MEETKUNDE

leerweg 5

3

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

m.m.v. Björn Carreyn

CaRTooNs

Dave Vanroye

Proe

fexe

mpla

ar

1Definities vind je op een rode achtergrond, methodes staan in een oranje kader.

2Eigenschappen vind je op een groene achtergrond.

3Geschiedenis van de wiskunde en herkomst van begrippen.

4We stimuleren het gebruik van wiskundesoftware zoals GeoGebra.

5Aan het einde van elke paragraaf vind je een samenvatting.

TE ONTHOUDEN

pictogrammen

BETEKENIS

GESCHIEDENIS

REKENMACHINE

ICT

109

hoofdstuk 3 • driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

6 ) Samenvatting

• Je kent de betekenis van sinus, cosinus en tangens (de goniometrische waarden) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek.

sin BV= |AC|

|BC| =

b

a = overstaande rechthoekszijde

schuine zijde

cos BV= |AB|

|BC| =

c

a = aanliggende rechthoekszijde

schuine zijde

tan BV= |AC|

|AB| =

b

c = overstaande rechthoekszijde

aanliggende rechthoekszijde AB

C

a b

c

• Je kent het verband tussen sinus, cosinus en tangens van een hoek.

tan BV= sin BVcos BV

• Je kunt deze goniometrische waarden van een hoek met je rekenmachine berekenen en je kunt

de hoek terugzoeken als een goniometrische waarde gegeven is.

• Je kunt de ontbrekende gegevens van een rechthoekige driehoek berekenen als de volgende

informatie gegeven is:

- schuine zijde en scherpe hoek of

- rechthoekszijde en scherpe hoek of

- schuine zijde en rechthoekszijde of

- twee rechthoekszijden.

• Je kent de grondformule van de goniometrie.

A

C

B sin2 BV + cos2 BV = 1 en sin2 CU + cos2 CU = 1

39

hoofdstuk 1 • thales en gelijkvormigheden

5 ) Gelijkvormige driehoeken

in woorden:

twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als hun overeenkomstige hoeken even groot zijn en hun

overeekomstige zijden dezelfde verhouding hebben.

in symbolen:

Δ ABC a Δ A'B'C' F

en

|A'B'|

|AB| =

|A'C'|

|AC| =

|B'C'|

|BC| = k

gelijkvormige driehoeken

Voorbeeld:

In deze voorstelling zijn de zijden [AB] en [A'B'] overeenkomstige

zijden, net als [BC] en [B'C'] en ook [AC] en [A'C'].

We noemen AU en A’W , BV en B’W , CU en C’W overeenkomstige hoeken.

Δ ABC a Δ A'B'C'

We zeggen ook dat Δ A'B'C' en Δ ABC schaalmodellen zijn van elkaar.

opmerkingen:

- de constante verhouding tussen de overeenkomstige zijden noemen we de gelijkvormigheidsfactor

of kortweg factor.

- uit de definitie volgt dat congruente driehoeken ook gelijkvormige driehoeken zijn.

de verhouding van de overeenkomstige zijden is dan 1.

Praktische afspraak:

om de overeenkomstige zijden van gelijkvormige driehoeken gemakkelijk terug te vinden, spreken we af om de drie-

hoeken zodanig te noteren dat de hoekpunten van de overeenkomstige hoeken in dezelfde volgorde staan.

D

E

F

A

B

C

In symbolen:

Δ ABC a Δ dEf

*

B

AU = dV

BV = EUCU = fU|AB|

|dE| =

|BC|

|Ef| =

|AC|

|df|

1

5

22

Opmerkingen:

�

a

b

A

B

C

D

B’ A’ D’ C’

1� Je�kunt�de�stelling�van�Thales�

� ook�als�volgt�formuleren:

�

�

|AB||A'B'|�

=�

|CD||C'D'|

� Bij�een�evenredigheid�mag�je����

� inderdaad�de�middelste�termen�

� van�plaats�verwisselen.

�

a

b

X

YP

Q

X’ Y’ P’ Q’

2� In�de�stelling�van�Thales�spreekt�men�

� van�‘de�verhouding�van�evenwijdige�lijnstukken’.�

� Volgende�tekening�maakt�duidelijk�waarom�dit�

� niet�opgaat�bij�niet-evenwijdige�lijnstukken.

� |XY||PQ|

�≠�|X'Y'||P'Q'|

�want

� |XY||PQ|

� =�1�omdat�|XY|�=�|PQ|

�en� |X'Y'|

|P'Q'|� ≠�1�omdat�|X'Y'|�≠�|P'Q'|

Thales van Milete (Turkije�ca.�624�v.Chr.�-ca.�545�v.Chr.)�Thales van Milete leefde van (ca.) 624 tot

D

C

A

B

DC = A

B(ca.) 547 v.Chr. aan de kust van Klein-Azië, dat nu

Turkije heet. Omdat hij handelaar in oliën was, reisde

hij veel en maakte kennis met veel niet-Europese

beschavingen.

Pas op oudere leeftijd startte hij met de studie van

wetenschappen en filosofie. Hij zorgde voor een

nieuwe manier van denken en trachtte de wiskunde te verklaren.

Er wordt gezegd dat hij in staat was een zonsverduistering te voorspellen, waarschijnlijk deze van 585 v.Chr. Uniek is zijn

uitspraak: “Alles is water”. Thales meende immers dat de oerstof water was, omdat water het

duidelijkst faseveranderingen ondergaat. Als ijs smelt krijg je water, als dat verdampt krijg je

stoom. De Grieken geloofden ook dat als je stoom ‘verder verdunt’, je lucht krijgt.

Overstaande hoeken die even groot zijn, gelijkbenige driehoeken die even grote basishoeken

hebben, een diameter die de cirkel in twee gelijke delen verdeelt, het congruentiekenmerk HZH:

het zijn allemaal voorbeelden van eigenschappen die aan Thales toegeschreven worden. Alleen

over de ‘stelling van Thales’ zijn er twijfels. Geschiedkundigen hebben geen zekerheid of die

stelling daadwerkelijk van Thales afkomstig is.

Maar handig is die stelling wel. Hij berekende zo de hoogte van de piramide van Cheops en je kan

er ook de afstand tussen twee schepen mee vinden.

3

42

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.

kenmerk 3: (ZZ

ZZ

ZZ)

Algemeen:

Als: |A'B'|

|AB| =

|B'C'|

|BC| =

|A'C'|

|AC|

Dan: A’W = AU , B’W = BV en C’W = CU

A

B

C

A’

B’

C’

Besluit:|A'B'|

|AB| =

|B'C'|

|BC| =

|A'C'|

|AC|

L ∆ ABC a ∆ A’B’C’

�

4

72

2 ) De beroemd(st)e stelling

B

A C

ca

b

stelling van Pythagoras

in woorden:

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de

schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de

rechthoekszijden.

in symbolen:

Δ ABC is rechthoekig in A ⇒ |BC|2 = |AC|

2 + |AB|

2

of: a2 = b2 + c2

We bewijzen deze stelling:

Gegeven: Δ ABC rechthoekig in A

Tebewijzen: |BC|2 = |AC|

2 + |AB|

2

Bewijs: Uit de eerste projectievoorstelling volgt:

|AB|2 = |BC| · |BD|

|AC|2 = |BC| · |DC| +

|AB|2 + |AC|

2 = |BC| · |BD| + |BC| · |DC|

= |BC| · (|BD| + |DC|) = |BC| · |BC| D C [BC]

= |BC|2

A

BC DOpmerking:

Uit de formule a2 = b2 + c2 ( met AU = 90° in Δ ABC) kunnen we afleiden: a = √ b 2 + c 2

b = √ a 2 - c 2

c = √ a 2 - b 2

Voorbeeld 1:

Gegeven: Δ ABC met AU= 90°

|AC| = 6 cm en |AB| = 8 cm

Gevraagd: |BC|

Oplossing: |BC|2 = |AC|

2 + |AB|

2 wordt:

|BC|2

= 62 + 8

2

B

|BC|2 = 36 + 64

B

|BC|2 = 100

B

|BC| = 10

Antwoord: De lengte van [BC] is 10 cm.

