prontezza - Libero Community Homepagespazioinwind.libero.it/yamne/appunti/fau1/FAU10.pdf · 3 A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova Formulazione delle specifiche

1

A. Beghi “Fondamenti di Automatica” Universita` di Padova

Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

•F

orm

ulazio

ne d

elle specifich

e:

•sistem

a in retro

azion

e un

itaria (1 grad

o d

i liberta`)

G(s)

G(s)

ry

-

+e

D(s)

D(s)

u

•caratterizzazio

ne d

ella f.d.t. a caten

a chiu

sa

•si fa in

gen

ere riferimen

to alla risp

osta d

i un

sistema

“semp

lice”

(ad

es. d

el seco

nd

o

ord

ine)

a seg

nali

cano

nici (ad

es. g

radin

o, ram

pa, ...)

•co

mp

ortam

ento

nel d

om

inio

del tem

po

•co

mp

ortam

ento

nel d

om

inio

delle freq

uen

ze

2


Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

•T

ipich

e specifich

e di p

rog

etto so

no

forn

ite in term

ini d

i:

•stab

ilita` (del sistem

a a catena ch

iusa, m

a anch

e del

con

trollo

re stesso, o

di altre f.d

.t. di in

teresse)

•erro

re a regim

e n

ella rispo

sta a segn

ali cano

nici

•p

ron

tezza del sistem

a

•cap

acita` smo

rzante

•in

sensib

ilita` alle variazion

i param

etriche e/o

distu

rbi

agen

ti sul sistem

a

•T

radu

zion

e in

term

ini

di

valori

qu

antitativi

di

alcun

ip

arametri

3


Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

•S

tabilita`

(del

sistema

in

retroazio

ne)

⇒

marg

ini

di

stabilita` P

M, G

M

•R

egim

e transito

rio:

•p

ron

tezza ⇒ tem

po

di salita tr

•cap

acita` sm

orzan

te ⇒ so

vraelon

gazio

ne M

p

•R

egim

e perm

anen

te:

•erro

re a reg

ime e

r (rispo

sta ad in

gressi can

on

ici)

•tip

o

•C

aratterizzazion

e n

el

do

min

io

del

temp

o

⇒caratterizzazio

ne n

el do

min

io d

ella freq

uen

za

4


Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

•P

ron

tezza:

•sistem

a “p

ron

to”

⇒

tr “p

iccolo

” ⇒

elevata

ban

da

pass

ante B

del s

istema in

catena

chiu

sa

•C

apacita` s

mo

rzante:

•sistem

a “sm

orzato

” (ζ

gran

de)

⇒

Mp

“pic

colo

” ⇒

massim

o d

i rison

anza M

r “pic

colo

” n

ella risp

osta

infreq

uen

za

•P

M elev

ato

5


Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

Fo

rmu

lazion

e delle sp

ecifiche

•E

rrore a reg

ime: leg

ato al valo

re della fu

nzio

ne d

i rispo

staarm

on

ica per ω

≈0

•T

ipo

: n

um

ero

di

po

li n

ell’orig

ine

della

f.d.t.

in

catena

diretta

•S

ensib

ilita` alle variazio

ni p

arametrich

e ⇒

“sago

matu

ra”d

ella rispo

sta in

frequ

enza

•P

rog

etto d

el con

trollo

re: determ

inare il tip

o d

i azion

e da

effettuare tram

ite D(s) su

l pro

cesso d

a con

trollare G

(s) per

garan

tire che a caten

a chiu

sa T(s) so

dd

isfi le s

pecifich

e

•A

zion

i elem

entari d

i co

ntro

llo

6


Sin

tesi di B

od

eS

intesi d

i Bo

de

•S

intesi d

i Bo

de: e` b

asata sulla fo

rmu

lazion

e di alcu

ne

specifich

e d

el sistem

a a

catena

chiu

sa in

term

ini

di

caratteristich

e del term

ine in

catena d

iretta L(s)=

D(s)G

(s)

•E

` d

etta an

che

sintesi

per

tentativi

(richied

e in

g

enere

diverse iterazio

ni)

•S

pec

ifiche:

•erro

re a regim

e |er,k |<

ε in risp

osta all’in

gres

so can

on

icoco

n tras

form

ata 1/sk+

1 (e nu

llo in

per in

dici <

k)

•m

argin

e di fase (p

er L(s)) P

M>

PM

*

•p

uls

azion

e di attraversa

men

to (p

er L(s)) ω

c =ω

*

7


Sin

tesi di B

od

eS

intesi d

i Bo

de

•C

olleg

amen

to co

n il co

mp

ortam

ento

a caten

a chiu

sa:

•erro

re a regim

e e precisio

ne n

el sistema retro

azion

atod

ipen

do

no

d

al tip

o

e d

al g

uad

agn

o

del

termin

e in

catena

diretta:

tipo

Grad

ino

Ram

pa

Ram

pa

parab

olica

01

1+L0 (0)

∞∞

L(s)=L0 (s)

L0 (0) guadagno di posizione

10

1L0 (0)

∞L(s)=

L0 (s)/s

L0 (0) guadagno di velocita`

20

01

L0 (0)

L(s)=L0 (s)/s 2

L0 (0) guad. di accelerazione

8


Sin

tesi di B

od

eS

intesi d

i Bo

de

•M

p nel sistem

a retroazio

nato

e PM

di G

(s) son

o leg

ati

tra loro

nel se

gu

ente m

od

o: P

M c

resce ⇔

Mp cala

•In

fatti: Mp elevata ⇒

il sistema retro

azion

ato h

a po

livicin

i all’asse imm

agin

ario ⇒

e` “vicino

” all’instab

ilita`⇒

ha P

M p

icco

lo.

