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Classes Laterais
Prof. Marcio [email protected]
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Estruturas Algebricas II - 2014.2
23 de marco de 2015
1 / 16
Classes Laterais
Teorema (Classe Lateral a esquerda)
Seja H um subgrupo de G e considere a relacao ∼E definida em Gpor
a ∼E b ⇐⇒ a−1b ∈ H
Tal relacao, e uma Relacao de Equivalencia em G .
2 / 16
Prova do Teorema
Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .
Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.
Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .
Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a
Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.
Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .
�
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Prova do Teorema
Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .
Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.
Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .
Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a
Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.
Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .
�
3 / 16
Prova do Teorema
Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .
Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.
Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .
Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a
Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.
Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .
�
3 / 16
Prova do Teorema
Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .
Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.
Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .
Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a
Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.
Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .
�
3 / 16
Prova do Teorema
Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .
Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.
Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .
Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a
Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.
Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .
�
3 / 16
Prova do Teorema
Devemos verificar a Reflexividade, Simetria e Transitividade darelacao ∼E .
Seja a ∈ G . Entao a−1a = e ∈ H, isto e, a ∼E a.
Sejam a, b ∈ G tais que a ∼E b. Entao a−1b ∈ H, sendoH ≤ G .
Daı, (a−1b)−1 tambem esta em H, ou seja b−1a ∈ H eportanto b ∼E a
Sejam a, b, c ∈ G tais que a ∼E b e b ∼E c . Entaoa−1b, b−1c ∈ H.
Sendo H um subgrupo, temos que (a−1b)(b−1c) ∈ H, isto e,a−1c ∈ H e a ∼E c .
�
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Classes de Equivalencia geradas por ∼E
Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?
a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼E
Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?
a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼E
Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?
a = {x ∈ G ; x ∼E a}
a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.
4 / 16
Classes de Equivalencia geradas por ∼E
Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?
a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}
a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼E
Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?
a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}
a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.
4 / 16
Classes de Equivalencia geradas por ∼E
Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?
a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}
Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.
4 / 16
Classes de Equivalencia geradas por ∼E
Se ∼E e uma Relacao de Equivalencia em G , entao ∼E particionao grupo G . Vejamos as classes!
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam coma?
a = {x ∈ G ; x ∼E a}a = {x ∈ G ; a−1x ∈ H}a = {x ∈ G ; a−1x = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ah,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por aH e a chamaremos ClasseLateral a Esquerda de H contendo a.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼E
Exemplo
Considere o grupo aditivo dos numeros reais e o subgrupo
H = {2k ; k ∈ Z}. Determine a classe lateral aH sendo a =1
3.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼E
Exemplo
Considere o grupo aditivo Z8 e o subgrupo H =⟨2⟩. Exiba as
classes laterais a esquerda de H.
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Classes Laterais
Teorema (Classe Lateral a direita)
Seja H um subgrupo de G e considere a relacao ∼D definida em Gpor
a ∼D b ⇐⇒ ab−1 ∈ H
Tal relacao, e uma Relacao de Equivalencia em G .
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Classes de Equivalencia geradas por ∼D
Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?
a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼D
Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?
a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.
8 / 16
Classes de Equivalencia geradas por ∼D
Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?
a = {x ∈ G ; x ∼D a}
a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.
8 / 16
Classes de Equivalencia geradas por ∼D
Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?
a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}
a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼D
Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?
a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}
a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼D
Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?
a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}
Denotaremos esta classe por Ha.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼D
Analogamente a relacao ∼E , a relacao ∼D particiona o grupo G .Sao as Classes Laterais a direita de H contendo a.
Dado a ∈ G , quem sao os elementos que se relacionam com apela relacao ∼D?
a = {x ∈ G ; x ∼D a}a = {x ∈ G ; xa−1 ∈ H}a = {x ∈ G ; xa−1 = h, para algum h ∈ H}a = {x ∈ G ; x = ha,para algum h ∈ H}Denotaremos esta classe por Ha.
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Classes de Equivalencia geradas por ∼D
Exemplo
Exiba as classes laterais a direita do subgrupo 3Z de Z.
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Classes de Equivalencia
Exemplo
Considere o grupo S3, das bijecoes de f : {1, 2, 3} −→ {1, 2, 3}.Verifiquemos as classes laterais a direita e a esquerda
Como ja sabemos, S3 = {f0, f1, f2, f3, f4, f5} e um grupo, onde
f0 =
(1 2 31 2 3
), f1 =
(1 2 31 3 2
), f2 =
(1 2 32 1 3
)
f3 =
(1 2 32 3 1
), f4 =
(1 2 33 1 2
), f5 =
(1 2 33 2 1
)Encontremos o subgrupo de S3 gerado por f1.
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Classes de Equivalencia
Exemplo
Considere o grupo S3, das bijecoes de f : {1, 2, 3} −→ {1, 2, 3}.Verifiquemos as classes laterais a direita e a esquerda
Como ja sabemos, S3 = {f0, f1, f2, f3, f4, f5} e um grupo, onde
f0 =
(1 2 31 2 3
), f1 =
(1 2 31 3 2
), f2 =
(1 2 32 1 3
)
f3 =
(1 2 32 3 1
), f4 =
(1 2 33 1 2
), f5 =
(1 2 33 2 1
)
Encontremos o subgrupo de S3 gerado por f1.