Voorbeeld 2:

Gegeven: Δ ABC met AU= 90°, |BC| = 18 cm en |AC| = 6 cm

Gevraagd: |AB|

Oplossing: |BC|2 = |AC|2 + |AB|

2 wordt:

182

= 62 + |AB|

2

B

|AB|2 = 18

2 – 6

2

B

|AB|2 = 324 – 36

B

|AB|2 = 288

B

|AB| = 288= 12 2

Antwoord: De lengte van [AB] is 12 2 cm.

2

Proe

fexe

mpla

ar

VOORWOORD6

Bij sommige oefeningen vind je een of

twee sterretjes. Dit duidt de moeilijkheidsgraad aan.

7Achteraan het boek vind je

een trefwoordenregister en de oplossingen van de

oefeningen.

8Elk hoofdstuk eindigt met

een vaardigheid.

9Hier wordt uitgelegd hoe

een grafische rekenmachine je kan

helpen.

ISBN: 978 90 4861 079 2

Kon. Bib.: D/2011/0147/345

Bestelnr.: 94 505 0053

NUR: 126

Lay-out en opmaak: die Keure

Druk: die Keure

Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.No part of this book may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the publisher.

Foto’s: shutterstock, fotostock die Keure.

Copyright by die Keure Brugge

Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge - België - H.R. Brugge 12.225

Druk: 2011

Je herinnert je misschien nog de constructie van een Pythagorasboom. Zo’n boom krijg je door, vertrekkend van een vierkant, een gelijkbenige rechthoekige driehoek te construeren met als schuine zijde de zijde van het vierkant. Vervolgens construeer je een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. Op de zijde van het vierkant teken je opnieuw een gelijkbenige, rechthoekige driehoek, en zo ga je nog een tijdje door.

De figuur die je krijgt is eigenlijk een fractaal. Dat is een meetkundige figuur waarin eenzelfde motief zich op een kleinere schaal steeds herhaalt. In gedachten kun je dat proces dan oneindig vaak voortzetten. Elk klein takje kan immers weer opgevat worden als een stammetje dat een complete boom draagt.

x x

a

xa

√ 2

a

x

a

√ 2

a2

a

a

2√ 2

a

√ 2

a

a2

x

Laten we vertrekken van een vierkant met zijde a.De gelijkbenige driehoek die hierop gebouwd wordt, heeft als schuine zijde a.De rechthoekszijde x kunnen we als volgt krijgen:

x2 + x2 = a2

B

2x2 = a2

B

x2 = a2

2 B

x = 2

2a =

2a

Als we onze boom wat laten groeien…We berekenen de nieuwe rechthoekszijde x.

x2 + x2 = 2a

2d n

B

2x2 = a2

2 B

x2 = a2

4 B

x = a2

Er komt opnieuw een takje bij.

x2 + x2 = 2a

2a k B

2x2 = a2

4 B

x2 = a2

8 B x =

2a

2d n

En nog eentje.

x2 + x2 = 2a

2 2d n

B

2x2 = a2

8 B x2 = a2

16 B

x = a4

constructie van een Pythagorasboom

Constructie van een Pythagorasboom

En nog eentje, en nog eentje …Indien we de lengte van de zijden van de vierkanten (of rechthoekszijden) op een rijtje zetten …

aa2

a2 2

a4

a4 2

a8 …

a a2

1$ a2 2

1$ a2 2

12 $ a

4 21$ a

4 2 21$ …

8

99

hoofdstuk 3 • driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

3 ) Goniometrische getallen en de GRM

berekening van de goniometrische waarden

berekening van een hoek als een goniometrische waarde gegeven is

ti-30x voorbeeld: cos 34° 45' 32" = ?tik in: cos 3 4 2nd prb 1 4

5 2nd prb 2 3 2 2ndprb 3 ) enter

voorbeeld: sin aU = 0,92627 P aU = ?tik in: 2nd sin 0 . 9 2 6

2 7 ) enter 2nd prb6 enter

ti-84 voorbeeld: sin 34° 45' 32" = ?Zorg ervoor dat de instelling ModE op dEGREE (of graden) staat!tik in:sin ( 34 anGlE 1:° 45 anGlE 2:’ 32 alpha ” )

voorbeeld: tan aU = 2,45781 P aU = ?tik in: tan -1 ( 2.45781 )

de uitkomst staat in het tiendelig stelsel. om deze hoek in het zestigdelig stelsel op te zetten tik je in:anGlE 4 : GMs

ti-nspire voorbeeld: tan 34° 45' 32" = ? voorbeeld: cos aU = 0,37687 P aU = ?

9

56

15 DelegendevanThales.

EenlegendeverteltdatdeGrieksefilosoofenwiskundigeThalesuitgedaagdwerdomdehoogtevaneenpira-

mideteberekenen.Hijnamdeuitdagingaanenwerktealsvolgt.

Opdelijndiehetmiddenvanéénvandezijdenmetdeschaduwvandetop(A)vandepiramideverbindt,

plaatstehijeenpaaltje[DE]zodatdeschaduwvandetopvanditpaaltjepreciessamenvielmetdeschaduw

vandetopvandepiramide.Hijmatdeafstanden|KL|,|AM|,|AD|,|DE|enberekendedehoogte|BC|.

a Tekendetweegelijkvormige

driehoekenwaarmeeThales

gewerktheeft.

K M

L

C

E

DA

b Berekendehoogtevande

piramidealsjeweetdat

|KL|=114m

|AM|=96m

|AD|=3m

en|DE|=2m.

16 GegeveniseenparallellogramABCDwaarbij|AB|=4cmen|AD|=3cm.DeafstandtussenABenCDbedraagt

2cm.Berekendeafstandtussendezijden[AD]en[BC].

17 InD ABCisPQ//BCenP∈[AB];Q∈[AC].

Bereken|PQ|en|BC|als|AP|=6cm;|PB|=3cmen|PQ|+|BC|=15cm.

18 Oppervlakte-eninhoudsproblemen.

a Eenfotoheefteenlengtevan12cmeneenbreedtevan8cm.Alswedezefotoophetcomputerscherm

inzoomentot120%,watwordtdandeomtrekendeoppervlakte?Enalsweuitzoomentot40%?

b Eenruitmetzijde6cmheefteenoppervlaktevan18cm².Dezeruitisgelijkvormigmeteenruitmetzijde4

cm.Bepaaldeoppervlaktevandezeruit.

8cm 16cm

6cm

c Eenparallellogrammetzijden6cmen4cmheefteen

oppervlaktevan18cm²enisgelijkvormig

meteenparallellogrammeteenoppervlaktevan8cm².

Berekendezijdenvanditparallellogram.

d BerekenVkleinstekegel

Vgrootstekegel

enhetvolumevandekleinstekegel.

