Propostas de Resolução - Abre Horizontes- Porto Editora · cionada do livro. Dependendo da sua extensão, a resolução poderá estar na coluna ou até na página seguinte do PDF

1

CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

Exercícios deMATEMÁTICA 9.° ano

Como utilizar este ficheiro e localizar rapidamente a resolução pretendida?

• Verifique se na Barra de Ferramentasdeste documento existe a “caixa de pes-quisa” do seu Adobe Reader.

Se tal não suceder, active-a, clicando como botão direito do rato e seleccionando aopção pretendida.

• Na “caixa de pesquisa” (Find), digitePág., com o “P” maiúsculo e sem esquecero ponto final, seguido de um espaço e donúmero de página onde se encontra oexercício ou problema do qual pretendeconhecer a resolução.

• Depois de validar a informação,teclando em Enter, surgirá no ecrã apágina do documento PDF com todas asresoluções dos exercícios da página selec-cionada do livro.

Dependendo da sua extensão, a resoluçãopoderá estar na coluna ou até na páginaseguinte do PDF.

Propostas de Resolução

online

Maria Augusta Ferreira NevesAntónio Leite | António Pinto Silva

P

Capítulo 1Opção DDos 25 alunos da turma há quatro que não praticam nenhum des-tes dois desportos.

A percentagem de alunos que não pratica nenhum destes dois des-

portos é = 0,16 = 16% 0 20% .

A afirmação (D) é falsa

Resposta: (B) .

4. Temos que: 15 + 24 + 19 + 30 = 88 .

O grupo de danças de salão é constituído por 88 pessoas dasquais 24 são homens com idade superior a vinte anos.

Número de casos favoráveis: 24

Número de casos possíveis: 88

P = .

A probabilidade de escolher, ao acaso, um elemento do grupo e este

ser um homem com idade superior a vinte anos é .

Resposta: (B) .

5. Podemos considerar que o cubo é composto por três “camadas” de9 cubinhos, sobrepostas verticalmente.

A primeira camada tem 4 cubinhos com 2 faces pintadas.

A segunda camada tem 4 cubinhos com 2 faces pintadas.

A terceira camada tem 4 cubinhos com 2 faces pintadas.

Número de casos favoráveis: 4 + 4 + 4 = 12 Número de casos possíveis: 27

P =

A probabilidade de escolher, ao acaso, um cubinho e este ter apenas

duas faces pintadas é .

Resposta: (C) .

49

1227

=49

311

2488

=311

425

1. Pág. 31Como a moeda não tem memória (o resultado de um lançamentonão depende de lançamentos anteriormente efectuados) no lança-mento seguinte (11.°) há dois acontecimentos possíveis: “sair faceeuropeia” e “sair face nacional”. Como a moeda é equilibrada,estes acontecimentos são equiprováveis sendo, portanto, as

respectivas probabilidades iguais a .

Conclui-se então que a probabilidade de sair face europeia é igual àprobabilidade de sair face nacional.

Resposta: (C) .

2. Como a máquina B não tem qualquer bola amarela então a afirma-ção (A) é falsa.

Em cada uma das máquinas há igual número de bolas de cada corpelo que os acontecimentos em causa são equiprováveis.

Temos assim:

• Máquina A

P (azul) = P (verde) = P (amarela) =

• Máquina B

P (azul) = P (verde) = P (vermelha) =

• Máquina C

P (azul) = P (verde) = P (amarela) = P (vermelha) =

Logo, pode concluir-se que a probabilidade de tirar uma bola ver-melha da máquina B é maior do que a probabilidade de tirar uma

bola vermelha da máquina C .

Resposta: (D) .

3. Opção A Pág. 32

Por observação do diagrama de Venn, ficámos a saber que daturma do 9.° A:

• 8 alunos só praticam natação;

• 10 alunos só praticam futebol;

• 3 alunos praticam ambos os desportos;

• 4 não praticam nenhum destes dois desportos.

Desta forma, temos que: 8 + 10 + 3 + 4 = 25 0 28 .

A turma não tem 28 alunos.

A afirmação (A) é falsa.

Opção B

Os alunos que praticam natação ou futebol são aqueles que ou só prati-cam futebol, ou só praticam natação ou praticam ambos os desportos.

Número de casos favoráveis: 8 + 3 + 10 = 21 " número de alunosque praticam natação ou futebol.

Número de casos possíveis: 25 " número de alunos da turma.

P = = 0,84 = 84%

A afirmação (B) é verdadeira.

Opção C

Os alunos que praticam natação e não praticam futebol são aquelesque só praticam natação.

Dos 25 alunos da turma apenas oito só praticam natação.



P = = 0,32 = 32% 0 44% .

A afirmação (C) é falsa.

825

2125

113>

142

14

13

13

12

2

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 9.° ANOC

EX

M9

© P

orto

Edi

tora

6. Seja x o número de bolas pretas existentes no saco.

Como a probabilidade de tirar, ao acaso, uma bola preta do saco é

então:

Número de casos favoráveis de “tirar bola preta”: x


Logo, x = = 3 . Desta forma, temos que 9 – 3 = 6 .

No saco há 3 bolas pretas e 6 bolas brancas.

Outro processo de resolução

A probabilidade de, ao acaso, tirar do saco uma bola branca é

1 – , ou seja, das bolas são brancas.

Assim, temos que * 9 = = 6 .

No saco há 6 bolas brancas.

Resposta: (C) .

7. Temos que 12 + 9 + 6 + 3 = 30 e 30 – 3 = 27 . Pág. 33

Na prateleira encontram-se 30 iogurtes dos quais 27 não têmsabor de pêssego.



P = = 0,9 = 90%

A probabilidade do iogurte escolhido não ser de pêssego é 90% .

Resposta: (D) .

8. Número de casos favoráveis: 1 " bilhete comprado pela Rita

Número de casos possíveis: 200 " bilhetes feitos e vendidos

P = = 0,005 = 0,5%

A probabilidade da Rita ganhar o prémio é 0,5% .

Resposta: (B) .

9. Seja x o número de bilhetes comprados pela Ana dos 200 bilhe-tes feitos e vendidos.

Como a probabilidade da Ana ganhar o prémio é , temos:

Número de casos favoráveis: x


Logo, x = 200 * = 20 .

A Ana comprou 20 bilhetes.


A Ana comprou dos 200 bilhetes.

200 * = = 20 .

A Ana comprou 20 bilhetes.

Resposta: (D) .

10. Opção A

Por observação da tabela verifica-se que o número de casos possí-veis é 12 e não 10 .

A afirmação (A) é falsa.

Opção B

Número de casos favoráveis: 3 " 2N , 4N e 6N

20010

110

110

110

x200

=1

10

110

1200

2730

=9

10

183

23

23

13=

23

9 * 13

x9=

13

13


P =

A probabilidade de sair número par e face nacional é 0 .

A afirmação (B) é falsa.

Opção C

Número de casos favoráveis: 9 " 1N , 3N , 5N , 1E , 2E ,3E , 4E , 5E e 6E .


P =

A probabilidade de sair número ímpar ou face europeia é .

A afirmação (C) é verdadeira.

Opção D

Número de casos favoráveis: 3 " 2N , 3N e 5N


P =

A probabilidade de sair número primo e face nacional é 0 .

A afirmação (D) é falsa.

Resposta: (C) .

1. Pág. 34Os números não têm memória. É igualmente provável ganhar comuma aposta ou com outra.

Resposta: O Pedro tem igual probabilidade de ganhar com cada umdas apostas apresentadas.

2.

2.1 Caixa A



P =

Caixa B



P =

Resposta: O Pedro deve escolher a caixa A .

2.2 Caixa A



P = ) 0,33

Caixa B



P = ) 0,31

Resposta: O Pedro deve escolher a caixa A .

13>

413

413

13

34>

14

14

34

25

14

312

=14

34

912

=34

13

14

312

=14

3

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 1

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 9.° ANO

CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

2.3 Caixa A



P =

Caixa B



P =

Resposta: É indiferente a escolha da caixa já que é igualmente pro-vável tirar bola azul da caixa A ou da caixa B .

2.4 Caixa A



P = ) 0,33

Caixa B



P = ) 0,36 .

Resposta: O Pedro deve escolher a caixa B .

3. Pág. 35

3.1 Temos que 5 + 8 + 3 + 7 + 3 + 2 = 28 .

A caixa contém 28 lápis dos quais três são castanhos.



P =

Resposta: A probabilidade do Alexandre tirar da caixa um lápis

castanho é .

3.2 A caixa contém 28 lápis dos quais oito são verdes e três são azuis.

Número de casos favoráveis: 8 + 3 = 11


P =

Resposta: A probabilidade do Alexandre tirar da caixa um lápis

verde ou um lápis azul é .

3.3 Tirar um lápis que nem é castanho nem azul é o mesmo que tirarum lápis amarelo, ou verde, ou encarnado ou magenta.

Número de casos favoráveis: 5 + 8 + 7 + 2 = 22


P =

Resposta: A probabilidade do Alexandre tirar da caixa um lápis de

cor nem castanho nem azul é .1114

2228

=1114

1128

1128

328

328

13<

411

411

13

614

=37

37

4.4.1 A roda tem oito sectores dois dos quais com o número 5 .



P =

Resposta: A probabilidade de ter saído o número 5 é .

4.2 Nos 8 sectores são múltiplos de 5 e não de 2 os números 5 e 15 .



P =

Resposta: A probabilidade de ter saído um número múltiplo de 5 e

não múltiplo de 2 é .

5.5.1 O saco contém 10 bolas das quais são verdes , e .



P =

Resposta: A probabilidade de ter saído uma bola verde é .

5.2 A única bola com número par e primo é



P =

Resposta: A probabilidade de ter saído uma bola com número par e

primo é .

5.3 Dos 10 números os divisores de 6 são:

1 , 2 , 3 e 6



P =

Resposta: A probabilidade de ter saído uma bola com número divisor

de 6 é .

5.4 Nas 10 bolas não são azuis nem têm números ímpares as bolascom os números 4 , 6 e 10 .



P =

Resposta: A probabilidade de ter saído uma bola não azul e sem ter

número ímpar é .

5.5 Nas 10 bolas aparecem os quadrados perfeitos 1 (12 = 1) , 4 (22 = 4) e 9 (32 = 9)



P =

Resposta: A probabilidade de ter saído uma bola com um número

que seja quadrado perfeito é .310

310

310

310

25

410

=25

166= 1216

3= 2216

2= 3216

1= 62

110

110

310

310

38

38

14

28=

14

4



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

5.6 Nas 10 bolas têm número par ou cor azul as bolas com números2 , 3 , 4 , 6 , 8 e 10 .



P =

Resposta: A probabilidade de ter saído uma bola com número par

ou cor azul é .

5.7 Trata-se de um acontecimento impossível pois o saco não contémqualquer bola com número maior do que 15 .

Logo, P = 0 .




P = = 0

Resposta: A probabilidade de ter saído uma bola com númeromaior do que 15 é 0 .

5.8 Trata-se de um acontecimento certo pois todas as bolas contidas nosaco têm número inferior a 15 .

Logo, P = 1




P = = 1

Resposta: A probabilidade de ter saído uma bola com número infe-rior a 15 é 1 .

6. Pág. 36

6.1 a) A Inês ganha a bicicleta se o número premiado for 10 , 12 ,14 ou 16 .


Foram feitos e vendidos 300 bilhetes.


P =

Resposta: A probabilidade da Inês ganhar a bicicleta é .

b) O João não ganha a bicicleta se o bilhete premiado for qualquerum dos 300 bilhetes vendidos com excepção dos números 1 ,2 e 3 .

Número de casos favoráveis: 300 – 3 = 297


P =


Se considerarmos o acontecimento

A : “O João ganha a bicicleta”

então, o acontecimento contrário de A é

∑A : “O João não ganha a bicicleta.”

Como P ( ∑A) = 1 – P (A)

então P ( ∑A) = 1 – = 1 – .

Resposta: A probabilidade do João não ganhar a bicicleta é .99100

1100

=99100

3300

297300

=99100

175

4300

=175

1010

010

35

610

=35

6.2 Vamos calcular as probabilidades da Inês e do João ganharem abicicleta.

Inês

A Inês comprou 4 dos 300 bilhetes vendidos.



P (Inês ganhar) =

JoãoO João comprou 3 dos 300 bilhetes vendidos

Número de casos favoráveis: 3 Número de casos possíveis: 300

P (João ganhar) =

Resposta: A Inês tem maior probabilidade de ganhar a bicicleta

porque .

Outro processo de resoluçãoComo a Inês e o João participam no mesmo sorteio, a Inês tem maiorprobabilidade de ganhar porque comprou mais bilhetes que o João.

6.3 Não. A Joana e o João compraram o mesmo número de bilhetes parao sorteio e, por isso, têm igual probabilidade de ganhar a bicicleta.

Outro processoA Joana comprou 3 dos 300 bilhetes vendidos.


P (Joana ganhar) =

Como vimos em 6.2

P (João ganhar) =

Resposta: Não concordo com a Joana porque ambos têm igual pro-babilidade de ganhar a bicicleta.

7.

7.1 Nos 10 cartões aparecem os números primos 17 , 19 e 23 . Logo:



P =

Resposta: A probabilidade do número do cartão que saiu ser um

número primo é .

7.2 Dos 10 cartões, têm algarismos 1 os números 15 , 16 , 17 , 18 ,19 e 21 .


P =

Resposta: A probabilidade do número do cartão que saiu ter um

algarismo igual a 1 é .

7.3 Dos 10 cartões, são divisores de 60 os números 15 e

20 .


P =


divisor de 60 é .15

210

=15

16020

= 3216015

= 42

35

610

=35

310

310

3300

3300

4300

>3

300

3300

4300

5



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

7.4 Dos 10 cartões, são múltiplos de 6 os números 18 (6 * 3 = 18) e24 (6 * 4 = 24).



P =


múltiplo de 6 é .

7.5 Dos 10 cartões, são múltiplos de 2 e não são múltiplos de 5 osnúmeros 16 , 18 , 22 e 24 .



P =

Resposta: A probabilidade do número do cartão que saiu ser múltiplo

de 2 e não ser múltiplo de 5 é .

7.6 Vamos começar por calcular a soma dos algarismos.

Dos 10 resultados obtidos, são múltiplos de 3 :

• 3 (3 * 1 = 3)

• 6 (3 * 2 = 6)

• 9 (3 * 3 = 9)



P =

Resposta: A probabilidade da soma dos algarismos do número do

cartão que saiu ser múltiplo de 3 é .

8. Pág. 37

8.1 Para ajudar na resolução do exercício, vamos construir um dia-grama de Venn.

Seja:

C = {casais que têm um cão}

G = {casais que têm um gato}

16 + 13 = 29

Os 25 casais têm um cão, ou um gato ou um cão e um gato.

29 – 25 = 4

Há 4 casais que têm um cão e um gato.

Resposta: Há 4 casais que têm um cão e um gato.

25

410

=25

25

410

=25

15

210

=15

8.2 Por observação do diagrama de Venn verifica-se que dos 25 casaishá 12 que têm apenas um cão.



P =

Resposta: A probabilidade de um casal ter apenas um cão é .

9.9.1 A palavra OTORRINOLARINGOLOGISTA é constituída por 22

letras, repetindo-se a letra “O” 5 vezes.


Número de casos possíveis: 22 OTORRINOLARINGOLOGISTA

P =

Resposta: A probabilidade do cartão que saiu ter a letra “O” é .

9.2 Nas 22 letras da palavra OTORRINOLARINGOLOGISTA aletra A repete-se 2 vezes e a letra I 3 vezes.



P =


Como “sair letra A” e “sair letra I” são acontecimentos disjuntos,

P (sair letra A ∂ sair letra I) = P (sair letra A) + P (sair letra I) =

= .

Resposta: A probabilidade do cartão que saiu ter a letra A ou a

letra I é .

9.3 Nas 22 letras da palavra OTORRINOLARINGOLOGISTA há12 consoantes.



P =

Resposta: A probabilidade do cartão que saiu ter uma letra que é

consoante é .

9.4 A palavra “NARIZ” é constituída pelas letras A , I , N , R e Z .

Na palavra “OTORRINOLARINGOLOGISTA” a letra “A” apa-rece 2 vezes, a letra “I” aparece 3 vezes, a letra “N” aparece 2vezes, a letra “R” aparece 3 vezes e a letra “Z” não aparece.

Número de casos favoráveis: 2 + 3 + 2 + 3 = 10


P =

Resposta: A probabilidade do cartão que saiu ter uma letra da

palavra “NARIZ” é .511

1022

=511

611

1222

=611

522

222

+3

22=

522

522

522

522

1225

1225

6



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

10.10.1 a) Os resultados obtidos pelo João podem ser representados na

tabela seguinte:



P =

Resposta: A probabilidade do desporto favorito ser moto-

crosse é .

b) Consultemos a tabela da alínea 10.1 a).



P =

Resposta: A probabilidade do colega do João ter como desporto

favorito futebol ou outros é .


Como os acontecimentos:

A : Ter como desporto favorito “futebol”.

B : Ter como desporto favorito “Outros”.

são disjuntos então

P (A ∂ B) = P (A) + P (B) = = =

Resposta: A probabilidade do colega do João ter como desporto

favorito futebol ou outros é .

10.2 a)


P (futebol) = = 0,5 = 50%

A probabilidade de ter como desporto favorito futebol loca-liza-se exactamente no meio da escala.Resposta:

4080

=12

Desporto favorito N.° de alunos

Motocrosse 20

Futebol 40

Andebol 10

Outros 10

Total 80

58

58

5080

4080

+1080

58

5080

=58


Motocrosse 20

Futebol 40

Andebol 10

Outros 10

Total 80

14

2080

=14


Motocrosse 20

Futebol 40

Andebol 10

Outros 10

Total 80

b) Número de casos favoráveis: 10


P (andebol) = = 0,125 = 12,5%

A escala utilizada tem como sub-unidade 0,1 ou 10% .

0,125 = 0,1 + 0,025

0,025 é a quarta parte de 0,1

Resposta:

11. Pág. 38

Para resolver este problema vamos construir uma tabela de duplaentrada.

Os dois números escolhidos são diferentes e, por isso, não apare-cem na tabela os produtos de 1 * 1 , 2 * 2 , 3 * 3 , 4 * 4 , 5 * 5 ,6 * 6 e 10 * 10 .

• Acontecimento “sair produto 30”



P =

• Acontecimento “sair produto 60”



P =

Resposta: Como então é mais provável obter produto

30 que produto 60 .


Na tabela, o produto “30” aparece quatro vezes e o produto“60” aparece apenas duas vezes.

Resposta: Como é possível obter produto 30 mais vezes que pro-duto 60 então é mais provável obter produto 30 que produto 60 .

430

>230

230

430

10,14

= 0,0252


Motocrosse 20

Futebol 40

Andebol 10

Outros 10

Total 80

1080

=18

7



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

12.

12.1 Homens Mulheres|22222| |22222|

12 + 36 + 20 + 42 = 110

Resposta: O ginásio tem 110 clientes.

12.2 a) Dos 110 clientes do ginásio 20 são mulheres menores de 18anos e 42 são mulheres com 18 anos ou mais.



P =

Resposta: A probabilidade do membro seleccionado ser mulher

é .

b) Nos 110 clientes do ginásio há 12 homens e 20 mulheresmenores de 18 anos.



P =

Resposta: A probabilidade de ser menor de 18 anos é .

c) Nos 110 clientes do ginásio há 36 homens com 18 anos oumais.



P =

Resposta: A probabilidade de ser homem com 18 anos ou

mais é .

13. Seja A o acontecimento ”O Pedro perde com o Rui um determi-nado jogo de computador”.

Por definição 0 ≤ P(A) ≤ 1 .

1855

36110

=1855

Menores de18 anos

18 anos ou mais

Homens 12 36

Mulheres 20 42

1655

32110

=1655

Menores de18 anos

18 anos ou mais

Homens 12 36

Mulheres 20 42

3155

62110

=3155

Menores de18 anos

18 anos ou mais

Homens 12 36

Mulheres 20 42

Logo, - e não podem ser o valor da probabilidade em

questão porque não são valores maiores ou iguais a zero e meno-res ou iguais a um.

Por outro lado, sabemos que o Pedro em mais de metade dos diasem que joga com o Rui, esse jogo de computador, perde, ou seja,

P(A) > .

Logo, não pode ser o valor da probabilidade em questão porque

.

O valor correcto é porque < < 1 .

Resposta: Não podem ser resposta à questão colocada – , e

.

14. Pág. 39

14.1 A data de aniversário não tem memória, ou seja, a data de aniver-sário do Pedro não depende da data de aniversário da Maria.

Assim, se o Pedro fizer anos no 1.° dia dos 31 dias do mês deMarço, vem:



P =

Resposta: A probabilidade do Pedro fazer anos no primeiro dia do

mês de Março é .

14.2 A mediana é igual ao valor central ou à média dos dois valorescentrais quando a sequência de valores tiver um número ímpar ouum número par de elementos, respectivamente.

Como a mediana é 4 o valor central é 4 já que de acordo com asequência dada não é possível obter este valor como média deoutros dois valores.

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ? twwwwwwwuwwwwwwwv # twwwwwwuwwwwwwv

12 valor central 12

Há 12 elementos à esquerda e à direita de 4 .

12 + 1 + 12 = 25

Resposta: Para a festa de aniversário da Maria foram convidadas25 pessoas.

131

131

32

13

13

47

12

47

13<

12

13

12

1 - 13< 0 e

32> 12

32

13

8



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

14.3 Para contar o número de casos favoráveis e o número de casospossíveis vamos construir um diagrama de árvore.

Designando a face Europeia por E e a face Nacional por N ,temos:

André



P =

A probabilidade do André vir a entregar a prenda à Maria é .

Carlos



P =

A probabilidade do Carlos vir a entregar a prenda à Maria é .

Bruno



P =

A probabilidade do Bruno vir a entregar a prenda à Maria é .

Resposta: O Carlos é quem tem maior probabilidade de vir a

entregar a prenda à Maria.

O André e o Bruno têm igual probabilidade de o fazer .

15. Pág. 40

15.1 Resposta:

* – 3 – 2 – 1 0 1 2

1 – 3 – 2 – 1 0 1 2

2 – 6 – 4 – 2 0 2 4

3 – 9 – 6 – 3 0 3 6

4 – 12 – 8 – 4 0 4 8

5 – 15 – 10 – 5 0 5 10

6 – 18 – 12 – 6 0 6 12

1P =142

112>

142

14

14

12

24=

12

14

14

15.2 a) A tabela é constituída por 36 elementos.

Repara que para chegar a este valor não era necessário contaros elementos da tabela. Bastava multiplicar o número de resul-tados do dado branco pelo número de resultados do dadopreto: 6 * 6 = 36 .

Por outro lado, verifica-se que na tabela aparecem 18 núme-ros negativos.

Assim,



P =

Resposta: A probabilidade do produto obtido ser negativo é .

b) Na tabela, dos 36 elementos, 6 são zeros.



P =

Resposta: A probabilidade do produto obtido ser zero é .

c) Na tabela, dos 36 elementos há 18 elementos maiores que – 1 .



P =

Resposta: A probabilidade do produto obtido ser um número

maior do que - 1 é .12

1836

=12

* – 3 – 2 – 1 0 1 2

1 – 3 – 2 – 1 0 1 2

2 – 6 – 4 – 2 0 2 4

3 – 9 – 6 – 3 0 3 6

4 – 12 – 8 – 4 0 4 8

5 – 15 – 10 – 5 0 5 10

6 – 18 – 12 – 6 0 6 12

16

636

=16

* – 3 – 2 – 1 0 1 2

1 – 3 – 2 – 1 0 1 2

2 – 6 – 4 – 2 0 2 4

3 – 9 – 6 – 3 0 3 6

4 – 12 – 8 – 4 0 4 8

5 – 15 – 10 – 5 0 5 10

6 – 18 – 12 – 6 0 6 12

12

1836

=12

* – 3 – 2 – 1 0 1 2

1 – 3 – 2 – 1 0 1 2

2 – 6 – 4 – 2 0 2 4

3 – 9 – 6 – 3 0 3 6

4 – 12 – 8 – 4 0 4 8

5 – 15 – 10 – 5 0 5 10

6 – 18 – 12 – 6 0 6 12

9



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

16. Para calcular a probabilidade pedida, vamos recorrer a um dia-grama de árvore.

Designando por B a parte branca dos alvos e por C a partecolorida dos alvos, temos:

Nota: A soma de todas as probabilidades obtidas deve ser igual a 1 .

Quando o Pedro acerta na parte branca de um alvo e na parte colo-rida de outro alvo verificam-se os acontecimentos (B , C) e (C , B) .

Logo, P = .

Resposta: A probabilidade do Pedro acertar com uma seta naparte branca de um alvo e com outra na parte colorida de outro

alvo é .

17. Pág. 41

17.1 a) O octaedro tem 8 faces e somente uma com o número 5 .



P =

Resposta: A probabilidade da face voltada para cima ter o

número 5 é .

b) Nas oito faces, são números múltiplos de três: 3 e 6 (3 * 1 = 3 e 3 * 2 = 6) .



P =

Resposta: A probabilidade da face voltada para cima ter um

número múltiplo de 3 é .14

28=

14

18

18

12

316

+516

=816

=12

316

+516

+3

16+

516

=1616

= 1

Multiplicam-se as probabilidades de

acordo com assequências dos ramos.

Escreve-se asprobabilidades

relativas ao 2.° alvo.

Escreve-se asprobabilidades

relativas ao 1.° alvo.

17.2 a)

b) A tabela é constituída por 64 elementos (8 * 8) . Destes, 36são superiores a 8 .



P =

Resposta: A probabilidade da soma ser superior a 8 é .

c) Dos 64 elementos da tabela, 32 são ímpares.



P =

Repara que ao verificares que metade dos elementos são ímpa-

res podíamos concluir imediatamente que P = .

Resposta: A probabilidade da soma ser um número ímpar é .12

12

3264

=12

+ 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 11 12 13 14 15

8 9 10 11 12 13 14 15 16

916

3664

=916

+ 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 11 12 13 14 15

8 9 10 11 12 13 14 15 16

+ 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 11 12 13 14 15

8 9 10 11 12 13 14 15 16

10



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

d) Dos 64 elementos da tabela 5 são iguais a 12 .



P =

Resposta: A probabilidade da soma ser 12 é .

17.3 Para resolver o problema vamos construir uma tabela de duplaentrada.



P =

Resposta: A probabilidade do produto ser 30 é .

1. Pág. 42Acontecimentos elementares

1.1 a) Como o espaço de resultados é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e P(S) = 1 ,então a soma das probabilidades de todos os acontecimentoselementares de S é 1 :

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1

0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,27 + 0,2 + P(6) = 1

P(6) = 1 – 0,87

P(6) = 0,13

Resposta: A probabilidade de sair a face com o número 6 é0,13 ou 13% .

b) Resposta: É a face com o número 4 porque o valor da probabi-lidade correspondente é o maior que aparece na tabela das pro-babilidades (0,27 > 0,2 > 0,13 > 0,1) .

132

264

=132

* 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2 2 4 6 8 10 12 14 16

3 3 6 9 12 15 18 21 24

4 4 8 12 16 20 24 28 32

5 5 10 15 20 25 30 35 40

6 6 12 18 24 30 36 42 48

7 7 14 21 28 35 42 49 56

8 8 16 24 32 40 48 56 64

564

564

+ 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 11 12 13 14 15

8 9 10 11 12 13 14 15 16

c) Os números primos que aparecem nas 6 faces são 2 , 3 e 5 .

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

Tendo em conta que os acontecimentos “sair 2”, “sair 3” e “sair 5”são disjuntos, dois a dois, então, P(sair 2 ou sair 3 ou sair 5) = P(sair 2) + P(sair 3) + P(sair 5) = 0,1 + 0,2 + 0,2 = 0,5 = 50% .

Resposta: A probabilidade de sair face com um número primo é50% .

d) Nas 6 faces do dado aparecem os seguintes números menoresque 4 : 1 , 2 e 3

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

Tal como na alínea anterior, os acontecimentos “sair 1”, “sair2” e “sair 3” são disjuntos, dois a dois, pelo que

P (sair 1 ou sair 2 ou sair 3) = P(sair 1) + P(sair 2) + P(sair 3) == 0,1 + 0,1 + 0,2 = 0,4 = 40% .

Resposta: A probabilidade de sair face com um número menorque 4 é 40% .

1.2 Trata-se de uma experiência composta em que cada acontecimentoconsiste em lançar um dado duas vezes. Como podemos inferir, osacontecimentos não têm memórias, ou seja, o segundo lançamentonão depende do primeiro lançamento.

Sai a face com o número 5 duas vezes quando no 1.º lançamentosai a face com o número 5 e no 2.° lançamento sai, também, aface com o número 5 .

Probabilidade de sair duas vezes a face com o número 5 é:

P = 0,2 * 0,2 = 0,04 = 4% .

Resposta: A probabilidade de sair duas vezes a face com o número5 é 4% .

1.3 Como vimos na alínea anterior, os acontecimentos não têm memória.

Trata-se de uma experiência composta cujos acontecimentos são(1 , 4) ou (4 , 1) .

Probabilidade de sair face com o número 1 seguida de sair a facecom o número 4 é:

P = 0,1 * 0,27 = 0,027 .

Probabilidade de sair a face com o número 4 seguida de sair a facecom o número 1 é:

P = 0,27 * 0,1 = 0,027 .

Logo, P = 0,027 + 0,027 = 0,054 = 5,4% .

Resposta: A probabilidade de sair a face com o número 1 e a facecom o número 4 é 5,4% .

11



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

2. Pela definição de probabilidade, 0 ≤ P(A) ≤ 1 .

Como o acontecimento não é impossível então P(A) 0 0 .

Por outro lado, como o acontecimento não é certo P(A) 0 1 .

Logo, 0 < P(A) < 1 .

Resposta: (B) .

3. Pág. 43

3.1 Consultando a tabela da Ana, nos 100 lançamentos a bola azulsaiu 46 vezes.

fr (azul) = = 46% .

Resposta: No caso da Ana, a saída de bola azul tem frequênciarelativa 46% .

3.2 A descrição correcta é aquela cujas frequências relativas de sairbolas azul, verde ou amarela sejam iguais ou aproximadamenteiguais às frequências relativas obtidas a partir dos valores regista-dos nas tabelas pela Ana, pelo Rui e pela Inês. Determinemos a fre-quência relativa de sair bola azul correspondente à experiência decada um dos três amigos.

Se calcularmos a probabilidade de “sair bola azul” nas diferentesopções é muito provável que o valor da opção correcta esteja com-preendida entre 40% e 46% , ou próximo deste intervalo.

Opção A


Número de casos possíveis: 46 + 70 + 21 = 137

P(azul) = ) 0,34 = 34%

Opção B



P(azul) = ) 0,33 = 33%

Opção C



P(azul) ) 0,43 = 43%

Opção D



P (azul) = ) 0,31 = 31%

Resposta: A descrição que melhor se adequa à situação existente éa (C) porque é a única cuja probabilidade de sair bola azul estáentre 42% e 46% , o que não acontece com as restantes, cujosvalores estão distantes do intervalo em causa.

1548

3399

46137

Frequência relativa

Ana46–––– = 46%100

Rui40–––– = 40%100

Inês42–––– = 42%100

46100

4.

4.1 A tabela representa todos os acontecimentos elementares dumaexperiência aleatória.

Sejam os acontecimentos:

A : Sair bola verde.

B : Sair bola azul.

C : Sair bola amarela.

Então, P(A) + P(B) + P(C) = 1 .

Logo, 0,1 + 0,7 + P(C) = 1

P(C) = 1 – 0,8

P(C) = 0,2

Resposta:

4.2 Seja x o número total de bolas que há na caixa.

Como P(tirar bola azul) = 0,7 então = 0,7 , sendo:

• Número de casos favoráveis: 42

• Número de casos possíveis: x

Logo, x = = 60

No total, na caixa há 60 bolas das quais 0,1 (10%) são verdes.

Repetindo o procedimento,

P(tirar bola verde) = 0,1

então = 0,1 , sendo:

• Número de casos favoráveis: y

• Número de casos possíveis: 60

Logo, y = 60 * 0,1 = 6

Resposta: Na caixa há 6 bolas verdes.


“Sair bola azul” “Sair bola verde”0,7 = 70% 0,1 = 10%

No saco há 42 bolas azuis correspondentes a 70% do númerototal de bolas.

N.° bolas % 42 –––––– 70 x –––––– 10

x = = 6

Logo, no saco há 6 bolas verdes.

5. Pág. 44

5.1 Resposta:

+ 1 2 3 4

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10

7 8 9 10 11

42 * 1070

y60

420,7

42x

Verde Azul Amarela

0,1 0,7 0,2

12



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

5.2 Dos 16 elementos da tabela 4 são iguais a 8 .Número de casos favoráveis: 4 Número de casos possíveis: 16

P =

Resposta: A probabilidade de obter soma 8 é .

5.3 Dos 16 elementos da tabela só 1 é superior a 10 .



P =

Resposta: A probabilidade de sair soma superior a 10 é .

5.4 Como os acontecimentos não têm memória então o númerosaído na segunda roda não depende do número saído na primeiraroda.

Dos 4 números da roda, são superiores a 5 os números 6 e 7 .

Número de casos favoráveis: 2 4 , 5 , 6 , 7


P =

Resposta: A probabilidade pedida é .

6. Sabendo que as 8 secções correspondem a 100% , temos

Secção % 8 –––––– 100

A : sair azul AZ –––––– 48 " AZ = = 3,84 ) 4

B : sair verde VD –––––– 42 " VD = = 3,36 ) 3

C : sair amarelo AM –––––– 10 " AM = = 0,8 ) 1


Das 8 secções:

• 48% são azuis: 8 * 48% = 3,84 ) 4

• 42% são verdes: 8 * 42% = 3,36 ) 3

• 10% são amarelas: 8 * 10% = 0,8 ) 1

Resposta: Há quatro secções de cor azul,três secções de cor verde e uma secção decor amarela.

8 * 10100

8 * 42100

8 * 48100

12

24=

12

116

116

+ 1 2 3 4

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10

7 8 9 10 11

14

416

=14

+ 1 2 3 4

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10

7 8 9 10 11

7. Pág. 45

7.1 Resposta: De acordo com a noção frequencista de probabilidade(Lei dos grandes números), a frequência relativa de um aconteci-mento tende a aproximar-se da respectiva probabilidade à medidaque o número de repetições da experiência aumenta.

Os resultados da tabela que nos dão maior rigor no cálculo da pro-babilidade de sair uma determinada cor no lançamento do tetrae-dro são os resultados da Adriana uma vez que esta lançou o tetrae-dro mais vezes que qualquer um dos outros.

7.2

7.3 Para que o dado fosse perfeito os acontecimentos “sair azul”, “sairverde”, “sair amarelo” e “sair vermelho” teriam que ser equiprová-veis, ou seja,

fr(azul) ) fr(verde) ) fr(amarela) ) fr(vermelha) ) 25% .

Resposta: Face aos resultados obtidos nas alíneas 7.1 e 7.2 pode-mos concluir que o dado é viciado.

7.4 Tendo em conta as alíneas 7.1 e 7.2,

P(sair cor amarela) ) fr(sair cor amarela) = 16,8% .

Resposta: A probabilidade de sair cor amarela é 16,8% , aproxi-madamente.

8. Pág. 46

8.1

8.2 Das 21 bolas que a caixa contém 11 são azuis.



P =

Resposta: A probabilidade da Ana tirar uma bola azul é .1121

1121

Cor Frequência absoluta Frequência relativa

Azul 101101––––– = 0,404 = 40,4%250

Verde 7777––––– = 0,308 = 30,8%

250

Amarela 4242––––– = 0,168 = 16,8%

250

Vermelha 3030––––– = 0,12 = 12%250

Total 250 100%

13



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

8.3 A probabilidade de retirar uma bola azul é quando a caixa con-

tiver igual número de bolas azuis e bolas vermelhas, sendo tal pos-

sível quando na caixa houver um número par de bolas.

Como o número de bolas na caixa é múltiplo de 3 , as caixaspedidas contêm:

p = p = p = p = p =

Resposta: A probabilidade de retirar uma bola azul é quando acaixa, no total, tem 6 , 12 , 18 , 24 ou 30 bolas.

9. Pág. 47

Como a probabilidade que o Vítor tem de ganhar a calculadoragráfica é 20% então o Vítor comprou 20% dos 120 bilhetesvendidos.

120 * 20% = 24

Resposta: O Vítor comprou 24 bilhetes.


Como a probabilidade do Vítor ganhar a calculadora gráfica é 20%

então, , sendo

Número de casos favoráveis: x


Logo, x = = 24 .

10.

10.1 Seja A o acontecimento “comprar a 1.ª rifa e sair prémio”.

A probabilidade pedida é P( ∑A) , sendo

P( ∑A) = 1 – P(A) ou P(A) = 100% – P(A) .

Assim, P( ∑A) = 100% – 20% = 80% .

Resposta: A probabilidade da professora comprar a primeira rifae esta não ter prémio é 80% .

10.2 Como a probabilidade de um bilhete ter prémio é 20% então20% dos 500 bilhetes vendidos têm prémio.

500 * 20% = 100

Resposta: Há 100 rifas com prémio.

120 * 20100

x120

=20100

12

1530

=12

1224

=12

918

=12

612

=12

36=

12

12


Como a probabilidade de um bilhete ter prémio é 20% então

Sendo,

Número de casos favoráveis: x " número de bilhetes com prémio

Número de casos possíveis: 500 " número de bilhetes vendidos

Logo, x = = 100 .

10.3 Neste caso, os acontecimentos têm memória, isto é, a saída deprémio na segunda rifa depende do resultado da primeira rifa.

Para a segunda rifa, dos 499 bilhetes disponíveis 99 têm prémio.



P = ) 0,1984 = 19,84% < 20% .

Resposta: Na segunda rifa, a probabilidade de ganhar um prémioé menor do que ganhar um prémio na primeira rifa, sabendo queesta tinha prémio.

11. Sabe-se que:

P (António ganhar) = 2P (Bernardo ganhar)

e P (Carlos ganhar) = 3P (António ganhar)

Considerando P (Bernardo ganhar) = x , temos que:

P (António ganhar) = 2x e, por conseguinte

P (Carlos ganhar) = 3 * 2x = 6x = 6P (Bernardo ganhar)

Logo, a probabilidade do Carlos ganhar o computador é seisvezes maior do que a probabilidade do Bernardo o ganhar.

Resposta: (D) .

99499

500 * 20100

x500

=20100

14



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

Capítulo 24. Pág. 64

Para desenhar uma recta é suficiente conhecer dois dos seus pontos,cujas coordenadas são pares ordenados soluções da equação dada.

Vamos começar por resolver a equação em ordem a x ou emordem a y e determinar duas soluções.

Resolução em ordem a x .

§ x - y = 3

§ x = 3 + y

Representação gráfica

Ou

Resolução em ordem a y .

§ – y = 3 - x

§ y = - 3 + x

Representação gráfica

Resposta: (B) .


A partir das representações gráficas obter as coordenadas de doispontos e, de seguida, verificar se o pares ordenados obtidos sãoambos soluções da equação dada.

Opção A

A recta não representa a equação dada.

x y = - 3 + x (x , y)

0 y = - 3 + 0 = - 3 (0 , - 3)

3 y = - 3 + 3 = 0 (3 , 0)

x - y2

=32

x = 3 + y y (x , y)

x = 3 + 0 = 3 y = 0 (3 , 0)

x = 3 + 2 = 5 y = 2 (5 , 2)

x - y2

=32

1. Pág. 63

Vamos substituir os pares ordenados (a , b) na equação. Se obti-vermos uma igualdade numérica verdadeira, o par ordenado é solu-ção da equação.

Resposta: (C) .

2. Representando por x o “peso”, em gramas, de cada laranja e pory o “peso”, em gramas, de cada pêra, temos:

x + x + y = 80 + x

Resposta: (C) .

3. Para determinar soluções de uma equação do 1.° grau com duasincógnitas é conveniente resolvê-la em ordem a uma das incógnitas.

Vamos resolver a equação em ordem a y .

2x + y = 8 + x § y = 8 + x - 2x § y = 8 - x

Sabendo que x e y são números inteiros positivos, temos:

Sendo x e y números inteiros positivos, são soluções da equaçãoos pares ordenados (x , y) :

(1 , 7) ; (2 , 6) ; (3 , 5) ; (4 , 4) ; (5 , 3) ; (6 , 2) e (7 , 1) .

Quando x e y são números inteiros positivos a equação temexactamente sete soluções.

Resposta: (D) .

x y = 8 - x

x = 1x = 2x = 3x = 4x = 5x = 6x = 7x = 8x = 9

y = 8 - 1 = 7 " (1 , 7)y = 8 - 2 = 6 " (2 , 6)y = 8 - 3 = 5 " (3 , 5)y = 8 - 4 = 4 " (4 , 4)y = 8 - 5 = 3 " (5 , 3)y = 8 - 6 = 2 " (6 , 2)y = 8 - 7 = 1 " (7 , 1)y = 8 - 8 = 0 " número inteiro não positivoy = 8 - 9 = - 1 " número inteiro não positivo

2x + y = 80 + x

80g xxx y

Opção a b a - 2b = - 5Valor lógico da

afirmação (verdadeira ou falsa)

Conclusão

A - 1 3- 1 - 2 * 3 = - 5

- 1 - 6 = - 5- 7 = - 5

Afirmação falsa(– 1 , 3) nãoé solução da

equação

B 1 - 31 - 2 * (- 3) = - 5

1 + 6 = - 57 = - 5

Afirmação falsa(1 , – 3) nãoé solução da

equação

C - 3 1- 3 - 2 * 1 = - 5

- 3 - 2 = - 5- 5 = - 5

Afirmação verdadeira

(- 3 , 1) ésolução da equação

D 3 13 - 2 * 1 = - 5

3 - 2 = - 51 = - 5

Afirmação falsa(3 , 1) não é

solução da equação



15

CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

Coordenadasx - y

2=

32

(3 , 0) ; Afirmação verdadeira(3 , 0) é solução da equação

32=

32

3 - 02

=32

(0 , 3) ; - Afirmação falsa(0 , 3) não é solução da equação

32=

32

0 - 32

=32

Opção B

A recta representa a equação dada.

Opção C

A recta não representa a equação dada

Opção D

A recta não representa a equação dada.

Resposta: (B) .

5. A solução do sistema é o par ordenado (x , y) que é simultanea-mente solução das duas equações.

Assim, vamos substituir os pares ordenados (x , y) nas equaçõesdo sistema.

Se obtivermos duas igualdades numéricas para ambas as equações,o par ordenado é solução do sistema.

16

Resposta: (B) .

6. Como o par ordenado (x , y) = (3 , 1) é solução do sistema dadoentão é simultaneamente solução das duas equações.

No sistema, substituindo x por 3 e y por 1 , temos:

Resposta: (A) .

1. Pág. 65

1.1 Como se trata de uma balança em equilíbrio, o “peso” nos pratosda balança é igual.

Assim,

x + x + y = 5 + x 2x + y = 5 + x

Resposta: Por exemplo, a equação 2x + y = 5 + x representa asituação descrita.

1.2 Para determinarmos x temos que na equação 2x + y = 5 + x subs-tituir y por 1 .

2x + 1 = 5 + x2x - x = 5 - 1 x = 4

Resposta: x = 4 quando y = 1 .

1.3 Para determinarmos y temos que na equação 2x + y = 5 + x subs-tituir x por 2 .

2 * 2 + y = 5 + 24 + y = 7 y = 7 - 4 y = 3

Resposta: Quando x = 2 , y = 3 .

1.4 Para facilitar a resolução desta questão, vamos resolver a equaçãoem ordem a y :

2x + y = 5 + x § y = 5 + x - 2x

§

Agora vamos obter os pares ordenados (x , y) em que x e yrepresentam números inteiros positivos.

Resposta: Sendo x e y números inteiros positivos, são soluçõesda equação os pares ordenados (x , y) :

(1 , 4) ; (2 , 3) ; (3 , 2) e (4 , 1) .

2.2.1 a) Num dos pratos da balança temos 580 gramas.

No outro prato da balança temos 5 laranjas e 3 maçãs.

