Ordine degli Ingegneri della Provincia di Catania

CORSO DI AGGIORNAMENTO

PROGETTO E VERIFICA AGLI STATI LIMITE

SECONDO L’EUROCODICE 2

Applicazioni su taglio e torsione agli stati limite ultimi

Ing. Pier Paolo Rossi

APPLICAZIONE - VALORI DEL TAGLIO

- travi del primo impalcato -

Sezione Cond. n .1 Cond. n .2 Cond. n .3 Cond. n .4 Inviluppo

3 111.9 77.9 109.0 78.6 111.9

7sx -176.0 -132.4 -179.0 -131.6 -179.0

7dx 122.8 161.9 170.4 155.2 170.4

11sx -124.2 -173.0 -164.4 -179.7 -179.7

11dx 185.7 141.9 140.3 192.0 192.0

15 -129.7 -84.9 -86.5 -123.4 -129.7 I valori in tabella sono espressi in kN

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

1 4 4 k N 1 7 0 k N

1 9 2 k N

1 5 8 k N 1 8 0 k N 1 7 9 k N

METODO DI CALCOLO A TAGLIO

Si basa su tre valori della resistenza di calcolo:

- VRd1 Resistenza di calcolo dell’elemento privo di armatura a taglio

- VRd2 Massima forza di taglio di calcolo che può essere sopportata senza rottura delle bielle compresse convenzionali di calcestruzzo

- VRd3 Forza di taglio di calcolo che può essere sopportata da un elemento con armatura a taglio

SE:

Vsd < VRd1 non è richiesta armatura a taglio (deve essere previsto un minimo di normativa)

Vsd>VRd1 deve essere prevista una opportuna armatura a taglio tale che Vsd≤VRd3

A tal proposito sono possibili due metodi di calcolo: il metodo normale ed il metodo dell’inclinazione variabile del traliccio.

INOLTRE: In nessuna sezione di qualunque elemento la forza di taglio di calcolo deve essere maggiore di VRd2

Vsd < VRd2

ELEMENTI CHE NON RICHIEDONO ARMATURE A TAGLIO (4.3.2.3.)

La resistenza a taglio di calcolo VRd1 è data da:

[ ] db15,0)402,1(kV wcplRd1Rd σ+ρ+τ=

dove: τRd è la resistenza unitaria a taglio di calcolo di riferimento

(0,25 fctk0,05) / γc. Il valore di γc. deve di regola essere assunto pari a | 1,5 | (I : | 1,5 | o | 1,6 |).

k | 1 | per elementi in cui più del 50% dell’armatura inferiore è interrotta. In caso contrario vale | 1,6−d ≥ 1 | (d in metri);

ρl db

A

w

sl ≤ | 0,02 |;

Asl area delle armature di trazione che si estende per non meno di d+lb,net oltre la sezione considerata.

bw è la larghezza minima della sezione lungo l’altezza efficace;

σcp NSd / Ac;

NSd è la forza longitudinale nella sezione dovuta ai carichi o alla precompressione (compressione positiva).

Prospetto 4.8 - Valori di τRd (N/rnm2) con γc = | 1,5 | (I : | 1,5 | o | 1,6 |) per diverse resistenze del calcestruzzo

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50 γc = 1.5 τRd 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48 γc = 1.6 τRd 0.17 0.21 0.24 0.28 0.32 0.35 0.38 0.41 0.45

Nota: Il prospetto riporta i valori incasellati proposti per l’Italia

APPLICAZIONE - CALCOLO DI VRd1

Le armature a taglio sono costituite da staffe a quattro bracci nella trave a spessore e a due bracci in quella emergente.

Per il calcolo delle armature a taglio si è utilizzato il metodo del traliccio ad inclinazione variabile. Si è innanzitutto calcolato il valore di VRd1, resistenza del calcestruzzo in assenza di armatura a taglio, per controllare in quale zona è necessario un calcolo esplicito dell’armatura a taglio:

[ ] db15,0)402,1(kV wcplRd1Rd σ+ρ+τ=

Per non dover ripetere tale calcolo per tutte le sezioni, lo si è effettuato una volta per tutte (ma ovviamente separatamente per trave emergente e trave a spessore) utilizzando un valore minimo di armatura (3∅14 = 4.62 cm2).

Si ottiene, essendo 0.25 fctd=0.253 MPa:

TRAVE EMERGENTE (b=30 cm ; h=50 cm) d=46 cm ρl=0.003348 k=1.14 VRd1= 53.0 kN TRAVE A SPESSORE (b=80 cm ; h=24 cm) d=20 cm ρl=0.002888 k=1.40 VRd1= 74.4 kN Nella verifica a taglio della trave a spessore occorre ricordare che la larghezza b deve corrispondere alla larghezza della zona di intersezione tra trave e pilastro. Secondo una impostazione classica, che considera una diffusione di tensioni a 45° e fa riferimento alla quota dell’asse della trave, b non può essere superiore alla somma di larghezza pilastro e spessore solaio (in questo caso 30+24=54 cm). Secondo una impostazione più moderna (vedi verifica a punzonamento secondo l’Eurocodice 2), nella quale si considera una diffusione con rapporto 1:1.5 e si arriva all’estradosso, b non può essere superiore alla somma di larghezza pilastro e tre volte l’altezza utile del solaio (in questo caso 30+3×20=90 cm). Nel calcolo ci si è posti in una situazione intermedia, assumendo b=80 cm.

