Produktion und Logistik

Geschiif'tsfiihrender Herausgeber

Horst Tempelmeier, Universitiit zu K6ln

Herausgeber

Wolfgang Domschke, Technische Hochschule Darmstadt Andreas Drexl, Universitiit Kiel Bernhard Fleischmann, Universitat Augsburg Hans-Otto Giinther, Technische Universitat Berlin Hartmut Stadtler, Technische Hochschule Darmstadt

Produktion und Logistik

M. Gietz Computergestiitzte Tourenplanung mit zeitkritischen Restriktionen 1994. XIV 1267 Seiten ISBN 3-7908-0808-3

F. Salewski Hierarchische Personal­einsatzplanung in Wirtschaftspriifungs­geseIlscbaften 1995. XII1205 Seiten ISBN 3-7908-0832-6

M. C. Derstroff Mebrstufige Losgro8en­planungmit Kapazitlltsbeschriinkungen 1995. XII223 Seiten ISBN 3-7908-0841-5

U. Weingarten Ressourceneinsatzplanung beiWerksuutprodnktion 1995. Xl206 Seiten ISBN 3-7908-0885-7

Production and Logistics

E. Pesch Learning in Automated Manufacturing 1994. XIV 1258 pages ISBN 3-7908-0792-3

R. Kolisch Project Scheduling under Resource Constraints 1995. Xl212 pages ISBN 3-7908-0829-6

A. Scholl Balancing and Sequencing of Assembly Lines 1995. XVI/306 pages ISBN 3-7908-0881-4

Rainer Leisten

Iterative Aggregation und mehrstufige Entscheidungsmodelle Einordnung in den planerischen Kontext, Analyse anhand der Modelle der Linearen Programmierung und Darstellung am Anwendungsbeispiel der Hierarchischen Produktionsplanung

Mit 60 Abbildungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Professor Dr. Rainer Leisten Lehrstuhl fur Betriebswirtschaftslehre insb. Produktionswirtschaft Rechts- und Staatswissenschaftliche Fakultiit Emst-Moritz-Amdt-Universităt Greifswald DomstraBe 20 D-17489 Greifswald

ISBN 978-3-7908-0890-2 CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Leisten, Rainer: Iterative Aggregation und mehrstufige Entscheidungsmodelle: Einordnung in den planerischen Kontext, Analyse anhand der Modelle der linearen Programmierung und Darstellung am Anwendungsbeispiel der hierarischen Produktionsplanung / Rainer Leisten. - Heidelberg: Physica-Verl., 1995 (Produktion und Logistik) ISBN 978-3-7908-0890-2 ISBN 978-3-642-57875-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-57875-5

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzL Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdruck.es, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendungen, der Mikroverfllmung oder der VervielfaJtigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vor­behalten. Eine VervielfaJtigung dieses Werkes odervon Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepu­blik Deutschland vom 9. September 1965 in der Fassung vom 24. Juni 1985 zulăssig. Sie ist grund­sătzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urhe­berrechtsgesetzes.

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996 UrsprOnglich eTSChienen bei Physica-Verlag Heidelberg 1996

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88/2202-543210 - Gedruckt auf săurefreiem Papier

Vorwort

Das vorliegende Buch entstand wahrend meiner Tatigkeit als Wissenschaftlicher Assistent

am Lehrstuhl fur Betriebswirtschaftslehre des Alfred Weber-Instituts der Ruprecht-Karls­

Universitat Heidelberg und wahrend eines von der Deutschen Forschungsgemeinschaft

gewiihrten Habilitationsstipendiums. Es wurde am 11 . Januar 1995 von der Wirtschafts­

wissenschaftlichen Fakultiit der Universitat Heidelberg als Habilitationsschrift angenommen.

Fur die Ermunterung zur Verfassung dieser Arbeit, fur kontinuierliche Gesprachsbereit­

schaft und fur vielfaltige Anregungen danke ich herzlich meinem akademischen Lehrer,

Herrn Prof. Dr. Gunter Liesegang. Mein Dank gilt auch Herrn Prof. Dr. Roland Fahrion fur

die Erstellung des zweiten Gutachtens. Ebenso mochte ich Herrn Prof. Dr. Christoph

SchneeweiB von der Universitat Mannheim fur seine konstruktiven Hinweise, insbesondere

in der Friihphase der Entstehung der Arbeit, Dank sagen. Ganz besonders danken mochte

ich Herrn Prof. Dr. Kurt Jornsten von der Norwegian School of Economics and Business

Administration in Bergen, der in vielen Gesprachen und in gemeinsamen Forschungsarbeiten

wesentliche Impulse gegeben hat.