•N

ella sin

tesi d

i B

od

e si

cerca d

i o

ttenere

un

aso

vraelon

gazio

ne so

dd

isfacente ag

end

o su

PM

•L

egam

e tra ωc (L

(s)) e B (T

(s)): per sistem

i rego

lari si

ha c

he ω

c cresce ⇔ B

cresce. As

sun

zion

e: 0≤PM

≤π/2

9


Sin

tesi di B

od

eS

intesi d

i Bo

de

•A

ssun

zion

e: |T(jω

)| mo

no

ton

o d

ecrescente n

ell’into

rno

di

2πB

10-1

100

101

0 5 10 15 20 25 30 35 40

|T(j0)|

|T(j0)|/√2

2πB=

ωB

W

|T(jω

c )||T(j2πB

)|

ωc

10


Sin

tesi di B

od

eS

intesi d

i Bo

de

•P

er sistem

i rego

lari:

ωc ≤2πB

ωc ≈5B

•L

a sp

ecifica su ω

c corris

po

nd

e ad u

na s

pecific

a su

B

•Erro

re a regim

e•S

ovraelo

ng

azion

e•B

and

a passan

te

Sp

ecifiche su

T(s)

•Tip

o+

gu

adag

no

•marg

ine d

i fase•p

ulsazio

ne d

i attraversamen

to

Sp

ecifiche su

L(s)=

D(s)G

(s)

Calco

lo d

i D(s)

11


Sin

tesi di B

od

eS

intesi d

i Bo

de

•S

tep

1: so

dd

isfacimen

to

della

specifica

sul

tipo

e

lap

recision

e

•L

a sp

ecifica e`

form

ulata

com

e |e

r,k |<ε

in

rispo

staall’in

gresso

cano

nico

con

trasform

ata 1/sk+

1 (e nu

llo in

per

ind

ici <k+

1) ⇒

•tip

o d

i L(s)=

D(s)G

(s): h=

k

•se tip

o d

i G(s)=

hp <

k+1⇒

tipo

di D

(s)=h

D =(k-h

G )

•K

= g

uad

ag

no

di L

(s) dev

e essere tale

che

er,k

=1K

≤ε

⇒K≥1er,k

12


Sin

tesi di B

od

eS

intesi d

i Bo

de

•O

sservazio

ne: s

e k=0, p

er K

elevato

er,0

=1

1+K

≈1K

•P

oic

he` K

=K

D.K

G il v

alore lim

ite per K

D e` dato

da

KD

=1

KGer,k

•L

a stru

ttura d

el rego

lato

re D(s) e

` pertan

to

D(s)=

KD

s hD D

*(s)

do

ve D*(s) e` u

na f.d

.t. con

gu

adag

no

un

itario e p

riva d

ip

oli n

ell’orig

ine

13


Sin

tesi di B

od

eS

intesi d

i Bo

de

•S

tep 2: so

dd

isfacimen

to d

ella specifica m

argin

e di fase e

pu

lsazio

ne d

i attraversam

ento

•S

i agis

ce su D

*(s), tramite la

qu

ale si d

eve garan

tire che

L(jωc )

=1Arg

L(jωc )

[] +

π=PM

L(s)=D(s)G

(s)=D*(s) K

D

s hD G(s)=

D*(s)G

*(s)

G*(s)

= defKD

s hD G(s)

•G

*(s) ha g

ia` tip

o e g

uad

ag

no

corretti

14


Azio

ni d

i con

trollo

Azio

ni d

i con

trollo

•C

on

riferimen

to a G

*(s), defin

iamo

:

• ω

c 0: pu

lsazio

ne d

i attrav

ersamen

to effettiva

• ω

c : pu

lsazio

ne d

i attrav

ersamen

to rich

iesta

• P

M: m

argin

e di fas

e rich

iesto

• P

M0=π+

Arg

[G*(j ω

c )] (marg

ine d

i fase disp

on

ibile in

ωc )

•O

sservazio

ne: P

M0 N

ON

coin

cide co

n il m

argin

e di fase d

iG

*(s) che vale π+A

rg[G

*(j ωc 0)]

