Problemas Olimpiada Matemática

OLIMPIADA MATEMÁTICA

PROVINCIAL DE TOLEDO

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS

COMISIÓN ORGANIZADORA DE LAIX OLIMPIADA PROVINCIAL DE MATEMÁTICAS

CURSO 2008-09

NIVEL 12/14

1.- EL CASO DEL PASTEL DESAPARECIDOEn la cocina había un pastel destinado al cumpleaños de papá,

pero al llegar éste, ha desaparecido. En la casa hay cinco hijos: Ataúlfo, Basilia, Calepodio, Desdémona y Efialtes. Mamá sabe que alguno, o varios, son los autores del desaguisado y les interroga. He aquí sus respuestas:

Ataúlfo: Esto es obra de uno solo de nosotros.Basilia: No, de dos de nosotros.Calepodio: No, de tres de nosotros.Desdémona: No, de cuatro de nosotros.Efialtes: Entre todos nos lo comimos.

Mamá sabe que los inocentes dicen la verdad, mientras que los culpables mienten. ¿Quién o quiénes se comieron el pastel?

Se comió o se comieron el pastel:.........................................

2.- EL RELOJ DIGITALUn reloj digital marca la hora y la fecha con diez dígitos de la

siguiente manera:

1 7 5 8 2 6 0 4 9 3hora min. día mes año

Esta hora y fecha es la última del siglo XX en que se utilizan los diez dígitos cada uno una sola vez ¿Cuál es la primera fecha del siglo XXI en que ocurre esa misma circunstancia?

Escribe la solución:

hora min. día mes año

3.- LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATAEl huevero tiene ante sí 6 cestas con huevos. Cada una tiene

huevos de una clase, de gallina o de pata. Cada cesta tiene el número de huevos que se indica:

6 15 29 12 14 23

Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. Toledo. 2

El huevero dice, señalando una cesta que no acierto a ver cuál es exactamente: Si vendo esta cesta, me quedaré el doble de huevos de gallina que de pata. ¿Podrías ayudarme a averiguar de que cesta está hablando?

Está hablando de la cesta:

4.- ZONA NO SOMBREADACalcula el área de la zona no sombreada de la figura

Dato: Área del círculo: A = π r 2

Área =

5.- COLOR DEL SOMBREROEn el dibujo, hay 4 hombres enterrados hasta el cuello. No se

pueden mover, por lo tanto sólo ven lo que tienen enfrente (D puede ver B y C). Entre el hombre A y el B hay una pared opaca (no ven nada). Saben que 2 de ellos tienen el sombrero negro y otros 2 lo tienen blanco. No saben de qué color es el sombrero que ellos mismos poseen. Para no ser fusilados, uno de ellos tiene que decir al verdugo cuál es el color de su sombrero. Si se equivoca, todos serán fusilados, no están autorizados ni a hablar ni a darse la vuelta, y tienen 10 minutos para encontrar la solución de lo contrario todo se acaba..... Al cabo de un minuto, ¿cuál de ellos llama al verdugo? ¿Por qué está seguro del color de su sombrero?

Llamó al verdugo el hombre..................... porque .........................

.................................................................................................


6.- ¿LAS MATEMÁTICAS FALLAN?Tres mujeres van a un hotel y preguntan el precio de una

habitación, a lo que el recepcionista contesta 300 euros. Cómo es mucho, deciden coger una habitación para las tres, con lo que cada una paga 100 euros.

Un rato después el recepcionista ve que se ha equivocado y que la habitación costaba sólo 250 euros, por lo que manda al botones que las devuelva 50 euros.

El botones decide quedarse con 20 euros y darles sólo 30 euros (10 a cada una).

Ahora bien, si cada una paga 100 euros y le devuelven 10 entonces cada una paga 90 euros, como son tres, en total pagan 270 euros y como el botones se queda con 20 euros, en total hacen 290 euros. ¿Dónde están los otros 10 euros?