Ferner schulde ich der Deutschen Forschungsgemeinschaft Dank fur die Gewahrung des

Habilitationsstipendiums, ohne welches das Habilitationsprojekt nicht hatte durchgefuhrt

werden konnen. Au13erdem mochte ich den Herausgebem der Reihe 'Produktion und

Logistik' und dem Physica-Verlag fur die Aufuahrne in diese Buchreihe danken.

Last but definitely not least kommt hervorragender Dank meiner Ehefrau Karin zu, die mich

durch aile Hohen und die - wohl unvermeidbaren - Tiefen wahrend der Entstehungszeit der

Arbeit begleitet hat.

Greifswald, im Sommer 1995 Rainer Leisten

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkiirzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Einfiihrung

Ausgangspunkt und Zielsetzung der Arbeit

Aufbau der Arbeit

xm XVI

XVII

XVIII

4

Teil I Aggregation im Kontext der Komplexitiit wirtschaftlichen Bandelns und

ihre Handhabung in EntscheidungsmodeUen

1.

1.1.

1.2.

l.3.

1.4.

1.5.

2.

2.1.

2.2.

2 .3.

2.4.

2.5 .

2.6.

2.7.

3.

Komplexitat im wirtschaftlichen Handeln

Strukturierung der Komplexitat und Instrumente zu ihrer Handhabung

Komplexitat in der Planung und in planungsunterstiitzenden Entscheidungsmodellen

Instrumente zur Gestaltung der Modellkomplexitat

Beurteilung einer Komplexitatsveranderung

Ableitung iterativer Ansatze im Rahmen der Komplexitatsreduktion

Aggregation in Entscheidungsmodellen

Zum Begriff der Aggregation

Aufbau und Ablauf des Aggregationsprozesses in Entscheidungsmodellen

Beurteilung des Aggregations-lDisaggregationsprozesses

Ableitung iterativer Vorgehensweisen

Mehrstufige Planung im Kontext von Aggregation und Disaggregation

Unsicherheit im Kontext von Aggregation und Disaggregation

Dynamik im Kontext von Aggregation und Disaggregation

Zusammenfassung von Teil I

7

8

12

17

22

23

26

26

28

34

37

40

41

47

52

- VITI-

TeilD Iterative Aggregations-/Disaggregationsanslitze fiir LP-Probleme

1. Ubersicht tiber Teil IT 53

2. Einfuhrung in die LP-Aggregation 55

2.1. Vorgehensweise bei A/D-Ansatzen nach Rogers et al. 56

2.2. Formalisierung der Vorgehensweise fur LP-Probleme 58

2.3 . Eine Modifikation des traditioneUen A/D-Ansatzes 66

3. Bewertung der LP-Aggregation 69

3.1. Zulassigkeit im aggregierten Problem 69

3.2. Degeneration der Losungen im aggregierten Problem 75

3.3 . Obere Schranken und Fehlerschranken 78

3.3 .1. Unterscheidung von a priori- und a posteriori-Schranken 79

3.3.2. Obere Schranken bei fixed-weight Disaggregation 79

3.3.2.1. Die Schranke von Zipkin 79

3.3 .2.2. Die Schranke von Mendelssohn, ihre Verbesserung durch 82 Knolmayer und ihre VeraUgemeinerung durch Taylor

3.3.2.3 . Die Schranke von Knolmayer bei primaler Entartung der 86 Optimallosung des aggregierten Problems

3.3.2.4. Modifikationen der Zipkin-Schranke und ihrer Erweiterungen 87

3.3.2.5. Die Schranke von Mangasarian und Vlach 94

3.3.2.6. Die Schranke von Litvinchev 95

3.3.3. Obere Schranken bei optimaler Disaggregation 96

3.3.3.1. Obere Schranken von Zipkin 97

3.3 .3.2. Ein modifizierter Ansatz zur expliziten Einbeziehung der 97 Dualinformationen der Teilprobleme

3.3.4. Ein Beispiel mit Erlauterungen zur VerdeutIichung der 100 vorgestellten Methoden der Schrankenberechnung

3.3.5. Bemerkungen zu Schranken bei Zeilenaggregation und simuItaner 108 Spalten- und Zeilenaggregation

3.3.6. A priori-Schranken 109

4. Gestaltung iterativer Aggregations-lDisaggregationsansatze 111

4.1. Grundlagen 111

4.2. Iterative A/D-Ansatze mit Anpassung der Aggregationsgewichte 119

4.3 . Bestimmung einer (Anfangs-) Zuordnung von Aggregationsobjekten 127 zu Clustem

- IX-

4.3.l. Die (klassische) Clusteranalyse im Rahmen der L6sung von 129 LP-Problemen mittels AfD-Ansatzen

