Probabilidad Lq

8/10/2019 Probabilidad Lq

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Cec ili a Lar ran R. PROBAB ILIDAD Pgi na 1

PROBABILIDAD

Significado de clculo de probabilidades: "En el fondo, la teora de probabilidades esslo sentido comn expresado con nmeros".

"Es notable que una ciencia que comenz con las consideraciones de juegos de azar haba

de llegar a ser el objeto ms importante del conocimiento humano. Las cuestiones msimportantes de la vida constituyen en su mayor parte, en realidad, solamente problemasde probabilidad".

Pierre Simon de Laplace( 1749 - 1827 )http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/09-01-b-LaplaceObra.htm

El objetivo fundamental de la Estadstica es utilizar los datos de unamuestra para inferir sobre las caractersticas de una poblacin a la que no

podemos acceder de manera completa. Es decir, a partir de la muestrainferir sobre la poblacin. Por lo que se debe elegir al azar algunoselementos de la poblacin.

Ejemplo:Para conocer la intencin de voto en un pas se debe seleccionaraleatoriamente algunos componentes (ciudadanos) de eseuniverso (poblacin) y se registra su voto. Esto constituye unexperimento aleatorio.

Experimentos aleatorios()

Los aspectos ms importante que distinguen a los experimentos aleatoriosson:- Todos los posibles resultados del experimento son conocidos con

anterioridad a su realizacin.

- No se puede predecir el resultado del experimento.

- El experimento puede repetirse en condiciones idnticas, pero no s iempreproporciona los mismos resultados (depende del azar).

El conjunto o coleccin de posibles resultados del experimento aleatorio sedenomina espacio muestral (o universo) y se denota por

Ejemplos de experimentos aleatorios Espacio Muestral ()

1. Se lanza una moneda dos veces, se observanlos resultados.

1={(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}C cara S sello

2. Se lanza un dado y se observa el nmero que

aparece en la cara superior2= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3. Despus de fabricado, un tubo de rayoscatdicos se somete a una prueba de duracin,y se deja en funcionamiento hasta que falla. Seregistra el tiempo t (en horas) defuncionamiento hasta el momento de la falla.

3= {t/ t > 0}

4. Tiempo en aos de duracin de un procesador 4= R+= [0 , )
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/09-01-b-LaplaceObra.htmhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/09-01-b-LaplaceObra.htmhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/09-01-b-LaplaceObra.htm


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A los resultados de un experimento y los subconjuntos de posiblesresultados de un experimento aleatorio se les llama sucesos o eventos yse les denota con letras maysculas.

Suceso elemental: Todo resultado que puede ocurrir al realizar una sola

vez el experimento aleatorioEjercicios I

Ejercic io I-1

Una caja contiene 6 ampolletas incandescentes de las cuales dos estndefectuosas (D), describa de los siguientes :

i) Las ampolletas son probadas (sin reposicin) hasta encontrar una defectuosa=

ii) Se extraen al azar una muestra de dos ampolletas de la caja.=

Ejercic io I-2

El experimento aleatorio : lanzar dos monedas al aire.Espacio muestral = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}; C cara S sello

Se definen los sucesos:A = { salga una cara} = {(C,S), (S,C) }B = {salga al menos una cara}= {(C,C), (C,S), (S,C) }Determine: A UB =

A B =

Suceso contrario del suceso A: AC=

B AC=

Ejercic io I-3

Sean tres sucesos cualesquiera A, B, C de un experimento aleatorio. Exprese lossiguientes sucesos en funcin de A, B, C:

a) Solamente ocurre A b) Ocurre A y B pero no C

c) Ocurren los tres sucesos d) Ocurre por lo menos uno (A U B U C)

e) Por lo menos dos ocurren (A B) U (A C) U (B C)

2 D4 DC (B DC)


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f) Ocurre slo un suceso (A B C ) U (A B C ) U (A B C)

g) Ocurren solamente dos de los sucesos

h) Ninguno de los sucesos ocurren

Ejercic io I-4

Una caja contiene 120 chips, de los cuales 80 han sido fabricados por la industria A y elresto por la compaa B.

