Profa. Marli

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Departamento Matemática da Universidade de Aveiron

Profa. Marli

II. Programação Linear (PL)II. Programação Linear (PL)

• Capítulo 7.2: Resolução do Problema de Transporte (PT).

Obtenção de uma SBA inicial. Método do canto N-W; Método do mínimo da matriz de custos; Método de Vogel.

Obtenção da solução óptima. Método de Dantzig.

Problema de Transporte. Exemplo ProtótipoProblema de Transporte. Exemplo Protótipo

•Uns dos principais produtos da firma Lactosal é o leite.

Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricas e depois são distribuídos de camião para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se:

OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE.

24 cargas diárias de leite devem

ser produzidas e distribuídas

24 cargas diárias de leite devem

ser produzidas e distribuídas

Custo por carga de camião

Armazéns

Fábricas 1 2 3 4 Oferta

1 1 2 3 4 6

2 4 3 2 4 8

3 0 2 2 1 10

Procura 4 7 6 7

Problema de Transporte. Exemplo ProtótipoProblema de Transporte. Exemplo Protótipo

Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de camião/dia, são os seguintes:

Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total

Quadro do Problema de TransporteQuadro do Problema de Transporte

Destino

Origem1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta

11

22

33

66

88

1010

Procura 44 77 6 6 77 2424 ==2424

11 22 44

44 33 44xx11 11 xx12 12

xx1414

xx21 21 xx22 22 xx2424

33xx13 13

22xx23 23

00 22 11xx31 31 xx32 32 xx3434

22xx33 33

Destino

Origem

Destino

Origem1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta

11

22

33

66

88

1010

Procura 44 77 6 6 77 2424 ==2424

1111 2222 4444

4444 3333 4444xx11 11 xx12 12

xx1414

xx21 21 xx22 22 xx2424

3333xx13 13

2222xx23 23

0000 2222 1111xx31 31 xx32 32 xx3434

2222xx33 33


Armazéns

1012203

7

4

4

4

4

4

1

1

7

3

2

2

6

2

3

3

Procura

82

61

OfertaFábricas


Armazéns

1012203

7

4

4

4

4

4

1

1

7

3

2

2

6

2

3

3

Procura

82

61

OfertaFábricas

A SBA verifica o A SBA verifica o critério de critério de

optimalidade? optimalidade?

A SBA verifica o A SBA verifica o critério de critério de

optimalidade? optimalidade?

Obtenção de uma SBA Obtenção de uma SBA inicialinicial

Obtenção de uma SBA Obtenção de uma SBA inicialinicial

FIM !!!FIM !!!a solução é a solução é

óptimaóptima

FIM !!!FIM !!!a solução é a solução é

óptimaóptima

Mover-se para uma SBA Mover-se para uma SBA "melhor""melhor"

Mover-se para uma SBA Mover-se para uma SBA "melhor""melhor"

SimSim

NãoNão

Algoritmo para a resolução do PT.Algoritmo para a resolução do PT.

Passo 1: Obtenção de uma SBA InicialPasso 1: Obtenção de uma SBA InicialMétodo do Canto NoroesteMétodo do Canto Noroeste

•A variável básica escolhida é, em cada quadro,a variável situada no canto superior esquerdo (daqui o nome do canto do NW).

A primeira variável básica escolhida será sempre x11, depois

consoante tenha sido traçada a coluna 1 ou a linha 1,

será escolhida como variável básica x12 ou x21 respectivamente, e

assim sucessivamente até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas.

Este método é de aplicação muito fácil, mas tem como grande inconveniente o facto de

não considerar os custos na identificação da SBA inicial.

44 77 6 6 77

11 22 44

44 33 44

33

22

00 22 11 22

66

88

1010

44 22

55 33

77 33

1º1º. x11 =min (4,6 )= 41º1º. x11 =min (4,6 )= 422

2º2º. x12 =min (7,2 )= 22º2º. x12 =min (7,2 )= 2

3º3º. x22 =min (5,8 )= 53º3º. x22 =min (5,8 )= 5

55

4º4º. x23=min (6,3 )= 34º4º. x23=min (6,3 )= 3

33

33

77

5º5º. x33=min (3,10 )= 35º5º. x33=min (3,10 )= 3

6º6º. x34=min (7,7 )= 76º6º. x34=min (7,7 )= 7

SBA inicial: X0 = ( 44 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) ; z0

= 42SBA inicial: X0 = ( 44 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) ; z0

= 42

Exemplo Protótipo. Método do Canto NoroesteExemplo Protótipo. Método do Canto Noroeste

Passo 1: Obtenção de uma SBA InicialPasso 1: Obtenção de uma SBA InicialMétodo do Mínimo da Matriz dos Custos.Método do Mínimo da Matriz dos Custos.