Respuesta:

7.- ¡CALCULADORA!, ¿PARA QUÉ?Sin efectuar operaciones, halla el valor de A.

A = 838756834702 – (83875683469 x 83875683471)

Solución: A =

8.- LA VENTA DE SOLARESUna agencia inmobiliaria puso a la venta un solar triangular,

situado en la parte más cara del área comercial de una zona residencial de Chicago. El anuncio era el que se adjunta.

¿Por qué crees que no se presentaron compradores?Solución:


9.- DISCOSAquí tienes dos discos circulares. En la cara superior de cada

uno de ellos hay escrito un número. En la otra cara tienen escrito otro número. Si lanzamos los discos al aire y sumamos los dos números que salen, podemos obtener como resultado 11, 12, 16 o 17. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco.

Solución: En el anverso deberán figurar respectivamente los números:

10.- LOS PINTORES DE LA CATEDRALUnos pintores están pintando las paredes interiores de una

catedral. A una ventana circular de un metro de diámetro le añadieron dos líneas tangente y dos semicírculos cerrando la figura.

¿Qué área tiene la figura sombreada?

Solución: Área =


7 10

11.- CON SÓLO DOS PESASEl juego de pesas de una balanza consta sólo de dos pesas, una

de 10 gramos y otra de 40 gramos. En sólo tres pesadas separa 1800 gramos de semillas en dos bolsas de 400 y 1400 gramos.

Solución: 1ª Pesada: 2ª Pesada: 3ª Pesada:

12.- EL RELOJ REVOLUCIONARIOLos revolucionarios franceses intentaron, a la manera del

sistema métrico decimal, medir el tiempo también de modo decimal. Se pensó que habría que dividir el día en diez horas, cada hora en cien minutos y cada minuto en cien segundos. Si llamamos reloj revolucionario al que marque la hora de ese modo y reloj normal al que usamos normalmente, cuando en un reloj normal sean las 7 horas, 53 minutos y 24 segundos, ¿qué hora marcará un reloj revolucionario?

13.- UN DEPÓSITO CON FUGAUn depósito tarda tres horas en llenarse con un grifo y cinco

horas con otro grifo. Un día decidimos llenarlo usando los dos grifos a la vez y observamos que el depósito se ha llenado en cuatro horas. Cuestiones:

1º Deduce de los datos que el depósito tiene una fuga.2º Calcula cuál es el tiempo que, una vez lleno, tardaría el

depósito en vaciarse a través de la fuga.

(Suponemos que tanto el agua que sale por los grifos como la que se escapa por la fuga lo hace a un ritmo constante)

14.- UN BUEN TRABAJADOR.Tres empleados de una fábrica – Aniceto, Bonifacio y Carmelo –

realizaban las tareas de abridor de puertas, cerrador de puertas y obrero, aunque no respectivamente. Debido a la naturaleza oscilante de sus tareas, el abridor y el cerrador de puertas habían adquirido el hábito de mentir. En cambio, el obrero, además de buen trabajador, era hombre veraz. Dijeron lo siguiente:

Aniceto: “Carmelo cierra las puertas”.Bonifacio: “Aniceto abre las puertas”.Carmelo: “Bonifacio es el obrero”.

¿Cuál era la tarea de cada uno?


15.- DOCE CERILLASDispones de doce cerillas iguales. Con todas ellas, y tomando

como unidad de medida la longitud de una, forma un polígono de área nueve. ¿Fácil? Forma ahora uno de área cinco. ¿Lo has conseguido? Pues forma otro de área cuatro.

(Importante: los polígonos a formar pueden tener cualquier forma.)

16.- LAS CAJASUna fábrica realiza cajas en forma de paralelepípedo de

distintos tamaños. Sabiendo que la medida de sus aristas puede ser cualquier número entero del 1 al 10, ¿cuántas cajas distintas puede realizar?

