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Prova Escrita de Conhecimentos Específicos de MATEMÁTICA · PDF fileProva Escrita de Conhecimentos Específicos de MATEMÁTICA Leiria, 7 de Junho de 2008 Instruções gerais 1. A

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Provas Especialmente Adequadas Destinadas a Avaliar a Capacidade para a Frequncia

dos Cursos Superiores do Instituto Politcnico de L eiria dos Maiores de 23 Anos

Prova Escrita de Conhecimentos Especficos

de MATEMTICA

Leiria, 7 de Junho de 2008

Instrues gerais

1. A prova constituda por 2 grupos de resposta obrigatria (Grupo I e Grupo II),

onde o Grupo I constitudo por sete questes de escolha mltipla e o Grupo II

constitudo por trs grupos de questes de resposta aberta.

2. A durao da prova de 2 horas (120 minutos), estando previsto uma tolerncia

de 30 minutos .

3. Para a elaborao das suas respostas e para a realizao de eventuais

rascunhos, s pode utilizar as folhas distribudas pelo docente vigilante, salvo se

previsto outro procedimento.

4. No utilize qualquer tipo de corrector. Se necessrio risque ou pea uma troca de

folha.

5. No autorizada a utilizao de quaisquer ferramentas de natureza electrnica

(telemvel, pda, computador porttil, leitores/gravadores digitais de qualquer

natureza ou outros no especificados).

6. Dever disponibilizar ao docente vigilante, sempre que solicitado, um documento

vlido de identificao com fotografia (bilhete de identidade, carta de conduo,

passaporte ou outro no especificado).

VERSO A

Na sua folha de respostas, escreva "VERSO A".

A ausncia desta indicao implica a anulao de todas as

questes da escolha mltipla.

Identique claramente os grupos e as questes que responde.

As funes trigonomtricas esto escritas no idioma anglo-saxnico.

A prova inclui um formulrio na pgina 8.

As cotaes da prova encontram-se na pgina 9.

1

Grupo I

As sete questes deste grupo so de escolha mltipla.

Em cada questo, so indicadas quatro alternativas de resposta, das quais apenas

uma est correcta.

Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente alternativa que

seleccionar para responder a cada questo.

Se apresentar mais que uma letra ou esta for ilegvel, a questo ser anulada.

As respostas incorrectas tero cotao nula.

No apresente clculos nem justicaes.

1. Considere a funo real de varivel real f denida por f (x) =x2 5x+ 62 x .

Qual dos grcos seguintes representa a funo f , num referencial o.n. xOy?

(A) (B)

(C) (D)

2

2. A gura ao lado representa, num referencial o.n. xOy,

o grco de uma funo real de varivel real g.

Qual dos grcos seguintes representa a funo real

de varivel real h denida por h(x) = jg (x)j 3?

(A) (B)

(C) (D)

3. Da funo am f , sabe-se que f (0) = 3 e f (1) = 2.

A expresso analtica da funo am f :

(A) y = 3x 2. (B) y = 5x+ 3.

(C) y = 2x+ 3. (D) y = 5x+ 3.

3

4. O domnio da funo real de varivel real g denida por g(x) =1 +

p8 x

(x+ 1) (x2 x+ 2) :

(A) R f2g. (B) ]1; 8[ f1g.

(C) ]1; 8] f1g. (D) [8;+1[.

5. Seja h a funo real de varivel real denida por h(x) = 2ex1, onde e designa o nmero

de Neper.

O conjunto soluo da condio h(x) > 0 :

(A) R. (B) ]1; ln 2].

(C)

1

2;+1

. (D) ] ln 2;+1[.

6. Seja f a funo real de domnio R+ denida por f(x) =1 lnxx

, onde ln designa o

logartmo de base e.

A funo derivada de f denida por:

(A) f 0(x) =1

x2. (B) f 0(x) = lnx 2.

(C) f 0(x) =lnx 2x2

. (D) f 0(x) =lnx+ 2

x2.

7. Seja um ngulo agudo tal que tan =p5.

O valor da expresso sin2 + 2 cos2 igual a:

(A)1

2. (B)

5

6.

(C)7

6. (D)

2

5.

4

Grupo II

Nas questes deste grupo apresente o seu raciocnio de forma clara, indicando todos

os clculos que efectuar e todas as justicaes necessrias.

Pode recorrer sua mquina de calcular para efectuar clculos e obter representaes

grcas de funes.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, pretende-se sempre

o valor exacto.