•O

sservazio

ne: la sp

ecifica su P

M e` u

na d

isug

uag

lianza

(com

e qu

ella su

er,k ), q

uella su

ωc e` u

na u

gu

ag

lian

za

•N

ei p

rob

lemi:

tutte

le sp

ecifich

e co

nsid

erate co

me

ug

uag

lianze

15


Azio

ni d

i con

trollo

Azio

ni d

i con

trollo

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)B

ode Diagram

s

-80

-60

-40

-20 0

100

101

-250

-200

-150

-100

-50

PM

=π+

Arg[G

*(jωc 0)]

PM

0 =π+

Arg[G

*(j ωc )] ≠ P

M

ωc 0ω

c

16


Azio

ni d

i con

trollo

Azio

ni d

i con

trollo

•P

oss

ibili situ

azion

i:

• ω

c > ω

c 0, ωc <

ωc 0

• P

M >

PM

0 , PM

< P

M0

•S

i agisce tram

ite D*(s) p

er imp

orre ch

e ωc =

ωc 0, P

M =

PM

0

(o P

M >

PM

0 )

•In

termin

i analitici:

L(jωc )

=D*(jω

c )G*(jω

c )=1

ArgL(jω

c )[

] =Arg

D*(jω

c )[

] +Arg

G*(jω

c )[

] =m

ϕ−

π

•S

celta della rete co

rretrice in b

ase all’azion

e elem

entare d

ico

ntro

llo d

esid

erata

17


Caso

1: ωc >

ωc 0

Caso

1: ωc >

ωc 0

-80

-60

-40

-20 0

ω

c 0ω

c

•C

aso 1

: ωc >

ωc 0

∆K

•A

zion

e amp

lificatrice alla pu

lsazio

ne ω

c

•S

ul

diag

ramm

a d

i B

od

e d

ei m

od

uli

: traslazio

ne

versol’alto

18


Caso

1: ωc >

ωc 0

Caso

1: ωc >

ωc 0

•D

etermin

azion

e del fatto

re di a

mp

lificazio

ne ∆

K:

L(jωc )

=D*(jω

c )G*(jω

c )=1

⇒M

=D*(jω

c )=

1G*(jω

c )

G*(jω

c )<1

⇒D*(jω

c )=

1G*(jω

c )>1

∆KdB

=M

dB=

1G*(jω

c )

dB

=−G

*(jωc )

dB>0

19


Caso

2: ωc <

ωc 0

Caso

2: ωc <

ωc 0

-80

-60

-40

-20 0

ω

cω

c 0

•C

aso 2

: ωc <

ωc 0

∆K

•A

zion

e attenu

atrice alla p

ulsa

zion

e ωc

•S

ul d

iagram

ma d

i Bo

de d

ei mo

du

li : traslazion

e verso il

bass

o

20


Caso

2: ωc <

ωc 0

Caso

2: ωc <

ωc 0

•D

etermin

azion

e del fatto

re di a

ttenu

azio

ne ∆

K:

L(jωc )

=D*(jω

c )G*(jω

c )=1

⇒M

=D*(jω

c )=

1G*(jω

c )

G*(jω

c )>1

⇒D*(jω

c )=

1G*(jω

c )<1

∆KdB

=M

dB=

1G*(jω

c )

dB

=−G

*(jωc )

dB<0

21


Caso

3: PM

> P

M0

Caso

3: PM

> P

M0

•C

aso 3

: PM

> P

M0 (m

argin

e di fase

insu

fficien

te)

•A

zion

e anticip

atrice alla p

ulsa

zion

e ωc

•S

ul d

iag

ramm

a di B

od

e delle fas

i : traslazio

ne v

erso l’alto

TextEnd

100

101

-250

-200

-150

-100 -50

ωc

PM

0P

Mϕ

22


Caso

3: PM

> P

M0

Caso

3: PM

> P

M0

•D

etermin

azion

e del fatto

re di a

nticip

o ϕ

:

ArgL(jω

c )[

] +π

=PM

=Arg

D*(jω

c )[

] +Arg

G*(jω

c )[

] +π

PM

0

PM=Arg

D*(jω

c )[

] +PM

0⇒

ArgD*(jω

c )[

] =ϕ

=PM

−PM

0>0

ϕ=PM

−PM

0=PM

−Arg

G*(jω

c )[

] +π

()

23


TextEnd

100

101

-250

-200

-150

-100 -50

Caso

4: PM

< P

M0

Caso

4: PM

< P

M0

•C

aso 4

: PM

< P

M0 (m

argin

e di fase

sufficien

te)

ωc

PM

PM

0ϕ

•In

ωc la G

*(s) presen

ta gia` u

n m

argin

e di fase su

perio

re aq

uello

rich

iesto ⇒

situ

azion

e “m

iglio

re” d

i q

uan

torich

iesto n

ella specifica ⇒

no

n si o

peran

o co

rrezion

i di

fase

• ϕ

<0

24


Scelta d

ella rete correttrice

Scelta d


•L

e caratteristic

he d

ella rete co

rrettrice son

o d

etermin

ate inb

ase ai valo

ri di:

M=C*(jω

c )=

1G*(jω

c )ϕ

=Arg

D*(jω

c )[

] =PM

−PM

0=PM

−Arg

G*(jω

c )[

] +π

()

