PROBABILITAS

7/17/2019 PROBABILITAS

http://slidepdf.com/reader/full/probabilitas-568beeed044cd 1/23

1. PROBABILITAS

1.1 Pendahuluan

• Probabilitas merupakan teori kemungkinan atau peluang, nilainya berkisar antara

0 dan 1. Peluang 0 (nol) sama artin ya peluang terhadap suatu kejadian yang

TIDA !"#$I# terjadi . %ontoh peluang manusia bisa hidup dengan tidak

bernapas selama &' jam. edangkan peluang 1 (satu) adalah peluang terhadap

seuatu kejadian yang PATI terjadi. %ontoh peluang manusia meninggal .

• asio antara banyaknya *ara suatu peristi+a tertentu terjadi

dengan jumlah total peristi+a yang sa ma untuk terjadi.

Tiga hal penting dalam membi*arakan probabilitas yaitu

• Per*obaan (e-periment)

Adalah suatu proses yang diben tuk dari sejumlah obserasi yang

menghasilkan suatu peristi+a.

• /asil

Adalah nilainilai dari sebuah kegiatan atau per*obaan. Dalam hasil ini

semua kejadianyang akan terjadi akan di*atat.

• uang sampel

umpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah per*obaan atau

kegiatan. uang sampel untuk suatu per*obaan dapat dijelaskan

dengan menggunakan diagram enn atau diagram pohon .

Perbedaan antara percobaan, hasil, dan ruang sampel

1.2 Pendekatan Probabilitas

"ntuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian maka terdapat tiga pendekatan

sebagai berikut

• Pendekatan lasik



Perhitungan probabilitas dengan pendekatan klasik diperoleh dari hasil bagi

banyaknya peristi+a A dengan seluruh peristi+a yang mungkin.Probabilitas terjadinya peristi+a A, dinyatakan dengan lambang P(A)

dapat didein isikan sebagai proporsi banyaknya peristi+a A terjadi pada

sejumlah besar per*obaan berulang dengan kondisi yang identik

P ( A) 2 # ( A

)

#(

)

Dimana

P(A) probabilitas peristi+a A

N ( A) banyak peristi+a A terjadi

N (S ) banyaknya pengulangan per*obaan

Con

toh

Pada pelontaran koin (mata uang logam) yang setimbang, ada &

kemungkinan hasil akhir ( outcome), ! (muka) atau 3 (belakang),

maka probabili tas untuk memperoleh has il akh ir ! pada 1 kali

pelonta ran adalah

P (!)2 14& 2

0.5

Probabilitas untuk memperoleh hasil akhir 3

adalah

P (3)2 14& 2

0.5

• Pendekatan 6rekuensi elati

Perhitungan probabilitas dengan pendekatan rekuensi relati ditentukan melalui

per*obaan. Dari suatu per*obaan yang dilakukan sebanyak n kali. Apabila nilai n

makin besar mendekati tak hingga maka nilai k4n *endrung konstan mendekati

nilai tertentu. #ilai tertentu inilah peluang kejadian A

nkLimP(A)

n ∞→=

DimanaP(A) probabilitas peristi+a Ak rekuensi peristi+a A



n banyaknya peristi+a terjadi

• Pendekatan ubyekti

Probabilitas dengan pendekatan subjekti diperoleh dengan melihat tingkat

keper*ayaan indiidu yang didasarkan pada aktaakta yang ada. !isalnya,

seorang pemimpin akan memilih seorang pega+ai baru dari tiga *alon yang sudah

lulus ujian seleksi. etiga *alon sama pandai dan berkualitas. 3agaimana peluang

masingmasing *alon akan terpilih7 Disinilah pemimpin menerapkan pendekatan

subyekti dengan melihat akta yang ada dalam menentukan peluang tersebut.

