05.10.2016 2016--2017 1

PROIECTAREA LOGICA(1)

Titular:Conf. dr. ing. IONESCU AUGUSTIN-

IULIAN

05.10.2016 PL12

CAPITOLUL 1

05.10.2016 PL13

ALGEBRA BOOLEANĂ

TEMATICĂ

Definirea algebrei booleene tip Harrison

Setul de teoreme aferent algebrei booleene tip Harrison

Forme booleene

05.10.2016 BLPC4

PREZENTARE GENERALĂAlgebra constituie o ramură a matematicii, derivată din aritmetică, ca o generalizare sau extensie a acesteia din urmă. Are ca domeniu studiul regulilor, operațiilor și relațiilor matematice, a conceptelor derivate din acestea, cum ar fi: polinoame, ecuații, structuri algebrice.

05.10.2016 BLPC5

Algebra booleană prezentată ȋn 1854 de catre George Boole ȋn lucrarea An Investigation of the Laws of Thought, este o variantă a algebrei elementare studiată ȋncă din gimnaziu. Diferențele apar ȋn ceea ce priveşte valorile manipulate, operațiiile acceptate şi setul de reguli (legi/axiome) respectate de aceste operații. Algebra booleana studiată ȋn continuare foloseşte ȋn locul numerelor din algebra elementară doar valorile de adevăr notate 0 şi 1 iar operațiile specifice sunt disjuncția, conjuncția respectiv complementarea. Alte algebre booleene folosesc ca valori mulțimi, şiruri de biți, valori logice (adevărat, fals) etc.

PREZENTARE GENERALĂOrice algebră booleana se defineşte în 3 etape:

    a) Stabilirea unui set de noţiuni primitive.   b) Stabilirea unui set de axiome definite peste primitivele introduse anterior. Setul de axiome trebuie să respecte cele 3 condiţii specifice şi anume:

    simplitate;    independenţă;    consistenţă.

 În funcţie de setul de axiome adoptat rezultă un anumit tip de algebră booleană.  c) Stabilirea unui set de teoreme.

05.10.2016 BLPC6

DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENESe numeşte algebră booleană un 5-tuplu

B= <E, ●, +, 0, 1> unde: 

    a)  E – o mulţime finită nevidă care conţine cel puţin două elemente distincte;

   b)  ● - operaţia binară “CONJUNCŢIE” (produs logic) care respectă proprietatea de închidere pe E adică:

x,yE x●yE c) + - operaţia binară “DISJUNCŢIE” (suma

logică) care respectă proprietatea de închidere pe E adică:

  x,yE x+yE   d) 0,1- constante (0,1E);05.10.2016 7

DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENE

e) a fost definită o relaţie de echivalenţă notată “ = ” care respectă cele trei proprietăţi ale unei relaţii de echivalenţă:     reflexivitate x=x;    simetrie x=y y=x;     tranzitivitate x=y, y=z x=z;

  f) este valabil principiul substituţiei adică dacă A=B înseamnă că oriunde putem utiliza pe A în locul lui B şi invers;

   g) se acceptă notaţia cu paranteze;    h) este valabil următorul set de 9 axiome:

05.10.2016 BLPC 8

DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENE

A1) asociativitatea disjuncţiei:

  x,y,zE x+(y+z)=(x+y)+z

A2) asociativitatea conjuncţiei:

  x,y,zE x ⋅(y⋅z)=(x ⋅y)⋅z

 A3) comutativitatea disjuncţiei:

  x,yE x+y=y+x  

A4) comutativitatea conjuncţiei:

  x,yE x⋅y=y⋅x

05.10.2016 BLPC9

DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENE

A8) distributivitatea conjuncţiei în raport cu disjuncţia

   x,y,zE x⋅(y+z) =(x⋅y)+(x⋅z)

05.10.2016 BLPC 10

A7) distributivitatea disjuncţiei în raport cu conjuncţia

x,y,zE x+y⋅z = (x+y)⋅(x+z)

A6) existenţa elementului neutru unic pentru conjuncţie

! 1E x⋅1=1⋅x=x xE

A5) existenţa elementului neutru unic pentru disjuncţie

! 0E x+0=0+x=x xE

DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENE

05.10.2016 BLPC 11

A9)existenţa elementului simetric

0xx·

1xxExx E

TEOREME

T1) idempotenţa disjuncţiei a+a = a 

Justificare:  

T2) idempotenţa conjuncţiei a⋅a = a 

Justificare: 

T3) agresivitatea lui 1 în raport cu disjuncţia a+1 = 1

 

Justificare:  

T4) agresivitatea lui 0 în raport cu conjuncţia a⋅0 = 0

 

Justificare:

05.10.2016 BLPC 12

aaaaaaaaaaaaa 0)()(1)(

aaaaaaaaaaaaa 1)(0

11)()1(1)1(1 aaaaaaaaa

0)0(0000 aaaaaaaaa

TEOREME

05.10.2016 BLPC13

T5) prima teoremă de absorbţie 

Justificare:  

T6) a II-a teoremă de absorbţie 

Justificare:  

T7) unicitatea elementului simetric 

Justificare: Demonstraţia se face prin reducere la absurd. 