4.3.2. Optimierungsorientierte Ansatze rur Clusterung 129

4.3.2.l. Die Studie von Knolmayer rur Bestimmung von Aggregationen 130 von LP-Problemen

4.3.2.2. Der geometrische Ansatz rur Clusterzuordnung von Taylor 131

4.4. Verfeinerung der Clusterung (Clustersplitting) 133

4.5. Optimierungsorientierte UmcIusterung 135

4.5.l. Eine 'aquivalente' Gewichtstransformation 137

4.5.2. Analyse der Wirkung der Umc1usterung und Ableitung von 140 Strategien rur UmcIusterung

4.5.2.l. An den Eigenschaften der Optimall6sung orientierte 140 UmcIusterung

4.5.2.2. Umc1usterung mit Basiszerst6rung 146

4.5.3 . UmcIusterung bei LP-Problemen mit beschrankten Variablen 150

4.5.4. Formalisierung der iterativen AfD-Ansatze mit UmcIusterung 155

4.5.5. Exkurs: Portfolio-Se1ektion mittels Ginis mittlerer Differenz als 159 Anwendungsbeispiel fur iterative AfD-Ansatze mit UmcIusterung

4.5.5.l. Der Ansatz der Portfolio-Selektion mittels Ginis mittlerer 160 Differenz und seine Darstellung als LP-Modell

4.5.5.2. Demonstration der Vorgehensweise anhand eines konstruierten 164 Beipiels

4.5.5.3. Anwendung der Vorgehensweise auf reale Problemdaten 170

4.6. Kombination von Verfeinerungs- und Umc1usterungsansatzen 174

4.7. Zusammenfassende Ubersicht tiber m6giiche iterative AID-Ansatze 176

4.8. Simulationsuntersuchungen 178

4.8.l. Beschreibung der Testserien 178

4.8.2. Beschreibung der untersuchten iterativen AfD-Ansatze 179

4.8.3. Weitere Angaben ru den Simulationslaufen 182

4.8.4. Auswertung der Testergebnisse 183

4.9. Iterative AfD-Ansatze bei anderen Aggregationsformen und bei 200 LP-Problemen mit spezieller Struktur

4.9.l. Iterative AfD-Ansatze bei LP-Problemen und die Forderung nach 201 Variablenschranken

4.9.2. Iterative AfD-Ansatze bei Restriktionenaggregation 202

4.9.2.1. Betrachtung des dualen Problems bei Restriktionenaggregation 203

4.9.2.2 . Optimall6sungsorientierte Umc1usterung bei 206 Restriktionenaggregation

-x-

4.9.3. Iterative A/D-Ansatze mit Umclusterung bei simultaner Variablen- 207 und Restriktionenaggregation

4.9.4. Iterative A/D-Ansatze bei LP-Problemen mit spezieller Struktur 207

4.9.5. Eine Bemerkung zum Einsatz der optimalen Disaggregation 213

5. Bewertung iterativer A/D-Ansatze 214

5.1. Verfugbare Informationen 214

5.2. Sensitivitat der OptimalIbsung des aggregierten Problems 220

5.2.1. Sensitivitat bei Anpassung der Gewichte 220

5.2.2. Sensitivitat bei Umclusterung 222

5.3. Zulassigkeit in iterativen A/D-Ansatzen 222

5.4. Zielfunktionswert und Fehlerschranken in iterativen A/D-Ansatzen 224

6. Unsicherheit und Dynamik in (iterativen) A/D-Ansatzen 225

6.1. Stochastische Modelldaten in (iterativen) A/D-Ansatzen 225

6.1.1. Aggregation stochastischer Parameter in A/D-Ansatzen 225

6.1.2. Aspekte der stochastischen Sensitivitatsanalyse bei A/D-Ansatzen 229

6.1.3. Der EinfluB unsicherer Parameter auf die Fehlerschranken in 230 A/D-Ansatzen

6.2. Fehlerschranken in A/D-Ansatzen bei mehrperiodigen Modellen mit 233 Periodenaggregation

7. Ganzzahligkeitsforderungen in (iterativen) A/D-Ansatzen 236

7.1. Die Beurteilung der Relaxation der Ganzzahligkeitsforderungen bei 236 Variablenaggregation

7.2. Die Begrenzung der Aggregation auf die kontinuierlichen Variablen 239 eines gemischt-ganzzahligen Problems

8. Zusammenfassung von T eil II 241

- XI-

Teil ill (Iterative) Aggregation und Disaggregation in der Hierarchischen

Produktionsplanung

l.

2.

2.1.

2.2.

3.

3.1.

3.2.

