La chiave per risolvere questo problema sta nella conoscenza di 2 teoremi dimostrati:

La chiave per risolvere questo problema la conoscenza di 2 teoremi dimostrati:

a) In un triangolo qualsiasi, la somma di 2 lati maggiore alla lunghezza del terzo lato.

b) In un triangolo qualsiasi, la differenza tra 2 lati minore alla lunghezza del terzo lato.Ho cercato questi teoremi in un libro di geometria e gli ho trovati con la loro dimostrazione.Adesso vediamo:

1. mettiamo un triangolo qualsiasi PQR2. Ci sono 6 possibilit per la posizione di un punto S. O cade nell'area A1, o nell'area A2, e cos fino all'area A6. L'immagine lo spiega meglio

Allora,3.A. Se il punto nell'area A1, evidente che: I. QS > PQ-PS (perch se abbiamo un triangolo SPQ, la differenza tra PQ e PS e minore dal lato QS, per teorema dimostrato)

II. QS > QR-RS (perch se abbiamo un triangolo QRS, la differenza tra QR e RS e minore dal lato QS, per teorema dimostrato)

III. PS+RS>PR (perch se abbiamo il triangolo PSR, la somma dei 2 lati maggiore dall'altro, per teorema dimostrato) Questo lo stesso se siamo nell'area A6 e A2.3.B. Se il punto nell'area A5, evidente che: I. RS > PR-PS

II. RS > QR-QS

III. PS+QS>PQQuesto lo stesso se siamo nell'area A6 e A4.3.C. Se il punto nell'area A3, evidente che: I. PS > PR-RS

II. PS > PQ-QS

III. QS+RS>QR Questo lo stesso se siamo nell'area A2 e A4.3.D. Quindi lo stesso per la validit del teorema se cade in qualsiasi area di queste, solo cambia il nome dei lati che sono implicati.Allora,mettiamo ad esempio un punto che cade nell'area A1quindi, per ci che abbiamo detto,I. QS > PQ-PS

II. QS > QR-RS

III. PS+RS>PRMettiamo in somma le tre inecuazioni, cos abbiamo:

QS + QS +PS + RS > PQ PS + QR RS + PRAllora, PS e RS que sottranno nel lato destro vanno sommare al lato sinistro, quindi:

QS + QS + PS + PS + RS + RS > PQ + QR + PRQuindi possiamo fare:

2QS + 2PS + 2RS > PQ + QR + PR

Quindi:

2 (PS + QS + RS) > PQ +QR + PR

E finalmente:

PS + QS + RS > PQ + QR + PR

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2

Quod erat demostrandum.