17.- SIEMPRE EXACTOEncontrar los menores 9 números consecutivos (mayores que

10), el primero terminado en 1, …, y el mayor terminado en 9, de manera que al dividirse por su última cifra, el resultado de siempre exacto.

Ejemplo: 31/1 si, 32/2 si, 33/3 si, 34/4 no, ...

18.- LA HISTORIA DEL COMERCIANTEEsta es la historia de un comerciante que salió a visitar tres

ferias. En la primera duplicó el dinero que llevaba y se gastó 30 monedas. En la segunda triplicó el dinero que tenía y desgraciadamente perdió 54 monedas. En la tercera cuadruplicó todo el dinero que le quedaba y gastó 72 monedas. Al final le quedaron 48 monedas. ¿Cuántas monedas llevaba cuando salió de su casa?

SALIÓ CON ____________________ MONEDAS.

19.- EL MALVADO COCODRILOUn cocodrilo le quitó el bebé a una mujer. Entonces, le dijo:

“Respóndeme correctamente y te lo devolveré: ¿Me voy a comer a tu hijo, o no?.” ¿Qué respondió la mujer para salvar a su hijo?

LA MUJER DIJO AL COCODRILO (razona la respuesta):


20.- UN PROBLEMA DE MELONESLos hermanos Harim y Ahmed me encargaron vender 60

melones. Harim me dio 30, para vender 3 por un denario y Ahmed me dio otros 30, para vender 2 por un denario. Como no quería tener dos precios diferentes, opté por vender 5 melones por 2 denarios que es vender 3 melones a 1 denario y 2 melones a 1 denario. Pero hecha la venta obtuve de los 60 melones, 12 lotes a 2 denarios, 24 denarios. Pero tenía que dar a Harim 10 denarios y a Ahmed 15 denarios, en total 25 denarios. ¿Dónde está el denario que me falta?

SOLUCIÓN:

21.- CUATRO CÍRCULOS IGUALESTenemos cuatro círculos iguales de radio 1 m. Uniendo los

centros obtenemos un cuadrilátero irregular. ¿Cuánto mide el área sombreada?

EL ÁREA VALE:

22.- EL LADRÓN INCONFORMISTAEn los L.F.J. (Ladrones Fuertemente Jerarquizados) de cada

grado sólo hay uno. Salen a robar y roban unas esmeraldas, todas ellas iguales. Cuando reparten el botín, el primero se lleva 1 esmeralda, el segundo 2 esmeraldas, el tercero tres, y así sucesivamente. Pero uno no está de acuerdo y dice: “Ni hablar, repartiremos 5 esmeraldas para cada uno”. ¿Cuántas esmeraldas robaron?. ¿Cuántos ladrones hay?

HAY _____________ ESMERALDAS Y ______________ LADRONES.


23.- EL HOMBRE QUE AHORRABAUn negociante separa al principio de cada año 100 escudos para

los gastos del año y al finalizar cada año aumenta su capital un tercio de lo que tiene. Al cabo de tres años ha duplicado su dinero. ¿Qué dinero tiene al comienzo de los 3 años?

TENÍA ____________ ESCUDOS.

24.- TRIÁNGULOS¿Cuántos triángulos pueden construirse uniendo puntos del

tablero?

25.- ESCALONESUn muchacho que vive en la planta alta de un edificio sube las

escaleras de 2 en 2 y las baja de 3 en 3, con lo que da 100 saltos. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

26.- MULTIPLICANDOCompletar, razonadamente, la siguiente operación de

multiplicar:


27.- EL VIAJERO DE LOS ANILLOSEn una oportunidad un viajero se presento en un hotel con una

cadena de oro con siete eslabones. El viajero acordó con el hostelero que el valor de la habitación seria de 1 eslabón diario. Como el viajero no conoce cuánto tiempo se va ha hospedar decide pagar la habitación diariamente. Al terminarse la semana se fue pagando todos los eslabones. Cuántos eslabones como mínimo se tienen que abrir para poder pagar el hotel diariamente.

