PROBLEMI AREA - PERIMETRO LA MUCCA DI NONNA PAPERA (Cat. 3, 4) (15,I, 4) Gli alberi del frutteto di Nonna Papera sono allineati molto bene. Essi sono rappresentati dai punti neri nella figura qui sotto. Luned mattina, Nonna Papera ha fatto un recinto per consentire alla sua mucca Ortensia di brucare lerba che cresce sotto gli alberi. Ha utilizzato 8 pali di legno, 4 pi lunghi e 4 pi corti, che ha sistemato tra 8 tronchi di alberi, in modo da collegare un tronco ad un altro. Luned sera, Ortensia ha mangiato tutta lerba del recinto, ma ha ancora fame. Marted mattina, Nonna Papera fa un nuovo recinto, pi grande di quello di luned, utilizzando gli stessi 8 pali. Ortensia avr cos pi erba da mangiare. Marted sera, Ortensia ha mangiato di nuovo tutta lerba del recinto, ma ha ancora fame.

Piantina del frutteto di Nonna Papera con la posizione dei recinti di luned e marted

Aiutate Nonna Papera e disegnate un recinto per mercoled ed un altro per gioved, via via pi grandi, per dare ogni giorno pi erba ad Ortensia. Ma attenzione, dovete ogni volta collegare tra loro 8 alberi, utilizzando sempre gli stessi 8 pali. Spiegate perch il vostro recinto di mercoled pi grande di quello di marted e il vostro recinto di gioved pi grande di quello di mercoled. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: propriet di figure chiuse, confronto di lunghezze - Misura: ricerca di ununit comune per larea Analisi del compito - Interpretare la piantina del frutteto ed individuarvi gli alberi, i pali e i diversi recinti.

- Osservare i perimetri dei recinti e riconoscere che ci sono due tipi di pali, quelli la cui lunghezza corrisponde ad un lato di un quadretto o a una sua diagonale. Constatare che ciascun perimetro composto da quattro pali di ciascuno dei due tipi.

- Comprendere che le espressioni quello che c da mangiare nel recinto, o pi grande, si riferiscono allarea del recinto il cui perimetro sempre lo stesso e la cui forma non sembra debba essere presa in considerazione. Cercare allora di confrontare le aree per verificare che tale grandezza aumentata e cercare di trovarne una pi grande.

- Trovare che le aree dei recinti possono essere espresse in quadrati e/o in triangoli (met dei quadrati). Per esempio, larea del recinto del luned vale 2 quadrati interi e 4 triangoli, quella del recinto del marted vale 3 quadrati interi e 4 triangoli.

- Cercare una disposizione dei pali che dia unarea pi grande (4 quadrati e 4 triangoli, poi 5 quadrati e 4 triangoli) tenendo conto delle tre condizioni:

aumento dellarea da marted a mercoled (scoperta di una delle forme A, B, C, D) aumento dellarea da mercoled a gioved rispetto delle lunghezze dei pali (4 lati, 4 diagonali) Alcune soluzioni per il mercoled (A, B, C, D) e la soluzione per il gioved (E).

- Fornire una spiegazione che mostri che c un conteggio dei quadrati o dei triangoli o del numero dei punti interni

(secondo il teorema di Pick, larea in quadrati vale il numero dei punti interni + la met del numero dei punti sulla frontiera 1. Gli alunni non lo possono conoscere, ma lintuizione pi alberi ci sono allinterno, pi grande larea da accettare come spiegazione).

Attribuzione dei punteggi 4 Risposta completa (due figure trovate in progressione, rispetto delle lunghezze dei pali) con spiegazione 3 Risposta completa, con spiegazione non chiara o assente 2 Risposta parziale con due delle tre condizioni precedenti (per esempio, due figure in progressione di 8 diagonali) 1 Risposta parziale con una sola delle tre condizioni precedenti 0 Incomprensione del problema Livello: 3, 4 Origine: C.I.

LA CORDICELLA (Cat. 4, 5) (15, F, 7) Annamaria ha teso una cordicella su unasse chiodata rettangolare. Vede che la cordicella:

- forma un rettangolo i cui lati sono paralleli a quelli della tavoletta

- tocca 22 chiodi - circonda 18 quadretti interi

Disegnate una cordicella che, come la precedente: - formi un rettangolo i cui lati siano paralleli a quelli dellasse - tocchi sempre 22 chiodi - ma circondi il maggior numero possibile di quadretti interi. Siete sicuri daver trovato il rettangolo che contiene il maggior numero di quadretti? ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Aritmetica: addizione, moltiplicazione - Geometria: rettangolo, approccio alle nozioni di perimetro e area Analisi del compito - Verificare i dati dellenunciato: 22 chiodi e 18 quadretti - Pensare che il rettangolo potrebbe essere pi lungo o pi largo e rendersi conto che se si aumenta la lunghezza, la

larghezza diminuisce e reciprocamente, se diminuisce la lunghezza la larghezza aumenta toccando egualmente lo stesso numero di chiodi (il perimetro conservato).

- Constatare che il numero dei quadretti interni varia secondo i rettangoli e annotare i risultati, superando le difficolt ad esprimere le lunghezze dei lati

lunghezza*: 10 9 8 7 6 5 ... larghezza*: 1 2 3 4 5 6 ... chiodi toccati (perimetro*) 22 22 22 22 22 22 ... quadretti circondati (area) 10 18 24 28 30 30 ... - Spiegare che il numero dei quadretti varia, secondo i calcoli o i tentativi, che possibile circondarne 24, poi 28, poi

30 e disegnare il rettangolo da 5 per 6 come soluzione. Visto che le dimensioni sono espresse in numeri interi, il numero di tentativi limitato e permette di essere sicuri che la soluzione trovata sia quella ottimale.

Attribuzione dei punteggi 4 Disegno di un rettangolo 5 x 6 con spiegazione del perch il rettangolo pi grande (lista dei rettangoli il cui

perimetro 22, il rettangolo che ha larea pi grande quello che pi si avvicina al quadrato,...) 3 Soluzione corretta, senza spiegazioni pertinenti 2 Disegno di un rettangolo 7 x 4 1 Inizio di ricerca coerente o non rispetto di un vincolo 0 Incomprensione del problema... Livello: 4, 5 Origine : C.I. * I bambini potrebbero non usare necessariamente i termini lunghezza e larghezza e potrebbero riferirsi al

numero di chiodi. Per esempio, potrebbero considerare il rettangolo la cui area 30 come 6 x 5 oppure come quello che ha 7 chiodi e 6 chiodi in lunghezza e in larghezza. Dai chiodi al perimetro considerato come una grandezza continua (una lunghezza), c ancora tutta una costruzione da elaborare, ma qui il disegno della cordicella elimina le ambiguit.

DA UN RECINTO ALLALTRO (Cat. 7, 8, 9, 10) (14, F, 14) Con 60 metri di rete, il signor Pastorelli ha costruito un recinto per le pecore di forma rettangolare; le misure dei lati sono espresse in metri da numeri interi. Poich ora ha comprato altre pecore, il signor Pastorelli acquista altri 6 m di rete per ingrandire il recinto e con i 60 metri del suo primo recinto, ne costruisce uno nuovo ancora di forma rettangolare. Egli osserva che una delle dimensioni del nuovo rettangolo misura 6 metri di pi del primo e che laltra dimensione diminuita di 3 metri, mentre larea aumentata di 90 m2.

Quanto misurano i lati del primo recinto rettangolare? Spiegate come avete trovato le vostre risposte. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: rettangolo, perimetro, area - Aritmetica: addizione e moltiplicazione - Algebra: equazioni e sistemi di equazioni Analisi del compito - Rendersi conto che esiste una famiglia di rettangoli con perimetro 60 m e unaltra famiglia con perimetro 66 m. - Procedere per tentativi organizzati a partire dalla decomposizione del numero 30 nella somma di due interi e stilare

una tabella del tipo: lati del 1 rettangolo lati del 2 rettangolo area del primo area del secondo differenza delle aree

15 e 15 12 e 21 225 252 27 16 e 14 13 e 20 224 260 36 17 e 13 14 e 19 221 266 45 21 e 9 18 e 15 189 270 81 22 e 8 19 e 14 176 266 90 23 e 7 20 e 13 161 260 99 - Concludere che 22 m ed 8 m sono i lati del primo rettangolo. - Oppure: procedere per via algebrica aiutandosi con un

disegno che mostri il passaggio dal primo al secondo rettangolo, come in figura.

Indicata con x la misura di uno dei lati del rettangolo iniziale, si pu impostare lequazione

(x +6) [(30-x)-3] = x(30-x) + 90, dalla quale si ottiene 9x = 72, da cui x = 8.

- Oppure: impostare un sistema con le due equazioni x+y=30 e (x+6)(y-3)=90+xy dove x e y indicano rispettivamente laltezza e la base del rettangolo iniziale.

