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PROPUESTA CURRICULAR EN GEOMETRÍA
PARA EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA Y
SECUNDARIA Y EDUCACIÓN MEDIA
Presentado por:
VERÓNICA MARIÑO SALAZAR
Dirigido por:
JOSÉ RICARDO ARTEAGA
TESIS PRESENTADA AL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COMO
PARTE DE LOS REQUISITOS PARA OPTAR POR EL GRADO DE
MATEMÁTICO
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
BOGOTÁ, COLOMBIA
JULIO, 2004
Con base en la LEY 115 de 1994 por la cual se expide la ley general de educación para
Colombia,
Me dirijo a la comunidad educativa de las distintas instituciones de educación formal en el
país,
Me dirijo también al Consejo Académico teniendo en cuenta su participación en los cambios
curriculares que considere pertinentes.
Artículo 76 (Ley 115)
Concepto de currículo. Currículo es el conjunto de criterios, planes de estudio, programas, metodologías, y procesos que
contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad cultural nacional, regional y local, incluyendo también los recursos humanos, académicos y físicos para poner en práctica las
políticas y llevar a cabo el proyecto institucional.
Artículo 77 (Ley 115)
Autonomía escolar. Dentro de los límites fijados por la presente ley y el proyecto institucional, las instituciones de
educación formal gozan de autonomía para organizar las áreas fundamentales de conocimientos definidas para cada nivel, introducir asignaturas optativas dentro de las áreas establecidas en la ley, adaptar algunas áreas a las necesidades y características regionales, adoptar métodos de enseñanza y
organizar actividades formativas, culturales y deportivas, dentro de los lineamientos que establezca el Ministerio de Educación Nacional.
Artículo 6º (Ley 115)
Comunidad educativa. (...) La comunidad educativa está compuesta por estudiantes o educandos, educadores, padres de
familia o acudientes de los estudiantes, egresados, directivos docentes y administradores escolares. Todos ellos, según su competencia, participarán en el diseño, ejecución y evaluación del Proyecto
Educativo Institucional y en la buena marcha del respectivo establecimiento educativo.
Artículo 145 (Ley 115)
Consejo Académico. El Consejo Académico, convocado y presidido por el rector o director, estará integrado por los
directivos docentes y un docente por cada área o grado que ofrezca la respectiva institución. Se reunirá periódicamente para participar en:
a) El estudio, modificación y ajustes al currículo, de conformidad con lo establecido en la presente ley;
b) La organización del plan de estudio; c) La evaluación anual e institucional, y d) Todas las funciones que atañen a la buena marcha de la institución educativa.
“La geometría existe, como dijo el filósofo, en todas partes. Es
preciso, sin embargo, tener ojos para verla, inteligencia para
comprenderla y alma para admirarla.”
Malba Tahan
El Hombre que Calculaba
ÍNDICE GENERAL
1. MARCO TEÓRICO........................................................................................ 1
1.1. UN POCO DE HISTORIA.................................................................... 1
1.2. NIVELES DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE........................... 8
1.2.1. Descripción de los niveles.......................................................... 8
1.2.2. Ejemplo....................................................................................... 10
1.2.3. Acerca de los niveles.................................................................. 15
2. ¿PARA QUÉ Y CÓMO ENSEÑAR GEOMETRÍA?................................... 18
2.1. ¿POR QUÉ ESTUDIAR GEOMETRÍA?.............................................. 18
2.1.1. Dominio del espacio................................................................... 18
2.1.2. La geometría en el arte............................................................... 20
2.1.3. Pensamiento geométrico............................................................ 21
2.2. ¿POR QUÉ ESTUDIAR GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS?......... 23
2.3. LA ERA DEL POST MODERNISMO EN LA ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRÍA........................................................................................ 25
2.4. METODOLOGÍA.................................................................................. 26
2.4.1. Re-construcción del conocimiento............................................ 26
2.4.2. Herramientas.............................................................................. 27
2.4.3. Tipos de ejercicios..................................................................... 30
3. CURRÍCULO.................................................................................................. 32
3.1. INTRODUCCIÓN................................................................................ 32
3.2. GRADOS PRIMERO, SEGUNDO Y TERCERO............................... 36
3.2.1. Grado primero........................................................................... 38
3.2.2. Grado segundo.......................................................................... 41
3.2.3. Grado tercero............................................................................ 46
3.3. GRADOS CUARTO, QUINTO Y SEXTO......................................... 52
3.3.1. Grado cuarto............................................................................. 55
3.3.2. Grado quinto............................................................................. 62
3.3.3. Grado sexto............................................................................... 71
3.4. GRADOS SÉPTIMO, OCTAVO Y NOVENO.................................... 79
3.4.1. Grado séptimo........................................................................... 81
3.4.2. Grado octavo............................................................................. 88
3.4.3. Grado noveno............................................................................ 98
3.5. GRADOS DÉCIMO Y UNDÉCIMO................................................... 113
3.5.1. Grado décimo............................................................................ 115
3.5.2. Grado undécimo........................................................................ 132
3.6. PAUTAS GENERALES....................................................................... 151
3.6.1. Integración de los distintos grados del currículo basado en los niveles de
razonamiento de Van Hiele.................................................................... 151
3.6.2. Elección del vocabulario y la nomenclatura a emplear............... 154
3.6.3. Empleo de objetos y situaciones de la vida cotidiana................. 155
3.6.4. Relacionar unos conceptos con otros.......................................... 156
3.6.5. Re-construcción del conocimiento.............................................. 157
4. CONCLUSIONES............................................................................................. 159
Convenciones.
Bibliografía.
1
CAPÍTULO 1
MARCO TEÓRICO
1.1. UN POCO DE HISTORIA
La geometría es una de las ciencias más antiguas, nace con el interés del hombre de
estudiar su entorno. La descomposición de la palabra hace referencia a este punto de partida:
la medida de la tierra.
Este primer acercamiento experimental se ve consolidado como ciencia en el siglo III
A.C. cuando Euclides escribe los “Elementos”, tratado sobre geometría en el que se recoge el
conocimiento adquirido hasta ese momento pero además se organiza la recopilación de forma
lógico-deductiva. Este documento que consta de 13 libros, conocidos hasta el momento, va de
la mano con todo el desarrollo que había tenido la matemática griega: una matemática
demostrativa y deductiva.
El primer libro se compone de 23 definiciones, 5 nociones comunes (o axiomas), 5
postulados y 48 proposiciones. Las definiciones hacen referencia a punto, línea, superficie,
ángulos, círculos y multiláteros (triláteros, cuadriláteros, etc...)
Con respecto a los postulados y a las nociones comunes existen distintas formas de
agruparlos que dependen de lo que se entienda por postulado o axioma. La más común es la
arriba mencionada (5 axiomas – 5 postulados). Teniendo en cuenta la influencia aristotélica
podríamos diferenciarlos de la siguiente forma:
- Axioma es una verdad evidente por sí misma, que no necesita ser demostrada. Una noción
que es común a todas las ciencias, no sólo hace referencia a la geometría. Dice Aristóteles que
estas nociones son “indispensables de conocer para aprender algo” ( [9], p.56).
2
- Postulado, en cambio, es algo que el geómetra pide le sea concedido sin demostración para
poder seguir adelante. No es algo evidente ni una verdad axiomática, más bien es una
concesión.
En los siguientes 12 libros Euclides sólo introduce definiciones y proposiciones, las
bases, axiomas y postulados, quedan establecidos en el primer libro.
Euclides empieza entonces por hacer unas afirmaciones que deben ser aceptadas por el
lector, afirmaciones que aunque son intuitivamente lógicas, carecen de demostración. Una vez
aceptados estos puntos básicos, los 5 postulados, que serán las herramientas iniciales, junto
con las definiciones y los axiomas, se construye un universo riguroso basado en la
construcción hipotético-deductiva.
Los 5 axiomas o nociones comunes:
1- Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
(Es decir, en lenguaje algebraico moderno, si a = b y b = c entonces a = c)
2- Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.
(Es decir, si a = b entonces ( a + c ) = ( b + c ))
3- Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
(Es decir, si a = b entonces ( a – c ) = ( b – c ))
4- Las cosas que pueden superponerse entre sí son iguales entre sí.
5- El todo es mayor que la parte.
Los 5 postulados:
1- Por dos puntos distintos pasa una recta.
2- Un segmento se puede prolongar de forma continua en una recta ilimitada en la misma
dirección.
3- Se puede trazar una circunferencia con centro cualquier punto y radio cualquiera.
4- Todos los ángulos rectos son iguales.
3
5- Si una recta, al cortar otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado cuya
suma es menor que dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas infinitamente, se
cortan del lado en el que están los dos ángulos cuya suma es menor que dos rectos.
Los tres primeros postulados se refieren a la existencia de la recta y de la
circunferencia.
El cuarto postulado, que quizás parezca el más natural, tiene implicaciones fuertes que
en un principio pasaron inadvertidas, pero con el desarrollo posterior de la geometría se
entendió que en ese postulado estaba implícita la homogeneidad del espacio.
Luego, al definir rectas paralelas como “rectas que nunca se intersecan” (definición
23), el quinto postulado resulta equivalente a su forma más conocida:
“Por un punto P que no pertenece a una recta l pasa una única recta paralela a l.”
(Formulación hecha en el siglo XVIII por J. Playfair (1748 – 1819) que implica tanto la
existencia como la unicidad, y es un caso especial del 5º postulado en su forma original, caso
en el que se forman los ángulos internos de un mismo lado iguales a dos ángulos rectos).
La Geometría Euclidiana tiene su fundamento en lo que la percepción nos señala
como real. Es así como la intuición nos abre las puertas a esta geometría en la que los
conceptos no son tan distantes de lo que con los ojos podemos comprobar o lo que con las
manos podemos construir. Los conceptos tienen su representación tangible en el mundo real.
Todo lo anterior facilita el primer contacto con la Geometría Euclidiana. Los 4 primeros
postulados se diferencian del 5º en la noción de infinito (“prolongadas infinitamente”). Se
creía sobre todo que el 5º podía deducirse de los demás, pero todos los intentos fueron fallidos.
En el siglo XIX el panorama se amplía y el terreno de exploración geométrica se
vuelve mucho más fértil cuando se trata de demostrar el 5º postulado por reducción al absurdo
(si se quiere demostrar que A implica B, se niega B y se debe llegar a la negación de A).
4
Varios de estos intentos fracasaron también, pues para llegar a la contradicción, en alguno de
los pasos lógicos, el matemático en cuestión usaba alguna afirmación que parecía lógica pero
que en verdad dependía del 5º postulado. (Nótese que hasta para los matemáticos más expertos
en procedimientos de lógica, resulta extremadamente difícil el rigor absoluto y el hecho de
desligarse por completo de la intuición). Pero finalmente hubo frutos: muy contrario a lo que
se esperaba, negar el 5º postulado no produjo contradicciones ni absurdos, sino que al
cambiarlo por otro que lo negara se estaba construyendo, basándose en el mismo razonamiento
lógico-deductivo, un universo internamente coherente, aunque fuese anti-intuitivo1.
De ahí viene un campo enorme que es el de las Geometrías No-Euclidianas.
Nicolai Ivanovich Lobatchevski (1793 - 1856) por un lado, y Janos Bolyai (1802 -
1860) por otro, proponen como 5º postulado:
“Por un punto P que no pertenece a una recta l pasa más de una recta paralela a l”.
A la geometría que de aquí se deriva se le llama actualmente Geometría Hiperbólica.
Gauss venía trabajando en el tema también, junto con Taurinus y Schweikart. En el año
1832 llega a sus manos el manuscrito de Bolyai, que parecía tener menos dudas respecto al
descubrimiento de una nueva geometría que Gauss, por eso es a él a quien se atribuye
principalmente el descubrimiento.
Lobatchevski, trabajando independientemente, llegó a resultados muy parecidos. No
tuvo dudas de su descubrimiento y lo divulgó sin miedo, tal vez por eso en muchos libros se
habla de la geometría de Lobatchevski, cuando en realidad la idea surgió en un mismo tiempo
pero en distintos lugares. ([7], capítulo V). Lo que nos hace pensar que el descubrimiento no
fue accidental, sino que tal vez la humanidad había llegado a un nivel mental y matemático
adecuado para poder recibir este descubrimiento.
1 “Porque un conocimiento puede estar completamente conforme a la lógica, es decir no contradecirse a sí mismo,
y sin embargo estar en contradicción con el objeto.” Kant, Crítica de la razón pura, 1781.
5
Ambos llegaron a la asombrosa conclusión de que la Geometría Euclidiana resultaba
ser un caso particular de esta nueva geometría, un caso límite (cuando k, la llamada constante
de Gauss, tiende al infinito en la fórmula para la longitud de la circunferencia2).
Bolyai llamó a esta nueva geometría Geometría Absoluta y Lobatchevski la llamó
Pangeometría o Geometría de la imaginación.
Más tarde Bernhard Riemann (1826 - 1866) cambia el 5º postulado de Euclides por
otro que lo contradice y que a su vez contradice el de Lobatchevski-Bolyai. Queda así:
“Por un punto P que no pertenece a una recta l no pasa ninguna recta paralela a l”
De este nuevo postulado se deriva la geometría actualmente conocida como Geometría
Esférica.
Las ideas de geometría Hiperbólica y de la geometría Esférica, desarrolladas entre los
años 1826 y 1851, nacen sin un modelo concreto, lo que dificulta su credibilidad para muchos
matemáticos de la época. Es en 1868, que Beltrami logra proponer un modelo para cada una
de ellas. Así como un modelo de la Geometría Euclidiana es el plano euclídeo (plano
cartesiano dotado de una manera especial para medir), las otras dos geometrías se pueden
también modelar en superficies continuas de dos dimensiones. La diferencia fundamental está
en la noción de curvatura. El plano euclideo tiene curvatura constante igual a cero. La
geometría de Riemann se puede modelar sobre una superficie del espacio cartesiano con
curvatura constante positiva (por ejemplo la esfera), y la geometría de Lobatchevski-Bolyai
sobre una superficie de curvatura constante negativa (la pseudoesfera).
2 Longitud de la circunferencia: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−kr
kr
eekπ , donde r es el radio pero π está definido de otra manera.
6
Los descubrimientos arriba mencionados crean confusión y desestabilizan al mundo
matemático y filosófico. Durante siglos se consideró a la Geometría Euclidiana como la
representación única y verdadera de la realidad. El hecho de que aparezcan otras geometrías
hace que esa noción de Verdad se venga abajo. ¿Existe la Verdad absoluta? Todo parece
indicar que no. Una vez planteados unos axiomas es posible, si estos forman un sistema
coherente, crear un universo que se base en ellos. Los axiomas entonces pierden ese carácter
de verdades evidentes y se convierten en reglas de juego.
Esta nueva forma de ver la geometría sumada a numerosas críticas (de Félix Klein,
Bertrand Russell y Nicolas Bourbaki entre otros) que recibió el texto de Euclides “Elementos”,
obliga a un replanteamiento de la Geometría Euclidiana. Se dice que faltaron algunos
postulados que se dieron por obvios sin que lo fueran realmente. El ejemplo clásico es la
construcción del triángulo equilátero que aparece en las primeras páginas del primer libro:
Dado un círculo C de centro O, si se construye un círculo C’ de centro O’ (O’ sobre C) y radio
⏐OO’⏐, Euclides asume que los círculos C y C’ se van a intersecar. Esto no lo prueba, lo da
por hecho.
David Hilbert (1862 - 1943) escribe “Fundamentos de la Geometría” en 1899, un
segundo tratado sobre Geometría Euclidiana en el que se hace evidente el giro que tomó el
mundo de la geometría después de los descubrimientos del siglo XIX. El espacio se convierte
en un concepto matemático, y los términos pierden su significado. Ya no importa qué es
punto, línea o superficie en el mundo físico, sino sus estructuras y las relaciones que hay entre
ellos. En cuanto a los axiomas o postulados también hay cambios fundamentales: ya no
importa la veracidad de un axioma sino que el conjunto de axiomas sea consistente (como
criterio lógico, es decir que de él no pueda deducirse una afirmación y su contraria). Como
bien lo resumen A. Gray y R. Sarhangi: “Los axiomas de Hilbert están divididos en
subconjuntos que cubren aspectos de incidencia, “estar entre”, congruencia, continuidad y
paralelismo” [12]. Se abandona el concepto de Verdad y se cambia por el de Consistencia3.
3 “Un teorema de geometría era a la vez un dato sobre las cosas y una construcción del espíritu, una ley de física y una pieza de un sistema lógico, una verdad de hecho y una verdad de razón. De esas parejas paradójicas, la geometría teórica deja caer ahora el primer elemento, que se remite a la geometría aplicada.” Blanché, La Axiomática, 1967.
7
No es por ser anti-intuitivas que estas nuevas ideas se alejan del objetivo primero que
era el estudio del entorno. Son nuevas herramientas permiten al hombre desarrollarse en otros
campos de acción y alcanzar nociones antes inimaginables. Einstein por ejemplo, construye su
teoría de la relatividad basado en un modelo que resulta ser la generalización de la geometría
de Riemann ( [1], parte 5, capítulo 16, numeral 10, p. 222 - 227).
Evidentemente el acceso a estas geometrías no es tan natural como lo es en el caso de
la Geometría Euclidiana. Por lo tanto, el estudio de la Geometría Euclidiana debe enfocarse no
sólo en la profundización y asimilación de ésta, sino en la superación de esa primera etapa
intuitiva, visual y tangible, para acceder a niveles donde las ideas y los conceptos acudan al
mundo real sólo en búsqueda de ser representados, no en búsqueda de ser explicados ni
justificados. Se debe llegar al pensamiento puro y abstracto.
Así, la Geometría Euclidiana se presenta como una antesala de geometrías no
euclidianas, en el sentido de ser en la Geometría Euclidiana donde se alcanza el tipo de
pensamiento necesario para atacar otras geometrías.
8
1.2. NIVELES DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE
El desarrollo histórico hasta ahora descrito se relaciona profundamente con el trabajo
doctoral realizado por Dina y Pierre Van Hiele, dos profesores de matemáticas holandeses que
se dedicaron a entender en qué consistían los problemas que se presentaban en la enseñanza de
la geometría en el nivel escolar. El trabajo de Pierre iba enfocado hacia la parte descriptiva y
explicativa, lo que se veía complementado por la disertación de Dina que proponía diversas
actividades de aprendizaje. El trabajo inicial fue presentado a finales de los años 50, poco
después de eso Dina muere y es Pierre quien sigue trabajando en el tema, depurándolo y
perfeccionándolo, para presentar una segunda versión en los años 80.
En los 60 la propuesta de los esposos Van Hiele tiene su primer gran impacto cuando
se decide implementar algunos cambios en el currículo ruso. Más tarde, en la década de los 80,
en Estados Unidos empieza a estudiarse el problema con base en el trabajo de Van Hiele. En
los últimos años la preocupación se ha generalizado y la tesis doctoral de Van Hiele ha tomado
una importancia vital para aquellos interesados en entender los problemas que se presentan en
la puesta en práctica del currículo de geometría.
1.2.1. Descripción de los niveles.
Van Hiele explica el desarrollo del pensamiento en el ámbito geométrico planteando 5 niveles
de razonamiento:
1- Visualización.
El individuo carece de vocabulario geométrico, sus únicas herramientas son sus ojos y sus
manos. Su acercamiento a la geometría se basa en consideraciones visuales, en la percepción,
mas no en la razón. Sus actos son inconscientes, su acercamiento es empírico y consiste en
reconocer la forma. Sus descripciones son incompletas. Los objetos geométricos se perciben
en función de su apariencia física y estática, sin ninguna conciencia de las propiedades de la
9
figura. Cosas como el color o la orientación de la figura pueden hacerle creer que se trata de
figuras distintas. Se percibe cada figura como única y no como parte de un género.
2- Análisis.
El vocabulario se ha enriquecido, esto permite que el individuo empiece la tarea de analizar
los diferentes componentes de una figura. Puede asociar propiedades a una figura pero no
relaciona unas propiedades con otras, lo que lleva a que las propiedades dadas sean excesivas
o insuficientes. Puede hacer explícita la comparación de las figuras. Es importante tener en
cuenta que en esta etapa el enfoque del individuo sigue siendo empírico, las propiedades no se
entienden aún como conceptos abstractos sino como consecuencia inmediata de la
observación.
3- Deducción informal (o abstracción).
El individuo está ya en capacidad de relacionar las propiedades, lo que lo lleva al
ordenamiento de éstas y a poder depurar o completar las listas de propiedades. Una
característica importante que se deriva de lo anterior, es la capacidad de formar clases. Se
comparan las figuras en función de sus propiedades, deshaciéndose al fin de la representación
gráfica de la figura. El individuo puede aceptar y entender distintas definiciones para un
mismo concepto. La construcción de definiciones se vuelve más natural, así como el uso de la
implicación lógica “si...entonces”. Las pruebas se hacen de manera informal, en desorden, sin
tener en cuenta premisas y sin seguir un orden riguroso.
4- Deducción.
En este nivel se accede al rigor matemático, se construyen pruebas hipotético-deductivas.
Para ello es necesario comprender la diferencia entre lo dado y lo que se busca, comprender el
razonamiento deductivo. Entender qué es una demostración, qué es una definición... entender
lo que es una estructura deductiva.
10
5- Rigor.
El individuo es capaz de razonar sin utilizar la herramienta empírica. El grado de abstracción
es total. Esto le da acceso a otros sistemas axiomáticos que carecen de modelos concretos o
cuyos modelos requieren de conocimientos avanzados para ser interpretados. Es el momento
de estudiar geometrías no euclidianas.
1.2.2. Ejemplo
Quizás un ejemplo sencillo ayude a entender estas ideas. Tomemos la figura del rectángulo.
1- Visualización.