•Q

uattro

po

ssibili situ

azio

ni:>

<M

M>1M<1

ϕϕ>0

ϕ<0

25


Scelta d


Scelta d


•Erro

re a regim

e•S

ovraelo

ng

azion

e•B

and

a passan

te

Sp

ecifiche su

T(s)

•Tip

o+

gu

adag

no

•marg

ine d

i fase•p

ulsazio

ne d

i attraversamen

to

Sp

ecifiche su

L(s)=

D(s)G

(s)

•Tip

o+

gu

adag

no

•An

ticipo

/ritardo

di fase in

ωc

•Am

plificazio

ne/atten

uazio

ne in

ωc

Calco

lo d

i D(s)

26


Scelta d


Scelta d


•Im

po

rtante: sia M

ch

e ϕ s

on

o d

etermin

ati in b

ase a G*(s)

G*(s)=

KD

s hD G(s)

M=

1G*(jω

c )=

ωc

() h

D

KDG(jω

c )

ϕ=PM

−Arg

G*(jω

c )[

] +π

() =

PM−Arg

G(jω

c )[

] −hD

π2+

π

27


Il pro

getto

delle reti co

rretriciIl p

rog

etto d

elle reti corretrici

•S

truttu

ra del co

ntro

llore:

D(s)=

KD

s hD D

*(s)

•S

pec

ifica su

tipo

ed

errore a reg

ime ⇒

KD , h

D

•D

*(0)=1, D

*(s) priv

a di p

oli n

ell’orig

ine

•S

pec

ifiche su

ωc e

PM

⇒ M

, ϕ ⇔

D*(jω

c )

•Q

uesta

info

rmazio

ne

e` su

fficiente

per

determ

inare

un

ivocam

ente p

er via analitica G

*(s) se essa ha stru

ttura

semp

lice

•A

nalizziam

o i q

uattro

casi d

ella tabella (M

, ϕ)

28


Caso

M>

1, ϕ<

0C

aso M

>1, ϕ

<0

•C

aso M

>1, ϕ

<0 :

•P

M <

PM

0 (marg

ine d

i fase su

fficien

te)

• ω

c > ω

c 0 (richiesta a

mp

lificazion

e alla

pu

lsazion

e ωc )

•C

om

pen

satore (am

plific

atore) statico

:

D*(s)=

M=10

∆K20>1

•O

sservazio

ne: D

*(0)≠1

•si m

iglio

ra la precisio

ne a reg

ime

29


Caso

M>

1, ϕ<

0C

aso M

>1, ϕ

<0

ωc 0

ωc

-π

|L|

Arg

[L]

∆K

PM

0P

M

30


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

•C

aso M

>1, ϕ

>0 :

•P

M >

PM

0 (marg

ine d

i fase in

sufficie

nte)

• ω

c > ω

c 0 (richie

sta am

plific

azion

e alla pu

lsazio

ne ω

c )

•A

zion

e am

plificatrice

per au

men

tare ωc

•A

zion

e anticip

atrice per “g

ua

dag

nare” P

M

•R

ete antic

ipatric

e (amp

lificatric

e) (lead

)

D*(s)=

1+Ts

1+

αTs ,T

>0,

0<

α<1

•O

sservazion

e: D*(s) e` co

mp

letamen

te specific

ata

da d

ue

param

etri

31


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

xo1/T

1/(αT

)

ω>>

1αT:

D*(jω

)dB

≅20log

1α

φmax

<π2

Frequency [rad/s]

Frequency [rad/s]

Magnitude [dB]

0 20 40 60 80

Phase [deg]

1/T1/(α

T)

0

φm

ax

ωm

ax

32


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

11/α

1+1α2

=1

+α

2α

Cen

tro d

ella cfr.:

log 1T+log

1αT2

=12 log

1T2α

=log

1T

α

⇒ωmax

=1

Tα

ωm

ax

φm

ax

φmax

=arctan 1

−α

2α

33


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

•P

rob

lem

a di s

intesi : d

ati•

ωc ,

M >

1, ϕ

> 0

determ

inare

i param

etri α e T

di u

na rete an

ticipatrice D

*(s)tali ch

e•

|D*(jω

c )| = M

•A

rg[D

*(jωc )]=

ϕ

•D

*(s) e` com

pletam

ente sp

ecificata dai d

ue p

arametri α

e Te il p

rob

lema ric

hied

e il sod

disfac

imen

to d

i du

e con

dizio

ni

•S

i po

sson

o im

po

stare du

e eq

uazio

ni (u

na d

alla con

dizio

ne

sul

mo

du

lo,

un

a d

alla co

nd

izion

e d

i fase)

nei

du

ep

arametri α

e T

•C

on

dizio

ni p

er l’esis

tenza d

i un

a solu

zion

e

34


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

•S

olu

zion

e : il pu

nto

Me

jϕ d

eve ap

parten

ere al diag

ramm

a di

Ny

qu

ist di D

* qu

and

o ω

=ω

c

Me

jϕ

11/α

0 ϕ

Msin

ϕ

Mco

sϕ

Mco

sϕ-1: M

sinϕ

= M

sinϕ

:1/α- M

cosϕ

35


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

•S

i ottien

e un

’equ

azion

e da riso

lvere in α

M2sin

2ϕ=Mcosϕ

−1(

)1α

−Mcosϕ

α=

Mcosϕ

−1M

M−cosϕ

()

