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PROF: JAIME QUISPE CASASI.E.P.Nº 2874 Ex 451
2013
CIRCUNFERENCIA
TEORÍA
PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado CENTRO
CÍRCULO.- Es el conjunto formado por la unión de la circunferencia y su región interior.
ELEMETOS DE LA CIRCUNFERENCIA
1.- CENTRO.- Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia
Centro
2.- RADIO.- Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia y se representa por R o r
O
R
A
OA : RADIO
3.- DIÁMETRO.- Es el segmento que une los dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio
A BR R
O
AB = 2R
AB : DIÁMETRO
4.- TANGENTE.- Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto de tangencia
T
Punto de tangencia
L
5.- SECANTE.- Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos
P
QL
6.- CUERDA.- Segmento que une dos puntos de la circunferencia. La máxima cuerda es la circunferencia.
P
Q
PQ: CUERDA
7.- ARCO.- Es una porción de la circunferencia comprendido entre dos puntos.
A
B
ARCO:=ABARCO:=AB
8.- FLECHA o SAGITA.- Segmento perpendicular a una cuerda en su punto medio.
N
M
P
Q
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
M
N
Rectatangente
Rectasecante
Flecha o sagita
DiámetroAB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.- El radio es perpendicular a la recta tangente.
R L
LR LR
02.- Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.
A B
C D
CD // AB :Si CD // AB :Si
mBDmAC mBDmAC
03.- Un radio perpendicular a una cuerda, divide la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes
P
Q
MN
R
MQ PM PQ NO MQ PM PQ NO
NQ PN NQ PN O
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
mCD mAB CD AB :Si mCD mAB CD AB :Si
O
05.- Por un punto exterior a una circunferencia sólo se pueden trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes.
OA
B
C
Si “o” es centro entonces AO es bisectriz del BAC
06.- Las cuerdas equidistantes del centro son congruentes.
O
B
A
C
D
d1d2
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.
a + c = b + d a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
r
R
La distancia entre los centros es cero La distancia entre los centros es cero
1.- Dos circunferencias se dicen concéntricas cuando poseen un centro común y sus radios son diferentes, siendo interior la de radio menor; y exterior la que posee el radio mayor.
Rr
Distancia entrelos centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + rd > R + r
R r
d = R + r d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.
r
R
R r
Punto de tangencia
Distancia entrelos centros (d)
d
R
d = R - rd = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.
R r
( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entrelos centros (d)
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2
Distancia entrelos centros (d)
rR
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PBAP = PB
A
B
P
R
R
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AB = CDAB = CD
A
B
C
D
R
Rr
r
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CDAB = CD
A
B
C
DR
R
r
r