Attribuzione dei punteggi: 4 Risposta corretta (8 m e 22 m) con spiegazione chiara del procedimento 3 Risposta corretta con spiegazione incompleta o poco chiara 2 Risposta corretta senza spiegazione oppure procedimento corretto ma errore di calcolo 1 Tentativi o ragionamenti che mostrano una comprensione iniziale del problema 0 Incomprensione del problema

Livello: 7, 8, 9, 10 Origine:Siena e Parma

30 - x

x

3

6

IL CAMPO INGRANDITO (Cat. 5, 6, 7) (15,II, 11) Giuliano possiede un terreno quadrato recintato. Decide di ingrandirlo in modo che il terreno sia ancora quadrato e abbia ciascun lato con un metro in pi. In questo modo la superficie del suo campo viene aumentata di 41 m2. Quale era la lunghezza dei lati del vecchio terreno di Giuliano? Ora che il terreno pi grande, il recinto di prima non pi sufficiente: quanti metri di recinzione mancano? Spiegate come avete trovato le vostre risposte. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: perimetro e area di un quadrato, area del rettangolo - Aritmetica: addizione, moltiplicazione Analisi del compito - Per esempio fare un disegno come uno di questi:

- Constatare che il recinto deve essere allungato di 4 volte 1 metro Oppure: ricordarsi che il perimetro di un quadrato vale 4 volte la lunghezza di un lato e se il lato aumenta di 1 metro, il perimetro deve essere aumentato di 4 metri. Oppure, scomporre la parte nuova in due rettangoli e un quadratino di 1 metro di lato. I due rettangoli hanno per area insieme 41-1 = 40 m2. Avendo la stessa lunghezza (il lato del vecchio campo) e la stessa larghezza (1 m), hanno la stessa area, che vale per

ciascuno di essi 20 m2. I lati del vecchio campo misurano dunque 20 m. Oppure: stilare un inventario organizzato facendo variare il lato, per determinare la soluzione corrispondente: misura del vecchio lato (in m) 16 ... 20 ... 21 misura del nuovo lato (in m) 17 ... 21 ... 22 differenza delle aree (in m2) 289 256 = 33 ... 441 400 = 41 ... 484 441 = 43 E rendersi conto che le differenze dei due quadrati aumentano di 2 in 2 e che c una sola soluzione. Attribuzione dei punteggi 4 Soluzione completa: 20 m e 4 m, con spiegazione 3 Soluzione completa, con spiegazione incompleta 2 Soluzione completa: 20 m e 4 m, senza alcuna spiegazione o con errore di calcolo, ma con spiegazione oppure risposta corretta alla prima domanda con spiegazione e risposta 24 m (1+20+1+1+20+1) alla seconda 1 Inizio di ricerca coerente, riposta giusta ad una delle due domande 0 Incomprensione del problema o risposte errate Livello: 5, 6, 7 Origine: Franche-Comt

TRE AMICI E I LORO DISEGNI (Cat. 4, 5, 6) (20, II, 6) Tre amici, Anna, Bea e Carlo, hanno disegnato queste tre figure su un foglio di carta punteggiata.

La figura di Anna ha la stessa area di quella di Bea e lo stesso perimetro di quella di Carlo. Qual la figura di Anna? Spiegate la vostra risposta. Ora disegnate, accanto alle figure dei tre amici, unaltra figura che abbia la stessa area e lo stesso perimetro di quella di Anna. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: propriet di figure chiuse, confronto di misure di lunghezze e aree - Misura: confronto intuitivo fra il lato e la diagonale di un quadrato, ricerca di ununit comune per larea

Analisi del compito - Osservare i perimetri delle tre figure e riconoscere che ci sono due tipi di segmenti, quelli la cui lunghezza

corrisponde ad un lato (l) di un quadretto e quelli la cui lunghezza corrisponde ad una sua diagonale (d). - Per ogni figura, contare questi due tipi di segmenti e trovarne i perimetri: ottagono, 4d + 4l; pentagono, 2d + 8l;

esagono, 2d + 8l; oppure effettuare misure con laiuto di una riga graduata. - Trovare le aree delle tre figure contando i quadretti (q) e i mezzi quadretti: ottagono, 7q; pentagono, 7q; esagono,

5q; oppure confrontare le aree per ritagli e sovrapposizioni. - Stabilire che la figura di Anna il pentagono. - Fornire una spiegazione che mostri come sono stati determinati perimetri ed aree. - Per disegnare una figura avente la stessa area e lo stesso perimetro di quello di Anna, cercare una disposizione di 2

segmenti di tipo d e 8 segmenti di tipo l che dia unarea di 7 q. Ci sono varie figure possibili, come ad esempio, le seguenti:

Punteggio massimo: 4 Risposta completa: individuata la figura di Anna (pentagono), con spiegazione corretta e completa, ed disegnata

una figura con le stesse caratteristiche di quella di Anna Livello: 4, 5, 6 Origine: Gruppo geometria piana, a partire dal problema n. 4 della I prova del 15 RMT

IL PAVIMENTO DECORATO (Cat. 5, 6) (16,II, 8) Il pavimento della camera di Alice ha la forma di un rettangolo i cui lati misurano esattamente 360 cm e 480 cm. Alice vuole ricoprire il pavimento con mattonelle di legno di forma quadrata di 20 cm di lato, in modo da formare il disegno seguente: - La parte A (in grigio chiaro) sar formata di tre file di mattonelle di legno di quercia, disposte

lungo il bordo del pavimento - La parte B (in grigio scuro) sar costituita da una sola fila di mattonelle di legno intarsiato,

disposte a fianco di quelle della parte A - La parte C (in bianco), al centro, former un rettangolo costituito da mattonelle in legno di pino,

pi chiare. Quante mattonelle di quercia, quante di legno intarsiato e quante di pino saranno necessarie per ricoprire il pavimento della camera di Alice? Spiegate il vostro ragionamento. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: rettangolo; pavimentazione - Grandezze e misura: perimetro ed area e loro misura - Aritmetica: le quattro operazioni Analisi del compito - Immaginare che la camera sia interamente ed esattamente quadrettata dalle mattonelle di legno, ovvero che ci sia

un numero intero di mattonelle nella lunghezza e nella larghezza. - Calcolare il numero di mattonelle nella lunghezza e nella larghezza della stanza: 480 : 20 = 24; 360 : 20 =18. - Costruire un modello del pavimento della camera su carta quadrettata, di 18x24 quadretti; disegnare le file

successive e distinguerle, poi contare i quadrati di ogni tipo: al centro 10x16=160, la cornice per esempio 2x(10+16)+4=56, il bordo, per esempio, 12x18+4x9 =216. Bench non sia indispensabile si pu terminare verificando che la somma di tutte le mattonelle (216+56+160=432) uguale al numero delle mattonelle della camera (area del rettangolo: 24x18=432).

Oppure, senza ricorrere al modello su carta quadrettata: - Dedurre le dimensioni del rettangolo centrale in lati di mattonelle (o in cm, cosa pi difficile) togliendo le 8 file

delle parti A e B: 24 8 =16 e 18 8 =10. Poi calcolare il numero delle mattonelle corrispondenti, 160, quindi procedere come prima o per rettangoli successivi 12x18 = 216 e 18x24 = 432 ed infine per sottrazione: 216-160=56 e 432-160-56=216.

Oppure, senza considerare le mattonelle e lati di mattonelle come unit, ma rimanendo in cm2 e cm, seguire il procedimento precedente, facendo uso di numeri grandi e di tante moltiplicazioni e divisioni per 20. Per esempio, calcolare che una mattonella ha larea di 400 cm2, calcolare che larea totale 172800 cm2, trovare che le dimensioni del rettangolo interno sono 480-(8x20)=320 e 380-(8x20)=200, etc. Punteggio 4 : Soluzione corretta e completa (160 mattonelle di pino, 56 mattonelle decorate, 216 mattonelle di

quercia) con spiegazione del conteggio o delle operazioni Livello: 5, 6 Origine: Siena

480

360

A

B

C

PAVIMENTO DI LEGNO (Cat. 7, 8, 9, 10) (23, I, 4) Ecco limmagine del pavimento di una stanza rettangolare fatto di listoni tutti uguali tra loro. Il perimetro della stanza 15 m. Il prezzo dei listoni 30 euro a m2. Qual il prezzo complessivo dei listoni che si sono dovuti utilizzare per pavimentare lintera stanza? Spiegate la vostra risposta. ANALISI A PRIORI Compito matematico Vengono dati il disegno di un pavimento rettangolare e il suo perimetro, fatto di listoni rettangolari di legno tutti uguali. Calcolare il prezzo dei listoni necessari per il pavimento conoscendo il loro prezzo al metro quadrato. Analisi del compito - Osservare la figura e coglierne le regolarit, dedotte dallisometria dei rettangoli che compongono la

pavimentazione: la lunghezza dei listoni il triplo della larghezza e questa la relazione-chiave della situazione, che suggerisce di prendere la larghezza di un listone come unit o di immaginare una trama quadrettata (quadrettatura) sulla quale costruita la pavimentazione, con ogni rettangolo che ricopre 3 quadretti unit della trama.

- In questa percezione della trama o della larghezza di un listone come unit, le dimensioni della stanza sono 10 e 15 in lati di quadretti-unit, il perimetro 50 = (10 + 15) 2 in questa unit.

- Con la proporzionalit, in metri: 50 (in lati di quadretti-unit) ! 15 (in m) determina il rapporto 15/50 oppure 3/10 o 0,3 e le dimensioni della stanza sono 3 e 4,5 (in m).

- Passare poi allarea del pavimento: 3 4,5 = 13,5 (in m2) e al prezzo dei listoni che 13,5 30 = 405 (in euro). Oppure, con una procedura algebrica, esprimere le dimensioni con delle lettere (per esempio x e y per la larghezza e la

lunghezza dei listoni, poi sostituire y con 3x per arrivare allequazione: 2(15x + 10x) = 15 poi 50x = 15). Oppure misurare le dimensioni su un disegno, quello dellenunciato e un altro realizzato rispettando i rapporti, calcolare

il perimetro del pavimento sul disegno, dedurne la scala e determinare per proporzionalit le dimensioni reali del pavimento, poi calcolarne il prezzo.

