problèmes Du Premier Degré à Une Ou Deux Inconnuespasseport.univ-lille1.fr/site/Math-va/08E/E821.pdf · ... la mØthode par substitution ou la mØthode par ... Dans un service

CUEEP Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 1/27

Problèmes du premier degré à une ou deux inconnues

Rappel Méthodologique

Problèmes qui se ramènent à une équation à une inconnue

Soit l�énoncé suivant : Monsieur Duval a 4 fois l�âge de son garçon et sa femme 3 fois. Monsieur et Madame Duval ont ensemble 77 ans. Quel est l�âge du garçon ? Que cherche t-on ? Voir la question qui est posée : Quel est l�âge du garçon ? Le plus souvent le choix de l�inconnue est guidé par la question, mais on peut être amené à faire un autre choix pour simplifier la mise en équation. On choisira dans cet exemple x pour l�âge du garçon. Mais il y a deux autres inconnues, l�âge de Monsieur et l�âge de Madame. Repérer dans l�énoncé la phrase qui contient des informations sur les deux autres inconnues : Monsieur Duval a 4 fois l�âge de son garçon et sa femme 3 fois : Ces inconnues peuvent être exprimées directement en fonction de x Age de Monsieur Duval : 4x Age de Madame Duval : 3x Repérer la phrase qui permet d�écrire l�équation à résoudre. Monsieur et Madame Duval ont ensemble 77 ans

7734 =+ xx


Résoudre l�équation et donner la solution

11777

==

xx

Le garçon a 11 ans.

Vérifier : Monsieur Duval a 44 ans (4 x 11) Madame Duval a 33 ans (3 x 11) Monsieur et Madame Duval ont ensemble 77 ans (44 + 33)


Problèmes qui se ramènent à un système de deux équations à deux inconnues Soit l�énoncé suivant : Une salle de spectacle propose deux sortes de spectacles : pièces de théâtre ou concert. Toutes les places sont au même prix mais le tarif n�est pas le même s�il s�agit d�une pièce de théâtre ou s�il s�agit d�un concert. Alexandre réserve 2 places pour une pièce de théâtre et 4 places pour un concert, il paie 170 �. Bérénice réserve 3 places pour une pièce de théâtre et 2 places pour un concert, elle paie 135 � Quels sont les tarifs respectifs pour une pièce de théâtre ou pour un concert ?

Que cherche-t-on ? Deux tarifs. : On les nomme x et y et on ne peut pas directement exprimer l�un en fonction de l�autre. La phrase : « Alexandre réserve 2 places pour une pièce de théâtre et 4 places pour un concert, il paie 170 � « permet d�écrire une première équation :

17042 =+ yx La phrase : « Bérénice réserve 3 places pour une pièce de théâtre et 2 places pour un concert, elle paie 135 � » permet d�écrire une deuxième équation :

13523 =+ yx On est donc amené à résoudre un système de deux équations à deux inconnues :

=+=+

(B) 13523(A) 17042

yxyx


On a le choix entre deux méthodes, la méthode par substitution ou la méthode par combinaison linéaire (voir les dossiers appropriés). Il est plus facile dans cet exemple d�utiliser la méthode par combinaison linéaire.

25A)-(2B 1004

(2B) 27046(A) 17042

==

=+=+

xx

yxyx

En remplaçant x par 25 soit dans l�équation (A) soit dans l�équation (B), on trouve la valeur de y.

Dans (A)

30120501704

1704252

==−=

=+×

yy

y

Dans (B)

3060751352

1352253

==−=

=+×

yy

y

Le prix de la place pour une pièce de théâtre est de 25 � Le prix de la place pour un concert est de 30 � On vérifie dans les deux équations :

135302253170304252

=×+×=×+×


Exercices

Enoncés 1) Dans un service de gériatrie qui compte 24 personnes, il y a 2 fois plus de femmes que d�hommes. Quel est le nombre d�hommes dans ce service ?

2) Un gâteau nécessite les ingrédients suivants : 3 fois plus de farine que de sucre, trois fois plus de sucre que de beurre, et deux fois plus de chocolat que de sucre. Calculer le poids de chaque ingrédient pour un gâteau de 750 g.

3) Dans une assemblée, quarante personnes ont plus de 40 ans, un quart a entre 30 et 40 ans et un tiers a moins de 30 ans. Quel est le nombre de personnes de cette assemblée ?

4) Deux nombres sont tels que le plus grand est le triple du plus petit.. Si on ajoute six à chacun, on obtient deux nouveaux nombres tels que le plus grand est le double du plus petit. Quels sont ces deux nombres ?

5) Au café des amis consomment la même chose. S�ils paient 2,2 � chacun il manque 6 � au total. S�ils paient 2,6 � chacun, il manque encore 3,6 �. Combien sont-ils et quel est le prix de leur consommation ?