•S

i imp

on

e po

i che

|D*(jω

c )| 2=M

2

1+T2ω

c 2

1+

α2T

2ωc 2

=M

2

T=1ωc

1−M

2

α2M

2−1

=M

−cosϕ

ωc sinϕ

36


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

•C

on

dizio

ne p

er l’esisten

za di u

na rete an

ticipatrice ch

eriso

lve il pro

ble

ma: d

ato ch

e M>

1, α > 0 im

plica ch

e

α=

Mcosϕ

−1M

M−cosϕ

()

>0

⇒Mcosϕ

−1>0

⇒cosϕ

>1M

•L

a con

dizio

ne e` strin

gen

te: se n

on

e` sod

disfatta, n

on

esiste u

na

D*(s)

della

form

a asseg

nata

che

risolve

ilp

rob

lem

a•

Po

ich

e’ M>

1, ϕ<

π/2

T=M

−cosϕ

ωc sinϕ

>0

37


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

•S

i p

uo

` an

che

determ

inare

α

com

e l’u

nica

solu

zion

ep

ositiv

a dell’eq

uazio

ne

•E

ffetti po

sitivi dell’azio

ne an

ticipatrice

:

•m

iglio

ramen

to d

el marg

ine d

i stabilita`

•au

men

to

di

ωc

⇒

aum

ento

d

i B

a

catena

chiu

sa⇒d

imin

uzio

ne d

i tr ⇒ sis

tema p

iu` p

ron

to

•E

ffetti neg

ativi:

•p

egg

iora

la p

ossib

ilita` d

i “filtrare”

rum

ore

sovrap

po

sto al se

gn

ale u

tile

cq2c

+c

−1(

) α2

+2q

2cα+q2

+1−c

() =0

q=tan ϕ

c=M

2>1

c>q2

+1

38


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

•S

pec

ifiche:

•tip

o h

=1, |e

r,1 |<ε=

0.1=

1/10

• ω

c =8 rad

/s

•P

M=

45o

•S

tep 1

: spec

ifica su

tipo

ed

errore a reg

ime

•G

(s) e` gia` d

i tipo

1 ⇒ h

D =0

•K

v =(g

uad

agn

o d

i velocita`)=

0.5

•E

sem

pio

:P(s)=

25s(s+

5)(s+10)

KD

=1Kv ε

=1

0.5⋅0.1

=20

39


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

•S

tep 2

: spec

ifiche su

ωc e

PM

G*(s)=

KD

s hD G(s)=

20G(s)=

500s(s+

5)(s+10)

•D

etermin

azion

e di M

e ϕ

:

M=

1G*(j8)

≅2

>1

ϕ=PM

−π

+Arg

G*(j8)

[]

[] ≅45

o−[180o−186

o]=51

o>0

G*(jω

c )=G*(j8)=

0.51e−j186.56

o

•R

ete antic

ipatric

e

PM

0=-6

o

40


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

•C

on

dizio

ne d

i esistenza:

cosϕ=0.63

>1M

=0.51

α=

Mcosϕ

−1M

M−cosϕ

()

=0.078

T=M

−cosϕ

ωa sinϕ

=0.21

D*(s)=

1+Ts

1+

αTs =1

+0.21s

1+0.016s

D(s)=

201

+0.21s

1+0.016s

•D

etermin

azion

e della

rete:

41


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)

-80-60-40-20 0 20 40

100

101

-250

-200

-150

-100

42


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)


TextEnd

Diagram

mi di Bode della rete anticipatrice

0 5 10 15 20

100

101

102

103

10 20 30 40 50 60

si “lavora” in

pro

ssimita` d

i ωm

ax

43


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)


Margini del guadagno di anello

-100

-50 0

Gm

=16.845 dB (at 24.974 rad/sec), Pm=45 deg. (at 8 rad/sec)

100

101

102

-250

-200

-150

-100

44


Caso

M>

1, ϕ>

0C

aso M

>1, ϕ

>0

100

101

102

-50

-40

-30

-20

-10 0 10

Frequency [rad/s]

Magnitude [dB]

100

101

102

-250

-200

-150

-100

-50 0

Frequency [rad/s]

Phase [deg]

13

2πB≈13

⇒ B

≈2 ⇒ ω

c =8 ≈5B

≈ 10

45


Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

•C

aso M

<1, ϕ

<0 :

•P

M <

PM

0 (marg

ine d

i fase so

vrab

bo

nd

ante)

• ω

c < ω

c 0 (rich

iesta atten

uazio

ne a

lla p

ulsazio

ne ω

c )

•A

zion

e atten

uatrice p

er dim

inu

ire ωc

•C

i si pu

o` p

ermettere d

i “perd

ere” un

po

` di P

M

•R

ete attenu

atrice (ritard

atrice) (lag

)

