VJEŽBE 7 – PROSTORNI SISTEM SILA

ANALITIČKI ZAPIS VEKTORA SILE KOJA DJELUJE NA OPĆEM PRAVCU U PROSTORU

Silu možemo najprije prikazati kao zbir komponente koja leži u ravni xy i komponente paralelne osi z (slika 1).

Komponentu prikažimo kao zbir komponenti paralelne osi x i paralelne osi y

Slika 1. Analitički zapis vektora sile koja djeluje na općem pravcu Pa je:

Ako uvedemo jedinične vektore na osama x,y i z, slijedi analitički zapis sile na općem pravcu u prostoru

NPokazat ćemo, da je iz ovog zapisa moguće odrediti iznos sile , te pravac i smjer njenog vektora. Iz slike 2 je vidljivo da vektor leži na dijagonali kvadra čiji su bridovi komponente i . Iznos sile jednak je dijagonali tog kvadra:

Slika 2.

U ovom izrazu nismo pisali i jer je

, ,

Pravac i smjer vektora sile određujemo uglovima , i koje vektor gradi sa osama koordinatnog sistema:

, ,

Ove uglove možemo odrediti iz pravouglih trouglova Δ OAD, Δ OBD i Δ OCD. Sa slike 2 se da zapaziti da je plošna dijagonala kvadra AD okomita na osu x, plošna dijagonala BD okomita na osu y, a plošna dijagonala CD okomita na osu z.

Fx 0, 0 900

Fx 0, 900 1800

Fy 0, 0 900

Fy 0, 900 1800

Fz 0, 0 900

Fy 0, 900 1800

ODREĐIVANJE KOMPONENATA Fx , Fy i Fz

Neka su zadane tačke O i D kroz koje prolazi pravac sile . Komponente te sile mogu se odrediti ako se izračunaju kosinusi uglova , i što ih sila gradi sa osama x, y i z:

, ,

Za izračunavanje kosinusa uglova , i treba definirati kvadar kojem je prostorna dijagonala dužina , a bridovi su mu paralelni sa osama x, y i z. To ćemo učiniti tako da iz tačke O u dačku D „ idemo

putevima O A paralelno osi x, A B1 paralelno osi y i B1 D paralelno osi z. Ovi putevi definiraju bridove kvadra paralelne osama x, y i z:

OA = a , AB1 = b , B1D = c

Prostorna dijagonala kvadra iznosi

Kosinusi uglova , i :

, ,

Ako prostorna dijagonala zatvara ugao manji od 900 s negativnim smerom koordinatne ose (slika 3), označavamo taj ugao indeksom 1:

1 , 1 , 1

Slika 3.

OA = a, AB1= b, B1D = c

, ,

Slijede komponente sile :

ili

ili

ili 1cosFFz

SABIRANJE SILA i KOJE LEŽE NA OPĆIM PRAVCIMA U PROSTORU

Analogno analitičkom sabiranju sila koje leže u ravni xy možemo pisati

=

=

, ,

Općenito vrijedi

, ,

Primjer

Kvadratna ploča ABCD prema slici vezana je pored ostalih veza, užetom BE. Odrediti komponente FX, FY i FZ sile u užetu, ako je zadano F = 10 kN.

Pravac BE je pravac djelovanja sile F. Da bi odredili komponente sile, moramo odrediti cosinuse uglova između prvaca BE i paralela sa osama koordinatnog sistema Axyz.Treba konstruisati kvadar čija je prostorna dijagonala dužina BE. Bridove kvadra možemo najlakše odrediti tako da krenemo iz tačke B u tačku E idući putevima osa x y i z. To će biti putevi B → C paralelno osi x, pa C → D paralelno osi y i D → E paralelno osi z (prema slici).

Putevi B → C, C → D i D → E su bridovi kvadra čija je prostorna dijagonala BE.