3.2.1.

3.2.1.1.

3.2.1.2.

3.2.1.3 .

3.2.2.

3.2.2.1.

3.2.2.2.

3.2.3.

3.3.

3.3 .1.

3.3.2.

3.3.3 .

3.3.4.

4.

Ubersicht iiber Teii ill

Ein monolithisches Modell zur mehrperiodigen Produktions-/ Lagerhaltungspianung und Ansatze zu seiner hierarchischen Strukturierung

Ausgangsmodell: Formuiierung, Beschriinkungen und Erweiterungsmogiichkeiten

Aggregation des Ausgangsmodells: Formulierung, Losung und Probleme

Aggregation von Produkten in Ansatzen zur HPP

Vorgehensweise bei der Aggregation von Produkten in der HPP

Konsistenz zwischen aggregiertem und disaggregiertem Modell

Konsistenz bei vollstandig deterministischer Modellformuiierung

Perfekte Aggregation als hinreichende Bedingung fur Konsistenz

Konsistenzbedingungen bei einstufiger Produktion

Ein Ansatz zur Einbeziehung von Kapazitatsrestriktionen in die Konsistenziiberlegungen

Konsistenz bei nicht sicheren Nachfragen

Konsistenz bei stochastisch unabhiingigen Nachfragen

Konsistenz bei bekannten aggregierten und beschriinkten detaillierten Nachfragen

Beurteilung der Ansiitze zur Konsistenzerreichung im HPP-Modell

Einbeziehung der Zielfunktion in die Aggregation des HPP-Modells

Vereinfachung des betrachteten Modells

Betrachtung des Modells unter Ausklammerung des Riistens

Betrachtung des Modells unter Einbeziehung des Riistens

Unsicherheit im HPP-Modell

Ansiitze zur Erweiterung

Zusammenfassende Schlu8bemerkung und Ausblick

244

246

246

253

260

260

267

268

269

271

274

276

277

278

281

282

283

284

288

293

296

298

Anhang

AI.

A2.

A3.

A4.

A5.

A6.

A7.

A8.

A9.

A 10.

- XII-

Ein Gegenbeispiel zur Einbeziehung negativer Werte fur e in die Schrankenberechnung von Mendelssohn bzw. Knolmayer (zu Teil IT, 3.3.2.2.)

Ein Beispiel zur Verdeutlichung der Grenzen und Moglichkeiten der Einbeziehung disaggregierter Schattenpreise in die Schrankenberechnung (zu TeillI, 3.3 .3.2.)

Rechtfertigung der Gradientenansatze bei der Aktualisierung von Gewichten in iterativen A/D-Ansatzen (zu TeillI, 4.2.)

Herleitung der Gewichtstransformation bei Umclusterung der Variablen (zu Tei! IT, 4.5 .1.)

Zur Basis-Eigenschaft der transformierten aggregierten Losung (zu Teil 11, 4.5.2.2.)

Zur Basis-Eigenschaft der transformierten aggregierten Losung bei variablenbeschrankten Problemen (zu TeillI, 4.5 .3.)

Ertrage der Wertpapiere in einzelnen Perioden fur das Beispiel zur Nutzung der iterativen Aggregation mit Umclusterung bei der Bestimmung von Mf'-effizienten Portfolios (zu TeillI, 4.5.5 .2.)

Quellen und Dimensionen der Beispiele von Testserie 1 (zu Teil IT, 4.8.1.)

Ergebnisse der Simulationsrechnungen in den Testreihen bei 5 Clustern (zu Teil IT, 4.8.4.)

Daten des Beispiels zur Hierarchischen Produktionsplanung (zu Teil ill, 3.3 .)

Literaturverzeichnis

303

305

308

310

314

317

323

324

325

341

343

Abbildungsverzeichnis

Nr. Titel Seite

1-1 Faktoren der Komplexitat und Instrumente zu ihrer Handhabung 10

1-2 Das Modell als Partialmodell in bezug auf das (komplexe) Realproblem und in bezug 13 auf den betrachteten Realproblemausschnitt

1-3 Grundstruktur eines Entscheidungsmodells 14

1-4 Grundstruktur eines Entscheidungsprozesses in Form eines Regelkreises 15

1-5 Grundsatzliche Vorgehensweisen zur (modellorientierten) Komplexitatsreduktion in 19 Entscheidungsmodellen

1-6 Der Zusammenhang von Dekomposition und Abstraktion/Verdichtung in 21 (Entscheidungs-) Modellen

1-7 Beurteilung der Komplexitatsveranderung in Entscheidungsmodellen 23

1-8 Skizze der Ursachen iterativer Vorgehensweisen bei Komplexitatsreduktionen in 24 Entscheidungsmodellen