La persona reconoce la forma del rectángulo y la relaciona con algo que en su vocabulario
tenga nombre. Por ejemplo se dejaría influenciar por la orientación de la figura:
“es una puerta” “es un tablero”
Pero no pensaría que se trata de la misma figura.
La frase “se parece a una mesa”, implica además la capacidad de ubicarse en el espacio y tener
una vista superior del objeto.
2- Análisis.
Ya se tiene vocabulario geométrico y se es capaz de enunciar distintas propiedades de una
figura. Al ver el rectángulo el individuo diría por ejemplo:
11
- tiene cuatro lados
- tiene cuatro ángulos
- lados opuestos miden lo mismo
- lados opuestos son paralelos
- los cuatro ángulos son rectos
- sus diagonales miden lo mismo
- sus diagonales se cortan en sus puntos medios
- es cerrado
- es convexo
Muchas de estas observaciones van precedidas de trabajo experimental (medición de
segmentos o medición de ángulos). Las diferencias que veía antes entre el rectángulo en una
posición o en otra, ya no las ve, ambos poseen las mismas propiedades. Pero el individuo cree
que todas las características que es capaz de mencionar son fundamentales y necesarias, no
relaciona unas propiedades con otras.
3- Deducción informal (o abstracción).
Ahora el individuo puede comparar unas figuras con otras en función de sus propiedades. Si
por ejemplo lo ponemos a comparar un rectángulo con un paralelogramo, hará lo siguiente:
- tiene cuatro lados también
- tiene cuatro ángulos también
- lados opuestos miden lo mismo también
- lados opuestos son paralelos también
- los cuatro ángulos son rectos NO
- sus diagonales miden lo mismo NO
- sus diagonales se cortan en sus
puntos medios también
12
- es cerrado también
- es convexo también
Llegará a la conclusión que todas las propiedades que tiene el paralelogramo las tiene también
el rectángulo, concluirá que todo rectángulo es un paralelogramo (Si ABCD es un rectángulo
entonces ABCD es un paralelogramo).
Notará también que el rectángulo tiene propiedades extras que no tiene el paralelogramo,
concluirá que ser paralelogramo no implica ser rectángulo. Todo este proceso es el que
culmina en la formación de clases.
Entenderá que no todas las propiedades son necesarias para la caracterización del rectángulo,
por ejemplo “Un rectángulo es un cuadrilátero cerrado y convexo, con 3 ángulos rectos”. La
demostración no podrá hacerla de manera rigurosa, pero por medio del dibujo tratará de
convencer a su interlocutor de la veracidad de la definición.
Si se le dice en cambio: “Un rectángulo es un cuadrilátero cerrado y convexo, con un par de
lados paralelos”, su refutación será mejor estructurada porque se trata de dar un contra
ejemplo:
4- Deducción.
Aquí el individuo está en la capacidad de construir demostraciones rigurosas. Ahora si tiene
la certeza (matemáticamente hablando) de que cierta definición es correcta o no. Por ejemplo:
“Un rectángulo es un cuadrilátero cerrado y convexo, cuyas diagonales miden lo mismo y se
cortan en sus puntos medios.” El individuo puede demostrar que de esa información se deduce
que todos los ángulos del cuadrilátero son rectos.
13
A B
D C
Ejemplo de demostración:
Sea ABCD un cuadrilátero. Sea I el punto medio de las diagonales.
Sean α = ang (AID), Su suplementario es el ang (AIB), por lo tanto ang (AIB) = 180º-α.
Como ⏐AI⏐=⏐DI⏐, el triángulo AID es isósceles en I.
Así que ang (ADI) = ang (DAI) = β.
Como ⏐AI⏐=⏐BI⏐, el triágulo AIB es isósceles en I.
Así que ang (ABI) = ang (BAI) = γ.
Haciendo un raciocinio similar para los demás triángulos observamos que
ang (ABC) = ang (BCD) = ang (CDA) = ang (DAB) = β + γ
Tenemos que mostrar que β + γ = 90º.
Considere el triángulo ADI: sumando sus ángulos obtenemos α + 2β = 180º
β = 90º - (α/2)
Ahora, haciendo lo mismo en el triángulo ABI obtenemos (180º-α) + 2γ = 180º
2γ = α
γ = α/2
Por lo tanto, β + γ = 90º - (α/2) + α/2 = 90º.
I
14
5- Rigor.
El individuo puede sustentar en un sistema axiomático distinto al de la Geometría Euclidiana
y verificar si siguen cumpliéndose las mismas relaciones entre las propiedades que se
cumplían en el otro sistema.
Para no complicar demasiado el ejemplo se puede trabajar en este caso con la llamada
Geometría del Taxista, cuyo modelo es el plano cartesiano donde la medición de ángulos se
hace de la misma forma que en la Geometría Euclidiana pero se define una nueva distancia
entre puntos.
Sean A(a,b) y B(c,d), se define la distancia entre ellos así: ⏐AB⏐= ⏐a - c⏐+⏐b - d⏐, medida
que le da el nombre a esta geometría, pues la distancia más corta entre dos puntos equivale al
recorrido más corto que haría un taxista en una cuidad donde sólo se permite el movimiento
horizontal o vertical (por calles y carreras).
El individuo puede construir un objeto que cumpla una condición dada. Por ejemplo: “Un
cuadrilátero cerrado y convexo, cuyas diagonales miden lo mismo y se cortan en sus puntos
medios.”
Construcción por pasos:
Sean A(2,4), B(3,3), C(2,0) y D(1,1). Considere el cuadrilátero ABCD.
Sus diagonales son [AC] y [BD],
⏐AC⏐= ⏐2-2⏐+⏐4-0⏐= ⏐0⏐+⏐4⏐= 4 y ⏐BD⏐= ⏐3-1⏐+⏐3-1⏐= ⏐2⏐+⏐2⏐= 4
En efecto ⏐AC⏐= ⏐BD⏐.
A
B
C
D
15
Puede comprobarse también fácilmente que [AC] y [BD] se cortan en sus puntos medios.
Se tiene ya una construcción de un cuadrilátero que cumple el enunciado. ¡Pero en este caso,
sus ángulos NO son rectos! ¿Dónde falla la demostración que hicimos en el paso anterior? El
individuo puede concluir que se trata de sistemas axiomáticos diferentes.
Fin del ejemplo.
1.2.3. Acerca de los niveles
Es importante tener en cuenta que en cada nivel hay símbolos y sistemas de relaciones.
El vocabulario se enriquece a medida que se avanza. Los niveles tienen una jerarquía
implícita, no se pasa al nivel n+1 sin haber superado el nivel n. Una persona que se encuentra
en un nivel determinado no le entiende a otra persona que le hable en términos de un nivel
superior. La interpretación de un término depende del nivel de razonamiento en que la persona
se encuentre.
Aunque inicialmente se plantearon los niveles como disjuntos, estudios posteriores han
mostrado que un estudiante puede dar respuestas correspondientes a dos niveles consecutivos
[3]. La oscilación entre los dos primeros niveles es muy común. Afirmaciones generales como
“se comparan las figuras en función de sus propiedades” (nivel de Deducción informal) no son
absolutas, es decir, no se pasa de carecer la habilidad a tenerla, es un proceso. En general
figuras como el cuadrado y el rectángulo se asimilan más rápido que otras como el
paralelogramo.
El proceso es lento y continuo, aunque en algunos casos puede verse acelerado por
actividades extras que aporten el desarrollo del razonamiento lógico. El paso de un nivel a otro
se caracteriza también porque aquello que era implícito en un nivel se vuelve explícito en el
siguiente. El nivel en el que se encuentra una persona no es relativo a la edad. Evidentemente
la edad influye hasta cierto punto, teniendo en cuenta que el desarrollo de la motricidad y el
desarrollo del cerebro se relacionan en cierta medida con la edad. No podemos pretender que
16
un niño que no ha adquirido aún la capacidad de concentrarse o de analizar pueda avanzar en
los niveles. Pero se pueden encontrar personas adultas que no han pasado del primer nivel.
Para que una persona pase de un nivel a otro se necesita tiempo, trabajo y experiencia
en el nivel en el que se encuentra. Dice Marguerite Mason: “La teoría de Van Hiele indica que
el aprendizaje efectivo sucede cuando los estudiantes experimentan activamente con los
objetos de estudio en contextos apropiados, y cuando entran en discusión y reflexión” [14].
Aquí es donde entra en escena el profesor, que debe acompañar y guiar al estudiante en su
proceso. Concientes de eso los esposos Van Hiele proponen unas fases de aprendizaje como
guía para los profesores:
1- Información.
Esta primera fase debe centrarse en la observación. Se deben fomentar actividades
acompañadas de diálogo y de discusión, y aprovecharlas para empezar a introducir
vocabulario.
2- Orientación dirigida.
La idea ahora es guiar al estudiante hacia la exploración. Es importante elegir el material de
manera adecuada para que el estudiante se empiece a familiarizar con algunas estructuras.
3- Explicación.
Ahora el papel del profesor es más pasivo, de observador. Los estudiantes deben intercambiar
ideas y compartir sus conclusiones con los demás estudiantes. Es aquí donde las relaciones
entre objetos empiezan a hacerse patentes. El hecho de verbalizar y formalizar las ideas, así
como el hecho de explicar a otros sus conclusiones obliga al estudiante a ser claro y a tener
más dominio del tema. Por otro lado, escuchar las propuestas de otros enriquece la propia
concepción de una idea. Es importante no sólo generar ideas sino ser capaz de comprender las
17
ideas de otros, poder aceptarlas como válidas o refutarlas. El trabajo en grupo es adecuado una
vez que se haya realizado un trabajo personal que consiste en arar el terreno.
4- Orientación libre.
El sistema de relaciones antes implícito se hace explícito, del mismo modo las estructuras. Por
eso el estudiante ya está preparado para la resolución de problemas. Ya puede resolver
ejercicios que consisten de varios pasos, o ejercicios que se pueden resolver de varias formas.
5- Integración.
Esta es la fase concluyente. El trabajo anterior debe interiorizarse. El conocimiento adquirido
debe hacerse propio. El profesor participa en el proceso de síntesis.
El papel del profesor es el de un guía, pero debe ser el estudiante el que llega al
conocimiento, el que lo construye. El profesor no debe pararse frente a un curso como si lo
hiciera ante una cámara y recitar un discurso que ante sus ojos tiene sentido y consistencia,
pero no necesariamente a los ojos de los estudiantes. La actitud del estudiante no debe ser
pasiva. Para llegar al punto de interiorizar el conocimiento hay que pasar por las etapas
anteriores, por la observación, la experimentación, la verbalización y la comparación. El
monólogo del profesor lleva a la distanciación de éste con sus estudiantes, y obliga al
estudiante a memorizar sin haber llegado al verdadero aprendizaje.
Vale la pena mencionar acá el trabajo realizado por A. Hoffer en el que enumera
habilidades, distintas a la de demostrar, que deben fomentarse en los estudiantes que aprenden
geometría: Habilidad visual, habilidad verbal, habilidad de dibujo, habilidad lógica y habilidad
para modelar. El estudiante debe desarrollar estas habilidades a medida que avanza en los
niveles.
Más adelante entraremos más profundamente en el tema de la metodología.
32
CAPÍTULO 3
CURRÍCULO
3.1. INTRODUCCIÓN
Artículo 11 (Ley 115)
Niveles de la educación formal. La educación formal a que se refiere la presente Ley, se organizará en tres (3) niveles:
a) El preescolar que comprenderá mínimo un grado obligatorio;
b) La educación básica con una duración de nueve (9) grados que se desarrollará en dos
ciclos: La educación básica primaria de cinco (5) grados y la educación básica
secundaria de cuatro (4) grados, y
c) La educación media con una duración de dos (2) grados.
Preescolar:
Aunque en esta etapa no se consideran aún Áreas Fundamentales (por lo que no se
considera el estudio de la matemática), los indicadores de logros propuestos por el estado para
este primer periodo son de gran utilidad para nuestro objetivo.
El despertar de la curiosidad que, con una orientación adecuada, abre el camino a la
observación y a la exploración (característica de una actitud científica); el despertar a la
noción de problema-solución, como un primer acercamiento a las matemáticas; el desarrollo
de la motricidad fina, que más adelante será necesaria en construcciones geométricas; la
receptividad al nuevo vocabulario; la capacidad de clasificar y ordenar objetos con base en
distintos criterios; la capacidad de ubicarse en el espacio, que puede entenderse como un
primer paso a la geometría, y por último, la capacidad de relacionar conceptos nuevos con
otros ya conocidos, que da inicio al razonamiento lógico-deductivo, son elementos
importantes con los que contaremos al iniciar la educación básica.
33
Educación Básica y Media:
Artículo 23 (Ley 115)
Áreas obligatorias y fundamentales.
Para el logro de los objetivos de la educación básica se establecen áreas obligatorias y fundamentales
del conocimiento y de la formación que necesariamente se tendrán que ofrecer de acuerdo con el
currículo y el Proyecto Educativo Institucional.
Los grupos de áreas obligatorias y fundamentales que comprenderán un mínimo del 80% del plan de
estudios, son los siguientes:
1- Ciencias naturales y educación ambiental.
2- Ciencias sociales, historia, geografía, constitución política y democracia.
3- Educación artística.
4- Educación ética y valores humanos.
5- Educación física, recreación y deportes.
6- Educación religiosa.
7- Humanidades, lengua castellana e idiomas extranjeros.
8- Matemáticas.
9- Tecnología e informática.
Artículo 31 (Ley 115)
Áreas fundamentales de la educación media académica. Para el logro de los objetivos de la educación media académica serán obligatorias y fundamentales las
mismas áreas de la educación básica en un nivel más avanzado, además de las ciencias económicas,
políticas y la filosofía.
Parte de mi propuesta es incluir dentro del área de Matemáticas una asignatura obligatoria:
Geometría.
Esta asignatura deberá iniciarse desde el primer año de la educación básica y estudiarse
periódicamente para permitir un desarrollo progresivo del estudiante en el tema.
La siguiente propuesta curricular no ha sido puesta en práctica.
34
Los capítulos están organizados teniendo en cuenta el agrupamiento por grados que propone el
Ministerio de Educación Nacional (MEN) en su Código Educativo V. Para cada conjunto de
grados empiezo por enumerar los indicadores de logros para matemáticas establecidos por el
MEN de acuerdo con la Ley 115 de 1994, menciono también algunos logros de otras áreas que
considero de gran ayuda para el desarrollo del pensamiento geométrico. Los logros referidos
específicamente a geometría están resaltados con negrilla.
La organización interna del currículo para cada grado (de Primero a Décimo) consiste de:
- Objetivos
- Vocabulario a introducir
- Herramientas físicas nuevas (en caso de que las haya)
- Nomenclatura y convenciones nuevas
- Ejercicios y actividades propuestos
La última parte, ejercicios y actividades, está dividida por temas para facilitar su lectura, sin
embargo es importante tener en cuenta que los temas deben alternarse y se debe avanzar en
ellos de manera simultánea.
¿Por qué basar una propuesta curricular en ejercicios y actividades? Aunque cumplir con la
lista de objetivos es el fin primordial, la preocupación es cómo lograr que el estudiante cumpla
con esos objetivos. Ejercicios y actividades dan un panorama real de la metodología, cómo
abarcar cada tema, cómo introducirlo y cómo desarrollarlo. Por otro lado, dan claridad sobre el
tipo de actividad mental que se le pide al alumno, enfocándose siempre en el desarrollo del
pensamiento geométrico: objetivo principal del currículo.
Con el fin de que este documento sea guía para el profesor que desee ponerlo en práctica,
muchos de los ejercicios aquí propuestos vienen con solución o demostración.
Los grados Noveno y Décimo son dedicados principalmente al ejercicio de la demostración,
los estudiantes deben haber adquirido el cuarto nivel de razonamiento de Van Hiele
35
(Deducción) y tener suficiente experiencia en él para poder abordar otras geometrías en
Undécimo.
La organización interna de este último año es la siguiente:
- Geometría del Taxista
- Geometría Esférica
- Proyección Estereográfica
- Rectas paralelas versus líneas paralelas en el plano cartesiano
- Geometría Hiperbólica
Es importante tener en cuenta que no debe abandonarse la Geometría Euclidiana, el proceso de
comparación es indispensable para la mejor comprensión de estos nuevos modelos
geométricos. La forma de abordar cada nueva geometría debe ser con experiencia visual y
simultáneamente debe llevarse al estudiante al descubrimiento de nuevos sistemas axiomáticos
sin entrar a profundizar teóricamente en ninguno de ellos. El objetivo de éste último año es
que el estudiante entre en contacto con el mundo geométrico actual y decida si quiere seguir
estudiándolo.
36
3.2. GRADOS PRIMERO, SEGUNDO Y TERCERO
Indicadores de logros curriculares para los grados primero, segundo y tercero de la
educación básica en el área de Matemáticas. (Tomado del Código Educativo V)
• Compara, describe, denomina y cuantifica situaciones de la vida cotidiana, utilizando
con sentido números por los menos hasta de cinco cifras
• Expresa ideas y situaciones que involucran conceptos matemáticos mediante lenguaje
natural y representaciones físicas, pictóricas, gráficas, simbólicas y establece conexiones
entre ellas.
• Identifica y clasifica fronteras y regiones de objetos en el plano y en el espacio,
reconoce en ellos formas y figuras a través de la imaginación, del dibujo o de la
construcción de materiales apropiados y caracteriza triángulos, cuadrados,
rectángulos y círculos.
• Formula, analiza y resuelve problemas matemáticos a partir de situaciones cotidianas,
considera diferentes caminos para resolverlos, escoge el que considera más apropiado,
verifica y valora lo razonable de los resultados.
• Identifica en objetos y situaciones de su entorno las magnitudes de longitud,
volumen y capacidad; reconoce procesos de conservación y desarrolla procesos de
medición de dichas magnitudes, con patrones arbitrarios y con algunos patrones
estandarizados.
• Relaciona los algoritmos convencionales o propios con los conceptos matemáticos que
los sustentan, identifica esquemas y patrones que le permiten llegar a conclusiones.
• Explora y descubre propiedades interesantes y regularidades de los números, efectúa
cálculos con datos de la realidad y utiliza creativamente materiales y medios.
Mencionemos algunos logros de otras materias que tienen relación con nuestro trabajo y que
proporcionan al estudiante una forma alterna de avanzar simultáneamente en distintos
procesos de pensamiento:
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Ciencias naturales:
• (...) formula una suposición o conjetura, en la cual se diferencian claramente los sucesos
de sus causas (...)
• Hace preguntas dirigidas a establecer posibles relaciones argumentadas entre los
diversos sucesos que conoce.
Ciencias sociales:
• Construye, interpreta y usa modelos físicos sencillos como maquetas de lugares
conocidos y espacios reducidos, tales como el salón de clase, zonas del colegio o del
barrio, ubicando en ellas los lugares y elementos más importantes.
• Coordina y organiza las nociones de barrio, localidad, ciudad, país, según relaciones de
inclusión.
Lengua castellana:
• Reconoce en diferentes textos o actos de comunicación, formas de organizar significados
tales como la clasificación, la agrupación, la seriación, la comparación.
• Reconoce en algunos de sus actos de comunicación cotidiana procesos de pensamiento y
competencias cognitivas como el análisis, la síntesis, la definición y las relaciones como
parte-todo, causa-consecuencia, problema-solución.
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3.2.1. Grado primero 3.2.1.1. Objetivos
1. Identificar figuras geométricas simples (línea curva, línea recta, punto, triángulo,
cuadrado, rectángulo y círculo).
2. Representar figuras geométricas simples.
3. Componer figuras complejas o simples a partir de figuras geométricas simples.
4. Descomponer figuras complejas en figuras geométricas simples.
5. Manipular figuras geométricas simples, compararlas por superposición.
6. Caracterizar figuras geométricas simples por número de lados, o por forma.
7. Seguir instrucciones simples de construcción, demostrando ubicación en el plano.
8. Describir una figura en el plano.
9. Relacionar puntos con rectas, rectas con plano.
3.2.1.2. Herramientas físicas
Dibujo a mano alzada, colores, lápices, tijeras, pegante, papel blanco (sin rayas ni cuadros)
para doblar y cortar. Se introduce el uso de la regla como instrumento para trazar, no para
medir.
3.2.1.3. Vocabulario a introducir
Punto, línea, curva, recta, regla.
Figura, triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo, lado, cerrado.
Para la ubicación en el plano: “estar entre”, “adentro”, “afuera”, “a un lado”, “estar sobre”.
Superponer: “poner sobre”.
Colineal: “estar sobre la misma recta”.
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3.2.1.4. Ejercicios y actividades propuestos
Figuras geométricas simples
Actividad 1. Busque triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos en objetos de la vida
cotidiana. Busque objetos donde aparezcan varias de ellas juntas.
Actividad 2. Dibújelas, recórtelas, haga una figura grande usando otras pequeñas,
superpóngalas.
Actividad 3. Reconózcalas.
Componer y descomponer
Ejercicio 1. Dibuje a su compañero usando sólo figuras geométricas simples.
Ejercicio 2.1. Arme un cuadrado con estos dos triángulos: y
Ejercicio 2.2. Arme un cuadrado con estos dos rectángulos: y
Ejercicio 2.3. Arme un cuadrado con cuatro de los siguientes triángulos:
Ejercicio 2.4. Arme un rectángulo con dos cuadrados.
Ejercicio 2.5. Recorte estos dos triángulos y arme una figura como esta:
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Punto, recta y ubicación en el plano
Ejercicio 3.1. Dibuje una recta y dos puntos: uno sobre la recta y otro fuera de ella.
Ejercicio 3.2. Dibuje una recta y tres puntos: uno sobre la recta, otro a un lado y otro al otro
lado.
Ejercicio 4. Dibuje una recta. A un lado un triángulo con un círculo adentro, al otro lado un
rectángulo y un cuadrado.
