Upload
nolcha
View
88
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
TB week 1: Wachtrijtheorie en Simulatie Waarom duurt wachten lang en wat kunnen we er aan doen met simulatie. Prof.dr.ir. Alexander Verbraeck Sectie Systeemkunde. Wachtrijen. Op de weg (net te laat weg, en dan loop je vast) In de supermarkt (en dan net de verkeerde rij kiezen) - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
TB week 1: Wachtrijtheorie en SimulatieWaarom duurt wachten lang en wat kunnen we er aan doen met simulatie
Prof.dr.ir. Alexander VerbraeckSectie Systeemkunde
5 september 2012 2
Wachtrijen...
• Op de weg (net te laat weg, en dan loop je vast)• In de supermarkt (en dan net de verkeerde rij
kiezen)• Bij het call-centrum via de telefoon (er zijn nog 68
wachtenden voor u...)• In de kantine (door een nieuw kassasysteem...)• In de fabriek (onderdelen die op verwerking liggen
te wachten)• Op kantoor (stapels dossiers en lijsten met e-mails
die nog afgehandeld moeten worden)• Vliegtuigen die rondcirkelen voordat ze kunnen
landen
5 september 2012 3
Waarom wachtrijen?
• Waar komen de wachtrijen vandaan en waarom zijn ze zo hardnekkig?
• Waarom zijn de wachtrijen vaak langer dan wat we op grond van ons ‘gevoel’ zouden zeggen?
• Hoe goed kunnen we het optreden van wachtrijen voorspellen?
• Er is theorie over wachtrijen• We kunnen wachtrijen simuleren• We kunnen de opgedane kennis toepassen
5 september 2012 4
Hoe goed snappen we wachten (1)?• Stel dat we de tram met een frequentie volgens
de dienstregeling van eens per 10 minuten willen nemen, maar we wonen halverwege het tracé, dus met alle verstoringen gedraagt de tram zich alsof hij geheel willekeurig aankomt. Gemiddeld komen er wel 6 trams per uur, maar soms zit er een groot gat, en soms zitten er twee vlak achter elkaar.
• Stel ik kom op de halte aan, en ik zie daar iemand staan die zegt dat zij al 10 minuten wacht. Hoe lang moet ik dan gemiddeld nog wachten op de tram?
5 september 2012 5
Hoe goed snappen we wachten (2)?• Stel dat we de tram met een frequentie volgens
de dienstregeling van eens per 10 minuten willen nemen, maar we wonen halverwege het tracé, dus met alle verstoringen gedraagt de tram zich alsof hij geheel willekeurig aankomt. Gemiddeld komen er wel 6 trams per uur, maar soms zit er een groot gat, en soms zitten er twee vlak achter elkaar.
• Stel ik kom op de halte aan, en ik zie daar iemand staan die zegt dat zij al 10 minuten wacht. Hoe lang moet ik dan gemiddeld nog wachten op de tram?
• Antwoord: gemiddeld 10 minuten...
5 september 2012 6
Hoe goed ‘snappen’ we wachten (3)?• Stel, we hebben een balie met 5 medewerkers,
die elk 10 mensen per uur kunnen helpen. Er komen gemiddeld 48 mensen per uur binnen. Ze kunnen het dus makkelijk aan. Hoe lang is:
de gemiddelde wachtrij?de gemiddelde wachttijd?komt de wachtrij wel eens boven de 20?boven de 10?boven de 5?
5 september 2012 7
Hoe goed ‘snappen’ we wachten (4)?• Stel, we hebben een balie met 5 medewerkers,
die elk 10 mensen per uur kunnen helpen. Er komen gemiddeld 48 mensen per uur binnen. Ze kunnen het dus makkelijk aan. Hoe lang is:
de gemiddelde wachtrij 12de gemiddelde wachttijd15 min.komt de wachtrij wel eens boven de 20 JAboven de 10 VAAKboven de 5 VAAK
5 september 2012 8
Hoe goed ‘snappen’ we wachten (5)?Uitgewerkt in simulatiepakket Simio
Hoe goed ‘snappen’ we wachten (6)?
5 september 2012 9
Max 1.2 uurwachttijd!