Se seleccionan aleatoriamente y sin reposicin una muestra de 10 chips de la caja

a) Describa e indique cul es la cantidad de muestras posibles (de tamao 10)

b) Cuntas muestras posibles de tamao 10 contienen 6chips de la indu str ia A?

Ejercic io I-5De la produccin de cierto artculo, se seleccionan al azar diariamente 3 artculos pararevisin. Despus de la revisin los artculos son clasificados como defectuosos o buenos.a) Indique la cantidad de muestras posibles de tamao 3 que existen para realizar el control

de calidad. Pero no conocemos la cantidad de artculos que se producen diariamente!!!!!!

b) Describa

c) Indique la cantidad de puntos de con:

ningn artculo defectuoso

un artculo defectuoso

dos artculos defectuosos

todos los artculos defectuosos

DEFINICIN DE PROBABILIDAD

Aunque el concepto de probabilidad parece simple, ya que se encuentra con

bastante frecuencia en la comunicacin entre personas.

Ejemplo: Existe un 80% de posibilidades de que llueva


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Enfoques de definicin

Subjetiva o personalista

Enfoques = Clsica o aprioriObjetiva

Frecuencia relativa o posteriori

Probabilidad subjetiva o personalista

(Savage 1950). La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene

sobre la certeza de una proposicin determinada.

Ejemplo: Basado en su experiencia, un salubrista puede afirmar que este veranotendremos una epidemia de clera con una probabilidad de 0,0001 (0,01%).

Este enfoque de las probabilidades dio lugar al enfoque del anlisis de

datos estadsticos denominado Estadstica Bayesiana

Probabilidad clsica de Laplace o a priori

Si un experimento aleatorio puede dar origen a uno de los N resultados

diferentes igualmente pro bables y si n de estos resultados tienen un

atributo A, la probabilidad de A es

nP(A) =

N

Ejemplo: Lanzamiento de dos veces una moneda= {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}

P(obtener una cara) =2

4= 0,5

Las probabil idades se calculan mediante un razonamiento abstracto (no es

necesario realizar el para determinar la probabilidad de un suceso)Frecuenc ia relativa o apos terio ri o emprica (VON MISES)

Probabilidad de un suceso es aproximadamente la frecuencia relativa de

veces que ocurrir el suceso al realizar un experimento repetidas veces

ro

ro

n de casos favorables a AP(A)=

n de casos posibles


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Ejemplo:

Invest igador

Nmero d elanzamientos

de unamoneda

Nmerode caras

Frecuencia relativa

nro de caras

nro de lanzamientos de la moneda

Buffon 4040 2048 0,5069K. Pearson 12000 6019 0,5016K. Pearson 24000 12012 0,5005

Cuando se utiliza la definicin frecuencia relativa, es importante tomar en cuentalos siguientes aspectos:

i. La probabilidad obtenida de esta manera es nicamente una estimacin delvalor real.

ii. Cuanto mayor sea el nmero de ensayos, tanto mejor ser la estimacin dela probabilidad; es decir, a mayor nmero de ensayos mejor ser laestimacin.

iii. La probabilidad es propia de slo un conjunto de condiciones idnticas aaqullas en las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplearesta definicin depende de que las condiciones en que se realiz elexperimento sean repetidas idnticamente

Generalizando este proceso, la probabilidad de un suceso A, P(A), es

An

P(A)= limnn

donde nAes el nmero de ocurrencia de A en n ensayos del experimento

Definicin axiomtica de probabilidad (1933-Kolmogorov)

Se llama probabilidad a cualquier funcin P, que asigna

a cada suceso A del espacio muestral un valor numrico

P(A), que satisfaga

las siguientes reglas (axiomas):

i) 0 < P(A) < 1

ii) P() = 1

iii) Si A y B son sucesos que se excluyen mutuamente

P(A B) = P(A) + P(B); unin. (o)

Obs.: el ax. iii se puede ampliar a tres o ms sucesos mutuamente excluyentes

Andrei NikolaevichKolmogorov(1903-1987)