Temos então que:

580 = 5 * 80 + 3 * 60 | | | |" “peso” de uma maçã| | |" 3 maçãs| |" “peso” de uma laranja|" 5 laranjas

Ou seja, 580 g = 580 g " A balança está em equilíbrio.

Em ambos os pratos da balança está um peso de 580 gramas.

Resposta: cada laranja pode “pesar” 80 g e cada maçã “pesar”60 g .

x y = 5 - x

x = 1x = 2x = 3x = 4x = 5x = 6

y = 5 - 1 = 4 " (1 , 4)y = 5 - 2 = 3 " (2 , 3)y = 5 - 3 = 2 " (3 , 2)y = 5 - 4 = 1 " (4 , 1)y = 5 - 5 = 0 " número inteiro não positivoy = 5 - 6 = - 1 " número inteiro não positivo

y = 5 - x

56 * 3 + 5 * 1 = a- 4 * 3 + 1 = b

§ 518 + 5 = a-12 + 1 = b

§ 523 = a-11 = b



Opção x y verificar se (x , y) é solução do sistema52x + y = 93x + 5y = 17

A 3 3(3 , 3) não é solução do sistema porque não é solução dasegunda equação.


Afirmação falsa52 *3+3 =93 *3+5*3 =17

§ 56+3=99+15= 17

§ 59 = 9 24=17

B 4 1(4 , 1) é solução do sistema porque é simultaneamente solu-ção das duas equações.


Afirmação verdadeira52 * 4+1=93 * 4+5*1=17

§ 58+1=912+ 5= 17

§ 59 = 9 17=17

C 1 7(1 , 7) não é solução do sistema porque não é solução dasegunda equação.


Afirmação falsa52 *1+7=93 *1+5*7=17

§ 52+7=93+35= 17

§ 59 = 9 38=17

D23

3

não é solução do sistema porque não é solução da

primeira equação.123

, 32

Afirmação falsa

Afirmação verdadeira52*23+3=9

3*23+5*3=17

§ 543+3=9

2+15=17§ 5

133

=9

17=17

Coordenadasx - y

2=

32

(- 3 , 0) ; - Afirmação falsa(- 3 , 0) não é solução da equação

32=

32

- 3 - 02

=32

(0 , 3) ; - Afirmação falsa(0 , 3) não é solução da equação

32=

32

0 - 32

=32

Coordenadasx - y

2=

32

(3 , 0) (3 , 0) é solução da equação (ver quadro da opção A )

(0 , - 3) ; - Afirmação verdadeira(0 , - 3) é solução da equação

32=

32

0 - (-3)2

=32

Coordenadasx - y

2=

32

(2 , 0) ; Afirmação falsa(2 , 0) não é solução da equação1 =

32

2 - 02

=32

(0 , - 3)(0 , - 3) É solução da equação (ver quadro da opção B )

CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

b) Tendo em conta o processo de resolução na alínea a),

580 = 5 * 71 + 3 * 75 | | | |" “peso” de uma maçã| | |" 3 maçãs| |" “peso” de uma laranja|" 5 laranjas

Ou seja,

580 g = 580 g " A balança está em equilíbrio.

Em ambos os pratos da balança está um peso de 580 gramas.

Resposta: Cada laranja pode “pesar” 71 g e cada maçã “pesar”75 g .

c) Resolvendo de forma análoga, temos:

580 = 5 * 83 + 3 * 55 580 = 580 " A balança está em equilíbrio.

Resposta: Cada laranja pode “pesar” 83 g e cada maçã “pesar”55 g .

d) 580 = 5 * 90 + 3 * 50 580 g 0 600 g " Assim, a balança não estaria em equilíbrio.

Resposta: Não é possível porque a balança não estaria em equi-líbrio (o primeiro prato teria de ter mais 20 gramas).

2.2 Sabemos que 5 laranjas e 3 maçãs “pesam” 580 gramas.Assim,

3 * 45 = 135 " “peso” de 3 maçãs580 - 135 = 445 " “peso” de 5 laranjas445 : 5 = 89 " “peso” de uma laranja

Resposta: Cada laranja pesa 89 g .

2.3

Resposta: Por exemplo: 580 = 5x + 3y .

2.4 Comecemos por resolver a equação em ordem a y :

5x + 3y = 580

§ 3y = 580 - 5x

§ " Equação resolvida em ordem a y .

A representação gráfica da equação é uma recta.

Para a “desenhar” é suficiente conhecer dois dos seus pontos cujascoordenadas são pares ordenados soluções da equação. Assimtemos:

A recta pedida contém os pontos de coordenadas (x , y) = (50 , 110)e (x , y) = (80 , 60) , por exemplo.

y =5803

-5x3

x yxx

xx

y

y500g 80g

Uma representação gráfica da recta é:

Resposta: Como todos os pontos da recta são soluções da equaçãoe como a recta tem uma infinidade de pontos, então a equação temuma infinidade de soluções.

3. Pág. 66

3.1

§ 1 = 3 - x - y § Lembra-te que -

§ y = 3 - x - 1 §

§ y = 2 - x

Resposta: A equação resolvida em ordem a y é y = 2 - x .

3.2 Para desenhar uma recta é suficiente conhecer dois dos seus pon-tos.

A recta contém, por exemplo, os pontos de coordenadas (x , y) = (0 , 2) e (x , y) = (2 , 0) .

Resposta: A equação dada representa-se por:

x y = 2 - x (x , y)

x = 0 y = 2 - 0 = 2 (0 , 2)

x = 2 y = 2 - 2 = 0 (2 , 0)

x + y3

= -x3-

y3

13= 1

(3)-

x + y3

17


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra


x y =5803

-5x3

Solução da equação

x = 50 y = = 110580

3-

5 * 503

=580 - 250

3(50 , 110)

x = 80 y = = 605803

-5 * 80

3=

580 - 4003

(80 , 60)

3.3 a) Substituindo na equação y = 2 - x , x por - 2 , por exemplo,temos:

y = 2 - (-2) y = 2 + 2 y = 4

Logo, quando x = - 2 , y = 4 .

O par ordenado (x , y) = (- 2 , 4) é solução da equação dada,como se pode confirmar na representação gráfica acima.

Resposta: Uma solução que tem x como valor negativo é, porexemplo, (x , y) = (- 2 , 4) .

b) Substituindo na equação y = 2 - x , y por - 3 , por exemplo,temos:

-3 = 2 - xx = 2 + 3x = 5

Logo, quando y = - 3 , x = 5 .

O par ordenado (x , y) = (5 , - 3) é solução da equação dada,como se pode confirmar na representação gráfica acima.

Resposta: Uma solução em que y tem valor negativo é, porexemplo, (x , y) = (5 , - 3) .

c) x y = 2 - x (x , y)

x = 0 y = 2 - 1 = 1 (1 , 1)

x = 0,5 y = 2 - 0,5 = 1,5 (0,5 ; - 1)

… …

O par ordenado (x , y) = (1 , 1) é solução da equação dada,como se pode confirmar na representação gráfica acima.

Resposta: Uma solução que tem x e y como valores positivosé, por exemplo, (x , y) = (1 , 1) .

3.4 Por exemplo, a equação y = x tem só em comum com a equaçãoy = 2 - x a solução (x , y) = (1 , 1) , como se pode ver no quadroou na representação gráfica em baixo.

Outros exemplos: y = 3x - 2 ; y = - x + 2 ; etc.

Resposta: Por exemplo, a equação y = x tem só em comum com aequação dada a solução (x , y) = (1 , 1) .

4.

4.1 Como já vimos, para definir uma recta bastam dois pontos.

No entanto, por um ponto passam uma infinidade de rectas.

Logo, há uma infinidade de rectas que passam pelo o ponto de coorde-nadas (x , y) = (2 , 3) , denominado feixe de rectas.

x y = x y = - x + 2

x = 1 y = 1 y = - 1 + 2 = 1

18


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

raEXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 9.° ANO

4.2 Sabemos que, por exemplo, que2 + 3 = 5

Substituindo 2 por x e 3 por y , temos:x + y = 5

Por outro lado, x + y = 5 § y = 5 - x .

Como já temos o ponto de coordenadas (x , y) = (2 , 3) , bastadeterminar as coordenadas de outro ponto.

A recta também passa pelo ponto de coordenadas (x , y) = (4 , 1) .

Resposta: y = 5 - x é um exemplo de uma equação de uma rectaque passa pelo ponto de coordenadas (x , y) = (2 , 3) .

A respectiva representação gráfica é:

5.

5.1 O terreno inicial tem a forma de um rectângulo.

2(x + 2) + 2y = 2x + 4 + 2y

O terreno inicial tem perímetro p = 2x + 2y + 4

O terreno ao lado tem a forma de um polígono. O seu perímetro éigual à soma das medidas dos comprimentos dos seus lados.

Repara que, no “lado direito” do terreno, a soma dos comprimen-tos dos segmentos de recta “verticais” é x + 2 e, na “parte decima” do terreno, a soma dos comprimentos dos segmentos derecta horizontais é y .

O perímetro do terreno ao lado é igual ao perímetro do rectângulo.Logo, p = 2x + 2y + 4 .

Resposta: Não. O perímetro do terreno inicial é igual ao perímetrodo terreno representado na figura ao lado.

5.2 Como o perímetro do terreno ao lado é 600 metros, então:

2x + 2y + 4 = 600 §

§ 2y = 600 - 4 - 2x § 2y = 596 - 2x §

§ y = 298 - x

Resposta: Uma equação pedida é, por exemplo, y = 298 - x .

x y = 5 - x (x , y)

x = 4 y = 5 - 4 = 1 (4 , 1)

6. Pág. 676.1 Sabemos que cada galinha tem duas patas e cada coelho tem quatro

patas.Vamos, por exemplo, usar uma tabela para representar os dados doproblema.

Do enunciado do problema, deduz-se que: 2x + 4y = 140

Resposta: Uma equação que traduz a situação descrita é 2x + 4y = 140 .

6.2 Para resolver esta questão é necessário obter três soluções daequação 2x + 4y = 140 , tais que x e y são números inteirospositivos.Assim, vamos começar por resolver a equação em ordem a y .

2x + 4y = 140 § 4y = 140 - 2x

§ y =

§

Esta equação tem uma infinidade de soluções, mas tendo em contao enunciado do problema, apenas nos interessam as soluções for-madas por números inteiros positivos.Assim, tem-se:

Resposta: Na quinta poderá haver, por exemplo, 2 galinhas e 34coelhos, 10 galinhas e 30 coelhos ou 40 galinhas e 15 coelhos.

7.

7.1 No sistema, vamos substituir x por 2 e y por 3 .

;

Resposta: Como o par ordenado (2 , 3) é solução da primeira equaçãomas não é solução da segunda equação então não é solução do sistema.

7.2 O problema tem uma infinidade de soluções.Vamos determinar soluções da segunda equação e, posteriormente,averiguar se são soluções da primeira equação.

2x + 3y = 14 § 3y = 14 - 2x

§

Resposta: Por exemplo, o par ordenado (x , y) = (7 , 0) não ésolução do sistema porque apesar de ser solução da segunda equa-ção não é solução da primeira equação.

y =143

-2x3


Afirmação falsa52 + 3 = 52 * 2 + 3 * 3 =14

§ 55 = 513 = 145x + y = 5

2x + 3y = 14

y = 35 -x2

1404

-2x4

Coelhos

Galinhas

y

x

Número

4y

2x

Número de patas

19


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra


x y =143

-2x3

x + y = 5

7 y =

(7 , 0) é solução dasegunda equação

143

-2 * 7

3= 0 7 + 0 = 5 § 7 = 5 " Afirmação falsa

(7 , 0) não é solução da primeira equa-ção

x y = 35 -x2

Solução do problema

1 y = 35 -12= 34,5

Não é solução porque y = 34,5 não énúmero inteiro.

2 y = 35 -22= 34

(2 , 34) " Na quinta há 2 galinhas e34 coelhos.

10 y = 35 -102

= 30(10 , 30) " Na quinta há 10 galinhas

e 30 coelhos.

40 y = 35 -402

= 15(40 , 15) " Na quinta há 40 galinhas

e 15 coelhos.

7.3 Para averiguar se o par ordenado (x , y) = (1 , 4) é solução dosistema vamos substituir x por 1 e y por 4 .

;

Resposta: Como o par ordenado (x , y) = (1 , 4) é solução da pri-meira e segunda equações então é solução do sistema.

8.

8.1 Vamos resolver o sistema através do método de substituição.

Verificação

;

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (x , y) = (2 , 1) .

8.2 Usando o método de substituição, tem-se:

Verificação

;

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (a , b) = (3 , - 1) .


§

Verificação

;

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (a , b) = .


§

Verificação

;

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (x , y) = .


§

Verificação

; §

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (x , y) = .10 , 322


Afirmação verdadeira50 = 03 = 35

2 * 0 = 0

0 + 2 *32= 352x = 0

x + 2y = 3

5x = 0

y =32

52x = 0x + 2y = 3

§ 5x = 00 + 2y = 3

156

, 562


Afirmação verdadeira5 5 *56= 5 -

56

56=

56

§ 5256

=256

56=

56

55y = 5 - xx = y

5y =56

x =56

55y = 5 - xx = y

§ 55y = 5 - yx = y

§ 55y + y = 5x = y

§ 56y = 5x = y

153

, 103 2


Afirmação verdadeira553+

103

= 5

2 *53=

103

§ 5153

= 5

103

=103

5a + b = 52a = b

5 a =53

b = 2a

§ 5 a =53

b = 2 *53

§ 5 a =53

b =103

5a + b = 52a = b

§ 5a + 2a = 5b = 2a

§ 53a = 5b = 2a

§


Afirmação verdadeira53 = 32 * 3 + (- 1) = 5

§ 53 = 36 - 1 = 55a = 3

2a + b = 5

5a = 32a + b = 5

§ 5a = 32 * 3 + b = 5

§ 5a = 3b = 5 - 6

§ 5a = 3b = - 1

Nota: O par ordenado escreve--se pela ordem alfabé-tica das suas incógnitasa não ser que haja indi-cação em contrário.


Afirmação verdadeira52 = 22 + 1 = 35x = 2

x + y = 3

5x = 2x + y = 3

§ 5x = 22 + y = 3

§ 5x = 2y = 3 - 2

§ 5x = 2y = 1


Afirmação verdadeira51 + 4 = 52 * 1 + 3 * 4 = 14

§ 55 = 514 = 145x + y = 5

2x + 3y = 14


Verificação

;

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (s , t) = (1 , - 3) .

9.

9.1

Verificação gráficay = 6 - x y = x

Resposta: O ponto de coordenadas (x , y) = (3 , 3) é o ponto de inter-secção das duas rectas. Logo (x , y) = (3 , 3) é a solução do sistema.

9.2

§

Verificação gráficay = 2x y = 10 - 3x

Resposta: O ponto de coordenadas (x , y) = (2 , 4) é o ponto de inter-secção das duas rectas. Logo, (x , y) = (2 , 4) é a solução do sistema.

x y

23

41

x y

01

02

5y = 2x5x = 10

§ 5y = 2 * 2x = 2

§ 5y = 4x = 2

5y = 2xy = 10 - 3x

§ 5y = 2x2x = 10 - 3x

§ 5y = 2x2x + 3x = 10

§

x y

02

02

x y

06

60

5y = 6 - xy = x

§ 5x = 6 - xy = x

§ 5x + x = 6y = x

§ 5x = 3y = 3


Afirmação verdadeira53 * 1 + (- 3) = 01 - 1 = 0

§ 50 = 00 = 053s + t = 0

s - 1 = 0

53s + t = 0s - 1 = 0

§ 53 * 1 + t = 0s = 1

§ 5t = -3s = 1

20


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito


9.3

§

Verificação gráficay = - 2 - x y = - 5 - 2x

Resposta: O ponto de coordenadas (x , y) = (- 3 , 1) é o ponto deintersecção das duas rectas. Logo, (x , y) = (- 3 , 1) é a soluçãodo sistema.

9.4

Verificação gráfica

x = 3 x + y = 5 § y = 10 - 2x

Repara que, na equação x = 3 , x é sempre igual 3 e y podetomar qualquer valor.

Resposta: O ponto de coordenadas (x , y) = (3 , 4) é o ponto deintersecção das duas rectas. Logo, (x , y) = (3 , 4) é a solução dosistema.

x y

35

40

x y

33

02

12

52x = 6

x +12

y =5§ 5

x =3

3+12

y = 5§ 5

x = 3

12

y =5 - 3§ 5

x = 3

12

y = 2§ 5x =3

y = 4

x y

0- 1

- 5- 3

x y

01

- 2- 3

5y = - 2 - x- x + 2x = -5+ 2

§ 5y = - 2 - (-3)x = -3

§ 5y = - 2 + 3x = -3

§ 5y = 1x = -3

5y + x = - 22x + y = - 5

§ 5y = - 2 - xy = - 5 - 2x

§ 5y = - 2 - x- 2 - x = - 5 - 2x

§10. Pág. 68

10.1 A equação 0x = 5 não tem qualquer solução pois o produto dezero por qualquer número é zero e nunca 5 . Logo, a equação éimpossível.

Resposta: O sistema é impossível (porque a segunda equação éimpossível).

10.2 A equação 0x = 0 tem uma infinidade soluções porque o pro-duto de zero por qualquer número é sempre zero.

Assim,

ou seja, o sistema reduz-se a uma equação e, portanto tem umainfinidade de soluções.

Resposta: O sistema é possível e indeterminado porque tem umainfinidade de soluções.

11.

11.1 Um sistema impossível é representado graficamente por duas rec-tas estritamente paralelas.

Resposta: é um sistema impossível.

11.2 Um sistema possível e indeterminado é representado graficamentepor duas rectas coincidentes (uma única recta).

Resposta: Por exemplo: é um sistema possível e inde-terminado.

11.3 Um sistema possível e determinado é representado graficamentepor duas rectas concorrentes (intersectam-se num ponto).

Resposta: Por exemplo: é um sistema possível e deter-minado.

12. Seja a a expressão correspondente a .

Simplificando o sistema, temos:

Assim:

• Se = 1 § a = 3

O sistema é possível e indeterminado.

• Se 0 1 § a 0 3

O sistema é impossível.

não pode ser simultaneamente igual a 1 e diferentede 1 .

12.1 Tendo em conta as considerações anteriores, o sistema dado épossível e determinado se no lugar de colocarmos x , porexemplo.Assim, temos o sistema:

Sistema possível e determinado.

Resposta: O sistema é possível e determinado se, por exemplo,substituirmos por x .

5x + y = 13x +3y = x

§ 5y = 1- x3x + 3(1- x) = x

§ 5y = 1- x3x + 3 - 3x = x

§ 5y = - 2x = 3

5x + y = 1x + y 0 1

a3

5x + y = 1x + y = 1

§ x + y = 1

a3

§ 5x + y = 1

x + y =a3

5x + y = 13x + 3y = a

5y = - x + 3y = x - 1

5y = x -1y = x - 1

5y = - x + 1y = - x + 3

50x = 0x + y = 1

§ x + y = 1 ,

" Equação impossível (não tem qualquer solução).5x + y = 10x = 5

21


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra


12.2 Resposta: Tendo em conta as considerações anteriores, o sistemadado é impossível se, por exemplo, substituirmos por 1 (ououtro número diferente de 3 ).

12.3 Resposta: Tendo em conta as considerações anteriores, o sistemaé possível e indeterminado se substituirmos por 3 .

13.13.1 Sejam x e y os números pedidos.

De acordo com a informação dada, podemos deduzir que:

"

"

O enunciado do problema é traduzido pelo sistema:

Resolvendo o sistema, vem

§

Verificação

;

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (x , y) = (25 , 12) .

Resposta: Os números pedidos são 12 e 25 .

13.2 Sejam, x e y os números pedidos.

Assim,2x " dobro de um número3y " triplo de outro número4x " quádruplo do primeiro número


"

"


Resolvendo o sistema, vem:

§

Verificação

;


Resposta: Os números pedidos são 2 e 3 .


Afirmação verdadeira52 * 3 + 3 * 2 =122 + 4 * 3 =14

§ 512 =1214 = 1452x + 3y = 12

y + 4x = 14

5x =

-30-10

y = 14 - 4x§ 5x = 3

y = 14 - 4 * 3§ 5x = 3

y = 2

5-10x = 12 - 42y = 14 - 4x

52x + 3(14 - 4x) =12y = 14 - 4x

§ 52x + 42 -12x = 12y = 14 - 4x

52x + 3y = 12y + 4x = 14

y + 4x = 14O segundo mais o quádruplo do primeiro é 14

2x + 3y = 12O dobro de um número mais o triplo de outro é 12


Afirmação verdadeira525 + 12 = 3725 - 12 = 135x + y = 37

x - y = 13

5y = 12x = 13 + 12

§ 5y = 12x = 25

5x + y = 37x - y = 13

§ 513 + y + y = 37x = 13 + y

§ 52y = 24x = 13 + y

§

5x + y = 37x - y = 13

x - y = 13A diferença dos dois números é 13

(admitindoque x é omaiornúmerodos dois)

x + y = 37A soma dos dois números é 37

13.3 Seja a fracção , tal que:

x = numerador ; y = denominador; y 0 0 e y 0 - 1 .


3

3


Resolvendo o sistema, vem (nota que y 0 - 1 e y 0 0 ) :

§

Verificação

;


Resposta: A fracção pedida é .

13.4 Sejam x e y os números pedidos.


"

"



§

§

Verificação:

;

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (x , y) = (57,5 ; 72,5) .

Resposta: Os números pedidos são 57,5 e 72,5 .



557,5 +72,5 =13072,5 = 57,5 + 15

§ 5130 =13072,5 = 72,55x + y = 130

y = x + 15

5 x =1152

y =1152

+ 15§ 5x = 57,5

y = 72,5

5x + x +15 = 130y = x + 15

§ 52x = 130 -15y = x + 15

§ 52x =115y = x +15

5x + y = 130y = x + 15

Admitindo que yé o maior número.

y = x + 15Um número excede o outro em 15 unidades

x + y = 130A soma dos números é 130

23


Afirmação verdadeira52 + 1

3= 1

23 + 1

=12

§ 533= 1

24=

12

5x + 1

y= 1

xy + 1

=12

5y = x +12x - x = 2

§ 5y = 2 +1x = 2

§ 5y = 3x = 2

5x + 1 = y2x = y + 1

§ 5y = x + 12x = x + 1 + 1

5x + 1

y = 1(y)

xy + 1

(2)

=12

(y+1)

xy + 1

=12

A fracção é igual a 12

quando se soma uma unidade ao denominador.

x + 1y

= 1

A fracção é igual a um quando se soma uma unidade aonumerador.

xy

22


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito


14. Pág. 6914.1. a) Como o triângulo é equilátero então as medidas dos compri-

mentos dos lados são iguais.Assim, temos: x + 6 = y + 3 = 3x

Ou seja:


Verificação

Logo, a solução do sistema é o parordenado (x , y) = (3 , 6) .

Resposta: x = 3 e y = 6 .Trata-se de um triângulo equilá-tero cujos lados medem 9 .

b) Como o triângulo é equilátero então as medidas dos compri-mentos dos lados são iguais.

Assim, temos: 5 + 2x = x + 6 = 2x + y

Ou seja:


Verificação

Logo, a solução do sistema é o parordenado (x , y) = (1 , 5) .

Resposta: x = 1e y = 5 .Trata-se de umtriângulo equilá-tero cujos ladosmedem 7 .

14.2 De acordo com a informação dada, sabemos que:

• O perímetro do triângulo é 20 cm " 2x + y = 20

• O lado diferente tem o dobro do comprimento dos outros " y = 2x



Verificação

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (x , y) = (5 , 10).

Resposta: No triângulo isósceles [ABC] , os lados iguais, [AC] e [BC] , medem 5 cm , e o lado diferente, [AB] , mede 10 cm .


Afirmação verdadeira52 * 5 + 10 = 2010 = 2 * 5

§ 520 = 2010 =10

52x + y = 20y = 2x

§ 54x = 20y = 2x

§ 5x = 5y = 2 * 5

§ 5x = 5y = 10

52x + y = 20y = 2x


Afirmação verdadeira55 + 2 * 1 = 1 + 62 * 1 + 5 = 1 + 6

§ 57 = 77 = 7

55 + 2x = x + 62x + y = x + 6

§ 5x = 1x + y = 6

§ 5x = 11 + y = 6

§ 5x = 1y = 5

55 + 2x = x + 62x + y = x + 6


Afirmação verdadeira53 + 6 = 6 + 33 * 3 = 3 + 6

§ 59 = 99 = 9

5x + 6 = y +33x - x = 6

§ 5x + 6 = y + 32x = 6

§ 53 + 6 = y +3x = 3

§ 5y = 6x = 3

5x + 6 = y + 33x = x + 6

14.3 De acordo com a informação dada, sabemos que:

• O ângulo de vértice E tem menos 10° de amplitude que oângulo de vértice D " x = y - 10

• A soma das amplitudes dos ângulos internos é 180° " x + y + 2y - 10 = 180



§

§

Verificação

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (x , y) = (40 , 50).

Resposta: x = 40° e y = 50° .O triângulo [DEF ] é rectângulo.

14.4 a) Um triângulo isósceles tem, pelo menos, dois lados com igualcomprimento e, por conseguinte, tem, pelo menos, dois ângu-los com a mesma amplitude.


"

3



Verificação


Resposta: x = 20º e y = 80º .


Afirmação verdadeira580 = 4 * 204 * 20 + 20 + 80 =180

§ 580 = 80180 =180

5y = 4x4x + x + 4x =180

§ 5y = 4x9x =180

§ 5y = 4 * 20x = 20

§ 5y = 80x = 20

5y = 4x4x + x + y = 180

4x + x + y = 180

A soma das amplitudes dos ângulos internos é 180º

y = 4xOs ângulos que se opõem a lados com igualcomprimento têm a mesma amplitude


Afirmação verdadeira540 = 50 -1040 + 50 + 2 * 50 -10 = 180

§ 540 = 40180 = 180

5x = 50 - 10y = 50

§ 5x = 40y = 50

5x = y -10

y =2004

5x = y -10y -10 + y + 2y -10 =180

§ 5x = y -104y =180 +10 + 10

5x = y -10x + y + 2y - 10 = 180

23


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra


b) Como vimos na alínea anterior, um triângulo isósceles tempelo menos dois ângulos com a mesma amplitude.


3

3



§

§

Verificação


Resposta: x = 50° e y = 30° .

14.5 a) O enunciado do problema é traduzido pelo sistema:


Verificação


Resposta: x = 5 e y = 15 .


Afirmação verdadeira55 +15 = 5 + 152 * 5 + 8 =18

§ 520 = 2018 = 18

5y =152x =18 - 8

§ 5y = 152x =10

§ 5y = 15x = 5

5x + y = x +152x + 8 = 18


Afirmação verdadeira550 = 30 + 2050 + 50 + 30 + 30 + 20 =180

§ 550 = 50180 =180

5x = y + 203y = 90

§ 5x = 30 + 20y = 30

§ 5x = 50y =30

5x = y + 203y = 180 - 20 - 20 -30 - 20

5x = y + 20y + 20 + y + 20 + 30 + y + 20 = 180

5x = y + 20x + x + 30 + y + 20 = 180

x + x + 30 + y + 20 = 180

A soma das amplitudes dos ângulos internos é 180°

x = y + 20

Os ângulos que se opõem a lados com o mesmocomprimento têm a mesma amplitude.

b) O enunciado do problema é traduzido pelo sistema:


§

§

Verificação

§


Resposta: x = 10 e y = 30 .

14.6 Seja:

c = comprimento, em centímetros, do rectângulo;

l = largura, em centímetros, do rectângulo.


"

"



Verificação

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (c , l) = (10 , 5) .

O comprimento mede 10 cm e a largura mede 5 cm .

A área do rectângulo é dada por A = c * l .

Assim, A = 10 * 5 = 50 .

Resposta: A área do rectângulo é igual a 50 cm2 .


Afirmação verdadeira510 = 5 + 52 * 10 + 2 * 5 = 30

§ 510 = 1030 = 30

5c = l + 54l = 20

§ 5c = 5 + 5l = 5

§ 5c = 10l = 5

5c = l + 52(l + 5) + 2l = 30

§ 5c = l + 52l + 10 + 2l = 30

§ 5c = l + 54l = 30 - 10

5c = l + 52c + 2l = 30

2c + 2l = 30O perímetro é 30 cm

c = l + 5O comprimento mede mais 5 cm que a largura


Afirmação verdadeira55 = 510 = 105

102

=306

10 = 30 - 20

5y = 3 *1010 = x

§ 5y =30x =10

53x = yx = 3x - 20

§ 5y = 3x20 = 3x - x

§ 5y = 3x20 = 2x

5x2(3)

=y6(1)

x = y -20

24


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito


15. Seja: Pág. 70

x = número de livros da Helena;

y = número de livros do António


"

"

O enunciado é traduzido pelo sistema:


§

§ §

§

Verificação

Logo, a solução do sistema é o par ordenado é (x , y) = (30 , 20) .

Resposta: A Helena tem 30 livros e o António tem 20 livros.

16. Seja:

s = custo, em euros, de cada sumo;

b = custo, em euros, de cada bolo.


"

"



§ §

§

Verificação

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (b , s) = (1 ; 1,20) .

Resposta: Cada bolo custa 1 euro e cada sumo custa 1,20 euros.


Afirmação verdadeira52 * 1,20 + 4 * 1 = 6,401,20 + 3 * 1 = 4,20

§ 56,40 = 6,404,20 = 4,20

5b = 1s = 4,20 - 3 * 1

§ 5b = 1s = 1,20

5b =

- 2- 2

s = 4,20 - 3b5- 2b = 6,40 - 8,40s = 4,20 -3b

§

52(4,20 - 3b) + 4b = 6,40s = 4,20 - 3b

§ 58,40 - 6b + 4b = 6,40s = 4,20 - 3b

§

52s + 4b = 6,40s + 3b = 4,20

s + 3b = 4,201 sumo e 3 bolos custam 4,20 euros

2s + 4b = 6,402 sumos e 4 bolos custam 6,40 euros


Afirmação verdadeira530 = 20 + 1030 + 20 = 50

§ 530 = 3050 = 50

5x = 30y = 20

5x = y +102y = 40

§ 5x = 20 +10y = 20

5x = y +10x + y =50

§ 5x = y +10y + 10 + y = 50

5x = y + 10x + y = 50

x + y = 50Os dois juntos têm 50 livros

x = y + 10A Helena tem mais 10 livros que o António

17. Seja: n = número de iogurtes naturais;f = número de iogurtes com sabor a frutos.


3

3



Verificação

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (f , n) = (4 , 12) .

Resposta: A Ana comprou 12 iogurtes naturais e 4 iogurtescom sabor a frutos.

18. Seja:x = número de moedas de 5 cêntimos;y = número de moedas de 20 cêntimos.

Assim:5x = quantia em moedas de 5 cêntimos;20y = quantia em moedas de 20 cêntimos


3

"



§

§ §

§

Verificação

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (x , y) = (4 , 6)

Resposta: O Pedro tem quatro moedas de 5 cêntimos e seis moe-das de 20 cêntimos.


Afirmação verdadeira55 * 4 + 20 * 6 = 1404 + 6 = 10

§ 5140 = 14010 = 10

5x = 4y = 10 - 4

§ 5x = 4y = 6

5x =

- 60-15

y = 10 - x5- 15x = 140 - 200y = 10 - x

§

55x + 20(10 - x) = 140y = 10 - x

§ 55x + 200 - 20x = 140y = 10 - x

55x + 20y = 140x + y = 10

x + y = 10Ao todo, tem 10 moedas.

5x + 20y = 140

O Pedro tem 140 cêntimos em moedas de 5 e 20 cêntimos.


Afirmação verdadeira512 + 4 = 1612 = 3 * 4

§ 516 = 1612 = 12

5n + f = 16n = 3f

§ 54f = 16n = 3f

§ 5f = 4n = 3 * 4

§ 5f = 4n = 12

5n + f = 16n = 3f

n = 3f

O número de iogurtes naturais é triplo do número de iogurtescom sabor a frutos.

n + f = 16

A Ana comprou 16 iogurtes, naturais ou com sabor a frutos.

25


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra


19. Seja:x = número de moedas de um cêntimo (número de moedas inicial);y = número de moedas de 10 cêntimos (número de moedas inicial).


3

3



§

§

§

Verificação


100 cêntimos = 1 euro

Resposta: O João tinha um euro em moedas de um cêntimo.

20. Seja:x = número de berlindes do Pedro (saco A ) ;y = número de berlindes do João (saco B ) .

Vamos, por exemplo, usar uma tabela para representar os dadosdo problema.

De acordo com a informação, podemos deduzir que:

3

3

x + 2 = y - 2

Se o João der dois berlindes ao Pedro ficam ambos com omesmo número de berlindes.

y + 4 = 4 (x - 4)

Se o Pedro der quatro berlindes ao João este fica com o quádru-plo dos berlindes do Pedro.

Nossacos

Se o Pedro der aoJoão 4 berlindes

Se o João der aoPedro 2 berlindes

Número de berlindesdo Pedro

x x - 4 x + 2

Número de berlindesdo João

y y + 4 y - 2


Afirmação verdadeira5100 = 10 * 1010 = 100 - 90

§ 5100 = 10010 = 10

5x = 10 * 10y = 10

§ 5x = 100y = 10

5x = 10y90 = 9y

5x = 10y90 = 10y - y

5x = 10yy = 10y - 90

5x = 10yy = x - 90

y = x - 90

No fim, o João ficou com menos 90 moedas do que as quetinha inicialmente.

x = 10y

O número de moedas de 1 cêntimo é 10 vezes superior aonúmero de moedas de 10 cêntimos.



§

§

§

§

Verificação


Resposta: O Pedro tem 8 berlindes e o João tem 12 berlindes.

21. Seja: Pág. 71x = número de fotocópias a cores;y = número de fotocópias a preto e branco.

Então:

0,60x = apuro em fotocópias a cores;

0,10y = apuro em fotocópias a preto e branco.


"

3



§

§ §

§

Verificação


Resposta: Nesse dia foram tiradas 500 fotocópias a cores.


Afirmação verdadeira5500 +1500 = 20000,60 * 500 + 0,10 *1500 = 450

§ 52000 = 2000450 = 450

5y = 2000 - xx = 500

§ 5y = 1500x = 500

5y = 2000 - x

x =2500,5

5y = 2000 - x0,50x = 450 - 200

§

5y = 2000 - x0,60x + 200 - 0,10x = 450

5y = 2000 - x0,60x + 0,10(2000 - x)= 450

5x + y = 20000,60x + 0,10y = 450

0,60x + 0,10y = 450

O apuro total das fotocópias foi 450 euros.

x + y = 2000Num dia foram tiradas 2000 fotocópias.


Afirmação verdadeira512 + 4 = 4(8 - 4)8 + 2 = 12 - 2

§ 516 = 1610 = 10

5y = 4 * 8 - 20x = 8

§ 5y = 12x = 8

5y = 4x - 20x = 4x - 20 - 4

§ 5y = 4x - 20x - 4x = - 24

§

5y = 4x - 20x = y - 4

5y = 4x - 16 - 4x = y - 4

5y + 4 = 4x - 16x = y - 2 - 2

5y + 4 = 4(x - 4)x + 2 = y - 2

26


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito


22. Consideremos a fracção , em que:x = numerador;y = denominador e y 0 0 , y 0 1 e y 0 - 2 .


"

"



§

Verificação


Resposta: A fracção irredutível pedida é .

23.23.1 Se na quinta houvesse só coelhos, teríamos:

cada coelho cada coelho tem 1 cabeça tem 4 patas

40 cabeças 222222" 40 coelhos 222222" 160 patas.40 * 1 40 * 4

Logo, seria impossível haver só coelhos porque, de acordo com oenunciado, no total há 130 patas (160 0 130) .

Se na quinta houvesse só patos, teríamos:cada pato cada pato

tem 1 cabeça tem 2 patas40 cabeças 222222" 40 patos 222222" 80 patas.

40 * 1 40 * 2

Logo, seria impossível haver só patos porque, de acordo com oenunciado, no total há 130 patas (80 0 130) .

Resposta: Na quinta não há só coelhos ou só patos porque nem 40coelhos nem 40 patos têm 130 patas (160 0 130 e 80 0 130) .

23.2 Seja:c = número de coelhos;p = número de patos.

Assim,4c = número de patas dos coelhos (cada coelho tem 4 patas);2p = número de patas dos patos (cada pato tem 2 patas).


"

" c + p = 40No total, os coelhos e os patos têm 40 cabeças

4c + 2p = 130No total, os coelhos e os patos têm 130 patas

37


Afirmação verdadeira53

7 - 1=

12

37 + 2

=13

§ 536=

12

39=

13

§ 512=

12

13=

13

5y = 2 * 3 + 1x = 3

§ 5y = 7x = 3

52x = y - 13x = y + 2

§ 52x + 1 = y3x = 2x + 1 + 2

§ 5y = 2x +13x - 2x = 3

§

5x

y - 1(2)

=12

(y -1)

xy + 2

(3)

=13

(y + 2)

xy + 2

=13

Se ao denominador se adicionar duas unidades 1obtém-se uma fracção equivalente a –– .3

xy - 1

=12

Se ao denominador se subtrair uma unidade 1obtém-se uma fracção equivalente a –– .2

xy



§

§

Verificação

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (c , p) = (25 , 15) .

Resposta: Na quinta há 25 coelhos.

24. Sejam x e y as idades das irmãs.

Vamos usar uma tabela para representar os dados do problema.


"

3


§ § x + y = 13

O sistema reduziu-se a uma equação e, como tal, tem uma infini-dade de soluções.

No entanto, como x e y são números inteiros positivos, temos:

Resposta: O problema tem seis soluções. As irmãs podem ter: 1e 12 anos, 2 e 11 anos, 3 e 10 anos, 4 e 9 anos, 5 e 8anos ou 6 e 7 anos.

As soluçõespara o pro-blema repe-tem-se.

eddfddg

x y = 13 - x Solução do problema

12345678B

12111098765B

(1 , 12) " As irmãs têm 1 e 12 anos.(2 , 11) " As irmãs têm 2 e 11 anos.(3 , 10) " As irmãs têm 3 e 10 anos.(4 , 9) " As irmãs têm 4 e 9 anos.(5 , 8) " As irmãs têm 5 e 8 anos.(6 , 7) " As irmãs têm 6 e 7 anos.(7 , 6) " As irmãs têm 6 e 7 anos.(8 , 5) " As irmãs têm 5 e 8 anos.B

5x + y = 13x + y = 13

5x + y = 13x + 2 + y + 2 = 17

§ 5x + y = 13x + y = 17 - 2 - 2

x + 2 + y + 2 = 17

Daqui a 2 anos, a soma das idades das irmãs será 17 .

x + y = 13A soma das idades das irmãs é 13 .

Idade actual

Idade daqui a 2 anos (+ 2)

Irmã 1 x x + 2

Irmã 2 y y + 2


Afirmação verdadeira54 * 25 + 2 * 15 = 13025 + 15 = 40

§ 5130 = 13040 = 40

5c = 25p = 40 - 25

§ 5c = 25p = 15

52c = 130 - 80p = 40 - c

§ 52c = 50p = 40 - c

54c + 2(40 - c) = 130p = 40 - c

§ 54c + 80 - 2c =130p= 40 - c

54c + 2p = 130c + p = 40

27


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra


25. Seja:x = idade actual da Ana;y = idade actual da Helena.

Vamos usar uma tabela para representar os dados do problema.


"

"



§

Verificação


Resposta: A Helena tem 38 anos.

26. Seja: Pág. 72x = idade actual do Pedro;y = idade actual do João.

Assim:x - 1 = idade do Pedro há um ano;y - 1 = idade do João há um ano;x + 11 = idade do Pedro daqui a 11 anos;y + 11 = idade do João daqui a 11 anos.


"

"



§ §

§ §

§ 5x = 2y -14y - 6y = 30 - 44

§ 5x = 2y -1-2y = -14

§ 5x = 2 * 7 -1y = 7

§ 5x =13y = 7

5x = 2y - 14y + 44 = 3(2y -1) + 33

§ 5x = 2y - 14y + 44 = 6y - 3 + 33

5x = 2y - 2 + 14y + 44 =3x + 335

x - 1 = 2(y - 1)

y(4)+ 11

(4)=

3x4(1)

+334(1)

5x - 1 = 2(y - 1)

y +11 =34

(x +11)

y +11 =34

(x +11)Daqui a 11 anos, a idade do João

3será –– da idade do Pedro.4

x - 1 = 2 (y - 1)Há um ano, a idade do Pedro erao dobro da idade do João.


Afirmação verdadeira538 = 10 + 2810 - 5 + 38 - 5 = 38

§ 538 = 3838 = 38

5y = 10 + 28x = 10

§ 5y = 38x = 10

5y = x + 28x - 5 + x + 28 - 5 = 38

§ 5y = x + 282x = 38 + 5 + 5 - 28

§ 5y = x + 282x = 20

5y = x + 28x - 5 + y - 5 = 38

x - 5 + y - 5 = 38Há 5 anos a soma das idades era 38 .

y = x + 28A Helena tem mais 28 que a Ana.

Idade actual

Idade há 5 anos (- 5)

Ana x x - 5

Helena y y - 5

Verificação

§


Resposta: O Pedro tem 13 anos e o João 7 anos.

27.27.1 Seja:

x = idade do amigo mais velho;y = idade do amigo mais novo.

Assim:y + 10 = idade do amigo mais novo daqui a 10 anos.


3

3

Resposta: O enunciado é traduzido pelo sistema .

27.2 §

§

Verificação

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (x , y) = (0 , - 10) . O sistema é possível e determinado.

27.3 Resposta: Atendendo ao enunciado do problema, a solução éconstituída por números inteiros positivos. Como - 10 e 0 nãosão números inteiros positivos então o problema não tem solu-ção.

28.28.1 Seja:

x = idade da primeira irmã;y = idade da segunda irmã.

Assim:x + 2 = idade da primeira irmã daqui a 2 anos;y + 2 = idade da segunda irmã daqui a 2 anos.


"

3

Resposta: O enunciado do problema é traduzido pelo sistema

.5x + y = 20x + 2 + y + 2 = 24

x + 2 + y + 2 = 24

Daqui a dois anos a soma das suas idades será 24 anos.

x + y = 20A soma das idades das duas irmãs é 20 anos.


Afirmação verdadeira50 - (- 10) = 100 = 2(- 10 + 10)

§ 510 = 100 = 0

5y = -10x = 2 * (-10) + 20

§ 5y = -10x = 0

5x - y =10x = 2(y + 10)

§ 52y + 20 - y = 10x = 2y + 20

§ 5y =10 - 20x = 2y + 20

5x - y = 10x = 2(y + 10)

x = 2 (y + 10)

A idade actual do mais velho é igual ao dobro da idade queo mais novo terá daqui a 10 anos.

x - y = 10

A diferença entre as idades dos dois amigos é 10 anos.


Afirmação verdadeira512 = 1218 = 18513 - 1 = 2(7 - 1)

7 +11 =34

(13 +11)

28


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito


28.2 §

§


§ § x + y = 20

Resposta: Como o sistema se reduz a uma equação então temuma infinidade de soluções.O sistema é possível e indeterminado.

28.3 Como x e y representam números inteiros positivos (idades dasirmãs), temos:

Resposta: Por exemplo, as irmãs podem ter ambas 10 anos, 9 e11 anos ou 8 e 12 anos.

29. x = número de bilhetes a 6 euros; Pág. 73y = número de bilhetes a 10 euros.

Assim:6x = quantia apurada com bilhetes a 6 euros;10y = quantia apurada com bilhetes a 10 euros.

De acordo com a informação, podemos deduzir que:

3

3



§

§ § § §

§

Verificação


Resposta: Foram vendidos 60 bilhetes de 10 euros.

30. Seja:i = número de iogurtes ;s = número de sumos.

Assim:0,70i = custo, em euros, dos iogurtes;0,30s = custo, em euros, dos sumos.