T

B

F G

E H

C

DA

P

★★e VanderegelmatigepiramideTABCDisgegeven:

IABI=6cmenITPI=15cm.

DepiramidewordtgesnedendoorhetvlakEFGHdatdoordemiddens

vandeopstaandezijdengaatenevenwijdiglooptmethetgrondvlak.

Berekendeinhoudvanbeidedelen.

19 ABCDaA'B'C'Dendegelijkvormigheidsfactoris4.

a AlsdeomtrekvanABCDgelijkisaan20cm,watisdandeomtrekvanA'B'C'D'?

b AlsdeoppervlaktevanABCDgelijkisaan60cm2,watisdandeoppervlaktevanA'B'C'D'?

★★

★

★

6

116

Oplossingen=

1.1Evenwijdigeprojectie(blz. 16)

2 A – B – [BA] – [BA] - {A} – [DC]

4 C – B – A – A – pab – pc

a – pbc – pa

c of pca

13 a A d mi[AB]

b [DG] e [EB]

c mi[DG] f D ADB

g D HGF

14 A(–4, 25); B(0, 3); C(3, 1);

D(23, –3), E(–2

5, –25), F(0, –2

3)

15 |AB| = 7; |CD| = 5; |EF| = 6; |GH| = 10; |IJ| = 4

16 a 6

b 1

c 2

d 45

17 a (0,8) b 33 m

1.2StellingvanThales(blz. 28)

3 3 4 7 2 38

314

524 6 5

54 4 5 9

2– 3 3 2 210 3–

235 5

4 5 9 3 415

427

340 8 3

64 10 6 16

2– 3 3 2 6 2– 6 26 6

4 5, 6

5 a x = 9 en y = 2,5

b x = 10 en y = 6,4

c x = 6

6 x = 12; y = 2,25

7 a x =3 b x = 3 c x = 310 en y = 3

5

8 x = 2,4; y = 310

12 13,5 en 22,5

13 2,4 cm en 9,6 cm

14 a PD AED = 24 P

D EBF = 48

AD AED = 24 A

D EBF = 96

17 1,75 m en 0,875 m

18 c 1,73 m en 1,77 m

19 9 m

21 |FG| = 4

|DE| = 8

22 |DS| = 10 |AS| = 1,45 |BF| = 1,2

23 x = 20, y = 4, z = 8

24 a // b //\ c //

25 12 en 9

26 c x = 38; y = 2,5

27 c

1.3Gelijkvormigheden(blz. 52)

2 gelijkvormig: b - c - d - e - h

4 c, d

5 a 6, 9

b 6,9 en 5,53

7

Proe

fexe

mpla

ar

Beeld je even in wat de wereld zou zijn zonder meetkunde!Ingenieurs zouden niet kunnen berekenen hoeveel deze betonnen constructie kan dragen.De bouwheer zou maar gokken voor het nodige hout bij het piramidevormige dak en hij zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen nodig zijn voor de balustrade.

En jij, op je skilatten, zou niet weten hoelang je op de schans blijft en onder welke hoek je ‘gelan-ceerd’ wordt.

In dit boek ‘glijden’ we op een realistische manier doorheen de gelijkvormigheden en maken we kennis met de twee bekendste stellingen uit de wiskunde.

Proe

fexe

mpla

ar

InhOuD

1 Thalesengelijkvormigheden

1.1 Evenwijdige projectie > 8 1.2 stelling van Thales > 20 1.3 Gelijkvormigheden > 34 1.4 Isometrieën > 58 1.5 Homothetieën > 67 1.6 De samenhang tussen transformaties en de coördinaten van een punt en zijn beeld > 79

Vaardigheden: Kies een oplossingsmethode > 85

2 StellingvanPythagoras

2.1 Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek > 88 2.2 stelling van Pythagoras > 91 Vaardigheden: Constructie van een Pythagorasboom > 114

3 Driehoeksmetingineenrechthoekigedriehoek

3.1 Goniometrische waarden van een hoek > 118 3.2 Formules uit de goniometrie > 123 3.3 Veelhoeken van het vlak > 135

Vaardigheden: Toepassingen in de ruimte > 144

4 Vectoren

4.1 Vectoren > 148 4.2 Coördinaat van een vector > 164 4.3 Vergelijkingen van een rechte > 170

Vaardigheden: Bollen stapelen > 174

Oplossingen > 176

Trefwoordenregister > 182

Proe

fexe

mpla

ar

De ultieme filmervaring vind je niet in een ge-wone bioscoop, maar wel in een IMaX theater. Dit theater heeft een gigantisch scherm en je kunt er ook naar 3D-films gaan kijken. sommige IMaX zalen zijn (half) bolvormig. Helaas moet je voor IMaX naar onze buurlanden. De lichtsterkte van de projectorlamp is zo groot,

dat je de lamp vanuit het Iss (internationaal ruimtestation) zou kunnen zien. Door de hitte die de lamp veroorzaakt, moet ze continu met water gekoeld worden. De sterkte is 15 000 watt en per seconde stuurt de projector 48 beeldjes naar het grote scherm.

Proe

fexe

mpla

ar

1.1 Evenwijdigeprojectie 1 Inleiding > 8 2 Beeld van een punt > 9 3 Beeld van een lijnstuk > 10 4 Beeld van een rechte > 11 5 Beeld van een vlakke figuur > 12 6 Loodrechte projectie > 12 7 Lengte van een lijnstuk evenwijdig aan de x-as of de y-as > 13 8 Loodrechte projectie op een vlak > 14 9 samenvatting > 15 10 oefeningen > 16

1.2 StellingvanThales 1 Hulpstelling > 20 2 De stelling van Thales > 20 3 De stelling Thales in een driehoek > 22 4 De omgekeerde stelling van Thales > 23 5 Toepassingen op de stelling van Thales > 25 6 samenvatting > 27 7 oefeningen > 28

1.3 Gelijkvormigheden 1 Gelijkvormige figuren > 34 2 Lengte berekenen in gelijkvormige vlakke figuren > 35 3 Gelijkvormige ruimtefiguren > 36 4 omtrek, oppervlakte en inhoud van gelijkvormige figuren > 37 5 Gelijkvormige driehoeken > 38 6 Gelijkvormigheidskenmerken driehoeken: hulpstelling > 39 7 Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken > 40 8 Gelijkvormige figuren bepaald door snijvlakken in een driedimensionale figuur > 43 9 Toepassingen van gelijkvormigheden > 44 10 Middenparallel van een driehoek > 46 11 Eigenschap van het zwaartepunt van een driehoek > 48

12 Eigenschap van de deellijn in een driehoek > 49 13 Gelijkvormigheid en congruentie > 50 14 samenvatting > 51 15 oefeningen > 52

1.4 Isometrieën 1 Begrippen > 58 2 Eigenschappen van isometrieën > 60 3 samenstelling van isometrieën > 61 4 samenvatting > 63 5 oefeningen > 64

1.5 homothetieën 1 Definitie > 67 2 Homothetie en de stelling van Thales > 68 3 Vergroten en verkleinen van een figuur > 68 4 Eigenschappen van homothetieën > 69 5 Toepassingen bij homothetieën > 72 6 Congruente driehoeken en transformaties > 73 7 Gelijkvormige driehoeken en transformaties > 74 8 samenvatting > 75 9 oefeningen > 76

1.6 Desamenhangtussentransformatiesencoördinatenvaneenpuntenzijnbeeld

1 samenhang tussen spiegelingen en coördinaten van punten > 79 2 samenhang tussen verschuivingen en coördinaten van punten > 81 3 samenhang tussen puntspiegeling so en coördinaten van punten > 82 4 samenvatting > 82 5 oefeningen > 83

Vaardigheden Kies een oplossingsmethode > 85

1Thalesen gelijkvormigheden

Proe

fexe

mpla

ar

1.1

8

Evenwijdigeprojectie

1 )Inleiding

Je maakte reeds kennis met een aantal transformaties van het vlak. Bij een spiegeling, verschuiving, draaiing en

puntspiegeling heeft elk element juist één beeld. Het zijn transformaties van het vlak die bovendien de grootte van

een hoek, de lengte, de oppervlakte en de vorm van een figuur behouden.