1.3 Hukum dalam Probabilitas

A. /ukum Penjumlahan

eringkali, lebih mudah menghitung oeluang suatu

kejadian berdasarkan peluang kejadian lain. /al ini berlaku

antara lain pada kejadian yang dapat d inyatakan sebagai paduan

dua atau lebih kejadian, atau sebagai komplen suatu kejadian

lainnya. D i ba+ah ini akan disajikan beberapa hukum penting yang

seringkali dapat menyederhanakan perhitungan peluang.

Gambar: Diagram Venn

• 3ila A dan 3 adalah dua kejadian sembarang , maka

P (A ∪ B ) = P(A) P(B) ! P (A 8 B )

• 3ila A dan 3 saling terpisah ( mutuall" e#clusi$e e$ents ), maka

P (A∪ 3 ) 2 P(A) 9 P(3)

• 3ilaA1, A&, :: An saling terpisah, maka

P (A1 ∪ A& ::∪ An ) 2 P(A1) 9 P(A&) 9 ::9 P(An)

• 3ila A dan A‟ dua kejadian yan g satu merupakan komplemen

lainnya, makaP(A) 9 P(A‟) 2 1



Contoh :

Pada pelontaran sebuah dadu yang setimbang, hasil akhir untuk

probabil itas untuk memperoleh hasi l akh ir genap yaitu &, ', dan ;

merupakan kejadian saling asing4pisah

<a+a

b

P (genap) 2 P (&) 9 P (') 9 P (;)

Contoh

:

Peluang seorang

mahasis+a lulus matematika adalah &4=, dan

pe luang ia lulus bahasa Inggris adalah '4>. 3ila peluang lu lus

sekurangkurangnya satu

pelajaran di a tas a dalah '45, berapa

pe luang ia lu lus kedua pela jaran itu7

<a+a

b

3ila ! adalah kejadian ?lulus matematika? dan @ adalah kejadian

?lulus 3ahasa Inggris?, maka kita memperoleh

P( ! 8 @) 2 P(!) 9 P( @) P(! "

@)

2 &4= 9 '4> '45

2 1'4'5

Contoh

:3erapa peluang mendapatkan jumlah B atau 11 b ila sepa sang dadu

dilemparkan 7

<a+a

b

!isalkan A adalah kejadian mun*ulnya jumlah B dan 3 kejad ian

mun*ulnya jumlah 11. ehingga P(A) 2 14; dan P(3)2141C. ejadian A

dan 3 terpisah, karena jumlah B dan jumlah 11 tidak mungkin terjadi

bersamaan pada satu ka li le mparan.

P(A " 3) 2 P(A) 9

P(3)

2 14; 9 141C



2 &4>

B. Peluang

Bersarat

!enghitung pe luang suatu kejadian berdasarkan pe luang kejadian lain

yang telah terjadi.Peluang bersyarat 3, bila A diketahui dinotasikan sebagai

Peluang bersyarat A, bila 3 diketahui dinotasikan sebagai

%ontoh

Peluang suatu penerbangan reguler berangkat tepa t pada +aktunya

adalah P(D)20.C=, peluang penerbangan itu mendarat tepat pada +aktunya

adalah P(A)20.>&, dan peluang penerbangan itu berangkat dan mendarat

tepat pada +aktunya adalah P(D8A)20.BC. /itung peluang bah+a suatu

pesa+at pada penerbangan itu

a. !endarat pada +aktunya bila diketahui bah+a pesa+at

itu berangkat pada +aktunya.

b. 3erangkat pada +aktunya bila diketahui bah+a pesa+at

itu mendarat pada +aktunya.

<a+a

b

a. Peluang bah+a pesa+at mendarat tepat pada +aktunya bila

diketahui bah+a pesa+at te rsebu t berangkat pada +aktunya

adalah



b. Peluang bah+a pesa+at berangkat pada +aktunya bi la diketaui

bah+a pesa+at itu mendara t pada +aktunya adalah

Dua kejadian A dan B dikatakan bebas bi la

P(3EA) 2 P(3) atau P(AE3) 2 P(A)

%onto

h

Pengambilan dua kartu berturut turut dengan pemulihan dimanaF A

merupakan kartu pertama sebuah a*e, dan 3 kartu kedua sebuah

sekop.arena kartu pertama dikembalikan sehingga ruang *ontoh

untuk pengambilan pertama dan kedua t etep sama sebesar 5& kartu,

yang mempunya ' a*e dan 1= sekop, sehingga

P(3EA) 2 1=45& 2

G P(3) 2 1=45& 2

G

ehingga kejadian A dan 3 dikatakan bebas.

