Problemes de Mecànica Racional. Titulació: Enginyeria Civil. … · 2011. 6. 10. · 1 Problemes. 3 0 Vectors ... La constant d’atraccio´ és K. Determineu el temps que li

Problemes de Mecanica Racional.

Titulacio: Enginyeria Civil.

Departament de Fısica Aplicada.

Curs 2010/2011.

J. Sanchez

A. Falques

10 de gener de 2011

Index

1 Problemes. 3

0 Vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Cinematica de la partıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Dinamica de la partıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Sistemes de forces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Estatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Estatica d’estructures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Canvis de sistema de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Cinematica del solid rıgid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.1 Cinematica 2D del solid rıgid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.2 Cinematica 3D del solid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8 Dinamica de sistemes de partıcules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.1 Moment lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.2 Moment angular i dinamica 2D del solid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9 Treball i energia per a una partıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10 Treball i energia per a sistemes de partıcules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

11 Geometria de masses i tensor d’inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

12 Dinamica 3D del solid rıgid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

13 Oscil.lacions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

14 Sistemes de massa variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2 Respostes. 61

0 Vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1 Cinematica de la partıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2 Dinamica de la partıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Sistemes de forces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Estatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Estatica d’estructures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Canvis de sistema de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Cinematica del solid rıgid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.1 Cinematica 2D del solid rıgid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.2 Cinematica 3D del solid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8 Dinamica de sistemes de partıcules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.1 Moment lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2 Moment angular i dinamica 2D del solid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9 Treball i energia per a una partıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10 Treball i energia per a sistemes de partıcules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11 Geometria de masses i tensor d’inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

12 Dinamica 3D del solid rıgid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

13 Oscil.lacions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14 Sistemes de massa variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1

2 INDEX

A Dimensions i unitats. 79

B Taules. 81

1 Moments d’inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822 Moments d’inercia d’arees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833 Centres de gravetat de formes geometriques usuals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 Recolzaments usats en aplicacions bidimensionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855 Recolzaments usats en aplicacions tridimensionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Capıtol 1

Problemes.

3

4 CAPITOL 1. PROBLEMES.

0 Vectors.

1. El vector resultant de la suma de dos vectors te 10 unitats de longitud i forma un angle de 35o ambun dels vectors components, que te 12 unitats de longitud. Calculeu la magnitud de l’altre vector.Comproveu que el modul del vector suma no es la suma dels moduls dels altres dos vectors.

2. Donats els vectors ~a = (5, 3, 4) i ~b = (6,−1, 2). Calculeu:

a) el modul de cadascun d’ells

b) ~a ·~bc) l’angle entre ells

d) els cosinus directors de cadascun

e) ~a+~b

f) ~a−~bg) ~a×~b.

3. Trobeu un parell de vectors de moduls 2 i 5 tal que la seva suma tingui modul 4.

4. La suma de dos vectors ~a,~b es un vector ~c de modul 24 i de cosinus directors: 1/3, -2/3, 2/3. Ames, el vector 3~a− 2~b te per components (7,9,3). Calculeu les components de ~a i ~b.

5. Un triangle te els seus vertex en els punts A = (1, 0, 2), B = (0,−2, 2) i C = (1, 1, 1). Trobeu l’areadel triangle i els seus angles.

6. Donat el vector ~a = 9~i+ 12~j + 20~k i el vector unitari ~u = 0.6~i + 0.8~k, determineu:

a) la component de ~a en la direccio de ~u.

b) la component de ~a en la direccio normal a ~u.

7. Donats els vectors ~a = 2~i+ 10~j − 4~k, ~b = 3~i−~j i ~c = 2~i+ 5~j + 3~k, calculeu:

a) l’area del triangle determinat per ~a i ~b× ~c, suposats concurrents.

b) les components del vector de modul 8 perpendicular al pla del triangle anterior i sentit donatper la regla del cargol al portar ~a sobre ~b× ~c.

c) el vector de modul 8 coplanari amb ~a i ~b tal que el seu extrem esta alineat amb el d’aquests.

8. Trobeu la distancia del punt P = (4, 5,−7) a la recta que passa pel punt Q = (−3, 6, 12) i esparal.lela al vector ~v = 4~i−~j + 3~k. Trobeu tambe la distancia del punt P al pla que passa per Q ies perpendicular a ~v.

9. Trobeu el volum d’un tetraedre que te un vertex en (0, 1, 1), un altre en (2,−1, 2) i les altres duesarestes que surten d’aquest punt son ~a = 2~i− 3~j + ~k i ~b = 4~k.

10. Trobeu el valor de l’expressio seguent: (~a×~b)2 + (~a.~b)2.

11. Donats dos vectors ~a,~b, i essent ~s = ~a+~b i ~d = ~a−~b. Dir quines condicions han de verificar ~a i ~bsi:

a) |~s| = |~a| + |~b|b) ~s = ~d,

c) |~s|2 = |~a|2 + |~b|2

d) |~s| = |~d|e) ~s · ~d = 0.

0. VECTORS. 5

12. Siguin ~a,~b dos vectors coneguts i O un punt fix. Trobeu el conjunt dels punts P de l’espai quesatisfan les seguents equacions vectorials:

a) ~OP · ~a = constant

b) ( ~OP − ~a) · ~OP = 0

c) ~OP × ~a = ~b

13. Siguin a,b i c els costats d’un triangle, α = ang(b, c), β = ang(a, c) i γ = ang(a, b) els anglesinteriors que formen els costats i S la seva area. Demostreu que:

a) c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ (Teorema del cosinus).

b) sinα/a = sinβ/b = sin γ/c = 2S/abc (Teorema del sinus).

(Indicacio: Considereu els vectors que uneixen els vertex del triangle, orientats de forma que elcorresponent al costat c sigui la suma dels altres dos. Calculeu llavors el seu modul fent servir elproducte escalar. Calculeu tambe l’area del triangle fent servir el producte vectorial de les tresformes que es possible.)

14. Sigui p un punt de R3, x = q + λ~v una recta i x = q + λ~u + µ~v un pla. Fent servir els productesescalar i vectorial demostreu que la distancia del punt a la recta val

d =| ~qp× ~v|

|~v|

i que la distancia del punt al pla val

d =|det( ~qp, ~u,~v)|

|~u× ~v| .

Veieu que aquesta ultima equacio pot donar tambe la distancia entre dos plans paral.lels.

15. Demostreu les identitats

cos(α+ β) = cosα cos β − sinα sin β

cos(α− β) = cosα cos β + sinα sin β

sin(α+ β) = sinα cos β + cosα sinβ

sin(α− β) = sinα cos β − cosα sinβ

cos 2α = cos2 α− sin2 α

sin 2α = 2cosα sinα.

(Indicacio: Considereu dos vectors de modul 1 que formin angles α i β amb l’eix de les x en sentitadequat i considereu els seus productes escalar i vectorial.)


1 Cinematica de la partıcula.

1. Les equacions del moviment d’una partıcula venen donades (en m) per:

~r(t)

x(t) = t3 − t2 − 1

y(t) = 2t2 − 6

z(t) = 4t

Trobeu la velocitat instantania per t = 2s, la velocitat mitjana en el perıode de temps entre t = 0si t = 2s, i l’acceleracio per t = 3s.

2. Un mobil te en cada instant de temps t la posicio indicada per les coordenades: x = a cos kt;y = a sin kt; z = bt. La trajectoria descrita es una helice cilındrica de la que es demana el pas.Determineu tambe, per cada instant de temps t, els vectors velocitat i acceleracio demostrant queels seus moduls son constants i que formen amb l’eix z angles tambe constants. Trobeu la curvatura.

3. La velocitat d’una partıcula ve donada pel seguent vector:~v = (3t−2)~i+(6t2−5)~j+(4t−1)~k (m/s), i el vector posicio a l’instant inicial es: ~ro = 3~i−2~j+~k (m).Calculeu:

a) el vector posicio a qualsevol instant de temps

b) el vector acceleracio

c) el modul de les acceleracions tangencial i normal per t = 1s.

4. L’acceleracio d’un coet ve donada per la relacio a = Ct , on C es una constant.

a) Trobeu la posicio en funcio del temps.

b) Si C = 3m/s3, troba la posicio i la velocitat quan t = 5s amb les condicions inicials: v = 0 ix = 0 per t = 1s.

5. El soroll del xoc d’una pedra que cau sense velocitat inicial en un pou, se sent despres de t segons.Trobeu la fondaria h del pou sabent que la velocitat del so es v m/s i negligint la resistencia del’aire.

6. El maquinista d’un tren de viatgers que es mou a 30 m/s veu un tren de mercaderies que es trobaa 180 m davant d’ell i que avanca amb el mateix sentit a 9 m/s. El maquinista del tren de viatgersfrena aconseguint una desacceleracio de 1.2m/s2 mentre que l’altre tren continua amb velocitatconstant. Hi haura xoc? En el cas que sı , on es produira el xoc?, en cas contrari, quina es lamınima distancia a la que arribara aquest?

7. Un motorista s’aproxima amb velocitat vo a un semafor que esta verd. En un cert instant el llumcanvia a groc.

a) Si el seu temps de reflex es τ (temps que transcorre des de la percepcio del groc fins a iniciar lafrenada), i la maxima acceleracio de frenada es a, quina es la mınima distancia smin a la quepot trobar-se del semafor en l’instant en que el llum canvia a groc per aturar-se sense creuar?

b) Si el groc dura un temps t0 abans de canviar a vermell, quina es la maxima distancia a la quees pot trobar el motorista de la cruılla en el moment en que el verd canvia a groc per tal que,mantenint la velocitat vo, passi el semafor abans que canviı a vermell?

c) Demostreu que si la velocitat inicial vo es mes gran que vmax = 2a(t0 − τ) hi ha un interval dedistancies a la cruılla tal que ni es pot frenar a temps ni passar abans de que canviı a vermell.

d) Feu una estimacio de t0, τ i a i calculeu vmax en km/h. Si vo = 2/3 .vmax, determineu lesdistancies maxima i mınima de l’enunciat.

1. CINEMATICA DE LA PARTICULA. 7

8. L’acceleracio d’un punt es a = k/(b − s), on k i b son constants i s es la distancia recorreguda.Expresseu l’espai i l’acceleracio en funcio de la velocitat v. En l’instant inicial s = 0 i v = 0.

9. Un punt material de massa m es atret per un altre punt material fix de massa m1 amb una forcainversament proporcional al cub de la distancia i directament proporcional al producte de les masses.La constant d’atraccio es K. Determineu el temps que li cal al primer punt per arribar al segon,essent d la separacio inicial i la velocitat inicial zero.

10. Un mobil es mou en una lınia recta, la seva posicio donada per x(t) = a − bt2 + ct4. En el SI elsvalors de a,b i c son 12, 15 i 3 respectivament. Trobeu:

a) les dimensions de a,b i c

b) els instants en que el mobil esta en l’origen

c) els valors del temps pels que la velocitat s’anul.la

d) l’acceleracio instantania

11. L’acceleracio maxima d’un tren es a i la desacceleracio maxima es b. Quin es el temps mınim quepot emprar el tren en recorrer una distancia d si imposem que la velocitat inicial i final siguinnul.les?

12. Un cos submergit en un fluid t’

una desacceleracio proporcional a la velocitat, de constant deproporcionalitat 3µ. Si la velocitat inicial es vo, troba el temps que tarda en recorrer una distanciaL. Quina distancia recorrera en total abans d’aturar-se?

13. Despres d’aturar el motor d’una canoa, aquesta te una desacceleracio en sentit oposat a la velocitati directament proporcional al quadrat d’aquesta dv/dt = −kv2 on k es una constant. Suposem queel motor s’atura quan la velocitat es vo = 6m/s i la velocitat disminueix fins a 3 m/s en 15 s

a) calculeu el valor de k

b) trobeu l’expressio de la velocitat en funcio del temps

c) demostreu que la distancia recorreguda en un temps t es : x(t) = 1/k ln(vokt+ 1)

d) doneu l’expressio de la velocitat en funcio de l’espai

14. Indiqueu si les seguents afirmacions son correctes o no, i justifiqueu la teva resposta:

a) Una partıcula pot realitzar una trajectoria plana curvilınia fins i tot si la seva acceleracio tesempre la mateixa direccio.

b) Una partıcula pot tenir acceleracio no nul.la en un instant en el que la velocitat es nul.la.

c) Una partıcula pot variar la direccio de la seva velocitat quan la seva acceleracio es constant.

d) Una partıcula pot variar la direccio de l’acceleracio quan la direccio de la velocitat es manteconstant.

15. Determinar les components del vector velocitat i del vector acceleracio en coordenades polars planes.

16. Un obstacle de 10m d’alcada es troba a una distancia de 30m. Quina es la mınima velocitat ambla que hem de llencar un objecte perque passi per sobre l’obstacle?


17. Una cinta transportadora AB de 7m de longitud esta articulada en A i pot tenir qualsevol inclinacio.La cinta descarrega sorra en B i aquesta cau lliurement fins que arriba al terra en el punt C. Sabentque la cinta te una velocitat constant de 3m/s, calculeu la maxima distancia possible entre A i Ci l’angle α corresponent. Suposeu que la sorra surt amb la mateixa velocitat que la de la cinta iformant amb l’horitzontal tambe l’angle α.

A

B

C

α

18. Un noi es a 4 m d’una paret vertical i llenca una pilota contra ella amb una velocitat inicial de 10m/s i amb un angle de 45o respecte a l’horitzontal. La pilota es llencada amb la ma, a 2 m persobre del nivell del terra. A quina distancia de la paret caura la pilota? (Quan la pilota xoca contrala paret la component horitzontal de la seva velocitat canvia de signe, pero la vertical no canvia)

19. Quant valen les components intrınseques de l’acceleracio (acceleracio normal i tangencial) en cadaun d’aquests moviments:

a) circular uniforme

b) rectilini uniforme

c) rectilini uniformement accelerat

d) harmonic simple d’amplitud A i una frequencia de 5 vibracions per segon.

20. Dos blocs A i B estan connectats per una corda inextensible que passa per tres politges C, D i E talcom es mostra en la figura. Les politges C i E estan fixes, pero la D es mobil i baixa verticalmentamb una velocitat constant de 1.5 m/s. En l’instant t = 0 el bloc A es comenca a moure des dela posicio indicada en el dibuix baixant amb acceleracio constant 0.5m/s2. Determineu en aquestinstant la velocitat i l’acceleracio del bloc B.

K

4 m1,5 m/s

AB

C

D

E

21. En un instant donat d’un moviment els vectors velocitat i acceleracio formen un angle de 60o. Elsseus moduls valen respectivament 6m/s i 8m/s2 . Calculeu les acceleracions tangencials i normalsi el radi de curvatura.

22. Una partıcula es mou sobre una circumferencia de radi r = 2m segons la llei θ = 3t2 − 2t, θ en radi t en s. Calculeu per despres de 4s d’haver-se iniciat el moviment l’angle, l’arc, la velocitat lineali l’angular, l’acceleracio normal, la tangencial i l’angular

23. Un punt es mou sobre una circumferencia de radi 1m de manera que l’arc recorregut ve donat pers = 2t2 + 3t on s son metres i t son segons. Calculeu per t = 3s la velocitat lineal i angular aixıcom les components tangencial i normal de l’acceleracio.


24. Un sistema de referencia S’ es mou respecte a un altre S amb acceleracio constant ~a = 2~i(m/s2).La posicio inicial de S’ respecte S es ~r0 = 2~i + 3~j (m) i la velocitat inicial es nul.la. El vector deposicio d’una partıcula respecte S’ es ~r′(t) = 3t2~i+ 2t2~j (m). Determineu la posicio, la velocitat il’acceleracio de la partıcula en el sistema S en funcio del temps.

25. El pilot d’un avio que vola a 300 km/h respecte de l’aire vol anar cap al Nord. Bufa un vent del’Oest de 50 km/h. Trobeu la direccio en que ha de dirigir l’avio i la seva velocitat respecte a terra.