Deze drie voorbeelden

illustreren hoe je van

een voorwerp een

beeld kunt maken.

De voorwerpen worden geprojecteerd. Telkens heb je een aantal elementen nodig:

een voorwerp dat geprojecteerd wordt,

de richting volgens welke je projecteert en

het vlak waarop je projecteert.

ook in de vlakke meetkunde kunnen we punten, rechten en vlakke figuren projecteren.Proe

fexe

mpla

ar

9

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

2 )Beeldvaneenpunt

a

X

bWe beschouwen in het vlak twee

snijdende rechten a en b en

een punt X.

We zoeken het beeld X’ van X door

X te projecteren op a volgens b.

Ga als volgt te werk:

- Teken door X de rechte b’ die evenwijdig

is met b.

a

b b’

X

X’

- Zoek het snijpunt van b’ met a en noem dit

snijpunt X’.

We noemen a de projectieas en b de projectierichting.

Notatie:

pba (X) = X'

a

b

C

A

E=E’ C’B=B’A’

F’

F

D

D’

Lees:

Het beeld van X door de evenwijdige projectie op a volgens b is X'.

Nog meer voorbeelden:

pba (B) = B' = B

pba (C) = C'

pba (D) = D'

pba (E) = E' = E

X ∈ a lees: X is een element van de

rechte a betekenis: X ligt op de rechte a

X ∉ a lees: X is geen element van de

rechte a betekenis: X ligt niet op de rechte a

We stellen vast:

a snijdt b a snijdt b

X Ç a X C a

pba (X) = X' F XX' // b en X' C a pb

a (X) = X

opmerkingen:

- Elk punt X heeft steeds maar één beeld, want door X kun je maar één evenwijdige tekenen met b die a

noodzakelijk snijdt omdat a en b ook elkaar snijden. Daarom is een evenwijdige projectie een transformatie van

het vlak.

- schaduwvorming is een mooi voorbeeld van

evenwijdige projectie in de ruimte.

Proe

fexe

mpla

ar

10

3 )Beeldvaneenlijnstuk

Nu we punten kunnen projecteren, kunnen we ook lijnstukken en vlakke figuren

van het vlak p projecteren.

om het beeld te zoeken van een lijnstuk door evenwijdige projectie, volstaat het

om de uiterste punten van het lijnstuk te projecteren.

Bij de eerste drie voorbeelden is het beeld steeds een lijnstuk. Bij het laatste

voorbeeld is het beeld het singleton {E'}. Een singleton is een verzameling met

één element.

[CD] // a en [EF] // b

a

b

G

H

A

B

E

F

G’ H’ A’ B’ C’ D’ E’=F’

C D

pba ([GH]) = [G'H'] pb

a ([aB]) = [a'B'] pba ([CD]) = [C'D'] pb

a ([EF]) = {E'}

Onderzoeksopdracht 1:

onderzoek met GeoGebra of de evenwijdige projectie de

lengte van een lijnstuk behoudt.

Stappenplan:

• Teken een rechte a, de projectieas.

• Teken een rechte b die a snijdt, de projectierichting.

• Teken een lijnstuk [aB] en meet de lengte.

• Projecteer op a volgens b en meet het geprojecteerde

lijnstuk.

• Formuleer een besluit.

Onderzoeksopdracht 2:

onderzoek met GeoGebra of de evenwijdige projectie de

gelijkheid van evenwijdige lijnstukken behoudt.

Stappenplan:

• Teken een projectieas a en een projectierichting b.

• Teken [aB] en [CD] zodat aB // CD en |aB| = |CD|.

• Projecteer [aB] en [CD] op a volgens b.

• Is |a'B'| = |C'D'|?

• Is dit altijd zo?

• Formuleer een besluit.

a

b

A

B

C D

A’ B’ C’ D’a

b

A

B

C

D

A’ B’ C’ D’

We stellen vast dat een evenwijdige projectie de afstand niet bewaart en dat de beelden van twee even lange

evenwijdige lijnstukken dezelfde lengte hebben.

De evenwijdige projectie behoudt de gelijkheid van evenwijdige lijnstukken.

Deze eigenschap wordt bewezen in 1.2.Proe

fexe

mpla

ar

11

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

0 0 3 1 1 0 2 8 8 0 5 8 2

als evenwijdige rechten van een snijlijn gelijke lijnstukken afsnijden, dan snijden ze ook gelijke lijnstukken af

van elke andere snijlijn.

gevolg

|aB| = |CD|

⇓ |a'B'| = |C'D'|

⇓ |a''B''| = |C''D''|

A

A’

A’’

B

B’

B’’

C

C’

C’’

D

D’

D’’

4 )Beeldvaneenrechte

Beschouw de projectie pba en de (te projecteren) rechte d.

We onderscheiden voor de ligging van d twee gevallen.

d //\ b d // b

d b

a

CA

D

E’C’ A’ D’

B = B’

E

In dit geval is het beeld van een rechte een rechte,

namelijk de projectieas.

pba (d) = a

db

a X

In dit geval geldt: pba (d) = {X}

Het beeld van de rechte d is een singleton.Proe

fexe

mpla

ar

12

5 )Beeldvaneenvlakkefiguur

om het beeld van een vlakke figuur te bepalen, volstaat het om de ‘uiterste punten’ van de figuur te projecteren.

a

Ab

C

B

A’ C’

P Q

S R

S’ Q’ U’T’

c

T

UO

onderzoeksopdrachten:

• Wat is het beeld van Δ aBC?

• Wat is het beeld van de cirkel c?

• Bewaart een evenwijdige projectie de vorm van een figuur?

• Bewaart een evenwijdige projectie de grootte van een hoek?

• Bewaart een evenwijdige projectie de oppervlakte van een figuur? Verklaar.

Besluit:

Het beeld van een vlakke figuur is steeds een lijnstuk.

6 )Loodrechteprojectie

De loodrechte projectie is de projectie waarbij de projectierichting loodrecht staat op de projectieas.

a

A

B

C

S

P

Q

R

F G

G’F’Q’S’B’A’

b

Notatie:

p⊥

a (Δ aBC) = [a'B'] p⊥

a (PQRs) = [s'Q'] p⊥

a ( ) = [F'G']

p⊥

a (Δ aBC) = [a'B'] lees je als:

Het beeld van Δ aBC door de loodrechte projectie op de rechte a is [a'B'].Proe

fexe

mpla

ar

13

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

7 )Lengtevaneenlijnstukevenwijdigaandex-asofdey-as

Vorig jaar heb je geleerd dat je punten kunt voorstellen met coördinaten in een cartesiaans assenstelsel.

y

x

4

2

0

-2

-4

y

x

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

B(–5, 2)

C(–2, –3)

B(1, 4) A(6, 4) C(–12, 3) D(–7, 3) F(–3, 3)

E(–3, –5)

A’B’C’ D’

F’

E’

A(6, 4)

co(a) = (6, 4) omdat

- het eerste coördinaatgetal de abscis is van de loodrechte projectie van het punt a op de x-as.