METODO DELL’INCLINAZIONE VARIABILE DEL TRALICCIO (4.3.2.4.4.)

(1) L’angolo θ tra il puntone compresso e l’asse longitudinale è limitato a:

| 0,4 | < cot θ < | 2,5 | (I: | 1,0 | < cot θ < | 2,0 | )

per travi con armature longitudinali non interrotte, ed a:

| 0,5 | < cot θ < | 2,0 | (I: | 1,0 | < cot θ < | 2,0 | )

per travi con armature longitudinali interrotte. Altri valori di θ possono essere usati a condizione che possano essere giustificati.

(2) Per elementi con armature a taglio verticali, le resistenze a taglio sono definite da:

w cdRd2

b z fVcot tan

ν=θ + θ

con la condizione sw ywdcd

w

A f 1 fb s 2

≤ ν

Il fattore di efficienza ν è dato dall’equazione [4.21]. La tensione nel puntone di calcestruzzo deve, di regola,

essere limitata a σc ≤ ν fcd, dove ν è il fattore di efficienza dato da:

5,0200f

7,0 ck ≥−=ν (fck in N/mm2) [4.21]

Il braccio di leva z può essere assunto pari a 0,9 d. (3) ……… (4) Per determinare il minimo quantitativo di armature a taglio, per

tensioni di taglio basse o medie, i limiti superiori dati per cot θ nel punto (1) governano di norma il progetto. Per tensioni di taglio più elevate, il più grande valore di cot θ (corrispondente al minimo quantitativo di armatura) può essere determinato uguagliando la forza di taglio di progetto VSd a VRd2. Il valore di cot θ può anche essere scelto in modo da ottimizzare il progetto, per esempio riducendo al minimo il quantitativo totale di armatura.

APPLICAZIONE - CALCOLO DI VRd2

Si è poi calcolato il valore di VRd2, resistenza del puntone di calcestruzzo in presenza di armatura a taglio, per controllare se la sezione è sufficiente per sopportare il taglio:

cdRd2

b z fV(cot tan )

ν=θ + θ

Secondo il modello a inclinazione variabile del traliccio, al diminuire dell’angolo θ vengono caricati maggiormente i puntoni che modellano il comportamento del calcestruzzo e scaricati i tiranti in acciaio

Il taglio VRd2 è stato inizialmente determinato utilizzando il massimo valore consentito dalla normativa per l’angolo θ (cot θ=2), che fornisce la minima resistenza VRd2. L’angolo α, inclinazione dell’armatura a taglio, è pari a 90° poiché l’armatura è costituita da staffe; si ha quindi cot α=0.

Si ottiene, essendo ν fcd=7.733 MPa:

TRAVE EMERGENTE (b=30 cm ; h=50 cm)

d=46 cm z=41.4 cm VRd2= 384.2 kN TRAVE A SPESSORE (b=80 cm ; h=24 cm)

d=20 cm z=18.0 cm VRd2= 445.4 kN Qualora questo valore non fosse sufficiente occorre calcolare

l’angolo θ che massimizza la resistenza a taglio, imponendo la condizione VRd2 = VRd3.

METODO DELL’INCLINAZIONE VARIABILE DEL TRALICCIO (4.3.2.4.3.)

(1) La resistenza a taglio di una sezione con armature a taglio è data dall’equazione:

VRd3 = Vcd + Vwd

dove: Vcd è il contributo del calcestruzzo ed è uguale a VRd1 Vwd è il contributo delle armature a taglio.

(4.3.2.4.4.)

(2) Per elementi con armature a taglio verticali, le resistenze a taglio sono definite da:

swRd3 ywd

AV z f cots

= θ

dove: Asw è l’area della sezione trasversale delle staffe;

s è il passo delle staffe; fywd è lo snervamento di calcolo delle armature a taglio.

Il fattore di efficienza ν è dato dall’equazione [4.21]. La tensione nel puntone di calcestruzzo deve, di regola,

essere limitata a σc ≤ ν fcd, dove ν è il fattore di efficienza dato da:

5,0200f

7,0 ck ≥−=ν (fck in N/mm2) [4.21]

Il braccio di leva z può essere assunto pari a 0,9 d.

APPLICAZIONE - CALCOLO ARMATURA A TAGLIO Si è infine determinata la resistenza dell’armatura a taglio VRd3

con l’espressione utilizzando inizialmente il valore cot θ=2. Il calcolo è stato effettuato per le quantità di staffe più comuni, in modo da individuare quali staffe disporre in ogni tratto. Qualora il valore così ottenuto fosse stato maggiore di VRd2 si sarebbe ripetuto il calcolo utilizzando il valore di θ determinato imponendo condizione VRd2 = VRd3.

Nel definire l’armatura a taglio da disporre si sono sempre tenuti in considerazione i valori massimi del passo tra le armatura a taglio pmax prescritti dall’Eurocodice 2 in funzione del rapporto tra taglio sollecitante VSd e taglio limite VRd2:

− pmax = 0.8 d ≤ 30 cm se 20.0V/V 2RdSd ≤

− pmax = 0.6 d ≤ 30 cm se 67.0V/V20.0 2RdSd ≤≤

− pmax = 0.3 d ≤ 20 cm se 67.0V/V 2RdSd ≥

TRAVE EMERGENTE Il taglio agente agli estremi della trave emergente supera

sempre il valore 0.2 VRd2, arrivando fino a quasi 0.5 VRd2. Il limite del passo diventa in tal caso pmax=27.6 cm. Si sono quindi disposte staffe ∅8/15 agli estremi e ∅8/25 in campata.