Dužina dijagonale BE je

Uočimo pravougli trougao Δ BCE. Dužina BC paralelna x je okomita na plohu CDEJ koja je paralelna yz ravni, pa je dakle okomita i na dužinu CE koja je dijagonala pravouganika CDEJ, pa je ugao uz tačku C pravi ugao.

Iz pravouglog trougla Δ BCE je

Analogno trouglovi ΔABE i ΔBHE su pravougli trouglovi, pa je

Uglovi α1 i β1 su uglovi između dužine BE, odnosno vektora sile i negativnih smjerova osa x i y, dok je ugao γ ugao između dužine BE, odnosno vektora i pozitivnog smjera ose z, prema slici..

Iznosi komponenti su:

i su negativno usmjerene, a je pozitivno usmjerena, pa slijedi

; ;

[kN]

Komponente sila možemo također odrediti i na drugi način. Za usvojeni koordinatni sistem Axyzodredimo koordinate tačaka B i E.

Koordinate tačke: B(0, 6, 0)Koordinate tačke: E (-6, 0,3)

Dužinu BE = D određujemo kao udaljenost dvaju tačaka u prostoru

Kosinusi smjerova su:

Iz predznaka kosinusa smjerova zaključujemo da su komponente i negativno usmjerene, a je pozitivno usmjerena. Iznosi komponenti su:

[kN]

ODREĐIVANJE MOMENTA SILE KOJA LEŽI NA OPĆEM PRAVCU U PROSTORU S OBZIROM NA TAČKU O KOJA NE LEŽI NA TOM PRAVCU

U tačku O postavimo koordinatni sistem Oxyz. Silu rastavimo na komponente paralelne osama x,y i z

Ako su x, y i z su koordinate napadne tačke sile , tada je vektor položaja napadne tačke sile A

Uzet ćemo da je x > 0, y > 0 , z > 0 i FX > 0, FY > 0, FZ > 0

=

Prema definiciji vektorskog proizvoda

; ;

; ; ; ; ;

Uvrštavanjem dobijamo

Komponente vektora

; ;

nazivamo: moment oko ose x, moment oko ose y i moment oko ose z

Vektorski proizvod može se izračunati preko determinante

Izraz za može se interpretirati na slijedeći način:

1. Zamislimo da se prostor u kojem leži sila može rotirati redom oko ose x, pa oko ose y i konačno oko ose z

2. Silu rastavimo na komponente paralelne osama x, y i z3. Komponente pomaknemo po pravcima njihovog djelovanja do prodora tih pravaca sa

ravninama na koje su okomiti4. Neka se prostor u kojem djeluju komponente može okretati oko ose x. Rotaciju oko ose x mogu

izazvati samo komponente koje su okomite na nju ( ), dok komponenta ne može

izazvati rotaciju oko te ose

5. Ako se krakovi i odrede kao udaljenosti njihovih pravaca od ose x, što znači kao

udaljenost bx prodora i ravnine xz od ose x i kao udaljenost cx od prodora i ravni xy od

ose x , nastoji rotirati prostor oko ose x momentom u smjeru kazaljke na sate

gledano sa vrha ose x, dok sila nastoji rotirat prostor momentom u smjeru suprtno kazaljci na satu gledano sa vrha ose x. Ako ove rotacije označimo prvu kao negativnu, a drugu kao pozitivnu i te predznake damo momentima koji ih nastoje izazvati, moment oko ose x će biti

Analogno se mogu odrediti moment oko ose y i moment oko ose z:

Uz FX > 0, FY > 0, FZ > 0 bit će , , , a uz x > 0, y > 0 , z > 0 , bit će

; ; ; ; ; , pa slijedi:

; ;

Momenti oko osa su komponente vektora momenta sile s obzirom na tačku O:

Iz ovog razmatranja slijedi uobičajan postupak određivanja momenta neke sile koja djeluje na općem pravcu u prostoru s obzirom na proizvoljnu tačku O:

Najprije u tački O postavimo ose koordinatnog sistema Oxyz. Zatim silu F rastavimo na komponente paralelne tim osama i odredimo krakove tih komonenti s obzirom na ose x, y i z kao udaljenosti od prodora tih komponenata sa koordinatnom ravninom na koju je okomita do osi koje određuju tu ravninu. Konačno moment oko neke ose izračunavamo kao zbir proizvoda iznosa komponente okomite na tu osu i njihovih krakova s obzirom na nju, s time da proizvodima (momentima) dajemo pozitivan predznak ako komponenta nastoji izazvati rotaciju oko ose u smjeru suprotnom kazaljci na satu gledano sa vrha

ose, odnosno negativan predznak ako komponenta nastoji izazvati rotaciju u smjeru kazaljke na satu, gledano sa vrha ose.

Primjer

Odrediti moment sile u užetu AB s obzirom na tačku O. Zadano F = 120 N.

Određivanje komponenti sile

Na drugi način možemo odrediti kosinuse smjerova. Koordinate tačaka A i B:

A(2,3,1) B(0,1,2)

Dužina užeta AB

Kosinusi smjerova

Komponente sile

Ucrtamo komponente u napadnoj tački A i tražimo krakove tih komponenti kao udaljenosti pravca djelovanja komponente od osi koordinatnog sistema. Te se udaljenosti nalaze kao udaljenosti od probodišta pravca djelovanja komponente sa koordinatnom ravninom u kojoj leži koordintna osa do te ose.

Krak oko ose y : ay = 1 m

Krak oko se z: az = 3 m

Krak oko ose x : bx = 1 m

Krak oko ose z : bz = 2 m

Krak oko ose x : cx = 3 m

Krak oko ose x : cy = 2 m

Ako komponenta sile nastoji rotirati tijelo na koje djeluje oko neke koordinatne ose tako da je to rotacija obrnuta kazaljci na satu gledano sa vrha te ose, moment oko ose te komponente je pozitivan, a za suprotnu rotaciju je negativan.

Komponente momenta sile s obzirom na tačku O su:

Iznos momenta

Analitički

Koordinate tačke A (2,3,1)

Vektor položaja

Vektor sile

[Nm]

REZULTANTA PROSTORNOG SISTEMA SILA

Zadatak 1.Odrediti veličinu rezultante sila F1 i F2. Zadano F1 = 100 N, F2 = 150 N, θ = 300, φ = 600

Rješenje:

Projekcija sile F1 na ravan xy

Komponente sile F1

Komponente sile F2

50

Vektorski zapisi sila

Rezultanta

Veličina rezultante

Uglovi koje rezultanta gradi sa osama Dekartovog koordinatnog sistema

Zadatak 2. Odrediti rezultantu sistema sila, ako jezadano: F1 = 400 N, F2 = 300 N, F3 = 200N, 2 = 600 , 2 = 600, c = 3, i d = 4

Rješenje:

Uzimamo pozitivnu vrijednost Komponente sila

, ,

,

, ,

Komponente rezultante:

Rezultanta sistema sila

Uglovi koje rezultanta gradi sa osama Dekartovog koordinatnog sistema

RAVNOTEŽA SUČELJNOG PROSTORNOG SISTEMA SILA

Zadatak 1.

Odrediti sile u užetima AB, AC i AD, ako je zadano: G = 800 N, a = 4 m, b = 4m i c = 2 m.

Rješenje:

Koordinate tačaka A i D A(c,b,0) D(0,0,a)

Dužina

Kosinusi smjerova su:

Projekcije sile u užetu su

Jednačine ravnoteže

(1)

(2)

(3)

Iz (3)

Iz (2)

Iz (1)

Zadatak 2. Odrediti sile u užetima AC, BC i CD, ako je zadano G = 2000 N, a = 3 m, b = 2m i c = 0,5 m, d = 0,5 m, e = 2 m

Rješenje:Kosinusi smjerova

Uže CA

Uže CB

Uže CD

Jednačine ravnoteže su:

(1)

(2)

(3)

Iz (3)

Uvrštavanjem FCD u (2) dobijamo

Iz (2)

Zadatak 3. Odrediti sile u užetima AD, BD i CD, ako je zadano G = 100N, a = 1,5 m, b = 2 m i c = 1 m, d = 1,5 m, e = 0,5 m i f = 0,5 m.