Usando la regla (al final del año)
Ejercicio 5. Trace una recta por el punto A, trace otra, otra... ¿Cuántas puede trazar?
Ejercicio 6. Sean A y B puntos diferentes ¿Cuántas rectas pasan por A y por B? Trácelas.
Actividad 1. Sean A, B y C tres puntos dados ¿Pertenecen a la misma recta?
Lado
Ejercicio 7. ¿Cuántos lados tiene esta figura?
Ejercicio 8. Dibuje una figura cerrada de ocho lados dentro de otra de cinco lados.
Ejercicio 9.1. Dibuje dos cuadrados que compartan un lado.
Ejercicio 9.2. Dibuje dos triángulos que compartan un lado, uno dentro del otro.
Ejercicio 9.3. Dibuje un cuadrado y un triángulo que compartan un lado.
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3.2.2. Grado Segundo
3.2.2.1. Objetivos
1. Diferenciar segmento de recta.
2. Medir longitudes (segmentos).
3. Descomponer figuras complejas en figuras geométricas simples.
4. Relacionar puntos y rectas.
5. Relacionar la vista frontal con la vista superior de un mismo objeto.
6. Caracterizar cuadrados y rectángulos por la longitud de sus lados.
7. Caracterizar triángulos equiláteros e isósceles.
8. Hacer construcciones sencillas con regla y responder a preguntas sencillas sobre las
mismas.
9. Identificar vértices, aristas en figuras simples de tres dimensiones.
10. Identificar regiones planas en figuras del plano o del espacio.
11. Relacionar descripciones con figuras.
3.2.2.2. Herramientas físicas nuevas
Utilización de la regla como instrumento de medición.
Se introduce el compás con compases improvisados (con cuerda y un lápiz).
3.2.2.3. Vocabulario a introducir
Segmento, distancia, vértice, arista, región, frontera, equilátero, isósceles, figuras iguales.
Vista superior: “como se vería desde arriba”.
Moverse sobre el plano: “deslizar la figura sin levantarla de la mesa”.
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3.2.2.4. Ejercicios y actividades propuestos
Segmento y longitud
Actividad 1. Mida segmentos dados.
Actividad 2.1 Mida los lados de triángulos, cuadrados y rectángulos dados.
Actividad 2.2 A partir de la medida de lados de rectángulos y cuadrados haga conjeturas y
descubra características de esas figuras.
Ejercicio 1. Construya A, B y C sobre la misma recta con la distancia entre A y B igual a 5 cm
y la distancia entre B y C igual a 3 cm. ¿Cuál es la distancia entre A y C?
Ejercicio 2. Un profesor le pidió a cuatro estudiantes que realizaran la siguiente construcción:
“Sean A, B y C tres puntos sobre la misma recta, la distancia entre A y B es 5 cm y la
distancia entre B y C es 3 cm.” ¿Quienes la hicieron bien?
Juan Alberto María Paula
Ejercicio 3. Si tiene que ir rápido de A a B, ¿qué camino prefiere?
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Punto y recta
Ejercicio 4. La recta representa un río y cada punto una ciudad, ¿en qué casos debe atravesar el
río para ir de una ciudad a la otra?
Vértices, aristas y regiones en el plano y en el espacio
Actividad 3. Clasifique figuras dadas por número de regiones planas.
Ejercicio 5. Construya figuras con cinco vértices de tal forma que de cada vértice salgan dos
aristas. ¿Cuántas regiones hay en cada una? Ejemplos:
Ejercicio 6. Dada la siguiente figura:
a) coloree cada región con un color
b) coloree de diferente color las regiones vecinas
Ejemplo:
c) coloree de diferente color las regiones vecinas pero use en total sólo cuatro colores
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Actividad 4. Tome objetos tridimensionales (cajas, pirámides, etc...) y cuente el número de
vértices, el número de aristas, el número de aristas por vértices y el número de caras o
regiones.
Triángulo
Actividad 5. Clasifique triángulos dados en equiláteros e isósceles (por medición de los lados)
Vista superior
Actividad 6. Observe objetos pequeños y simples (una caja, un vaso) en vistas frontal y
superior.
Ejercicio 7. Relacione las imágenes de la izquierda con las imágenes de la derecha.
Ejercicio 8. Dibuje su salón de clase visto desde arriba. ¿Dónde está la puerta? ¿Dónde está el
tablero? ¿Dónde está usted?
Círculo y disco
Actividad 7. Dibuje círculos con compases improvisados.
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Actividad 8. Deje el centro fijo (dedo o puntilla) y cambie el largo de la pita.
Ejercicio 9. Dejando el dedo quieto sobre la hoja, coloree todo lo que pueda. ¿Qué figura
obtiene? (Disco)
Descomponer
Ejercicio 10. ¿Cuántos triángulos hay en cada figura? ¿Cuántos triángulos diferentes hay en
cada figura?
Solución para la primera figura:
En total hay tres triángulos.
Los dos últimos son iguales, por lo tanto hay dos triángulos distintos.
46
3.2.3. Grado Tercero
3.2.3.1. Objetivos
1. Relacionar rectas con puntos.
2. Relacionar rectas con figuras.
3. Entender la noción de intersección.
4. Entender la noción de conexidad.
5. Entender la noción de perímetro.
6. Trazar circunferencias con centro y radio dados.
7. Solucionar problemas simples.
8. Entender la noción de diagonal en cuadriláteros.
9. Caracterizar cuadrados y rectángulos por sus diagonales.
10. Descubrir la simetría por procesos de doblado.
11. Entender la noción de ángulo, identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.
12. Diferenciar dos sentidos de rotación en el plano.
13. Hacer rotaciones (de una vuelta, media vuelta y un cuarto de vuelta) con el cuerpo y con
figuras simples en el plano y el espacio.
14. Entender la noción de periodicidad (para una, media y un cuarto de vuelta).
3.2.3.2. Herramientas físicas nuevas:
Compás y escuadra.
3.2.3.3. Vocabulario a introducir:
Circunferencia, centro, radio, diámetro, Equidistancia: “estar a la misma distancia de”.
Perímetro, cuadrilátero, diagonal.
Conexo.
Ángulos, amplitud, recto, agudo, obtuso.
47
3.2.3.4. Ejercicios y actividades propuestos
Recta y punto
Ejercicio 1.1. Dibuje dos líneas que se toquen una vez. Dibuje dos líneas que se toquen dos
veces, tres veces, etc...
Ejercicio 1.2. Haga lo mismo con líneas rectas, ¿puede?
Ejercicio 2.1. Dibuje un triángulo ABC y una recta que lo parta en dos. ¿En qué caso la recta
lo separaría en dos triángulos?
Ejercicio 2.2. Dibuje un cuadrado y una recta. ¿En qué caso la recta lo separaría en dos
triángulos? ¿En qué caso la recta lo separaría en dos rectángulos? ¿Puede la recta separarlo en
dos cuadrados?
Ejercicio 2.3. Dibuje un círculo y una recta. ¿En qué caso la recta lo separaría en dos figuras
iguales?
Conexo
Actividad 1. Clasifique figuras dadas por conexidad.
Ejercicio 3. Si la figura dada es una habitación vista desde arriba y hay un bombillo prendido
donde indica la cruz, ¿En qué casos la habitación queda totalmente iluminada?
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Ejercicio 4. Ubique a dos personas dentro de cada habitación de forma que no puedan verse.
Ejercicio 5.1. Dibuje una figura cerrada de cuatro lados que sea conexa. Dibuje una figura de
cuatro lados que no sea conexa.
Ejercicio 5.2. Dibuje una figura cerrada de tres lados que sea conexa. Dibuje una figura de tres
lados que no sea conexa, ¿puede?
Perímetro
Actividad 2. Mida con precisión el perímetro de multiláteros dados.
Actividad 3. Para círculos utilice tarros y cuerdas.
Ejercicio 6. Construya con alambres flexibles del mismo largo distintas figuras.
Ejercicio 7. Mida el perímetro de las siguientes figuras, ¿qué concluye?
Vértices y aristas
Ejercicio 8. Si se encuentran dos personas hay un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de
manos habría si se encontraran tres personas? ¿Si se encontraran cuatro? (dibuje la escena:
cada persona es un punto y cada saludo un segmento)
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Ejercicio 9. Cinco personas se sientan alrededor de una mesa redonda. Cada una tiene dos
conocidos en la mesa. Represente con un punto a las personas y entre dos personas conocidas
trace un segmento. ¿Puede quedar cada persona con sus dos conocidos a lado y lado? ¿Qué
otras posibilidades hay?
Diagonal sólo para cuadriláteros
Actividad 4. Dibuje las diagonales de cuadriláteros dados.
Ejercicio 10. Mida diagonales de rectángulos y cuadrados dados, ¿qué concluye?
Ejercicio 11. Dadas las diagonales [AC] y [BD] construya el cuadrilátero ABCD (con otro
color). ¿Qué relación hay entre la conexidad y las diagonales?
Regla y compás
Ejercicio 12. Construya dos puntos A y B a una distancia de 7 cm, un círculo C de centro A y
radio 3 cm y un círculo C’ de centro B y radio 6 cm. Llame C y D los puntos de corte de C y
C’. Prolongue la recta que pasa por C y D. Ésta interseca a la recta que pasa por A y B en I.
Ejercicio 13. Construya un círculo C de centro O y radio 5cm, tome A un punto sobre C, trace
la recta que pasa por O y por A, llame B al otro punto de intersección de la recta con C.
Compare la distancia entre A y B con el radio del círculo.
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Simetría (sólo como experiencia visual)
Actividad 5.1. Pinte (con pintura) algo en la mitad de la hoja y dóblela antes de que se seque la
pintura. Desdoble y observe.
Actividad 5.2. Haga lo mismo pero imagine el resultado antes de doblar la hoja y luego
compruébelo.
Ejercicio 14. Realice la actividad 5.2 con el siguiente dibujo.
Ejercicio 15. Escoja una letra del abecedario. Dibújela con lápiz en el centro de la hoja. Doble
la hoja por la mitad y desdóblela. Pinte (con pintura) solo la mitad izquierda de la letra. Doble
la hoja. ¿Obtuvo la letra inicial?
Haga lo mismo pero haciendo un doblez horizontal.
Ejemplos con J, M y O:
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Actividad 6. Corte un papel doblado y observe la figura obtenida al desdoblarlo.
Ejemplo:
Ángulos
Actividad 7. Identifique los ángulos internos en figuras cerradas y ordenelos según su
amplitud.
Actividad 8. Busque ángulos en objetos. Reconozca el ángulo recto (use la escuadra).
Actividad 9. Use la escuadra para comprobar la existencia de ángulos rectos entre las paredes
y el piso.
Actividad 10. Clasifique ángulos dados en rectos, agudos y obtusos.
Rotación
Ejercicio 16. Párese frente a la puerta. Dé una vuelta, ¿quedó delante de la puerta? ¿Qué pasa
si da dos vueltas?
Ejercicio 17.1. Párese frente a la puerta. Muévase sólo hacia la derecha. Dé media vuelta.
¿dónde está la puerta? ¿Cuántas veces tiene que dar media vuelta para volver a quedar
mirando a la puerta?
Ejercicio 17.2. Repita el ejercicio 17.1 pero girando sólo un cuarto de vuelta cada vez.
52
3.3. GRADOS CUARTO, QUINTO Y SEXTO
Indicadores de logros curriculares para los grados cuarto, quinto y sexto de la educación
básica en el área de matemáticas. (Tomado del Código Educativo V)
• Identifica los números naturales y los racionales positivos en su expresión decimal y
fraccionaria, los usa en diferentes contextos y los representa de distintas formas.
• Construye y utiliza significativamente en una amplia variedad de situaciones las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con números naturales y
con números racionales positivos, establece relaciones entre estas operaciones y usa
sus propiedades para la elaboración del cálculo mental y escrito.
• Explora y descubre propiedades interesantes y regularidades de los números, utiliza
habitual y críticamente materiales y medios para verificar predicciones, realizar y
comprobar cálculos y resolver problemas.
• Investiga y comprende contenidos matemáticos a partir de enfoques de resolución de
problemas, formula y resuelve problemas derivados de situaciones cotidianas y
matemáticas, examina y valora los resultados teniendo en cuenta el planteamiento
original del problema.
• Interpreta datos presentados en tablas y en diagramas, comprende y usa la media, la
mediana y la moda en un conjunto pequeño de datos y saca conclusiones estadísticas.
• Reconoce la importancia de averiguar datos y procesar información para tomar
decisiones, y de conocer y evaluar sus características en relación con las decisiones que
se tomen.
• Reconoce características de sólidos, figuras planas y líneas, los utiliza en su vida
cotidiana en trabajos prácticos como mediciones, elaboración de dibujos y
construcciones de modelos.
• Aplica movimientos rígidos en el plano como traslaciones, rotaciones y
reflexiones, identifica las propiedades que se conservan en cada movimiento y
visualiza transformaciones simples para descubrir reglas de combinación que
permitan crear patrones.
53
• Identifica en objetos y situaciones de su entorno las magnitudes de longitud, área,
volumen, capacidad, peso, masa, amplitud de ángulos y duración. Reconoce
procesos de conservación y desarrolla procesos de medición y estimación de
dichas magnitudes y las utiliza en situaciones de la vida diaria.
• Formula, argumenta y somete a prueba conjeturas y elabora conclusiones lógicas.
• Explica sus ideas y justifica sus respuestas mediante el empleo de modelos, la
interpretación de hechos conocidos y la aplicación de propiedades y relaciones
matemáticas.
Mencionemos algunos logros de otras materias que tienen relación con nuestro trabajo y que
proporcionan al estudiante una forma alterna de avanzar simultáneamente en distintos
procesos de pensamiento:
Ciencias Naturales:
• Elabora preguntas con base en su propio conocimiento teórico y no simplemente sobre
sucesos aislados.
• Muestra curiosidad por conocer objetos y eventos del mundo y explora temas
científicos.
• Hace preguntas desde la perspectiva de un esquema explicativo, con el que se
establecen posibles relaciones.
• Formula posibles respuestas argumentadas a sus preguntas.
• Planea y realiza experimentos para poner a prueba sus propias hipótesis, las de sus
profesores y compañeros.
Ciencias sociales:
• Identifica los elementos básicos de la cartografía para la interpretación de mapas,
esto es coordenadas, escala y convenciones.
54
Lengua castellana:
• Identifica y explica las relaciones existentes entre pensamiento, lenguaje y
realidad.
• Produce diferentes tipos de textos en los que pone en juego procesos de
pensamiento, competencias cognitivas y estrategias textuales como la
clasificación, la jerarquización, la seriación, la comparación, la definición, el
análisis, la síntesis y relaciones como parte-todo, causa-consecuencia, problema-
solución.
55
3.3.1. Grado Cuarto
3.3.1.1. Objetivos.
1. Encontrar ejes de simetría de una figura dada.
2. Construir paralelas y perpendiculares (con escuadra).
3. Relacionar paralelas con perpendiculares.
4. Identificar ángulos iguales por superposición.
5. Clasificar figuras por número de ángulos rectos
6. Clasificar figuras y sólidos por lados paralelos y lados perpendiculares.
7. Calcular áreas de rectángulos y cuadrados.
8. Entender la independencia entre área y perímetro.
9. Responder a preguntas sencillas que requieran de cierto análisis de una figura.
10. Entender el movimiento de rotación, desarrollar la noción de centro de rotación.
3.3.1.2. Vocabulario a introducir.
Paralelas, perpendiculares, eje de simetría.
Rotación, centro. Simetría.
Área.
Superponer.
3.3.1.3. Nomenclatura
(AB): la recta que pasa por A y B.
ángulo α (léase alfa), ángulo β (beta) y ángulo γ (gamma)
ángulo recto.
56
3.3.1.4. Ejercicios y actividades propuestos.
Simetría
Ejercicio 1. Encuentre un eje de simetría para cada figura.
Recórtelas y doble por el eje que usted definió para verificar su predicción.
Ejercicio 2. Cuántos ejes de simetría tiene: un cuadrado? un rectángulo? un triángulo
equilátero? un triángulo isósceles? un círculo?
Ejercicio 3. Escriba una palabra (con mayúsculas) que tenga un eje de simetría vertical.
Ángulos, perpendiculares y paralelas
Actividad 1. Busque rectas perpendiculares y paralelas en el salón de clase.
Actividad 2. Construya la perpendicular a (AB) pasando por C (usando la escuadra).
Caso 1: Cuando C pertenece a la recta (AB)
Caso 2: Cuando C está cerca de la recta (AB)
57
Caso 3: En general.
Actividad 3. Construya la paralela a (AB) pasando por C (usando la escuadra).
Ejercicio 4. Compare por superposición los ángulos α y β. (Recortando)
Ejercicio 5.1. Dadas dos rectas que se intersecan en un solo punto, clasifique para cada figura
los ángulos α y β en agudo, recto u obtuso.
Ejercicio 5.2. Sean A, H y B tres puntos sobre la misma recta, con H entre A y B, trace una
recta l que interseque a (AB) sólo en H. Tome α y β como se indica en el dibujo.
Al mover la recta l como indica la flecha los ángulos α y β van cambiando.
58
En este caso particular α es agudo y β es obtuso. ¿Cuáles de las siguientes combinaciones
pueden darse?
- α agudo y β obtuso
- α agudo y β agudo
- α agudo y β recto
- α recto y β obtuso
- α recto y β agudo
- α recto y β recto
- α obtuso y β obtuso
- α obtuso y β agudo
- α obtuso y β recto
Ejercicio 6. Si l y d se intersecan y uno de los cuatro ángulos que forman es recto ¿qué pasa
con los otros tres?
Ejercicio 7. Dada una recta d1 trace d2 paralela a d1, trace d3 paralela a d2. ¿Cuál es la relación
entre d3 y d1?
Ejercicio 8. Dada una recta d1 trace d2 perpendicular a d1, trace d3 perpendicular a d2, trace d4
perpendicular a d3. ¿Cuál es la relación entre d3 y d1? ¿Cuál es la relación entre d2 y d4? ¿Cuál
es la relación entre d1 y d4?
Actividad 4. Clasifique cuadriláteros por número de ángulos rectos.
Actividad 5. Busque segmentos paralelos y segmentos perpendiculares en una caja.
Cuadrados y rectángulos
Actividad 6. Caracterice cuadriláteros por lados paralelos y ángulos rectos.
59
Actividad 7. Construya con escuadra cuadrados y rectángulos dadas las medidas de los lados.
Área y perímetro
Ejercicio 9.
Si en cada cuadrito puede sembrar una zanahoria ¿cuántas puede sembrar en total?
Ahora, si las zanahorias ya están creciendo, no puede entrar al terreno a contarlas porque las
pisa ¿cómo hace entonces para saber cuantas hay?
Actividad 8. Calcule el área de cuadrados y rectángulos (papel cuadriculado).
Ejercicio 10. Calcule el área y el perímetro de las siguientes figuras y compárelo:
a)
b)
Círculo y recta
Ejercicio 11. Construya un círculo C de centro O y radio 8 cm.
Tome 10 puntos por fuera de C y mida la distancia entre cada uno y O.
Compare esa distancia con el radio de C (8 cm).
Tome otros 10 puntos por dentro de C y mida la distancia entre cada uno y O.
60
Compare con el radio de C (8 cm).
Tome otros 10 puntos sobre C y mida la distancia entre cada uno y O.
Compare con el radio de C (8 cm).
Ejercicio 12. Construya un círculo C de centro O y radio 7 cm, sea l una recta que lo interseca
en A y en B (sin que O pertenezca a l). ¿Qué tipo de triángulo es AOB? Justifique.
Ejercicio 13. Construya A y B dos puntos tales que la distancia entre ellos es 10 cm. Sea C un
círculo de centro A y radio 8 cm. Sea C’’ un círculo de centro B y radio 5 cm. C y C’’ se
intersecan en C y D. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?
Superponer (igualdad)
Actividad 9. Sume a la idea de superponer la idea de tener que separar la figura del plano.
Ejemplo:
= pero ≠
Rotación
Actividad 10.1. Rote manualmente figuras planas con respecto a un punto dentro de la figura.
Actividad 10.2. Dibuje sobre cartón un cuadrilátero cualquiera ABCD y recórtelo. Póngalo
sobre la hoja y dibuje su silueta. Escoja un centro de rotación O por fuera de la figura. Pegue
un palito a la figura de cartón, ponga su extremo en O y dibuje su silueta. Mantenga fijo el
extremo del palo sobre O con una mano y con la otra mano haga rotar la figura menos de
media vuelta. Dibuje la silueta de la figura y del palo en la nueva posición. Y llámela
A’B’C’D’.
61
Trace luego el círculo de centro O que pasa por A. El círculo de centro O que pasa por B. El
círculo de centro O que pasa por C. El círculo de centro O que pasa por D.
¿Qué observa?
62
3.3.2. Grado Quinto
3.3.2.1. Objetivos
1. Medir ángulos con precisión.
2. Reconocer los ángulos de 90º, 180º y 360º.
3. Clasificar triángulos por amplitud de ángulos.
4. Construir la figura simétrica de una figura dada con un eje de simetría dado, (sin regla
y compás).
5. Relacionar igualdad de rectas con colinealidad.
6. Comprender figuras geométricas a partir de enunciados sencillos que carecen de
vocabulario geométrico.
7. Construir sólidos simples a partir de moldes.
8. Construir cualquier triángulo dadas las medidas de los lados.
9. Construir las alturas de un triángulo cualquiera.
10. Identificar, caracterizar y construir paralelogramos.
11. Identificar el centro, el ángulo y el sentido de rotación (horario o antihorario) para
figuras geométricas simples cuando el centro está sobre uno de los vértices.
3.3.2.2. Vocabulario a introducir.
Grados, ángulo de rotación, “en el sentido de las agujas del reloj” o “en el sentido contrario a
las agujas del reloj”. Polígono, polígono regular.
Disco. Base, cubo, pirámide, molde, altura de un triángulo, paralelogramo.