TRAVE A SPESSORE Il taglio agente per la maggior parte della trave a spessore non

supera il valore 0.2 VRd2, che richiede un passo massimo pmax=16.0 cm. All’estremo 7 si arriva però a 0.4 VRd2, che imporrebbe pmax=12.0 cm. Si è però ritenuto tale valore eccessivamente limitante e si sono disposte per tutta la trave staffe ∅8/15 (a due bracci in campata, a quattro bracci agli estremi).

Trave VSd,max (kN)

VRd1 (kN)

VRd2 (kN)

Staffe bracci cot θ VRd3 (kN)

∅8/15 2 2 207.5 emergente 192.0 53.0 384.2

∅8/25 2 2 124.5 ∅8/15 4 2 180.4

a spessore 179.0 74.4 445.4 ∅8/15 2 2 90.2

TAGLIO (4.3.2.)

4.3.2.4. Elementi che richiedono armature a taglio (VSd > VRd1) 4.3.2.4.1. Generalità

P(1) Nelle travi le armature rialzate non devono essere utilizzate come armature a taglio se non in combinazione con staffe. Almeno il 50% del valore di VSd deve essere assorbito da staffe verticali.

P(2) Dove siano impiegate armature a taglio inclinate, l’angolo tra le armature e l’asse longitudinale della trave non deve, di regola, essere minore di 45°.

P(3) Dove il carico non agisca all’estradosso della trave, o quando l’appoggio non sia all’intradosso della trave, si devono disporre ulteriori armature per riportare gli sforzi all’estradosso del traliccio resistente.

4.3.2.4.2. Elementi di altezza costante

P(1) Per la verifica a taglio si considera l’elemento come costituito da membrature compresse e tese separate da una distanza pari al braccio di leva interno z. La zona di taglio ha profondità z e larghezza bw. Il braccio di leva è calcolato perpendicolarmente alle armature longitudinali ignorando l’effetto delle armature rialzate.

(2-3) …..

(4) Alla disposizione delle armature a taglio si applicano le seguenti prescrizioni: − percentuale minima di armatura a taglio; − limitazione delle aperture delle fessure nell’anima; − disposizione delle armature a taglio.

ARMATURE A TAGLIO (5.4.2.2.)

(1) L’armatura a taglio deve di regola formare un angolo compreso tra 45° e 90° con il piano medio dell’elemento strutturale.

(2) L’armatura a taglio può essere costituita da una combinazione di: − staffe che racchiudono le armature longitudinali tese e la zona

compressa; − barre rialzate; − assemblaggi di armature a taglio in forma di gabbie, graticci,

ecc., realizzati con barre ad aderenza migliorata, messi in opera senza contenere le armature longitudinali, ma che devono essere adeguatamente ancorati in zona tesa e in zona compressa.

(3) Le staffe saranno ancorate in modo efficace. Sono ammesse giunzioni per sovrapposizione di bracci vicini alla superficie dell’elemento solo per armature ad aderenza migliorata.

(4) Di regola almeno il | 50% | dell’armatura a taglio necessaria deve essere realizzata mediante staffe.

(5) Il rapporto di armatura a taglio è dato dall’equazione:

w sw wA / s b sinρ = ⋅ ⋅ α

dove: ρw è il rapporto di armatura a taglio; Asw è l’area dell’armatura a taglio sulla lunghezza s; s è il passo dell’armatura a taglio; bw è la larghezza dell’anima dell’elemento;

α è l’angolo tra l’armatura a taglio e l’armatura principale (per staffe verticali α=90° e sin α=1).

Prospetto 5.5 - Valori minimi di ρW

Classi di acciaio Classi di calcestruzzo*

S220 S400 S500

Da C12/15 a C20/25 0,0016 0,0009 0,0007

Da C25/30 a C35/45 0,0024 0,0013 0,0011

Da C40/50 a C50/60 0,0030 0,0016 0,0013

* Come assunto in progetto.

ARMATURE A TAGLIO (5.4.2.2. continuazione)

……………….

(6) Quando le armature a taglio sono realizzate con barre tonde lisce il loro diametro non deve di regola essere maggiore di | 12 mm |.

(7) il massimo passo longitudinale smax di insiemi successivi di staffe o di armature dalle seguenti condizioni:

− se ≤Sd Rd2V 1/5 V : smax = 0,8 d≤ 300 mm [5.17]

− se ≤Rd2 Sd Rd21/5 V < V 2/3 V smax = 0,6 d ≤≤≤≤ 300 mm [5.18]

− se Sd Rd2V > 2/3 V smax = 0,3 d ≤≤≤≤ 200 mm [5.19]

(8) La massima distanza longitudinale fra barre rialzate è data dall’equazione: smax = | 0.6 | d(1 + cot α)[5.20]

(9) La distanza trasversale dei bracci di un insieme di staffe a taglio non deve di regola essere maggiore di:

− se ≤Sd Rd2V 1/5 V smax = d o | 800 mm |, il minore dei due

− se Sd Rd2V > 1/5 V si applicano le equazioni 5.18 o 5.19

(10) I provvedimenti per il contenimento della fessurazione diagonale sono forniti in 4.4.2.3 (5).

