Curso de Relatividad Especial-mayo2011

5/11/2018 Curso de Relatividad Especial-mayo2011 - slidepdf.com

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CURSO DE RELATIVIDAD ESPECIALCURSO DE RELATIVIDAD ESPECIAL

Hugo A. Fernández – [email protected] Universidad Tecnológica Nacional - República Argentina

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Enfoque del cursoEnfoque del curso

El presente curso de Relatividad Especial está dirigido a alumnos universitarios queestán en la etapa de formación básica. Se presupone que ya tienen conocimientos deMecánica de Newton, Electricidad y Magnetismo, y Cálculo Diferencial, pero no hancursado Mecánica Analítica ni Cálculo Tensorial.

En consecuencia, no se presentará la Teoría de Relatividad Especial en el espacio deMinkowski (formulación tensorial), ni se usarán herramientas propias de la mecánica

analítica en general, salvo en ciertos temas particulares que serán incluidos en unacarpeta intitulada “Temas Especiales”.

No piense el lector que este enfoque representa una pérdida conceptual de la teoría.En algunos aspectos podrá ser más laborioso para obtener conclusiones, pero elcontenido profundo y completo de la teoría puede ser descrito totalmente con esteformalismo.

Es opinión del autor que la Teoría de Relatividad Especial debe ser incorporada en laenseñanza secundaria, para lo cual este curso puede ser valioso para la elaboraciónde la bibliografía adecuada en ese nivel.

BibliografíaBibliografía

La siguiente bibliografía es la recomendada para profundizar el estudio de la teoría.

1. "The Theory of Relativity" , C. Möller, Oxford, 1952.

2. "Curso de Teoría de la Relatividad y de la Gravitación" , A. Logunov, URSS,Moscú, 1998.

3. "Theory of Relativity" , W. Pauli, Pergamon Press, New York, 1958.

Nota importanteNota importanteEn los últimos veinte años se ha generado una discusión en torno al uso de la masarelativista. En particular, los físicos e investigadores que trabajan en partículaselementales suelen rechazar el uso de dicha magnitud relativista, por lo cual hay unatendencia general a evitar su inclusión en artículos de investigación.Lo contradictorio de esta postura es que para evitar el uso de la masa relativista sedebe modificar la definición de la cantidad de movimiento y limitar la validez delPrincipio de Equivalencia entre masa y energía. Todo ello puede hacerse válido peroresulta más complicado y, sin duda alguna, es un capricho.

Esta postura arbitraria no tiene fundamentos ya que el uso adecuado de la masarelativista no implica error alguno, ni conceptual ni de cálculo. Más aún, en cualquier

formulación teórica la variación de la masa con la velocidad (masa relativista) surge

mailto:[email protected]

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naturalmente para la conservación de la cantidad de movimiento (sin modificar sudefinición) y da validez general al Principio de Equivalencia entre masa y energía.

En la Carpeta de Temas Especiales se incorporarán trabajos inéditos con desarrollosque muestran la necesidad y utilidad conceptual de la masa relativista.

Queda claro que en este curso usaremos masa relativista y la definición clásica decantidad de movimiento.

IntroducciónIntroducción

En 1905 Albert Einstein (1879-1955), que era un empleado técnico de una oficina depatentes en Suiza, publicó en una revista científica alemana el trabajo denominado“Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”.En este singular y extraordinario artículo se plantea la inconsistencia de resultadosobtenidos con las ecuaciones de Maxwell en la resolución de conocidos problemaselectromagnéticos para cuerpos en movimiento.

La solución propuesta para dilucidar esa cuestión consistió en una revisión completa yla modificación profunda de los conceptos más básicos del conocimiento, el espacio yel tiempo, y resultó la formulación inicial de la Teoría de Relatividad Especial.

Estos cambios conceptuales resultan como consecuencia del desarrollo de la Teoría,elaborada para sistemas inerciales, a partir de dos Postulados basados en hechosexperimentales. Uno establece que cualquier fenómeno natural responde a la mismaley en todos los sistemas inerciales, y el otro postula la constancia de la velocidad dela luz en el vacío para todos los observadores.

El primer postulado establece la imposibilidad de distinguir entre el reposo y elmovimiento rectilíneo uniforme, en el sentido que son estados de movimiento naturalesequivalentes, haciendo inconsistente la existencia de un sistema de referenciaabsoluto, y además provee la herramienta operativa fundamental para encontrar yvalidar todas las leyes relativistas.

El segundo postulado afecta directamente a la Teoría de Relatividad de Galileo,publicada en 1637 y aceptada como una formulación de validez universal, conconsecuencias directas en la mecánica de Newton, madre de todas las teorías físicasexistentes.

La Teoría formulada en ese trabajo científico es de una belleza inusual en la FísicaTeórica, particularmente por la sencillez del cálculo requerido y sus consecuencias en

los conceptos más arraigados en el conocimiento del momento. Esta simpleza en elcálculo no es representativa de las grandes dificultades conceptuales que encierra suestudio, que requiere modificar el concepto previamente adquirido sobre el espacio yel tiempo.

En el año 1916 Einstein presentó la Teoría de Relatividad General, luego del fracasopor incorporar el campo gravitatorio en la Relatividad Especial. Este tema será tratadoposteriormente.

La formulación y desarrollo de la Relatividad General conducen a una ecuacióntensorial de segundo orden no lineal, para el campo gravitatorio, sin lograrse unasolución general de la misma. A pesar de ello su aplicación en casos particulares dio

resultados y predicciones de tanta importancia (conocidos como curvatura de la luz,



corrimiento al rojo y desplazamiento del perihelio de Mercurio), que práctica ylamentablemente se abandonaron otras líneas de investigación del campo gravitatorio.

La Teoría General de Relatividad de Albert Einstein, que esencialmente es una teoríade gravitación, ha sido el modelo seguido por varias Teorías Cosmológicas actuales.No obstante, en los últimos años resultados experimentales no compatibles con laspredicciones teóricas han generado una incipiente resistencia a este modelo físico-matemático. En este sentido es interesante reconocer la existencia de otras teoríascompetitivas, entre las que se destaca la Teoría Relativista de Gravitación (2002) delnotable físico ruso Anatoly Alekseyevich Logunov.

El presente trabajo sobre la Teoría de Relatividad Especial está concebido comoun enfoque físico para la enseñanza en un primer nivel universitario, prestandoespecial atención al orden y la forma en que deben ser tratados los distintos temas,que en muchos casos difieren de la bibliografía usual.Por razones didácticas varios aspectos son tratados de manera distinta al enfoqueoriginal, incluyendo discusiones conceptuales y deducciones propias.

Los temas a tratar serán:

1 – Sistemas Inerciales2 – Relatividad de Galileo3 – Postulados de la Teoría de Relatividad Especial. Fundamentación4 – Transformaciones de Lorentz5 – Simultaneidad. Causalidad6 – Contracción Espacial y Dilatación Temporal7 – Cinemática Relativista. Efecto Doppler 8 – Cantidad de movimiento. Masa Relativista9 – Dinámica Relativista. Fuerzas

10 – Trabajo y Energía11 – Principio de Equivalencia entre Masa y Energía12 – Complementos de Energía13 – Masa Propia y Potencia

Este orden en la formulación de la teoría es beneficioso pues, como veremos, evitaelaborar argumentaciones complicadas usando varillas, relojes, haces luminosos yespejos, como suele figurar en la bibliografía convencional, incluido el genial trabajooriginal de Einstein, en un intento de elaborar conceptos nuevos sobre el espacio yel tiempo.



Sistemas InercialesSistemas Inerciales

La descripción del movimiento de un cuerpo requiere ineludiblemente la introducciónde un sistema de coordenadas espaciales que permitan identificar unívocamente cadapunto del espacio físico de interés, y una coordenada temporal que permita determinar

el orden cronológico de sucesos en cualquier punto del espacio. A este conjunto decoordenadas espacio-temporal se lo denomina sistema de referencia.

El número de coordenadas espaciales necesarias dependerá de los vínculos delsistema físico. Por ejemplo, cuando el movimiento esté limitado a una superficie, talcomo sucede con objetos sobre una mesa, bastará con 2 coordenadas espaciales.

Históricamente, hasta el advenimiento de la Teoría de Relatividad Especial, se aceptóque la coordenada temporal era la misma para todos los sistemas de referenciaposibles, lo que la hacía independiente de la posición y del estado de movimientorelativo entre diferentes sistemas de referencia.Por otro lado, la descripción de los fenómenos (leyes) y el valor de las magnitudes

involucradas resultaban diferentes dependiendo del sistema de referencia elegido,dando lugar a distintos grados de dificultad.

Fue la obra de Galileo (“Diálogos acerca de Dos Nuevas Ciencias”) la que permitióasumir la existencia de un grupo particular de sistemas de referencia, llamadosinerciales o galileanos, en los que los fenómenos mecánicos sucedían de la mismamanera y las leyes tomaban la forma matemática más simple posible.Galileo estableció, a través de sus notables observaciones sobre reposo y movimientorectilíneo uniforme de cuerpos libres de fuerza, que eran dos estados de movimientoequivalentes, relativos al observador.Supongamos tener dos cuerpos, uno en reposo y el segundo en movimiento rectilíneouniforme, respecto de un observador O. Para otro observador O' que se moviera conla misma velocidad del segundo objeto, éste estaría en reposo y el primero, quesupusimos en reposo, ahora tendría un movimiento rectilíneo uniforme.

Además, postuló que en estos privilegiados sistemas se cumplía que los fenómenosmecánicos sucedían de la misma forma, respondiendo a las mismas (idénticas) leyes,por lo cual no era posible distinguir mediante experiencias mecánicas cual de ellosestaba en reposo y cual en movimiento.Isaac Newton le dio forma a estos conceptos a través del “Principio de Inercia”, cuyosignificado profundo es postular la equivalencia entre sistemas inerciales.

Existen dos definiciones de sistemas inerciales de uso cotidiano que son aceptadas en

forma recurrente. La primera de ellas (históricamente) es la que establece quecualquier sistema de referencia que esté en reposo respecto de las estrellas fijas esun sistema inercial . La segunda postula que un sistema inercial es aquel en el que lasleyes de la física adoptan la forma más simple posible. Ambas definiciones adolecende inconsistencias y/o falta de rigor científico.

Analicemos brevemente ambas definiciones tratando de establecer si son operativas yfuncionales.

La primera hace mención de estrellas fijas. Obviamente esto es una reminiscencia delmodelo del éter y el sistema absoluto, que tuvo vigencia hasta el inicio del siglo XX.Asumiremos como estrellas fijas a aquellas que están tan alejadas que su

movimiento relativo se hace imperceptible a simple vista, es decir que la distanciaaparente entre ellas permanece invariable.



En este caso la definición resulta adecuada para los sistemas de referencia que rotanrespecto de ellas, dado que todos ellos son no inerciales pues aparecen fuerzas,denominadas ficticias (centrífuga y coriolis), que provocan que no se cumpla ningunode los tres Principios de la Mecánica de Newton.Sin embargo, la definición falla si se trata de discriminar entre dos sistemas dereferencia que, sin rotar respecto de las estrellas alejadas, tienen aceleración relativarectilínea entre ellos, pues la posición aparente de las estrellas alejadas no sufrealteración perceptible, salvo que las velocidad relativa entre los sistemas de referenciasea muy elevada o cercana a la velocidad de la luz, en cuyo caso se detectaránmodificaciones de posición de las estrellas alejadas.En resumen, con esta definición no es posible determinar (operativamente) si unsistema es inercial o no.

La otra definición hace referencia a un concepto subjetivo, tal cual es lo de la formamás simple posible. Este mero hecho hace que la definición no sea precisa aunque,desde un punto de vista didáctico, tal vez sea la más recomendable si se la exponeadecuadamente.

En general la “simpleza” que adoptan las leyes depende del fenómeno particular alcual se apliquen. Nótese, por ejemplo en fuerzas centrales, el clásico problema de doscuerpos que se atraen. Por conservación de momento angular el movimiento deambos cuerpos sucede en un plano. Si usamos un sistema de referencia (no inercial)que rota con una adecuada velocidad angular y con su origen en el centro de masa delsistema de dos cuerpos, se obtiene un problema unidimensional de una única masa enun campo de fuerzas centrales, mucho “más simple” de resolver y analizar (véaseGoldstein.”Mecánica Clásica”, Cap. III).

Una definición más precisa es la siguiente: sistema de referencia inercial es todosistema que esté en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme respecto deun objeto material sobre el cual no actúa fuerza alguna, cualquiera sea su

posición en el espacio. La dificultad (insalvable) de esta definición está en laimposibilidad física de disponer de un cuerpo libre de interacciones.

Al no contar con una definición que operativamente permita determinar sinambigüedad si un dado sistema de referencia es inercial o no, debe considerarse quela existencia de sistemas de referencia inerciales es una abstracción que no puede ser demostrada experimentalmente.

El Principio de Inercia fue elaborado en una época en que se asumía que lasinteracciones entre cuerpos eran por contacto o por “acciones a distancia”, a velocidadinfinita. No estaba desarrollada la Teoría electromagnética de Maxwell ni la noción decampo como un ente físico real.

Los experimentos sobre fricción realizados por Galileo mostraron que si una esfera sehacía rodar sobre una tabla horizontal ella llegaría más lejos si las superficies estabanpulidas y lustradas.Por ello Galileo, contradiciendo las ideas aristotélicas, aseveró que la fricción era laque frenaba a la esfera, que si no hubiera rozamiento no sería necesario estar empujándola para mantener su velocidad y el cuerpo seguiría con movimientorectilíneo uniforme eternamente. Pero en este caso tendríamos un movimiento sin quehubiera una acción aplicada en la dirección del movimiento, condición idéntica a la delos cuerpos en reposo.Si a estos conceptos le agregamos sus disquisiciones sobre cómo suceden los

fenómenos mecánicos (caída de los cuerpos) sobre un barco que se desplazasuavemente en línea recta y sin aceleraciones, obtenemos el significado del Principiode Inercia, esto es que los sistemas inerciales son equivalentes y que no hay manera



mecánica de distinguir cual de los dos está en reposo o en movimiento. Todas lasleyes de la mecánica tienen la misma forma en dichos sistemas y las magnitudesinvolucradas, cuyo valor puede ser distinto en dos sistemas inerciales, se relacionan através de las Transformaciones de Galileo.

Actualmente el Principio de Inercia tiene una significación más general en virtud delconocimiento que se agregó durante 400 años. En primer lugar Einstein lo extendió atodos los fenómenos, es decir que todas las leyes de la física tienen la misma formaen los sistemas inerciales. Además, luego de la incorporación de la acción a través decampos, debida a Maxwell, y la constancia de la velocidad de la luz en el vacío paratodos los sistemas inerciales, se modificó la relación entre estos sistemas que ahorase vinculan con las Transformaciones de Lorentz .

Los sistemas inerciales pueden ser considerados una proposición arbitraria y artificialgenerada por el desconocimiento sobre las leyes que cumplen las interacciones detipo gravitatorio. Si se dispusiera de un modelo matemático que describiera al campogravitatorio en un sistema inercial y se conocieran los campos que generan los objetos

materiales en movimiento, las fuerzas inerciales tales como la centrífuga y la decoriolis, que aparecen en los sistemas de referencia que rotan respecto de las estrellasalejadas, podrían ser tratados como efectos provocados por la rotación de la materia.

Corresponde aclarar que el último enfoque está en contradicción aparente con laTeoría General de Relatividad pues en ella la gravitación está íntimamente ligada conel espacio y el tiempo, relación que se pierde al tratar al campo gravitatorio como uncampo clásico como el eléctrico.No obstante, no debemos olvidar que las teorías son modelos elaborados paradescribir la realidad lo mejor posible, que serán reemplazados por modelossuperiores.

Por último, cabe preguntarse si el concepto de equivalencia de sistemas inerciales nopuede generalizarse a todos los sistemas de referencia, incluso los acelerados,postulando que dos sistemas son equivalentes si el movimiento relativo entre ellos esa velocidad constante, y en ellos las leyes conservan la forma asumiendo que lossistemas se relacionan a través de las Transformaciones de Lorentz (u otrasadecuadas).

Para ello debería disponerse de las ecuaciones (leyes) que corresponden a lasdistintas interacciones y los campos correspondientes, incluidos los gravitatorios,válidas en un sistema y que conserven la forma ante Transformaciones de Lorentz.Lamentablemente tenemos una descripción completa sólo para el casoelectromagnético (ecuaciones de Maxwell).La idea resulta muy interesante pues, si fuera consistente, permitiría aplicar la físicarelativista de la Teoría de Relatividad Especial en cualquier sistema de referencia.



Relatividad de GalileoRelatividad de Galileo

La primera Teoría de Relatividad fue desarrollada por Galileo Galilei (1564-1642),creador del método científico, como resultado de sus estudios sobre movimiento decuerpos, rozamiento y caída libre.

En sus obras “Diálogo sobre los principales sistemas del mundo" (1632) y “Diálogosacerca de Dos Nuevas Ciencias” (1636), dio las características de los sistemas dereferencia inerciales o “galileanos”, con una notable descripción de experimentos y suinterpretación para dos observadores en movimiento relativo, uno de ellos sobre unbarco que se desplaza suavemente (sin aceleración), y el otro en tierra firme.

Las conclusiones obtenidas permiten postular en sistemas inerciales la equivalenciaentre reposo y movimiento rectilíneo uniforme para dos observadores en movimientorelativo, sentando las bases del Principio de Inercia.

Asimismo, enunció la relatividad de las trayectorias y de las velocidades de objetos

respecto del observador. Veamos como se desarrolla esta Teoría.

Caída de los cuerposCaída de los cuerpos

La primera demostración rigurosa sobre que todos los cuerpos caen con la mismaaceleración la dio Galileo mediante un razonamiento por el absurdo.Supongamos tener dos cuerpos de distinto peso, material y forma, que los dejamoscaer partiendo del reposo en un sistema inercial. De acuerdo a las ideas aristotélicasel más pesado caería más rápido, como muestra la figura.

Ahora realicemos la misma experiencia pero agregando un nuevo cuerpo formado por dos objetos idénticos a los iniciales, ligados entre si (pegados). Para este nuevo objetodurante su caída el de mayor peso está siendo frenado por el pequeño, que cae másdespacio, mientras que el pequeño está siendo acelerado por el grande, que cae másrápido. En consecuencia el nuevo cuerpo caerá ubicado entre los cuerpos originales,resultando una contradicción pues es el más pesado. La única solución lógica posiblees que todos caigan igual.

Resuelto el tema anterior, Galileo encaró descubrir la ley de caída, es decir encontrar la función que permita relacionar la posición con el tiempo durante la caída.Para ello, siendo Profesor en la Universidad de Pisa (1589), diseñó un modeloexperimental que contemplaba obtener un conjunto de pares de datos

correspondientes a posición y tiempo, que obtendría soltando objetos desde losdistintos pisos de la Torre de Pisa. La dificultad principal resultó la medición del tiempo



de caída, que era obtenida con el pulso de un abate. Los resultados no eran precisosni repetitivos y no permitieron obtener la ley.

Luego del fracaso inicial decidió determinar los tiempos utilizando una “clepsidra”, quees un recipiente con agua que tiene una canilla de salida (tapón cónico de madera). Elproceso de medición de tiempos consistía en abrir la canilla cuando soltaba el cuerpoy cerrarla cuando el objeto llegaba al piso. La masa del volumen de agua recogida lodeterminaba con una balanza y era proporcional al tiempo transcurrido.Lamentablemente, este método tampoco resultó lo suficientemente preciso paraasegurar un comportamiento, por lo cual Galileo concluyó que la dificultad central deeste proyecto era la rapidez con que caían los cuerpos.

Era necesario entonces retrasar la caída de los cuerpos, es decir lograr que caiganmás despacio. Luego de unos importantes estudios sobre fricción, con esferas demadera sobre una tabla lustrada, desarrolló el “ plano inclinado” como dispositivo pararetrasar la rapidez de la caída de los cuerpos. No resulta pretencioso asegurar que elPlano Inclinado de Galileo fue el primer acelerador de partículas en la historia, y el

más importante.

Con este avance experimental obtuvo un conjunto de pares ( x,t ) que permiten hacer un gráfico de puntos ( x,t ) y ajustarle un polinomio, resultando que una parábola esadecuada para dicho ajuste. La ley obtenida por Galileo fue:

Siendo e el espacio recorrido en un tiempo t , con aceleración constante a.

NotaNota

Sugiero al lector que analice porqué el polinomio de ajuste no puede ser de gradoimpar.

Es muy interesante describir, de acuerdo con datos históricos, algunos aspectos sobrecómo Galileo obtuvo la ley de caída de los cuerpos con el plano inclinado (actividadesrealizadas en la Universidad de Padua a partir de 1592).Si bien este dispositivo permite retardar la caída disminuyendo al ángulo que el planoforma con la horizontal, dicho ángulo no podía ser muy chico pues, en ese caso, elrozamiento se haría importante y no podría despreciarse.

Por otro lado, la determinación de los intervalos no era simple, ya que la clepsidra nobrindaba la precisión suficiente y los datos de pruebas repetidas presentaban gran

variabilidad, no resultando adecuado para el objetivo propuesto.Aunque resulte increíble, Galileo decidió usar un péndulo para medir los tiempos..., yuna metodología genial.

Determinar con precisión lapsos breves con un péndulo suena a disparate, a menosque dichos lapsos se inicien y terminen exactamente coincidentes con la bolita delpéndulo en un extremo de la oscilación, pues ello es una condición fácilmentedistinguible y precisa.Por ejemplo, si con el péndulo oscilando se suelta la esfera en el plano inclinado (iniciode la caída) exactamente en el instante en que la oscilación cambia de sentido, yluego se logra que la caída de la esfera concluya con el péndulo en idéntica posición alcabo de un período completo, el error de medición se minimiza.Luego se repite el método para dos períodos, y así sucesivamente.



Obviamente, se deben seleccionar los espacios recorridos en el plano inclinado paraque se cumpla la condición anterior, para 1, 2, 3,..., n oscilaciones. Para ello Galileousó un tope móvil de madera y ajustó su posición correcta del final de la caída quecorresponda, con el sonido del choque entre la esfera y el tope, coincidente con laposición del péndulo en un extremo de la oscilación.