Oppure procedere per tentativi. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta (405 euro) con spiegazioni complete (trasformazione di unit, dimensioni, area, prezzo) Origine: Siena

B

A

B

A

IL ROBOT ARTURO (Cat. 3, 4) (20, II, 2) Il robot Arturo si muove spostandosi sulle linee della griglia disegnata qui a fianco, compiendo passi sempre della stessa lunghezza. Per spostarsi da A a B pu seguire percorsi diversi. Quando segue questo percorso fa 42 passi: Invece quando segue questaltro percorso fa 30 passi: Quanti passi fa il robot Arturo quando segue questaltro percorso? Spiegate come avete trovato la vostra risposta. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Aritmetica: le quattro operazioni - Geometria: percorsi Analisi del compito - Comprendere che il robot Arturo fa sempre un numero intero di passi per percorrere un tratto di griglia e che per

percorrere tratti uguali impiegher lo stesso numero di passi perch i suoi passi hanno sempre la stessa lunghezza. - Ricavare cos dal primo percorso, composto da 7 tratti obliqui tutti uguali, che ogni tratto vale 6 passi (42:7). - Osservare il secondo percorso e rendersi conto che esso formato da 3 tratti obliqui e da 3 tratti orizzontali. - Dedurre che Arturo per percorrere i tratti obliqui del secondo percorso impiegher 18 passi (63) e che quindi per

percorrere i tratti orizzontali ne impiegher 12 (30-18); di conseguenza ogni tratto orizzontale vale 4 passi (12:3). - Concludere che per compiere il terzo percorso, composto da 5 tratti obliqui e 1 orizzontale, Arturo impiegher 34

passi (65 + 14). Oppure, osservare che il secondo percorso formato da 3 tratti orizzontali e da 3 tratti obliqui e dedurre che, per

percorrere 1 tratto obliquo e 1 orizzontale, Arturo impiega complessivamente 10 passi (30:3). Procedere per tentativi per trovare quanti passi valgono ciascuno dei due tratti (5-5, 6-4, 7-3, 8-2, 9-1) e scoprire che lunica possibilit compatibile con il primo percorso 6 passi per il tratto obliquo e 4 passi per quello orizzontale. Concludere che Arturo compie 34 passi per il terzo percorso.

Punteggio massimo: 4 Risposta corretta (34 passi) con spiegazione chiara Livello: 3, 4 Origine: Bourg en Bresse

A

B

B

A

IL QUADRATO DI TOMMASO (Cat. 5, 6) (15, I, 8) Tommaso ha ritagliato da un cartoncino molti pezzi quadrati:

" 3 pezzi da 1 cm di lato " 5 pezzi da 2 cm di lato " 5 pezzi da 3 cm di lato " 1 pezzo da 4 cm di lato " 1 pezzo da 5 cm di lato

Egli vuole unire tutti questi pezzi per formare un grande quadrato di 10 cm di lato. I pezzi non devono sovrapporsi e non ci devono essere spazi vuoti. Tommaso potr formare il grande quadrato utilizzando tutti i pezzi che ha ritagliato? Spiegate perch. Disegnate questo quadrato di 10 cm di lato e i pezzi che avete utilizzato per formarlo. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: quadrato, area, pavimentazione - Logica: ragionamento, deduzioni Analisi del compito - Considerare che si possono utilizzare solo pezzi quadrati delle dimensioni indicate per costruire il quadrato grande. - Calcolare larea del quadrato grande in cm2 (o il numero totale dei quadrati da 1 cm di lato), cio 100, e larea totale dei pezzi

disponibili in cm2 (o il numero totale dei quadrati da 1 cm), cio 109; dedurre che c un pezzo in pi, cio un quadrato di 3 cm di lato.

- Provare a realizzare il quadrato grande con i pezzi rimasti (per esempio, ritagliando i quadrati piccoli e disponendoli su un quadrato 10x10, oppure disegnando una griglia quadrettata 10x10 e suddividendola in quadrati aventi le dimensioni desiderate)

Oppure: procedere per tentativi cercando di realizzare il quadrato grande con i pezzi indicati e constatare che alla fine rimane sempre un quadrato da 3 cm di lato. Oppure: dopo aver osservato che il quadrato di lato 5 cm non pu essere eliminato, constatare che 10 cm possono essere ottenuti

come 5 cm+3 cm+2 cm o come 5 cm+3 cm+1 cm+1 cm o come 5 cm+2 cm+2 cm+1 cm o come 5 cm+4 cm+1 cm o come 5 cm+2 cm+1 cm+1 cm+1 cm, che determinano i quadrati che possono essere affiancati al quadrato di 5 cm lungo un lato del quadrato grande. Per tentativi e deduzioni, pervenire alla costruzione del quadrato grande (si pu ottenere in pi modi).

Esempio di possibile assemblaggio:

4 Risposta completa corretta (No, un quadrato di lato 3 cm di troppo e presentazione di un possibile assemblaggio) con

spiegazione chiara del metodo utilizzato per determinare il pezzo in pi Livello: 5, 6

Origine: Bourg-en-Bresse

QUADRATO DA RICOPRIRE (Cat. 3, 4, 5) (12, I, 5) Gianluca vuole ricoprire interamente questo quadrato con dei pezzi scelti fra quelli disegnati sotto:

Gianluca vuole utilizzare il minor numero possibile di pezzi. Con quali pezzi potr ricoprire il suo quadrato? Disegnate le vostre soluzioni in modo che si vedano bene i vari pezzi. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: pavimentazione, isometrie, equiestensione per somma Analisi del compito - Comprendere che bisogna formare una figura uguale al quadrato dato - Comprendere che si deve operare una scelta tra i pezzi dati privilegiando quelli pi grandi (5 o 4 quadrati). - Procedere per tentativi e trovare che il numero minimo di pezzi necessari a ricoprire il quadrato 4 e che si possono

avere due soluzioni: una che utilizza i due pezzi da 5 e i due pezzi da 3; laltra che utilizza un pezzo da 5 (non la L), i due pezzi da 4 e uno da 3. Ad esempio:

Oppure: - Contare il numero dei quadretti che costituiscono il quadrato, 16, e andare a vedere con quali pezzi si pu ottenere

tale numero. - Scartare le situazioni che non permettono di costruire il quadrato e quelle che utilizzano cinque pezzi. - Trovare cos le due soluzioni minimali. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta: le due soluzioni ottimali e relativi disegni sul quadrato 3 Una sola soluzione ottimale e relativo disegno sul quadrato oppure le due soluzioni ottimali senza disegno oppure le

due soluzioni ottimali con disegno e una o pi soluzioni non ottimale (5 pezzi) oppure le due ottimali con disegno e altre soluzioni ad esse isometriche

2 Una sola soluzione ottimale con disegno e altre non ottimali o isometriche alla soluzione data o due soluzioni ottimali e altre soluzioni ottenute con pi pezzi di uno stesso tipo (es. due a L)

1 Trovata una sola soluzione non ottimale o una soluzione ottimale e altre soluzioni ottenute con pi pezzi di uno stesso tipo (es. due a L)

0 Incomprensione del problema Livello: 3 - 4 - 5

RETTANGOLI CHE PASSIONE! (Cat. 3, 4) (20, F, 2) Ecco i cinque pezzi di un puzzle: due quadrati piccoli, un pezzo composto da tre quadrati e altri due di quattro quadrati.

Pietro ha costruito un rettangolo la cui lunghezza il doppio della larghezza, utilizzando pi di due pezzi.

Nadia ha costruito un rettangolo (non quadrato) utilizzando quattro pezzi. Giuseppe vuole costruire un rettangolo con tutti i pezzi disponibili.

Disegnate i rettangoli di Pietro e Nadia. Riuscir Giuseppe a costruire un rettangolo con i cinque pezzi? Se s, disegnatelo, se no, spiegate perch. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: rettangolo Analisi del compito - Osservare i pezzi e la loro scomposizione in quadrati. - Immaginare i rettangoli che si possono formare con essi o fare linventario dopo ritaglio e ricomposizione: da 1 o 2 pezzi: 1 x 2, 1 x 4, 1 x 5, 2 x 2 di 3 pezzi: 1 x 6, 2 x 3, 2 x 4, di 4 pezzi: 3 x 3, 3 x 4. - Disegnare i rettangoli di Pietro e di Nadia:

Pietro Nadia - Comprendere che impossibile formare un rettangolo che utilizza tutti i pezzi, poich con 13 quadrati unitari il solo

rettangolo possibile il rettangolo 13 x 1. - Spiegare limpossibilit del compito di Giuseppe con disegni, collage o argomentazione. Attribuzione dei punteggi 4 Disegno (o collage) preciso dei rettangoli di Pietro e Nadia e risposta no per il rettangolo di Giuseppe con una

spiegazione chiara (numerica o con disegno dei 5 pezzi in due strisce di lunghezza 6 e 7 ) 3 Assenza di una delle quattro richieste: disegno (o collage) preciso dei rettangoli di Pietro e Nadia e risposta no per il rettangolo di Giuseppe senza

spiegazione, oppure disegno (o collage) preciso di uno dei rettangoli di Pietro o di Nadia e risposta no per il rettangolo di

Giuseppe con spiegazione 2 Solamente due delle quattro richieste 1 Una sola delle quattro richieste 0 incomprensione del problema Livello: 3, 4 Origine: Luxembourg

SCENARIO (Cat. 3, 4, 5) (20, II, 4) La nostra classe deve preparare lo scenario per una recita. Camilla e Mattia sono stati incaricati di ritagliare in due parti un pezzo di cartone rigido. Una delle due parti sar ricoperta di carta lucida gialla, laltra parte sar ricoperta di carta lucida verde. Ecco il disegno del progetto che hanno preparato Camilla e Mattia.