•A variável básica escolhida é a variável que corresponde ao menor custo(em caso de empate a escolha é arbitrária).

A primeira variável básica escolhida será sempre a de menor custo, depois será escolhida como variável básica a de menor custo no quadro resultante consoante o que foi traçado, e assim sucessivamente, até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas.

Este método, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução óptima que o método anterior, já que são considerados os custos na identificação da SBA inicial.

44 77 6 6 77

11 22 44

44 33 44

33

22

00 22 11 22

66

88

101044 66

1166

66

11

1º:1º: min (cij )= c31= 0 x31 =min (4,10)= 41º:1º: min (cij )= c31= 0 x31 =min (4,10)= 4

1

2º2º: min (cij) =c34= 1 x34 = min ( 7, 6 )= 6

2º2º: min (cij) =c34= 1 x34 = min ( 7, 6 )= 6

3º3º: min (ci) = c12=c23= 2 x12 = min ( 7, 6 ) = 63º3º: min (ci) = c12=c23= 2 x12 = min ( 7, 6 ) = 6

1

4º4º: min (cij) =c23= 2 x23= min ( 6, 8 ) = 64º4º: min (cij) =c23= 2 x23= min ( 6, 8 ) = 6

22 1

6

5º5º: min (cij)= c22= 3 x22= min ( 2, 1 ) = 15º5º: min (cij)= c22= 3 x22= min ( 2, 1 ) = 1

6º6º: min (cij) =c24= 4 x24=min (1, 1 ) =16º6º: min (cij) =c24= 4 x24=min (1, 1 ) =1

SBA inicial: XX00 = ( 00 , 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6, 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6) ; z = 38SBA inicial: XX00

= ( 00 , 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6, 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6) ; z = 38

Exemplo Protótipo.Método do Mínimo dos CustosExemplo Protótipo.Método do Mínimo dos Custos

Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Método de VogelMétodo de Vogel

•A variável básica escolhida é, em cada quadro,a variável que corresponde ao menor custo da linha ou coluna associada à maior das diferenças entre os dois menores custos de cada linha e cada coluna(em caso de empate a escolha é arbitrária).

Este método identifica uma SBA inicial, em geral, melhor do que as obtidas pelos métodos anteriores.

11 00 00 33

11 22 44

44 33 44

33

00 22 11 22

22

3377

1º:1º: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente.

1º:1º: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente.

2º2º: Seleccionar a maior das diferenças: max (diferenças) = 3 , coluna 4.

2º2º: Seleccionar a maior das diferenças: max (diferenças) = 3 , coluna 4.

3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=4)= c34= 1

x34= min ( 7, 10 ) = 7

3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=4)= c34= 1

x34= min ( 7, 10 ) = 7

Iteração 1: Iteração 1: xx3434== 7 7Iteração 1: Iteração 1: xx3434== 7 7

44 77 6 6 77

11

11

11

máximo

1010

88

6 6

mínimo

Exemplo Protótipo.Método de Vogel.Exemplo Protótipo.Método de Vogel. Quadro 1 Quadro 1

11 22 33 44

44 33 44 22

33

88

6 6

44 77 6 6

00 22 11 2277

11

33

1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados


2º2º: Seleccionar a maior das diferenças:max (diferenças) = 2 e corresponde à linha 3.


3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta linha: min (cij: i=3)= c31= 0

x31= min ( 4, 3 ) = 3


x31= min ( 4, 3 ) = 3

Iteração 2: xx3131== 3 3Iteração 2: xx3131== 3 3

máximo

11 00 00

11

11

22

mínimo

11 22 33 44

44 33 44 22

33

88

6 6

44 77 6 6

00 22 11 2277

11

33






x31= min ( 4, 3 ) = 3


x31= min ( 4, 3 ) = 3


máximo

11 00 00

11

11

22

mínimo

Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Quadro 2Quadro 2

11 22 33

44 33 44 22

88

6 6

44 77 6 6

00 22 11 2233

44

77

11

11



2º2º: Seleccionar a maior das diferenças : max (diferenças) = 3 e corresponde à coluna 1.