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

PILASTRI (5.4.1) 5.4.1.2. Armature longitudinali e trasversali 5.4.1.2.2. Armature trasversali

(1) Il diametro delle armature trasversali (staffe, risvolti o armature elicoidali) deve, di regola, essere non minore di | 6 mm | o di | un quarto | del diametro massimo delle barre longitudinali, assumendo il valore maggiore fra i due; il diametro dei fili delle reti elettrosaldate formanti armature trasversali deve, di regola, essere non minore di | 5 mm |.

(2) Le armature trasversali devono, di regola, essere adeguatamente ancorate.

(3) La distanza tra le armature trasversali di un pilastro non deve di regola essere maggiore della minore delle tre seguenti:

− 12 volte il minimo diametro delle barre longitudinali; − il lato minore della sezione del pilastro; − 300 mm.

(4) La distanza sarà ridotta secondo un fattore | 0,6 |: i) in sezioni posizionate al di sopra o al di sotto di una trave o di

una piastra per un tratto pari alla maggiore dimensione della sezione del pilastro;

ii) in prossimità delle giunzioni per sovrapposizione se il massimo diametro delle barre è maggiore di | 14 mm |.

(5) Dove le barre longitudinali cambiano direzione (per esempio nelle variazioni di sezione) la distanza tra le armature trasversali sarà calcolata considerando le forze trasversali che si generano.

(6) Ciascuna barra longitudinale (o gruppo di barre longitudinali) posta in uno spigolo deve essere tenuta in posizione da una armatura trasversale.

(7) Un massimo di | 5 | barre situate in uno spigolo o in prossimità di esso può essere assicurato contro l’instabilità da ciascuna serie di armature trasversali dello stesso tipo.

APPLICAZIONE - TRAVE DI FONDAZIONE

Dimensionamento La fondazione è realizzata mediante travi rettilinee parallele; infatti, essendo l’edificio ubicato in zona non sismica, non è necessario realizzare un reticolo. In corrispondenza dei pilastri di estremità la trave viene prolungata mediante uno sbalzo per conferire una migliore distribuzione dei carichi. Come carichi trasmessi dai pilastri sono stati considerati i carichi ottenuti con il metodo approssimato:

N3 = 1528 kN N7 = 2228 kN N11 = 2551 kN Si potevano, allo stesso modo, considerare N15 = 1211 kN i carichi ottenuti dalla risoluzione del telaio.

b

B

h

s

b110 cm

15 cm

LARGHEZZA DEL SOTTOFONDO Per il calcolo della larghezza del sottofondo B si ipotizza che la trave sia

infinitamente rigida e che i carichi centrati sulla trave non abbiano rilevante eccentricità. Assegnando la tensione media sul terreno accettabile allo S.L.U. (σt = 0.24 N/mm2) si ottiene

33

3

t10

108.1824.010)1211255122281528(

LN

B −×××

×+++=σ

= ∑ = 1.67 m

Il valore ottenuto deve essere aumentato del 15-20 % per tenere in considerazione l’effettiva flessibilità della trave reale e il non perfetto centramento dei carichi verticali. Si assume quindi B = 2.10 m.

ALTEZZA DELLA FONDAZIONE L’altezza H della fondazione viene dimensionata con riferimento alla

verifica a taglio. Il taglio massimo può essere stimato pari al 60% della massima forza verticale applicata alla trave e quindi Vmax = 0.6×2551 = 1531 kN. La resistenza a taglio di una sezione, con riferimento al metodo dell’inclinazione variabile del puntone ed assumendo cot θ = 2, vale

Rd2 cdV 0.4 f b z= ν

con d9.0z =

ν = 0.7 – fck /200 = 0.596

Invertendo l’espressione si ottiene: 3

6max

cd

V 1531 10b d 100.4 0.9 f 0.36 0.596 12.97

−×≥ = ×× × ν × ×

= 0.55 m2

Assumendo b = 50 cm, si ottiene d ≥ 110 cm. Un’ulteriore condizione che è opportuno rispettare è che la trave di fondazione sia molto più rigida del complesso di travi in elevazioni, ovvero che sia:

fond elevI 4 I≥ ∑

In questo modo l’eventuale momento flettente, generato da un cedimento delle fondazioni, viene assorbito dalla trave di fondazione e non da quelle di elevazione, che potrebbero subire sollecitazioni non previste. Inoltre se si avesse una trave di fondazione meno rigida sarebbe necessario tenere conto in tutto il calcolo dell’interazione suolo-struttura. Non avendo ancora definito pienamente la sezione, il momento d’inerzia è calcolato a partire da quello di una sezione rettangolare, stimando approssimativamente il contributo delle ali. Essendo Ielev = 6 × 312500 = 1875000 cm4, si ha:

187500412hb7.1I

3

fond ×≥≅ cm4

3 4 1875000 12b h1.7

× ×≥ = 52941176 cm4

Avendo assunto b = 50 cm, si ottiene h ≥ 102 cm. Questa condizione è, in questo caso, meno gravosa della precedente. In definitiva, abbondando un po’ si assume h = 1.30 m.