Gebaseerdop een runvan 10 dagen
Simio uitvoer: "Results tab"
Wachten in één rij of meer rijen (1)• Soms is er één wachtrij bij meer ‘loketten’, b.v.
veiligheidsscan op sommige luchthavens• Soms heeft elk ‘loket’ een eigen wachtrij, b.v.
kassa’s bij de supermarkt
• Maakt dat verschil?• Wat is ‘eerlijker’?• Verschilt de gemiddelde wachttijd?• Waarom?
5 september 2012 10
Wachten in één rij of meer rijen (2)• Soms is er één wachtrij bij meer ‘loketten’, b.v.
veiligheidsscan op sommige luchthavens• Soms heeft elk ‘loket’ een eigen wachtrij, b.v.
kassa’s bij de supermarkt
• Maakt dat verschil? JA• Wat is ‘eerlijker’? 1 rij• Verschilt de gemiddelde wachttijd? JA• Waarom? Lege rij
5 september 2012 11
Wachten in één rij of meer rijen (3)Uitgewerkt in simulatiepakket Simio
5 september 2012 12
Telefonische diensten (1)
• Als je een telefonische dienst belt, moet je vaak keuzes maken met nummers voordat je iemand aan de lijn krijgt.
• Waarom is dat?
• Maakt het verschil in de wachtrijen?
• Waarom?
5 september 2012 13
Telefonische diensten (2)
• Als je een telefonische dienst belt, moet je vaak keuzes maken met nummers voordat je iemand aan de lijn krijgt.
• Waarom is dat?Specialisatie van taken
• Maakt het verschil in de wachtrijen?Ja
• Waarom?Meer “gelijke” taken per medewerker
5 september 2012 14
Telefonische diensten (3)
Uitgewerkt in simulatiepakket Simio
5 september 2012 15
5 september 2012 16
Simulatie voor wachtrijproblemen
De praktijk
De simulatie
VSE, Virginia Tech / ORCA Computing
5 september 2012 17
Simulaties: wachten op luchthavens
5 september 2012 18
Simulatie: wachten bij klaar-maken vliegtuig
Model: ARC, Aken, Duitsland
5 september 2012 19
Simulatie: Wachten bij instappen
Model: ARC, Aken, Duitsland
5 september 2012 20
Simulatie: wachten bij taxiën
Model: ARC, Aken, Duitsland
5 september 2012 21
Wachtrijsysteem
Doelgroep van potentiële klanten klanten
wachtrij server(s)
wachtrijsysteem
5 september 2012 22
Toestanden van het wachtrijsysteem
klanten
wachtrij server(s)
Wachtrijsysteem
Leeg / Niet-leeg Onbezet / Bezet
Welke toestand is onmogelijk?
5 september 2012 23
Parameters van een wachtrijsysteem
Prestatie van het wachtrijsysteem is afhankelijk van:
• Aankomstproces ( en verdeling tussentijd)• Bedieningsproces ( en verdeling
bedieningstijd)• Aantal loketten• Capaciteit van het systeem• Omvang van de doelgroep
∞ of niet
Capaciteit van wachtrij+
Aantal servers
5 september 2012 24
Voorbeeld bezettingsgraad
Bij de helpdesk van de faculteit:• Gemiddeld arriveren er 4 klanten per uur met
een hulpvraag (Poisson)• Gemiddeld kunnen 6 klanten per uur worden
geholpen (Poisson)• Wat is de bezettingsgraad (Griekse letter rho)
voor • 1 helpdesk medewerker?• 2 helpdesk medewerkers?
5 september 2012 25
Aankomstproces
• Aankomsttussentijden stochastisch of deterministisch?
• Eén voor één op groepsgewijs?• Groepsgrootte stochastisch of deterministisch
• Meestal: • Aantal klanten per tijdseenheid Poisson verdeeld• Tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld• Eén voor één
• Aankomstintensiteit (aantal/tijdseenheid): λ
zelfde!
5 september 2012 26
Bedieningsproces
• Bedieningstijden stochastisch of deterministisch?
• Bijv. normaal verdeeld of exponentieel verdeeld?• Volgorde van bediening
• Eerste eerst?• Laatste eerst?• Snelste eerst?• Urgentste eerst?