2º2º: Seleccionar a maior das diferenças : max (diferenças) = 3 e corresponde à coluna 1.

3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=1) = c11= 1

x11= min ( 1, 6 ) = 1

3º3º: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=1) = c11= 1

x11= min ( 1, 6 ) = 1


33 11 11

11

11

mínimo

55

máximo

Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Quadro 3Quadro 3

As restantes quadrículas podem ser

preenchidas imediatamente:

xx2222== 2 2

xx2323== 6 6

As restantes quadrículas podem ser

preenchidas imediatamente:

xx2222== 2 2

xx2323== 6 6

88

22 6 6

77

33

44 33 44 22

00 22 11 2233

22 4411

11

55

22 66

SBA inicial: XX00 = ( 11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7) ; z = 36SBA inicial: XX00

= ( 11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7) ; z = 36

Exemplo Protótipo. Método de VogelExemplo Protótipo. Método de VogelQuadro 5Quadro 5

zz00 = 36

XX00 = ( 11 , 5, 0, 0,, 5, 0, 0,

0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 3, 0, 0, 7)

XX00 = ( 44 , 2, 0, 0,, 2, 0, 0,

0, 5, 3, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 0, 0, 3, 7)

XX00 = ( 00 , 5, 1, 0,, 5, 1, 0,

0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 4, 0, 0, 6 4, 0, 0, 6)

zz00 = 42

zz00 = 38

mais fácil

menos fácil

"pior" SBA

"melhor" SBA

Método SBA inicial f.o.

Canto do NW

Mínimo de custos

Voguel

Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Exemplo ProtótipoExemplo Protótipo

A solução dual é admissível:

ui + vj- cij 0 , ( i , j ) IB ?

A solução dual é admissível:

ui + vj- cij 0 , ( i , j ) IB ?

Passar ao passo seguintePassar ao passo seguinte

FIMa solução é óptima !!!

FIMa solução é óptima !!!

Sim

Não

Determinar a solução dual complementar ui , vj , ( i=1,2…,m , j=1,2…,n ),

por resolução do Sistema de Dantzig:ui + vj = cij ( i , j ) IB

Determinar a solução dual complementar ui , vj , ( i=1,2…,m , j=1,2…,n ),

por resolução do Sistema de Dantzig:ui + vj = cij ( i , j ) IB

Passo 2: Obtenção da solução óptimaPasso 2: Obtenção da solução óptimaMétodo de Dantzing. Critério de optimalidadeMétodo de Dantzing. Critério de optimalidade

Obtenção da solução óptima.Método de Dantzing.Obtenção da solução óptima.Método de Dantzing.Passo 1: Critério de optimalidade.Passo 1: Critério de optimalidade.

O primeiro passo, que consiste em testar a optimalidade da

SBA actual pode ser executado recorrendo à Dualidade.

Para o efeito é necessário determinar a correspondente solução

dual.

Enquanto na apresentação tabular do método simplex esta

solução pode ser lida directamente no quadro respectivo, com

a apresentação tabular do problema de transporte isso não

acontece.

Contudo, atendendo à simplicidade da estrutura do problema

dual de transporte,

é fácil determinar a solução dual.

u1 livreu2 livreu3 livrev1 livrev2 livrev3 livre v4 livre

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= = 6= = 8 = = 10 = = 4= = 7= = 6= = 7

1 2 3 4 4 3 2 4 0 2 2 1

xx11110 0 xx12120 0 xx13130 0 xx14140 0 xx21210 0 xx22220 0 xx23230 0 xx242400 x x313100 xx32320 0 xx333300 xx343400

Min zMin zProblema dualProblema dual

Problema primalProblema primal

Diagrama de TuckerDiagrama de Tucker Diagrama de TuckerDiagrama de Tucker

Max wMax w

Formulação do Problema Dual de Transporte.Formulação do Problema Dual de Transporte.