Rješenje:

Kosinusi smjerova

Uže AD

Uže BD

Uže CD

Jednačine ravnoteže su:

(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

Iz (1)

Uvrštavanjem u (3)

U (1)

U (2)

Zadatak 4.Odrediti sile u štapovima AB, AC i AD konstrukcije na platformi kamiona opterećene blokom mase 500 kg.

Rješenje:

Prikazati konstrukciju oslobođenu od veza.

Štap ABKoordinate tačaka A, B, C i D:

A(0, 3, 2,5); B(0,0, 0); C(0,75, -2, 0); D(-1,25, -2, 0)

Dužine štapova:

Kosinusi smjerova:

Štap AB

; ;

Štap AC

; ;

Štap AD

; ;

Jednačine ravnoteže:

(1)

(2)

(3)

Iz (1)

U (2) (4)U (3) (5)

Iz (4)

U (5)

Iz (4)

Iz (1)

RAVNOTEŽA PROIZVOLJNOG PROSTORNOG SISTEMA SILA

Zadatak 1.

Na zakrivljeni štap ABC koji je vezan za podlogu sfernim zglobom A i zglobno vezanim štapovima 1,2 i 3 djeluje sila F prema slici. Potrebno je odrediti reakcije u sfernom zglobu A i sile u štapovima 1,2 i 3.Zdano je F = 2 kN.

Štap 2 (BE) leži u ravni yz, pa sila u tom štapu ima samo projekcije na ose y i z. Trougao ABE je pravougli sa katetama a. Iz ovog zaključujemo da sila u štapu gradi ugao sa osama y i z 450.

Projekcije sile S2

Štap 3 (BG) leži u ravni xy, pa sila u tom štapu ima samo projekcije na ose x i y. Trougao ABG je pravougli sa katetama a. Iz ovog zaključujemo da sila u štapu 3 gradi sa osama x i y ugao 450.

Projekcije sile S3

Dužinu štapa 1 možemo odrediti pomoću koordinata tačaka D i E ili koristeći pravougli trougao AEDD(-a,a,0) i E(0,0,a)

Iz pravouglog trougla AED jedna kateta je AE = a, dok je druga kateta AD dijagonala kvadrata stranice a, pa je

Kosinusi smjerova

Projekcije sile S1

Jednačine ravnoteže

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(Sile S1 i S3 sjeku osu z)

(6) S3 = 0

(5)

(4)

(1)

(2)

(3)

Zadatak 2.

Homogena ploča ABC u obliku jednakostraničnog trougla stranice a i težine FG = 3 kN nalazi se u horizontalnoj ravni, a vezana je uz vertikalni zid radijalno – aksijalnim ležajem u A (ili zglobom A) i radijalnim ležajem u B te štapom CD prema slici. Potrebno je odrediti reakcije u ležajevima i silu u štapu.

U zadacima s prostornim sistemom sila dobro je odabrati ishodište koordinatnog sistema u radjalno – aksijalnom ležaju ili prostornom zglobu (odnosno nepomičnom osloncu) jer u tom slučaju se u momentnim jednačinama ravnoteže neće javljati tri nepoznate , odnosno reakcije u radijalno – aksijalnom ležaju.

Koordinate tačaka C i D

C ( , ,0) D(0,0, -a)

Kosinusi smjerova

Komponente sile u štapu S

,

Komonente SX i SZ su negativno orjentisane, dok je komponenta SY pozitivno orjentisana.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Iz (6) FBX = 0

Iz (5)

Iz (4)

Iz (3)

Iz (1)

Iz (2)