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PROGETTAZIONE DI STRUTTURE MECCANICHE Andrew Ruggiero A.A. 2011/12 Analisi matriciale delle strutture: caratterizzazione degli elementi A. Gugliotta, “Elementi finiti – Parte I”
Elementi e strutture • Una qualsiasi costruzione meccanica viene
studiata dal progettista scomponendola in elementi semplici di cui sono note le proprietà e le modalità con cui ogni elemento è collegato agli altri
• Scomposizione “naturale” o semplice
1 2
3
1 2
Elementi e strutture • Analogamente un sistema tubiero può essere
suddiviso in “elementi” sia in corrispondenza di giunzioni fisiche o in corrispondenza di sezioni arbitrarie.
• Indipendentemente dalla suddivisione - naturale o arbitraria - le proprietà della struttura calcolate dopo la suddivisione in elementi devono essere invarianti rispetto al tipo di suddivisione adottata
Elementi e strutture • Scelta degli elementi rappresentativi con cui suddividere
la struttura
• La caratterizzazione dell’elemento può essere: Esatta. Qualsiasi sia la suddivisione della struttura i
risultati sono gli stessi rigorosamente. La suddivisione segue solo criteri di comodità
Approssimata. La scelta della suddivisione influenza la soluzione complessiva che dipende dal livello di approssimazione delle leggi che governano il singolo elemento
Analisi Matriciale ed Elementi Finiti
Esistono diverse strategie per la sistematizzazione delle relazioni che descrivono il comportamento di una struttura Es: Differenze finite Metodi di collocazione o trasferimento Metodi variazionali Il metodo FEM è il più comune (metodi variazionali) Vantaggi metodo FEM: • Buone proprietà numeriche dei sistemi risolutivi • Possibilità di analizzare con un’unica formulazione strutture
comunque complesse • Condizioni al contorno pressoché qualsiasi
Analisi Matriciale ed Elementi Finiti
La formulazione più utilizzata è quella detta a “spostamenti imposti” Il metodo FEM formulato in “spostamenti imposti” è un’estensione del metodo matriciale delle strutture formate da elementi aste/travi Nella panoramica sulla analisi matriciale delle strutture si esamineranno due momenti: A. caratterizzazione degli elementi, ovvero formulazione
matematica della cinematica in relazione alle condizioni di equilibrio
B. costruzione della struttura, ovvero tecnica di assemblaggio, descrizione matematica dell’appartenenza di un elemento alla struttura, soluzione del sistema di equazioni derivanti
Analisi Matriciale ed Elementi Finiti
Notazione • Tutte le variabili che definiscono il comportamento
dell’elemento sono indicate con lettere minuscole
• Tutte le variabili che definisco il comportamento dei punti della struttura sono indicate con le lettere maiuscole
Caratterizzazione dell’elemento trave
Elemento trave: elemento ad asse inizialmente rettilineo, individuato da due nodi 1,2 collocati agli estremi attraverso cui l’elemento scambia le azioni verso l’esterno Ad esso è associato un sistema di riferimento locale (x coincidente con l’asse della trave), y, z coincidenti con le direzioni principali di inerzia
1 2 L
x
y
z
Caratterizzazione dell’elemento trave
A seconda dei carichi a cui è soggetto l’elemento trave può comportarsi in maniera differente: • Asta (puntone-tirante), se sollecitato solo da carichi assiali
• Barra di torsione, se sollecitato da soli momenti torcenti
• Trave inflessa, se sollecitato solo da sforzi di taglio e/o momenti flettenti
1 2 L
x
y
z
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) fu1, fu2 sono le risultanti delle distribuzioni di forze all’esterno che dall’esterno sono applicate agli estremi (nodi) dell’elemento u1 e u2 sono gli spostamenti ai nodi Condizione d’equilibrio
1 0+ =u u2f f
u1
fu1
u2
fu2 l