26. Una pissarra cau verticalment amb l’acceleracio de la gravetat. Es llenca un tros de guix a velocitatc, horitzontal. Quina forma te la ratlla que fa el guix damunt la pissarra?

27. En un dia de pluja, una noia camina a 2 km/h i veu que cau l’aigua verticalment. Quan augmentala seva velocitat a 4 km/h veu que l’aigua cau amb un angle de 45o cap a ella. Calculeu la direccioi la velocitat real de l’aigua.

28. Quan un veler navega en direccio quasi oposada al vent la velocitat del vent relativa a les veles(vent aparent) es mes gran que la del vent real. En canvi, quan navega a favor del vent es mespetita. Per quin angle entre el vent real i la direccio d’avenc del vaixell te lloc la transicio entreambdos comportaments? Calculeu l’angle de transicio en funcio de les celeritats absolutes del veleri del vent.

v v

VentVent

29. El destructor de la figura es desplaca a 55.6 km/h i llenca un coet amb un angle α de retard respectede la visual de l’objectiu, que esta fix. La velocitat de llancament es de 76 m/s respecte al vaixell ite un angle d’elevacio de 30o sobre l’horitzontal. Suposant que el coet segueix movent-se en el plavertical determinat per la seva velocitat absoluta de llancament, calculeu α, per θ = 60o.

30. Un cotxe A recorre una corba de 60 m de radi a una celeritat constant de 48 km/h. Quan A passaper la posicio indicada, el cotxe B esta a 30 m de la cruılla i esta accelerant cap al sud a rao de1.2m/s2. Determineu l’acceleracio de A respecte B en aquest instant.

α

θ

Objectiu

30 m

60m

A

B 30°

31. Un avio ultralleuger passa per sobre d’una sınia( atraccio de fira). Un observador situat damunt unacistella de la sınia medeix, a l’instant en que es troba en el punt mes alt, la velocitat i l’acceleraciode l’avio, que en aquest instant esta en la seva vertical, 100 m per sobre d’ell. Les mesures del’observador son expressades respecte un sistema de referencia que t

’l’origen al centre de la sınia,

l’eix x perpendicular al pla que la conte, l’eix z vertical i l’eix y horitzontal: ~v = 50~i + 40~j − 10~k(m/s) , ~a = 2~i −~j(m/s2). Trobeu la velocitat i l’acceleracio mesurades des de terra. El radi de lacistella es de 8m, la seva velocitat angular val 0.1 rad/s en sentit antihorari i l’acceleracio angular0.05rad/s2.


2 Dinamica de la partıcula.

1. Un ren estira horitzontalment un trineu amb una forca T . El fregament del trineu amb el terra esF . Si el ren arrossega el trineu amb velocitat constant, digueu quines de les seguents afirmacionsson correctes:

a) La forca que fa el trineu sobre el ren es igual a T .

b) La forca que fa el terra sobre el trineu es igual a T .

Considereu ara que el trineu avanca amb acceleracio, digueu de nou si les seguents afirmacions soncorrectes:

c) La forca que fa el trineu sobre el ren es igual a T .

d) La forca que fa el terra sobre el trineu es igual a T .

2. Dos blocs estan en contacte sobre una taula sen-se fregament. Apliquem una forca horitzontal am1. Si m1 = 2kg, m2 = 3kg i F = 10N , trobeula forca de contacte entre els 2 blocs. Si s’aplicala mateixa forca en sentit contrari sobre m2, laforca de contacte es diferent. Per que?

mm

2

1F

3. Un bloc de 4kg esta col.locat sobre un altre de 5kg. Perfer que el bloc superior patini sobre l’inferior s’ha d’aplicaruna forca de 12N sobre el bloc superior mantenint l’inferioraturat. Suposant que la taula no te fregament, trobeu:

a) La maxima forca que aplicada al bloc inferior permetque els dos blocs es moguin junts.

b) L’acceleracio amb que es mou el sistema en aquest cas.

4. Un senyor de massa M esta dins d’una cabina de massa m.El senyor estira de la corda per pujar.

a) Amb quina forca ha d’estirar la corda per pujar ambuna acceleracio a?

b) Quina forca haura de fer per pujar amb velocitat cons-tant?. Si el senyor esta sobre una bascula de massa ne-gligible, quina seria la lectura de la bascula en aquestasituacio?. I en el cas de l’apartat a)?.

5. Calculeu la magnitud de la forca constant que ha de fer l’in-dividu de la figura sobre la corda per pujar 10m en 1/4 mi-nuts, partint del repos. La massa del conjunt senyor+cadiraes de 70kg.

6. Una pilota lligada a una corda es posa en rotacio en unacircumferencia vertical. Demostreu que la tensio de la cordaen el punt mes baix excedeix la tensio en el punt mes alt ensis cops el pes de la pilota.

2. DINAMICA DE LA PARTICULA. 11

7. El pilot d’un avio es llenca en picat a una velocitat de 400km/h i acaba el descens, descrivint ambaquesta mateixa velocitat un arc de circumferencia situat en el pla vertical. Quin sera el mınimradi possible de la circumferencia per tal que l’acceleracio de l’avio no sigui mes gran que 7g (ong es l’acceleracio de la gravetat)?. Quina forca exercira l’avio sobre el pilot a l’instant en que latrajectoria sigui tangent a l’horitzontal?.

8. Trobeu la forca F necessaria per tal que el cos de 200kg es comenci a moure cap a la dreta. Elcoeficient de fregament es de 0.35 en totes les superfıcies.

9. Calculeu l’acceleracio del sistema i la tensio del fil del conjunt representat a la figura. Dades:F = 250N , l = 30o , µ = 0.2, m1 = 20kg i m2 = 30kg.

F

30

100 Kg

200 Kg

o

m1 m2

Fλ

10. Un bloc baixa lliscant amb velocitat constant per un pla inclinat 30o respecte l’horitzontal. Ambquina acceleracio baixara sobre el mateix pla si l’inclinacio augmenta fins a 45o ?.

11. Determineu la tensio del fil del sistema: a) sense frega-ment, b) amb fregament µ = 0.1. Dades: m1 = 100kg,m2 = 50kg, λ1 = 30o, λ2 = 45o.

12. Dos cossos de pesos P1 i P2 estan units per un fil per-fectament elastic i llisquen sobre dos plans inclinats αi β respectivament. Determineu l’acceleracio del mo-viment tenint en compte la resistencia del fregament.Dades: P1 = 5kp, P2 = 8kp, α = 60o, β = 30o iµ = 0.2. considereu els tres casos possibles; que P2

pugi, que baixi o que inicialment estigui en repos.

m1 m2

λ 1λ 2

13. Dues masses de 8kg i 16kg estan unides per una cordai llisquen sobre un pla inclinat de 30o. El coeficientde fregament cinetic entre la massa de 8kg i el pla esde 0.25 i entre l’altre massa i el pla es de 0.5. Teninten compte que la massa de 8kg esta inicialment mesbaixa que l’altra:

a) Calculeu l’acceleracio del conjunt.

b) Trobeu la tensio de la corda.

c) Compareu els resultats amb l’acceleracio de cadabloc si aquests no estiguessin units per la corda.

PP

14. Sigui R el radi de la Terra, g l’acceleracio de la gravetat a la superfıcie terrestre i T la duracio deldia. Determineu, en funcio d’aquestes dades, l’alcada a la que ha d’orbitar un satel.lit artificial pertal que sempre es trobi sobre el mateix punt de la superfıcie terrestre (geostacionari).

15. Quina es la maxima velocitat constant que pot portar un cotxe al passar per un canvi de rasantcom el de la figura sense que s’aixequi del terra?


16. Quina acceleracio ha de tenir el carreto perque el bloc A no caigui si el coeficient de fregamententre aquest i el carreto es µ? Com descriuria el comportament del bloc un observador situat sobreel carreto?

r

v

α/2

A

a

17. Si el pla inclinat de la figura s’accelera cap a la dretaamb una acceleracio a = 3m/s2, el bloc m s’acceleraracap amunt o cap avall? Trobeu la seva acceleracio relativaal pla inclinat. Menyspreeu els fregaments.

37º

a = 3 m/s

m

2

18. Un bloc llisca per un pla inclinat sense fregament. El pla forma un angle de 30o amb el terra d’unascensor. Trobeu l’acceleracio del bloc respecte el pla inclinat quan:

a) L’ascensor puja amb velocitat constant v.

b) L’ascensor puja amb acceleracio constant a.

c) L’ascensor baixa amb acceleracio constant a.

d) Es trenca el cable de l’ascensor.

19. Un bloc de 8kg esta unit a una barra vertical mitjancant dues cordes de 1.5m. Calculeu la velocitatamb que ha de girar per tal que la tensio de la corda superior sigui de 15kp. Quina es la tensio dela corda inferior?

20. Una pilota de ping-pong esta unida mitjancant un fil al tap d’un ampolla plena d’aigua que estainvertida. Es proporciona a l’ampolla una acceleracio a cap a la dreta. Expliqueu el comportamentde la pilota submergida. Quin angle formara amb l’horitzontal?

2m

a

21. Una plataforma gira al voltant d’un eix perpendicular a ella amb una acceleracio d’1rad/s2. Sobrela plataforma i a una distancia de l’eix d’1m, es col.loca un cos d’1kg. Si la forca maxima defregament estatic entre el cos i la plataforma es de 25N ; despres de quants segons d’haver-se iniciatel moviment des del repos surt foragitat el cos?

2. DINAMICA DE LA PARTICULA. 13

22. El sistema de la figura esta inicialment en repos i les politges son demassa negligible. Quan s’allibera el sistema s’observa que el cos 1 esqueda en repos. Trobeu:

a) Les tensions en les cordes.

b) La massa del cos 3.

c) El modul i el sentit de l’acceleracio del centre de la politja.

d) Els moduls i els sentits de les acceleracions dels cossos 2 i 3.

B

A

3

1

2

m

m =2 kg

m =1 kg

2

1

23. Dos blocs de la mateixa massa m estan un sobre l’altre enun pla horitzontal. El bloc inferior esta unit mitjancantuna corda (inextensible i sense massa) a un tercer bloc demassa M que penja tal com mostra la figura. El coeficientde fregament entre els blocs i el pla es µ (0 < µ < 1). Esdemana:

a) El valor de M necessari perque s’inicıi el moviment.

b) Les acceleracions dels blocs i la tensio de la corda su-posant que els blocs 1 i 2 es mouen solidariament.

c) Les acceleracions dels blocs i la tensio de la corda su-posant que l’1 llisca sobre el 2.

d) Trobeu la condicio sobre m, M i µ perque es verifiquiel cas b).

e) Calculeu l’acceleracio de M si µ = 0.1, M = 8kg im = 1kg.

M3

1

2

m

m

24. La part superior del carret de la figura constitueix un pla inclinat, d’angle α sobre el qual lliscasense fregament el cos petit de massa m. El carret pot desplacar-se tambe sense fregament i la sevamassa val M . Inicialment els dos es troben en repos en la posicio indicada en la figura.

a) Calculeu el temps que triga el cos de massa m a baixar l’alcada h i sortir per l’extrem dret.

b) Calculeu el desplacament del carret durant aquest temps.

c) Determineu el valor de la forca mutua que es fan els dos cossos.

d) Calculeu la forca resultant que fa el terra sobre el carret.

e) Indiqueu quin tipus de moviment tenen cadascun dels cossos despres d’haver-se separat.

m

M

α


25. La forca F del vent sobre la vela depen de l’area de la vela S, la densitat de l’aire ρ, l’angle entreel vent i la vela θ, i la velocitat del vent respecte de la vela v.

Per analisi dimensional trobeu la forma de la funcio: F = F (θ, ρ, S, v)

26. La NASA esta estudiant la possibilitat de col.locar un satel.lit captiu, tal com mostra la figura. Elsistema constara d’un satel.lit A de massa M , situat en orbita geoestacionaria, del que surt un filde longitud l que suporta al satel.lit captiu B, de massa m. Es pot suposar que m≪M , que l ≪ hi que el fil es inextensible i sense massa.

orbita geoestacionaria significa que el satel.lit sempre esta sobre el mateix punt de la Terra.

Dades: radi de la Terra, R = 6400Km. Gravetat a la superfıcie, g = 9.8m/s2.

a) Calculeu quina ha de ser la velocitat angular del conjunt perque el fil que uneix A i B apuntisempre cap al centre de la Terra.

b) Calculeu l’alcada, h, perque el conjunt estigui en orbita geoestacionaria.

c) Calculeu la tensio que suporta la corda que uneix A i B.

R

mMA B

h l

3. SISTEMES DE FORCES. 15

3 Sistemes de forces.

1. Expliqueu en quins casos cada un dels sistemesde la figura es equivalent a:

a) Una forca unica.

b) Un parell.

c) El sistema nul.1 2

3 4

2. L’eix central d’un sistema de forces es la recta x = y/2 = z/2. El modul de la resultant val |~R| = 6i les seves components son positives. El trinomi invariant val 18. Trobeu la resultant, el momentmınim i el moment respecte a l’origen.

3. Tres forces formen els costats OA, BC, DE del cub, d’aresta unitat, de la figura. Determineu laresultant i l’equacio de l’eix central del sistema.

4. Trobeu l’eix central, la resultant i el moment mınim del sistema de forces definit per les 6 arestesdel tetraedre de la figura, ~OA, ~OB, ~OC, ~AB, ~BC, ~CA, on | ~OA| = | ~OB| = | ~OC| = 1.

z

y

x

E D

O

C

BA

B

Ay

x

z

C

O

5. Donat el sistema de forces format pels vectors ~a = 3~i−~j + 2~k, ~b = −~i+~j + ~k, ~c = 4~k i ~d =~i− 3~j,aplicades en els punts A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0,−2) i D = (2, 2,−2), i un parell demoment ~M = 4~i+ 7~j + 5~k, resoleu les seguents questions:

a) Caracteritzeu el sistema.

b) Trobeu un punt de l’espai respecte del qual el moment resultant sigui mınim. Quan val aquestmoment?

c) Determineu un sistema equivalent al donat, format com a maxim per tres forces.

d) Es pot trobar un sistema equivalent format nomes per una sola forca? Per que?

6. Un sistema de forces ve donat per la forca ~a = −~i + 2~j + 3~k aplicada al punt (2, 1, 1) i un parellde moment ~M = 4~i + 2~j. Si es possible, reduıu aquest sistema a una forca unica i determineu lescoordenades del punt de la recta suport mes proper a l’origen.

7. Un sistema de forces te la resultant ~R = (1, 0, 0), el trinomi invariant igual a 3 i l’eix central quepassa pel punt (0, 1, 1). Trobeu un sistema de tres forces que sigui equivalent a l’anterior. Trobeu,


tambe, el parell necessari per tal que afegit al sistema descrit, en resulti un nou sistema reduıble auna unica forca.

8. Donat un sistema de forces, responeu breument a les seguents questions:

a) En quin cas el moment resultant es igual al moment de la resultant?

b) Si el sistema equival a una sola forca, es cert que el punt d’aplicacio d’aquesta forca es arbitrari?

c) Si el moment es nul, es cert que l’eix central no existeix?

9. Un sistema de forces te trinomi invariant nul. Que es pot dir d’aquest sistema? Considereu totesles possibilitats.

10. Dos sistemes de forces estan caracteritzats per les seves resultants, ~R1 = 2~i+~j−~k , ~R2 =~i−~k, i elsseus respectius moments resultants, ~M1 =~i−~j respecte al punt P1 = (1, 0, 1), i ~M2 = ~j+2~k respecteal punt P2 = (0, 0, 2). Caracteritzeu el sistema format per l’agrupacio d’aquests dos sistemes.

