Profesor: Lcdo. Simón Lyon

Unidad de aprendizaje 1 ________________________

Existen situaciones de la vida en las que se establecen relaciones entre cantidades en donde una

de ellas depende de otra, el estudio de la dependencia de una cantidad con respecto a la otra se

hace a partir del concepto de función.

Una función es una relación que asigna a cada elemento de X de un conjunto X, un

único elemento de un conjunto Y. Se denota así: f: X -> Y

La función f: X -> Y tiene las siguientes características:

Conjunto de partida o dominio X

Conjunto de llegada o codominio Y

Los elementos de Y que le corresponden a algún elemento de x son imágenes

La variable independiente es X

la variable dependiente es y (porque depende del valor que tome X)

Las funciones se nombran con letras minúsculas como f, g o , existen tres maneras de

expresarlas:

Mediante expresión verbal como ”el doble de un número”

Mediante fórmulas algebraicas de la forma y = f(x)

Mediante un conjunto de pares ordenados conocidos como grafico de la función.

Para determinar las imágenes de algún elemento se sustituye el valor de la variable

independiente por dicho elemento.

Ejemplo:

Dada la función f(x)= 3x – 2. Determina la imagen de 4. -2 y 0

a) Para x = 4

f(4)= 3(4) – 2 = 12 – 2 = 10

b) Para x = -2

f(-2)= 3(-2) – 2 = -6 – 2 = -8

c) Para x = 0

f(0)= 3(0) – 2 = 0 – 2 = -2

I ACTIVIDAD

1) Determina la imagen de cada uno de los números que se indican en cada función

a) f(x) = 4x – 9 (0 , -2 , -1) d) f(x) = +√3𝑥2 − 1 (4, -2, 0)

b) f(x) = -x + 7 (-1 ,3, -2) e) f(x) = 4𝑥2 −1

𝑥+1 (0 , -2 , -1)

c) f(x) = 𝑥−1

3 (1, 4, -2) f) f(x) =

2𝑥

3 -

𝑥2

5 (-1 < x ≤ 3 )

-1 -

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio de una función está formado por el conjunto de valores que puede tomar la

variable independiente, de tal modo que la función está definida para todos ellos.

Una función no está completamente definida cuando, al intentar calcular la imagen de un

número, se obtiene una indeterminación: por ejemplo la raíz de un número positivo o una división

entre cero.

1. Cuando la variable no está en el denominador de una fracción o dentro de una raízo está

definida para cualquier valor que tome la variable, es decir, su dominio está formado por

todos los números reales. Dom f(x)= R

Ejemplo: a) f(x) = 3x + 5 Dom f(x)= R b) f(x) = 3x2 – 5x + 8 Dom f(x)= R

2. Cuando la variable está en el denominador, esto puede provocar una división entre cero.

Para evitar esta indeterminación debemos hallar las raíces del denominador y descartarlas

de dominio.

Ejemplo: Dom f(x)= R - {5

4 }

3. Cuando la variable está dentro de una raíz par, se pueden presentar una indeterminación

cuando la cantidad subradical sea negativa. Para eliminar esta indeterminación obligamos a

la cantidad subradical a que sea igual o mayor que cero; es decir, la obligamos a ser

siempre positiva.

Ejemplo: a) f(x) = √−2𝑥 − 6

-2x – 6 ≥ 0

-2x ≥ 6

X ≤ 6

−2

X ≤ -3 Dom f(x) = (- ∞ , -3]

4. Cuando la variable está en el denominador y dentro de un radical, se descartan los

números que ocasionarían ambas indeterminaciones.

Ejemplo f(x)= −√3𝑥−3

𝑥2−7𝑥 + 10 3x – 3 ≥ 0 𝑥2 - 7x + 10 Dom f(x) = [1, ∞ ) - {2 , 5}

3x ≥ 3 (x – 5) (x – 2 )

X ≥ 1 x = 5 x= 2

-2 -

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la

variable y o f(x), es decir el rango de una función es el conjunto de imágenes de la función.

Para calcular el rango de una función, se trata de hallar todos los valores de la función (y)

para los cuales existe un (x) esto se logra despejando x en la función.

Ejemplos:

1. Hallar el rango de la siguiente función f(x)= 3x – 1

Se cambia f(x) por y resultando y = 3x – 1

Se despeja x y + 1 = 3x => x = 𝑦+1

3

Como la y no quedo en denominador ni dentro de un radical el rango será: Rgo f(x) = R

2. Hallar el rango de la siguiente función

Se cambia f(x) por y resultando

Se despeja x = => =>

=>

Como la y quedo en el denominador se descartan los números que causan una división

entre cero: y – 2 = 0 => y = 2 entonces el rango será: Rgo f(x) = R - {2}

II ACTIVIDAD

1) Determina el dominio de las siguientes funciones

k) f(x) = 𝟒𝒙−𝟏

−√𝟑𝒙−𝟗

2) Determina el rango de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = 𝟓𝒙−𝟑