6) Dans un service administratif il y a 32 personnes. 5 hommes et 3 femmes partent en retraite et ne seront pas remplacés.

Il y aura alors 2 fois plus de femmes que d�hommes dans ce service.

Combien y a-t-il d�hommes et de femmes actuellement dans ce service ?


7) Un troupeau est composé de dromadaires et de chameaux.

On compte 90 têtes et 152 bosses. Sachant qu�un dromadaire a une bosse et un chameau 2, combien y a-t-il d�animaux de chaque espèce ?

8) On dispose de 34 pièces, les unes de 50 centimes d�euro, les autres de 20 centimes d�euro.

Au total elles représentent une somme de 11,60 �. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ?

9) Un éditeur vient de publier un nouveau roman. Les frais s�élèvent à 60 � pour chacun des 450 premiers exemplaires et 5 � pour chacun des suivants.

Le prix de vente du roman est fixé à 28,50 �. Quel est le nombre minimum d�exemplaires à vendre avant de réaliser des bénéfices ?

10) Un hôpital remplace régulièrement son petit matériel. Lors d�une première commande, 15 thermomètres et 10 tensiomètres ont été acheté pour 1 265 �.

Il fait une deuxième commande de 10 thermomètres et 15 tensiomètres. Le montant de la commande s�élève à 1 335 �.

Quel est le prix d�un thermomètre et quel le prix d�un tensiomètre ?


Aide générale Bien lire les énoncés, repérer toutes les informations. Qu�est-ce qu�on cherche ? Combien y a-t-il d�inconnues ? Transcrire toutes les informations. Repérer la ou les phrases permettant d�écrire la ou les équations Résoudre l�équation ou le système. Répondre avec précision aux questions posées. Vérifier les résultats.


Corrigés

Exercice1 Dans un service de gériatrie qui compte 24 personnes, il y a 2 fois plus de femmes que d’hommes. Quel est le nombre d’hommes dans ce service ?

Mise en équation du problème :

On cherche le nombre d�hommes :

Il y a deux fois plus de femmes que d�hommes :

Au total il y a 24 personnes :

soit x le nombre d�hommes.

Le nombre de femmes est 2x

x + 2x = 24

Résolution de l’équation : x + 2x = 24

3x = 24

x = 8

Solution : Dans le service de gériatrie, il y a 8 hommes (et 16 femmes)

Vérification : Nombre de femmes : 2 x 8 = 16

Au total 8 + 16 = 24


Exercice 2

Un gâteau nécessite les ingrédients suivants : 3 fois plus de farine que de sucre, trois fois plus de sucre que de beurre, et deux fois plus de chocolat que de sucre.

Calculer le poids de chaque ingrédient pour un gâteau de 750 g.


On cherche le poids de chaque ingrédients farine, sucre, beurre et chocolat : le problème ne comporte en réalité qu�une seule inconnue le poids de sucre car le poids des autres ingrédients est fonction du poids de sucres

On cherche le poids de sucre

Il y a trois fois plus de farine que de sucre

Il y a trois fois plus de sucre que de beurre donc il y a trois fois moins de beurre que de sucre

Il y a deux fois plus de chocolat que de sucre

Au total le gâteau pèse 750g

soit x ce poids

Le poids de farine est x3

Le poids de beurre est 3x

Le poids de chocolat est x2

75023

3 =+++ xxxx


Résolution de l’équation :

7503

633

93

3

75023

3

=+++

=+++

xxxx

xxxx

4,118

193750

7503

19

=×=

=

x

x

Solution : Le poids de sucre est d�environ 118,4g

Le poids de farine est d�environ 355 ,2 g (118,4 x 3)

Le poids de beurre est d�environ 39,5g (118,4 / 3)

Le poids de chocolat est d�environ 236,8 g (118,4 x 2)

Vérification Le poids du gâteau est de :

118,4 + 335,5 + 39,5 + 236,8 ≈ 749,9


Exercice 3 Dans une assemblée, quarante personnes ont plus de 40 ans, un quart a entre 30 et 40 ans et un tiers a moins de 30 ans.

Quel est le nombre de personnes de cette assemblée ?


On cherche le nombre de personnes de l�assemblée

Nombre de personnes de plus de 40 ans

Nombre de personnes entre 30 et 40 ans

Nombre de personnes de moins de 30 ans

Egalité du nombre des personnes

soit x ce nombre

40

le quart du nombre de personnes de l�assemblée : 4x

le tiers du nombre de personnes de l�assemblée : 3x

xxx =++34

40



965

1240125

1071240

1212

12740

1212

124

12340

3440

=×=

=−=

=+

=++

=++

x

xxx

xx

xxx

xxx

Solution : Le nombre de personnes de cette assemblée est 96

Vérification : Nombre de personnes de plus de 40 ans : 40

Nombre de personnes entre 30 et 40 ans : 24

496 =

Nombre de personnes de moins de 30 ans : 32

396 =

40 + 24 + 32 = 96


Exercice 4 Deux nombres sont tels que le plus grand est le triple du plus petit. Si on ajoute six à chacun, on obtient deux nouveaux nombres tels que le plus grand est le double du plus petit. Quels sont ces deux nombres ?