28.- CUBOS DE CUATRO CIFRASHallar todos los números naturales de 4 cifras, escritos en base

10, que sean igual al cubo de la suma de sus cifras.

29.- MESASUn carpintero hizo un número concreto de mesas; vende 70 y le

quedan por vender más de la mitad. Después hace 6 y vende 36 y le quedan menos de 42 por vender. ¿Cuántas mesas ha hecho?

30.- LOS HERMANOS ZIPI Y ZAPEZipi sólo miente los lunes, martes y miércoles, y Zape sólo

miente los jueves, viernes y sábados. Un día los dos hermanos tuvieron esta charla: “Ayer me tocó mentir” dijo Zipi. “Pues a mí también me tocó mentir” dijo Zape. ¿En qué día de la semana estaban? Razona la respuesta.

31.- UN CÍRCULO GRANDE Y DOS PEQUEÑOSLos círculos pequeños, de radio 1 cm, son tangentes entre sí y

tangentes al círculo mayor. ¿Cuál es el área, en cm2, de la zona sombreada?


32.- EL HOTEL DE LOS LÍOSEn un hotel numeran las habitaciones con tres cifras, donde la

primera indica la planta y las dos siguientes el número de habitación. Por ejemplo, 115 indica la habitación 15 de la primera planta y 311 la habitación 11 de la tercera planta. Si el hotel tiene en total 5 plantas con 35 habitaciones por planta, ¿cuántas veces habrán utilizado la cifra 2 para numerar todas las habitaciones?

33.- UN NÚMERO Y SUS DIVISORESEl número entero positivo N tiene exactamente seis divisores,

incluyendo 1 y N. Si el producto de cinco de ellos es 648. Calcular el número entero que es su sexto divisor y el número N.

34.- CONCURSO CON PROBLEMASEn un concurso de opción múltiple y con 30 problemas, se

puntúa con 12 puntos cada respuesta correcta, se restan 7 puntos por cada respuesta incorrecta y 0 por cada respuesta en blanco. Si Antonio obtuvo 234 puntos, ¿cuántas respuestas dejó en blanco?

35.- CUADRADOS Y RECTÁGULOSDividimos un cuadrado en 9 rectángulos con rectas paralelas a

los lados como muestra la figura. El rectángulo central resulta ser otro cuadrado y las áreas de tres rectángulos de las esquinas, en cm2, son las que te mostramos. ¿Cuál es el área y el perímetro del rectángulo sombreado?

36.- MATRICULA DE PRIMOSEl número de matrícula del coche de Pedro es de 4 cifras pero

no es muy difícil de recordar, pues es de la forma abba con a y b distintos y ab y ba números primos de dos cifras. ¿Cuántos números podrían ser los números de matrícula del coche de Pedro?


37.- REPARTIENDO, QUE ES GERUNDIOEn una caja hay más de 40 monedas pero menos de 70. Si las

repartimos a partes iguales entre 6 personas sobran 4, pero si lo hacemos entre 5 sobran 3 monedas. ¿Cuántas sobrarían si las repartiéramos equitativamente entre 7 personas?

38.- CURIOSA MULTIPLICACIÓNEn la multiplicación A B A × C D = C D C D, (A, B, C y D son

cifras diferentes). ¿Cuánto suman A + B?

39.- FIGURAS SEMEJANTESLos tres triángulos de la figura son rectángulos y semejantes. Si

el lado AP mide 12 cm, determinar la longitud, en cm, del segmento BC.

40.- UN LIO DE EDADESLa edad del padre de Nacho es cuatro veces la edad de éste.

Dentro de cuatro años será sólo el triple. ¿Cuántos años desde ahora deben pasar para que sea sólo el doble?


NIVEL 14/16

1.- LAS ABEJASLas abejas macho nacen de huevos sin fecundar, y por tanto

tienen madre, pero no padre. Las abejas hembra nacen de huevos fecundados. ¿Cuántos antepasados tendrá una abeja macho en la duodécima generación? ¿Cuántos de ellos serán machos?.