• Bedieningsintensiteit (aantal/tijdseenheid): µ
5 september 2012 27
Aantal parallelle servers
• Ieder wachtrijsysteem heeft slechts één wachtrij• Anders meerdere wachtrijsystemen
• Meerdere servers zijn wel mogelijk • 1<#servers<, aantal servers: letter c
BEN C H 16
BEN C H 18 BEN C H 19
Total WIP:
0 0
5 september 2012 28
Capaciteit van het systeem
• Totale aantal klanten in de wachtrij en bij de loketten
• Bij eindige capaciteit• Klanten gaan terug naar doelgroep als wachtrij
vol• Effectieve aankomsten Werkelijke aankomsten
• Bijvoorbeeld• Bellen van klantenservice (in gesprek bij volle
rij)• Numerus fixus voor studie geneeskunde• Opslag in fietsenwinkel
5 september 2012 29
Omvang van de doelgroep
• Eindig of oneindig groot?• Oneindig als groep potentiële klanten is groot
• Klanten in systeem verwaarloosbaar t.o.v. doelgroep
• Restaurant, OV-reisinformatie, Postkantoor, etc.
• Eindige doelgroep• Aantal aankomsten hangt af van aantal
klanten in systeem• Computers te repareren door de helpdesk,
#patiënten op een ziekenhuisafdeling, etc.
5 september 2012 30
Notatie van Kendall
A/B/c/N/K waarin:A Verdeling aankomsttussentijdB Verdeling bedieningstijdc Aantal serversN Capaciteit van het systeemK Omvang van de doelgroep
Afkortingen verdelingen:M ExponentieelD Constant of deterministischEk Erlang
G Random of algemeen
5 september 2012 31
Nu een beetje dieper
c
c
cc
c
w
L
cc
cc
cc
c
c
ccc
cc
c
c
c
c
c
c
c
cc
c
c
Q
20
1
Q
20
1
00
11c
0n
n
11c
0n
n
0
LL
1
)P(L(t)
)1)(!(
P)(wL
1w
w
1
)P(L(t)
)1)(!(
P)(L
)1(!
P)(
)/1(!
P)/()P(L(t)
1
1.
!
1
n!
)(
.!
1
n!
)/(
P
5 september 2012 32
Wet van LittleBehoudsvergelijking
L wAankomstintensiteit
Gemiddelde tijd in systeem
N
ii
T
WdttL10
Gemiddeld aantal klanten
5 september 2012 33
Gemiddelde wachttijd: Wqprestatiecriteria
1Q
Lw
Gemiddelde tijd in systeem
Gemiddelde bedieningstijdGemiddelde tijd in wachtrij
5 september 2012 34
Gemiddelde # klanten in wachtrij: Lqprestatiecriteria
Q QL w L
Little’s vergelijking voor de wachtrij
Totaal # klanten in systeemBezettingsgraad server
5 september 2012 35
Gemiddeld # klanten in systeemPrestatiecriteria M/M/1
nn
Q
P
wL
ww
Lw
L
))(1(
)(
)(
1
1
2
5 september 2012 36
Oefening 1: Kantine met 1 kassa
Gemiddeld komt er één klant aan per minuut (Poisson verdeeld)
Gemiddelde bedieningstijd is 40 seconde per klant (exponentieel verdeeld)
Bepaal …– Kendall notatie– Gemiddelde tijd in systeem?– Gemiddelde wachttijd?– Gemiddeld aantal klanten in de rij?– Kans dat er precies 5 klanten in systeem zijn?
5 september 2012 37
Bedieningsproces
• Bedieningsvolgorde:• FIFO First In, First Out• LIFO Last In, First Out• SIRO Service In Random Order• SPT Shortest Processing Time first• PR Service according to Priority
• Bedieningstijden stochastisch of deterministisch?• Bijv. normaal verdeeld of exponentiëel verdeeld?
• is de bedieningsintensiteit (bijv. 12 klanten/uur)• 1/ is de gemiddelde bedieningstijd (5 minuten)
Wie is er het eerst aan de beurt?