On cherche deux nombres, mais le plus grand est fonction du plus petit, si on trouve la valeur du plus petit on connaîtra celle du plus grand.

On cherche le plus petit nombre

Le plus grand est le triple du plus petit

On ajoute 6 au plus petit

On ajoute 6 au plus grand

Le nouveau plus grand est le double du nouveau plus petit

soit x ce nombre

3x

nouveau plus petit x + 6

nouveau plus grand 3x + 6

)6(263 +=+ xx


661223

12263)6(263

=−=−

+=++=+

xxx

xxxx


Solution :

Le plus petit nombre est 6

Le plus grand nombre est 18 (3 x 6) Vérification :

Nouveau plus petit : 6 + 6 = 12

Nouveau plus grand : 18 + 6 = 24

24 = 2 x 12


Exercice 5

Au café des amis consomment la même chose. S’ils paient 2,2 € chacun il manque 6 € au total.

S’ils paient 2,6 € chacun, il manque encore 3,6 €. Combien sont-ils et quel est le prix de leur consommation ?

Mise en équation du problème : Le problème semble être à plusieurs inconnues : le nombre d�amis, la somme due et le prix de leur consommation.

Si on connaît le nombre d�amis et la somme due, on pourra calculer le prix de leur consommation.

On cherche le nombre d�amis

On cherche la somme due

S�ils paient 2,2 � chacun ils donnent ensemble

Il manque 6 � à la somme due

S�ils paient 2,6 � chacun ils donnent ensemble

Il manque encore 3,6 � à la somme due

D�où l�égalité :

soit x ce nombre

soit S cette somme

x2,2

la somme due est de 62,2 +x 62,2 += xS

x6,2

la somme due est de 6,36,2 +x 6,36,2 += xS

6,36,262,2 +=+ xx


En fait on est ramené à une équation à une inconnue


Solution : Ils sont 6 amis

La somme due est de 19,2 � (2,2 x 6 + 6) ou (2,6 x 6 +3,6)

Le prix des consommations est de 3,2 �

Vérification :

S�ils paient 2,2 � chacun ils donnent ensemble 13,2 � il manque bien 6 �.

S�ils paient 2,6 � chacun ils donnent ensemble 15,6 il manque bien 3,6 �.

64,04,2

4,04,22,26,26,36

6,36,262,2

==

=−=−

+=+

x

xxx

xx


Exercice 6 Dans un service administratif il y a 32 personnes. 5 hommes et 3 femmes partent en retraite et ne seront pas remplacés. Il y aura alors 2 fois plus de femmes que d’hommes dans ce service. Combien y a-t-il d’hommes et de femmes actuellement dans ce service ? Mise en équation du problème :

On cherche le nombre d�hommes et le nombre de femmes actuellement dans le service :

Il y a 32 personnes dans le service :

Nombre d�hommes après départ en retraite

Nombre de femmes après départ en retraite

Egalité traduisant la phrase : Il y aura 2 fois plus de femmes que d�hommes

Soit H le nombre d�hommes et F le nombre de femmes.

H + F = 32

H � 5

F-3

2(H � 5) = F -3

On est ramené à un système de 2 équations à 2 inconnues

−=−=+

3)5(232

FHFH


On résout ce système par substitution :

Avec la première équation : H + F = 32 , on exprime H en fonction de F ! H = 32 � F

On remplace H par 32 � F dans la deuxième équation

32543)27(2

3)532(2

−=−−=−

−=−−

FFFF

FF

19357

2354

==

+=+

FF

FF

131932

32

=−=−=

HH

FH

Solution :

Actuellement le nombre d�hommes est de 13 et le nombre de femmes est de 19.

Vérification :

Nombre d�hommes après le départ en retraite : 13 � 5 = 8

Nombre de femmes après le départ en retraite : 19 � 3 = 16

Il y aura bien 2 fois plus de femmes que d�hommes


Autre mise en équation plus simple que la précédente : On appelle x le nombre d�hommes dans le service après le départ en retraite.

Il y a 8 départ en retraite, il restera 24 personnes dans le service et le problème est alors le même que le n°1.