Per ricoprire interamente ciascuna delle due parti occorrer pi carta verde o pi carta gialla? Spiegate come avete trovato la vostra risposta ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria e misura: confronto di aree, simmetria Analisi del compito - Tra le grandezze che si possono percepire sulla figura (perimetri, area, ) scegliere quella pertinente al problema:

in questo caso larea. - Capire che si tratta di confrontare le aree delle due parti di cartone e non lasciarsi fuorviare dai due perimetri o dalla

forma della figura che potrebbero indurre lidea che le due parti siano congruenti. - Poich le due aree non si possono stimare ad occhio, necessario passare alle misure per conteggio delle unit

darea determinate dalla quadrettatura. - Nel conteggio bisogna procedere ad una conversione di unit: i triangoli sul bordo delle parti sono dei semi-quadrati

e quindi due triangoli andranno contati come un quadrato. Questo conteggio d: per la parte verde: 52 quadrati e 12 triangoli, cio in tutto 58 (in quadrati) per la parte gialla: 51 quadrati e 12 triangoli, cio in tutto 57 (in quadrati) Oppure, procedere ad un confronto con la suddivisione delle due parti in poligoni aventi la medesima area che, quindi,

si compensano e non hanno pi bisogno di essere conteggiati. Oppure, conteggiare quadrato per quadrato e triangolo per triangolo per arrivare alla constatazione che c un quadrato

in pi nella parte verde. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta (carta verde) con i dettagli del ragionamento 3 Risposta devono usare la stessa quantit di carta gialla e di carta verde, con tutti i dettagli, ma un solo errore nei

conteggi 2 Ragionamento corretto con spiegazione che mostri come si arrivati alla soluzione, ma con pi di un errore nei

conteggi 1 Risposta carta verde senza spiegazione 0 Risposta basata sul perimetro oppure incomprensione del problema Livello: 3, 4, 5 Origine: Cagliari

Parte verde

Parte gialla

BISCOTTI (Cat. 4, 5, 6) (14, II, 7)

Ecco i biscotti che il pasticciere ha preparato per cinque bambini e che ha disposto con molta precisione su un vassoio. I biscotti sono tutti dello stesso spessore, ma alcuni dei bambini sono insoddisfatti e dicono che il loro biscotto pi piccolo di quello degli altri.

Pensate che tutti i bambini avranno la stessa quantit di biscotto da mangiare? Se no, mettete i biscotti in ordine dal pi piccolo al pi grande. Spiegate la vostra risposta. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: confronto di aree, scelta di unit di misura e decomposizione, approssimazioni - Aritmetica: conteggio e addizione Analisi del compito - Individuare la grandezza in gioco per trovare la parte di biscotto di ognuno : scartare gli angoli (la forma), il numero

di lati o di vertici e il perimetro; optare per larea delle figure (o il volume, visto che i biscotti hanno tutti lo stesso spessore)

- Trovare un modo di confrontare le aree: constatare che i tentativi di sovrapposizione o di scomposizione e ricomposizione non danno risultati significativi; pensare di utilizzare la trama del vassoio per pavimentare le forme (in quadrati, triangoli, )

- Immaginare o disegnare la trama del vassoio sulle figure, scegliere una unit e procedere al conteggio per le figure pavimentabili (in quadrati si ottiene 8 per Jeff e Bob, 7 per Zoe)

- Per le figure non pavimentabili , constatare che nella figura di Anna ci sono 6 quadrati interi e 4 quarti di cerchio (quattro semi-quadrati e quattro piccole parti di cerchio), ci che equivale ad una misura di pi di 8 quadrati. La figura di Leo inscritta in un rettangolo di 8 quadrati; togliendo da questo 2 semi-quadrati e altre parti di quadrato si ottiene la sua misura che equivale a meno di 7 quadrati.

- Stabilire la classifica. Per esempio, esprimendo le aree in quadrati: Leo (< 7), Zoe (7), Jeff e Bob (8), Anna (>8). Risposta corretta: La classificazione completa (Leo (< 7), Zoe (7), Jeff e Bob (8), Anna (>8)) con spiegazioni chiare Livello: 4, 5, 6 Origine: C.I. e Genova

IL GIARDINO DEL SIGNOR TORQUATO (CAT. 3, 4) (11,F, 6)

Questo il giardino del signor Torquato:

Nella parte grigia egli ha piantato fiori e ha seminato a prato la parte bianca. Il signor Torquato osserva il suo giardino e si chiede:

Sar maggiore la parte con i fiori o quella con il

prato? E voi che cosa ne pensate? Spiegate la vostra risposta.

ANALISI A PRIORI

AMBITO CONCETTUALE - Geometria: figure congruenti, scomposizione e ricomposizione di figure, equivalenza

ANALISI DEL COMPITO - Intuire che la parte grigia e quella bianca sono formate dagli stessi pezzi - Verificarlo ritagliando i pezzi - Dedurre che la parte con i fiori ha la stessa estensione di quella seminata a prato

Valutazione

4 Risposta corretta con giustificazione (disegno corretto, ritaglio, argomentazione)

3 risposta corretta con giustificazione approssimativa

2 valutata correttamente solo met figura o risposta corretta senza giustificazione 1 Inizio di ragionamento corretto

0 incomprensione del problema o risposta sbagliata Livello: 3 - 4 Origine: Praga - Incontro di Siena

LA TORTA DI NONNA LUCIA (Cat. 4, 5, 6) (22, II, 6) Nonna Lucia ha preparato una torta rettangolare al cioccolato per la merenda dei suoi nipoti Luca, Carlo, Sara e Maria. Per darne una fetta ciascuno la divide in questo modo: Luca e Carlo non sono contenti perch pensano che Sara e Maria abbiano i due pezzi pi grandi. Sara e Maria sostengono invece che ognuno ha ricevuto la stessa quantit di torta. Chi ha ragione? Mostrate come avete trovato la vostra risposta.

ANALISI A PRIORI Compito matematico

Mostrare che un rettangolo viene diviso dalle sue diagonali in quattro parti equivalenti

Analisi del compito - Osservare che le fette delle due nipotine sono uguali fra loro, cos come quelle dei due nipoti (per sovrapposizione,

visiva o manipolativa, o per simmetria assiale o centrale, a seconda dei livelli). - Confrontare poi una fetta di una femmina con una fetta di un maschio, trovando una comune unit darea.

Senza ricorrere al calcolo delle aree, gli allievi possono procedere tagliando e/o piegando al fine di constatare luguaglianza delle aree. Per esempio, il taglio seguente mostra che la met della parte di Luca e la met di quella di Sara sono due met di uno stesso rettangolo:

Gli allievi possono anche immaginare e poi disegnare una trama sulla

figura, tracciando le mediane del rettangolo, il che permette di decomporre la figura in 8 triangoli congruenti.

- Concludere che le quattro parti sono uguali. Oppure: utilizzare la formula dellarea di un triangolo applicandola in modo opportuno: notare per esempio che laltezza del

triangolo di Luca, tracciata dal centro del rettangolo, uguale alla met della base del triangolo di Sara e viceversa.

Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta (Sara e Maria hanno ragione) con giustificazione chiara (ritaglio/piegatura o disegno di una

trama e spiegazioni, o anche calcoli utilizzando la formula dellarea del triangolo)

Livello: 4, 5, 6

Origine: Parma

Maria Luca Carlo Sara

Maria

Carlo

Sara Luca

TAGLIAMO I QUADRATI IN QUATTRO (Cat. 5, 6, 7) (20, I, 9) Isabella, Giulia, Sergio e Saverio hanno ricevuto ognuno lo stesso quadrato. Ognuno di loro ha tagliato il suo quadrato in quattro parti identiche. Poi le ha messe insieme per realizzare una nuova figura. Ecco il ritaglio del quadrato in quattro parti fatto da Isabella e la figura ottenuta con le quattro parti. Isabella: Ecco i quadrati ricevuti dagli altri tre bambini e le figure formate con le loro quattro parti. Giulia: Sergio: Saverio: Disegnate i ritagli del quadrato di ogni bambino, e disegnate anche le quattro parti sulla figura che ha formato.

ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: scomposizione e ricomposizione di figure Analisi del compito - Capire le condizioni di ritaglio del quadrato e i vincoli dellassemblaggio delle parti. - Un possibile primo modo di risolvere il problema consiste nel ricercare diversi modi per ritagliare il quadrato in

quattro parti identiche e poi di metterle insieme posizionandole sulle figure; la scomposizione in quattro quadrati secondo le mediane o in quattro rettangoli identici (come nel caso di

Isabella) non permette di ottenere le tre altre figure; la scomposizione in quattro triangoli isosceli rettangoli secondo le diagonali permette di ottenere il triangolo

costruito da Giulia e il parallelogramma costruito da Saverio; La scomposizione del quadrato la figura la figura di Giulia e Saverio di Giulia di Saverio la scomposizione in due rettangoli uguali utilizzando una mediana del quadrato, poi di ogni rettangolo in due

triangoli rettangoli uguali utilizzando una diagonale permette di ottenere la figura di Sergio (e non quella di Saverio!).