Así obtuvo la ley de caída de los cuerpos, que inicialmente se llamó la “Ley de losnúmeros impares” , debido a que los espacios recorridos en cada oscilación delpéndulo tenían esa sucesión numérica (ver figura).

Dado que la suma de los n primeros términos de la sucesión de números impares esn2 , se obtiene que el espacio recorrido es directamente proporcional al cuadrado deltiempo.

Transformaciones de GalileoTransformaciones de Galileo

Sean dos sistemas de referencia inerciales (O y O’). Llamaremos V (en mayúscula) ala velocidad relativa entre ellos, v (en minúscula) la velocidad de un objeto respecto deO, y v’ la velocidad respecto de O’. Las coordenadas espaciales x,y,z se refieren alsistema de O, siendo x’,y’,z’ las correspondientes al sistema del observador O’.

En general, todas las variables no primadas corresponderán al sistema O y lasprimadas al O’.

Supongamos que en el instante inicial ambos sistemas coinciden. Para una mejor visualización los esquemas tendrán al sistema O´debajo del O, y por simplicidadsupondremos arbitrariamente que el O está en reposo y el O´con velocidad constanteV en la dirección del eje x .

Supongamos un objeto en reposo en O. Para un observador fijo en O’ este objeto semueve con velocidad v' = -V , con movimiento rectilíneo uniforme según el eje x’ .La posición del objeto para O’ irá variando según la relación x' = x-V t , pues V esconstante.

En general, la relación funcional entre las coordenadas de ambos sistemas, conocidascomo Transformaciones de Galileo, serán:



La coordenada temporal es la misma en ambos sistemas.Estas transformaciones son la base conceptual que fundamentan la “Dinámica del punto material ”, desarrollada por Newton.

Relatividad de las trayectoriasRelatividad de las trayectorias

Se deja caer un objeto partiendo del reposo y con coordenadas iniciales ( x 0 ,y 0 ,0 ), enel sistema O.Su trayectoria es rectilínea en dicho sistema, como muestra la figura, y se pretendedeterminar cómo es para un observador en O’.

En el sistema O el movimiento del cuerpo cumple con

En el sistema O’ la trayectoria estará dada en forma paramétrica.

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones se obtiene la forma explícita



Esta es la ecuación de una parábola invertida como muestra el siguiente gráfico.

La conclusión es que la trayectoria de un objeto es relativa al sistema de referencia.Lo que es una caída libre rectilínea para un observador será un arco de parábola para

otro en movimiento respecto del primero.

Un ejemplo interesante y cotidiano lo ofrece la lluvia. Asumamos que está lloviendo yno hay viento. Para un observador “en reposo” la lluvia cae verticalmente, mientrasque para un observador en movimiento con velocidad constante las trayectorias de lasgotas de agua son rectas inclinadas como muestra la figura.

Se deja planteado demostrar que las trayectorias para O’ no son arcos de paráboladebido a que las gotas no caen en caída libre (MRUV) sino a velocidad constante por la fricción con el aire.

Teorema de adición de velocidadesTeorema de adición de velocidades

Este importante Teorema fue demostrado por Galileo en una época en que aún no se

conocían las derivadas.

El problema consiste en determinar, para un mismo objeto, como se relacionan lasvelocidades que le miden dos observadores inerciales en movimiento relativo. Sudemostración es muy simple y sus consecuencias eran muy conocidas pues se loaplicaba cotidianamente. Por ejemplo, para subirse a un carro en movimiento lo mejor es correr hasta ponerse en reposo respecto del carro.

La importancia de este Teorema radica en que Galileo mostró matemáticamente suvalidez en todos los sistemas inerciales.



Con las Transformaciones de Galileo podemos relacionar fácilmente las velocidadesde un mismo objeto medidas desde O y O’, resultando:

Teorema de Adición de velocidades

Es decir:

La conclusión es que la velocidad de un móvil es diferente para dos observadores enmovimiento relativo.

Las aceleraciones son absolutasLas aceleraciones son absolutas

Siendo la aceleración de un punto material la derivada de su velocidad respecto deltiempo, resulta muy simple encontrar qué valor tendrá en dos sistemas inerciales enmovimiento relativo. Derivando la expresión obtenida en el Teorema de adición develocidades, obtenemos:

La aceleración de un punto material es absoluta, es decir que su valor es el mismomedido en cualquier sistema de referencia inercial.



Este resultado junto a la invariancia de la masa de un punto material fundamenta laaseveración de que mediante experimentos mecánicos no hay posibilidad alguna dedeterminar cual sistema está en reposo y cual en movimiento, pues las magnitudesFuerza, Masa y Aceleración son absolutas.



Postulados de la Teoría dePostulados de la Teoría de Relatividad.Relatividad. FFundamentaciónundamentación

Supongamos tener una fuente luminosa en reposo respecto de un observador O1 enun sistema inercial, y otros dos observadores en movimiento relativo constanterespecto del primero, tal que el O2 se acerca y el O3 se aleja, como muestra la figura.

Los tres observadores miden la velocidad de la luz proveniente de S.Asumiendo que están en el vacío el observador O1 mide c (300.000 Km/seg).

De acuerdo a la Teoría de Relatividad de Galileo, aplicando el teorema de adición develocidades, el observador O2 debería medir c+V, y el O3 mediría c-V.

Una serie de experimentos ópticos muy precisos, realizados con un interferómetro por los investigadores norteamericanos Michelson y Morley, dieron reiteradamente comoresultado que los tres observadores miden la misma velocidad C.

Ante este hecho se plantean dos soluciones posibles:

1 – La medición está mal realizada.

2 – Las transformaciones de Galileo son incorrectas.

Resulta obvio que los científicos especialistas de la época se inclinaron masivamentepor la opción 1, pues la otra implica la invalidez del soporte de la mecánica de Newton.

Uno de los intentos más elaborado que tuvo aceptación parcial fue hecho por H.Lorentz (1853-1928), que propuso que dado que cualquier equipamiento que se usepara medir velocidad debe inexorablemente medir espacio y tiempo, el movimientorelativo entre observadores, respecto del "éter" en un sistema de referencia "absoluto",provocaba modificaciones físicas en sus respectivos equipos, tales que los espaciosrecorridos y los tiempos empleados se determinaban con error. Completó susargumentos fundamentándolos con su Teoría del electrón (publicada un tiempodespués) y haciendo el cálculo de las modificaciones espaciales y temporales quedebía sufrir el dispositivo, encontrando las relaciones de espacio y tiempo en funciónde la velocidad del observador respecto de la fuente. Estas leyes se conocieron como“Transformaciones de Lorentz ”.

No todos los científicos compartían esta postura. Existe una anécdota atribuida al granfísico matemático francés Henri Poincaré (1854-1912), que habría dicho: “Es más probable que sea un error de cuenta cada vez que la hicieron, que sea cierta la propuesta de Lorentz de errores inteligentes” .

En el año 1900 Poincaré hace conocer su análisis sobre la proposición de Lorentz,indicando que "si la Teoría de Lorentz es correcta habría que abandonar

probablemente algunos principios de la mecánica newtoniana". Agrega: "la teoría del electrón no sólo viola el principio de acción y reacción sino la conservación del momento" (Berkson, 1981). Esto último es la principal e insalvable inconsistencia pues



la conservación del momento era (y sigue siendo) un principio universal. Sobre estetema volveremos más adelante.

Albert Einstein, que aparentemente desconocía las Transformaciones deLorentz, eligió la opción 2.En su trabajo científico "Sobre la Electrodinámica de Cuerpos en Movimiento", luegorebautizado como Teoría de Relatividad (por sugerencia de Max Planck), dedujo lastransformaciones espacio temporales que vinculaban a dos sistemas inerciales, queparadójicamente resultaron ser las Transformaciones de Lorentz, aunque con unainterpretación absolutamente diferente.

En su trabajo original Einstein hace inicialmente un análisis sobre simultaneidad deeventos y lo vincula con la medición de distancias y tiempos, detallando un métodoadecuado para sincronizar relojes en distintos puntos de un sistema inercial, válidobajo condiciones de isotropía y homogeneidad del espacio y uniformidad del tiempo.

Por razones didácticas un análisis sobre espacio y tiempo lo trataremos por separado

en este mismo capítulo.Aceptemos, por el momento, que en un sistema inercial la métrica está establecida y eltiempo está sincronizado. Un objeto en reposo mide lo mismo en cualquier posición delespacio y orientación del objeto (homogeneidad e isotropía), y un evento o fenómenobajo las mismas condiciones tarda lo mismo en cualquier lugar y momento en queocurra (uniformidad).

Los postulados de La Teoría de Relatividad Especial enunciados por Einstein son:

1. Principio de Relatividad Las leyes que describen los cambios de los sistemas físicos no resultan

afectadas si estos cambios de estado están referidos a uno u otro de dossistemas de coordenadas en traslación con movimiento uniforme.

2. Principio de invariancia de la velocidad de la luz

Cualquier rayo de luz se mueve en el sistema estacionario con velocidad "c", tanto si el rayo es emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento.

El primer postulado está indicando que en todos los sistemas inerciales todos losfenómenos ocurren de la misma forma, es decir que tienen el mismo comportamiento,por lo cual todos los sistemas inerciales resultan absolutamente equivalentes e

indistinguibles.No hay posibilidad alguna de determinar cual está en reposo o en movimiento. Sinduda, este enunciado hace innecesario e incluso contradictorio la existencia de unsistema de referencia absoluto. Asimismo, incorpora implícitamente el Principio deInercia.

No debe confundirse lo anterior con que una magnitud física tomará el mismo valor entodos los sistemas inerciales, pues una magnitud no es una ley. Supongamos, por ejemplo, un fenómeno eléctrico simple, una carga puntual en reposo en el origen decoordenadas de un sistema inercial.En este sistema un observador medirá un campo eléctrico E estacionario y un campomagnético B=0 , dado que no hay corrientes ni imanes. Otro observador en movimiento

relativo constante medirá un campo eléctrico E’ que no es estacionario, pues para este



observador la carga se está moviendo, y un campo magnético B’ distinto de cerodebido a que la carga que está en movimiento es una corriente.

O sea, las magnitudes involucradas tienen diferente valor para dos observadores enmovimiento relativo. Sin embargo, las leyes (Ecuaciones de Maxwell) que describen elfenómeno son las mismas en los dos sistemas.Su aplicación en cada uno de los sistemas dará el resultado correcto, siendo diferenteen cada sistema los valores de las magnitudes que intervienen.

El segundo Postulado acepta la constancia de la velocidad de la luz como un PrincipioUniversal, sustentado en resultados experimentales, resultando la clave para vincular dos sistemas inerciales ya que permite encontrar las transformaciones decoordenadas necesarias para que la velocidad de la luz sea la misma en ambossistemas.

Espacio y TiempoEspacio y Tiempo

La Teoría de Relatividad no es un modelo sobre el movimiento de los cuerpos, o de laMecánica o del Electromagnetismo, ni sobre alguna disciplina particular de la Física.Es una teoría sobre el espacio y el tiempo, que trata sobre sus propiedades y de quémanera ellas inciden y regulan las leyes sobre el comportamiento de los fenómenosnaturales.

Tratemos de describir brevemente algunos aspectos de interés sobre la evolución quesufrieron estos conceptos básicos fundamentales.

La experiencia mostró que el espacio físico (tridimensional) posee una simetríaparticular por la cual el tamaño y la forma de los objetos materiales en reposo respectode un observador no dependen de la posición ni de la orientación del objeto.Este simple hecho permite determinar empíricamente una unidad de medida espaciale introducir el concepto de distancia, requisito necesario para reconocer la geometríacorrespondiente al espacio, que resultó la euclídea, válida para todo observador.Estas propiedades se conocen hoy como homogeneidad e isotropía del espacio.

Análogamente, por observación de los fenómenos naturales periódicos se asumió queel tiempo físico, concepto que permite ordenar la ocurrencia de sucesos (“antes” y“después”), era una magnitud unidimensional mensurable que admite una definiciónsimilar a la de distancia, llamada intervalo o duración. La experiencia mostró tambiénque el tiempo físico poseía una simetría particular por la cual la duración de un dadoevento causal, bajo idénticas condiciones, no dependía del lugar de ocurrencia ni del

instante de inicio.Esta propiedad actualmente se denomina uniformidad del tiempo.

Hasta fines del siglo XIX se suponía que el espacio y el tiempo eran magnitudesindependientes con valores absolutos, por lo cual toda medición de distancia o deintervalo era idéntica para todo observador. Nuestro Universo era tridimensional, degeometría euclídea, y solamente su evolución requería el análisis temporal, sin queello incidiera en las propiedades del espacio.La métrica del espacio (euclídeo tridimensional) era invariante, condición que puedeexpresarse en coordenadas cartesianas mediante:

ds2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 Invariante



Esta interpretación, aceptada durante más de dos milenios, puede ser entendida conun ejemplo cotidiano. Supongamos tener una dada secuencia de fotos de un móvil,obtenidas a intervalos conocidos y cámara fija, tal que el movimiento del objeto puedeestudiarse por comparación y así conocer la evolución del fenómeno dinámico.Cada foto será distinta pero ellas siguen siendo bidimensionales, su métrica espaciales la misma (y su escala se conserva).

Los trabajos de Lorentz y Poincaré, aparecidos alrededor del año 1900, mostraron quelas “distancias” e “intervalos”, medidos sobre un mismo fenómeno por observadores enmovimiento relativo, daban resultados distintos y dependientes de la velocidad entreobservadores. La geometría espacial seguía siendo euclídea para cada observador (para cuerpos en reposo) pero las distancias y los intervalos medidos no eran idénticos(nacía la relatividad post Galileo), es decir que la métrica euclídea tridimensional noera invariante.

Con el advenimiento de la Teoría de Relatividad de Einstein (1905) quedó claramenteestablecido que para todo observador inercial el espacio y el tiempo conservaban las

históricas propiedades, pero sus métricas (espacial y temporal) diferían entre sistemasde referencia con movimiento relativo constante. Las transformaciones de Lorentz eranlas relaciones funcionales que vinculaban dos sistemas de referencia inerciales.

Sin embargo, inicialmente no se entendió que esta relación funcional (Lorentz) entresistemas de referencia inerciales implicaba algo mucho más profundo: el Universo eraesencialmente de cuatro dimensiones.Este descubrimiento se debió a Minkowski (1908) quien se percató que la pérdida deinvariancia de la métrica euclídea espacial era debida a la relación existente entre elespacio y el tiempo, por lo cual la métrica correcta debía contener al tiempo.

La adecuada métrica invariante en cuatro dimensiones se deduce fácilmente de las

Transformaciones de Lorentz, resultando:

ds2 = c 2 dt 2 – (dx 2 +dy 2 +dz 2 ) Invariante

Debido a los signos distintos de las partes espacial y temporal en el segundo miembro,esta métrica se denominó seudo euclídea a propuesta de Klein y Hilbert.

Importantes estudios contemporáneos han mostrado que las propiedades de simetríadel espacio y el tiempo, representadas mediante su métrica en un espacio de cuatrodimensiones (y su invariancia), son suficientes para fundamentar la Teoría deRelatividad Especial, sin necesidad de recurrir a los postulados propuestos por Einstein.

Específicamente se ha demostrado que si aceptamos que los fenómenos que ocurrenen nuestro Universo responden a una métrica cuadridimensional seudo euclídea delespacio-tiempo, entonces el Principio de Relatividad y la existencia de una velocidadtope y absoluta pueden ser obtenidos como consecuencias.

De acuerdo con el notable físico ruso A. Logunov, la Teoría de Relatividad quedarigurosamente establecida postulando que los fenómenos físicos suceden en unespacio cuadridimensional cuya geometría es seudo euclídea.



ConsecuenciasConsecuencias

Esta formulación moderna de la Relatividad Especial (Logunov, 1996) reviste unaextraordinaria importancia ya que establece rigurosamente que las condiciones devalidez de la teoría dependen única y exclusivamente de las propiedades del espacio y

el tiempo asignadas. No es necesario postular la constancia de la velocidad de la luz niel Principio de Relatividad.

Es fundamental resaltar que la homogeneidad e isotropía del espacio, la uniformidaddel tiempo, y la métrica seudo euclídea invariante, que convalidan la Teoría Especialde Relatividad, son exactamente los mismos postulados que fundamentan losllamados Principios Universales de conservación (Teorema de Emmy Noether, 1915),por lo cual todas las leyes válidas en esta teoría poseen la misma jerarquía que lasleyes de conservación de la energía, de la cantidad de movimiento y del momentoangular.

En consecuencia, el extraordinario descubrimiento hecho por A. Logunov nos pone

frente a una integración histórica de las leyes relativistas de la Física y los PrincipiosUniversales, generando una situación crítica, ya que el incumplimiento de cualquierade estas leyes relativistas que signifique invalidar sus fundamentos obligará a revisar todo el conjunto, pues todas ellas se derivan de los mismos postulados básicos.

Asimismo, la existencia de una velocidad máxima posible, única y absoluta, obtenidacomo consecuencia de asumir una geometría seudo euclídea del espacio-tiempo y sumétrica invariante, clarifica que cualquier modelo teórico que proponga otra alternativa,tal como atribuir velocidades máximas diferentes a la gravedad y al electromagnetismo(T. van Flandern, "The speed of gravity - What the experiments say" , 1998; S.Kopeikin, "Bi-metric theory of gravity" , 2006, etc.), poseerá una métrica espaciotemporal diferente a la seudo euclídea.

Dado que la forma matemática de una ley tiene implícita la geometría utilizada, lasleyes que describen el comportamiento de los fenómenos serán distintas en marcosteóricos que usen diferentes métricas.

Destaquemos la evidente incompatibilidad entre las teorías General y Especial, debidaa que las propiedades establecidas en cada caso para el espacio y el tiempo soncontradictorias y antagónicas entre sí. Ante la presencia de masa ambas teorías tienenmétricas espacio temporales distintas, lo que implica que los fenómenos se interpretande manera distinta y, por supuesto, responden a leyes diferentes.

Como vemos, existe una profunda sutil diferencia entre cambiar de sistema dereferencia espacio temporal, procedimiento usual, útil y lícito, a modificar suspropiedades cambiando la métrica.

No debemos extrañarnos, entonces, que en la Teoría General de Relatividad no secumplan ni los Principios Universales ni la Relatividad Especial, dado que la métrica(espacio curvo) es dependiente de la distribución de materia. Más aún, ninguna leyrelativista en el espacio de Minkowski es válida en la Teoría General, y ello incluye alElectromagnetismo de Maxwell.En este sentido digamos que hay una discusión centenaria respecto de la validez de lamal denominada Paradoja de Born, sobre que un electrón en movimiento hiperbólicono irradia en el espacio curvo de la Teoría General y sí lo hace en el espacio de

Minkowski.



Este tema puede ser profundizado con los siguientes trabajos:

1. “Curso de Teoría de la Relatividad y de la Gravitación” , A. Logunov, Lecciones1 y 2, 1998.

2. "Relativity without light" , N. Mermin, Am. J. Phys. 52 (2), 1984.

3. " Special Relativity in the 21st century " , S. Cacciatori, V. Gorini, A.Kamenshchik, 2008.

4. " The Theory of Relativity - Galileo's Child " , Mitchell J. Feigenbaum, 2008.

http://arxiv.org/abs/0807.3009






Transformaciones de LorentzTransformaciones de Lorentz

Los Postulados de Einstein no son consistentes con las Transformaciones de Galileo,ya que la constancia de la velocidad de la luz para todos los observadores inercialesresulta incompatible con el Teorema de adición de velocidades de Galileo.

Considerando que la medición de velocidades implica medir espacio recorrido y tiempoempleado, no debemos anticipar o prejuzgar características espaciales y/o temporalespara las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales.

Resulta interesante remarcar que el primer desarrollo lógico como continuacióninmediata de la Teoría cuyos Postulados acabamos de ver, sería encontrar, si esposible, las Transformaciones que satisfacen ese requerimiento. Debe tenerse muypresente que las transformaciones que vinculan a los sistemas inerciales serán la basefundamental y soporte de todas las leyes físicas, dado que las leyes deberánconservar su forma ante esas transformaciones.

Además, dado que las transformaciones buscadas son relaciones funcionales entre lascoordenadas (espacio y tiempo) de dos sistemas inerciales cualesquiera, veremos quesu análisis e interpretación permitirán obtener un mayor conocimiento sobre estos dosconceptos fundamentales.

Consecuentemente, corresponde establecer las hipótesis necesarias para encontrar tales transformaciones para dos sistemas inerciales en movimiento relativo, y queposean la propiedad de que en los sistemas el valor de la velocidad de la luz en elvacío sea el mismo.

Existen varias deducciones distintas de estas transformaciones de coordenadas en labibliografía específica, con distintos grados de dificultad y enfoque. De acuerdo a milarga experiencia docente, cualquiera de estas deducciones resulta muy complicada alalumno tipo.Al respecto, he desarrollado una demostración que, en mi opinión y por razonesdidácticas, resulta ser la más simple sin perder rigor o generalidad, que veremos acontinuación.

Hipótesis (fundamentadas por experimentos)En todo sistema inercial se cumple:

1. El espacio es isótropo y homogéneo.

2. El tiempo es uniforme.

3. La velocidad de la luz en el vacío es absoluta y vale 300000 Km/seg (Postuladode Einstein).

Las primeras dos hipótesis garantizan que el tamaño de un objeto ideal rígido enreposo sea el mismo en cualquier posición y orientación del espacio, y que la duraciónde un fenómeno bajo idénticas condiciones sea independiente del momento y lugar enque ocurre.

Estas hipótesis, que deberían ser elevadas a la categoría de postulados universales,están fundamentadas en 400 años de experiencias. Su importancia se hace notoria

con los siguientes razonamientos: 1) si un objeto conserva su tamaño ello permitedefinir una unidad de longitud; 2) si la duración de un determinado fenómeno causal no



depende del instante inicial del mismo, podremos definir una unidad de tiempo.Estas dos propiedades del espacio y el tiempo son las que definen la "métrica" delsistema de referencia.

Ello nos limita a que las transformaciones de coordenadas ( x,y,z,t ) entre dos sistemasinerciales deben ser lineales, pues de lo contrario se perdería la homogeneidad y/o launiformidad.Aclaremos un poco más esta última aseveración.