Afirmação verdadeira540 + 60 = 1006 * 40 + 10 * 60 = 840

§ 5100 = 100840 = 840

5x = 40y = 60

5x = 100 - 60y = 605

x = 100 - y

y =2404

5x = 100 - y4y = 840 - 600

5x = 100 - y6(100 - y) + 10y = 840

§ 5x = 100 - y600 - 6y + 10y = 840

5x + y = 1006x + 10y = 840

6x + 10y = 840

Na venda dos 100 bilhetes apurou-se a quantia de 840 euros.

x + y = 100

Num dia foram vendidos 100 bilhetes.

x y = 20 - x Solução do problema

101112

y = 20 - 10 = 10 y = 20 - 11 = 9y = 20 - 12 = 8

(10 , 10) " As irmãs têm ambas 10 anos.(11 , 9) " As irmãs têm 9 e 11 anos.(12 , 8) " As irmãs têm 8 e 12 anos.

5x + y = 20x + y = 205x + y = 20

x+2+ y +2 =24§ 5x + y =20

x+ y =24 - 4

5y = 20 - x0x = 24 - 24

§ 5y = 20 - x0x = 0

§ y = 20 - x

5x + y = 20x + 2 + y + 2 = 24

§ 5y = 20 - xx + 2 + 20 - x + 2 = 24


3

3



§

§

Verificação

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (i , s) = (5 , 8) .

Resposta: A Inês comprou cinco iogurtes.

31.31.1 Resposta: Por exemplo:

“A Inês foi a uma florista onde comprou rosas e tulipas.

Pelas flores pagou, no total, 2,10 euros.

Cada rosa custou 0,10 euros e cada tulipa custou 0,20 euros.

Sabendo que comprou mais três rosas do que tulipas, quantas flo-res de cada tipo comprou?”

31.2

§

§ §

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (x , y) = (9 , 6) .

32. Resposta: Por exemplo:

“A Adriana foi dar de comer a x coelhos e y galinhas.

Contou os animais e verificou que, no total, havia 49 coelhos egalinhas e que estes tinham 132 patas.

Quantos coelhos e galinhas tem a Adriana?”.

1. Pág. 741.1 Na fórmula p = 2 x + 9 , vamos substituir x por 15 .

Assim, temos:

p = 2 * 15 + 9 = 39

Resposta: Quando x = 15 , p = 39 .

1.2 Na fórmula p = 2x + 9 , vamos substituir p por 33 .

Assim, temos:

33 = 2x + 9 § 33 - 9 = 2x § 24 = 2x § x = 12

Resposta: Quando p = 33 , x = 12 .

5x = 3 + 6y = 6

§ 5x = 9y = 65

x = 3 + y

y =1,800,3

5x = 3 + y0,30x + 0,10y + 0,20y = 2,10

§ 5x = 3 + y0,30y = 2,10 - 0,30

5x - y = 30,10x + 0,20y = 2,10

§ 5x = 3 + y0,10(3 + y) + 0,20y = 2,10

§


Afirmação verdadeira50,70 * 5 + 0,30 * 8 = 5,908 = 5 + 3

§ 55,90 = 5,908 = 8

5i = 5,90 - 0,90s = i + 3

§ 5i = 5s = 5 + 3

§ 5i = 5s = 8

50,70i + 0,30(i + 3) = 5,90s = i + 3

§ 50,70i + 0,30i + 0,90 = 5,90s = i + 3

50,70i + 0,30s = 5,90s = i + 3

s = i + 3

A Inês comprou mais 3 sumos do que iogurtes.

0,70i + 0,30s = 5,90

A Inês pagou 5,90 euros pelos sumos e pelos iogurtes.

29


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra


1.3 Como se trata de uma equação do primeiro grau com duas incógni-tas então representa-se graficamente por uma recta.Para “desenhar” uma recta é suficiente conhecer dois dos seus pontos.

Assim, temos:

Resposta: A equação representa-se graficamente por:

Nota: Neste caso, a equação p = 2x + 9 é representada graficamente por um segmento derecta, pois a idade (x) varia de 2 a 18 anos.

1.4 Resposta: Não, já que no momento do nascimento (x = 0) , porexemplo, o peso dos bebés, de acordo com a fórmula, seria aproxi-madamente 9 kg (p = 2 * 0 + 9) , situação essa que só excepcio-nalmente aconteceria.

1.5 §

§

Verificação

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (p , x) = (29 , 10) .

1.6 Por exemplo: “O João sabe que se ao dobro da sua idade actualadicionar 9 anos obtém um valor igual ao seu peso (em kg ) .Também sabe que pode obter o seu peso se ao triplo da idadeactual subtrair um ano. Qual é o peso, em quilogramas, do João?”

2. Pág. 752.1 e = vt

§ vt = e § v = , t 0 0 @ Equação resolvida em ordem a v .

Resposta: A equação pedida é v = , t 0 0 .

2.2 Sabemos que 1 hora = 60 minutos e que 1 minuto = 60 segundos.

Logo, 1 hora corresponde a 3600 segundos. " 60 * 60 = 3600

Assim, usando uma proporção (regra “três simples”), vem:Horas Segundos

1 –––––––– 3600 x =x –––––––– 6


horas = * 3600 segundos = segundos = 6 segundos.

Resposta: Face ao exposto, 6 segundos correspondem a horas.1

600

3600600

1600

1600

1 * 63600

=1

600

et

et


Afirmação verdadeira529 = 2 * 10 + 929 = 3 * 10 - 1

§ 529 = 2929 = 29

5x = 10p = 3 * 10 - 1

§ 5x = 10p = 29

5p = 2x + 9p = 3x - 1

§ 53x - 1 = 2x + 9p = 3x - 1

§ 53x - 2x = 9 + 1p = 3x - 1

x p = 2x + 9 (x , y)

2 p = 2 * 2 + 9 = 13 (2 , 13)

5 p = 2 * 5 + 9 = 19 (5 , 19)

2.3 O movimento descrito pela Ana écircular, de acordo com o esquemada figura ao lado.Uma volta completa dada pelaAna corresponde ao compri-mento de uma circunferência deraio 7,5 metros.

Como o comprimento da circunferência é dado por p = 2pr , temos:r = 7,5p = 2pr

; p = 2p * 7,5 = 15p .

Resposta: Uma volta completa dada pela Ana corresponde a 15pmetros.

2.4 a) Sabemos que:• A velocidade (v) que atinge a cadeira da Ana é dada por

v = , t 0 0 (alínea 2.1) .

• A distância (e) percorrida numa volta completa pela cadeirada Ana é 15p metros (alínea 2.3) , como a unidade utilizadapara a distância é o km então 15p m = 0,015p km .

• À velocidade máxima, a cadeira dá uma volta completa em

6 s = h .

Assim, v = = 0,015p * 600 = 9p ) 28,27

Resposta: A cadeira da Ana atinge a velocidade máxima de 28,27 km/h , aproximadamente.

b) Sabemos que:

v =

Vamos começar por calcular e :

Como estão lado-a-lado, as cadeira da Ana dão uma volta com-pleta ao mesmo tempo.

Assim, t = 6 s = h .

Logo, v = = 0,017p * 600 = 10,2p ) 32,04 .

Resposta: A cadeira da Ana atinge a velocidade máxima de32,04 km/h , aproximadamente.

2.5 Vimos anteriormente que a cadeira da Ana, quando dá uma voltacompleta, percorre 15p m = 0,015p km .

e = 0,015p .

Por outro lado,

Horas Segundos

1 –––––––– 3600 x =x –––––––– 9

Logo, 9 segundos = horas, donde t = .

Assim, v = ; v = = 0,015p * 400 = 6p ) 18,85 .

Resposta: Nestas condições, a cadeira da Ana atinge uma veloci-dade de 18,85 km/h , aproximadamente.

0,015p1

400

et

1400

1400

93600

=1

400

0,017p1

600

1600

e = 2pr

e = 2p * 8,5 = 17p m == 0,017p km

" Distância percorrida pela cadeira da Joana numa volta completa." Tempo que a cadeira da Ana demora a dar uma volta completa.

et

0,015p1

600

1600

et

30


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito


Capítulo 3Opção B

Quando x aumenta, y diminui (já que se trata de uma recta comdeclive negativo).A afirmação é falsa.

Opção C

A afirmação é falsa porque a representação gráfica de uma propor-cionalidade inversa é uma hipérbole e não uma recta.

Opção D

f (0) = 3 , conforme se pode observar na representação gráfica.

Resposta: (D) .

5. Pág. 84Vamos começar por representar as coordenadas dos pontos assina-lados na representação gráfica de g numa tabela:

Como - 2 * (– 1) = - 1 * (– 2) = 1 * 2 = 2 * 1 = 2

então as variáveis x e y são inversamente proporcionais.

Logo, g é uma função de proporcionalidade inversa de constantek = 2 .

Assim, sendo as funções de proporcionalidade inversa do tipo y =(k 0 0 e x 0 0) , temos:

g(x) = , x 0 0 .

Resposta: (C) .

6. As funções da proporcionalidade inversa são do tipo:

y = (k 0 0 e x 0 0) .

Como y = - § y =

então i (x) = - , x 0 0 é uma função de proporcionalidade inversa

de constante k = - p .

Resposta: (D) .

7. Sabemos que:

• Numa proporcionalidade inversa, o produto de dois quaisquer valorescorrespondentes das duas variáveis é constante.

• Numa proporcionalidade directa, o quociente entre dois quais-quer valores correspondentes das duas variáveis é constante equando uma é nula a outra também é nula.

Opção A

= 1,5 ; = 1,5 ; = 1,5 @

Opção B

= - 2 ; = - 2 @

Quando x = 0 , y = 0

Opção C

0,5 * 12 = 6 ; 1 * 6 = 6 ; 1,5 * 4 = 6 @

Opção D

= 6 ; = 6 ; = 5,66… @

1,1 * 6,6 = 7,26 ; 2,2 * 13,2 = 29,04 .

Resposta: (D) .

Nem o quociente nem o produto éconstante.Nem é proporcionalidade directanem é proporcionalidade inversa.

173

13,22,2

6,61,1

O produto é constante.É proporcionalidade inversa.

O quociente é constante e quando x = 0 , y = 0 .É proporcionalidade directa.

- 21

2-1

O quociente é constante.É proporcionalidade directa.

10,55

7,55

32

px

- px

px

kx

2x

kx

x – 2 – 1 1 2

y – 1 – 2 2 1

1. Sabemos que: Pág. 83e = vt

Logo, para o mesmo espaço e , o tempo t é inversamente propor-cional à velocidade v .

Quando e = 30 km e v = 20 km/h , temos:

30 = 20t § t = § t = 1,5 (h)

Quando e = 30 km e v = 25 km/h , temos:

30 = 25t § t = § t = 1,2 (h)

A diferença de tempo é 1,5 h - 1,2 h = 0,3 h

0,3 h = 0,3 * 60 min = 18 min ou 1 h –––––––– 60 min0,3 h –––––––– x min

x = 0,3 * 60 = 18

A uma velocidade de 25 km/h demoraria menos 18 minutos.

Resposta: (B) .

2. Vamos, por exemplo, organizar os dados numa tabela:

Tratando-se do mesmo recipiente, as variáveis são inversamenteproporcionais.

4 * 20 = 80 " 80 cl é a capacidade do recipiente. ou

80 : 50 = 1,6 " 1,6 min é o tempo de enchimento. 50x = 4 * 20

x =

x = 1,6

Se a torneira deitasse 50 cl por minuto, o tempo que levaria aencher o recipiente seria de 1,6 minutos.

Resposta: (D) .

3. A quantidade de queijo e o número de calorias são directamenteproporcionais (quanto maior for a quantidade de queijo maior é onúmero de calorias, aumentando ambos na mesma proporção).

Vamos organizar os dados numa tabela:

0,8 kg = 800 g

Proporção ou Regra “três simples”

Logo, § 70 –––––––– 20

§ x = §x –––––––– 800

§ x = 2800 x = = 2800

A quantidade de queijo que a Joana comprou tem 2800 calorias.

Resposta: (A) .

4. Opção A

Por observação do gráfico, verificamos que a imagem de 3 é 0 .A afirmação é falsa.

70 * 80020

800 * 7020

7020

=x

800

Quantidade de queijo(em g ) 20 800

Número de calorias (em cal ) 70 x

8050

Tempo de enchimento(em min)

4 x

Caudal da torneira (em cl/min)

20 50

3025

3020


31

CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra


8. Pág. 85

Resposta: (A) .

9. A representação gráfica pretendida é aquela cuja recta contém doispontos que são soluções da equação y = - x + 1 .

O ponto de coordenadas (0 , 1) é comum a todas as representa-ções gráficas e é solução da equação (1 = - 0 + 1) . Vejamos osrestantes pontos:

Opção A y = - x + 1(1 , 0) 0 = - 1 + 1

0 = 0

Opção B(1 , - 1) – 1 = - 1 + 1

– 1 = 0

Opção C(– 1 , 0) 0 = - (– 1) + 1

0 = 2

Opção D(2 , 0) 0 = - 2 + 1

0 = - 1

Resposta: (A) .

10. Uma função de proporcionalidade inversa é do tipo Pág. 86

y = (k = constante não nula e x 0 0) .

Da representação gráfica, temos:(1 , 2) (2 , 1)

3 3

Logo, k = 2

A função de proporcionalidade é y = , x 0 0 .

Resposta: (D) .

11. Opção A (3 , 2) (2 , 3)

3 3

O quociente não é constante

Logo, f não é função de proporcionalidade directa.

A afirmação é falsa.

Opção B

f não pode ter dois pontos com a mesma abcissa. Como o gráficode f contém o ponto de coordenadas (x , y) = (3 , 2) não podeconter o ponto de coordenadas (x , y) = (3 , 3) .

230

32

x 3 2

y 2 3

2x

1 * 2 = 2

2 * 1 = 2

x 1 2

y 2 1

kx

Afirmação falsa. (2 , 0) não é solução da equação.A representação gráfica não corresponde à função dada.

Afirmação falsa. (- 1 , 0) não é solução da equação.A representação gráfica não corresponde à função dada.

Afirmação falsa. (1 , - 1) não é solução da equação.A representação gráfica não corresponde à função dada.

Afirmação verdadeira. (1 , 0) é solução da equação.A representação gráfica corresponde à função dada.

Gráfico Interpretação do gráfico

A O nível de poluição aumenta a um ritmo cada vez mais lento.

B O nível de poluição diminui a um ritmo constante.

C O nível de poluição aumenta a um ritmo cada vez mais rápido.

D O nível de poluição aumenta a um ritmo constante.

Opção C

Como 3 * 2 = 2 * 3 = 6 , f pode ser uma função de proporcio-nalidade inversa de constante 6 , representada graficamente poruma hipérbole.

Opção D

f (3) = 2 * 3 + 1 = 7 , logo, é diferente de 2 .

f (2) = 2 * 2 + 1 = 5 , logo, é diferente de 3 .

Resposta: (C) .

12. (A) Afirmação falsa.

Uma relação de proporcionalidade directa é representada poruma recta que passa na origem.

(B) Afirmação falsa.

O gráfico contém o ponto de coordenadas (0 , 1) . Significa que àsuperfície da água a pressão a que o corpo está sujeito é de 1 atm .

(C) Afirmação verdadeira.

A recta de equação y = + 1 contém a semi-recta representadana figura.

Por exemplo, (x , y) = (10 , 2) é ponto da recta e solução da

equação: 2 = + 1 .

Também, por exemplo, (x , y) = (20 , 3) é ponto da recta e solu-

ção da equação: 3 = + 1 .

(D) Afirmação falsa

Se a profundidade é 25 metros a pressão seria de 3,5 atmosfe-ras e não 4 .

Resposta: (C) .

13. Trata-se de uma relação de proporcionalidade directa. Pág. 87

‚M

* 1,36

A constante de proporcionalidade directa é = 1,36 .

Resposta: (D) .

14.14.1 1.a etapa: L = 20 - 16 = 4 .

2.a etapa: consultando o gráfico, L+ = 1,4 .

3.a etapa: 20 + 1,5 = 21,4 .

Quando os dois estão a tocar ao mesmo tempo, o nível sonororesultante é 21,4 dB .

Resposta: (C) .

14.2 (A) Afirmação falsa.A representação gráfica contém o ponto de coordenadas (0 , 3) .Nenhum dos valores das variáveis duma função de proporcionali-dade inversa pode ser nulo.

(B) Afirmação verdadeira.Consultando a representação verifica-se que, quando L = 20 , oacréscimo, L+ , é aproximadamente zero.

(C) Afirmação falsa.Quando os níveis sonoros das duas fontes são iguais, L = 0 econsultando a representação gráfica temos que L+ = 3 .

(D) Afirmação falsa.Verifica-se que, quando L aumenta L+ diminui.

Resposta: (B) .

136100

Potência em kW 100 1 20 150 1,36

Potência em cv 136 1,36 27,2 204 1,8496

2010

1010

x10

32


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito


1. Pág. 881.1 a) Quando uma variável aumenta a outra diminui.

Vamos averiguar se existe uma relação de proporcionalidadeinversa.

3 * 40 = 120 ; 5 * 24 = 120 ; 8 * 15 = 120 ; 10 * 12 = 120 ;12 * 10 = 120

O produto entre os valores correspondentes das duas variáveis éconstante.

Resposta: Há uma relação de proporcionalidade inversa deconstante k = 120 .

b) Quando uma variável aumenta a outra diminui.

Vamos averiguar se existe uma relação de proporcionalidadeinversa.

10 * 30 = 300 ; 15 * 20 = 300 ; 20 * 15 = 300 ; 25 * 12 = 300 ;30 * 10 = 300


Resposta: Há uma relação de proporcionalidade inversa deconstante k = 300 .

c) Quando uma variável aumenta a outra também aumenta.

Vamos averiguar se existe uma relação de proporcionalidadedirecta.

= 0,2 ; = 0,2 ; = 0,2 ; = 0,2

O quociente entre os valores correspondentes das duas variáreisé constante.

Resposta: Há uma relação de proporcionalidade directa deconstante k = 0,2 .

1.2 a)

| |" = 0,2 ||"

b)

| |"||" = 1

1.3 a)

| | |" 1 * 3 = 3| |" 0,5 * 3 = 1,5|" 0,2 * 3 = 0,6

b)

| | |" 10 * 0,1 = 1| |" 0,1 * 0,1 = 0,01|" 0,01 * 0,1 = 0,001

A constante de propor-cionalidade inversa é:

k = 0,1 : 1 = 0,1

‚M

* 0,1x 0,01 0,1 1 10

y 0,001 0,01 0,1 1

‚M

* 3x 0,2 0,5 0,8 1

y 0,6 1,5 2,4 3

11

13

0,21,2

=2

12=

16

0,21

60300

50250

40200

20100

1.4 a)

Seja x o valor em falta.

Verifica-se que:

• Quando um variável aumenta a outra também aumenta.Logo, não existe uma relação de proporcionalidade inversa.

•

Para que não exista uma relação de proporcionalidade directa

0 3 .

Logo, x 0 6 (7 , por exemplo).

Nota que, quando uma das variáveis aumenta e diminui simulta-neamente enquanto a outra só aumenta ou só diminui, nãoexiste proporcionalidade directa nem proporcionalidade inversa.O valor em falta poderia ser, por exemplo, 1 .

b)

|" Tendo em conta o que foi referido em a) .

2. Pág. 892.1 O valor a pagar por cada amiga obtém-se dividindo 840 euros

pelo número de amigas que vão arrendar a casa.

Resposta:

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2.2 Sabe-se que 3 * 280 = 4 * 210 = … 12 * 70 = 840 .

Logo, o produto entre os valores correspondentes das duas variá-veis é constante (k = 840) .

Então:x * p = 840

Resolvendo em ordem a p , vem:

p = , x 0 0

Resposta: A equação pedida é p = , 3 ≤ x ≤ 12 e x å N . 840

x

840x

84012

84011

84010

8409

8408

8407

8406

8405

8404

8403

Número deamigos 10 20 30

Custo dobilhete (Æ) 2 1 3

p.e.

18x

62=

124

= 3

Número de ovos 6 12 18

Custo (Æ) 2 4 7

33



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

x 1,2 0,4 1 20

y 16

0,5 0,2 0,01

" = 20 0,20,01

A constante de propor-cionalidade inversa é:

k = 0,4 * 0,5 = 0,2

x 1 3 5 2

y 1 13

0,2 0,5

Número deamigas (x) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Preço do alu-guer da casapara cadaamiga (p)

280 210 168 140 120 105 2803

84 84011

70

" = 2 1

0,5A constante de propor-cionalidade inversa é:

k = 5 * 0,2 = 1

A constante de propor-cionalidade directa é:

k = = 3 2,40,8

2.3 Recorrendo à tabela da alínea 2.1, temos:

Características principais:

• Uma vez que x e p representam números positivos, quandouma variável aumenta a outra diminui na mesma proporção.

• O gráfico é parte de uma hipérbole.

3.

3.1 O espaço percorrido (e) é directamente proporcional à velocidade(v) e ao tempo (t) .

e = vt

Como o ciclista percorreu 45 km , temos:vt = 45

Então:

Resposta:

3.2 As variáveis são inversamente proporcionais e a constante de pro-porcionalidade é 45 .

Resposta: t = , v 0 0 .

3.3 Resposta:

45v

Tempo t em horas 1,5 2,25 4,5 9

Velocidade média v em km/h 30 20 10 5

455

4510

4520

4530

4. Pág. 904.1 Esta questão resolve-se recorrendo ao Teorema de Pitágoras.

Para calcular a distância entre os dois barcos é necessário, previa-mente, calcular as distâncias por estes percorrida desde a marina,nos períodos de tempo indicados na tabela.

Assim, temos:

Resposta:

4.2 Como vimos, as variáveis d e t são directamente proporcionais ea constante de proporcionalidade é k = 13 .

A função de proporcionalidade directa é do tipo d = kt .

Resposta: Logo, d = 13t , com d , em km e t , em horas.

4.3 Sabemos que:

• d = 13t

• t = 1 h 45 min = 1,75 h

Substituindo t por 1,75 , vem:

d = 13 * 1,75 = 22,75 .

Resposta: A distância entre os barcos 1 h 45 min após a partida é22,75 km .

5.5.1 Temos que:

x = 0 " Prémio = 0 euros " Vencimento = 1000 + 0 = 1000





Resposta:

Número de artigosvendidos (x) 0 1 2 3 4

Salário 1000 1100 1200 1300 1400

Tempo após apartida 15 min 30 min 45 min 60 min

Distância entreos barcos (km) 3,25 6,5 9,75 13

34



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

Tempoapós apartida

(t)

Distância percorridapelos barcos: d = vt Esquema

Distância entre os dois barcos

(em km)v = 5 km/h v =12 km/h

15 min =

= h =

= 0,25 h

1560

5 * 0,25 == 1,25

12 * 0,25 == 3

d2 = 32 + (1,25)2

d2 = 10,5625

d = 3,25

30 min =

= h =

= 0,5 h

3060

5 * 0,5 == 2,5

12 * 0,5 == 6

d2 = 62 + (2,5)2

d2 = 42,25

d = 6,5

45 min =

= h =

= 0,75 h

4560

5 * 0,75 == 3,75

12 * 0,75 == 9

d2 = 92 + (3,75)2

d2 = 95,0625

d = 9,75

60 min == 1 h

5 * 1 = 512 * 1 == 12

d2 = 122 + 52

d2 = 169

d = 13

5.2

5.3 Não. Numa relação de proporcionalidade directa, quando uma dasvariáveis toma o valor zero, o valor correspondente da outra variá-vel é, também, zero, o que não acontece neste caso (0 1 1000) .Graficamente, uma função de proporcionalidade directa é represen-tada por uma recta que passa na origem do referencial, o que nãoacontece neste caso.

Também poderíamos verificar que o quociente entre os valores cor-respondentes das duas variáveis não é constante. Por exemplo,

= 1100

1100 0 600= 600

6. Pág. 916.1 A constante de proporcionalidade inversa é:

k = 20 * 143,7 = 2874 .

Os valores em falta obtêm-se dividindo 2874 pelo valor corres-pondente que aparece na tabela.

= 50 ; = 71,85 ; = 75

Resposta:

6.2 A função de proporcionalidade inversa é do tipo v = , sendo ka constante de proporcionalidade, com k 0 0 e p 0 0 .

Resposta: A expressão pedida é v = , p 0 0 .

7.

7.1 Resposta:

7.2 1 * 8 = 81,6 * 5 = 82 * 4 = 84 * 2 = 85 * 1,6 = 8 O produto dos valores correspondentes é 8 * 1 = 8 constante e igual a 8 .

Resposta: Como o produto entre os valores correspondentes dasduas variáveis é constante então x e y são inversamente propor-cionais e a constante de proporcionalidade é 8 .

x 1 1,6 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1,6 1

2874p

kp

Volume, v , em cm3 20 50 40 75

Pressão, p , em cm ,de mercúrio 143,7 57,48 71,85 38,32

287438,32

287440

287457,48

12002

11001

7.3 1.° processo de resolução

Sendo x * y = 8

Temos que:x * y = 8 § y = , x 0 0 .

2.° processo de resolução

A função pedida é do tipo y = , x 0 0 .

Como k = 8, temos:

y = , x 0 0 .

Resposta: A função pedida é y = , x 0 0 .

7.4 1.° processo

Substituindo x por 16 na função y = , x 0 0 , vem

y = = 0,5 .

2.° processo

Como x * y = 8 , quando x = 16 , temos:

16y = 8 § y = § y = 0,5 .

Resposta: Quando x = 16 , y = 0,5 .

7.5 Por exemplo: Na sua bicicleta, o João percorre 8 km para fazer opercurso casa-escola.

Escreve uma equação que traduza esta situação.

8. Pág. 92

8.1 f (1) = = 3 ;

f (2) = = 2 ;

f (3) = ;

f (4) = ;

f (5) = = 1 .

Resposta: f (1) = 3 ; f (2) = 2 ; f (3) = ; f (4) = e f (5) = 1 .

8.2 Tendo em conta os resultados da alínea 8.1, obtemos as coordena-das dos seguintes pontos:

(1 , 3) ; (2 , 2) ; ; e (5 , 1) .

Com estas coordenadas, podemos inferir a representação gráficapedida.

Resposta:

14 , 65213 ,

322

65

32

65 + 1

=66

64 + 1

=65

63 + 1

=64=

32

62 + 1

=63

61 + 1

=62

816

816

=12

8x

8x

8x

kx

8x

35



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

8.3 (A) Afirmação falsa.O produto entre os valores correspondentes das duas variáveis nãoé constante: 1 * 3 0 2 * 2 , por exemplo.

(B) Afirmação verdadeira.Como se pode visualizar na representação gráfica, quando xaumenta y diminui.

(C) Afirmação falsa.

(D) Afirmação falsa: f (12) = .

Resposta: (B) .

9.9.1 A área, A , de um rectângulo é dada por

A = comprimento * largura.

Tendo em conta que A = 20 , vem: x * y = 20 § y = , x 0 0 .

Resposta: Por exemplo, y = , x 0 0 .

9.2 1.° processo

y = , x 0 0 é uma função de proporcionalidade inversa de cons-

tante 20 .

2.° processo

O produto entre os valores correspondentes das duas variáveis éconstante: xy = 20 .

Resposta: As variáveis x e y são inversamente proporcionais.

9.3 Vamos construir uma tabela:

A representação gráfica pedida é:

Resposta: Os rectângulos podem ter dimensões: 1 cm * 20 cm ; 2 cm * 10 cm e 4 cm * 5 cm , por exemplo.

9.4 Num quadrado, x = y .

Temos então:

x * y = 20 § x * x = 20 § x2 = 20 .

Logo, x = , pois x > 0 ,

Resposta: Pode. Quando a medida do lado é cm .œ20

œ20

x 1 2 4 5 10 20

y 20 10 5 4 2 1

(x , y) (1 , 20) (2 , 10) (4 , 5) (5 , 4) (10 , 2) (20 , 1)

20x

20x

20x

612 + 1

=6

130

12

10. Pág. 9310.1. a) Para efectuar a obra em menos dias são necessários mais ope-

rários. Trata-se de uma situação de proporcionalidade inversa.

1.° processox * 1 = 7 * 21x = 147

2.° processoA constante de proporcionalidade é k = 7 * 21 = 147

x = = 147

Resposta: Para efectuar a obra num dia seriam necessários147 operários.

b) Como vimos na alínea anterior, para efectuar a obra num dia(8 h) são necessários 147 operários.

Como o produto entre os valores correspondentes das duasvariáveis é constante, temos:25 * y = 147 * 8

y =

y = 47,04

Resposta: Com 25 operários a obra durou 47 horas, apro-ximadamente.

10.2 Para construir a ponte em menos dias serão necessários mais ope-rários. Trata-se de uma situação de proporcionalidade inversa.


Logo, temos:

60x = 200 * 90 ou 200 * 90 = 1800

60x = 18 000 18 000 : 60 = 300

x =

x = 300

Resposta: Para construir a ponte em 60 dias seriam necessários300 operários.

10.3 a) Quanto menor for o comprimento de cada uma das partescortadas maior é o número de partes em que a fita pode sercortada.

Trata-se de uma situação de proporcionalidade inversa.

Quando uma quantidade diminui a outra aumenta na mesmaproporção.

Neste caso, o comprimento de cada parte passou para metade

. Logo, o número de partes em que a fita pode ser

cortada é o dobro: 2 * 12 = 24 .

Repara que 3 * 12 = 1,5 * 24 = 3 .

Resposta: Se cada parte medir 1,5 m , podemos dividir o rolode fita em 24 partes iguais.

132= 1,52

18 00060

Número de operários 200 x

Duração da construção, em dias 90 60

117625

Número de operários 147 25

Duração da obra, em horas 8 y

1471

Número de operários 7 x

Duração da obra, em dias 21 1

36



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

b) Como vimos na alínea a), trata-se de uma situação de propor-cionalidade inversa.

Como o produto entre os valores correspondentes das duasvariáveis é constante, temos:

15x = 3 * 12

§ x = = 2,4

Resposta: Se dividirmos o rolo em 15 partes, cada partemede 2,4 m .

10.4

k = 150 * 70 = 10 500

Como a constante de proporcionalidade inversa é k = 10 500 ,temos:

y = = 60

Resposta: Para que uma corda que vibra produza uma frequência de175 Hz , a corda deve ter comprimento 60 cm .

10.5 a) Quanto maior for o comprimento do cabo, maior é o seu pesoe maior é o seu custo.

Trata-se de uma situação de proporcionalidade directa.

O quociente entre os valores correspondentes das duas variá-veis é constante. Assim, temos:

= 2,5 e = 0,3 .

Repara que, como o cabo duplica o comprimento então tam-bém duplicam o seu peso e o seu custo.

Resposta: Quando o cabo tem um metro de comprimento“pesa” 250 gramas e custa 30 euros.

b) O comprimento e o peso são grandezas directamente propor-cionais.

Podemos, também, resolver este problema usando um propor-ção ou uma regra “três simples”.

1.° processo

= 0,12 ; 20 : 0,12 ) 166,67

= 0,3 ; 20 : 0,3 ) 66,671550

15125

Comprimento docabo (cm) 50 66,67

Peso do cabo (g) 125 166,67

Custo do cabo(euros) 15 20

1550

12550

Comprimento do cabo (cm) 50 100

Peso do cabo (g) 125 250

Custo do cabo (euros) 15 30

10 500175

Frequência (Hz) 150 175

Comprimento da corda (cm) 70 y

3615

Comprimento de cada parte cortada, em metros 3 x

Número de partes em que o rolode fita é cortado 12 15

2.° processoCusto (Æ) peso (g)

15 ––––––– 12520 ––––––– x

x = ) 166,67

Custo (Æ) comprimento (cm)15 ––––––––––– 5020 ––––––––––– y

y = ) 66,67

3.° processo

x = ) 166,67 y = ) 66,67

Resposta: Um cabo que custou 20 euros tem comprimento66,67 cm , aproximadamente, e pesa 166,67 g , aproxima-damente.

11. Pág. 9411.1. Vamos representar numa tabela as coordenadas de alguns pontos

assinalados no gráfico.

1 * 1 = 1 ; * 2 = 1 ; * 4 = 1 ; * 8 = 1

O produto dos valores correspondentes das duas variáveis é cons-tante.

Resposta: Como o produto dos valores correspondentes das duasvariáveis é constante então trata-se de uma relação de proporcio-nalidade inversa.

11.2 Como vimos em 11.1, o produto dos valores correspondentes dasduas variáveis é constante e igual a 1 .

Resposta: A constante de proporcionalidade é 1 e representa atotalidade do bolo a dividir pelos amigos.

11.3 Vamos representar numa tabela a situação descrita.

1 bolo –––– 1,5 kg = 1500 g

Como se trata de uma relação de proporcionalidade inversa, temos:

12 * x = 1 * 1500

§ x = = 125


= 125 g

Resposta: Se o bolo for dividido por 12 amigos então caberá acada um uma porção do bolo de 125 g .

1500 g12

150012

Número de amigos 1 12

“Peso” da porção (g) 1500 x

18

14

12

50 * 2015

125 * 2015

1550

=20y

15125

=20x

20 * 12515

20 * 12515

37



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

* 2,5 * 0,3

Número de amigos 1 12

14

18

Tamanho da porção 1 2 4 8

* 0,12 : 0,12 * 0,3 : 0,3

Resposta: A representação gráfica é parte de uma hipérbole em que:

• x å N \ {1 , 2}

• 60° ≤ y < 180°

13. Pág. 95

13.1. Temos que: 12 * 7 = 84 .

Pelo aluguer do autocarro, os 12 amigos pagaram 84 euros.

O valor a pagar pelo aluguer do autocarro, independentementedo número de passageiros, é 84 euros.

= 5,6

Resposta: Se fossem 15 amigos a alugar o autocarro cada umpagaria 5,60 euros.

13.2 Como o valor a pagar pelo aluguer do autocarro é constante eigual a 84 euros, então o número de amigos (n) e o valor apagar por cada um pelo aluguer do autocarro (c) são variáveisinversamente proporcionais.

Temos então:

n * c = 84 § c = , n 0 0 .

Resposta: A expressão pedida é n * c = 84 ou c = , 0 < n ≤ 30 .

14.

Cálculos auxiliares (1) c * h = 20 § h = , c 0 0 (2) e = vt " vt = 100 (3) e = vt " e = 120t

e = 100 v = , t 0 0 v = 120

15.15.1 100% - 10% = 90% .

Os 12 pacotes de bolachas com desconto de 10% , custaram90% do valor original.

Cada pacote, com desconto, custou 30 : 12 = 2,5 euros.

Como entre o custo dos pacotes de bolachas e o desconto há umarelação de proporcionalidade directa, temos:

Custo (Æ) percentagem (%)2,5 –––––––– 90x –––––––– 100

x = ) 2,78

Resposta: Um pacote de bolachas, sem desconto, custa 2,78 euros,aproximadamente.

2,5 * 10090

100t

20c

84n

84n

8415

12.12.1. a) Podemos obter a amplitude de um ângulo interno de um polí-

gono regular através da expressão:

180° - , n = n.° de lados do polígono regular.

No caso do triângulo equilátero sabemos que:

• A soma das amplitudes dos ângulos internos é 180° ;

• Os 3 ângulos internos têm a mesma amplitude:

= 60° .

Logo, a amplitude de um ângulo interno de um triângulo equi-látero é 60° .

Repara que se tivéssemos usado a expressão 180° -chegaríamos ao mesmo resultado.

n = 3 : 180° - = 180 - 120° = 60° .

Resposta: A amplitude de um ângulo interno de um triânguloequilátero é 60° .

b) Um quadrado tem 4 ângulos internos de amplitude 90°cada um.

Resposta: A amplitude de um ângulo interno de um quadradoé 90° .

c) Um pentágono regular tem 5 lados iguais.

n = 5: 180° - = 180° - 72° = 108° .

Resposta: A amplitude de um ângulo interno de um pentágonoregular é 108° .

d) Um hexágono regular tem 6 lados iguais.

n = 6 : 180° - = 180° - 60° = 120° .

Resposta: A amplitude de um ângulo interno de um hexágonoregular é 120° .

12.2 Resposta: Tendo em conta 12.1, vem:

12.3 Neste caso:

n = x : 180° - .

Resposta: A amplitude de um ângulo interno de um polígono

regular de x lados é dada por 180° - .

12.4 O gráfico correspondente à tabela é o seguinte:

360°x

360°x

Número de lados dopolígono regular 3 4 5 6

Amplitude de umângulo interno 60 90 108 120

360°6

360°5

360°3

360°n

180°3

360°n

38



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

Função Relação de pro-porcionalidade

Constante de proporcionalidade

Perímetro de um qua-drado p = 4’

p e ’ são directamente proporcionais

4

Perímetro do círculo p = 2prp e r são

directamente proporcionais

2p

Dimensões de um rectân-gulo de área 20 cm2 h =

(1)

20c

c e h são inversamente proporcionais

20

Velocidade média de umautomóvel ao percorrer100 km

v =

(2)

100t

v e t são inversamente proporcionais

100

Espaço percorrido porum automóvel à veloci-dade média de 120 km/h

e = 120t

(3) e e t são directamente proporcionais

120

15.2 Para responder a esta questão é necessário calcular o custo de 12 pacotes de bolachas em promoção e sem promoção.

Custo de 12 pacotes de bolachas em promoção

Sabemos que:

• Custo de 1 conjunto de 3 pacotes em promoção = 6 euros.

• 12 pacotes = 4 * 3 conjuntos de 3 pacotes.

O seu custo é dado por 4 * 6 = 24 .

Logo, 12 pacotes de bolachas em promoção custam 24 euros.

Custo de 12 pacotes de bolachas sem promoção

Sabemos que:

• Na promoção, dos 3 pacotes de bolachas, pagam-se somente 2 ;

• Os dois pacotes custam 6 euros.

Cada pacote custa três euros, já que 6 : 2 = 3 .

Os 12 pacotes custam 36 euros, já que 12 * 3 = 36 .

Logo, como cada pacote de bolachas custa 3 euros, 12 pacotesde bolachas, sem desconto, custam 36 euros.

Desta forma, temos que 36 - 24 = 12 .

Resposta: Na compra de 12 pacotes de bolachas em promoçãopoupa-se 12 euros.

1. Pág. 96

1.1 (D) Descreve o banho do António.

Resposta: (D) .

1.2 (A) Não descreve o banho do António.

Neste caso, o consumo de água não sofre interrupção, o que nãoacontece na situação descrita.

(B) Não descreve o banho do António.

Na parte final do duche o consumo de água diminuiria, o que con-tradiz a situação descrita.

(C) Não descreve o banho do António.

Na parte final do duche o consumo de água diminuiria, o que con-tradiz a situação descrita.

2. Pág. 972.1 Quando o Joaquim ingeriu alimentos a sensação de fome começou

a diminuir.

Resposta: Assim, provavelmente o Joaquim ingeriu alimentos pelas10:00 , 13:00 e 16:30 .

2.2 a) Sabendo que 3 min = 180 s , temos:

Joaquim: = 4 piscinas;

Nuno: = 3 piscinas.

Tempo (s) 0 60 120 180

Distância ao pontode partida (cm) 0 50 0 50

18060

Tempo (s) 0 45 90 135 180

Distância ao pontode partida (cm) 0 50 0 50 0

18045

Resposta: Os gráficos pedidos são:

b) Resposta: Correspondem aos momentos em que o Nuno e oJoaquim estão lado-a-lado na piscina.

3. Pág. 98

3.1 A constante de proporcionalidade directa é:

k = = 0,008

Resposta: Completando a tabela, temos:

20 * 0,008

50 * 0,008

100 * 0,008 1

* 0,008

Nota: A função de proporcionalidade directa éy = 0,008x

(y é o preço em euros e x é a capacidade da garrafa em cl ).

3.2 Resposta: O gráfico pedido é:

Capacidade da garrafa,em cl Preço, em euros

20 cl 0,16

50 cl 0,40

1 l = 100 cl 0,80

0,4050

39



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

3.3

Confirmação

1,5 l = 150 cl

0,008 * 150 = 1,2

Resposta: Uma garrafa com 1,5 litros de água custaria 1,20 euros.

4. Pág. 994.1 No momento em que foi tirada a foto, a Ana encontra-se à distân-

cia mínima ao chão permitida pelo movimento oscilatório dobarco, necessariamente não nula, atingindo a altura máximaquando o barco se desloca para a esquerda.Nestes termos, a resposta correcta é a (B) . Rejeitei o gráfico (A)porque no momento em que foi tirada a foto a Ana teria que estarna altura máxima, o que não acontece.Rejeitei o gráfio (C) proque, neste caso, a Ana teria que estar emcontacto com o solo, o que não acontece na situação descrita.

4.2

4.3 Sentar-me-ia no meio do barco porque a distância ao solo aumentaà medida que nos sentamos em cadeiras cada vez mais afastadas docentro do barco.

4.4 Na foto, a parte visível do corpo do Pedro mede 0,5 cm , aproxima-damente. Logo, 0,5 cm na foto correspondem a 1 m na realidade, o

que significa que a foto está à escala .

A situação descrita pode ser traduzida pelo seguinte esquema, em que os pontos A e Prepresentam as cabeças da Ana e do Pedro, respectivamente.

Seja d a distância entre as cabeças da Ana e do Pedro. Pelo Teorema de Pitágoras, vem:

d2 = 2,52 + 2,32 § d2 = 11,54

Logo, d = .

Tendo em conta a escala utilizada, temos:

Foto (cm) Realidade (cm) 1 ––––––––– 200

3,40 ––––––––– x

Logo, x = 3,40 * 200 = 680 680 cm = 6,80 m

œ11,54 ) 3,40

1200

10,5 cm1 m

=0,5 cm100 cm

=1

2002

Resposta: As cabeças da Ana e do Pedro encontram-se a 6,80 m ,aproximadamente.

5. Pág. 1005.1 a) O António chegou ao pavilhão 30 minutos após ter saído de casa.

17 h 30 min - 30 min = 17 h

Resposta: O António saiu de casa às 17 h .

b) O António encontrou a amiga 110 minutos após ter saído decasa às 17 h .110 min = (60 + 50) min = 1 h 50 min 17 h + 1 h 50 min = 18 h 50 min

Resposta: O António encontrou a amiga às 18 h 50 min .

5.2 Vamos calcular a duração do jogo mais o intervalo.

20 + 5 + 20 = 45

O jogo e o intervalo tiveram uma duração de 45 minutos.

Observando o gráfico, verificamos que o António permaneceu nopavilhão durante 50 minutos.

Resposta: Como quando chegou ao pavilhão já o jogo tinha come-çado, podemos concluir que o António não saiu do pavilhão, logoque o jogo acabou.

5.3 Sabemos que v = , t 0 0 (e - distância percorrida, t - tempo

gasto no percurso).

Dado que:

• e = 8000 m = 8 km

• t = 30 min = 0,5 h

Vem:

v = = 16

Resposta: O António fez a viagem de ida para o pavilhão a umavelocidade média de 16 km/h .

6. Pág. 1016.1 Sabemos que E = 360 W h e P = 160 W , substituindo na fór-

mula E = P * t , vem:

360 = 160t § t = § t = 2,25 .

Por outro lado, temos que 2,25 h = 2 h + 0,25 h = 2 h 15 min .

Resposta: O televisor esteve ligado 2 h 15 min .

6.2 O gráfico corres-ponde à ligação docomputador.

105 0 150O gráfico não cor-responde à ligaçãodo computador.



Resposta: (A) .

C Energia consumida em 2 h (W h)

Tabela 2 * 70 = 140

Gráfico 200

C Energia consumida em 1,5 h (W h)

Tabela 1,5 * 70 = 105

Gráfico 100

B Energia consumida em 1,5 h (W h)

Tabela 1,5 * 70 = 105

Gráfico 150

A Energia consumida em 2,5 h (W h)

Tabela 2,5 * 70 = 175

Gráfico 175

360160

80,5

et

40



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

7. Pág. 1027.1 Sabemos que a distância percorrida é directamente proporcional à

velocidade e ao tempo: e = vt .

Como a velocidade é constante, os gráficos pedidos são representa-dos por segmentos de recta.Vamos determinar, para cada caso, o tempo de duração das via-gens, já que a velocidade é conhecida e a distância é constante.

Pedroe = 2 km = 2000 m 2000 = t § t = = 30

v = 4 km/h = m/min

Anae = 2000 m 2000 = 100t § t = = 20

v = 6 km/h = = 100 m/min

Sabendo que a Ana sai 5 minutos depois do Pedro, vamos repre-sentar os gráficos tomando como referência as coordenadas dospontos:

Sai de casa chega à escola

Pedro: (0 , 0) e (30 , 2000)Ana: (5 , 0) e (25 , 2000)

|" 5 + 20

Resposta: As representações gráficas são dadas por:

7.2 A Ana chegou à escola no instante t = 25 e o Pedro chegou à escolano instante t = 30 .

A Ana, apesar de ter saído de casa 5 minutos mais tarde, realizoua viagem em 20 minutos, enquanto que o Pedro realizou a viagemem 30 minutos.