La scomposizione la figura una figura sbagliata di Saverio del quadrato di Sergio di Sergio con la scomposizione di Sergio - Un secondo modo consiste nel ritagliare le figure ottenute da Giulia, Sergio e Saverio in quattro figure identiche: Per esempio, per la figura di Sergio, fare apparire un rettangolo mezzo-quadrato, poi da questo rettangolo due

triangoli rettangoli uguali utilizzando una diagonale. E per le figure di Giulia e di Saverio si pu procedere in due modi diversi: cercando di trovare delle semplici relazioni tra le misure dei lati del triangolo o del parallelogramma e la misura del

lato del quadrato (met e doppio) osservando che le misure degli angoli del triangolo e di due degli angoli del parallelogramma sono la met dun

angolo retto, (cosa che permette di eliminare la figura errata di Saverio) Attribuzione dei punteggi 4 Il ritaglio del quadrato e la disposizione corrispondente dei pezzi per ognuna delle tre figure Livello: 5, 6, 7 Origine: Bourg-en-Bresse

LA TORTA QUADRATA (Cat. 3, 4) (22, II, 1) Quattro bambini si ritrovano per mangiare una torta quadrata. - Ogni bambino vuole chiaramente avere la stessa quantit di torta degli altri; - due bambini vogliono una fetta di torta di forma quadrata; - gli altri due bambini vogliono una fetta di torta di forma triangolare. Disegnate, su questo quadrato, una suddivisione che possa soddisfare ogni bambino:

ANALISI A PRIORI

Compito matematico - Dividere un quadrato in quattro parti di area uguale: 2 quadrati, 2 triangoli

Analisi del compito - Capire i vincoli del problema: dividere il quadrato in quattro parti, due quadrati e due triangoli, di area uguale. - Strategia per tentativi di quadrati ritagliati, poi di triangoli (probabilmente rettangoli). - Strategia deduttiva:

- dedurre dai dati che ogni parte quadrata rappresenta 1/4 del quadrato iniziale; - capire che per dividere il quadrato iniziale in 4 parti quadrate identiche, bisogna dividere il lato del quadrato in 2

segmenti della stessa lunghezza; (figura 1) - capire che bisogna tenere 2 di questi quadrati e trasformare lo spazio occupato dagli altri 2 quadrati in 2

triangoli; - capire che 2 quadrati adiacenti possono essere divisi in 2 triangoli rettangoli identici (quindi della stessa area di

ogni quadrato): la spiegazione non richiesta (ma un controllo tramite ritaglio e sovrapposizione possibile), poi fare i disegni corrispondenti (vedi esempio figura 2).

figura 1 figura 2 - Capire che ogni bambino deve avere lequivalente di un quadrato. Dividere un quadrato in due semi-quadrati e

cercare, come possibile, di ottenere un triangolo mettendo insieme due semi-quadrati (assemblaggio lungo un lato dellangolo retto). Si ottiene un triangolo rettangolo isoscele che ha per lato dellangolo retto una diagonale di un quadrato.

Cercare in seguito, come possibile, sistemare 2 di questi triangoli in un quadrato 2 x 2 Attribuzione dei punteggi 4 Soluzione corretta con disegno preciso e completo

Livello: 3, 4

Origine: 1.F.8

PERCORSI SUI FIAMMIFERI (Cat. 3, 4, 5) (22, F, 3) Tre bambini hanno fatto un disegno con i fiammiferi. Cercano i percorsi pi corti che vadano da A a B, immaginando di camminare sui fiammiferi. Antonio dice: Ci sono 5 percorsi diversi; Berta gli risponde: Io ne ho trovati 7, due pi di te, e non ce ne sono altri; Zoe non daccordo: Vi sbagliate, ci sono 10 percorsi diversi Tra questi tre bambini, ce n uno che ha ragione? Spiegate perch e mostrate bene come avete fatto per rispondere. ANALISI A PRIORI Compito matematico - Trovare tutti i percorsi che possono essere tracciati su una porzione di quadrettatura, spostandosi unicamente verso

lalto o verso destra. Analisi del compito Rendersi conto che, visti i pareri divergenti, la sfida del problema di determinare il numero di percorsi diversi,

dopo aver constatato che i percorsi pi corti sono costituiti da 5 fiammiferi: 3 # e 2 $. - Capire i vincoli del problema e le loro conseguenze: un percorso di 5 fiammiferi pu essere realizzato solo

spostandosi verso destra o verso lalto. - Strategia per tracciati effettivi dei percorsi, senza organizzazione allinizio, poi con unorganizzazione progressiva,

cercando di ottenere dei percorsi diversi da quelli gi ottenuti. Bisogna sottolineare che gli otto percorsi, di colore diverso, su uno stesso disegno sono assolutamente illeggibili e che sta agli alunni pensare di tracciare i percorsi su pi disegni.

Oppure: scrivere su ogni estremit, a partire da A, il numero di percorsi che ci arrivano e, quando c unintersezione, di calcolare la somma dei due percorsi che ci arrivano. 2 5 8 (B) 1 2 3 3 0 (A) 1 1

Oppure: Cambiare modalit utilizzando una codifica del tipo a (verso lalto) e d (verso destra) e cercare di riprodurre tutte le sequenze di 5 lettere compatibili con la porzione di quadrettatura rappresentata dai fiammiferi. La ricerca di tutte le sequenze pu essere organizzata o no. Si pu prendere in considerazione una rappresentazione ad albero (con due a e tre d) o semplicemente la ricerca delle permutazioni di 3d e 2a eliminando quelle che non rispettano i vincoli legati al disegno, per esempio tre d di seguito o due a di seguito allinizio:

ddada ddaad dadda dadad daadd addda addad adadd In tutti i casi, terminare contando i percorsi per poter affermare che nessuno dei tre bambini ha ragione. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta (i tre bambini hanno torto perch ci sono 8 percorsi), con tracciati che si distinguono bene o

rappresentazione con una serie di simboli Livello: 3, 4, 5 Origine: 1.F.10

LA CORDICELLA (I) (Cat. 3, 4) (21, F, 1) Tommaso ha trovato una cordicella annodata con la quale si diverte a formare delle figure: Forma dapprima un triangolo con i tre lati che misurano ognuno 16 cm. Poi forma un quadrato. Quanto misura un lato del quadrato di Tommaso? Infine forma un rettangolo con la lunghezza doppia della larghezza. Quanto misurano il lati del rettangolo? Spiegate come avete trovato le vostre risposte. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Aritmetica: operazioni in N (moltiplicazioni e divisioni), ripartizione di una lunghezza in quattro parti proporzionali

a quattro numeri - Geometria: triangolo equilatero, quadrato, rettangolo e loro perimetro; isoperimetria Analisi del compito - Capire che tutte le figure hanno lo stesso perimetro, che la lunghezza della cordicella, data dal triplo del lato del

triangolo (16), cio 48 cm. - Calcolare poi la misura del lato del quadrato: 48 : 4 = 12 (in cm). - Infine scomporre 48 cm in 4 lunghezze uguali due a due, le une doppie delle altre o scomporre 24 cm in due misure

di cui una doppia dellaltra procedendo: - per tentativi e successivi aggiustamenti; - considerando, aiutandosi eventualmente con un disegno, che il lato minore contenuto 3 volte in 24 cm o 6 volte

in 48 cm, da cui le risposte 8 cm e 16 cm. Attribuzione dei punteggi 4 Risposte corrette (lato del quadrato 12 cm, lati del rettangolo 8 cm e 16 cm) con spiegazioni dettagliate Livello: 3, 4 Origine: rc

LA CORDICELLA (II) (Cat. 5, 6, 7) (21, F, 8) Tommaso ha trovato una cordicella annodata con la quale si diverte a formare delle figure: Forma dapprima un triangolo equilatero, poi forma un quadrato. Tommaso si accorge che il lato del triangolo misura 4 centimetri in pi del lato del quadrato. In seguito, sempre con la stessa cordicella, forma un rettangolo che ha un lato doppio dellaltro. Quanto misurano il lati del rettangolo? Spiegate come avete trovato le vostre risposte. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Aritmetica: moltiplicazione e divisione in N, ripartizione di un numero in quattro parti proporzionali a quattro

numeri dati - Geometria: quadrato, triangolo equilatero, rettangolo e loro perimetro, isoperimetria - Algebra: approccio alla nozione di equazione (trovare un numero il cui quadruplo sia uguale al triplo del numero

stesso aumentato di 4) Analisi del compito - Comprendere che tutte le figure hanno lo stesso perimetro, cio la lunghezza della cordicella: ci permetter di

stabilire le uguaglianze. - Scegliendo come misura comune o unit il lato del quadrato, luguaglianza dei perimetri del triangolo e del

quadrato si traduce nelluguaglianza tra tre unit aumentate di 4 da una parte e di quattro unit dallaltra parte. Rendersi conto allora dellequivalenza tra i tre aumenti di 4, cio 12, e una delle quattro unit e dedurne che il lato del quadrato misura 3 4 = 12, in cm.

(Questo ragionamento traduce la risoluzione algebrica delladulto: 3(x + 4) = 4x o le equazioni equivalenti 3x + 12 = 4x da cui x = 12; o ancora il sistema: 3c = 4x e c = x + 4, )

Oppure: aiutandosi con un disegno rappresentare le relazioni tra il lato del triangolo e quello del quadrato:

e, osservando il disegno. dedurre che il lato del quadrato misura 4 + 4 + 4 = 12 in cm Oppure:

organizzare una ricerca per tentativi: scegliere una lunghezza per il lato del quadrato (o del triangolo), dedurne la lunghezza della cordicella, poi quella del lato dellaltra figura e verificare se lo scarto proprio di 4 cm o dedurne la lunghezza del lato dellaltra figura e verificare se si ottiene la stessa lunghezza della cordicella per entrambe le figure.

- Dedurre, in un modo o nellaltro, che il lato del quadrato misura 12 cm e il lato del triangolo 16 e che la misura della cordicella 48 cm.

Oppure:

comprendere che la misura della cordicella deve essere un multiplo sia di 3 che di 4, quindi di 12. Considerare i multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 ... e per ciascuno di essi verificare se i quozienti delle divisioni per 3 per 4 differiscono di 4. Trovare che questo accade solo per 48. La soluzione della seconda parte del problema dipende dal perimetro trovato precedentemente: (48 o un altro numero in caso di errore)

- decomporre 48 in 4 parti uguali due a due, in modo che le une siano il doppio delle altre (o proporzionalmente a 1, 1, 2 e 2) o decomporre 24 cm in due parti di cui una doppia dellaltra (o proporzionalmente a 1 e 2), e ci pu essere fatto: - per tentativi e aggiustamenti; - o considerando il pi piccolo numero contenuto tre volte in 24, da cui le risposte 8 cm e 16 cm.