Las transformaciones de coordenadas que permiten pasar de un sistema de referencia( x,y,z,t ) a otro ( x’,y’,z’,t’ ) están dadas por 4 relaciones funcionales, que en el caso másgeneral pueden expresarse por:

x’=f 1(x,y,z,t) y’=f 2 (x,y,z,t) z’=f 3(x,y,z,t) t’=f 4(x,y,z,t)

Tratemos de analizar cómo deben ser estas funciones para que el espacio y el tiempoposean los mismos atributos en ambos sistemas.

Supongamos que la función x’=f 1(x,y,z,t) es la siguiente relación cuadrática: x’=a.x 2

,siendo a una constante.

En este caso un objeto rígido de longitud L=x 2 -x 1 en el sistema O, cuyo tamaño es elmismo en cualquier posición sobre el eje x, en el sistema O’ tendrá una longitud dadapor L’=(x’ 2 -x’ 1 )= a(x 2

2 - x 12 ), cuyo valor depende de la posición en que esté ubicado

sobre el eje x . Nótese que si desplazo el objeto en la dirección del eje x’ su longitudcambia. Es decir que en el sistema primado el espacio no es homogéneo.

El mismo análisis puede hacerse con las otras coordenadas, llegando a la conclusiónde que la única manera de mantener similares propiedades del espacio y el tiempo enambos sistemas es que las transformaciones sean lineales, cuya expresión más

general para la coordenada x' es:

x’= a1 x+a2 y+a3 z+a4 t+a5

NotaNotaMuchas de estas constantes podrán anularse con la elección particular de ambossistemas. Por ejemplo, si establecemos que en el instante t=t'=0 los sistemascoinciden, los términos independientes (a5 ) se anularán.

Sean dos sistemas de referencia inerciales (O y O’), inicialmente coincidentes.Llamaremos V (en mayúscula) a la velocidad relativa entre ellos. Cuando exista unobjeto en movimiento, será v (en minúscula) su velocidad medida en el sistema O, y v’

su velocidad respecto de O’.Las coordenadas ( x,y,z,t ) se refieren al sistema de O y las coordenadas ( x’,y’,z’,t’ ) sonlas correspondientes al sistema O’.

En general, todas las variables no primadas corresponderán al sistema O y lasprimadas al O’.

Supongamos que en el instante inicial ambos sistemas coinciden. Para una mejor visualización los esquemas tendrán al sistema O’ debajo del O.Por simplicidad supondremos arbitrariamente que el O está en reposo y el O’ convelocidad constante V en la dirección del eje x, como muestra la figura.



Esta selección de movimiento relativo según el eje x hace que las coordenadas (y’; z’ )sean idénticas a las (y; z ), de acuerdo con las hipótesis establecidas.

Las transformaciones lineales de coordenadas para relacionar ambos sistemas son dela forma:

Mediante un cálculo simple podemos hallar la relación de velocidades (de un objeto)entre sistemas, obteniendo:

Siendo a1; a2; a3; a4 constantes arbitrarias que determinaremos mediante cuatro (4)

experimentos pensados.

Experimento 1 - Objeto en reposo en OExperimento 1 - Objeto en reposo en O

Para un observador en O’ este objeto se mueve con velocidad v´=-V, con movimientorectilíneo uniforme según el eje x’.



Experimento 2 - Objeto con vExperimento 2 - Objeto con vxx = V en O= V en O

Para un observador fijo en O’ este objeto está en reposo.

Experimento 3 – Un haz de luz se propaga según el eje x en OExperimento 3 – Un haz de luz se propaga según el eje x en O

En ambos sistemas la velocidad medida resulta c.



Experimento 4 – Un haz de luz se propaga según el eje y en OExperimento 4 – Un haz de luz se propaga según el eje y en O

En ambos sistemas la velocidad medida resulta c.

Halladas las constantes quedan determinadas las transformaciones de coordenadasque vinculan ambos sistemas, resultando ser las Transformaciones de Lorentz, perocon diferente significado, ya que son las transformaciones lineales que relacionan lamétrica de dos sistemas de referencia inerciales.

Tienen la propiedad de que la velocidad de la luz resulta la misma (c) en todos lossistemas inerciales. Esta deducción tiene la ventaja que utiliza como argumentoprincipal la constancia de la velocidad de la luz y el Teorema de Pitágoras.

Las mismas nos permiten pasar del sistema O al O’. Si quisiéramos encontrar las

transformaciones que permiten pasar del O’ al O bastaría con despejar las variables( x, y, z, t ) en función de ( x’, y’, z’, t’ ).

Transformaciones de LorentzTransformaciones de Lorentz

Estas transformaciones no son generales pues corresponden al caso particular en que

la velocidad relativa entre sistemas es colineal con el eje x. Algunos temas particularesrequieren que la dirección de la velocidad entre sistemas de referencia inerciales seacualquiera. En este caso las Transformaciones de Lorentz generales son más



complicadas, resultando una expresión simple si se usan las coordenadas tangencial ytransversal a la velocidad V, respectivamente (Pauli, “Theory of Relativity ”, pág. 10):

Importante:Importante:Nótese que si la velocidad relativa entre sistemas es mayor que c se obtienen valoresimaginarios de espacio y tiempo, perdiendo su significado físico. Asimismo, hacer lavelocidad del sistema igual a c genera una indeterminación pues el denominador seanula en las Transformaciones de x y t .En consecuencia, asignar a un sistema de referencia inercial una velocidadrelativa V mayor o igual a la velocidad de la luz carece de significado y no puedeser tratado en el marco de esta Teoría.

Se podría pensar erróneamente que esto último conforma una limitación de validez de

la Teoría de Relatividad Especial. Si se analiza cuidadosamente se concluye queproponer una velocidad invariante tiene como consecuencia que dicha velocidad (c ) esuna cota máxima para un espacio-tiempo real, pues fija el dominio del parámetro V talque -c < V < c . En consecuencia, proposiciones tales como fijar un sistema dereferencia a un haz de luz o a un fotón en el vacío, es un error conceptual.

Algunas otras importantes conclusiones podemos obtener de un primer análisis.

• Las Transformaciones de Lorentz convergen a las de Galileo si V << c .Esto resulta importante pues nos permite asegurar que la mecánica clásica esvaledera para velocidades bajas respecto de la de la luz.Cuando V es mucho menor que c el tiempo resulta absoluto (t'=t ).

La experiencia posterior a la Teoría de Relatividad nos ha mostrado que todaslas leyes relativistas convergen a las leyes clásicas correspondientes cuandolas velocidades involucradas son mucho menor que c , lo que se tradujo en el



Principio de Correspondencia.El Principio de Correspondencia establece como condición necesaria devalidez que todas las leyes relativistas tiendan a las clásicas cuando V/c tiendea cero, proveyendo una importante herramienta operativa para el desarrollo deleyes relativistas en cualquier línea de trabajo.

• Tiempo y espacio están vinculados.Como veremos luego en forma más detallada, esta relación funcional permitirámostrar que la evolución temporal es diferente entre sistemas inerciales enmovimiento relativo. Este hecho genera uno de los cambios conceptualesnecesarios más importante, que trataré de explicar con un experimentopensado.Supongamos tener un péndulo oscilando con pequeñas amplitudes. El sistemacuelga de un clavo en reposo respecto a nuestro sistema. El movimientoresulta periódico y su período T medido es constante, dependiendo de lalongitud del hilo (l ) y de la aceleración de la gravedad (g ). Su expresiónmatemática es:

Ahora imaginemos otro péndulo oscilando, de igual longitud de hilo, que pasafrente a nosotros con velocidad V constante. Midiendo adecuadamente el(pseudo) período del péndulo en movimiento encontramos, comodemostraremos más adelante, que oscila más lentamente que el nuestro.Medir adecuadamente significa tener en cuenta que la posición inicial y la finalde una oscilación del péndulo móvil son distintas para nosotros y que,cualquiera sea la técnica de medición usada, corregiremos efectos aparentes,tales como retrasos debido a la velocidad de la luz, paralaje, etc.Más aún, dado que la longitud de los péndulos es la misma (y'=y ) debemosasumir que la aceleración de la gravedad es diferente en los sistemas enmovimiento relativo.

Antes de la Teoría de Relatividad Especial medir implicaba tener un instrumento demedición y un objeto. Ahora medir involucra también al observador.

Todo parece indicar que "casi" todas las magnitudes físicas (sus valores) son relativasal sistema de referencia, como resultado de que los sistemas en movimiento relativotienen métricas espacio temporales distintas.

Las magnitudes que tienen carácter absoluto, además de la velocidad de la luz en elvacío, son pocas y se especula que juegan un papel fundamental en la estructura denuestro universo. Para hallar estas magnitudes supuestamente "claves", es necesariodisponer de modelos teóricos relativistas de los distintos tipos de interacciones. Enparticular, las ecuaciones de Maxwell cumplen este requisito, lo que permitió deducir que la carga es un invariante. Un electrón tendrá el mismo valor de carga eléctrica encualquier sistema de referencia inercial.

Como veremos más adelante en detalle, ésta creencia más la formulación de la Teoríade Relatividad en un espacio de cuatro dimensiones (Minkowski), influyó en muchosespecialistas generando una diferencia de criterios importante respecto de la masa,aún no resuelta.

En el ítem siguiente veremos otro caso de invariancia como consecuencia de lasTransformaciones de Lorentz, que conforma una propiedad fundamental de la métricade los sistemas inerciales.



Invariancia del IntervaloInvariancia del Intervalo

Se define suceso al conjunto ( x, y, z, t ) que determinan el punto en el espacio y elinstante en que ocurre. Los sucesos pertenecen a un espacio (matemático)tetradimensional donde cada punto, llamado punto del universo, representa unsuceso. El movimiento de una partícula puntual en este espacio será una curvadenominada curva de universo.

Tomemos ahora dos sucesos ( x 1, y 1, z 1, t 1) y ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ). El cuadrado de la distanciaespacial entre los sucesos está dada por:

Llamaremos Intervalo al valor S obtenido de la relación

Con las Transformaciones de Lorentz podemos calcular sin dificultad el intervalo deestos dos sucesos medidos por dos observadores inerciales cualesquiera, resultando:

Llegamos a una conclusión muy importante: El intervalo entre sucesos es igual en todos los sistemas inerciales.

Queda planteado demostrar que dos sucesos pueden ser causales sólo si S es real.Se propone también, a modo de ejercicio usando cálculo diferencial, que se demuestrecon las Transformaciones de Lorentz que el intervalo elemental es un invariante.

ds2 = c 2 dt 2 – (dx 2 +dy 2 +dz 2 ) Invariante

DiscusiónDiscusión

Las Transformaciones de Lorentz fueron desarrolladas en el año 1900 como unavance para establecer las leyes del electromagnetismo para sistemas inerciales enmovimiento relativo. Lorentz mostró (parcialmente) que estas Transformaciones

dejaban invariantes las ecuaciones de Maxwell, sin lograr una interpretaciónconceptual.

La propuesta de Lorentz mantenía implícitamente la validez de las Transformacionesde Galileo, la métrica espacial y la coordenada temporal eran absolutas en lossistemas inerciales, asumiendo que por alguna razón física, que relacionaba con lasinteracciones electromagnéticas, los objetos modificaban su tamaño y los relojesalteraban su marcha, provocando una "aparente" constancia de la velocidad de la luz.Las propiedades del espacio y el tiempo no eran alteradas (espacio-tiempo absoluto).

Estas interpretaciones, tanto para el electromagnetismo como para la invariancia de lavelocidad de la luz, tenía serias e irreconciliables inconsistencias generadas

principalmente por su interpretación dentro de un marco espacio temporal absoluto(teoría del éter).



La deducción elaborada por Einstein se apoyaba en resultados experimentales(Postulados) y no requería conjeturas auxiliares, tales como sistema de referenciaabsoluto, arrastre del éter, deformación de objetos, o mal funcionamiento de relojes.Pero este premio no era gratis, había que cambiar el concepto establecido sobre elespacio y el tiempo.

Analizando las Transformaciones de Lorentz bajo la óptica de Einstein lo primero quehay que destacar es que las coordenadas ( x, y, z, t ) representan un punto del espacioy un instante, correspondientes a un sistema inercial O, y que las coordenadas ( x', y',z', t' ) representan ese punto del espacio y ese instante, pero correspondientes a unsistema inercial O' que se mueve respecto del primero.

No son coordenadas particulares de un evento, ni la posición de un objeto o el instanteinicial de un fenómeno. Son coordenadas que dan la métrica espacio-temporal delsistema correspondiente.Es decir que las transformaciones relacionan las métricas del espacio y el tiempo entredos sistemas inerciales.

La interpretación de las Transformaciones de Lorentz como relación entre lasmétricas espacio temporales de los sistemas inerciales debe ser consideradacomo uno de los avances más importantes del conocimiento universal .

La gran revolución conceptual la genera (principalmente) que t' no es igual a t , comoera en el marco galileano, sino que está relacionada también con la posición.Aclaremos un poco más este tema. Cuando decimos que el tiempo t es uniformeestamos indicando que la evolución temporal de los fenómenos causales es constanteen el sistema O. Un dado proceso, como la caída de una piedra o el crecimientocelular, transcurre en el mismo lapso bajo idénticas condiciones, cualquiera sea elmomento en que se inicie el proceso.

Además, al indicar que t es la coordenada temporal del sistema O hemos asumidoarbitrariamente que el sistema está sincronizado, y en un instante cualquieratenemos el mismo valor temporal en cualquier punto del espacio.

Lo mismo vale para el sistema O', con su coordenada t' uniforme y sincronizada. Lagran novedad aparece cuando vinculamos ambas coordenadas (t', t ) con lastransformaciones de Lorentz. Solamente hay coincidencia en el origen en el instanteinicial (t'=t=0 ) porque así lo establecimos en la deducción de dichas transformaciones,concluyendo que para que la velocidad de la luz sea invariante tenemos que aceptar que los sistemas inerciales en movimiento relativo tienen diferente evolución temporaly distinta métrica espacial, y que esas diferencias dependen de la velocidad relativaentre ellos.

La dependencia de la coordenada temporal de un sistema con el tiempo y la posicióndel otro sistema provoca pérdida de sincronización en el sistema móvil pues no da unmismo valor t' para puntos ( x ) diferentes. Es decir que el sincronismo, que requierefijar el valor temporal simultáneamente en todo punto del espacio, es relativo alsistema.

Dicho más claramente, cada observador O y O' ve sincronizado su sistema, en el cualestá en reposo, y sin sincronismo el sistema móvil.

Si ahora consideramos un fenómeno, como por ejemplo la caída de un cuerpo, habrá

una posición inicial y una final para cada sistema de referencia, con trayectoria yduración distintas para dos observadores en movimiento relativo constante. Será



necesario analizar en detalle las mediciones espaciales y temporales de losfenómenos físicos.



SimultaneidadSimultaneidad

Dos eventos son simultáneos cuando suceden en el mismo instante.

Supongamos que un observador O en un sistema de referencia inercial detecta dos

sucesos ocurridos en ( x 1, y 1, z 1, t 1) y ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) respectivamente. Para que estossucesos sean simultáneos debe cumplirse:

t 1 = t 2

Si ahora pretendemos saber como registra estos mismos sucesos un observador O’que se mueve respecto de O con velocidad V constante, bastará con determinar losvalores ( x’, y’, z’, t’ ) de cada uno de ellos mediante las Transformaciones de Lorentz.

Ello nos permite calcular la diferencia t’ 2 - t’ 1 resultando:

Estos sucesos serán simultáneos para O’ si t’ 1 = t’ 2 , condición que sólo se cumple en elcaso x 1 = x 2 .

Se deja planteado demostrar que si dos eventos que suceden en distintos puntos ( x ),son simultáneos para un observador O, siempre es posible encontrar dos sistemas dereferencia inerciales en los cuales el orden de los sucesos está invertido.

Con esto queda demostrado que la simultaneidad es relativa al sistema de referencia,siendo absoluta en el caso en que los eventos sucedan en el mismo punto (choque).Esta es la razón por la cual un observador inercial O comprueba que otro sistema O’en movimiento relativo no presenta su tiempo t’ sincronizado.

También la simultaneidad de sucesos adquiere carácter absoluto en el caso de doseventos que ocurren sobre un plano perpendicular a la velocidad V relativa entre losobservadores O y O’, sin necesidad de que haya choque. Es decir que dos pelotas quegolpean a diferente altura contra una pared simultáneamente para un observador enreposo respecto de la pared, también serán sucesos simultáneos para cualquier observador que se mueva perpendicularmente a la pared con velocidad constante.

Analicemos ahora un caso interesante. Supongamos que ocurre un proceso “causal ”como sería por ejemplo lanzar una piedra en el instante t 1 y romper un vidrio en t 2 .

Un fenómeno causal presenta las siguientes características: contiene siempre dossucesos que, si ocurren en distintos puntos del espacio, están separadoscronológicamente, y el orden de los eventos no puede invertirse.

Demostraremos que todo fenómeno causal es absoluto.Para ello debe cumplirse (t’ 2 - t’ 1 ) > 0 para todo observador.

Sea (t 2 – t 1 ) la diferencia de tiempos entre el lanzamiento de la piedra en x 1 y la roturadel vidrio en x 2 . Calculemos que diferencia temporal le mide un observador O’ enmovimiento relativo.



Para que (t’ 2 - t’ 1 ) > 0 debe ser

Dividiendo por (t 2 – t 1 ) obtenemos

Siendo la variación espacial (x 2 - x 1 ) sobre la temporal (t 2 – t 1 ) el valor de la velocidadmedia del objeto, que en nuestro caso corresponde a la piedra en su viaje hacia elvidrio, será:

Dado que el segundo término del primer miembro es menor que 1 pues lasvelocidades del observador y de la piedra siempre son menores que la velocidad de laluz, la desigualdad es valedera y queda demostrado que un fenómeno causal esabsoluto.

Causalidad y DeterminismoCausalidad y Determinismo

No se tiene conocimiento del origen ni el momento histórico en que se incorpora en lahumanidad el concepto de causalidad, en el sentido de que cualquier cambio delestado de un sistema está provocado por una causa anterior.Más aún, el entrenamiento de animales domésticos ha demostrado que este conceptoestá incorporado en los ejemplares adultos, y se especula que todas las especiesanimales adquieren su conocimiento durante la gestación y en la primera etapa de suvida, como consecuencia de la repetibilidad de los fenómenos naturales, teniendo

incidencia en su comportamiento particular e incluso con el “sentido” de preservaciónde la especie.

La causalidad en su acepción básica más general es un concepto fundamentado en laobservación de procesos o fenómenos que reúnen las siguientes características:

1. Siempre que ocurre un fenómeno se pueden encontrar dos eventosdistinguibles (A y B), que están separados cronológicamente y cumplen:

2. Asignemos que A sea el primer suceso. Siempre que ocurre A, luego sucede B,y se conserva el orden de los sucesos.



En este caso se postula que A y B son causa (A) y efecto (B). Además, si reiteramos elfenómeno y se repite de forma idéntica para la observación, entonces se dice que elproceso es “causal” y “uniforme”.

La aceptación de la existencia de procesos causales uniformes es el soporte lógico dela definición rigurosa de “tiempo”. Se puede definir la magnitud tiempo (objetivo) comoaquella que permite establecer el orden en la ocurrencia de sucesos.Resulta evidente que, por tratarse de sucesos numerables, la magnitud es escalar.Los procesos causales uniformes, que bajo las mismas condiciones tienen lapropiedad de repetirse en forma idéntica, permiten establecer una unidad de medida,proveyendo una métrica temporal, estableciendo cuantitativamente el pasado y elfuturo, y dándole al tiempo la propiedad de magnitud mensurable.

La consideración usual del tiempo como “coordenada unidimensional continua”, dentrode la física clásica, es una abstracción no demostrada, sustentada principalmente por la mecánica de Newton y el éxito de los modelos teóricos posteriores desarrollados. Esdecir, que este atributo matemático (continuidad) debe ser postulado y su validez

limitada al modelo teórico correspondiente. La física cuántica actual plantea modeloscon la posibilidad de que la magnitud tiempo sea discreta.

Resulta evidente que la estrecha e indisoluble relación entre la magnitud tiempo y elconcepto de causalidad incidió en el desarrollo científico, cuya consecuencia principalfue la postulación del Principio de Causalidad, aceptada como una ley inviolable de lanaturaleza, desde principios del siglo XIX. El Principio de Causalidad postula quetodo efecto debe tener siempre una causa.

Asimismo, en ese siglo se completó la falsa interpretación de “causalidad lineal” que, agrandes rasgos, afirma que los efectos de un dado proceso resultan ser las causas deotros efectos futuros, por lo cual los fenómenos naturales pueden interpretarse como

una sucesión ininterrumpida de procesos causales. Esta línea de pensamiento más lainfundada creencia de una relación biunívoca entre causa y efecto desembocaron enel “determinismo” a ultranza, del matemático P. Laplace (1749 - 1827).

Los fenómenos naturales muestran infinidad de procesos causales periódicos, cuyaocurrencia repetida generó mitos y creencias en la conciencia popular (“el destino estáescrito”), que fueron incentivados por el determinismo mecanicista de Laplace, el quepropone que si se tiene el conocimiento completo del estado de un sistema en unmomento dado, sería formalmente posible conocer el estado del sistema en cualquier momento futuro.

Esta postura radical hizo que determinismo y causalidad fueran confundidos e, incluso,considerados la misma cosa. Como veremos en este mismo capítulo, la causalidad esuna ley inviolable, el determinismo no lo es. En consecuencia, cualquier ley, teoría omodelo físico debe cumplir con el Principio de Causalidad y puede no ser determinista.

El enfoque matemático de la causalidad, en mi opinión el más profundo, útil y preciso,se debe al genial matemático estadounidense Norbert Wiener (1894 - 1964), conocidocomo padre de la cibernética por su libro “Cibernética o el Control y Comunicación enanimales y máquinas“, publicado en 1948.En el introduce la noción de “circularidad” mediante un concepto utilizado en la teoríade control, el feedback (retroalimetación), con el cual interpreta la causalidad como larespuesta de todo sistema cuando es perturbado, y su reiteración (circularidad) en la

búsqueda de un estado de equilibrio.



Wiener estableció que el Principio de Causalidad es consecuencia de una "simetría"particular en los procesos de la naturaleza (circulares en el tiempo), por lo cual estePrincipio actualmente es considerado Universal y, a los efectos de que se entienda suimportancia, de la misma jerarquía que los Principios de conservación de la energía,de la cantidad de movimiento y del momento angular.