!. "aidah Perkalian # $ulti%likati&

3ila dalam suatu per*obaan kejadian A dan 3 keduanya dapat

terjadi sekaligus, maka



2. P'R$(TASI

2.1Pendahuluan

Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam

suatu urutan tertent u. Dalam permutasi urutan diperhatikanH

3anyak permutasi yang mungkin, tergantung pada ukuran kelompok asalnya

(n) dan banyaknya item yang dipilih (r) dari kelompok itu.

!isal

Dari huru A, 3, % permutasi yang mungkin adalah A3%, A%3, 3A%,

3%A, %A3 dan %3A. Perhatikan ke enam susunan ini semua dianggap

be rbedaH

2.2 )alil*)alil Permutasi

Dali l-1 Permutasi :

Banyaknya Permutasi n benda yang berbeda ad alah n!

onsep 3ilangan 6aktorial

nH 2 n - (n1) - (n&) -....

0H 2 1

1H 2 1

&H 2 & - 1 2 &

=H 2 = - & - 1 2 ;, dst



100H 2 100 - >>H

Contoh :

3erapa *ara menyusun bola lampu merah, biru, kuning dan hijau 7

<a+ab

Terdapat ' objek berbeda merah, kuning, biru dan hijau 'H 2 '- =

- & - 1 2 &'


Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :

Perhatikan dalam *ontoh *ontoh ini urutan obyek sangat diperhatik anH

Contoh :

Dari '0 nomor rekening akan diundi = untuk memenangkan hadiah.

"ndian urutan pertama akan memperoleh uang tunai 1000, undian urutan

kedua memperoleh paket +isata dan undian urutan ketiga memperoleh

sebuah sedan. 3erapa banyaknya susunan p emenang yang mungkin

terbentuk jika satu nomor rekening hanya berhak atas

satuhadiah7

<a+ab

Contoh :

Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar. Berapa

susunan yang mungkin dibentuk?

Jaab :

n ! " maka

permutasi melingkar ! (" #$)% ! &% ! & × ' × × ×$ ! $*

Dalil-3 Permutasi :Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam suatu

lingkaran adalah (n-1)!




%ontoh

3erapa permutasi dari kata TATITIA7

<a+ab

2 &F T 2 =F A 2 &F I 2 &F 2 1

Permutasi 2



3."O$BI+ASI

ombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek

tanpa m em perhatikan urutan.!isalkan ombinasi & dari = obyek A, 3 dan % adalah1. A dan 3 2 3 dan A&. A dan % 2 % dan A

=. 3 dan % 2 % dan 3

maka Pemilihan & dari = obyek adalah

%=&2 =H 2 =

&H1H

Contoh :

!anajer D! mengajukan 10 *alon manajer yang

be rkua liikasi sama, 5 *a lon berasal dari antor Pusat, = *a lon dari

antor *abang dan & dari Program Pela tihan manajer.3erapa *ara

!anajer D! dapat memilih ; manajer baru dengan ketentuan = berasal

dari antor Pusat . & dari antor %abang dan 1 dari Program Pelatihan

manajer7

,. )ISTRIB(SI PROBABILITAS

Dalil kombinasi :Banyaknya kombinasi r item yang di ambil dari kelompok

berukuran n r ≤ n



,.1 Pendahuluan

• ejadian kejadian atau peristi+a peristi+a yang telah dijelaskan terdahulu dapat

dibentuk atau berbentuk suatu distribusi probabilitas. Distribusi inipun dapat

digambarkan dalam suatu poligon. Distribusi probabilitas adalah sebuah datar

dari kesulurah hasil suatu per*obaan kejadian yang disertai dengan nilai

probabilitas masingmasing hasil.!isal atu mata uang logam, muka 1 dan muka &. ita ingin mengamati banyaknya

muka 1 yang keluar dari pelemparan sebuah mata uang sebanyak = kali.3anyaknya peristi+a