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Consecuencia de los axiomas d e probabi l idad (teoremas):

Sea A, B, C sucesos cualesquiera del espacio muestral

1) Probabilidad de un suceso imposible P() = 0

2) Probabilidad de que no ocurra el suceso A: P(AC) = 1 - P(A)

3) Probabilidad de que ocurra el suceso A y no ocurra el suceso B:

P(A BC) = P(A)P(A B)

4) Probabilidad de que ocurra el suceso A o ocurra el suceso B

P(A B) = P(A) + P(B)P(A B)

DIAGRAMA DE VENN

5)P(A U B)C = P(AC BC)

Otras propiedades:

6. De (4) se deduce: P(A B CC) = P(A B) - P(A B C)

7. De de (3), (4) y (5): P(A BC

CC) = P(A) - P(AB) - P(A C) + P(A B C)

Demuestre que:8. P( AU B U C) = P(A) + P(B) + P(C)P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C)

unin o al menos uno de los

dos sucesos ocurren

interseccin y ambos sucesosocurren


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Ejemplo:Sean A y B dos suceso tales que P(A) =2

5, P(BC) =

2

3y

P(AC BC) =1

3. Hallar la P(A U B) y P(A B)

Ejemplo:Se sabe que P(A) = 0,3, P(B) = P(C) = 0,2 y P(AB) = P(AC) =

P(BC) = 0,1 y P(A B C)= 0,05.Calcular la probabilidad P(A U B U C) Resp.: 0,45

Ejemplo: Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital sonhipertensos (A), un 10% son obesos (B) y un 3% son hipertensos yobesos:Se elige un paciente al azar, cul es la probabilidad de que elpaciente sea:a) obeso y no hipertenso (slo obeso)?b) obeso o hipertenso?

c) no obeso y tampoco hipertenso?

Siempre debe definir los sucesos y anotar probabilsticamente lainformacin que entrega el enunciado del problema.

H= el paciente es hipertensoB = el paciente es obeso

La informacin del problema tambin se puede representar en tabla

Complete la tabla

pacienteObeso

BNo obeso

BC Total

HipertensoH

P(H B)0,03

P(H B ) P(H)0,15

No HipertensoHC

P(HC B) P(H C BC) P(HC)

Total P(B)0,10 P(B ) 1,00

d. Si el paciente elegido es obeso , cul es la

probabilidad de que sea hipertenso?

Puede construir el

diagrama de VENN


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Ejemplo: El nivel educacional de las 1000 personas que trabajan en una

Industria se distribuye de la siguiente forma:

Enseanza Media (EM): 80 Tcnica (T): 450

Universitaria (U) : 430 Post Grado: 40La quinta parte de la persona con nivel educacional EM son mujeres, as

como la mitad de los profesionales universitarios, la tercera parte de los

tcnicos y el 60% de los profesionales con post grado:

Gnero

N. Educa

Mujer

M

Hombre

H Total

EM 80T

U 215 430

G

Total 1000

Complete la tabla de contingencia

Se elige a una personade la industria al azar, a) determine la probabilidad

de que sea :

Hombre P(H) =

Titulo Tcnico y mujer P(T M) =

Titulo tcnico y con Post grado P(T G)

b. Si la persona elegida es hombre, cul es la probabilidad de que

tenga post-grado? P(pedida) =

c. Si la persona elegida es mu jer, cul es la probabilidad de que no

tenga post-grado? P(pedida) =


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PROBABILIDAD CONDICIONAL

Se define la probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de Asabiendo que ha ocurrido B como:

P(A B)

P(A / ) = )B P(B ; P(B) >0

Y la probabilidad de B condicionada a A, o probabilidad de B sabiendo que

ocurre A se define comoP(B A)

P(B / A) =P(A)

Ejemplo:La probabilidad de que un sistema de comunicacin tenga alta fidelidades 0,81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es 0,18.Cul es la probabilidad de que un sistema de comunicacin con altafidelidad tenga tambin alta selectividad?