ALA DI FONDAZIONE Per determinare, infine, il valore dell’altezza s dell’ala di fondazione, la

si considera come una mensola, di base b = 1.00 m e sottoposta al carico distribuito dovuto alla massima tensione del terreno, e la si progetta a flessione e a taglio. La lunghezza di tale mensola è (2.10-0.50)/2 = 0.80 m. Il carico per unità di lunghezza, dovuto alla massima tensione accettabile per il terreno, vale 0.24×106=240000 N/m = 240 kN/m. Il massimo taglio e momento a filo anima valgono V = 240×0.80 = 192 kN

M = 240×0.802/2 = 76.8 kN VERIFICA A FLESSIONE Per la verifica a flessione si deve avere

Md rb

≥

e quindi s ≥ 19.3+4 = 23.3 cm.

VERIFICA A TAGLIO Per la verifica a taglio, se si volesse non disporre alcuna armatura a taglio dovrebbe essere VRd1 > V. Essendo

Rd1 ctd lV 0.25 f (1.2 40 ) k b d= + ρ

con fctd = 1.01 MPa ed assumendo ρl ≅ 0 e k ≅ 1.2, si ha 30.25 1.01 1.2 1.2 b d 192 10× × × × > ×

3192 10b d0.25 1.01 1.2 1.2

×>× × ×

=528053 mm2 = 0.528 m2

e quindi s ≥ 52.8+4 = 56.8 cm. Questo valore sembra troppo alto, si è quindi assunto s = 40 cm e si dovrà armare a taglio l’ala.

Si assume infine che la sottobase abbia uno spessore pari a 15 cm e sporga di 10 cm (per lato) dall’ala.

APPLICAZIONE - CALCOLO ARMATURE LONGITUDINALI DELL’ANIMA DELLA TRAVE DI FONDAZIONE Minimi di normativa L’Eurocodice 2 impone per le travi dei valori minimi di armatura. La prima condizione riguarda la fessurazione e richiede una quantità di armatura tale da evitare che essa si snervi appena raggiunto il limite di fessurazione:

c ct,eff cts

s

k k f AA =

σ

dove As è l’area di armatura minima necessaria nella zona tesa; Act è l’area di calcestruzzo nella zona tesa: la zona tesa è quella parte

della sezione che risulta in trazione subito prima della formazione della fessurazione (cioè quando tutta la sezione è reagente);

σs è la massima tensione ammessa nell’armatura subito dopo la formazione della fessura; il NAD italiano impone σs=0.9 fyk;

fct,eff è la resistenza efficace a trazione del calcestruzzo al momento in cui si suppone insorgano le prime fessure; l’Eurocodice 2 consiglia di usare, in mancanza di dati più specifici, fct,eff =3 MPa;

kc è il coefficiente che tiene conto del tipo di distribuzione delle tensioni all’interno della sezione subito prima della fessurazione; per trave inflessa si ha kc=0.4;

k è il coefficiente che tiene conto degli effetti di tensione auto – equilibrate non uniformi; nel caso in esame si assume k=1

Poiché il baricentro della sezione dista 44 cm dal bordo inferiore (vedi allegato 5) e trascurando la variazione di esso dovuta all’armatura, la parte tesa ha un’area di 4300 cm2 per momento negativo e di 7800 cm2 per momento positivo. Si ottiene così un’area minima di 13.3 cm2 da disporre nella parte superiore (compresi 80 cm in verticale) ed un’area di 24.2 cm2 da disporre nella parte inferiore (compresa tutta l’ala).

Gli altri limiti di normativa da rispettare sono dettati dalle relazioni:

yk

s fdb6.0A =

che, essendo b = 0.50 m, d = 1.25 m e fyk = 430 MPa, fornisce il valore As = 8.7 cm2, e db0015.0As = che fornisce il valore As = 9.4 cm2

APPLICAZIONE - CALCOLO ARMATURA A FLESSIONE L’armatura necessaria per la flessione viene, come sempre, calcolata attraverso la relazione:

Sds

yd

MA0.9 d f

=

I momenti massimi forniti dal calcolo e le corrispondenti aree di armatura necessarie agli appoggi ed in campata sono

Appoggio M [kNm] As [cm2] Campata M [kNm] As [cm2]

3 459.1 10.9 3-7 −543.8 12.9 7 1117.1 26.6 7-11 − −

11 1601.2 38.1 11-15 −635.9 15.5 15 323.0 7.7

Sulla base di tali valori e dei minimi precedentemente calcolati, si è disposta l’armatura di seguito indicata

Appoggio Barre inf. As [cm2] Campata Barre Sup. As [cm2] 3 5∅20 15.7 3-7 5∅20 15.7 7 9∅20 28.3 7-11 5∅20 15.7

11 12∅20 37.7 11-15 5∅20 15.7 15 5∅20 15.7

APPLICAZIONE - CALCOLO ARMATURE TRASVERSALI DELL’ANIMA Per il calcolo delle armature a taglio si è utilizzato il metodo del traliccio ad inclinazione variabile. Si è determinato innanzitutto il valore di VRd1, resistenza del calcestruzzo in assenza di armatura.

