Introducao a Topologia -UERJ Segunda Prova 29/12/2013

Justifique cuidadosamente todas as respostas de forma completa, ordenada ecoerente.

Nome do Aluno:

1. (2 points) Seja φ : V → E uma contracao definida no aberto V ⊂ E, onde E e umespaco de Banach. Prove que g : V → E, g(x) = x + φ(x) e um homeomorfismo de V

sobre um subconjunto aberto de E.

2. (2 points) Dado um espaco de Banach E. Seja S o espaco vetorial das sequenciasx = (x

n) em E tais que a serie e normalmente convergente. Prove que a norma

||x|| =∑

|xn| torna S um espaco de Banach.

3. (2 points) Seja M um espaco metrico completo. Se M = ∪∞

n=1Fn, onde F

ne fechado em

M para todo n, entao A = ∪∞

n=1int F

ne um aberto denso em M .

4. (2 points) Um espaco metrico M e compacto se, e somente se, toda funcao real contınuae positiva em M possui ınfimo positivo.

5. (2 points) Justifique: Num espaco topologico, o limite de uma sequencia possui umunico limite?(De um contraexemplo, caso seja falso). Se nao for verdade, em que caso everdade?