Solucin:Sean los sucesosF = un sistema de comunicacin tenga alta fidelidadS = Un sistema de comunicacin tenga alta selectividad

P(F) = 0,81 P(F S) = 0,18

( 0,222)P(F S) 0,18 2

P(S / F) = = =P(F) 0,81 9

Ejercicio: En una poblacin, el 52% son hombres, de los cuales el 82%son aficionados al ftbol, mientras que slo el 20% de las mujeres, sonaficionadas al ftbol.

a. Cul es la probabilidad de que una persona elegida al azar seaaficionada al ftbol?

b. Se elige a una persona de la poblacin al azar y resulta af ic ionadaal ftbol, cul es la probabilidad de que sea mujer?

Se def inen los sucesos

M = la persona es mujer H = la persona es hombre (MC)

F = la persona es aficionada al ftbol

a. Las probabilidades que entrega el enunciado son:

P(M) = P( / ) =

P(H) = 0,52 P( / ) =

Se deduce que P (A B) = P(B)P(A / B)

= P(A)P(B / A)


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b. Completa la tabla:

La persona es Aficionada al football

FNo aficionada al football

FC Total

Mujer

M

P( M F)

0,096

P( M F ) P(M)

HombreH

P( H F)0,4264

P( H F ) P(H)0,52

TotalP(F) P(F )

1,00

Respuestas:a) P( ) = b) P( / ) =

La probabilidad condicional P( / ) satisface las propiedades correspondientes

a probabilidades:i) 0 < P(A/B) < 1ii) P(/B) = 1iii) Si A1y A2son sucesos que se excluyen mutuamente ( A1 A2) =

P((A1 A2)/B) = P(A1/B) + P(A2/B)

A la expresin P (A B) = P(A)P(B / A) se le conoce como regla demultiplicacin

Regla de multiplicacin

Sea A1, A2, ,Aksucesos cualesquiera de P ( A1 A2 Ak) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/ A1A2) P(Ak/

k -1

i

i=1

A )

Ejemplo: Una caja contiene siete fichas negras y cinco rojas. Si seextraen sucesivamente (sin reposicin)tres fichas de la caja:

Ni= la ficha i es negra Ri= la ficha i es roja; i = 1, 2, 3

Determine la probab il idad de extraer:

a) tres fichas rojas es

P(R1R2R3) = P(R1)P(R2 /R1)P(R3 /R1 R2) =5 4 3

12 11 10 = 0,0455

b) Al menos una ficha negra

c) Dos fichas negras

d) Slo la segunda ficha sea roja

Respuestas: b) 0,9545 c ) 0,4773 d) 0,1591

= {(R,R,R), (R,R,N), (R,N,R), (N,R,R), (R,N,N), (N,R,N), (N,N,R), (N,N,N)}


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Independencia Estadstica

Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia (o no

ocurrencia) de uno no afecta la probabilidad a la ocurrencia del otro.

Consecuencia de la independencia:

P(A / B) = P(A) P(B / A) = P(B) P (A B) = P(A)P(B)

Sea A1, A2, ,Ak; k sucesos independientes

P ( A1 A2 Ak) = P(A1)P(A2)P(A3) P(Ak)

=k

i

i=1

P(A )

Ejemplo:Una caja contiene 10 tubos de ensayos de los cuales 6 estn

buenos (B) y 4 estn defectuosos (D).

Se extraen al azar dos tubos de la caja:

Sea Di= el tubo i de ensayo que se extrae es defectuoso. i = 1, 2.

a) Si el experimento se realiza conreposicin, determine laprobabilidad de que las dostubos extrados seandefectuosos:

ind

P( D 1 D2) = P(D1)P(D2)

=4 4

10 10

= 0,16

b) Si el experimento se realiza sinreposicin, determine laprobabilidad de que los dos tubosextrados sean defectuosos:

P( D 1 D2) = P(D1)P(D2/ D1)

=4 3

10 9

= 0,13

Ejercicio:Dos tubos defectuosos (D) se mezclan con dos buenos (B). Los

tubos se prueban uno por uno (sin reposicin), hasta encontrar los dos

defectuosos

a. Describa el espacio muestral

b. Cul es la probabilidad de encontrar el ltimo tubo defectuoso en la tercera

prueba?