1-9 (Einfaches) Schema des Aggregations-lDisaggregationsprozesses bei 28 Entscheidungsmodellen

1-10 (Erweitertes) Schema des Aggregations-lDisaggregationsprozesses bei 29 Entscheidungsmodellen

1-11 Mogliche Beziehungen zwischen aggregierten und disaggregierten Uisungen 36

1-12 Mehrstufige Planung in der Mehrebenen-Darstellung und im Kontext der Aggregation 40

1-13 Erwartungswert und Standardabweichung des Aggregates zweier stochastischer 43 Parameter

1-14 Skizze der reinen Periodenaggregation 48

1-15 Schema der rollierenden Planung 49

1-16 Schema der Kombination von Periodenaggregation und rollierender Planung 50

II-I Ubersicht iiber Teilll 54

11-2 Die Struktur des Aggregations- und Disaggregationsprozesses bei 58 Optimierungsproblemen

11-3 Zuliissigkeit und Unzulassigkeit im aggregierten Problem 71

11-4 Der Entscheidungsraum bei Disaggregation mit und ohne Verteilung von 72 Restkapazitaten auf der aggregienen Ebene

11-5 Aggregation und Disaggregation fur den Fall, daJI das aggregierte Problem keine 74 zulassige Uisung besitzt, bei Relaxation verletzter Restriktionen

11-6 (primale) Degeneration von OptimallOsungen variablenaggregierter Probleme 76

11-7 Untersuchte Duallasungen in der Schrankenberechnung nach Zipkin und nach 83 Mendelssohn

11-8 Untersuchte Duallosungen in der Schrankenberechnung nach Taylor 85

11-9 Untersuchte DuallOsungen in der Schrankenberechnung nach Knolmayer und Stuhr 87

11-10

II-ll

11-12

11-13

11-14

I1-15

I1-16

11-17

I1-18

11-19

11-20

11-21

11-22

11-23

11-24

11-25

11-26

I1-27

11-28

11-29

11-30

11-31

11-32

11-33

-XIV-

Untersuchte Duallosungen bei Aufhebung der Konvexitatsbedingung

Schematischer Vergleich der Vorgehensweise von Knolmayer mit Konvexiratsforderung (a) und ohne Konvexiratsforderung (b) mit der vorgeschlagenen Vorgehensweise zur Schrankenberechnung (c und d)

Mogliche heuristische Ansatze, urn ausschlieBlich nichtnegative Dualltisungen zu betrachten

Obere Schranke in Abhiingigkeit von e und :\. bei (konvexer) Kombination von u* und U (a) e = 1 (Zipkin-Schranke), b) Isoquanten)

Bestimmung einer guten Naherung fur die zur Schrankenminimierung benotigte Duallosung u *

InformationsfluB in einer Iteration bei iterativer Aggregation/Disaggregation

Der Gradient aus der fixed-weight disaggregierten Losung in dieser fixed-weight disaggregierten Losung und in der optimal disaggregierten Losung

Schematische Darstellung der Gewichtsaktualisierung bei optimaler Disaggregation auf der Basis der optimal disaggregierten Losung (a) und auf der Basis der fixed­weight disaggregierten Losung (b)

Winkel- und Abstandsahnlichkeit in linearen Optimierungsproblemen

Clusterzuordnung (ausschlieBlich) nach reduzierten Kosten

Graphische Darstellung der moglichen Auswirkungen einer Umclusterung auf Basislosungen (a) vor Umclusterung, b) nach Umclusterung)

Zuordnung der Variablen zu Clustem in einer beliebigen Iteration bei funf Clustem

Erwarteter Ertrag und Gini-DiJIerenz der einzelnen Wertpapiere und die Eflizienzkurve der Portfolios

Annaherung an die Eflizienzkurve in Abhiingigkeit von der Iterationszahl (a) untere Schranken, b) obere Schranken)

Annaherung an die Eflizienzkurve in Abhiingigkeit von der Iterationszahl (a) Fehlerschranken, b) tatsachliche Abweichung der zuliissigen Losung von der Optimallosung)

Erwartete Ertriige und mittlere Gini-DiJIerenzen der 300 betrachteten Aktien an 300 BOrsentagen zwischen dem 25.10.1991 und dem 31.12.1992

Fehlerschranken (a) und Approximation des Randes der Portfolio-Kombinationen (b) beim Beispiel von 300 in den USA gehandelten Wertpapieren und 300 BOrsentagen

Reine Verfeinerungsstrategie (a), reine Umclusterungsstrategie (b) und gemischte Verfeinerungs- und Umclusterungsstrategie (c)