D*(s)=

1+

αTs1

+Ts ,

T>0,

0<

α<1

•O

sservazion

e: D*(s) e` co

mp

letamen

te specific

ata

da d

ue

param

etri

46


ox1/T

1/(αT

)

ω>>

1αT:

D*(jω

)dB

≅20logα

φmin

>−

π2

Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

Magnitude [dB]-80

-60

-40

-20 0

Frequency [rad/s]

Phase [deg]

1/T1/(α

T)

0

φm

in

ωm

in

47


1+

α2C

entro

della cfr.:

log 1T+log

1αT2

=12 log

1T2α

=log

1T

α

⇒ωmin

=1

Tα

φmin

=arctan

α−1

2α

Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

1α

ωm

in

φm

in

48


•P

rob

lem

a di s

intesi: d

ati•

ωc ,

M <

1, ϕ

< 0

determ

inare

i param

etri α e T

di u

na rete atten

uatrice D

*(s)tali ch

e•

|D*(jω

c )| = M

•A

rg[D

*(jωc )]=

ϕ

•D

*(s) e` com

pletam

ente sp

ecificata dai d

ue p

arametri α

e Te il p

rob

lema ric

hied

e il sod

disfac

imen

to d

i du

e con

dizio

ni

•C

om

e nel ca

so d

ella rete an

ticipatrice

:•

du

e eq

uazio

ni n

ei du

e param

etri α e T

•stesso

app

roccio

per la s

olu

zion

e

•co

nd

izion

i per l’e

sisten

za di u

na so

luzio

ne

Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

49


•S

i ottien

e:

α=Mcos ϕ

−M

()

1−Mcosϕ

T=1ωc

1−M

2

M2

−α2

=Mcosϕ

−1ωc Msinϕ

Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

cosϕ>M

con

dizio

ne p

er l’esistenza:

•L

a con

dizio

ne N

ON

e` string

ente: s

e no

n e` so

dd

isfatta, s

ip

uo

` scegliere ϕ

piu

` picco

lo in

mo

du

lo ch

e po

rta ad u

nP

M m

agg

iore

•P

oic

he’ M

<1, ϕ

<0 (sin

ϕ<

0), T>

0

50


•S

i p

uo

` an

che

determ

inare

α

com

e l’u

nica

solu

zion

ep

ositiv

a dell’eq

uazio

ne

•E

ffetti po

sitivi dell’azio

ne an

ticipatrice

:•

dim

inu

zion

e di B

a catena ch

iusa ⇒

aum

enta l’effetto

“filtrante”

•E

ffetti neg

ativi:•

into

du

ce u

n ritard

o ⇒

dim

inu

isce P

M d

ispo

nib

ile

cq2c

+c

−1(

) +2q

2cα+q2

+1−c

() α

2=0

q=tan ϕ

c=M

2<1

c<

1q2

+1

Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

51


Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

•S

pec

ifiche:

•tip

o h

=1, |e

r,1 |<ε=

0.1=

1/10

• ω

c =2 rad

/s

•P

M=

40o

•S

tep 1

: spec

ifica su

tipo

ed

errore a reg

ime co

me p

rima

•G

(s) e` gia` d

i tipo

1 ⇒ h

D =0

•K

v =(g

uad

agn

o d

i velocita`)=

0.5

•E

sem

pio

:G(s)=

25s(s+

5)(s+10)

Kc

=1Kv ε

=1

0.5⋅0.1

=20

52


Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

•S

tep 2

: spec

ifiche su

ωc e

PM

G*(s)=

KD

s hD G(s)=

20G(s)=

500s(s+

5)(s+10)

•D

etermin

azion

e di M

e ϕ

:

M=

1G*(j2)

≅0.22

<1

ϕ=PM

−π

+Arg

G*(j2)

[]

[] ≅40

o−[180o−123

o]=−17

o<0

G*(jω

a )=G*(j2)=

4.55e−j123.11

o

•R

ete attenu

atrice

mϕ

0=57

o

53


Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

•C

on

dizio

ne d

i esistenza:

cosϕ=0.95

>M

=0.22

G*(s)=

1+

αTs1

+Ts

=1

+1.27s1

+6.14s

D(s)=

20 1+1.27s1

+6.14s

•D

etermin

azion

e della

rete:

α=Mcos ϕ

−M

()

1−Mcosϕ

=0.21

T=Mcosϕ

−1ωa Msinϕ

=6.14

54


Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

Frequency (rad/sec)


-80-60-40-20 0 20 40

100

101

-250

-200

-150

-100

55


Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

Frequency (rad/sec)


Diagramm

i di Bode della rete attenuatrice

-10 -5 0

10-2

10-1

100

101

-40

-30

-20

-10

si “lavora” in

pro

ssimita`

della m

ax. attenu

azion

e

56


Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

Frequency (rad/sec)


Margini del guadagno di anello

-50 0 50

Gm

=15.461 dB (at 6.3743 rad/sec), Pm

=40 deg. (at 2 rad

/sec)