Colineal.
3.3.2.3. Nomenclatura.
[AB]: segmento AB
[AB): semirrecta con extremo en A
63
ang(ABC): ángulo formado entre [BA) y [BC) (en caso de que no esté indicado en la figura se
toma el más pequeño)
3.3.2.4. Herramientas físicas nuevas:
Transportador.
3.3.2.5. Ejercicios y actividades propuestos.
Simetría Ejercicio 1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene cada uno de los siguientes polígonos regulares? ¿Qué relación hay entre el número de lados de la figura y su número de ejes de simetría?
Ejercicio 2. Dada la siguiente figura y el eje de simetría, dibuje la figura simétrica.
Ejercicio 3. Dibuje el simétrico de cada figura. ¿Qué observa?
Ángulos
Actividad 1. Mida con precisión ángulos en grados (usando el transportador).
64
Ejercicio 4.1. Mida los ángulos α y β y calcule α + β. Use un transportador que permita la
medición de ángulos superiores a 180º.
Ejercicio 4.2. Mida los ángulos α y β y calcule α + β.
Actividad 2. Dado cualquier triángulo, llame α, β y γ sus ángulos interiores.
Mida los ángulos α, β y γ, y calcule α + β + γ.
Ejercicio 5.1. Construya cinco triángulos equiláteros con lados 3, 5, 6, 9 y 10 cm, compare los
ángulos α, β y γ.
Ejercicio 5.2. Construya cinco triángulos isósceles, compare los ángulos α, β y γ.
Paralelas y perpendiculares
Ejercicio 6. Sean l y d paralelas. Tome A sobre l y B sobre d, trace (AB), compare α y β.
65
Ejercicio 7. Sean A y B dos puntos, la distancia entre A y B es 8 cm. Construya los círculos:
C de centro A y radio 5 cm y C’ de centro B y radio 5 cm. Se intersecan en C y D.
C de centro A y radio 8 cm y C’ de centro B y radio 8 cm. Se intersecan en E y F.
C de centro A y radio 10 cm y C’ de centro B y radio 10 cm. Se intersecan en G y H.
C de centro A y radio 13 cm y C’ de centro B y radio 13 cm. Se intersecan en I y J.
¿Qué pasa con los puntos C, D, E, F, G, H, I y J?
Triángulo
Ejercicio 8. Dibuje un triángulo cualquiera ABC, trace la perpendicular a (AB) pasando por C.
Llame H al punto de intersección. ¿Qué tipo de triángulos son AHC y BHC?
Actividad 3. Calcule el área de triángulos cualesquiera teniendo en cuenta que cualquier
triángulo puede separarse en dos triángulos rectángulos.
Caso 1: área de ABC = (área de AHC) + (área de BHC)
Caso 2: área de ABC = (área de AHC) - (área de BHC)
Actividad 4. Construya un triángulo con regla y compás dadas las medidas de los lados.
66
Ejercicio 9. Construya ABC con ⏐AB⏐= 8 cm, ⏐AC⏐= 7 cm y ang(CAB) = 72º
Ejercicio 10. Construya ABC con⏐AB⏐= 10 cm, ang(CAB) = 35º y ang(CBA) = 80º
Área y perímetro
Actividad 5. Calcule el área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos.
Ejercicio 11. Calcule y compare el área y el perímetro de las siguientes figuras.
a)
b)
c)
d)
Ejercicio 12. Dibuje un rectángulo ABCD, calcule su área. Trace su diagonal [AC], recorte y
superponga los triángulos ABC y ADC, ¿son iguales?.
67
¿Cuánto debería ser entonces el área de ABC?
Actividad 6. Calcule el área de triángulos rectángulos.
Altura de un triángulo
Ejercicio 13. Construya en cada caso la altura de ABC con respecto a C.
Actividad 7. Dado un triángulo cualquiera construya sus tres alturas. ¿Qué observa?
Punto y recta
Ejercicio 14. Dados dos puntos A y B, trace la recta (AB), trace la recta (BA), ¿qué concluye?
Ejercicio 15. Dados tres puntos A, B y C, si (AB) = (AC), ¿qué puede decir de A, B y C?
Ejercicio 16. Si A, B, C, D están sobre una misma recta ¿qué puede decir de (AB) y (CD)?
Aproximación a figuras geométricas a través de situaciones cotidianas
Ejercicio 17.1. Una vaca hambrienta está amarrada a un palo en la mitad de un potrero. ¿Qué
figura quedará en el suelo después de que la vaca coma todo el pasto que está a su alcance?
68
Ejercicio 17.2. Ahora la cuerda de la vaca está amarrada a un alambre extendido entre dos
palos, permitiéndole a la cuerda resbalar de un palo al otro. ¿Qué figura quedará en el suelo
después de que la vaca coma todo el pasto que está a su alcance?
Moldes y construcción de sólidos
Actividad 8. Tome una cajita de cartón y córtela por las cuatro aristas que unen las paredes de
la caja. En la figura plana obtenida coloree de un mismo color los segmentos que formarán
una misma arista al armar la caja de nuevo.
Ejercicio 18. Arme un sólido con cada uno de los siguientes moldes siguiendo las
instrucciones:
- doble por las líneas punteadas
- pegue los segmentos del mismo color
- la cara gris debe permanecer contra la mesa.
69
Ejercicio 19.1. En cada caso coloree de un mismo color los segmentos que deben pegarse para
construir una caja.
Ejercicio 19.2. En cada caso coloree de un mismo color los segmentos que deben pegarse para
construir una caja con base triangular.
Ejercicio 20. Haga el molde de un cubo de lado 2 cm.
Ejercicio 21. ¿Podría armar una caja de lados 2, 3 y 4 cm con el siguiente molde?
¿Cuál es el problema?
Ejercicio 22. Haga el molde de una caja de lados 2, 5 y 7 cm
Rotación
Ejercicio 23. Dados A, B y O, trace la semirrecta [OA). Trace la semirecta l con extremo en O
y que forme un ángulo de 45º con [OA) en el sentido de las agujas del reloj. Trace el círculo C
de centro O que pase por A. C interseca a l en A’. Haga lo mismo con B.
70
Ejercicio 24. En cada uno de los siguientes ejemplos la figura roja se ha obtenido a partir de la
rotación de la figura negra. ¿Cuál es el centro de la rotación? ¿Cuál es el sentido de la
rotación? ¿Cuál es el ángulo?
Paralelogramo
Ejercicio 25. Construya l1 paralela a l2, sea t1 una recta que interseca a l1 en A y a l2 en B.
Construya t2 paralela a t1. t2 interseca a l1 en D y a l2 en C. Observe la figura ABCD obtenida.
¿Cuál es la distancia entre A y B? ¿Cuál es la distancia entre D y C?
¿Cuál es la distancia entre B y C? ¿Cuál es la distancia entre A y D?
ang(ABC) = ? ang(ADC) = ?
ang(BAD) = ? ang(BCD) = ?
Actividad 9. Dados A, B y C tres puntos no colineales, construya el paralelogramo ABCD y el
paralelogramo ABEC. ¿Son iguales?
71
3.3.3. Grado Sexto.
3.3.3.1. Objetivos
1. Representar sólidos en el plano diferenciando las caras visibles de las no visibles.
2. Construir la definición de mediatriz.
3. Construir la mediatriz de un segmento.
4. Construir perpendiculares con regla y compás.
5. Construir la imagen de una figura dada al ser definida una traslación.
6. Reconocer el sentido de una traslación y la distancia trasladada dadas una figura y su
imagen.
7. Construir figuras simétricas con precisión.
8. Identificar el eje de simetría de una figura con precisión.
9. Construir la imagen de una figura una vez definida una rotación.
10. Identificar el centro y el ángulo de una rotación dadas una figura y su imagen.
11. Calcular el volumen de una caja cualquiera.
12. Estudiar las propiedades que se conservan en la reflexión.
3.3.3.2. Vocabulario a introducir
Mediatriz, traslación, volumen.
Punto medio de un segmento.
3.3.3.3. Nomenclatura y convenciones.
ABC: triángulo ABC.
⏐AB⏐: distancia entre A y B.
En las figuras que representan sólidos las aristas no visibles aparecerán punteadas.
72
3.3.3.4. Ejercicios y actividades propuestos.
Área y perímetro
Ejercicio 1. Calcule el área y el perímetro de:
Ahora calcule el área y el perímetro de:
¿El área se multiplicó por 4? ¿El perímetro se multiplicó por 4? ¿Por qué? Trate de explicar.
Actividad 1. Solución de una ecuación algebraica con interpretación geométrica: aaa ×=×4
aaaaa +++=×4 ← perímetro de un cuadrado de lado a.
aa × ← área de un cuadrado de lado a.
Resolución algebraica: aaa ×=×4 ⇒ a=4 (si a es diferente de 0)
Verificación geométrica: Área: 1644 =×
Perímetro: 164444 =+++
Enunciado geométrico: ¿Cuánto debe ser el lado de un cuadrado para que su área sea igual a
su perímetro?
Caras visibles de un sólido
Ejercicio 2. Haga el molde de un cubo de lado 10 cm, coloree cada cara de un color diferente y
ármelo.
Ponga el cubo frente a usted de modo que vea un sola cara. ¿Cuántas aristas ve?
Ponga el cubo frente a usted de modo que vea dos caras. ¿Cuántas aristas ve?
Ponga el cubo frente a usted de modo que vea tres caras. ¿Cuántas aristas ve?
¿Puede hacerlo para cuatro caras?
1
1
4
4
73
Ejercicio 3. Ponga el cubo sobre la mesa de modo que pueda verle tres caras y complete el
siguiente dibujo coloreando de azul las aristas que puede ver y de rojo las que no puede ver.
Ejercicio 4. Dado los siguientes dibujos de una pirámide con base triangular ¿Cuántas caras
están a la vista en cada uno?
Mediatriz
Ejercicio 5. Construya un segmento [AB] de 10 cm. Construya un círculo C de centro A y
radio 8 cm. Construya un círculo C’ de centro B y radio 8 cm. C y C’ se intersecan en C y D.
(CD) interseca a (AB) en I.
a. Construya un círculo de centro I que pase por A. ¿Qué observa?
(I se llama punto medio de [AB])
b. ang(AIC) = ?
c. Tome un punto P cualquiera sobre (CD). Construya un círculo de centro P que pase por A.
¿Qué observa?
d. Tome un punto Q por fuera de (CD). ¿Está del lado de A o de B? Compare la distancia
entre Q y A con la distancia entre Q y B.
74
Ejercicio 6. Dados los puntos A y B construya la recta l mediatriz de [AB].
Actividad 2.Construya la perpendicular a l pasando por C (con regla y compás).
Construya un círculo de centro C que interseque a l en A y B, y trace la mediatriz de [AB].
Ejercicio 7. Dados A y B, construya un círculo C de tal forma que A y B estén sobre C.
Construya otros círculos que cumplan con la misma propiedad.
Simetría
Ejercicio 8.1. Dados A y A’ trace la mediatriz m de [AA’]. ¿Quién es el simétrico de A con
respecto a m?
75
Ejercicio 8.2. Dados A y l construya A’ de forma que l sea la mediatriz de [AA’].
Ejercicio 9.1. A y A’ son simétricos respecto a l. B y B’ son simétricos respecto a l. Trace la
mediatriz de [AA’]. Trace la mediatriz de [BB’]. ¿Qué observa?
Ejercicio 9.2. Dados [AB] y l construya [A’B’] de modo que l sea mediatriz de [AA’] y de
[BB’].
Ejercicio 10.1. Dado el cuadrado ABCD y el eje de simetría l, construya su simétrico
A’B’C’D’ y verifique que se trata también de un cuadrado.
Ejercicio 10.2. En base a la siguiente figura, construya su figura simétrica A’B’C’D’E’.
Compare la distancia ⏐AB⏐ con la distancio ⏐A’B’⏐. Haga lo mismo para los demás
segmentos.
Compare ang(ABC) con ang(A’B’C’). Haga lo mismo para los demás ángulos. ¿Podríamos
superponer las dos figuras mediante desplazamientos en el plano?
Actividad 3. Dado un círculo y un eje de simetría, construya su imagen con precisión.
76
Ejercicio 11. ABC corta a l en I y en J como lo muestra la figura. Construya A’B’C’ simétrica
de ABC con respecto a l. ¿Dónde corta A’B’C’ a l? ¿Cuál es la imagen de I? ¿Cuál es la
imagen de J?.
Ejercicio 12. Construya dos triángulos ABC y A’B’C’ simétricos con respecto a una recta l.
Construya H el punto de intersección de las alturas de ABC. Construya H’ el simétrico de H
con respecto a l. Trace las alturas de A’B’C’, ¿qué observa?
Rotación
Actividad 4. Dado un triángulo ABC, un centro de rotación O, un ángulo de 90º y un sentido
de rotación, construya con escuadra la imagen de ABC por esa rotación.
Actividad 5. Dado el triángulo ABC, el centro O, un ángulo fijo y un sentido de rotación,
construya con transportador la imagen de ABC por esa rotación.
Ejercicio 13. Dado el triángulo equilátero ABC y el punto O (punto de intersección de las
alturas de ABC).
Por una rotación de centro O en el sentido de las agujas del reloj, los vértices del triángulo se
transforman así:
A → C, C → B y B → A
¿Cuál es el ángulo de la rotación?
Por una rotación de centro O en el sentido contrario a las agujas del reloj, los vértices del
triángulo se transforman así:
A → B, B → C y C → A
¿Cuál es el ángulo de la rotación?
77
Ejercicio 14. Dados A y O, construya A’ la imagen de A por la rotación de centro O y ángulo
36º en el sentido de las agujas del reloj.
Actividad 6. Dada una figura construya su imagen por una rotación de centro, ángulo y sentido
fijos.
Ejercicio 15. Sea A’B’C’ imagen de ABC por rotación. Construya la mediatriz de [AA’].
Construya la mediatriz de [BB’]. Construya la mediatriz de [CC’]. ¿Qué observa? Llame O el
punto de intersección de las mediatrices, ese es el centro de rotación. ¿Cuál es el ángulo?
Ejercicio 16. Construya un segmento [AB] y un punto O por fuera del segmento. Construya su
imagen [A’B’] por una rotación de centro O y ángulo 79º en el sentido contrario al de las
agujas del reloj. Construya el centro I de [AB], construya su imagen I’ por la misma rotación,
¿qué observa?.
Traslación
Actividad 7. Mueva la figura dada 10 cm en el sentido que indica la flecha.
Ejercicio 17. La familia de Pedro se va de vacaciones y lleva encima del carro una figura
geométrica. Complete los dibujos.
Ejercicio 18. ¿Cuál es la imagen de A por la traslación t (t: , 8 cm).
Volumen
78
Ejercicio 19. En cada cubito de una caja cabe un huevo. ¿Cuántos huevos caben en la
siguiente caja?
Ponga una caja igual sobre ella. ¿Cuántos caben ahora? Relacione su respuesta con la
respuesta anterior. ¿Qué pasa si ponemos una tercera caja sobre ellas? ¿Si ponemos 37 cajas
sobre la primera?
Actividad 8. Calcule el volumen de una caja cualquiera.
Ejercicio 20. Dado un cubo de lado 2 m y una caja de lados 1, 2 y 4 m, compare sus
respectivos volúmenes.
Ejercicio 21. Dado el siguiente molde, calcule su perímetro. Calcule su área.
Arme luego el sólido y calcule su volumen.
79
3.4. GRADOS SÉPTIMO, OCTAVO Y NOVENO
Indicadores de logros curriculares para los grados séptimo, octavo y noveno de la
educación básica en el área de matemáticas. (Tomado de Código Educativo V)
• Identifica y usa los números enteros y los racionales en diferentes contextos, los
representa de diversas formas y establece relaciones entre ellos; redefine las
operaciones básicas en los sistemas formados con estos números y establece
conexiones entre ellas.
• Investiga y comprende contenidos y procedimientos matemáticos, a partir de enfoques
de tratamiento y resolución de problemas y generaliza soluciones y estrategias para
nuevas situaciones.
• Formula problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas, desarrolla
y aplica diversas estrategias para resolverlos, verifica e interpreta los resultados en
relación con el problema original.
• Formula, argumenta y pone a prueba hipótesis, las modifica o descarta y reconoce las
condiciones necesarias para que una propiedad matemáticas se cumpla; aplica estos
procedimientos en la formulación, análisis y resolución de problemas.
• Hace estimaciones sobre numerosidad, resultado de cálculos y medición de magnitudes
concretas, a partir de sus propias estrategias y las utiliza como criterio para verificar lo
razonables de los resultados.
• Formula inferencias y argumentos coherentes, utilizando medidas de tendencia central
y de dispersión para el análisis de los datos, interpreta informes estadísticos y elabora
críticamente conclusiones.
• Elabora modelos de fenómenos del mundo real y de las matemáticas a través de
sucesiones, de series y de las funciones lineal, constante, idéntica, opuesta, de gráfica
lineal, cuadrática y cúbica.
• Representa y analiza funciones utilizando para ello tablas, expresiones orales,
expresiones algebraicas, ecuaciones y gráficas y hace traducciones entre estas
representaciones.
80
• Interpreta listas de instrucciones, expresiones algebraicas y diagramas operaciones y de
flujo, traduce de unos a otros y opera con ellos utilizando diferentes tipos de números.
• Construye e interpreta fórmulas, ecuaciones e inecuaciones para representar
situaciones que requieren variables, opera con cualquiera de ellas y encuentra
procedimientos para resolver ecuaciones e inecuaciones.
• Construye modelos geométricos, esquemas, planos y maquetas utilizando escalas,
instrumentos y técnicas apropiadas y visualiza, interpreta y efectúa
representaciones gráficas de objetos tridimensionales en el plano.
• Visualiza, reconoce y efectúa transformaciones de polígonos en el plano y las
utiliza para establecer congruencia, semejanza y simetría entre figuras.
• Comprende y usa la proporcionalidad directa e inversa de magnitudes, en distintos
contextos de la vida cotidiana y utiliza diferentes procedimientos para efectuar cálculos
de proporcionalidad.
Mencionemos algunos logros de otras materias que tienen relación con nuestro trabajo y que
proporcionan al estudiante una forma alterna de avanzar simultáneamente en distintos
procesos de pensamiento:
Ciencias Naturales:
• Plantea preguntas respaldadas por un contexto teórico articulado por ideas científicas,
explorando varios temas científicos y manifiesta inquietudes y deseos de saber acerca
de temas teóricos, ambientales y tecnológicos.
Ciencias sociales:
• Demuestra habilidades básicas para la lectura de mapas, en aspectos como
interpretación de coordenadas, de convenciones, indicaciones de alturas y medición de
distancias.
• Elabora representaciones espaciales abstractas, tales como mapas y planos de zonas o
regiones conocidas.
81
3.4.1. Grado Séptimo.
3.4.1.1. Objetivos.
1. Aplicar resultados ya conocidos para descubrir otros.
2. Calcular el área de paralelogramos.
3. Calcular el volumen de paralelepípedos.
4. Relacionar la diagonal de un cuadrado con su área.
5. Calcular el perímetro de una circunferencia, de media circunferencia o un cuarto de
circunferencia.
6. Calcular el área de un círculo, de medio círculo o un cuarto de círculo.
7. Identificar distintas transformaciones que permiten pasar de una figura a otra.
8. Entender que la composición de dos simetrías es la identidad.
9. Hacer composiciones de dos traslaciones.
10. Clasificar triángulos semejantes.
11. Relacionar semejanza de triángulos con área y perímetro.
12. Construir clases.
13. Empezar a trabajar ejercicios donde no se trabajan números sino letras, y empezar a
entender eso como una generalización.
3.4.1.2. Vocabulario a introducir.
Paralelepípedo rectángulo.
Reflexión (simetría axial).
3.4.1.3. Nomenclatura y convenciones.
π: sólo para el área y el perímetro de un círculo.
(AB) // (CD): (AB) es paralela a (CD), (AB) ⊥ (CD): (AB) es perpendicular a (CD)
Segmentos de misma longitud se marcan con alguna señal que los identifique.
3.4.1.4. Ejercicios y actividades propuestos.
82
Ángulos
Ejercicio 1. Complete los ángulos que faltan:
Ejercicio 2. Complete los ángulos del centro de cada uno de los siguientes polígonos regulares.
Ejercicio 3. Demostración: Si l y t son paralelas y d las interseca en A y B, entonces α y β son
iguales. Arme un rectángulo ACBD. Considere el triángulo ABC.
ang(BAC) = 90º-α y ang(ACB) = 90º, por lo tanto ang(ABC) = 180º - (90º-α) - 90º = α
Actividad 1. Construya con regla, compás y transportador polígonos regulares de 3, 4, 5 y 6
lados.
83
Área y volumen
Actividad 2. Calcule el área de un paralelogramo dado.
Ejercicio 4. Compare el área de los siguientes paralelogramos teniendo en cuenta que la
medida de sus lados se mantiene igual. Explique porqué.
Ejercicio 5. Si ABCD es un cuadrado de lado a, ¿cuál es su área?
Ejercicio 6. Si ABCD es un rectángulo de lados a y b, ¿cuál es su área?
Ejercicio 7. Si ABCD es un cubo de lado a, ¿cuál es su volumen?
Ejercicio 8. Si ABCD es una caja de lados a, b y c, ¿cuál es su volumen?
Actividad 3. Calcule el área de círculos con radio dado.
Actividad 4. Calcule el perímetro de círculos con radio dado.
Ejercicio 9. Mida y calcule el área de las siguientes figuras:
84
Ejercicio 10. Un prisionero está encerrado en una celda cuadrada de 5 m × 5 m. El guardián
que lo cuida debe caminar alrededor del cuadrado manteniendo todo el tiempo una distancia
de un metro. ¿Cuántos metros camina en cada vuelta?