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Ejercicio s II

Ejercic io II-1

Sean A, B dos sucesos tales que P[A] = 0.30, P[B] = 0.40. Hallar laP[A U B] y la

P[ocurra slo uno de los dos sucesos] en los siguientes casos:a. Si A y B son excluyentes.b. Si A y B son independientes.c. Si A B

Resp.: a) 0,70 0,70 b) 0,58 0,46 c) 0,40 0,10

Ejercic io II-2

Sean A y B sucesos con P(A) = , P(B) = y P(A B) = . Exprese las

probabilidades siguientes en funcin de , y .

a. P(ACU B

C) = b. P(A

C B) =

c. P(A

C

U B) = d. P(A

C

B

C

) =

Ejercic io II-3Sean los sucesos A, B y C de un espacio muestral tal que:

P(A) = 0,3, P(B) = 0,4, P(C) = 0,6, P(A B) = 0,15 P(A C)=0,17,P(B C) = 0,23 y P(A B C) = 0,05.

Determine:a) Probabilidad de que ocurra solo A y B. P(A B CC) =b) Probabilidad de que ocurra solo el suceso A. P(A BC CC) =c) Ninguno de los tres sucesos ocurrand) Por lo menos uno de los suceso ocurrane) Si ocurri el suceso C, cul es la probabilidad de que ocurra A y B?

Ejercic io II-4Para evaluar a un grupo alumnos se decidi aprobar aquellos que superen almenos, una de las dos partes del examen de segunda opcin; por esteprocedimiento aprobaron al 80%. Sabiendo que superaron el mnimo de cada unade esas partes el 60% y el 50%, respectivamente, calcule el porcentaje de los quesuperaron simultneamente ambas partes. Resp.: 0,30

Ejercic io II-5

La probabilidad de resolver correctamente alguna de las dos versiones de ciertatarea es 0,45, mientras que la de resolver la primera es 0,40 y la de resolver lasegunda es 0,30. Cul es la probabilidad de resolver correctamente ambasversiones? La resolucin de esas dos versiones es independiente? Resp.: 0,25, no


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Ejercic io II-6Un estudio clnico de una universidad en una poblacin ha encontrado que laprobabilidad de que se den trastornos en el sueo (S) es 0,70, la probabilidad deque se den trastornos de tipo depresivo (D) es 0,20 y la probabilidad de que seden ambos 0,10. Si se extrae un sujeto de dicha poblacin al azar. cul es la

probabilidad de que se tenga solamente uno de los trastornos? Resp. 0,70

Ejercic io II-7

En una ciudad se estudia la cantidad de usuarios de internet segn el sexo.Supongamos los siguientes datos en miles de individuos:

Hombre Mujer Total

Usa Internet 40 35 75

No usa Internet 185 240 425

Total 225 275 500

Se selecciona un sujeto al azar y sea los siguientes sucesosI: usar internet H: Ser hombre

a. Determine e interprete la probabilidad de:P(I)= P(H)= P(I H) = P(I HC)

b. Si mediante un procedimiento aleatorio se seleccion a un sujeto varn, Cules la probabilidad de que use internet?

Ejercic io II-8

Sean 2 sucesos A y B de los cuales se sabe que la probabilidad de B es eldoble que la de A; que la probabilidad de la unin es el doble que la de suinterseccin; y que la probabilidad de su interseccin es de 0,1.

a. Calcule la probabilidad de Ab. Qu suceso es ms probable que ocurra sabiendo que ya ha

ocurrido el otro?


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PROBABILIDAD TOTAL

Supongamos que sobre el espacio muestral tenemos una particinA1, A2, , Ak

k = 5

Esto significa que cualquier resultado de necesariamente debe estar en

uno y solo uno de los sucesos Ai

Ejemplo: La elaboracin de un determinado tipo de artculo puede

realizarse con tres mquinas (A1 A2y A3) la produccin de artculos diarios

de las tres mquinas estn en una razn 2:2:1.