Resposta: A Ana chegou à escola 5 minutos mais cedo que oPedro.

7.3 Sabemos que e = vt , em que e = distância percorrida, v = veloci-dade média e t = tempo.Sendo:

• e = 1,5 km

• v = 5 km/h

Temos:

1,5 = 5t § t = § t = 0,3

0,3 h = (0,3 * 60) min = 18 min

Resposta: O João leva 18 minutos a chegar de casa à escola.

1,55

A Ana demorou 20 minutos a chegarà escola.

edfdg6000 m

60 min

2000100

O Pedro demorou 30 minutos a che-gar à escola.

edfdg4000 m

60 min=

2003

3 * 2000200

2003

8. Pág. 1038.1 A distância a percorrer pela Inês e o Pedro é 120 km .

Sabendo que a distância percorrida (e) é directamente proporcionalà velocidade (v) e ao tempo (t), temos:

e = vt

Como o Pedro se encontra a 120 km da Inês, a distância percor-rida é dada por e = 120 - vt .

Vamos determinar as coordenadas de dois pontos.

Inês Pedrov = 60 km/h v = 80 km/h

Resposta: Graficamente, temos:

8.2 A Inês e o Pedro encontram-se quando a distância entre eles é nula.

Assim, temos:

60t - (120 - 80t) = 0

§ 60t - 120 + 80t = 0

§ 140t = 120 §

§ t =

§ t =

h = * 60 min ) 51 min

Resposta: A Inês e o Pedro encontram-se cerca de 51 minutosdepois de partirem.

67

67

67

120140

t e = 120 - 80t

0 e = 120 - 80 * 0 = 120 (0 , 120)

1,5 e = 120 - 80 * 1,5 = 0 (0 , 0)

t e = 60t

0 e = 60 * 0 = 0 (0 , 0)

2 e = 60 * 2 = 120 (2 , 120)

41



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

Capítulo 45. (A) Afirmação falsa.

- é um número irracional negativo. Logo, - ∫ Q- .


- 2 é um número inteiro negativo. Logo, - 2 ∫ N .


0 é número inteiro mas não é número natural. Logo, 0 ∫ N .

(D) Afirmação verdadeira.

- não é número inteiro. Logo, - ∫ Z e - ∫ N .

Resposta: (D) .

6. (A) Afirmação verdadeira.

- = - 0,529… ; - = - 0,368…

Logo - < - .


p = 3,1415… ; = 3,1622…

Logo, p < .


0,13145 > 0,131448

Repara que até à quarta casa decimal (0,1314) os algarismos sãoiguais. No entanto, a quinta casa decimal de 0,13145 é maior quea quinta casa decimal de 0,131448 (5 > 4) .

(D) Afirmação falsa.

= 1,7099… ; = 1,7320…

Logo, < .

Resposta: (A) .

7. Pág. 122é um número fraccionário " número racional.

= 0,7 é uma dízima finita " número racional.

= 2,213594362… é uma dízima infinita não periódica " número irracional.

- é um número fraccionário " número racional.

Resposta: (C) .

8. O conjunto A resulta da intersecção dos conjuntos ]- ? ; 3,1416]e ]- p , p[ .

Vamos representar graficamente os dois conjuntos.

p = 3,1415… " p < 3,1416

Logo, A = ]- p , p[ .

Resposta: (C) .

23

œ4,9

œ0,49

Œ 149

=17

œ3œ3 5

œ3œ3 5

œ10

œ10

719

917

719

917

12

12

12

œ3œ31. (A) Afirmação falsa. Pág. 121

- 3 não é número natural.


não é número inteiro.

(C) Afirmação verdadeira

0 é número racional.

(D) + ? não representa um número.

Resposta: (C) .


- 3 é um número inteiro. Logo, - 3 å Z .


- é um número fraccionário. Logo, - å Q .


é um número irracional. Logo å R .


não tem significado em R . Logo - ∫ R .

Resposta: (D) .


R+ ∂ R- = R\{0}

(B) Afirmação verdadeira.

Todo o número racional é real.


Q0+ © R0

- = {0}

(D) Afirmação falsa

Z ∂ R = R

Resposta: (B) .


- = - 1,732…

- = - 1,414…

Se, por exemplo, a = - 1,5 , temos que:

- < - 1,5 < - e - 1,5 é número racional (a dízima é finita).


Se, por exemplo, a = - , temos que:

- < - < - e - é irracional (a dízima é infinitanão periódica).


Se a for inferior a - 1,74 então a < - , logo não pode estarenquadrado entre - e - .


Não há qualquer número inteiro entre - (- 1,732…) e - (- 1,414…) .

Resposta: (D) .

œ2œ3

œ2œ3œ3

œ2,5œ2œ2,5œ3

œ2,5

œ2œ3

œ2

œ3

œ- 3œ- 3

p3

p3

73

73

12

42



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

9. Representemos graficamente os conjuntos [- p , p[ e ]- 3,14 ; +?[ .

Temos:

[- p , p[ © ]- 3,14 ; + ?[ = ]- 3,14 ; p[ 0 A

[- p , p[ ∂ ]- 3,14 ; + ?[ = ]- p , + ?[ = A

Vamos proceder da mesma forma para [– p , p[ e ]- 3,15 ; + ?[ .

Temos então:

[- p , p[ © ]- 3,15 , + ?[ = [- p , p[ 0 A

[- p , p[ ∂ ]- 3,15 ; + ?[ = ]- 3,15 ; + ?[ 0 A

Resposta: (B) .

10. O conjunto P resulta da reunião dos conjuntos [p , + ?[ e

.

Vamos representar graficamente os dois conjuntos.

p = 3,1415…

= 3,1622… > p

Logo, P = [p , + ?[ .

Resposta: (B) .

11. Vamos representar graficamente os conjuntos A e B .

- = - 2,333… - > - p

- p = - 3,141…

Logo, A ∂ B = ]- ? , + ?[ .

Resposta: (D) .

12. Pág. 123

Vamos representar graficamente o intervalo e os pontos

correspondentes aos números inteiros relativos que aparecem nosintervalos.

- p = - 3,1415…

= 1,0471…

Logo, só pertencem ao intervalo os números do conjunto {- 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1} .

Resposta: (A) .

p3

3- p , p3 3

73

73

œ10œ10

4œ10 , 103

13. Temos que - p = - 3,141592…

Por outro lado, temos:

- 31,4 * 10– 1 = - 3,14

- 31,4 * 101 = - 314

- 3,1416 * 100 = - 3,1416

- 31,42 : 101 = - 3,142

Logo, somente o número - 3,14 pertence ao intervalo dado, ouseja, o número - 31,4 * 10- 1 .

Resposta: (A) .

14. Usando as regras para a resolução de inequações, vem que:

2 + ≤ 5 § 6 + 1 - x ≤ 15 § - x ≤ 15 - 6 - 1 §(3) (1) (3)

§ - x ≤ 8 § x ≥ - 8

Logo, S = [- 8 , + ?[ .

Resposta: (B) .

15. Vejamos:

x + ≤ § 6x + 3 - 9x ≤ 2x § 6x - 9x - 2x ≤ - 3 §(6) (3) (2)

§ - 5x ≤ - 3 § 5x ≥ 3 § x ≥ § x ≥

Logo, S = .

Resposta: (C) .

1. Pág. 1241.1 Resposta: = 0,7 ;

Dízima finita.

1.2 Resposta: - = - 1,5 ;

Dízima finita.

1.3 Resposta: = 0,5 ;

Dízima finita.

1.4 Resposta: = 0,9 ;

Dízima finita.

1.5 Resposta: = 0,222… = 0,(2) ;

Dízima infinita periódica.

1.6 Resposta: = 1,897366596…

Dízima infinita não periódica.

2. • é uma fracção. " Número racional

• - = - 0,5 é uma dízima finita. " Número racional

• - = - 0,4795831523… é uma dízima infinita não perió-dica. " Número irracional

• = 0,3726779962… é uma dízima infinita não periódica." Número irracional

Repara que é um número irracional e, portanto, tam-bém é irracional.

• Como p é um número irracional então é, também, umnúmero irracional;

• é uma fracção. " Número racional

Resposta: São números irracionais .- œ0,23 , œ56

e p3

1

œ4=

12

p3

œ56œ5

œ56

œ0,23

œ0,25

295

œ3,6

29

œ0,81

Œ14=

12

32

710

335

, +?3

35

35

55

x3

1 - 3x2

1 - x3

43



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

3.3.1 Sabe-se que:

• p = 3,1415…

• = 3,1622…

• Há uma infinidade de números irracionais compreendidos entrep e .

Por exemplo, o número irracional

= 3,1464…

é tal que p < . " Repara que 3,1415… < 3,1464… < 3,1622…

Resposta: Um número irracional compreendido entre p e é,

por exemplo, ou .

3.2 Sabe-se que:

• - = - 0,8(3)

• - = - 0,(857142)

• Há uma infinidade de números racionais compreendidos entre

- e - .

O número racional - 0,84 = - é tal que - < - 0,84 < -

ou - < - < - " Repara que - 0,(857142) < - 0,84 < - 0,8(3)

Resposta: Um número racional compreendido entre - e - é,

por exemplo, - 0,84 ou - .

3.3 Sabe-se que:

• = 0,3535…

• = 0,(3)

• Há uma infinidade de números irracionais compreendidos entre,

e .


= 0,34906… é tal que

Resposta: Um número irracional compreendido entre e

é, por exemplo, .

3.4 Sabe-se que:

• - = - 3,2

• - * 10– 1 = - * 0,1 = - 0,1732…

• Há uma infinidade de números irracionais compreendidos entre

- e - * 10– 1 .


- = - 1,41421… é tal que:

- < - < - * 10- 1 " Repara que - 3,2 < - 1,41421… < - 0,1732…

Resposta: Um número irracional compreendido ente - e

- * 10- 1 é, por exemplo, - .œ2œ3

852

œ3œ2852

œ2

œ3852

œ3œ3

852

p9

Œ19

1

œ22

Œ19<

p9<

1

œ22

p9

Œ19

1

œ22

Œ19=

13

1

œ22

2125

67

56

56

2125

67

56

67

84100

= -2125

67

56

67

56

œ9,9Œ9910

œ10

Œ9910

< œ10

œ9,9 = Œ9910

œ10

œ10

4. Verifica-se que as fracções cujo denominador é 99 correspondema uma dízima infinita periódica em que a primeira e segunda casasdecimais, assim como os pares de casas decimais seguintes reprodu-zem o numerador, quando este é um número natural inferior a 99 .Note-se que, nesta situação, um numerador com um algarismoreproduz-se na dízima com um zero à esquerda. Por exemplo, “1”corresponde a “01” .Assim:

4.1 Resposta: = 0,050505…

4.2 Resposta: = 0,707070…

4.3 Resposta: = 0,989898…

5. Pág. 1255.1 Para compararmos os números vamos reduzi-los à dízima:

- = - 1,0471… ; - 1,1 ; p = 3,1415… ; 3,142 ; = 3,1622… ;

- = - 0,(3)

Comparando as dízimas, temos:

- 1,1 < - 1,0471… < - 0,(3) < 3,1415… < 3,142 < 3,1622…3 3 3 3

- - p

Resposta: Ordem crescente:

- 1,1 < - < - < p < 3,142 < .

Nota:A resposta também poderia ser:

- 1,1 ; – ; - ; p ; 3,142 ; .

5.2 Vamos reduzir os números à dízima:

- = - 0,51 ; - = - 0,7 ; - + 1 = - 0,4142… ;

p + = 4,8736… ; 6,14

Comparando as dízimas, temos:

- 0,7 < - 0,51 < - 0,4142… < 4,8736… < 6,143 3 3 3

- - - + 1 p +

Resposta: Ordem crescente:

- < - < - + 1 < p + < 6,14 .

6.

6.1 O número inteiro mais próximo de é aquele que se obtém atra-

vés de um arredondamento às unidades.

= 0,(8) ) 1


Sabemos que 0 < < 1 .

Vamos confirmar que está mais próximo de 1 do que 0 .

- 0 = ; 1 - = ; <

Resposta: O número inteiro mais próximo de é 1 .89

89

19

19

89

89

89

89

89

89

89

œ3œ25,110

3,55

œ3œ25,110

3,55

œ3

œ23,55

5,110

œ1013

p3

œ1013

p3

Não te esqueças que, quandoordenares números por ordemcrescente, os números negativosaparecem à esquerda dos númerospositivos. Caso contrário (ordemdecrescente), aparecem à direitados positivos.Já agora, o número zero apareceentre os positivos e os negativos.

œ1013

p3

13

œ10p3

9899

7099

599

44



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

6.2 - = - 7,(7) ) - 8


Sabemos que - 8 < - < - 7

Vamos confirmar que - está mais próximo - 8 do que - 7 .

- - (- 8) = - + 8 = ; - 7 - = - 7 + = ;

Nota: - = - 7 -

Resposta: O número inteiro mais próximo de - é - 8 .

6.3 - 3,02 ) - 3 .


Sabemos que - 4 < - 3,02 < - 3

Vamos confirmar que - 3,02 está mais próximo de - 3 do que - 4 .

- 3,02 - (- 4) = - 3,02 + 4 = 0,98 ;

- 3 - (- 3,02) = - 3 + 3,02 = 0,02 ; 0,02 < 0,98

Resposta: O número inteiro mais próximo de - 3,02 é - 3 .

6.4 = 3,9681… ) 4 .


Sabemos que 3 < < 4

Vamos confirmar que está mais próximo de 4 do que 3 .

- 3 ) 0,97 ; 4 - ) 0,03 ; 0,03 < 0,97

Resposta: O número inteiro mais próximo de é 4 .

6.5 = - 2,8284… ) - 3

Resposta: O número inteiro mais próximo de é - 3 .

6.6 = 0,9428… ) 1

Resposta: O número inteiro mais próximo de é 1 .Œ89

Œ89

œ2 - 3œ2

œ2 - 3œ2

œ3 + œ5

(œ3 + œ5)œ3 + œ5

œ3 + œ5

œ3 + œ5

œ3 + œ5

709

79

709

29<

79

79

7091- 70

9 229

709

709

709

709

709

7.

7.1 Vamos reduzir os números à dízima e compará-los.

- = - 3,(2) ; - = - 3(857142) ; - 3,(857142) < - 3,(2)

Logo, - < - .

Resposta: O menor número é - , desta forma foi a Joana quepensou no múmero menor.

7.2 Há uma infinidade de números racionais e irracionais compreendi-

dos entre - e - .

Por exemplo, relativamente ao número racional - 3,5 sabemosque - 3,(857142) < - 3,5 < - 3,(2).

Logo, - < - 3,5 < - .

Relativamente ao número irracional - também sabemos, porexemplo, que:

- = - 3,3166… ; - 3,(857142) < - 3,3166 … < - 3,(2) .

Logo, - .

Resposta: Por exemplo, o número racional - 3,5 e o número irra-cional - estão compreendidos entre os números dados.

8.

8.1(13) (15)

Logo, < 0 .

Resposta: - é menor que - .

8.2 ) 4,55

Logo, > 0

Resposta: é maior que .

9. Pág. 126

9.1 Tendo em conta o Teorema de Pitágoras, sabemos que:

5 = 1 + 4

§ = 12 + 22

Logo, o comprimento é o comprimento da hipotenusa de umtriângulo rectângulo cujos catetos medem 1 e 2 .

Vamos desenhar a recta numérica e assinalar o ponto de abcissa .

Resposta:

œ5

œ5

(œ5)2

(5œ8 > 2œ23)2œ235œ8

5œ8 - 2œ23

5œ8 - 2œ23

1- 915

< -7132

713

915

-915

- 1- 7132

= -12195

= -4

65

= -117195

+105195

-915

- 1- 7132 = -

915

+713

œ11

277

< -œ11 < -299

œ11

œ11

299

277

299

277

277

299

277

277

299

45



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

9.2 a) Pelo Teorema de Pitágoras, vem:

x2 = 22 + 32

§ x2 = 13

Como x > 0 ,

x =

O ponto A tem abcissa .

x2 = 12 + 22

§ x2 = 5

§ x =

O ponto B tem abcissa 5 + .

x2 = 12 + 32

x2 = 10

x =

O ponto C tem abcissa - 3 + .

Resposta: A 1 ; B 1 5 + e C 1 - 3 + .

b) Pretende-se um valor aproximado, por defeito, de comduas casas decimais.

= 3,1622776… tuv2 c. d.

Resposta: O número pedido é 3,16 .

c) Pretende-se um valor aproximado, por excesso, de com uma casa decimal.

= 0,384891666…tuv

1 c. d.

Resposta: O número pedido é 0,4 .

0,3 (por defeito)0,4 (por excesso)

p

5 + œ10

p

5 + œ10


œ10

œ10

œ10œ5œ13

œ10

œ10

œ5

œ5

œ13

œ13

10.

10.1 = 0,628318530…tuv

1 c. d.

Resposta: O valor pedido é 0,6 .

10.2 p = 7,02481473…tuv2 c. d.

Resposta: O valor pedido é 7,03 .

10.3 Sabemos que o erro cometido é inferior a 1 centésima (0,01) eque x é maior que 5,12 .

Logo, x å ]5,12 ; 5,13[ .

Resposta: x pode variar entre 5,12 e 5,13 .

10.4 Sabemos que o erro cometido é inferior a 1 centésima (0,01) eque y é menor que 5,10 .

5,10 - 0,01 = 5,09

Logo, x å ]5,09 ; 5,10[ .

Resposta: x pode variar entre 5,09 e 5,10 .

11.

11.1 Resposta:

ou

11.2 a) Sabemos que:

- = - 2,(3) ; p = 3,1415… ;

- 2,3 > - 2,(3) ;

- 2,3 < 3,1415…

Logo, - < - 2,3 e - 2,3 < p , ou seja, - < - 2,3 < p .

Resposta: - 2,3 å A .

b) Sabemos que:

- < - 3,14 e 3,14 < p

Logo, - < 3,14 < p

Resposta: 3,14 å A .

c) Sabemos que:

- = - 2,25 ; - < - e - < p- 2,(3) < - 2,25

Logo, - < - < p .

Resposta: - å A .94

94

73

94

94

73

94

73

73

73

73

73


œ5


p5

46



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

d) Sabemos que:

3,15 > p3,1415…

Logo, 3,15 ∫ .

Resposta: 3,15 ∫ A .

e) Sabemos que:

- = - 2,5980… ;

- 2,598… < - 2,(3)

Logo,

Resposta: ∫ A .

12. Pág. 127

12.1 Resposta:

A = [p , + ?[ :

ou

B = [- p , p] :

ou

C = [- p , p] :

12.2 Resposta: É o conjunto C . Representa somente dois números:- p e p .

12.3 Sabemos que:

p = 3,1415… ; - p = - 3,1415…

Resposta: Pertencem ao conjunto B os seguintes números intei-ros: - 3 , - 2 ; - 1 , 0 , 1 , 2 e 3 .

12.4 O conjunto A representa todos os números reais maiores ouiguais a p .

A condição que representa este conjunto é A = {x å R : x ≥ p} .

O conjunto B representa os números reais compreendidos entre- p e p , incluindo - p e p ou os números reais maiores ouiguais a - p e menores ou iguais a p .

Este conjunto pode representar-se de duas formas diferentes:

B = {x å R : - p ≤ x ≤ p} ou B = {x å R : x ≥ - p ‹ x ≤ p}3e

O conjunto C representa os números reais - p e p .

A condição que representa este conjunto é

C = {x å R : x = - p › x = p} .3

ou

Resposta: A = {x å R : x ≥ p} , B = {x å R : - p ≤ x ≤ p} e C = {x å R : x = - p › x = p} .

13.

13.1 Na recta real estão representados os números reais menores que 20 .

Trata-se de um intervalo ilimitado à esquerda e aberto à direita.

Resposta: ]- ? , 20[ .

- 3œ32

- 3œ32

∫ 4- 73

, p4

- 3œ32

< -73

3œ32

4- 73

, p4

13.2 Na recta real estão representados os números reais compreendi-dos entre 12 e 24 , incluindo 24 .

Trata-se de um intervalo limitado, aberto à esquerda e fechado àdireita.

Resposta: ]12 , 24] .

13.3 Na recta real estão representados os números reais compreendi-dos entre - p e , incluindo - p .

Trata-se de um intervalo limitado, fechado à esquerda e aberto àdireita.

Resposta: .

14.

14.1 Resposta: Forma de intervalo: B = ;

Representação gráfica:

ou

14.2 Sabe-se que C = x åR : x ≥ - ‹ x ≤ 1 = x åR : - ≤ x ≤ 1.

Resposta: Forma de intervalo: C = ;


ou

14.3 Sabe-se que D = x å R : x < › x < 0 = x å R : x <

Resposta: Forma de intervalo: D = ;


14.4 Sabe-se que E = x åR : - 1 ≤ x < 0 › x > - = {x åR : x ≥ - 1} .

Resposta: Forma de intervalo: E = [- 1 , + ?[ ;


ou

6135

4- ? , 12

3

126561

25

3- 12

, 14

612561

25

3- 13

, œ34

3- p , œ103

œ10

47



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

15. Pág. 128

15.1

ou

15.2

ou

15.3

ou

15.4

ou

15.5

ou

15.6

ou

15.7

ou

15.8

ou

15.9

ou

15.10

16.

16.1

A © B = [0 , p[

A ∂ B = ]- ? , p]

16.2

A © B = O

A ∂ B = ]- ? , + ?[ = R

p = 3,1415…

= 3,1622…

A © B =

A ∂ B = [p , + ?[

- = - 3,5

p = 3,1415…

A © B = ]- 3, p[ = A

A ∂ B = = B

16.5

A © B =

A ∂ B = ]- ? , + ?[ = R

16.6

A © B = = A

A ∂ B = [- p , p] = B

17.

17.1 Vamos começar por representar na mesma recta real os conjuntosA e B .

A © B = [- 2 , 1]

Resposta: Pertencem a A © B o conjunto {- 2 , - 1 , 0 , 1} .

40 , p23

3-œ3 , œ3 3

3- 72

, 53

72

16.4

4œ10 , 74

œ10

16.3

48



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

17.2 A ∂ B =

Resposta: O maior número inteiro que pertence a A ∂ B é 1 .

18. Pág. 129

18.1 Resposta: Por exemplo,

A = ]- 3 , 3] e B = ]- 1 , 5[ .

A ∂ B = ]- 3 , 5[

18.2 Resposta: Por exemplo.

A = ]- 3 , 0] e B = [0 , 1[ .

A © B = {0}

19. Fazem parte do conjunto-solução os números que substituindo xtransformam a inequação numa proposição ou afirmação verdadeira.

Vejamos:

• x = - 2 ; §

§ - 1 ≤ 2 @ Proposição verdadeira

Logo, - 2 é solução da inequação.

• x = 0 ; ≤ 1 - § - ≤ 1 @ Proposição verdadeira

Logo, 0 é solução da inequação.

• x = ; ≤ 1 - § ≤ 1 - §

§ - ≤ @ Proposição verdadeira

Logo, é solução da inequação.

• x = ; ≤ 1 - @ Proposição falsa, já que: = 0,4120…

1 - = - 0,1180…

Logo, não é solução da inequação.

• x = 4 : ≤ 1 - § 1 ≤ - 1 @ Proposição falsa

Logo, 4 não é solução da inequação.

• x = 2p ; ≤ 1 - @ Proposição falsa, já que: = 1,7610…

1 - = - 2,1415…

Logo, 2p não é solução da inequação.

Resposta: Os elementos de A que fazem parte do conjunto-solu-

ção da inequação são - 2 , 0 e .12

2p2

2p - 13

2p2

2p - 13

42

4 - 13

œ5

œ52

œ5 - 13

œ52

œ5 - 13œ5

12

34

16

14

-12

3

122

12- 1

312

13

02

0 - 13

- 2 - 13

≤ 1 -- 22

§- 33

≤ 1 + 1

4- ? , œ34 20.

20.1 x ≥ p

Resposta: S = [p , + ?[ .

20.2 2x ≤ 0 § § x ≤ 0

Resposta: S = ]- ? , 0] .

20.3 0 ≥ x § x ≤ 0 § x ≤ 0(2)

Resposta: S = ]- ? , 0] .

20.4 3x - 3x ≤ 2 § 0x ≤ 2

O produto de qualquer número por zero é zero.Como zero é menor que dois então qualquer número real é solu-ção da inequação.

Resposta: S = R = ]- ? , + ?[ .

20.5 x ≥ x

Qualquer número real é igual a ele próprio. Assim, todos osnúmeros reais são soluções da inequação.

Resposta: S = R = ]- ? , + ?[ .

20.6 < § §

§ x < x

Não há nenhum número real que seja menor que ele próprio.A inequação não tem qualquer solução.

Resposta: S = O .

21.

21.1 x < p , por exemplo.

21.2 x ≤ , por exemplo.

21.3 x ≥ , por exemplo. Nota: a2 = 12 + 12

a2 = 2a =

21.4 x > - 1 , por exemplo.

21.5 x > 0 , por exemplo.

21.6 x ≤ 0 , por exemplo.

22. Pág. 130

22.1 2 - 3x < 4 § - 3x < 4 - 2 §

§ - 3x < 2 § 3x > - 2 §

§ > - § x > -

Resposta: S = .

22.2 x + 1 ≥ 3(x - 1) § x + 1 ≥ 3x - 3 §

§ x - 3x ≥ - 3 - 1 § - 2x ≥ - 4 §

§ 2x ≤ 4 § ≤ §

§ x ≤ 2

Resposta: S = ]- ? , 2] .

22.3 ≤ 0 § 3x - 3 - 2x + 2 ≤ 0 §

(3) (2)

§ 3x - 2x ≤ 3 - 2 § x ≤ 1

Resposta: S = ]- ? , 1] .

x - 12

-x - 1

3

42

2x2

4- 23

, + ?3

23

23

3x3

œ2

œ2

32

œ3

œ3x < œ3

œ3xœ3xœ3x

12

12

2x2

≤02

49

CAPÍTULO 4


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

22.4 0 ≥ 2 § 0 ≥ - 8 §(3)

(1)(3)

§ 0 ≥ 2x - 2 - 24

§ - 2x ≥ - 26

§ x ≤ 13

Resposta: S = ]- ? , 13] .

23.

23.1 x > p p = 3,1415…

Resposta: O menor número inteiro que é solução da inequação é 4 .

23.2 x ≤ - - = - 1,7142…

Resposta: O maior número inteiro que é solução da equação é - 2 .

23.3 - 1,7 < x ≤ = 2,(3)

Resposta: Os números inteiros que verificam a condição dadasão - 1 , 0 , 1 e 2 .

24.

24.1 - 2x + 1 < 7

- 2x + 1 - 1 < 7 - 1

- 2x < 6

Resposta: A inequação simplificada pedida é - 2x < 6 .

24.2 - 2x < 6

- 2x * (- 1) > 6 * (- 1)

2x > - 6

24.3 2x > - 6

>

x > - 3

24.4 São soluções da inequação todos os números reais maiores do que - 3 .

Resposta: A inequação tem uma infinidade de soluções.

24.5

Os números inteiros não positivos incluem os números negativose zero.

Resposta: As soluções que são números inteiros não positivos são- 2 , - 1 e 0 .

- 62

2x2

Quando se divide por 2 , a inequação obtida é equivalente àanterior porque aplicou-se a propriedade da monotonia parcialda multiplicação, isto é, se multiplicarmos (ou dividirmos) ambosos membros de uma inequação por um número positivo obtemosuma inequação equivalente à anterior.

Ao multiplicar ambos os membros da inequação por- 1 deve-se inverter o símbolo da desigualdade. Nestecaso o sinal “<” passa a “>” .A regra é:Obtemos uma inequação equivalente a uma inequaçãodada, se multiplicarmos ambos os membros por umnúmero negativo e invertermos o sentido da desigual-dade (Monotonia parcial da multiplicação).

Podemos adicionar a ambos os membros de uma inequa-ção um número, que obtemos uma inequação equivalenteà dada (Monotonia da adição).

73

73

127

127

2x - 231x - 1

3- 42 24.6 - 1 + 3x > 5x

Resposta: S = .

25. Vamos começar por resolver as inequações: Pág. 131

• - x ≥ 1 § x ≤ - 1

• - x ≤ 0 § x ≥ 0 § x ≥ 0 (2)

• 1 ≤ - x § x ≤ - 1

• 0,1x < 0,2 § § x < 2

• - 2x < - 1 § 2x > 1 § § x >

• - x + 1 < 0 § - x < - 1 § x > 1

• - 2x ≥ - 1 § 2x ≤ 1 § § x ≤

Resposta: - x ≥ 1 • • x ≤ 1

- ≤ 0 • • x >

1 ≤ - x • • x ≤ - 1

0,1x < 0,2 • • x > 1

- 2x < - 1 • • x < 2

- x + 1 < 0 • • x <

- 2x ≥ - 1 • • x > 2

• x ≥ 0

• x ≤

• x > -

26.26.1 - 3 > 2x § - 2x > 3 §

§ x < - @ Dividiu-se ambos os membros por - 2 e inverteu-se o sentido dadesigualdade.

Resposta: S = .4- ? , -32 3

32

12

12

12

12

12

x

12

2x2

≤12

12

2x2

>12

0,1x0,1

<0,20,1

12

12

4-? , -12 3

50



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

- 1 + 3x + 1 - 5x > 5x + 1 - 5x

3x - 5x > 1

Na prática, quando um termo“muda de membro” muda de sinal.

Aplicou-se a propriedade da mono-tonia da adição: adicionou-se aambos os membros + 1 e - 5x .Assim, escrevemos os termos comincógnita no primeiro membro e ostermos independentes no segundomembro.

- 2x > 1 Simplificou-se o primeiro membro.

- 2x * (- 1) < 1 * (- 1)

2x < - 1

Na prática, quando se troca ossinais de todos os termos da ine-quação muda-se o sinal da desi-gualdade.

Aplicou-se a propriedade da mono-tonia parcial da multiplicação:multiplicou-se ambos os membrospor - 1 (número negativo) e inver-teu-se o sinal da desigualdade.

x < -

Na prática, divide-se ambos osmembros pelo coeficiente da incóg-nita, ficando a incógnita com coefi-ciente 1 .

12

2x2

< -12

Aplicou-se a propriedade da mono-tonia parcial da multiplicação:dividiu-se ambos os membros por2 (número positivo).

26.2 - ≥ 0 §

§ x ≤ 0 @ Multiplicou-se ambos os membros por - 5 e inverteu-se o sentidoda desigualdade.

Resposta: S = ]- ? , 0] .

26.3 - 1 ≤ 0,1x § - 0,1x ≤ 1 §

§ x ≥ § x ≥ - 10

Resposta: S = [- 10 , + ?[ .

26.4 - 0,2x < 8 § x > §

§ x > - 40

Resposta: S = ]- 40 , + ?[ .

26.5 - x - > 0 § - x > §

§ x < -

Resposta: S = .

26.6 0 ≤ 1 + § 0 ≤ 2 + x §(2) (2)

§ - x ≤ 2 § x ≥ - 2

Resposta: S = [- 2 , + ?[ .

27.

27.1 3 - x > § 18 - 3x > 2x - 2 §(6)

(3) (2)

§ - 3x - 2x > - 2 - 18 § - 5x > - 20 §

§ x < § x < 4

Resposta: S = ]- ? , 4[ .

27.2 - 2x + ≤ - 3x + 3 § - 4x + 1 ≤ - 6x + 6 §(2)

(1)(2) (2)

§ - 4x + 6x ≤ 6 - 1 § 2x ≤ 5 § x ≤

Resposta: S = .

27.3 - 0,2x > 1 - §

§ - > 1 - §

(15) (6)(30)

(10)

§ 15 - 6x > 30 - 10x § - 6x + 10x > 30 - 15 §

§ 4x > 15 § x >

Resposta: S = .

27.4 ≤ 1 - § ≤ 1 - §

(3)(6)

(2)

§ 3 - 6x ≤ 6 - 4x + 4 § - 6x + 4x ≤ 6 + 4 - 3 §

§ - 2x ≤ 7 § x ≥ -

Resposta: S = .3- 72

, + ?3

72

2x - 23

1 - 2x2

2(x - 1)3

1 - 2x2

4154

, + ?3

154

x3

x5

12

0,2 =2

10=

15

x3

12

4- ? , 524

52

12

- 20- 5

x - 13

12

12

x

4- ? , -12 3

12

12

12

8- 0,2

1- 0,1

15

x 27.5 § §

§ § 6x - 3 ≤ 4x §

(3) (4)

§ 6x - 4x ≤ 3 § 2x ≤ 3 § x ≤

Resposta: S = .

27.6 § §

(2)

§ 0,1x - 0,1 ≤ 2 - x + 1 § 0,1x + x ≤ 2 + 1 + 0,1 §

§ 1,1x ≤ 3,1 § x ≤ §

§ x ≤

Resposta: S = .

28. Pág. 132

28.1 3 - x ≤ § 18 - 3x ≤ 2 §

(6) (3) (2)

§ - 3x ≤ 2 - 18 § - 3x ≤ - 16 §

§ x ≥ § x ≥

S =

Resposta: O número pedido é 6 .

28.2 - 3x - ≤ - 4x + 5 §(2)

(1)(2) (2)

§ - 6x - 1 ≤ - 8x + 10 § - 6x + 8x ≤ 10 + 1 §

§ 2x ≤ 11 § x ≤

S =

Resposta: O número pedido é 5 .

28.3 O conjunto A é constituído pelos números inteiros negativos quesão soluções da inequação.

§ ≤ §

(5) (2) (10) (2)

§ 5x - 2 - 2x ≤ 10 + 4x - 4 § 5x - 2x - 4x ≤ 10 - 4 + 2 §

§ - x ≤ 8 § x ≥ - 8

O conjunto A é constituído pelos números inteiros negativosmaiores ou iguais a - 8 .

Resposta: A = {- 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1}.

1 +2x - 2

5x2-

1 + x5

x2-

1 + x5

≤ 1 +2(x - 1)

5

112

= 5,5

2 3 4 5 6 7112

-? +?

4- ? , 112 4

112

12

163

= 5,(3)

3163

, + ?3

163

-16- 3

13

12

4- ? , 31114

3111

3,11,1

0,1x - 0,12

≤ 1 -x - 1

20,1 (x - 1)

2≤ 1 -

x - 12

4- ? , 324

32

2x - 14

≤x3

2x - 122

≤x3

x -12

2≤

x3

51

CAPÍTULO 4


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

29.29.1 A expressão dada representa um número negativo quando é

menor do que zero.

0,1 - (2x + 1) < 0 § 0,1 - 2x - 1 < 0 §

§ - 2x < - 0,1 + 1 § - 2x < 0,9 §

§ x > § x > -

S =

Resposta: A expressão representa um número negativo quando

x å .

29.2 A expressão dada representa um número não negativo quando émaior ou igual a zero.

0,1 - (2x + 1) ≥ 0 § 0,1 - 2x - 1 ≥ 0 § - 2x ≥ - 0,1 + 1 §

§ - 2x ≥ 0,9 § x ≤ § x ≤ -

S =

Resposta: A expressão representa um número não negativo quando

x å .

29.3 A expressão dada representa um número pertence ao intervalo [2 , + ?[ quando é maior ou igual a 2 .

0,1 - (2x + 1) ≥ 2 § 0,1 - 2x - 1 ≥ 2 §

§ - 2x ≥ 2 - 0,1 + 1 § - 2x ≥ 2,9 §

§ x ≤ § x ≤ -

S =

Resposta: A expressão representa um número do intervalo

[2 , + ?[ quando x å .

29.4 A expressão dada representa um número do intervalo [- 2, 2[quando está compreendida entre - 2 e 2 , incluindo - 2 .

- 2 ≤ 0,1 - (2x + 1) < 2 §

§ - 2 ≤ 0,1 - 2x - 1 < 2 §

§ - 2 - 0,1 + 1 ≤ - 2x < 2 - 0,1 + 1 §

§ - 1,1 ≤ - 2x < 2,9 §

§ ≥ x > §

§ ≥ x > - §

§ - < x ≤

S =


- 2 ≤ 0,1 - (2x + 1) < 2 §

§ 0,1 - (2x + 1) ≥ - 2 ‹ 0,1 - (2x + 1) < 2 §

§ 0,1 - 2x - 1 ≥ - 2 ‹ 0,1 - 2x - 1 < 2 §

§ - 2x ≥ - 2 - 0,1 + 1 ‹ - 2x < 2 - 0,1 + 1 §

§ - 2x ≥ - 1,1 ‹ - 2x < 2,9 §

§ x ≤ ‹ x > §

§ x ≤ ‹ x > - §

§ - < x <1120

2920

2920

1120

2,9- 2

-1,1- 2

4- 2920

, 11204

1120

2920

2920

1120

2,9- 2

-1,1- 2

4- ? , -29204

4- ? , -29204

2920

2,9- 2

4- ? , -9204

4- ? , -9204

920

0,9- 2

4- 920

, + ?3

4- 920

, + ?3

920

0,9- 2

Resposta: A expressão representa um número do intervalo [- 2 , 2[

quando x å .

30.

30.1 O perímetro do rectângulo é dado pela expressão:

P = 2x + 2 (x + 10) § P = 2x + 2x + 20

§ P = 4x + 20

O perímetro do rectângulo é superior a 80 cm quando:

P > 80

4x + 20 > 80 § 4x > 80 - 20 §

§ 4x > 60

§ x >

§ x > 15

Resposta: O perímetro do rectângulo é superior a 80 cm quandox å ]15 , + ?[ .

30.2 O perímetro do rectângulo é superior a 80 cm e inferior a 100 cmquando:

80 < P < 100

80 < 4x + 20 < 100 § 80 - 20 < 4x < 100 - 20 §

§ 60 < 4x < 80 §

§ < x < §

§ 15 < x < 20


P > 80 ‹ P < 100

§ 4x + 20 > 8 ‹ 4x + 20 < 100 §

§ 4x > 80 - 20 ‹ 4x < 100 - 20 §

§ 4x > 60 ‹ 4x < 80 §

§ x > ‹ x < §

§ x > 15 ‹ x < 20 §

§ 15 < x < 20

Resposta: O perímetro do rectângulo é superior a 80 cm e infe-rior a 100 cm quando x å ]15 , 20[ .

31.

31.1 Seja:x = número inteiro negativo

Assim:2x = dobro de um número inteiro negativo:3x = triplo de um número inteiro negativo.

Do enunciado do problema, podemos deduzir que:

"

Para determinar os números pedidos vamos resolver a inequaçãopedida.

2x - 3x < 5 § - x < 5 § x > - 5

Resposta: Os números inteiros negativos que satisfazem a condi-ção dada são - 4 , - 3 , - 2 e - 1 .

2x - 3x < 5 A diferença entre o dobro de um númerointeiro negativo e o seu triplo é inferior a 5 .

804

604

804

604

604

4- 2920

, 11204

52



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

31.2 Seja:x = número real.

Assim:2(x + 3) = dobro da soma de um número real com 3 .


"

Resolvendo a inequação, vem:

2(x + 3) > x § 2x + 6 > x §

§ 2x - x > - 6 § x > - 6

Resposta: Os números reais que satisfazem a condição dada per-tencem ao intervalo ]- 6 , + ?[ .

31.3 Seja:x = número real.

Assim, (x + 10)2 = quadrado da soma de um número real com 10 ;

(x - 5)2 = quadrado da diferença de um número real com 5 .


"


(x + 10)2 ≤ (x - 5)2 §

§ + 20x + 100 ≤ - 10x + 25 §

§ 20x + 10x ≤ 25 - 100 §

§ 30x ≤ - 75 §

§ x ≤ - § x ≤ -

Resposta: Os números reais que satisfazem a condição dada perten-

cem ao intervalo .

32. Seja: Pág. 133x = largura da sala (em metros).

Assim, x + 1,5 = comprimento da sala2x + 2 (x + 1,5) = perímetro da sala.


"


2x + 2(x + 1,5) > 60 §

§ 2x + 2x + 3 > 60 §

§ 4x > 60 - 3 §

§ x > §

§ x > 14,25

Resposta: A largura da sala mede, no mínimo, 14,26 metros.

574

2x + 2 (x + 1,5) > 60O rodapé gasto à volta da sala(perímetro) foi superior a 60 m .

4- ? , -524

52

7530

x2x2

(x + 10)2 ≤ (x - 5)2

Números reais cujo quadrado da suasoma com 10 não excede o quadradoda sua diferença com 5 .

2 (x + 3) > xNúmeros reais cujo dobro da sua soma com3 é superior ao próprio número.

33. Seja:x = custo de um bolo

Assim, 2x = custo de um sumo

Do enunciado do problema podemos deduzir que:

"


x + 2x ≤ 3 § 3x ≤ 3 §

§ x ≤ § x ≤ 1

Um bolo custa, no máximo, 1 euro.

2 * 1 = 2

Resposta: No máximo, o sumo de fruta custa 2 euros.

34. Seja: x = medida do comprimento dos lados iguais do triângulo isósce-les (número inteiro positivo).

Assim, x - 3 = medida do lado diferente do triângulo isósceles (númerointeiro positivo);2x + x - 3 = perímetro do triângulo (número inteiro positivo).


"


2x + x - 3 ≤ 30 § 2x + x ≤ 30 + 3 §

§ 3x ≤ 33 § x ≤ § x ≤ 11

Sendo as medidas dos comprimentos dos lados números inteirospositivos, então

O problema tem significado quando x å {4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 , 11} .

Resposta: As soluções possíveis para as medidas dos lados são 4 e 1 ; 5 e 2 ; 6 e 3 ; 7 e 4 ; 8 e 5 ; 9 e 6 ; 10 e 7 ; ou 11 e 8 .

35.

35.1 Sabemos que, num triângulo:

• qualquer lado é menor que a soma dos outros dois:por exemplo: c < a + b ;

• qualquer lado é maior que a diferença entre os outros dois:por exemplo: c > a - b .

Assim:8,5 + 3,5 = 12 " Calcula-se a soma dos dois comprimentos.

8,5 - 3,5 = 5 " Calcula-se a diferença dos dois comprimentos.

Logo, o terceiro lado poderá ter comprimento superior a 5 cm einferior a 12 cm . Como 5 < 11,5 < 12 então o comprimento doterceiro lado, dentro das opções propostas, só pode ser 11,5 cm .

Resposta: 11,5 cm .

5x > 0x - 3 > 0x ≤ 11

§ 5x > 0x > 3x ≤ 11

§ 3 < x ≤ 11

333

2x + x - 3 ≤ 30O perímetro não excede 30 cm .

33

x + 2x ≤ 3Um bolo e um sumo no máximocustam 3 euros.

53

CAPÍTULO 4


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

35.2 Sabemos que:

• O comprimento do terceiro lado é um número primo;

• O comprimento do terceiro lado é superior a 5 cm e inferior a12 cm ;

• {Números primos} = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 15 , …}

Resposta: O comprimento do terceiro lado pode ser igual a 7 cmou 11 cm .

36. Área do trapézio: At = * h . Pág. 134

Sendo:

B = 20 ; b = x ; h = 8

temos:

At = * 8 = (20 + x) * 4 =

Área do rectângulo: Ar = b * h .

Sendo:

b = x ; h = 8

temos:

Ar = x * 8 =


"


80 + 4x > 2 * 8x § 80 + 4x > 16x §

§ 4x - 16x > - 80 § - 12x > - 80 §

§ x < § x <

Como no contexto do problema x > 0

então x > 0 ‹ x < § 0 < x <

Resposta: Nas condições pedidas, x å .

37. Seja:x = número de iogurtes

Assim, 0,50x = custo, em euros, dos iogurtes.5 * 0,80 = 4 = custo, em euros, dos sumos.


"


0,50 x + 4 ≤ 10 § 0,50 x ≤ 10 - 4 §

§ 0,50 x ≤ 6 § x ≤ §

§ x ≤ 12

Como no contexto do problema x > 0

então x > 0 ‹ x ≤ 12 § 0 ≤ x ≤ 12

Resposta: A Ana pode comprar, no máximo, 12 iogurtes.