Attribuzione dei punteggi 4 Risposte corrette (8 cm e 16 cm) con spiegazioni esaurienti (calcolo delle misure dei lati del quadrato, del triangolo

e del loro perimetro e ripartizione proporzionale) Livello: 5, 6, 7 Origine: rc

IL RETTANGOLO DA COMPLETARE (Cat. 5, 6, 7) (21, F, 9) Su un foglio quadrettato si vuole disegnare un rettangolo composto da cinque triangoli: - tre triangoli piccoli, bianchi, della stessa area, - due triangoli grigi, pi grandi, di area uguale tra loro. Si sono gi disegnati tre dei cinque triangoli, disponendoli come nella figura qui sotto: Disegnate altri due triangoli (uno bianco e uno grigio), per completare il rettangolo. Se trovate pi modi di completare il rettangolo, mostrateli nelle figure qui sotto. Spiegate come avete trovato il vostro modo (o i vostri modi) di completare il rettangolo. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: rettangolo, triangolo - Misura: equiestensione Analisi del compito - Verificare che i due triangoli bianchi hanno la stessa area (10, prendendo come unit un quadratino) e che larea di

quello grigio pi grande (15 in quadratini), dunque mancano un triangolo bianco e uno grigio per completare il rettangolo.

- Osservare il trapezio dei tre triangoli, vedere che rettangolo e che i due triangoli da aggiungere per formare un rettangolo devono essere posti sulla destra e possono essere riprodotti per simmetria assiale (i due nuovi triangoli sono simmetrici rispetto allaltezza del triangolo di destra).

- Rendersi conto che i triangoli hanno tutti la stessa altezza e che quindi larea dipende dalla lunghezza della base, pertanto la base dei due triangoli da disegnare deve essere una di 4 lati-quadretto e laltra di 6.

- Dedurne che, per ottenere un rettangolo, occorre prolungare di 6 lati-quadretto il lato superiore e di 4 quello inferiore.

- Ricercare le due soluzioni possibili: Oppure: capire che per ottenere un rettangolo occorre aggiungere un trapezio rettangolo di area uguale a 10 + 15 = 25

quadrati. Se laltezza 5, la somma delle lunghezze delle basi deve essere uguale a 10. Dedurre che le sole dimensioni possibili per le basi delle figure che rispettino larea e la forma sono 4 e 6. Ci porta a dividere il trapezio in due triangoli, e per fare la divisione ci sono due possibilit: tracciare o luna o laltra delle due diagonali. Assicurarsi che i triangoli cos costruiti abbiano area rispettivamente 10 e 15 quadretti.

Attribuzione dei punteggi 4 Le due soluzioni con spiegazione del ragionamento (che cita luguaglianza delle aree) Livello: 5, 6, 7 Origine: Rozzano

LA GIUSTA DIVISIONE (Cat. 7, 8, 9, 10) (22, II, 13) Luca e Caterina hanno ereditato un grande terreno che ha la forma di un trapezio isoscele. Essi vogliono ripartire il terreno in due parti della stessa area mediante una barriera rettilinea, partendo da un picchetto piantato su uno dei due lati paralleli del trapezio (indicato con P sulla figura). Disegnate sulla figura il segmento PQ, che suddivide il trapezio isoscele in due parti della stessa area. Spiegate come avete determinato la posizione dellaltro estremo Q del segmento. ANALISI A PRIORI Compito matematico - Ripartire un trapezio isoscele in due parti della stessa area mediante un segmento avente un estremo in un punto dato

sulla base minore e laltro estremo da determinare. Analisi del compito - Comprendere che per une divisione equa, occorre che le parti di Luca e Caterina abbiano la stessa area. - Notare che il punto P sulla base minore, ma non nel suo punto medio. - Comprendere che occorre tracciare un segmento PQ non perpendicolarmente alle basi, perch in tal modo le due

parti non avrebbero la stessa area. - Chiamando A, B, C, D i vertici del trapezio, M il punto

medio della base minore AD e N il punto medio della base maggiore BC, notare che MN, la mediana comune alle due basi del trapezio, lo suddivide in due trapezi simmetrici ABNM e MNCD.

- Con un compasso o mediante una misura precisa, riportare la lunghezza di PM a partire da N, per trovare il punto Q su BC, in modo che NQ = PM. I triangoli rettangoli PMO e QNO cos formati hanno la stessa area. Dedurne che le parti ABQP e PQCD hanno la stessa area.

Notare che PM e NQ sono parallele e della stessa lunghezza e dedurne che PNQM un parallelogramma. Il punto Q su BC dunque sulla parallela a PN condotta da M.

Oppure, le perpendicolari alle due basi AD e BC tracciate da A e da D determinano due triangoli ABE e DFC della stessa area, in quanto simmetrici rispetto alla mediana MN. Capire che rimane da dividere il rettangolo AEFD in due parti della stessa area mediante il segmento PQ.

- Riportare la lunghezza AP per posizionare il punto Q su BC in modo tale che QF = AP. Dedurne che i due trapezi rettangoli AEQP e FDPQ hanno la stessa area, dato che hanno la stessa altezza e le basi della stessa lunghezza. Concludere che le parti ABQP e PQCD hanno la stessa area perch composti da parti di uguale area.

Oppure, utilizzando solo la misurazione, partire dalla costruzione del rettangolo AEFD:

P

A

B

C

D

P

E

F

Q

O

M

N

- Misurare AD, BC e AP. Dedurne FC = (BC AD)/2 e posizionare il punto Q su BC in modo che QC = AP + FC e verificare come prima che le due parti ABQP e PQCD hanno la stessa area.

Oppure, realizzare una costruzione geometrica utilizzando solo la riga, notando che Q deve essere simmetrico di P nella simmetria di centro O, punto di intersezione delle diagonali del rettangolo AEFD.

- Tracciare la retta PO fino a incontrare BC: il punto di intersezione cos ottenuto Q. Dedurne che i due trapezi AEQP e FDPQ essendo anchessi simmetrici nella simmetria centrale, hanno la stessa area.

Concludere che le parti ABQP e PQCD hanno la stessa area.

Attribuzione dei punteggi 4 Il punto Q ben individuato, mediante riporto di lunghezze o geometricamente o con misurazione, con spiegazione

chiara della sua costruzione e del fatto che le aree delle parti ottenute sono uguali. Livello: 7, 8, 9, 10 Origine: Franche-Comt

A

B

C

D

P

E

F

Q

O

TAGLIA E RITAGLIA (Cat. 5, 6) (15, I, 10) Incollando dei pezzi ritagliati da cartoncino, Aldo ha realizzato un quadro che rappresenta due personaggi: una bambina a sinistra e un bambino a destra.

Per preparare i pezzi del suo quadro, Aldo ha utilizzato pi fogli di cartoncino, quadrati e della stessa grandezza. Ha piegato ciascun foglio una, due o tre volte e poi lo ha ritagliato seguendo alcune delle pieghe ottenute. Questa figura mostra un foglio di cartoncino quadrato e le diverse piegature che Aldo ha potuto effettuare:

Secondo voi, nel quadro che ha realizzato, Aldo ha usato pi cartoncino nella figura della bambina o in quella del bambino? Spiegate come avete trovato la vostra risposta. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale Geometria: superfici equiestese Misure di aree

Analisi del compito - Analizzare il quadro e riconoscere i suoi diversi elementi (triangoli rettangoli isosceli di quattro diverse dimensioni,

quadrati e rettangoli), misurando o ritagliando e sovrapponendo. - Stabilire delle relazioni fra i pezzi e constatare che essi possono essere decomposti o ricoperti utilizzandone uno solo

come unit: il triangolo piccolo (che si trova nel fiocco della bambina). - Scomporre tutte le forme in triangoli pi piccoli e determinare larea per conteggio. Trovare che sono stati utilizzati

36 triangoli-unit per realizzare la figura della bambina e 40 per quella del bambino. Oppure: utilizzare altre unit come il triangolo doppio del piccolo o il quadrato (equivalente a 4 triangoli piccoli o a

un triangolo quarta parte del foglio di cartoncino). Oppure: per compensazione, accoppiare forme geometriche che formano la figura della bambina ad altre equiestese

nella figura del maschietto fino a trovare che questultimo richiede pi cartoncino. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta giusta ( statoadoperato pi cartoncino per il maschietto) con disegno in cui siano chiare le scomposizioni

fatte oppure con spiegazione chiara del procedimento seguito 3 Risposta giusta con spiegazione insufficiente, ma da cui sia possibile capire che non si tirato ad indovinare 2 Risposta giusta con spiegazione del tipo si vede, oppure risposta sbagliata perch, ad esempio, non sono stati

compensati correttamente tutti i pezzi, ma si tenuto conto delle superfici e del loro confronto 1 Risposta sbagliata: non si tiene conto della superficie ma si contano i numeri di pezzi che compongono i due

personaggi, 17 per la bambina, 9 per il maschietto. 0 Incomprensione del problema Livello: 5, 6 Origine: Valle dAosta

LA ROSA DI GIULIA (I) (Cat. 3, 4) (15, II, 4) Giulia vuole ridipingere la cornice dello specchio della figura in bianco e grigio. Si chiede se deve comperare pi pittura bianca o pi pittura grigia. Ovviamente lo specchio (il quadrato al centro della figura) non deve essere dipinto e lo strato di pittura avr ovunque lo stesso spessore. Ci vorr pi pittura bianca, pi pittura grigia oppure tanta pittura bianca quanto grigia? Spiegate come avete trovato la risposta.

ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: scomposizione composizione di forme - Grandezze: unit di misura comune Analisi del compito - Tener conto del fatto che il quadrato al centro non interviene nel confronto della aree. - Capire che la superficie da ricoprire con pittura bianca composta da varie superfici e che queste superfici non

hanno la stessa area. - Capire che possibile confrontare delle aree senza misurarle o calcolarle con unit convenzionali, ma che

necessario trovare lunit comune oppure confrontare pezzo per pezzo (ci sono triangoli piccoli e grandi, oppure quadrati....).