Consideremos un suceso B dentro del espacio muestral, que indica la

proporcin de artculos sin defectos (buenos).

Las proporciones de artculos sin defectos fabricados por las tres

mquinas A1 A2y A3son 0,96 , 0,95 y 0,98 respectivamente.

La probabilidad total permite responder a la pregunta: Si se

selecciona al azar un artculo de la produccin de cierto da Cul es la

probabilidad de que el artculo sea bueno (P(B))?

Solucin:Sea Ai= el artculo seleccionado proviene de la mquina i. i = 1,2,3

B = el artculo seleccionado es bueno (no defectuoso)

P(A1 )= 0,4 P(B/A1) = 0,96

P(A2) = 0,4 P(B/A2) = 0,95

P(A3) = 0,2 P(B/A3) = 0,98

Ai Aj= i j; Se conocen las probabilidades

P(Ai) , i = 1,2, , k

P(B/Ai) , i = 1,2, ,k


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Se puede presentar y las probabilidades de los sucesos en la tablasiguiente:

Mquina B(bueno)

BC Total

A1P (A1 B)

0,384

P (A1 BC)

0,016 P(A1)= 0,4

A2P (A2 B)

0,380P (A2 B )

0,02P(A2) = 0,4

A3P (A3 B)

0,196P (A3 B )

0,004P(A3) = 0,2

TotalP(B)0,96

P(BC)0,04

1,000

Recuerde que: las probabilidades P(A1), P(A2) , P(A3) y P(B/A1), P(B/A2), P(B/A3)

son conocidas

y P(A1 B) = P(A1)P(B/A1) , , P(A3 B) = P(A3)P(B/A3)

PROBAB ILIDAD TOTAL

Sea 1 2 3 kA , A , A ,........, A una particin del espacio muestral y B un suceso

que pertenece a , entonces la probabilidad total de B est dada por:

1 2 3 k

1 2 3

1 1 2 2 n n

k

i i

i=1

P(B)= P (B A ) (B A ) (B A ) ......... (B A )

= P(B A )+P(B A )+P(B A )+........P(B Ak)

= P(B/A ) P(A )+P(B/A ) P(A )+.........P(B/A ) P(A )

= P(B/A ) P(A )

Tambin se puede utilizar un diagrama de rbol para resolver

problemas de probabilidad total:


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TEOREMA DE BAYES

Thom as BAYES(170217/04/1761)

Bayes permite contestar, por ejemplo: Si articulo seleccionado al azar es

bueno, cul es la probabilidad de que haya sido elaborado por la mquina2?

Es decir: 22P(A B)

P(A / B) = = 0,39583P(B)


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Sea A1, A2,A3,,Ar, Ak una particin del espacio muestral y B unsuceso sobre , P(B) > 0, entonces:

r r kr k

i i

i=1

P(A B) P(B/A ) P(A )P(A /B)= =

P(B)P(B/A ) P(A )

Ejercicio: Para llenar de agua depsitos con superficie flexibles de formaautomtica, una mquina puede realizar el proceso a baja o alta velocidad.Cuando el proceso se realiza a baja velocidad, el 0,1% de los depsitostienen un volumen de llenado incorrecto. Mientras que si el proceso serealiza a alta velocidad, el 1% de los depsitos presentan un volumenincorrecto. Se sabe que el 30% de los depsitos se llenan a alta velocidad.Si se inspecciona un depsito al azar y se encuentra que su volumen es

incorrecto.

Cul es la probabilidad que se haya realizado a alta velocidad?Resp.: 0,8108

Ejercicio s III(varios)

1. Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B, y C. En ellaboratorio hay tres tubos de ensayo con el virus A, dos tubos deensayos con el virus B y cinco tubos de ensayo con el tubo C. Laprobabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que laproduzca B es de 3/5 y que la produzca C es de 1/8.

1.1. Complete la tabla con las probabilidades respectivas

Particin de

Produce laenfermedad

E

No produce laenfermedad

EC Total

Virus A

Virus B

Virus C

Total 1,0000

1.2. Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedadCul es la probabilidad de que el virus inoculado sea C.

