimaciones de la tendencia a partir de una estacin completa. Por ltimo, los ndices de estacionalidad, son inicializados usando el radio de los primeros valores de los datos:

34 | P g i n a

ESTACIONALIDAD ADITIVA El componente de estacionalidad de Holt-Winters, tambin puede ser tratado aditivamente. Las ecuaciones bsicas para el mtodo aditivo de HoltWinters son las siguientes:

Nivel:

Tendencia:

Estacionalidad:

Prediccin:

La forma de inicializar los valores de

y

son idnticas a la forma que se

uso en el mtodo multiplicativo, sin embargo, para inicializar el ndice estacional se usa:

EJEMPLO 7. Considere los datos de la cantidad productos de una medicina que se venden en una farmacia los ltimos 24 mesesPERODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MEDICINA 362 385 432 341 382 409 498 387 473 PERODO 13 14 15 16 17 18 19 20 21 MEDICINA 544 582 681 557 628 707 773 592 627 35 | P g i n a

10 11 12

513 582 474

22 23 24

725 854 661

Realice el suavizamiento de la serie de tiempo anterior mediante el mtodo de exponencial de Holt-Winters, considerando =0.822 y =0.055 y =0.01 y que la estacionalidad se presenta cada cuatro meses. Primero se presentar la grfica de la serie de tiempo de los datos anteriores:900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Series1

Ahora se proceder a realizar los clculos suponiendo que los estacionalidad se presenta de las dos formas (estacionalidad multiplicativa y estacionalidad aditiva) Empecemos primero considerando que la estacionalidad es multiplicativa, para esto, necesitamos hallar los valores iniciales de cuales se calcularn de la siguiente manera: , , , los

[ [

] ]36 | P g i n a

Por lo tanto el suavizamiento por el mtodo Holt-Winters del perodo cinco, estara dado por: ( )

Ahora, si quisiramos el suavizamiento del perodo seis, la forma de calcular y sera (recordar que la se calcular usando la frmula que se

presenta en el cuadro hasta el perodo 9):

Por lo que el suavizamiento en el tiempo seis quedara de la siguiente manera: ( )

Y as sucesivamente, los dems clculos se presentarn en la siguiente tabla:PERODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MEDICINA 362 385 432 341 382 409 498 387 473 380 398.992959 404.678527 433.895665 433.699258 487.175946 9.75 10.2583627 10.0068591 11.0634244 10.4441336 12.8109241 Lt bt st 0.95263158 1.01315789 1.13684211 0.89736842 0.95267937 1.0131331 1.1369511 0.89731797 0.95286159 371.288158 414.636207 471.431808 399.292236 423.126245 Ft PERODO 13 14 15 16 17 18 19 20 21 MEDICINA 544 582 681 557 628 707 773 592 627 Lt 565.539723 575.400025 597.284548 619.135314 654.555849 692.97717 685.283267 667.095805 662.036585 bt 14.2810384 14.037898 14.4694624 14.875434 16.0054146 17.2382894 15.8670189 13.9940224 12.9460941 st 0.95295211 1.01313896 1.13695811 0.89734838 0.95301688 1.01320993 1.13686854 0.89724919 0.95295748 Ft 515.242022 587.448777 670.147164 548.9423 604.181877 679.371742 807.485229 629.176075 649.0901

37 | P g i n a

10 11 12

513 582 474

505.217406 513.038242 527.814661

13.0986036 12.8083264 12.9165715

1.01315582 1.13692577 0.89732522

506.553249 589.299956 471.851576

22 23 24

725 854 661

708.327099 746.188157 741.242518

14.7800372 16.0494933 14.8947611

1.01331321 1.13694469 0.89719415

683.899151 822.077754 683.917111

Por lo tanto la grfica de la serie de tiempo suavizada por el mtodo exponencial de Holt-Winters siguiente manera:900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 SUAVIZAMIENTO POR EL MTODO HOLTWINTERS PARA ESTACIONALIDAD MULTIPLICATIVA MEDICINA

con estacionalidad multiplicativa, quedara de la

Ahora consideremos que la estacionalidad es aditiva. Tenemos que las inicializaciones para y son las mismas que las empleadas en el mtodo se calculan de la

multiplicativo, sin embargo las inicializaciones para siguiente manera:

Por lo tanto el suavizamiento para el perodo seis por el mtodo de HoltWinters con estacionalidad aditiva quedara:38 | P g i n a

Ahora, si quisiramos el suavizamiento por Holt-Winters para el perodo seis, la forma de calcular y sera:

Por lo tanto el suavizamiento para el perodo seis quedara:

Y as sucesivamente, los dems clculos se presentarn en la siguiente tabla:PERODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 MEDICINA 362 385 432 341 382 409 498 387 473 513 582 474 380 398.1755 404.781225 440.445724 430.605114 482.060291 505.618071 527.951318 518.126256 9.75 10.2134025 10.0149802 11.4257038 10.2560565 12.5220081 13.1289756 13.6352105 12.3448955 Lt bt st -18 5 52 -39 -17.981755 4.99218775 52.0555428 -39.0460511 -17.8925404 5.01608517 52.0754741 -39.0968532 371.75 413.388903 466.796205 412.871428 422.879416 499.574487 570.802589 502.540478 Ft PERODO 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 MEDICINA 544 582 681 557 628 707 773 592 627 725 854 661 Lt 556.299533 575.752346 621.965808 603.522061 640.789461 693.794201 719.12085 649.98728 648.022383 709.261551 788.003696 719.230041 bt 13.7654565 14.0782611 15.8456972 13.9597778 15.241697 17.3186643 17.7591035 12.9800065 12.1580368 14.857499 18.3711545 13.57819 st -17.8366103 5.02840085 52.1450613 -39.1711053 -17.7861388 5.11017484 52.1624022 -39.359267 -17.8185012 5.21645758 52.3007412 -39.5479748 Ft 512.578611 575.081075 641.906081 598.714652 599.645229 661.059559 763.257926 697.708848 645.181148 665.290595 776.281452 767.015584

Por lo tanto la grfica de la serie de tiempo suavizada por el mtodo exponencial de Holt-Winters siguiente manera: con estacionalidad multiplicativa, quedara de la

39 | P g i n a

900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 SUAVIZAMIENTO POR EL MTODO DE HOLTWINTERS PARA ESTACIONALIDAD ADITIVA MEDICINA

BIBLIOGRAFA: Forecasting methods and applications, third edition, Makridakis, Wheelwright, Hyndman, Editorial Wiley. Time-Series modeling and forecasting in business and economics, Gaynor, Kirkpatrick, Mc. Graw Hill.

REFERENCIA VIRTUAL: http://www.paginasprodigy.com/sylsr/pronostico.htm

40 | P g i n a