Progettazione Sezioni Tens Ammissibili

8/17/2019 Progettazione Sezioni Tens Ammissibili

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Gianni Bartoli/Maurizio Orlando – Appunti di Tecnica delle Costruzioni Bozza soggetta a revisione – 18/01/05

Lezione n. 23

Stati limite nel cemento armatoStato limite delle tensioni in esercizio

La verifica con il metodo delle tensioni ammissibili

Le condizioni di esercizio nel C.A.

In aggiunta alle verifiche rispetto alle condizioni “di rottura”, tipiche degli stati limiti ultimi, lenormative impongono il rispetto di ulteriori condizioni, che riguardano non tanto aspetti legati allaresistenza ultima dell’elemento in cemento armato, ma alle condizioni di corretto funzionamentodella struttura in situazioni di esercizio.In particolare si cerca, mediante tali verifiche, di preservare l’integrità della struttura in modo daevitare che possano insorgere situazioni tali da indurre una limitazione nelle prestazioni della strut-

tura (ad esempio per eccessiva deformazione della stessa) oppure in grado di condurre il materialead un invecchiamento e ad un deterioramento eccessivo (quindi limitandone la durata nel tempo, ocome si dice in termini sintetici, la durabilità).La attuali normative individuano quindi tre tipi di verifiche, che prendono il nome di verifiche aglistati limite di esercizio:1. verifica allo stato di limite delle tensioni di esercizio;2. verifica allo stato limite per fessurazione;3. verifica allo stato limite di deformazione.Tali limitazioni vogliono preservare l’efficienza e la durabilità della struttura, cercando di evitareche, per i carichi associati alle condizioni di vita “normale” della struttura, ossia per le situazioniche la struttura dovrà affrontare nella maggior parte della sua vita, si possano creare situazioni par-

ticolarmente insidiose.Le verifiche vengono condotte considerando il calcestruzzo e l’acciaio in fase elastica, quindi ricor-rendo ad un calcolo in fase I (non fessurata) o in fase II (fessurata); spesso si farà riferimento allasezione nella condizione di fase II convenzionale, ossia ritenendo il calcestruzzo fessurato (e quindiincapace di fornire una qualsiasi resistenza a trazione) già per valori molto piccoli del carico.Le tre condizioni di carico che si analizzano corrispondono quindi ai valori frequenti, quasi perma-nenti e rari delle combinazioni di carico, definiti dalle relazioni seguenti:

combinazioni quasi permanenti: ∑=

=

ψ++=ni

1iik i2k k d )Q(PGF

combinazioni frequenti:

∑

=

=

ψ+ψ++=ni

2i ik i2k 111k k d)Q(QPGF

combinazioni rare: ∑=

=

ψ+++=ni

2iik i0k 1k k d )Q(QPGF

In base ai valori dei carichi individuati si calcoleranno le sollecitazioni di progetto nella struttura(Sd); le corrispondenti grandezze di confronto (ossia le resistenze di progetto, R d) sono calcolate in

base alle resistenze di calcolo dei materiali, valutate attraverso i coefficienti parziali (o di pondera-zione) posti uguali ad uno, ossia

.1sc =γ=γ

Così procedendo, il confronto è di fatto tra i valori caratteristici delle sollecitazioni ed i valori carat-

teristici delle resistenze, quindi individuando una probabilità di insuccesso dell’ordine di 10-5

.


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Lezione n. 23 – pag. XXIII.3


- per combinazioni di carico rara: 0.50 f ck ;- per combinazioni di carico quasi permanente: 0.40 f ck .Per le strutture o parti di strutture esposte ad ambiente moderatamente o poco aggressivo, tali limi-tazioni si modificano nelle seguenti:- per combinazione di carico rara: 0.60 f ck ;

- per combinazione di carico quasi permanente: 0.45 f ck Per quanto riguarda l’acciaio, indipendentemente dal livello di aggressività dell’ambiente, si richie-de che la massima tensione di trazione sotto la combinazione di carichi rara non deve superare 0.70f yk .

ambientecombinazione

di caricolimite tensione

nel clslimite tensione

nell’acciaio

rara ck c f 50.0f ⋅≤ yk s f 70.0f ⋅≤ molto aggressivo

quasi permanente ck c f 40.0f ⋅≤ ---

rara ck c f 60.0f ⋅≤ yk s f 70.0f ⋅≤ poco o moderatamenteaggressivo quasi permanente ck c f 45.0f ⋅≤ ---

Limitazioni di normativa delle tensioni in esercizio

Il controllo dei valori massimi delle tensioni in condizioni di esercizio assicura:- per il calcestruzzo, che non si sviluppino fessure longitudinali in zona compressa (simili a quelle

che si formino nella prova a rottura di un provino soggetto a compressione) e che le deformazio-ni della struttura rimangano sufficientemente contenute nel tempo (ridurre la tensione in eserci-zio significa infatti operare una riduzione delle deformazioni viscose); inoltre, per livelli maggio-ri della compressione nel cls, il semplice modello di “viscosità lineare” illustrato per descrivere ilcomportamento a lungo termine del calcestruzzo non è più applicabile;

- per l’acciaio, che le eventuali fessure che si possono formare nel calcestruzzo non raggiunganovalori troppo elevati di apertura a causa dello snervamento (e quindi della deformazione plastica)dell’acciaio.

