Lista de problemas de Fsica Modernasemestre 2015_1

Use solamente un lado de las hojas para responder su examen.

1. Escriba los dos postulados de la Relatividad Especial.

2. A partir de la condicin de sincronizacin de relojes y de la constancia dela velocidad de la luz para todo sistema de referencia inercial, demuestreque

ds2 = c2t2 d~r d~rSugerencia: tomar las notas de la clase ofrecida el da 18 de marzo algrupo de lgebra Geomtrica (AG) (atencin: no se necesita para nadala AG).

3. A partir de la existencia del invariante ds2, demuestre que se cumple larelacin dt = d e interprete su signicado fsico. Considere dos sistemasfsicos: uno su laboratorio y otro jo en una partcula que se mueve convelocidad de un tercio de la de la luz con respecto al primer sistema,cul es la diferencia entre los ritmos de los relojes de ambos sistemas dereferencia inerciales?

4. Suponga un espacio cuya mtrica es

gij =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1Aa) cul es la magnitud del vector ~x = (1; 0;1)? b) si adems tenemosel vector ~y = (1; 0; 1), cul es el ngulo entre estos dos vectores?

5. Se dene la velocidad propia u = 1cdx

d . A partir de que x = (ct; x; y; z)

y que dt = d , obtenga la forma de cada coordenada de u.

6. a) Dena el cuadrimomento p y escriba la forma de cada una de suscoordenadas, b) calcule pp.

7. a) Demuestre a partir de las ecuaciones de Maxwell que la carga elctricase conserva, b) Escriba la ecuacin de la carga en forma maniestamentecovariante.

8. Denimos el cuadrivector A = (; Ax; Ay; Az). a) Calcule A. b) Den-imos el tensor de campo electromagntico como F = @A @A ,calcule cada una de sus componentes y escrbalas en una matriz.

9. Una vez que dispone de F , calcule F y enseguida obtenga F .

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10. a) Escriba las ecuaciones de Maxwell en forma maniestamente covari-ante e identifquelas estableciendo la relacin que corresponda con lascomponentes de stas en la notacin vectorial usual, b) demuestre quelas ecuaciones de Maxwell son invariantes de Lorentz.

11. Escriba la generalizacin a la segunda ley de Newton, justique adecuada-mente el trmino f (0) de la cuadrifuerza y demuestre que es invariantebajo transformaciones de Lorentz.

12. a) Calcule la expresin FF , b) explique por qu se trata de un invari-ante de Lorentz.

13. Escriba el tensor de campo electromagntico producido por una carga elc-trica q en reposo en el laboratorio. Enseguida aplique la transformacinde Lorentz para saber cmo es el campo que observamos si la carga q semueve con un sistema inercial Ka velocidad relativa ~v = (v; 0; 0) respectoal nuestro. Interprete sicamente el resultado.

14. Formule la paradoja de los gemelos (un prrafo en el cual puede usarexpresiones algebraicas) y explique en cuando mucho dos prrafos ms unasntesis de la solucin a la misma (aqu ya no use expresiones matemticas).

15. Parametrice las siguientes curvas y calcule las curvaturas que correspondan

(a) f (x) = Seno (x) con 0 x 2(b) g (x) = Coseno (x) con 0 x 2(c) ~r (t) = cos (t)bi+ sen (t)bj + t2bk con 0 t 2

16. Parametrice las siguientes supercies y calcule las curvaturas principales,la curvatura de Gauss y la curvatura de Sophie Germain.

(a) f (x; y) = x2 + y2

(b) f (x; y) = x2 y2

17. Considere una supercie esfrica de radio a,

(a) Calcule el tensor mtrico

(b) Calcule todos los coecientes de conexin abc(c) Siendo el ngulo respecto al ecuador, parametrice la trayectoria de

una curva que oscila en torno al ecuador como un cos ()

(d) Si ua son las componentes de la curva parametrizada en el incisoanterior, calcule

ua; y ua;

tome en cuenta que debe ser escrito en trminos de .

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