Asimismo, mostró la falsedad de la causalidad lineal y estableció para los sistemaslineales, es decir aquellos que pueden ser representados por ecuaciones diferencialeslineales, la condición matemática que debe cumplir una función dependiente deltiempo para ser causal. La deducción de la condición de Paley-Wiener puede verse enel libro de A. Papoulis, “The Fourier Integral and its Applications”.



Contracción espacial y Dilatación temporalContracción espacial y Dilatación temporal

Hemos establecido a través de las Transformaciones de Lorentz que las métricas dedos sistemas inerciales en movimiento relativo son diferentes.En consecuencia, debemos analizar qué pasa con el tamaño de los objetos y la

duración de los fenómenos, cuando están o suceden en movimiento respecto denosotros.Por convención pondremos un subíndice 0 a todas las magnitudes que midamos enreposo respecto nuestro, y las llamaremos propias. Por ejemplo, una longitud propiaserá la que midamos en reposo respecto del objeto.

Contracción de longitudesContracción de longitudes

Un observador inercial mide el largo (longitud propia) de un objeto en reposo,determinando las coordenadas espaciales de sus extremos según indica la figura,resultando l 0 = x 2 – x 1.

Se pretende determinar qué longitud le mediría otro observador O’ en movimientorelativo con velocidad constante.Debemos eliminar o corregir las ilusiones ópticas producidas por la velocidad finita de

la luz.Por ejemplo, si quisiéramos determinar la longitud de un objeto en movimientosacándole una foto cuando se está acercando o alejando, tendríamos que corregir lasmedidas obtenidas pues una foto, en esas condiciones, dará un tamaño aparente(ilusión óptica). Se propone al lector que muestre que la foto dará un tamaño mayor cuando se acerca y menor cuando se aleja.

Como el objeto está en movimiento para el observador O´ debemos ser cuidadosos yadoptar un criterio de medición adecuado, como sería determinar ambas coordenadas“simultáneamente” en el sistema O’, lo que implica t’ 1 = t’ 2 .

Luego debemos comparar la longitud l’ = x’ 2 – x’ 1 con la longitud propia mediante las

Transformaciones de Lorentz.



Aquí aparece algo interesante para la resolución de problemas. Considerando que lasTransformaciones de Lorentz directas o inversas son conceptualmente la misma cosa,podemos elegir usar las que nos convengan.En nuestro caso usaremos las inversas porque ello simplifica los cálculos debido a quet’ 1 = t’ 2 , resultando:

Despejando l’ obtenemos:

ConclusiónConclusión

La longitud de un objeto en movimiento es menor que cuando el mismo objeto está enreposo pues V/c es siempre menor que 1.

No debe entenderse esto como un efecto óptico o aparente, sino como el tamaño delobjeto medido en movimiento, que resulta tanto menor cuanto más rápido se muevarespecto del observador.

Ésta es una adecuada ocasión para discutir a qué se llama realidad en física.En primer lugar digamos que la Física como ciencia intenta explicar cómo suceden lascosas y no porqué suceden. Todo lo que estamos elaborando y todas las teorías yadesarrolladas son modelos que procuran describir el comportamiento de los distintosfenómenos naturales lo mejor posible, pero los modelos no son el fenómeno. Estapostura es la científica y quedó plasmado desde el inicio mismo del método científico,creado por Galileo, cuando distinguió que la filosofía natural no incluye los mitos.

El gran físico-matemático argentino Jorge Staricco, en la introducción del magistralcurso de Mecánica que dio en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de BuenosAires en 1965, al cual asistí como alumno, dijo: la importancia de la Ley de atracciónuniversal enunciada por Newton no es la relación funcional entre la fuerza y ladistancia, que por otro lado hubiera sido resuelta por Cavendish un ratito después,sino cómo la introdujo: Todo pasa como si existiera una fuerza…

Ahora permítanme que haga una pregunta directa sobre realidad:

¿Existe la fuerza de gravedad?

Recordemos que con el conocimiento funcional de la fuerza gravitatoria Newtondemostró las Leyes de Kepler. Todo parece indicar que dudar de la existencia de lafuerza de gravedad es demencial.

En el año 1916 apareció otra Teoría que postulaba que la fuerza gravitatoria no existe,que las masas no se atraen pero tienen la propiedad de alterar la métrica espaciotemporal. Con ella también se demostraron las Leyes de Kepler. Su autor fue AlbertEinstein y la Teoría es la de Relatividad General.



Al no tener una respuesta lógica única, el concepto de realidad en la física se modificódurante el siglo XX, principalmente por el desarrollo de la Mecánica Cuántica y laTeoría de Relatividad, de tal manera que su interpretación fuera única.

El concepto de realidad es un tema filosófico que depende de la línea de pensamientoparticular.Realidad, para la ciencia, es lo que muestran las mediciones y es válida solamente enel marco de la teoría correspondiente, cuya bondad y alcance no depende de lascreencias del lector.En consecuencia, digamos que todo pasa como si el tamaño “real” de un objeto fueramayor cuando está en reposo que cuando está en movimiento, pues eso es lo que semide. En el marco de la Teoría de Relatividad Especial los objetos en movimientotienen un tamaño menor que en reposo.

Dilatación temporalDilatación temporalUn observador inercial mide la duración (tiempo propio) de dos sucesos que ocurrenen un punto fijo (x0; y0; z0), como por ejemplo prender una lámpara en el instante t 1 y

apagarla en t 2 , estando en reposo respecto de la lámpara.

Esta duración resulta T 0 = t 2 – t 1, y se pretende determinar qué valor T’ le medirá otroobservador O’ en movimiento relativo con velocidad constante.

En este caso usaremos las Transformaciones directas porque ello simplifica loscálculos debido a que x 1 = x 2 = x 0 resultando:

Resulta evidente que T’ > T 0 pues la velocidad relativa V debe ser menor que c

ConclusiónConclusiónCualquier lapso medido (t 2 – t 1 ) de dos sucesos es relativo al sistema de referencia.Asimismo, se demuestra que el tiempo propio de cualquier fenómeno es el menor valor posible de la duración de dicho evento.

Dado que este razonamiento es válido para todos los fenómenos naturales, todoobservador verá que los procesos transcurren más lentamente cuando suceden enmovimiento respecto de él, y este hecho será tanto más pronunciado cuanto mayor sea la velocidad relativa entre el sistema donde ocurre el fenómeno y el observador.

NotaNotaHemos calculado la contracción de la longitud de un objeto y la dilatación temporal deun reloj, ambos en reposo en el sistema O. Por supuesto que si estuvieran en reposoen el sistema O’ obtendríamos idénticas conclusiones simétricas pues todos lossistemas inerciales son equivalentes.

Tiempo propioTiempo propio

Cuando un cuerpo o sistema físico se mueve arbitrariamente, el tiempo propio de un

proceso que ocurra en dicho objeto debe calcularse asumiendo que se tiene un relojfijo en el objeto.



Un sistema de referencia fijo a un cuerpo que se mueve arbitrariamente puede no ser inercial, por lo cual en general no podremos aplicar las Transformaciones de Lorentzpara comparar las métricas.Sin embargo, si aceptamos que la aceleración no tiene influencia en la evolucióntemporal en dicho sistema no inercial, veremos que es posible calcular el tiempopropio buscado.Destaquemos que esta suposición no tiene respaldo teórico alguno (ver Möller “TheTheory of Relativity”, pág. 49) y no es verificada por determinaciones experimentalesincuestionables (GPS), por lo cual este tema será tratado en detalle por separado.

Lo que sigue es el tratamiento usual del tema en la bibliografía clásica tradicional, sinque ello implique que sea correcto rigurosamente.

De acuerdo con la suposición históricamente aceptada podemos asumir que en cadainstante hay un sistema inercial cuya velocidad relativa coincide con la velocidad delcuerpo o sistema físico, lo que permitirá calcular el tiempo propio como la suma de lasvariaciones infinitesimales (dt’ ) en dicho sistema.

Las Transformaciones de Lorentz que hemos deducido oportunamente no songenerales puesto que hemos puesto arbitrariamente la velocidad relativa entresistemas coincidente con el eje x . Dado que esta condición no se cumplirá para unmovimiento arbitrario, debemos usar las Transformaciones de Lorentz generales,cuya expresión para la coordenada temporal es:

Teniendo en cuenta que el proceso cuyo tiempo propio estamos midiendo está sobreel objeto en movimiento y que la velocidad del cuerpo corresponderá en cada instantea la velocidad del sistema inercial que le fijemos, será v=V . En consecuencia,diferenciando la expresión anterior llegamos a:

El tiempo elemental dt’ que medirá un reloj fijo al objeto será menor que elcorrespondiente dt que medimos en nuestro sistema inercial. Integrando obtenemos eltiempo propio mediante:

Es importante destacar que en esta expresión la velocidad corresponde a la del objetoy puede ser función del tiempo dependiendo del movimiento que realice el objeto.Además, dado que el integrando es siempre menor que 1, el tiempo propio siempre esel menor valor posible, cualquiera sea el movimiento del objeto.

Debe tenerse en cuenta que no podemos comparar las métricas entre sistemas puessolamente requerimos que uno sea inercial, sino que hallamos la expresión general



para el cálculo de tiempo propio de un objeto, cualquiera sea su movimiento, a travésde mediciones temporales hechas desde el sistema inercial.

Veamos un ejemplo simple:Un objeto rota alrededor de un observador inercial con movimiento circular uniforme.Se sincronizan dos relojes en t=t’=0 , uno (t’ ) fijo al objeto y el otro (t ) en el sistemainercial. Al cabo de una vuelta se comparan los tiempos resultando que el reloj fijo alcuerpo atrasó. El cálculo es simple pues el módulo de la velocidad v es constante.

Este atraso (cualitativo) no es relativo al sistema, es absoluto, y ello ocurrirá sobrecualquier reloj acelerado respecto de uno inercial.

Una vez comprendido el concepto (histórico) de tiempo propio y la forma de calcularlo,

la maltratada "Paradoja de los gemelos" deja de ser un misterio y puede ser analizada sin dificultad. Recomiendo su análisis aunque advierto que este tratamientoes incompleto pues no considera los efectos temporales debidos a la aceleración.

NotaNotaLas correcciones temporales que se programan en el Sistema de PosicionamientoGlobal (GPS) para mantener el sincronismo entre satélites dedicados y laTierra, suelen describirse como efectos debidos al "cambio temporal " de la RelatividadEspecial y al "retraso temporal " causado por el campo gravitatorio, predicho por laTeoría General.En mi opinión esta manera de enfocar el tema esconde el error cometido en estetema dentro de la Teoría de Relatividad Especial, cual es asumir que las aceleracionesno tienen influencia en la marcha de los relojes.



Cinemática relativista. Efecto Doppler Cinemática relativista. Efecto Doppler

La cinemática relativista no presenta gran dificultad en la parte operativa debido a quelos cálculos son similares a los que se realizan en cinemática clásica. Si un dadoproblema de movimiento de un cuerpo es complicado en el modelo relativista, también

lo es en la mecánica newtoniana.

No sucede lo mismo desde el punto de vista conceptual cuando se pretende comparar un determinado movimiento de un cuerpo desde dos sistemas de referencia inercialesen movimiento relativo. La razón de que ello ocurra es que en cinemática relativista lavelocidad de la luz es un valor finito.

La primera gran dificultad está con la posición de un punto material que se desplazarespecto de un observador inercial. Lo “vemos” en un punto del espacio pero sabemosque está en otro, debido al tiempo que tardó en llegarnos la información. Es decir quetenemos dos panoramas posibles: el “aparente”, que es el que vemos, y el que llaman“real”, que sería el que corresponde a la supuesta posición calculada, teniendo en

cuenta el tiempo que tarda en llegarnos la información. En realidad el que conocemoscon certeza es el aparente, que es el que medimos.

La mayoría de los cálculos se hacen con las posiciones que denominamos reales, enrazón de que las Transformaciones de Lorentz relacionan la métrica espacio temporalde dos sistemas inerciales sin contemplar lo que mediría un observador que no tuvoen cuenta las correcciones relacionadas con la velocidad de la luz.Este hecho parece resolver la cuestión estableciendo un criterio para la descripción delos movimientos, haciendo referencia siempre a posiciones reales.Sin embargo, veremos que ello resulta inadecuado en determinados casos.

En la dinámica relativista las interacciones entre cuerpos materiales ocurren a travésde campos cuya descripción corresponde a la posición aparente de los cuerpos y no alas posiciones reales, debido a que los campos se propagan también a velocidad finita,que asumimos idéntica a la de la luz. En consecuencia, si suponemos conocidas lasposiciones reales, debemos calcular las aparentes para obtener el resultado correcto.

En electromagnetismo las interacciones entre partículas cargadas en movimiento secalculan utilizando los “potenciales retardados”, que son funciones relacionadas con elcampo que corresponde a las posiciones aparentes, resolviendo el planteo anterior, yello podemos hacerlo porque disponemos de las ecuaciones de Maxwell.

En los otros tipos de interacciones (fuerzas gravitatorias y nucleares), no tenemos las

ecuaciones de campo válidas en sistemas inerciales, simplemente porque no hemoslogrado desarrollar aún un modelo teórico adecuado, por lo cual ni siquiera sabemos sies posible obtener la expresión teórica de los potenciales retardadoscorrespondientes.En particular, los problemas que presentan interacciones gravitatorias suelen tratarsecon la Ley de Newton en el marco de la Relatividad General, aunque en rigor dicha leyes válida solamente para cuerpos en reposo.

Otro aspecto complicado, que extrañamente la bibliografía usual no trata, se refiere ala posición real de un objeto en movimiento respecto de dos sistemas inerciales.Analicemos un caso particular:

Dos observadores inerciales O y O’ están en movimiento relativo. Supongamos quesus sistemas de referencia están alineados y sus orígenes de coordenadas espaciales



coinciden en el instante t=t’=0 . Cada observador tiene sincronizado su sistema, lo quesignifica que en un instante cualquiera su coordenada temporal tiene el mismo valor entodo el espacio, pero ambos observan que en el otro sistema de referencia el tiempoindicado por el otro observador tiene valores distintos en diferentes puntos del espacio,es decir que no está sincronizado.

Asumamos arbitrariamente que O está en reposo y O’ en movimiento uniforme segúnel eje x , con velocidad V respecto de O, y que tenemos un cuerpo que se mueve convelocidad v respecto de O, según muestra la figura. Sea x 0 la coordenada x del cuerpoen el instante t=0 .

Se pretende saber cuál es la posición x’ del objeto para O’ en el instante t’=0 .Usando las Transformaciones de Lorentz obtenemos lo que mediría O’:

Nótese que la posición del objeto en nuestro caso está determinada para t’ 0 < 0 , esdecir que O’ no obtiene la posición del objeto ( x’ 0 ) cuando ambos sistemas estáncoincidentes en el espacio, sino un rato antes (t’ 0 ) de que O’ se cruce con O.

En consecuencia, para determinar la posición que ambos observadores le miden a unobjeto en movimiento en el instante t=t’=0 , en que ambos sistemas son coincidentes,debemos conocer el movimiento completo en alguno de los dos sistemas, es decir sutrayectoria y tipo de movimiento, que nos permita calcular dónde estará en el otro.



Veamos un caso simple.

Si el objeto se mueve con velocidad v constante podemos hacer el cálculo de cuántoavanzaría respecto de O’ hasta que los sistemas coincidan, y así obtener la posición x’ t’=0 que le mediría O’ en t’=0 , resultando:

Siendo v’ la velocidad del objeto medida por O’, cuyo cálculo se mostrará luego con elteorema de adición de velocidades.En el segundo miembro de la igualdad, el último término representa lo que avanzó elobjeto. Esta expresión puede ponerse de la siguiente forma:

Si el cuerpo está en reposo respecto de O, la velocidad v’ medida por O’ será -V , y lacoordenada x’ 0 valdrá:

Este resultado muestra el efecto de la contracción de longitudes ya visto.

De éste análisis obtenemos una consecuencia muy importante para el estudio de lossistemas de muchos cuerpos no estacionarios, como por ejemplo el Universo.Supongamos que en un sistema inercial queremos obtener la configuración dinámicade un determinado conjunto de cuerpos puntuales en movimiento. Para ello debemosconocer simultáneamente la posición y la velocidad de cada uno de los puntosmateriales.Si ahora deseamos saber qué configuración se obtendría en otro sistema inercial en

movimiento relativo, deberemos hacer correcciones que contemplen le pérdida desincronismo entre sistemas.

NotaNotaEn el apartado de Temas Especiales se adjunta un desarrollo original (no publicado)que demuestra que la expansión del Universo es absoluta, es decir que en todos lossistemas inerciales las galaxias se alejan de un punto (centro), y en todos ellos secumple la forma de la Ley de Hubble (velocidad proporcional a la distancia).

Teorema de adición de velocidadesTeorema de adición de velocidades

Dado un cuerpo que se mueve con velocidad v respecto de un sistema inercial O, sepretende determinar qué velocidad le mide otro observador O’ en movimiento relativo

http://www.fisica-relatividad.com.ar/temas-especiales/ley-de-hubble/la-ley-de-hubble-en-la-relatividad-especial





uniforme. En la figura, por razones didácticas, se indica solamente la componente enla dirección x.

Usando las Transformaciones de Lorentz podemos calcular las velocidades medidaspor un observador O’.



Se destacan las siguientes particularidades:

1. Para velocidades del objeto (v ) y del sistema (V ) mucho menores que c seobtienen las relaciones de Galileo.

2. Las velocidades transversales (v y ; v z ) dependen de la velocidad según x .

3. Si el objeto fuera luz en el vacío, los dos sistemas medirían lo mismo (c ).

El cálculo de las aceleraciones se deja planteado como ejercicio, destacando quese obtienen con el mismo procedimiento empleado y que la aceleración no resulta unamagnitud absoluta (como sucede en la mecánica clásica).

Efecto Doppler Efecto Doppler

La frecuencia de una onda emitida por una fuente resulta diferente si dicha fuente estáen reposo o en movimiento relativo al observador, aumenta cuando la fuente se acerca

y disminuye cuando se aleja.El fenómeno fue descrito y explicado teóricamente en forma clásica (no relativista) por el físico y matemático austríaco Christian Doppler (1803-1853) en el año 1842, enuna monografía sobre espectroscopía en estrellas binarias.

La ley original obtenida relaciona la frecuencia de una onda luminosa con la velocidadrelativa entre el observador y la fuente de las ondas, y no es consistente con la teoríade relatividad (desarrollada posteriormente) pues se fundamenta en lasTransformaciones de Galileo. La formulación relativista rigurosa del fenómeno fueelaborada por Einstein en su principal publicación de 1905.

El efecto es de naturaleza ondulatoria y su estudio aparentemente resulta complejo envirtud de que intervienen tres actores: la fuente de ondas, la onda que se propaga y elobservador. Sin embargo, veremos que el fenómeno puede ser explicado como unefecto relativista sobre la propagación ondulatoria.

Por razones prácticas, en general sólo nos interesará el punto de vista del observador,es decir la frecuencia que un observador inercial le mide a una onda emitida por unafuente móvil, y su relación con la frecuencia propia y velocidad instantánea de dichafuente.

Los procesos ondulatorios fueron convenientemente explicados por elmatemático francés D’Alembert (1717-1783), cuyos aportes en el planteo y solución de

ecuaciones diferenciales a derivadas parciales le permitieron elaborar la teoríamatemática de las ondas en 1747, estableciendo su famosa “ecuación de ondas”:

Toda solución Ф(x,y,z,t) de esta ecuación es una onda cuya velocidad de propagaciónes v . Asimismo, si una función no satisface esta ecuación no puede ser asignada a unfenómeno ondulatorio. La solución más simple posible, conocida como “ondaarmónica simple”, que se propaga en el sentido positivo de las x , corresponde a laexpresión:



Al respecto, aunque en este curso se asume que el lector conoce la teoría de ondas,es conveniente recordar algunas particularidades:

• x (dirección de propagación) es un punto del espacio y t un instante de tiempo.

• Al argumento (kx-w t) se lo denomina fase y debe ser un número adimensional,es decir sin unidades.En consecuencia, k (número de onda) tiene unidades de 1/longitud y w (frecuencia angular) de 1/tiempo.

• El sentido de propagación queda determinado por el signo de los 2 términos dela fase. Si son distintos la onda se propaga en el sentido creciente de x ; si soniguales será en sentido opuesto.

• La función verifica la ecuación de ondas si se cumple v=w/k .

• A es la amplitud máxima de la onda. Sus unidades quedarán determinadas por

el tipo de onda que se trate. Por ejemplo, si es una onda sonora, A podrá tener unidades de presión.

• En ambos sistemas inerciales la onda tiene la misma forma funcional pues laecuación de ondas es relativista.Se deja planteado demostrar que dicha ecuación conserva su forma anteTransformaciones de Lorentz.

Primero mostraremos que la frecuencia de una onda, cualquiera sea su naturaleza, esuna magnitud relativa al sistema de referencia.Supongamos tener dos observadores inerciales en movimiento relativo, como muestrala figura, que miden la frecuencia y la velocidad de una onda armónica simple que se

propaga de izquierda a derecha en la dirección del eje x .

Aplicando las Transformaciones de Lorentz podemos encontrar la correspondienteexpresión en el sistema primado:



En el sistema en movimiento se cumple:

Comparando con la relación anterior se obtiene:

Para evitar confusiones llamaremos v P a la velocidad de propagación.Reemplazando k = w / v P obtenemos la relación buscada:

Si se trata de ondas luminosas en el vacío la velocidad de propagación es la misma enambos sistemas de referencia pues la luz se propaga con la misma velocidad c entodos los sistemas inerciales. En este caso tenemos:

Fácilmente puede verse que w’ < w si el sistema primado se mueve en la dirección depropagación, y w’ > w si es en sentido contrario (V<0 ).



Este resultado muestra que la frecuencia de una onda es una magnitud relativa alobservador, y ello es independiente del movimiento de la fuente de ondas.

En rigor, la frecuencia de cualquier sistema o proceso físico periódico resulta ser unamagnitud relativa al sistema de referencia en el que se mide. Dos observadores condistinto estado de movimiento medirán distinta frecuencia de un mismo procesoperiódico.