11. Els eixos centrals de dos sistemes de forces es tallen. Demostreu que l’eix central del sistemaequivalent a la unio dels dos inicials esta contingut en un pla paral.lel al pla determinat pels seuseixos.

12. Dos sistemes de forces tenen els eixos concurrents en un punt. Trobeu la condicio per que l’eixcentral del sistema equivalent a la unio dels dos concurreixi, tambe, en el mateix punt.

13. Donades les distribucions de forces seguents sobre un segment, calculeu la resultant i la posicio ons’ha de colocar per tenir un sistema de forces equivalent.

l

y

x

F

l

F

y

x

l

y

x

F1

F2

l/2 l/2

y

x

F1

F2 2 F

1

l

F1

F2

2

F(x)=F +(x/l) F2

x

y

1 l−x2 2

)1/2

/1

l

FF(x)=F (l

y

x

4. ESTATICA. 17

4 Estatica.

1. Una placa de 2 m per 1 m i 300 kg es mante horitzontal suspesa del sostre per tres cables verticals.Els cables estan units a tres dels vertexs de la placa. Calculeu la tensio que suporta cada un d’ells.

2. El coeficient de fregament a totes les superfıcies es de 0.25. Es fa una forca P sobre el cos de 20 kgtangencialment al pla inclinat. Entre quins valors maxim i mınim pot variar aquesta forca perqueno hi hagi moviment?

3. La barra homogenia de la figura te longitud a i pes P . Esta recolzada sobre el terra, horitzontal, ila paret, vertical, ambdos perfectament llisos. Determineu la tensio de la corda que la suporta.

30º

20 kgP

10 kg

α β

4. El cilindre, el pla inclinat i la paret de la figura son perfectament llisos. Calculeu l’angle β amb ques’ha de col.locar el cilindre superior perque els dos cilindres estiguin en equilibri.

5. Dues esferes iguals de radi r i pes G es recolzen mutuament entre sı i es recolzen, a mes a mes,contra les parets d’un cilindre de radi R obert per la part inferior. El cilindre es recolza en un plahoritzontal. Trobeu el pes mınim Q que ha de tenir el cilindre per a no ser bolcat per les esferes.Que passaria si el cilindre no estigues obert per la part inferior (es a dir si tingues base)?

β

θ

6. Una escala uniforme de 10 m de longitud es recolza en una paret llisa amb l’extrem inferior separat6 m de la paret. L’escala pesa 40 kg i el coeficient de fregament amb el terra es de 0.4. Un homepesa 75 kg. Quina distancia pot pujar sense que l’escala rellisqui?


7. Calculeu la forca F necessaria perque el cos de 200 kg comenci a moure’s cap a la dreta. El coeficientde fregament en totes les superfıcies es 0.35.

8. Un tractor fa pujar un tronc de 1000 kg per un pla inclinat de 20o. Quina forca ha de fer en ladireccio normal a la pala? El coeficient de fregament entre el tronc i la pala i entre el tronc i elterra es 0.4.

100 kg

200 kgF

30º

20º

9. La caixa quadrada i homogenia de la figura pesa 200 kp. Es vol fer-la pujar pel pla inclinat aplicantuna forca horitzontal T mitjancant una corda unida a una aresta. El coeficient de fregament es 0.4i l’angle del pla inclinat es de 10o. Determineu la forca T necessaria per iniciar el moviment, jasigui bolcant o lliscant. Raoneu perque es produeix una cosa i no l’altre.

10. Es vol fer pujar la roda de moto per el grao de la figura. El motor li exerceix un parell de momentM . El radi de la roda es r i ha de suportar un pes P . L’altura del grao es h i el coeficient defregament entre totes les superfıcies es µ. Determineu:

a) El mınim valor de µ necessari perque la moto pugui pujar.

b) El valor de h per sobre del qual la moto no pot pujar.

c) El moment M necessari per iniciar el moviment, i valor de les forces de fregament, per al casµ = 1.5µmin.

d) Idem. per al cas µ = 0.5µmin.

10º

T

h

M

4. ESTATICA. 19

11. Dues barres iguals de pes P i longitud 2a estan articulades en el seu punt mig, els seus extremsinferiors es recolzen en el terra horitzontal llis, i els extrems superiors estan units per una corda.A les barres s’hi recolza un rodet de radi r i pes W . Calculeu la tensio de la corda en funcio del’angle α.

12. Una biga es recolza a dos carrils en la forma indicada per la figura. Calculeu la mınima forca Q ques’ha d’aplicar per fer moure la biga i determineu la forca de fregament en el punt A en iniciar-se ellliscament. El coeficient de fregament val µ.

α QA

a ab

B

x

y

13. Es fa servir el tasco de la figura per elevar un cilindre de 500 kg. El coeficient de fregament en totesles superfıcies es de 0.25. Calculeu la forca P necessaria per a moure el cilindre.

14. Calculeu la forca Q vertical que es necessari aplicar al tasco de la figura per tal de que superi laresistencia de la forca horitzontal de 500 kp aplicada a A. L’angle de fregament a totes les superfıcieses de 18o (µ = tg 18o).

α

α=5º

P

500 Kp

CA B30º

Q


15. Dos cilindres identics es col.loquen segons la figura. Calculeu les forces en els recolzaments si el pesde cadascuna val P i es negligeixen els fregaments.

16. S’estira la roda de la figura amb una corda que forma un angle α amb la vertical. Determineul’angle per al qual la roda no roda ni cap a la dreta ni cap a l’esquerra. El coeficient de fregamentval µ i P es el pes de la roda. Per a l’angle calculat, trobeu el valor de la tensio de la corda, T , peral qual la roda comenca a lliscar.

20º

45º

α

T

r1

r2

17. Tres cilindres identics estan apilats de la forma indicada a la figura. Totes les superfıcies en contactetenen el mateix coeficient de fregament. Trobeu el mınim valor µ per evitar que el sistema esdesmunti.

18. Uns fulls de paper estan col.locats segons indica la figura. Els parells enganxats al cartro verticalB i els senars al cartro vertical A. La massa de cada full es de 6 g i hi ha 200 fulls. El coeficientde fregament entre els fulls i amb la taula val 0.2. Suposant que un dels grups es mante immobil,calculeu la forca horitzontal mınima per moure l’altre grup.

BA

19. Una vareta homogenia de pes P esta damunt d’una superfıcie horitzontal. El coeficient de fregamentes µ.

a) Quina forca perpendicular horitzontal mınima Fm s’ha de fer per a moure-la?

b) Trobeu l’equacio de la que s’obtindrien acm i α si F > Fm.

4. ESTATICA. 21

20. Donades les distribucions de forces seguents sobre un segment, calculeu la resultant i la posicio ons’ha de col.locar per tenir un sistema de forces equivalent.

21. Un diposit de radi r te forma semicilındrica. Esta ple d’un lıquid de densitat ρ. Calculeu la forcaque exerceix el lıquid sobre cadascuna de les parets semicirculars.

22. Per al mur d’una petita presa es considera la possibilitat d’una seccio triangular (a) o be rectangular(b). Suposeu que no hi ha adherencia entre la base del mur i el terra, i que la tendencia del mura bolcar al voltant del punt C degut a la pressio de l’aigua es unicament compensada per el seupropi pes. Calculeu les dimensions mınimes a i b a cada cas perque el mur no bolqui. Quina seccionecessitara menys formigo? Quina diferencia en pes de formigo per metre de longitud del mur hiha entre les dues opcions? La densitat del formigo es 2.4 × 103 kg/m3.

r

7.2 m

cca b

23. Un canal rectangular d’amplada 1.2 m te en un extrem una comporta vertical segons la figura.La comporta esta articulada pel punt A (eix perpendicular al pla de la figura, que passa per A).Calculeu la forca F que ha d’exercir la molla per limitar la profunditat de l’aigua a h = 1.8 m.

24. El mur d’una presa te forma de sector cilındric, segons la figura, amb radi r = 180 m i angle 60o.L’alcada es de 60 m. Calculeu la forca total que fa l’aigua sobre el mur.

A

h

0.4 m

1.5 m

60 m

60 º

180 m


25. La comporta que tanca un canal te forma de quart de cilindre, de radi r. L’amplada del canal esde b. La comporta esta articulada pel punt A (es a dir, pot girar lliurement al voltant d’un eixperpendicular al pla de la figura, que passa per A). Sense considerar el pes de la comporta, calculeula forca F mınima necessaria per mantenir-la tancada.

Ar

h

F

26. Una boia cilındrica de 6 m d’alcada i 20 cm de diametre pesa 175 kp. Esta enganxada per unextrem al fons d’un llac d’aigua dolca amb una corda de 3.6 m. La fondaria de l’aigua es de 8 m.Calculeu l’angle que forma la boia amb l’horitzontal.

27. El taulo de la figura te 3 m de longitud, 30 cm d’amplada i 10 cm de gruix. La seva densitat es de0.8 g/cm3. Es col.loca, tal com s’indica a la figura, sobre la vora d’un diposit d’aigua. El coeficiententre el taulo i la vora es de 0.8. Calculeu la forca de fregament a la vora i l’angle que forma eltaulo amb l’horitzontal.

15 cm

A

5. ESTATICA D’ESTRUCTURES. 23

5 Estatica d’estructures.

1. El mecanisme de la figura consta de dues bieles AB i BC, ambdues de longitud l. AB esta articuladaen el punt del terra A i en el punt B de la biela BC. El punt C llisca sense fregament sobre el terra.El mecanisme serveix per portar un pes P que actua a B. Quina es la relacio entre el pes |~P | i laforca |~F | a aplicar a C?

2. Per a l’armadura de la figura, calculeu les reaccions en els punts A i F en funcio de L. Tots elsangles aguts son de 30o o 60o. Trobeu l’esforc que suporta la vareta BD.

θA

B

C

F

P

3. Trobeu la forca en els membres EF, KL i GL de la cintra representada. (Suggeriment: Observeuque les forces en BP, PC, DN, etc., son nul.les).

4. Trobeu les forces a les bigues a i b de l’entramat,en funcio de les carregues exteriors P i Q. Indi-queu si son traccions o compressions. Suposeul’estructura sense pes. 45º 45º

45º

Q

a a

P

b b


5. Per a l’armadura de la figura, determineu la forca a cada membre.

6. Determineu la forca en el membre BF de l’armadura de la figura formada per triangles equilaters.

B D

A C E

1500 Kp1000 Kp

3 m

EF

P

G

D C

B

A

7. Determineu les reaccions en A i B i les forces que suporten els membres de la cintra de la figura.

8. La marquesina de la figura es troba sota les carregues P1 = 2 Tm, P2 = 4 Tm i P3 = 2 Tm, toteselles verticals. La reaccio a A es horitzontal. Determineu les reaccions i les forces en els diversosmembres.

E

BC

D

A

P3

P2

P1

2 m2 m

2 m

9. La figura esquematitza una grua. Determineu les forces a les diferents barres si la carrega a l’extremsuperior es de 4 Tm.

10. A la biga de pont de la figura determineu les forces en els diferents membres.

C

D

BA

4 Tm

2 m

3 m

6. CANVIS DE SISTEMA DE REFERENCIA. 25

6 Canvis de sistema de referencia.

1. Un tren circula a 120km/h en un punt de latitud 45o Nord. Quina forca horitzontal exerceix sobrela via dreta a consequencia de la forca de Coriolis? Expresseu el resultat en newtons per tona.

2. Una vareta cau des del repos, girant en un pla vertical a velocitat angular ω, i el seu centre demasses es desplaca amb l’acceleracio de la gravetat. Una formiga es desplaca a velocitat constantcap al centre de la vareta. Calculeu la velocitat i l’acceleracio de la formiga respecte al terra al’instant en que es troba a una distancia s del centre i la vareta forma un angle θ amb l’horitzontal.

3. El disc de la figura gira al voltant de l’eix z amb velocitat angular constant ω i la pe‡a corredissa Aoscil-la en la seva ranura amb un desplacament s(t) = s0 sin 2πnt, on n es la frequencia d’oscil-lacio.Determineu el vector acceleracio de la pe‡a corredissa respecte al terra:

a) Quan arriba a la posicio extrema, s0, amb s < 0.

b) Quan passa per la posicio s = 0 amb s > 0.

4. Un satel-lit artificial descriu una orbita polar circular a una altura de 644km sobre la superfı ciede la Terra i es mou a una velocitat de 27080 km/h respecte a uns eixos no giratoris amb origenal centre de la Terra. Un observador es troba damunt la superfı cie de la Terra, a un punt delatitud 30o Nord. Calculeu les components horitzontals de la velocitat i l’acceleracio que mesuraral’observador quan el satel-lit passa per la seva vertical. Especifiqueu el modul, direccio i sentit. Elradi de la Terra es de 6380 km.

β

s

y

z

A

ω

hR

A

ω

5. Un trineu experimental te una velocitat de 610 m/s constant en direccio cap el nord-est per unapista rectilınia en un punt a 30o de latitud Nord. Calculeu la component horitzontal de l’acceleraciodel trineu perpendicular a la pista deguda a la rotacio de la Terra. El radi de la Terra es de 6.380 km.

6. Es llenca una pedra cap amunt amb una velocitat tal que arriba a una altura de 100 m. Calculeula desviacio respecte de la vertical del punt de llancament en els seguents casos:

a) Al punt mes alt de la trajectoria.

b) A l’horitzontal de partida despres del moviment de descens

Dades: latitud 41o23′, g = 9.8 m/s2.


7. El disc gran de la figura gira al voltant del seu eixvertical a velocitat angular constant ω en el sen-tit indicat. Els discs petits giren al voltant delsseus respectius eixos horitzontals en els sentitsindicats i amb velocitat angular constant res-pecte al disc gros. Trobeu les acceleracions delspunts A i B respecte de l’exterior, a l’instantrepresentat, i referides als eixos de la figura.

8. L’eix de gir del plat d’un giradiscs esta situ-at a 5 m de l’eix d’uns cavallets que giren aπ/60 rad/s en sentit antihorari vistos des dedalt. El giradiscs esta funcionant a 33 rpm (ensentit horari) i un insecte s’esta passejant per laperiferia del disc, girant en sentit contrari al disci amb una velocitat de 4 m/s. El radi del disc esde 20 cm. Trobeu l’acceleracio de l’insecte quemesuraria un observador fix a terra. Expresseuels resultats en un sistema de referencia que tin-gui per eix x la recta que uneix el centre de laplataforma i el centre del disc, l’eix z vertical,i a l’instant en que la posicio de l’insecte formaun angle θ amb l’eix x.

x

c

y

z

B

A

p

ω

7. CINEMATICA DEL SOLID RIGID. 27

7 Cinematica del solid rıgid.

7.1 Cinematica 2D del solid rıgid.

1. El disc de la figura roda sense lliscar entre les plaques A i B que es mouen paral.lelament en sentitsoposats a velocitats vA = 2m/s i vB = 4m/s. Localitzeu el centre instantani de rotacio del disc icalculeu la velocitat del punt D a l’instant representat.

2. Els cables A i B estan fermament enrotllats al voltant de la periferia i del coll de la politja de lafigura, i es mouen cap amunt a velocitats de 1.2m/s i 0.9m/s, respectivament. Calculeu la velocitatdel centre, O, la velocitat angular de la polit-xa i la posicio del centre instantani de rotacio. Elsradis interior i exterior de la polit-xa son de 23cm i 46cm.

3. La vareta AB es mou de tal manera que es mante sempre tangent a una circumferencia de centre Oi el seu extrem A es mou a velocitat vA per una recta que passa per O. El radi de la circumferenciaes r. Trobeu la velocitat angular de la vareta en funcio de X = |OA|, vA, r.

4. En el mecanisme de la figura el volant gira amb velocitat angular ω al voltant del seu centre enO i totes les varetes tenen la mateixa longitud l. El moviment te lloc en el pla de la figura. Lesarticulacions en D i E son fixes, mentre que les articulacions en A, B i C son mobils. Determineuel Centre Instantani de Rotacio de cadascuna de les varetes en la configuracio del diagrama.