Vergieich von unterschiedlichen Gewichtsaktualisierungsschemata bei Ansatzen vom Typ (Lex, * , - , - , * ) , mittlerer Fehler in %

Vergleich von unterschiedlichen Gewichtsaktualisierungsschemata bei Ansatzen vom Typ (*, fwD, - , - , *) , mittlerer Fehler in %

Vergieich von unterschiedlichen Gewichtsaktualisierungsschemata bei Ansatzen vom Typ (*, optD, -, -, *), mittlerer Fehler in %

Mittlerer Fehler (in %) bei den Ansatzen vom Typ (ZF, * , * , -,reI)

Mittlerer Fehler (in %) bei den Ansatzen vom Typ (ZF, * ,- oder OL, - , Gew

oder Var)

Mittlerer Fehler (in %) beim Vergieich von Verfeinerungsanslltzen mit dem Umclusterungsansatz (ZF, fwD, OL, -, Var)

90

92-93

100

104

106

ll3

123

124

132

140

148

153

165

167

168

171

173

175

185

187

188

190

191

193

II-34

II-35

JI-36

II-37

II-38

II-39

II-40

II-41

II-42

JI-43

III-I

-xv-

Vergleich von Verfeinerungs-, Umclusterungs- und Dekompositionsansatzen (mittlerer Fehler in %)

Vergleich einiger ausgewahlter IA/D-Ansatze bei 5 und m+2 Clustem (mittlerer Fehler in %)

Doppelt geriinderte blockdiagonale LP-Struktur

Banddiagonale Struktur (a) und triangulare Struktur (b) eines LP-Problems (ohne Randerung)

Schematische Darstellung der Bandstruktur im detaillierten und im aggregierten Problem (a) Variablenaggregation, b) Restriktionenaggregation, c) simultane Variablen- und Restriktionenaggregation)

Schematische Darstellung des 'literaturiiblichen' (iterativen) A/D-Ansatzes bei ausschlie61icher Variablenaggregation

Schematische Darstellung des 'literaturiiblichen' (iterativen) A/D-Ansatzes bei ausschliefilicher Variablenaggregation unter Einbeziehung der verfugbaren Informationen

Schematische Darstellung des iterativen A/D-Ansatzes unter Einbeziehung der verfugbaren Informationen bei ausschliefilicher Variablenaggregation mit der Mtiglichkeit der Umclusterung

Schematische Darstellung des iterativen A/D-Ansatzes unter Einbeziehung der verfiigbaren Informationen bei ausschliefilicher Variablenaggregation mit optimaler Disaggregation

Schematische Darstellung der unterstellten Varianz-Kovarianz-Matrix der Variablen

Blockdiagramm des betrachteten Produktions-/Lagerhaltungsproblems bei einstufiger Produktion

195

198

208

209

212

215

216

218

219

227

253

Tabellenverzeichnis

Nr.

I-I

1-2

II-I

II-2

II-3

II-4

II-5

II-6

II-7

ill-I

ill-2

ill-3

Titel

Gegeniiberstellung von Komplexitatsfaktoren im allgemeinen und in Entscheidungsmodellen

Mogliche Kombinationen der Uisbarkeit der Modelle der einzelnen Ebenen

Mogliche Kombinationen von (primalen) Variablen- und Dualwerten bei beliebigen LP-Problemen

Zuordnung der Variablen zu Clustem im Rahmen der optimallosungsorientierten Umclusterung eines IA/D-Ansatzes

Mogliche Kombinationen von Variablen- und Dualwerten bei LP-Problemen mit beschriinkten Variablen

Maximale Feblerscluanke und maximaler tatsiicblicher Febler der ermittelten zulassigen Uisung in Abhiingigkeit von der Iterationszahl (maximal in bezug auf das betrachtete Ertragsintervall)

Feblerscluanken (in %) und Anzahl der Wertpapiere beim mit 300 Wertpapieren und 300 BOrsentagen

Mittlerer relativer Febler (in %) nach 20 Iterationen bei 5 und m+2 Clustem fur ausgewiihlte IAID-Ansatze

Miigliche Kombinationen von Scblupfvariablen und Schattenpreisen bei beliebigen LP-Problemen und Zeilenaggregation

Anzahl von Variablen und Restriktionen im betrachteten Modell

Abweichungen vom optimalen Zielfunktionswert bei iterativer Aggregation und Disaggregation im kontinuierlich formulierten Beispiel

Abweichungen vom optimalen Zielfunktionswert bei iterativer Aggregation und Disaggregation im gemischt-biniir formulierten Beispiel

Seite

17

35

142

143

152

169

172

199

206

252

287

290

Abkiirzungsverzeichnis

ND

B&B

DAX

EROT HP HPP IND

LP

MCK

MIT

MY

u.d.N.