Por supuesto que si la fuente se encuentra en reposo en uno de los dos sistemas dereferencia, el observador en dicho sistema medirá la misma frecuencia de la onda y dela fuente (frecuencia propia), mientras que el observador en movimiento medirádistintas frecuencias no coincidentes, tanto de la fuente en movimiento como de laonda. La conclusión global será que la frecuencia de una onda aumenta si la fuentese mueve hacia el observador, disminuye si se aleja, y en estos casos no coincidecon la frecuencia de la fuente en movimiento.

Finalmente, siendo w 0 la frecuencia propia y (V f ) la velocidad de la fuente de ondas,

que arbitrariamente definimos positiva si la fuente se aleja al observador y negativa sise acerca, la relación funcional entre la frecuencia medida (w ) y la velocidad de lafuente (V f ), estará dada por:

Esto último parece estar en contradicción con el hecho aceptado por el cual lafrecuencia de una onda debe ser la misma que la de la fuente que la produce, cosa

que solo sucede para un observador en reposo respecto de la fuente periódica.

La explicación de esta aparente contradicción es sutil pero simple. Nótese que laforma en que se miden las frecuencias de la fuente y de la onda es diferente: lacorrespondiente a la onda se mide en un punto fijo (reposo) respecto del observador,mientras que la de la fuente se mide en movimiento.

La frecuencia de un sistema periódico, medida por un observador en movimientorelativo, se modifica de acuerdo a la ley de “dilatación temporal”:

Siendo T 0 el período propio del sistema periódico y T el “pseudo” período que le mideel observador inercial al sistema periódico en movimiento, que resulta siempre mayor que el período propio e independiente del sentido de la velocidad del sistema físico.

Por otro lado, una onda es un proceso espacio temporal y su frecuencia se determinacomo la inversa del tiempo que tarda en pasar una longitud de onda por un punto fijorespecto del observador.



Efecto Doppler TransversalEfecto Doppler Transversal

Se denomina así al cambio de frecuencia de una onda que ocurre cuando la fuente deondas se mueve en dirección transversal a la recta que une la fuente y el observador.Este efecto, predicho por Einstein, fue detectado experimentalmente en 1938.

La explicación relativista es muy simple: la fuente que se mueve transversalmente estásujeta a la “dilatación temporal”, por lo cual su frecuencia se modifica de acuerdo a laúltima relación vista y coincide con la frecuencia de la onda medida debido a que lafuente no se aleja ni se acerca del observador:

Siendo w 0 la frecuencia propia de la fuente, w la frecuencia (de la onda y de la fuente)medida por el observador, y V la velocidad transversal de la fuente. Nótese queel efecto Doppler transversal siempre da corrimiento al rojo (w < w 0 ).

Este planteo último y el tratamiento anterior pueden inducir al error de creer queel efecto Doppler tangencial y transversal son dos fenómenos distintos, cuandoen realidad se trata de un único efecto: el cambio de frecuencia de una ondadebido al movimiento relativo entre la fuente y el observador.

En el planteo inicial por razones didácticas se propuso arbitrariamente que la onda sepropagaba según el eje x , para luego tratar en forma independiente el caso de unafuente con movimiento transversal.Si hubiéramos analizado los cambios que se producirían sobre una onda cuando lafuente se mueve en cualquier dirección, obtendríamos una única relación general

válida para el Doppler transversal y longitudinal respectivamente. Esto lo haremos acontinuación.

Tratamiento general del efecto Doppler luminoso (enfoqueTratamiento general del efecto Doppler luminoso (enfoque ondulatorio)ondulatorio)

Nos interesa determinar la frecuencia medida por un observador inercial de una ondaemitida por una fuente móvil con velocidad vs, en relación a la frecuencia propia de lafuente (en reposo).Supongamos tener una fuente de ondas monocromática en reposo en un sistemainercial y un observador O en el punto A, como muestra la figura.



El observador medirá la misma frecuencia a la onda y a la fuente (w 0 ).Para evitar confusiones llamaremos u x y u y a las componentes de la velocidad (c ) depropagación de la onda.

A los efectos de estudiar solamente el cambio de frecuencia que medirá un observador O’ en movimiento respecto de O, la onda (con simetría esférica) que llega al punto Apuede ser considerada una onda escalar plana (fuente alejada). La dirección depropagación queda determinada por los cosenos directores del vector velocidad depropagación (c ). La expresión matemática es de la forma:

Para un observador O’ con velocidad V respecto de O, la fuente de ondas se muevecon v S = -V , formando un ángulo con la dirección de propagación. Podemos calcular lafunción de la onda para O’ aplicando las Transformaciones de Lorentz.

En el sistema primado la función de onda tendrá la misma forma matemática, aunquesus parámetros pueden tomar valores distintos que en el sistema O.



Ahora podemos dar la expresión general del efecto Doppler (tangencial y transversal)y una regla para evitar posibles errores de signos.Si establecemos arbitrariamente que la velocidad de la fuente V S sea positiva si sealeja del observador y negativa si se acerca, y el coseno del ángulo lotomamos siempre positivo, la frecuencia que éste le mide está dada por:

Dado que , siendo e el versor con la dirección y sentido depropagación de la luz, la relación anterior puede expresarse (Möller, "The Theory of Relativity" , pág 62):



NotaNotaEste efecto también puede ser tratado desde el punto de vista corpuscular,considerando a la luz formada por fotones con cantidad de movimiento y energía.En este caso se puede realizar el mismo tipo de análisis anterior y determinar cómo semodifica la energía del fotón, llegando al mismo resultado final del efecto Doppler.

Se propone al lector que haga el cálculo utilizando las transformaciones de Lorentz dela cantidad de movimiento y la energía (E/c ), que tienen la misma forma que las delespacio y el tiempo respectivamente.



Cantidad de movimientoCantidad de movimiento

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento esmediante su definición como el producto de la masa de un cuerpo material por suvelocidad, para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema

del impulso y la variación de la cantidad de movimiento.No obstante, luego del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo noresultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud,que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria paradescribir las interacciones.Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad demovimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.Para abordar el tema con un enfoque más moderno primero se deben analizar lasinteracciones en sus diferentes manifestaciones de acuerdo a los modelos clásicosconvencionales:

• La primera, que resulta clásica en mecánica racional, es considerar el choqueentre cuerpos materiales, aceptando implícitamente que entre ellos no hayfuerzas atractivas o repulsivas, siendo fortuito el encuentro. Aquí aparece lacuestión sobre choque elástico perfecto y choque plástico con pérdida deenergía.

• El siguiente tipo, campo-partícula sin pérdida de energía (choque elástico),resulta de considerar que cada partícula posee un campo asociado capaz deinteractuar con la otra, modificando sus trayectorias, velocidades y energías.Un ejemplo típico es el estudio de fuerzas centrales en mecánica analítica.En este modelo se considera que los campos actúan instantáneamente, esdecir a velocidad infinita, perdiendo su significado como ente físico real, paraser un formalismo auxiliar que simplifica su análisis. En esta categoría están laLey de Coulomb y la Ley de gravitación universal de Newton.

• El caso de interacción campo-partícula con pérdida de energía resulta máscomplejo pues aparece un tercer participante, un fotón con la energía disipada.Un ejemplo importante e ilustrativo que permite explicar el espectro continuo deemisión de rayos x, es el estudio de la radiación de frenado que ocurre conelectrones rápidos obligados a cambiar bruscamente de dirección por accióndel campo eléctrico de un núcleo atómico, con pérdida de energía por emisiónde radiación (fotón de radiación x).

• La interacción radiación-materia es el caso más ilustrativo de la limitación de

la definición usual de la cantidad de movimiento ( p=mv ). El efecto Compton,que ocurre entre fotones de rayos x o rayos gamma con electrones cuasi libres,es explicado convenientemente si el fotón posee una cantidad de movimientocuyo módulo está dado por:

c

h p

ν ⋅= , siendo h la constante de Planck y v la frecuencia.

El fotón y la partícula material modifican sus trayectorias, cantidades demovimiento y energías como resultado de una interacción.



Los cuatro casos descriptos tienen en común la transferencia de energía durante lainteracción y/o cambios de dirección del movimiento. A los efectos de poder predecir las consecuencias de una interacción de acuerdo a lo mostrado por la experiencia, esnecesario hacer extensivo el concepto de cantidad de movimiento a todos los entesfísicos capaces de transferir energía, siendo una magnitud vectorial con dirección ysentido de la velocidad de la partícula y cuyo comportamiento responde a leyes deconservación.

Esta magnitud, que nos permitirá calcular el estado final de los participantes luego deuna interacción, resulta ser:

1. Para partículas masivas v m p ⋅=

2. Para fotones en el vacío c c

h p

2

ν ⋅

=

Las leyes de conservación postuladas como Principios, necesarias para el análisis delas interacciones entre partículas en un sistema aislado (sin fuerzas exteriores), sean

partículas masivas o no, son:

1. El Principio de conservación de la energía2. El Principio de conservación de la cantidad de movimiento3. El Principio de conservación del momento angular

La gran matemática Emmy Noether (1882-1935) demostró en 1915 que estosPrincipios son propiedades de leyes de simetría del espacio y el tiempo. Unademostración de estos "Principios" en el marco de la mecánica analítica puede verseen el libro 1 de Landau-Lifshitz "Curso abreviado de Física Teórica". Se demuestraque:

1. La conservación de la energía sale de la uniformidad del tiempo.

2. La conservación de la cantidad de movimiento es consecuencia de lahomogeneidad del espacio.

3. La conservación del momento angular resulta de la isotropía del espacio.

Vamos a dedicarle atención al de la conservación de la cantidad de movimiento.En el apartado que sigue incorporo una demostración propia, válida para sistemasinerciales en el marco de la mecánica newtoniana.

Conservación de la cantidad de movimiento (no relativista).Conservación de la cantidad de movimiento (no relativista).

La isotropía y la homogeneidad espacial requieren que las transformaciones decoordenadas entre sistemas inerciales sean lineales.La uniformidad del tiempo y la suposición de que su evolución es la misma en todoslos sistemas inerciales hace que la coordenada temporal sea absoluta.

Estas propiedades del espacio y el tiempo permiten deducir fácilmente lasTransformaciones de Galileo. Veamos su desarrollo:

Sean dos sistemas inerciales O y O’ en movimiento relativo con velocidad V según eleje x , coincidentes en el instante t=0 .



Las transformaciones lineales son

x’ = a1 x + a2 t y’ = y z’ = z

Consideremos un objeto en reposo en O en la coordenada x. Para cualquier observador de O’ el objeto se mueve con velocidad v’ x’ = - V

Derivando obtenemos:

v’x’ = - V = a1 vx + a2 = a2 a2 = -V

Consideremos ahora un objeto con velocidad V en O. Para el observador O’ el objetoestá en reposo respecto de él.Derivando obtenemos:

v’x’ = 0 = a1 vx + a2 = a1 V – V a1 = 1

Reemplazando resultan las Transformaciones de Galileo

x’ = x - V t y’ = y z’ = z

Mostraremos ahora que el Principio de conservación de la cantidad de movimiento seobtiene como consecuencia de las Transformaciones de Galileo.

Estas transformaciones tienen una propiedad muy interesante: la diferencia de dosvelocidades cualesquiera, sean de un objeto o de cuerpos diferentes y en el mismoinstante o en instantes distintos, es la misma para todo observador inercial, es decir que es absoluta. Ello se debe a que las velocidades medidas por dos observadoresinerciales están relacionadas por:

v’x’ = vx – V v’y’ = vy v’z’ = vz

Nótese que cuando se calcula la diferencia entre dos velocidades se simplifica lavelocidad V, con lo cual se hace independiente de la velocidad relativa entre sistemas.

Ahora analicemos el caso de una interacción entre dos cuerpos.Consideremos dos partículas (1 y 2) que interactúan. Midiendo su velocidad antes (a)y después (d) de la interacción podemos plantear las siguientes relaciones absolutas,válidas para las tres componentes:

v1d – v1a = cte = k1 v2a – v2d = cte = k2

Si las partículas son masivas, con masas m1 y m2 respectivamente, puededeterminarse la relación k 1 / k 2 en concordancia con la definición de masa relativa deMach (1838-1916).Se define como masa inercial relativa entre dos partículas que interactúan, a larelación de los módulos de las aceleraciones medias sufridas en la interacción.

m21 = m2 / m1 = a1 / a2

Siendo la aceleración media la diferencia de velocidades dividida el tiempo deinteracción, que es el mismo para ambas partículas, resulta:

m21 = m2 / m1 = a1 / a2 = Δv1 / Δv2 = k1 / k2



En consecuencia, reemplazando obtenemos el Principio de conservación de lacantidad de movimiento.

m1 v1a + m2 v2a = m1 v1d + m2 v2d

Nota Un aspecto interesante es que la demostración es aplicable a todo tipo de partículas,incluyendo aquellas cuya masa propia sea nula (fotones). Sin embargo, siconsideramos válida la definición de masa dada por Mach, toda partícula con lacapacidad de interactuar tiene masa asociada. Este hecho genera un nuevo dilema,pues en el caso de fotones se acepta que no son masivos (masa propia nula). Másadelante, en dinámica relativista, veremos que este tema admite distintos tratamientosy es actualmente un motivo de discusión.

Conservación de la cantidad de movimiento en RelatividadConservación de la cantidad de movimiento en Relatividad Especial.Especial.

Masa relativista.Masa relativista.

El Principio de Relatividad establece que las leyes válidas de la física deben ser invariantes ante transformaciones de Lorentz, esto es que conserven su forma en todosistema inercial.

Las leyes describen comportamientos mediante ecuaciones que relacionanmagnitudes, las cuales pueden tomar valores distintos respecto de diferentessistemas, es decir ser relativas al sistema de referencia.En consecuencia, el Principio de Relatividad nos brinda una herramienta muyimportante para la formulación y/o verificación de leyes.

El procedimiento es el siguiente: definidas las magnitudes involucradas en una leyclásica, válida en un sistema inercial, se aplican las transformaciones de Lorentz y sedetermina cómo deben modificarse dichas magnitudes para que la ley conserve suforma. Luego, usando el Principio de Correspondencia, se verifica que la ley relativistase transforme en la clásica para c tendiendo a infinito.Finalmente, se analiza la conveniencia que dicha formulación tiene frente a otrasopciones posibles.

Puede suceder que existan diferentes opciones para obtener una dada ley. De hechoese fue el caso cuando se intentó establecer le ley fundamental de la mecánicarelativista. Einstein utilizó inicialmente la Ley de Newton expresada mediante F =ma.La forma en que se transforman la Fuerza y la aceleración cuando se pasa de uno aotro sistema de referencia es diferente, y esa diferencia es distinta según se trate de

las componentes paralelas a la velocidad relativa entre sistemas o transversales a ella.En consecuencia, si se pretende que la ley de Newton así expresada (F =ma) searelativista, la masa debe tomar valores distintos según sea una dirección paralela a suvelocidad o transversal a ella.Esta pérdida de isotropía de la masa no resultó “atractiva” conceptualmente, y seresolvió proponiendo F =d p /dt como ley de la mecánica, pues esta forma de expresar la Ley de Newton conserva su forma ante Transformaciones de Lorentz, sin que lamasa pierda su isotropía.

Si aceptamos como definición de cantidad de movimiento p=mv , siendo m la masa,debemos determinar cómo se modifican las magnitudes involucradas para que la leyde conservación de la cantidad de movimiento sea válida en todos los sistemas de

referencia inerciales.



La modificación de las velocidades ya fue resuelta con el teorema de adición develocidades, por lo cual nos queda por determinar cómo debería modificarse la masapara que la Ley tenga la misma forma en todos los sistemas inerciales.

Existen diversas maneras de encarar el tema. La mayoría (sino todos) de los enfoquesexistentes en la extensa bibliografía sobre Relatividad Especial lo analizan mediantechoque entre dos partículas, ya sea elástico con cambio de dirección o inelástico. Alrespecto, desarrollé una demostración que se distingue por su simpleza y porque norequiere choque entre partículas. Veamos su desarrollo:

Dos partículas idénticas se mueven según muestra el esquema. Por isotropíaespacial sus masas deben ser iguales.

En estas condiciones el centro de masa del sistema permanece en reposo y sucantidad de movimiento es nula. Al sistema de referencia en el cual el centro de masaestá en reposo se lo denomina Sistema de centro de masa (o inercia).Dado que es un planteo unidimensional ( x;x’ ) no indicaremos los subíndices de los

ejes.

Para otro observador que se mueva con velocidad V = v , la partícula 1 está en reposoy el centro de masa posee una velocidad v’ CM = -v . A este sistema de referencia en elcual una partícula está en reposo se lo denomina Sistema de Laboratorio.La cantidad de movimiento en el Sistema de Laboratorio es:

Siendo m’ la masa de la partícula 2, con velocidad v’ 2 y m0 la masa de la partícula 1,en reposo. Aquí la condición de simetría no corresponde pues las partículas tienen

distinto estado de movimiento.Despejando obtenemos:

Aplicando las transformaciones de las velocidades podemos calcular v’ 2



Resolviendo esta ecuación algebraica podemos hallar v’ CM en función de v’ 2 . Por tratarse de una ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones, pero una sola consignificado físico (pues v' CM < v' 2

). Con la condición de que el módulo de la velocidaddel centro de masa debe ser menor que el de la velocidad de la partícula 2,obtenemos:

Reemplazando en la expresión de la masa y operando obtenemos:

Siendo m0 la masa de la partícula 1, en reposo, y m’ la masa de la partícula 2 enmovimiento.Dado que las partículas son idénticas en reposo, podemos generalizar la expresiónanterior y aplicarla para una partícula en movimiento.Esta masa variable con la velocidad, junto al Principio de Equivalencia entre masa yenergía, dieron lugar a la definición de masa relativista. Volveremos a tratar el temaluego del estudio sobre energía relativista.

Es muy importante destacar dos cosas:1. En la expresión anterior no aparece explícitamente la velocidad relativa entre

sistemas de referencia.La masa relativista expresa el valor de la masa en función de la velocidad queposee respecto de cada observador inercial. La inercia de un cuerpo materiales relativa al observador y depende de su velocidad.

2. Hemos supuesto que la masa propia de la partícula m0 es invariante, es decir que toma el mismo valor en cualquier sistema de referencia inercial. Ello no esarbitrario pues si así no fuera los sistemas inerciales no serían equivalentes yaque habría una forma de distinguirlos.

Operando la última expresión y usando la definición clásica de cantidad de movimiento( p=mv ), obtenemos:

Siendo m la masa relativista y m0 la masa en reposo que, rigurosamente, deberíallamarse masa propia.

La formulación de la Relatividad en un espacio de 4 dimensiones (Minkowski, 1864-1909) dio lugar, en los últimos 20 años, a que especialistas reconocidos tuvieranextensas, caprichosas e innecesarias discusiones, sobre la conveniencia o no de

utilizar la masa relativista.



En el caso en que se quiera evitar el uso de masa relativista debe redefinirse lacantidad de movimiento (ver la expresión siguiente).

Finalmente llegamos a la conclusión que la cantidad de movimiento es válida en elmarco de la Relatividad Especial si en cualquier sistema de referencia inercial quedadeterminada por la relación:

Siendo m0 la masa en reposo y v la velocidad de la partícula en dicho sistema.

Esta definición de cantidad de movimiento es compatible con p=mv sólo si aceptamosque la masa varía con la velocidad. Por ello resulta conveniente, cuando se tratenrelaciones o leyes que involucren a la masa, indicar a la masa en reposo con el

subíndice 0.

En este Curso utilizaremos m en el sentido de masa relativista y m0 para la masa enreposo, manteniendo la definición “newtoniana” de la cantidad de movimiento.

Luego de este análisis es fácil mostrar para una interacción entre dos partículas en unsistema aislado, que el Principio de conservación de la cantidad de movimiento secumple en todos los sistemas de referencia inerciales.

NotaNotaDe acuerdo con la definición clásica de cantidad de movimiento ( p=mv ) debemos

aceptar que esta Ley de conservación resulta válida si aceptamos que la masa de uncuerpo depende de su velocidad (más rigurosamente de su contenido energético).El concepto de masa establecido por la mecánica clásica es que su valor es unamedida de su inercia, es decir la tendencia a conservar su velocidad. Aceptar que lainercia de un cuerpo material aumenta con la velocidad, hecho que fue confirmadoexperimentalmente, tiene otras implicancias muy profundas.Tal vez la más importante sea su relación con la masa gravitatoria.El estudio de caída libre relativista da resultados diferentes si el campo gravitatorio seaplica sobre la masa relativista (caso correcto) o sobre la masa en reposo.

En la carpeta Temas Especiales se trata la “Caída libre relativista”, con ambostratamientos.



Dinámica relativistaDinámica relativista

La Teoría Mecánica puede ser formulada de manera axiomática de varias maneras, loque históricamente dio lugar a diferentes enfoques (Newton, Lagrange, Poincaré,Einstein). Sin embargo, todos ellos tienen en común que sus postulados básicos, de

una u otra forma, se fundamentan en los mismos tres aspectos distintivos delcomportamiento de la naturaleza, que son:

1. Cómo suceden los fenómenos para observadores distintos (relatividad ).2. Cómo responden cuerpos distintos ante un mismo requerimiento (causalidad ).3. Cómo se comportan los cuerpos entre sí (interacciones).

Para Newton (1643-1727) la formulación es con sus tres leyes (Principios), que enconjunto responden exactamente a cada uno de los puntos anteriores, y es de validezlimitada a sistemas de referencia inerciales.Este enfoque no requiere de ningún otro postulado básico, que alguna bibliografíaredundantemente incorpora, como por ejemplo el llamado Principio de independencia

de los movimientos, que resulta una consecuencia matemática del carácter vectorialde las magnitudes (velocidad, aceleración, fuerza).

Muchos autores, particularmente los correspondientes a la denominada “escuelaamericana” (Sears, Ingard y Kraushaar, Feynman), no suelen analizar en profundidadla fundamentación de la Mecánica, y tratan al Principio de Inercia (primera ley) como siestuviera contenido en la segunda ley de Newton, despreciando o ignorando unaspecto fundamental del enunciado, por el cual la primera ley es un Principio.Como veremos, esta paupérrima interpretación induce a cometer dos errores graves:no comprender el significado del Primer Principio y creer que un Principio esdemostrable.