5. El sistema de solids articulats de la figura es mou de tal manera que el punt A es desplaca cap a ladreta en moviment rectilini uniformement accelerat, partint del repos quan x = 0. La longitud deles barres es b. Determineu la velocitat angular de la barra AB en funcio de l’acceleracio de A, a ide x.

6. La figura representa el tıpic mecanisme biela-cigonyal. Sabent que el cigonyal gira a velocitatangular constant ω0, trobeu la velocitat i l’acceleracio angulars de la biela en funcio de l’angle θ.La longitud de la biela es l i el radi del cigonyal es r.

7. A l’instant representat la carrega L te una acceleracio cap amunt de 3m/s2 i el punt A del cable teuna velocitat de 2m/s en el mateix sentit. Calculeu l’acceleracio del punt superior de la llanta dela politja, B, en aquest instant.

8. La barra de la figura es mou mantenint el contacte amb la paret i amb el terra, per A i per B,respectivament. Calculeu l’acceleracio del centre de la barra quan θ = 45o en els casos:

a) el punt B es mou a velocitat constant de 2m/s cap a l’esquerra.

b) el punt B te una acceleracio cap a la dreta de 1.2m/s2 i en aquest instant te velocitat nul.la.

va

B

20 cm

A

L

A

B

vb

46 cm

θ

9. La roda de radi r de la figura roda sense lliscar a velocitat angular constant, ω. El punt P de laperiferia de la roda es troba a l’origen de coordenades (0, 0, 0) per t = 0. Trobeu:

a) els valors maxim i mınim de la celeritat de P i indiqueu en quin instant te lloc.

b) els vectors posicio, velocitat i acceleracio de P en funcio del temps.

c) les acceleracions normal i tangencial quan es troba en el punt mes alt de la seva trajectoria.

d) Calcular la longitud de la corba que descriu P entre dos punts consecutius de contacte amb elterra.

x

y

ω

P


7.2 Cinematica 3D del solid.

1. En un instant donat, un solid rıgid te una velocitat angular ~ω = 3~i+4~j rad/s i el punt del solid queocupa l’origen de coordenades te una velocitat ~vO = 25~i − 50~j + 50~k m/s. Trobeu l’eix instantanide rotacio i lliscament.

2. En un instant donat, les velocitats de tres punts d’un solid que ocupen els punts de coordenades(0, 0, 0), (0, 1, 0) i (1, 0, 0) son ~vA =~i − 2~j + ~k, ~vB = −2~j, ~vC =~i−~j + ~k (en m i m/s). Trobeu lavelocitat angular del solid i l’equacio de l’eix instantani en aquest instant.

3. Considerem quatre punts d’un solid rıgid que en un instant donat ocupen les posicions: O =(0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) (m). Poden quatre vectors arbitraris representarsempre les velocitats d’aquests punts en un possible moviment del solid? Per exemple, se’ns diuque els vectors ~vO = 3~i + 4~k, ~vA = 3~i + 3~j, ~vB = 4~k, ~vC = 7~i + 4~k (m/s) son les mesures de lesvelocitats dels quatre punts del solid:

a) Comproveu que, efectivament, aquestes velocitats corresponen a un moviment possible delsolid.

b) Calculeu el vector velocitat angular.

c) Determineu l’equacio de l’eix instantani.

d) Expresseu la velocitat d’un punt generic del solid de coordenades (x, y, z).

4. Un solid rıgid es mou, en un instant donat, segons la superposicio de dues rotacions: una al voltantd’un eix que passa pel punt A (3, 2, 0) i de velocitat angular ~ω1 = (3, 2,−1) i l’altre al voltant d’uneix que passa per B (2, 0, 0) i de velocitat angular ~ω2 = (2, 1, 4). Calculeu la velocitat del punt delsolid que en aquest instant ocupa l’origen de coordenades, (0, 0, 0). Determineu si aquest movimentes equivalent a una sola rotacio instantania. Les distancies son en metres i les velocitats angularsen rad/s. ~vp = ~ω1 × ~AP + ~ω2 × ~BP

5. El con de la figura roda sense lliscar sobre un pla horitzontal amb el seu vertex V en repos, demanera que el centre de la seva base, O, dona una volta sencera al voltant de la recta vertical E enun temps T . El seu radi es R i l’alcada es h = 2R.

a) Trobeu l’eix instantani de rotacio i lliscament.

b) Calculeu la velocitat angular del solid.

c) Determineu el punt que te maxima celeritat i calculeu-la.

d) Quantes voltes al voltant de O dona el punt P durant un temps T ?

e) Calculeu l’acceleracio del punt P a l’instant en que arriba al punt mes alt de la seva trajectoria(representat en la figura).

E

V

P

O

6. Un cilindre roda sense lliscar damunt d’una pista cilındrica que gira al voltant de l’eix vertical z arao de n voltes per segon. Calculeu el vector velocitat angular del cilindre en funcio de la derivadatemporal de l’angle θ(t) especificat a la figura adjunta. El radi de la pista es R i el del cilindre r.


zz

R

r

θ

7. El conductor d’un camio gira el volant cap a la dreta. En un cert instant de la maniobra, el centrede la roda davantera dreta te una velocitat horitzontal cap endavant de 5 m/s i el gir del volant liprodueix una rotacio d’ 1 rad/s respecte a un eix vertical que passa pel centre. No hi ha lliscamenti el radi de la roda val 0.5 m. Trobeu l’eix instantani de rotacio i lliscament i el vector velocitatangular de la roda en aquest instant.

8. DINAMICA DE SISTEMES DE PARTICULES. 31

8 Dinamica de sistemes de partıcules.

8.1 Moment lineal.

1. Una bomba en repos explota trencant-se en tres fragments. Dos dels fragments, que tenen massesiguals, surten disparats en direccions perpendiculars i amb la mateixa velocitat de 30m/s. El tercerfragment te una massa tres vegades mes gran que la dels anteriors. Quina es la seva velocitat(modul, direccio i sentit) immediatament despres de l’explosio ?

2. Un gos de 10kg esta parat sobre una barca plana que esta a 6.1m de la riba. Camina 2.5m sobrela barca cap a ella i s’atura. La barca te una massa de 50kg i se suposa que el seu fregament ambl’aigua es nul. A quina distancia de la riba estara la barca en acabar el recorregut?

3. Es dispara un projectil de 20kg a 100m/s amb un angle de 30o respecte l’horitzontal (en el pla x−yi des del punt (0, 0, 0)). En el punt mes alt de la trajectoria explota en dos fragments, un de 15kg il’altre de 5kg. Els dos fragments cauen al mateix temps. El de 5kg cau en el punt (1200, 0, 100)m;on cau l’altre fragment?

4. Una partıcula d’1kg es mou al llarg d’una recta a 5m/s. Se li aplica una forca horitzontal Fperpendicular a la direccio inicial del moviment. Si la forca varia en la forma indicada en la grafica,mantenint-se constant en direccio i sentit i es l’unica forca aplicada al cos, trobeu la velocitat delcos a l’instant t = 2s.

F(N)

t(s)1 2

10

5. Un vehicle espacial de 350kg de massa es desplaca amb una velocitat de 29000km/h en la direcciox fora de l’atraccio de qualsevol cos celest. El vehicle te la seva rotacio estabilitzada a l’entorn del’eix z amb una velocitat angular constant θ = π/10 rad/s. Durant un quart de gir, des de θ = 0fins a θ = π/2, s’activa un propulsor que proporciona una empenta de valor constant de 225N .Determineu la velocitat del vehicle quan θ = π/2.

u

T

y x

z

θ

θ


6. Es dispara un projectil que pesa 170g amb una velocitat de 550m/s en el centre d’un disc de 907gque es troba en repos sobre un suport llis. Si el projectil passa a traves del disc i surt amb unavelocitat de 275m/s com s’indica en la figura; determineu la velocitat v′ del disc immediatamentdespres que el projectil passi a traves seu.

7. Una nau que aterra a la Lluna te 204kg de massa i esta equipada amb un coet que produeix unaempenta constant T cap amunt capac de produir un impuls total de 180kNs durant 10s. Si l’aparellestava a 305m d’alcada i tenia una velocitat de descens vertical de 46m/s quan va engegar el coet,trobeu el temps necessari per reduir la velocitat de descens a 1, 5m/s. L’acceleracio de la gravetata la Lluna es de 1, 62m/s2.

550 m/s 275 m/s

v'

46 m/s

T

8. La tercera i quarta etapes d’un coet volen a 8000km/h quan s’exhaureix el combustible de latercera, anul.lant-se la seva empenta. Immediatament s’engega la quarta etapa i la seva empentasobre la tercera provoca la seva separacio, sense cap altra forca d’interaccio entre ambdues. Enaquesta situacio, la tercera etapa buida pesa 60kg i la quarta plena, 30kg. Si la velocitat relativa deseparacio es de 12m/s i la separacio es produeix 1/4 de segon despres d’haver-se engegat la quartaetapa, determineu la velocitat d’aquesta en abandonar la tercera i l’empenta mitjana de l’engegadadel motor.

9. Sobre la coberta d’un porta-avions aterra un avio que s’atura per l’efecte d’un cable i els frensaplicats a les rodes. La forca retardadora exercida pel cable es igual a k′t2, on k′ es una constanti t es la variable temps. La forca dels frens es igual a k′′t, on k′′ es una altra constant. Si m es lamassa de l’avio i v es la velocitat amb que s’inicia l’aterratge, demostreu que el temps que l’aviotarda en aturar-se es una arrel de la seguent equacio:

2k′t3 + 3k′′t2 − 6mv = 0

10. Una bola de billar es mou a 2, 2m/s. Toca fregant a una bola identica en repos, de manera que laseva velocitat passa a ser de 1, 1m/s formant un angle de 60o amb la direccio inicial del moviment.Trobeu la magnitud i direccio de la velocitat de la segona bola despres del xoc.


8.2 Moment angular i dinamica 2D del solid.

1. Dues masses puntuals m1 i m2 ( m1 = 100g,m2 = 200g) estan unides per un fil inextensible damuntd’un pla horitzontal sense fregament, de manera que el fil esta rectilini. Es dona un impuls iniciala m2, de manera que adquireix una velocitat v0 = 1m/s que forma un angle de 30o amb l’eix x. Elfil es destensa una estona i es torna a tensar finalment a l’instant t = t1. A partir d’aquest instantja no es destensa mes.

a) Calculeu la velocitat del centre de masses.

b) Trobeu com sera el moviment del sistema per a 0 ≤ t ≤ t1 i per a t > t1.

c) Calculeu les velocitats de les dues partıcules just despres de t1 ( t→ t+1

).

y

x30º

m1

m2

vo

2. Dos cossos puntuals de masses m i 3m estan units per una corda inextensible de longitud l i podenlliscar sense fregament damunt d’un pla horitzontal. A l’instant inicial es troben en els punts (−l, 0)i (0, 0), movent-se a velocitats ~v = 2v0~i i ~v = −v0~j respectivament.

a) Calculeu el temps que triga la corda en tornar-se a tensar, i la posicio de les partıcules quanaixo succeeix.

b) Trobeu la posicio, velocitat i acceleracio del centre de masses del sistema en funcio del temps.

c) Calculeu la velocitat angular de la corda quan es torna a tensar, suposant que ja no es destensames.

d) Mireu si l’energia cinetica del sistema varia amb el temps.

3. Dos patinadors de 50kg cadascu s’apropen seguint camins paral.lels separats 3m, amb velocitatsd’igual direccio, sentits oposats i moduls de 10m/s. El primer patinador porta una perxa lleugerai, quan passa pel costat del segon patinador, aquest s’hi agafa per l’altre extrem.

a) Descriviu el moviment dels patinadors despres d’haver-se unit amb la perxa.

b) Un d’ells va estirant la perxa fins a reduir a 1m la seva distancia a l’altre. Quin es llavors elseu moviment?

c) Compareu les energies cinetiques corresponents a les situacions a) i b).

4. Tres cossos A, B i C amb velocitats indicades en lafigura, s’apropen a una regio R de l’espai on hi in-teractuen. Finalment s’observa que els cossos B i Cabandonen R, mentre que A hi queda en repos. SiB te la velocitat i la trajectoria indicades a la figura,quina ha de ser la velocitat i la trajectoria de C ?

y

y

x

x

R 26,8º

2 cm

1 cm

1 cm

m = 1gC

v = 22,4 cm/sC

m = 0,5gA

v =20 cm/sAm = 2g

Bv =10 cm/sB

m = 2gB

v’ =50 cm/sB


5. Sobre una roda que pot girar lliurement respecte un eix vertical fix s’hi munta una via circular demassa m1 = 1.5 kg i radi R = 0.5m. La massa de la roda es negligible i el sistema esta inicialmenten repos. Sobre la via, un tren de joguina de massa m2 = 0.5 kg arrenca i arriba a una velocitat de2m/s respecte al terra.

a) Quina sera la velocitat angular de la roda?

b) Posteriorment, el tren frena fins a aturar-se. Quina es la velocitat angular de la roda quan eltren s’ha aturat?

c) En lloc de mantenir la roda en posicio amb l’eix fix se la recolza simplement damunt d’unasuperfıcie llisa de tal forma que pot girar i traslladar-se lliurement. Quin sera ara el movimentdel sistema quan arrenca el tren?

6. La roda de la figura te un radi de 0.5m i una massa de 25kg i pot girar lliurement respecte a uneix horitzontal. Una corda enrotllada per la periferia te a l’extrem una massa de 10kg. Calculeu:

a) L’acceleracio angular de la roda.

b) L’acceleracio lineal del cos que penja de la corda.

c) La tensio de la corda.

Si substituım el cos per una forca constant de 10kp, com varien els resultats anteriors?

7. Un cilindre massıs es deixa anar per un pla inclinat d’angle θ, partint del repos. Calculeu la velocitatangular ω i la velocitat lineal v del centre de masses despres de baixar 3 m pel pla inclinat. El radies de 15cm i el coeficient de fregament es µ = 0.3. Considereu dues situacions:

a) θ = 30o

b) θ = 60o

8. En absencia de gravetat, una esfera homogenia massissa gira a l’entorn d’un eix que passa pel seucentre amb una velocitat angular ω constant. Si dividim l’esfera en dues parts iguals mitjancantun pla ideal que contingui l’eix, quina forca fa un hemisferi sobre l’altre?

9. Considereu la Terra homogenia de radi R i massa M . Demostreu que el perıode T de rotacio al’entorn de l’eix es,

T = (4πM/5L)R2


on L es el moment angular de la Terra degut a la rotacio. Suposeu que per efecte intern (perexemple per dilatacio termica) augmenta el radi; quin seria l’efecte sobre la rotacio de la Terra?Demostreu que la variacio relativa del perıode es aproximadament el doble de la variacio relativadel radi. (Suggeriment: preneu fins el segon terme del desenvolupament de Taylor)

10. S’enrotlla un fil al voltant d’un cilindre de radi R i massa M , mantenint fix el seu extrem. Com serael moviment d’aquest yo-yo si el sostenim en repos i despres el deixem anar? Calculeu l’acceleraciodel centre de masses, l’acceleracio angular del yo-yo i la tensio de la corda.

R

11. Sobre un superfıcie horitzontal llisa es llenca una bola que llisca sense rodar amb v = 28 m/s.Sobtadament la superfıcie horitzontal es rugosa amb un coeficient de fregament de 0, 4. Determineu:

a) La velocitat del centre de la bola quan roda sense lliscar.

b) El camı recorregut fins que deixa de lliscar.