60,50

0,50x + 4 ≤ 10O custo dos iogurtes e dos sumos é, nomáximo, 10 euros.

40 , 203 3

203

203

203

-80-12

80 + 4x > 2 * 8xA área do trapézio é maior que o dobroda área do rectângulo.

8x

80 + 4x20 + x

2

B + b2

38.

38.1 Empresa ASendo:0,20n = custo do tempo de utilização.

O custo do aluguer da bicicleta na empresa A é:

a = 0,20n + 2

Empresa B

Sendo:0,25n = custo do tempo de utilização

O custo do aluguer da bicicleta na empresa B é:

b = 0,25n + 1

Resposta: a = 0,20n + 2 e b = 0,25n + 1 .

38.2 a = b

0,20n + 2 = 0,25n + 1 § 0,20n - 0,25n = 1 - 2 §

§ - 0,05n = - 1 § n = § n = 20

Resposta: S = {20} . O custo do aluguer de uma bicicleta nas empre-sas A e B é igual quando o tempo de utilização é 20 minutos.

38.3 a > b

0,20n + 2 > 0,25n + 1 § 0,20n - 0,25n > 1 - 2 §

§ - 0,05 > - 1 § n < § n < 20

Como no contexto do problema n ≥ 0 , então n ≥ 0 ‹ n < 20§ 0 ≤ n < 20 .

Resposta: S = [0 , 20[ . O custo do aluguer de uma bicicleta naempresa A é superior ao custo do aluguer de uma bicicleta naempresa B quando o tempo de utilização da bicicleta é inferior a20 minutos.

39. Seja: Pág. 135t = valor total de vendas.

Vencimento da Ana

10% do valor total das vendas = t * 10% = t * = 0,1t ;

O vencimento, em euros, da Ana é dado por A = 0,1t .

Vencimento da Joana

5% do valor total das vendas = t * 5% = 0,05t ;

O vencimento, em euros, da Joana é dado por J = 0,05t + 300 .

A Ana ganha mais que a Joana quando, A > J .

0,1t > 0,05t + 300 § 0,1t - 0,05t > 300 §

§ 0,05t > 300 § t > §

§ t > 6000

Resposta: A Ana ganha mais que a Joana quando o valor totaldas vendas é superior a 6000 euros.

40.

40.1 Resposta:

3000,05

10100

-1- 0,05

- 1- 0,05

54



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

40.2 Tendo em conta a sequência de figuras, vem:

Para que:N = 2n + 6

represente o número de azulejos brancos de cada figura temosque averiguar se todos os pares ordenados são solução da equa-ção.

Vejamos:

• (1 , 8) : 8 = 2 * 1 + 6 § 8 = 8 " Proposição verdadeira.

(1 , 8) é solução da equação.







Como todos os pares ordenados são solução da equação então onúmero de azulejos brancos (N) é dado pela expressão N = 2n + 6 ,sendo n o número da figura.

40.3 Sendo:

• N = 2n + 6

• N = 100

temos:

2n + 6 = 100 § 2n = 100 - 6 §twuwv

N

§ 2n = 94 § n = §

§ n = 47

Resposta: Existe. É a 47.a figura.

40.4 Sabemos que o número de azulejos varia entre 32 e 100 , inclusive.

Sendo n o número de azulejos pretos (o número da figura é igualao número de azulejos pretos).

32 ≤ N ≤ 100 ou N ≥ 32 ‹ N ≤ 100

Assim,

32 ≤ 2n + 6 ≤ 100 2n + 6 ≥ 32 ‹ 2n + 6 ≤ 100

32 - 6 ≤ 2n ≤ 100 - 6 2n ≥ 32 - 6 ‹ 2n ≤ 100 - 6

26 ≤ 2n ≤ 94 2n ≥ 26 ‹ 2n ≤ 94

≤ n ≤ n ≥ ‹ n ≤

13 ≤ n ≤ 47 n ≥ 13 ‹ n ≤ 47

13 ≤ n ≤ 47

Resposta: O número de azulejos pretos pode variar entre 13 e47 , inclusive.

41.

41.1 F = 1,8C + 32 § 1,8C + 32 = F §

§ 1,8C = F - 32 § C = §

§ C = § C =

Resposta: A equação resolvida em ordem a C é C = .5F - 160

9

5F - 1609

10F - 32018

F - 32(*10)

1,8(*10)

942

262

942

262

942

Figura (n) 1 2 3 4

N.° de azulejos brancos (N) 8 10 12 14

Par ordenado (n , N) (1 , 8) (2 , 10) (3 , 12) (4 , 14)

41.2 Quando:

• C = 12 • C = 30

F = 1,8 * 12 + 32 = 53,6 F = 1,8 * 30 + 32 = 86

Logo, 12° C = 53,6° F . Logo, 30° C = 86° F .

86 - 53,6 = 32,4

Resposta: A variação da temperatura foi de 32,4° F .

1. Pág. 1361.1 A altura da primeira figura obtém-se substituindo n por 1 na fórmula.

n = 1 : h = 2 + 10 * 1 = 12

Resposta: A primeira figura tem 12 mm de altura.

1.2 A altura da segunda figura obtém-se quando n = 2 .

n = 2 : h = 2 + 10 * 2 = 22

Resposta: A segunda figura tem 22 mm de altura.

1.3 Resposta: O número 2 representa, em mm , a altura dos encaixescilíndricos.

1.4 Resposta:

n = 0 : h = 2 + 10 * 0 = 2

Não. Nenhuma peça tem 2 mm de altura.

1.5 A altura de uma figura formada por 100 peças obtém-se substi-tuindo na fórmula n por 100 .

n = 100 : h = 2 + 10 * 100 = 1002

Resposta: Uma figura formada por 100 peças tem 1002 mm dealtura.

1.6 1,052 m = 1052 mm .

h = 1052

2 + 10n = 1052 § 10n = 1052 - 2 §twuwv

h

§ 10n = 1050 § n = §

§ n = 105

Resposta: Uma figura com 1,052 m de altura é formada por 105peças.

1.7 h ≥ 192 § 2 + 10n ≥ 192 §

§ 10n ≥ 192 - 2

§ 10n ≥ 190 §

§ n ≥

§ n ≥ 19

Dado que o João utilizou menos de metade das 50 peças que tinhaentão n < 25 .

Assim,

n ≥ 19 ‹ n < 25 § 19 ≤ n < 25 .

Resposta: O número de peças utilizadas pode variar entre 19 e 24 ,inclusive.

1.8 n = 10 : h = 2 + 10 * 10 = 102

n = 30 : h = 2 + 10 * 30 = 302

Resposta: A figura que a Inês pretende construir pode variar entre102 mm e 302 mm , inclusive.

19010

105010

55

CAPÍTULO 4


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

2. Pág. 137

2.1 Vejamos:

Vejamos qual das expressões corresponde à sequência definida pelatabela.

(A) 6n

n = 1 : 6 * 1 = 6

n = 2 : 6 * 2 = 12 0 10

Logo, 6n não corresponde à sequência definida pela tabela.

(B) n2 + 6

n = 1 : 12 + 6 = 7 0 6

Logo, n2 + 6 não corresponde à sequência definida pelatabela.

(C) 2 (2n + 2)

n = 1 : 2 (2 * 1 + 2) = 8 0 6

Logo, 2 (2n + 2) não corresponde à sequência definida pelatabela.

(D) 2 (2n + 1)

n = 1 : 2 (2 * 1 + 1) = 6

n = 2 : 2 (2 * 2 + 1) = 10

n = 3 : 2 (2 * 3 + 1) = 14

Logo, 2 (2n + 1) corresponde à sequência definida pela tabela,ou seja, permite calcular o número de peças necessárias paraconstruir a figura n .

Resposta: (D) .

2.2 Vamos averiguar se existe alguma figura com 30 peças. O númerodessa figura terá que ser natural.

2 (2n + 1) = 30 §

§ 4n + 2 = 30 §

§ 4n = 30 - 2 §

§ 4n = 28 §

§ n = 7

7 å N

Resposta: Pode. A figura 7 tem 30 peças.

2.3 Vamos averiguar se é possível fazer uma figura da sequência usando,pelo menos metade das peças, ou seja, pelo menos 25 peças.

25 ≤ 2 (2n + 1) ≤ 50 ou 2 (2n + 1) ≥ 25 ‹ 2 (2n + 1) ≤ 50

25 ≤ 4n + 2 ≤ 50 4n + 2 ≥25 ‹ 4n + 2 ≤ 50

25 - 2 ≤ 4n ≤ 50 - 2 4n ≥ 25 - 2 ‹ 4n ≤ 50 - 2

23 ≤ 4n ≤ 48 4n ≥ 23 ‹ 4n ≤ 48

≤ n ≤ n ≥ ‹ n ≤

5,75 ≤ n ≤ 12 n ≥ 5,75 ‹ n ≤ 12

7 ≤ n ≤ 12

Como n å N , então n å {6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12} .

O João pode fazer as figuras 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ou 12 .

Resposta: O João pode fazer 7 figuras diferentes.

484

234

484

234

Figura 1 2 3

Número de peças 6 10 14

2.4 42 ≤ 4n + 2 ≤ 50 ou 42 ≤ 4n + 2 ≤ 50

42 - 2 ≤ 4n ≤ 50 - 2 4n + 2 ≥ 42 ‹ 4n + 2 ≤ 50

40 ≤ 4n ≤ 48 4n ≥ 42 - 2 ‹ 4n ≤ 50 - 2

≤ n ≤ 4n ≥ 40 ‹ 4n ≤ 48

10 ≤ n ≤ 12 n ≥ ‹ n ≤

n ≥ 10 ‹ n ≤ 12

10 ≤ n ≤ 12

Como n å N , então n å {10 , 11 , 12} .

Resposta: S = {10 , 11 , 12} .As figuras 10 , 11 e 12 têm um número de peças compreendidoentre 42 e 50 , inclusive.

2.5 Por exemplo: “Quantas figuras quadrangulares se pode fazerusando, no máximo 30 peças?

3. Pág. 138

3.1 Quando um barco está à superfície da água a profundidade é 0 m .

No gráfico, quando a profundidade é 0 m a pressão é 1 atm .

Resposta: A pressão exercida por um barco à superfície da água é de1 atm .

3.2 a) O gráfico está contido numa recta.

Como para definir uma recta são suficientes dois pontos, vamos

averiguar se as coordenadas de dois pontos quaisquer são solu-

ções da equação P = .

Do gráfico podemos retirar, por exemplo, os pontos (n , P) = (0 , 1) e (n , P) = (0 , 2) .

Vejamos se os pares ordenados são soluções da equação:

• (n , P) = (0 , 1) : 1 = § 1 = 1 " Afirmação verdadeira

Logo, o par ordenado é solução da equação.

• (n , P) = (10 , 2) : 2 = § 2 = 2 " Afirmação verdadeira

Logo, o par ordenado é solução da equação.

Como as coordenadas de dois pontos da recta são soluções da

equação então P = representa analiticamente o grá-

fico dado.

b) Observando o gráfico verifica-se que quando a profundidade variaentre 20 e 30 metros, a pressão varia entre 3 atm e 4 atm .

Analiticamente, chegaríamos à mesma conclusão:

Como 20 < n < 30 , então usando as propriedades da monoto-nia da adição e monotonia parcial da multiplicação vamos“enquadrar” P .

20 < n < 30

20 + 10 < n + 10 < 30 + 10

30 < n + 10 < 40

3 < < 4

Logo, 3 < P < 4 .

Resposta: Quando o barco está a uma profundidade entre 20 e30 metros, a pressão a que está sujeito o barco varia entre 3 e4 atmosferas.

n + 1010

3010

<n + 10

10<

4010

n + 1010

10 + 1010

0 + 1010

n + 1010

484

404

484

404

56



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

c) 10 < P < 15 ou P > 10 ‹ P < 15

10 < < 15 > 10 ‹ < 15(10)

(1)(10) (10) (10)

100 < n + 10 < 150 n + 10 > 100 ‹ n + 10 < 150

100 - 10 < n < 150 - 10 n > 100 - 10 ‹ n < 150 - 10

90 < n < 140 n > 90 ‹ n < 140

90 < n < 140

Resposta: Quando a pressão está entre 10 e 15 atmosferas, ocorpo encontra-se entre 90 e 140 metros de profundidade.

4. Pág. 139

4.1 António10% do total de vendas = x * 10% = x * = x * 0,1 = 0,1x

Logo, a = 0,1x representa o rendimento total, mensal, do António.3

Comissão de 10%

Bernardo5% do total de vendas = x * 5% = 0,05x

Logo, representa o rendimento total,mensal, do Bernardo.

Carlos3% do total de vendas = x * 3% = 0,03x

Logo, representa o rendimento total,mensal, do Carlos.

Resposta: a = 0,1x ; b = 0,05x + 400 e c = 0,03x + 500 , sendo x ≥ 0 .

4.2 a = b

0,1x = 0,05x + 400

0,1x - 0,05x = 400

0,05x = 400

x =

x = 8000

S = {8000}

O António e o Bernardo têm o mesmo rendimento mensal quandoo total de vendas é 8000 euros.

a = c

0,1x = 0,03x + 500

0,1x - 0,03x = 500

0,07x = 500

x =

x =

S =

) 7142,8650 000

7

550 0007 6

50 0007

5000,07

4000,05

c = 0,03x + 5004 ¢

Comissão Ordenadode 3% mensal

b = 0,05x + 4004 ¢

Comissão Ordenadode 5% mensal

10100

n + 1010

n + 1010

n + 1010

O António e o Carlos tem o mesmo rendimento quando o total devendas é 7142,86 euros, aproximadamente.

b = c

0,05x + 400 = 0,03x + 500

0,05x - 0,03x = 500 - 400

0,02x = 100

x =

x = 5000

S = {5000}

O Bernardo e o Carlos têm o mesmo rendimento quando o total devendas é 5000 euros.

4.3 Dado que os procedimentos de resolução das equações e das ine-quações são semelhantes e em nenhuma situação se multiplicamambos os membros por um número negativo, temos:

a < b

0,1x < 0,05x + 400 §

§ x < 8000

Como no contexto do problema x ≥ 0 , então 0 ≤ x < 8000 .

S = [0 , 8000[

O rendimento do António é inferior ao rendimento do Bernardoquando o total de vendas é inferior a 8000 euros.

a < c

0,1x < 0,03x + 500 §

§ x <

Como no contexto do problema x ≥ 0 , então

0 ≤ x < .

S =

O rendimento do António é inferior ao rendimento do Carlosquando o total de vendas é inferior a 7142,86 euros, aproximada-mente.

b < c

0,05x + 400 < 0,03x + 500 §

§ x < 5000

Como no contexto do problema x ≥ 0 , então 0 ≤ x < 5000 .

S = [0 , 5000[

O rendimento do Bernardo é inferior ao rendimento do Carlosquando o total de vendas é inferior a 5000 euros.

30 , 50 000

7 3

50 0007

50 0007

1000,02

57



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

Capítulo 5

58



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

1. Pág. 155O triângulo no interior da circunferência é isósceles pois os lados[OC ] e [OA] são raios da mesma circunferência.

Portanto, os ângulos junto à base (lado diferente) têm a mesmaamplitude.

Logo, x = 65º .

BOWC = 180° - 65° - 65° = 50° ; CBWO = y = 180° - 90° - 50° = 40°

(A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º .)

Resposta: (D) .

2. x = AOWB = 70°

A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arcocompreendido entre os seus lados.

y = ACWB = 70° : 2 = 35°

A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arcocompreendido entre os seus lados.

Resposta: (C) .

3. CBWD = 180° - 115° - 32° = 33° Pág. 156

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º .

EAWD = CBWD = 33°

Ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência são geometrica-mente iguais.

Resposta: (A) .

4. 2 * 122° = 244°

A amplitude do arco maior ‰AC é 244° .‰AC = 360° - 244° = 116°

Um arco completo de uma circunferência tem 360° de amplitude.

AOWC = ‰AC = 116º

A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arcocorrespondente.

Resposta: (B) .

5. O triângulo [AOB] é isósceles pois tem dois lados iguais: ([OC] e [OB] são raios da mesma circunferência).

Logo, OBWA = BAWO = 48° (A lados geometricamente iguaisopõem-se ângulos com a mesma amplitude).

AOWB = 180° - 48° - 48° = 84°

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180° .

ACWB = = 42°

A amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência é igual ametade da amplitude de um ângulo ao centro com o mesmo arcocompreendido entre os seus lados.

Resposta: (A) .

6. O arco correspondente a um ângulo inscrito numa semicircunferên-cia tem amplitude 180º .

A amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência é metadeda amplitude do arco compreendido entre os seus lados:

= 90°

Resposta: (B) .

180°2

AOBW

2=

84°2

OC = OB

7. x = DBWA = 90° Pág. 157

O ângulo DBA é um ângulo inscrito numa semicircunferência.

BAWD = 180° - 130° = 50°

Os ângulos BAD e DAE são suplementares (BAWD + DAWE = 180°) .

y = ADWB = 180° - DBWA - BAWD = 180° - 90° - 50° = 40°

Outra forma de obter y :

Como x + y = 130° (a amplitude de um ângulo externo é igual àsoma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes) então90° + y = 130° § y = 40° .

z = DCWB = 180° - BAWD = 180° - 50° = 130°

Num quadrilátero inscrito numa circunferência a soma dos ângulosopostos é 180° .

Resposta: (D) .

8. x = CDWA = = 55°

A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude doângulo ao centro com o mesmo arco correspondente.‰AC = AOWC = 110°

A amplitude do arco é igual à amplitude do ângulo ao centro corres-pondente.

= 360° - ‰AC = 360° - 110° = 250°

Um arco completo de uma circunferência tem amplitude 360° .

y = ABWC = = 125°

A amplitude do ângulo inscrito é metade da amplitude do arco cor-respondente.

y + z + 60° + 110° = 360° e y = 125° ;

125° + z + 60° + 110° = 360° § z = 360° - 125° - 60° - 110° §§ z = 65°A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é360° .

Resposta: (D) .

9. x = 180º - 88° = 92°

A soma das amplitudes dos ângulos opostos de um quadriláteroinscrito numa circunferência é 180° .

CBWA = 180° - EBWC = 180° - 110° = 70°

Os ângulos CBA e EBC são suplementares (a soma das amplitu-des é 180°).

y = ADWC = 180º - CBWA = 180° - 70° = 110°

A soma das amplitudes dos ângulos opostos de um quadriláteroinscrito numa circunferência é 180° .

Resposta: (C) .

10. A soma dos ângulos externos de um polígono regular Pág. 158com n lados é 360° .

O ângulo externo tem 10° de amplitude.

Como:

= amplitude de um ângulo externo, vem,

= 20° § n = = 18

O polígono tem 18 lados.

Resposta: (C) .

360°20°

360°n

360°n

ADC‰

2=

250°2

ADC‰

COAW

2=

110°2

11. Trata-se de uma rotação de centro no ponto de coordenadas (4 , 2)e amplitude - 90° .

Resposta: (C) .

1. Pág. 159

1.1 PT ^ [OP] ; OPWT = 90°

Qualquer recta tangente a uma circunferência é perpendicular aoraio no ponto de tangência.

Resposta: [POT] é um triângulo rectângulo.

1.2 BOWP = TOWP = 180° - OPWT - PTWO = 180° - 90° - 20° = 70°

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é180° .

O ângulo BOP tem o vértice no centro da circunferência, logo éum ângulo ao centro.

Resposta: BOP é um ângulo ao centro de amplitude 70° .

1.3 BAWP = = 35°

A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude doângulo ao centro com o mesmo arco correspondente.

O ângulo BAP tem o vértice na circunferência e os lados contêmcordas da mesma circunferência.

Resposta: BAP é um ângulo inscrito na circunferência de ampli-tude 35° .

1.4 Sabe-se que:

Assim,

pr2 –––––– 360°A –––––– 70º

A =

Logo, a área do sector circular BOP é dada por A = c.q.m.

2.

2.1 A amplitude do ângulo ao centro é igual ao dobro da amplitude doângulo inscrito com o mesmo arco correspondente.

2 * 50° = 100°

Resposta: a = 100° .

7pr2

36

pr2 * 70°360°

=7pr2

36

Área Arco ou ângulo ao centro correspondente

Círculo pr2 360°

Sector circular A 70°

BOPW

2=

70°2

2.2 O triângulo [PQO] não é equilátero já que, neste caso, a ampli-tude de cada ângulo interno seria 60° (QOWP = 100° 0 60°) .

Por outro lado, , pois [PO] e [QO] são raios damesma circunferência.

Resposta: O triângulo [PQO] é isósceles porque tem dois ladoscom o mesmo comprimento ( ) .

2.3 Como vimos, o triângulo [PQO] é isósceles, pois tem dois ladosiguais: .

Assim, OQWP = QPWO (Num triângulo, a lados geometricamenteiguais, opõem-se ângulos com a mesma amplitude).

A soma das amplitudes dos dois ângulos é 180° - 100° = 80° .

Logo, b = QPWO = OQWP = = 40° .

A recta tangente à circunferência, QS , e o raio [OQ] são per-pendiculares.

Logo, c = PQWS = 90º - OQWP = 90° - 40° = 50° .

A recta tangente à circunferência, PS , e o raio [OP] são perpen-diculares.

Logo, SPWQ = 90° - QPWO = 90° - 40° = 50° .

Dado que a soma dos ângulos internos do triângulo [PQS] é 180° ,temos que:

d = 180° - 50° - 50° = 80°

Resposta: b = 40° , c = 50° e d = 80° .

3. Pág. 160

3.1 Sabemos que a = BDWC .

” BDC e ” BAC " Ângulos inscritos no mesmo arco de circun-ferência são geometricamente iguais.

Logo a = BDWC = BAWC = 40° .


3.2 b = BOWC = 2 * BDWC " A amplitude do ângulo ao centro é odobro da amplitude do ângulo inscrito com o mesmo arco corres-pondente, desta forma, temos que: 2 * 40° = 80° .

Resposta: b = 80° .

3.3 Sabemos que b = 80° .

O triângulo [BCO] é isósceles pois tem dois lados de igual com-primento ( pois são raios da mesma circunferência).

Assim:

Logo, c = OCWB = = 50° .

Resposta: c = 50° .

4.4.1 Sabemos que:

Logo, a = CBWD = ADWB = 25° .


CBWD = ADWBÂngulos de lados paralelos obtidos a partir desemi-rectas com sentidos opostos têm amesma amplitude.

100°2

OCWB + BOWC + CBWO = 180OCWB + 80° + CBWO = 180°OCWB + CBWO = 180° - 80°OCWB + CBWO = 100°

A soma dos ângulos internos de um triânguloé 180º .

BCWO = OBWCA lados geometricamente iguais opõem-seângulos com a mesma amplitude.

OB = OC

80°2

PO = QO

PO = QO 0 PQ

PO = QO

59



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

4.2 Sabemos que:

Logo, b = 2 * 25° = 50° .

Resposta: b = 50° .

4.3 Sabemos que:

Logo, c = DEWO = 105° .

Resposta: c = 105° .

4.4 Sabemos que:

Logo, ‰BC = 180° - 50° - 50° = 80° .

Resposta: ‰BC = 80° .

5. Pág. 161

5.1 Sabemos que:

• EDWC = CBWE = 50° ; DCWB = BEWD . Os ângulos opostos do losangotêm a mesma amplitude.

• EDWC + CBWE + DCWB + BEWD = 360° . A soma das amplitudes dosângulos internos do quadrilátero é 360° .

360° - 2 * 50° = 360° - 100° = 260° .

Logo, DCWB = BEWD = = 130° .

Resposta: DCWB = 130º .

5.2 Sabemos que:

• BAWD + BCWD = 180°

A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numacircunferência é 180° .

Logo, BAWD = 180° - 130° = 50° .

Resposta: BAWD = 50° .

6.6.1 Sabemos que um ângulo inscrito numa semicircunferência é recto.

Logo, ACWB = 90° .

Resposta: ACWB = 90° .

6.2 Sabemos que:

• ‰AB = 180° . A amplitude do arco da semicircunferência é 180° .

• ‰BC = 2 * 35° = 70º . A amplitude do arco de circunferência é odobro da amplitude do ângulo inscrito correspondente.

Como a amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do

arco correspondente, então ADWC = = 125° .

Resposta: ADWC = 125° .

AB‰ + BC‰

2=

180° + 70°2

260°2

• ‰AD = ‰AB + ‰BC + ‰CD == 180°

A amplitude do arco da semicircunferência é180° .

• ‰AB = 2 * 25° = 50°A amplitude do arco da circunferência é igualao dobro da amplitude do ângulo inscritocorrespondente.

• ‰CD = b = 50°A amplitude do arco de circunferência é igualà amplitude do ângulo ao centro correspon-dente.

• c = BEWC = DEWOÂngulos verticalmente opostos têm a mesmaamplitude.

• DEWO = 180° - 25° - 50°= 105°

A soma dos ângulos internos do triângulo é180º .

b = 2aO ângulo ao centro tem o dobro da ampli-tude de um ângulo inscrito com o mesmoarco correspondente.

6.3 Resposta:

7. Pág. 162

7.1 CBWA = ; ACWB = . A amplitude dos ângulos inscritos é

metade da amplitude do ângulo ao centro com o mesmo arco cor-

respondente.

Logo, CBWA = = 65° ; ACWB = = 70° .

CBWA + ACWB + BAWC = 180° . A soma das amplitudes dos ângulosinternos do triângulo é 180° .

Logo, BAWC = 180° - 65° - 70° = 45° .

Resposta: As amplitudes dos ângulos internos do triângulo [ABC]são: CBWA = 65° , ACWB = 70° e BAWC = 45° .

7.2 Num triângulo, a ângulos internos de amplitude diferentes opõem-selados de comprimentos diferentes.

Logo, .

Resposta: O triângulo [ABC] é escaleno.

7.3 = 120°

Cada lado do triângulo equi-látero é uma corda da circun-ferência que corresponde aum arco de amplitude 120° .

8.8.1 Sabemos que a amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade

da amplitude do arco correspondente e que, a amplitude de umângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente.

Tomando como referência a figura do enunciado, temos que:

ADWB = ; ACWB =

Logo, ADWB = ACWB .

Os ângulos inscritos no mesmo arco da circunferência são iguais,c.q.p.

8.2 Sabemos que a amplitude de um ângulo inscrito é metade da ampli-tude do arco correspondente e que, o arco da semicircunferênciatem amplitude 180° .

Tomando como referência a figura do enunciado, temos que:

ACWB = ; ‰AB = 180° .

Logo, ACWB = = 90º .

Um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo recto c.q.p.

9. Pág. 1639.1 90° . 9.2 180° . 9.2 135° . 9.4 70° .

180°2

AB‰

2

AB‰

2AB‰

2

360°3

AB 0 BC 0 CA

140°2

130°2

AOBW

2COAW

2

60



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

10.10.1

10.2

10.3

11. Pág. 164

11.1 Não, numa translação, a figura transformada pode ser obtida daoriginal deslocando a primeira ao longo de uma recta e sempreparalela à posição original.

11.2 Como os segmentos de rectascorrespondentes são paralelos,então trata-se de uma rotaçãode amplitude 180° .O centro de rotação é o pontode intersecção dos segmentosde recta que unem pontos cor-respondentes.

12.

12.1

12.2

12.3

1. Pág. 165

1.1 Sabemos que:

• Num polígono regular os lados tem o mesmo comprimento;

• Numa circunferência, a cordas com o mesmo comprimento cor-respondem arcos com a mesma amplitude.

Como numa circunferência a arcos com a mesma amplitude cor-respondem cordas com o mesmo comprimento então um polí-gono regular pode ser inscrito numa circunferência.

1.2 a) Um octógono regular tem 8 lados (cordas) com o mesmo com-primento, a que correspondem 8 arcos com a mesma ampli-tude.

360° : 8 = 45°

Logo, ‰AB = 45° .

Resposta: ‰AB = 45° .

b) BOWE = ‰BE . A amplitude do ângulo ao centro é igual à ampli-tude do arco compreendido entre os seus lados.‰BE = 3 * 45° = 135° . O octógono regular divide, em partesiguais, a circunferência.

Logo, BOWE = 135° .

Resposta: BOWE = 135° .

c) d , e e f , são amplitudes de ângulos inscritos cujo arco com-preendido entre os seus lados tem amplitude 45° .

Logo, d = e = f = = (22,5)° .

Resposta: d = e = f = 22,5° .

d) BFWE é a amplitude de um ângulo inscrito cujo arco compreen-dido entre os seus lados é o arco BE .

3 * 45° = 135° ; 135° : 2 = (67,5)° .

Resposta: BFWE = (67,5)° .

45°2

61



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

e) EDWC = . A amplitude do ângulo inscrito é metade da

amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

= 6 * 45° = 270°

Logo, EDWC = = 135° .

Resposta: EDWC = 135° .

2. Pág. 166

2.1 a) O centro da circunferência é o ponto de intersecção das media-trizes dos lados do trapézio.

b) . O trapézio é isósceles.‰DA = ‰BC . A cordas geometricamente iguais correspondemarcos com a mesma amplitude.

DPWA = ; BPWC = . A amplitude de um ângulo inscrito é

metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

Como ‰DA = ‰BC , então DPWA = BPWC , c.q.m.

2.2 a) TPQ é um ângulo interno do pentágono regular. A sua ampli-

tude obtém-se através da expressão 180° - , sendo n = 5

(número de lados).

180° - = 108°

Resposta: TPWQ = 108° .

b) Área sombreada = Área do círculo - Área do pentágono

Acírculo = p * r2 = p * 52 = 25p

Apentágono = 5At[SOR] = 5 * 12 = 60

25p - 60 ) 18,5

Resposta: A área da parte sombreada é 18,5 u. a., aproximada-mente.

3. Pág. 167Um quadrilátero pode ser inscrito numa circunferência quando asoma das amplitudes dos ângulos opostos é 180° (ângulos suple-mentares).

360°5

360°n

BC‰

2DA‰

2

AD = CB

270°2

EHC‰

EHC‰

23.1 a) O rectângulo pode ser inscrito numa circunferência. Trata-se de

um quadrilátero cuja soma das amplitudes dos ângulos opostosé 180° (90° + 90°) .

b) O paralelogramo não pode ser inscrito numa circunferência, anão ser que seja rectângulo. Os ângulos opostos são iguais, massó seriam suplementares se fossem rectos.

c) 110° + 65° = 175° 0 180°O trapézio dado não pode ser inscrito numa circunferência poisos ângulos opostos não são suplementares.

d) O losango não pode ser inscrito numa circunferência, a não serque se trate de um quadrado. Os ângulos opostos são iguais,mas só seriam suplementares se fossem rectos.

e) O trapézio isósceles pode ser inscrito numa circunferência. Osângulos opostos são suplementares.

3.2 a) CEWD = 180° - 45° - 45° = 90° . A soma das amplitudes dosângulos internos do triângulo é 180° .

CEWA = 180° ; DEWA + CEWD = 180° .

Logo, DEWA = 180° - 90° = 90° .

Resposta: DEWA = 90° .

b) BAWD + BCWD = 180° . A soma das amplitudes dos ângulosopostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é 180° .

DCWB = ECWB + DCWE = 35° + 45° = 80°

Logo, BAWD = 180° - 80° = 100° .

Resposta: BAWD = 100° .

c) Sabemos que:

• ‰AB = 70° ; ‰BC = 90° ; ‰DA = 90° . A amplitude de um arco éo dobro da amplitude do ângulo inscrito correspondente.

• ‰CD + ‰DA + ‰AB + ‰BC = 360° . A amplitude do arco da circun-ferência completa é 360° .‰CD + 90° + 70° + 90° = 360°‰CD = 360° - 90° - 70° - 90°‰CD = 110°

• ABWC = = = 100° . A amplitude de um ângulo

inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entreos seus lados.

Resposta: ABWC = 100° .

4. Pág. 168

4.1 CAWD = . A amplitude do ângulo inscrito é metade da ampli-

tude do arco compreendido entre os seus lados.

Logo, CAWD = = 30° .

Resposta: CAWD = 30° .

60°2

CD‰

2

110° + 90°2

CDA∞

2

62



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

4.2 Sabemos que:

• . Cordas correspondentes a arcos com a mesmaamplitude têm o mesmo comprimento.

• . Uma recta perpendicular a uma corda e que passapelo centro da circunferência bissecta a corda.

• [DE] é um lado comum aos dois triângulos.

Como os lados dos triângulos [AED] e [ECD] têm o mesmocomprimento, então são geometricamente iguais.

4.3 ‰DA = ‰DC . Uma recta perpendicular a uma corda e que passa pelocentro da circunferência bissecta o arco correspondente a essacorda.

Logo, ‰DA = 60° .

Resposta: A amplitude do arco DA é 60° (‰DA = 60°) .

4.4 COWA = ‰CA . A amplitude do ângulo ao centro é igual à amplitudedo arco compreendido entre os seus lados.

Logo, COWA = 60° + 60° = 120° .

Resposta: A amplitude do ângulo COA é 120° (COWA = 120°) .

4.5 À corda [AC] corresponde um arco de amplitude 120° . Todos osrestantes lados do polígono regular, cordas da circunferência, cor-respondem a arcos de amplitude 120º .

= 3 . O polígono regular tem 3 lados.

Resposta: Trata-se de um triângulo equilátero.

4.6 Sabemos que:

• AOWD = ‰AD = 60° . A amplitude do ângulo ao centro é igual àamplitude do arco compreendido entre os seus lados.

• EAWD = = 30° . A amplitude do ângulo inscrito é

metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

• OAWE = 180° - AEWO - EOWA = 180° - 90° - 60° = 30° . A somadas amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180° .

• OAWD = OAWE + EAWD = 30° + 30° = 60°

• OAWD = 180° - 60° - 60° = 60°

Os ângulos internos do triângulo [AOD] têm amplitude 60° .

A ângulos com a mesma amplitude opõem-se lados com o mesmocomprimento.

Logo, o triângulo é equilátero, c.q.p.

4.7 A área da parte colorida da figura é:

2 * (Área do sector AOD - Área do triângulo [AOD]) .

Cálculo da área do sector AOD

6 * 60º = 360° ; 6 * 5 cm = 30 cm . Cada arco de amplitude 60° tem com-primento 5 cm . Logo, a circunferênciatem comprimento c = 30 cm .

Como c = 2pr e c = 30 , então:

2pr = 30 § r = § r =

Assim, a área do círculo é pr2 = p * (cm2) .

360° ———— x =

60° ———— x

A área do sector circular é cm2 ) 11,937 cm2 .752p

60° *225

p360°

=2256p

=752p

225p

115p 2

2

=p * 225

p2 =225

p

15p

302p

DC‰

2=

60°2

360°120°

AE = CE

AD = DC

Cálculo da área do triângulo [AOD]

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

h2 +

h2 =

(4)

h2 =

h2 =

Logo, h = (h > 0) .

A[AOD] =

A área do triângulo [AOD] é ) 9,872 cm2 .

) 4,130

(2p)

Resposta: A área da parte colorida da figura é 4,13 cm2 , aproxi-madamente.

2 * 1752p

- 15 œ6754p2 2 = 75

p - 15 œ6752p2 = 150p - 15 œ675

2p2

15 œ6754p2

b * h2

=

15p * œ675

2p2

= 15 œ6754p2

œ6752p

6754p2

900 - 2254p2

225p2 -

2254p2

1152p2

2

= 115p 2

2

AO = OD = AD =15p

63



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

Capítulo 65. A equação dada é incompleta se:

2k + 1 = 0

2k = - 1

k = -

Resposta: (B) .

6. Para ser equação do 2.° grau, k 0 0 . Pág. 181

Para que seja equação incompleta, k - 1 = 0 § k = 1 .

Resposta: (B) .


ax2 + bx = 0 § x (ax + b) = 0

§ x = 0 § ax + b = 0 §

§ x = 0 § x = -

Uma das soluções é nula.


Por exemplo, a equação do 2.° grau x2 + 1 = 0 , é incompleta enão tem qualquer solução.


ax2 + c = 0 § ax2 = - c § x2 = -

Se - < 0 , então a equação é impossível.


ax2 = 0 § x2 = 0 § x = 0

A equação tem uma única solução.

Resposta: (C) .

8. x2 + 16 = 0 § x2 = - 16

É uma equação impossível.

Resposta: (C) .

9. 2x2 - 1 = 0 § 2x2 = 1

§

§ x2 =

§ x = ¿

S =

Resposta: (C) .

10. Pág. 182

5(2x - 1)2 = 0 § (2x - 1)2 = 0 § 2x - 1 = 0 §

§ 2x = 1 § x =

S =

Resposta: (D) .

11. - 2(x - 3)2 = 0 § § (x - 3)2 = 0 §

§ x2 - 6x + 9 = 0 " Equação na forma canónica.

Resposta: (A) .

- 2(x - 3)2

- 2=

0- 2

5126

12

5-Œ12

, Œ12 6

Œ12

12

2x2

2=

12

ca

ca

ba

12

2k2

=-12

1. Vamos escrever as equações na forma canónica: Pág. 180

• 2x2 = 3x2 § 2x2 - 3x2 = 0 § - x2 = 0 " Equação do 2.° grau.

• 3x2 - 2x + 3 = 3x2 § - 2x + 3 = 0 " Não é equação do 2.° grau (a = 0) .

• = 22 § - 4 = 0 " Não é equação do 2.° grau (não tem termo em x2) .

• 52 = x + 3 § - x + 25 - 3 = 0 §§ - x + 22 = 0 " Não é equação do 2.° grau (a = 0) .

Resposta: (A) .

2. Vamos escrever as equações na forma canónica:

• (x - 2)2 = x2 § x2 - 4x + 4 - x2 = 0 §§ - 4x + 4 = 0 " Não é equação do 2.° grau (a = 0) .

• (x - 1) (x + 1) = § (x2 - 1) = §

§ x2 - = § x2 - 1 = x2 - x §

§ x2 - x2 - 1 + x = 0 § x - 1 = 0 " Não é equação do 2.° grau (a = 0) .

• (2x - 1) (2 - x) = - 2x2 § 4x - - 2 + x = - §

§ 4x - 2 + x - = 0

§ 5x - = 0 " Não é equação do 2.° grau (a = 0) .

• 1 + (x - 2) (x + 2) = - x2 + 1 § 1 + (x2 - 4) = - x2 + 1 §

§ 1 + x2 - 4 = - x2 + 1 §

§ 2x2 - 4 = 0 " É uma equação do 2.° grau.

Resposta: (D) .

3. Vamos resolver a equação dada e averiguar qual das opções tem omesmo conjunto-solução.

2(x - 1)2 = 0 § (x - 1)2 = 0 § x - 1 = 0 § x = 1 " S = {1}

• x2 + 1 = 0 § x2 = - 1 " Equação impossível em R ; S = O .

• x2 - 1 = 0 § x2 = 1 § x = ¿ §§ x = ¿ 1 " S = {- 1 , 1} .

• 2x2 + 2 = 0 § 2x2 = - 2 § §

§ x2 = - 1 " Equação impossível em R ; S = O .

• x2 - 2x + 1 = 0 § x = § x =a = 1 ; b = - 2 ; c = 1

§ x = 1 " S = {1} .

Resposta: (D) .

4. x (x - 1)2 = x § x (x - 1)2 - x = 0 § x [(x - 1)2 - 1] = 0 §

§ x = 0 › (x - 1)2 - 1 = 0 § x = 0 › (x - 1)2 = 1 §

§ x = 0 › x - 1 = ¿

§ x = 0 › x = › x - 1 = 1

§ x = 0 › x = 0 › x = 1 + 1

§ x = 0 › x = 2

S = {0 , 2}

(x - 1)2 = 1 § x - 1 = ¿ §

§ x = - 1 + 1 › x = 1 + 1 § x = 0 › x = 2

S = {0 , 2}

Resposta: (A) .

œ1

- 1- 1

œ1

2 ¿ œ02

2 ¿ œ(- 2)2 - 4 * 1 * 12 * 1

2x2

2=

- 22

œ1

52

12

2x212

2x212

x2 - x2

12

12

x2 - x2

12

x2 - x2

12

œxœx

64



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

12. Vamos determinar o conjunto-solução da equação dada.

x2 - 4x + 4 = 0 § x = §a = 1 ; b = - 4 ; c = 4

§ x = § x = § x = § x = 2 ;

S = {2}

(A) - 3(x - 2)2 = 0 § (x - 2)2 = 0 § x - 2 = 0 § x = 2 ;

S = {2} .

(B) (x + 2)2 = 0 § x + 2 = 0 § x = - 2 ; S = {- 2} .

(C) - x + 4 = 0 § x2 - 4x + 16 = 0 §

a = 1 ; b = - 4 ; c = 16

§ x = §

§ x = " Equação impossível em R ; S = O .

(D) x (x - 2)2 = 0 § x = 0 › (x - 2)2 = 0 § x = 0 › x - 2 = 0 § x = 0 › x = 2 ; S = {0 , 2} .

Resposta: (A) .

13. Uma equação do 2.° grau na forma canónica é do tipo ax2 + bx + c = 0 , a 0 0 .

A equação 2x2 - x + p = 0 está escrita na forma canónica,

sendo a = 2 , b = - e c = p .

Resposta: (C) .

14. 4x2 - 8x + 4 = 0 § (2x)2 - 8x + 22 = 0 § (2x - 2)2 = 03 Quadrado

2 * 2x * (- 2) do binómio1.° 2.°

termo termo

Lembra-te que: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

Resposta: (D) .

15. ax2 + bx + c = 0 § x =

A equação é impossível quando b2 - 4ac < 0 .

Resposta: (D) .

16. b2 - 4ac ; a = 1 , b = - ; c = - 5 Pág. 183

- 4 + 1 * (- 5) = 2 + 20 = 22

Resposta: (D) .

17. Como o binómio discriminante, b2 - 4ac , é negativo, então a equa-ção é impossível (repara que não tem significado em R) .

Resposta: (D) .

18. Vamos averiguar se as soluções indicadas pertencem ao conjunto--solução da equação dada.

Resposta: (C) .

x x2 + x – 6 = 0 Conclusão

- 1 (- 1)2 + (- 1) - 6 = 0 §§ 1 - 1 - 6 = 0 § - 6 = 0

Afirmação falsa. - 1 não ésolução da equação.

- 3 (- 3)2 + (- 3) - 6 = 0 §§ 9 - 3 - 6 = 0 § 0 = 0

Afirmação verdadeira. - 3é solução da equação.

2 22 + 2 - 6 = 0 § 4 + 2 - 6 = 0 §§ 0 = 0

Afirmação verdadeira. 2 ésolução da equação.

6 62 + 6 - 6 = 0 §§ 36 = 0

Afirmação falsa. 6 não ésolução da equação.

- 2 (- 2)2 + (- 2) - 6 = 0 §§ 4 - 2 - 6 = 0 § - 4 = 0

Afirmação falsa. - 2 não ésolução da equação.

3 32 + 3 - 6 = 0 §§ 6 = 0

Afirmação falsa. 3 não ésolução da equação.

œ-118

(-œ2)2

œ2

- b ¿ œb2 - 4ac2a

12

12

4 ¿ œ- 482

4 ¿ œ(- 4)2 - 4 * 162 * 1

x2

4

42

4 ¿ œ02

4 ¿ œ16 - 162

4 ¿ œ(- 4)2 - 4 * 1 * 42 * 1

19. Sendo:x = número de moedas que a Joana tem.

Deste modo, temos que:

x2 - 6 = Diferença entre o quadrado do número de moedas que aJoana tem e seis.

5x = Quíntuplo do número das moedas que a Joana tem.

A equação que traduz o problema do enunciado é

x2 - 6 = 5x

Resposta: (B) .

20. As áreas dos jardins são: Pág. 184

• A1 = (7x - 2) (7x - 2) = (7x - 2)2

• A2 = 8(x - 2) (7x + 8)

Como as áreas são iguais, temos:

8(x - 2) (7x + 8) = (7x - 2)2 §

§ (8x - 16) (7x + 8 ) = 49x2 - 28x + 4 §

§ 56x2 + 64x - 112x - 128 = 49x2 - 28x + 4 §

§ 56x2 - 49x2 + 64x - 112x + 28x - 128 - 4 = 0 §

§ 7x2 - 20x - 132 = 0 §

§ x = §

x = ; a = 7 , b = - 20 e c = -132

§ x = §

§ x = §

§ x = §

§ x = › x = §

§ x = › x = §

§ › x = 6

Logo, x = 6 .