10-2

10-1

100

101

-250

-200

-150

-100

57


Caso

M<

1, ϕ<

0C

aso M

<1, ϕ

<0

Frequency (rad/sec)


Bode Diagrams

-20

-15

-10 -5 0

10-1

100

101

-200

-150

-100

-50 0

3.65

2πB≈3.65 ⇒

B ≈0.59 ⇒

ωc =

2 ≈5B ≈ 2

.9

58


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•C

aso M

<1, ϕ

>0 :

•P

M >

PM

0 (marg

ine d

i fase in

sufficie

nte)

• ω

c < ω

c 0 (richie

sta atten

uazio

ne alla p

ulsa

zion

e ωc )

•A

zion

e attenu

atrice per d

imin

uire ω

c ed an

ticipatrice p

er“g

uad

agn

are” in P

M

•R

ete piu

` co

mp

lessa (d

ue p

oli e

du

e zeri)

•R

ete a sella (atten

ua

trice-an

ticipatrice

) (lead-la

g)

D*(s)=

1+

αT1 s1

+T1 s

1+T2 s

1+

αT2 s

T1 >T2

>0,

0<

α<1

•O

sservazio

ne: D

*(s) e` com

pletam

ente sp

ecific

ata da tre (e

no

n d

ue) p

arametri

59


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

0

Gain dB-90

-60

-30 0 30 60 90

Frequency (rad/sec)

Phase deg

1/T1

1/(αT1 )

1/(αT2 )

1/T2

1/(T1 )

ox

1/αT2

1/(T2 )

1/αT1

xo

−π2

<φmin

<φ

<φmax

<π2

φ=0:

ωm

=1αT1 T

2

med

ia ωp

oli =

med

ia ωzeri

60


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

ωm

in

φm

in

ωm

ax

φm

ax

m

1

0

ωm

m=D*(jω

m )=1

+αk

α+k

k=T1T2

>1;0

<m

<1

Cen

tro d

ella cfr.: (1+m

)/2

61


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•P

rob

lem

a di s

intesi : d

ati•

ωc ,

M <

1, ϕ

> 0

determ

inare

i param

etri α e T

1 , T2 d

i un

a rete a sella D*(s)

tali che

• |D

*(jωc )| =

M

•A

rg[D

*(jωc )]=

ϕ

•C

om

e n

ei casi

preced

enti,

si p

osso

no

im

po

stare d

ue

equ

azion

i (u

na

dalla

con

dizio

ne

sul

mo

du

lo,

un

a d

allaco

nd

izion

e di fase) ch

e no

n co

nsen

ton

o d

i determ

inare

un

ivocam

ente α

e T1 , T

2

•S

i determ

ina u

na

famig

lia di s

olu

zion

i

•C

on

dizio

ni p

er l’esis

tenza d

i so

luzio

ni

62


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•P

rimo

app

roccio

: si determ

ina u

na fam

iglia d

i solu

zion

i infu

nzio

ne d

el param

etro k =

T1 /T

2

•P

assi d

ella pro

cedu

ra:

•im

po

nen

do

il passag

gio

del d

iagram

ma d

i Ny

qu

ist per

il pu

nto

Me

jϕ si determ

ina m

•si fissa

k

•n

oti m

e k, s

i calc

ola

•im

po

nen

do

la

con

dizio

ne

di

mo

du

lo

|C*(jω

a )|=M

si

determ

ina T

2

•si calco

la T

1 =k T

2

•P

er og

ni scelta d

i k si ottie

ne u

na rete

α=km

−1k

−m

63


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•L

e form

ule ch

e si o

tteng

on

o so

no

le segu

enti (ap

plican

do

nell’o

rdin

e i pa

ssi della p

roced

ura):

α=km

−1

k−m

m=M(cosϕ

−M)

1−Mcosϕ

M<cosϕ

x=C

+C2

−4α

2k2

2α2k2

C=M

2α2

+k2

() −1

−α2k2

1−M

2

T2

=x

ωa

T1 =kT2

k>1m

k arbitrario

pu

rche’

con

dizio

ne strin

gen

te d

i esistenza

64


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•S

pec

ifiche:

•tip

o h

=1, |e

r,1 |<ε=

0.01=

1/100

• ω

c =5 rad

/s

•P

M=

60o

•S

tep 1

: spec

ifica su

tipo

ed

errore a reg

ime

•G

(s) e` gia` d

i tipo

1 ⇒ h

D =0

•K

v =(g

uad

agn

o d

i velocita`)=

0.5

•E

sem

pio

:G(s)=

25s(s+

5)(s+10)

Kc

=1Kv ε

=1

0.5⋅0.01

=200

65


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•S

tep 2

: spec

ifiche su

ωc e

PM

G*(s)=

KD

shDG(s)=

200G(s)=

5000s(s+

5)(s+10)

•D

etermin

azion

e di M

e ϕ

:

M=

1G*(j1)

≅0.08

<1

ϕ=PM

−π

+Arg

G*(j5)

[]