𝟐 c) f(x) =

𝒙

−√𝒙𝟐−𝟒 e )f(x) = √ 𝑥2 − 9

b) f(x) = 𝒙𝟐 −𝟖

𝟐 d) f(x) =

𝟑𝒙𝟐

𝒙𝟐−𝟒

f)

g)

h)

i)

j)

a)

b)

c)

d)

e)

-3 -

X Y (X,Y)

-1 -4 (-1,-4)

2 5 (-2,5)

Gráfico de una función

El gráfico de una función f: A -> B esta formado por todos los pares ordenados de la

forma (x. f(x)) o (x , y), como x perteneciente al dominio de la función y f(x) como la imagen

correspondiente a cada uno de ellos.

Funcion lineal: la gráfica de una función lineal de primer grado es una línea recta, para

graficarla, basta conocer dos puntos de ella y luego prolongarla.

Se construye la tabla de valores, dando valores albitrarios a la variable

independiente y luego calculamos sus respectivas imágenes:

Ejemplo: f(x)= 3x – 1

f(-1)= 3(-1) – 1 = -4

f(2)= 3(2) – 1 = 5

Se grafican los pares ordenados obtenidos

Función cuadrática: La gráfica de una función cuadrática AX2 + BX + C es una curva,

llamada parábolas, cuya concavidad depende del signo que posee el coeficiente A de X2 ; si

es positivo. La parábola abre hacia arriba y, si es negativo, abre hacia abajo.

Corte con el eje Y: es el valor del término independiente C

Corte con el eje X: para saber si la parábola corta al eje x se calculan las

raíces de la ecuación.

El vértice de la parábola: es el par ordenado

Ejemplo:

Cy= (0,-2)

Cx= −1±√12−4.1.−2

2.1

X1 = -2 x2= 1

VX = −1

2.1= -0.25

VY= − 12

2.1+ −2 = -2.25

Dom f(x)=R Rgo f(x) = [-5

2 . ∞)

-4 -

X Y

-2 5

-3 3

-5 2

0 -3

1 -1

3 0

Función racional: es la función donde la variable independiente aparece en el denominador

de una fracción.

Para graficar funciones de este tipo, en las que la incógnita aparece en el

denominador de una fracción, se recomienda calcular el dominio y el rango, para

determinar las regiones del plano por las que la curva nunca pasará, llamadas asíntotas.

Ejemplo:

Graficar f(x) = −4

𝑥+1 + 1

Se halla el dominio x+ 1 = 0 => x = -1 Dom f(x) = R - { -1 } la asíntota vertical pasara por -1

Se halla el rango y = −4

𝑥+1 + 1 => y - 1 =

−4

𝑥+1 => (y – 1) (x + 1) = -4 => x =

−4

𝑦−1+ 1

=> y – 1 = 0 => y = 1 la asíntota horizontal pasa por 1

Funciones exponenciales

Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y

tiene de base una constante a. Su expresión es:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y cuando a > 1,

es una función creciente.

Características:

La base a, de la función exponencial debe ser positiva y diferente de 1.

Si la variable x, es x=0 , la función es f(x)= 1

Si la variable x, es x=1 , la función es f(x)= a

El dominio y rango de la función son todos los números reales. Es una función

continua.

Creciente a>1 Decreciente a<1

Se realiza la tabla de

datos, teniendo en cuenta

que ala variable

independiente (x) se deben

dar valores que sean

mayores y menores que la

asíntota.

-5 -

X Y

-3 0,13

-2 0,25

-1 0,5

0 1

1 2

2 4

3 8

Gráfica de una exponencial

Graficar F(X)=2X

III ACTIVIDAD

1) Gráfica y determina dominio y rango de las siguientes funciones

a) Y = 3x2 + 6x – 1 b) y = √𝑥 + 3 c) y = x2 -3 d) y = 𝑥

𝑥−3 e) y =

2𝑥−5

𝑥−3

f) Y = - √𝑥 + 3 g) y = x3 h) y = 3-x i) y = 2 x+ 1 j) y = 2 + 1

2

𝑥

2) Identifica a qué tipo de función pertenece cada gráfico e indica su dominio y rango

Unidad de aprendizaje 2

Se llama logaritmo en base a de un número x, al número y, que al ser el exponente de la potencia de

base a, da como resultado x, es decir,

Se realiza la tabla de

datos, verificando la

característica de función

tomando en cuenta que el

domino son todos los

números R,

La expresión log3 81 = 4 se lee “logaritmo

en base 3 de 81 es igual a 4”. Esta igualdad

se cumple pues el resultado de la potencia

34 = 81

Si se quiere calcular el log2 16 se hace lo

siguiente: log2 16 = y se escribe en forma

exponencial así: 2𝑦 = 16 como 24 = 16,

entonces y = 4

-6 -

Aplicando la definición de logaritmo se puede calcular cualquiera de sus partes, siempre

que se conozcan las otras dos.