Actividad 5. Calcule el volumen de un paralelepípedo dado (procedimiento similar al que se
usó en el cálculo del área de un paralelogramo).
Ejercicio 11. Construya un cuadrado ABCD de lado 3 cm. Construya un nuevo cuadrado
A’B’C’D’ multiplicando cada lado de ABCD por 2. Calcule el área de cada cuadrado. ¿Por
cuánto se multiplicó el área de ABCD? ¿Por qué?
Ejercicio 12. Construya un cuadrado ABCD, trace su diagonal [AC]. Construya un cuadrado
ACEF. Observe el dibujo. Relacione el área de ABCD con el área de ACEF.
Transformaciones
Ejercicio 13. Dados el eje l y el segmento [AB], construya la imagen de [AB] mediante una
reflexión con respecto a l y llámela [A’B’]. Construya la imagen de [A’B’] con respecto a l y
así sucesivamente. ¿Qué observa?
85
Ejercicio 14.1. Dados los ejes de simetría l y d, y la figura en rojo, construya sus imágenes
mediante reflexión con respecto a l y a d. Con la figura obtenida repita el mismo
procedimiento y así sucesivamente. ¿Qué observa?
Ejercicio 14.2. Dados los ejes de simetría l, t y d, y la figura en rojo, construya sus imágenes
con respecto a los tres ejes. Con la figura obtenida repita el mismo procedimiento y así
sucesivamente. ¿Qué observa?
Ejercicio 15. Para pasar de la figura azul a la figura roja puede hacer una rotación o una
simetría. Si las imágenes respectivas de A, B y C son A’, B’ y C’, dele nombre en cada caso a
los vértices de la figura roja, y en el caso de la simetría dibuje el eje.
Ejercicio 16. Describa transformaciones que permitan pasar de la figura azul a la roja.
86
Ejercicio 17. Dada una figura F, aplíquele una traslación t1, a la figura obtenida llámela F1. A
F1 aplíquele una traslación t2, a la figura obtenida llámela F2. ¿Qué transformación debe
aplicársele a F para obtener F2? (Haga un dibujo)
Triángulos semejantes
Ejercicio 18. Construya un triángulo ABC con ⏐AB⏐ = 8 cm, ang(CAB) = 70º y ang(CBA) =
40º. Construya un triángulo EFG con ⏐EF⏐ = 10 cm, ang(GEF) = 70º y ang(GFE) = 40º.
Recorte el triángulo ABC. Coloque A sobre E, B sobre [EF] y C sobre [EG].
¿Cómo se relacionan las rectas (BC) y (FG)?
Ejercicio 19.1. Construya un triángulo ABC. Trace las semirrectas [AB) y [AC). Trace una
recta paralela a (BC) que interseque a [AB) y [AC) en D y E respectivamente. Calcule y
compare los ángulos internos de ABD y de ADE.
Ejercicio 19.2. ¿Cuántos triángulos distintos puede construir con las medidas de los ángulos
dados? ¿Cuántos triángulos distintos puede construir con las medidas de los lados dados?
Ejercicio 20. ¿Cuántos triángulos ABC distintos puede construir siguiendo las siguientes
instrucciones? (Justifique con construcciones)
a) α = 30º , β = 60º y γ = 90º
b) α = 30º , β = 30º y γ = 30º
c) ⏐AB⏐ = 7 cm, ⏐BC⏐= 10 cm y ang(ABC) = 70º
d) ⏐AB⏐ = 12 cm, ⏐BC⏐= 6 cm y ⏐AC⏐= 5 cm
e) ⏐AB⏐ = 7 cm y ang(CAB) = 70º
f) ang(ABC) = 80º y ang(ACB) = 75º
Nota: α, β y γ son los ángulos interiores del triángulo ABC.
Ejercicio 21. ¿Cuántos triángulos distintos puede construir con ang(BAC) = 90º
y ⏐BC⏐ = 4 m? (Imagine una escalera de 4 m recostada contra una pared).
87
Ejercicio 22. Construya un triángulo equilátero ABC. Trace la recta paralela a (AB) pasando
por C. Trace la recta paralela a (BC) pasando por A. Trace la recta paralela a (AC) pasando
por B. ¿Es equilátero el triángulo obtenido? Justifique. ¿Cuánto creció el área?
Clases
Ejercicio 23. Construya un cuadrilátero ABDC con ⏐AB⏐ = 10 cm, ang(BAC) = 35º,
⏐AC⏐ = 6 cm, (AC) // (BC) y ⏐CD⏐ = 12 cm.
Ejercicio 24.1. Construya un círculo C de centro I y radio 4 cm. Sean [AC] y [BD] dos
diámetros de C. ¿Qué es ABCD?
Ejercicio 24.2. Construya un círculo C de centro I y radio 4 cm. Sean [AC] y [BD] dos
diámetros de C, con (AC) ⊥ (BD). ¿Qué es ABCD?
Ejercicio 25.1. Construya ABCD con (AB) // (CD) y ⏐AB⏐= 2 ×⏐CD⏐.
Ejercicio 25.2. Construya ABCD con (AB) // (CD) y ⏐AB⏐= 2 ×⏐CD⏐. (IJ) ⊥ (AB), con I
punto medio de [AB], y J punto medio de [CD].
Ejercicio 26.1. Construya ABCD con dos lados paralelos y dos ángulos rectos.
Ejercicio 26.2. Construya ABCD con dos lados paralelos y tres ángulos rectos.
88
3.4.2. Grado Octavo
3.4.2.1. Objetivos
1. Hacer demostraciones complejas donde se usen concientemente resultados aceptados.
2. Construir y manejar moldes para cilindros.
3. Calcular el volumen de un cilindro dado el molde.
4. Relacionar el área superficial con el volumen.
5. Aplicar la geometría a problemas de la vida cotidiana.
6. Entender y calcular la distancia entre puntos y rectas.
7. Conocer propiedades de triángulos semejantes.
8. Componer transformaciones.
9. Componer dos rotaciones de mismo centro.
10. Encontrar transformaciones que remplacen compuestas de otras transformaciones.
11. Aprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo.
12. Desarrollar la intuición de rotación en el espacio con respecto a un eje.
13. Saber ubicarse en el plano cartesiano.
3.4.2.2. Vocabulario a introducir.
Raíz cuadrada, teorema de Pitágoras. Triángulos semejantes.
Composición de transformaciones. Sentido horario y antihorario.
3.4.2.3. Nomenclatura y convenciones.
s(F): imagen de una figura F por la simetría s y r(F): imagen de una figura F por la rotación r.
A(a ; b): El punto A de coordenadas a y b.
3.4.2.4. Herramientas nuevas.
Programas de computador [CABRI]
89
3.4.2.5. Ejercicios y actividades propuestos.
Ángulos
Ejercicio 1. Justifique la siguiente construcción usando ángulos:
Construcción con compás de un hexágono regular: Construya un círculo de radio R y centro
O. Tome un punto cualquiera A sobre la circunferencia y trace un círculo de centro A y radio
R. Llame B a uno de los dos puntos de intersección. Trace un círculo de centro B y radio R.
Repita el procedimiento hasta que vuelva a caer en A.
Ejercicio 2. Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera
es 180º, muestre que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero cualquiera es 360º.
Actividad 1. [CABRI] Construya tres puntos (“punto”), únalos con segmentos (“segmento”).
Marque los ángulos internos del triángulo (“marca de ángulo”) y mídalos (“ángulo”). Lleve las
tres medidas a un lado. Tome cualquiera de los tres puntos y deforme el triángulo. Sume los
ángulos obtenidos.
Veamos algunos ejemplos:
90
¿Qué sucedió en el último caso?
Distancia de un punto a una recta
Ejercicio 3. Si usted está en el punto O y la recta t representa una carretera, ¿cuál es el camino
más corto para llegar a ella?
Ejercicio 4. Mida la distancia de P a cada recta. ¿De cuál de las dos rectas está más cerca?
Ejercicio 5. Dados l y P, mida la distancia de P a l. Construya un punto Q del mismo lado de P
con respecto a l, de tal forma que la distancia de Q a l sea igual a la distancia de P a l.
¿Qué relación hay entre l y (PQ)?
91
Pitágoras y raíz cuadrada
Ejercicio 6. Construya el triángulo ABC rectángulo en B. Mida las distancias ⏐AB⏐, ⏐BC⏐ y
⏐AC⏐. Calcule ⏐AB⏐2 + ⏐BC⏐2 y compárelo con ⏐AC⏐2. ¿Qué observa?
Actividad 2. Calcule la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo dados sus catetos.
Ejercicio 7. Si un cuadrado tiene área 25 m2, ¿cuánto mide su lado?
Ejercicio 8. Construya tres rectángulos distintos de área igual a 24 cm2.
Ejercicio 9. Sea ABCD un cuadrado de lado a, construya el cuadrado ACEF y demuestre que
su área es el doble de la de ABCD.
Actividad 3. Calcule la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo dados el otro cateto y
la hipotenusa.
Ejercicio 10. Construya un triángulo equilátero ABC de lado 5 cm, [AH] una de sus
alturas.⏐AH⏐= ? ¿Cuál es el área de ABC?
Ejercicio11. Dada la siguiente figura con ⏐AB⏐= 5 cm, ⏐BC⏐= 6 cm y ⏐CH⏐= 4 cm,
Calcule ⏐BH⏐, ⏐AH⏐y ⏐AC⏐.
92
Área y Volumen
Ejercicio 12. Dado un círculo, con perímetro 30 cm, ¿cuál es el radio del círculo?
Actividad 4. Arme cilindros con rectángulos de cartulina (o de papel).
Actividad 5. Calcule el volumen de un cilindro dados el radio de la base y la altura.
Ejercicio 13. En una tienda de dulces la tendera le da a un niño pegante y la siguiente hoja
para que arme una caja sin tapas. El niño deberá ponerla sobre la mesa y la tendera se la
llenará de dulces.
¿Cuál de las siguientes cajas debería armar el niño si quiere el máximo de dulces posible?
(Justifique)
93
Ejercicio 14. Dado un rectángulo de lados 10 y 14 cm, molde de un cilindro con altura 10 cm,
en el cual están indicados los lados a unir, encuentre el perímetro de la base del cilindro,
calcule el radio de la base y el volumen del cilindro.
Ejercicio 15. El dueño de una fábrica de chocolates lo contrata a usted para fabricar el
empaque de sus chocolates. Cada empaque deberá fabricarse utilizando un cartón rectangular
de 2 dm × 3 dm. El precio de un chocolate es independiente de la forma del empaque. Usted
debe escoger (de entre los tres siguientes) el empaque que resulte más rentable para la fábrica.
Ejercicio 16. Dados dos puntos sobre un cilindro de cartulina, ¿cómo trazar el camino más
corto que los une?
Ejercicio 17. Si el radio de la base es r y la altura del cilindro es h, ¿cuánto mide la curva roja
en cada caso?
94
Triángulos semejantes
Ejercicio 18. Construya un triángulo ABC rectángulo en B de lados 3, 4 y 5 cm.
Construya A’B’C’ de forma que
⏐A’B’⏐=⏐AB⏐+ 2,⏐B’C’⏐=⏐BC⏐+ 2 y ⏐A’C’⏐=⏐AC⏐+ 2. ¿Es A’B’C’ rectángulo en B’?
¿Son semejantes esos dos triángulos?
Ejercicio 19. Construya un triángulo ABC. Construya un triángulo A’B’C’ de forma que
⏐A’B’⏐= 2 ×⏐AB⏐,⏐B’C’⏐= 2 ×⏐BC⏐ y ⏐A’C’⏐= 2 ×⏐AC⏐. Calcule los ángulos internos
de cada triángulo. ¿Son semejantes esos dos triángulos? Repita la construcción cambiando el 2
por 5, por 1/3, etc. ¿Funciona para cualquiera de esos números?
Ejercicio 20. Construya l y l’ dos rectas paralelas, otra recta d que las interseque en A y A’
respectivamente, y otra recta t que las interseque en B y B’ respectivamente. t y d se intersecan
en O. Llame α, β y γ a los ángulos internos de OAB. Demuestre que OAB y OA’B’ son
semejantes.
Transformaciones
Ejercicio 21. Sea ABC un triángulo equilátero, describa cada una de las siguientes
transformaciones:
a) A → A, B → C y C → B
b) A → C, B → A y C → B
Ejercicio 22. Sea ABCD un cuadrado cuyas diagonales se intersecan en O, aplíquele una
reflexión con respecto a (BD). Dibuje la figura obtenida dándole el nombre adecuado a los
vértices del cuadrado. A ese segundo cuadrado aplíquele una rotación de centro O, ángulo 90º
y sentido horario. Dibuje la figura obtenida dándole el nombre adecuado a los vértices del
cuadrado. Complete el siguiente diagrama.
95
Encuentre una transformación que permita pasar directamente del primer cuadrado al tercero.
Actividad 6. Defina una traslación t y una rotación r. Construya una figura F, aplíquele la
traslación y a la figura obtenida aplíquele la rotación. A la figura final llámela F1. Ahora a la
figura F, aplíquele la rotación r y a la figura obtenida aplíquele la traslación t. A la figura final
llámela F2. ¿Son iguales F1 y F2?
Ejercicio 23. Dada una figura F y definidas una simetría s y dos rotaciones r1 y r2 de mismo
centro, realice las siguientes transformaciones:
a) F1 = s(F) y F2 = s(F1)
b) F1 = r1(F) y F2 = r2(F1)
c) F1 = r2(F) y F2 = r1(F1)
¿Qué observa?
Ejercicio 24. Defina una rotación que permita pasar de la figura negra a la figura roja. ¿Cómo
quedan los nombres de los vértices en la figura roja?
Otra forma de pasar de la figura negra a la roja es haciendo primero una translación y luego
una rotación. Si la imagen definitiva de A es A’, la de B es B’, etc... ¿Cómo quedan los
nombres de los vértices en la figura roja?
96
Ejercicio 25. Sean l y d dos rectas paralelas, sl es la reflexión con respecto a l y sd la reflexión
con respecto a d. Construya un cuadrilátero ABCD, aplíquele sl y al cuadrilátero obtenido
aplíquele sd. Encuentre una transformación para pasar directamente del primer cuadrilátero al
tercero.
Ejercicio 26. Dado el siguiente cubo junto con el eje de rotación y el sentido que marca la
flecha, cuál es la imagen de cada punto en cada caso:
a) rotación de 90º
b) rotación de 270º
Ejercicio 27. Dada la siguiente pirámide junto con el eje de rotación (AH) y el sentido que
marca la flecha (H es el punto de intersección de las mediatrices), ¿cuál es la imagen de cada
punto luego de una rotación de 120º ?
97
Ejercicio 28. Seis amigos van a un parque y se montan en la rueda indicada en el dibujo.
¿Cómo cambian las posiciones con respecto al piso luego de una rotación de 60º?
Plano cartesiano
Ejercicio 29. Señale en el plano cartesiano los siguientes puntos:
El punto de coordenadas (1 ; 3), el de coordenadas (-1 ; 3), el de coordenadas (-1 ; -3) y el de
coordenadas (1 ; -3).
Ejercicio 30. ¿Cuántos puntos hay con abscisa igual a 5? Dibújelos en el plano cartesiano.
¿Qué figura forman?
Actividad 7.1. Dado cualquier punto sobre el plano cartesiano (con coordenadas enteras) dar
sus coordenadas.
98
3.4.3. Grado Noveno
3.4.3.1. Objetivos
1. Desarrollar la visión de figuras geométricas en el espacio.
2. Construcción de conos.
3. Traducir su conocimiento recta-plano a plano-espacio.
4. Identificar la simetría con respecto a un punto como un caso particular de rotación.
5. Construir y justificar existencia de el círculo circunscrito de un triángulo cualquiera.
6. Construir bisectrices con regla y compás.
7. Construir y justificar la existencia del círculo inscrito de un triángulo cualquiera.
8. Demostrar resultados hasta aquí utilizados sin demostración.
9. Demostrar el teorema de Pitágoras.
10. Demostrar propiedades geométricas.
11. Introducir la medida de ángulos en radianes, saber transformar radianes en grados y
viceversa.
12. Calcular longitud de arco (de una circunferencia) dado el ángulo.
13. Conocer y entender la fórmula de distancia en el plano cartesiano.
14. Relacionar la noción de recta con el plano cartesiano.
15. Ubicarse en el espacio cartesiano.
16. Entender la noción de teselaciones
3.4.3.2. Vocabulario a introducir
Simetría central. Bisectriz, círculo circunscrito, círculo inscrito, mediana.
Plano en el espacio.
3.4.3.3. Nomenclatura y convenciones
Simd: simetría con respecto a d.
99
3.4.3.4. Ejercicios y actividades propuestos
Transformaciones
Ejercicio 1.1. Dado un punto A y un punto O, A’ es el simétrico de A con respecto a O si O es
el punto medio de [AA’].
Construya la imagen de ABC por la simetría central de centro O.
Ejercicio 1.2. Construya un segmento [AB] y un punto O por fuera del segmento. Aplíquele
una rotación de 180º. Llame [A’B’] al segmento obtenido. Observe que O es punto medio de
[AA’] y de [BB’]. ¿Qué concluye?
Ejercicio 2. Encuentre el centro de simetría de las siguientes figuras:
Ejercicio 3. Construya ABC y dos rectas l y d no paralelas.
A’B’C’ = siml(ABC), A’’B’’C’’ = simd(A’B’C’).
Defina una rotación r tal que: A’’B’’C’’ = r(ABC)
Ejercicio 4. Cada punto representa una casa y la recta representa un río.
Si usted debe ir de la casa A a la casa B pasando en algún momento por el río para recoger
agua, ¿qué camino tomaría? Justifique.
100
Solución: Sea B’ el simétrico de B respecto al río. La distancia más corta entre A y B’ es el
segmento [AB’] que corta al río en H. Por simetría ⏐BH⏐=⏐B’H⏐, y el trayecto de A a H
permanece constante.
Círculo circunscrito
Ejercicio 5.1. Sean A, B y C tres puntos no colineales. Sea m1 la mediatriz de [AB] y m2 la
mediatriz de [BC], se intersecan en O. Explique porqué deben intersecarse. Explique porque O
debe pertenecer a la mediatriz de [AC]. Compruébelo luego. Trace un círculo de centro O que
pase por A, B y C.
Ejercicio 5.2. Sean A, B y C tres puntos no colineales. Sea m1 la mediatriz de [AB] y m2 la
mediatriz de [BC], se intersecan en O. ¿Quién es la imagen de A por la simetría con respecto a
m1? ¿ Quién es la imagen de B por la simetría con respecto a m2? ¿ Qué transformación
aplicarle a A para que su imagen sea C?
Conos y moldes
Ejercicio 6. Recorte el siguiente molde, arme el sólido y describa la figura que obtiene.
Dibújela teniendo en cuenta las caras visibles y las no visibles.
Ejercicio 7. Construya un sólido de doce caras en el que cada cara es un polígono regular.
101
Ejercicio 8. Arme conos con moldes de cartulina.
Ejercicio 9. Relacione cada cono con el molde que le corresponde:
Ejercicio 10. Dado el siguiente cono,
a. ¿Cuánto mide el radio de su base?
b. ¿Cuál de los siguientes moldes le corresponde?
102
c. Calcule el ángulo α.
Ángulos
Ejercicio 11.1. Si tiene que darle la vuelta a una circunferencia de radio R m le toca caminar
2πR m.
2π π π/3 θ
Si le toca caminar de un punto a su diametralmente opuesto tiene que caminar πR m. ¿Cuánto
le toca caminar en el tercer caso? ¿En el cuarto?
Ejercicio 11.2. Repita el mismo ejercicio pero con el área.
Ejercicio 12. Un prisionero está encerrado en un triángulo equilátero de lado 5 m. El guardián
que lo cuida debe caminar alrededor del triángulo manteniendo todo el tiempo una distancia de
un metro. ¿Cuántos metros camina en cada vuelta?
Ejercicio 13.1. Sea C un círculo de centro O. [AB] un diámetro de C, y C un punto sobre C.
Muestre que: ang(CAB) = 2 × ang(COB)
Solución: AOC es isósceles entonces ang(AOC) = α, por lo tanto ang(AOC) = 180º - 2α.
ang(COB) = 180º - (180º - 2α) = 2α.
103
Ejercicio 13.2. Sea C un círculo de centro O. Sean A, B y C tres puntos sobre C. Muestre que:
ang(AOB) = 2×ang(ACB)
Ejercicio 13.3. Utilice el ejercicio 13.1. para mostrar que cualquier triángulo ABC con A, B y
C sobre un mismo círculo y [AB] diámetro de éste, es un triángulo rectángulo en C.
Actividad 1. [CABRI]
Construya una circuferencia de centro O (“circunferencia”). Trace un recta (“recta”) que pase
por O. Llame a los puntos de corte con el círculo A y B (“puntos de intersección”). Coloque
un punto C sobre la circunferencia (“punto sobre objeto”). Trace los segmentos [AC] y [BC]
(“segmento”). Marque el ángulo ang(ACB) (“marca de ángulo”), y mídalo (“ángulo”).
Desplace el punto C sobre la circunferencia y observe si el ángulo marcado cambia de medida.
Ejercicio 14. Dados un triángulo equilátero ABC y O el punto de intersección de las
mediatrices, dóblelo como indican las cuatro siguientes figuras.
104
Demuestre que la figura obtenida es un hexágono regular.
Ejercicio 15. Demuestre que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.
Demostración: Sea ABC un triángulo cualquiera. Sus ángulos internos α, β y γ como lo indica
el dibujo. Trace la paralela a (BC) pasando por A, llámela l. Llame β’ y γ’ los ángulos
indicados en el dibujo. Es claro que α + β’ + γ’ =180º.
Como (BC) // l, y (AB) las corta a ambas, entonces β = β’.
Como (BC) // l, y (AC) las corta a ambas, entonces γ = γ’.