Resposta: (B) .

21. O volume da caixa (paralelepípedo) é dado por V = Ab * h ou V = c * ’ * h

4 ¢ 4 fl ¢Área Altura Comprimento 3 Altura

da base Largura

Sabemos que:

Ab = (x - 4) (x - 4) = (x - 4)2 = x2 - 8x + 16

h = 2

V = 8

Temos então:

Ab * h = V § (x2 - 8x + 16) * 2 = 8 § 2x2 - 16x + 32 = 8 §§ 2x2 - 16x + 32 - 8 = 0 § 2x2 - 16x + 24 = 0

Resposta: (B) .

No contexto do problema, a solução nega-tiva não pode ser usada. As medidas doscomprimentos não podem ser negativas.

x = -227

8414

- 4414

20 + 6414

20 - 6414

20 ¿ 6414

20 ¿ œ409614

20 ¿ œ400 + 369614

-b ¿ œb2 - 4ac2a

20 ¿ œ(- 20)2 - 4 * 7 * (-132)2 * 7

65



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

22. A área do triângulo é dada por A = .

Sabemos que:

x = altura do triângulo = h .

Então,

x + 4 = base do triângulo = bA = 30 ; b = x + 4 ; h = x

A equação que traduz o enunciado do problema é:

30 = § 60 = x (x + 4)

Resposta: (D) .

1. Pág. 185

1.1 Resposta: Não.

1.2 Resposta: Não.

1.3 Resposta: Sim.

1.4 (x - 1)2 = (x + 1)2 § x2 - 2x + 1 = x2 + 2x + 1 §§ x2 - x2 - 2x - 2x + 1 - 1 = 0 § - 4x = 0

Resposta: Não.

1.5 Resposta: Sim.

1.6 Resposta: Sim.

2.

2.1 Resposta: S = {2} .

O produto é zero quando o factor x - 2 se anula. Tal acontece sex = 2 ; - 3 * (2 - 2) = - 3 * 0 = 0 (o produto é zero).

2.2 Resposta: S = {5 , - 2} .

O produto é zero quando os factores a - 5 ou a + 2 , se anula-rem. Tal acontece se:

• a = 5 ; (5 - 5) (5 + 2) = 0 * 7 = 0 (o produto é zero).

• a = - 2 ; (- 2 - 5) (- 2 + 2) = - 7 * 0 = 0 (o produto é zero).

2.3 Resposta: S = {1 , - 2} .

O produto é zero quando os factores, x - 1 ou x + 2 , se anula-rem. Tal acontece se:

• x = 1 ; 5 (1 - 1) (1 + 2) = 5 * 0 * 3 = 0 (o produto é zero)

• x = - 2 ; 5 (- 2 - 1) (- 2 + 2) = 5 * (- 3) * 0 = 0 (o produto é zero).

2.4 Resposta: S = .

O produto é zero quando os factores, x - 3 ou 2x + 1 , se anula-rem. Tal acontece se:

• x = 3 ; (3 - 3) (2 * 3 + 1) = 0 * 7 = 0 (o produto é zero).

• x = - ; * (- 1 + 1) = - * 0 = 0

(o produto é zero).

3.

3.1 y (y - 2) = 0 § y = 0 › y - 2 = 0 § y = 0 › y = 2 .

Resposta: S = {0 , 2} .

3.2 (x - 1) (5x - 6) = 0 § x - 1 = 0 › 5x - 6 = 0 §

§ x - 1 = 0 › 5x = 6 § x = 1 › x =

Resposta: S = .51 , 656

65

721- 1

2- 3232 * 1- 1

22 + 14 = -72

12

53 , -126

(x + 4)x2

b * h2

3.3 (2m + 1) (2m + 8) = 0 § 2m + 1 = 0 › 2m + 8 = 0 §

§ 2m = - 1 › 2m = - 8 § m = - › m = - §

§ m = - › m = - 4

Resposta: S = .

3.4 (2a - 5)2 = 0 § 2a - 5 = 0 § 2a = 5 § a =

Resposta: S = .

3.5 (2a + 3)2 = 0 § 2a + 3 = 0 § 2a = - 3 § a = -

Resposta: S = .

3.6 2 (3x - 1) (3x + 1) = 0 § 3x - 1 = 0 › 3x + 1 = 0 §

§ 3x = 1 › 3x = - 1 § x = › x = -

Resposta: S = .

4.

4.1 x2 = 36 § x2 - 36 = 0 § (x - 6) (x + 6) = 0 Diferença de (6) (- 6)quadrados

Mentalmente, podemos indicar as soluções - 6 e 6 :

Resposta: A equação pedida é (x - 6) (x + 6) = 0 ; S = {- 6 , 6} .

4.2 x2 = 2x § x2 - 2x = 0 § x (x - 2) = 0 x é factor (0) (2)

comum

Mentalmente, podemos indicar as soluções 0 e 2 .

Resposta: A equação pedida é x (x - 2) = 0 ; S = {0 , 2} .

4.3 9x2 - 6x + 1 = 0 § (3x)2 + 2 * (3x) * (- 1) + (- 1)2 = 0 §Quadrado do binómio § (3x - 1)2 = 0

Mentalmente, podemos indicar a solução .

Resposta: A equação pedida é (3x - 1)2 = 0 ; S = .

5. Pág. 186

5.1 x2 - 25 = 0 § x2 = 25 § x = ¿ § x = ¿ 5 §§ x = - 5 › x = 5

Resposta: S = {- 5 , 5} .

5.2 144 = a2 § a2 = 144 § a = ¿ § a = ¿ 12 §§ a = - 12 › a = 12

Resposta: S = {- 12 , 12} .

5.3 (k - 1)2 = 9 § k - 1 = ¿ § k - 1 = ¿ 3 § k = 1 ¿ 3 §§ k = 1 - 3 › k = 1 + 3 § k = - 2 › k = 4

Resposta: S = {- 2 , 4} .

5.4 (m - 4)2 = 1 § m - 4 = ¿ § m - 4 = ¿ 1 § m = 4 ¿ 1 §

§ m = 4 - 1 › m = 4 + 1 § m = 3 › m = 5

Resposta: S = {3 , 5} .

5.5 (x - 12)2 = 0 § x - 12 = 0 § x = 12

Resposta: S = {12} .

5.6 (x - 1)2 = 2 § x - 1 = ¿ § x = 1 ¿ §

x = 1 - › x = 1 +

Resposta: S = .

5.7 2(x - 1)2 = 0 § (x - 1)2 = 0 § x - 1 = 0 § x = 1

Resposta: S = {1} .

51 - œ2 , 1 + œ2 6œ2œ2

œ2œ2

œ1

œ9

œ144

œ25

5136

13

1132

5- 13

, 136

13

13

5- 326

32

5526

52

5- 4 , -126

12

82

12

66



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

5.8 (3x - 1)2 = 8 § (3x - 1)2 = 16 § 3x - 1 = ¿ §

§ 3x - 1 = ¿ 4 § 3x = 1 ¿ 4 § x = §

§ x = › x = §

§ x = › x = §

§ x = - 1 › x = .

Resposta: S = .

6.

6.1 Resposta: x2 + 1 = 0 , por exemplo.

6.2 Resposta: x2 - 4 = 0 , por exemplo.

6.3 Resposta: 3x2 = 0 , por exemplo.

6.4 Resposta: x2 - 4x = 0 , por exemplo.

7.

7.1 Resposta: a = ; b = - 2 e c = 1 .

7.2 Resposta: a = 2 ; b = 0 e c = - 1 .

7.3 3x2 = 2x § 3x2 - 2x = 0 " Forma canónica.

Resposta: a = 3 ; b = - 2 e c = 0 .

7.4 (x - 1)2 = 2x § x2 - 2x + 1 = 2x

§ x2 - 2x - 2x + 1 = 0 §

§ x2 - 4x + 1 = 0 " Forma canónica.

Resposta: a = 1 ; b = - 4 e c = 1 .

8.

8.1 2x2 + 3x - 7 = 0

Temos:

x = ; a = 2 , b = 3 e c = - 7 .

Substituindo a , b e c na fórmula, vem:

x = §

§ x = § x = §

§ x = › x =

Resposta: S = .

8.2 x2 - 3x + 1 = 0

Temos:

x = ; a = 1 , b = - 3 e c = 1


x = §

§ x = § x = §

§ x = › x =

Resposta: S = .53 - œ52

, 3 + œ52

6

3 + œ52

3 - œ52

3 ¿ œ52

3 ¿ œ9 - 42

3 ¿ œ(- 3)2 - 4 * 1 * 12 * 1

- b ¿ œb2 - 4ac2a

5 - 3 - œ654

, - 3 + œ654

6

- 3 + œ654

- 3 - œ654

- 3 ¿ œ654

- 3 ¿ œ9 + 564

- 3 ¿ œ32 - 4 * 2 * (- 7)2 * 2

- b ¿ œb2 - 4ac2a

12

5-1 , 536

53

53

- 33

1 + 43

1 - 43

1 ¿ 43

œ1612

8.3 5x2 - 2x - 1 = 0

Temos:

x = ; a = 5 , b = - 2 e c = - 1 .


x = §

§ x = § x = §

§ x = › x =

Resposta: S = .

8.4 x2 + 8x = 2 § x2 + 8x - 2 = 0

Temos:

x = ; a = 1 , b = 8 e c = - 2 .


x = §

§ x = § x = §

§ x = › x =

Resposta: S = .

8.5 3x2 + 5 = 0

Temos:

x = ; a = 3 , b = 0 e c = 5 .


x = §

§ x = " Equação impossível ( não tem significado em R) .

Resposta: S = O .

8.6 - 3x2 + 2x = 0

Temos:

x = ; a = - 3 , b = 2 e c = 0 .


x = § x = §

§ x = § x = §

§ x = › x = §

§ x = › x = §

§ x = › x = 0

Resposta: S = .50 , 236

23

0- 6

- 4- 6

- 2 + 2- 6

- 2 - 2- 6

- 2 ¿ 2- 6

- 2 ¿ œ4- 6

- 2 ¿ œ4 + 0- 6

- 2 ¿ œ22 - 4 * (- 3) * 02 * (- 3)

- b ¿ œb2 - 4ac2a

œ- 60¿ œ- 60

6

0 ¿ œ02 - 4 * 3 * 52 * 3

- b ¿ œb2 - 4ac2a

5- 8 - œ722

, - 8 + œ722

6

- 8 + œ722

- 8 - œ722

- 8 ¿ œ722

- 8 ¿ œ64 + 82

- 8 ¿ œ82 - 4 * 1 * (- 2)2 * 1

- b ¿ œb2 - 4ac2a

52 - œ2410

, 2 + œ2410

6

2 + œ2410

2 - œ2410

2 ¿ œ2410

2 ¿ œ4 + 2010

2 ¿ œ(- 2)2 - 4 * 5 * (- 1)2 * 5

- b ¿ œb2 - 4ac2a

67



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

8.7 - (x2 + 3x - 1) = 2 § - x2 - 3x + 1 - 2 = 0 §§ - x2 - 3x - 1 = 0 " Forma canónica.

x = ; a = - 1 , b = - 3 e c = - 1 .

x = §

§ x = § x = §

§ x = › x =

§ x = › x =

Resposta: S = .

8.8 x - = (x - 3)2 § x - = x2 - 6x + 9 §

§ - x2 + x + 6x - - 9 = 0 §

§ - x2 + 7x - = 0 § - 2x2 + 14x - 19 = 0 " Forma canónica.(2) (2)

x = ; a = - 2 , b = 14 e c = - 19 .

x = §

§ x = § x = §

§ x = › x =

§ x = › x =

Resposta: S = .

9. Pág. 1879.1 Vamos, por exemplo, resolver a equação através do método da raiz

quadrada por se tratar de uma equação do tipo ax2 + c = 0 .

(2x - 3)2 = 16 § 2x - 3 = ¿ § 2x - 3 = ¿ 4 §

§ 2x = 3 ¿ 4 § x = § x = › x = §

§ x = - › x =

Resposta: S = .

9.2 Vamos, por exemplo, resolver a equação por factorização e aplica-ção da lei do anulamento do produto, por se tratar de uma equaçãoque se pode escrever na forma ax2 + bx = 0 .

x = x2 § x - x2 = 0 § 2x - x2 = 0 § x (2 - x) = 0 §(2)

§ x = 0 › 2 - x = 0 § x = 0 › 2 = x

Resposta: S = {0 , 2} .

9.3 Vamos, por exemplo, resolver a equação através do método da raizquadrada por se tratar de uma equação do tipo ax2 + c = 0 .

3x2+ 1 = 0 § 3x2 = - 1 § x2 = - " Equação impossível em R .

Resposta: S = O .

13

12

12

5- 12

, 726

72

12

3 + 42

3 - 42

3 ¿ 42

œ16

514 - œ444

, 14 + œ444

6

14 - œ444

14 + œ444

-14 + œ44- 4

-14 - œ44- 4

-14 ¿ œ44- 4

-14 ¿ œ196 - 152- 4

-14 ¿ œ142 - 4 * (- 2) * (- 19)2 * (- 2)

- b ¿ œb2 - 4ac2a

192

12

12

12

5-3 - œ52

, -3 + œ52

6

-3 - œ52

-3 + œ52

3 + œ5- 2

3 - œ5- 2

3 ¿ œ5- 2

3 ¿ œ9 - 4- 2

3 ¿ œ(- 3)2 - 4 * (- 1) * (- 1)2 * (- 1)

- b ¿ œb2 - 4ac2a

9.4 Vamos, por exemplo, resolver a equação através da fórmula resol-vente por se tratar de uma equação completa do 2.º grau.

4x2 + 4x + 1 = 0 §

§ § x = ; a = 4 , b = 4 e c = 1

§ x = § x = §

§ x = -

Resposta: S = .

9.5 Simplificando a equação, temos:

x2 = x2 + 1 § 5x2 = x2 + 5 § 5x2 - x2 = 5 § 4x2 = 5(5) (5)

Vamos, por exemplo, resolver a equação através do método da raizquadrada por se tratar de uma equação do tipo ax2 + c = 0 .

4x2 = 5 § x2 = § x = § x = §

§ x = - › x = .

Resposta: S = .

9.6 Vamos, por exemplo, resolver a equação através da fórmula resol-vente por se tratar de uma equação completa do 2.º grau.

x2 - 5x - 4 = 0 §

§ x = § a = 1 , b = - 5 e c = - 4

§ x = § x = §

§ x = › x = §

Resposta: S = .


x - = x2 § x - x2 = 0

Vamos, por exemplo, resolver a equação por factorização e aplica-ção da lei do anulamento do produto, por se tratar de uma equaçãodo tipo ax2 + bx = 0

x - x2 = 0 § x (1 - x) = 0 § x = 0 › 1 - x = 0 §

§ x = 0 › 1 = x

Resposta: S = {0 , 1} .


(2x - 1)2 - (2x - 1) (x + 3) = 0 .

Vamos, por exemplo, resolver a equação por factorização e aplica-ção da lei do anulamento do produto.

(2x - 1)2 - (2x - 1) (x + 3) = 0 §

§ (2x - 1) [(2x - 1) - (x + 3)] = 0 §

(2x - 1)2

(2x - 1) (x + 3)

§ (2x - 1) (2x - 1 - x - 3) = 0 § (2x - 1) (x - 4) = 0 §

§ 2x - 1 = 0 › x - 4 = 0 § 2x = 1 › x = 4 §

§ x = › x = 4

Resposta: S = .512

, 46

12

-12

12

55 - œ412

, 5 + œ412 6

5 + œ412

5 - œ412

5 ¿ œ412

5 ¿ œ25 + 162

5 ¿ œ(- 5)2 - 4 * 1 * (- 4)2 * 1

5- œ52

, œ52 6

œ52

œ52

¿ œ52

¿Œ54

54

15

5- 126

12

- 4 ¿ œ08

- 4 ¿ œ16 - 168

-b ¿ œb2 - 4ac2a

- 4 ¿ œ42 - 4 * 4 * 12 * 4

68



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

10. • (x - 3)2 = 1 § x - 3 = ¿ 1 § x = 2 › x = 4

S = {2 , 4} .

• 2 (x - 1) (x + 3) = 0 § x - 1 = 0 › x + 3 = 0 §1 - 3

§ x = 1 › x = - 3

S = {- 3 , 1} .

• (x - 1) (x + 3) = 5 § x2 + 3x - x - 3 - 5 = 0 § x2 + 2x - 8 = 0

§ x = § x = §

§ x = § x = - 4 › x = 2

S = {- 4 , 2}

• - 4 (x2 + 2) + 3 = 5 § - 4x2 - 8 + 3 = 5 § - 4x2 = 5 - 3 + 8

§ - 4x2 = 10 § x2 = §

§ x2 = - " Equação impossível em R .

S = O

• (x - 1)2 + (x + 1)2 = 6 § x2 - + 1 + x2 + + 1 = 6 §

§ 2x2 = 6 - 1 - 1 § 2x2 = 4 § x2 = § x2 = 2 §

§ x = ¿

S = .

• 216 = 35x - x2 § x2 - 35x + 216 = 0 §

§ x = § x = §

§ x = § x = 8 › x = 27

S = {8 , 27}

Resposta: x2 + 1 = 0 • • S = {1 , - 3}

(x - 3)2 = 1 • • S = {2 , 4}

2 (x - 1) (x + 3) = 0 • • S = {- 4 , 2}

(x - 1) (x + 3) = 5 • • S =

- 4 (x2 + 2) + 3 = 5 • • S = { }

(x - 1)2 + (x + 1)2 = 6 • • S = {8 , 27}

216 = 35x - x2 • • S = {- 2 , 4}

• S = {8 , - 27}

11.

11.1 Não. Tem um termo do 3.° grau (trata-se de uma equação do 3.°grau).

11.2 Uma equação do 2.° grau equivalente à equação dada tem omesmo conjunto-solução.

Vamos começar por resolver a equação dada.

x3 = x2 § x3 - x2 = 0 § x2 (x - 1) = 0 §

§ x2 = 0 › x - 1 = 0 § x = 0 › x = 1 .

S = {0 , 1} .

A equação do 2.° grau pedida deve ter como soluções 0 e 1 .

Assim, x anula-se quando x = 0 e x - 1 anula-se quando x = 1 .

Tomando como referência a lei do anulamento do produto,temos:

x (x - 1) = 0 § x2 - x = 0

Resposta: A equação pedida é x2 - x = 0 , por exemplo.

5-œ2 , œ2 6

35 ¿ 192

35 ¿ œ3612

35 ¿ œ352 - 4 * 1 * 2162 * 1

5-œ2 , œ2 6

œ2

42

2x2x

52

10- 4

- 2 ¿ 62

- 2 ¿ œ362

- 2 ¿ œ22 - 4 * 1 * (- 8)2 * 1

12.

12.1 (x + 3)2 = 25 ; y = x + 3

y2 = 25 § y = ¿ § y = ¿ 5

Resposta: y = - 5 › y = 5 .

12.2 Sendo y = x + 3 , temos:

(x + 3)2 = 25 §

§ x + 3 = - 5 › x + 3 = 5 §

§ x = - 5 - 3 › x = 5 - 3 §

§ x = - 8 › x = 2

Resposta: S = {- 8 , 2} .

13. Pág. 188

13.1 1.° processo

4x2 = 25 § x2 = §

x = ¿ § x = ¿ §

§ x = - › x =

2.° processo

4x2 = 25 § 4x2 - 25 = 0 §

§ (2x)2 - 52 = 0 § " Diferença de quadrados.

§ (2x - 5) (2x + 5) = 0 §

§ 2x - 5 = 0 › 2x + 5 = 0 §

§ 2x = 5 › 2x = - 5 §

§ x = › x = -

Resposta: S = .

13.2 1.° processo

(2x - 1)2 = 4 § 2x - 1 = ¿ § 2x = 1 ¿ 2 §

§ x = §

§ x = › x = §

§ x = - › x =

2.° processo

(2x - 1)2 = 4 § 4x2 - 4x + 1 = 4 §

§ 4x2 - 4x - 3 = 0 § x = ; a = 4 , b = - 4 e c = - 3

§ x = §

§ x = §

§ x = §

§ x = § x = › x = §

§ x = - › x =

Resposta: S = .5- 12

, 326

32

12

128

- 48

4 ¿ 88

4 ¿ œ648

4 ¿ œ16 + 488

4 ¿ œ(- 4)2 - 4 * 4 * (- 3)2 * 4

-b ¿ œb2 - 4ac2a

32

12

1 + 22

1 - 22

1 ¿ 22

œ4

5- 52

, 526

52

52

52

52

52

Œ254

254

œ25

69



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

13.3 1.° processo

5x2 - x = 0 § x(5x - 1) = 0 § x = 0 › 5x - 1 = 0 §

§ x = 0 › 5x = 1 § x = 0 › x =

2.º processo

5x2 - x = 0 §

§ x = § x = ;

§ x = §a = 5 , b = - 1 e c = 0

§ x = › x = §

§ x = 0 › x = §

§ x = 0 › x =

Resposta: S = .

13.4 1.° processo

(x + 1)2 - (x + 1) = 0 § (x + 1) [(x + 1) - 1] = 0 §

§ (x + 1) (x + 1 - 1) = 0 §

§ x + 1 = 0 › x = 0 §

§ x = - 1 › x = 0

2.° processo

(x + 1)2 - (x + 1) = 0 § x2 + 2x + 1 - x - 1 = 0 §

§ x2 + x = 0 §

§ x (x + 1) = 0 §

§ x = 0 › x + 1 = 0 §

§ x = 0 › x = - 1

Resposta: S = {- 1 , 0} .

13.5 1.° processo

x (1 - x) + (x - 3) (1 - x) = 0 § (1 - x) (x + x - 3) = 0 §

§ (1 - x) (2x - 3) = 0 §

§ 1 - x = 0 › 2x - 3 = 0 §

§ 1 = x › 2x = 3 §

§ x = 1 › x =

2.° processo

x (1 - x) + (x - 3) (1 - x) = 0 § x - x2 + x - x2 - 3 + 3x = 0 §

§ - 2x2 + 5x - 3 = 0 §

§ x = §

§ x = §

§ x = § x = §

§ x = › x = §

§ x = › x = 1

Resposta: S = .51 , 326

32

- 4- 4

- 6- 4

- 5 ¿ 1- 4

- 5 ¿ œ1- 4

- 5 ¿ œ25 - 24- 4

- 5 ¿ œ52 - 4 * (- 2) * (- 3)2 * (- 2)

32

50 , 156

15

210

1 + 110

1 - 110

1 ¿ œ110

-b ¿ œb2 - 4ac2a

1 ¿ œ(- 1)2 - 4 * 5 * 02 * 5

15

14. Seja:x = número.

Assim, 6x = sêxtuplo do número

O problema é traduzido pela equação:

5 + x2 = 6x

Resolvendo a equação, vem:

5 + x2 = 6x §

§ x2 - 6x + 5 = 0 § x = ;

§ x = §a = 1 , b = - 6 e c = 5

§ x = § x = §

§ x = § x = › x = §

§ x = › x = § x = 1 › x = 5

O problema tem duas soluções: 1 e 5 .

Resposta: O número pedido é 1 ou 5 .

15. Seja:x = número pedido

Assim,

x2 = quadrado do número;- x = simétrico do número

O problema é traduzido pela equação x2 = - x + 56 .


x2 = - x + 56 §

§ x2 + x - 56 = 0 § x = ; a = 1 , b = 1 e c = - 56

§ x = §

§ x = §

§ x = § x = §

§ x = › x = §

§ x = › x =

§ x = - 8 › x = 7

O problema tem duas soluções: - 8 e 7 .

Resposta: O número pedido é - 8 ou 7 .

16. Seja:

x = número pedido.


(x + 3)2 = 16tuv

Quadrado da soma de um número com 3 .


(x + 3)2 = 16 § x + 3 = ¿ §

§ x = - 3 ¿ 4 § x = - 3 - 4 › x = - 3 + 4 §

§ x = - 7 › x = 1

O problema tem duas soluções: - 7 e 1 .

Resposta: O número pedido é - 7 ou 1 .

œ16

142

-162

- 1 + 152

- 1 - 152

- 1 ¿ 152

-1 ¿ œ2252

-1 ¿ œ1 + 2242

-1 ¿ œ12 - 4 * 1 * (- 56)2 * 1

-b ¿ œb2 - 4ac2a

102

22

6 + 42

6 - 42

6 ¿ 42

6 ¿ œ162

6 ¿ œ36 - 202

6 ¿ œ(- 6)2 - 4 * 1 * 52 * 1

-b ¿ œb2 - 4ac2a

70



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

17. Seja:

x = número pedido.


(x + 3)2 = 2(x + 3)tuv twuwv

Quadrado da Dobro da soma de um sua soma

número com 3 . com 3 .


(x + 3)2 = 2(x + 3) § (x + 3)2 - 2(x + 3) = 0 §

§ (x + 3) (x + 3 - 2) = 0 §

§ (x + 3) (x + 1) = 0 §

§ x + 3 = 0 › x + 1 = 0

§ x = - 3 › x = - 1

O problema tem duas soluções: - 3 e - 1 .

Resposta: O número pedido é - 3 ou - 1 .

18.

18.1 Por exemplo: a diferença entre o quadrado de um número e 8 éigual a 56 .

Qual é esse número?

18.2 Por exemplo: O quadrado da diferença entre um número e 2 éigual a 9 .


18.3 Por exemplo: O quadrado da soma de um número com 5 é igualao triplo da sua soma com 5 .


19. Seja: Pág. 189

x = idade, em anos, da Inês

Assim,

(x + 2)2 = quadrado da idade, em anos, da Inês daqui a dois anos.


(x + 2)2 = 144


(x + 2)2 = 144 § x + 2 = ¿ §

§ x = - 2 ¿ 12 §

§ x = - 2 - 12 § x = - 2 + 12 §

§ › x = 10

No contexto do problema, x representa um número positivo, jáque se trata de uma idade.

Logo, x = 10 .

Resposta: Actualmente, a Inês tem 10 anos.

20. Seja:

x = idade, em anos, do João.

Assim,

(x - 5)2 = quadrado da idade, em anos, do João há cinco anos.

20(x - 5) = vinte vezes a idade, em anos, do João há cinco anos.


(x - 5)2 = 20 (x - 5)

x = -14

œ144


(x - 5)2 = 20 (x - 5) § (x - 5)2 - 20 (x - 5) = 0 §

§ (x - 5) (x - 5 - 20) = 0 § (x - 5) (x - 25) = 0 §

§ x - 5 = 0 › x - 25 = 0 § › x = 25

No contexto do problema, a idade do João (x) deverá ser supe-rior a cinco anos, senão há cinco anos teria zero anos.

Logo, x = 25 .

Resposta: O João tem 25 anos.

21. Seja:

x = idade, em anos, da Maria

Assim,

(x - 1)2 = quadrado da idade, em anos, da Maria há um ano.

5 (x + 9) = quíntuplo da idade, em anos, da Maria daqui a nove anos.


(x - 1)2 = 5(x + 9)


(x - 1)2 = 5(x + 9) § x2 - 2x + 1 = 5x + 45 §

§ x2 - 5x - 2x + 1 - 45 = 0 § x2 - 7x - 44 = 0 §

§ x = § x = ;

§ x = §a = 1 , b = - 7 e c = - 44

§ x = § x = §

§ x = › x = §

§ x = › x =

§ x = - 4 › x = 11

No contexto do problema, x representa um número positivo, jáque se trata de uma idade.

Logo, x = 11 .

Resposta: Actualmente, a Maria tem 11 anos.

22. A expressão (x - 5)2 representa o quadrado da idade, em anos,do António há cinco anos.

Por exemplo: Há cinco anos o quadrado da idade do António eraigual a um século. Qual a idade actual do António?

Uma equação que traduz este problema é (x - 5)2 = 100 .

Como (15 - 5)2 = 102 = 10 , então confirma-se que 15 é solu-ção da equação.

23. Por exemplo: A soma do quadrado da idade da Joana com a suaprópria idade é igual a 30 anos. Que idade tem a Joana?

Vamos, agora, resolver a equação x2 + x = 30 para determinar aidade da Joana.

x2 + x = 30 § x2 + x - 30 = 0 § x =

x = › x = § x = 5 › x = - 6

No contexto do problema, x , representa um número positivo(idade da Joana). Logo, a Joana, actualmente, tem cinco anos.

- 1 - 112

- 1 + 112

-1 ¿ œ1 - 4 * 1 * (-30)2 * 1

222

- 82

7 + 152

7 - 152

7 ¿ 152

7 ¿ œ2252

7 ¿ œ49 + 1762

-b ¿ œb2 - 4ac2a

7 ¿ œ(- 7)2 - 4 * 1 * (- 44)2 * 1

x = 5

71



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

24. Da Física, sabemos que e = vt | ||" tempo (h)| |" velocidade (km/h)|" espaço percorrido (km)

Quando e = 247,5 , temos:

247,5 = vt § t = , v 0 0

Por outro lado, para a mesma distância, vem:

247,5 = (v + 7,5) (t - 0,3) 1 h –––––––– 60 min3 ¢ x –––––––– 18 min

velocidade superior Tempo inferior em 7,5 km em 18 min = 0,3 h x = h = 0,3 h

Assim, passamos a ter:

247,5 = (v + 7,5)

\\t


247,5 = - 0,3v + - 2,25 §(v) (v) (v)

§ = - 0,3v2 + 1856,25 - 2,25v §

§ 0,3v2 + 2,25v - 1856,25 = 0 § x = ;

§ x = §

§ x = §

§ x = §

§ v = - 82,5 › v = 75

No contexto do problema, v > 0 .

Logo, v = 75 .

Resposta: O carro viajou a uma velocidade média de 75 km/h .

25. Da Física sabemos que e = vt , sendo: Pág. 190

e = espaço percorrido (km) ;

v = velocidade (km/h) ;

t = tempo (h) .

Sendo e = 240 km , temos que:

Viagem de moto Viagem de automóvel240 = vt § 240 = (v + 20) (t - 1)

§ t = , v 0 0

Logo, substituindo na segunda equação t por , vem:

240 = (v + 20) §

§ 240 = - v + - 20 §(v) (v) (v)

§ = - v2 + 4800 - 20v §

§ v2 + 20v - 4800 = 0 §

§ v = §

§ v = §

§ v = §

§ v = › v = §

§ v = - 80 › v = 60

1202

- 1602

- 20 ¿ 1402

- 20 ¿ œ196002

- 20 ¿ œ202 - 4 * 1 * (- 4800)2 * 1

240v240v

4800v

240vv

1240v

- 12

240v

ddddd240

v

Sendo a velocidade doautomóvel superior em20 km/h , o tempo daviagem vai ser inferior(em 1 hora).

- 2,25 ¿ 47,250,6

- 2,25 ¿ œ2232,56250,6

a = 0,3 , b = 2,25 e

c = - 1856,25

- 2,25 ¿ œ(2,25)2 - 4 * 0,3 * (-1856,25)2 * 0,3

-b ¿ œb2 - 4ac2a

247,5v247,5v

1856,25v

247,5vv

1247,5v

- 0,32

1860

247,5v

No contexto do problema, v > 0 .

Viagem de moto: v = 60 km/h .

Viagem de automóvel: v + 20 = 80 km/h .

Resposta: O irmão que viajou de moto fez a viagem a uma veloci-dade média de 60 km/h e o irmão que viajou de automóvel fez aviagem a uma velocidade média de 80 km/h .

26. Seja:

x = número de netos;

y = quantia atribuída a cada neto

Assim,

x * y = 240 § y = , x 0 0 .

Se tivesse menos dois netos, teríamos:

(x - 2) (y + 10) = 240

Substituindo y por , temos:

(x - 2) = 240 §

§ + 10x - - 20 = 240 §(x) (x) (x)

§ + 10x2 - 480 - 20x = §

§ 10x2 - 20x - 480 = 0 §

§ x = §

§ x = §

§ v = §

§ x = › x = §

§ › x = 8

No contexto do problema, x > 0 .

Logo, x = 8 .

Resposta: A avó Inês tem 8 netos.

27. Sendo N = 200 , temos:

200 = 30x - x2 §

§ x2 - 30x + 200 = 0 §

§ x = §

§ x = §

§ v = §

§ x = › x = §

§ x = 10 › x = 20

Como 5 < x < 25 , então a equação tem duas soluções: x = 10ou x = 20 .

Resposta: Cada mochila custou 5 euros ou 25 euros.

402

202

30 ¿ 102

30 ¿ œ1002

30 ¿ œ302 - 4 * 1 * 2002 * 1

x = - 6

20 + 14020

20 - 14020

20 ¿ 14020

20 ¿ œ1960020

20 ¿ œ(- 20)2 - 4 * 10 * (- 480)2 * 10

240x240x

480x

240xx

1240xx

+ 102

240x

240x

72



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

28. Pág. 191

28.1. Quando t = 0 , P = 02 - 24 * 0 + 96 000 = 96 000

Resposta: 96 000 representa a população actual da cidade.

28.2

P (10) = 102 - 24 * 10 + 96 000 = 95 860

P (11) = 112 - 24 * 11 + 96 000 = 95 857

P (12) = 122 - 24 + 12 + 96 000 = 95 856

P (13) = 132 - 24 * 13 + 96 000 = 95 857

P (14) = 142 - 24 * 14 + 96 000 = 95 860

Verifica-se que num período entre 10 a 14 anos, inclusive:

- A população mantém-se praticamente constante a cada ano quepassa;

- Daqui a 10 anos a população será a mesma que daqui a 14 anos.

28.3 Sendo P = 96 000 , vem:

t2 - 24t + = § t2 - 2t = 0 §

§ t (t - 2) = 0 §

§ t = 0 › t - 2 = 0 §

§ › t = 2

Como para t = 0 obtemos o valor da população actual, a solu-ção pedida é t = 2 .

Resposta: A população da cidade será igual à população actualdaqui a 2 anos.

28.4 Sendo P = 95 872 , vem

t2 - 24t + 96 000 = 95 872 §

§ t2 - 24t + 96 000 - 95 872 = 0 §

§ t2 - 24t + 128 = 0 §

§ t = §

§ t = §

§ t = §

§ t = › t = §

§ t = 8 › t = 16

Resposta: A população será de 95 872 habitantes daqui a 8anos ou daqui a 16 anos.

29.

29.1 A altura do corpo ao solo ao fim de 2 segundos obtém-se substi-tuindo t por 2 na fórmula.

h = - 5t2 + 20t + 2 ; t = 2

h = - 5 * 22 + 20 * 2 + 2 = 22

Resposta: Ao fim de 2 segundos o corpo encontra-se a 22metros do solo.

29.2 Na fórmula, vamos substituir h por 10 .

h = - 5t2 + 20t + 2 ; h = 10

322

162

24 ¿ 82

24 ¿ œ642

24 ¿ œ(- 24)2 - 4 * 1 * 1282 * 1

t = 0

96 00096 000

t 10 11 12 13 14

P 95 860 95 857 95 856 95 857 95 860

10 = - 5t2 + 20t + 2 §

§ 5t2 - 20t + 10 - 2 = 0 §

§ 5t2 - 20t + 8 = 0 §

§ t = §

§ t = §

§ t = 3,55 (2 c. d.) › t = 0,45 (2 c. d.)

A equação tem duas soluções: t ) 3,55 ou t ) 0,45 .

Resposta: O corpo encontra-se a 10 metros do solo ao fim de0,45 s e 3,55 s , aproximadamente.

29.3 Na fórmula, vamos substituir h por 100 .

h = - 5t2 + 20t + 2 ; t = 100

100 = - 5t2 + 20t + 2 §

§ 5t2 - 20t + 100 - 2 = 0 §

§ 5t2 - 20t + 98 = 0 §

§ t = §

§ t = " Equação impossível em R .

A equação não tem soluções.

Resposta: O corpo não atinge 100 metros de altura porque aequação 100 = - 5t2 + 20t + 2 é impossível.

30.

30.1 Sendo:

a2 = m * h , h = 1,5 m = 150 cm ; m = 50 kg

Temos:

a2 = * 50 * 150 § a2 =

Como a > 0 , vem:

a = ) 1,44

Resposta: A área da superfície corporal da Paula é 1,44 m2 ,aproximadamente.

30.2 Sendo:

a2 = m * h ; a = 2 m2

Temos:

22 = m * h § 4 = m * h §(3600)

§ 14 400 = m * h § " m e h são variáveis inversamente proporcionais

§ m = , h 0 0

• Se h = 180 , m = = 80

• Se h = 160 , m = = 90

São soluções os pares ordenados (h , m) : (180, 80) e (160 , 90) .

Resposta: Por exemplo: se a altura do João for 1,80 m , a massaé 80 kg e se a altura do João for 1,60 m , a massa é 90 kg .

14 400160

14 400180

14 400h

13600

13600

13600

Œ75003600

= œ750060

75003600

13600

13600

20 ¿ œ-156010

20 ¿ œ(- 20)2 - 4 * 5 * 982 * 5

20 ¿ œ24010

20 ¿ œ(- 20)2 - 4 * 5 * 82 * 5

73



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

31. Pág. 192

31.1 Seja:

x = largura, em metros, do jardim.

Assim:

x + 4 = comprimento, em metros, do jardim.

Sabemos que a área do jardim é A = c * ’e que A = 30 m2 . | |" largura

|" comprimento

A equação que traduz o problema é:

x (x + 4) = 30


x (x + 4) = 30 §

§ x2 + 4x - 30 = 0 §

§ § v = §

§ x = › x =


A equação tem uma solução: x = ) 3,831

Largura = x ) 3,83 m

Comprimento = x + 4 ) 7,83 m

Resposta: O jardim tem 7,83 m de comprimento e 3,83 m delargura, aproximadamente.

31.2 O perímetro do rectângulo é P = 2c + 2’ .

Sendo c ) 7,83 e ’ ) 3,83 , vem:

p ) 2 * 7,83 + 2 * 3,83 = 23,32

Resposta: O perímetro do rectângulo é 23,32 m , aproximada-mente.

32. Sabemos que:

20 - 2x = largura, em metros, do jardim;

40 - 2x = comprimento, em metros, do jardim.

A área do jardim é dada por:

A = (40 - 2x) (20 - 2x) ; A = 189

Logo, o problema é traduzido pela equação:

(40 - 2x) (20 - 2x) = 189


(40 - 2x) (20 - 2x) = 189 §

§ 800 - 80x - 40x + 4x2 = 189 §

§ 4x2 - 120x + 800 - 189 = 0 §

§ 4x2 - 120x + 611 = 0 §

§ x = §120 ¿ œ(-120)2 - 4 * 4 * 6112 * 4

- 4 + œ1362

- 4 + œ1362

- 4 - œ1362

- 4 ¿ œ1362

- 4 ¿ œ42 - 4 * 1 * (- 30)2 * 1

§ x = § x = §

§ x = › x = §

§ x = › x = §

§ x = 6,5 › x =

No contexto do problema, 0 < x < 10 . " Lembra-te que o jardim tem20 metros de largura.

Logo, x = 6,5 .

Resposta: A largura do passeio é 6,5 m .

33. Seja:

Atriângulo = = 34 ;

h = x ; b = 2x + 1


= 34


= 34 § = 34 §(2)

§ 2x2 + x = 68 § 2x2 + x - 68 = 0 §

§ x = §

§ x = §

§ x = › x =


Logo, x = ) 5,59 .

Desta forma, temos b = 2x + 1 = 2 * + 1 ) 12,17 .

Resposta: A base do triângulo tem comprimento 12,17 cm ,aproximadamente.

34. Seja:

Vcaixa = Ab * h = 75 ;

Ab = (x - 6) (x - 6) = (x - 6)2 ;

h = 3 .

O problema é traduzido pelaequação:

3 (x - 6)2 = 75


3 (x - 6)2 = 75 §

§ (x - 6)2 = 25 §

§ x - 6 = ¿ § § § x > 6

§ x = 6 ¿ §

§ x = 6 + 5 › x = 6 - 5 §

§ x = 11 ›


Logo, x = 11 .

Resposta: O lado da folha da cartolina mede 11 cm .

x = 1

œ25

5x > 0x > 65x > 0

x - 6 > 0œ25

Como x e x - 6 são medidas decomprimento, então:

- 1 + œ5454

- 1 + œ5454

- 1 + œ5454

- 1 - œ5454

- 1 ¿ œ5454

- 1 ¿ œ12 - 4 * 2 * (- 68)2 * 2

2x2 + x2

(2x + 1)x2

(2x + 1)x2

b * h2

23,5

1888

528

120 + 688

120 - 688

120 ¿ 688

120 ¿ œ46248

74



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

35. Seja: Pág. 193

x = comprimento, em metros, da diagonal menor (d).

Assim,

2x = comprimento, em metros, da diagonal maior (D).

Sabemos que a área do losango é dada por A = = 16 m2 .


= 16


= 16 § x2 = 16

Como x representa a medida de um comprimento, temos

x = §

§ x = 4 (x > 0) .

Assim, ficámos a saber que:

d = 4 ; D = 2 * 4 = 8

Tomando como referência afigura ao lado, usando o Teo-rema de Pitágoras, vem:

’2 = 22 + 42 § ’2 = 4 + 16 § ’2 = 20

Logo, ’ = .

Sendo o perímetro do losango P = 4’ , vem:

P = 4 * = 4 ) 17,89

Resposta: O perímetro do losango é 4 m , ou seja, 17,89 m ,aproximadamente.

36.36.1 Seja:

x = medida, em centímetros, docomprimento do lado.

Recorrendo ao Teorema de Pitá-goras, temos:

x2 = + 62 §

§ x2 = + 36 §(4) (4)

§ 4x2 = x2 + 144 §

§ 4x2 - x2 = 144 §

§ 3x2 = 144 §

§ x2 = §

§ x2 = 48

x representa a medida de um comprimento.

Logo, x = ) 6,93 .

Resposta: O lado do triângulo mede cm (6,93 cm , aprox.)

36.2 P = 3x ; x =

P = 3 * = 3 ) 20,78

Resposta: O perímetro do triângulo é 3 cm (20,78 cm ,aprox.).

36.3 A = ; b = ; h = 6

A = = 3 ) 20,78

Resposta: A área do triângulo é 3 cm2 (20,78 cm2 , aprox.).œ48

œ48œ48 * 62

œ48b * h

2

œ48

œ48œ48

œ48

œ48

œ48

1443

x2

4

1x22

2

œ20

œ20œ20

œ20

œ16

2x * x2

2x * x2

D * d2

37.

37.1 A expressão 4x + 2y representa o perímetro do terraço.

Resposta: A expressão 4x + 2y = 50 significa que o perímetro doterraço é 50 metros.

37.2 4x + 2y = 50 § 2y = 50 - 4x §

§ § y = 25 - 2x

Resposta: A equação resolvida em ordem a y é: y = 25 - 2x .

37.3 A área do terraço é igual à soma das áreas dos dois quadrados:

A = x2 + y2 ; y = 25 - 2x

Logo, A = x2 + (25 - 2x)2

Como A = 125 m2 , vem:

x2 + (25 - 2x)2 = 125

x2 + 625 - 100x + 4x2 = 125

x2 + 4x2 - 100x + 625 - 125 = 0

5x2 - 100x + 500 = 0

x = x = ;

x =a = 5 , b = - 100 e c = 500

x =

x = 10

Resposta: x = 10 m e y = 5 m .

38.

38.1 Quando x = 4 cm , obtemos a seguinte figura.

A altura h bissecta [DB] .

Recorrendo ao teorema de Pitágoras, vem:

h2 + 22 = 42

h2 = 42 - 22

h2 = 12

Logo, h =

|" Diagonal menor

| |" Diagonal maior

A área do losango é dada por A =

Sendo:

d = 4 cm ; D = 2 , vem:

A = = 4 ) 13,86

Resposta: Quando x = 4 cm , a área do losango é cm2

(13,86 cm2 , aprox.).4œ12

œ124 * 2œ12

2

œ12

d * D2

œ12

x y = 25 - 2x

10 y = 25 - 2 * 10 = 5

10010

100 ¿ œ010

-b ¿ œb2 - 4ac2a

100 ¿ œ(-100)2 - 4 * 5 * 5002 * 5

2y2

=50 - 4x

2

75



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

38.2 ALosango =

d = diagonal menor;

D = diagonal maior.