12. Considereu un cilindre de massa m i un paral.lelepıpede de massa M situats com mostra la figura.El coeficient de fregament entre el cilindre i el paral.lelepıpede es µ i el del paral.lelepıpede i lasuperfıcie horitzontal es negligible. El paral.lelepıpede comenca a moure’s amb una velocitat inicialvo constant. Doneu les equacions que descriuen el moviment del cilindre i el del paral.lepıpede.Quina condicio ha de complir-se perque el cilindre pugui rodar sense lliscar? Quan temps trigaraen aconseguir-ho?

13. A la caixa rectangular homogenia de pes P li apliquem una forca horitzontal F . Si el coeficient defregament es µ, determineu els valors lımits de h tals que facin que la caixa llisqui sense bolcar nicap endavant ni cap enrera.

l

r

vo

c

b

h

F


14. Un cotxe es mou amb una velocitat de 20m/s. La distancia entre els eixos es de l = 3m. El seucentre de masses esta a h = 60cm sobre la calcada i 1.2m darrera l’eix davanter. El coeficient defregament per lliscament entre el pneumatics i la calcada es de 0, 75. Els frens traven les rodes,determineu la distancia que recorrera el cotxe si:

a) Nomes frenen les rodes del darrera.

b) Nomes frenen les rodes del davant.

c) Si frenen les quatre rodes.

15. Un bloc de massa m llisca sense fregament per un pla horitzontal. Esta unit mitjancant un cablesense massa a un volant de massa M i radi R. La politja te un massa menyspreable i la massa delvolant es pot considerar concentrada a la periferia. El cable esta fix a la llanta del volant i enrotllatsobre ell donant moltes voltes. Suposant que es parteix del repos, trobeu la tensio del cable durantel moviment i l’acceleracio de cada cos.

h

l

m

R

M

16. En el sistema de la figura esta representat un cilindre homogeni que esta unit a una massa mmitjancant una corda enrotllada a ell. L’inercia de la politja es pot negligir. El sistema parteix delrepos. La massa del cilindre es M = 1kg i el seu radi r = 0, 2; la massa m val 0, 2kg. Calculeul’acceleracio de m, l’acceleracio angular del cilindre i la tensio de la corda en el dos casos seguents:

a) Considerant que no hi ha fregament.

b) Considerant que el cilindre roda sense lliscar. En aquest cas calculeu tambe el valor mınimque ha de tenir el coeficient de fregament entre el cilindre i la superfıcie horitzontal.

17. Dos discs homogenis de massa M i radi r estan units per una vareta de longitud l i massa m quepassa pels seus centres i els deixa girar lliurement, com mostra la figura. L’aparell baixa rodantsense lliscar per un pla inclinat d’angle θ. Es demana:

a) L’acceleracio de l’aparell.

b) El coeficient de fregament necessari perque no hi hagi lliscament.

c) Determineu totes les forces que actuen sobre la barra.

M

m

r

m

M

M

θ

18. Una barra rıgida de pes P es deixa caure a partir del repos a la posicio indicada en la figura.Calculeu la forca normal N que la superfıcie fa sobre el corro a l’instant inicial.


19. Una vareta homogenia de massa m i longitud l, esta en contacte amb un pla llis inclinat, mitjancantun petit corro A. Deixem anar la vareta en repos i en la posicio indicada a la figura. Calculeu laforca que fa el pla a A i l’acceleracio angular de la vareta a l’instant inicial.

θ

θ

A

20. Una placa quadrada d’aresta a, esta penjada per dos punts mitjancant fils verticals, tal com es veuen la figura. Si es talla un dels fils, quina sera la tensio de l’altre fil just al iniciar-se el moviment?

21. Un bloc rectangular, massıs i homogeni de massa m, d’alcada h i ample b esta suportat pels seusvertexs per uns petits corrons que descansen sobre superfıcies horitzontals llises. Si la superfıcie quesuporta B es suprimeix bruscament, trobeu la forca que fa el corro del vertex A i la seva acceleracioinicial.

A B

22. Es dona un impuls ~J amb un angle θ respecte l’horitzontal a una bola en repos, que adquireix unavelocitat en el seu centre vo. L’impuls es fa a una alcada h i el coeficient de fregament es µ.

a) Quan val ~J?

b) Calcular ω just despres de la percussio.

c) Temps durant el qual la bola es desplaca lliscant.

d) vcm i ω en l’instant en que deixa de lliscar.

e) En quines condicions la bola retrocedeix al final?


23. Quan dues persones fan un pols, per accio i reaccio, la forca d’interaccio es la mateixa. Com es queguanya un dels dos? Hem idealitzat el sistema, simplificant al maxim, pero sense eliminar el quees essencial. Primer, mirem la cinematica. El possible moviment sera una rotacio al voltant de larecta que passa per els dos colzes. A tots el efectes el sistema es pot idealitzar per dos solids rıgidsque es mouen solidariament.

24. Un cub de massa m i aresta l es deixa en repos sobre un pla inclinat que forma un angle θ ambl’horitzontal. El coeficient de fregament entre pla i cub es µ.

a) Calculeu les condicions perque es quedi en repos.

b) Suposant que es comenca a moure lliscant sense rodar calculeu l’acceleracio del cub i lescondicions que s’han de verificar per tenir aquest cas.

c) Suposant que bolca pel punt p mantenint-se aquest immobil, calculeu l’acceleracio angularinicial i les condicions per tenir aquest cas.

d) Suposem que, simultaniament, bolca i llisca per p. Trobeu l’acceleracio del centre de massesdel cub, la seva acceleracio angular i les condicions per tenir aquest cas.

e) Dibuixeu un diagrama tgθ−µ distingint les regions del diagrama en las que es donen cadascundels casos anteriors.

9. TREBALL I ENERGIA PER A UNA PARTICULA. 39

9 Treball i energia per a una partıcula.

1. La peca corredissa de la figura pot lliscar sense fregament damunt d’una guia corba, sota l’acciodel seu pes (1.5Kp) i d’una forca exterior constant que en els eixos indicats s’expressa com ~F =(−10, 15, 10)N . Si surt del punt A amb velocitat nul.la, quina es la velocitat en arribar a B?

2. Un collaret de 2.5kg de massa esta unit a una molla i es mou lliscant damunt d’una barra fixa desde A fins a B. Existeix fregament entre el collaret i la barra. La velocitat del collaret al punt A esde 1.8m/s i quan arriba a B val 2.4m/s. Calculeu l’energia perduda per fregament. La constantde la molla es de 30N/m i la longitud natural val 0.9m.

yx

z

B

A

90 cm

75 c

m

z

A

By

x

3. La peca corredissa de la figura pot lliscar sense fregament damunt d’una guia circular, sotmesa ala forca del cable, de 300N de modul. La seva massa es de 15kg. Si surt del punt A amb velocitatnul.la, quina es la velocitat en arribar a B?

4. Llencem un cos de 10g per una pista circular de 2cm de radi. El cos llisca per la pista de la figurasense fregament. Calculeu:

a) La velocitat crıtica al punt A perque doni la volta sense caure.

b) El mateix en els punts B i C.

c) La forca que fa la pista sobre el cos en els punts A, B, C.

d) Si substituım la pista per un tub, tambe sense fregament, trobeu la velocitat crıtica i la forcaal punt A.

A

B

30º

300 N

15 kg

2,4 m

0,5 m

B

A A

C


5. Un cos puntual pot moure’s damunt d’un pla inclinat descrivint una circumferencia, lligat a unacorda de longitud 1m. L’angle d’inclinacio del pla es de 30o, la massa es de 2Kg i el coeficient defregament amb el pla es µ = 0.1. La velocitat en el punt mes baix, A, es de 10m/s. Calculeu lavelocitat i la tensio de la corda en el punt mes alt, B.

6. Un objecte de massa m es llenca des del punt A pel pla inclinat cap amunt amb velocitat v0. Uninstant despres de passar pel punt B, la forca normal de contacte entre l’objecte i la superfıcie esredueix a la meitat del valor que tenia abans de passar per B. El coeficient de fregament entrel’objecte i el pla es 0.3. Determineu v0.

B

A30º

vo

A

B

2,4 m1,2 m 1,

2 m

7. L’esport conegut com puenting consisteix en llencar-se des d’un pont lligat amb una corda. Suposemque una persona de massa m (considerada puntual) es llenca amb velocitat horitzontal v0 (veurefigura), lligat amb una corda inextensible de longitud l.

a) Calculeu la posicio i velocitat de m just abans de tensar-se la corda.

b) Calculeu la seva velocitat just despres de tensar-se la corda (suposant que aquesta quedatibant). Quin moviment tindra lloc despres ?

c) Calculeu la maxima velocitat i la maxima alcada assolides per la persona un cop tibant lacorda.

vo

l<h

8. Considereu el camp de forces del pla ~F = (y2 − x2, 3xy). Calculeu el treball que fa aquesta forcasobre una partıcula que va des del punt (0, 0) al (2, 4) en els casos seguents:

a) El camı es paral.lel a l’eix x fins al punt (2, 0), i despres paral.lel a l’eix y fins a (2, 4).

b) El camı es paral.lel a l’eix y fins al punt (0, 4), i despres paral.lel a l’eix x fins a (2, 4).

c) El camı esta sobre la recta y = 2x.

d) El camı segueix la parabola y = x2.

Es conservativa aquesta forca? Te energia potencial associada?

9. Una pedra de 2Kg dona voltes lligada a una corda de 2m a rao de 180 voltes per minut. Estiremla corda fins que nomes quedi lliure una longitud de 1m. Quin treball hem fet? Quina es la llei devariacio de la forca en funcio de la longitud de la corda?. ( El moviment te lloc en un pla horitzontalsense fregament ).


10. Un petit satel.lit descriu una orbita circular de radi r0 al voltant de la Terra. Es fa canviar ladireccio de la velocitat de tal forma que l’orbita passi a ser el.lıptica. El canvi en la velocitat es fade manera que el moment angular es redueix a la meitat pero l’energia es mante constant. Calculeuen funcio de r0 la distancia del satel.lit al centre de la Terra en l’apogeu i en el perigeu per a lanova orbita.


10 Treball i energia per a sistemes de partıcules.

1. Una bomba inicialment en repos s’escindeix en dues parts de masses m1 i m2. Calculeu quinpercentatge d’energia cinetica correspon a cada fragment.

2. Un cos de massa 8Kg es mou a velocitat de 12 m/s aıllat de qualsevol agent exterior. En un instantdonat te lloc una explosio interna, i el cos es separa en dos fragments de 4Kg cadascun. Com aconsequencia de l’explosio, l’energia cinetica total augmenta en 100J . Si la direccio del movimentes la mateixa que la inicial, determineu la velocitat i el sentit del moviment de cada fragment.

3. Les masses puntuals m1, m2, m3 es troben en repos damunt d’una taula horitzontal al final de laqual tenim un bucle de radi r. La massa m1 esta comprimint una molla elastica, de constant k.La compressio val x0. Deixem anar aquesta massa m1 (que no esta fixada a la molla). Si totes lescol.lisions son elastiques:

a) Trobeu les velocitats finals de les tres masses abans d’entrar en el bucle. Suposeu que no hiha fregament i que m1 = m2 = m3 = m.

b) Calculeu l’acceleracio tangencial i normal de m3 en el punt A del bucle.

c) Considereu de nou la situacio inicial. Suposeu ara que m1 es menor que m2 i que existeix unfregament de les masses amb la taula, essent µ el coeficient. Trobeu la velocitat de m1 justabans de la col.lisio amb m2. Trobeu la longitud que recorrera m1 despres de col.lisionar ambm2 (considereu totes les col.lisions perfectament elastiques).

A

d

m3m2m1

4. Pot un sistema tenir energia cinetica no nul.la si el seu moment lineal es nul? I a l’inreves?Expliqueu-ho.

5. Dues partıcules de masses m i M estan inicialment en repos separades una distancia infinita. De-mostreu que en un instant qualsevol la seva velocitat relativa d’acostament atribuıble a la gravetat,en funcio de la separacio, d, es

√

2G(m +M)/d.

6. Un disc de massa 50Kg i radi 1.8 m pot girar respecte al seu eix. Apliquem una forca constant de19.6 N , tangent al disc i continguda al pla que conte el disc durant 5 s. Calculeu:

a) La seva acceleracio angular.

b) L’angle descrit.

c) El seu moment angular final.

d) La seva energia cinetica final.

10. TREBALL I ENERGIA PER A SISTEMES DE PARTICULES. 43

7. El sistema de la figura comenca a moure’s partint del repos. El cos B arriba al terra despres debaixar una alcada d, queda en repos i la corda s’afluixa. Calculeu aquesta distancia d sabent que elbloc A s’atura despres de recorrer una distancia total de 10m. La massa de cada bloc es de 100Kgi el coeficient de fregament entre A i la superfıcie horitzontal es µ = 0.1.

A 100 kg 10 m

d100 kg

µ=1

B

8. L’esfera de massa m, sostinguda per una vareta de massa negligible, estagirant a l’entorn del seu eix horitzontal en O. La distancia entre O i elcentre de l’esfera es r. Si l’esfera es deixa anar partint del repos ambun angle θ = 0o, determineu el valor de θ pel qual la forca de la varetacanvia de compressio a traccio.

r

O

m

θ

9. Un cilindre, una esfera i un anell, tots tres de massa M i radi R, baixen rodant sense lliscar per unpla inclinat d’angle θ, a partir d’una mateixa alcada h e inicialment en repos. Quin dels tres cossosarribara abans al del pla inclinat? Calculeu la velocitat amb la qual arriba a baix cada cos.

10. Un cilindre homogeni de radi r i massa m es mou en una pista de seccio circular de radi R. Parteixdel repos en la posicio horitzontal A i roda sense lliscar fins al punt B. A partir de B la pista esperfectament llisa. Trobeu:

a) La velocitat angular que te el cilindre a l’arribar a B.

b) L’alcada a la qual puja en direccio cap a C.

R

C

B

Ar

m


11. Una corda esta enrotllada en un cilindre massıs i homogeni de massa m i radi r. Estirem la cordacap amunt per tal d’impedir que baixi el centre de masses del cilindre al desenrotllar-se la corda.Quina es la tensio de la corda? Quin treball s’ha fet sobre el cilindre quan s’ha arribat a unavelocitat angular ω? Quina longitud de la corda s’ha desenrotllat?

12. Dues varetes uniformes de la mateixa seccio, formen angle recte en el punt C. A mes el solid aixıformat pot girar al voltant d’un eix perpendicular que passa per C. Si AC = 2a i BC = 2b,determineu l’angle α corresponent a la posicio d’equilibri. Si des de la posicio A’ i B’ es deixa anarpartint del repos, quin recorregut angular φ maxim efectuara el costat AC?

13. El sistema de la figura esta format per dos cilindres homogenis iguals de massa M i radi R. Elcilindre superior pot girar lliurement sostingut pel seu centre. S’enrotlla una corda a l’entorn delsdos cilindres i es deixa caure el de baix. Entre la corda i els cilindres hi ha suficient fregament pertal que els dos puguin girar sense lliscar.

a) Quina es l’acceleracio del centre de masses del cilindre inferior?

b) Quina es la tensio de la corda?

c) Calculeu la velocitat del cilindre inferior quan ha baixat una distancia 10R.

C

B’

B

A’

A

α

11. GEOMETRIA DE MASSES I TENSOR D’INERCIA. 45

11 Geometria de masses i tensor d’inercia.

1. Trobeu el centre de masses d’una taula quadrada d’ 1 m de costat amb potes de 60 cm d’alcada.El tauler es homogeni i la seva massa es 10 kg. Les potes son tambe homogenies i la massa decadascuna es 1.5 kg.

2. Trobeu el centroide d’un arc de circumferencia d’un angle de 60o.

3. Trobeu el centroide de la figura plana indicada, essent el seu costat corb de forma parabolica.

4. Considereu el cos pla format per un quadrat sobre el que s’ha realitzat un forat en forma de triangleequilater tal i com es mostra a la figura. Trobeu el seu centroide.

yyy

x

5. Trobeu el centre de masses d’un cilindre tal que la seva densitat varia linealment amb l’alcada desd’un valor ρ0 fins a ρ1.