[] ≅60

o−[180o−161

o]=41

o>0

G*(jω

c )=G*(j5)=12.65e

−j161.56

o

•R

ete a sella

PM

0=19

o

66


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•C

on

dizio

ne d

i esistenza:

cosϕ=0.7125

>M

=0.08

•D

etermin

azion

e della

rete:

m=M(cosϕ

−M)

1−Mcosϕ

=0.053

k=20

>1m

=18.94

D*(s)=

1+

αT1 s1

+T1 s

1+T2 s

1+

αT2 s

=1

+0.003

⋅79.82s1

+79.82s

1+3.99s

1+0.003

⋅3.99s

67


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)


Bode Diagrams

-50 0 50

10-1

100

101

102

-250

-200

-150

-100

68


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)


Bode Diagrams

-25

-20

-15

-10 -5 0

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-60-40-20 0 20 40 60

69


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)


TextEnd

Bode Diagram

s

-100

-50 0 50

100

Gm

=24.003 dB (at 29.269 rad/sec), Pm=60 deg. (at 5 rad/sec)

10-2

100

102

-250

-200

-150

-100

70


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)Bode Diagram

s

-100

-80

-60

-40

-20 0

10-1

100

101

102

103

-250

-200

-150

-100

-50 0

2πB≈8.5 ⇒

B ≈1.3

5 ⇒ ω

c =5 ≈5B

≈ 6.78

71


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)


Bode Diagrams

-25

-20

-15

-10 -5 0

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-60-40

-20 0 20 40 60

72


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)


Bode D

iagrams

-50 0

50

100

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

73


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)


Bode Diagrams

-100

-80

-60

-40

-20 0

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-250

-200

-150

-100

-50 0

74


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•S

econ

do

app

roccio

: si scom

po

ne il p

rob

lema d

i sintesi in

du

e so

ttop

rob

lemi.

•sin

tesi della p

arte attenu

atrice-ritardatrice D

*r (s) e sin

tesid

ella parte an

ticip

atric

e D*

a (s)

•D

*(s)= D

*r (s) D

*a (s)

•S

i decid

e a prio

ri il con

tribu

to d

i fase neg

ativa (ritardo

) φr

intro

do

tto in

ωc d

a D*

r (s)

•L

a pu

lsazion

e ωc si d

eve co

llocare d

ove φ

r e` picco

lo (in

gen

ere -6

o< φ

r <

-3o)

e l’atten

uazio

ne

e` circa

qu

ellaasin

totic

a (20lo

gα)

•A

ssieme alle sp

ecifiche, cio

` con

sente d

i determ

inare co

nla tecn

ica g

ia` vista prim

a D*

c (s) e po

i D*

r (s)•

Per o

gn

i scelta di φ

r si o

ttiene u

na

rete

75


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•P

arte atten

uatrice-ritard

atrice D

*r (s):

Dr *(jω

c )dB

=1

+jω

c αT11

+jω

c T1dB

≅20logα

ArgDr *(jω

c )[

] =φr

•P

arte an

ticipatrice

C*

a (s):

MdB

=D*(jω

c )dB

=Dr *(jω

c )dB

+Da *(jω

c )dB

Da *(jω

c )dB

=20log

M−20logα

⇒Da *(jω

c )=Mα

Arg

Da *(jω

c )[

] =ϕ

−φr

•S

i risolve p

er α e T

2 con

la tecnic

a vista p

er le reti antic

ip.

76


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

•C

on

dizio

ne p

er l’esis

tenza d

ella so

luzio

ne D

*a (s):

M2

<1

1+q2

q=tan(ϕ

−φr )

•P

arte an

ticipatrice

D*

r (s): riman

e da d

etermin

are T1

ArgCr *(jω

c )[

] =φr

=Arg

1+jω

c αT11

+jω

c T1

=arctan

ωc T1 (α

−1)1

+α

ωc 2T1 2

tanφr

=ωc T1 (α

−1)1

+α

ωc 2T1 2

T1 2α

ωc 2tan

φr

() +(1

−α)ω

c T1 +tan

φr

=0

Co

nd

izion

e:d

eve esistereT

1 > T

2 >0

77


Caso

M<

1, ϕ>

0C

aso M

<1, ϕ

>0

Frequency (rad/sec)


Diagramm

i di Bode delle reti a sella

-25

-20

-15

-10 -5 0

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-60-40-20 0 20 40 60

78


Co

nclu

sion

iC

on

clusio

ni

•O

sservazio

ni g

enerali:

•u

na vo

lta determ

inato

D(s), e` n

ece

ssario verificare ch

eil sis

tema in

caten

a ch

ius

a sia stab

ile

•talvo

lta n

on

si

riesce a

sod

disfare

le sp

ecifiche

utilizzan

do

un

a sola rete co

rrettrice ⇒ ca

scata d

i piu

`reti

•p

osso

no

essere

necessari,

a p

osterio

ri, p

iccoli

agg

iustam

enti

dei

param

etri p

er so

dd

isfare le

spec

ifiche d

i pro

getto

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