Total de antepasados:Total antepasados machos:

2.- ZONA SOMBREADACalcula el área de la zona sombreada en la figura adjunta

El área sombreada mide:

3.- UN ROMBO CURIOSOEn una circunferencia hemos inscrito un rectángulo y en él un

rombo, tomando los puntos medios de los lados del rectángulo. Si el diámetro del círculo es de 10 cm, ¿cuánto mide el perímetro del rombo?

El perímetro del rombo mide:


4.- NO SÓLO SE VE POR LOS OJOSDe tres prisioneros en cierta cárcel, uno tiene visión normal, el

segundo sólo tiene un ojo, y el tercero está totalmente ciego. Todos tienen por lo menos una inteligencia media. El carcelero les dijo a los prisioneros que, de una selección de tres sombreros blancos y dos sombreros rojos, escogería tres sombreros y se los pondría en sus cabezas. Se evitó que cada uno pudiera ver el color del sombrero puesto en su cabeza. Se reunió a los prisioneros y el carcelero ofreció liberar al prisionero con visión normal si podía decir el color del sombrero que tenía puesto. El prisionero confesó que no sabía. Entonces el carcelero ofreció liberar al prisionero con sólo un ojo si podía decir el color del sombrero en su cabeza. El segundo prisionero confesó que tampoco sabía. El carcelero ni se molestó en hacer la oferta al prisionero ciego, pero accedió a hacérsela en los mismos términos cuando la solicitó. Entonces el prisionero ciego sonrió ampliamente y dijo:

“ No necesito tener mi vista;de lo que mis amigos con ojos han dicho,claramente puedo ver que mi sombrero es ..........................”.

Llena el espacio correctamente.

5.- FIESTA SORPRESAOcho personas de lenguas distintas, que identificamos con los

números del 1 al 8, acuden a una fiesta sorpresa. Cada hablante entiende la lengua de los números inmediatos, por parentesco lingüístico. Y queremos mantenerlos incomunicados hasta el momento de desvelar la sorpresa.

Sitúa en estas ocho casillas los números del 1 al 8, de modo que dos números consecutivos no estén nunca juntos, ni de lado ni en diagonal.


6.- LAS EDADES ESCONDIDAS- ¿Tienes prisa, Raúl?. (Observó el profesor mientras su amigo tragaba el resto de su café y se levantaba para irse).- Saco a pasear a tres muchachas en mi coche. (Contestó Raúl). El profesor rió. - ¡Con que era eso!. ¿Y qué edad tienen esas tres chicas?. Raúl pensó un momento. - Multiplicando sus edades entre sí se obtiene 2.450 y además la suma de sus edades es exactamente el doble de tu propia edad. El profesor negó con la cabeza. - Muy interesante, pero eso todavía no aclara las edades de ellas. Raúl coincidió con el profesor. - Es cierto, me olvidé de mencionar que yo soy por lo menos un año más joven que la más vieja. Y con esto creo que queda todo bien claro.El profesor, por supuesto, sabía la edad de su amigo.¿Puedes tú calcular las edades de las chicas, la del profesor y la del propio Raúl?.

Edad de la chicas:Edad del profesor: Edad de Raúl:

7.- CURIOSO CUADRADO¿Existirán 16 números naturales distintos y menores de 100

tales que al colocarlos en las casillas de un tablero 4x4 el producto de los situados en cada fila sea el mismo y, a su vez, coincida con el producto de los colocados en cada columna y en las dos diagonales principales?.

Si la respuesta es afirmativa, indica cuáles son. Si la respuesta es negativa, justifícalo.