Veamos más en detalle el tema en cuestión.La primera ley de Newton establece que "Si sobre un cuerpo no actúa fuerza algunaéste permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme (MRU)".No hay duda que el mismo describe explícitamente la ley de inercia de los cuerpos,desarrollada por Galileo.Sin embargo, un aspecto muy significativo de este enunciado es que implícitamentecontiene el Principio de Relatividad de los movimientos, ya que trata a ambos estados(reposo y MRU) como estados naturales equivalentes (ver A. Sommerfeld, "Lectureson Theoretical Physics - Mechanics"). Este simple hecho tiene varias consecuenciasimportantes:

•

Relaciona a observadores inerciales en movimiento relativo, pues un cuerpo enreposo para un observador se moverá con MRU para el otro.

• Incorpora las transformaciones de Galileo, ya que son las únicas quesatisfacen la equivalencia entre reposo y MRU conservando el carácter absoluto del tiempo.

• Generaliza la teoría a todos los sistemas inerciales conteniendo, enconsecuencia, el Principio de Relatividad de Galileo.

En mi opinión, postular la equivalencia entre el reposo y el MRU es el aspecto clave deeste enunciado y le da entidad de Principio a la primera ley de Newton.

Si el objetivo de la primera ley tan sólo fuera establecer que la velocidad es constantecuando no hay fuerzas aplicadas, ello ya estaría contenido en la segunda ley y no



haría falta referirse al estado de reposo (V=0) pues éste sería un caso particular.Obviamente, con esta interpretación parcial la primera ley de Newton no tendría razónde ser.Probablemente esta interpretación incompleta del Principio de Inercia tenga su origenen la forma en que fuera enunciado por Newton, quién debió desterrar las ideasaristotélicas propias de esa época, por las cuales se asumía que para que un cuerpose mueva hay que estar empujándolo.

Aunque este Curso de Relatividad no requiere el conocimiento de Mecánica Analítica(Euler, Lagrange, Hamilton), señalemos que su formulación se basa en un Principioextremal que resulta válido en cualquier sistema de referencia (inercial o no), mientrasque las interacciones se tratan asumiendo que pueden ser descritas por funcionescontinuas que cumplen ciertos requisitos. Este enfoque es más general que elnewtoniano y su estudio es necesario para la fundamentación y desarrollo de laMecánica Cuántica.

Siguiendo las ideas de Poincaré y Einstein, la teoría de la mecánica, ya sea clásica o

relativista, puede fundamentarse en las propiedades de simetría del espacio y deltiempo, y en el Principio de Relatividad, indicando con esto último que las leyes de lamecánica son las mismas en todos los sistemas inerciales.La homogeneidad e isotropía del espacio y la uniformidad del tiempo, aceptados comopostulados válidos para los sistemas inerciales, permiten deducir como teorema lastransformaciones de coordenadas que correspondan, las de Galileo (mecánica clásica)si asumimos que el tiempo es absoluto, o las de Lorentz (mecánica relativista) siaceptamos que la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos losobservadores inerciales (ver Transformaciones de Lorentz).En este enfoque la segunda ley de Newton ya no es un Principio, es la definición defuerza.Resumiendo, los axiomas de la teoría mecánica bajo este encuadre son:

• Principio de Relatividad.• Homogeneidad e isotropía del espacio.• Uniformidad del tiempo.

Válidos para todo observador inercial.

Nota importanteNota importanteEstudios más profundos sobre las propiedades del espacio y el tiempo, iniciados por Poincaré (1904) y Minkowski (1908), y continuados por N. Mermin ("Relativity without light", Am. J. Phys. 52 (2), February 1984) y A. Logunov (1998), permitieron mostrar que la Teoría de Relatividad queda rigurosamente establecida postulando que losfenómenos físicos suceden en un espacio cuadridimensional cuya geometría es pseudo euclídea.Al fijar la métrica no es necesario incorporar el Principio de Relatividad ni la constancia(absoluta) de la velocidad de la luz, pues ello se obtiene como consecuencia.Un análisis completo puede verse en el extraordinario libro de A. Logunov ("Curso deTeoría de la Relatividad y de la Gravitación" , lecciones 1 y 2).

La condición de invariancia de la velocidad de la luz en el vacío provocó la revisión delos conceptos sobre el espacio y el tiempo, modificando la formulación de la mecánicadesde sus cimientos. Las Transformaciones de Lorentz ocuparon el lugar de las deGalileo y el Principio de Relatividad brindó la herramienta para la formulación de leyes

relativistas.



Una ley clásica resulta relativista sólo si conserva su forma en los sistemas inerciales.Como vimos, esto condiciona a las variables físicas que intervienen en ella pues, antetransformaciones de Lorentz, deben modificarse de tal manera que la expresión de laley sea la misma.

Pedir que las leyes conserven su forma no es un nuevo requisito. Cuando enmecánica clásica decimos que las leyes de Newton son válidas en todos los sistemasinerciales es exactamente decir que conservan su forma ante transformaciones deGalileo. Tal vez esto no era tan notorio en la mecánica clásica debido a que la fuerza,la masa y la aceleración son magnitudes invariantes ante transformaciones de Galileo,es decir, no modifican su valor al cambiar de un sistema inercial a otro inercial.

Lo nuevo en Relatividad Especial es el grupo de transformaciones que utilizamos(Lorentz), cuya aplicación usualmente provoca que las magnitudes involucradas enuna ley sean relativas al sistema de referencia. En consecuencia, corresponde ser muy cuidadoso en la definición de las mismas.

MasaMasa

El concepto básico que asumiremos es que la masa de un cuerpo, partícula o entefísico capaz de interactuar con otro, es una medida de su inercia, y su definicióndebe ser compatible con la conservación de la cantidad de movimiento, tema yatratado.

Llamaremos partículas masivas a toda partícula que posea masa en reposo distinta decero. Por razones históricas, las radiaciones (campos y fotones) se denominanarbitrariamente no masivas pues no poseen masa propia, aunque sí poseen masarelativista si se adopta p=mv como definición de cantidad de movimiento.

• Como veremos oportunamente, la masa inercial de un cuerpo depende de sucontenido energético, por lo cual el concepto de masa como cantidad demateria no resulta muy adecuado en esta formulación.

• La definición de Newton, como la constante de proporcionalidad entre la fuerzay la aceleración, que se mide con una balanza, hay que descartarla totalmentepues la fuerza y la aceleración no resultan colineales en mecánica relativista.Dado que ésta definición es utilizada por algunos pocos autores, digamos queen ese caso la masa deja de ser una magnitud escalar pues toma valoresdistintos según la dirección que se trate.

•

Una definición adecuada parece ser la de Maupertuis (m=p/v ): la masa inerciales el cociente entre los módulos de la cantidad de movimiento y de la velocidadde la partícula. Esta definición fue analizada por el matemático Hermann Weyl(1885-1955) y puede adaptarse para partículas no masivas (fotones). Tiene elinconveniente que requiere previamente la definición de la cantidad demovimiento.

• La definición operativa de Mach de masa relativa, utilizada en un apartadoanterior, tiene una restricción formal menor, su definición no puede aplicarse aun sistema de más de dos cuerpos. Sin embargo, resulta una opción atractiva yes posible adecuarla incluso para partículas no masivas (fotones). En todos loscasos las mediciones se deben realizar antes y después de la interacción.

Nosotros vamos a mantener el concepto de masa como una medida de la inercia.



NotaNotaUn análisis más profundo nos demuestra que el fenómeno de inercia de los cuerpostiene dos causas de distinta naturaleza: la masa relativista, que es una propiedad delcuerpo, y la imposibilidad de superar la velocidad de la luz, que es una consecuenciade las propiedades del espacio y del tiempo.Por el momento, para partículas masivas, adoptaremos la definición de masa deMach. Esta magnitud es relativa al sistema de referencia, y queda determinada por laexpresión de masa relativista, ya vista en el apartado anterior.

Para partículas no masivas (fotones) aceptemos por ahora que su masa inercial estádada por:

El caso de masa inercial distribuida sobre un campo de radiación electromagnética esmás complejo y requiere el conocimiento del vector de Poynting, por lo cual no serátratado en este curso inicial.

Luego, cuando veamos energía y el Principio de equivalencia entre masa yenergía, daremos una definición precisa, más amplia y general, aplicable entodos los casos.

Cantidad de movimientoCantidad de movimientoDefinimos como cantidad de movimiento a la magnitud vectorial p=mv , siendo m lamasa inercial.

FuerzaFuerza

La mecánica relativista puede formalmente proponerse partiendo de la definición defuerza a través de la relación vectorial:

Siendo p=mv la cantidad de movimiento, con m la masa inercial que es la masarelativista, recientemente vista.

Considerando que ésta ley debe conservar su forma ante Transformaciones deLorentz, se pueden obtener las fórmulas de transformación de las tres (3)componentes de la fuerza, resultando expresiones complicadas (ver Möller, “TheTheory of Relativity ”), debido a que la fuerza y la aceleración pueden no ser paralelas.

Desarrollando la expresión anterior obtenemos:



Resulta evidente que la fuerza y la aceleración no son colineales en general.Ésta característica es una de las principales diferencias con la mecánica clásica y es larazón por lo que se dice que la fuerza es “conceptualmente” diferente en relatividad ala aceptada en la mecánica newtoniana.

Asimismo, corresponde reiterar que la expresión F =ma no es válida pues no esequivalente a la definición de fuerza que hemos adoptado y no debería ser utilizada.

El Teorema del Impulso y la variación de la cantidad de movimiento sale naturalmentede la definición de fuerza.

Resulta claro que si no hay fuerzas exteriores aplicadas se cumple la conservación dela cantidad de movimiento.

Permítanme ahora tratar una relación muy importante, derivada de la definición defuerza, cuya demostración será dada luego de tratar el tema de energía relativista. Ellaes:

Siendo v la velocidad de la partícula. Si descomponemos esta relación vectorial en doscomponentes, transversal y tangencial a la velocidad, obtenemos:

Esta última expresión muestra claramente que si la velocidad de una partícula tiende ala velocidad de la luz (c), la aceleración en la dirección del movimiento tiende a cero(0), cualquiera sea el valor de la fuerza aplicada. En consecuencia, ningún cuerpomaterial puede alcanzar la velocidad de la luz en un tiempo finito.

Ahora supongamos que tenemos una partícula (fotón) que se desplaza a la velocidad

de la luz, sobre la cual actúa una fuerza.

Las expresiones vistas muestran claramente que la aceleración tangencial siempreserá nula, por lo cual no es posible modificar el módulo de su velocidad (c ). Sóloes posible modificar su dirección pues la aceleración transversal puede no ser nula. Como veremos, la masa relativista del fotón es mf = hv/c 2 .

En la carpeta Temas Especiales se tratará el tema “Curvatura de la luz en RelatividadEspecial".



Por otro lado, si reemplazamos la masa relativista y despejamos F , resulta:

Estas expresiones han dado lugar a que algunos autores que usan solamente la masaen reposo consideren, erróneamente, que la partícula posee una inercia “longitudinal”diferente de la “transversal”. Obviamente el error consiste en aceptar como válida laexpresión F =ma. En la formulación planteada en este curso la masa que mide lainercia es la masa relativista, que es isótropa.

ConclusionesConclusiones

• Ningún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz en el vacío.• Ninguna radiación puede modificar el módulo de su velocidad en el vacío.• Las radiaciones poseen masa inercial m>0 y masa propia nula.• Fuerza y aceleración no son colineales en general.

NotaNotaUn fotón puede ser considerado una partícula pues reúne las tres característicasnecesarias:

1. Posee energía (hv ).2. Posee cantidad de movimiento (hv/c ).3. Posee estructura (campo, longitud de coherencia).



Trabajo y EnergíaTrabajo y Energía

Comenzaremos el estudio sobre energía tratando el caso de una partícula (puntual) demasa propia m0 , en estado libre en un sistema inercial. Cuando aplicamos una fuerzaexterna ello provocará un cambio de su cantidad de movimiento que podemos calcular

con el Teorema del Impulso, como vimos en el apartado anterior.

Ahora vamos a profundizar el estudio de las modificaciones dinámicas que sufre lapartícula sobre la que actúa una fuerza externa, a través del Trabajo (W ) que realiza lafuerza aplicada. El trabajo elemental de una fuerza se define como:

Usando la definición de fuerza obtenemos:

Recordando la expresión de la masa relativista, tenemos:

En consecuencia, despejando m v dv , quedará

Reemplazando en la ecuación del trabajo elemental dW, queda una expresión muysencilla:

Resulta evidente que el trabajo elemental realizado se tradujo en una variación de sumasa relativista. Dado que la misma sólo depende de la velocidad, es inmediato ver que la variación de la masa se debe a la variación de la velocidad de la partícula.

El Trabajo de la Fuerza a lo largo de un camino quedará expresado por:



Siendo m1 y m2 la masa de la partícula en el punto inicial y final, respectivamente.Reemplazando la masa relativista queda:

En mecánica clásica el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de laenergía cinética de la partícula (Teorema de las fuerzas vivas). Veamos si el cálculorelativista es compatible con dicho Teorema, como debería ser de acuerdo al Principiode Correspondencia. Para ello debemos analizar qué sucede cuando .

Debemos ser cuidadosos como hacemos este análisis, pues si tomamos límitepara , resulta W=0 . En la aproximación hemos tirado el agua de la tina con elbebé (v ) y el patito (c ), es decir que directamente eliminamos las velocidades.

Para evitar esto último desarrollemos en serie de McLaurin (1698 - 1746) la siguienteexpresión genérica:

Haciendo cálculos y quedándonos con la aproximación de primer orden, tenemos:

Reemplazando en la ecuación original y operando, se obtiene el resultado esperado.

En consecuencia, para una partícula sobre la cual aplicamos una fuerza a lo largo deun camino, el Trabajo de la fuerza es igual a la variación de su energía cinética, yella está implícitamente incorporada en la variación de la masa relativista.

Nótese que la trayectoria, la masa y la posición son relativas al sistema de referencia.En consecuencia, el trabajo de una fuerza será también una magnitud relativa alsistema de referencia.



Ahora veamos cómo se calcula la energía cinética que posee una partícula. Si en laposición inicial la partícula está en reposo, entonces el trabajo (W ) de la fuerza seráigual a la energía cinética final. Es decir:

Fuerza relativistaFuerza relativista

En el apartado anterior (el de dinámica) definimos la fuerza por la relación F =d p /dt .Desarrollando esta expresión tenemos:

Utilizando la expresión dW=c 2 dm se obtiene:

Despejando se llega a la importante relación

Esta expresión tiene varias consecuencias destacables, ya vistas:

1. Demuestra que ningún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de laluz en el vacío (ver apartado anterior).

2. Demuestra que ninguna radiación o partícula no masiva puede modificar elmódulo de su velocidad (ver apartado anterior).

3. Muestra la inconsistencia relativista de la Ley de Newton si la misma esexpresada por F =ma (ver apartado anterior).



Principio de Equivalencia entre Masa y EnergíaPrincipio de Equivalencia entre Masa y Energía

En un breve trabajo (septiembre de 1905) intitulado “¿Depende la inercia de un cuerpode su contenido energético? ”, Einstein concluye que si un cuerpo irradia luz de energíaL, la masa del cuerpo debe disminuir en L/c 2 , proponiendo una forma de verificación

utilizando un elemento radiactivo (Radio). Esta publicación científica condujo a la máscélebre fórmula en la historia de la ciencia, conocida como Principio de equivalenciaentre masa y energía.

E = m c 2

Esta relación es considerada un Principio debido a que no tiene una demostracióngeneral y se comprobó que es válida universalmente para toda forma de energía. Lademostración vista en el apartado anterior solamente vincula la variación de la energíacinética con el incremento de masa de una partícula puntual, equivalente al Teoremade las fuerzas vivas de la mecánica de Newton.

La energía total relativista (E ) es una propiedad de todo sistema físico, masivo o nomasivo, cuyo valor aumenta (disminuye) cuando se le entrega (quita) energía por cualquier proceso, y toma el valor cero sólo cuando el sistema se aniquila(desaparece). En consecuencia, para un determinado sistema de referencia inercial,su valor depende del estado del sistema físico y sólo será constante si el sistema físicoestá aislado. Resulta evidente, además, que la magnitud Energía total es relativa alsistema de referencia.

Calentar un sistema macroscópico, darle cuerda a un reloj, aumentar la velocidad deuna partícula, o la absorción de radiación por parte de un gas, son distintos ejemplosde procesos que provocan un incremento de la inercia (masa) del sistema que se trate,que cumple con:

Siendo la energía entregada al sistema en el proceso. La magnitud que mide lainercia es la masa relativista.Por supuesto que si el sistema pierde energía por algún proceso cualquiera (radiación,enfriamiento, etc.), el sistema disminuye su masa de acuerdo con la misma relación.

Para una partícula puntual, que asumimos sin estructura, el único proceso de

transferencia de energía que se considera posible es el trabajo mecánico (fuerzaaplicada), producto de una interacción campo-partícula, cumpliéndose la relación

dE = dW = F.d s = v.d p.

En este caso se considera que toda la energía entregada se transforma en cinética(ver capítulo anterior), variando la masa relativista sin modificar la masa propia. Estasuposición es la única razón por la cual la masa propia resulta constante.

Corresponde aclarar que las partículas reales, incluso las fundamentales, podrían noser puntuales (y tener estructura). En este caso sólo podemos asegurar que la masapropia permanece constante sólo si la partícula está libre de interacciones externas.

Por otro lado, si una partícula real está sometida a una interacción tiene fuerzasaplicadas, aspecto que Poincaré analizó para el caso del electrón (tensiones de



Poincaré), que muy probablemente modifiquen su morfología y configuración espacial.En consecuencia, en el marco de la Teoría Especial de Relatividad, no es posibleasegurar la constancia de la masa propia de una partícula acelerada.

Este Principio establece nuevos conceptos que deben destacarse:

1. La energía relativista E representa la energía total que se podría obtener (enforma de radiación) si lográramos convertir toda la masa relativista en energía,tal como sucede en el fenómeno conocido como "aniquilación de pares". Por primera vez se dispone de un cálculo de energía total válido para cualquier sistema físico, cuyo valor tiene significado físico. Se hace notar que lasmagnitudes tales como Energía interna (Termodinámica), Energía potencial(Campos conservativos), Energía mecánica (Mecánica clásica), están definidasa menos de una constante arbitraria y su valor numérico no tiene significadofísico.

2. La energía total de una partícula en reposo, “almacenada” en su masa propia,

está dada por E=m0 c 2

.Los mecanismos de conversión de masa en energía radiante y viceversa,fueron estudiados durante la primera mitad del siglo XX, principalmente con elformalismo de la Teoría Cuántica de Campos (iniciada en la década del 20),actualmente en desarrollo.

3. El Principio permite dar una definición de masa (relativista) compatible conpartículas no masivas, es decir sin masa propia (fotones), generando unacoherencia lógica, general y sin limitaciones, con la definición de cantidad demovimiento propuesta ( p=mv ).Se define como masa de cualquier sistema físico, sea puntual o extenso,masivo o no masivo (masa propia nula), al escalar obtenido del cociente entre

la Energía total E del sistema y el cuadrado de la velocidad de la luz en elvacío.Su expresión matemática es: m = E/c 2

En consecuencia, podemos dar una definición precisa para la cantidad demovimiento, válida para partículas masivas y no masivas:

p = E/c 2 v , siendo E la energía total

En el apartado Temas Especiales se tratará la aplicación de este concepto enel artículo “Curvatura de la luz en Relatividad Especial”.

4. Los Principios de conservación de la masa y de la energía, que se formularonde manera independiente para sistemas aislados, ahora se relacionan en unúnico Principio pues masa y energía están relacionadas por el Principio deEquivalencia entre masa y energía.

En consecuencia, el Principio de Equivalencia podría (y debería) ser formulado de lasiguiente manera:

El contenido total de energía de un ente físico cualquiera es igual a su masarelativista multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz

NotaNota

Muchos autores, especialmente los dedicados a la física de partículas, proponen suvalidez solamente para cuerpos en reposo, con argumentos poco convincentes queresultan ser los mismos por los cuales tampoco aceptan la masa relativista. Lo más



inexplicable es que luego usan los conceptos que rechazan.En su trabajo original de tres carillas, Einstein analiza la emisión de radiación y lavariación de la masa en la forma usual del formalismo de la teoría, es decir desde elpunto de vista de dos observadores inerciales, uno en reposo respecto del cuerpo y elotro en movimiento con velocidad constante.Proponer que esa demostración es sólo válida para cuerpos en reposo es falso, sincriterio y ridículo.

Creación y Aniquilación de paresCreación y Aniquilación de pares

Este singular fenómeno no se conocía en el inicio de la Teoría de Relatividad y sudescubrimiento se debió justamente a dicha teoría. En 1928 el ingeniero electricista(luego matemático y posteriormente doctor en física) Paul Dirac (1902-1984) predijo laexistencia de antimateria al relacionar la mecánica cuántica con la relatividad.El positrón (e+), que es la antipartícula del electrón (e-) y posee sus mismaspropiedades salvo la carga, que es positiva, fue observado por primera vez por Anderson en 1932.

La creación de pares es el proceso por el cual una partícula (masiva o no), de energíasuficiente y bajo ciertas condiciones, crea dos o más partículas diferentes.Este fenómeno es típico en los aceleradores de partículas, en las reaccionesnucleares y en la radiación cósmica.

Nos interesa tratar el caso de creación de pares obtenidos de fotones de alta energía.La cantidad de movimiento de un fotón es distinta de cero cualquiera sea el sistema dereferencia que se elija, mientras que para dos partículas masivas, en el particular sistema de su centro de masa, resulta nula.En consecuencia, teniendo en cuenta que en ausencia de fuerzas exteriores laconservación de la cantidad de movimiento debe ser válida en todos los sistemasinerciales, la creación de pares a partir de un fotón aislado no es viable. Deberecordarse que en este marco teórico la velocidad relativa entre sistemas inerciales (V)siempre es menor que c.Para fotones, la ocurrencia del fenómeno indefectiblemente requiere que el fotóninteractúe con algún otro ente físico real, dado que esta condición es consistente conel Principio de conservación de la cantidad de movimiento.