Rd1 ctd lV 0.25 f (1.2 40 ) k b d= + ρ

dove db

A

w

sll =ρ ; k = 1.6−d ≥ 1

L’Eurocodice 2 prescrive comunque in ogni caso una staffatura

disposta ad un passo massimo in funzione del rapporto tra taglio sollecitante VSd e taglio limite VRd2:

pmax = 0.8 d ≤ 30 cm Sd Rd2V / V 0.20≤

pmax = 0.6 d ≤ 30 cm Sd Rd20.20 V / V 0.67≤ ≤

pmax = 0.3 d ≤ 20 cm Sd Rd2V / V 0.67≥

Di seguito vengono riportati i valori determinati per la trave in esame. Il taglio VRd1 è stato valutato considerando come armatura longitudinale i 5∅20 filanti. Come larghezza b si è sempre considerata quella dell’anima. VRd2 e VRd3 sono stati calcolati con cot θ = 2.

VSd,max [kN] VRd1 [kN] VRd2 [kN] VRd3 [kN] staffe 1346.4 ∅10/10 a 2

bracci 1350 205.2 2047.5

673.2 ∅10/20 a 2 bracci

I valori massimi del passo delle staffe prescritti dalle normative, in funzione del rapporto tra taglio agente e taglio limite, ed i valori realmente utilizzati sono riportati di seguito:

Trave VSd/VRd2 Passo EC2 (cm)

Passo DM 96 (cm)

Passo utilizzato

campata <0.20 30.0 33.3 20 appoggio 0.65 30.0 24.0 10

Vengono pertanto utilizzati ∅10/10 agli appoggi e ∅10/20 in campata.

APPLICAZIONE - ARMATURA DELL’ALA Come già visto in fase di dimensionamento, il massimo momento flettente e taglio (considerando il carico al limite della portanza del terreno) per un tratto di un metro valgono rispettivamente M =76.8 kNm e V =192 kN FLESSIONE

L’area di armatura necessaria a flessione è quindi:

=×××

== 109.37336.09.0

8.76fd9.0

MAyd

Sds 7.1 cm2

Questa armatura è costituita dalla parte inferiore delle staffe dell’ala. Si dispongono pertanto 1∅10/10. TAGLIO

Per quanto riguarda il taglio, tenendo conto della reale altezza della sezione e dell’armatura longitudinale effettivamente disposta si ha:

361009.7

dbAsl

l ×==ρ =0.0022

k = 1.6−0.36 = 1.24 3

1Rd 1036.000.124.1)0022.402.1(1.01 25.0V ×××××+××= = 145.2 kN

Poiché VSd è maggiore di VRd1 è necessario disporre una specifica armatura per il taglio. Si è deciso di sagomare metà dell’armatura prevista a flessione, disponendo quindi 1∅10/20 come staffe dell’ala ed 1∅10/20 come sagomati. Si ha in tal caso:

cdfzbRdV ν

θαθ

2cot1)cot(cot

2 ++= =

31097.12596.0221)12(36.09.000.1 ×××

++×××= = 1503 kN

1)cot(cot3−+

∆= ydfsinz

xsagA

RdV αθα

1109.373)12(71.0369.03627.15 −××+××××

×= = 562.7 kN

L’armatura prescelta è quindi sufficiente.

RIEPILOGO DEI VALORI CARATTERISTICI E DI CALCOLO DEI CARICHI Nel seguito vengono riepilogati i valori caratteristici ed i valori di calcolo dei carichi. Solaio:

gk =5.3 kN m-2 gd =7.5 kN m-2

qk =2.0 kN m-2 qd =3.0 kN m-2

Balcone: gk =3.9 kN m-2 gd =5.5 kN m-2 qk =4.0 kN m-2 qd =6.0 kN m-2

Tompagno: gk =7.2 kN m-1 gd =10.1 kN m-1

Travi:

30×60 gk =3.7 kN m-1 gd =5.2 kN m-1 70×24 gk =2.4 kN m-1 gd =3.4 kN m-1

AZIONI AGENTI q = (1.4 ⋅⋅⋅⋅ gk ⋅⋅⋅⋅ l1 +1.5 ⋅⋅⋅⋅ qk ⋅⋅⋅⋅ l1)b +(1.4 ⋅⋅⋅⋅ gk)t +(1.4 ⋅⋅⋅⋅ gk)tom =34.85 kN/m mt = (1.4 ⋅⋅⋅⋅ gk ⋅⋅⋅⋅ l1 +1.5 ⋅⋅⋅⋅ qk ⋅⋅⋅⋅ l1) ⋅⋅⋅⋅ l1/2=(5.5 ⋅⋅⋅⋅ 1.7+6.0 ⋅⋅⋅⋅ 1.7) ⋅⋅⋅⋅ 0.85= 16.62 kNm/m CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE Mt = mt ⋅⋅⋅⋅ l7 /2 16.62 ⋅⋅⋅⋅ 5.2/2 43.21 kNm V = q ⋅⋅⋅⋅ l7 /2 34.85 ⋅⋅⋅⋅ 5.2/2 90.61 kN

METODO DI CALCOLO A TORSIONE (4.3.3.1.) (5) Il momento torcente di calcolo deve, di regola, soddisfare le due condizioni seguenti:

TSd ≤ TRd1 TSd ≤ TRd2

TRd1 massimo momento torcente che può essere sopportato dalle

bielle compresse TRd2 massimo momento torcente che può essere sopportato

dall’armatura dove: (6) …

TRd1 = 2 ν fcd t Ak / (cot θ + tan θ)

t spessore di parete equivalente ≤ A / u A area totale della sezione retta racchiusa dal perimetro

esterno u perimetro esterno Ak area compresa all’interno della linea media della sezione

trasversale a pareti sottili ν = 0.7 * (0.7 - fck / 200) ≥ 0.35 (fck in N/mm2)

Questo valore di ν si applica se ci sono staffe solo lungo il perimetro esterno dell’elemento. Se si dispongono staffe chiuse su entrambi le facce di ciascun elemento della sezione cava equivalente, o di ciascun elemento di una sezione a cassone, ν può essere assunto pari a (0,7 − fck/200) ≥ 0,5.