8.- FÓRMULA TRIGONOMÉTRICADeterminar los dos valores de x más próximos a 2004o que

cumplen la siguiente ecuación:

3111111222222

−=−−−−−xeccosxsecxgcotxtgxcosxsen

Solución: x1 = x2 =

9.- EL TESORO ESCONDIDOEn una finca cuya planta tenía forma de un trapecio PQRS (ver

figura, que no ha sido dibujada a escala), se enterró un tesoro exactamente bajo el poste (situado en T) común a dos vallados internos de forma cuadrada y dispuestos como se indica en la figura.

Con el paso del tiempo y el abandono de la finca, sólo quedaron los postes situados en Q y S cuya distancia entre ellos es 100 m. Todas las demás indicaciones habían desaparecido. Pero se recuerda que el área de la finca era 12500 m2 y que el tesoro estaba enterrado más cerca de S que de Q. ¿A qué distancia de Q, en metros, se encuentra el tesoro escondido?.

Notaciones: a = QT, b = TS, f = PQ y h = RS

Solución: A _________________ m.


10.- MOROS Y CRISTIANOSTras la batalla, el sultán Aben-Hazzar, mandó a su Gran Visir

reunir a los 15 prisioneros cristianos y a otros 15 moros, con objeto de arrojar al mar a la mitad de ellos.

“Colócalos en círculo y contando de 9 en 9, arroja al agua al que le toque cada vez”.

El Gran Visir, que odiaba a los moros, colocó a los 30 prisioneros de tal forma que salvó a los 15 cristianos. ¿Cómo los colocó?.

Solución: Considérate el Gran Visir y coloca en el siguiente cuadro a los 15 cristianos (C) y a los 15 moros (M) para cumplir sus deseos.

11.- TRAVESÍA POR PESOCinco personas que pesan 10, 20, 30, 40 y 50 kilogramos,

respectivamente, van a cruzar un río con un bote que sólo admite una carga de 50 a 70 Kg. (ni menos de 50 ni más de 70). ¿Cómo lo cruzarán si deben procurar hacer el menor número posible de travesías?.

Solución:


12.- CUADRADOS EN RECTÁNGULOEl rectángulo de la figura ABCD está dividido en cuadrados.

Calcula la altura y la longitud del rectángulo sabiendo que el cuadradito más pequeño de todos tiene 4 metros de lado.

Solución: Altura = metros.Longitud = metros.

13.- MUY ELEGANTEEn la figura adjunta, ¿cuánto mide B?.

Solución:

14.- PROBLEMA DEL DENTÍFRICOCuando extendemos la pasta dentífrica en el cepillo no solemos

reparar en su grosor y nos fijamos fundamentalmente en la longitud. Por tal motivo, un fabricante de pasta dentífrica decide incrementar el diámetro de la boca del tubo para así aumentar las ventas. La cuestión es: para una misma longitud de pasta, si el diámetro de la boca del tubo se incrementa en 8%, ¿en qué porcentaje se incrementa el volumen?


15.- EL TENDEDEROTenemos un tendedero en un patio que consta de una cuerda

continua que se puede desplazar a un lado o a otro por medio de dos pequeñas poleas. Podemos tender ropa en ambos lados de la cuerda, pero lo hacemos desde una ventana situada en un extremo del tendedero y que sólo nos permite acceder a un tercio de la longitud del mismo.

1º Demuestra que es imposible tender ropa en toda la cuerda.2º Supongamos que el tendedero mide 6 metros de largo (por

tanto tenemos 12 metros de cuerda). Calcula cuál será la máxima longitud de cuerda que podemos aprovechar para tender.

16.- EL RECTÁNGULOEn un rectángulo ABCD tomamos el punto medio M de CD y lo

unimos a A. Llamamos N al punto intersección del segmento AM con la diagonal BD. Si el área del triángulo DNM es 1 m2, ¿cuál es el área del rectángulo?