- het tweede coördinaatgetal de abscis is van de loodrechte projectie van het punt a op de y-as.

Zo is ook co(B) = (-5, 2) en co(C) = (-2, -3)

Met behulp van coördinaten kunnen we ook lengten van lijnstukken bepalen. We weten dat de loodrechte projectie

de afstand bewaart als het lijnstuk evenwijdig is aan de projectieas.

y

x

4

2

0

-2

-4

y

x

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

B(–5, 2)

C(–2, –3)

B(1, 4) A(6, 4) C(–12, 3) D(–7, 3) F(–3, 3)

E(–3, –5)

A’B’C’ D’

F’

E’

A(6, 4)

We bepalen de afstanden.

|aB| = |a'B'| = 6 – 1 = 5

|CD| = |C'D'| = |-12 – (-7)| = 5

|EF| = |E'F'| = |-5 – 3| = 8

Besluit:

|aB| = |xB – xa| als aB // x-as met co(a) = (xa, ya) en co(B) = (xB, yB)|aB| = |yB – ya| als aB // y-as

x

yyA

xA

A(xA, yA)

1

1

0

Proe

fexe

mpla

ar

14

8 )Loodrechteprojectieopeenvlak

Bij de projectie op een vlak spreken we af dat we steeds loodrecht projecteren. Het vlak a waarop we projecteren

noemen we het projectievlak.

A

A’B’

B

C = C’

Zo is p⊥a(a) = a'; p⊥

a(B) = B'; p⊥a(C) = C'

a' is de loodrechte projectie van a op aB' is de loodrechte projectie van B op aC' is de loodrechte projectie van C op aa noemt men het projectievlak

op een vlak kunnen we niet enkel punten, lijnstukken, rechten, vlakke figuren … projecteren, maar ook

ruimtefiguren.

om een figuur loodrecht te projecteren op een vlak, projecteren we elk punt van de figuur loodrecht op dit vlak.

Voorbeeld:

Hieronder zie je de loodrechte projectie van een kegel en een balk, waarvan het grondvlak telkens evenwijdig is

met het projectievlak.

T

T’

F G

E H

B C

A D

B’ C’

A’ D’

Griekse letters

In Griekenland (en Cyprus) zie je ze nog steeds: Griekse letters. Ze zijn met 24 en worden soms in wiskunde gebruikt om een

hoek aan te duiden. Ook een vlak (denk maar aan het vlak p) krijgt meestal een Grieks letter.

A a alfaB b bètaΓ γ gammaΔ d deltaE e epsilonZ z zèta

H h ètaΘ θ thètaI i iotaK k kappaL l lambdaM m mu

N n nuΞ ξ xiO o omikronP p piΡ ρ rhoS s sigma

T t tauΥ υ ypsilonΦ φ phiΧ χ chiΨ ψ psiΩ ω omegaPr

oefe

xem

plaar

15

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

9 )Samenvatting

• Je kunt het beeld van een figuur bepalen door evenwijdige projectie op een projectieas volgens een

projectierichting.

a

AB

C

GD

B’ D’

E

F

E’ F’

H

G’ = H’

b

A’

O

c

Notatie:

pba (a) = a' pb

a (ΔBCD) = [B'D'] pba (c) = [E'F'] pb

a ([HG]) = {G'}

• Je weet dat een evenwijdige projectie de gelijkheid van evenwijdige lijnstukken behoudt.

Gevolg:

als evenwijdige rechten van een snijlijn gelijke lijnstukken afsnijden, dan snijden ze ook even lange

lijnstukken af van elke andere snijlijn.

|aB| = |CD|

L

|a'B'| = |C'D'|

L

|a''B''| = |C''D''|

A

A’

A’’

B

B’

B’’

C

C’

C’’

D

D’

D’’

• Je weet dat bij de loodrechte projectie de projectierichting loodrecht staat op de projectieas.

a

A

B

C

S

P

Q

R

F G

G’F’Q’S’B’A’

b

Notatie:

p⊥

a (Δ aBC) = [a'B'] p⊥

a (PQRs) = [s'Q'] p⊥

a ( ) = [F'G']

• Je kunt vlakke figuren en ruimtefiguren loodrecht projecteren op een vlak.

• Je kunt de lengte van een lijnstuk [aB] bepalen als het lijnstuk evenwijdig is met de x-as of de y-as.

|aB| = |xB – xa| als aB // x-as met co(a) = (xa, ya) en co(B) = (xB, yB) |aB| = |yB – ya| als aB // y-asProe

fexe

mpla

ar

16

10 )Oefeningen

1 a Projecteer de punten X, Y, Z, P, Q, U en v op a volgens b en op b volgens a.a

b

V

P

X

Q

ZY

V

b Projecteer deze punten loodrecht op a en loodrecht op b.

2 ABCD is een ruit, waarbij M het

A

C

BD M snijpunt is van de diagonalen.

vul aan.

a paD

DC (B) = … c pa

aDB (C) = … e pa

DDC ([aB]) = …

b p⊥BD (a) = … d p⊥

aC (C) = … f p⊥BD ([CD]) = …

3 Bepaal de beelden van de volgende figuren door te projecteren op y volgens x.

y

M

Q

N

P

A

D

B

C

x

4 Teken een lijnstuk [AB] zodat pba ([AB]) = [A'B']. Hoeveel oplossingen zijn er?

a

bA’

B’Proe

fexe

mpla

ar

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

17

5 Bepaal de beelden van de volgende figuren door pba en pa

b .

a

ba

b

a

b

b

a

D

GF

G

HE

A

B

C

DE

B

C

D

A

O

a c

b d

6 Als A’ en B’ de projectiebeelden zijn van A en B, teken dan een projectieas a en een projectierichting b in de

volgende gevallen.

AA’

B

B’

AA’

B B’

B

B’

A = A’

A

B

A’ = B’

a c

b ★ d

Proe

fexe

mpla

ar

18

7 Bepaal p⊥BC (Δ ABC), pM

MPN (Δ MNP) en p⊥

PN (Δ MNP).

A M

C B P N

8 Gegeven is een driehoek ABC waarvan H het hoogtepunt is.

a Vul aan:

C

A

B

H

D

E

p⊥aC ([aH]) =

p⊥BC (Δ aBC) =

p⊥aC (Δ aHB) =

b Verklaar waarom CH ⊥ aB.

9 Teken S als pba (S) = S' en pa

b (S) = S''.

ab

S’ S’’

10 Construeer Δ XYZ als

X’

X’’ = Z’’

Y’ = Z’

Y’

a

b

X' = pab (X) X'' = pb

a (X) Y' = pa

b (Y) Y'' = pba (Y)

Z' = pab (Z) Z'' = pb

a (Z)

11 Construeer Δ XYZ als

X' = p⊥a (X) X'' = p⊥

b (X)

X’ Z’ Y’a

b

Z’’

X’’

Y’’

Y' = p⊥a (Y) Y'' = p⊥

b (Y) Z' = p⊥

a (Z) Z'' = p⊥b (Z)

★

Proe

fexe

mpla

ar

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

19

12 Construeer [XY] zodat pba ([XY]) = [X'Y'] en pa

b ([XY]) = [X''Y''].