Presupunem că pentru astfel încât să fie simultan îndeplinite condiţiile din axioma A9: 

 

Atunci:  

abaa aabaaba 1)1(

ab)(aa abaabaaabaa )(

21 aaEa

0

1

1

1

aa

aa

0

1

2

2

aa

aa

1121121121221222 1)(0)(1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

TEOREME

BLPC 14

T8) Relaţia între constantele 0 şi 1:Justificare: 

Din A5 rezultă a+0=a.Deoarece rezultă (1)Dar din (A9) avem şi (2) Din (1) şi (2)  

Analog se demonstrează şi relaţia . 

T9) Teorema de identitate: Dacă simultan atunci x=y. Justificare:   

0110

Ea 000 100

10 01

yyx

yyx

yyx

yyx xxyxyxxyxy 1)1(

E0

TEOREME

15

T10) Teorema de complementare: Fie . Dacă simultan atunci şi 

Justificare: 

Rezultă imediat din (A9) şi unicitatea elementului simetric.

T11) Teorema de involuţie

Justificare: 

Utilizând teorema T9 va trebui să se demonstreze că simultan   

EyEx ,

0

1

yx

yxyx xy

x)x(

xxx

xxx

xxxxxxxxxxxxx )(1)()(0xxxxxxxxxxxxx 0)()()(1

TEOREME

05.10.2016 BLPC16

T12) Prima teoremă a lui De Morgan 

Justificare: 

Folosind teorema de complementare T10 rezultă că trebuie să fie verificate simultan relaţiile: (a) (b)

Pentru (a) 

Pentru (b)

yxyx

1)()( yxyx0)()( yxyx

111)1()1(

))(())(()()()()(

xy

yyxyxxyyxxyxyxyx

00000)()(

)()()()(

xyyyxyxx

yyxxyxyxyxyxyx

TEOREME

05.10.2016 BLPC17

T13) a II-a teoremă a lui De Morgan yxyx Justificare: 

Folosind teorema de complementare T10 rezultă că trebuie să fie verificate simultan relaţiile:

(1) (2)

Pentru (1)

Pentru (2)

0)()( yxyx

1)()( yxyx

00000

)()()()(

xy

yyxxxyyyxxyxyxyx

111)1()1())(())((

)()()()(

xyyyxyxx

yxyyxxyxyx

TEOREME

05.10.2016 BLPC18

T14) Generalizarea primei teoreme a lui De Morgan

Justificare: 

Se utilizează metoda inducţiei.n=1 n=2  

Presupunem propeietatea adevărată pentru n-1 adică:  Pentru n

nx...xnx...x11

11 xx

2xx2xx11

1111 -nx...x-nx...x

nx-nx...xnx-nx...xnx-nx...x111111

TEOREME

05.10.2016 BLPC19

T15) Generalizarea celei de a II-a teoreme a lui De Morgan

 

 Justificare analoagă precedentei.

 T16)A III-a teoremă de absorbţie 

Justificare:

 

T17) A IV-a teoremă de absorbţie  

Justificare:

 

nx...xnx...x11

babaa

bab)(a1b)(a)a(abaa

bab)a(a

baba0baaab)a(a

TEOREME

20

T18) Generalizarea celei de a III-a teoreme de absorbţie:  Justificare:  

n=1 n=2  

Presupunem relaţia adevărată pentru n-1:  

Atunci:

n321n1n321321211a...aaaaa...aaa...aaaaaa

11aa

21211aaaaa

1-n3211-n1n321321211a...aaaaa...aaa...aaaaaa

n1n321n

nn321n321(

n1n321n321(

n1n321321211

aa...aaaaAA

a)a...aa(a)a...aaa

aa...aaa)a...aaa

aa...aaa...aaaaaa

TEOREME

05.10.2016 BLPC21

T19) Generalizarea celei de a IV-a teoreme de absorbţie:  Justificare analoagă precedentei. 

T20) A V-a teoremă de absorbţie (teorema de consens) 

termen de consensJustificare: 

n321n1n321321211a...aaa)aa...aaa(...)aaa()aa(a

cabacbcaba

caba1c)a(1b)(ab)(1c)a(c)(1b)(ab)c)a(c)a((c)b)(ab)((acbacbacaba

)a(acbcaba1cbcabacbcaba

TEOREME

05.10.2016 BLPC22

T21) A VI-a teoremă de absorbţie   Justificare:

Unde

c)a(b)(ac)(bc)a(b)(a

c)a(b)(aBAb))(B(Bc))(A(Ab))c)a((c)a((c))b)((ab)((a

c)ba(c)b(ac)a(b)(a)aac)((bc)a(b)(a0)c(bc)a(b)(ac)(bc)a(b)(a

baA caB

2305.10.2016 BLPC

FORME BOOLEENE

Se spune că o variabilă este variabilă booleană dacă poate avea numai valorile 0 sau 1.