1 1 1 & 1 11 1 & & 1 &

1 & 1 & & 1

1 & & & & &

Dari peristi+a tersebut kita dapat menyusun Distribusi probabilitas sebagai

berikut.

3anyaknya !uka

1

<umlah 6rekuensi

/asil Pr

0 1 14C

1 = =4C

& = =4C

= 1 14C

C 1

Dari tabel distribusi probabilitas kita dengan mudah menentukan berapa

probabilitas mun*ulnya muka 1 sebanyak & yaitu =4C.

• Jariabel andom adalah suatu ungsi yang menghubungkan sebuah bilangan riil

dengan setiap unsur didalam ruang sampel . "ntuk menyatakan ariabel random

digunakan sebuah huru besar, misalkan K. edangkan huru ke*ilnya, misalkan

-, menunjukkan salah satu dari nilainya.%ontoh

1. 2 L333, 33%, 3%3, %33, 3%%, %3%, %%3, %%%Mdengan 3 menunjukkan Ntanpa *a*at (baik)? dan % menunjukkan N*a*at?.

&. Jariabel random K yang menyatakan jumlah barang yang *a*at pada saat tiga

komponen elektronik diuji, maka ditulis K 2 0, 1, &, =.

• Distribusi probabilitas dibagi menjadi dua, yaitu

a. Distribusi Peluang Diskrit 3inomial , /ipergeometrik, Poisson



b. Dist ribus i Peluang ont inyu #ormal , t, 6, KO(*hi kuadra t)

,.2 )istribusi Peluang )iskrit

• Distribusi Dis%rit yaitu distribusi dimana perubahnya se*ara teoritis tidak

dapat menerima sembarang nilai diantara dua nilai yang diberikan. ering

lebih mudah bila semua peluang suatu peubah a*ak # dinyatakan dalam

suatu rumus. Tetapi juga tidak menutup kemungkinan apabila distribusi

diskrit dinyatakan dalam bentuk graik atau pun dalam bentuk tabel.

• Jariabel random diskrit adalah <ika suatu ruang sampel berisi sejumlah

kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur

sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut uang ampel

Diskrit, dan ariabel random yang dideinisikan disebut Jariabel andom

Diskrit.

• /impunan pasangan tersusun (-, (-)) adalah sebuah ungsi probabilitas,

ungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu ariabel

random diskrit K bila untuk setiap keluaran - yang mungkin, berlaku P(K 2 -) 2 (-)

0)( ≥ # & *

1)(1

=∑=

n

#

# &

*



•

∞<<∞−=≤= ∑≤

#untu% t & # ' P # ( #t

)()()(

Distribusi

kumulati 6(-) dari suatu ariabel random diskrit K dengan distribusi

probabilitas (-), adalah

•∑= )(.)( ii # & # '

#ilai ekspektasi K adalah nilai tengah

(ratarata) dari ariabel random diskrit K. Dinyatakan dengan @(K), yaitu

%ontoh

ebuah pengiriman C mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan e*eran berisi

= yang *a*at. 3ila suatu sekolah melakukan suatu pembelian a*ak & dari

mikrokomputer ini,

1. %arilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang *a*at.

&. %arilah distribusi kumulati untuk jumlah yang *a*at.

=. Dengan menggunakan 6(-), buktikan (&) 2 =4&C

'. /itung nilai ratarata K.