2. Se sabe que el componente de la expresin facial arqueo de cejaaparece el 90% de la gente al expresar sorpresa, el 30% al expresar ira,y el 10% al expresar pena. En un estudio se est utilizando un 25% deestmulos que producen sorpresa, un 25% que producen ira y un 50%


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que producen pena. Si un sujeto presenta ese componente de expresinfacial ante uno de los estmulos, cul es la probabilidad de que estexpresando una emocin sorpresa? Resp. 0,643

Arqueo de ceja Total

SISorpresa

Pena

Ira

Total 1,000

3. Los alumnos de Anatoma I tienen que realizar dos pruebas, una tericay otra prctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte

terica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte prctica es de0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

a. Son independientes los sucesos aprobar la parte terica y la parteprctica?

b. Cul es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de losdos exmenes?

c. Cul es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente unode los dos exmenes?

d. Se sabe que un alumno aprob la teora. Cul es laprobabilidad de que apruebe tambin la prctica?

4. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20%son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puestodirectivo y el 50% de los economistas tambin, mientras que de los noingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puestodirectivo. Cul es la probabilidad de que un empleado directivoelegido al azar sea ingeniero?

5. El suero de una mujer embarazada puede ser analizado por medio de unprocedimiento llamado electroforesis en gel de almidn. Este

procedimiento permite detectar la presencia de una zona protenicallamada zona de embarazo, la cual se supone que es un indicador deque el bebe es mujercita. Para investigar las propiedades de este testse seleccionaron 300 mujeres para su estudio. A continuacin se dan losresultados de este test y los sexos de los recin nacidos.


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Zona deembarazo

Zona de embarazo TOTAL

+ -

Varn (V) 51 96 147

Mujer (M) 78 75 153

TOTAL 129 171 300

Se al azar a una mujer del estudio, determine las siguientes probabilidades(estimadas):

a) P ( + ) = b) P ( - V)= c) P (+ U M )

d. Si se sabe que el bebe tiene sexo femenino, Cul es la prob. de que eltest de +? (Sensibilidad del test)

e. Si se sabe que el bebe no tiene el sexo femenino, cul es laprobabilidad de que el test de negativo? (Especificidad del test)

f. Su el test dio +, cul es la probabilidad de que el bebe sea mujer?g. Su el test dio -, cul es la probabilidad de que el bebe sea hombre?h. Si el bebe es mujer, Cul es la probabilidad de que el test se

equivoque?

i. Si el bebe es hombre, Cul es la probabilidad de que el test seequivoque

6. Los estudios epidemiolgicos indican que el 20% de los ancianossufren deterioro neuropsicolgico. Se sabe que la tomografa axialcomputarizada (TAC) es capaz de detectar ese trastorno en el 80% delos que lo sufren, pero que tambin da un 3% de falsos positivosentrepersonas sanas. Si se toma un anciano al azar y da positivo en el TAC,cul es la probabilidad de que est realmente enfermo?Resp. 0,8696

7. Un servidor gestiona el correo electrnico de una institucin. El 10% de losmensajes que se reciben son SPAM, y se desea detectarlos y eliminarlos. Seposee un algoritmo de deteccin de correo SPAM que cuando es realmenteSPAM lo identifica con probabilidad 0,95. Sin embargo, cuando el mensaje noes SPAM lo identifica el 3% de las veces como SPAM. Encuentre laprobabilidad de que habiendo identificado un mensaje como SPAM, ste no losea. Resp.: 0,22131


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APLICACIONES DE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

PRUEBAS DIAGNSTICAS MDICAS

La validez de una prueba diagnstica se define como la capacidad que

tiene para distinguir quienes presentan la enfermedad y quienes no la

presentan.