5 september 2012 38
Bedieningsvolgorde versus Prestatie wachtrijsysteem • Bedieningsvolgorde heeft geen invloed op
• Bezettinggraad• Totale tijd in het systeem • Gemiddelde wachttijd• Totaal aantal klanten in het systeem• Gemiddelde lengte wachtrij
• Bedieningsvolgorde heeft alleen invloed op• Variantie van de wachttijd
5 september 2012 39
Oefening 2
• Wat is de klantenvolgorde als als bedieningsvolgorde “Shortest processing time first” wordt gebruikt?
• Welke andere bedieningsvolgorde zou hetzelfde resultaat geven?
• Wat is de gemiddelde wachttijd? (Wq)• Wat is het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij? (Lq)
Klant Aankomsttijd
Bedieningstijd Prioriteit
1 0 2 3
2 1 1 2
3 1.5 0.75 4
4 1.75 0.5 5
5 2.75 0.5 1
5 september 2012 40
LIFO
SPT
Voorbeeld = 4 (Poisson) = 6 (Poisson)c = 1
N = 50 Klanten
L = 2.6
Lq = 1.7
L = 3.2
Lq = 2.9
--Systeem
--Wachtrij
--Server
5 september 2012 41
LIFO
SPT
w = 38
wq = 27
w = 31
wq = 20
--Tijd in systeem
--Tijd in wachtrij
--Bedieningstijd
Voorbeeld = 4 (Poisson) = 6 (Poisson)c = 1
N = 50 klanten
5 september 2012 42
Systeem met meer servers...
bezettingsgraad systeem
P0 kans op 0 klanten in systeem
Pn kans op n klanten in systeem
L gem. aantal klanten in systeem
w gemiddelde tijd dat klant in systeem is
wQ gemiddelde tijd in wachtrij
LQ gemiddelde lengte wachtrij
L-LQ gem. aantal bezette balies
c
c
cc
c
w
L
cc
cc
cc
c
c
ccc
cc
c
c
c
c
c
c
c
cc
c
c
Q
20
1
Q
20
1
00
11c
0n
n
11c
0n
n
0
LL
1
)P(L(t)
)1)(!(
P)(wL
1w
w
1
)P(L(t)
)1)(!(
P)(L
)1(!
P)(
)/1(!
P)/()P(L(t)
1
1.
!
1
n!
)(
.!
1
n!
)/(
P
5 september 2012 43
Systeem met 4 servers: c=4
5 september 2012 44
Berekende waarden
bezettingsgraad 0.83
P0 kans op 0 klanten in systeem 3 %
L gem. aantal klanten in systeem 5.5
w gemiddelde tijd dat klant in systeem is 8.25 min
wQ gemiddelde tijd in wachtrij
5.5/40 -1/12 = 0.054 uur = 3.25 min
LQ gemiddelde lengte wachtrij 2.16
L-LQ gem. aantal bezette balies 3.33
4 balies, =40/uur, =12/uur
M/M/4
5 september 2012 45
Het systeem met 4 balies in Simio
5 september 2012 46
Simulatie
• Met b.v. wachttijdtheorie kunnen bepaalde problemen analytisch worden opgelost maar wat als:
• het systeem zo complex is dat het ondoenlijk is de beste oplossing analytisch te berekenen
• er veel oplossingen berekend moeten worden en het berekenen veel tijd kost
• snel een oplossing nodig is en er geen tijd is voor berekeningen
• inzicht verschaft moet worden aan een opdrachtgever over de analyse en de oplossingen
• Werkelijkheid TB-problemen is meestal zo complex dat alleen simulatie gebruikt kan worden
5 september 2012 47
Handsimulatie
• Kunnen we een dergelijk proces in een wachtrijsysteem ook met de hand uitvoeren?
• Laten we een voorbeeld uitproberen met de groep...
5 september 2012 48
Voorbeeld
Simulatie met de hand
Proces in b.v. postkantoor
Klanten komen uniform verdeeld aan: • tussentijd discreet tussen 1 en 6 minuten
Klanten hebben een bedieningstijd: • 1 op de 6 klanten 1 minuut,• 1 op de 2 klanten 2 minuten,• 1 op de 3 klanten 5 minuten
5 september 2012 49
Bouw van een simulatiemodel
• Veel soorten simulatietalen• In 2e jaar: Simio uitgebreid behandeld• Andere simulatietalen worden getoond
• Voorbeeld: hoe wordt een model van de M/M/c wachtrij met 40 aankomsten per uur, 4 loketten en 5 minuten per bediening gesimuleerd?