<a+ab

1. Ambil K sebagai ariabel random yang dideinisikan sebagai banyaknya

mikrokomputer yang *a*at yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. !aka

dapat dituliskan K 2 banyaknya mikrokomputer *a*at yang mungkin akan dibeli oleh

sekolah

2 0, 1, &



ehingga dapat dihitung

&C15

&

C1

5

1

=

)1()1( =

=== ' P & &C10

&

C&

5

0

=

)0()0( =

=== ' P &

&C

=

&C

0

5

&

=

)&()&( =

=== ' P &

&,1,0,

&

C

&

5.

=

)()( =

−

=== #untu% # #

# & # ' P

umus distribusi probabilitas adalah

<adi, distribusi probabilitas dari K adalah

K 0 1 &

(-) 104&C 154&C =4&C

&. Distribusi kumulati 6(-) adalah 6(0) 2 (0) 2 104&C

6(1) 2 (0) 9 (1) 2 104&C 9 154&C 2 &54&C6(&) 2 (0) 9 (1) 9 (&) 2 104&C 9 154&C 9 =4&C 2 1ehingga 1 , untuk - 0

6(-) 2 104&C , untuk 0 ≤ - 1



&54&C , untuk 1 ≤ - &

1 , untuk - ≥ &

=. Dengan menggunakan 6(-), maka(&) 2 6(&) 6(1)

2 1 &54&C2 =4&C

'. #ilai @kspektasi K adalah@(K) 2 0.(0) 9 1.(1) 9 &.6(&) 2 (0). (104&C) 9 (1). (154&C) 9 (&). (=4&C)

2 &14&C

,.3 )istribusi Probabilitas Binomial

Distribusi Peluang 3inomial menggambarkan enomena dengan dua hasil

atau outcome* %ontoh peluang sukses dan gagal,sehat dan sakit, dsb.

yarat Distribusi 3inomial

1. <umlah trial merupakan bilangan bulat.

%ontoh melambungkan *oin & kali, tidak mungkin & Q kali .

&. etiap eksperiman mempunyai dua outcome (hasil). %ontoh sukses

atau gagal, laki laki atau perempuan, sehat atau sakit, setuju

atau tidak setuju.

=. Peluang keberhasilan 2 p dan dalam set iap ulangan nilai p

tidak berubah. Peluang gagal 2 R 2 1 p.

'. etiap ulangan bersiat bebas satu dengan yang lain.

Deinisi Distribusi Peluang 3inomial

b(#+n,p)2 # p - untuk - 2 0,1,&=,...,n

n banyaknya ulangan

- banyak keberhasilan dalam peubah a*ak K

p pe luang berhasi l pada se tiap ulangan

R peluang gagal 2 1 p pada setiap ulangan

untuk memudahkan membedakan p dengan R, anda terlebih dahulu

harus dapat menetapkan mana kejadian "@ mana yang $A$AS. Anda

dapat menetapkan bah+a kejadian yang di t a n aka n adalah ke - a di a n



S (" S ' S

%ontoh

Peluang seorang mahasis+a m e m bo l o s adalah ;10, jika terdapat 5

mahasis+a, berapa peluang terdapat & orang mahasis+a yang t i da k m

e m b o l o s 7

<a+ab

ejadian yang ditanyakan ejadian "@ 2 TIDA !@!3S

Uang diketahui peluang !@!3S 2 R 2 ; 10 2 0.;0

p 2 1 R 2 1 0.;0 2 0.'0 - 2 &, n

2 5 b(- 2 &F n 2 5, p 2 0.'0) 2 ....................TabelPeluang Binomial

oalsoal peluang peluang binomial dapat diselesaikan dengan

bantuan Tabe l Distribus i Peluang 3inomial

%ara memba*a Tabel tersebut

n - p 2 0.10 p 2 0.15 p 2 0.&0

5 0 0.5>05 0.''=B 0.=&BB

1 0.=&C0 0.=>15 0.'0>;

& 0.0B&> 0.1=C& 0.&0'C

= 0.00C1 0.0&'' 0.051&

' 0.000' 0.00&0 0.00;'