X’

Y’

a

b

X’’

Y’’

13 Waar ligt Q als |QQ'| = |QQ''| met Q' = p⊥a (Q) en Q'' = p⊥

b (Q)a

b

O

14 ABCDEFGHd n is een balk. vul aan.

E F

M

H G

A BN

D C

a p⊥vlak aBC (F) = ___________ e p⊥

vlak EFB (ΔHEC) = ___

b p⊥vlak HGC ([DF]) = ___________ f p⊥

vlak aBC (___) = B

c p⊥vlak HGC ([GF]) = ___________ g p⊥

vlak aBC (ΔEFH) = ___

d p⊥vlak aBC (___) = N h p⊥

vlak CGF (ΔDHE) = ___

15 Teken de punten A(3, 4); B(8, 4); C(5, –2) en D(0, –2) in een assenstelsel.

a Welk soort vierhoek is aBCD?

b Bepaal |aB| en |CD|.

c Bepaal de afstand van a tot de x-as.

d Bepaal de afstand van B tot de y-as.

16 Gegeven is A(–4, –2). Bepaal de punten B en C zodat |AB| = |AC| = 3 en AB // x-as en AC // y-as.

Hoeveel mogelijkheden zijn er?

17 Gegeven is driehoek ABC met A(3, 7); B(6, 3) en C(2, 3). Zoek de oppervlakte van Δ ABC.

18 Gegeven zijn A(–4, 5); B(2, 5); C(2, –1) en D(–4, –1). a Verklaar dat aBCD een vierkant is.

b Bereken de omtrek van het vierkant aBCD.

c Bereken de oppervlakte van het vierkant aBCD.

★★

Proe

fexe

mpla

ar

1.2

20

DestellingvanThales

1 )hulpstelling

Een evenwijdige projectie behoudt de gelijkheid van evenwijdige lijnstukken.

hulpstelling

Deze eigenschap heb je reeds met GeoGebra onderzocht. We geven nu een algemeen bewijs.

Bewijs:

Gegeven:

A

B

A’ B’

B’’C

D

C’ D’a

D’’

b

aB // CD

|aB| = |CD|

pba ([aB]) = [a'B']

pba ([CD]) = [C'D']

Te bewijzen:

|a'B'| = |C'D'|

Bewijs:

Construeer [A'B''] // [AB] en [C'D''] // [CD]

In Δ a'B''B' en Δ C'D''D' geldt:

A’Y = ’CY overeenkomstige hoeken bij a'B''// C'D'' en snijlijn a

4 HZH

|a'B''| = |C'D''| |a'B''| = |aB| = |CD| = |C'D''| ⇒ Δ a'B''B' Ù Δ C'D"D'

B’Y = D’Y overeenkomstige hoeken bij BB'// DD' en snijlijn a ⇓ overeenkomstige zijden in

congruente driehoeken

|a'B'| = |C'D'|

2 )DestellingvanThales

De evenwijdige projectie behoudt de verhouding van evenwijdige lijnstukken.

stelling van Thales

Proe

fexe

mpla

ar

21

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

Bewijs:

Gegeven: A A’

B’B

C’C

r s

a

b

c

l l’ a // b // c

Te bewijzen:

| || |

BA

B’A’=C

|C

|| | ’

’B B

Bewijs:

eerste geval:

Een gekozen eenheid l gaat juist m keer in [aB]

en juist n keer in [BC].

|aB| = ml en |BC| = nl

⇓ hulpstelling

|a'B'| = ml' en |B'C'| = nl'

⇓ |

|B’C’A’B’

|| = ’

’nlml = n

m

Besluit: || |

|B’C’A’B’

BA

nm= = C

B||

||

tweede geval:

Een gekozen eenheid gaat nog

juist n keer in [BC] maar geen

geheel keer meer in [aB].

|BC| = nl maar nl Õ |aB| Õ (m + 1) · l

Er geldt dan:

ml Õ |aB| Õ (m + 1)·l

⇓

|Bml

C| Õ ||

BA

C|| B Õ

m l1+BC$_ i

⇓

nlml Õ |

|BCAB

|| Õ nl

m l1+ $_ i

⇓

mn Õ B |A |

| C| B Õ 1

nm + (1)

Door het toepassen van de hulpstelling geldt er:

|B'C'| = nl'

ml' Õ |a'B'| Õ (m + 1) · l'Hieruit volgt:

|B’ ’’ml

| C Õ ||

|B’|A’

C’B’ Õ |B’C’

1 ’m l+ $|_ i

⇓

’’nlml Õ |

||B’|A’

C’B’ Õ ’

’nl

m l1+ $_ i

⇓

nm Õ |

||B’|A’

C’B’ Õ 1

nm + (2)

Uit (1) en (2) volgt dat B |A |

| C| B en |

||B’|A’

C’B’ tussen

dezelfde grenzen met verschil n1 liggen. We kunnen

nu n zeer groot kiezen of de gekozen eenheid veel

meer verfijnen.

Hierdoor gaat n1 steeds verkleinen.

B |A |

| C| B en |

||B’|A’

C’B’ gaan dus dezelfde constante

voorstellen.Proe

fexe

mpla

ar

22

3 )DestellingvanThalesineendriehoek

We kunnen de stelling van Thales ook toepassen in een driehoek.

Gegeven: In Δ aBC is MN // BC.

Te bewijzen: |aM|

|aC| =

(1) |aN||aB|

=(2) |MN|

|BC|

A

B

C

MN

A

B

C

M

N

P

Bewijs:

(1) Volgt onmiddellijk uit de stelling van Thales.

(2) Construeer NP // aC.

⇒

|aN||aB|

= st.v.Thales |CP|

|BC| =

MNPC is een

parallellogram |MN||BC|

Thales van Milete (Turkije ca. 624 v.Chr. -ca. 547 v.Chr.) Thales van Milete leefde van ca. 624 tot

D

C

A

B

DC = A

Bca. 547 v.Chr. aan de kust van Klein-Azië, dat nu

Turkije heet. Omdat hij handelaar in oliën was, reisde

hij veel en maakte kennis met veel niet-Europese

beschavingen.

Pas op oudere leeftijd startte hij met de studie van

wetenschappen en filosofie. Hij zorgde voor een

nieuwe manier van denken en trachtte de wiskunde te verklaren.

Er wordt gezegd dat hij in staat was een zonsverduistering te voorspellen, waarschijnlijk deze van 585 v.Chr. Uniek is zijn

uitspraak: “Alles is water”. Thales meende immers dat de oerstof water was, omdat water het

duidelijkst faseveranderingen ondergaat. Als ijs smelt krijg je water, als dat verdampt krijg je

stoom. De Grieken geloofden ook dat als je stoom ‘verder verdunt’, je lucht krijgt.

Overstaande hoeken die even groot zijn, gelijkbenige driehoeken die even grote basishoeken

hebben, een diameter die de cirkel in twee gelijke delen verdeelt, het congruentiekenmerk HZH:

het zijn allemaal voorbeelden van eigenschappen die aan Thales toegeschreven worden. Alleen

over de ‘stelling van Thales’ zijn er twijfels. Geschiedkundigen hebben geen zekerheid of die

stelling daadwerkelijk van Thales afkomstig is.