Se numeşte formă booleană sau expresie booleană o formulă în care apar numai variabile booleene şi operatorii disjuncţie, conjuncţie şi negaţie.

Exemplu: E(x1,x2,x3,x4)=(x1x2x4+x3)(x3+x2x4)

Se spune că o formă booleană este o formă normală dacă reprezentarea respectă anumite reguli (norme).

Exemplu: E(x1,x2,x3,x4)= x1x2x4+x3x4+x1x4

Se spune că o formă booleană normală este o formă canonică dacă în condițiile impuse reprezentarea este unică.

Exemplu: E(x1,x2,x3,x4)= x1x2x3x4+x1x2x3x4+x1x2x3x4

2405.10.2016 BLPC

FORME BOOLEENE

Orice produs logic format din variabilele unei forme booleene, se numeşte termen P.

Orice sumă logică formată din variabilele unei forme booleene, se numeşte termen S.

Orice termen P care conține toate variabilele formei booleene se numeşte mintermen.

Orice termen S care conține toate variabilele formei booleene se numeşte maxtermen.

Orice sumă logica de termeni P se numeşte formă normal disjunctivă (FND).

Orice sumă logica de mintermeni se numeşte formă canonică normal disjunctivă (FCND).

Orice produs logic de termeni S se numeşte formă normal conjunctivă (FNC).

Orice produs logic de maxtermeni se numeşte formă canonică normal conjunctivă (FCNC).

25

FORME BOOLEENE

05.10.2016 BLPC

Exemple:

termen P: x1x2x4 ; termen S: x1+x2+x4 ; FND: F(x1,x2,x3,x4) = x1x2x3+x2x3x4+x1x3x4 ; FNC: F(x1,x2,x3,x4) = (x1+x2+x3)(x2+x3+x4)(x1+x3+x4) ; FCND: F(x1,x2,x3,x4) = x1x2x3x4+x1x2x3x4+x1x2x3x4; FCNC: F(x1,x2,x3,x4) = (x1+x2+x3+x4)(x1+x2+x3+x4) (x1+x2+x3+x4) .

26

FORME BOOLEENE

Trecerea de la o FND la o FCND

P1) Pornind de la o FND, în fiecare termen P se introduc variabilele lipsă prin α+α.

P2) Folosind distributivitatea, se desfac parantezele. Fiecare termen obținut va conține toate variabilele, deci este un mintermen.

P3) Dintre mintermenii identici se reține unul singur. Forma obținută este o FCND.

Exemplu:

F(x,y,z)=xy+yz = xy(z+z) + (x+x)yz = xyz+ xyz+xyz+xyz = xyz+ xyz+xyz

05.10.2016 BLPC

27

FORME BOOLEENE

Trecerea de la o FNC la o FCNC

P1) Pornind de la o FNC, în fiecare termen S se introduc variabilele lipsă prin α·α .

P2) Folosind distributivitatea, se desfac parantezele. Fiecare termen obținut va conține toate variabilele, deci este un maxtermen.

P3) Dintre maxtermenii identici se reține unul singur. Forma obținută este o FCNC.

Exemplu:

F(x,y,z)=(x+y)·(y+z )=(x+y+z·z)·(xx+y+z) = (x+y+z)·(x+y+z)·(x+y+z)·(x+y+z) =

= (x+y+z)·(x+y+z)·(x+y+z)

05.10.2016 BLPC

28

FORME BOOLEENE

Forme echivalente

Fie A şi B două forme booleene depinzând de acelaşi set de variabile. Se spune că cele două forme sunt echivalente dacă putem obține o formă din cealaltă folosind transformări bazate numai pe axiomele şi teoremele algebrei booleene. Se notează A=B.

Practic, pentru demonstrarea echivalenței a două forme booleene există şi alte metode. O metodă frecvent utilizată se bazează pe unicitatea formelor canonice.

Două forme booleene sunt echivalente dacă pot fi aduse la aceeaşi FCND sau aceaşi FCNC.

Aplicarea acestei metode presupune parcurgerea următorilor paşi:

P1) Se aduce fiecare formă inițială la o FND sau FNC.P2) Se transformă FND în FCND sau FNC în FCNC aşa cum a fost arătat anterior.

29

FORME BOOLEENE

Exemplu: Să se verifice dacă următoarele două forme booleene sunt echivalente:

Se va utiliza metoda aducerii ambelor forme la forma canonică normal disjunctivă.

cbcabac)b,F(a, c)(b)a(c)b,G(a, a

cbacbacbacbacba

cbacbacbacbacbacba

cb)a(ac)b(ba)c(cbac)b,F(a,

cbacbacbacbacba

cbacbacbacbacbacba

cb)a(a)c(c)b(bacbacbc)b(1a

cbcabaacbbacaaac)b,G(a,

Rezultă că cele două forme booleene sunt echivalente.

Întrebări ?

05.10.2016 BLPC30