5 september 2012 50
Voorbeeld handsimulatie in Simio
5 september 2012 51
Simio model altijd 3D
5 september 2012 52
3D plaatjes uit Google 3D warehouse
5 september 2012 53
Interface Simio
Project-bar
5 september 2012 54
Gesimuleerde waarden M/M/4 model 40 aankomsten per uur, 4 loketten en 5 minuten per bediening
berekend simulatie
bezettingsgraad 0.83 3.36/4 = 0.84
P0 kans op 0 klanten in systeem 3 % -
L gem. aantal klanten in systeem 5.5 2.24+3.36 = 5.6
w gemiddelde tijd klant in systeem 8.25 min8.47 min
wQ gemiddelde tijd in wachtrij
5.5/40 -1/12 = 0.054 uur = 3.25 min 3.39 min
LQ gemiddelde lengte wachtrij 2.16 2.24
L-LQ gem. aantal bezette balies 3.33 3.36
Gesimuleerde waarden wachtrij
• Zijn ze precies hetzelfde?• Zo nee, waarom niet?• Is de simulatie wel valide?• Hoe bepalen we dat?• Hoe lang moeten we draaien om een bepaalde
betrouwbaarheid te bereiken?• Wat is de invloed van de lengte van de
simulatie?• Wat is de invloed van het “leeg starten”?
5 september 2012 55
5 september 2012 56
Verkorten wachttijden
De theorie leert ons dat de wachttijd verkort kanworden door het:
• Reduceren aantal aankomsten per tijdseenheid• Reduceren bedieningstijd• Verhogen aantal servers• Verlagen spreiding in aankomsten• Verlagen spreiding in bedieningstijd• Veranderen van de volgorde voor helpen van
klanten
5 september 2012 57
Conclusie wachtrijen en simulatie
Murphy heeft gelijkMaar we kunnen er wel wat aan doen!
5 september 2012 58
Wanneer zit dit in het programma?• Basis in het eerste jaar:
• analyse• statistiek• modelleertechnieken• agent-gebaseerd modelleren (college en practicum)
• Colleges aan het begin van het 2e jaar• discrete wiskunde• simulatie (discreet en continu)
• Gebruik in 2e en 3e jaar• project discreet modelleren• Bachelor project
59
Voorbeelden recente simulatiestudies(Alle voorbeelden hieronder zijn afstudeerstages bij Systeemkunde 2010-2011)
• Verbeteren bagagesysteem E-kelder Schiphol• Plaatsing nieuwe remises voor trams bij de HTM• Doorrekenen logistiek nieuw schip voor pijpenleggen Heerema• Simulatie voor risicomanagement Heerema• Visualisatie en simulatie kosten gebruik van opvouwbare containers• Gedistribueerde simulatie en serious games voor ProRail• Simulaties voor kadeprocessen Maersk containerterminal Rotterdam• Doorrekenen wachtlijstproblematiek bij Jeugdzorg• Verbeteren doorlooptijd laboratorium Reinier de Graaf ziekenhuis• Verbeteren laad- en losprocessen Norfolkline terminal Vlaardingen• Personeelsdoorstroming verbeteren bij grote organisaties
(Accenture)• Verbeteren voorraadposities bij Proctor & Gamble Pet Food• Just-in-Time voorraadstrategie voor KLM motorenonderhoud• Verbeteren prestaties fabricagelijn Ford in Engeland
5 september 2012
Uitgebreidere modellen: SEHStraks beschikbaar om mee te oefenen
5 september 2012 60
Practicum
• 10.45 – 12.30 uur met halverwege 15 minuten pauze
• 5 opgaves• Achternaam A t/m K begint met opgave 1 & 2• Achternaam L t/m Z begint met opgaves 3 – 5
(namen zonder van, de, ter, etc.)• Na de pauze wisselen
• Opgave 1 & 2: zaal D1 of D2, maak groepjes van 5• Opgave 3 – 5: computerzaal A of studielandschap,
maak groepjes van 2
5 september 2012 61