Nel calcolo delle tensioni è necessario considerare, se del caso, oltre agli effetti dei carichi anchequelli delle variazioni termiche, della viscosità, del ritiro, e delle deformazioni imposte aventi altreorigini.Da un punto di vista di calcolo, le tensioni debbono essere calcolate adottando le proprietà geome-triche della sezione corrispondente alla condizione non fessurata (stato I) oppure a quella comple-tamente fessurata (stato II), a seconda dei casi.Deve, di regola, essere assunto lo stato fessurato se la massima tensione di trazione nel calcestruzzo

calcolata in sezione non fessurata sotto la combinazione di carico rara supera f ctm.Quando si adotta una sezione non fessurata, si considera attiva l’intera sezione di calcestruzzo, e siconsiderano in campo elastico sia a trazione che a compressione il calcestruzzo e l’acciaio.Quando invece si adotta la sezione fessurata, il calcestruzzo può essere considerato elastico in com-

pressione, ma incapace di sostenere alcuna trazione: in via semplificativa si può assumere il com- portamento elastico-lineare e per le armature il coefficiente di omogeneizzazione con il valore con-venzionale n = 15.

Calcolo elastico lineare delle sezioni in c.a.

Nel calcolo elastico di sezioni in c.a., si utilizza la tecnica del “coefficiente di omogeneizzazione“,già introdotto in precedenza. In altre parole, si considera la sezione omogeneizzata a calcestruzzo, ilche equivale a considerare le armature presenti come equivalenti ad aree di calcestruzzo di esten-sione maggiorata di n volte (n, coefficiente di omogeneizzazione).


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Se si considera un elemento monodimensionale di c.a. soggetto a flessione semplice, la risultantedelle azioni interne ha come unica componente di sollecitazione un momento M agente in un piano(normale alla sezione), contenente l’asse dell’elemento.L’intersezione del piano del momento con la sezione individua l’asse di sollecitazione.

Nel caso di flessione semplice retta, ossia quando l’asse di sollecitazione coincide con un asse prin-

cipale di inerzia della sezione, si può procedere al calcolo delle tensioni nel calcestruzzo enell’acciaio utilizzando la formula di Bernoulli-Navier:

xJ

M

cic ⋅=σ

aci

a yJ

Mn ⋅⋅=σ

dove

Jci = Jc + n·Ja

con Jc momento di inerzia del conglomerato compresso rispetto all’asse neutro e Ja momento di i-nerzia dell’acciaio rispetto allo stesso asse neutro; x e ya rappresentano rispettivamente la distanzadell’asse neutro dal lembo compresso e dal lembo teso della sezione.Come si fa a determinare la posizione dell’asse neutro?L’asse neutro è l’asse baricentrico della sezione ideale equivalente e si ricava imponendo che il

momento statico della sezione ideale omogeneizzata a calcestruzzo rispetto a esso sia nullo:

0yAndAySx

0

n

1iaiaicx =⋅+= ∫ ∑

=

Sezione rettangolare

Si consideri una sezione rettangolare a doppia armatura, cioè con le barre disposte sia nella parte in-feriore sia in quella superiore della sezione, come rappresentato in figura.

Si voglia verificare la sezione data soggetta a flessione semplice: si determina il baricentro di tuttele armature (armatura inferiore e superiore)


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aa

aa0 'AA

'd'AdAd

+

+=

Determinazione della posizione dell’asse neutrosi indichi con x la distanza dell’asse neutro dal lembo superiore, si calcoli il momento statico Sx del-la sezione ideale rispetto all’asse neutro e lo si ponga uguale a 0:

( ) ( ) 0xd'AAnx b2

1S 0aa

2x =−⋅+⋅−⋅⋅=

posto

( ) b

'AAnf aa

+⋅= l’espressione di Sx si semplifica nella seguente:

( ) 0xdf bx b21 02 =−⋅⋅−⋅⋅

0df 2xf 2x 0

2 =⋅⋅−⋅⋅+

risolvendo l’equazione di 2° grado si ottiene:

+±−=+±−=⋅⋅+±−=

f

d211f

f

d21f f df 2f f x 000

2

scegliendo la soluzione positiva, si ha infine il valore di x che identifica la posizione dell’asse neu-tro:

++−⋅=

f d211f x 0

momento di inerzia della sezione ideale

( ) ( )2a2

a3

ci 'dx'AnxdAnx b3

1J −⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅=

tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaio

xJ

M

cic =σ ( )xdJ

M

n cia −=σ ( )'dxJ

M

n' cia −=σ


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ε ε

σ

ε

Sezione rettangolare a semplice armatura Nel caso di semplice armatura si ha:

A’a = 0; d0 = d; f = n Aa / b;

++−=

++−=

a

a0

nA

bd211

b

nA

f

d211f x

momento di inerzia della sezione ideale

( )2a3

ci xdnA bx3

1J −+=

Dall’uguaglianza dei momenti statici, si ha

( ) ( )xdAnx b2

10xdAnx b

2

1S a

2a

2x −⋅⋅=⋅⋅⇒=−⋅⋅−⋅⋅=

per cui si ottiene

( ) zx b2

1

3

xdx b

2

1xdx b

2

1x b

3

1J 2223ci ⋅⋅⋅=

−⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅+⋅⋅=

dove si è posto il braccio della coppia interna pari a

3

xdz −=

Alternativamente si ha

( ) ( ) ( ) ( ) zxdAn3

xdxdAnxdAnxdxAn

3

2J aa

2aaci ⋅−⋅⋅=

−⋅−⋅⋅=−⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅=

tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaioUtilizzando i risultati appena ricavati si ottiene

−⋅⋅

⋅=⋅=σ

3

xdx b

M2x

J

M

cic

( )

−⋅=−⋅⋅=σ

3

xdA

Mxd

J

Mn

aci

a


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Verifiche con il metodo delle tensioni ammissibili

Nel metodo delle tensioni ammissibili, si controlla unicamente che i valori massimi della tensionenell’acciaio e nel calcestruzzo non superino degli opportuni valori di riferimento che verranno de-scritti nel seguito.Il calcolo si esegue, di norma, in fase II convenzionale, ossia ipotizzando il calcestruzzo fessuratoanche per valori molto bassi del carico; di conseguenza, nel caso di flessione semplice, si utilizzanole espressioni appena trovate per la valutazione dello stato tensionale e si opera semplicemente at-traverso un controllo del valore della tensione.

Tensioni ammissibili nel conglomerato

Tensioni normali di compressione ammissibiliSono definite con riferimento alla resistenza caratteristica R ck a 28 giorni:

2ck c mm/ N4

15R 6

−+=σ

−+=σ 2ck c cm/kg4

150R 60

Il valore di cσ varia linearmente con la resistenza caratteristica da un valore minimo di 6 N/mm2

(per R ck = 15 N/mm2

) ad un massimo di 16 N/mm2

(per R ck = 55 N/mm2

). Nei casi riportati nella seguente tabella deve essere assunto un valore ridotto della tensione normaledi compressione ammissibile:

valore ridotto di cσ

solette di spessore inferiore a 5 cm 0,7 cσ

travi a T con soletta collaborante di spessore s < 5 cm 0,7 cσ

travi a T con soletta collaborante di spessore s ≥ 5 cm 0,9 cσ

pilastri a compressione semplice con s < 25 cm(s = dimensione minima trasversale della sezione)

0,7 [1-0,03 (25 – s)] cσ

pilastri a compressione semplice con s ≥ 25 cm(s = dimensione minima trasversale della sezione)

0,7 cσ

Tensioni tangenziali ammissibili Non è richiesta la verifica delle armature al taglio e alla torsione se le tensioni tangenziali massimedel conglomerato non superano il valore seguente:

2ck 0c mm/ N75

15R 4,0

−+=τ

−+=τ 2ck 0c cm/kg75

150R 4

Laddove questo valore sia superato è necessario predisporre apposite armature, affidando alle staffenon meno del 40 % dello sforzo globale di scorrimento.

La massima tensione tangenziale per solo taglio non deve comunque superare il seguente valore:2ck

1c mm/ N35

15R 4,1

−+=τ

−+=τ 2ck 1c cm/kg35

150R 14

Nel caso di concomitanza di taglio e torsione il valore precedente può essere aumentato del 10 %.

Tensioni tangenziali di aderenzaLe tensioni tangenziali di aderenza delle barre, nell’ipotesi che abbiano un andamento costante, nondevono superare i seguenti limiti:

barre tonde lisce 0c b 5,1 τ=τ

barre ad aderenza migliorata 0c b 0,3 τ=τ


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Tensioni ammissibili negli acciai da c.a.

