Projekt: Hrvatske rentne tablice

Miljenko Huzak

Matematicki odsjek PMF-a

Sveuciliste u Zagrebu

Opatija, 7. studeni 2014.

1

Pregled izlaganja

• O projektu

• Opcenito o rentnim tablicama

• Baza za izradu tablica

• Smrtnost populacije u Hrvatskoj

• Zavrsne napomene

2

O projektu

– projekt HUO-a i HAD-a (2014.)– izvodac: MO PMF-a u Zagrebu– suradnici:prof. B. Basrak (PMF), prof. A. Jazbec (SF), M.H.

– cilj: izrada tablica smrtnosti za odgodene i neod-godene rente populacije u RH, odvojeno po spolu izajednicke (unisex)– metodologija: bazirana na iskustvu izrade rent-nih tablica iz literature i dostupnim statistickim po-dacima

3

Opcenito o rentnim tablicama

– tablica smrtnosti - odrazava kako je smrtnost

povezana sa dobi osobe

– smrtnost - opcenito je povezana i sa drugim fak-

torima osim dobi: kalendarska razdoblja, spol,...

−→ tablice smrtnosti za muskarce, za zene, uni-

sex , periodne tablice smrtnosti, kohortne tablice,...,

tablice opce populacije, tablice smrtnosti osiguranika

zivotnih osiguranja,...

4

rentna tablica smrtnosti =

= kohortna tablica smrtnosti osiguranika

rentnih zivotnih osiguranja

– namijenjena za izacunavanje sadasnje ocekivane

vrijednosti anuiteta (opcenito, velicina rentnih osi-

guranja)

– anuiteti se isplacuju periodicno dokle god je osi-

guranik ziv ili ne istekne osiguranje

−→ bazira se na smrtnosti generacije (i populacije)

kojoj pripada osiguranik

5

Baza za izradu rentnih tablica

1. statisticki podaci o smrtnosti populacije u RH:

– tablice smrtnosti u SRH

(1952.-54., 1960.-62., 1970.-72., 1980.-82.)

– broj umrlih u SRH/RH (po dobi i spolu u

kalendarskim godinama 1984.-2010.)

– popisi stanovnistva u SRH/RH (po dobi i spolu):

1961., 1971., 1981., 1991., 2001., 2011.

Izvor: Drzavni zavod za statistiku RH6

2. model za povezanost smrtnosti s dobi (x) i kalen-

darskim vremenom (t)

−→ za projiciranje smrtnosti

– Poisonov log-bilinearni regresijski model:

Dx(t) ∼ Poisson (Ecx(t)µx(t)) uvjetno na (κt),

logµx(t) = ax + bxκt,

(κt) ∼ ARIMA(p, q, r)

N. Bronhus et al., Insurance: Mathematics and Eco-

nomics 31 (2002) 373-393

7

Zasto?

- uspjesan u projiciranju smrtnosti vise populacija

A. Ahcan et al., Slovenian Annuity Tables, Ljublja-

na, 2012.

D. Chua, S. De Guzman, Understanding the Pois-

son Log-Bilinear Regression Approach - Projecting

the Mortality of some Northern European Countries,

LAP LAMBERT, 2012.

8

- parametri modela: ax, bx, κt

−→ procjena ML-metodom iz podataka:

- Dx(t) ... broj umrlih dobi x u godini t

- Ecx(t) ... centralna izlozenost riziku:

Ecx(t) =

1∫0

Px,t(s) ds

−→ procijenjeno iz popisa stanovnistva:

Px,t(s) ... broj osoba dobi x na datum s popisa

u godini t

9

3. Iskustvo smrtnosti rentnih osiguranika u RH idrugim drzavama

Zasto?

- nema (dovoljno) vlastitih podataka- dostupnost podataka o smrtnosti u Engleskoj- iskustvo prilagodbe smrtnosti u Sloveniji

A. Ahcan et al., Slovenian Annuity Tables, Ljublja-na, 2012.

CMI, Institut and Faculty of Actuaries(www.actuaries.org.uk)

10

Smrtnost populacije u Hrvatskoj

11

0 20 40 60 80 100 120−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2Periodne tablice smrtnosti za 1951. (plavo), 1970. (crno), 1984. (zeleno), 2010. (crveno)

x

log

µ x

ML procjene parametara modela

– uvjetna maksimizacija log-vjerodostojnosti

– uvjeti: ∑x

bx = 1,∑t

κt = 0

13

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0Usporedba ax

m (plavo), axu (crno), ax

f (crveno)

x

a x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03Usporedba bx

m (plavo), bxu (crno), bx

f (crveno)

x

b x

Model za κt i projekcija:

– ARIMA(0,1,0):

κt − κt−1 = c+ εt, (εt) ∼ WN(0, σ2)

−→ projekcija od κ2010+t:

κ2010+t = κ2010 + c · t

95% prediktivni interval za κ2010+t:

[κ2010 + c · t− 2σ√t, κ2010 + c · t+2σ

√t]

16

1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40Usporedba κt

m (plavo), κtu (crno), κt

f (crveno)

t

κ t

1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40κt, t=1984,...,2033

t

κ t

Bazicna tablica:

kohortna tablica za generaciju 1970. iz opce popu-

lacije (muskarci, zene, unisex)

– dobivena izgladivanjem procijenjenih i projiciranih

velicina

−→ druge kohortne tablice:

qx(t) = qx+h(t)(1970)

−→ tablice osig. odgodenih i neodgodenih renti:

qRx (t) = SMRRx · qx(t)

−→ izvedene velicine rentnih osiguranja

19

0 20 40 60 80 100 120 140−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8Kohortne tablice smrtnosti za generacije 1951. (plavo), 1970. (crno), 1984. (zeleno), 2010. (crveno)

log

µ x(τ )

x

0 20 40 60 80 100 120 140−10

−5

0

5Kohortne tablce smrtnosti za generaciju 1970. (m,f,u)

x

log

µ x (19

70)

Zavrsne napomene

– kontinuirano ispitivanje i korekcija projicirane

smrtnosti

– standardizacija, origanizirano pracenje i prikuplja-

nje podataka

−→ na razinama OD i nacionalnoj

22