Componentes:

Sensibi l idad (verdaderos +): Capacidad de una prueba de

identificar correctamente (+) a aquellos que tienen la enfermedad (E)

= tasa de aciertos sobre enfermos P(+/ E)

Especi f ic idad: (verdaderos -): Capacidad de una prueba de

identificar correctamente (-) a aquellos que no tienen la enfermedad

(EC) = Tasa de aciertos sobre sanos P(- / EC)

Resultado de la pruebaTotalPositivo (+) Negativo (-)

Enfermo (E) P(E +) P(E -) P(E)

No Enfermo (EC

) Sano P(EC

+) P(EC

-) P(EC

)

Total P(+) P(-) 1

Ejemplo:

PoblacinResultado de la prueba

TotalPositivo (+) Negativo (-)

Diabtico (E) 350 150 500

No Diabticos 1900 7600 9500

Total 2250 7750 10.000

Determine las pro babil id ades de aciertos:

Sensibilidad: P(+ / E) = Especificidad: P(- /EC) =

Determine e interprete:

P(- / E) = P(+ / EC) =


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APLICACIONES DE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

VALORES PREDICTIVOS

Lo que interesa saber en la prcticaes, predecir si una persona est

sana o enferma, a partir del resultado del test diagnstico, es decir las

cantidades

Valor (nd ice) Predic tiv o Pos itiv o: Representa la probabilidad de

que la persona tenga la enfermedad al obtener (dado) un resultado

positivoen el test de diagnstico P(E / +)

Valo r (nd ice)Predi ct ivo negativ o: Representa la probabilidad de que

la persona no tenga la enfermedad al obtener (dado) un resultado

negativo en el test de diagnstico P(EC/ -)

Por lo tantos, los ndices predictivos la probabilidad de un persona depresentar o no la enfermedad dado el resultado de la prueba diagnstica

Tambin se puede obtener las probabilidades de fallo del test

P(-/ E ) = coeficiente falso negativo

P (+ / EC) = coeficiente falso positivo


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Errores de diagnsticos

Un individuo que presenta los sntomas de la enfermedad pero est

sano un individuo que no presenta los sntomas de la enfermedad

pero est enfermo. Probabilidad de error de diagnstico:

P(E/ -) y P(EC/ +)

Prevalenc ia de una enfermedad: Es la probabilidad de que un

individuo tenga una enfermedad en un momento dado: P(E)

Incidencia de una Enfermedad en un intervalo de tiempo I: La

probabilidad de que se desarrolle un nuevo caso entre las personas

sanas en el intervalo I.

N de casos nuevos en I

N de casos al empezar I

Del ejemp lo de la Diabetes:

PoblacinResultado de la prueba

TotalPositivo (+) Negativo (-)

Diabtico (E) 350 150 500No Diabticos 1900 7600 9500

Total 2250 7750 10.000

Valor Predictivo Positivo =

Valor Predictivo Negativo =

= = P(E / -) = P(EC/ +) =

CUANTO MAYOR SEAN LA SENSIBILIDAD Y ESPECIFICIDAD

MS FIABLE ES EL TEST


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Cec ili a Lar ran R PROBAB ILIDAD Pgi na 23

Ejercicios IV

1. Si la probabilidad de que los caballos de carrera padezcan ciertaenfermedad es del 1% y existe un test para saber si tienen o no dichaenfermedad fiable al 90% (sensibilidad y especificidad). (a) cul es la

probabilidad de que un caballo (seleccionado al azar) tenga la enfermedadsi el test predice que la tiene? (b)Si el test resulta fiable al 99,9%. cul esentonces dicha probabilidad?

2. La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. Lapresencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidades de 0,3 y la especificidad de 0,99. Calcule los ndices predictivos.

Resp: P(E/+) = 0,88 P(S/-) = 0,85

+ - Total

Enfermo

Sano

Total

4. Para estudiar la eficacia de un nuevo test para el diagnstico de un tipoparticular de cncer que los padece el 1% de las mujeres de edad avanzada,se aplic el test a un grupo amplio de mujeres con tal tipo de cncer y a otrogrupo de mujeres sanas, obtenindose el siguiente resultado:

Presencia del

cncer

Resultado del test TOTAL

+ -Si 850 150 1000

No 45 1455 1500

TOTAL 895 1605 2500

Estime la sensibilidad y la especificidad de la nueva prueba diagn

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Probabilidad Lq