- Determinare lunit di misura comune (un quadrato o un triangolino: confrontare il numero di quadrati (16) o di triangolini (32) in ciascuna delle due parti da pitturare: riconoscere che le aree da ricoprire sono uguali.

Attribuzione dei punteggi 4 Soluzione corretta completa (uguaglianza delle aree, tanta pittura bianca quanto pittura grigia...) con spiegazione

corretta oppure pavimentazione con unit comune 3 Soluzione corretta completa, con spiegazione incompleta 2 Soluzione corretta completa, senza spiegazione

oppure soluzione con un errore di conteggio, ma con spiegazione corretta oppure presa in conto dello specchio con risposta coerente pi pittura bianca e spiegazione corretta

1 Inizio coerente di ricerca 0 Incomprensione del problema o conteggio errato 28 e 20 perch fatto senza tener conto della grandezza dei pezzi Livello: 3, 4 Origine: Belgique

RMT 2005 (Cat. 3, 4) (13, I, 2) Sul muro della scuola stata pitturata la parte interna delle lettere R, M e T, preparate per la prossima finale del Rally Matematico Transalpino. Rimane da dipingere la parte interna delle quattro cifre del 2005. Sofia dipinge il 2 e il primo 0. Mauro dipinger laltro 0 e il 5.

Chi user pi pittura? Spiegate come avete trovato la vostra risposta. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: approccio alla nozione di area: determinazione dellarea delle figure per ricoprimenti e conteggio di

unit Analisi del compito - Rendersi conto che la quantit di pittura dipende dalla grandezza delle superfici da ricoprire e che si deve trovare

una (o pi) unit darea per poter fare il confronto - Scegliere, tra le unit, la pi evidente: il mattone (rettangolo), il mezzo mattone (quadrato), il triangolo (o met

quadrato) che permette di avere un numero intero di unit - Scelta lunit (o le unit) organizzare il conteggio dopo avere eventualmente disegnato lintera pavimentazione (per

esempio con triangoli oppure con triangoli e quadrati) - Rendersi conto che inutile calcolare larea delle cifre 0 e che sufficiente confrontare quelle del 2 e del 5 - Trovare le aree per conteggio e concludere che Mauro quello che user pi pittura dando per esempio, il numero di

quadratini(se lunit il quadratino): area del 2 = 34 e area del 5 = 36 Attribuzione dei punteggi 4 La risposta giusta (Mauro) con larea delle lettere 2 e 5 e la spiegazione della maniera di ottenerle (se sono

indicate anche le aree delle cifre 0: 42 quadretti, la risposta viene considerata buona) 3 La risposta giusta, con le aree ma senza indicazioni sulla maniera in cui sono state ottenute oppure la risposta giusta e spiegata, con un errore nel calcolo dellarea della cifra 0 2 Un solo errore nel conteggio delle unit darea (del 2 o del 5), con spiegazioni e risposta coerente 1 La risposta (Mauro), senza spiegazioni sulla determinazione dellarea (abbiamo visto che...) 0 Incomprensione del problema o lavoro sui perimetri, stima visiva Livello: 3 4; Origine : C.I.

FONTANELLE (Cat. 3) (11, I, 1) Il signor Bevilacqua ogni mattina passa a bere un po dacqua da ciascuna delle 5 fontane del paese di Fontanelle. Egli segue le strade del disegno. Parte sempre dalla fontana A senza mai ritornare ad una fontana gi visitata. Quanti percorsi diversi il signor Bevilacqua pu fare per visitare tutte le fontane di Fontanelle? Descriveteli in modo chiaro e preciso. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: localizzazione, percorsi - Combinatoria: capacit di procedere in modo sistematico Analisi del compito - Comprendere che il giro completo delle fontane consiste nel partire da A e passare una sola volta

da tutte le altre fontane, secondo le possibilit offerte dai collegamenti. - Provare per tentativi a completare il giro e rendersi conto che ci possono essere pi possibilit. - Capire la necessit di un metodo sistematico per individuare tutti i possibili percorsi che

uniscono la fontana A alle altre fontane B, C, D, E. - Usare un diagramma ad albero per indicare i possibili percorsi, o colorare i percorsi in modo

diverso in altrettante copie del disegno o indicare i percorsi con colori diversi sullo stesso disegno.

- Rendersi conto che sono 6 i percorsi completi possibili: A-B-C-D-E, A-B-E-D-C, A-E-B-C-D, A-E-B-D-C, A-E-D-B-C, A-E-D-C-B. Verificare anche che due itinerari, inizialmente possibili, A-B-D-C e A-B-D-E, non permettono di completare il giro perch toccano solo quattro fontane.

ATTRIBUZIONE DEI PUNTEGGI 4 Risposta corretta, 6 percorsi, con descrizione precisa 3 Risposta 8 percorsi, comprensiva dei 2 incompleti, con descrizione dettagliata oppure risposta 6

percorsi, con descrizione poco chiara (ad esempio, tutti i colori sovrapposti poco distinguibili) 2 Indicati con precisione 4 o 5 percorsi corretti 1 Indicati con precisione 2 o 3 percorsi corretti oppure risposta 6 percorsi, senza alcuna descrizione 0 Incomprensione del problema o indicato solo un percorso Livello: 3 Origine: Siena

A B

C

D

E

IL RAGNETTO (Cat. 4, 5, 6) (11, I, 7) Un ragnetto cammina lungo i fili di una rete di recinzione. Parte da uno dei punti indicati in figura con A,B,C,U,V e raggiunge lincrocio X, dove si ferma per costruire la sua ragnatela. Lungo il suo cammino si comporta cos: primo incrocio: prosegue dritto; secondo incrocio: va a sinistra; terzo incrocio: va a sinistra; quarto incrocio: va a destra; quinto incrocio: va a destra; sesto incrocio: prosegue dritto; settimo incrocio: va a destra; ottavo incrocio: si ferma. Quali sono i punti da cui il ragnetto pu esser partito? Disegnate i possibili percorsi del ragnetto. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale Geometria: percorsi, orientamento su una mappa, destra-sinistra, rotazioni. Analisi del compito Si pu affrontare il problema secondo due ottiche diverse: - eseguire i comandi partendo ogni volta da punti diversi della griglia, scartare i percorsi che non

portano allincrocio X ed individuare i 2 percorsi possibili, cio quelli in partenza da C ed H come in figura:

- oppure: seguire i comandi a ritroso partendo dal punto X (si tratta dinvertire destra e sinistra) e

accorgersi che ci sono 2 possibili percorsi. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta e completa (i due punti C e H) e il disegno dei 2 possibili percorsi 3 Risposta corretta (C, H) e il disegno di uno solo dei 2 percorsi 2 Indicati 1 o 2 percorsi corretti, insieme ad altri non corretti oppure risposta C, H senza i

percorsi 1 Individuazione di 1 o pi percorsi contenenti ciascuno un solo errore di direzione 0 Incomprensione del problema Livello: 4 5 6 Origine: Siena

R

S

T

U V

N O P Q

G

H

I

L X

M

B

C D F E

X

H

X

C

ROMEO E GIULIETTA (Cat. 4, 5) (16, I, 6)

Romeo cammina seguendo le strade disegnate su questa piantina. Vuole raggiungere Giulietta e vuole anche, per, assolutamente portarle un mazzo di fiori. Romeo pu scegliere tra un mazzo di lill o un mazzo di rose, o un mazzo di giunchiglie oppure un mazzo di margherite. Quale mazzo di fiori deve scegliere Romeo per percorrere la strada pi corta possibile? Spiegate come avete trovato la vostra risposta.

ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: spostamento su una griglia, determinazione di distanze, misura e confronto di lunghezze Analisi del compito - Constatare che i percorsi che vanno da Romeo a Giulietta e che passano per un mazzo di fiori sono molti - Rendersi conto che, per confrontare la lunghezza di due percorsi, non sufficiente contare il numero di trattini

dello schema ma che bisogna tener conto del tipo di trattini; ce ne sono due, che corrispondono a due unit di misura non equivalenti: il lato e la diagonale di un quadrato della griglia.

- Trovare i criteri di confronto di queste due unit: una diagonale pi lunga del lato di un quadrato, ma due lati sono pi lunghi di una diagonale (tramite una stima a occhio, o attraverso spostamenti reali o immaginari per confrontare direttamente le lunghezze, o tramite la misura effettuata con una riga graduata o riportando le lunghezze, oppure attraverso dei teoremi adulti del tipo la strada pi corta tra un punto ed un altro la linea retta ... ).

- Trovare il percorso pi corto per ogni fiore, tenendo conto dei criteri precedenti. - Paragonare i quattro percorsi minimali ottenuti: percorso delle giunchiglie, percorso delle margherite ...

(tenendo sempre presente i criteri precedenti) aiutandosi eventualmente con una disposizione in tabella: Fiori scelti Numero di pezzi del percorso Numero di lati Numero di diagonali Giunchiglie 7 7 0 Margherite 6 3 3 Lill 6 3 3 Rose 6 5 1 - Notare che tra i tre percorsi di 6 pezzi, quelli corrispondenti alle margherite ed ai lill hanno la stessa lunghezza,

mentre quello delle rose comprende una diagonale al posto delle tre degli altri due. Dedurne che la strada delle rose la pi corta tra queste tre.

Romeo

Giulietta

margherite

giunchiglie lill

rose

Paragonare infine il percorso delle rose e quello delle giunchiglie e constatare che quando si tolgono ad ognuno i 5 lati di quadrato, restano due lati per le giunchiglie contro una diagonale per le rose e che quindi la strada delle rose la pi corta.