17.- LOS TRES CONDENADOSTres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados

mientras robaban en el palacio de un Gobernador despótico, y condenados a muerte por el mismo. Antes de cumplirse la sentencia, el Gobernador se arrepintió de su severidad, y decidió indultar a uno de los presos. Para procurar que este beneficio recayese en el más inteligente de los condenados, dispuso lo siguiente:A la vista de los presos mostró tres tiras de paño blancas, y dos tiras negras. Después, ordenó que a la espalda de cada preso, por separado, se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto permitió que los presos se viesen libremente entre sí, pero que no se comunicasen. Prometió la libertad al que primero supiese acertar, con razonamiento infalible, el color de su propia tira.El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas, y a los pocos segundos pidió ser llevado ante el Gobernador, quien expuso la respuesta acertada. ¿Qué fue lo que dijo A y cómo lo razonó?

18.- LA TIRA DE NUEVESSi el número 999…9 tiene 500 cifras. ¿Cuántas cifras tiene el

número (999...9)2 – 1?


19.- EL TELÉFONO DE MI COLEGALe pedí a mi amigo su número de teléfono (que tiene 7 cifras).

Como es un gran profesor de matemáticas, me contestó diciendo: “El número que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto, al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. Las tres primeras cifras forman un cubo perfecto que es igual al producto de los otros cuatro dígitos”.

¿Cuál es el teléfono de mi amigo?

20.- UN CASO IMPREVISTOUn hombre, cuya mujer está por dar a luz, muere disponiendo

en su testamento que si nace niño, éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. Si nace niña, ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre. Ocurre que nacen mellizos, niño y niña. ¿Cómo deben repartirse la herencia si ésta consiste en 21 monedas de oro?

LA MADRE: _____________________.

EL NIÑO: _______________________.

LA NIÑA: _______________________.

21.- DIFERENTES FIGURAS GEOMÉTRICAS Sea M un punto interior del segmento AB. Se construyen

cuadrados AMCD y BEHM en el mismo lado de AB. Si N es el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas a dichos cuadrados, probar que:

1.- Los puntos B, N y C están alineados.2.- El punto H es el ortocentro del triángulo ABC.

22.- EL EXPLORADOR INTELIGENTEImagina que eres un explorador apresado por una tribu de

caníbales y el jefe te ofrece una posibilidad de escapar: “Tú tener dos caminos, uno conducir a la selva; el otro, a la olla”. Cada camino está protegido por un guardián. Puedes hacer una sola pregunta a uno de ellos; y después elegir tu camino hacia la muerte o hacia la libertad. Pero hay una ligera pega, de los dos guardias, uno siempre miente y el otro siempre dice la verdad. ¿Pero cuál es cuál?. La cosa está bastante negra. ¿Qué harías tú?

SOLUCIÓN (razona la respuesta):


23.- LA HERENCIA DEL RAJÁUn día un rajá, dejó en herencia cierto número de perlas y

había que repartirlas de una forma muy especial. Cada una de las hijas recibirá:- La primera, una perla más 1/7 de las restantes.- La segunda, dos perlas más 1/7 de las restantes.- La tercera, tres perlas más 1/7 de las restantes.- ...Así todas las hijas. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto, más el juez, tras contar las perlas, dijo: No es cierto, según este reparto todas las hijas se llevarán el mismo número de perlas.

¿Cuántas hijas y perlas hay?

HAY ____________ HIJAS Y __________ PERLAS.

24.- EL VALOR DE LA CAPAUn amo promete a su sirviente darle al cabo de un año 10

monedas de oro y una capa. Al séptimo mes lo despide dándole la capa y 2 monedas de oro. ¿Cuál es el valor de la capa?

LA CAPA VALE:________________________.

25.- EL CUADRADO INSCRITOEn un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, inscribimos un

cuadrado como se ve en la figura. ¿Cuánto vale el área del cuadrado?

EL ÁREA DEL CUADRADO VALE: __________________________


26.- HEXÁGONO En el triángulo ACB se construyen, sobre sus lados, los

cuadrados indicados en la figura. De esta forma se determina un hexágono MFEKDP. Determinar el área de dicho hexágono.