Armazéns

1012203

7

4

4

4

4

4

1

1

7

3

2

2

6

2

3

3

Procura

82

61

OfertaFábricas


Armazéns

1012203

7

4

4

4

4

4

1

1

7

3

2

2

6

2

3

3

Procura

82

61

OfertaFábricas

Maximizar w = 6 u1 + 8 u2 + 10 u3 + 4 v1 + 7 v2 + 6 v3 + 7 v4

sujeito a: u1 + v1 1 u1 + v2 2 u1 + v3 3 u1 + v4 4 u2 + v1 4 u2 + v2 3 u2 + v3 2 u2 + v4 4 u3 + v1 0 u3 + v2 2 u3 + v3 2 u3 + v4 1 ui , v j livres ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )

Maximizar w = 6 u1 + 8 u2 + 10 u3 + 4 v1 + 7 v2 + 6 v3 + 7 v4

sujeito a: u1 + v1 1 u1 + v2 2 u1 + v3 3 u1 + v4 4 u2 + v1 4 u2 + v2 3 u2 + v3 2 u2 + v4 4 u3 + v1 0 u3 + v2 2 u3 + v3 2 u3 + v4 1 ui , v j livres ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )

Formulação do Problema Dual de Transporte.Formulação do Problema Dual de Transporte.


Armazéns

1012203

7

4

4

4

4

4

1

1

7

3

2

2

6

2

3

3

Procura

82

61

OfertaFábricas


Armazéns

1012203

7

4

4

4

4

4

1

1

7

3

2

2

6

2

3

3

Procura

82

61

OfertaFábricas

xx1111= 4= 4xx1111= 4= 4 uu11 + + vv1 1 = 1= 1uu11 + + vv1 1 = 1= 1

xx12 12 = 2= 2 xx12 12 = 2= 2 uu11 + + vv2 2 = 2= 2uu11 + + vv2 2 = 2= 2

xx22 22 = 5= 5 xx22 22 = 5= 5 uu22 + + vv2 2 = 3= 3uu22 + + vv2 2 = 3= 3

xx23 23 = 3= 3xx23 23 = 3= 3 uu22 + + vv3 3 = 2= 2uu22 + + vv3 3 = 2= 2

xx33 33 = 3= 3xx33 33 = 3= 3 uu33 + + vv3 3 = 2= 2uu33 + + vv3 3 = 2= 2

xx34 34 = 7= 7xx34 34 = 7= 7 uu33 + + vv4 4 = 1= 1uu33 + + vv4 4 = 1= 1

Para a SBA inicial obtida pelo Método do Canto N-W X0

= ( 4 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) tem-se:

De acordo com a propriedade dos desvios complementares, a cada

variável básica do problema primal se encontra associada

uma restrição saturada no problema dual .

De acordo com a propriedade dos desvios complementares, a cada

variável básica do problema primal se encontra associada

uma restrição saturada no problema dual .

Sistema de Dantzig para a SBA actual

Exemplo Protótipo. Sistema de DantzingExemplo Protótipo. Sistema de Dantzing

uu11 + + vv1 1 = 1= 1uu11 + + vv1 1 = 1= 1

uu11 + + vv2 2 = 2= 2uu11 + + vv2 2 = 2= 2

uu22 + + vv2 2 = 3= 3uu22 + + vv2 2 = 3= 3

uu22 + + vv3 3 = 2= 2uu22 + + vv3 3 = 2= 2

uu33 + + vv3 3 = 2= 2uu33 + + vv3 3 = 2= 2

uu33 + + vv4 4 = 1= 1uu33 + + vv4 4 = 1= 1

Dado que uma das (m+n) restrições do problema primal é

redundante, este sistema de equações é indeterminado de

grau 1, pelo que a sua resolução é efectuada atribuindo um valor

arbitrário a qualquer das variáveis duais e calculando a

partir desta as restantes ( é habitual fazer uu1 1 =0 =0 )

v1 =1v1 =1

v2 =2v2 =2

u2 =1u2 =1

v3 =1v3 =1

u3 =1u3 =1

v4 =0v4 =0

u1 =0u1 =0 1º.1º. Determinar a solução dual. 1º.1º. Determinar a solução dual.

Exemplo Protótipo. Obtenção da solução Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.óptima. Passo 1: Critério de Optimalidade Passo 1: Critério de Optimalidade

Obtenção da solução óptima.Obtenção da solução óptima.Passo 1: Critério de OptimalidadePasso 1: Critério de Optimalidade

•Esta solução para as variáveis duais pode ser obtida directamente no quadro de transporte correspondente à SBA em presença.