6. Trobeu els centroides de les dues figures planes de la figura.

8 m

10 m

3 m

x

y

y

xr

7. Trobeu el centre de masses d’un con recte de base el.lıptica format per un material homogeni.

8. Trobeu el centroide de la figura engendrada per un quadrant de circumferencia que gira a l’entornde la tangent a un dels seus extrems.


9. Una vareta prima d’1m de llarg, te una massa de 0, 2kg. Col.loquem 5 cossos al llarg d’ella, cadascunamb una massa d’1kg, i situats a 0, 25, 50, 75 i 100 cm d’un extrem. Calculeu el moment d’inerciadel sistema respecte d’un eix perpendicular a la vareta, el qual passa per:

a) Un extrem.

b) La segona massa.

c) El centre de masses.

Calculeu tambe el radi de gir en cada cas.

10. Trobeu el moment d’inercia respecte l’eix x del disc homogeni de la figura de radi R = 10cm, quete quatre forats circulars de radis r = 2cm, amb centres situats a R/2 del centre del disc.

X

11. Trobeu el moment d’inercia d’una esfera de radi 2R que te una cavitat esferica al seu interior deradi R/2, amb centre situat a una distancia R del de l’esfera gran, respecte al diametre de l’esferagran perpendicular a la recta que uneix el seu centre amb el de la cavitat.

12. Calculeu el moment d’inercia d’un triangle isosceles, de base b i alcada h, respecte d’un eix perpen-dicular al triangle que passi pel vertex.

13. Trobeu el moment d’inercia d’un tronc de con recte homogeni de massa m, de bases circulars deradis r1 i r2, i alcada H, respecte al seu eix de simetria.

14. La distancia entre els centres de dos cercles de radi R i r es e. Determineu la distancia de O a O1

amb la condicio de que els dos cercles tinguin el mateix moment d’inercia

a) respecte a un eix perpendicular al pla que formen que passa per O.

b) respecte d’un eix perpendicular a la recta O1 −O2 que passa per O continguda al pla.

15. Trobeu el radi de gir del carret de la figura respecte al seu eix longitudinal de simetria. Quinalongitud de fil de 3mm de diametre pot enrotllar-se en aquest carret?

O

e

O1

O2

45º

10 cm

15 cm5 cm

16. Un cos pla esta format per dos rectangles de dimensions 2L × L tal i com es mostra a la figura.Calculeu els moments d’inercia respecte als eixos X, Y i Z de la figura. Hi ha algun d’aquests eixosque sigui un eix principal d’inercia? Per que?


17. Per al perfil de la biga de la figura en forma de H, determineu l’amplada b de la seva ala per tal queels moments d’inercia respecte als eixos X i Y (que estan centrats en el centre de masses) siguiniguals.

y

z

xL

2LO

x

y

2.5 cm

2.5 2.5

b

25 cm

18. Determineu el moment d’inercia del cercle representat a la figura respecte a:

a) L’eix y.

b) Un eix que sigui normal al pla de la superfıcie i passi per l’origen de coordenades xy.

19. Determineu el moment d’inercia de la superfıcie de la figura respecte a:

a) L’eix x.

b) L’eix y.

c) Un eix que passi per l’origen O del sistema de coordenades xy i sigui normal al pla de lasuperfıcie.

R

x

y

x

y

60 mm

60 mm

60 mm

60 mm

30 mm

20. Determineu els moments d’inercia de la superfıcie de la figura respecte als eixos x (horitzontal) i y(vertical) que passen pel centroide de la superfıcie.

21. Determineu el producte d’inercia de la seccio Z representada a la figura respecte als eixos x i y quepassen pel centroide.


150 mm

150 mm

100 mm

250 mm 25 mm

25 mm

150 mm

150 mm150 mm40 mm

40 mm

40 mm

x

y

22. Un cub esta format per dotze varetes iguals, de longitud a i massa m, que son les arestes, tal commostra la figura. Calculeu:

a) El tensor d’inercia del cub respecte al centre de masses.

b) El moment d’inercia del cub respecte d’una diagonal (AB, per exemple).

c) El tensor d’inercia del cub respecte d’un vertex (B per exemple) i respecte d’uns eixos quecoincideixin amb les arestes.

23. Calculeu el producte d’inercia Ixy del paralel.lepıpede homogeni de la figura.

A

B L

h

by

x

z

24. Calculeu els productes d’inercia Iyz, Izx del semicilindre homogeni de la figura.

25. Un projectil te la forma d’un cos de revolucio, amb la seccio representada en la figura. La velocitaten la direccio de l’eix es C i dona n voltes per segon a l’entorn d’aquest mateix eix. El pes especıfices ρ. Calculeu l’energia cinetica del projectil.

ry

x

z

L

r

hn

Cl


26. El sistema de la figura esta format per dues va-retes rıgides identiques de massa m i longitudl, articulades pel punt A i obligades a moure’sen el pla x − y. Una d’elles pot girar al vol-tant de l’origen, O, mentre que l’altre pot lliscarlliurement pel punt de contacte amb l’eix x, B.Calculeu l’energia cinetica en funcio de dθ/dt.

θ(t)

A

Bx

y

O

27. Donat el con del problema 5 del capıtol Cinematica del solid 3D que roda sense lliscar damunt d’unpla horitzontal, trobeu la seva energia cinetica en funcio del nombre de voltes que dona al voltantde l’eix vertical en la unitat de temps.

28. Calculeu l’energia cinetica del cilindre del problema 6 del capıtol Cinematica del solid 3D en funciode les dues components de la velocitat angular (vertical i horitzontal).

29. Trobeu el moment d’inercia i el radi de gir d’una barra uniforme de longitud L respecte d’un eixque passa per un dels seus extrems i forma un angle α. Trobeu el moment d’inercia d’un tetraedreregular, format per 6 varetes uniformes de massa m cadascuna, respecte d’un eix que passa pel seucentre de masses i per un dels seus vertexs.


12 Dinamica 3D del solid rıgid.

1. Un cub homogeni de massa m i aresta l estasotmes a quatre forces externes, totes amb elmateix modul F , tal com es mostra a la figura.

a) Calculeu el tensor d’inercia del cub respec-te del centre de masses, i discutiu com had’esser la velocitat angular ω perque el mo-ment angular L sigui paral.lel a ω.

b) Escriviu les equacions del moviment delcub sotmes a les forces dibuixades a la fi-gura i calculeu, a l’instant inicial al qual lavelocitat angular es nul.la, els vectors ac-celeracio del centre de masses i acceleracioangular. x

O F

F

F

F

z

y

2. Un cotxe circula a celeritat v, constant, per unacorba de radi r, amb un angle d’inclinacio capel centre (peralt), α. El coeficient de fregamententre els pneumatics i el paviment es µ. Ladistancia entre les rodes de cada eix es b i elcentre de masses esta a una alcada h. Calculeula maxima celeritat possible per tal de que nollisqui ni bolqui.

b/2b/2

h

α

r

G

3. La vareta horitzontal AB de longitud l, sostingu-da per coixinets sense fregament, pot girar lliu-rement al voltant del seu eix horitzontal. Escol.loquen dues masses iguals com es mostra ala figura, mitjancant varetes de massa negligible.Calculeu el moment angular del sistema respectedel centre de masses quan el sistema esta girantamb una velocitat ω, i les forces sobre els coixi-nets. Negligir el pes de les masses m.

A B

m

m

O

b

a

a

12. DINAMICA 3D DEL SOLID RIGID. 51

4. L’estructura de l’antena de radar de la figura es assimilable a una closca semicilındrica de radi r,longitud 2b i massa m. Gira al voltant d’un eix z vertical, a velocitat angular ω. Trobeu la resultanti el moment respecte a O de les forces exercides per el terra en el recolzament (encast) al terra, O.

x m

O

l

y

zω

l

O

r

CG

5. A l’instant inicial la placa rectangular de la fi-gura esta en repos. Se la sotmet a la forca Fperpendicular a ella. Si aquesta es la unica forcaque actua sobre la placa i la seva massa es m,calculeu l’acceleracio inicial del punt A.

A

F

b

h

6. Una placa triangular prima pot girar lliurementpel punt O sota l’accio de la gravetat. A l’ins-tant inicial es deixa anar en posicio horitzontalpartint del repos. Calculeu la seva acceleracioangular a l’instant inicial.

b

h

O

y

x

7. El disc circular prim de la figura te radi R i massa m, i esta rıgidament unit a un eix vertical quegira a velocitat angular constant ω0. El disc esta inclinat un angle β respecte al pla horitzontal.Quina es la magnitud del moment que l’eix exerceix sobre el disc?


8. La barra prima de longitud l i massa m esta articulada a un eix vertical pel punt O. L’eix gira avelocitat angular constant ω0. Demostreu que el valor de ω0 necessari perque la barra es mantinguia un angle constant β respecte de la vertical es:

ω0 =√

3g/(2l cos β)

βR

ωo

β

l

O

ωo

9. La placa rectangular prima de la figura esta uni-da a un marc rectangular mitjancant passadorsque li permeten rotar lliurement al voltant del’eix y. El marc gira a velocitat angular cons-tant ω0 al voltant d’un eix vertical. Demostreuque l’angle β(t) varia amb el temps segons l’e-quacio:

d2β

dt2= −ω2

0 sin β cosβ

β

ωo

z

b

x

h

y

10. Un disc circular prim de radi R i massam roda seguint una trajectoria circular deradi r. La magnitud v de la velocitat delcentre del disc i l’angle θ entre l’eix deldisc i la vertical es mantenen constants.Demostreu la relacio:

v2 =2g

3

(r −R cos θ)2

r − (5R/6) cos θcotgθ

θ

R

r

11. El conductor d’una moto gira a la seva esquerra. Considereu el moment que exerceixen les rodessobre la moto. Tendira aquest moment a que s’inclini la moto cap a la dreta o cap a l’esquerra delconductor?

13. OSCIL.LACIONS. 53

13 Oscil.lacions.

1. L’elongacio d’un moviment harmonic es de 6 cm, quan la velocitat es de 10 cm/s i l’acceleracio de24 cm/s2. Trobeu la frequencia i l’amplitud del moviment.

2. El pes de 9 kg parteix del repos a la posicio (a) amb el ressort sense allargar. Determineu ladistancia h a la posicio (b) quan el pes arriba a la seva posicio mes baixa. La constant del ressortes K = 4 N/cm. Trobeu la frequencia de les oscil.lacions que fara.

3. Substituıu els ressorts dels dos casos de la figura per un unic ressort que faci oscil.lar al cos amb lamateixa frequencia que abans.

a

b

K

K2

2K1 K1

4. Trobeu l’equacio de la trajectoria del moviment resultant de la combinacio de dos movimentsharmonics simples perpendiculars, les equacions dels quals son x = 4 sen ωt i y = 3 sen(ωt + α)quan α = 0, π/2 i π. Feu un grafic de la trajectoria de la partıcula per a cada cas i assenyaleu elsentit en el qual viatja la partıcula.

5. Trobeu l’expressio corresponent al moviment superposicio de dos moviments harmonics simples dedireccions paral.leles i d’equacions x1 = 2 sen(ωt + π/3) i x2 = 3 sen(ωt + π/2). Feu un grafic decada moviment i del moviment resultant. Representeu els corresponents vectors rotatoris.

6. Sobre una superfıcie horitzontal, un cos subjecte a l’extrem d’un ressort realitza un movimentharmonic (massa 0, 5 kg, constant del ressort k = 50 N/m). L’amplitud d’oscil.lacio es A = 0, 2 m.S’aplica un impuls a l’oscil.lador amb la finalitat d’incrementar l’amplitud al doble del valor donat.Quina seria la magnitud de l’esmentat impuls si s’apliques en el punt de desplacament maxim? Ien el punt de maxima velocitat? Discutiu ambdos casos.

7. L’extrem superior d’una molla vertical de constant elastica k esta subjecte per un mecanisme quel’obliga a pujar a velocitat constant. De l’altre extrem de la molla penja una massa m. Trobeu elperıode i l’amplitud de les oscil.lacions de la massa quan el mecanisme s’atura sobtadament. Feuel balanc de l’energia associada a cada forca durant el proces.

8. Un platet oscil.la verticalment amb un moviment harmonic simple d’amplitud A. Determineuraonadament la maxima frequencia d’oscil.lacio possible sense que se separi del platet un cos demassa m col.locat a sobre d’ell.

9. Sobre un muntacarregues es col.loca una molla de 15 cm de longitud. A continuacio es col.locasobre la molla un cos de 10 kg de massa, reduint-se la longitud de la molla a 12 cm. Finalment, elmuntacarregues es posa en moviment amb acceleracio cap amunt de 2 m/s2.

a) Determineu el perıode i l’amplitud de les oscil.lacions observades des del muntacarregues.

b) Descriviu el moviment (posicio en funcio del temps) respecte a un observador al terra.


10. Un disc porta rıgidament unida una roda dentada que engrana amb una barra tambe dentada iinclinada. El disc i la roda tenen un pes total P i un radi de gir R. Un ressort de constant Kuneix un extrem de la barra amb el centre del disc. Quan la tensio del ressort es nul.la es deixa enllibertat el disc. Deduıu una expressio per a:

a) L’amplitud i la frequencia de la vibracio resultant.

b) La maxima velocitat del centre de la roda.

11. Una boia cilındrica buida, de 4 m d’alcada i 2 m de diametre, sura a l’aigua verticalment emergintla meitat de la seva alcada. Un home de 70 kg salta des de 2 m sobre la boia, de manera que s’iniciaun moviment oscil.latori vertical. Calculeu l’amplitud d’aquest moviment i el seu perıode.

12. Una partıcula realitza un moviment rectilini sotmesa a una forca amb energia potencial V (x) =3x2 − x3.

a) Representeu graficament la funcio V (x).

b) Estudieu el sentit de la forca a las diverses zones de l’eix x.

c) Discutiu els possibles moviments segons els valors de l’energia total.

d) Trobeu les posicions d’equilibri i indiqueu si son estables o no.

13. Una partıcula te un moviment rectilini sotmesa a una forca amb energia potencial V (x) = −a/x +b/x2, on a, b son constants positives. El moviment te lloc prop d’un mınim de l’energia potencial,x = xe.

a) Trobeu la posicio d’aquest mınim.

b) Escriviu la funcio x(t) que descriu les oscil.lacions de petita amplitud de la partıcula a l’entornd’xe. Nomes poden apareixer a, b,m i dues constants arbitraries.

14. Determineu la frequencia propia f de la vibracio vertical del pes de 22, 7 kg de la figura produıdaal deixar-lo anar a partir d’una posicio desplacada. La politja pesa 13, 6 kg, te un radi de gircentroıdal de 45, 7 cm i el ressort te una constant de 525 N/m.

15. Un manometre per a baixes pressions esta format per un tub en U, tancat per un dels seus extrems.La seva seccio interior es d’1 cm2, conte 40 cm3 de mercuri (densitat 13, 6 g/cm3) i dins delslımits d’utilitzacio el mercuri ocupa ambdues branques rectes. Per l’extrem lliure es connecta a unrecipient la pressio del qual es de 34, 02 g/cm2. La pressio baixa a 20, 4 g/cm2 i la columna demercuri comenca a oscil.lar. Calculeu:

a) Amplitud en cm de les oscil.lacions d’una branca.

b) Frequencia de les oscil.lacions.


c) Posicio respecte a la posicio inicial de la columna despres d’1 s d’iniciada l’oscil.lacio.

Prescindiu d’amortiments.

22,7 kg

16. La closca semicilındrica homogenia de la figura oscil.la amb petita amplitud sobre una superfıciehoritzontal. Si no hi ha lliscament, determineu la frequencia de l’oscil.lacio.