Maar handig is die stelling wel. Hij berekende zo de hoogte van de piramide van Cheops en je

kunt er ook de afstand tussen twee schepen mee vinden.Proe

fexe

mpla

ar

23

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

4 )DeomgekeerdestellingvanThales

onderzoek:

In deze tekening is a // b.

a

A

b

B

A’

B’

Voer volgende constructie nauwkeurig uit:

Neem op [aB] een punt C zodat |aC| = 3 · |CB|

Neem op [a'B'] een punt C’ zodat |a'C'| = 3 · |C'B'|

Verbind C met C’.

- Is CC’ // aa’?

- Is CC’ // BB’?

- Is het noodzakelijk dat C op [aB] en C’ op [a'B'] moeten liggen? of bestaat er nog een andere ligging voor C en C’?

Voorbeeld 1: Voorbeeld 2:

B’C’

A’

AC B

A

BC

C’B’A’

Er geldt steeds dat aa’ // BB’ en dat |aC||CB|

= |a'C'||C'B'|

.

als we dan C met C’ verbinden, is CC’ // aa’ en CC’ // BB’.

Besluit:

als aa' // BB' en |aC||CB|

= |a'C'||C'B'|

dan is CC' // aa'.

omgekeerde stelling van Thales

Proe

fexe

mpla

ar

24

Bewijs:

We bewijzen deze stelling in het geval dat C C [aB].

Gegeven: aa' // BB'

’C |A |

C’ |A ||

||=|

CB B’

C’

AC

B

A'

B'C'D'

Te bewijzen: CC' // aa'

Bewijs: Teken CD' // aa' (D' C [a'B'])

We kunnen nu de stelling van Thales toepassen.

Dus: |||

C|A

D’A’=C

B|

| B’|

|D’

⇓ gegeven ba

dc

a ba

c dc

B

+ = +

=

C’ D’A’A’

||

| || |

||=B’

C’B’D’

⇓ eigenschap evenredigheden

|| ||

A’ |C’A’|

| B’A’

A’D’ D’B’D’

+ = +C’ |||

|C’

|

⇓ C’ A’B’ D’ A’B’en! !7 7A A

||

||

|A’B’|A’C’

|A’B’|A’D’=

⇓

|a'C'| = |a'D'|

dus: C' = D' en bijgevolg valt CD' samen met CC'.

Vermits we CD' evenwijdig getekend hebben met aa' geldt ook: CC' // aa'

A

C1B

A'B'

C2

C'1

C'2

opmerking:

onderzoek ook dat in het geval dat C niet op [aB] gelegen is, deze

omgekeerde stelling geldig blijft.

Bijzonder geval:

A

BC

M Nals

|aM| =

|aN| dan is MN // BC.

|MC| |NB|

Proe

fexe

mpla

ar

25

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

5 )ToepassingenopdestellingvanThales

1 Een gegeven lijnstuk in een gelijk aantal delen verdelen.

Voorbeeld: Verdeel het lijnstuk [aB] in drie gelijke delen.

Werkwijze: Constructie:

A B

A B

R

Q

P

A B

R

P

P' Q''P

P

P

P

Construeer het lijnstuk [aB].

Teken een rechte door a en bepaal

op deze rechte de punten P, Q en R zodat

|aP| = |PQ| = |QR|.

Gebruik je passer.

Verbind R met B en construeer de evenwijdige

met RB door Q en P.

De punten P' en Q' verdelen het lijnstuk [aB]

nu in drie gelijke delen.

verklaring: PP' // QQ'

⇓ |aP'|

= |aP|

= 1 |P'Q'| |PQ|

⇓ |aP'| = |P'Q'|

op dezelfde wijze tonen we aan dat |P'Q'| = |Q'B|

Bijgevolg: |aP'| = |P'Q'| = |Q'B|

2 Een rationaal getal op de getallenas plaatsen.

Door gebruik te maken van de stelling van Thales kunnen we een rationaal getal nauwkeurig plaatsen op een

getallenas met een gegeven ijk.

Voorbeelden:

R

0 123

R

-1 0-35Pr

oefe

xem

plaar

26

3 Een lijnstuk verdelen in twee lijnstukken die zich verhouden als twee gegeven lijnstukken.

Voorbeeld:

Verdeel een lijnstuk [aB] in twee delen die zich verhouden als 3 en 2.

BPA

Y

XWerkwijze:

- Teken door een grenspunt van [aB] een rechte die [aB] snijdt.

- Bepaal op deze rechte de punten X en Y zodat

|aX| = 3 en |XY| = 2

- Verbind Y met B en bepaal pYa

BB (X).

Dit punt bepaalt het gevraagde punt P, want: |aP|

= |aX|

= 3

2

|PB|

|XY|

4 Thales in de ruimte.

Van de hieronder afgebeelde piramide TaBC wordt gevraagd om de onbekende hoogte x te berekenen.

Het probleem begrijpen:

Je moet de hoogte berekenen. Hiervoor maak je een vlakke voorstelling. Herken Thales in de driehoek TNa.

T

A’B’

C’

A

C

B

N

M x

3 cm

5 cm 4 cm

A N

T

A’ M

3 cm

5 cm

x-4

4 cm

x

naar vlakke situatie

Oplossing:

• In het vlak TaN geldt: aN ⊥ TNa'M ⊥ TN⇒ aN // a'M

• Volgens de stelling van Thales bepalen de

evenwijdige rechten aN en a'M op de snijlijnen

Ta en TN evenredige lijnstukken.

Dus:

|Ta'| |TM|

|a'a| =

|MN|

⇔

3 =

x – 4

5 4

⇔

3 · 4 = 5 · (x – 4) ⇔

12 = 5x – 20

⇔

5x = 32

⇔

x =

32 = 6,4

5

Antwoord:

• De hoogte van de piramide TaBC is dus 6,4 cm.

Controle:

Klopt de evenredigheid? 35 = 6,4 – 4

4 = 0,6Proe

fexe

mpla

ar

27

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

5 Stelling van Thales gebruiken bij een bewijs.

Door het hoekpunt a van driehoek aBC trekt men de rechte a die door het midden M van de zwaartelijn [BE] gaat

en BC snijdt in D.

Bewijs dat |BD| = 21 |DC|

A

E

CF

D

M

Ba

Gegeven: Δ aBC

E = mi [aC]

M = mi [EB]

Te bewijzen: |BD| = 21|DC|

Bewijs:

Construeer door E de evenwijdige aan aM.

F is het snijpunt van deze rechte met BC.

(1) |CF| = |FD| want EF // aD en |CE| = |Ea| (Thales)(2) |FD| = |DB| want EF // aD en |EM| = |MB| (Thales)

Dus: |CF| = |FD| = |DB| of: |BD| = 21|DC|

6 )Samenvatting

• Je kent de stelling van Thales.

in woorden:

a

b

A

B

C

D

A’ B’ C’ D’

Een evenwijdige projectie behoudt de verhouding van

evenwijdige lijnstukken

in symbolen:

aB // CD ⇒ |aB|

|CD| =

|a'B'|

|C'D'|

• Je kunt de stelling van Thales in een driehoek toepassen.A

B

C

MN

A

B

C

M

N

P

|aM|

|aC| =

|aN|

|aB| =

|MN|

|BC|

• Je kent de omgekeerde stelling van Thales. AB

A’B’

C

C’

als aa' // BB' en |aC|

|CB| =

|a'C'|

|C'B'| dan is CC' // aa'.

• Je kunt zowel de stelling als de omgekeerde stelling van Thales toepassen.