Em síntese, fixando u1 =0, desloca-se em linha através das

quadrículas correspondentes às variáveis básicas, para obter

os vj. Uma vez obtidos estes, desloca-se em coluna através

das quadrículas correspondentes às variáveis básicas

para obter os ui .

1º.1º. Determinar a solução dual. 1º.1º. Determinar a solução dual.

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 44

44 22

55

33

22

3300 22 11

7722

33

v1=1 v2=2 v3=1 v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

( 1 ) ( 1 ) u1+ v1=1 0 + v1=1

( 2 ) ( 2 ) u1+ v2=2 0 + v2=2

( 4 ) ( 4 ) u2+ v3=2 1 + v3=2

( 6 ) ( 6 ) u3+ v4=1 1 + v4=1

( 3 ) ( 3 ) u2+ v2=3 u2+ 2 =3

( 5 ) ( 5 ) u3+ v3=2 u3+ 1=2




•Como são satisfeitas as restrições duais de igualdade do Sistema de Dantzig que correspondem às variáveis primais básicas, resta apenas verificar se as restantes restrições duais de desigualdade correspondentes às variáveis primais não básicas do primal, são igualmente satisfeitas, o que significa que a solução dual é admissível e consequentemente a solução primal em presença é óptima.

Isto é equivalente a verificar que todos os custos reduzidos para as variáveis não básicas sejam não positivos.

A verificação de que uuii + + vvj j ccijij , , ( ( i , j i , j ) ) I IB B , é equivalente a ((uuii + + vvj j )) - - ccijij 0 0 ,,

sendo o primeiro membro desta expressão de obtenção imediata no quadro de transporte.

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 44

44 22

55

33

22

3322 11

7722

33

v1=1 v2=2 v3=1 v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

00

-4-4-2-2

-3-3-2-2

22 11

Esta solução não é óptima, pois existem

valores positivos para u ui i ++ vvjj- - ccij ij nas

quadrículas (3,1) e (3,2), o que significa

que as correspondentes restrições duais não

estão satisfeitas.

Esta solução não é óptima, pois existem

valores positivos para u ui i ++ vvjj- - ccij ij nas

quadrículas (3,1) e (3,2), o que significa

que as correspondentes restrições duais não

estão satisfeitas.

3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ?? 3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ??

Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Passo 1: Critério de OptimalidadePasso 1: Critério de Optimalidade

maxmax {uui i ++ vvj j - - ccij ij : : uui i ++ vvj j - - ccijij> 0 > 0 }} maxmax {uui i ++ vvj j - - ccij ij : : uui i ++ vvj j - - ccijij> 0 > 0 }}

A variável a entrar na base é escolhida de acordo com o critério:

Em caso de empate a escolha é arbitrária.

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 44

44 22

55

33

22

3322 11

7722

33

v1=1 v2=2 v3=1 v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

00

-4-4-2-2

-3-3-2-2

22 11

máximo máximo

A variável a entrar

é x31

A variável a entrar

é x31

Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Passo 2: Critério de EntradaPasso 2: Critério de Entrada

Obtenção da solução óptima. Obtenção da solução óptima. Passo 3: Critério de SaídaPasso 3: Critério de Saída

• 1º. Seleccionar o percurso relativo à variável que entra atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou + . Ao incrementar a variável básica que entra desde zero até um valor positivo 00, inicia-se um “processo em cadeia" que garante que as restrições de oferta e procura continuem satisfeitas. Este processo segue um percurso no quadro a partir da quadrícula da variável que entra, onde são identificadas quais são as quadrículas onde será preciso subtrair o valor 00, (com sinal -) e aquelas onde será preciso adiciona-lo (com sinal +).Tudo com o objectivo de as somas em cada linha e coluna permanecerem inalteradas.

2º. Seleccionar a variável que sai de acordo com o critério:

min {xij percurso relativo à variável que entra :: xxijij tem sinal -} = = 00

Em caso de empate a escolha é arbitrária.

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 4444 22

55

33

22

3322 11

7722

3300

-4-2

-3

1º1º. Seleccionar o percurso relativo à variável x31

atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou + .

1º1º. Seleccionar o percurso relativo à variável x31

atribuindo às quadrículas nele incluídas sinais de - ou + .

2º.2º. Seleccionar a variável que sai: 00 = = min ( 4, 5, 3 ) = 3

a variável xx333 sai

2º.2º. Seleccionar a variável que sai: 00 = = min ( 4, 5, 3 ) = 3

a variável xx333 sai

-

x31

+

- +

-

Determinar a variável que sai.Determinar a variável que sai.

mínimo

Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.

Passo 3: Critério de SaídaPasso 3: Critério de Saída

A nova SBA obtém-se adicionando e subtraindo às variáveis

que formam o ciclo o valor de 00, consoante estejam

afectadas com ou , respectivamente;

as restantes variáveis mantêm os seus valores inalterados.

- +

Obtenção da solução óptima. Obtenção da solução óptima. Passo 4: Obtenção de uma nova SBAPasso 4: Obtenção de uma nova SBA

11 22 44

44 33 44

33

22

00 22 11 22

44 22

55

33 77

33

-

x31

+

- +

-

11 22 44

44 33 44

33

22

00 22 11 22

11 55

22

00 77

66x13= 3

33

x11=4 -3 = 1

x12=2 + 3 = 5

x22=5 -3 = 2

x23=3 +3 = 6

x23=3 -3 = 0

X1 = ( 11 , 5, 0, 0, , 5, 0, 0, z1

= 36 0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 3, 0, 0, 7 )

X1 = ( 11 , 5, 0, 0, , 5, 0, 0, z1

= 36 0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 3, 0, 0, 7 )

Exemplo Protótipo.Obtenção da solução óptima. Exemplo Protótipo.Obtenção da solução óptima. Passo 4: Obtenção de uma nova SBAPasso 4: Obtenção de uma nova SBA

66

88

1010

44 77 6 6 77 2424

11 22 44

44 33 44

11 55

22

33

22

6600 22 11

7722

v1=1 v2=2 v3=1 v4=2

u3=-1

u2=1

u1=0

( 1 )( 1 ) u1+ v1=1 0 + v1=1

( 2 )( 2 ) u1+ v2=2 0 + v2=2

( 4 )( 4 ) u2+ v3=2 1 + v3=2

( 6 )( 6 ) u3+ v4=1 -1 + v4=1

( 3 )( 3 ) u2+ v2=3 u2+ 2 =3

( 5 )( 5 ) u3+ v1=0 u3+ 1=0

33


Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Iteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade.Iteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade.

66

88

1010

44 77 6 6 77

11 22 44

44 33 44

11 55

22

33

22

6622 11

7722

v1=1 v2=2 v3=1 v4=2

u3=-1

u2=1

u1=0

00

( 6 )( 6 ) u3+ v3 -2 =-1+ 1 -2= -2

( 3 )( 3 ) u2+ v1 -4 = 1+ 1 -4=-2

( 5 )( 5 ) u3+ v2-2 =-1+ 2 -2= -1

-2-2-2-2

-1-1-2-2

-1-1 - 2- 2

( 1 )( 1 ) u1+ v3 -3 = 0+ 1 -3=-2

( 2 )( 2 ) u1+ v4 -4 = 0+2 -4=-2

(4 )(4 ) u2+ v4 -4 = 1+ 2 -4=-1

33

2º.2º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas. 2º.2º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas.

Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Iteração 2, Passo 1: Critério de OptimalidadeIteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade

Esta solução é óptima, pois para todas as variáveis

não básicas u ui i ++ vvj j - - ccij ij 0 0

Esta solução é óptima, pois para todas as variáveis

não básicas u ui i ++ vvj j - - ccij ij 0 0

66

88

1010

44 77 6 6 77

11 22 44

44 33 44

11 55

22

33

22

6622 11

7722

v1=1 v2=2 v3=1 v4=2

u3=-1

u2=1

u1=0

00

-2-2-2-2

-1-1-2-2

-1-1 - 2- 233

Solução óptima: X1 =(11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7); zz11

= 36= 36Solução óptima: X1 =(11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7); zz11

= 36= 36

3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ? ? 3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ? ?

Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução óptima.Iteração 2, Passo 1: Critério de OptimalidadeIteração 2, Passo 1: Critério de Optimalidade

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Profa. Marli