La solution est

nombre d�hommes : 8

nombre de femmes : 16

Actuellement il y a 8 + 5 = 13 hommes

Et 16 + 3 = 19 femmes


Exercice 7

Un troupeau est composé de dromadaires et de chameaux. On compte 90 têtes et 152 bosses. Sachant qu’un dromadaire a une bosse et un chameau 2, combien y a-t-il d’animaux de chaque espèce ? Mise en équation du problème :

On cherche le nombre de dromadaires et le nombre de chameaux:

On compte 90 têtes, il y a x têtes de dromadaires et y têtes de chameaux

On compte 152 bosses : il y a x bosses de dromadaires et 2y bosses de chameaux

soit x le nombre de dromadaire et y le nombre de chameaux

x + y = 90

x + 2y = 152

On est ramené à résoudre un système de 2 équations (A) et (B) à 2 inconnues x et y

=+=+

(B) 1522(A) 90

yxyx


Résolution du système d’équations :

Par substitution

62289028

1522180152)90(2

90

=−==

=−+=−+

−=

yx

xxxx

xy

Par combinaison linéaire

289062

(A)équation l' dans 62par y remplaceOn 62

90152)(2 )()(

==+

=−=+−+−

xx

y yxy) (xAB

: Solution Il y a 28 dromadaires et 62 chameaux

Vérification :

28 + 62 = 90

28 + 2 x 62 = 152


Exercice 8 On dispose de 34 pièces, les unes de 50 centimes d’euro, les autres de 20 centimes d’euro Au total elles représentent une somme de 11,60 €. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ?


On cherche le nombre de pièces de 50 centimes et le nombre de pièces de 20 centimes Attention il faut penser à utiliser les mêmes unités et ne pas mélanger centimes et euros

Il y a 34 pièces

Pour un total de 11,60�

soit x de pièces de 0,50 � et y le nombre de pièces de 0,20 �

34=+ yx

60,1120,050,0 =+ yx

Résolution : Il faut résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues

=+=+

(B) 6,112,05,0(A) 34

yxyx

=+=×=+

(B) 6112050(0,5A) 175,0345,05,0

,y,x ,yx


1618-34x18y

5,40,3yB)-0,5A ( 6,11172,05,0

===

=−=− yy

Solution :

il y a 16 pièces de 50 centimes et 18 pièces de 20 centimes

Vérification : 16 + 18 = 34

0,5 x 16 + 0 ,20 x 18 = 11,6


Exercice 9

Un éditeur vient de publier un nouveau roman. Les frais s’élèvent à 60 € pour chacun des 450 premiers exemplaires et 5 € pour chacun des suivants.

Le prix de vente du roman est fixé à 28,50 €. Quel est le nombre minimum d’exemplaires à vendre avant de réaliser des bénéfices ?


On cherche le nombre minimum de roman

Recettes

Frais des 450 premiers

Frais des suivants

Total des frais

soit x ce nombre

28,50 x

450 x 60 = 27 000

5(x � 450)

27 000 +5(x � 450) = 27 000 + 5x - 2250

Il faut que les recettes soient supérieures aux frais pour faire des bénéfices :

2475055,28 +≥ xx Il s�agit d�une inéquation


Résolution

19,1053247505,23

2475055,28

≥≥

≥−

xx

xx

Solution : Le nombre minimum d�exemplaires à vendre pour faire des bénéfices est de 1 054

Vérification :

Recettes : 1054 x 28,50 =30 039

Frais : 27 000 + 5 x (1 054 � 450) =27 000 + 5 x 604 = 30 020

Pour 1054 exemplaires vendus les recettes sont légèrement supérieures aux frais


Exercice 10

Un hôpital remplace régulièrement son petit matériel. Lors d’une première commande, 15 thermomètres et 10 tensiomètres ont été acheté pour 1 265 €.

Il fait une deuxième commande de 10 thermomètres et 15 tensiomètres. Le montant de la commande s’élève à 1 335 €.

Quel est le prix d’un thermomètre et le prix d’un tensiomètre ?


On cherche le prix d�un thermomètre et le prix d�un tensiomètre

Montant de la première commande

Montant de la deuxième commande

soit x le prix d�un thermomètre et y le prix d�un tensiomètre

12651015 =+ yx

13351510 =+ yx


Résolution Le problème se réduit à la résolution d�un système de deux équations à deux inconnues, on utilisera de préférence la méthode par combinaison linéaire en essayant d�avoir les plus petits coefficients possibles.

=+=+

1335151012651015

yxyx

En multipliant la première équation par 3 et la deuxième par 2 on obtient un nouveau système où il y a le même nombre de « y » dans les deux équations, par différence on a une équation à une inconnue en x

=+=+

2670302037953045

yxyx

45112525

==

xx

59590675126510

1265104515

==−=

=+×

yy

y

Solution : Les thermomètres coûtent 45 � et les tensiomètres coûtent 59 �

Vérification : 15 x 45 +10 x 59 = 1 265

10 x 45 + 15 x 59 = 1 335

Documents

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