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Equazione differenziale Integrando sulla lunghezza l, supponendo costanti la forza assiale e l’area della sezione retta
ddx
= ufuEA
2 1− = u2lu u f
EA
u1
fu1
u2
fu2 l
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Pertanto il comportamento statico dell’elemento è definito attraverso le sole informazioni al contorno che possono essere scritte in forma matriciale
u1
fu1
u2
fu2 l
1 1
2 2
1 10 01 1 0
= −
u
u
u flu f
EA
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Moltiplicando la prima riga per –l/EA , sommando alla seconda e sostituendo al posto della prima
1 1
2 2
01 11 1 0
− − = −
u
u
lu fEAu l f
EA
1 1
2 2
1 11 1
− = −
u
u
u fEAu fl
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Formulazione di rigidezza
1 1
2 2
1 11 1
− = −
u
u
u fEAu fl
[ ]{ } { }=k s f
[ ]1 11 1
− = −
EAkl
{ } { }1 2=Ts u u
{ } { }1 2= u uf f f
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a torsione (barra di torsione) Equazione d’equilibrio Equazione differenziale con G modulo a taglio, Jx momento polare di inerzia rispetto all’asse x della trave
αx1
mx1
αx2
mx2 l
1 0+ =x x2m m
x
ddxα= xm
GJ
Caratterizzazione dell’elemento trave
x1 1x
x2 2
1 11 1
αα
− = −
x
x
mGJml
Elemento trave sollecitato a torsione (barra di torsione)
αx1
mx1
αx2
mx2 l
Integrando e manipolando in maniera analoga a quanto fatto per l’asta
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa)
Hp: Si considerano solo i carichi ed i vincoli agenti ortogonalmente alla linea dell’asse in modo che gli spostamenti della struttura avvengono in direzione normale all’asse indeformato
Si considerano le sole deformazioni dovute al momento flettente e si trascura il taglio
Le variabili cinematiche sono 4, misurabili ai nodi
Così come sono 4 i carichi esterni applicati ai nodi
αz1
mz1
l
v1, fv1 v2, fv2 αz2
mz2
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) Delle 4 relazioni che legano le 8 variabili, 2 sono equazioni d’equilibrio
αz1
mz1
l
v1, fv1 v2, fv2 αz2
mz2
1 0+ =v v2f f
1 0− + + =v z1 z2f l m m
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) 2 sono ricavate dall’equazione differenziale con E modulo elastico longitudinale, Jz momento d’inerzia trasversale Esprimendo mz, momento in una sezione generica, in funzione di fv1 e mz1
e integrando sulla lunghezza l dell’elemento
z
ddxα= − zm
EJ
2
z2 z1z z
α α− = − +z1 v1l lm f
EJ 2EJ2 3
2 1 z1z z
α− − = − +z1 v1l lv v l m f
2EJ 6EJ
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) Le 4 equazioni formano il seguente sistema
12
z1
2 z z3 2
z2
z z
1 0 1 01 0 10 0 0 0
0 0 0 00 0
0 1 0 11 1 0
0 0
α
α
− −= − − − −
v1
z1
v2
z2
lv fml l
v f2EJ EJl ml l
6EJ 2EJ
[ ]{ } [ ]{ }=a s b f con singolare due volte [ ]a
Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) Moltiplicando ambo i membri per l’inversa della matrice Si ottiene la scrittura di rigidezza
3 2 3 2
1
2 2z1
z2
3 2 3 2z2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
α
α
− −
= − − −
−
v1
z1
v2
z2
l l l lv f
ml l l lEJv f
l l l l m
l l l l
[ ]b[ ]{ } { }=k s f
Formulazione di rigidezza • Un elemento è caratterizzato da un numero di equazioni n pari al
numero di gradi di libertà cinematici
• Le n equazioni complessive, di cui L sono di equilibrio, legano tra loro 2n variabili: n forze generalizzate e n spostamenti generalizzati
• Separando spostamenti e forze possiamo sempre scrivere:
• Se l’elemento non è infinitamente rigido nessuna riga di è nulla. Premoltiplicando per arriviamo a scrivere
• è detta matrice di rigidezza in quanto ad un aumento dei coefficienti corrisponde un aumento della rigidezza complessiva dell’elemento
[ ]b
[ ]{ } [ ]{ }=a s b f
[ ] 1−b
[ ][ ] [ ]1− =k b a
[ ]k
Scrittura di deformabilità
• N.B. In ambito strutturale si riesce sempre ad ottenere una formulazione in rigidezza mentre quasi mai si può ottenere quella in cedevolezza.