Il seguente prospetto elenca i valori delle tensioni ammissibili aσ per tutti e quattro i tipi di acciaio previsti dalla normativa per le barre da c.a. Sono inoltre riportati i valori dei rapporti tra la tensionedi snervamento f y e la tensione ammissibile aσ .

barre tonde lisce barre ad aderenza migliorataacciaida c.a. Fe B 22 k Fe B 32 k Fe B 38 k Fe B 44 k

aσ 115 N/mm2

(1200 kg/cm2)155 N/mm2

(1600 kg/cm2)215 N/mm2

(2200 kg/cm2)255 N/mm2

(2600 kg/cm2)

f y 215 N/mm2 315 N/mm2 375 N/mm2 430 N/mm2

f y / aσ 1.87 2.03 1.74 1.69

Confronto con il metodo agli stati limite

Osservando la semplicità del metodo alle tensioni ammissibili, se rapportato al numero ed alla mag-giore difficoltà delle verifiche richieste nel metodo agli stati limite, risulta poco evidente come sia

possibile raggiungere in una struttura un grado di sicurezza confrontabile operando con due metodicosì diversi.In altre parole, in che maniera il solo controllo dello stato tensionale in una sezione può garantire lasicurezza nei confronti di situazioni in realtà molto diverse tra loro, quali quelli contemplate nelleverifiche agli stati limite (rottura, fessurazione, tensioni in esercizio, etc.)?In primo luogo occorre osservare che i tassi di lavoro che si assumono per i materiali nei due metodisono abbastanza diversi tra loro. Anche limitando l’attenzione al controllo della tensione in eserci-zio, nella combinazione di carico rara (che corrisponde più o meno alla condizione di carico che siutilizza nel metodo delle tensioni ammissibili) si hanno i seguenti valori (riferiti ad un calcestruzzo

di classe R ck 30 e armature FeB44k in ambiente non molto aggressivo):(1)

stato limite di tensionein esercizio

(2)tensioni ammissibili

rapporto(1)/(2)

tensione massima calcestruzzo MPa18f 60.0f ck c =⋅≤ MPa75.9c ≤σ 1.85

tensione massima acciaio MPa301f 70.0f yk s =⋅≤ MPa255a ≤σ 1.18

Ossia operando con il metodo delle tensioni ammissibili si assumono valori tensionali massimi e-stremamente più contenuti (specialmente nel caso del calcestruzzo che presenta il maggior grado didispersione nei valori), e quindi si coprono le incertezze legate alle semplificazioni insite nel me-todo con una congrua riduzione delle tensioni di lavoro (e quindi con un corrispondente sovradi-mensionamento della struttura).In secondo luogo, la limitazione della tensione nell’acciaio comporta di fatto un controllo indirettonella condizione di apertura delle fessure (come risulterà più evidente nel capitolo successivo): inaltre parole, limitare la tensione di esercizio nelle armature tese comporta un contenimento nei valo-ri di apertura delle fessure, anche se un calcolo più rispondente alla realtà fisica del fenomeno (co-me viene effettuato nella valutazione dello stato limite di fessurazione) comporta evidentemente unlivello di sicurezza maggiore.In sintesi, operando con il metodo delle tensioni ammissibili si rinuncia ad un controllo puntualedelle possibili cause di crisi o malfunzionamento di una sezione in c.a. operando indirettamente at-

traverso opportune riduzione nei massimi tassi di lavoro dei materiali: è chiaro che, in questo modo,si raggiunge un livello di sicurezza che può essere paragonabile a quello che si ottiene con il meto-do degli stati limite ricorrendo spesso ad un sovradimensionamento degli elementi strutturali.


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Prescrizioni con il metodo delle tensioni ammissibili

Alcune delle prescrizioni viste nel metodo degli stati limite, assumono espressioni e valori legger-mente diversi se si utilizza il metodo delle tensioni ammissibili. Si riportano, nel seguito, le prescri-zioni puntuali relative al calcolo dei pilastri e delle travi.

Pilastri Nel calcolo dei pilastri, oltre ad adottare i valori ridotti della tensione ammissibile nel calcestruzzo,occorre disporre un quantitativo minimo di armatura pari a:

Normativa

La Normativa fissa dei quantitativi minimi per l’area di acciaio in funzione dell’areadi calcestruzzo:− Aa ≥ 0,008 · Ac,min, dove Ac,min è l’area di calcestruzzo strettamente necessaria

per assorbire lo sforzo N [ossia, Ac,min=N/ adm,cσ =N/(0.7⋅ cσ )]− 0,003 · Ac,eff ≤ Aa ≤ 0,06 · Ac,eff , dove Ac,eff è l’area effettiva di calcestruzzo; il

limite inferiore (0,003 · Ac,eff ) è imposto per assorbire eventuali momenti flet-tenti, mentre quello superiore (0,06 · Ac,eff ) affinché il calcestruzzo sia in grado

di contrastare efficacemente l’inflessione delle armature

Le altre prescrizioni (armature minime di spigolo e staffatura) sono le stesse nei due metodi. Nel caso di verifica per sollecitazioni di presso-flessione si prescrive inoltre che

Normativa

Nelle sollecitazioni di pressoflessione la tensione media dell’intera sezione non de-ve superare la tensione ammissibile per compressione semplice.