1. Considere as seguintes funes reais de varivel real:

a funo cbica f denida por f (x) = x3 + 4x2 11x 30;

a funo racional g denida por g (x) = f (x)(x2 4) (x 3) .

(a) Indique os domnios, Df e Dg, das funes f e g, respectivamente.

(b) Determine f (2) e estude o sinal da funo f .

(c) Recorde que uma funo real de varivel real F injectiva se e somente se

8x1; x2 2 DF ; x1 6= x2 ) F (x1) 6= F (x2)

onde DF designa o domnio de F .

A funo f injectiva? Justique a sua resposta.

(d) Mostre que

g (x) =x+ 5

x 2 , 8x 2 Dg.

(e) Determine uma equao da recta tangente ao grco de g no ponto de abcissa 1.

(f) Indique todos os valores de x 2 Dg que vericam a condio g (x) 2

4 x2 .

5

2. Numa pastelaria da cidade de Leiria, a temperatura ambiente sempre constante.

Admita que a temperatura, em graus Celsius, de um ch servido nessa pastelaria, t

minutos aps ter sido colocado na chvena, dado por

g (t) = 20 + 50e0;04t; t 2 [0;+1[

onde e designa o nmero de Neper.

A gura seguinte ilustra o grco da funo g, nos primeiros 200 minutos.

(a) Determine um valor aproximado, com duas casas decimais, da temperatura do ch

ao m de 3 minutos aps ter sido colocado na chvena.

(b) Com o decorrer do tempo, a temperatura do ch tende a igualar a temperatura

ambiente da pastelaria. Indique, justicando, a temperatura ambiente da pastelaria.

(c) Justique a seguinte armao: "a taxa de variao mdia da funo g, em qualquer

intervalo do seu domnio, negativa".

(d) Quanto tempo decorre entre o instante em que o ch colocado na chvena e o

instante em que a sua temperatura atinge os 65oC? Apresente o resultado emminutos

e segundos.

Nota: sempre que, nos clculos intermdios, proceder a arredondamentos, conserve

no mnimo trs casas decimais.

6

3. A pedido de um dos clientes, um fabricante tem de construir peas metlicas de rea

mxima com a forma de um trapzio, em que AB = BC = CD = 2 dm:

Designando por a medida da amplitude (em radianos) do ngulo ADC:

(a) Exprima a altura h do trapzio e o comprimento da base maior em funo de .

(b) Mostre que a rea do trapzio dada, em funo de , por

F () = 4 sin + 2 sin (2) .

(c) Para determinar o valor de para o qual a rea do trapzio mxima, o fabricante

tem que resolver a equao

4 cos + 4 cos (2) = 0. (1)

Resolva a equao (1) e indique o valor de para o qual a rea do trapzio mxima.

Em seguida, determine o valor dessa rea.

7

FORMULRIO

Regras de derivao

(u v)0 = u0v + u v0uk0= k uk1 u0, k 2 R

uv

0=u0v u v0

v2

(eu)0 = u0eu (lnu)0 =u0

u

(au)0 = u0au ln a, a 2 R+ (loga u)0 =

u0

u ln a, a 2 R+ f1g

Trigonometria

sin2 x+ cos2 x = 1 tan x =sinx

cosx

sin(2x) = 2 sin x cosx cos (2x) = cos2 x sin2 x

8

Cotaes

Grupo I 70

Cada resposta certa 10

Cada resposta errada, anulada ou no respondida 0

Grupo II 1301. 60

a. 8

b. 14

c. 6

d. 6

e. 12

f. 14

2. 35

a. 6

b. 5

c. 10

d. 14

3. 35

a. 10

b. 10

c. 15

9

VERSO B

Na sua folha de respostas, escreva "VERSO B".

A ausncia desta indicao implica a anulao de todas as

questes da escolha mltipla.

Identique claramente os grupos e as questes que responde.

As funes trigonomtricas esto escritas no idioma anglo-saxnico.

A prova inclui um formulrio na pgina 8.

As cotaes da prova encontram-se na pgina 9.

1

Grupo I

As sete questes deste grupo so de escolha mltipla.

Em cada questo, so indicadas quatro alternativas de resposta, das quais apenas

uma est correcta.

Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente alternativa que

seleccionar para responder a cada questo.

Se apresentar mais que uma letra ou esta for ilegvel, a questo ser anulada.

As respostas incorrectas tero cotao nula.

No apresente clculos nem justicaes.

1. Considere a funo real de varivel real f denida por f (x) =x2 5x+ 62 x .

Qual dos grcos seguintes representa a funo f , num referencial o.n. xOy?

(A) (B)

(C) (D)

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