Así que α + β’ + γ’ = α + β + γ = 180º.
105
Ejercicio 16. Demuestre que si [AC] y [BD] se cortan en sus puntos medios entonces ABCD
es un paralelogramo.
Planos en el espacio
Actividad 2. Encuentre planos paralelos en el salón de clase, reconocer una recta como la
intersección de dos planos.
Actividad 3. Imagine el plano que pasa por dos rectas paralelas.
Actividad 4. Imagine el plano que pasa por tres puntos no colineales.
Ejercicio 17. ¿Cuántos planos pasan por dos puntos dados?
Actividad 5. Señale en el salón dos rectas por las que no pase ningún plano en común.
Ejercicio 18. Dibuje una pirámide de base triangular e identifique dos segmentos que no
pertenezcan al mismo plano.
Ejercicio 19. Considere el siguiente cubo de lado a.
Imagine el plano P que pasa por (AD) y (FG). P separa al cubo en dos partes, ¿son iguales?
Haga el molde para cada una de ellas aclarando la medida de cada lado, ármelas y forme luego
el cubo.
106
Ejercicio 20 Dada una caja de base triangular considere el plano que se muestra en la siguiente
figura. Nuevamente el plano parte la figura en dos pedazos. ¿Son iguales?
Haga el molde de cada pedazo, ármelos y únalos para armar la caja deseada.
Ejercicio 21. Dados un cilindro y un plano P paralelo a la tapa del cilindro, ¿qué figura forman
al intersecarse?
Ejercicio 22. ¿Cuánto mide la diagonal [CE] de un cubo de lado a?
¿Cuáles son las demás diagonales? ¿Miden lo mismo?
Ejercicio 23.1. ¿Qué condiciones debe cumplir un plano para partir a una esfera en dos partes
iguales?
Ejercicio 23.2. ¿Qué condiciones debe cumplir un plano para partir a un paralelepípedo en dos
paralelepípedos iguales? ¿En dos distintos?
107
Bisectriz y Círculo inscrito
Ejercicio 24. Construya [OA), [OB) y [OC) con ang(AOB) = 36º y ang(BOC) = 36º (sentido
antihorario). Tome P sobre [OB). Trace la perpendicular a [OA) pasando por P, interseca a
[OA) en H. Trace la perpendicular a [OC) pasando por P, interseca a [OC) en J. Trace el
círculo de centro P que pase por H, ¿qué observa?
Actividad 6. Construya bisectrices de ángulos dados con transportador.
Ejercicio 25. Construcción de la bisectriz con regla y compás.
Construya dos semirrectas l y d con extremo en O. Construya un círculo C de centro O y radio
cualquiera. C interseca a l y d en A y B respectivamente. Trace la mediatriz de [AB], esa es la
bisectriz del ángulo en cuestión.
Ejercicio 26. Construya un ángulo con dos semirrectas l y d, y su bisectriz. Tome un punto P
sobre la bisectriz. Trace la perpendicular a l pasando por P, interseca a l en H. Trace la
perpendicular a d pasando por P, interseca a d en J. Qué relación hay entre los triángulos OPH
y OPJ. Justifique.
Ejercicio 27. Construya un triángulo ABC y sus bisectrices. Justifique porqué se intersecan en
un mismo punto. Llame H al punto de intersección.
Construya la perpendicular a (AB) pasando por H, corta a (AB) en I. La perpendicular a (BC)
pasando por H que corta a (BC) en J y la perpendicular a (AC) pasando por H que corta a
(AC) en K. Construya el círculo de centro H que pasa por I. ¿Qué observa?
108
Demostración del Teorema de Pitágoras.
Ejercicio 28. Dados dos rectángulos iguales de lados a y b, se corta cada uno por una diagonal.
Con los cuatro triángulos rectángulos obtenidos se construye el siguiente cuadrado.
1. Muestre que en efecto es un cuadrado.
2. Muestre que la figura blanca en el medio es también un cuadrado.
3. Calcule el área del cuadrado pequeño haciendo la diferencia entre el área del cuadrado
grande y el área de los cuatro rectángulos.
4. Calcule el lado del cuadrado pequeño.
Demostración:
1. La figura grande tiene cuatro ángulos rectos (de cada triángulo rectángulo) y cada lado
mide a + b ⇒ es un cuadrado.
109
2. Primero, cada lado de la figura blanca es la diagonal de uno de los rectángulos.
⇒ los cuatro lados miden lo mismo.
Segundo, llamemos α y β a los ángulos agudos de cada triángulo rectángulo, como se indica
en la figura. Por lo tanto α + β = 90º.
γ = 180º - (α + β) = 90º
Con cada ángulo de la figura blanca repetimos el mismo análisis.
⇒ La figura blanca tiene cuatro ángulos rectos.
⇒ Es un cuadrado.
3. área del cuadrado grande: (a + b)2
área de cada triángulo: 2
ba ×
área del cuadrado pequeño: (a + b)2 - 2
4 ba ×× =
242 22 abbaba −++ = 22 ba +
4. Si el área del cuadrado pequeño es 22 ba + , entonces su lado es ( )22 ba +
110
Actividad 7. Construcción de un óvalo.
Construya los círculos C y C* (de centros O y O* respectivamente y radios r y r*
respectivamente), de forma que sean secantes en dos puntos M y N.
Tome A sobre C de forma que (OA) no sea perpendicular a (OO*).
Sea I la intersección de (OA) con (MN).
Sea A* el simétrico de A respecto a (MN).
Construya el pedazo de círculo de centro I de A a A*.
Haga la construcción simétrica con respecto a (OO*) y tendrá dibujado un óvalo perfecto.
Imagine en qué forma cambiaría el óvalo si desplazara el punto A sobre C (o haga la
construcción con CABRI).
Teorema de Blaise Pascal
Actividad 8. [CABRI] Compruebe usando CABRI el siguiente resultado:
Si C una circunferencia y A, B, C, D, E y F son seis puntos sobre C de tal forma que ABCDEF
forme un hexágono. Al prolongar las rectas (AB) y (DE), si no son paralelas se intersecan en
111
X, prolongue las rectas (BC) y (EF), si no son paralelas se intersecan en Y, prolongue las
rectas (CD) y (AF), si no son paralelas se intersecan en Z.
Entonces X, Y y Z son colineales.
Plano cartesiano
Ejercicio 29. Dados los puntos A y B en el plano cartesiano de coordenadas respectivas (xA ,
yA) y (xB , yB), justifique, usando el teorema de Pitágoras, la fórmula para calcular la distancia
entre A y B:
( ) ( )22),( BABA yyxxBAd −+−=
Ejercicio 30. Grafique la recta 437
+= xy .
Actividad 9. Dado cualquier m racional y cualquier p, grafique la recta pmxy += .
Ejercicio 31. Dado un punto A de coordenadas (xA , yA) y una pendiente m escriba la ecuación
de la recta con pendiente m que pasa por A.
Ejercicio 32. Dados los puntos A y B en el plano cartesiano de coordenadas respectivas
(xA , yA) y (xB , yB), calcule la pendiente de la recta (AB). Para hallar p en la expresión
pmxy += reemplace x por xA y y por yA. Despeje p y escriba la ecuación definitiva de (AB).
Espacio cartesiano
Actividad 10. Dado un punto con sus coordenadas ubíquelo en el espacio cartesiano.
Ejercicio 33. Usando el teorema de Pitágoras, deduzca la fórmula de la distancia entre dos
puntos en el espacio cartesiano.
112
Teselaciones
Ejercicio 34. Con triángulos equiláteros de lado a, podemos cubrir el plano de la siguiente
forma:
Hágalo tomando como base un triángulo cualquiera.
Ejercicio 35. ¿Puede cubrir el plano con círculos que no se superpongan? Justifique.
Ejercicio 36. Cubra el plano con hexágonos regulares. ¿Puede hacerlo con pentágonos
regulares? Justifique.
113
3.5. GRADOS DÉCIMO Y UNDÉCIMO
Indicadores de logros curriculares para los grados décimo y undécimo de la educación
media en el área de matemáticas. (Tomado de Código Educativo V)
• Da razones del porqué de los números reales y explica por qué unos son racionales y
otros irracionales.
• Utiliza el sentido de las operaciones y de las relaciones en sistemas de números reales.
• Interpreta instrucciones, expresiones algebraicas, diagramas operacionales y de flujo y
traduce de unos a otros, en el sistema de los números reales.
• Investiga y comprende contenidos matemáticos a través del uso de distintos enfoques
para el tratamiento y resolución de problemas; reconoce, formula y resuelve problemas
del mundo real aplicando modelos matemáticos e interpreta los resultados a la luz de la
situación inicial.
• Elabora modelos de fenómenos del mundo real y de las matemáticas con funciones
polinómicas, escalonadas, exponenciales, logarítmicas, circulares y trigonométricas;
las representa y traduce mediante expresiones orales, tablas, gráficas y expresiones
algebraicas.
• Aplica modelos de funciones para tratar matemáticamente situaciones financieras y
transacciones comerciales frecuentes en la vida real.
• Analiza situaciones de la vida diaria generadoras de las ideas fuertes del cálculo, tales
como tasa de cambio, tasa de crecimiento y total acumulado; descubre y aplica
modelos de variación para tratarlas matemáticamente.
• Hace inferencias a partir de diagramas, tablas y gráficos que recojan datos de
situaciones del mundo real; estima, interpreta y aplica medidas de tendencia central, de
dispersión y de correlación.
• Reconoce fenómenos aleatorios de la vida cotidiana y del conocimiento científico,
formula y comprueba conjeturas sobre el comportamiento de los mismos y aplica los
resultados en la toma de decisiones.
• Formula hipótesis, las pone a prueba, argumenta a favor y en contra de ellas y las
modifica o las descarta cuando no resisten la argumentación.
114
• Elabora argumentos informales pero coherentes y sólidos para sustentar la ordenación
de una serie de proposiciones.
• Detecta y aplica distintas formas de razonamiento y métodos de argumentación en la
vida cotidiana, en las ciencias sociales, en las ciencias naturales y en las matemáticas;
analiza ejemplos y contra ejemplos para cambiar la atribución de necesidad o
suficiencia a una condición dada.
• Planifica colectivamente tareas de medición previendo lo necesario para llevarlas a
cabo, el grado de precisión exigido, los instrumentos adecuados y confronta los
resultados con las estimaciones.
• Disfruta y se recrea en exploraciones que retan su pensamiento y saber matemáticos y
exigen la manipulación creativa de objetos, instrumentos de medida y materiales y
medios.
Mencionemos algunos logros de otras materias que tienen relación con nuestro trabajo y que
proporcionan al estudiante una forma alterna de avanzar simultáneamente en distintos
procesos de pensamiento:
Ciencias naturales
• Manifiesta inquietudes y deseos de saber acerca de problemas científicos, ambientales
y tecnológicos y los articula con su deseo de saber en otras áreas del conocimiento.
• Hace descripciones dentro del contexto de un problema científico, ambiental o
tecnológico, utilizando instrumentos teóricos y prácticos y modelos matemáticos
idóneos para el caso estudiado.
• Hace narraciones de sucesos científicos, ambientales y tecnológicos, apoyándose en
teorías explicativas y en leyes científicas, expresadas a través de modelos lógicos y
matemáticos.
• Hace preguntas y elabora proposiciones hipotético-deductivas (...)
• Formula hipótesis provenientes de la práctica de extraer conclusiones o deducciones
(...)
115
3.5.1. Grado décimo
3.5.1.1. Objetivos
1. Construir la imagen por una homotecia definida de una figura dada.
2. Definir una homotecia dadas una figura y su imagen.
3. Relacionar conceptos algebraicos con conceptos geométricos.
4. Entender las cónicas como objetos geométricos con características especiales.
5. Hacer demostraciones rigurosas de problemas complejos demostrando cada paso.
6. Hacer construcción de números reales con regla y compás.
7. Visualiza cortes de planos en el espacio y los justifica.
8. Entiende figuras como el círculo o la mediatriz como conjuntos de puntos que cumplen
ciertas propiedades, trabajando con ellos independientemente de su forma.
3.5.1.2. Vocabulario a introducir.
Homotecia.
3.5.1.3. Convenciones y nomenclatura.
hO, k: homotecia de centro O y coeficiente k.
hO, k (A): imagen de A por la homotecia de centro O y razón k.
3.5.1.4. Ejercicios y actividades propuestos.
Construcción con regla y compás de algunos números reales
Ejercicio 1.1. Construcción de racionales entre 0 y 1.
Construcción de 31 :
Supongamos que queremos tomar 31 de ⏐AB⏐,
116
Tome una medida cualquiera como unidad sobre una recta que pase por A pero que no incluya
a B: ⏐AD⏐= 1 unidad por ejemplo.
Reprodúzcala 3 veces en la dirección de (AD). Sea C el punto de la recta (AD) tal que
3 ×⏐AD⏐=⏐AC⏐ y D esté entre A y C.
Construya la recta (CB).
Luego construya la paralela a (CB) pasando por D, interseca (AB) en E.
La distancia ⏐AE⏐es justamente 1/3 de la distancia ⏐AB⏐.
Si suponemos ahora que ⏐AB⏐= 1, entonces ⏐AE⏐=31 .
Ejercicio 1.2. Construcción de racionales mayores a 1.
Construcción de 57 :
Consideremos 57 de la siguiente manera:
521
52
55
57
+=+=
Queremos construir entonces ⏐AB⏐ + 52 de ⏐AB⏐.
Repita el mismo procedimiento pero esta vez reproduzca la unidad ⏐AD⏐ 7 veces.
Sea C el punto sobre (AD) que cumple: 5 ×⏐AD⏐=⏐AC⏐ y D entre A y C.
Sea G el punto sobre (AD) que cumple: 7 ×⏐AD⏐=⏐AG⏐ y D entre A y C..
D
E
117
Trace (CB). La paralela a (CB) pasando por G interseca a (AB) en E.
La distancia ⏐AE⏐es justamente 7/5 de la distancia ⏐AB⏐.
Si suponemos ahora que ⏐AB⏐= 1, entonces ⏐AE⏐=57 .
Ejercicio 2.1. Construcción de 2 :
Considere la diagonal d de un cuadrado de lado 1.
Por Pitágoras obtenemos:
211 22 =+=d
Ejercicio 2.1. Construcción de 2
51+ (número de oro):
( )22
121
21
44
41
21
45
21
25
21
251
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=++=+=+=
+
1
1 2
2
118
Esta última expresión se descompone en un racional (ya sabemos construirlo) y la diagonal de
un rectángulo de lados 21 y 1.
Transformaciones
Actividad 1. Relacionar la paridad de una función con sus simetrías.
Dos variables x y (–x) son simétricas con respecto al origen.
Igualmente f(x) y (-f(x)).
a. Función par.
Una función es par si f(x) = f(-x). Tomemos los puntos A y A’ en el plano cartesiano de
abscisas respectivas x y (–x). A(x, f(x)) y A’(-x, f(-x)), como f(x) = f(-x) entonces A’(-x, f(x)).
1
1
1/2
251+
1/2
119
A y A’ son simétricos con respecto al eje-y. Como A es un punto cualquiera entonces la
gráfica de f es simétrica respecto al eje-y.
b. Función impar.
Una función es impar si f(-x) = -f(x). Tomemos los puntos A y A’ en el plano cartesiano de
abscisas respectivas x y (–x). A(x, f(x)) y A’(-x, f(-x)), como f(-x) = -f(x) entonces A’(-x, -f(x)).
A y A’ son simétricos con respecto al origen. Y como A es un punto cualquiera entonces la
gráfica de f es simétrica respecto al origen.
Ejercicio 1.1. Dada la siguiente figura mida y encuentre el coeficiente k de forma que:
La transformación que permite pasar de ABCD a A’B’C’D’ se llama una homotecia.
¿Qué punto se mantuvo fijo?
A es el centro de la homotecia h, y su razón es k (k = 2). Se escribe hA, 2.
Ejercicio 1.2. Encuentre la imagen de ABCD por hB, 2.
Ejercicio 1.3. Encuentre la imagen de ABCD por hA,1/2.
120
Actividad 2. Definición de una homotecia.
Para poder hablar de coeficientes de proporcionalidad negativos hablamos mejor de vectores:
A’ = hO, k(A) si 'OA = OAk ×
Si repetimos el ejemplo del cuadrado pero con k = -(1 / 2) obtenemos la siguiente figura.
En el siguiente eje están fijos los puntos O y A. ¿Dónde estaría A’ en cada uno de los
siguientes casos?
- si 1 < k
- si 0 < k < 1
- si –1 < k < 0
- si k< -1
Ejercicio 2. En la siguiente figura (AB) // (A’B’) y (AA’) se interseca con (BB’) en O.
⏐OA⏐= 2 u y ⏐AA’⏐= 1 u (u: unidades)
a. Encuentre la homotecia que transforma al triángulo OAB en el triángulo OA’B’.
b. Encuentre la homotecia que transforma al triángulo OA’B’ en el triángulo OAB.
¿Es la misma? ¿Cómo se relacionan?
121
Actividad 3. Definida una homotecia h, construya la imagen de una figura dada.
Actividad 4. Dada una figura y su imagen por una homotecia, defina la homotecia.
Ejercicio 3. Demuestre, usando la notación de vectores, que la homotecia conserva el punto
medio. Es decir, Muestre que: si I es punto medio de [AB], A’= hO, k(A) y B’= hO, k(B),
entonces I’= hO, k(I) es punto medio de [A’B’].
Demostración:
Como I es punto medio de [AB] entonces AIAB ×= 2 . Tenemos que mostrar que
''2'' IABA ×=
Como A’= hO, k(A) y B’= hO, k(B), entonces ABkBA ×='' (piense en triángulos semejantes).
Como I’= hO, k(I) entonces ''21
21
21' BAABkABkAIkAI ×=××=××=×=
Conclusión: I’ es punto medio de [A’B’].
Ejercicio 4. Dados dos puntos O y A, un ángulo α y un coeficiente k, construya los siguientes
puntos:
A’= hO, k(A), B’= rO,α(A’) y B = hO, 1/k(B’)
Defina una transformación para pasar de A a B directamente.
Ejercicio 5. Dada una figura F y definidas una rotación r y una homotecia h, construya y
compare F’’ y F2:
Primero, F1=r(F) y F2=h(F1) y segundo, F’=h(F) y F’’=r(F’). ¿Son iguales?
Actividad 5. Componer homotecias con transformaciones ya vistas.
Ejercicio 6. Construya un triángulo ABC con I punto medio de [AB], J punto medio de [BC] y
K punto medio de [AC].
a) Demuestre que IJK y ABC son semejantes.
b) Defina una homotecia que permita pasar de ABC a IJK
122
Triángulos semejantes
Ejercicio 7. Una bebida caliente se enfría proporcionalmente al área que esté en contacto con
el aire. En la siguiente situación, por cada cm2 en contacto con el aire, el líquido contenido en
la copa pierde un grado centígrado por minuto.
a) Si la copa está llena, ¿cuántos grados se enfría la bebida por minuto?
b) Luego de unos cuantos sorbos, el nivel descendió 3 cm. ¿Cuántos grados centígrados
pierde el líquido por minuto?
Forma geométrica de resolver un problema algebraico usando el teorema de Pitágoras
Demostremos la siguiente desigualdad:
( ) 2222222 xttuuxtux +++++≤++ (*)
Consideremos un cuadrado de lado (x + u + t). Utilizando el teorema de Pitágoras podemos
calcular cuánto mide su diagonal d: 222 )()( dtuxtux =+++++
22)(2 dtux =++
)(2 tuxd ++= (escogemos la raíz positiva porque se trata de una distancia)
Así que la expresión de la izquierda de la desigualdad (*) es la diagonal de un cuadrado de
lado (x + u + t). (Dibujo 1)
123
Dibujo 1 Dibujo 2
Ahora observemos que 22 ux + es la diagonal de un rectángulo de lados x y u,
22 tu + es la diagonal de un rectángulo de lados u y t,
22 xt + es la diagonal de un rectángulo de lados t y x.
Esos son precisamente los rectángulos que aparecen coloreados en la primera figura.
En el Dibujo 2 están trazadas las diagonales de esos rectángulos, así que el recorrido en azul es
precisamente la expresión de la derecha de la desigualdad (*).
Como el camino más corto entre dos puntos es la línea recta (el segmento que los une),
obtenemos la desigualdad (*).
Cónicas
Actividad 6. Construcción de una elipse con una pita, un lápiz y dos puntillas.
Las elipses presentan la siguiente propiedad:
Sean F y F’ sus focos, dos puntos fijos. Tome cualquier punto P sobre la elipse,
⏐FP⏐+⏐PF’⏐es constante.
124
Clave dos puntillas en una tabla (que jugarán el papel de focos). Amarre cada extremo de una
pita a una puntilla.
Tome un lápiz, extienda con él la pita y desplace el lápiz sobre la tabla manteniendo extendida
la pita.
Ejercicio 6.1. La ecuación general de una elipse centrada en el origen es 12
2
2
2
=+by
ax y su
gráfica se ve así:
donde a>b
a>0 y b>0
Teniendo en cuenta eso y la propiedad mencionada en la actividad anterior ¿cuáles son las
coordenadas de los focos?
125
Solución:
La pita mide 2x en cualquier posición. Pensemos en la posición más extrema hacia la derecha:
La pita mide y + a + (a-y).
Así que 2x = y + a + (a-y) = 2a
2x = 2a
x = a
Pensemos ahora en el siguiente triángulo rectángulo:
Por Pitágoras tenemos 222 xby =+ , como x = a obtenemos 222 aby =+ y despejando y: 222 bay −=
Así que F’( 22 ba + , 0) y F(- 22 ba + , 0).
Ejercicio 6.2. En una elipse de ecuación 12
2
2
2
=+by
ax , ¿cuáles son las coordenadas de los
focos si a < b?