θ angolo tra le bielle di calcestruzzo e l’asse longitudinale della

trave

METODO DI CALCOLO A TORSIONE (4.3.3.1.) (7) Il momento resistente torcente TRd2 è dato da:

2 2 cotswRd k ywd

AT A fs

θ=

e l’area aggiuntiva di acciaio longitudinale per torsione è data dall’equazione:

2 cot2Rd k

sl yldk

T uA fA

θ=

dove:

uk è il perimetro dell’area Ak;

s è il passo delle staffe;

fywd è la tensione di snervamento di calcolo delle staffe;

fyld è la tensione di snervamento di calcolo dell’armatura longitudinale Asl;

Asw è l’area della sezione trasversale delle barre usate come staffe;

Asl è l’area aggiuntiva di acciaio longitudinale richiesta per la torsione.

(8) Si assume che la risultante delle forze di trazione Fsl = Asl fyld agisca nel baricentro della sezione cava equivalente: una parte dell’acciaio longitudinale (o delle armature di precompressione) può pertanto essere disposta lungo la linea d’asse dell’elemento; comunque, per assicurare che la spinta verso l’esterno esercitata dalle bielle compresse sia trasmessa alle staffe, è necessario che almeno una barra longitudinale sia posta a ogni angolo della sezione effettiva.

(9) Per torsione pura valgono i seguenti requisiti di disposizione delle armature: − percentuale minima di armatura in 5.4.2.2; − limitazione dell’apertura delle fessure in 4.4.2; − disposizione dell’armatura in 5.4.2.3.

EFFETTI COMBINATI DI AZIONI (4.3.3.2.) 4.3.3.2.1. Procedimento generale

(1) Si usa lo stesso procedimento descritto per la torsione pura per definire una sezione chiusa equivalente a pareti sottili. Le tensioni normali e tangenziali in tale sezione si determinano con i metodi di calcolo convenzionali elastico o plastico.

(2) Quando siano state calcolate le tensioni, l’armatura necessaria in ogni punto della sezione a pareti sottili può essere determinata con le formule per lo stato di tensione biassiale. Analogamente può essere determinata la tensione del calcestruzzo. L’armatura così trovata, se non è praticamente realizzabile, può essere sostituita con un’altra disposizione staticamente equivalente, a condizione che gli effetti di tale modifica siano presi in conto nelle zone vicine a fori e alle estremità della trave (vedere A.2.8).

(3) La tensione nel calcestruzzo risultante da taglio e torsione combinati nelle singole pareti della sezione equivalente a pareti sottili non deve, di regola, essere maggiore di σc= ν fcd dove ν è dato dall’equazione [4.41] in 4.3.3.1.

(4) Per sezioni a cassone, con armatura su entrambe le facce di ogni parete, nel caso di tensioni tangenziali originate da taglio e torsione combinati ν può essere assunto pari a (0,7 − fck/200) ≥ 0,5.

EFFETTI COMBINATI DI AZIONI (4.3.3.2.) 4.3.3.2.2. Procedimento semplificato

Torsione combinata con flessione e/o forze longitudinali

(1) Le armature longitudinali richieste per flessione e torsione devono, di regola, essere determinate separatamente, rispettivamente secondo (4.3.1) e quanto indicato in questa sezione. Si applicano inoltre le seguenti regole: − nella zona tesa per flessione, l’armatura longitudinale di

torsione va di regola aggiunta a quella richiesta per resistere alla flessione e alle forze assiali;

− nella zona compressa per flessione, se la tensione di trazione dovuta alla torsione è minore della tensione di compressione nel calcestruzzo dovuta alla flessione, non è necessaria armatura longitudinale aggiuntiva per torsione.

(2) Nelle zone in cui la torsione è combinata con un momento flettente significativo, possono insorgere tensioni principali critiche nella zona di compressione, in particolare nelle travi a cassone. In tali casi la tensione principale di compressione non deve di regola essere maggiore di αfcd, (vedere 4.2.1.3.3), essendo tale tensione ricavata dalla compressione longitudinale media per flessione e dalla tensione tangenziale dovuta alla torsione, assunta pari a

2Sd

Sdk

TA t

τ = .

Per Ak e t, vedere 4.3.3.1.

EFFETTI COMBINATI DI AZIONI (4.3.3.2.) Torsione combinata con taglio

(3) Il momento torcente di calcolo e il taglio di calcolo applicato, TSd e VSd rispettivamente, devono di regola soddisfare la seguente condizione:

2 2

1 2

1Sd Sd

Rd Rd

T VT V

+ ≤

dove:

TRd1 è il momento resistente torcente di calcolo, valutato con l’equazione [4.40];

VRd2 è il taglio resistente di calcolo relativo a una biella inclinata di un angolo θ, valutato con l’equazione [4.26] o [4.28] in 4.3.2.4.4.