È inoltre ammessa una metodologia semplificata di calcolo nel caso eccentricità sufficientemente

contenute:

Normativa

Se N è esterno al nocciolo centrale di inerzia, ma la trazione massima calcolata insezione interamente reagente non supera 1/5 della massima tensione di com-

pressione, ossia

5max,c

max,tσ

≤σ ,

si può ancora usare la formula che prevede la sovrapposizione degli effetti purché larisultante delle trazioni venga assorbita da una apposita armatura, dimensionata persopportare la risultante delle trazioni ad una tensione convenzionale di:

- 1200 kg/cm

2

per le barre tonde lisce,- 1800 kg/cm2 per le barre ad aderenza migliorata.

Travi

Nelle travi le prescrizioni sono le stesse nei due metodi, salvo che per la disposizione delle armatureresistenti a taglio. Utilizzando il metodo delle tensioni ammissibili occorre

Normativa Almeno il 40% dello sforzo di scorrimento deve essere assorbito da staffe (è quindisempre obbligatorio inserire una staffatura).Anche in assenza di calcolo specifico per le armature a taglio, occorre comunquedisporre un’armatura a taglio minima di area almeno pari a 0,10 β* cm2/m, dove β*

è la larghezza corrispondente al raggiungimento della tensione tangenziale τc0 Le altre limitazioni (almeno tre staffe al metro, passo non superiore a 0.8 d, limitazioni del passo in

prossimità di carichi concentrati o zone di appoggio) sono le stesse nei due metodi.


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Esempi di calcolo con il metodo delle tensioni ammissibili

Esempio di progetto di un pilastro soggetto a sforzo normale semplice

Si progetti la sezione di un pilastro di c.a. per sopportare uno sforzo normale di compressione di150000 kg. Si utilizzino materiali con le seguenti caratteristiche: calcestruzzo di classe R ck 300

kg/cm

2

, acciaio FeB44k. 97,5

1. Area di calcestruzzo strettamente necessaria

Si può ricavare l’area strettamente necessaria di calcestruzzo imponendo che non venga superato ilvalore della tensione ammissibile per sollecitazioni di compressione centrata, ed ipotizzando, comevalore di tentativo, un’area di acciaio pari a quella minima richiesta per regolamento, ossia pari allo0.8% dell’area di calcestruzzo. Così operando, si può porre

Aci = Ac + n·Aa = Ac + 15·0.008·Ac =1.12·Ac

e quindi ricavare

2min,c cm1962

25,6812,1

150000A =

⋅

=

Si può quindi adottare una sezione di 45 cm x 45 cm (Ac = 45 · 45 = 2025 cm2)

2. Determinazione del quantitativo minimo di armaturaIl quantitativo d’armatura del pilastro deve soddisfare le seguenti disuguaglianze

− Aa ≥ 0,008 · Ac,min = 0,008 · 1962 = 15,696 cm2

− 0,003 · Ac,eff = 0,003 · 2025 = 6,075 cm2 ≤ Aa ≤ 0,06 · Ac,eff = 0,06 · 2025 = 121,5 cm

2

mettendo insieme le due disuguaglianze si ha:

15,696 cm2 ≤ Aa ≤ 121,5 cm2

si adottano 4 φ 24 = 4 · 4,52 = 18,08 cm2

3. Tensioni normali nel cls e nell’acciaio

Aci = Ac + n·Aa = 2025 + 15 · 18,08 = 2296,2 cm2

La tensione normale nel calcestruzzo è pari a:

22

cic cm/kg25,68cm/kg33,652,2296

150000

08,18152025

150000

A

N≤==

⋅+==σ .

mentre quella nell’acciaio vale:

22

ci

c cm/kg2600cm/kg98033,6515

A

Nn ≤=⋅==σ

quindi le tensioni normali massime sono inferiori ai valori ammissibili.


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4. StaffeAlla luce delle prescrizioni di normativa, occorre disporre staffe di diametro non minore di φ6 (checorrisponde anche ad 1/4 dei ferri longitudinali), ad un passo non maggiore del minimo tra 25 cm e36 cm (15⋅2,4=36, 15 volte il diametro dei ferri longitudinali). Si adottano pertanto staffe φ6/25” (lanotazione utilizzata si legge: staffe diametro 6, passo 25 cm).