27.- UNO DE ÁLGEBRA

Si 011216 2 =+− xx , calcular el valor de 2

24

16148256

xxxJ +−=

28.- LOS HABITANTES DE VILLA HORACIAEl número de habitantes de Villa Horacia es en un cierto

instante un cuadrado perfecto. Con 100 habitantes más sería un cuadrado perfecto más 1 y con otros 100 habitantes volvería a ser un cuadrado perfecto. ¿Cuántos habitantes tenía Villa Horacia en el momento inicial?

29.- DIVISIBILIDAD POR 14Al dividir un número x por 7 obtenemos de resto 6. ¿Cuál será

el menor número que habrá que sumarle para que sea divisible por 14?


3O.- MOSAICODe un mosaico cuadrado compuesto de triángulos rectángulos y

de rombos, se sabe que su lado está formado por los lados de cuatro rombos y las hipotenusas de dos triángulos, tal como se indica en la figura. Los lados de los rombos miden 1 unidad y los catetos de los triángulos rectángulos también miden 1 unidad. ¿De cuántas piezas está compuesto el mosaico? (triángulos + rombos).

31.- COMIENDO BOMBONESUn muchacho tiene 215 bombones en cajas de 3, 6 y 8

bombones. Se come todas las cajas que contienen 6 bombones y otras tantas cajas de las que contienen 3 bombones. En el resto de las cajas de 3 bombones sólo queda un bombón en cada caja. Las de 8 bombones están intactas. Los cuenta y tiene 85 bombones. ¿Cuántas cajas tenía de cada clase?

32.- SUMA DE PARESSabiendo que la suma de los n primeros cuadrados, 12 + 22 +

32 + ... + n2 , es ( ) ( )

6121 ++ nnn

, entonces la suma de los diez

primeros cuadrados pares, 22 + 42 + ... + 202 es:

33.- EL HEXÁGONO Y EL HEXAGONITOSi el hexágono grande de la figura tiene 180 cm2 de área,

calcula el área del hexágono central sombreado.


34.- LA ABUELA Y EL NIETOAmparo le dijo a su nieto David: “Durante seis años

seguidos mi edad ha sido un múltiplo de la tuya, pero este año ya no ha ocurrido eso”. Cuando ocurra de nuevo que la edad de Amparo sea múltiplo de la de David, ¿cuánto será la suma de sus edades?

35.- REUNIÓN DE NEGOCIOSEn una reunión, exactamente el 76 % de los asistentes lleva

móvil. ¿Cuál es el menor número posible de asistentes?

36.- EL FACTORIALDesignamos por n!, donde n es un número natural, al producto

( ) ( ) 1221 ×××−×−× ...nnn . Así por ejemplo: 5!=5×4×3×2×1=120

¿Cuál es la última cifra de 20! que no es cero?

37.- UN CUBO Y UN FACTORIALCon 10! (diez factorial) representamos al producto 10 · 9 · 8

· ... · 2 · 1 (multiplicar diez por todos los enteros anteriores hasta el uno) ¿Cuál es el número más pequeño que multiplicado por 10! nos da un cubo perfecto?

38.- FIGURAS SEMEJANTESLos tres triángulos de la figura son rectángulos y semejantes.

Si el triángulo ABP tiene de área 12 cm2, determinar el área, en cm2, del trapecio ABCD.


39.- PROBLEMA DE EDADESLa edad actual de Juan, T años, es la suma de las edades de

sus tres hijos y hace N años era el doble de la suma de las edades

que sus hijos tenían entonces. ¿Cuál es el valor de NT

?

40.- PODÍA ESTAR MÁS CERCAMi casa dista del instituto 720 m. Tanto al ir como al volver lo

hago con velocidad uniforme. Tardo 4 minutos al ir y 6 minutos al volver. ¿A qué distancia de mi casa está el punto en el que los tiempos empleados en ir desde casa y volver desde el instituto son los mismos?


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