PROBABILIDAD

TERCERA PARTE

Antecedentes Históricos de la ProbabilidadLa teoría de la Probabilidad nace cuando los apostadores utilizaron las bases matemáticas para conocer las posibilidades que se tenían para ganar en un juego de azar.

Fue en el siglo XVII que el noble francés Antoine Gombauld (1607-1684), le preguntó al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662): “¿Cuáles son la posibilidades de obtener dos seises al menos una vez en 24 tiradas de un par de dados?”

 Pascal resolvió este problema y compartió sus estudios con el famoso matemático Pierre de Fermat (1601-1665). Las cartas que se escribieron estos tres personajes, constituyen las bases de la Teoría de la Probabilidad.

... Años más tarde, Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (16667-1754), el reverendo Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813), desarrollaron fórmulas y técnicas para calcular probabilidades. A finales del siglo XVIII, otro matemático llamado Karl Gauss presentó también algunos trabajos relacionados con la probabilidad.

  Fue a principios del siglo XIX que Pierre Simon, marqués de Laplace (1749-1827), recopiló todas las ideas anteriores y compiló la primera Teoría General de Probabilidad.

  Inicialmente la Teoría de Probabilidad fue aplicada en las mesas de juego. Sin embargo, en la actualidad, se utiliza en estudios de problemas sociales y económicos y es la base para las aplicaciones estadísticas tanto en las investigaciones sociales como en la toma de decisiones. 

Laplace comentó: “Es notable que una ciencia que comenzó a partir de los juegos de azar pueda haberse convertido en el objeto más importante del conocimiento humano.”.

Conceptos básicos de ProbabilidadProbabilidad ó Incertidumbre :

es la posibilidad de que algo suceda.

  La probabilidad se expresa o cuantifica mediante números fraccionarios, ejemplo: 1/3 , 1/6, ½, etc.; o tambien con números decimales, ejemplo: 0.150, 0.167, 0.500, 0.975. etc.; estos números están comprendidos entre el cero y el uno:

0 < P < 1

  Cuando el valor de la probabilidad es cero, significa que algo nunca va a suceder (ocurrencia imposible); mientras que el valor de probabilidad igual a uno, indica que que algo va a suceder siempre (ocurrencia segura).

Experimento.- Es cualquier situación que puede ser repetida bajo condiciones esencialmente estables. O También, es la actividad que origina un evento.

Evento.- Es uno o más de los posibles resultados de hacer algo.

Espacio muestral del experimento.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento ó fenómeno aleatorio. Se denota con la letra S.

  Ejemplos:

1. El encendido de un potenciómetro. En este caso puede tener dos posibles eventos o resultados: que funcione ó que no funcione.

El espacio muestral constará de dos resultados solamente. El experimento consistirá en hacer funcionar (encender) el potenciómetro.

2. Experimento: Lanzamiento de un dado.

Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Algunos eventos:

Evento A: Que salga un cinco.

Evento B: Que salga dos.

Evento C: Que salga número par.

Evento D: Que salga mas de tres.

Ejemplos (continuación):

3. Suponga que dentro de una caja hay 4 tubos de ensayo numerados del 1 al 4.

Experimento: Extraer dos tubos, uno primero y otro después, sin introducir en la caja el primer tubo hasta que se haya sacado el segundo (muestreo sin reemplazo).

Espacio muestral: S = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}

Evento: cualquiera de los resultados posibles

Ejemplos (continuación):

4. Experimento: Revisar tres balanzas

Para una balanza: Espacio muestral: S = {B, M}

Buen estado (B), Mal estado (M).

S1 = (B, B, B) S2 = (B, B, M) S3 =(B, M, B)

S4 = (M, B, B) S5 = (B, M, M) S6 =(M, B, M)

S7 = (M, M, B) S8 = (M, M, M)

Eventos:

Evento A: Que la segunda balanza esté en buen estado.

A = {S1, S2, S4, S6}

Evento B: Que al menos 2 de las tres balanzas estén buenas.

B = {S1, S2, S3, S4}

Ejemplos (continuación):

5.- Experimento: Lanzamiento de dos dados

Espacio muestral:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

CALCULO DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO “X”

Xen eventos de TotalX favorables Eventos

P(X)

Algunos eventos del experimento: lanzamiento de 2 dados A: caen dos números iguales B: la suma da 8 C: cae más de 9 D: la suma es 11

EF(A) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)

EF(B) (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)

EF(C) (4,6) (5,6) (6,6) (5,5) (6,5) (6,4)

EF(D) (5,6) (6,5)

P(A)366

P(B)

P(C)

P(D)

366

365

362

Lista colectivamente exhaustiva.- Es la lista que presenta todos los resultados posibles de un experimento.

Ejemplo:

· Al lanzar un dado, solo es posible tener uno de los resultados siguientes: que salga: 1 , 2, 3, 4, 5, ó 6 , y esta lista de resultados posibles es una lista colectivamente exhaustiva.

La suma de las probabilidades individuales de una lista colectivamente exhaustiva

siempre será igual a la unidad