17. El sistema de la figura consta de dos cilindres amb eixos paral.lels que giren a gran velocitat ensentits oposats, amb una distancia entre eixos de 2d. Si col.loquem sobre els cilindres un taulerde massa m de manera que, a l’instant inicial, el seu centre de masses estigui desplacat de l’eixde simetria, aquest efectua un moviment harmonic simple horitzontal. Els cilindres i el taulers’exerceixen forces de fregament i la velocitat angular es suficientment gran com per a suposar quehi ha lliscament simultani en ambdos cilindres en tot instant. Trobeu:

a) La forca que cada cilindre exerceix sobre el tauler.

b) Demostreu que, en efecte, es tracta d’un moviment harmonic simple.

c) El perıode de les oscil.lacions del tauler.

r

18. Un disc que penja d’un pivot situat en un punt de la seva periferia realitza petites oscil.lacions.Trobeu:

a) El perıode i la longitud equivalent del pendol aixı format.

b) Conegut el centre d’oscil.lacio, calculeu el perıode que tindrem si es fa oscil.lar el disc penjatd’un pivot situat en aquest centre. Discutiu el resultat.

c) Sustituım ara el disc per un anell que es fa oscil.lar penjat d’un pivot. Partint de la definiciode centre d’oscil.lacio, es possible predir quina sera la posicio d’aquest sense fer cap calcul?(Considereu que el disc i l’anell tenen igual massa i igual radi).

19. Un receptor de vibracions registra el senyal de la figura (dades d’elongacions x en cm i t en segons)corresponent a la vibracio lliure d’una massa que pesa 35, 6 N . Calculeu:

a) El coeficient d’amortiment.

b) L’amplitud xm indicada a la figura.

c) La constant k del suport elastic.


20. Una barra rıgida, homogenia, de massa m i longitud L esta suspesa per dues cordes inextensiblessense massa de longitud l, com mostra la figura, que poden oscil.lar en un pla vertical per l’acciode la gravetat. Es demana:

a) La frequencia de les petites oscil.lacions del sistema.

b) El CIR de la barra en funcio de θ.

c) Les tensions de les cordes en funcio de θ.

t

x

0,030

0,015

mx

3,83,2

θ

l l

L

L

21. El dispositiu de la figura consta de dues rodes identiques de radi R i massa M unides per una bielade massa m i longitud l. Els passadors que uneixen la biela amb les rodes es troben a una distancias dels seus respectius eixos. El dispositiu realitza oscil.lacions en un pla vertical, de manera que lesrodes giren sense lliscar i la biela es mante horitzontal en tot moment.

a) Trobeu l’energia total del sistema en funcio de l’angle θ i de la seva derivada respecte al temps.

b) Determineu la posicio d’equilibri del sistema.

c) Calculeu la frequencia de les petites oscil.lacions.

22. Una vareta de longitud l i massa m esta articulada per un extrem, aguantant una massa M a l’altre.Una molla de constant k soste la vareta pel seu centre, de manera que a la posicio d’equilibri lavareta esta horitzontal i la molla vertical. El sistema esta sotmes a l’accio de la gravetat, i no hiha fregament. Es demana:

a) L’equacio del moviment de la vareta per a petites oscil.lacions.

b) La frequencia de les petites oscil.lacions.

c) Suposant que sobre M l’aire exerceix una resistencia proporcional a la velocitat (F = −bv),escriviu la condicio perque les oscil.lacions siguin infraamortides.

d) Calculeu el temps necessari perque l’amplitud de les oscil.lacions es redueixi a la desena part.

θ

M

m

s l

M θ

M

K

23. Una plataforma de 50 kg esta suportada per ressorts que reposen sobre fonaments. La frequenciacaracterıstica d’oscil.lacio es de 10 Hz. La plataforma esta accionada per una forca harmonica


vertical d’amplitud 25 N . Quines son les amplituds del desplacament de la plataforma i de la forcaque exerceixen els ressorts sobre els fonaments quan la frequencia d’accionament es d’1 Hz, 9 Hz,10, 5 Hz o 20 Hz respectivament ? Prescindiu de l’amortiment.

24. Un petit remolc de 200 kg que es recolza sobre dues molles de constants iguals a 20 kN/m es mousobre una carretera ondulada amb perfil aproximadament sinusoidal d’amplitud 3 cm i 5 m delongitud d’ona. Calculeu:

a) La velocitat del cotxe perque hi hagi ressonancia (sense amortiment).

b) L’amplitud de la vibracio del remolc per v = 60 km/h.

c) Les oscil.lacions verticals del remolc parat s’amorteixen a un 10% en 6 oscil.lacions senceres.Quant val el temps caracterıstic de l’amortiment?

d) Torneu a calcular 2) amb amortiment.

e) Quina seria l’amplitud de l’oscil.lacio per a la ressonancia en amplitud?

25. El rotor d’un motor electric que pesa 15 kg, te el centre de gravetat en el punt mig entre els doscoixinets, a una distancia de 0.4 mm de l’eix (excentricitat). El motor complet pesa 35 kg i produeixuna deformacio estatica de 3 mm en cada una de les 4 molles muntades sota la base del motor.Determineu la velocitat a la qual conve que no funcioni el motor i trobeu l’amplitud de la vibraciovertical quan gira a una velocitat doble de la crıtica.


14 Sistemes de massa variable.

1. Des d’una tremuja cau sorra sobre una cinta transportadora en posicio horitzontal a rao constant,dm/dt = k. Trobeu la forca que s’ha de fer per a moure la cinta a velocitat constant u.

2. Per un colze d’una canonada de seccio S amb angle θ circula aigua amb una velocitat de modulconstant v. Calculeu la forca que fa l’aigua sobre el colze (negligiu el pes de l’aigua). Aplicacio:tub de 100 cm2, cabal de 5 l/s i θ = 90o.

uF θv

3. Un vehicle de treure neu es desplaca a velocitat de 1 m/s i recull 750 kg/s de neu.

a) Determineu la forca exercida per el flux entrant de neu.

b) Si la neu surt amb un angle de 45o des d’una boquera a 2 m d’alcada i la neu cau a 20 m dedistancia, quina forca horitzontal exerceix sobre el vehicle el flux de neu que surt?

4. Una corrent d’aigua de 6 kg/s a velocitat de 80 m/s incideix sobre l’alep d’una turbina que es moua velocitat constant de 20 m/s

a) Quina forca exerceix l’aigua sobre l’alep?

b) Amb quina velocitat abandona l’aigua l’alep?

5. La cinta transportadora de la figura puja sorra a velocitat constant u amb una inclinacio α respectede l’horitzontal. La sorra cau des d’una alcada h a un ritme k (massa per unitat de temps).

a) Calculeu la forca que s’ha d’aplicar a la cinta per a mantenir el seu moviment.

b) Calculeu la potencia desenvolupada pel motor.

70º

20 m/s

80 m/sx

y

h

αl

14. SISTEMES DE MASSA VARIABLE. 59

6. Un coet consta d’una carrega util de 2000 kg i un impulsor de 40000 kg. El 80% de la massa del’impulsor es combustible i la seva velocitat de sortida es d’1 km/s. Si el coet surt del repos i esnegligeixen les forces exteriors, quina velocitat maxima pot adquirir?

7. L’aparell aspersor de la figura treu aigua per cada una de les dues toveres a velocitat constant (enmodul) v. Cada tovera te una seccio S.

a) Quin moment s’ha de fer per que no giri?

b) A quina velocitat angular constant ω gira quan se’l deixa lliure?

Impulsor Càrrega útil

O

v

l

θ1

θ2


Capıtol 2

Respostes.

61

62 CAPITOL 2. RESPOSTES.

0 Vectors.

1. |~b| = 6.88, angle = 123o.

2. a) a = 7.07, b = 6.40 b) 35 c) 39o d) ~a : (0.7, 0.42, 0.57) ~b : (0.93,−0.16, 0.31) e) (11, 2, 6)f) (−1, 4, 2) g) (10, 14,−23).

3. angle = 131o

4. ~a = 23/5~i − 23/5~j + 7~k,~b = 17/5~i − 57/5~j + 9~k

5. . . . rea = 1.22, angles interiors: 129.2o, 19.29o i 31.48o.

6. a) 12.8~i + 17.1~k b) −3.84~i + 12~j + 2.88~k.

7. a) 68.16 b) (7.86,−1.29, 0.70) c) (2.27, 7.09,−2.94) o (3.53,−6.85, 2.13).

8. a) d = 19.5 ; b) d = 5.49.

9. V = 4/3.

10. |~a|2 |~b|2.

11. a) ~a i ~b paral.lels. b) ~b = 0 c) ~a i ~b perpendiculars d) ~a i ~b perpendiculars e) |~a| = |~b|.

12. a) pla perpendicular a ~a b) superfıcie esferica que passa per O i te per diametre el vector ~a c)recta paral.lela al vector ~a, a una distancia del punt O d = |~b|/|~a| en el pla perpendicular a ~b perO.


1 Cinematica de la partıcula.

1. ~v ( t = 2 ) = (8, 8, 4) m/s , ~vm = (2, 4, 4), ~a (t = 3) = (16, 4, 0) m/s2

2. pas = 2πb/k, ~v = (−ak sin kt, ak cos kt, b), ~a = (−ak2 cos kt,−ak2 sin kt, 0)

3. ~r(t) = (3/2t2 − 2t+ 3) ~i+ (2t3 − 5t− 2) ~j + (2t2 − t+ 1) ~k (m), ~a(t) = 3 ~i + 12t ~j + 4 ~k (m/s2),at = 8.14m/s2, an = 10.13m/s2

4. a) x(t) = C t3/6 + v0 t+ x0 (m), b) v(t = 5) = 36m/s, x(t = 5) = 56 m

5. h = (v/g)(v + gt−√

v2 + 2vgt)

6. Xoquen a 315 m de la posicio inicial del primer tren.

7. a) smin = v0τ + v20/(2a), b) smax = v0t.

8. s = b (1 − e−v2/2k), a = K/b ev2/2k (recordeu que vdv = ads)

9. t = d2/(Km1)1/2

10.

11. t =√

2d√

1/a + 1/b

12. t = − ln(1 − 3µL/v0)/3µ, d = v0/3µ

13.

14.

15. Si x = r cos θ, y = r sin θ, ~er = (cos θ, sin θ) i ~eθ = (− sin θ, cos θ) llavors ~v = r ~er + rθ ~eθ i ~a =(r − rθ2)~er + (rθ + 2rθ)~eθ.

16. v0 = 20.2m/s , angle = 54o.

17. d = 8.87m, α = 21.2o.

18.

19. a) si la velocitat’s v llavors an = v2/r i at = 0, b) an = 0 i at = 0, c) si l’acceleracio es a llavors

an = 0 i at = a, d) si el moviment’es x = A sin(10πt+ψ) llavors at = −25A sin(10πt+ψ) i an = 0.

20. v = 3m/s , a = 0.5m/s2.

21. an = 6.9m/s2, at = 4m/s2, R = 5.2m

22. θ = 40rad, s = 80m, v = 44m/s, ω = 22s−1,an = 968m/s2, at = 12m/s2, α = 6s−2

23. v = 15m/s , at = 4m/s2 , an = 225m/s2.

24. ~r = 2(1 + 2t2)~i+ (3 + 2t2)~j , ~v = 8t~i+ 4t~j , ~a = 8~i+ 4~j.

25. v = 296 km/h , φ = 9.59o

26. Trajectoria rectilinea inclinada cap amunt.

27. v = 2.83Km/h , angle = 45o.

28. cos φ = u/2c , c=vel. absoluta del vent , u = velocitat del veler.

29. α = 11.7o.

30. |~a| = 4.04m/s2

31. ~v = 50~i + 39.2~j − 10~k(m/s),~a = 2~i− 1.4~j − 0.08~k(m/s2)


2 Dinamica de la partıcula.

2. a) F = 6N b) F = 4N

3. a) F = 27N b) a = 3m/s2

4. T = (M +m)(a+ g)/2, b) T = (M +m)g/2, N = (M −m)g/2

5. F = 173.1N

9. a = 2.87m/s2 , T = 96.6N

11. a) a = 0.96m/s2 , T = 394N b) a = 0.16m/s2 T = 397N

10. a =√

2/2(1 − 1/√

3)g

12. (prenent el sentit de baixada de P2) a = [P2 (sin β − µ cos β) − P1 (sin α + µ cos α)] g / (P1 + P2)

13. a) a = 1.36m/s2 b) T = 11.3N c) a1 = 2.78m/s2 , a2 = 0.67m/s2

15. v2 ≤ g r cos (α/2)

14. h = (gT 2R2/4π2)1/3 −R

16. a = g/µ

17. ~a = 2.78~i − 2.10~j ( m/s2 )

19. T = 29.397N , w = 3.834s−1

21. t = 4.99s

22. a) T1 = 9.8N , T2 = 19.6N , b) m3 = 1.60kg, c) a = −2.45m/s2

d) a2 = −4.9m/s2, a3 = 2.45m/s2

24. a) t = ([(M +m sin2α)2H]/[(m +M)g sin2 α])1/2, b) δx = − m h cotg α / (m+M), c) N =(M cos α m g)/(M +m sin2α), d) F = M g ((M +m)/(M +m sin2α))

25. F = c(θ)ρSv2 on c(θ) es un coeficient adimensional.

3. SISTEMES DE FORCES. 65

3 Sistemes de forces.

1. 1) Forca unica.2) Parell.3) Forca nul.la.4) Parell.

2. ~R = 2~i+ 4~j + 4~k, Mmin = 3, ~Mo =~i+ 2~j + 2~k

3. ~R =~i−~j + ~kEix central: 2 − y − z = 1 − x+ z = x+ y

4. Eix central: x = y = z~R =~i+~j + ~k, Mmin =

√3

7. Per exemple: ~a1 =~i, ~a2 = ~j, ~a3 = −~j, aplicats a (0, 1, 1), (0, 0,−2), (0, 1, 1).El parell ha de tenir moment ~M = +3~i.

8. a) Cal que existeixi s tal que ~Ms = 0. (Sistema nul o vector unic).b) No.c) No, l’eix central existeix sempre que ~R 6= 0.

10. Resultant: ~R = 3~i+~j − 2~kMoment respecte a P1: ~M =~i+ 2~k

12. T1/R21 = T2/R

22


4 Estatica.

1. T1 = 150 kp, T2 = 0, T3 = 150 kp

2.

3. T = 0.5P cos β/ sin (β − α)

4. β = arctg (2tg θ)

5. Q ≥ 2(R− r)G/R

6. s = 5.51 m

7. F = 1257 N

8.

9. T = 124 kp. Lliscara.

10. a) µmin =√

2hr − h2/(r − h)b) h < rc) M = Pr sinα , R1 = P sinα , R2 = 0

11. T = rW/(2asin2α) + (0.5W + P )tg α

12. Q = 0.5µbP/(a + b), R = −aQ/b

13. P = 190 kp

14. Q = 1055 kp

15. N1 = 1.03P, N2 = 0.73P, N3 = 1.27P

19. Fm = (√

2 − 1)µP

5. ESTATICA D’ESTRUCTURES. 67

5 Estatica d’estructures.


6 Canvis de sistema de referencia.

1. 3.42 N/Tm.

2.

3. a) ~a = −s0(4π2n2 + ω2) cos β~j − 4π2n2s0 sin β~k b) ~a = 4πns0ω cos β~i.

4. ~v = −7.52 × 103~i − 0.442 × 103~j m/s on ~i va cap al Sud i ~j va cap a l’Est. ~a = −0.016~i +0.547~j (m/s2).

5. 5.47 10−2 m/s2.

6. a) ∆x = 3.3 cm cap al W. b) ∆x = 6.6 cm cap al W.

7. ~aA = ω2b~i+ 2ωpr~j − p2r~k , ~aB = ((b− r)ω2 − p2r)~i


7 Cinematica del solid rıgid.

7.1 Cinematica 2D del solid rıgid.

1. | ~OC| = 3.3cm verticalment per sobre de O si O es el centre , |~vD| = 3.16m/s

2.