Ejemplos

log2 𝑥 = 4 entonces 34 = x desarrollando la potencia x = 81

log𝑥 32 = 5 entonces 𝑥5 = 32 descomponiendo 𝑥5 = 25 por lo tanto x = 2

Propiedades de los logaritmos

Ejemplo

𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂.𝒃

𝒄

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂.𝒃 - 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂. + 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒃 - 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂. + 1 - 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄

IV ACTIVIDAD

1) Calcula los siguientes logaritmos:

A) log3 27 B) log4 64 C) log21

8 D) log7 √49

3 E) log4

4

16

2) Simplifica la siguiente expresión:

a)log2 4+log4 2

log155+ log1

39

3) Hallar x aplicando la definición de logaritmo:

A) log𝑋 49 = 2 B) log31

81= 𝑋 C) log√3 81 = 𝑋 D) log3 √92

3= 𝑋

E) log2 √𝑋3

= 2 F) log4 𝑋 =3

2

4) Simplifica aplicando las propiedades de los logaritmos:

A) log𝑛𝑚.𝑛. 𝑝 = b) log𝑚𝑚3 .𝑛

𝑝8= c) log𝑏

√𝑎2.𝑏33

.

𝑏3= d) log2

√3𝑏45

. √2𝑎𝑏24

√6𝑎𝑏=

-7 -

x y

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

Funciones logarítmica

Una función logarítmica es aquella que se expresa como y= f (x) = log𝑎 𝑥, siendo a la base

de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

Propiedades de la función logarítmica.

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su

inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

•La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su

dominio es x>0

•Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier

elemento del conjunto de los números reales ℜ( -∞ , +∞)

•En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log𝑎 1 = 0, en cualquier base.

•Finalmente, la función logarítmica es continua y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Gráfica de una función logarítmica

Se construye la tabla de valores, procurando que los valores que se le den a la variable x sean

potencia de la base.

Ejemplo: Graficar; f(x) = log2 𝑥

Logaritmos decimales y neperianos

Aunque la base de un logaritmo puede ser cualquier numero positivo distinto de uno, los

logaritmos más populares y los más utilizados son aquellos que tienen como base a los números

10 y e (e = 2,718281…)

Todo logaritmo cuya base es el número 10 se denomina logaritmo decimal y se indica log x;

por lo tanto log x = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝐱

Neperianos: es todo logaritmo cuya base es número e y se indica ln x; por lo tanto:

Ln x = 𝐥𝐨𝐠𝒆 𝒙

2𝑦 = 𝑥

2𝑦 = 1

8

2𝑦 = 8−1

2𝑦 = 2−3

Y = -3

-8-

Calculo de logaritmos decimales usando la tabla

Con la tabla se pueden determinar directamente los logaritmos desde 1 hasta 9.9 entonces

según la tabla: log 1.5 = 0,1761 , log 5,3 = 0.7243 …

Debemos tomar en cuenta que, con la ayuda de la tabla, se calculan valores aproximados de

los logaritmos:

Si queremos calcular log 950 buscamos en la tabla log 9,5 = 0.9777

Luego escribimos el número en notación científica:

Log 950 = 9,5 . 102 = log 9,5 + log 102 = 0.9777 + 2 = log 950 = 2,9777

Si queremos calcular log 0.0036, buscamos en la tabla log 3,6 = 0,5563

Escribimos el número en notación científica: log 0.0036 = log 3,6 + log 10−3 = 0,5563 – 3 el

número -3,5563 se acostumbra a escribirlo 3 , 5563. Entonces el log 0,0036 = 3 , 5563

En los logaritmos decimales, a la cifra entera se le conoce como características y a las cifras

decimales mantisa

Cambio de base de un logaritmo

Con el cambio de base se puede calcular el logaritmo en cualquier base utilizando la tabla

de logaritmos decimales o naturales.

Ejemplo: log log3 54 = 𝒍𝒐𝒈 𝟓𝟒

𝒍𝒐𝒈 𝟑 buscamos en la tabla logaritmo de 54 y 3=> log

𝟏,𝟕𝟑𝟐𝟒

𝟎,𝟒𝟕𝟕𝟏 = 3,6311

VI ACTIVIDAD

1) Graficar cada una de las siguientes funciones y su inversa en el mismo sistemas de

coordenadas

A) log3 𝑥 b) log12

𝑥 c) f(x) = 5𝑥

2) Hallar característica y mantisa de cada uno de los siguientes logaritmos

a) Log 5700 b) log 0.71 c) log 0,0000063 d) log 26000 e) log 740

3) Halla los siguientes logaritmos aplicando cambio de base

a) log2 68 b) log12 0,73 c) log12 980000 d) log0.2 64 e) log0.03 99

-9-