5 0.0000 0.0001 0.000=

%ontoh - 2 0 n 2 5 p 2 0.10 b(0F 5, 0.10) 2 0.5>05

<ika 0V - V &, n 2 5 dan p 2 0.10 maka

b(-F n, p) 2 b(0F 5, 0.10)9 b(1F 5, 0.10)9b(&F5 ,0.10)

2 0.5>05 9 0.=&C0 90.0B&>

2 0.>>1'

%ontoh

uatu perusahaan Npengiriman paket ? terikat perjanjian bah+a



keterlambatan paket akan menyebabkan perusahaan

harus membayar biaya kompensasi. <ika Peluang setiap kiriman akan

terlamba t adalah 0.&0 3ila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitas

a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan

tidak membayar biaya kompensa si7 (- 2 0)

b. Sebih da ri & paket ter lambat7 (- 2&)

*. Tidak Sebih dari = paket yang terlambat7(- V =)

d. Ada & sampai ' paket yang terlambat7(& V - V ')

<a+a b

a. - 2 0 b(0F 5 , 0.&0) 2 0=&BB (li hat di tabel a tau dihitung dgn

rumus)



,., )istribusi Probabilitas Hi%ergeometrik

"ntuk memahami pengertian dari peluang /ipergeometrik maka akan disajikan

perbedaanantara peluang binomial dengan hipergeometrik.

• Peluang 3inomial perhatian hanya untuk peluang 3@/AIS

• Peluang /ipergeometrik untuk kasus di manape luang 3@/AIS

berkaitan dengan Peluang $A$AS. elain itu terdapat penyekatan

dan pemilihan4kombinasi obyek (3@/AIS dan $A$AS)

Per*obaan hipergeometrik adalah per*obaan dengan *iri *iri sebaga i

be riku t

1. %ontoh a*ak berukuran n diambil dari populasi berukuran #

&. k dari # diklasi ikasikan sebagai W3@/AISW sedangkan # k

diklasiikasikan sebagai W$A$ASW.



%ontoh uatu kotak terdiri dari 100 barang, >0 diantaranya baik dan sisanya *a*at. Salu

dilakukan sampling dengan ukuran sampel n2; terhadap barang di dalam kotak.

3erapakah probabilitas memperoleh jumlah yang baik '7<a+ab n2' , p2>04100 20,> ,r2' , #2100 ,2>0

<adi p(') 2 %>0

' . %100>0

;'

%100;

>0H . 10H 2 'H. C;H &H CH

100H ;H >'H

,. )istribusi Probabilitas Poison

Distribusi poisson adalahDistribusi nilainilai bagi suatu ariabel random K (K diskret),

yaitu banyaknya hasil per*obaan yang terjadi dalam suatu interal +aktu

tertentu atau di suatu daerah tertentu.Distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah



peris ti+a yang t er jadi pada periode +aktu tertentu apabila ra ta rata

kejadian tersebut diketahui dan dalam +aktu yang saling bebas sejak

kejadian terakhir.

Tabel Peluang Poisson

epert i halnya peluang binomial, soa l soal peluang Poisson dapat

diselesaikan dengan Tabel Poisson.

%ara memba*a dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbed



,.3 )istribusi Probabilitas "ontinu

Distribusi kontinyu merupakan salah satu ma*am distribusi probabilitas, yaitu

model matematik yang menghubungkan nilai ariabel dengan probabilitas

terjadinya nilai itu. Dengan perkataan lain, kita dapat membayangkan diameter

*in*in piston sebagai $ariabel random, karena diameter itu menjalani nilainilai

yang berbeda dalam populasi itu menurut mekanisme random. !aka distribusi

probabilitas diameter *in*in menggambarkan probabilitas terjadinya setiap nilai



diameter *in*in di dalam populasi itu. Dimana untuk distribusi kontinyu ariabel

yang diukur dinyatakan dalam skala kontinyu. leh karena itu distribusi

probabilitasnya dinamakan distribusi %ontin"u.



Documents

PROBABILITAS