AggregationfDisaggregation

Branch and Bound

Deutscher Aktienindex

equalization of run-out times

Hierarchische Planung

Hierarchische Produktionsplanung

Iterative Aggregation und Disaggregation

Lineare Programrnierung bzw. Lineares Prograrnm

Multi Constrained Knapsack

Massachusetts Institute of Technology

Mean Variance

unter den Nebenbedingungen

Symbolverzeichnis

Vorab sei bemerkt, da1I kleine lateinische Buchstaben grundsatzlich fur detaillierte, nichtaggregierte Para­meter und groBe lateinische Buchstaben als Bezeichnung fur deren aggregierte Pendants gewiihlt werden. 1m folgenden werden daher nur die entsprechenden kleinen Buchstaben aufgefiihrt. Weiter stehen iiber­strichene Bezeichnungen fur Bezeichnungen nach einer Umclusterung bzw. nach einer Parameterverande­rungen bei den Ausfuhrungen zur Sensitivitiitsanalyse in den entsprechenden Abschnitten von Teil II. Teil­weise werden in den Teilen II und ill gleiche Bezeichnungen mit unterschiedlichen Inhalten verwendet. Daher wird bei den Bezeichnungen von Teil ill "(III)" angefugt.

a (aij)

a (ah ,j2)

a i resp. a j

a k

B- 1

cj = Cj - uaj

ck

Koeffizientenmatrix eines linearen Programms

Produktverflechtungsmatrix (III)

Zeile i bzw. Spalte j der Matrix a

zum Cluster Sk gehiirige Spalten von a

aggregierte Produktverflechtungsmatrix bei perfekter Aggregation (III)

rechte Seite eines !inearen Progranuns

Verbrauch an Ressource r s zur Produktion einer Mengeneinheit des Produktes auf Stufe s (III)

Verbrauch an Ressource r zur Produktion einer Mengeneinheit des Produktes bei einstufiger Produktion (III)

Basisinverse

Zielfunktionskoeffizienten eines !inearen Programms

reduzierte Kosten der Variablen Xj

zum Cluster Sk gehoriger Vektor der Zielfunktionskoeffizienten c j

Kosten der Lagerung einer Mengeneinheit des Produktes j in Periode t (III)

Kosten einer (Normal-) Mengeneinheit der Ressource r s auf der Produktionsstufe s in Periode t (III)

Kosten einer (Zusatz-) Mengeneinheit der Ressource r s auf der Produktionsstufe s in Periode t (III)

Kosten der Produktion einer Mengeneinheit des Produktes j in Periode t (III)

Kosten fur einen Riistvorgang des Produktes j in Periode t (III)

Varianz-Kovarianz-Matrix

Parameter in der Abschatzung der (primalen) Variablen Xj bei der Schranken­

berechnung nach Zipkin

effektive externe Nachfrage nach Produkt j in Periode t (III)

externe Nachfrage nach Produkt j in Periode t (III)

Untergrenze fur die externe Nachfrage nach Produkt j in Periode t (III)

Obergrenze fur die externe Nachfrage nach Produkt j in Periode t (III)

E

f(b)

fjsrs

f1J

F(b)

Fk

g

9 (gj)

g; gk

gijt

gPjt

gXjt

G

h

hi

h jt

h jrt

h J

i = 1, ... ,m

ijt

1, ... ,n

j 1, ... ,jmax

k 1, ... ,K

1 1, .. . ,L

L(x,u)

LB

nk

nsrst

-XIX-

Parameter in der Abschiitzung der (duaJen) Variablen u i bei der Schranken­

berechnung nach Zipkin

Winkelgrenze im Ansatz von Taylor

n-dimensionale Einheitsmatrix

Erwartungswert resp. Einheitsmatrix (III)

Ertrag eines Portfolios in Periode t

Dichtefunktion

untere Schranke fur den Wert der Variablen Xj

Verbrauch an Ressource r s ZUID Riisten je Riistvorgang von Prodnkt j auf Stufe s (ill)

Vektor von unteren Variablenschranken in einem Endknoten 'Il des Branch and Bound-Algorithmus

Verteilungsfunktion

Beitrag des Clusters k zur Schrankenennittlung

Aggregationsmatrix der Variablen

Vektor der (Aggregations-) Gewichte der Variablen Xj

Gewicht der Variablen x; in der Optimallosung

ZUID Cluster Sk gehoriger Vektor der Variablengewichte 9j

Gewicht der Variablen i j t (III)

Gewicht der Variablen Pjt (ill)