A modo de ejemplo vamos a describir la fenomenología de un caso característico, enel sistema de referencia en el que el agente perturbador esté en reposo luego de lainteracción:

Si un fotón de alta energía (gamma) es perturbado (se desconoce cómo es el procesodisparador del fenómeno) por un núcleo, el fotón se aniquila y se crean dos o máspartículas masivas. El caso más frecuente es la creación de un electrón y un positrón.La energía de un electrón (positrón) en reposo es E 0 = m0 c 2 = 0.511 Mev .En consecuencia, para la creación de un par electrón-positrón la energía del fotóndebe ser mayor que 1.022 Mev .Si el fotón es más energético (E fotón > 1.022 Mev ) las partículas creadas tendrántambién energía cinética (en general idéntica), cumpliéndose las leyes deconservación de la energía y de la cantidad de movimiento. Cuanto mayor sea laenergía del fotón madre, mayor será la energía cinética de las partículas creadas.

Por conservación del momento angular el fotón gamma inicial, el electrón y el positrón,

tienen sus velocidades en un mismo plano. Suponiendo que el plano es el ( x,y ) y quela dirección inicial del fotón es coincidente con el eje x , tenemos:



Este fenómeno, que es tratado en la Teoría Cuántica de Campos (QFT), ha tenidodiferentes interpretaciones (Fock, Feynman, Stueckelberg), particularmente en eltratamiento cuántico. En todas ellas se cumplen las relaciones relativistas antes ydespués del proceso, pero no necesariamente durante el mismo, lo cual puede ser considerado una limitación del modelo teórico utilizado (QFT).

En las relaciones anteriores no se ha tenido en cuenta la energía de enlace entreelectrón y positrón que se atraen, pues se considera que es despreciable frente a laenergía del fotón madre aunque, como veremos, esto es seriamente discutible.

Analicemos algunas dificultades del modelo teórico desde el punto de vistarelativista. Por el Principio de conservación de la carga, que postula la conservación dela carga total del universo, las dos partículas deben crearse simultáneamente y ellosólo es posible si los eventos ocurren en el mismo punto (ver el capítulo desimultaneidad). Si la aniquilación del fotón y la creación del par ocurren en un mismopunto, la energía necesaria para separarlas se hace infinita por la atracción eléctricaentre electrón y positrón, y no se cumple la conservación de la energía.En el tratamiento cuántico Feynman utilizó el Principio de Incerteza (no se conserva la

energía durante el tiempo del proceso de creación ni está definida la posición de cadapartícula), y la postulación de fotones "virtuales" con velocidades mayores que c parano violar el principio de causalidad, con lo cual el modelo se ajustó muy bien a losresultados experimentales.No obstante y dadas las transgresiones relativistas, considero que no sabemos muchosobre el proceso real.

Se ha confirmado experimentalmente que una vez creado un positrón su condiciónmás probable es que se vincule con un electrón formando un sistema metaestableexcitado, llamado “positronio”, con niveles de energía, y cuya vida media es del ordende 10-7seg. Aparentemente no tiene un nivel fundamental estable.

Durante este lapso el positronio (en reposo) decae emitiendo fotones poco energéticos(como cualquier átomo excitado), y finalmente se aniquila en dos fotones gammaidénticos de 0.511 Mev de energía, emitidos en oposición (1800), requisito necesariopara la conservación de la cantidad de movimiento.Nótese que a pesar de que la energía del fotón inicial es mayor que la necesaria paracrear el par electrón-positrón, luego de su aniquilación obtenemos dos fotones gammaidénticos y de energía exactamente igual a la energía en reposo de cada partícula. Elexceso de energía del fotón inicial se consumió luego de la creación del positronio enestado excitado, por decaimiento del mismo con emisión de fotones de baja energía.

Sin embargo, hay un caso muy importante en el que el par electrón-positrón no forma

el positronio. Si las partículas chocan con velocidades diferentes, ambas cercanas alas de la luz, como puede suceder en experimentos en aceleradores (CERN), éstas seaniquilarán “al vuelo” sin formar un estado metaestable previo. En ese caso, los dos



fotones gamma resultantes de la aniquilación serán idénticos, podrán formar ángulosdistintos de 180º en sus trayectorias de salida y serán más energéticos (E f > 0.511Mev ). Este hecho experimental muestra la conversión total de la masa relativistaen radiación.En este caso para cada fotón gamma emitido se cumple:

Los superíndices e- y e+ son usados para evitar que se confunda la masa relativista conla masa propia.

Relación entre Energía y Cantidad de movimientoRelación entre Energía y Cantidad de movimiento

La equivalencia entre masa y energía puede ser expresada en relación a la cantidadde movimiento.

Esta expresión corresponde a un invariante importante que trataremos a continuación.La masa en reposo de una partícula libre debe ser la misma en cualquier sistema dereferencia, pues de lo contrario los sistemas inerciales no serían equivalentes ya quepodrían ser distinguibles. Lo mismo sucede con la longitud propia de un objeto o eltiempo propio de un fenómeno.

En consecuencia, para dos observadores inerciales tendremos:

Este invariante es similar al del “Intervalo” tratado en el apartado de Transformacionesde Lorentz.

NotaNotaSu demostración en el espacio de Minkowski es elegante y simple, basada en que lacantidad de movimiento se transforma como las coordenadas (x, y, z) y la energíacomo el tiempo.

La masa en reposoLa masa en reposo



En el ítem anterior hemos tratado el caso de la constancia de la masa en reposo parauna partícula libre. Veremos que esto no es general y que la masa en reposo puedeser modificada bajo ciertas condiciones. Previamente hagamos algunas aclaracionespara evitar que los amantes de la bella formulación geométrica de la Relatividad sesuiciden en masa. Los invariantes obtenidos en ese modelo son rigurososmatemáticamente, tal como sucede con la masa propia (m0 ), y ello es consecuencia decómo se transforman las "variables" relacionadas (E,p). La masa propia resultaentonces un invariante que es constante simplemente porque hemos establecido que,para una partícula puntual, la única modificación posible cuando le entregamosenergía es que cambie solo su cantidad de movimiento.En consecuencia, aunque poco probable, si encontráramos algún mecanismo detransferencia de energía que no modificara su velocidad, sería inevitable que cambiela masa propia de una partícula puntual.

En primer lugar digamos que existen otros procesos (no aplicables a partículaspuntuales), además del trabajo mecánico ya visto, capaces de transferir energía

(calentamiento, deformación, fricción, absorción, etc). Por ejemplo, si el cuerpomaterial es un sistema macroscópico en reposo, podemos entregarle o quitarleenergía (Q) por intercambio de calor.Dado que este mecanismo puede ser hecho sin necesidad de modificar su velocidad,debemos concluir que tiene que modificarse su masa en reposo, que en el caso enque se le entregue energía será:

Si el sistema pierde energía bastará con cambiar el signo en la relación anterior y lamasa propia final será menor.

Para un sistema macroscópico, la masa en reposo del mismo es función de latemperatura.

En general, si a un sistema físico, sea puntual o extenso, podemos entregarle oquitarle energía sin modificar su velocidad, el sistema cambiará su energía total, sumasa relativista y su masa propia, de acuerdo con el Principio de Equivalencia entremasa y energía.

En la carpeta Temas Especiales se agregarán dos trabajos: “El Corrimiento al Rojo enRelatividad Especial”, y “El Efecto Mössbauer en Relatividad Especial” , vinculados conla variación de la masa de un sistema.

De acuerdo al Principio de equivalencia entre masa y energía, cualquier sistema físicoformado por componentes que interactúan entre sí debe tener una masa diferente a lasuma de las masas de sus componentes en estado libre (no vinculado).

Analicemos el caso más simple posible, que consiste en un sistema formado por dospartículas que se atraen, y supongamos que inicialmente están juntas y en reposo.Para separarlas debemos realizar un trabajo mínimo (W ), cuyo valor representa laenergía que se debe entregar al sistema para desvincular las partículas y que ellasqueden en reposo. Si se le entrega más energía que la necesaria (W ), las partículaslibres (no vinculadas) tendrán energía cinética.En consecuencia, el sistema con las partículas “pegadas” posee menos energía que elmismo sistema de dos partículas cuando ellas no están vinculadas. En general, si el



sistema y las partículas (idénticas) están en reposo, en su condición de mínimaenergía (pegadas), su energía será:

Siendo m0 la masa propia de cada partícula y W el trabajo necesario paradesvincularlas (separarlas).Es evidente que la masa del sistema es menor que la suma de las masas de suscomponentes ( 00

2mmS < ).

Cuando el sistema no está vinculado (partículas libres en reposo), su masa será 2m0 .

Queda planteado mostrar que si las partículas del sistema se repelen, la masa delmismo será mayor cuando estén “pegados” sus componentes.

Ahora veamos el caso del átomo de Hidrógeno, formado por un electrón y un protón.La energía de ionización es 13.5984 eV, que representa la energía mínima que debo

suministrarle al átomo para desvincular su electrón. Esta energía es muy pequeñapara que pueda detectarse la diferencia de masa entre el átomo en estadofundamental y la suma de las masas de sus dos componentes.

De acuerdo a lo visto, la masa del átomo de Hidrógeno en estado fundamental debeser menor que la suma de las masas del protón y el electrón. Hagamos las cuentas:

• Masa del protón: 1.6726 × 10-27 kg• Masa del electrón: 9.11 x 10-31 kg• Masa del electrón + Masa del protón: 1.673511 × 10-27 kg• Masa del H (est. Fund.): mp+me – 13.5984 eV/c2 = 1.673510976 × 10-27 kg• Diferencia de masa: 2.4 x 10-35 kg

Nótese que la diferencia de masa es 100 millones de veces menor que la masadel sistema.Considerando que todos los átomos de la Tabla periódica tienen energías de vínculode electrones del mismo orden que la del Hidrógeno, la diferencia de masa por elenlace con sus electrones no será significativa.

Sin embargo, en el átomo hay energías de vínculo muchísimo más grandes, que sonlas que ligan a las partículas del núcleo atómico (nucleones), relacionadas con lasfuerzas nucleares, que trataremos a continuación.

Defecto de masaDefecto de masa

Se denomina defecto de masa a la diferencia de masa de un núcleo atómico, medidaexperimentalmente (masa del sistema), y la que corresponde a su número atómico(suma de las masas de sus componentes). Esto es exactamente lo que acabamos deanalizar en el ítem anterior pero, en este caso, con fuerzas de ligadura muchísimo másgrandes.

Veamos un caso real, el Deuterio (isótopo del Hidrógeno) ionizado, cuyo núcleo estáformado por un protón y un neutrón. Los valores de las masas correspondientes son:

• Masa protón: 1.0073 u• Masa neutrón: 1.0087 u• Masa Deuterio: 2.0136 u



Defecto de masa: (mp+mn) - mD = 0.0024 u

u = uma (unidad de masa atómica) = 1.66053886x10-27 kgLa energía correspondiente a un uma es de 931.5 Mev.La energía de ligadura del Deuterio es 2.23 MeV.

En este caso la diferencia de masa es 1000 veces menor que la masa del sistema.Si se compara con el caso anterior (átomo de Hidrógeno) se puede obtener una ideacualitativa de la magnitud de las fuerzas nucleares respecto de las electromagnéticas.

No obstante, el Deuterio es un núcleo poco ligado si se lo compara con otros.Las mediciones de defecto de masa de los distintos átomos tienen mucha importanciadentro de la Física Nuclear y en el estudio de las reacciones nucleares, como asítambién en la Astrofísica, en los modelos sobre la evolución de las estrellas.

Este último ítem (defecto de masa) puede resultar interesante o no, pues se trata

simplemente de información sobre datos reales medidos. Sin embargo, destaco quepara los fines de este curso, lo realmente importante es que verifican el Principio deEquivalencia y la variación de la masa propia del sistema.

Relatividad de la energíaRelatividad de la energía

Es evidente que la energía de un sistema físico es una magnitud relativa al sistema dereferencia. Tomemos, por ejemplo, la energía total de una partícula libre, de masapropia m0 y velocidad constante v , cuya expresión está dada por

Para dos observadores inerciales en movimiento relativo la única magnitud que tienedistinto valor en la expresión anterior es la velocidad de la partícula.

NotaNotaEn este marco teórico toda magnitud propia de un cuerpo en movimiento uniforme esinvariante. De lo contrario los sistemas inerciales serían distinguibles, invalidando elPrincipio de Relatividad.

No debe interpretarse que la masa propia no pueda variar ante determinadosprocesos, sino que ante Transformaciones de Lorentz la masa propia es la misma paratodos los observadores inerciales.

Hallemos la ley de transformación de la energía para dos sistemas inerciales, usandoel teorema de adición de velocidades.



Operando el radicando del denominador en el segundo miembro se obtiene lasiguiente igualdad

Reemplazando en la expresión de la energía obtenemos

Esta expresión es válida sólo si la velocidad relativa (V ) entre sistemas inerciales está

según el eje x. En el caso general la ley de transformación es:

La transformación inversa la obtenemos reemplazando V por -V , quedando:





Complementos de Energía - LosComplementos de Energía - Los Campos VectorialesCampos Vectoriales

En el desarrollo de este capítulo haremos uso de herramientas matemáticas propiasdel análisis vectorial, cuyo conocimiento resulta indispensable para comprender elcomportamiento de los campos físicos vectoriales, tales como el electromagnético y el

gravitatorio. Si el lector no maneja estas herramientas deberá “creer” las conclusionespero no debería saltear este ítem.En el apartado Temas Especiales hay un capítulo extenso sobre las ecuaciones deMaxwell (que son relativistas de nacimiento), que requieren este conocimiento.

Un posible y adecuado tratamiento de los fenómenos se logra cuando disponemos deun modelo matemático consistente con los comportamientos observados.Para ello es común definir magnitudes asociadas al fenómeno, algunas de las cualespueden depender de la posición y/o el tiempo, dando lugar a relaciones funcionales ocampos matemáticos, de distinta dificultad y naturaleza. Un objetivo concreto de laFísica es obtener las leyes que cumplen esos campos, usualmente expresadas conecuaciones diferenciales, y hallar su solución matemática compatible con la geometría

y las condiciones de contorno del problema particular dado.

Estos campos suelen ser escalares, vectoriales o tensoriales, dependiendo ello de lavariable considerada y las características del sistema en cuestión.Por ejemplo, la temperatura de la atmósfera puede ser representada por un campoescalar T(x,y,z,t), el campo eléctrico asociado a un cuerpo cargado se describe con uncampo vectorial E (x,y,z,t), y las deformaciones de un sólido deformable sometido apresiones externas pueden ser calculadas por un campo tensorial Dij de segundoorden, con componentes que son funciones del espacio y del tiempo.

En este capítulo trataremos sobre campos escalares y vectoriales, prestando especialatención a estos últimos.Suele indicarse que las propiedades de un campo vectorial quedan totalmenteestablecidas si conocemos su divergencia y su rotor. Tratemos de comprender elsignificado de esta aseveración.

DivergenciaDivergencia

Recordemos que la divergencia de un campo vectorial es una función escalar quepermite relacionar a un campo vectorial con las “fuentes” y “sumideros” del mismo.Diremos que en todo punto ( x,y,z ) donde la divergencia da un resultado positivo hayfuente del campo, si da negativo hay sumidero, y si es nulo puede existir el campopero no “nace“ ni “muere“ en dicho punto.

En general no se conoce el campo A pero sí su divergencia (fuentes y sumideros).Procediendo de manera inversa podría suponerse que si conocemos las fuentes ysumideros de un campo podríamos determinar unívocamente la forma funcional delmismo mediante la solución de la ecuación diferencial de la divergencia. Ello no es



correcto pues quedaría determinado a menos de otra función vectorial cualquiera dedivergencia nula.

Podemos señalar algunos aspectos interesantes relacionados con la divergencia.

• Todo campo de divergencia nula en todo el espacio tiene líneas de corriente(también llamadas líneas de fuerza) cerradas. Tal es el caso del campomagnético B(x,y,z,t).

Campo magnético de una corriente filiforme.

• Todo campo uniforme (constante) en todo el espacio tiene divergencia nula.

• Es fácil mostrar que el único campo radial con simetría esférica que tienedivergencia nula en todo el espacio (excepto en el origen), varía como 1/r 2.

Este comportamiento corresponde tanto al campo eléctrico de una carga puntual en elorigen como al campo gravitatorio de una masa puntual en el origen, que para cuerposen reposo en interacciones campo-partícula conducen a la ley de Coulomb y a la ley

de Newton de gravitación universal, respectivamente.En el origen el campo no está definido (singularidad).

Para el caso eléctrico las cargas positivas son las fuentes donde “nace” el campo y lasnegativas los sumideros donde “muere”, mientras que en el gravitatorio las masas sonsiempre sumideros (la constante es negativa).

Rotor Rotor

El rotor de un campo vectorial da otra función vectorial (pseudovector). Por definiciónes:



Las líneas de corriente del rotor de un campo vectorial son siempre cerradas, lo quesignifica que su divergencia es nula. Se deja al lector mostrar que la divergencia delrotor de un campo vectorial es siempre nula (sugerencia: use el Teorema de Schwartzde la igualdad de las derivadas cruzadas).

Alguna bibliografía suele destacar como importante utilidad del rotor la relación quedicho cálculo tiene con la descripción de “torbellinos”, en particular cuando se trata deun campo de velocidades de un fluido.Sin negar que tal relación exista (de ella salió la denominación de rotor) es mi opiniónque esta interpretación no es relevante y esconde la importancia conceptual que tieneesta operación.

Cuando el rotor se aplica a un campo físico asociado a interacciones, el aspecto másfundamental del mismo es que su cálculo permite reconocer si dicho campo admite ono una función escalar potencial, tal que su gradiente determina al campo.En efecto, si en todo punto del espacio se cumple:

Cuando el rotor es nulo diremos que el campo es conservativo, caso que trataremosen detalle más adelante en este capítulo.

En general no conocemos ni A(x,y,z,t) ni R (x,y,z,t), pero en algunos casos esposible saber por consideraciones físicas si es conservativo (o no).Esto implica disponer de tres ecuaciones diferenciales a derivadas parciales de primer orden, una para cada componente del rotor, cuya solución no es suficiente paradeterminar unívocamente el campo vectorial A(x,y,z,t), pues queda determinado amenos de otro campo vectorial de rotor nulo.

Vemos entonces que conocer sólo la divergencia o el rotor de un campo vectorial noes suficiente para hallar dicho campo vectorial. En cambio, puede mostrarse que siconocemos ambos el campo A queda determinado (unicidad de la solución).

Para hallar la ecuación que relaciona al campo vectorial con su divergencia y su rotor usaremos una identidad vectorial.

La última relación representa tres ecuaciones diferenciales a derivadas parciales, desegundo orden, cuya solución formal determina el campo A unívocamente.



Nótese que en el caso en que el campo sea conservativo su rotor es nulo resultando laecuación de Poisson vectorial (tres ecuaciones). Como veremos, el planteo sesimplifica pues existe una función potencial escalar, quedando finalmente una únicaecuación de Poisson.

NotaNotaEn física tienen notable importancia aquellos campos que están relacionados con lasinteracciones entre sistemas y, en consecuencia, tienen relación funcional con losintercambios de energía. Por ello deben ser compatibles con la Teoría de RelatividadEspecial y con el Principio de Causalidad, por lo cual ante procesos no estacionarioslos campos deben cumplir también con la ecuación de ondas (velocidad finita depropagación).

Campos conservativosCampos conservativos

I - Mecánica clásicaI - Mecánica clásica

Teorema de conservación de la energía mecánicaTeorema de conservación de la energía mecánica

Se dice que un campo vectorial F es conservativo si se cumple que la circulación dedicho campo a lo largo de cualquier curva cerrada es cero.

Si el campo F es un campo de fuerzas, la expresión anterior equivale a calcular eltrabajo W realizado por la fuerza a lo largo del camino cerrado C, resultando nulocualquiera sea el camino elegido. Como veremos, si el trabajo W es nulo para todacurva cerrada entonces se puede definir la Energía Potencial de una partícula en

presencia de dicho campo de fuerzas, y definir la magnitud “Energía Mecánica”, queresulta constante para dicho sistema, siendo esto último el origen de la denominación“conservativo”.

Para que esa integral curvilínea (“circulación de F”) sea nula para cualquier camino C,su integrando debe ser un diferencial exacto (Pfaffiano).

Desarrollando el producto escalar y el diferencial total, obtenemos:

Resulta evidente que F puede ser puesto como el gradiente de la función escalar ),,( z y x ϕ , llamada función potencial.



Hasta aquí hemos mostrado que si un campo vectorial es conservativo siempre tieneuna función potencial tal que su gradiente nos da el campo.

Discutiremos algunos aspectos que no suelen tratarse en la bibliografía técnica.

1. El primero es respecto de la información que poseen un campo vectorial y unoescalar.Un campo vectorial nos da tres (3) datos en cada punto (módulo, dirección ysentido), mientras que un campo escalar sólo da un (1) número. ¿Cómo esposible que el campo escalar tenga toda la información del campo vectorial?Si se observa la igualdad resulta claro que la información del campo vectorialestá incorporada en la forma de la función escalar y no en su valor en un punto,y que esa información se obtiene a través de las derivadas con la operacióngradiente.

2. El segundo aspecto se refiere a la existencia y al Teorema de unicidad de lafunción potencial. Si un campo vectorial es conservativo siempre existe una

función potencial y es única a menos de una constante arbitraria (que al derivar se anula). En consecuencia, el valor numérico de la función potencial en unpunto del espacio no tiene significado físico, pero sí la diferencia de valores dela función potencial entre dos puntos del espacio.Si el campo no es conservativo no existe función potencial.

Si ahora calculamos el trabajo W sobre una partícula entre dos puntos cualesquiera(curva C abierta), obtenemos:

Recordando que el trabajo W es igual a la variación de la Energía Cinética, quedará:

Si ahora definimos Energía Potencial (E P ) de una partícula (en presencia de uncampo de fuerzas conservativo), a la función potencial del campo cambiada de signo,tenemos ϕ −=P E .Nótese que la Energía Potencial queda determinada a menos de una constante, puesla función potencial tiene la misma indeterminación. Asimismo, el valor numérico de laEnergía Potencial carece de significado físico, pero sí lo tiene la diferencia de valores

de la Energía Potencial entre dos puntos del espacio. Reordenando, queda:

Dado que los puntos 1 y 2 son dos puntos cualesquiera del espacio, llegamos a laconclusión que para una partícula en presencia de un campo conservativo, la suma desu energía cinética y su energía potencial es un valor constante.Se define como Energía Mecánica de una partícula a la suma de su Energía Cinéticay su Energía Potencial.

El desarrollo que acabamos de ver es el Teorema de conservación de la Energía, cuyo

enunciado es:En todo sistema inercial aislado, si las fuerzas son conservativas, la EnergíaMecánica es una constante.