Oppure: misurare tutti i percorsi con una riga e confrontare le lunghezze Oppure: riportare le differenti lunghezze di ogni percorso per ottenere un segmento della stessa lunghezza del percorso

totale: poi confrontare direttamente o indirettamente le lunghezze dei percorsi ottenuti. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta (rose) con argomentazione del ragionamento seguito o confronto dei tracciati nel dettaglio 3 Risposta corretta con spiegazione incompleta o poco chiara 2 Risposta corretta senza spiegazione oppure, per uno dei quattro percorsi non si individua la strada pi corta (per es. si dice che il percorso delle rose di

7 lati, ribaltando di conseguenza lordine dei tracciati), ma viene conservata la coerenza del ragionamento 1 Inizio di ricerca coerente (differenziazione tra lunghezza di una diagonale e lunghezza di un lato di un quadrato) 0 Incomprensione del problema Livello: 4, 5 Origine: Bourg-en-Bresse

ATTRAVERSO LA QUADRETTATURA (Cat. 5, 6, 7) (8, II, 8) Andrea, Berta, Carlo, Denise, Emilio, Francesco e Giorgia hanno scelto ognuno un percorso per attraversare la quadrettatura.

Andrea partito da A per arrivare ad A', Berta da B a B', ecc.

Elencate questi percorsi dal pi corto al pi lungo. Indicate come avete stabilito lordine dei percorsi e spiegate il vostro ragionamento. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale Geometria Misure di lunghezza (confronti, distanze) Analisi del compito Procedere misurando i percorsi o contando le unit (lati e/o diagonali dei quadrati della griglia) Distinguere le unit "lati" dalle unit "diagonali" e contarle separatamente Effettuare "scambi" o "compensazioni" di unit Trovare un metodo di confronto dei percorsi C, E e B (per accostamento, ingrandimento e misura, confronto linea

retta/linea poligonale, ) Livello: 5 - 6 - 7 Origine : Suisse romande

I CINQUE QUADRATI (Cat. 3, 4) (14, II, 2) Con cinque quadrati di colori diversi, Clara ha riempito interamente un grande rettangolo, come si vede sul disegno. I lati del quadrato grigio, in basso a destra, misurano 16 cm. Quali sono la lunghezza e la larghezza del rettangolo grande? Spiegate come avete trovato queste due misure.

ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Aritmetica: operazioni - Geometria: quadrato, rettangolo; confronto e somma di segmenti Analisi del compito - Osservare il disegno e i cinque quadrati e verificare gli allineamenti. - Constatare che i due quadrati piccoli sono uguali, che due loro lati allineati corrispondono al lato del quadrato grigio

e che, di conseguenza, hanno ciascuno i lati di 8 cm (16:2). - Notare poi che un lato del quadrato verde la somma dei lati dei quadrati grigio e blu, e che quindi misura 24

(16+8) cm. Quindi, visto che la figura un quadrato, concludere che tutti i suoi lati misurano 24 cm. - Notare infine che un lato del quadrato arancione la somma dei lati dei quadrati verde, blu e rosso, e che quindi

misura 40 cm (24 + 8 + 8) e, visto che la figura un quadrato, concludere che tutti i suoi lati misurano 40 cm. - Dedurre, sommando le misure, la lunghezza del rettangolo : 64 = 40 + 24 e la larghezza: 40 = 24 + 16, cio il lato

del quadrato arancione O procedere disegnando i quadrati su un foglio quadrettato (operando una riduzione dal momento che le dimensioni

reali sono troppo grandi perch il disegno entri in un foglio): cominciare dal quadrato grigio, poi i due piccoli, poi il verde, poi larancione.

Risposta corretta: lunghezza: 64 cm , larghezza : 40 cm, con spiegazioni (calcolo di tutte le misure dei lati dei

quadrati : 8, 24 = 8 + 16, 40 = 16 + 24, 64 = 40 + 24, o misure annotate sul disegno o disegno su quadrettatura) Livello: 3, 4 Origine: Siena, C.I.

LA SFIDA (Cat. 3, 4, 5) (11,F, 4) Anna vuole sfidare Giorgio e gli dice: Vincer quello fra noi due che riuscir a sistemare in questo quadrato

... il maggior numero di pezzi di questo tipo:

senza metterli uno sullaltro E voi, quanti pezzi riuscite a sistemare nel quadrato? Disegnate con precisione la vostra soluzione (indicando chiaramente i pezzi).

IL FOGLIO DI FRANCESCO (Cat. 3, 4) (23, F, 1) Francesco ha trovato questo pezzo di foglio quadrettato. Lo vuole tagliare in tre pezzi. Francesco decide che: - i tre pezzi saranno identici, cio avranno tutti la stessa forma. - ogni pezzo sar formato solo da quadrati interi. Disegnate i tre pezzi ritagliati da Francesco sul pezzo di foglio quadrettato e colorate ognuno con un colore diverso. Spiegate come avete trovato la vostra risposta. ANALISI A PRIORI Compito matematico: Ripartire una figura quadrettata in tre figure isometriche formate da quadrati. Analisi del compito - Comprendere che la totalit della superficie deve essere tagliata in tre pezzi, che il contorno di ogni pezzo deve

seguire le linee della quadrettatura e che i tre pezzi devono essere sovrapponibili, ma non orientati necessariamente nello stesso modo.

- Procedere mediante tentativi non organizzati: disegnare un primo pezzo e cercare di disegnare sulla superficie rimanente due pezzi identici; tale procedura ha poche probabilit di riuscita.

- Contare i quadretti contenuti nella superficie (15) e dedurne che ogni pezzo deve essere formato da 5 quadrati. Procedere per tentativi successivi, cercando la forma dei pezzi: disegnare un primo pezzo formato da 5 quadrati scelti a caso o ritagliare tre pezzi identici, e, nel caso non si riesca a pavimentare la superficie, adattare progressivamente la sistemazione dei 5 quadrati tenendo conto dei vincoli geometrici. Tale procedura non porta la sicurezza della riuscita.

- Cercare diversi modi di assemblare 5 quadrati e per ogni forma trovata tentare di pavimentare la superficie con tre pezzi identici, ritagliati o disegnati sulla superficie.

Terminare la ricerca quando si trovata una pavimentazione. Attribuzione dei punteggi 4 Risposta corretta (i tre pezzi disegnati e colorati) e una spiegazione del modo in cui la ricerca stata

fatta (si sono provate delle forme, si visto che ogni pezzo deve essere formato da 5 quadrati e si sono provate delle forme fatte di 5 quadrati, disegni dei tentativi successivi, ) Non richiesta la spiegazione dellunicit della risposta

3 Risposta corretta senza spiegazione 2 Inizio di ragionamento corretto: ricoprimento con pezzi formati ciascuno da 5 quadrati, ma dei quali solo due sono

identici 1 Presentazione di una ricerca che mostri che ognuno dei tre pezzi deve essere formato da 5 quadrati 0 Incomprensione del problema Livello: 3, 4 Origine: Dal Rallye Mathmatique romand 02.2.09

QUADRATI COLORATI (Cat. 3) (20,F, 1) Un pittore di fronte alla sua tela rettangolare. Decide di ricoprirla completamente con quadrati della stessa grandezza, che colorer di colori diversi. Dopo aver scelto la grandezza dei quadrati in modo che tutta la tela sia ricoperta esattamente e che i quadrati non si sovrappongano, il pittore comincia a disegnarli e a colorarli. La figura qui sotto mostra linizio del suo lavoro: Quanti quadrati deve ancora disegnare e colorare il pittore per terminare il suo lavoro? Spiegate come avete trovato la vostra risposta. ANALISI A PRIORI Ambito concettuale - Geometria: pavimentazioni e misura - Aritmetica: addizione, sottrazione, moltiplicazione Analisi del compito - Contare i quadrati gi colorati, 15. - Trovare il numero di quadrati che bisogna ancora sistemare e colorare continuando la quadrettatura e contando i

quadrati necessari, 33. Oppure si pu misurare il lato dei quadrati e calcolare i pezzi da riempire sulla lunghezza e la larghezza per determinare le dimensioni della tela in lati dei quadrati: 6 e 8; ci permetter di calcolare il numero totale di quadrati mediante una moltiplicazione e quindi il numero di quadrati mancanti per sottrazione: 48 15 = 33.

Punteggio massimo 4 : Risposta corretta, 33 quadrati, con spiegazioni chiare sulla procedura (operazioni o

disegno chiaro) Livello: 3 Origine: RMT (2 RMR e altre prove)

I CUSCINI DELLA PRINCIPESSA (Cat. 3, 4) (7, F, 5) La principessa Zubeida costretta a letto. Ci sono sette cuscini quadrati identici sul suo letto. Zubeida ha male qui e male l. Per trovare sollievo cambia di posto i suoi cuscini. Quando questi sono uno accanto all'altro, ne occorrono cinque per occupare tutta la lunghezza del letto. Ma sono sufficienti quattro cuscini per la larghezza. La principessa vorrebbe ricoprire tutta la superficie del letto con dei cuscini, li chiede perci alla sua cameriera. Quanti altri cuscini, delle stesse dimensioni, dovr portare la cameriera perch la principessa possa ricoprire tutta la superficie del letto? Spiegate come avete trovato la vostra soluzione. Campo concettuale: - aritmetica: addizione, sottrazione, moltiplicazione - geometria: area del rettangolo Analisi del compito: - rappresentare la superficie del letto (rettangolo) e un "ricoprimento" con cuscini; - trovare il numero totale di cuscini necessari e dedurne il numero dei cuscini mancanti, con un disegno o

con delle operazioni aritmetiche: (4 x 5) - 7 = 13 Valutazione: 4 La soluzione (13) con spiegazione: dettaglio delle operazioni e/o disegno 3 La soluzione con spiegazione incompleta o non convincente, o errore di calcolo con ragionamento

corretto accertato 2 Risposta 20, con spiegazione 1 Inizio di risoluzione corretta 0 Nessuna soluzione o incomprensione del problema Livello: 3 - 4 Origine: Praga