UITBREIDING

• Je kunt de stelling van Thales en de omgekeerde stelling van Thales bewijzen.Proe

fexe

mpla

ar

7 )Oefeningen

1 vul aan tot een ware uitspraak als je weet dat a // b // c.

a |aB|

|BC| =

|MN|

___

ab

c

AB

C

M

N

P

b |BC|

|aC| =

___

___

c |MP|

|NP| =

___

___

2 vul aan tot een ware uitspraak als PQ // BC.

a |aQ|

|aB| =

___

___

A

C

P

B

Q b

|aP|

|PC| =

___

|QB|

c |BQ|

|Ba| =

___

___

3 vul volgende tabellen aan.

a aa'//BB'//CC' ★b aa'//CC'

A

B=B’C’

CA’

AB

A’ B’C’

C

|AB| |BC| |AC| |A'B'| |B'C'| |A'C'| |AB| |BC| |AC| |A'B'| |B'C'| |A'C'|

1 3 4 2 1 4 5 3

2 6 4 5 2 8 10 6

3 3 2 5 3 3 2 6

28

Proe

fexe

mpla

ar

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

4 Bepaal x en y als a // b // c.

a c e

b d f

a

b

c

12

14

10x

c

b

a 9

11

x x + 4 b

a

1113

yy + 2

a

b

c

x

75 – x

8

a

bc

3

x

2,5

8

bac

√24√2

3√2 x

5 Bepaal x als PQ // BC en a // b // c.

4

x

5,5

2,5

B

CP

Q

A

3x

x2

+ 3

A

P

B

Q C

7√2

P Q

A

C B

√2x

x + 5

A

P

C

Q

B3x – 4

x

A

P

C B

9

12

Q

x

a b c

2,2 4,2

4,4

x6

a ★c e

b ★d f

29

Proe

fexe

mpla

ar

30

6 Constructieopdrachten.

a Construeer X op [PQ] zodat |PX| = 4 · |XQ|

P

Q

b Verdeel de basis [BC] van Δ aBC in drie gelijke delen.

Zo kun je drie driehoeken tekenen.

Verklaar dat deze driehoeken dezelfde oppervlakte hebben.

C

B

A

c Bepaal X op PN en Y op MN

zodat PΔNPM = 43 PΔNYX

P N

M

d Teken een lijnstuk [aB] met lengte 8 cm. Bepaal P op [aB] zodat |aP|

|PB| =

3

2.

e Teken een lijnstuk [MN] met lengte 11 cm. Verdeel dit lijnstuk in 7 gelijke delen.

7 In een trapezium ABCD (met AB // CD) wordt een rechte getekend die [BC] snijdt in Q en [AD] snijdt in P. In welke

gevallen is PQ // AB?

|AP| |PD| |BQ| |QC|

1 3 4 4,5 6

2 9 6 10 7

3 32

54 2 5

12

8 Plaats op de getallenas de punten met abscis 52, 4

3– , 38 en 7

5– .

9 Als a, b, c en d de maatgetallen van de lengtes zijn van vier lijnstukken, construeer dan het lijnstuk waarvan het

maatgetal x voldoet aan onderstaande gelijkheid.

Voer al deze constructies uit op je blad en nadien ook met GeoGebra.

a xa

cb= b b

axb= c a

xdc=

10 Gegeven: parallellogram aBCD A P B

D Q C

M

N |aP| = 3|PB|

|QC| = 3|DQ|

Gevraagd: bereken BDMN

★

★

Proe

fexe

mpla

ar

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

31

11 Construeer een lijnstuk [XY] met |XY| = x cm zodat x de vierde evenredige is tot a, b en c.

A

B

C D

E F

|aB| = a cm

|CD| = b cm

|EF| = c cm

12 Als a, b, c en d de maatgetallen van de lengtes zijn van 4 lijnstukken, construeer dan het lijnstuk, waarvan het

maatgetal van de lengte gelijk is aan:

a x = cab2

b y = 2

cb

c z = 2

cdab

13 Acrobatie

Karim en Wouter willen een acrobatische stunt uitvoeren. Hierbij probeert Karim in

evenwicht te blijven door een handenstand uit te voeren op Wouter.

Wanneer beiden volledig uitgestrekt zijn, werpt de zon een schaduw van

3,5 m af. als je weet dat Karim 1,85 m en Wouter 1,80 m meet, bereken dan de lengte

van de schaduw van Karim en Wouter apart.

14 In lake Tawakoni State Park, een natuurpark in Texas (verenigde Staten), is een gigantisch spinnenweb gevon-

den. Het web bedekt 180 meter aan bomen en struiken en is inmiddels groter dan een voetbalveld. Dit web is ui-

teraard niet gemaakt door een reuzenspin maar door een hele groep spinnen.

Bepaal in onderstaande gelijkbenige driehoek de lengte van de dwarsdraden als deze steeds op dezelfde hoogte de

steundraden snijden.

8 cm

6 cm

5 cm

32 cm

z

y

x

★

★★

★

Proe

fexe

mpla

ar

15 Thales in de ruimte.

a Verklaar waarom in de getekende b In de balk zijn twee driehoeken getekend.

kubus MN // BC. Vul in en verklaar:

PΔaBC = ________________ PΔDEF

A

B

C

M

N

A

B

C

D

E

F

c Bepaal x en y als d Verdeel het prisma in drie prisma's die even hoog zijn.

PR // aC

QR // BC

PQ // aB

C

A

B

T

PQ

R

5

4

12

y

x

15

16 De stelling van Desargues.

Gegeven: a, b en c zijn rechten die door o gaan.

a, a' C a

B, B' C b

C, C' C c

aB // a'B' en BC // B'C'

Te bewijzen: aC // a'C'

32

Proe

fexe

mpla

ar

HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN

17 Welke figuur krijg je als je de middens van de zijden van een willekeurige vierhoek met elkaar verbindt?

Onderzoek dit met GeoGebra en bewijs je antwoord.

18 Gegeven is het trapezium ABCD. A

C

E F

D

B

M De diagonalen snijden elkaar in M,

EF// DC en EF gaat door M.

Bewijs dat |EM| = |MF|

Onderzoek dit tevens met GeoGebra.

19 Op twee rechten die elkaar snijden in C kiest men A, B, D, E, F en G zodat AB // DE // FG.

verder is |AC| = 3, |BC| = 2, |CE| = 4 en |CG| = 10 (zie figuur). Bepaal |EF|.

AB

C

D E

G F

10

32

4

a 83

b 3 c 4 d 6 e 11

JWO 2009, eerste ronde, probleem 9 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

20 Een regelmatige vierzijdige piramide waarvan elk zijvlak en ook het grondvlak

oppervlakte 5 hebben, wordt evenwijdig met het grondvlak in vijf stukken

met dezelfde hoogte gezaagd (zie figuur).

Alle afzonderlijke stukken worden volledig geschilderd.

Wat is de te beschilderen oppervlakte?

a 31 b 35 c 37 d 40 e 45

JWO 2005, tweede ronde, probleem 30 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Thales bij de Daltons?

1,4 m

3,5 m

Ongeveer 26 eeuwen na Thales tekende de Belg Maurice de Bevere

('Morris') de stripreeks rond Lucky Luke, met ook de Daltons in een

hoofdrol. De kleinste schurk heet Joe en staat hier een halve meter

achter een muurtje. Als je weet dat er tussen elke Dalton een afstand

van 0,5 m is, kun je niet alleen de grootte van Joe maar ook van de

Daltons Jack, William en Averell berekenen.

★

33

Proe

fexe

mpla

ar