3. ω = rvA/(x√x2 − r2)

4.

5. ω =√

2ax/√

4b2 − x2

6. ω = (rω0 cos θ)/(√l2 − r2 sin2 θ), α = (r0ω

20(r

2 − l2) sin θ)/(l2 − r2 sin2 θ)3/2

7. ~aB = 3~i− 2~j(m/s2)

8. a) ~aG = −12.3~j(m/s2) , b) ~aG = 0.6~i− 0.6~j(m/s2)

9. 1) vmax = 2ωr , vmin = 0 , t = 2nπ/ω 2) ~r(t) = r(ωt− sin ωt)~i+ r(1 − cos ωt)~j3) at = 0 , an = rω2


7.2 Cinematica 3D del solid.

1. 4x− 3y − 50 = 0, z = −10

2.

3. b) ~ω = 4~j + 3~k rad/s.c) x = 16/25 , 3y − 4z − 3 = 0.d) ~v = (3 + 4z − 3y)~i+ 3x~j + 4(1 − x)~k m/s.

4. ~vo = −2~i− 5~j + 2~k, No’s equivalent a una rotacio pura.

5. a) Generatriu del con en contacte amb el pla.b) ω = 4π/Tc) Punt P, amb: vP = 16πR/T

√5

d)√

5e) ~a = −(8π2R/T 2

√5)(4~i + 5~k)

6. ~ω = −R−rr θ~i+ 2πn~k

7. Eix: x+ 10z = 0, y = 0; ~ω = 10~i− ~k rad/s


8 Dinamica de sistemes de partıcules.

8.1 Moment lineal.

1. v = 14, 14 m/s, θ = 45o

2. d = 6, 52 m

3. (753, 0,−33) m

4. v = 15.8m/s, angle amb la direccio inicial = 71.6o

5. ~v = 28994~i + 7~j Km/h

6. v′ = 51, 5m/s


8.2 Moment angular i dinamica 2D del solid.

1. a) ~vcm = 0.58~i + 0.33~j m/s. b) El c.m. es mou a velocitat constant i les partıcules es mouen ambmoviment circular uniforme al seu voltant. c) ~v1 = 0.29~i − 0.17~j m/s ~v2 = 0.73~i + 0.58~j m/s.

2. a) t = 4l/5v0 , ~r1 = (3l/5, 0) , ~r2 = (0,−4l/5). b) ~rcm = 0.25((2v0t−l)~i−3v0t~j , ~vcm = 0.25v0(2~i−3~j), ~acm = 0. c) ω = v0/l d) Quan la corda es torna a tensar es perd una energia ∆E = −3mv2

0/2.

5. a) ω = −1.33 rad/s. b) ω = 0. c) ω = −1.33 rad/s.

6. a) α = 8, 702 rad/s2, b) a = 4, 351 m/s2, c) T = 54, 49 N

7. si θ = 30o no llisca , v = 4, 43 m/s i ω = 29, 5 rad/ssi θ = 60o llisca , v = 6, 48 m/s i ω = 18, 2 rad/s

10. a = 2g/3, α = 2g/3R i T = mg/3

11. v = 20 m/s, x = 49 m

13. hmaximin = 1/2 (b − P/F (bµ∓ c))

14. a) s = 78, 2m , b) s = 38, 6m i c) 27,2m

16. a) a = 3mg / (M + 3m), α = 2mg / r(M + 3m), T = Mmg/(M + 3m)b) a = 8mg / (3M + 8m), α = 4mg / (3M + 8m)r, T = 3mMg / (3M + 8m), µ ≥ m/(3M + 8m)

19. N = m g cosθ / (1 + 3 sin2θ), α = −6 g sinθ cosθ / l(1 + 3 sin2θ)

21. N = (h2 + b2) m g / (h2 + 4b2), a = −3bhg/(h2 + 4b2)


9 Treball i energia per a una partıcula.

2. W nc = −8.69J

3. vB = 7.4m/s.

4. a) vA =√gr. b) vB =

√3gr vC =

√5gr. c) NA = m(v2/r−g) , NB = mv2/r , NC = m(v2/r+g)

.

5. vB = 8.66m/s , T = 140.4N.

6. v0 = 6.01m/s.

7. a)

x =v0g

√

−2v20

+ 2√

v40

+ g2l2, y =1

g(v2

0 −√

v40

+ g2l2)

vx = v0, vy = −√

−2v20

+ 2√

v40

+ g2l2

b)

v = −v0gl

(−v20 +

√

v40

+ g2l2)

Despres el moviment sera circular oscil.latori.c) ymax = y1 + v2

1/2g , v2max = v2

1 +2g(y1 + l), amb y1 donada a l’apartat a), i v1 donada a l’apartatb).

8. a) W = 45.3J b) W = 29.3J c) W = 40J d) W = 42.1J. Aquesta forca no es conservativa, i enconsequencia no te energia potencial associada.

9. W = 4264J. La llei F (r) no es unica. Si suposem r ≪ ω21r, llavors: F ≃ mr41ω

21/r

3.

10. Apogeu: rmax = (2 +√

3)r0/2. Perigeu: rmin = (2 −√

3)r0/2.


10 Treball i energia per a sistemes de partıcules.

6. a) α = 0, 43 rad/s2, b) φ = 5, 4 rad, c) L = 174, 15 kg m2/s, d) Ec = 192 J

7. d = 1.19m.

8. θ = 48, 19o

9. anell K = R, v2 = ghcilindre K = R / 21/2, v2 = 4 gh / 3esfera K = (2/5)1/2R, v2 = 10 gh / 7

12. Equilibri: tg α = (a/b)2 . Recurregut angular maxim: cos φ = (b4 − a4)/(b4 + a4) .


11 Geometria de masses i tensor d’inercia.

3. xcm = 3

4a, ycm = 3

10b

4. ycm = 0.095 l

5. zcm = 1

3

2ρ1+ρo

ρo+ρ1h

6. a) (2.11, 1.18) m, b) (5r/6, 14r/9π)

9. a) I = 1, 94 kg m2, K = 0, 61m, b) I = 0, 96 kg m2 , K = 0, 43m, c) I = 0, 64 kg m2, K = 0, 35m

11. I = 1, 6 MR2

15. K = 2, 43 cm, 83, 63 m < l < 106, 48 m

17. b = 40, 35 cm

18. a) πR4/4 b) πR4/2

21. Ixy = 1.083 × 104 cm4

22. a) Ixx = Iyy = Izz = 14

3m a2

b) I = 14

3m a2

c) Ixx = Iyy = Izz = 62 m a2

Ixy = Ixz = Iyz = −3 m a2

23. Ixy = −mbL/4

24. Iyz = 2LRM3π , Ixz = −4R2µ

3π

25. Ec = (C2 / 2 (l + h/3) + (π r n)2 (l + h/5))ρ π r2

26. E = 1

3(1 + 3 sin2 θ) m l2 θ2

27. E = 3

40(1 + 5 cos2 β) m h2 θ2 = 3

2m2r2Ω2 = 6mr2π2/T 2

28. E = m(R− r)2

[

3

4θ2 + 1

2

(

(

KR−r

)2+ sin2 θ

)

ϕ2

]

29. Ivareta = 1

3m l2 sin2 α

Itetraedre = 5

6m l2


12 Dinamica 3D del solid rıgid.

1.

2. No lliscar: v2/gr ≤ (µ+ tgα)/(1 − µ tgα)No bolcar: (m/2)[(v2/gr)(β sin θ− cos θ) + β cos θ+ sin θ] + (I1 − I2)/2gh(v

2/r2) sin θ cos θ ≥ 0, onβ = b/2h i I1, I2 son els moments principals d’inercia en el pla radial que passa per el c. de m.

3. |FA| = |FB | = mω2ab/l i de sentits contraris.

4. ~F = (2mrω2/π)~j +mg~k, ~M = −(2mr/π)(g + ω2l)~i

5. |~aA| = 5F/m

6. ~α = (4g/3b)~j


13 Oscil.lacions.

1. ν = 0.32 Hz, A = 7.81 cm

2. h = 0.441m, ν = 1.06Hz

6. I1 = A√

3mk, I2 = A√mk

11. A = 3.9 cm, T = 2.85 s

14. f = 1.11 Hz

15. c) ω =√

g/(π − 2)r

16. c) T = 2π√

d/µg

17. a) T = 2π√

3r/2g, λ = 3r/2b) T ′ = T

21. c) ω2 = mgs/(3MR2 +m(R− s)2)

22. b) ω = 0.5√

3k/(m+ 3M)c) 3b2 < (m+ 3M)kd) t = ((2m+ 6M)/3b) ln 10

23. Amplituds = 0.013 ; 0.067 ; 0.12 ; 0.004 ; 0.63 cm

24. a) 40.5 km/hb) 2.52 cmc) τ = 1.16 se) 1.23 cm

25. 545 r.p.m., 0.24 mm


14 Sistemes de massa variable.

1. F = ku

2. F = 2ρSv2 sin(θ/2) . F = 3.6N.

3. a) F = 750N.

4.

5. F = ku+ k(gl/u +√

2gh) sinα P = Fu

6. 1.435km/s

7. a) M = 2ρSlv2 sin θ2 b) ω = (v/l) sin θ2

Apendix A

Dimensions i unitats.

Les equacions de la Fısica expressen igualtats o desigualtats entre valors d’iguals magnituds com podenser longituds, temps, forces, energia, etc. Aixı, a la igualtat a = b, s’enten que tant a com b son valorsd’una mateixa magnitud.

Distingirem entre magnituds fonamentals i derivades. Les fonamentals constitueixen un conjuntmınim a partir de les quals es poden definir la resta, que considerarem com a derivades. Les magnitudsfonamentals de la Mecanica son la longitud L, el temps T i la massa M .

Si una magnitud deriva de les fonamentals, es podra definir a partir d’elles. A aquestes relacions seles coneix com a dimensions. Aixı, direm que una forca te dimensions d’una massa per una longitud perun temps a la potencia menys dos, i escriurem [F ] = MLT−2.

Donada una escala de mesura de cadascuna de les magnituds fonamentals, tenim una escala de mesurade qualsevol magnitud derivada que en alguns casos reben noms especials. En el sistema internacional(S.I.) les unitats de les magnituds fonamentals son: metre per a la longitud (m), segon pel temps (s) iquilogram per a la massa (Kg). En el sistema C.G.S. les unitats fonamentals son: centımetre per a lalongitud (cm), segon pel temps (s) i gram per a la massa (g).

A continuacio donarem una llista d’algunes magnituds junt amb les seves dimensions, unitats en elsdos sistemes (S.I. i C.G.S.) i el nom especial que reben si existeix.

Magnitud Dimensions Unitats

S.I. C.G.S.

Longitud L m cmTemps T s sMassa M Kg gVelocitat LT−1 m/s cm/sAcceleracio LT−2 m/s2 cm/s2

Velocitat angular T−1 s−1 s−1

Acceleracio ang. T−2 s−2 s−2

Forca MLT−2 newton (N) dinaQuantitat de moviment MLT−1 Kgm/s g cm/sMoment cinetic ML2T−1 Kgm2/s g cm2/sMoment d’una forca ML2T−2 newton-metre (Nm) dina-cmEnergia, treball ML2T−2 joule (J) ergPotencia ML2T−3 watt (W ) g cm2/s3

Volum L3 m3 cm3

Densitat volumica ML−3 Kg/m3 g/cm3

Moment d’inercia ML2 Kgm2 g cm2

Moment d’inerciad’una seccio plana. L4 m4 cm4

Pressio, esforc, tensio ML−1T−2 pascal (Pa) dina/cm2

79

80 APENDIX A. DIMENSIONS I UNITATS.

Apendix B

Taules.

81

82 APENDIX B. TAULES.

1 Moments d’inercia.

Solid Moments d’inercia

Vareta prima

z x

y

l/2

l/2

Ix = 0

Iy = 1

12ml2

Iz = 1

12ml2

Placa rectangular prima

z

y

xb

h

Ix = 1

12m(b2 + h2)

Iy = 1

12mb2

Iz = 1

12mh2

Disc prim

z x

y

r

Ix = 1

2mr2

Iy = 1

4mr2

Iz = 1

4mr2

Anell

x

y

zr

Ix = mr2

Iy = 1

2mr2

Iz = 1

2mr2

Prisma rectangular

y

x z

l/2

l/2 b

h

Ix = 1

12m(b2 + h2)

Iy = 1

12m(b2 + l2)

Iz = 1

12m(h2 + l2)

Cilindre de revolucio

x

y

z

r

l

Ix = 1

2mr2

Iy = 1

12m(3r2 + l2)

Iz = 1

12m(3r2 + l2)

Esfera

z x

y

r

Ix = 2

5mr2

Iy = 2

5mr2

Iz = 2

5mr2

2. MOMENTS D’INERCIA D’AREES. 83

2 Moments d’inercia d’arees.

Solid Moments d’inercia

Rectangleh

C

b

y’y

x’

x

Ix′ = 1

12bh3

Iy′ = 1

12b3h

Ix = 1

3bh3

Iy = 1

3b3h

Ic = 1

12bh(b2 + h2)

TriangleC

x’x

h/3

h

a

b/2 b/2O

y

Ix′ = 1

36bh3

Ix = 1

12bh3

CercleO

r

x

yIx = 1

4πr4

Iy = 1

4πr4

Io = 1

2πr4

Semicercle

rO

C

y

x

Ix = 1

8πr4

Iy = 1

8πr4

Io = 1

4πr4

Quart de cercle

r

C

O x

yIx = 1

16πr4

Iy = 1

16πr4

Io = 1

8πr4

El·lipse

O

a

b

y

x

Ix = 1

4πab3

Iy = 1

4πa3b

Io = 1

4πab(a2 + b2)


3 Centres de gravetat de formes geometriques usuals.

Forma Centre de gravetat i Area

Area triangularC

x’x

h/3

h

a

b/2 b/2O

yx = a+b

3

y = h3

A = bh2

Area de semicercle

rO

C

y

x

x = 0

y = 4r3π

A = πr2

2

Area de quart de cercle

r

C

O x

y x = 4r3π

y = 4r3π

A = πr2

4

4. RECOLZAMENTS USATS EN APLICACIONS BIDIMENSIONALS. 85

4 Recolzaments usats en aplicacions bidimensionals.

Recolzaments bidimensionals Reaccions

T

Cable o ressort Una forca de direccio coneguda

AContacte amb una superfıcie llisa Una forca normal

AA x

y

xy

Contacte amb una superfıcie rugosa Dues components de forca

AA x

y

xy

Suport de passador Dues components de forca

APassador guiat o lliscador Una forca normal

y

Ay

AM

xxA

Encastament Dues components de forca i un parell

yAM

xxA

Encastament lliscador Una forca normal i un parell


5 Recolzaments usats en aplicacions tridimensionals.

Recolzaments tridimensionals Reaccions

T

Corda o cable Una forca de direccio coneguda

y

z x

y

z x

A

Contacte amb una superfıcie llisa Una forca normal

y

z x

y

z x

A y

A x

A z

Contacte amb una superfıcie rugosa Tres components de forca

y

z x

y

z x

A

A z

y

A x

Suport de rotula Tres components de forca

y

z x

y

z x

A

Suport de rodets Una forca normal

y

z x

y

z xA z

A y

MA

MA

Axx

y

Articulacio Tres components de forca i(l’eix z es paral·lel a l’eix de l’articulacio) dues components de parell

y

z x

y

z x

A

A z

MzA

y

MyA

MxA

Ax

Encastament Tres components de forcai tres components de parell

Documents

Problemes de Mecànica Racional. Titulació: Enginyeria Civil. … · 2011. 6. 10. · 1 Problemes. 3 0 Vectors ... La constant d’atraccio´ és K. Determineu el temps que li