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras, vem:

h2 + = x2 § h2 = x2 - §

§ h2 = x2 - § h2 = §

§ h2 =

Como x > 0 e h > 0 , h = .

Sendo:

A = ; d = x ; D = 2 * h = 2 * , temos:

A =

Logo, a área do losango é dada por A = , c.q.m.

39. Seja: Pág. 194

x = raio, em metros, do círculo menor.

Assim;

x + 1 = raio, em metros, do círculo maior

A área do círculo é dada por A = pr2.

Temos então:

Área do círculo menor Área do círculo maior

Am = p * x2 = px2 AM = p * (x + 1)2 = p(x + 1)2

Como a área do círculo maior é quádrupla da área do círculomenor, vem:

AM = 4Am

p(x + 1)2 = 4px2 § (x + 1)2 = 4x2 §

§ x2 + 2x + 1 - 4x2 = 0 § - 3x2 + 2x + 1 = 0 §

§ x = §

§ x = §

§ x = › x = §

§ x = › x = §

§ x = 1 ›


Logo, x = 1 .

raio círculo menor = x = 1 m

raio círculo maior = x + 1 = 2 m .

Resposta: Os raios dos círculos menor e maior medem 1 m e 2 m ,respectivamente.

40.

40.1 A equação tem duas soluções reais se ˚ = b2 - 4ac > 0 , qual-quer que seja o valor de m .

Vejamos:

˚ = b2 - 4ac ; a = 3 , b = m e c = - 4

˚ = m2 - 4 * 3 * (- 4) = m2 + 48

x = -13

2- 6

- 6- 6

- 2 + 4- 6

- 2 - 4- 6

- 2 ¿ œ16- 6

- 2 ¿ œ22 - 4 * (- 3) * 12 * (- 3)

œ32

x2

x * œ3x2

= œ32

x2

œ3x2

= œ3xd * D

2

Œ3x2

4= œ3x

2

3x2

4

4x2 - x2

4x2

4

1x22

2

1x22

2

d * D2

Como m2 é um número não negativo (m2 ≥ 0) , então m2 + 48é um número positivo:

m ≥ 0

m2 + 48 ≥ 48 > 0

Logo, ˚ = m2 + 48 > 0

Como ˚ > 0 para qualquer m å R , então a equação 3x2 + mx - 4 = 0 tem duas soluções reais, c.q.p.

40.2 A equação é impossível se ˚ = b2 - 4ac < 0 , qualquer que seja ovalor do m å R \ {0} .

Vejamos:

˚ = b2 - 4ac ; a = - 3 , b = 0 e c = - m2

˚ = 02 - 4 * (- 3) * (- m2) = - 12m2

m å R \ {0}

m2 > 0

- 12m2 < 0

Logo, ˚ = - 12m2 < 0 .

Como ˚ < 0 para qualquer m å R \ {0} , então a equação - 3x2 + mx - 4 = 0 é impossível em R , c.q.p.

41.

41.1 ˚ = b2 - 4ac ; a = 1 , b = - 2r e c = 3r2

˚ = (- 2r)2 - 4 * 1 * 3r2 = 4r2 - 12r2 = - 8r2

Resposta: O valor do binómio discriminante é - 8r2 .

41.2 Sabemos que:

r < 0

r2 > 0

- 8r2 < 0

Logo, ˚ = - 8r2 < 0

Como ˚ < 0 para qualquer r å R- , então a equação x2 - 2rx + 3r2 = 0 é impossível em R .

41.3 Para que a equação tenha uma só solução real, ˚ = b2 - 4ac = 0 .

˚ = b2 - 4ac = 0 ; a = 1 , b = - 2r e c = ?

(- 2r)2 - 4 * 1 * c = 0 §

§ 4r2 - 4c = 0 §

§ 4r2 = 4c § §

§ r2 = c

Logo, a equação tem uma solução real se c = r2 .

Resposta: x2 - 2rx + r2 = 0 .

42. F2 - F - 1 = 0 §

§ F = § F = ;

§ F = §a = 1 , b = - 1 e c = - 1

§ F = › F =

No contexto do problema, F > 0 .

Logo, F = = , c.q.p. 12

(1 + œ5)1 + œ52

1 + œ52

1 - œ52

1 ¿ œ52

-b ¿ œb2 - 4ac2a

1 ¿ œ(-1)2 - 4 * 1 * (-1)2 * 1

4r2

4=

4c4

76



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

1. Pág. 195

1.1 a) Resposta: 2x + 2y representa o perímetro, em metros, do rec-tângulo.4 ¢

2 * largura 2 * comprimento

b) Sendo o perímetro p :

p = 2x + 2y ; p = 34 , temos:

2x + 2y = 34

Resolvendo a equação em ordem a y , vem:

2y = 34 - 2x §

§ §

§ y = §

§ y = 17 - x

Logo, y = 17 - x , c.q.m.

c) Sabemos que:

• y = 17 - x

• x2 + y2 = 132 " Teorema de Pitágoras

Assim, obtemos a equação.

x2 + (17 - x)2 = 132


x2 + 289 - 34x + x2 = 169

§ 2x2 - 34x + 289 - 169 = 0 § 2x2 - 34x + 120 = 0 §

§ x = § x = ;

§ x = § x = §a = 2 , b = - 34 e c = 120

§ x = › x = §

§ x = 5 › x = 12

" largura = 5 m ; comprimento = 12 m

" largura = 12 m ; comprimento = 5 m " Sem signifi-cado: a largura não pode ser superior ao comprimento.

Logo, x = 5 , c.q.m.

d) Sabemos que:

• Área do rectângulo: A = xy ;

• x = 5 ; y = 12 .

Logo, A = 5 * 12 = 60 .

Resposta: A área do rectângulo é 60 m2 .

1.2 A área do passeio é:

Apasseio = Arectângulo maior - Arectângulo menor = 60

Temos que,

Arectângulo menor = 12 * 5 = 60

Arectângulo maior = (12 + 2x) (5 + 2x)

Assim, temos:

(12 + 2x) (5 + 2x) - 60 = 60

x y = 17 - x

512

y = 17 - 5 = 12y = 17 - 12 = 5

34 + 144

34 - 144

34 ¿ 144

34 ¿ œ1964

-b ¿ œb2 - 4ac2a

34 ¿ œ(-34)2 - 4 * 2 * 1202 * 2

342

-2x2

2y2

=34 - 2x

2


(12 + 2x) (5 + 2x) - 60 = 60 §

§ 60 + 24x + 10x + 4x2 = 60 - 60 §

§ 4x2 + 34x - 60 = 0 §

§ x = § x = ;

§ x = §a = 4 , b = 34 e c = - 60

§ x = §

§ › x = 1,5

No contexto do problema, Tendo em conta o enunciado,

0 < x < 2,5 .

Logo, x = 1,5 . § § 0 < x < 2,5

Resposta: O passeio tem 1,5 m de largura.

2. Pág. 196

2.1 Tendo em conta o esquema da figura seguinte, vamos calcular asdiferentes áreas que constam no problema.

Área do mosaicoA1 = Arectângulo = c * ’ ; c = 1,25x e ’ = x

A1 = 1,25x * x = 1,25x2

Área do quadrado de lado igual à largura do mosaicoA2 = Aquadrado = ’2 ; ’ = x

A2 = x2

Área da parte colorida a azul

A3 = 1,5 * ALosango = ; D = x e d = * 1,25x

A3 = 1,5 * = 0,625x2

Logo, a área da parte colorida a azul é da área do quadrado de

lado igual à largura do mosaico. Portanto, a afirmação da Ana écorrecta.Por outro lado, temos que .

Logo, a área da parte colorida a cor azul é metade da área domosaico. Portanto, a afirmação do João é correcta.

A conclusão dos pais é correcta: ambos têm razão.

A3

A1=

0,625x2

1,25x2 = 0,5 =12

58

A3

A2

=0,625x2

x2 = 0,625 =6251000

=58

x *23* 1,25x

2

23

D * d2

5x < 2,5x < 6x > 0

52x < 52x < 12x > 0

x = - 10

-34 ¿ 468

-34 ¿ œ21168

-b ¿ œb2 - 4ac2a

-34 ¿ œ342 - 4 * 4 * (- 60)2 * 4

77

CAPÍTULO 6


CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

2.2 a) Sabemos que a área do mosaico é A1 = 1,25x2 = 80 cm2 .


1,25x2 = 80 § x2 = § x2 = 64

Logo, x = = 8 , pois x > 0 .

1,25x = 1,25 * 8 = 10

Resposta: O mosaico tem de comprimento 10 cm e de largura8 cm (ou seja, tem dimensões 10 cm * 8 cm) .

b) c = 3 m = 300 cm ;

’ = 2,4 m = 240 cm .

A área da cozinha é:

A = Arectângulo = c * ’ = 300 cm * 240 cm = 72 000 cm2 .

= 900 .

Resposta: A cozinha da Joana pode ter 900 mosaicos.

3. Pág. 1973.1 Sabemos que:

39,6 km = 39 600 m

1 h = 60 min = 60 * 60 s = 3600 s tuv1 min

Assim, temos:

39,6 km/h = = 11 m/s .

Resposta: O automóvel desloca-se a uma velocidade de 11 m/s .

3.2 Ec = mv2 ; 39,6 km/h = 11 m/s ; m = 1000 kg

Ec = * 1000 * 112 = 60 500

Resposta: A energia cinética do automóvel é 60 500 J .

3.3 Quando um automóvel circula a uma velocidade v , a energia

cinética é Ec1= mv2 .

Quando o mesmo automóvel circula com o dobro da velocidade

(2v) , a energia cinética é Ec2= m (2v)2 .

Comparando os valores obtidos, vem:

=

Logo, quando a velocidade duplica a energia cinética quadruplica.

Resposta: (D) .

3.4 Sabemos que:

Ec = mv2 = 200 000 ; m = 1000 kg

Assim, temos:

* 1000v2 = 200 000 § 500v2 = 200 000 §

§ v2 = § v2 = 400

Logo, v = 20 m/s = = 1 h —— 3600 s 1 km —— 1000 sx —— 1 s x —— 1 m

km/h =x = h x = km

= 72 km/h .

Resposta: O automóvel circulava a 72 km/h .

11000

13600=

20 1

1000 km

13600

h=

3600 * 201000

20 m1 s

200 000500

12

12

12

m (2v)2

12

mv2

=

12

m 4v2

12

m v2

= 4Ec2

Ec1

12

12

12

12

39,6 km1 h

=39 600 m

3600 s

72 00080

œ64

801,25

4. Pág. 1984.1 Sabemos que:

IMC = ; massa = 55 ; altura = 1,62 .

Assim, temos:

IMC = ) 21,0

21,0 å [18,5 ; 24,9] .

Logo, a Inês tem massa normal.

4.2 IMC =

altura2 =

altura = ¿

Como a altura é dada por um número positivo,

altura =

Resposta: altura = .

4.3 Sabemos que:

IMC = = 22 ; massa = 58

Assim, temos:

= 22 § (altura)2 =

Logo, altura = ) 1,62 (m) .

Resposta: O João tem 1,62 m de altura, aproximadamente.

4.4 De acordo com a OMS , a massa da Joana é normal se 18,5 ≤ IMC ≤ 24,9 .

Como altura = 1,68 , vem:

18,5 ≤ ≤ 24,9

18,5 * (1,68)2 ≤ massa ≤ 24,9 * (1,68)2 Monotonia parcial da multiplicação

52,2144 ≤ massa ≤ 70,27776

Resposta: A massa da Joana pode variar entre 52,3 kg e 70,2 kg ,aproximadamente.

5. Pág. 1995.1 Quando t = 0 ,

d = 40 - 5 * 02 = 40 .

Resposta: Na fórmula dada, 40 representa a altura a que foi lan-çada a bola.

5.2 Na fórmula, vamos substituir t por 1 :

d = 40 - 5 * 12 = 40 - 5 = 35 .

Resposta: Ao fim de um segundo após ter sido largada, a bolaencontrava-se a 35 metros do nível da água do mar.

5.3 d = 40 - 5 * (1,5)2 = 28,75

Ao fim de 1,5 segundos, após ter sidolargada, a bola encontra-se a uma dis-tância do nível da água do mar de28,75 m .

40 - 28,75 = 11,25

Resposta: A distância percorrida pelabola, ao fim de 1,5 segundos, foi11,25 metros.

massa(1,68)2

Œ5822

5822

massa(altura)2

massa(altura)2

ŒmassaIMC

ŒmassaIMC

ŒmassaIMC

massaIMC

massaaltura2

55(1,62)2

massa(altura)2

78



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

AutomóvelVelocidadeem km/h

Distância de travagem (Dt) em metros

1 v102

2

*12

P 120 112010 2

2

*12= 122 *

12= 144 *

12= 72

Q 40 140102

2

*12= 42 *

12= 16 *

12= 8

5.4 20 = 40 - 5t2 § 5t2 = 40 - 20 §

§ 5t2 = 20 § t2 = §

§ t2 = 4

No contexto do problema, t ≥ 0 .

Logo, t = = 2

Resposta: S = {2} . Significa que a bola encontrava-se a uma dis-tância de 20 metros ao nível da água do mar 2 segundos após tersido largada.

5.5 Quando a bola cai ao mar d = 0 .

Assim, temos:

40 - 5t2 = 0 § 40 = 5t2 § = t2 § t2 = 8

Logo, t = ) 2,8 .

Resposta: Após ter sido largada, a bola demorou 2,8 segundos,aproximadamente, a cair ao mar.

6. Pág. 2006.1 Dr = 0,3v ; v = 50

Dr = 0,3 * 50 = 15

Dt = ; v = 50

Dt = = 25 * = 12,5

Dp = Dr + Dt ; Dr = 15 ; Dt = 12,5

Dp = 15 + 12,5 = 27,5

Resposta: Dr = 15 m , Dt = 12,5 m e Dp = 27,5 m .

6.2

9 * 8 = 72 Logo, a distância de travagem para o automóvel P é nove vezesmais elevada do que para o automóvel Q .

Resposta: (D) .

12150

1022

*12

1 v102

2

*12

œ8

405

œ4

205

6.3 a) Como,

Dp = Dr + Dt ; Dr = 0,3 v ; Dt = ,

vem:

Dp = 0,3v + =

= =

= =

(20)

=

Logo, Dp = , c.q.m.

b) Sendo Dp = = 45,5 , vem:

= 45,5 §(200)

§ 60 v + v2 = 9100 §

§ v2 + 60v - 9100 = 0 §

§ x = § x = ;

§ x = §a = 1 , b = 600 e c = - 9100

§ x = §

§ v = › v = §

§ › v = 70

No contexto do problema, v ≥ 0 .

Logo, v = 70 .

Resposta: A distância de paragem (Dp) é igual a 45,5 m quando oautomóvel circula à velocidade de 70 km/h .

v = - 130

- 60 + 2002

- 60 - 2002

- 60 ¿ 2002

- 60 ¿ œ40 0002

-b ¿ œb2 - 4ac2a

- 60 ¿ œ602 - 4 * 1 * (- 9100)2 * 1

60v + v2

200

60v + v2

200

60v + v2

200

60v + v2

200

3v10

+v2

200

3v10

+v2

100*

12

1 v102

2

*12

1 v102

2

*12

79



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

Capítulo 7cos a =

tan a =

Resposta: (C) .

5. 2 = 52 + 122 Pág. 2172 = 169

Logo, = 13 .

Assim,

sin q = ; cos q = ; tan q =

Resposta: (D) .

6. 2 = 12 +2 = 1 + 3 2 = 4

Logo, = = 2 .

Assim,

sin (CBWA) = ;

cos (CBWA) = ;

tan (CBWA) =

Resposta: (A) .

7. cos 25° = 0,9063… " 0,90 (valor aproximado às centésimas por defeito)¢ 0,91 (valor aproximado às centésimas por excesso)

Resposta: (B) .

8. tan 68° = 2,475086… " 2,475 (valor aproximado às milésimas por defeito)¢ 2,476 (valor aproximado às milésimas por excesso)

Resposta: (C) .

9. Conhecemos os comprimentos dos dois catetos: Pág. 218

Comprimento do cateto oposto a a = = 2 ; comprimento docateto adjacente a a = = 5 .

Relativamente ao ângulo a vamos aplicar a definição de tangentede um ângulo.

tan a =

Assim, tan a = .

Usando a calculadora, temos: Na calculadora:

a = tan- 1 ) (21,801)°tan- 1 (2 : 5) = 21,80140949…

Resposta: (A) .

10. Conhecemos os comprimentos dos dois catetos:comprimento do cateto oposto a a = 3 ; comprimento do catetoadjacente a a = 1 .

Assim, tan a = = 3 . Na calculadora:

Logo, a = tan- 1 (3) ) (71,57)°tan- 1 (3) = 71,56505118…

Resposta: (A) .

31

1252

25

comprimento do cateto oposto a acomprimento do cateto adjacente a a

ABAC

AC

AB= œ3

1= œ3

AB

BC=

12

AC

BC= œ3

2

œ4BC

BC

BC

(œ3)2BC

AC

AB=

125

AB

BC=

513

AC

BC=

1213

BC = œ169

BC

BC


=8

15

comprimento do cateto adjacente a acomprimento da hipotenusa

=1517

0817

1. Relativamente a a . Pág. 216

• [AB] : hipotenusa:

• [BC] : cateto oposto;

• [AC] : cateto adjacente.

Resposta: (D) .


Um triângulo equilátero tem três lados com o mesmo comprimento.

O comprimento da hipotenusa é sempre superior aos comprimen-tos dos catetos.


Se um ângulo interno do triângulo é recto, os restantes dois ângulossão complementares (soma = 90°) e, portanto, cada um deles temamplitude inferior a 90° .

a + b = 90° ; a = 90° - b ; b = 90° - a

Logo, a < 90° e b < 90° .


Um triângulo rectângulo isósceles tem doiscatetos iguais e, portanto dois ângulosagudos com a mesma amplitude.

Trata-se de um triângulo rectângulo cujosângulos agudos têm amplitude 45° .


A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° .

Neste caso, temos: 90° + 60° + 60° = 210° 0 180° .

Resposta: (C) .

3. Usando a calculadora, temos:

sin 58° ) 0,85

sin 32º ) 0,53

cos 58° ) 0,53

tan 32° ) 0,62

Resposta: (D) .

4. Determinação de :

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras, vem:2 + 82 = 172

2 = 172 - 82

2 = 225

Logo, = 15 .

Determinação das razões trigonométricas de a :

sin a =comprimento do cateto oposto a a

comprimento da hipotenusa=

817

0 1 e 817

0178

AB = œ225

AB

AB

AB

AB

80



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

11. Conhecido o comprimento da hipotenusa ( = 6) , vamos apli-car a definição de seno de um ângulo para determinar o compri-mento do cateto oposto ao ângulo de amplitude 40° ( = x) .

sin a = ; a = 40° ;

= 6 e = x .

sin 40° = § x = 6 sin 40° = 3,86 (2 c. d.) .

Logo, o valor que mais se aproxima Na calculadora:

de x é 3,86 cm . 6 sin 40° = 3,856725658…

Resposta: (D) .

12. Conhecido o comprimento do cateto adjacente ao ângulo de ampli-tude 62° ( = 3 cm) vamos aplicar a definição de co-seno de umângulo para determinar o comprimento da hipotenusa ( ).

cos a = ; a = 62° ;

= 3 e = x .

cos 62° = §Na calculadora:

§ x = = 6,39 (2 c. d.) 3 : cos 62° = 6,390163405…

Resposta: (A) .

13. Relativamente a a , sabemos que: Pág. 219

• comprimento do cateto oposto = = 2,5 cm ;

• comprimento da hipotenusa = = 6 cm

• sin a =

Deste modo, temos que:

sin a =Na calculadora:

Logo, a = sin- 1 ) (24,62)° sin- 1 (2,5 : 6) = 24,62431835…

Resposta: (C) .

14. A altura do triângulo isósceles bissecta o ângulo e a base. Tendoem conta o esquema da figura abaixo, relativamente ao ângulo deamplitude 42° , sabemos que:

• comprimento do cateto oposto = ;

• comprimento da hipotenusa = 5 ;

• sin a =

84° : 2 = 42°

= 48°

Vem, então:

sin 42° = § sin 42° =Na calculadora:

x = 10 * sin 42° ) 6,69 10 * sin 42° = 6,691306064…

Outro processo

cos 48° = § cos 48° =Na calculadora:

x = 10 * cos 48° ) 6,69 10 * cos 48° = 6,691306064…

Resposta: (B) .

x10

x25

x10

x25

180° - 84°242°

5 cm 5 cm

84°

48°cmx

2cmx

2

comprimento do cateto oposto a acomprimento da hipotenusa

x2

12,56 2

2,56


BC

AC

3cos 62°

3x

BCAB


BCAB

x6

ABBC


AB

BC 15. De acordo com o esquema seguinte, que representa a situaçãodescrita, relativamente ao ângulo de amplitude 37º sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto é igual a 6 m ;

• Comprimento do cateto adjacente = distância pedida = x ;

• tan a = ; a = 37°

Vem, então:

tan 37° =Na calculadora:

x = ) 7,96 6 : tan 37° = 7,96226893…

Logo, a Inês encontra-se a 7,96 m , aproximadamente, do castelo.

Resposta: (A) .

16. Pág. 220

De acordo com o esquema = 1,7 m = 170 cm

ao lado, relativamente ao ângulo a sabemos que:

• comprimento do cateto oposto = 15 ;

• comprimento da hipotenusa = 170 ;

• sin a =

Vem, então:


Logo, a = sin- 1 ) 5° tan- 1 (15 : 170) = 5,062092964…

Resposta: (C) .

17.

17.1 Pelo Teorema de Pitágoras, vem:

2 + (2,56)2 = (8,35)2

2 = (8,35)2 - (2,56)2

2 = 63,1689 Na calculadora:

Logo, ) 7,95 (m) = 7,947886512…

Resposta: (B) .

17.2 • sin a = ;

• Comprimento do cateto oposto a a = 2,56 ; comprimento da hipotenusa = 8,35


Logo, a = sin- 1 ) 18º . sin- 1 (2,56 : 8,35) = 17,85365668…

Resposta: (B) .

12,568,352

2,568,35

comprimento do cateto opostocomprimento da hipotenusa

œ63,1689AB = œ63,1689

AB

AB

AB

1 151702

15170


3,4 m2

6tan 37°

6x


81



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

18. No triângulo [ABE] , os ângulos AEB e EBA são complemen-tares.

AEWB + EBWA = 90°

b + 60° = 90°

b = 90° - 60° = 30°

Determinação de :

Relativamente ao ângulo de amplitude 60º , usando a definiçãode co-seno de um ângulo, vem:

cos 60° =

Então,

cos 60° = § 11 + = §

§ = - 11 § = 20 - 11 = 9 cos 60° = 0,5

Logo, = 9 m .

Como o triângulo [CDE] é isósceles ( = = 9 m) , entãoos ângulos a e g , além de complementares, são iguais.

Logo, a = g = 45° , já que = 45° .

Resposta: (D) .

1. Pág. 221

1.1 Resposta: Não existe, pois o seno de um ângulo agudo é um valor

compreendido entre zero e um .

1.2 Resposta: Não existe, pois a tangente de um ângulo agudo é um

valor positivo (- 1 ∫ R+) .

1.3 Resposta: Existe, pois a tangente de um ângulo agudo é um valor

positivo (100 å R+) .

a = tan- 1 (100) ) (89,4)° .

1.4 Resposta: Não existe, pois o co-seno de um ângulo agudo é um

valor compreendido entre zero e um .

2.2.1 a) O seno de um ângulo agudo está compreendido entre 0 e 1 .

Resposta: 0 < sin x < 1 .

b) O co-seno de um ângulo agudo está compreendido entre 0 e 1 .

Resposta: 0 < cos x < 1 .

c) A tangente de um ângulo agudo é positiva.

Resposta: tan x > 0 .

2.2 a) Sabemos que tan x > 0 .

Logo, - 2a + > 0 § - 4a + 3 > 0 § - 4a > - 3 §(2) (2)

§ a < § a <

Resposta: A expressão tem sentido se a å .

b) Sabemos que 0 < cos x < 1 .

Logo, 0 < 2a - 1 < 1

§ 0 + 1 < 2a < 1 + 1 § 1 < 2a < 2 §

§ < a < § < a < 1

Resposta: A expressão tem sentido se a å . 4 12

, 13

12

22

12

4-? , 34 3

34

- 3- 4

32

1- 12∫ ]0 , 1[2

132∫ ]0 , 1[2

90°2

CECD

CE

CE10

cos 60°CE

10cos 60°

CE10

11 + CE

comprimento do cateto adjacentecomprimento da hipotenusa

=10

11 + CE

CE

3.

3.1 Resposta: sin 34° ) 0,56 . Na calculadora:sin 34° = 0,5591929035…

3.2 Resposta: cos 27° ) 0,89 . Na calculadora:cos 27° = 0,8910065242…

3.3 Resposta: tan 67° ) 2,36 . Na calculadora:tan 67° = 2,355852366…

3.4 sin a = 0,52 Na calculadora:

Logo, a = sin- 1(0,52) ) (31,33)°sin- 1 (0,52) = 31,3322515…

Resposta: a ) (31,33)° .

3.5 sin b =Na calculadora:

Logo, b = sin- 1 ) (19,47)° . sin- 1 (1 : 3) = 19,47122063…

tan g = 2 tan- 1 (2) = 63,43494882…

Logo, g = tan- 1(2) ) (63,43)°

Resposta: b ) (19,47)° e g ) (63,43)° .

4. Pág. 222

= 4,5 cm

= 6,5 cm

= 7,9 cm

sin 35° = ) 0,5696

cos 35° = ) 0,8228

tan 35º = = 0,6923

Na calculadora:

sin 35° ) 0,5736 ; cos 35° ) 0,8192 ; tan 35° ) 0,7002

Resposta: sin 35° ) 0,5696 ; cos 35° ) 0,8228 ; tan 35° = 0,6923 .As diferenças dos valores obtidos através de medições e pela calcula-dora, devem-se às limitações da medição através de régua graduada,que não permite medir comprimentos até à décima do centímetro.

5.

5.1 Resposta: P 1 (1 , 4) .

5.2 tan a = = 4

Resposta: tan a = 4 .

5.3 tan a = 4

Logo, a = tan- 1 (4) ) (75,96)° Na calculadora:tan- 1 (4) = 75,96375653…

Resposta: (C) .


=41

comprimento do cateto opostocomprimento do cateto adjacente

=4,56,5

comprimento do cateto adjacentecomprimento da hipotenusa

=6,57,9

comprimento do cateto opostocomprimento da hipotenusa

=4,57,9

AC

AB

BC

1132

13

82



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

6. Pág. 2236.1 Resposta: A 1 (1 , 1) ; B 1 (8 , 4) e C 1 (8 , 1) .

6.2 = 8 - 1 = 7

Resposta: = 7 .

6.3 a) Determinação de .

Pelo Teorema de Pitágoras, vem:2 = 72 + 32 § 2 = 58

Logo, .

Assim, sin a = " comprimento do cateto oposto a a

" comprimento da hipotenusa

Resposta: sin a = .

b) Sabemos que:

cos a = .

Logo, cos a = .

Resposta: cos a = .

c) Sabemos que:

tan a = .

Logo, tan a = .

Resposta: tan a = .

7.

7.1 [DC] é a altura do triângulo [ABC] e bissecta a base [AB] .

A área do triângulo é A = , emque b = 8 e h = .

Determinação da altura h

Relativamente ao ângulo de amplitude70°, DAC , a razão trigonométricaque relaciona o cateto oposto h como cateto adjacente [AD] é a tangente.

Assim, temos:

tan 70° =

h = 4 tan 70°

Logo, A = = 16 tan 70º Calculadora:

= 43,96 (2 c. d.) .16 * tan 70° = 43,95963871…

Resposta: A área do triângulo é 43,96 cm2 , aproximadamente.

7.2 O perímetro do triângulo é P = 2x + 8 .

Determinação de x

Relativamente ao ângulo de amplitude 70º , sabemos que:

• Comprimento do cateto adjacente = = 4 cm ;

• Comprimento da hipotenusa = = x .

A razão trigonométrica que relaciona o cateto adjacente e a hipote-nusa é o co-seno.

Assim, temos:

cos 70° =

x = ) 11,6952 Calculadora: 4 : cos 70° = 11,6952176…8 : cos 70° + 8 = 31,3904352…

4cos 70°

4x

AC

AD

8 * 4 tan 70°2

h4

DC

b * h2

37

37

comprimento do cateto oposto a acomprimento da adjacente a a

=BC

AC

7

œ58

7

œ58


=AC

AB

3

œ58

3

œ58

AB = œ58

ABAB

AB

AC

AC

Logo, P = 2 * + 8 = + 8 ) 31,4

Resposta: O perímetro do triângulo é 31,4 cm , aproximada-mente.

8. Pág. 224

8.1 Sabemos que:

sin2 a + cos2 a = 1 ; cos a = .

Assim, temos:

sin2 a + = 1 § sin2 a + = 1 § sin2 a = 1 - §

§ sin2 a = § sin a = ¿ § sin a = ¿

Como sin a é positivo, vem: sin a = .

Resposta: sin a = .

8.2 Sabemos que:

tan a = ; sin a = e cos a =

Assim, vem:

tan a =

Logo: 3 cos a - tan a = 3 *

(3) (4)

Resposta: 3 cos a - tan a = .

9.

9.1 Consideremos um triângulo rectângulo cujos lados têm compri-mentos a , b e c , sendo x um dos seus ângulos agudos.

Pelo Teorema de Pitágoras, temos a2 + b2 = c2 .

Dividindo ambos os membros por c2

(c 0 0) , obtemos:

Sabemos que sin x = e cos x =

Logo, obtemos sin2 x + cos2 x = 1 @ Fórmula fundamental da trigonometria.

9.2 Sabemos que sin2 x + cos2 x = 1 e que cos x 0 0 .

Dividindo ambos os membros por cos2 x , obtemos:

§ tan2 x + 1 = c.q.m.

9.3 A fórmula obtida em 9.2 permite-nos determinar cos x conhecidoo valor de tan x .

tan2 x + 1 = ; tan x = 2 .

Temos então:

22 + 1 = § 5 = § cos2 x = § cos x = ¿

Como cos x é positivo, vem: cos x = .

Resposta: cos x = .Œ15

Œ15

Œ15

15

1cos2 x

1cos2 x

1cos2 x

1cos2 x

sin2 xcos2 x

+cos2 xcos2 x

=1

cos2 x

bc

ac

a2

c2 +b2

c2 =c2

c2 § 1ac 2

2

+ 1bc 2

2

= 1

27 - 4œ712

34- œ7

3=

94- œ7

3= 27 - 4œ7

12

œ7434

= œ73

34

œ74

sin acos a

œ74

œ74

œ74

Œ 716

716

916

91613

422

34

8cos 70°

4cos 70°

83



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

10.

10.1 1.° membro = 1- (sin x - cos x)2 = 1- (sin2 x -2 sin x cos x + cos2 x) =

= 1 - (1 - 2 sin x cos x) =

= 1 - 1 + 2 sin x cos x = sin2 x + cos2 x = 1

= 2 sin x cos x = 2.° membro

Logo,

1 - (sin x - cos x)2 = 2 sin x cos x , c.q.m.

10.2 1.° membro = cos2 x (2 + tan2 x) = 2 cos2 x + cos2 x tan2 x =Nota:= 2(1 - sin2 x) + =sin2 x + cos2 x = 1

= 2 - 2 sin2 x + sin2 x = 2 - sin2 x = 2.° membro cos2 x = 1 - sin2 x

Logo, cos2 x (2 + tan2 x) = 2 - sin2 x , c.q.m. tan x =

11.

11.1 Resposta: Um ângulo inscrito numa semicircunferência é recto,logo o triângulo [ACB] é rectângulo em C .

11.2 Relativamente ao ângulo a , sabemos que:

cos a =

Temos, então: cos a =Calculadora:

Logo, a = cos- 1 ) (22,6)° cos- 1 (12 : 13) = 22,61986495…

Resposta: a ) (22,6)° .

12. De acordo com o esquema seguinte, do triângulo Pág. 225rectângulo [COD] conhecemos os catetos.

Podemos obter, por exemplo, o ângulo a partir da tangente.

Assim, temos:

tan

Logo, = tan- 1 , ou seja, Calculadora:

a = 2 tan- 1 ) (118,1)° . 2 * tan- 1 (2,5 : 1,5) = 118,0724869…

Como e são complementares, então = 90° .

Logo, = 90° - .a2

b2

a2+b2

b2

a2

12,51,52

12,51,52

a2

1a2 2 = 2,51,5

a2

112132

1213


=AC

AB

sin xcos x

cos2 x sin2 xcos2 x

= 90°- tan- 1

Calculadora:(2) (2)

b = 180° - 2 tan- 1 ) (61,9)° 180° - 2 * tan- 1 (2,5 : 1,5) = 61,92751306…

Outro processo

Por se tratar de um losango, a e b são suplementares: a + b = 180° .

Logo, b = 180° - a = 180° - (118,1)° = (61,9)° .

Resposta: a ) (118,1)° e b ) (61,9)° .

13.

13.1 360° : 5 = 72°

Logo, = 72º .

Como a amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude doarco compreendido entre os seus lados, então:

DOWE = = 72°

Outro processo

DOWE + EOWA + AOWB + BOWC + COWD = 360°

Como os ângulos são iguais, então DOWE = = 72° .

Resposta: DOWE = 72° .

13.2 A área do pentágono é A = * ap

De acordo com a figura seguinte:

perímetro = 5 * e = 2x

Relativamente ao ângulo de amplitude 36° :

• x = comprimento do cateto oposto;

• 10 cm = comprimento da hipotenusa;

• ap = comprimento do cateto adjacente.

Pela definição de seno de um ângulo, temos:

sin 36º = § x = 10 sin 36° § x = 5,8779 (4 c. d.)

Por outro lado, pela definição de co-seno de um ângulo, temos:

cos 36° = § ap = 10 cos 36º § ap = 8,0902 (4 c. d.)

Logo;

= 2x = 2 * 10 sin 36 = 20 sin 36º ) 11,7557

Logo, A = * 10 cos 36° ) 237,8

Ou

A = * 8,0902 § A ) 237,8

Resposta: A área do pentágono é 237,8 cm2 , aproximadamente.

5 * 11,75572

5 * 20 sin 36°2

ED

ap10

x10

EDED

perímetro2

360°5

DE‰

DE‰

12,51,52

12,51,52

b2

84



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

14. Relativamente ao ângulo de amplitude 30° , já sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto = 10 m ;

• Comprimento da hipotenusa = .

Vamos aplicar a definição de seno de um ângulo para determinar.

sin 30° =

§ = 20

Resposta: = 20 m .

15. Observando o esquema que representa Pág. 226o problema, concluímos imediatamente que:

• CAWB = 10° . Ângulo formado por semi-rectas paralelas e comsentidos contrários às do ângulo dado;

• ABWC = 90° - 10° = 80º . O ângulo dado e o ângulo ABC sãocomplementares.

Relativamente ao ângulo ABWC = 80° , sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto = = x ;

• Comprimento do cateto adjacente = = 85 m .

Vamos aplicar a definição de tangente de um ângulo para deter-minar x .

tan 80° =

x = 85 tan 80°

Logo, x ) 482 .

Resposta: A distância do farol ao ponto visado é 482 m , apro-ximadamente.

16. Vamos fazer um esquema e nele representar os dados do pro-blema.

A altura do padrão é h = x + y .

Relativamente ao ângulo de amplitude 39° , sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto = x ;

• Comprimento do cateto adjacente = 60 m .

x85

BC

AC

PM

PMPM =10

sin 30°

10PM

PM

PM

Vamos aplicar a definição de tangente de um ângulo para deter-minar x .

tan 39° = § x = 60 tan 39° § x = 48,5870 (4 c. d.)

Relativamente ao ângulo de amplitude 2° , sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto = y ;

• Comprimento do cateto adjacente = 60 m .

Vamos aplicar a definição de tangente de um ângulo para deter-minar y .

tan 2º = § y = 60 tan 2° § y = 2,0952 (4 c. d.)

Logo, h = x + y = 60 tan 39° + 60 tan 2° ) 50,68 Ou h = x + y = 48,5870 + 2,0952 ) 50,68

Resposta: A altura do Padrão dos Descobrimentos é 50,68 m ,aproximadamente.

17. Vamos fazer um esquema e nele representar os dados do pro-blema.

= x + y

Relativamente ao ângulo a = 42° , sabemos que:


• Comprimento da hipotenusa = 300 m .

Vamos aplicar a definição de seno de um ângulo para determi-nar x .

sin 42° = § x = 300 sin 42° § x = 200,7392 (4 c. d.).

Relativamente ao ângulo b = 47° , sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto = y ;


Vamos aplicar a definição de seno de um ângulo para determi-nar y .

sin 47º = § y = 500 sin 47º § y = 365,6769 (4 c. d.)

Logo, = x + y = 300 sin 42º + 500 sin 47° ) 566,4

Ou

= x + y = 200,7392 + 365,6769 ) 566,4

Resposta: = 566,4 m , aproximadamente.PL

PL

PL

y500

x300

PL

y60

x60

85



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

18. Relativamente ao ângulo a = 14º , sabemos que: Pág. 227



Vamos aplicar a definição de seno de um ângulo para determinar x .

sin 14° = § x = 340 sin 14° § x = 82,2534 (4 c. d.)

Logo, y = 160 - x = 160 - 82,2534 = 77,7476 (4 c. d.) .

Assim, relativamente ao ângulo b , sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto = y = 77,7466

• Comprimento da hipotenusa = 500 m

Vamos aplicar a definição de seno de um ângulo para determinar b .

sin b =

Logo, b = sin- 1 ) 9° .

Resposta: b ) 9° .

19.

19.1 No triângulo rectângulo [BOP] , relativamente ao ângulo OBWP = 70° , sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto = h ;

• Comprimento do cateto adjacente = x .

Vamos aplicar a definição de tangente de um ângulo para relacio-nar h com x .

tan 70° = § h = x tan 70°

Resposta: A expressão pedida é h = x tan 70° .

19.2 No triângulo rectângulo [AOP] , relativamente ao ângulo OAWP = 50° , sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto = h ;

• Comprimento do cateto adjacente = 200 + x .

Vamos aplicar a definição de tangente de um ângulo para relacio-nar h com x .

tan 50° = § h = (200 + x) tan 50° §

§ h = 200 tan 50º + x tan 50° .

Resposta: A expressão pedida é h = 200 tan 50° + x tan 50° .

19.3 De 19.1 e 19.2, temos:

Usando valores exactos:


5h = x tan 70°x (tan 70° - tan 50°) = 200 tan 50°

5h = x tan 70°x tan 70° = 200 tan 50° + x tan 50°

5h = x tan 70°h = 200 tan 50° + x tan 50°

h200 + x

hx

177,7466500 2

77,7466500

x340

Na calculadora:200 tan 50° : (tan 70° - tan 50º) * tan 70º = 420,937962…ou200 tan 50°: (tan 70° - tan 50°) = 153,2088886…ans * tan 70° = 420,937962…

Nota: ans = 153,2088886…

Ou

Usando valores aproximadosNa calculadora:

tan 70° = 2,747477419…

200 tan 50° = 238,3507185…

tan 50° = 1,191753593…

Resposta: h ) 421 m .

1. Pág. 228

1.1 a) BLWE = 33° e LEWB são amplitudes dos ângulos agudos dotriângulo rectângulo [LBE] .Como os ângulos são complementares, então LEWB = 90º - 33° = 57° .

Resposta: LEWB = 57° .

b) Sabemos que:

BEWC = LEWB + 90° + CEWP = 180°

Logo, 57° + 90° + CEWP = 180°

CEWP = 180° - 57 - 90°

CEWP = 33°

Resposta: CEWP = 33° .

1.2 Sabemos que:

• EBWL = PCWE = 90° ;

• BLWE = CEWP = 33° .

Resposta: Os triângulos [LBE] e [ECP] são semelhantes porque têmdois ângulos com a mesma amplitude (EBWL = PCWE e BLWE = CEWP) .

5h = 421 (0 c.d.)x = 153 (0 c.d.)

5 h = 2,7474 *238,35071,5557

x =238,35071,5557

5h = 2,7475x1,557x = 238,3507

5h = 2,7475x2,7475x - 1,1918x = 238,3507

5h = 2,7475x2,7475x = 238,3507 + 1,1918x

5h = 2,7475xh = 238,3507 + 1,1918x

5h = x tan 70°h = 200 tan 50° + x tan 50°

5h = 421 (0 c.d.)x = 153,2089 (4 c.d.)

5h = x tan 70°

x =200 tan 50°

tan 70° - tan 50°

86



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

1.3 a) Vamos fazer um esquema e nele representar os dados do problema.

Relativamente ao ângulo de amplitude BLWE = 33° , sabemos que:

• Comprimento do cateto oposto = ;

• Comprimento da hipotenusa = = 15 m .

Vamos aplicar a definição de seno de um ângulo para determinar.

sin 33° =

= 15 sin 33°

Logo, = 8,17 m (2 c. d.) .

Resposta: ) 8,17 m .

b) Vamos fazer um esquema e nele representar os dados do pro-blema.

Relativamente ao ângulo de amplitude CEWP = 33° , sabemos que:

• Comprimento do cateto adjacente = ;


Vamos aplicar a definição de co-seno de um ângulo para deter-minar .

cos 33° =

= 12 cos 33°

Logo, = 10,06 m (2 c. d.)

Resposta: ) 10,06 m .

1.4 A piscina é rectangular.

A área do rectângulo é:

A = comprimento * largura

Sabemos que:

• Largura = = + =

= 15 sin 33° + 12 cos 33°

• Comprimento = 3 * largura = 3 * (15 sin 33° + 12 cos 33°)

Logo, A = (15 sin 33° + 12 cos 33°) * 3(15 sin 33° + 12 cos 33°) ) 997 .

Resposta: A área da piscina é 997 m2 , aproximadamente.

ECBEBC

EC

EC

EC

EC12

EC

EC

BE

BE

BE

BE15

BE

LE

BE

2. Pág. 229

2.1 Dois triângulos são geometricamente iguais se, por exemplo, oslados têm o mesmo comprimento.

Se o ponto O é ponto médio de [DC] então:

; e .

Logo, neste caso, os triângulos [AOD] e [BOC] são geometrica-mente iguais.

Resposta: Os triângulos [AOD] e [BOC] são geometricamenteiguais se O é o ponto médio de [DC] , já que assim têm 3 ladoscom o mesmo comprimento.

2.2 Vamos fazer um esquema e nele representar os dados do problema.

A área, A , da parte colorida é igual à soma das áreas dos triângulos[AOD] e [BCO] :

A = A[AOD] + A[BCO] =

= = =

A área do triângulo [AOB] é A[AOB] = .

Logo, a área do triângulo [AOB] é igual à área da parte coloridada figura, c. q. p.

2.3 O esquema seguinte representa os dados do problema.

A área do terreno é dada por: A = comprimento * largura

Temos:

• sin 30° = = 50 sin 30° § = 25

Como , vem:

25 = § * 25 § .

Logo, comprimento = = 75 m .

• cos 30° = = 50 cos 30° § = 43,3013 (4 c. d.)

Logo, largura = = (50 cos 30°) m ) 43,3013 m .

A = 75 * 50 cos 30° ) 3247,6 ou A = 75 * 43,3013 ) 3247,6 .

Resposta: A área do terreno é 3247,6 m2 , aproximadamente.

AD

ADAD50

§ AD

DC

DC = 75DC = 313

DC

DO =23

DC

DODO50

§ DO

a * b2

a * b2

(a - x + x) * b2

(a - x) * b2

+x * b

2

AO = BOAD = BCDO = OC

87



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

Capítulo 8

88



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

4. O volume do cilindro é Vc = Ab * h = pr2 * h

Seja:

raio da esfera = r

Então:

raio da base do cilindro = 2r ;altura do cilindro = 4r .

Logo, Vc = p * (2r)2 * 4r = p * 4r2 * 4r = 16pr3 .

O volume da esfera é Ve = pr3 .

O volume pedido é: V = Vc - 2Ve = 16pr3 - 2 * pr3 = 16pr3 - pr3 =(3)

=

Logo, é possível colocar pr3 unidades de volume de água.

Resposta: (C) .

5. Pág. 239

5.1 P = 28 " O perímetro do triângulo lateral é 28 cm .

= 10 " O lados iguais do triângulo medem 10 cm cada um.