Ejercicio 7. Dada la recta d y el punto F, construya varios puntos P que cumplan las siguientes
condiciones: - (PH) ⊥ d
- H es la intersección de d y (PH)
- ⏐FP⏐=⏐PH⏐
¿Qué observa?
126
Actividad 7. Construcción de una parábola con una pita, unas tijeras, un lápiz, una escuadra y
una puntilla.
Las parábolas presentan la siguiente propiedad:
Existe un punto F (fuera de la parábola) y una recta d (que no la interseca) tal que para cada
punto P sobre la parábola, la distancia ⏐FP⏐ es igual a la distancia de P a la recta d.
Pegue la pita a la punta de la escuadra (punto rojo), estírela sobre la escuadra y córtela de
forma que quede tan larga como ese lado de la escuadra.
Amarre el extremo de la cuerda a la puntilla. Ponga el cateto libre de la escuadra sobre la recta
d. Y con el lápiz estire la pita de forma que quede como en el dibujo. Desplace la escuadra
sobre la recta.
Construcción de la tangente de un círculo + análisis completo de la construcción
Cómo construir la tangente a una circunferencia C de centro O, pasando por un punto A
exterior a la circunferencia.
127
a) Construya el punto medio de [OA], llámelo I.
b) Construya el círculo C’ de centro I y radio |IA|.
Sea B uno de los dos puntos de intersección de C con C’.
c) Construya [AB), esa es la tangente a C pasando por A.
Analicemos la construcción:
Para que (AB) sea tangente a C pasando por A se deben cumplir dos condiciones:
Primero A ∈ (AB) y segundo (AB) tangente a C
Lema 1: Toda perpendicular trazada en el extremo de un radio es tangente a la
circunferencia.
128
Demostración del Lema 1 por reducción al absurdo:
Usaremos Teo1: En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado más largo.
Tome l ⊥[OP], y P∈l.
Supongamos que l no es tangente a C, entonces existe otro punto de intersección entre l y C:
llamémoslo Q.
Como Q∈C, ⏐OQ⏐=⏐OP⏐ (1)
Pero l ⊥[OP] (por construcción) y Q∈l (por suposición), OPQ sería rectángulo en P. Su
hipotenusa es [OQ], por lo tanto, usando el teo 1: ⏐OQ⏐>⏐OP⏐. (2)
Por (1) y (2) llegamos a una contradicción.
⇒ l debe ser tangente a C.
Volvamos a nuestra construcción.
[OB] es un radio de C. Si logramos mostrar que (AB)⊥(OB), entonces, por el recíproco del
lema 1, tendríamos que (AB) es tangente a C.
Lema 2: Si ABP es un triángulo inscrito en una circunferencia C, con [AB] diámetro de C,
entonces ABCP es rectángulo en P.
α 2α
129
Demostración del Lema 2:
Sea α = ang(PAB), sea O centro de C.
Como ⏐AO⏐=⏐OP⏐, AOP es isósceles, y por lo tanto ang(APO) = α.
Considere el triángulo AOP: α+α+ang(AOP) = 180º
ang(AOP) = 180º - 2α
Ahora, ang(AOP) y ang(POB) son suplementarios, entonces
ang(AOP)+ang(POB) = 180º
(180º-2α)+ang(POB) = 180º
ang(POB) = 2α
Como ⏐OP⏐=⏐OB⏐, POB es isósceles, Y por lo tanto ang(OPB)=ang(OBP)=β.
Considere el triángulo OBP: 2α+ang(OPB)+ang(OBP) = 180º
2α+β+β = 180º
2α+2β = 180º
α+β = 90º
ang(APB) = 90º
⇒ ABP es rectángulo en P.
En nuestra construcción original, OBA es un triángulo inscrito sobre C’, y [OA] es diámetro
de C’, así que OAB es rectángulo en B. Y como [OB] era radio de C, entonces logramos
construir la tangente a C pasando por A.
Teorema de Desargues
Actividad 8. [CABRI] Compruebe usando CABRI el siguiente resultado:
Dadas tres semirrectas con extremo en O y dos puntos A y A’ sobre la primera, dos puntos B y
B’ sobre la segunda y dos puntos C y C’ sobre las tercera.
Si (AB) y (A’B’) se cortan en X, (BC) y (B’C’) en Y y (AC) y (A’C’) en Z, entonces X, Y y
Z son colineales.
130
Planos en el espacio
Ejercicio 8. Si un plano P corta a otro plano T en dos puntos A y B, ¿cuál es el conjunto de
puntos que forma la intersección de P y T ?
Ejercicio 9. El plano P interseca a cada una de las siguientes pirámides en los tres puntos
marcados en rojo. Complete el corte del plano con cada pirámide.
Ejercicio 10. Teniendo en cuenta que un plano P interseca a dos planos paralelos en dos
rectas paralelas, complete los cortes de un plano definido por los tres puntos rojos con el cubo.
Justifique.
131
132
3.5.2 Grado Undécimo
3.5.2.1. Geometría del Taxista
Se trabaja en el mismo plano cartesiano. Cada punto está representado por un par de
coordenadas. Se habla de rectas, puntos, círculos, triángulos y en general todas las figuras
geométricas manejadas hasta aquí. La medición de ángulos se hace de la misma manera, la
única diferencia está en la distancia entre puntos para la que se propone una nueva medida: Si
A ( a, b) y B ( c, d ) entonces ( ) bdacBAdT −+−=, .
Así, para cualesquiera dos puntos A y B que compartan alguna de las dos coordenadas, la
distancia entre ellos será la misma que en Geometría Euclidiana.
Pitágoras
Ejercicio 1. Considere el triángulo ABC con A(0, 0), B(3, 0) y C(0, 4). ⏐AB⏐= 3 y ⏐AC⏐= 4,
en ambas geometrías.
En la Geometría Euclidiana, como ABC es rectángulo en A tendríamos
⏐BC⏐= 52543 22 ==+
En la Geometría del Taxista tenemos: ( ) =CBdT , ⏐0-3⏐+⏐4-0⏐= 43+ = 7
Ejercicio 2. Construya el triángulo ABC con A(0, 0), B(2, 2) y C(3, 1) y considérelo en la
Geometría del Taxista.
a. Compruebe que ABC es rectángulo en B.
b. Verifique si se cumple el teorema de Pitágoras.
133
Solución:
a. Pendiente de la recta (AB): mAB 10202=
−−
= y pendiente de (BC): 12123
−=−−
=
mAB. mBC = -1 ⇒ (AB) ⊥ (BC) ⇒ ABC es rectángulo en B.
b. ¿ 222TTT
ACBCAB =+ ?
TAB =⏐2-0⏐+⏐2-0⏐= 4, ⏐BC⏐=⏐3-2⏐+⏐2-1⏐= 2 y ⏐AC⏐=⏐3-0⏐+⏐1-0⏐= 4
pero 222 424 ≠+ .
Triángulos semejantes
En el plano cartesiano con la distancia cartesiana, dos triángulos con lados de igual medida
tienen mismos ángulos. Observemos qué pasa acá:
Ejercicio 3. Construya el triángulo ABC con A(0, 0), B(2, 0) y C(0, 3). Contruya en otro color
el triángulo A’B’C’ con A’(0, 0), B’(1, 1) y C’(-2, -1). Mida sus lados. ¿Qué observa?
Ejercicio 4. Construya un triángulo equilátero de lado 4. Mida sus ángulos. ¿Qué observa?
¿Puede construir en Geometría Euclidiana un triángulo equilátero que no sea equiángulo?
Solución posible:
¿Cuántos ejes de simetría tiene este triángulo? Compare con un triángulo equilátero en la
Geometría Euclidiana.
134
Ejercicio 5. Construya el triángulo ABC con A(0, 0), B(2, 2) y C(3, 2). ¿Cuánto miden los
lados de ABC? ¿Cuánto mide el ángulo en B? ¿Podría construir un triángulo con esas medidas
para los lados en la Geometría Euclidiana?
Cuadriláteros
Ejercicio 6. Dibuje en la Geometría Euclidiana un cuadrilátero con todos los lados iguales
(rombo). Demuestre que las diagonales de un rombo se intersecan en sus puntos medios.
¿Qué pasa si un rombo tiene un ángulo recto?
Considere ahora el siguiente cuadrilátero en la Geometría del Taxista: A(0, 4), B(4, 4), C(3, 1)
y D(0, 0).
a. Compruebe que todos los lados de ABCD miden lo mismo.
b. ¿Se cortan las diagonales en sus puntos medios? Justifique.
c. Muestre que ang(DAC) = 90º, ¿son los demás ángulos iguales a 90º?
Círculo Un círculo es el conjunto de puntos equidistantes de uno llamado centro.
Ejercicio 7. Construya 12 puntos que estén a una distancia de 2 del punto de coordenadas (0,
0). Deduzca cómo es el círculo de centro O(0, 0) y radio 2.
Solución: Los puntos sobre los ejes son inmediatos. Luego están (1, 1), y sus simétricos
respecto a los ejes. En general cualquier punto de coordenadas (a, 2 - a).
135
Ejercicio 8. Construya un triángulo ABC con AC = 4, BC = 5, A(3, 0) y B(0, 0).
Tenemos dos posibilidades para C.
Ejercicio 9. Construya ABC con A(0, 0), B(1, 2), AC = 4, BC = 5.
¿Cuántas opciones tiene para C? Compare con la Geometría Euclidiana.
Ejercicio 10. Dado un círculo de centro O en la Geometría Euclidiana, ¿Cuántos ejes de simetría tiene? ¿Cuál es su imagen por cualquier rotación de centro O? Considere un círculo de centro O en la Geometría del Taxista. ¿Cuántos ejes de simetría tiene? Aplíquele un rotación euclídea de 45º en sentido horario. ¿Es la figura obtenida un círculo en la nueva geometría?
3.5.2.2. Geometría esférica.
Trabajemos ahora sobre una esfera hueca, sólo nos interesa su superficie. Aquí ni siquiera
podemos hablar de rectas como las conocíamos en el plano dada la curvatura de la esfera.
136
Ejercicio 1. ¿En cuántos puntos puede intersecar una recta en el espacio euclidiano a la
superficie de una esfera?
Rectas
Definamos entonces lo que serán las rectas sobre la superficie esférica. Tome un plano P que
pase por el centro de la esfera. ¿Qué figura resulta de la intersección de ese plano con la
esfera?
A esos círculos los llamamos Círculos Máximos: esas serán las e-rectas en esta nueva
geometría.
Ejercicio 2. Dado un punto sobre la superficie esférica, ¿cuántos círculos máximos (e-rectas)
pasan por A?
137
Ejercicio 3. Dados dos puntos A y B sobre la superficie esférica, ¿cuántos círculos máximos
pasan por A y B? ¿Qué pasa si A y B son diametralmente opuestos?
Ejercicio 4. Suponga que la Tierra es perfectamente esférica. ¿Son e-rectas los meridianos?
¿Son e-rectas los paralelos?
Distancia
Dados dos puntos sobre la superficie esférica podemos pensar también en la distancia entre
ellos. Entendemos la distancia como la medida del recorrido más corto de un punto a otro.
Actividad 1. Tome una pelota y una pita, marque dos puntos sobre la pelota y extendiendo la
pita trate de definir el camino más corto entre ellos que resulta ser un arco del círculo máximo
que pasa por A y por B.
Considere los puntos A y B sobre la esfera, tenemos dos opciones para ir de A a B
desplazándonos sobre el círculo máximo que los contiene, en la Geometría Euclidiana en
cambio teníamos una sola opción.
La distancia entre A y B será el recorrido más corto, en la figura el primer caso.
138
Ejercicio 5. En el plano euclidiano, dado un punto A, podemos escoger puntos Bi de forma que
la distancia ⏐ABi⏐sea cada vez más grande. Dado A sobre la superficie esférica, ¿podemos
repetir ese procedimiento?
Ejercicio 6. Si la esfera tiene radio R, ¿cuál es la máxima distancia entre dos puntos?
Solución: Un círculo máximo tiene radio R así que su perímetro es 2πR, como se escoge la
distancia más corta ésta puede ser máximo πR.
Ejercicio 7. Dados tres puntos A, B y C sobre la esfera trace el triángulo ABC.
Ejercicio 8. Dados tres puntos A, B y C sobre la esfera, ¿cuántos triángulos ABC existen? En
el caso de [AB] por ejemplo, podemos tomar el arco más corto o el más largo, y así para cada
uno. Dibuje las opciones.
Círculo
Dado un punto A sobre la esfera de radio R y una distancia r (< πR), ubiquemos todos los
puntos que están a una distancia r de A.
139
En el primer caso r < R2π , en el segundo r > R
2π .
Ejercicio 9. ¿Cuántos centros tiene un círculo?
Un mismo círculo puede ser descrito de dos formas distintas: de centro A y radio r, o de centro
A’ y radio πR – r, donde A’ es el diametralmente opuesto de A y R es el radio de la esfera.
Así que sobre el globo terráqueo los meridianos son e-rectas y los paralelos son círculos con
centro en el polo norte o en el polo sur.
Ejercicio 10. ¿Qué sucede con el Ecuador?
Ejercicio 11. ¿Existe algún objeto en la Geometría Euclidiana que sea una recta y un círculo a
la vez? Imagine un círculo con centro fijo pero con radio cada vez mayor. Un círculo en
Geometría Euclidiana con radio que tiende al infinito es una recta.
Ejercicio 12. Dada una recta l sobre la esfera (o círculo máximo), y un punto P que no
pertenece a l, ¿puede trazar alguna paralela a l que pase por P?
140
No existe ninguna recta paralela a l pasando por un punto exterior a l.
3.5.2.3. Proyección Estereográfica.
La proyección estereográfica resulta ser una forma fácil de visualizar una transformación
posible del plano P al la esfera (o de la esfera al plano), dando una correspondencia biyectiva
entre cada punto del plano y cada punto de la esfera.
Tome el plano P horizontal pasando por la mitad de la esfera (por el ecuador) y marque el
punto más al norte de la esfera (polo norte).
Ejercicio 1. Pensemos nuevamente en la superficie de la esfera únicamente. Sea l una recta que
pasa por I (polo norte) ¿en cuántos puntos puede intersecar l a la superficie esférica?
Si atravesamos el plano P como ya indicamos, una recta l que pase por I interseca una sola vez
a la esfera a menos que sea paralela al plano que pasa por el ecuador (P en este caso). Así que
si l no interseca a la esfera tampoco va a intersecar a P.
141
Ejercicio 2. Si l interseca una vez a la esfera, ¿cuántas veces interseca al plano P?
Todo punto sobre la esfera diferente de I tiene un único representante sobre el plano y todo
punto sobre el plano tiene un único representante sobre la esfera.
Ejercicio 3. Tome un punto P sobre la esfera, específicamente sobre el ecuador, ¿cuál es su
representante sobre el plano?
Ejercicio 4. Tome un punto P1 sobre el ecuador y trace el meridiano que pasa por P1. Tome
puntos Pi Entre P e I cada vez más cerca de I, y Qi sus imágenes sobre el plano. ¿Qué observa?
Las rectas (PiQi) tienden a una recta paralela a P pasando por I a medida que Pi tiende a I. Los
puntos Qi se alejan más y más conforme i crece. Por esta razón al punto I le corresponde,
según la transformación, un “punto” al que se le llama “el infinito”.
Ejercicio 5. ¿Cuál es la imagen del hemisferio norte? ¿Cuál es la imagen del hemisferio sur?
142
Ejercicio 6. ¿Cuál es la imagen sobre el plano de un meridiano cualquiera?
Ejercicio 7. ¿Cuál es la imagen sobre la esfera de un círculo centrado en el origen?
Sea O el centro de la esfera. Tome un meridiano y cuatro puntos en el hemisferio norte A, B ,
C y D (sobre el meridiano) ordenados entre el ecuador e I así como fueron nombrados, de
forma que ang(AOB) = ang(COD). Si estuviéramos parados sobre la esfera, sería igual de
largo el camino de A a B que el camino de C a D. Pero si tomamos a la esfera como la
representación del plano, esas distancias se verán afectadas.
Actividad 1. Tome un punto P sobre el ecuador. Q sobre el meridiano que pasa por P con
ang(POQ) = 45º. P’ y Q’ los representantes respectivos de P y Q sobre el plano, que están
alineados con O. Recuerde que P = P’. La imagen de ese meridiano es la recta que pasa por O.
La distancia ⏐P’Q’⏐ es finita, por lo tanto, lo que queda de la imagen tiene que ser infinito.
Esto nos obliga a definir una nueva distancia sobre la esfera que tenga en cuenta a I como el
infinito, es decir, la distancia entre cualquier punto e I es infinita.
Actividad 2. Hagamos ahora el proceso inverso. Sea l una recta que pasa por O, tome A, B, C
y D sobre l por fuera del ecuador de manera que ⏐AB⏐=⏐CD⏐, sus imágenes sobre la esfera
A’, B’, C’ y D’ pertenecen a un mismo meridiano. Observe qué pasa con ⏐A’B’⏐ y ⏐C’D’⏐.
Dibujo en vista frontal:
143
Ejercicio 8. Tome dos puntos A y B equidistantes de O sobre el plano P por fuera del círculo
formado por el ecuador. El arco AB tiene por imagen en la esfera un arco de círculo también.
¿Cuál es la imagen del segmento [AB]? Dibújelo.
Ejercicio 9. ¿Cuál es la imagen sobre la esfera de una recta tangente al ecuador? Dibújela.
3.5.2.4. Rectas paralelas versus líneas curvas paralelas en el plano cartesiano.
Si la definición de rectas paralelas es “rectas que no se intersecan”, entonces podríamos
plantear una nueva definición para líneas paralelas así: “líneas que no se intersecan”.
144
Veamos un ejemplo en el plano cartesiano. Tome 0=y y 2
1x
y = , ese par de líneas se
acercan cada vez más conforme x crece pero nunca se cortan. Según nuestra definición serían
líneas paralelas. Lo mismo sucede con 0=y y x
y 1= .
Ejercicio 1. Si nos referimos a rectas tenemos el siguiente resultado: Sean l, d y t tres rectas, si
l // d y d // t entonces l // t. (El paralelismo es transitivo)
¿Sucede lo mismo al hablar de líneas curvas? Tomemos el ejemplo ya mencionado.
0=y y 2
1x
y = son líneas paralelas, 0=y y x
y 1= son líneas paralelas, sin embargo
2
1x
y = y x
y 1= se cortan en (1, 1).
Ejercicio 2. Dada la línea l: 0=y , ¿existe una única paralela a l pasando por (1, 1)?
Ejercicio 3. Dos rectas paralelas en la Geometría Euclidiana son equidistantes, es decir, para
cualquier punto P sobre una de ellas la distancia de P a la otra recta permanece constante.
Tome las líneas paralelas 0=y y x
y 1= . Tome los puntos A(1, 1) y B(2,
21 ) sobre
xy 1= ,
y mida sus distancias respectivas a la línea 0=y . ¿Qué observa?
3.5.2.5. Geometría Hiperbólica.
Vamos a trabajar ahora en lo que llamaremos el Plano Hiperbólico (es el plano cartesiano pero
sólo del eje de x hacia arriba, sin incluir el eje de x), y definimos unas nuevas rectas.
Las rectas verticales (en este caso semirrectas) de la Geometría Euclidiana serán h-rectas en la
Geometría Hiperbólica, y tenemos otro tipo de h-rectas que son medios círculos con el centro
sobre el eje de x.
145
Ejercicio 1. Dado un punto A en el Plano Hiperbólico, ¿cuántas h-rectas pasan por A?
Una sola h-recta de tipo I e infinitas de tipo II.
Ejercicio 2.1. Dados dos puntos A y B en el Plano Hiperbólico, ¿cuántas h-rectas pasan por A
y B? ¿en qué caso es una h-recta tipo I y en qué caso es una h-recta tipo II?
Ejercicio 2.2. Construcción de la h-recta (AB). Si A y B tienen la misma abscisa entonces
pertenecen a la h-recta tipo I que los contiene a ambos. Si A y B tienen diferente abscisa
entonces deben pertenecer a una h-recta tipo II. Cualquier punto sobre la mediatriz de [AB] es
equidistante de A y de B, así que tome la intersección entre la mediatriz de [AB] y el eje de x,
y ese será el centro del semicírculo que los contiene y que según la definición es una h-recta.
Ejercicio 3. Dados los puntos A, B y C en cada caso trace el triángulo ABC.
146
Solución:
Ejercicio 4.1. Dada una h-recta l y un punto P por fuera de l, ¿cuántas h-rectas paralelas a l
pasan por P?
Respuesta: Infinitas.
Ejercicio 4.2. Dibuje rectas paralelas a l (recta tipo II) en el caso en que P esté dentro del
semicírculo.
Algunas h-rectas paralelas comparten un punto en el infinito, otras no comparten ninguno.
147
Ejercicio 5. ¿Pueden dos h-rectas paralelas compartir dos o más puntos en el infinito?
Ejercicio 6. ¿Existen h-rectas en la Geometría Hiperbólica que compartan un punto en el
infinito y que además se intersequen?
Ejercicio 7. ¿Es un triángulo la siguiente figura?
No, dos segmentos, aunque aparentemente se unen, la unión estaría sobre el eje, así que son
h-rectas paralelas que comparten un punto en el infinito.
Así como en el caso de la Proyección Estereográfica en el que el polo norte representaba al
infinito, aquí es el eje x quien lo representa. El hecho de tener un representante para el infinito
nos obliga a definir nuevas distancias. Imagine a alguien que camina por una recta tipo I con
dirección al eje x. Por tratarse justamente del infinito podemos asegurar que esa persona nunca
llegará al eje.
Ejercicio 8.1. Imagine un objeto cayendo verticalmente hacia el eje de x. Dibújelo en distintos
momentos. A medida que se acerca al eje x el disco se ve más pequeño aunque sus
dimensiones reales no cambien.