Esempio di verifica di sezione rettangolare di c.a. soggetta a flessione semplice

Si verifichi una sezione rettangolare di c.a. soggetta a un momento flettente di 7000 kgm. La se-zione ha dimensioni 30 cm x 50 cm ed è a doppia armatura, con l’armatura inferiore tesa formata da4 φ 16 e quella superiore da 2 φ 16.I materiali hanno le seguenti caratteristiche: calcestruzzo di classe Rck 300 ed acciaio FeB44k.

2φ16

4φ16

ε ε

ε

1. calcolo delle aree di armatura e del baricentro di tutte le armatureAa = 4 · 2.01 = 8.04 cm2 A’a = 2 · 2.01 = 4.02 cm

2

cm13,3202,404,8

6,302,44,4604,8

'AA

'd'AdAd

aa

aa0 =+

⋅+⋅=

+

+=

2. determinazione della posizione dell’asse neutro( ) ( )

03,630

02,404,815

b

'AAnf aa =

+⋅=

+⋅=

cm56,14

03,6

13,3221103,6x =

++−⋅=

N.B. se non si ricorda la formula sopra, si può ricavare x per via diretta, ripercorrendo quanto fattonella trattazione generale:

( ) ( ) 0'dx'nAxdnA bx2

1S aa

2x =−+−−=

( ) ( ) 06,3x02,415x4,4604,815x302

1S 2x =−⋅⋅+−⋅⋅−=

0217x3,60x6,1205596x15 2 =−⋅+⋅+−

05813x9,180x15 2 =−⋅+

risolvendo si ricava x = 14,56 cm.


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- tensioni ammissibili dei materiali ( ac , σσ )Le incognite del problema sono 5:- dimensioni della sezione (b, h)- quantitativo di armatura inferiore Aa e superiore A’a - posizione dell’asse neutro x

Le equazioni che si possono scrivere sono tre:- 2 equazioni di equilibrio- 1 equazione di congruenzaSi consideri il caso di sezione a semplice armatura (Aa ≠ 0, A’a = 0), le incognite del problema diriducono pertanto a quattro: b, h, Aa, x, una in più delle equazioni disponibili. Per ridurre le inco-gnite a tre, quante sono le equazioni, è sufficiente fissare una delle due dimensioni della sezione (boppure h).Si fissi allora il valore della larghezza b della sezione; si assumano inoltre le tensioni massime nei

due materiali uguali a quelle ammissibili ( aacc , σ=σσ=σ ), dove cσ è la tensione al lembo supe-riore compresso.

Equazione di congruenza

Indicando ancora con d l’altezza utile della sezione (distanza del baricentro dell’armatura dal lembosuperiore), dall’ipotesi di conservazione delle sezioni piane si ricava la seguente relazione tra la de-formazione εc del calcestruzzo al lembo superiore e quella εe delle barre di armatura:

ac

c

d

x

ε+ε

ε= (dalla similitudine dei triangoli ODA e BAC)

ponendo

accK ε+ε

ε=

risulta:

ac

c

ac

c

aa

cc

c

a

a

c

c

c

c

ac

c

n

n

nE

E

EE

EK

σ+σ

σ=

σ+σ

σ=

σ+σ

σ=

σ+

σ

σ

=ε+ε

ε=

da cui:Kdx =

ε

ε

N.B. K dipende solo dalle tensioni ammissibili del calcestruzzo e dell’acciaio, pertanto note questeultime è noto il legame tra la posizione dell’asse neutro e la distanza d delle armature dal lembo

superiore compresso.


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Equazioni di equilibrio

equilibrio alla traslazione in direzione ortogonale al piano della sezioneequilibrio alla rotazioneIndicate con C e F le risultanti delle compressioni nel calcestruzzo e delle trazioni nell’acciaio e conz la distanza tra i loro baricentri (vedi figura) nelle barre di armatura, le condizioni di equilibrio so-

no espresse delle seguenti equazioni:C = FC · z = M (oppure F · z = M)

o equivalentemente:

C · z = MF · z = M

La risultante C delle compressioni nel calcestruzzo è pari a:

cx b2

1C σ⋅⋅⋅=

che, utilizzando la relazione x = Kd, si può riscrivere:

cdK b2

1C σ⋅⋅⋅⋅= .

σ

La risultante delle trazioni nell’acciaio è invece pari a:

aaAF σ⋅= .Imponendo l’equilibrio alla rotazione intorno al baricentro dell’armatura:C · z = M (1)La quantità z (braccio della coppia interna) è data dalla seguente espressione:

dd

3

K 1

3

dK d

3

xdz ⋅η=⋅

−=⋅−=−=

avendo posto3

K 1−=η .