Gewicht der Variablen Xj t (III)

Variablenpartition

Aggregationsmatrix der Restriktionen

(Aggregations-) Gewicht der Restriktion i

Gewicht der Mengenbilanzrelation von Prodnkt in Periode t (ill)

Gewicht der Mengenbilanzrelation von Prodnkt in Periode t bzgl. Ressource r (III)

Gewichtungsvektor der Prodnkte in Prodnktgruppe J (IIn

Zeilen- bzw. Restriktionenindex

Lagermenge des Prodnktes j in Periode t (lIn

Spalten- bzw. Variablenindex

Prodnktindex (III)

Index der Variablencluster S k

Index der RestriktionencIuster T 1

Lagrangefunktion

untere Schranke

AnzahI der Variablen in Cluster Sk

Verbrauch an (Normal-) Mengeneinheiten der Ressource r s auf der Prodnktions­

stufe s in Periode t (III)

s = 1, ... , stnaX

Sk

SPJ

t = 1, ... , t=

Tl

u = (U i )

U f

uk

. u

UB

V

v

V'1

w

W'1

X = (X j ) . X

Xf

Xk

XO

Xjt

-xx-

Verbrauch an (Zusatz-) Mengeneinheiten der Ressource r s auf der Produktions­stufe s in Periode t (TIl)

Produktionsmenge des Produktes j in Periode t (Ill)

maximale Produktionsmenge von Produkt j in Periode t (III)

Parameter in der Variablenabschatzung der primalen Variablen in Cluster k bei

der Schrankenberechnung nach Zipkin

Parameter im Algorithmus von Vakhutinsky et aI.

Parameter in der Restriktionenabschatzung der dualen Variablen in Cluster 1 bei

der Schrankenberechnung nach Zipkin

obere Schranke fur den Wert der Variablen Xj

Vektor von oberen Variablenschranken in einem Endknoten '11 des Branch and Bound-Algorithmns

Ressourcenindex auf der Produktionsstufe s (III)

m-dimensionaler Raum reeller Zahlen

Produktionsstufenindex (III)

(Menge der Indizes der) Variablen in Cluster k

(Menge der Indizes der) Produkte in Produktgruppe J (III)

Periodenindex (TIl)

(Menge der Indizes der) Restriktionen in Cluster 1

(duale) Variablen, Schattenpreise

fixed-weight disaggregierter (dualer) Variablenvektor

Vektor der Dualwerte im Teilproblem k

optimaler (dualer) Variablenvektor

obere Schranke

Iterationsindex

Entscheidungsvariable in der Portfolio-Selektion

Entscheidungsvariable in der Portfolio-Selektion

Dualvariable zur Abschatzung der Variablen in Cluster k bei der Schranken­

berechnung nach Zipkin

knotenspezifischer Dualwert in bezug auf eine Variablenobergrenze im Branch and Bound-Ansatz

Entscheidungsvariable in der Portfolio-Selektion

knotenspezifischer Dualwert in bezug auf eine Variablenuntergrenze im Branch and Bound-Ansatz

(primale) Variablen

optimaler (primaler) Variablenvektor

fixed-weight disaggregierter (primaler) Variablenvektor

zum Cluster Sk gehOriger Vektor der Variablenwerte Xj

optimal disaggregierter (primaler) Variablenvektor

(binare) Riistvariable fur Produkt j in Periode t (III)

y

Z . Z

ZD

Zk

a =

at,t,

13

r T]

'" A-

I-'

1t

cr

OJ

1

lh

~>k k

(a j )

(I-'j)

-XXJ-

Vektor der (primalen) Werte der Schlupfvariablen (= b - ax)

ZieJfunktionswert

optimaler ZieJfunktionswert

Sumrne der ZieJfunktionswerte der Teilprobleme

ZieJfunktionswert im Teilproblem fUr Cluster k

Vektor der Anteile der risikobehafteten Wertpapiere j in einem Portfolio

Parameter bei der Bestimmung des optimalen Portfolios mittels der Gini-Differenz

Bestinuntheitsmafi

Gini-Differenz

(End-) Knoten im Branch and Bound-Verfahren

Parameter zur exponentiellen Glattung

periodenverbindende Problenunatrix beirn rnehrperiodigen LP-Problem resp. Faktor in Konvexkornbinationen

Vektor der erwarteten Enrage der risikobehafteten Wertpapiere j

periodenindividuelle Problernrnatrix beim rnehrperiodigen LP-Problem

Standardabweichung

Schwellenwert fUr die Nlihe einer Variablen zu einer ihrer Grenzen

passend dirnensionierter 1-Vektor

Zeilenaggregationsrnatrix (ill)