10 / 16
Classes de Equivalencia
Exemplo
Considere o grupo S3, das bijecoes de f : {1, 2, 3} −→ {1, 2, 3}.Verifiquemos as classes laterais a direita e a esquerda
Como ja sabemos, S3 = {f0, f1, f2, f3, f4, f5} e um grupo, onde
f0 =
(1 2 31 2 3
), f1 =
(1 2 31 3 2
), f2 =
(1 2 32 1 3
)
f3 =
(1 2 32 3 1
), f4 =
(1 2 33 1 2
), f5 =
(1 2 33 2 1
)Encontremos o subgrupo de S3 gerado por f1.
10 / 16
Classes de Equivalencia
f1 =
(1 2 31 3 2
)
f1 ◦ f1 =
(1 2 31 3 2
)◦(
1 2 31 3 2
)=
(1 2 31 2 3
)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.
Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.
aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!
11 / 16
Classes de Equivalencia
f1 =
(1 2 31 3 2
)
f1 ◦ f1 =
(1 2 31 3 2
)◦(
1 2 31 3 2
)=
(1 2 31 2 3
)
Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.
Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.
aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!
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Classes de Equivalencia
f1 =
(1 2 31 3 2
)
f1 ◦ f1 =
(1 2 31 3 2
)◦(
1 2 31 3 2
)=
(1 2 31 2 3
)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.
Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.
aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!
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Classes de Equivalencia
f1 =
(1 2 31 3 2
)
f1 ◦ f1 =
(1 2 31 3 2
)◦(
1 2 31 3 2
)=
(1 2 31 2 3
)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.
Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.
aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!
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Classes de Equivalencia
f1 =
(1 2 31 3 2
)
f1 ◦ f1 =
(1 2 31 3 2
)◦(
1 2 31 3 2
)=
(1 2 31 2 3
)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.
Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.
aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}
Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!
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Classes de Equivalencia
f1 =
(1 2 31 3 2
)
f1 ◦ f1 =
(1 2 31 3 2
)◦(
1 2 31 3 2
)=
(1 2 31 2 3
)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.
Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.
aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}
Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!
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Classes de Equivalencia
f1 =
(1 2 31 3 2
)
f1 ◦ f1 =
(1 2 31 3 2
)◦(
1 2 31 3 2
)=
(1 2 31 2 3
)Portanto, H = 〈f1〉 = {f0, f1} e um subgrupo de G = S3.
Vamos determinar aH e Ha onde a = f2.
aH = {ah ; h ∈ H} = {f2 ◦ e, f2 ◦ f1} = {f2, f3}Ha = {ha ; h ∈ H} = {e ◦ f2, f1 ◦ f2} = {f2, f4}Conclusao: nem sempre ocorre aH = Ha!
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Igualdade entre as classes laterais
Teorema
Quando G e um grupo abeliano, entao aH = Ha para qualquersubgrupo H de G. Neste caso, falaremos apenas em ClassesLaterais de H contendo a.
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Exemplos
Pelo que ja vimos anteriormente:
G = (R,+) e H = 2Z: sendo G abeliano, 13 H = H 1
3 .
G = (Z8,+) e H =⟨2⟩: aH = Ha para todo a ∈ Z8.
G = (Z,+) e H = 3Z: aH = Ha para todo a ∈ Z.
13 / 16
Exemplos
Pelo que ja vimos anteriormente:
G = (R,+) e H = 2Z: sendo G abeliano, 13 H = H 1
3 .
G = (Z8,+) e H =⟨2⟩: aH = Ha para todo a ∈ Z8.
G = (Z,+) e H = 3Z: aH = Ha para todo a ∈ Z.
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Exemplos
Pelo que ja vimos anteriormente:
G = (R,+) e H = 2Z: sendo G abeliano, 13 H = H 1
3 .
G = (Z8,+) e H =⟨2⟩: aH = Ha para todo a ∈ Z8.
G = (Z,+) e H = 3Z: aH = Ha para todo a ∈ Z.
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Exemplos
Pelo que ja vimos anteriormente:
G = (R,+) e H = 2Z: sendo G abeliano, 13 H = H 1
3 .
G = (Z8,+) e H =⟨2⟩: aH = Ha para todo a ∈ Z8.
G = (Z,+) e H = 3Z: aH = Ha para todo a ∈ Z.
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Exemplo
Exemplo
Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}
Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6
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Exemplo
Exemplo
Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}
Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.
Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6
14 / 16
Exemplo
Exemplo
Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}
Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.
Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6
14 / 16
Exemplo
Exemplo
Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}
Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.
(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6
14 / 16
Exemplo
Exemplo
Encontre a particao de (Z6,+) em classes laterais do subgrupoH = {0, 3}
Para a = 0: aH = 0 + H = {0, 3}.Para a = 1: aH = 1 + H = {1, 4}.Para a = 2: aH = 2 + H = {2, 5}.(0 + H) ∪ (1 + H) ∪ (2 + H) = Z6
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Teorema de Lagrange
Teorema (Lagrange)
Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .
Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;
Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);
Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.
Conclusao: k |n.
�
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Teorema de Lagrange
Teorema (Lagrange)
Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .
Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;
Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);
Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.
Conclusao: k |n.
�
15 / 16
Teorema de Lagrange
Teorema (Lagrange)
Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .
Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;
Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);
Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.
Conclusao: k |n.
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15 / 16
Teorema de Lagrange
Teorema (Lagrange)
Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .
Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;
Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);
Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.
Conclusao: k |n.
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Teorema de Lagrange
Teorema (Lagrange)
Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Entao, a ordem de He um divisor da ordem de G .
Sendo G finito, segue que aH ou Ha tem o mesmo numero deelementos de H, digamos, k;
Como vimos, G = a1H ∪ a2H ∪ ... ∪ arH (uniao disjunta);
Portanto, se n e a ordem de G , entao n = r .k.
Conclusao: k |n.
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