6 * 10 = 60

O perímetro da planificação é 60 cm .

Resposta: (A) .

5.2 A área da face lateral (triângulo isósceles) é A = .

Sabemos que b = 8 cm mas é necessário determinar h .

De acordo com a figura ao lado e usando oTeorema de Pitágoras, vem:

h2 + 42 = 102 § h2 = 102 - 42 §§ h2 = 84

Logo, h = cm .

A =

A área de uma face lateral é cm2 .

Resposta: (D) .

5.3 A área total da pirâmide é At = Ab + A’

Determinação da área da base

h2 + 42 = 82 §

§ h2 = 82 - 42 §

§ h2 = 48

Logo, h = .

Ab = ; b = 8 e h = .

Ab =

Determinação da área lateral

A’ = 3 * Aface ; Aface =

A’ = 3 * =

Logo, At = cm2 .

Resposta: (B) .

(4œ48 + 12œ84)

12 œ844 œ84

4 œ84

8 * œ482

= 4 œ48

œ48b * h

2

œ48

4 œ84

8 * œ842

= 4 œ84

œ84

b * h2

28 - 82

=202

403

48pr3 - 8pr3

3=

403

pr3

83

43

43

@ O raio da esfera é metade do raioda base do cilindro. Logo, o raio dabase do cilindro é o dobro do raioda esfera.

1. Pág. 237

1.1 O comprimento da tira de papel corresponde ao perímetro da base(círculo).Sabemos que:

P = 2pr ; r = cm = 6 cm

Logo, P = 2p * 6 = 12p = 37,6991… ) 38 (cm) .

Resposta: (C) .

1.2 O volume do círculo é V = Ab * h = p r2h| |" Altura|" Área da base = pr2

Sabemos que: r = 6 cm e h = 4 cm .

Logo, V = p * 62 * 4 = 144p ) 452,4 (cm3) .

Resposta: (B) .

1.3 A área lateral do cilindro é A’ = Pb * h = 2pr * h| |" Altura|" Perímetro da base = 2pr

Sabemos que: r = 6 cm e h = 4 cm .

Logo, A’ = 2p * 6 * 4 = 48p ) 150,80 (cm2) .

Resposta: (A) .

2. Observando a figura, verifica-se que:

• na 1.ª “camada” não faltam embalagens;

• na 2,ª “camada” faltam 3 embalagens;

• na 3.ª “camada” faltam 12 embalagens.

12 + 3 = 15

A loja vendeu 15 embalagens de CD.15 * 6 = 90

Logo, pelas 15 embalagens a loja recebeu 90 euros.

Resposta: (B) .

3. Pág. 238

3.1 Observando a figura, verifica-se que:

• na 1.ª “camada” há 25 caixas de bombons;

• na 2,ª “camada” há 9 caixas de bombons;

• na 3.ª “camada” há 1 caixa de bombons;

25 + 9 + 1 = 35

Há 35 caixas de bombons em exposição.35 * 2,30 = 80,50 .

Pelas 35 caixas o cliente pagaria 80,50 euros.

Resposta: (A) .

3.2 O volume de cada caixa é V = Ab * h .| |" Altura|" Área da base (quadrado)

Sabemos que: Ab = 25 cm2 e h = comprimento da caixa = 2 * altura da caixa

A altura da caixa é: cm = 5 cm .

Por conseguinte: h = 2 * 5 cm = 10 cm .

O volume de cada caixa é V = 25 cm2 * 10 cm = 250 cm3 .

35 * 250 cm3 = 8750 cm3 = 8,75 dm3 .

Logo, o volume do monte de caixas é 8,75 dm3 .

Resposta: (A) .

œ25

122

6. A área total do cilindro é At = 2Ab + A’

| |" Área lateral |" Área da base


Ab = p r2 ; r =

Ab = p * = p * =

Determinação da área lateral

A’ = Pb * h = 2pr * h ; 2r = d e h = d .| |" Altura|" Perímetro da base

A’ = pd * d = pd2

Logo,

At = 2 * + pd2 =

= pd2 + pd2 =

= pd2 + pd2 =

= pd2

Resposta: (A) .

7. O volume pedido é V = Vcilindro - Vcone .

Determinação do volume do cilindro

Vcilindro = Ab * h = pr2 * h3

Círculo

Sendo: r = 5 e h = * 10 = 15, vem:

Vcilindro = p * 52 * 15 = 375p (cm3)

Determinação do volume do cone

Dado que o cilindro e o cone têm a mesma altura, então:

Vcone = Vcilindro = * 375p = 125p (cm3)

Desta forma, temos que 375p - 125p = 250p .

Logo, o volume do cilindro não está ocupado pelo cone é 250p cm3 .

Resposta: (A) .

8. Pág. 2408.1 Seja:

aresta da base = x .

Assim:

altura do prisma = 2x .

O perímetro da planificação é P = 4x + 6 * 2x = 16x .

Resposta: (C) .

8.2 a) A área lateral é A’ = 3 * Arectângulo == 3 * b * h .

Sendo: b = 6 cm e h = 12 cm , vem:

A’ = 3 * 6 * 12 = 216 (cm2)

Resposta: (A) .

13

13

32

32

22

12

12

p4

d2

p4

d2d2

41d22

2

d2

b) A área total do prisma é At = 2Ab + A’


A base é um triângulo equilátero cujos lados medem 6 cm .

Pelo Teorema de Pitágoras, vem:

h2 + 32 = 62 § h2 = 62 - 32 §§ h2 = 27

Logo, h = cm .

Ab = ; b = 6 e h =

Ab =

Logo, At = 2 * + 216 = + 216 .

Resposta: (D) .

9.9.1 Vamos começar por fazer um esquema

onde colocamos os dados.Recorrendo ao Teorema de Pitágoras, vem:

x2 = 152 + 802 § = 6625

Logo, .

Por outro lado,

= 102 + 602 § = 3700

Logo,

Logo, = h = ) 20,5665 (cm)

Assim, a área lateral é

A’ = 4 * Atrapézio = 4 * * h .

Sendo, B = 30, b = 20 e h = 20, 5665 , vem:

A’ = 4 * * 20,5665 ) 2057

Resposta: (D) .

9.2 O volume da floreira é V = Vpirâmide maior - Vpirâmide menor .

Determinação do volume da pirâmide maior

Vpirâmide maior = Ab * h = * 302 * 80 = 24 000

Determinação do volume da pirâmide menor

Vpirâmide menor = Ab * h = * 202 * 60 = 8000

V = 24 000 - 8000 = 16 000

Logo, o volume da floreira é 16 000 cm3 = 16 dm3 .

Resposta: (A) .

10. A área da parte cor-de-laranja é A = Acírculo - Aquadrado Pág. 241

Área do círculo (Ac)

Ac = pr2 ; r = = 10 Ac = p * 102 = 100p

Área do quadrado (Aq)

Sabendo que um quadrado é um losango, então:

|" Diagonal maior

| |" Diagonal menor

Aq = Alosango = ; D = d = 20

Aq = = 200

Logo a área pedida é A = 100p - 200

Resposta: (C) .

20 * 202

D * d2

202

13

13

13

13

30 + 202

B + b2

œ6625 - œ3700BC

CV = œ3700

CV2CV2

BV = œ6625

BV2

6œ273œ27

6 * œ272

= 3œ27

œ27b * h

2

œ27

89



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

11.

11.1 (A) O plano EAB é paralelo ao plano CGH ;

(B) O plano EAD é perpendicular ao plano CGH ;

(C) O plano EHC é perpendicular ao plano CGH ;

(D) O plano ABG é concorrente não perpendicular ao planoCGH .

Resposta: (D) .

11.2 (A) A recta EB é concorrente não perpendicular ao plano EAD ;

(B) A recta BC é paralela ao plano EAD ;

(C) A recta BF é paralela ao plano EAD ;

(D) A recta GH é perpendicular ao plano EAD .

Resposta: (D) .

11.3 (A) A recta GC está contida no plano HDC ;

(B) A recta EB é paralela ao plano HDC ;

(C) A recta EC é concorrente e não perpendicular ao plano HDC ;

(D) A recta AD é perpendicular ao plano HDC .

Resposta: (C) .

12. Resposta: (C) .

1. Pág. 242

1.1 A área total de cada pacote de leite é At = 2Ab + AL

| |" Área lateral|" Área da base

Ab = 10 * 6 = 60

AL = Pb * h = (2 * 10 + 2 * 6) * 17 = 32 * 17 = 544 | |" Altura|" Perímetro da base

Logo, At = 2 * 60 + 544 = 664 (cm2) .

Resposta: A área total de cada pacote de leite é 664 cm2 .

1.2 O volume de cada pacote de leite é V = c * L * h| | |" Altura| |" Largura|" Comprimento

Sendo c = 10 cm , L = 6 cm e h = 17 cm , vem:

V = 10 * 6 * 17 = 1020 (cm3) .

Resposta: O volume de cada pacote de leite é 1020 cm3 .

1.3 1 - " Num pacote resta l = 0,75 l = 7,5 dl

1 - " No outro pacote resta l = 0,125 l = 1,25 dl

7,5 dl + 1,25 dl = 8,75 dl " No total, sobrou 8,75 dl de leite.

Resposta: A Ana ainda tem 8,75 decilitros de leite para utilizar.

2.

2.1 Relativamente ao plano BCG :

• A recta AB é perpendicular;

• A recta AH é paralela;

• A recta AG é concorrente não perpendicular;

• A recta IH é concorrente não perpendicular.

Resposta: (B) .

18

78=

18

34

14=

34

2.2 O volume da casota é V = Vprisma + Vpirâmide

Volume do prisma

Vprisma = c * L * h ; c = L = 1,2 e h = 0,8

Vprisma = 1,2 * 1,2 * 0,8 = 1,152 (m3)

Volume da pirâmide

Vpirâmide = Ab * h

De acordo com o esquema ao lado,

h2 + (0,6)2 = 12 §

§ h2 = 12 - (0,6)2 § h2 = 0,64

Logo, h = = 0,8

Sendo Ab = 1,2 * 1,2 = 1,44 e h = 0,8 , vem:

Vpirâmide = * 1,44 * 0,8 = 0,384 (m3) .

Logo, V = 1,152 + 0,384 = 1,536

1,536 m3 = 1536 dm3

Resposta: O volume da casota é 1536 dm3 .

3. O volume pedido é V = Vcubo - Vcilindro Pág. 243

Volume do cubo

Vcubo = a3 ; a = 12 cm .

Vcubo = 123 = 1728 (cm3)

Volume do cilindro

Vcilindro = Ab * h = pr2 * h ; r = 6 cm e h = 12 cm .

Vcilindro = p * 62 * 12 = 432p ) 1357,2 (cm3)

Logo, V = (1728 - 432p) cm3 = 370,8 cm3 (1 c. d.) .

Resposta: O volume do cubo que não é ocupado pela vela é 370,8 cm3 , aproximadamente.

4.

4.1 Trata-se de um prisma que tem como faces paralelas dois trapéziosgeometricamente iguais.

Resposta: É um prisma trapezoidal.

4.2 De acordo com o esquema, vem:x2 = 32 + 42

x2 = 25

Logo, x = = 5

P = 3 + 3 + 5 + 3 + 3 + 2 + 5 + 7 + 5 + 7 + 5 + 2 = 50

Resposta: O perímetro da planificação é 50 u. c.

œ25

13

œ0,64

13

90



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

4.3 A área total do sólido é igual à área da planificação.

A = Arectângulo + 2Atrapézio = 16 * 5 + 2 * * 3 = 80 + 24 = 104

Resposta: A área total do sólido é 104 u. a.

4.4 O volume do sólido é V = Ab * h .

Ab = Atrapézio = * h ; B = 6 ; b = 2 e h = 3 .

Ab = * 3 = 12

Sendo h = distância entre as bases = 5 , vem:

V = Ab * h = 12 * 5 = 60

Resposta: O volume do sólido é 60 u. v.

5. O volume do cilindro é V = Ab * h = pr2 * h.

Sendo: r = 3 cm e h = 9 cm , vem

V = p * 32 * 9 = 81p

O volume da embalagem é 81p cm3 = 254,469 cm3 (3 c. d.)

254,469 cm3 = 254,469 ml

254,469 : 2 ) 127,2

Resposta: O conteúdo da embalagem esgota-se após pressionarmoso doseador 128 vezes.

Nota: Repara que se pressionássemos o doseador 127 vezes aindarestaria sabonete líquido na embalagem: 254,469 - 127 * 12 = 0,469

6. Pág. 244

#Escala

0,8 m = 80 cm Desenho Realidade

1 cm 20 cmx 80 cm

x = = 4

Depois de convertidas as medidas vamos desenhar a planificação àescala 1 : 20 .

1 * 8020

Medida real

em m 0,2 0,8 1 1,2 1,5

em cm 20 80 100 120 150

Medida do desenho à escala 1 : 20 (em cm)

1 4 5 6 7,5

6 + 22

B + b2

6 + 22

7. A área da base é A = a2 e A = 36 cm2

Assim, a2 = 36

Logo, a = = 6 cm ; r = 3 cm e

h = 6 cm .

O perímetro da base é P = 2pr ; r = 3 cm

P = 2p * 3 = 6p ) 18,85 (cm)

A planificação pedida é:

8. O volume do cofre é V = Vparalelepípedo + Vsemicilindro

Volume do paralelepípedo

Vparalelepípedo = Ab * h = c * L * h ; c = 0,8 m = 80 cm ,

L = 30 cm e h = 25 cm .

Vparalelepípedo = 80 * 30 * 25 = 60 000 (cm3)

Volume do semicilindro

Vsemicilindro = Vcilindro = Ab * h = pr2 * h ;

r = 15 cm e h = 80 cm .

Vsemicilindro = * p * 152 * 80 = 9000p (cm3)

Logo, V = (60 000 + 9000 p) cm3 ) 88 274,3 cm3 .

Resposta: O volume do cofre é 88 274,3 cm3 , aproximadamente.

9. Vamos calcular os volumes dos copos para os comparar. Pág. 245

Volume do copo com forma de cone

Vcone = Ab * h = pr2 * h ;

r = 3 cm e h = 4 cm .

Vcone = p * 32 * 4 = 12p (cm3)

Volume do copo com forma de cilindro

Vcilindro = Ab * h = pr2 * h ;

r = cm = 2,5 cm e h = 5 cm

Vcilindro = p * (2,5)2 * 5 = 31,25p (cm3)

31, 25p > 12p

Logo, Vcilindro > Vcone .

Resposta: O copo que pode conter maior quantidade de água é ocopo com a forma de um cilindro (31,25p cm3 > 12p cm3) .

52

13

13

13

12

12

12

12

œ36

91



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

‚M *

120

10. Vamos fazer um esquema onde colocamos os dados.

O volume de gelado no copo é

V = 3Vesfera = 3 * pr3 = 4pr3 ; r = 1 cm

Logo, V = 4p * 13 = 4p

Quando estiver derretido, o gelado assume a forma do copo(cone), ocupando parcialmente o seu volume.

Sabemos que:

• Vcone = 4p § Ab * h = 4p § r2 * h = §(3)

§ r2 * h = 12 § h = .

• No esquema, os triângulos [CDV] e [ABV] são semelhantes,pois têm dois ângulos geometricamente iguais (ABWV = CDWV eBVWA = DVWC) .

Assim, § h = r .

Logo:

Outro processo

Como vimos no esquema, os triângulos [AVB] e [CVB] sãosemelhantes.

Assim:

• O quociente entre os lados correspondentes é igual à razão desemelhança:

(r = razão de semelhança);

• O quociente entre o volume do copo e o volume do gelado(cone) é igual ao cubo da razão de semelhança:

= r3 (r = razão de semelhança).

O volume do copo é V = Vcone = Ab * h = pr2 * h ;

r = 2,5 cm e h = 6 cm .

V = p * (2,5)2 * 6 = 12,5p

Logo, r3 = § r3 = 3,125 § r = .

Como = r , vem: = § h = §

§ h = 4,1 (1 c. d.) .

Resposta: A altura do gelado derretido dentro do copo é 4,1 cm , aproximadamente.

6

œ3 3,125œ3 3,125

6h

6h

œ3 3,12512,5p

4p

13

13

13

Vcopo

Vgelado

AB

CD=

AV

CV= … =

6h= r

§ 5 r3 = 5

h =125

r§ 5 r = œ3 5

h =125

* œ3 5§ 5r = œ5 5

h = 4,1 (1 c. d.)

5 h =12r2

h =125

r§ 5

125

r = 12r2

h =125

r§ 5

15

(r2)

r =1r2

(5)

h =125

r

§

125

52r

=6h

12r2

4pp13

13

43

92



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

11. Vamos calcular a área total dos sólidos, excluindo aparte superior.

Área da caleira com forma de semicilindro

A = Ab + AL = Acírculo + Pb * h = pr2 + * htuv

2 semicírculos

Sendo,

r = cm = 7,5 cm e h = 3 m = 300 cm ,

vem:

A = p * (7,5)2 + (p * 7,5 + 15) * 300 =

= 56,25p + 2250p + 4500 =

= 2306,25p + 4500 ) 11 745,30 (cm2)

Logo, a área da caleira com a forma de um semicilindro é 11 745,30 cm2 , aproximadamente.

Área da caleira com a forma de um prisma quadrangular regular

A = 2Ab + AL = 2Aquadrado + 3Arectângulo = 2 * L2 + 3 * c * L

Sendo, L = 15 cm , c = 300 cm e L = 15 cm , vem:

A = 2 * 152 + 3 * 300 * 15 = 13 950 (cm2)

Logo, a área da caleira com a forma de um prisma quadrangularregular é 13 950 cm2 .

Resposta: A caleira com a forma de um prisma quadrangularregular gastou mais metal na sua construção do que a caleira coma forma de um semicilindro (13 950 cm2 > 11 745,30 cm2) .

12. O volume da água colocada na panela foi: Pág. 246

V = Vsemiesfera = ; r = cm = 10 cm.

V =

A Ana deitou na panela cm3

de água.

Como a água colocada na panela assume a forma de um cilindro,então:

Vcilindro = p

Ab * h = p

r2 * h =

r2 * h =

Sendo r = cm = 9 cm , vem:

92 * h =

81h =

h = ) 8,2

Resposta: A altura da água na panela é h = 8,2 cm , aproximada-mente.

2000243

20003

20003

182

20003

p20003

p

20003

20003

2000p3

43* p * 103

2=

40006

p =2000

3p

202

43

pr3

2

152

12pr2

+ 152

13.

13.1 O volume de betão utilizado foi:

V = Vsemicilindro maior - Vsemicilindro menor

O volume do semicilindro é dado por:

Vsemicilindro =

Sendo r = m = 5 m e h = 20 m , o volume do semicilindromaior é:

= 250p (m3)

Sendo r = m = 3 m e h = 20 m , o volume do semicilindromenor é:

= 90p (m3)

Logo, V = 250p - 90p = 160p ) 502,7 (m3) .

Resposta: Para construir o túnel foram necessários aproximada-mente, 502,7 m3 de betão.

13.2 A área da superfície colorida da figura corresponde à área dacobertura do túnel e a área do “semianel” da entrada do túnel.

Área da cobertura do túnel

A = ALsemicilindro = * h = * h

Sendo r = 5 m e h = 20 m , vem:

A = (p * 5) * 20 = 100p (m2)

Área do “semianel” da entrada do túnel

A = Asemicírculo maior - Asemicírculo menor =

Sendo r1 = 5 m e r2 = 3 m , vem:

A = = 8p

100p + 8p = 108p ) 339,3 (m2)

Resposta: A área da superfície colorida da figura é 339,3 m2 ,aproximadamente.

14.

14.1 Vesfera = pr3 ; r = 6370 km

Vesfera = p * 63703 = 1,08269 … * 1012 (km3)

Resposta: O volume da Terra é 1,0827 * 1012 km3 , aproximada-mente.

14.2 1,082696932… * 1012 km3 ) 1 082 696 932 * 1012 m3

888

ou

1,0827 * 1012 km3 = 1,0827 * 1012 * 109 m3 = 1,0827 * 1021 m3

) 5523 (kg)

ou

) 5523 (kg)

Resposta: Em média, um metro cúbico da Terra tem massa 5523 kg , aproximadamente.

5,98 * 1024

1,0827 * 1021

5,98 * 1024

1 082 696 932 * 1012

43

43

p * 52

2-

p * 32

2=

25p - 9p2

pr21

2-

pr22

2

12pr2 2Pb

2

p * 32 * 202

62

p * 52 * 202

102

Ab * h2

=pr2 * h

2

15.

15.1 Sabemos que: raio = r e comprimento da geratriz = 2r .

A área da base é: Ab = pr2 .

A área lateral é:

AL = * g = * g = pr * g ; g = 2r .

AL = pr * 2r = 2pr2 .

Resposta: A razão entre a área da base e a

área lateral do cone é .

15.2 O volume do cone é: Vcone = Ab * h = * pr2 * h .

De acordo com o esquema ao lado, recorrendoao Teorema de Pitágoras, vem:

h2 + 102 = 202 § h2 = 202 - 102 § h2 = 300

Logo, h = cm

Sendo r = 10 cm e h = cm , vem:

Vcone = * p * 102 * = p (cm3)

Resposta: O volume do cone é cm3 ) 1813,8 cm3 .

16. Pág. 247O volume do espaço livre da caixa, não ocupado pelas 3 bolas é: V = Vcaixa - 3Vbola

O volume da caixa é Vcaixa = Vcilindro = Ab * h = pr2 * h .

Sendo h = 6r , vem:Vcaixa = pr2 * 6r = 6pr3

O volume de cada bola é Vbola = Vesfera = pr3 .

Logo, V = 6pr3 - 3 * pr3 = 6pr3 - 4pr3 = 2pr3 .

Resposta: O volume da caixa não ocupado pelas três bolas é 2pr3 .

17.

17.1 O plano que contém a face com dois pontos é paralelo ao plano quecontém a face com cinco pontos.

O plano que contém a face com cinco pontos é perpendicular aoplano b .

Resposta: O plano que contém a face com dois pontos e o plano bsão perpendiculares.

17.2 Os planos que contêm as faces com seis e dois pontos são paralelosaos planos que contêm as faces com um e cinco pontos, respectiva-mente. Por sua vez, os planos que contêm estas duas faces são per-pendiculares, o que implica que os planos que contêm as faces cor-respondentes também são perpendiculares.

Resposta: O plano que contém a face com seis pontos e o plano quecontém a face com dois pontos são perpendiculares.

17.3 O plano que contém a face com quatro pontos é paralelo ao planoque contém a face com três pontos.

Por sua vez, este é paralelo ao plano b .

O dado está assente no plano sobre a face com quatro pontos.

Resposta: O plano b e o plano que contém a face com quatropontos são coincidentes.

43

43

100 œ3003

p

100 œ3003œ300

13

œ300

œ300

13

13

12

pr2

2pr2 =12

2pr2

Pb

2

93



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

17.4 Seja a o comprimento da aresta do cubo.

Vamos começar por determinar a diagonal da base (diagonal facial) em função de a .


d2 = a2 + a2 § d2 = 2a2

Logo, d = = a

Assim, usando novamenteo Teorema de Pitágoras, temos:

a2 + d2 = § a2 + 2a2 = 2§ 3a2 = 2

Logo, a =

Como o volume do cubo é V = a3 , vem:

V =

Resposta: O volume do cubo é cm3 .

18.18.1 Respostas: As rectas AE e AB são perpendiculares.

18.2 O esquema ao lado representa a face [ACBD] .


a2 + a2 =

§ a2 = 64

Logo, a = = 8 (cm) .

A aresta do cubo tem 8 cm de comprimento, c.q.m.

18.3Resposta: [ABE] é um triângulo rectângulo (tem um ângulorecto, BAWE = 90° ) .

18.4 [ABE] é um triângulo rectângulo.

Relativamente ao ângulo EBA :comprimento do cateto oposto = = 8 cm e comprimento docateto adjacente = = 8 cm .

Pela definição de tangente de um ângulo, vem:

tan (EBWA) =

Logo, EBWA = tan– 1 = (35,3)°

Resposta: O ângulo EBA tem amplitude (35,3)° , aproximada-mente.

19. Pág. 248

19.1 A recta que contém a altura da pirâmide é perpendicular ao planoda base. Pelo critério de perpendicularidade entre planos, se numplano existe uma recta perpendicular a outro, então os planos sãoperpendiculares.

Resposta: O plano que contém a altura da pirâmide e a base damesma são perpendiculares.

19.2 O volume da pirâmide é V = Ab * h .

Sendo Ab = 2302 m2 = 52 900 m2 e h ) 147 m , vem

V = * 52 900 * 147 = 2 592 100 = 2,5921 * 106

Logo, o volume da Pirâmide de Quéops é aproximadamente2,5921 * 106 m3 , c.q.m.

13

13

1 1

œ22

8

8 œ2=

1

œ2

œ2ABEA

œ64

(8œ2)2 § 2a2 = 64 * 2 §

Œ 827

1Œ232

3

= Œ1232

3

= Œ 827

Œ23

(œ2)2

œ2œ2a2

20.

20.1 O volume da pirâmide inicial é V = Ab * h .

Como a base da pirâmide inicial équadrada e o respectivo perímetro é 36 cm , então a aresta da base é

cm = 9 cm .

Sendo Ab = 92 cm2 = 81 cm2 e h = 15 cm , vem:

V = * 81 * 15 = 405 (cm3)

Resposta: O volume da pirâmide inicial é 405 cm3 .

20.2 Vamos representar num esquema ocorte da pirâmide relativamente à altura.Os triângulos [AOV] e [A'O'V] são semelhantes porque tem doisângulos geometricamente iguais: VOWA = V'OWA' = 90°e AVWO = A'VWO' (ângulo comum).

Logo, as medidas dos lados são directamente proporcionais. Assim:

Logo, a medida do lado da base é = 2 * 3 cm = 6 cm , c.q.m.

20.3 O volume da parte fundida é V = Vpirâmide maior - Vpirâmide menor .

Já vimos em 20.1 que Vpirâmide maior = 405 cm3 .

O volume da pirâmide menor é Vpirâmide menor = Ab * h .

Sendo Ab = 62 cm2 = 36 cm2 e h = 10 cm , vem:

Vpirâmide menor = * 36 * 10 cm3 = 120 cm3

Logo, V = 405 - 120 = 285 (cm3) .

Resposta: O volume da parte fundida é 285 cm3 .

21.21.1 A área do rectângulo [BB'M'M] é A = c * ’ , sendo

c = wBM = wB'M' e ’ = wBB' = wMM' = 8 cm .

De acordo com o esquema ao lado,recorrendo ao Teorema de Pitágoras,vem:

wBM2 = 82 + 42 § wBM2 = 80

Logo, wBM = cm

Assim, A = (cm)

Resposta: A área do rectângulo [BB'M'M] é cm2 .

21.2 No prisma [BCMB'C'M'] as bases são triângulos: prisma triangular.O volume do prisma é:

V1 = Ab * h = * h ; b = = 8 cm , h' = = 4 cm e

h = = 8 cm .

V1 = = 128 (cm3) .

Como o volume do cubo é Vcubo = a3 = 83 = 512 (cm3) , então ovolume do prisma [ABMDA'B'M'D'] (prisma trapezoidal) é V2 = Vcubo - V1 . V2 = 512 - 128 = 384 (cm3)

Resposta: O volume do prisma [BCMB'C'M'] é 128 cm3 e ovolume do prisma [ABMDA'B'M'D'] é 384 cm3 .

8 * 42

* 8

BB'

CMBCb * h'

2

8œ80

œ80 * 8 = 8œ80

œ80

13

13

2 A'O'

§ A'O' =4,5 * 10

15§ A'O' = 3

AO

A'O'=

OV

O'V' ;

4,5

A'O'=

1510

§

13

364

13

94



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

22. Pág. 249

22.1 a) Resposta: A recta DC é paralela ao plano que contém a basedo cone.

b) Resposta: A recta DC é perpendicular ao plano que contémBC é perpendicular à recta AB .

22.2 a) A’ = Pb * h = 2pr * h ; r = = 8 cm e h = = 6 cm .A’ = 2p * 8 * 6 = 96p (cm2)

Resposta: A área da superfície lateral do cilindro é 96p cm2 .

b) Vcone = Ab * h = * pr2 * h ; r = 8 cm e h = 6 cm .

Vcone = * 3,14 * 82 * 6 = 401,92 (cm3)

Resposta: O volume do cone é 401,92 cm3 , aproximadamente.

23.

23.1 Sabemos que a área total do cubo é A = 6a2 = 216 .

Então, vem: 6a2 = 216 § a2 = § a2 = 36

Logo, a = cm = 6 cm .

P = 4 * 6 = 24

Resposta: O perímetro de uma face do cubo é 24 cm .

23.2 Vamos representar num esquema o corte do cone por um planoperpendicular à base e que contém V .Pelo Teorema de Pitágoras, vem:

h2 + 32 = 52 § h2 = 52 - 32 § h2 = 16

Logo, h = = 4 (cm)

Resposta: A altura do cone é 4 cm .

23.3 Vcone = Ab * h = pr2 * h ; r = 3 cm e h = 4 cm .

Vcone = * p * 32 * 4 = 12p ) 37,7 (cm3)

Resposta: O volume do cubo é 37,7 cm3 , aproximadamente.

24.

24.1 A’ = A’cilindro + A’cone

Área lateral do cilindro

A = Pb * h = 2pr * h ; r = cm = 12 cm e h = 32 cm

A = 2p * 12 * 32 = 768p (cm2)

Logo, a área lateral do cilindro é 768p cm2 .

Área lateral do cone

A = * g = * g = prg ; r = 12 cm

Falta determinar o comprimento dageratriz g .De acordo com o esquema ao ladoque representa um corte perpendicu-lar à base do cone por um plano quecontém o seu vértice, os ângulosinternos do triângulo são iguais e,portanto, os lados têm o mesmocomprimento.

Logo, g = 24 cm .

Assim, temos:

A = p * 12 * 24 = 288p (cm2)

Logo, a área lateral do cone é 288p cm2 .

768p + 288p = 1056p (cm2)

Resposta: A área lateral da peça é 1056p cm2 .

2pr2

Pb

2

242

13

13

13

œ16

œ36

2166

13

13

13

ADAB

24.2 O volume da peça é V = Vcilindro + Vcone

Vcilindro = Ab * h = pr2 * h ; r = 12 cm e h = 32 cm .

Vcilindro = p * 122 * 32 = 4608p (cm3) .

Vcone = Ab * h = pr2 * h ; r = 12 cm e h = .

Vcone = * p * 122 * = 48p (cm3)

4608p + 48p ) 17 610,7 (cm3)

Cálculo auxiliar

h2 + 122 = 242

h2 = 242 - 122

h2 = 432

Logo, h =

Resposta: O volume da peça é 17 610,7 cm2 , aprox.

1. Pág. 250

1.1

Resposta: x = 3,5 cm .

1.2 P = 8 * 3,5 + 4 * 2 + 2 * 7 = 50 (cm)

Resposta: O perímetro da figura é 50 cm .

1.3 Podemos decompor a figura em três rectângulos.

A = A1 + 2A2

A1 = 7 * 11 = 77 (cm2)

A2 = 3,5 * 2 = 7 (cm2)

Logo, A = 77 + 2 * 7 = 91 (cm2)

Resposta: A área da planificação é 91 cm2 .

1.4

Resposta: A planificação corresponde a um prisma rectangular ouparalelepípedo.

1.5 V = Ab * h = c * l + h ; c = 3,5 cm , l = 2 cm e h = 7 cm .

V = 3,5 * 2 * 7 = 49

Resposta: O volume do paralelepípedo é 49 cm3 .

œ432

œ432

œ432œ43213

œ43213

13

95



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

1.6 O valor pedido é 4c + 4l + 4h = 4 * 3,5 + 4 * 2 + 4 * 7 = 50 twwuwwv

12 arestas

Resposta: A soma de todos os comprimentos das arestas é 50 cm .

1.7 Como se trata de um prisma quadrangular regular, vamos conside-rar que as bases são quadrados e as faces laterais rectângulos.Assim, temos duas possibilidades:

1. A base é um quadrado de lado igual a 3 cm :

2. A base é um quadrado de lado igual a 4 cm :

Resposta: Há duas respostas diferentes pois a base do prisma é umquadrado de lado igual a 3 cm ou lado igual a 4 cm .

2. Pág. 251

2.1 Atrapézio = * h ; B = 28 m , b = 20 m e h = 15 m .

Atrapézio = * 15 = 360 (m2)

Resposta: A área do jardim é 360 m2 .

2.2 De acordo com os dados da figura.

28 + 202

B + b2

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras, temos:

x2 = 42 + 152 § x2 = 241

Logo, x = .

P = 28 + 20 + 2 * ) 79,0

Resposta: O perímetro do jardim é 79,0 m , aproximadamente.

2.3 a) A área ocupada pelo lago é A = Acírculo = pr2 ; r = 3 m .

A = p * 32 = 9p (m2)

360 - 9p ) 331,7

Resposta: A área não ocupada pelo lago é 331,7 m2 , aproxi-madamente.

b) O volume do lago é: V = Vcilindro = Ab * h = pr2 * h ; r = 3 m e h = 0,5 m .

V = p * 32 * 0,5 = 4,5p

Como 1 m3 = 1000 l , então 4,5p m3 = 4,5p * 1000 l = 4500p l ) 14 137,2 l

Resposta: Para encher o lago foram necessários, aproximada-mente, 14 137,2 l de água.

c) Neste caso, V = Ab * h = pr2 * h ; r = 3 m e h = 2 * 0,5 m = 1 m .

V = p * 32 * 1 = 9p

Resposta: Sim. Se o lago tivesse o dobro da profundidade levaria

o dobro da água .

d) Neste caso, V = Ab * h = pr2 * h ; r = 2 * 3 m = 6 m e h = 0,5 m .

V = p * 62 * 0,5 = 18p

Resposta: Não. Se o lago tivesse o dobro do raio levaria o quá-

druplo da água .

3. Pág. 252

3.1 V = Vsemiesfera = pr3 ; r = cm = 9 cm

V = p * 93 cm3 = 486p cm3 = 0,486p dm3

O volume de água que a taça pode levar é 0,486p dm3 .

Resposta: (A).

3.2 Sabemos que: Vjarro = 3Vtaça

Logo, Vjarro = 3 * 486p cm3 = 1458p cm3

Como

então, §

§ 100h = 1458 § h = §

§ h = 14,58

Logo, o jarro tem 14,58 cm de altura.

Resposta: (B).

3.3 À medida que a altura aumenta o raio da superfície da água tambémaumenta (o recipiente alarga com a altura). Assim, a “velocidade” deenchimento diminui progressivamente ao longo do tempo.

Resposta: (C).

1458100

p * 102 * h = 1458p

5Vcilindro = Ab * h = pr2 * h ; r =202

cm = 10 cm

Vcilindro = 1458p cm3

12*

43

182

12*

43

1 18p4,5p

= 42

18p4,5p

= 4

1 9p4,5p

= 22

9p4,5p

= 2

œ241

œ241

96



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

4. Pág. 253

4.1. a) Como a escultura tem uma altura máxima de 1 m , não esque-cendo que a escultura é constituída por um cubo além da esfera,então: r > 0 ‹ r < 1 .

Logo, 0 < r < 1 .

Resposta: r å ]0 , 1[ .

b) De acordo com o esquema ao lado.

• raio da esfera = r

• aresta do cubo = 1 - 2r

V = Vesfera + Vcubo

Vesfera = pr3 ;

Vcubo = a3 = (1 - 2r)3 =

= (1 - 2r) (1 - 4r + 4r2) =

= 1 - 4r + 4r2 - 2r + 8r2 - 8r3 =

= - 8r3 + 12r2 - 6r + 1

Então, V = pr3 - 8r3 + 12r2 - 6r + 1 =

= r3 + 12r2 - 6r + 1 =(3)

= r3 + 12r2 - 6r + 1

Logo, o volume total, em m3 , da escultura é dado por

V(r) = r3 + 12r2 - 6r + 1 , c.q.m.

4.2 Como o raio da esfera é metade da aresta do cubo então o diâme-tro da esfera é igual à aresta do cubo.

Portanto: a = 0,5 m ;

d = 2r = 0,5 m §

§ r = m = 0,25 m .

Vamos calcular a área da superfície da escultura que fica exposta.A = Aesfera + A5 faces do cubowwww wwwwwww

A1 A2

0,52

4p - 243

4p - 243

143

p - 82

43

43

A1 = 4pr2 ; r = 0,25 m A2 = 5a2 ; a = 0,5 m

A1 = 4p * (0,25)2 = 0,25p (m2) A2 = 5 * 0,52 = 1,25 (m2)

A área da escultura a pintar é A = 0,25p + 1,25 ) 2,04 (m2)

) 0,814

Resposta: Para pintar a escultura basta comprar uma lata de tinta.

5. Pág. 254

5.1 Vamos fazer um esquema com os dados do problema.

Os triângulos [AVB] e [CVD] são semelhantes pois têm doisângulos com a mesma amplitude:

• ABWV = CDWV (ângulos de lado paralelo);

• AVWB = CVWD (ângulo comum).

Logo, os lados dos triângulos são proporcionais.

Assim, = …

Sendo = h e = h - 20 , temos que:

Logo, , c.q.m.

5.2 Resolvendo a equação obtida em 5.1, vem:

§ 5h - 100 = 3h § 5h - 3h = 100 §

(5) (3) § 2h = 100 § h = 50

A altura do cone maior é h = 50 (cm)

Logo, a altura do cone menor é h - 20 = 50 - 20 = 30 (cm) .

Resposta: A altura do cone menor é 30 cm .

5.3 O volume da bacia é V = Vcone maior - Vcone menor = V1 - V2

V1 = Ab * h = pr2 * h ; r = = 25 cm e h = 50 cm .3

Círculo

V1 = p * 252 * 50 = p (cm3)

O volume do cone maior é p cm3 .

V2 = Ab * h = pr2 * h ; r = = 15 cm e h = 30 cm .3

Círculo

V2 = p * 152 * 30 = 2250p (cm3)

O volume do cone menor é 2250p .

Logo, V = V1 - V2 = p - 2250p = =

= ) 25 656,3 (cm3) .

Resposta: O volume da bacia é 25 656,3 cm3 , aproximadamente.

24 5003

p

31 250p - 6750p3

31 2503

13

30 cm2

13

13

31 2503

31 2503

13

50 cm2

13

13

h - 203

=h5

h - 203

=h5

h - 20h

=3050

§h - 20

h=

35

§h - 20

3=

h5

NVMV

AB

CD=

MV

NV=

AV

CV

0,25p + 1,252,5

97



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra


De acordo com os dados obtidos,o volume pedido é:

V = V1 - V2 , sendo V1 o volumedo cone com 40 cm de altura eV2 o volume do cone com 30 cmde altura .

V1 = Ab * h = pr2 * h ; § x = 403

Círculo

r = 20 cm e h = 40 cm .

V1 = p * 202 * 40 = p (cm3)

Como vimos em 5.3, V2 = 22 500p cm3 .

Logo, V = p - 2250p = p ) 9686,6 (cm3) .

9686,6 cm3 = 9,6866 dm3 = 9,6866 l = 96,866 dl .

Resposta: A Joana deitou na bacia 97 dl de água, aproximada-mente.

6. Pág. 255

6.1 Se seccionarmos o cubo com um plano paralelo à base da pirâmidee que contém o vértice V , obtemos dois paralelepípedos geometri-camente iguais.

No interior de cada para-lelepípedo é possível“colocar” uma pirâmidecom a mesma base e amesma altura.

Sabemos que:

• Vparalelepípedo = Ab * h

• Vpirâmide = Ab * h

Logo, dentro de cada paralelepípedo cabem 3 pirâmides com amesma base e a mesma altura.

Resposta: Dentro do cubo cabem 6 pirâmides com a mesma basee com metade da altura.

6.2 a) Vamos fazer um esquema com osdados do problema.

De acordo com os dados obtidos,temos:

a2 + a2 = 22 § 2a2 = 4 §

§ a2 = § a2 = 2

Logo, a = .

Resposta: O comprimento da aresta do cubo é m .

b) Como o vértice da pirâmide coincide com o centro do cubo

então a altura da pirâmide é .

Resposta: A altura da pirâmide é m .œ22

a2= œ2

2

œ2

œ2

42

Vparalelepípedo

Vpirâmide

=Ab * h

13

Ab * h=

113

= 3

13

92503

16 0003

16 0003

13

x30

=4030

13

13

c) O volume da pirâmide é V = Ab * h = * a2 * h

Sendo a = e h = , vem:

V =

Resposta: O volume da pirâmide é m3 .


A área da superfície a pintar é A = Atriângulo .

Atriângulo =

Sendo b = m , falta determinar h .


h2 = §

§ h2 = §

§ h2 = §

§ h2 = 1

Logo, h = = 1

Assim, Atriângulo =

Logo, a área da superfície a pintar é A = 4 * (m2) .

Resposta: Para pintar a superfície à vista é necessário comprar 3latas de tinta.

7. Pág. 256

7.1 Vamos começar por calcular o volume dos seis cubos.

Vcubo = a3 ; a = 4 cm

Vcubo = 43 = 64 cm3

6 * 64 cm3 = 384 cm3

Dentro do tacho cilíndrico os seis cubos têm 384 cm3 .

Vamos fazer um esquema com os dados do problema.

Quando os cubos de legumes são colocados no tacho:

• Vcilindro = Ab * h = pr2 * h ; r = cm = 5 cm .

• Vcilindro = 384 cm3 .

Logo, p * 52 * h = 384 § 25ph = 384 §

§ h = = 4,9 (1 c. d.) .

Resposta: Quando os cubos forem colocados no tacho a água sobe4,9 cm , aproximadamente.

7.2 a) V = Ab * h ou V = c * l * h ;

c = 8 cm , l = 5 cm e h = 10 cm

V = 8 * 5 * 10 = 400

Resposta: O volume do pacote é 400 cm3 .

38425p

102

2œ21,2

) 2,4

œ22

= 2œ2

œ2 * 12

= œ22

œ1

24+

24

24+

24

1œ22 2

2

+ 1œ22 2

2

œ2

b * h2

œ23

13* (œ2)2 * œ2

2=

13* 2 * œ2

2= œ2

3

œ22œ2

13

13

98



EX

M9

© P

orto

Edi

tora

b) Por exemplo:

• c = 10 cm ; ’ = 4 cm e h = 10 cm

• c = 20 cm ; ’ = 10 cm e h = 2 cm

c) Como o pacote tem a mesma base, há uma relação de propor-cionalidade directa entre o volume e o “peso” das ervas cromá-ticas. Assim:

400 cm3 ––––––– 120 gV ––––––– 90 g

V = cm3 = 300 cm3

Como V = Ab * h ; Ab = (8 * 5) cm2 = 40 cm2 e V = 300 cm3 ,vem:

40 * h = 300 § h = § h = 7,5

Resposta: Se o pacote tivesse 90 g de ervas aromáticas a alturaseria 7,5 cm .

Outro processo:

Há uma relação de proporcionalidade directa entre o “peso”das ervas aromáticas e a altura do pacote.

120 g ––––––– 10 cm90 g ––––––– h

h = cm = 7,5 cm 90 * 10

120

30040

400 * 90120

8. Pág. 257Vcilindro = Ab * h = pr2 * h ; r = cm = 15 cm e h = 40 cm

Vcilindro = p * 152 * 40 = 9000p

9000p cm3 = 9p dm3 = 9p l

O recipiente contém 9p l de gasóleo.

1 min ––––––– 60 sx ––––––– 48 s

x = min = 0,8 min

Logo, 1 min 48 s = (1 + 0,8) min = 1,8 min

Temos assim que:

9p l ––––––– 1,8 min30 l ––––––– t

t = min ) 1,9099 min

60 s||

0,9099 min = 0,9099 * 60 s ) 55 s

Logo, 1,9099 min ) 1 min 55 s .

Resposta: O João demorou 1 minuto e 55 segundos, aproxima-damente, a meter 30 litros de gasóleo no tractor.

30 * 1,89p

4860

302

99



CE

XM

9 ©

Por

to E

dito

ra

Documents

Propostas de Resolução - Abre Horizontes- Porto Editora · cionada do livro. Dependendo da sua extensão, a resolução poderá estar na coluna ou até na página seguinte do PDF