Ejercicio 8.2. Ahora, si el objeto se pudiera mover a velocidad constante. ¿Cómo se vería eso
en el Plano Hiperbólico? Si lo viéramos a velocidad constante en algún momento lo veríamos
llegar al eje x y estrellarse, así que lo veremos moverse cada vez más lento.
148
Ejercicio 9. Observe la siguiente figura. Los segmentos rojos (o los verdes) se hacen cada vez
más pequeños aparentemente, así lo percibimos pues nuestra mente está acostumbrada a
traducir las distancias como si fueran distancias euclidianas. Con la distancia hiperbólica
miden lo mismo.
La medición de ángulos en este modelo de la Geometría Hiperbólica se hace de la misma
forma que en la Geometría Euclidiana, se toman las tangentes en el punto que se quiere
calcular el ángulos y con el transportador se mide el ángulo entre las tangentes.
Ejercicio 10. Dados tres puntos A, B y C en el Plano Hiperbólico mida el ángulo (ABC). Trace
la línea (AB), trace la línea (BC). Trace la tangente a (AB) pasando por B (perpendicular en B
al radio del semicírculo)y la tangente a (BC) pasando por B.
Calcule el ángulo entre ellas.
149
Actividad 1. Dado un triángulo ABC en el Plano Hiperbólico calcule los ángulos internos de
ABC y súmelos. ¿Qué observa?
Revisemos la demostración que hicimos en Noveno para Geometría Euclidiana de que la suma
de ángulos internos de un triángulo es 180º y tratemos de hacerla aquí.
Demostración: Sea ABC un triángulo cualquiera. Sus ángulos internos α, β y γ como lo indica
el dibujo.
Trace la paralela a (BC) pasando por A, llámela l.
La pregunta es ¿cuál de las infinitas paralelas a (BC) pasando por A debo trazar?
En la Geometría Hiperbólica no se cumple ese resultado.
150
Ejercicio 11. Tome un punto A en el Plano Hiperbólico. Sea l la recta de tipo I que pasa por A.
B y C son simétricos con respecto a l. La recta (BC) es un semicírculo con centro en el punto
de intersección de l con el eje de x. ang(ABC) = ang(ACB). Dejemos fijas esas condiciones
pero hagamos cada vez más pequeño el radio del semicírculo que forma la recta (BC).
Compare el área de ABC con los ángulos (ABC) y (ACB).
El área del triángulo ABC se hace cada vez más grande y los ángulos (ABC) y (ACB) (que
son iguales) se hacen cada vez más pequeños. Como ang(BAC) se mantiene constante en
todos los casos podemos concluir que entre más pequeña es la suma de los ángulos internos
más grande es el área de ABC.
151
3.6. PAUTAS GENERALES
3.6.1 Integración de los distintos grados del currículo basada en los niveles de
razonamiento de Van Hiele
Varios estudios hechos en los que se trata de clasificar al estudiante en un
determinado nivel presentan dificultades6. Para determinados temas, el estudiante puede dar
respuestas correspondientes al primer nivel (Visualización) mientras que para otros temas sus
respuestas corresponden al segundo o al tercer nivel (Análisis o Deducción Informal). El
cuarto y el quinto nivel (Deducción y Rigor) son quizás los más fáciles de identificar y
necesitan evidentemente la superación de los niveles anteriores. Cuando el individuo que no
ha alcanzado aún el cuarto nivel se enfrenta a un tema nuevo debe superar los tres primeros
niveles en ese tema. Su primer acercamiento será empírico y luego logrará deshacerse de la
forma para pasar al concepto. Cada vez que se vive el proceso se vive más rápido y con menos
tropiezos. Una vez que se llega al cuarto nivel los temas pueden ser presentados con
definiciones y proposiciones, los modelos y los ejemplos son de gran ayuda, la diferencia está
en que el ejemplo se entiende como un caso particular, como una evidencia del concepto que
lo sustenta. Los años Noveno y Décimo no deben dedicarse sólo a la demostración de nuevos
resultados sino también a demostrar otros que se usaban antes sin haber sido justificados.
• En Quinto Grado, con el uso del transportador, el estudiante comprueba que la suma de
los ángulos internos de un triángulo es 180º (actividad 2). A partir de Séptimo Grado lo
utiliza en demostraciones sencillas (ejercicio 3, Grado Séptimo y ejercicio 2, Grado
Octavo) y en Noveno Grado puede demostrarlo (ejercicio 15).
• El teorema de Pitágoras se usa desde Octavo pero se demuestra en Noveno.
Se reduce así la lista de proposiciones impuestas lo que permite abordar el tema de
los axiomas en Undécimo Grado.
6 “El análisis de las respuestas del examen escrito (...) resultó ser más difícil de lo esperado y algunas características interesantes surgieron como resultado. (...) La posible existencia de un nivel anterior al de la Visualización, la naturaleza oscilante entre los niveles, el nivel en el que ocurre la inclusión en clases y la necesidad de identificar la memorización.”. Bennie, K. “An Analysis of the Geometric Understanding of Grade 9 Pupils Using Fuys et al.´s Interpretation of the Van Hiele Theory” [3]
152
Teniendo en cuenta que cada nivel de razonamiento requiere de tiempo y de
experiencia, los temas deben aparecer y reaparecer de acuerdo con los requerimientos de cada
grado. No se trata de retomar el tema de la misma manera, se trata de profundizar más y más
en él, utilizando el conocimiento que el estudiante haya adquirido previamente. (“Un
aprendizaje “en espiral”, (...) se justifica plenamente”, tomado de [6]). Tomemos el ejemplo de
la simetría axial y relacionémoslo con la teoría de Van Hiele:
La idea de simetría se introduce en Tercer Grado como un juego (pintando, doblando
y recortando), el estudiante no tiene vocabulario (nivel 1, Visualización) pero puede entender
que algunas figuras son simétricas y otras no, puede entender también que depende del eje
escogido (si se dobla el papel horizontalmente o verticalmente). A esa experiencia casi lúdica
le sigue un trabajo un poco más complejo en Cuarto Grado donde el alumno realiza una
búsqueda de los ejes de simetría en objetos cotidianos, verificándolo de manera empírica
(cortando y doblando). Esta caracterización de una figura por sus simetrías corresponde al
segundo nivel de Van Hiele (Análisis). Busca también figuras simétricas en objetos cotidianos.
En Quinto Grado, habiendo adquirido más vocabulario, empieza a relacionar la simetría con
otros conceptos geométricos (ejercicio 1, Grado Quinto) lo que de alguna forma implica
análisis y un comienzo de ordenamiento de las propiedades (nivel 3, Deducción informal),
pero todavía trabaja muy apegado a la forma, dibujando las imágenes de figuras dadas con el
eje dado. El concepto de mediatriz, que se introduce en Sexto Grado, permite adentrarse en el
tercer nivel. El tema de la simetría empieza a formalizarse, las propiedades hasta aquí
descubiertas pueden enunciarse matemáticamente, mientras otras se siguen descubriendo
(ejercicios 10.1, 10.2 y 11, Grado Sexto). Se introducen conexiones del estilo “si...entonces”
con ejercicios como el 9.1 de Sexto Grado. El estudiante empieza a entender la simetría como
una transformación que conserva algunas características de las figuras. Las construcciones de
imágenes por reflexión se hacen ahora con precisión. En Séptimo Grado se introduce la idea
de composición (una simetría compuesta con ella misma es la identidad, ejercicio 13) y se
relaciona la simetría con otras transformaciones que se han venido estudiando paralelamente,
cdado que en casos particulares una simetría puede ser remplazada por una rotación o una
traslación (ejercicios 15 y 16, Grado Séptimo). En Octavo se estudian algunos casos generales
153
de composición (ejercicios 22 y 25). El estudio de casos generales junto con el análisis de la
simetría como transformación del plano en sí mismo aportan al estudiante experiencia en el
tercer nivel (Deducción informal) y lo van encaminando hacia el cuarto (Deducción). En
Noveno Grado el conocimiento adquirido sobre simetría y su formalización, le permiten
encontrar nuevos resultados o hacer construcciones interesantes (actividad 7). Esta
manipulación de la simetría como concepto, la posibilidad de relacionarla con temas no
geométricos (actividad 1, Grado Décimo), son la manifestación del cuarto nivel de Van Hiele.
Los años Noveno y Décimo dan al estudiante suficiente experiencia en el cuarto nivel, de
modo que cuando aborde nuevas geometrías en Undécimo (quinto nivel, Rigor) pueda
investigar y comparar con lo que sucede en la Geometría Euclidiana (ejercicio 4, Geometría
del Taxista).
Otro ejemplo de la enseñanza en espiral es el del desarrollo de la intuición en el
espacio. El tema del espacio se aborda desde primaria, en Segundo Grado el alumno aprende
que un mismo objeto puede verse desde diferentes ángulos y desarrolla principalmente el
empleo de la vista superior en un proceso que empieza por la observación (actividad 6), pasa a
la relación (ejercicio 7) y termina con la representación de objetos sencillos o lugares
pequeños y conocidos. La vista superior es además un buen camino para introducir otros
conceptos (“conexidad”, ejercicio 4, Grado Tercero, o “una recta divide al plano en dos”,
ejercicio 4, Grado Segundo). En Cuarto Grado el estudiante debe diferenciar movimientos en
el espacio de movimientos sobre el plano. Aprende a moverse con confianza en el espacio
buscando rectas paralelas, perpendiculares y ángulos rectos (aunque inicialmente los encuentre
en las paredes o el suelo, planos materialmente definidos). Ejercicios como el 17.1 de Quinto
Grado lo obligan a relacionar movimientos en el espacio con consecuencias sobre el plano. Es
también en Quinto Grado donde el alumno empieza la construcción de sólidos en base a
moldes. Este proceso comienza por desarmar cajitas de cartón, sigue por construir un
determinado sólido dados el molde y las instrucciones, y termina por hacer el molde de un
sólido descrito. La representación de una superficie en el espacio a través de un molde es una
preparación para trabajar en Undécimo sobre superficies (ejercicio 17, Grado Octavo). El
estudiante pasa del espacio al plano y del plano al espacio. El tema de las caras visibles de un
objeto entra en Sexto Grado lo que permite que se hagan construcciones en el plano de objetos
154
3-dimensionales y se comprendan algunas fórmulas de volumen (actividad 5, Grado Séptimo).
La rotación axial aporta la noción de movimientos en el espacio y la posibilidad de
relacionarlos con temas estudiados en el plano (ejercicios 26 y 27, Grado Octavo). El nivel de
complejidad aumenta en Noveno Grado con ejercicios como el 18, donde el estudiante debe
visualizar en los dibujos cosas que no están marcadas y predecir más adelante cortes entre
planos (ejercicios 9 y 10, Grado Décimo). La visión en el espacio permite también deducir
fórmulas (ejercicio 33, Grado Noveno). El desarrollo de la intuición en el espacio será de
gran utilidad en el momento de estudiar geometrías sobre superficies (Geometría Esférica o
Proyección Estereográfica).
3.6.2 Elección del vocabulario y de la nomenclatura a emplear
Para ayudar al estudiante a superar el primer nivel (Visualización) es necesario
hablarle en los términos adecuados, los conceptos deben introducirse sin mencionar que se
trata de conceptos. Veamos un par de ejemplos:
• Los ejercicios 5 y 6 de Primer Grado están destinados a que el estudiante se aproxime a
la idea de que una recta queda definida por dos puntos. El estudiante no entendería esta
forma de enunciado, pero la experiencia que viva le ayudará a entender el concepto
más adelante.
• Aunque el tema de colinealidad se introduce en Primer Grado, el término puede
esperar. Muchas veces el vocabulario nuevo hace de un concepto simple algo
aparentemente complicado, por eso al comienzo “colineales” puede reemplazarse por
“estar sobre la misma recta”. El término matemático puede introducirse cuando el
concepto sea claro y la palabra surja como una necesidad de simplificar enunciados.
Es importante tener en cuenta que aunque para el profesor es natural y cómoda la
utilización de símbolos, para el estudiante puede convertirse en un problema adicional.
Aunque desde Primer Grado se habla de “rectas”, la notación (AB) debe esperar, es
recomendable remplazarla al comienzo por “la recta que pasa por A y B”. Si la recta como tal
es un símbolo, una representación de un concepto, no tiene sentido introducir símbolos
155
basándose en otros. La notación no debe ser nunca una traba para el estudiante, debe
entenderla como una simplificación y sentir su utilidad.
El profesor debe tener claro cuál es el objetivo de cada ejercicio que propone y
formularlo de acuerdo con eso. Tomemos el siguiente ejemplo. En Séptimo Grado aparece una
serie de ejercicios (del 5 al 8) en los que se le pide al estudiante calcular por ejemplo el área de
un cuadrado de lado a. Aunque el alumno sabe calcular áreas de cuadrados desde Cuarto
Grado, el objetivo en estos ejercicios es que empiece a manejar letras en vez de números,
despegándolo así de los casos particulares y llevándolo hacia lo general (por eso se escoge un
tema que el estudiante domine).
3.6.3 Empleo de objetos y situaciones de la vida cotidiana
Una forma de introducir conceptos al estudiante que se encuentra en la etapa de
Visualización es relacionarlos con situaciones de la vida real. Algunos ejemplos:
• Traslación (carro en movimiento), ejercicio 17, Grado Sexto.
• Área (zanahorias), ejercicio 9, Grado Cuarto.
• Segmento (camino más corto), ejercicio 3, Grado Segundo.
• Conexidad (iluminación de una habitación), ejercicio 2, Grado Tercero.
Más adelante el estudiante debe ver el mundo real como un modelo en el cual aplicar
los conceptos geométricos aprendidos. Relacionar la geometría con la vida cotidiana no sólo
es útil para introducir conceptos sino también para afianzarlos. Por ejemplo:
• Aunque la figura del círculo se maneja desde Primer Grado, la utilización de compases
improvisados en Segundo da claridad sobre los conceptos de disco y circunferencia y
la noción de equidistancia. Los ejercicios 17.1 y 17.2 de Quinto Grado obligan al
estudiante a visualizar, a imaginar resultados en base a conceptos que se le han ido
infundiendo en los años anteriores.
156
• El perímetro se define primero (Grado Tercero) para figuras de lados rectos, para
curvas se utilizan pitas, lo que aclara el concepto de perímetro. Un ejemplo de
visualización y aplicación del concepto a la vida real puede ser el ejercicio 10 de
Séptimo Grado.
• En ejercicios como el 15 de Octavo Grado el estudiante debe aplicar nociones de
volumen y aplicar otros conocimientos adquiridos antes (teorema de Pitágoras, radio y
perímetro de una circunferencia).
3.6.4. Relacionar unos conceptos con otros
Aunque el profesor debe tener claridad sobre la estructura que le da al curso, los
temas no deben estudiarse por separado. El conocimiento adquirido debe utilizarse para la
construcción de nuevo conocimiento. Proponer ejercicios donde se relacionen unos conceptos
con otros no sólo es recomendable como repaso de temas ya vistos sino que crea en el
estudiante una estructura interna, sólida y coherente. Veamos algunos ejemplos:
• círculo – equidistancia (actividad 8, Grado Segundo)
• recta – plano (ejercicio 4, Grado Segundo)
• diagonales de cuadriláteros – conexidad (ejercicio 11, Grado Tercero)
• paralelas – perpendiculares (ejercicio 8, Grado Cuarto)
• área – perímetro (ejercicio 10, Grado Cuarto y ejercicio 11, Grado 5)
• número de ejes de simetría – número de lados de un polígono regular (ejercicio 1,
Grado Quinto)
• mediatriz – simetría (ejercicio 9.1, Grado Sexto)
• perímetro – área – volumen (ejercicio 21, Grado Sexto)
• área paralelogramo – área rectángulo (actividad 2, Grado Séptimo)
• triángulos semejantes – paralelas (ejercicio 18, Grado Séptimo)
Para ayudar al estudiante en el proceso de pasar de la forma al concepto son recomendables
ejercicios que fijen ciertos parámetros y dejen libres otros. Por ejemplo:
157
• Distintas figuras con perímetro fijo (ejercicio 6, Grado Tercero)
• Distintas áreas con perímetro y base del paralelogramo fijos (ejercicio 4, Grado
Séptimo)
• Distintos volúmenes con área superficial fija (ejercicio 15, Grado Octavo)
3.6.5. Re-construcción del conocimiento
Guiar al estudiante en la búsqueda y el descubrimiento de conceptos permite hacer un
curso más dinámico en el cual el estudiante tiene un papel activo. La sensación de ser capaz de
construir uno mismo el conocimiento da seguridad y le quita a la Geometría la apariencia de
ser una ciencia terminada. El tipo de ejercicios propuestos es la clave para este proceso.
Volvamos al currículo nuevamente.
• Cuando se empieza a hablar de área de triángulos (teniendo claro ya el concepto de
área para rectángulos) no es recomendable empezar por darle al estudiante una
fórmula. El ejercicio 12 de Quinto Grado permite que el estudiante descubra la fórmula
por sí mismo y en vez de sumarla a la lista de cosas que tiene que memorizar para el
examen la encuentre tan natural que la memoria no tenga para qué intervenir.
• La mediatriz como tal se aborda en Sexto Grado, pero el concepto viene creándose
desde Quinto Grado, en el ejercicio 7, y se complementa con el ejercicio 5 de Grado
Sexto. En Noveno se llega a la construcción del círculo circunscrito. El hecho de que
las tres mediatrices de un triángulo se encuentren en un mismo punto es algo que
concluye el estudiante aplicando la definición de mediatriz, no es algo impuesto por el
profesor.
• El alumno aprende a deducir el perímetro de un arco dado el radio y el ángulo al centro
cuando conoce ya el perímetro de la circunferencia (ejercicio 11.1 Grado Noveno),
igualmente para el área de una porción de círculo.
Ejercicios del tipo “encuentre el error” (ejercicio 22, Grado Quinto) o formulaciones
como la expuesta en el ejercicio 2 de Segundo Grado, son recomendables en algunos casos.
Enfrentar al estudiante a las ideas de otros, a corregir, aceptar o rechazar soluciones que no
158
surgieron originalmente de él, ayuda a ampliar su visión del problema, crea en él la curiosidad
de buscar varias soluciones posibles y permite que en el futuro revise objetivamente sus
propias ideas y las pueda confrontar unas con otras.
159
CAPÍTULO 4 CONCLUSIONES
Fue tal vez al entrar a la universidad que me di cuenta de la importancia que la
Geometría había tenido en mi educación. Los procesos de pensamiento que me había
enseñado, la estructura mental que me había proporcionado. En tercer semestre asistí al
curso de “Geometría Euclidiana y No Euclidiana” que me causó una gran impresión pero
me dejó la tristeza de saber a la gran mayoría carente de ideas tan revolucionarias. Tomé
luego algunos cursos de Arte y de Diseño en los que fui testigo de los problemas que
presentaban los estudiantes en construcciones simples o en el manejo de programas 3D.
Pero la enseñanza de la Geometría como una necesidad ha surgido en el último año y
medio en el que he tenido la oportunidad de dictar Cálculo Diferencial y Cálculo Integral a
estudiantes de primeros semestres. Demostrar que una función es par tomando un caso
particular; el terror de memorizar todas las fórmulas trigonométricas sin preocuparse por
entender cómo se deducen unas de otras; creer que las implicaciones son siempre un “sí y
sólo sí”; o el caso del estudiante que tiene que demostrar que los puntos A, B , C y D con
coordenadas dadas forman un cuadrado y se conforma con ubicar los puntos, trazar la
figura y decir “mire, es un cuadrado”; son casos frecuentes que demuestran la falta de
Geometría en la educación escolar. Las dificultades que se presentan en Cálculo Vectorial
para visualizar superficies en el espacio o para imaginar, en Integral, el sólido de
revolución que resulta de rotar una curva alrededor de un determinado eje, podrían evitarse
con un desarrollo de la intuición en el espacio desde temprana edad.
Empecé así mi trabajo de Tesis, pensando en proponer un curso para colegio en el
que se alternaran distintas Geometrías y algunos talleres que permitieran al estudiante
descubrir diferencias axiomáticas. El estudio de la teoría de Van Hiele me obligó a desistir
pronto de ese propósito y me llevó al estudio de temas pedagógicos con los que entendí
que no se trata sólo de decir “enseñemos Geometría” sino de estudiar cuál debe ser la
metodología empleada para enseñarla.
No querer abandonar el objetivo de enseñar Geometrías No Euclidianas, por un lado,
y no querer hacer una propuesta que tuviera como supuesto que en el último año de colegio
160
los estudiantes están preparados para pasar al quinto nivel de Van Hiele, por otro, me llevó
a la elaboración de esta propuesta curricular que resultó ser un tema mucho más amplio de
lo que imaginé al comienzo.
Los últimos meses de trabajo han sido para mí el despertar de la conciencia al mundo
pedagógico. Quedo con la satisfacción de haber propuesto algo que quizás sea útil para la
educación y con el deseo de seguir trabajando más adelante en esto, perfeccionándolo y
depurándolo, ojalá poniéndolo en práctica alguna vez.
Convenciones de notación.
La recta AB: (AB) El segmento AB: [AB] El rayo AB con extremo en A, o la semi-recta AB: [AB)
Con extremo en B: (AB]
Distancia entre A y B: ⏐AB⏐ Rectas l y d paralelas: l // d Rectas l y d perpendiculares: l ⊥ d El ángulo formado entre los rayos AB y AC: ang (BAC) o ang (CAB)
ángulo recto. El punto A de coordenadas a y b: A(a ; b) En una figura dos segmentos que miden lo mismo se marcan con una misma señal. Por ejemplo un triángulo equilátero:
Las aristas no visibles de un sólido aparecen punteadas.
Un cuadrito así marcará el fin de una demostración o en algunos casos el fin de una
construcción.
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![Propuesta Curricular Original[1]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5571f93249795991698f0551/propuesta-curricular-original1.jpg)