Commento: Se esistesse una formulazione in cedevolezza, potrei pensare di inserire in {f} forze arbitrarie ed ottenere gli spostamenti: assurdo in quanto le condizioni di equilibrio non possono essere assicurate per forze arbitrarie
Ponendo dei carichi equilibrati si potrebbe ottenere il campo di spostamenti: anche questo è assurdo in quanto per un assegnata configurazione di carichi esistono infiniti soluzioni in spostamenti che differiscono per un moto rigido
{ } [ ] [ ]{ }1−=s a b f
[ ] [ ] [ ]1−=d a b{ } [ ]{ }=s d f
Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza La matrice di rigidezza può essere determinata direttamente attraverso il principio dei lavori virtuali o mediante combinazioni lineari a partire dalle equazioni di equilibrio e deformazione È possibile legare i quattro spostamenti misurabili agli estremi con le forze e momenti esercitati utilizzando un sistema di riferimento opportunamente scelto Le singole colonne godono di una interpretazione fisica
Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza
Moltiplicata per v1 fornisce forze e momenti necessari per avere solo v1 e tutti gli altri nulli
v=1 6EJz/l2
1
z1
2
z2
aα
α
− = − − − −
v1
z1
v2
z2
a b -a b v fb c b d m
b a b v fb d b c m
12EJz/l3
6EJz/l2 12EJz/l3
Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza
Seconda colonna Terza colonna
v=1 6EJz/l2
12EJz/l3
6EJz/l2
12EJz/l3
α=1 6EJz/l2 6EJz/l2
4EJz/l 2EJz/l
Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza
Sovrapponendo linearmente i quattro stati di deformazione distinti si può ottenere uno stato di deformazione qualsiasi Inoltre, è possibile determinare la matrice di rigidezza colonna per colonna imponendo ad ogni variabile cinematica nodale una variazione unitaria e determinando le forze ed i momenti nodali necessari per produrla Considerazioni analoghe per qualsiasi tipo di elemento
Sistemi di riferimento locale e globale La semplicità della formulazione dipende dalla scelta del sistema di riferimento. Sistema “locale” nel riferimento elemento nel quale le proprietà sono definite Sistema “globale”, utile per la struttura per la definizione complessiva delle forze agenti, nel quale il sistema locale del singolo elemento viene ruotato opportunamente Cambio di riferimento è un’operazione lineare
l
Sistemi di riferimento locale e globale L’insieme degli spostamenti generalizzati nel sistema di riferimento locale xyz è ottenuto come combinazione lineare dell’analogo campo nel riferimento XYZ
Y
X
Z
y
x
z
x 1 X 1 X 1 X
x 2 X 2 X 2 X
x 3 X 3 X 3 X
= + += + += + +
u l u m v n wv l u m v n ww l u m v n w
Sistemi di riferimento locale e globale In notazione matriciale con ortogonale nel caso bidimensionale
{ } [ ]{ }x X=u R u
{ } [ ]{ }x X=f R f
[ ] [ ]1− = TR R
[ ]1 1
2 2
00
0 0 1
=
l mR l m
[ ]R
Sistemi di riferimento locale e globale Considerando separatamente i due estremi della trave analogamente Quindi,
{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }
1 1 1x X
2 2 2x X
=
=
s R s
s R s{ }{ }
{ }{ }
1 1 1
2 2 2x X
00
=
s R ss R s { } [ ]{ }x X
=s R s
{ } [ ]{ }x X=f R f
[ ] [ ]{ } [ ]{ }x X X=k R s R f [ ] [ ] [ ]{ } { }1
x X X
− =R k R s f
[ ] { } { }X X X=k s f
[ ] [ ] [ ] [ ]1
X x
−=k R k R
[ ] [ ] [ ] [ ]X x= Tk R k R
Carichi nodali equivalenti Nella configurazione considerata fino ad ora i carichi esterni considerati sono solo quelli applicati ai nodi Esistono tuttavia una serie di carichi esterni che non possono essere inseriti direttamente nelle equazioni: • carichi distribuiti • effetti termici • giochi o interferenze La strategia consiste nel sostituire tali carichi con carichi “equivalenti” agenti sui nodi: equivalente nel senso che producono i medesimi effetti ai fini del campo di spostamenti ma che produrranno risultati diversi all’interno dell’elemento
[ ]{ } { } { }e= +k u f f
Carichi nodali equivalenti Elemento asta: carico distribuito Equazione d’equilibrio Equazione di deformazione
u1 u2 u 0+ + =f f q l
u1
fu1
u2
fu2 l
qu
2
2 1 u2 u− = +l lu u f q
EA 2EA
Carichi nodali equivalenti Elemento asta: carico distribuito Scrittura di rigidezza Vettore carichi nodali equivalenti ad un carico distribuito assialmente
u1
fu1
u2
fu2 l
qu
1 1
2 2
1 1 11 1 12
− = + −
u u
u
u f q lEAu fl
{ } u ue 2 2
=
T q l q lf
Carichi nodali equivalenti Elemento asta: effetto termico Allungamento per aumento della temperatura Scrittura di rigidezza Vettore carichi nodali equivalenti ad un carico distribuito assialmente
*2 1 mα− =u u lT
1 1 *m
2 2
1 1 11 1 1
α− −
= + − u
u
u fEA EATu fl
{ } { }* *e m mα α= −Tf EAT EAT
Carichi nodali equivalenti Elemento asta: montaggio con interferenza o gioco Si supponga che un elemento possa essere montato fra due punti di date coordinate solo allungandolo o accorciandolo sotto l'azione di forze assiali, inducendo uno stato di pretensione assiale Data la scrittura di rigidezza Per calcolare il vettore dei carichi nodali equivalenti ad uno stato di pretensione, si consideri che in assenza di forze applicate dall'esterno agli estremi, gli spostamenti saranno tali da riportare la lunghezza dell'elemento al valore che essa ha quando l'elemento stesso è scarico
[ ]{ } { } { }e= +k u f f
Carichi nodali equivalenti Elemento asta: montaggio con interferenza o gioco Per con
u1 u2 0= =f f
1 1 1
2 2 2
1 11 1
− = + −
u e
u e
u f fEAu f fl
1 1= ∆u l 2 2= ∆u l
1 1
2 2
1 1 01 1 0
− ∆ = + − ∆
e
e
l fEAl fl
1
2
11
∆= −
e
e
f lEAf l 1 2∆ = ∆ −∆l l l
Carichi nodali equivalenti Elemento asta: carico concentrato
u1
fu1
u2
fu2
l
fu
x*
u1 u2 u 0+ + =f f f
2 1 u2 u− = +l x*u u f f
EA EA{ }e u
− =
T l x* x*f fl l
Carichi nodali equivalenti Elemento trave inflessa: carico distribuito Eq. Equilibrio Eq. congruenza
qv
αz1 mz1
v1 fv1 v2 fv2
αz2 mz2
10 = + +v v2 vf f q l
2
102
= − − + +vv z1 z2
q lf l m m
32
z2 z1z z z
α α− = − + + vz1 v1
q ll lm fEJ 2EJ 6EJ
42 3
2 1 z1z z z
α− − = − + + vz1 v1
q ll lv v l m f2EJ 6EJ 24EJ
{ }2 2
e v 2 12 2 12
= −
T l l l lf q