Sostituendo nella equazione di equilibrio (C · z = M) l’espressione di z e quella di C, si ottiene:

MdK b2

1c

2 =η⋅σ⋅⋅⋅⋅

da cui si ricava:

b

Mr

K b

M2d

c

⋅=η⋅⋅σ⋅

⋅=

dove

η⋅⋅σ=

K

2r

c

.

A questo punto rimane da determinare l’area di acciaio; a questo scopo si utilizza l’equazione di e-quilibrio alla rotazione intorno al baricentro del calcestruzzo compresso:

MzF =⋅ ⇒ MdA aa =⋅η⋅σ da cui si ricava:

d

MA

aa ησ

= .

Inoltre, dato che

bMr d =


16/20

B O Z Z

A



la formula precedente può anche essere messa nella forma

bMtM

b

r

MA

aa ⋅=⋅η⋅σ

=

dove si è posto

r 1t a ⋅η⋅σ=

Il valore di assume valori compresi tra 0,84 e 0,96, per valori di σc variabili

tra 20 e 150 kg/cm2, pertanto si può adottare in prima approssimazione un va-

lore pari a 0,9.

Il problema di progetto a flessione semplice di una sezione rettangolare di c.a. è completamente ri-solto una volta determinate le tre grandezze: K, r e t, che dipendono solo dalle tensioni ammissibilinei due materiali.

Riepilogo

Si riepiloga il procedimento da seguire per il progetto di una sezione rettangolare di c.a. a semplicearmatura soggetta a flessione semplice:

1. calcolo delle tensioni ammissibili del calcestruzzo e dell’acciaio

cσ e aσ

2. calcolo di K, r , η e t:

ac

c

n

nK

σ+σ

σ= ,

η⋅⋅σ=

K

2r

c

,3

K 1−=η

r

1t

a ⋅η⋅σ=

3. calcolo della distanza d dell’armatura dal lembo compresso

bMr d =

4. calcolo della posizione dell’asse neutroKdx =

5. calcolo del quantitativo minimo di armatura

MbtAa = .

I testi sul cemento armato riportano delle tabelle dove sono elencati i valori dei coefficienti K, r , η et in funzione delle tensioni ammissibili dell’acciaio e del calcestruzzo.

I valori di K e sono adimensionali, r ha le dimensioni di una lunghezza per una

forza elevata a ½, mentre t ha le dimensioni di una lunghezza divisa una forza ele-vata a ½.

Pertanto nel progetto di una sezione inflessa di c.a. occorre prestare attenzione ad

utilizzare tabelle nelle quali r e t siano espresse nelle stesse unità di misura nelle

quali si lavora !!!!

Di seguito si riporta la tabella dei coefficienti K, r , η e t per due diversi valori della tensione am-missibile nell’acciaio, aσ =2200 kg/cm

2 (FeB38k) e aσ =2600 kg/cm2 (FeB44k).


17/20

B O Z Z

A



Le tensioni sono espresse in kg/cm2.

Tabella 1

aσ = 2200 kg/cm2 (FeB38k) aσ = 2600 kg/cm

2 (FeB44k)cσ

kg/cm2 r K η t r K η t20 0.932 0.120 0.960 0.000508 1.001 0.103 0.966 0.000398

25 0.760 0.146 0.951 0.000629 0.814 0.126 0.958 0.000493

30 0.645 0.170 0.943 0.000747 0.689 0.148 0.951 0.000587

35 0.563 0.193 0.936 0.000863 0.600 0.168 0.944 0.000679

40 0.501 0.214 0.929 0.000977 0.533 0.188 0.938 0.000769

45 0.453 0.235 0.922 0.001088 0.481 0.206 0.931 0.000858

50 0.415 0.254 0.915 0.001198 0.439 0.224 0.925 0.000946

55 0.383 0.273 0.909 0.001306 0.405 0.241 0.920 0.001032

60 0.357 0.290 0.903 0.001411 0.377 0.257 0.914 0.001117

65 0.334 0.307 0.898 0.001516 0.352 0.273 0.909 0.00120170 0.315 0.323 0.892 0.001618 0.331 0.288 0.904 0.001284

75 0.298 0.338 0.887 0.001719 0.313 0.302 0.899 0.001365

80 0.283 0.353 0.882 0.001818 0.297 0.316 0.895 0.001445

85

Rck 2500.270 0.367 0.878 0.001916 0.283 0.329 0.890 0.001524

90 0.259 0.380 0.873 0.002012 0.271 0.342 0.886 0.001602

95 0.248 0.393 0.869 0.002107 0.260 0.354 0.882 0.001679

97.5

Rck 3000.243 0.399 0.867 0.002154 0.254 0.360 0.880 0.001718

100 0.239 0.405 0.865 0.002201 0.250 0.366 0.878 0.001756105 0.230 0.417 0.861 0.002293 0.240 0.377 0.874 0.001831