(4) I calcoli per il progetto delle staffe possono essere effettuati separatamente, per la torsione secondo 4.3.3.1 e per il taglio secondo le equazioni [4.27] o [4.29] in 4.3.2.4.4. L’angolo θ delle bielle equivalenti di calcestruzzo è lo stesso sia per la torsione che per il taglio.

(5) Per una sezione piena approssimativamente rettangolare non è necessaria armatura a taglio e a torsione, tranne l’armatura minima data in 5.4.2.2 (5) prospetto 5.5, se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

4,5

Sd wSd

V bT ≤ [4.48]

14.51 Sd

Sd RdSd w

TV VV b

+ ≤

[4.49]

APPLICAZIONE - VERIFICA PER SOLLECITAZIONE COMPOSTA DI TAGLIO E TORSIONE Il momento torcente di calcolo ed il taglio di calcolo sollecitanti TSd e VSd devono soddisfare la seguente relazione:

(TSd/TRd1)^2 + (VSd/VSd2)^2 ≤ 1 CALCOLO TRD1

TRd1 = 2 ν fcd t Ak / (cot θ + tan θ)

A[cm2] u[cm] t[cm] Ak[cm2] uk[cm] ν θ

1800 180 8.0 1144 148 0.42 45°

TRd1 = 2⋅⋅⋅⋅0.42⋅⋅⋅⋅12.97⋅⋅⋅⋅1000⋅⋅⋅⋅0.08⋅⋅⋅⋅0.1144/(ctg(45)+tg(45)) = 49.85 kNm Calcolo VRd2 (per elementi con armature a taglio verticali)

VRd2 = ν fcd bw 0.9 d /(cot θ+ tan θ)

ν θ

0.60 45°

VRd2 = 0.60⋅⋅⋅⋅12.97⋅⋅⋅⋅1000⋅⋅⋅⋅0.3⋅⋅⋅⋅0.9⋅⋅⋅⋅0.26/2 584.64 kN

Riassumendo: VSd = 90.61 kN VRd2 = 584.64 kN TSd = 43.21 kNm TRd1 = 49.85 kNm (TSd/TRd1)^2 + (VSd/VSd2)^2 = (43.2/49.9)^2 + (90.6/584.64)^2 = 0.77 La verifica è soddisfatta.

APPLICAZIONE - CALCOLO DELLE ARMATURE PER AZIONI COMBINATE DI TAGLIO E TORSIONE I calcoli per il progetto delle staffe possono essere effettuati separatamente per la torsione e per il taglio.

CALCOLO ARMATURE A TORSIONE

Staffe

AS/s = TRd2 / 2 Ak fyd cot θ Posto: TRd2 = TSd 43.21 kNm

AS/s = 43.21/ (2*0.1144*373.9*1000) 5.05 cm2/m

Ferri longitudinali

Asl = TRd2 uk cot θ / 2 Ak fyd

Asl 43.21*1.48/(2*0.1144*373.9*1000) 7.48 cm2

CALCOLO ARMATURE A TAGLIO Staffe

Metodo standard

VRd3 = Vcd + Vwd posto VRd3 = VSd e VCd = VRd1

[ ] db)402,1(kV wlRd1Rd ρ+τ=

Vwd = VSd - VRd1 = 90.61 – 57.91 = 32.7 kN (Asw/s) = Vwd / 0.9 d fyd = 1.74 cm2/m

Verifica dei minimi di armatura a taglio Il rapporto di armatura a taglio è dato da: ρw = Asw/s b sinα i valori limite di ρw sono tabellati in funzione della classe del calcestruzzo e dell’acciaio. Per i materiali utilizzati ρwmin = 0.0009 ρw = Asw/s b sinα = 0.00058 < 0.0009 Passo massimo tra le staffe

cd22Rd fcot1

)cot(cotzbV νθ+

α+θ= = 584.64 kN

se VSd ≤ 1/5 VRd2 smax = 0.8 d > 300 mm se 1/5 VRd2<VSd ≤ 2/3 VRd2 smax = 0.6 d > 300 mm se VSd > 2/3 VRd2 smax = 0.3 d > 200 mm Nel nostro caso VSd = 1/6 VRd2 e quindi smax = 0.8 d = 44.8 cm

TRAVI (5.4.2.)

5.4.2.3. ARMATURE A TORSIONE

(1) Le staffe per la torsione devono di regola essere o chiuse e ancorate per sovrapposizione, o secondo lo schema (a) della fig. 5.7 e formare un angolo di 90° con l’asse dell’elemento strutturale.

(2) Le prescrizioni fornite in 5.4.2.2, punti da (3) a (6), sono valide anche per le barre longitudinali e per le staffe di travi soggette a torsione.

(3) La distanza longitudinale fra le staffe di torsione non deve di regola essere maggiore di | u k/8 | (per la simbologia vedere la fig. 4.15 di 4.3.3.1).

(4) La distanza indicata nel precedente punto (3) dovrà anche soddisfare i requisiti di cui in (7) di 5.4.2.2 per quanto riguarda la massima distanza delle staffe.

(5) Le barre longitudinali devono di regola essere disposte in modo tale che ci sia almeno una barra per angolo, essendo le rimanenti uniformemente distribuite lungo il perimetro delle staffe e distanti fra loro non più di | 350 mm |.