Notas importantesNotas importantes

1. El valor numérico de la Energía Mecánica carece de significado físico. Se dejaal lector que analice esta aseveración. Solamente le indico que la utilidad delTeorema de Conservación de la Energía Mecánica reside en que sea aplicadoen dos puntos separados.

2. Asimismo, muestre que la Energía Potencial no puede depender del tiempo.No obstante, es común encontrar en la bibliografía expresiones sobre lafunción potencial dependiente del tiempo para sistemas no conservativos(reales). Ello es correcto y no se refiere al tema visto en este capítulo. Serátratado en el apartado que se agregará sobre Ecuaciones de Maxwell.

3. Los campos físicos de los procesos reales no son conservativos. Si bien estoes una especulación, el conocimiento actual lo confirma. El tema se tratará enla carpeta de Temas Especiales, analizando las condiciones que debe cumplir un campo físico vectorial para ser relativista.

4. Para saber si un campo vectorial es conservativo basta con calcular su rotor.Veamos cómo se vincula el rotor de un campo con que sea conservativo.Con el Teorema de Stokes, que relaciona la circulación de un campo vectorialcon el flujo del rotor de dicho campo a través de cualquier superficie que tengapor borde a la curva C, se puede demostrar que la circulación de un campovectorial (en una curva cerrada) es nula si el campo tiene rotor nulo en todo elespacio. Matemáticamente es:

Si el rotor es nulo en todo el espacio, el campo es conservativo.

II - Mecánica relativistaII - Mecánica relativista

Se puede demostrar que las propiedades de un campo vectorial quedan totalmentedeterminadas si se conocen su divergencia y su rotor. La divergencia es una operaciónque relaciona al campo con las “fuentes y sumideros” del mismo. Hemos visto que elrotor nos dice si el campo es conservativo o no.

Ahora mostraremos que la condición de un campo de ser conservativo no es una leyrelativista, es decir que es una característica solamente válida en un dado sistema dereferencia (lo mismo sucede en el caso no relativista).

Para ello analicemos el siguiente ejemplo:

Sea un sistema formado por una carga puntual en reposo en el origen de coordenadasde un sistema inercial.El campo eléctrico correspondiente es conservativo, con rotor nulo en todo el espacio,excepto en el origen donde no está definido. Su función potencial es fácilmentecalculable y no depende del tiempo.

Otro observador inercial O’ en movimiento relativo verá una carga puntal moviéndosecon velocidad constante. En cada punto del sistema primado tendremos un campo



eléctrico y un campo magnético, ambos dependientes del tiempo, que cumplen conlas ecuaciones de Maxwell. Matemáticamente describiremos esta situación en ambossistemas de referencia:

Es evidente que en el sistema primado el campo no es conservativo pues su rotor nose anula.

Teorema de conservación de la energía (caso relativista)Teorema de conservación de la energía (caso relativista)

Hemos mostrado en forma general que si un campo de fuerzas tiene rotor nulo

entonces es conservativo y existe la función energía potencial. En este caso secumple:

Siendo F la fuerza sobre una partícula y E P la energía potencial.También demostramos (en un apartado anterior) que dw = F .d s = c 2 dm, y lointerpretamos como la variación infinitesimal de la energía cinética de una partícula.Vinculando las relaciones obtenemos:

Integrando esta expresión para dos puntos del espacio, quedará:

La última igualdad es la expresión matemática del Teorema de conservación de la

energía, cuyo enunciado es:En todo sistema inercial aislado, si las fuerzas son conservativas, la suma de laenergía total (mc 2 ) y la energía potencial es una constante.

Nótese que para el caso de una partícula cuya masa en reposo es uninvariante, si restamos la constante m0 c 2 en ambos miembros, el Teorema siguesiendo válido. En este caso el enunciado es el mismo que en Mecánica clásica (norelativista):

En todo sistema inercial aislado, si las fuerzas son conservativas, la suma de laenergía cinética y la energía potencial es una constante.

En mi conocimiento, este importante Teorema extrañamente no figura en la bibliografíaespecífica, aunque es utilizado con mucha frecuencia.



Veamos un ejemplo (Cullwick – “Electromagnetism and Relativity”, pág. 79):Un electrón inicialmente en reposo es acelerado por un campo electrostático, sinirradiar. Se pide la variación de la masa del electrón luego de ser acelerado por unadiferencia de potencial. Las características del problema son:

• El campo electrostático es conservativo.• El campo eléctrico E está dado por V E −∇= • La fuerza es V E qF −∇== . Como q < 0 (electrón) el movimiento será hacia

donde crece el potencial.• La energía potencial está dada por la relación ( )

1;; C z y x qV E P += , siendo

V(x,y,z) la función potencial del campo eléctrico y C 1 una constante arbitraria.

Aplicando el Teorema de conservación de la energía obtenemos:

Asumiendo que en el punto 1 estaba en reposo y despejando, se obtiene:

Su velocidad puede hallarse de la expresión de masa relativista

Se deja planteado como ejercicio demostrar que el trabajo eléctrico es igual a lavariación de energía cinética del electrón.

Campos no conservativosCampos no conservativos

Un campo de fuerzas no es conservativo si su rotor es distinto de cero, lo que esequivalente a decir que la energía del sistema no permanecerá constante si el móvilrealiza cualquier trayectoria cerrada. En efecto, si el rotor no es nulo, aplicando elTeorema de Stokes tenemos:

En este caso no vale el Teorema de conservación de la energía ni existe EnergíaPotencial del sistema.

La experiencia nos muestra que muchas veces son reconocibles los mecanismos quecausan que un campo de fuerzas no sea conservativo. Entre ellos se distinguen los



siguientes tres procesos que provocan pérdidas irreversibles de energía del sistema:rozamiento, deformación plástica y/o radiación térmica.En estos casos es posible asumir que el campo de fuerzas puede ser expresado comola suma de uno conservativo y otro no conservativo, quedando

Corresponde señalar que la energía disipada en general no es calculable mediante laintegral curvilínea (circulación) de una función analítica, tal como fue indicada en laexpresión anterior.

Cuando las fuerzas presentes no son conservativas el Teorema de conservación de laenergía no es aplicable.

No obstante, por razones empíricas se acepta que la energía total de un sistema,incluyendo la energía disipada, permanece constante.Esta afirmación, no demostrable teóricamente, constituye el Principio deconservación de la energía.



Masa Propia y PotenciaMasa Propia y Potencia

Se define como masa propia (m0 ) de un sistema físico masivo al valor que ella tomacuando es medida en reposo. Para un cuerpo en movimiento su masa (relativista)resulta distinta a su masa propia y puede determinarse midiendo su cantidad de

movimiento ( p=mv ). La relación entre la masa propia y la relativista está dada por lasiguiente relación:

Esta última expresión es consecuencia de la ley de conservación de la cantidad demovimiento, que a su vez resulta de aceptar la homogeneidad del espacio. Si estarelación entre masa propia y relativista tuviera alguna limitación deberíamos cuestionar las propiedades de simetría del espacio-tiempo aceptadas, y con ello la validez de la

Teoría Especial de Relatividad. En consecuencia, en este marco teórico todo entefísico cuya velocidad sea c deberá tener masa propia nula pues, de lo contrario, larelación aludida no es válida (indefinición matemática).

Las propiedades de simetría del espacio-tiempo tienen como consecuencia que todamagnitud “propia” debe ser invariante ante Transformaciones de Lorentz, pues de locontrario los sistemas inerciales serían distinguibles.Se concluye entonces que la masa propia tendrá el mismo valor en todo sistema dereferencia inercial.Debe notarse que la invariancia relativista de la masa propia no implica que no puedavariar su valor en el tiempo, tal como sucede en los sistemas físicos reales duranteuna interacción.

Asimismo, la longitud propia de una varilla, que es invariante ante Transformacionesde Lorentz, resulta distinta si la caliento o enfrío. La invariancia describe que el valor instantáneo de una magnitud “propia” es el mismo para todo observador inercial, sinque ello signifique que sea constante en el tiempo.

La formulación de Minkowski de la Relatividad Especial (1907) trata sobre laspropiedades que asignamos al espacio (homogeneidad e isotropía) y al tiempo(uniformidad), de acuerdo con el comportamiento observado de los fenómenosnaturales, y las relaciones funcionales que esas magnitudes fundamentales cumplenen los sistemas inerciales.Este modelo matemático, escrito en un espacio de Riemann de 4 dimensiones,denominado Espacio de Minkowski , provee un método analítico que fue fundamentalpara toda la Física Relativista.

En su aplicación a la Mecánica y por razones matemáticas, Minkowski sostuvo que lamasa propia debía ser un invariante (de Lorentz) no dependiente del tiempo. Aunqueno es objetivo de este curso plantear la Relatividad en lenguaje tensorial, resultaconveniente describir algunos aspectos contradictorios de esta formulación inicial que,en mi opinión, condujeron a malas interpretaciones posteriores.

Minkowski, usando cuadrivectores, propuso varias formas distintas (equivalentes)como ley fundamental del movimiento (ley tensorial, que representa cuatro ecuaciones

escalares):



Sin necesidad de un análisis o explicación extensa de esta ley, invariante por construcción, señalemos que u i es el cuadrivector velocidad, que f i es el cuadrivector fuerza, y que en todas las ecuaciones propuestas la masa o densidad propia estánfuera de la derivada temporal.El hecho de que haya utilizado la densidad propia sugiere además la pretensión deque este modelo sea válido para sistemas no puntuales.

Desde el siglo XVII sabemos que la fuerza está relacionada con la variación de la

cantidad de movimiento y que en el caso en que m sea constante, como supusoNewton para un “punto material”, se puede expresar como:

Aparentemente, el matemático Minkowski siguiendo estas ideas asumió que la masapropia era invariante y constante en el tiempo, sin contemplar que ello conduce aresultados incorrectos si las interacciones involucran cambios de energía diferentes alos del trabajo mecánico sobre el centro de masa del sistema, tales como absorción oemisión de radiación, efecto Joule, cambios de estado, procesos termodinámicos con

intercambio de calor, compresiones, rozamiento, deformación plástica, etc.Poincaré, Einstein y Abraham (y seguramente otros físicos) hicieron notar que lapropuesta inicial de Minkowski era incorrecta y que su uso en sistemas realesconducía a resultados inaceptables. De acuerdo al enfoque físico de la Relatividad deEinstein (1905) y al Principio de Equivalencia (1907), la masa propia no podíapermanecer constante durante una interacción.

Abraham en 1909 demostró que la correcta formulación tensorial de la ecuacióninvariante de movimiento, expresada a continuación, debe considerar variable a lamasa propia del sistema, poniendo orden en el modelo tensorial de la MecánicaRelativista.

Asimismo, Pauli y Möller más tarde mostraron que si la masa propia de un sistemamacroscópico se considera constante durante una interacción, la TermodinámicaRelativista deja de ser válida desde sus fundamentos.Este tema puede verse con más detalle en el tratado de Pauli (“Special Theory of Relativity ”, Cap. 3 – pág. 108) y en el libro de Möller (“The Theory of Relativity ”, Cap. 4 – pág. 106).

Aparentemente ello no fue incorporado convenientemente por parte de otrosespecialistas pues, salvo raras excepciones, la bibliografía y trabajos científicos,usualmente referidos a la física de partículas, tratan a la masa propia como si fuera un



invariante constante en el tiempo en todos los casos, incluso algunos de maneraexplícita a pesar de los innumerables ejemplos que contradicen dicha postura, ymodifican por conveniencia las leyes de acuerdo al problema.Esta mala práctica tuvo consecuencias académicas lamentables, como rechazar lamasa relativista como una propiedad fundamental de los sistemas físicos,desvirtuando el concepto relativista de inercia, o limitar el Principio de Equivalenciaentre masa y energía sosteniendo insólitamente que sólo es válido para cuerpos enreposo (y ciertas formas de energía), o redefinir la cantidad de movimiento paraacomodar la teoría a sus torpezas.En definitiva, un conjunto de arbitrariedades innecesarias y perjudiciales, sobre todopara la enseñanza de la Relatividad, que costará años revertir. Veamos cómo debe ser tratado el tema de la masa propia de manera simple.Se define como masa propia de un sistema físico al valor de su masa medida enreposo en un sistema de referencia inercial.Mostraremos que la masa propia de sistemas no puntuales necesariamente debevariar durante las interacciones si aceptamos válido el Principio de conservación de la

energía.

Prestaremos mucha atención a cualquier magnitud relacionada con cambios deenergía de un sistema físico, tal como la potencia, debido a que ello sucede enpresencia de procesos causales, que denominamos interacciones.

La magnitud que mide la variación temporal del contenido de energía de un sistemafísico es la potencia. Se define como potencia instantánea a la relación:

De acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y energía, el contenido deenergía de un sistema físico es directamente proporcional a su masa relativista,resultando:

Veamos ahora como relacionar la variación de la masa relativista de un sistema físicocon los efectos de una interacción cualquiera. Por simplicidad supondremos que nohay rotación.Para ello usaremos el teorema que vincula el trabajo de la fuerza total aplicada al

centro de masa del sistema y la variación de la energía cinética que le provoca.

Hemos asumido que la masa propia m0 de un sistema físico real puede variar duranteuna interacción (ver Möller “The Theory of Relativity ”, pág. 106).

Al respecto, veamos un caso particular muy ilustrativo.



• Sea un átomo excitado en reposo que vuelve a su estado fundamental conemisión de un fotón. La energía del átomo excitado antes de la emisión es:

La masa del átomo es la masa propia pues inicialmente está en reposo. El superíndiceindica su estado excitado.

Con la emisión del fotón el átomo vuelve a su estado fundamental y adquieremovimiento uniforme en sentido contrario al del fotón emitido, que asumimospropagándose en sentido negativo de las x , cumpliéndose la conservación de lacantidad de movimiento del sistema. Dado que el problema es unidimensional noindicaremos componentes según los ejes del sistema de referencia.Además, por conservación de la energía, se cumple que la energía del átomo excitadoantes de la emisión es igual a la suma de la energía del átomo en estado fundamentaly en movimiento uniforme, más la energía del fotón emitido.

La masa relativista del átomo en estado fundamental tiene movimiento uniforme ycumple con:

Siendo m0 la masa propia del átomo en estado fundamental.

Operando obtenemos:

Queda demostrado que la masa propia de un átomo excitado es mayor quecuando está en su estado fundamental, y con ello que la masa propia no es unaconstante, aunque sea un invariante de Lorentz.

Por supuesto, es inmediato obtener (ver balance energético anterior) que el exceso demasa del átomo excitado es exactamente la masa relativista del fotón posteriormenteemitido.



Calculemos ahora cuanto aumenta la masa propia de un átomo excitado en lascondiciones establecidas, respecto de su masa propia en estado fundamental.

Nótese que el aumento de masa propia del átomo excitado es exactamente la masaque corresponde a la energía cinética adquirida por el átomo, luego de la emisión, másla del fotón emitido.

NotaNotaEste tipo de análisis es aplicado de manera sistemática en el reconocimiento deproductos de reacciones nucleares.

En consecuencia, la potencia instantánea de un sistema (no puntual) será:

El trabajo mecánico elemental sobre un cuerpo masivo es dW = F.ds , siendo F lafuerza total aplicada (en su centro de masa), que debe incluir la reacción de radiación

en el caso en que el sistema irradie de manera anisótropa.

La variación de energía por unidad de tiempo debida al trabajo mecánico es:

La variación de energía por unidad de tiempo debida a procesos que no realizantrabajo mecánico sobre el centro de masa del sistema es:

Veamos otros dos ejemplos que tratan con cambios de la masa propia del sistema.

1 – Enfriamiento o calentamiento de un cuerpo en reposo.Sea dQ/dt la potencia calórica (o frigorífica) instantánea del sistema, es decir lacantidad de calor (en Joules) intercambiada por unidad de tiempo.Por el Principio de Equivalencia entre masa y energía, la variación de la masa delsistema estará dada por:



Dado que el sistema permanece en reposo en todo momento, no hay trabajomecánico, y su masa es (por definición) la masa propia del sistema, que resultafunción de la temperatura.La potencia instantánea del sistema será:

Como demostraremos, luego de estos ejemplos, esta Potencia instantánea esabsoluta, es decir que todo observador inercial medirá el mismo valor de potenciacalórica o frigorífica instantánea.

2 – Energía radiante y pérdida de masa del SolPara un observador terrestre y para intervalos temporales breves (un segundo ennuestro caso) el sol puede ser considerado en reposo en un sistema inercial.Se ha estimado en 3.65 x 10 23 kW la energía radiante total del Sol emitida por unidadde tiempo.

De acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y energía, cada segundo elsol pierde 4.05 millones de toneladas, disminuyendo su masa propia. El cálculo simplees:

La interpretación elaborada en este ejemplo (pérdida de masa propia) es utilizada en

la teoría de evolución estelar dando resultados consistentes con la observación.

NotaNotaEstos dos ejemplos muestran que en los sistemas físicos reales, si las interaccionesno modifican su cantidad de movimiento, la variación de su masa propia esindispensable para el cumplimiento del Principio de conservación de la energía.

La potencia instantánea, en su expresión más general, está dada por:

(1)

Relatividad de la PotenciaRelatividad de la Potencia

Usaremos las transformaciones relativistas generales de Lorentz para la energía y eltiempo, obtenidas para dos observadores inerciales (O,O’) con velocidad relativa V (constante).



Siendo p=mv la cantidad de movimiento del sistema físico, medida por O.La potencia instantánea cumplirá con:

Siendo a la aceleración del sistema físico, medida por O.La última expresión (2) debe ser analizada en detalle pues permite obtener conclusiones importantes sobre las características de las interacciones. 1 – Potencia RadianteSi consideramos el sistema físico en un sistema aislado (sin campo gravitatorio),formado sólo por radiación, es inmediato ver que la potencia radiante (instantánea) encada punto del espacio es la misma para todo observador inercial (P‘=P ), pues laaceleración (a) de la radiación es siempre nula.

En presencia de un campo gravitatorio externo (con interacción campo-fotón), ello nose cumple pues hay aceleración transversal a la velocidad (c ), salvo que la acción delcampo tenga la misma dirección que la velocidad de la radiación.

2 – Interacciones con fuerza total aplicada nulaNo se modifica la cantidad de movimiento del centro de masa del sistema, tal comoocurre en compresiones o expansiones isótropas, procesos térmicos de intercambiode calor con simetría esférica, emisión electromagnética de dipolo radiante en reposo,

etc.En todos estos casos la aceleración a es nula, resultando P’ = P .Es decir que durante la interacción la potencia instantánea del sistema es la mismapara todo observador inercial.

NotaNotaEste resultado es consistente con el caso anterior pues, si un cuerpo en reposo irradia,la energía que pierde por unidad de tiempo debe ser igual a la potencia radiada, por elPrincipio de conservación de la energía.Ambas potencias instantáneas son absolutas, por lo cual este proceso existe para todoobservador y no puede ser eliminado con la elección de un sistema de referencia

particular, siendo esto último una característica de todos los fenómenos causales.



Por supuesto, la energía ganada o perdida por el sistema en un dado lapso es relativaal sistema de referencia debido a que la evolución temporal es distinta en diferentessistemas inerciales.Supongamos que el sistema físico está en reposo (v = 0 ) para el observador O y sufreun incremento dE sin modificar su estado de reposo. En ese caso para un observador O’ que se mueve con velocidad V , el incremento será:

3 – Observador inercial comóvil (instantáneo) con el sistema físicoPrimero destaquemos que si un sistema físico está acelerado, un observador inercialsólo estará comóvil con su centro de masa en un instante único, cuando V = v , es

decir que para mantenerse comóvil con el objeto acelerado se requieren infinitossistemas inerciales.

La expresión (2), que relaciona la potencia instantánea de un mismo proceso medidapor dos observadores inerciales distintos, puede ponerse en función de la Fuerza totalaplicada.

Para el observador inercial comóvil instantáneo se cumple V = v , quedando:

Reemplazando P por su expresión general (1) obtenemos:

Durante una interacción aparecen fuerzas aplicadas no nulas, por lo cual un sistemafísico no puntual debe sufrir modificaciones geométricas y dinámicas que alteran sucontenido de energía total y también su masa propia.La explicación de ello es que los procesos causales tienen un inicio y, dado que lasfuerzas aplicadas no se transmiten a velocidad infinita a todos los puntos del sistema,aparecerán tensiones que alteran el sistema modificando su geometría y masa propia.Lo importante, desde un punto de vista teórico, no es el valor de la modificación de lamasa propia, que puede ser muy pequeña o incluso despreciable, sino la existencia deella.



Dado que la masa propia de un sistema físico no puntual necesariamente debemodificarse durante una interacción, se concluye que todo observador comóvil podríamedir potencia no nula de un sistema físico real, al menos en algún instante delproceso, y su valor dependerá de la variación temporal instantánea de la masa propiadel sistema.

Podría plantearse que este último resultado no es aceptable físicamente porque lamasa propia podría agotarse completamente si se le saca energía durante un tiemposuficiente.Si el sistema está acelerado el planteo no es correcto ya que para un único observador la ley es válida sólo en un instante, por lo cual no es lícito sacar conclusiones querequieren “integrar” la ley en el tiempo. Nótese que en este caso un observador comóvil durante un tiempo finito corresponde a infinitos sistemas inerciales distintos, loque equivale a decir que para un único sistema inercial hay trabajo mecánico pues elmóvil posee aceleración y, en consecuencia, cambio de la masa propia.Si el sistema físico está en reposo o con movimiento uniforme, como podría suceder con un cuerpo calentándose o enfriándose, el planteo tiene respuesta inmediata. Su

masa propia aumentará mientras sea posible entregarle energía y disminuirá si lapierde, aunque en este último caso la experiencia y el Teorema de Nernst nosmuestran que esas interacciones en sistemas macroscópicos no pueden mantenerseindefinidamente, por lo cual la masa propia alcanzará un valor mínimo no nulo.

Finalmente digamos que estas conclusiones (1, 2 y 3) invalidan la falsa creencia deque un electrón con aceleración propia constante (en movimiento hiperbólico) noirradia y que por ello el observador comóvil no detecta radiación (ver “La Paradoja deBorn” ).En consecuencia, si un sistema irradia ello sucederá para todo observador, sea o noinercial.

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Curso de Relatividad Especial-mayo2011