110

Rck 3500.222 0.429 0.857 0.002384 0.232 0.388 0.871 0.001905

115 0.215 0.439 0.854 0.002473 0.224 0.399 0.867 0.001978

120 0.209 0.450 0.850 0.002562 0.217 0.409 0.864 0.002050

125 0.203 0.460 0.847 0.002649 0.211 0.419 0.860 0.002122

130 0.197 0.470 0.843 0.002735 0.205 0.429 0.857 0.002193

135 0.192 0.479 0.840 0.002821 0.199 0.438 0.854 0.002263

140 0.187 0.488 0.837 0.002905 0.194 0.447 0.851 0.002332

145 0.182 0.497 0.834 0.002988 0.189 0.455 0.848 0.002400

150 0.178 0.506 0.831 0.003070 0.184 0.464 0.845 0.002467


18/20

B O Z Z

A



Di seguito si riporta la stessa tabella dei coefficienti K, r , η e t da utilizzare se le tensioni sono e-spresse in N/mm

2.

Tabella 2

aσ = 215 N/mm2 (FeB38k) aσ = 255 N/mm

2 (FeB44k)cσ

N/mm2 r K η t r K η t2.0 2.946 0.120 0.960 0.001607 3.164 0.103 0.966 0.001259

2.5 2.403 0.146 0.951 0.001988 2.574 0.126 0.958 0.001560

3.0 2.040 0.170 0.943 0.002362 2.180 0.148 0.951 0.001856

3.5 1.780 0.193 0.936 0.002728 1.898 0.168 0.944 0.002146

4.0 1.585 0.214 0.929 0.003088 1.687 0.188 0.938 0.002433

4.5 1.433 0.235 0.922 0.003441 1.522 0.206 0.931 0.002714

5.0 1.311 0.254 0.915 0.003788 1.390 0.224 0.925 0.002991

5.5 1.211 0.273 0.909 0.004129 1.281 0.241 0.920 0.003264

6.0 1.127 0.290 0.903 0.004464 1.191 0.257 0.914 0.0035336.5 1.057 0.307 0.898 0.004793 1.114 0.273 0.909 0.003798

7.0 0.996 0.323 0.892 0.005117 1.048 0.288 0.904 0.004059

7.5 0.943 0.338 0.887 0.005436 0.991 0.302 0.899 0.004316

8.0 0.896 0.353 0.882 0.005750 0.941 0.316 0.895 0.004570

8.5

Rck 2500.855 0.367 0.878 0.006059 0.896 0.329 0.890 0.004820

9.0 0.818 0.380 0.873 0.006363 0.857 0.342 0.886 0.005067

9.5 0.785 0.393 0.869 0.006663 0.821 0.354 0.882 0.005311

9.75

Rck 3000.770 0.399 0.867 0.006811 0.805 0.360 0.880 0.005432

10.0 0.755 0.405 0.865 0.006959 0.789 0.366 0.878 0.005551

10.5 0.728 0.417 0.861 0.007250 0.760 0.377 0.874 0.005789

11.0

Rck 3500.704 0.429 0.857 0.007538 0.733 0.388 0.871 0.006024

11.5 0.681 0.439 0.854 0.007821 0.709 0.399 0.867 0.006255

12.0 0.660 0.450 0.850 0.008101 0.687 0.409 0.864 0.006484

12.5 0.641 0.460 0.847 0.008377 0.666 0.419 0.860 0.006710

13.0 0.623 0.470 0.843 0.008650 0.647 0.429 0.857 0.006934

13.5 0.607 0.479 0.840 0.008919 0.629 0.438 0.854 0.007155

14.0 0.591 0.488 0.837 0.009185 0.613 0.447 0.851 0.007373

14.5 0.577 0.497 0.834 0.009448 0.598 0.455 0.848 0.007589

15.0 0.563 0.506 0.831 0.009707 0.583 0.464 0.845 0.007803

N.B. Per determinare i valori di K, r , η e t corrispondenti a valori della tensione nel cls non con-

templati nelle precedenti tabelle si può utilizzare l’interpolazione lineare, senza commettere errori

significativi.


19/20


20/20

B O Z Z

A



Aa = 4 · 2,54 = 10,16 cm2 > 9,41 cm2.

N.B.: Se si esprimono i valori delle tensioni in N/mm2

, occorre utilizzare la Tabella 2, dalla qualerisulta:K = 0.360 r = 0.805 η = 0.880 t=0.005432

pertanto si ha:

cm77,55mm72,557250

000.000.120805,0

b

Mr d ==== (2)

2..a mm941250000000120005432,0MbtA =⋅⋅==

(2) Il valore non coincide perfettamente con quello ricavato sopra per l’errore di troncamento presente nel valore di r.

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Progettazione Sezioni Tens Ammissibili